독자를 위한 조언 ‣ 무한히 큰 Napkin

선수 지식

서문에서 설명했듯이, 가장 중요한 선수 지식은 어느 정도의 수학적 성숙도입니다. 즉, 독자가 증명을 읽고 쓰는 법, 논리적 논증을 따라가는 법 등을 알고 있다고 기대합니다.

또한 독자가 집합과 함수에 관한 기본 용어(예: “전단사란 무엇인가?”)에 익숙하다고 가정합니다. 그렇지 않다면 Appendix C의 내용을 참고하십시오.

무엇을 읽을지 정하기

이 책을 처음부터 순서대로 읽을 필요는 없습니다. 이 책은 수학의 온갖 분야를 다루며, 택할 수 있는 경로도 많습니다. 장 에서는 각 부마다 그 부에서 무엇을 보게 될지 설명하는 짧은 개요를 제시합니다.

우선 각 장이 서로 어떻게 의존하는지 보여 주는 간단한 차트를 아래에 싣습니다. 자세한 내용은 다시 장 를 참고하십시오. 의존 관계는 화살표로 표시하며, 점선은 선택적인 의존 관계입니다. 흥미로워 보이는 장을 하나 골라서 그 장까지 가는 가장 짧은 경로를 찾아보기를 권합니다. 이 점을 염두에 둔다면 PDF 전체의 분량에 겁먹지 않으시기를 바랍니다.

(다음 도식의 글자는 클릭할 수 있으며, 해당 부분으로 연결됩니다.)

PDF판의 선수관계 도표를 웹에서 읽기 쉬운 순서로 풀어 쓴 것입니다.

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출발점: 추상대수학 입문과 기본 위상수학.

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선형대수학은 표현론, 양자 알고리즘, 미분기하학의 바탕입니다.

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군론과 갈루아 이론은 대수적 정수론으로 이어집니다.

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기본 위상수학과 군작용은 대수적 위상수학으로 이어집니다.

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범주론은 표현론, 대수적 위상수학, 대수기하학을 잇는 공통 언어입니다.

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미적분학과 위상수학은 복소해석학, 측도론, 미분기하학의 바탕입니다.

각 부와 장으로 가는 링크는 이 페이지의 목차에서 바로 열 수 있습니다.

질문, 연습문제, 문제

이 책에는 세 가지 단계가 있습니다.

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본문 중의 질문은 민망할 정도로 쉽게 만든 것으로, 주로 정의를 체화하도록 돕기 위한 것입니다. 한두 개에 답하지 못한다면 아마 제가 설명을 잘못한 것이니 저에게 항의하십시오. 하지만 여러 개에 답하지 못한다면 중요한 무언가를 놓쳤을 가능성이 큽니다. 앞으로 돌아가 다시 읽으십시오.
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본문 중의 연습문제는 질문보다 내용이 알차지만, “까다로운” 단계는 없어야 합니다. 정리와 명제의 증명이 교육적이고 어느 정도 흥미롭다면 연습문제로 남겨 두는 경우가 많습니다.
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각 장의 끝에는 좀 더 까다로운 문제가 여러 개 실려 있습니다. 적당한 수준의 문제도 있지만, 올림피아드 스타일의 정말로 어려운 문제도 있습니다. ^†^†margin: 더 어려운 문제에는 이 문단처럼 고추( )가 최대 세 개까지 표시되어 있습니다.
난이도 표시 외에도, 각 문제에는 전체 그림에서 얼마나 중요한지도 표시되어 있습니다.
- –
  
  일반 문제: 재미있기를 바라지만 핵심적이지는 않은 문제입니다.
- –
  
  단검표 문제: 알아 두어야 할 (대개 흥미로운) 결과이지만, 뒤에서 직접 사용되지는 않는 문제입니다.
- –
  
  별표 문제: 책의 뒷부분에서 사용될 결과입니다.³³3대학에서 가끔 벌어지는 전형적인 상황, 즉 “PSet 4의 문제 8에 의해 증명이 끝난다”라는 식의 서술을 피하기 위한 것입니다. 마치 제가 그게 무엇이었는지 기억하기라도 하는 것처럼 말입니다.

몇몇 힌트와 풀이는 PDF판의 부록에서 찾을 수 있습니다.

화상 출처: [GOO08]

종이

직설적으로 말씀드리자면,

이 책은 연필과 종이를 들고 읽으십시오.

이유는 다음과 같습니다.

화상 출처: [38]

여러분은 신이 아닙니다. 모든 것을 머릿속에 담아 둘 수는 없습니다.⁴⁴4https://blog.evanchen.cc/writing/ 및 위의 출처도 참고하십시오. 종이로 인쇄해 두었다면 여백에 적으십시오. 종이를 아끼려 한다면 공책이든 무엇이든 곁에 두고 함께 읽으십시오. 어떻게든, 어떤 방법으로든 필기할 수 있도록 하십시오. 감사합니다.

예시의 중요성에 관하여

저는 병적일 정도로 예시에 집착합니다. 이 책에서는 모든 예시를 강조하기 위해 큰 상자 안에 넣었으며, 그 결과 책의 어떤 페이지는 상자가 하나씩 차례로 이어지는 열로만 이루어져 있기도 합니다. 독자 여러분께서 개의치 않으시기를 바랍니다.

또한 몇몇 절에서는 “전형적인 예시”를 자주 강조하며, 이러한 표시에는 빨간색만 사용합니다. 그 취지는 독자가 그러한 대상에 관한 정의나 정리를 볼 때마다 전형적인 예시에 비추어 확인해 보아야 한다는 것입니다. 좋은 전형적 예시라면 이 정의가 왜 직관적인지, 정리가 왜 참이어야 하는지, 정리가 왜 흥미로운지 등이 즉시 분명해져야 합니다.

비밀을 하나 알려 드리겠습니다. 이 책에서 정의나 정리를 쓸 때마다 저는 (꽤 형편없는) 기억력에서 정확한 명제를 떠올려야 했습니다. 그래서 그 대신 전형적인 예시를 먼저 떠올리는 경우가 많았고, 그런 다음에야 정의나 정리가 무엇인지 기억해 냈습니다. 덧붙이자면, 애초에 제가 모든 정의를 익힌 방법도 바로 이것입니다. 여러분에게도 유용하기를 바랍니다.

규약과 표기법

이 부분에서는 덜 익숙한 표기법과 정의 몇 가지를 설명하고, 몇 가지 성가신 문제(“0은 자연수인가?”)를 이번에 확실히 정리합니다. 이들 대부분은 “전문가를 위한 참고 사항”입니다. 이해가 되지 않는 부분이 있다면 지금은 신경 쓰지 않아도 될 것입니다.

사용된 표기법의 전체 목록은 부록에 있습니다.

자연수는 양수입니다

집합 $\mathbb{N}$ 은 $0$ 을 포함하지 않는 양의 정수의 집합입니다. 집합론 장에서는 책의 나머지 부분과의 일관성을 위해 그 대신 $\omega=\{0,1,\dots\}$ 를 사용합니다.

집합과 동치 관계

이 내용은 전문가를 위한 상기용으로 간략히 적은 것입니다. 자세한 내용은 Appendix C를 참고하십시오.

집합 $X$ 위의 동치 관계란 대칭적이고 반사적이며 추이적인 관계 $\sim$ 입니다. 동치 관계는 $X$ 를 여러 개의 동치류로 분할합니다. 이를 $X/{\sim}$ 로 나타냅니다. 이러한 동치류의 원소를 그 동치류의 대표원이라고 합니다.

저는 “동형사상”류의 관계(형식적으로는 적절한 범주에서 동형사상인 관계)에는 항상 $\cong$ 을 사용합니다. Napkin에서 $\simeq$ 를 사용하는 경우는 호모토픽한 경로뿐입니다.

$\subset$ 과 달리 모호하지 않기 때문에 저는 일반적으로 $\subseteq$ 와 $\subsetneq$ 를 사용합니다. $\subset$ 은 등호가 명백히 성립하지 않지만 그것을 굳이 지적하면 주의를 흐트러뜨리는 드문 경우에만 사용합니다. 예를 들어, “ $\mathbb{Q}\subsetneq\mathbb{R}$ ”은 주의를 흐트러뜨리므로 $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ 로 씁니다.

저는 $S-T$ 보다 $S\setminus T$ 를 선호합니다.

$S$ 의 멱집합(즉, $S$ 의 부분집합들의 집합)은 $2^{S}$ 또는 $\mathcal{P}(S)$ 로 나타냅니다.

함수

이 내용은 전문가를 위한 상기용으로 간략히 적은 것입니다. 자세한 내용은 Appendix C를 참고하십시오.

$X\xrightarrow{f}Y$ 를 함수라고 합시다:

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$f^{\text{pre}}(T)$ 는 역상을 뜻합니다

$f^{\text{pre}}(T)\coloneqq\left\{x\in X\mid f(x)\in T\right\}.$

이는 다른 모든 곳에서 사용하는 $f^{-1}(T)$ 와 대조됩니다. 저는 $f^{-1}$ 를 역함수에만 사용합니다.

표기 남용으로 $f^{\text{pre}}(\{y\})$ 를 $f^{\text{pre}}(y)$ 로 줄여 쓰기도 합니다. $f^{\text{pre}}(y)$ 를 올이라고 부릅니다.
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$f^{\text{img}}(S)$ 는 상을 의미합니다

$f^{\text{img}}(S)\coloneqq\left\{f(x)\mid x\in S\right\}.$

세상의 거의 모든 사람이 $f(S)$ 를 사용하지만(그래도 $f[S]$ 도 어느 정도 쓰이며, 논리학에서는 $f^{\prime\prime}(S)$ 가 자주 쓰입니다) 이는 표기 남용이며, 저는 강조를 위해 $f^{\text{img}}(S)$ 를 선호합니다. 이 상 표기는 표준이 아닙니다.
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$S\subseteq X$ 이면, $f$ 의 $S$ 로의 제한을 $f{\restriction_{S}}$ 로 나타냅니다. 즉, 이것은 함수 $f{\restriction_{S}}\colon S\to Y$ 입니다.
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때로는 함수 $f\colon X\to Y$ 가 단사이거나 전사입니다. 이를 강조하기 위해 때때로 각각 $f\colon X\hookrightarrow Y$ 또는 $f\colon X\twoheadrightarrow Y$ 로 쓰기도 합니다.

순열의 순환 표기법

또한 유한집합 위의 순열은 예컨대 https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation#Cycle_notation에 설명된 대로 순환 표기로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 $(1\;2\;3\;4)(5\;6\;7)$ 이라는 표기는 $1\mapsto 2$ , $2\mapsto 3$ , $3\mapsto 4$ , $4\mapsto 1$ , $5\mapsto 6$ , $6\mapsto 7$ , $7\mapsto 5$ 인 순열을 가리킵니다. 이 표기를 사용할 때는 보통 문맥으로 명확히 알 수 있습니다.

환

달리 명시하지 않는 한 모든 환은 곱셈 항등원 $1$ 을 가집니다. 일반적인 환에서는 $0=1$ 을 허용하지만, 정역에서는 허용하지 않습니다.

달리 명시하지 않는 한 모든 환은 가환입니다. 가환이 아닌 환에 이름을 붙이는 정교한 명명 스킴이 있으며, 이는 코호몰로지 환을 다루는 장에서만 사용됩니다:

	등급 있음	등급 없음
$1$ 불필요	등급 유사환	유사환
반가환, $1$ 불필요	반가환 유사환	해당 없음
$1$ 있음	등급환	해당 없음
$1$ 을 갖는 반가환	반가환환	해당 없음
$1$ 을 갖는 가환	가환 등급환	환

반면 대수는 항상 $1$ 을 가지지만, 가환일 필요는 없습니다.

선택

우리는 선택 공리를 받아들이며, 이를 자유롭게 사용합니다.

더 읽을거리

부록 Appendix A에는 제가 좋아하는 자료의 목록과 각 장에 대해 제가 내린 교육적 선택에 대한 설명이 담겨 있습니다. 꼭 한번 살펴보시기를 권합니다.

특히 더 읽을거리를 찾으려면 바로 이곳으로 가십시오! Napkin에서 다루어야 하지만 저의 무지나 게으름 때문에 다루지 못한 주제들이 있습니다. 이 부록에 제공된 참고 문헌들이 저의 누락을 부분적으로나마 만회하는 데 도움이 되기를 바랍니다.