독자를 위한 조언 ‣ 무한히 큰 냅킨

선행 지식

서문에서 설명했듯이, 주된 선행 지식은 어느 정도의 수학적 성숙도입니다. 이는 독자가 증명을 읽고 쓸 줄 알고, 논리적 논증을 따라갈 줄 아는 등의 능력을 갖추고 있기를 기대한다는 뜻입니다.

또한 독자가 집합과 함수에 관한 기본 용어(예를 들어 “전단사란 무엇인가?”)에 익숙하다고 가정합니다. 그렇지 않다면 Appendix C를 참고하십시오.

무엇을 읽을지 정하기

이 책을 순서대로 읽을 필요는 없습니다. 이 책은 수학의 온갖 분야를 다루고 있으며, 여러분이 택할 수 있는 경로도 다양합니다. 장 에서는 각 부에 대해 무엇을 기대할 수 있을지 간략히 개관합니다.

일단 여기서는 각 장이 서로 어떻게 의존하는지를 보여주는 간단한 도표를 제시합니다. 자세한 내용은 다시 장 를 참고하십시오. 의존 관계는 화살표로 표시되며, 점선은 선택적 의존 관계입니다. 저는 여러분이 그저 흥미로워 보이는 장을 하나 고른 다음, 가장 짧은 경로를 찾아보기를 제안합니다. 이를 염두에 두면, 전체 PDF의 분량이 위압적으로 느껴지지 않기를 바랍니다.

(아래 도식의 텍스트는 클릭 가능하며, 해당 부분으로 연결되어야 합니다.)

PDF판의 선수관계 도표를 웹에서 읽기 쉬운 순서로 풀어 쓴 것입니다.

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출발점: 추상대수학 입문과 기본 위상수학.

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선형대수학은 표현론, 양자 알고리즘, 미분기하학의 바탕입니다.

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군론과 갈루아 이론은 대수적 정수론으로 이어집니다.

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기본 위상수학과 군작용은 대수적 위상수학으로 이어집니다.

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범주론은 표현론, 대수적 위상수학, 대수기하학을 잇는 공통 언어입니다.

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미적분학과 위상수학은 복소해석학, 측도론, 미분기하학의 바탕입니다.

각 부와 장으로 가는 링크는 이 페이지의 목차에서 바로 열 수 있습니다.

질문, 연습문제, 문제

이 책에는 세 가지 위계가 있습니다:

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본문 중의 질문(question)은 어이없을 정도로 쉽게 만들어졌으며, 대체로 정의를 내면화하는 데 도움을 주기 위한 기회입니다. 만약 한두 개를 답할 수 없다면, 아마도 제가 설명을 잘못한 것이니 저에게 불만을 제기해야 합니다. 하지만 여러 개를 답할 수 없다면, 아마도 중요한 것을 놓쳤을 가능성이 크니 앞으로 돌아가 다시 읽으십시오.
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본문 중의 연습문제(exercise)는 질문보다는 내용이 더 있지만, “까다로운” 단계는 없어야 합니다. 종종 저는 정리와 명제의 증명이 유익하고 어느 정도 흥미롭다면 이를 연습문제로 남겨둡니다.
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각 장의 끝에는 좀 더 까다로운 문제들이 몇 개 실려 있습니다. 어떤 것은 적당하지만, 다른 것들은 정말로 어려운 올림피아드 스타일의 문제들입니다. ^†^†margin: 더 어려운 문제들은 이 문단처럼 최대 세 개의 칠리 고추( )로 표시됩니다.
난이도 표시 외에도, 문제들은 전체적인 그림에서 얼마나 중요한지에 따라서도 표시됩니다.
- –
  
  일반 문제는 재미있기를 바라지만 핵심적이지는 않은 문제입니다.
- –
  
  단검(dagger) 표시 문제는 (대체로 흥미로운) 결과로서 알아두어야 하지만, 이후에 직접 사용되지는 않는 문제입니다.
- –
  
  별표 문제는 이 책의 이후 부분에서 사용될 결과입니다.³³3이는 대학에서 종종 벌어지는 그 전형적인 “PSet 4 문제 8에서 끝난 것으로 한다”는 상황을 피하기 위해서인데, 마치 제가 그게 뭔지 기억이라도 하는 것처럼 말입니다.

여러 힌트와 풀이는 LABEL:app:hints and LABEL:app:sol에서 찾아볼 수 있습니다.

이미지 출처: [GOO08]

종이

무뚝뚝하게 말할 위험을 무릅쓰고,

이 책은 연필과 종이를 가지고 읽으십시오.

그 이유는 다음과 같습니다:

[38]에서 가져온 이미지

여러분은 신이 아닙니다. 모든 것을 머릿속에 담아둘 수는 없습니다.⁴⁴4https://blog.evanchen.cc/writing/와 위의 출처도 참고하십시오. 인쇄본을 출력했다면 여백에 메모를 하십시오. 종이를 아끼고 싶다면 공책 같은 것을 챙겨서 함께 가지고 다니십시오. 어떻게든, 무슨 방법으로든 필기를 할 수 있도록 하십시오. 감사합니다.

예시의 중요성에 대하여

저는 병적으로 예시에 집착합니다. 이 책에서는 모든 예시를 큰 박스에 넣어 강조하는데, 그 때문에 이 책의 어떤 페이지들은 그저 박스가 연이어 나오는 것으로만 이루어져 있습니다. 독자께서 이를 언짢게 여기지 않으시길 바랍니다.

또한 저는 일부 절에서 ”전형적인 예시”를 강조하는 경우가 많으며, 이러한 표시에는 빨간색을 따로 사용합니다. 그 철학은, 독자가 그러한 대상에 관한 정의나 정리를 볼 때마다 전형적인 예시에 견주어 검증해 보아야 한다는 것입니다. 만약 그 예시가 좋은 전형이라면, 왜 그 정의가 직관적인지, 왜 그 정리가 참이어야 하는지, 왜 그 정리가 흥미로운지 등이 즉시 명확해질 것입니다.

비밀 하나를 말씀드리겠습니다. 이 책에서 정의나 정리를 쓸 때마다, 저는 (꽤 형편없는) 기억력에서 정확한 서술을 떠올려야 했습니다. 그래서 저는 대신 전형적인 예시를 먼저 떠올리고, 그런 다음에야 비로소 그 정의나 정리가 무엇이었는지 기억해 내는 경우가 많습니다. 그런데 이것은 애초에 제가 모든 정의를 배웠던 방식이기도 합니다. 독자 여러분께도 이 방법이 유용하기를 바랍니다.

관례와 표기법

이 부분에서는 다소 낯선 표기법과 정의 몇 가지를 설명하고, 성가신 문제들(”0은 자연수인가?”)을 이번 기회에 확실히 정리합니다. 이들 대부분은 ”전문가를 위한 참고 사항”이므로, 이해가 되지 않는다면 지금 당장은 걱정하지 않아도 될 것입니다.

사용된 표기법의 전체 용어집은 부록에서 찾아보실 수 있습니다.

자연수는 양수입니다

집합 $\mathbb{N}$ 은 양의 정수의 집합이며, $0$ 은 포함하지 않습니다. 집합론 장들에서는 책의 나머지 부분과의 일관성을 위해 대신 $\omega=\{0,1,\dots\}$ 를 사용합니다.

집합과 동치 관계

이는 전문가를 위한 상기용으로 간략히 서술한 것입니다. 자세한 내용은 Appendix C를 참고하십시오.

집합 $X$ 위의 동치 관계란 대칭적, 반사적, 추이적인 관계 $\sim$ 를 말합니다. 동치 관계는 $X$ 를 여러 개의 동치류로 분할합니다. 이를 $X/{\sim}$ 로 표기하겠습니다. 그러한 동치류의 원소를 그 동치류의 대표원이라고 합니다.

저는 ”동형사상” 유형의 관계(formally: 어떤 적절한 범주에서 동형사상인 관계)에는 항상 $\cong$ 를 사용합니다. 냅킨에서 $\simeq$ 가 쓰이는 유일한 경우는 호모토픽 경로에 대해서입니다.

저는 일반적으로 $\subseteq$ 와 $\subsetneq$ 를 사용하는데, $\subset$ 와 달리 이들은 모호하지 않기 때문입니다. $\subset$ 는 등호가 성립하지 않는다는 것이 명백하지만 이를 굳이 밝히면 오히려 산만해지는 드문 경우에만 사용합니다. 예를 들어, ” $\mathbb{Q}\subsetneq\mathbb{R}$ ”는 산만하기 때문에 저는 $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ 로 씁니다.

저는 $S-T$ 보다 $S\setminus T$ 를 선호합니다.

$S$ 의 멱집합(즉, $S$ 의 부분집합들의 집합)은 $2^{S}$ 또는 $\mathcal{P}(S)$ 로 표기됩니다.

함수

이는 전문가를 위한 상기용으로 간략히 서술한 것입니다. 자세한 내용은 Appendix C를 참고하십시오.

$X\xrightarrow{f}Y$ 를 함수라고 합시다:

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$f^{\text{pre}}(T)$ 란 원상을 의미합니다

$f^{\text{pre}}(T)\coloneqq\left\{x\in X\mid f(x)\in T\right\}.$

이는 세상 다른 곳에서 쓰이는 $f^{-1}(T)$ 와 대조되는데, 저는 $f^{-1}$ 를 오직 역함수에만 사용합니다.

표기의 남용으로, $f^{\text{pre}}(\{y\})$ 를 $f^{\text{pre}}(y)$ 로 줄여 쓸 수 있습니다. $f^{\text{pre}}(y)$ 를 올이라고 부릅니다.
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$f^{\text{img}}(S)$ 란 상(image)을 의미합니다

$f^{\text{img}}(S)\coloneqq\left\{f(x)\mid x\in S\right\}.$

세상의 거의 모든 사람들은 $f(S)$ 를 사용합니다(다만 $f[S]$ 도 어느 정도 쓰이며, 논리학에서는 $f^{\prime\prime}(S)$ 가 자주 사용됩니다). 하지만 이는 표기법의 남용이며, 저는 강조를 위해 $f^{\text{img}}(S)$ 를 선호합니다. 이 상(image) 표기법은 표준이 아닙니다.
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$S\subseteq X$ 라면, $f$ 의 $S$ 로의 제한은 $f{\restriction_{S}}$ 로 표기하며, 즉 이것은 함수 $f{\restriction_{S}}\colon S\to Y$ 입니다.
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때로는 함수 $f\colon X\to Y$ 가 단사이거나 전사일 수 있습니다. 이를 강조하기 위해 각각 $f\colon X\hookrightarrow Y$ 또는 $f\colon X\twoheadrightarrow Y$ 로 쓰기도 합니다.

순열의 순환 표기법

또한 유한 집합 위의 순열은 https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation#Cycle_notation에 설명된 것과 같은 순환 표기법으로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 표기 $(1\;2\;3\;4)(5\;6\;7)$ 은 $1\mapsto 2$ , $2\mapsto 3$ , $3\mapsto 4$ , $4\mapsto 1$ , $5\mapsto 6$ , $6\mapsto 7$ , $7\mapsto 5$ 인 순열을 가리킵니다. 이 표기법의 사용은 대체로 문맥상 명확할 것입니다.

환

별도로 명시하지 않는 한 모든 환은 곱셈 항등원 $1$ 을 가집니다. 일반적인 환에서는 $0=1$ 을 허용하지만, 정역에서는 허용하지 않습니다.

별도의 언급이 없는 한 모든 환은 가환환입니다. 코호몰로지 환을 다루는 장에서만 사용되는, 가환이 아닌 환에 이름을 붙이기 위한 정교한 스킴이 있습니다:

	등급	등급이 없음
$1$ 이 필요하지 않음	등급 유사환	유사환
반가환, $1$ 이 필요하지 않음	반가환 유사환	해당 없음
$1$ 을 가짐	등급환	해당 없음
$1$ 을 갖는 반가환	반가환환	해당 없음
$1$ 을 갖는 가환	가환 등급환	환

반면 대수는 항상 $1$ 을 가지지만, 가환일 필요는 없습니다.

선택

저희는 선택 공리를 받아들이며, 이를 자유롭게 사용합니다.

더 읽을거리

부록 Appendix A에는 제가 좋아하는 자료 목록과 각 장에 대해 제가 내린 교육학적 선택에 대한 설명이 담겨 있습니다. 꼭 한번 살펴보시기를 권합니다.

특히, 이곳이 바로 여러분이 더 읽을거리를 찾아야 할 곳입니다! Napkin에서 다루어져야 하지만 저의 무지나 게으름으로 인해 다루어지지 않은 주제들이 있습니다. 이 부록에 제공된 참고 문헌들이 저의 누락을 부분적으로나마 만회하는 데 도움이 되기를 바랍니다.