장 38 르베그 적분과 순서 교환하기

38.1 극한 교환의 동기

대표적인 예: $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 는 좋습니다!

리만 적분의 문제점 중 하나는 함수의 수렴에 대해 나쁘게 동작한다는 것이며, 르베그 적분은 이를 해결합니다. 따라서 이는 르베그 적분이 리만 적분보다 더 나은 성질을 갖는 이유에 대한 대표적인 예시로 자주 제시됩니다.

우리는 기술적으로 이를 이미 본 적이 있습니다: 지시함수 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 를 생각해 봅시다. 이는 문제 37A에 의해 리만 적분 가능하지 않습니다. 하지만 우리는 이것의 $[0,1]$ 위에서의 르베그 적분을 다음과 같이 쉽게 계산할 수 있습니다,

\int_{[0,1]}\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\;d\mu=\mu\left([0,1]\cap\mathbb{Q}\right)=0

이는 가산집합이기 때문입니다.

이는 리만 적분에 대한 존재성의 실패로 생각될 수 있습니다.

예제 38.1.1 ( $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 는 유한 지지 함수들의 극한입니다).

우리는 함수의 수열 $g_{1}$ , $g_{2}$ , … 을 다음과 같이 정의할 수 있습니다

g_{n}(x)=\begin{cases}1&(n!)x\text{정수입니다}\\ 0&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

그러면 각 $g_{n}$ 은 조각별로 연속이며 따라서 $[0,1]$ 위에서 리만 적분 가능합니다(적분값은 0), 하지만 $\lim_{n\to\infty}g_{n}=\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 는 그렇지 않습니다.

여기서 극한은 다음과 같은 의미로 정의됩니다:

정의 38.1.2.

$f$ 와 $f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 를 함수들의 수열이라 합시다. 각 $\omega\in\Omega$ 에 대해 다음 수열이

f_{1}(\omega),\;f_{2}(\omega),\;f_{3}(\omega),\;\dots

$f(\omega)$ 로 수렴한다고 가정합시다. 그러면 우리는 $f_{1}$ , $f_{2}$ , … 이 극한 $f$ 로 점별 수렴한다고 말하며, 이를 $\lim_{n\to\infty}f_{n}=f$ 로 씁니다.

우리는 $\liminf_{n\to\infty}f_{n}$ 과 $\limsup_{n\to\infty}f_{n}$ 을 비슷하게 정의할 수 있습니다.

”르베그 적분이 더 나은 성질을 갖는다”는 것은 다음을 의미합니다:

명제 38.1.3.

만약 $f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 가 가측 함수들이라면, $\liminf_{n\to\infty}f_{n}$ 과 $\limsup_{n\to\infty}f_{n}$ 은 가측입니다.

$f_{n}$ 이 모두 음이 아닐 때, 이는 $\int_{\Omega}\liminf_{n\to\infty}f_{n}d\mu$ 와 $\int_{\Omega}\limsup_{n\to\infty}f_{n}d\mu$ 가 존재함을 의미합니다. (만약 이들이 음수가 될 수 있다면, 그 동작은 그렇게 좋지 않습니다. 문제 37B가 그 예시를 제공합니다.)

안타깝게도, 적분이 존재하더라도 우리는 점별 극한과 르베그 적분을 항상 교환할 수 있는 것은 아닙니다.

왜 그렇게 하고 싶을까요? 예를 들어, 다음과 같은 문제에 직면했다고 합시다:

$\lim_{k\to\infty}\int_{1}^{\infty}\frac{1}{k}e^{-x^{2}}\;dx$ 를 계산하십시오.

적분 $\int e^{-x^{2}}dx$ 는 초등적인 방법으로 계산 불가능하지만, 우리는 그 극한이 단순히 $0$ 이라고 말하고 싶어집니다(왜 아니겠습니까?)

안타깝게도, 점별 수렴은 실제로 상당히 약한 수렴 개념입니다.

예제 38.1.4.

이 모든 예시들에서, 우리는 결과를 바꾸지 않고서는 극한과 적분을 교환할 수 없습니다.

•

수열 $f_{k}(x)=\frac{\sin(x)}{x}\cdot\mathbf{1}_{(1,k)}$ 는 $k\to\infty$ 일 때 $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}\cdot\mathbf{1}_{(1,\infty)}$ 로 점별 수렴하며, 극한 $\lim_{k\to\infty}\int f_{k}(x)\;dx$ 는 존재하지만, $f$ 는 적분 가능하지 않습니다.
•

마찬가지로, $f_{k}(x)=\frac{\sin(1/x)}{x}\cdot\mathbf{1}_{(1/k,\infty)}$ 는 $k\to\infty$ 일 때 $f(x)=\frac{\sin(1/x)}{x}\cdot\mathbf{1}_{(0,\infty)}$ 로 점별 수렴하며, 극한 $\lim_{k\to\infty}\int f_{k}(x)\;dx$ 는 존재하고 유한하지만, $f$ 는 적분 가능하지 않습니다.
•

수열 $f_{k}(x)=\frac{\mathbf{1}_{(0,k)}}{k}$ 는 $k\to\infty$ 일 때 $f(x)=0$ 으로 점별 수렴하며, 모든 $k$ 에 대해 $\int f_{k}(x)\;dx=1$ 이지만 $\int f(x)\;dx=0$ 입니다.

이 경우 수렴이 실제로 균등수렴이라는 점에 주목하십시오!
•

분모에 $k$ 가 있을 필요조차 없습니다 — 수열 $f_{k}(x)=\mathbf{1}_{(k,\infty)}$ 역시 $f(x)=0$ 으로 점별 수렴하지만, 이번에는 모든 $k$ 에 대해 $\int f_{k}(x)\;dx=\infty$ 입니다!
•

수열 $f_{k}(x)=k\cdot\mathbf{1}_{(0,1/k)}$ 는 $k\to\infty$ 일 때 $f(x)=0$ 으로 점별 수렴합니다. 하지만 위와 비슷하게, 모든 $k$ 에 대해 $\int f_{k}(x)\;dx=1$ 이지만 $\int f(x)\;dx=0$ 입니다.

마지막 예시는 마녀의 모자(Witch’s hat)로 알려진 예시와 거동이 비슷합니다.¹¹1https://www.geogebra.org/m/dv7ctmed에 애니메이션이 있습니다.

이런 이유로, 아래에서 서술하는 수렴 정리들은 가능한 모든 이상 현상을 분류하고, “일반적인” 경우에는 극한과 적분을 교환하는 것이 그대로 성립함을 보이려는 시도입니다.

앞서 언급했듯이, 이러한 경우에는 르베그 적분이 대체로 존재하기 때문에 리만 적분 대신 르베그 적분을 사용하기로 선택합니다.

38.2 개요

점별 극한과 르베그 적분을 교환하기 위한 세 가지 대표적인 결과는 다음과 같습니다:

•

파투 보조정리: 음이 아닌 임의의 가측 함수에 대해 성립하는 가장 일반적인 형태의 명제입니다.
•

단조수렴: “증가하는 극한”은 그대로 성립합니다.
•

지배수렴(실제로는 파투-르베그): 너무 크지 않은(절대적으로 적분 가능한 어떤 함수로 유계인) 극한은 그대로 성립합니다.

38.3 파투 보조정리

위의 모든 예시에서 다음을 확인할 수 있습니다:

•

극한과 적분의 교환이 실패하는 것은 수열 내 함수들이 “이리저리 흔들릴” 여지가 너무 많기 때문이며,
•

이런 이유로, 적분 $\int f_{k}(x)dx$ 는 모두 극한의 적분 $\int f(x)dx$ 보다 큽니다.

물론, 모든 함수 $f_{k}(x)$ 의 부호를 바꾸면 $\lim_{k\to\infty}\int f_{k}(x)dx<\int f(x)dx$ 를 얻을 수 있습니다. 하지만 밝혀진 바에 따르면, 음이 아닌 함수에 대해서는 이런 종류의 거동만이 유일하게 가능한 거동입니다. 다시 말해,

음이 아닌 함수에 대해, 적분의 극한이 극한의 적분과 같지 않다면, 전자가 항상 더 큽니다.

보조정리 38.3.1 (파투 보조정리, 예비 버전).

$f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to[0,+\infty]$ 를 $f$ 로 점별 수렴하는 음이 아닌 가측 함수들의 수열이라 합시다. 그러면 $f$ 는 음이 아니고, 가측이며,

\int_{\Omega}f\;d\mu\leq\lim_{n\to\infty}\left(\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu\right).

여기서는 양변 모두 $+\infty$ 가 될 수 있도록 허용합니다.

밝혀진 바에 따르면, 이 보조정리는 다음과 같이 상당히 일반화될 수 있습니다. 두 명제를 비교해 보면, 두 $\lim$ 연산자가 $\liminf$ 로 바뀐 것을 확인할 수 있습니다 — 수열이 실제로 수렴할 때는 $\liminf$ 와 $\lim$ 이 같아집니다.

보조정리 38.3.2 (파투 보조정리).

$f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to[0,+\infty]$ 를 음이 아닌 가측 함수들의 수열이라 합시다. 그러면 $\liminf_{n\to\infty}f_{n}\colon\Omega\to[0,+\infty]$ 는 가측이며,

\int_{\Omega}\left(\liminf_{n\to\infty}f_{n}\right)\;d\mu\leq\liminf_{n\to% \infty}\left(\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu\right).

여기서는 양변 모두 $+\infty$ 가 될 수 있도록 허용합니다.

$f_{n}$ 에 대해 음이 아니라는 것 외에는 어떠한 추가 가정도 없다는 점에 주목하십시오. 이는 어떤 일반적인 결과를 증명하려 할 때 이 보조정리를 놀라울 만큼 다재다능하게 만듭니다.

38.4 그 외 모든 것

큰 놀라움은 모든 “유명한” 정리들이 파투 보조정리로부터 얼마나 빠르게 따라 나오는가입니다. 다음은 이른바 “단조 수렴 정리”입니다.

따름정리 38.4.1 (단조 수렴 정리).

$f$ 와 $f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to[0,+\infty]$ 를 $\lim_{n}f_{n}=f$ 이고 각 $n$ 에 대해 $f_{n}(\omega)\leq f(\omega)$ 인 음이 아닌 가측함수들의 열이라 합시다. 그러면 $f$ 는 가측이고

\lim_{n\to\infty}\left(\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu\right)=\int_{\Omega}f\;d\mu.

여기서는 양변 중 어느 쪽이든 $+\infty$ 가 되는 것을 허용합니다.

증명.

다음이 성립합니다

	$\displaystyle\int_{\Omega}f\;d\mu$	$\displaystyle=\int_{\Omega}\left(\liminf_{n\to\infty}f_{n}\right)\;d\mu$
		$\displaystyle\leq\liminf_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu$
		$\displaystyle\leq\limsup_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu$
		$\displaystyle\leq\int_{\Omega}f\;d\mu$

여기서 첫 번째 $\leq$ 는 파투 보조정리에 의한 것이고, 세 번째는 모든 $n$ 에 대해 $\int_{\Omega}f_{n}\leq\int_{\Omega}f$ 라는 사실에 의한 것입니다. 이는 모든 부등식이 등식이 됨을 의미하며, 이로써 증명이 끝납니다. ∎

증명이 얼마나 짧은지 알 수 있습니다 — $\limsup_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu\leq\int_{\Omega}f\;d\mu$ 를 증명하는 것이 쉬운 절반이고, 어려운 절반은 파투 보조정리가 자동으로 처리해 줍니다.

비고 38.4.2 (단조 수렴 정리는 단조성을 요구하지 않습니다!).

문헌에서는 모든 $n$ 에 대해 단순히 $f_{n}(\omega)\leq f(\omega)$ 라는 가정보다는 $f_{1}(\omega)\leq f_{2}(\omega)\leq\dots\leq f(\omega)$ 라는 가정을 훨씬 더 흔히 볼 수 있는데, 이것이 이 정리가 그 이름을 얻게 된 이유입니다. 그러나 우리가 보였듯이 이 가정은 불필요합니다! 이는 “알려지지 않은 채로 남아 있는 매우 중요한 정리를 알고 계십니까?”라는 제목의 질문에 대한 답변인 https://mathoverflow.net/a/296540/70654에서 지적된 바 있습니다.

예제 38.4.3 (단조 수렴이 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 를 준다).

이는 이미 예제 38.1.1를 함의합니다. $g_{n}$ 을 그 예제에서 설명한 대로 $\frac{1}{n!}\mathbb{Z}$ 에 대한 지시함수라 하면, $g_{n}\leq\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 이고 각 개별 $x$ 에 대해 $\lim_{n\to\infty}g_{n}(x)=\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)$ 입니다. 따라서 각 $n$ 에 대해 $\int_{[0,1]}g_{n}\;d\mu=0$ 이므로, 이는 우리가 이미 알고 있던 $\int_{[0,1]}\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}=0$ 을 줍니다.

그러나 가장 유명한 결과는 다음과 같습니다.

따름정리 38.4.4 (파투-르베그 정리).

$f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 를 가측함수들의 열이라 합시다. $g\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 가 모든 $\omega\in\Omega$ 에 대해 $|f_{n}(\omega)|\leq g(\omega)$ 를 만족하는 절대 적분 가능한 함수라고 가정합시다. 그러면 다음 부등식이

	$\displaystyle\int_{\Omega}\left(\liminf_{n\to\infty}f_{n}\right)\;d\mu$	$\displaystyle\leq\liminf_{n\to\infty}\left(\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu\right)$
		$\displaystyle\leq\limsup_{n\to\infty}\left(\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu\right)\leq% \int_{\Omega}\left(\limsup_{n\to\infty}f_{n}\right)\;d\mu.$

증명.

세 개의 부등식이 있습니다:

•

첫 번째 부등식은 음이 아닌 $g+f_{n}$ 에 대해 파투 보조정리를 적용한 것에서 따라 나옵니다.
•

두 번째 부등식은 그저 $\liminf\leq\limsup$ 일 뿐입니다. (이 덕분에 정리의 진술을 외우기 쉽습니다!)
•

세 번째 부등식은 음이 아닌 $g-f_{n}$ 에 대해 파투 보조정리를 적용한 것에서 따라 나옵니다. ∎

연습문제 38.4.5.

이 증명에서 $g$ 가 절대 적분 가능하다는 사실은 어디에 쓰였습니까?

따름정리 38.4.6 (지배 수렴 정리).

$f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 를 $f=\lim_{n\to\infty}f_{n}$ 이 존재하는 가측함수들의 열이라 합시다. $g\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 가 모든 $\omega\in\Omega$ 에 대해 $|f_{n}(\omega)|\leq|g(\omega)|$ 를 만족하는 절대 적분 가능한 함수라고 가정합시다. 그러면

\int_{\Omega}f\;d\mu=\lim_{n\to\infty}\left(\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu\right).

다시 말해,

함수 $f_{k}$ 가 “흔들릴” 수 있는 “공간”이 유한하기만 하다면, 어떤 이상 현상도 일어날 수 없습니다.

증명.

$f(\omega)=\lim_{n\to\infty}f_{n}(\omega)$ 이면, $f(\omega)=\liminf_{n\to\infty}f_{n}(\omega)=\limsup_{n\to\infty}f_{n}(\omega)$ 입니다. 따라서 파투-르베그 정리의 모든 부등식은, 가장 왼쪽 변과 가장 오른쪽 변이 서로 같으므로 등식이 됩니다. ∎

이는 예제 38.1.1을́ 검증하는 또 다른 방법을 줍니다. 일반적으로, 지배 수렴 정리는 학부 시험에서 즐겨 쓰이는 상투적인 소재인데, 이는 그에 관한 문제를 만들기가 쉽기 때문입니다. 다음은 그것들이 어떤 모습인지 보여주는 한 가지 예시입니다.

예제 38.4.7 (흔히 보는 르베그 지배 수렴 예제).

다음을 계산하고자 한다고 합시다

\lim_{n\to\infty}\left(\int_{(0,1)}\frac{n\sin(n^{-1}x)}{\sqrt{x}}\right)\;dx

그러면 안쪽 항이 절대 적분 가능한 함수 $x^{-1/2}$ 로 유계라는 것을 관찰하는 것에서 시작합니다. 따라서 그것은 다음과 같습니다

	$\displaystyle\int_{(0,1)}\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n\sin(n^{-1}x)}{\sqrt{x}% }\right)\;dx$	$\displaystyle=\int_{(0,1)}\frac{x}{\sqrt{x}}\;dx$
		$\displaystyle=\int_{(0,1)}\sqrt{x}\;dx=\frac{2}{3}.$

이상 현상의 동작에 대해 다른 사실도 말할 수 있습니다 — 즉, $|\Omega|<\infty$ 일 때, 이상 현상은 오직 측도가 작은 집합에서만 발생합니다.

정리 38.4.8 (Egorov 정리).

$f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 을 $|\Omega|<\infty$ 인 측도 공간 $\Omega$ 위의 가측함수열이라 하고, $f=\lim_{n\to\infty}f_{n}$ 이 존재하며 거의 모든 곳에서 유한하다고 합시다. 그러면 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대해, 나머지가 작은 측도를 갖도록 하는 부분집합 $U\subseteq\Omega$ 를 찾을 수 있습니다:

|\Omega\smallsetminus U|<\varepsilon,

그리고 수렴은 $U$ 위에서 균등하게 일어납니다: 수열

f_{1}|_{U},f_{2}|_{U},\dots

$f|_{U}$ 로 균등하게 수렴합니다.

이는 다음 정리 때문입니다.

정리 38.4.9 (균등수렴 정리).

$f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 을 $|\Omega|<\infty$ 인 측도 공간 $\Omega$ 위의 적분 가능한 함수열이라 하고, $\lim_{n\to\infty}f_{n}=f$ 이며 이 수렴이 균등하다고 합시다. 그러면 $f$ 는 적분 가능하고,

\lim_{n\to\infty}\left(\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu\right)=\int_{\Omega}f\;d\mu.

다시 말해,

$\int f\;d\mu\neq\lim\int f_{k}\;d\mu$ 라는 사실은 오직 $\int_{\Omega\setminus U}f\;d\mu\neq\lim\int_{\Omega\setminus U}f\;d\mu$ 에 의해서만 발생합니다.

예제 38.4.10 (측도가 작은 집합을 제거하면 적분과 극한을 서로 바꿀 수 있습니다).

예제 38.1.4에서 몇 가지 예시를 가져와, 여기서 측도가 작은 집합을 제거하면 어떤 일이 일어나는지 살펴봅시다.

•

수열 $f_{k}(x)=k\cdot\mathbf{1}_{(0,1/k)}$ 을 생각해 봅시다. 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대해, $f_{k}$ 의 정의역에서 구간 $(0,\varepsilon)$ 를 제거하면, $k\to\infty$ 일 때 $f_{k}$ 가 $f$ 로 균등하게 수렴하며, $\lim_{k\to\infty}\int f_{k}(x)\;dx=\int f(x)\;dx=0$ 이 성립함을 알 수 있습니다.
•

마찬가지로, 수열 $f_{k}(x)=\frac{\sin(1/x)}{x}\cdot\mathbf{1}_{(1/k,1)}$ 은 $f(x)=\frac{\sin(1/x)}{x}\cdot\mathbf{1}_{(0,1)}$ 으로 점별 수렴하며, 구간 $(0,\varepsilon)$ 를 제거하면 모든 것이 문제없이 성립합니다.

비고 38.4.11.

측도가 작은 집합만 제거하면 된다고 해서, 그 집합이 작은 구간 안에 밀집되어 있다는 뜻은 아닙니다. 독자는 $f$ 로 점별 수렴하지만, 수렴을 균등하게 만들기 위해서는 $[0,1]$ 의 조밀한 부분집합을 제거해야 하는 수열 $f_{k}\colon[0,1]\to\mathbb{R}^{+}$ 을 구성해 보기 바랍니다. (힌트: 어디에서나 불연속이고 어디에서나 음이 아닌 임의의 함수 $f$ 를 취하고, $f_{k}=\min(k,f)$ 로 놓으십시오.)

38.5 푸비니와 토넬리

작성 예정: 작성 예정

38.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

작성 예정: 문제