장 38 르베그 적분과 순서 교환하기

38.1 극한 교환의 동기

대표적인 예: $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 는 좋습니다!

리만 적분의 문제점 중 하나는 함수의 수렴에 대해 나쁘게 행동한다는 것이며, 르베그 적분은 이 문제를 해결합니다. 따라서 이는 르베그 적분이 리만 적분보다 더 좋은 성질을 갖는 이유를 보여 주는 대표적인 예로 자주 제시됩니다.

엄밀히 말하면 우리는 이미 이것을 보았습니다. 지시 함수 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 를 생각해 봅시다. 이 함수는 문제 37A에 의해 리만 적분 가능하지 않습니다. 그러나 $[0,1]$ 위에서의 르베그 적분은 다음과 같이 쉽게 계산할 수 있습니다.

\int_{[0,1]}\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\;d\mu=\mu\left([0,1]\cap\mathbb{Q}\right)=0

이는 $\mathbb{Q}$ 가 가산이기 때문입니다.

이는 리만 적분의 존재성이 실패한 것으로 생각할 수도 있습니다.

예제 38.1.1 ( $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 는 유한 지지 함수들의 극한입니다).

함수열 $g_{1}$ , $g_{2}$ , … 를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

g_{n}(x)=\begin{cases}1&(n!)x\text{정수입니다}\\ 0&\text{다른}.\end{cases}

그러면 각 $g_{n}$ 은 조각별 연속이므로 $[0,1]$ 위에서 리만 적분 가능하지만(적분값은 0입니다), $\lim_{n\to\infty}g_{n}=\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 는 그렇지 않습니다.

여기서 극한은 다음과 같은 의미로 정의됩니다.

정의 38.1.2.

$f$ 와 $f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 를 함수열이라 합시다. 각 $\omega\in\Omega$ 에 대하여 수열

f_{1}(\omega),\;f_{2}(\omega),\;f_{3}(\omega),\;\dots

이 $f(\omega)$ 로 수렴한다고 가정합시다. 그러면 $f_{1}$ , $f_{2}$ , … 가 극한 $f$ 로 점별 수렴한다고 하며, 이를 $\lim_{n\to\infty}f_{n}=f$ 로 씁니다.

$\liminf_{n\to\infty}f_{n}$ 과 $\limsup_{n\to\infty}f_{n}$ 도 마찬가지로 정의할 수 있습니다.

“르베그 적분이 더 좋은 성질을 갖는다”는 것은 다음을 의미합니다.

명제 38.1.3.

$f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 가 가측 함수이면, $\liminf_{n\to\infty}f_{n}$ 과 $\limsup_{n\to\infty}f_{n}$ 은 가측입니다.

$f_{n}$ 이 모두 음이 아니면, 이는 $\int_{\Omega}\liminf_{n\to\infty}f_{n}d\mu$ 와 $\int_{\Omega}\limsup_{n\to\infty}f_{n}d\mu$ 가 존재함을 의미합니다. (음수가 될 수 있다면 성질이 그다지 좋지 않습니다. 문제 37B에서 그 예를 제시합니다.)

안타깝게도, 적분이 존재하더라도 점별 극한과 르베그 적분의 순서를 항상 바꿀 수 있는 것은 아닙니다.

왜 그렇게 하고 싶을까요? 예를 들어 다음 문제를 마주했다고 합시다.

$\lim_{k\to\infty}\int_{1}^{\infty}\frac{1}{k}e^{-x^{2}}\;dx$ 를 계산하십시오.

적분 $\int e^{-x^{2}}dx$ 는 초등적인 방법으로 계산할 수 없지만, 우리는 극한이 단순히 $0$ 이라고 말하고 싶습니다(그렇지 않을 이유가 있겠습니까?).

안타깝게도, 점별 수렴은 사실 꽤 약한 수렴 개념입니다.

예제 38.1.4.

이 모든 예에서, 결과를 바꾸지 않고서는 극한과 적분의 순서를 바꿀 수 없습니다.

•

수열 $f_{k}(x)=\frac{\sin(x)}{x}\cdot\mathbf{1}_{(1,k)}$ 는 $k\to\infty$ 일 때 $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}\cdot\mathbf{1}_{(1,\infty)}$ 로 점별 수렴하고, 극한 $\lim_{k\to\infty}\int f_{k}(x)\;dx$ 도 존재하지만, $f$ 는 적분 가능하지 않습니다.
•

마찬가지로, $f_{k}(x)=\frac{\sin(1/x)}{x}\cdot\mathbf{1}_{(1/k,\infty)}$ 는 $k\to\infty$ 일 때 $f(x)=\frac{\sin(1/x)}{x}\cdot\mathbf{1}_{(0,\infty)}$ 로 점별 수렴하고, 극한 $\lim_{k\to\infty}\int f_{k}(x)\;dx$ 는 존재하며 유한하지만, $f$ 는 적분 가능하지 않습니다.
•

수열 $f_{k}(x)=\frac{\mathbf{1}_{(0,k)}}{k}$ 는 $k\to\infty$ 일 때 $f(x)=0$ 으로 점별 수렴하며, 모든 $k$ 에 대하여 $\int f_{k}(x)\;dx=1$ 이지만 $\int f(x)\;dx=0$ 입니다.

이 경우에는 수렴이 실제로 균등 수렴이라는 점에 주목하십시오!
•

분모에 $k$ 가 있을 필요조차 없습니다 — 수열 $f_{k}(x)=\mathbf{1}_{(k,\infty)}$ 역시 $f(x)=0$ 으로 점별 수렴하지만, 이번에는 모든 $k$ 에 대하여 $\int f_{k}(x)\;dx=\infty$ 입니다!
•

수열 $f_{k}(x)=k\cdot\mathbf{1}_{(0,1/k)}$ 는 $k\to\infty$ 일 때 $f(x)=0$ 으로 점별 수렴합니다. 그러나 위와 마찬가지로, 모든 $k$ 에 대하여 $\int f_{k}(x)\;dx=1$ 이지만 $\int f(x)\;dx=0$ 입니다.

마지막 예는 마녀의 모자(Witch’s hat)로 알려진 예와 거동이 비슷합니다.¹¹1https://www.geogebra.org/m/dv7ctmed에 애니메이션이 있습니다.

이처럼, 아래에서 서술할 수렴 정리들은 가능한 모든 이상 현상을 분류하고, “일반적인” 경우에는 극한과 적분의 교환이 그대로 성립함을 보이려는 시도입니다.

앞서 언급했듯이, 우리는 리만 적분 대신 르베그 적분을 사용하기로 합니다. 이러한 경우에 르베그 적분은 대개 그냥 존재하기 때문입니다.

38.2 개요

점별 극한과 르베그 적분을 교환하는 것에 관한 세 가지 대표적인 결과는 다음과 같습니다.

•

파투 보조정리: 임의의 음이 아닌 가측 함수에 대하여 성립하는, 가능한 가장 일반적인 명제입니다.
•

단조 수렴: “증가하는 극한”은 그대로 성립합니다.
•

지배 수렴(실제로는 파투-르베그): 너무 크지 않은(어떤 절대 적분 가능한 함수로 유계인) 극한은 그대로 성립합니다.

38.3 파투 보조정리

위의 모든 예에서 다음을 알 수 있습니다.

•

극한과 적분의 교환이 실패하는 것은 수열의 함수들이 “이리저리 요동할” 여지가 너무 많기 때문이며,
•

따라서 적분 $\int f_{k}(x)dx$ 는 모두 극한의 적분 $\int f(x)dx$ 보다 큽니다.

물론, 모든 함수 $f_{k}(x)$ 의 부호를 바꾸면 $\lim_{k\to\infty}\int f_{k}(x)dx<\int f(x)dx$ 를 얻을 수 있습니다. 그러나 밝혀진 바에 따르면, 음이 아닌 함수에 대해서는 이러한 종류의 거동이 가능한 유일한 거동입니다. 다시 말해,

음이 아닌 함수에 대하여, 적분의 극한이 극한의 적분과 같지 않다면 항상 전자가 더 큽니다.

보조정리 38.3.1 (파투 보조정리, 예비 버전).

$f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to[0,+\infty]$ 를 $f$ 로 점별 수렴하는 음이 아닌 가측 함수들의 수열이라고 합시다. 그러면 $f$ 는 음이 아니고 가측이며,

\int_{\Omega}f\;d\mu\leq\lim_{n\to\infty}\left(\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu\right).

여기서는 양변 중 어느 쪽이든 $+\infty$ 가 되는 것을 허용합니다.

밝혀진 바에 따르면, 이 보조정리는 다음과 같이 상당히 일반화될 수 있습니다. 두 명제를 비교해 보면 두 $\lim$ 연산자가 $\liminf$ 로 바뀌었음을 알 수 있습니다 — 수열이 실제로 수렴할 때에는 $\liminf$ 와 $\lim$ 이 같습니다.

보조정리 38.3.2 (파투 보조정리).

$f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to[0,+\infty]$ 를 음이 아닌 가측 함수들의 수열이라고 합시다. 그러면 $\liminf_{n\to\infty}f_{n}\colon\Omega\to[0,+\infty]$ 는 가측이며,

\int_{\Omega}\left(\liminf_{n\to\infty}f_{n}\right)\;d\mu\leq\liminf_{n\to% \infty}\left(\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu\right).

여기서는 양변 중 어느 쪽이든 $+\infty$ 가 되는 것을 허용합니다.

$f_{n}$ 에 대해 음이 아니라는 것 외에는 추가 가정이 전혀 없다는 점에 주목하십시오. 그래서 어떤 일반적인 결과를 증명하려 할 때 이 보조정리는 놀라울 만큼 다양하게 활용됩니다.

38.4 그 밖의 모든 것

가장 놀라운 점은 “유명한” 정리들이 모두 파투 보조정리로부터 매우 빠르게 따라 나온다는 것입니다. 다음은 이른바 “단조 수렴 정리”입니다.

따름정리 38.4.1 (단조 수렴 정리).

$f$ 와 $f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to[0,+\infty]$ 가 $\lim_{n}f_{n}=f$ 이고 각 $n$ 에 대해 $f_{n}(\omega)\leq f(\omega)$ 를 만족하는 음이 아닌 가측 함수들의 열이라고 합시다. 그러면 $f$ 는 가측이며

\lim_{n\to\infty}\left(\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu\right)=\int_{\Omega}f\;d\mu.

여기서는 양변 중 어느 쪽이든 $+\infty$ 가 되는 것을 허용합니다.

증명.

다음이 성립합니다.

	$\displaystyle\int_{\Omega}f\;d\mu$	$\displaystyle=\int_{\Omega}\left(\liminf_{n\to\infty}f_{n}\right)\;d\mu$
		$\displaystyle\leq\liminf_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu$
		$\displaystyle\leq\limsup_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu$
		$\displaystyle\leq\int_{\Omega}f\;d\mu$

여기서 첫 번째 $\leq$ 는 파투 보조정리에 의해, 세 번째 $\leq$ 는 모든 $n$ 에 대해 $\int_{\Omega}f_{n}\leq\int_{\Omega}f$ 라는 사실에 의해 성립합니다. 따라서 모든 부등식이 등식이 되며 증명이 끝납니다. ∎

증명이 얼마나 짧은지 알 수 있습니다 — $\limsup_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu\leq\int_{\Omega}f\;d\mu$ 를 증명하는 것은 쉬운 절반이며, 어려운 절반은 파투 보조정리가 자동으로 처리해 줍니다.

비고 38.4.2 (단조 수렴 정리에는 단조성이 필요하지 않습니다!).

문헌에서는 모든 $n$ 에 대해 단순히 $f_{n}(\omega)\leq f(\omega)$ 라는 가정보다 $f_{1}(\omega)\leq f_{2}(\omega)\leq\dots\leq f(\omega)$ 라는 가정을 훨씬 더 흔히 볼 수 있으며, 정리의 이름도 여기서 유래합니다. 그러나 앞에서 보였듯이 이 가정은 불필요합니다! 이 사실은 “아직 알려지지 않은 매우 중요한 정리를 알고 계십니까?”라는 제목의 질문에 대한 답변인 https://mathoverflow.net/a/296540/70654에서 지적되었습니다.

예제 38.4.3 (단조 수렴으로 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 얻기).

이것만으로도 이미 예제 38.1.1가 따라 나옵니다. 그 예제에서 설명한 대로 $g_{n}$ 을 $\frac{1}{n!}\mathbb{Z}$ 의 지시 함수라고 하면, $g_{n}\leq\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 이고 각각의 $x$ 에 대해 $\lim_{n\to\infty}g_{n}(x)=\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)$ 입니다. 따라서 각 $n$ 에 대해 $\int_{[0,1]}g_{n}\;d\mu=0$ 이므로, 이미 알고 있던 대로 $\int_{[0,1]}\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}=0$ 을 얻습니다.

그러나 가장 유명한 결과는 다음입니다.

따름정리 38.4.4 (파투-르베그 정리).

$f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 를 가측 함수들의 열이라고 합시다. $g\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 가 모든 $\omega\in\Omega$ 에 대해 $|f_{n}(\omega)|\leq g(\omega)$ 를 만족하는 절대 적분 가능한 함수라고 가정합시다. 그러면 다음 부등식

	$\displaystyle\int_{\Omega}\left(\liminf_{n\to\infty}f_{n}\right)\;d\mu$	$\displaystyle\leq\liminf_{n\to\infty}\left(\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu\right)$
		$\displaystyle\leq\limsup_{n\to\infty}\left(\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu\right)\leq% \int_{\Omega}\left(\limsup_{n\to\infty}f_{n}\right)\;d\mu.$

증명.

부등식은 세 개입니다.

•

첫 번째 부등식은 음이 아닌 $g+f_{n}$ 에 파투 보조정리를 적용하여 얻습니다.
•

두 번째 부등식은 단순히 $\liminf\leq\limsup$ 입니다. (덕분에 정리의 내용을 기억하기 쉽습니다!)
•

세 번째 부등식은 음이 아닌 $g-f_{n}$ 에 파투 보조정리를 적용하여 얻습니다. ∎

연습문제 38.4.5.

이 증명에서 $g$ 가 절대 적분 가능하다는 사실은 어디에 사용됩니까?

따름정리 38.4.6 (지배 수렴 정리).

$f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 를 $f=\lim_{n\to\infty}f_{n}$ 이 존재하는 가측 함수들의 열이라고 합시다. $g\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 가 모든 $\omega\in\Omega$ 에 대해 $|f_{n}(\omega)|\leq|g(\omega)|$ 를 만족하는 절대 적분 가능한 함수라고 가정합시다. 그러면

\int_{\Omega}f\;d\mu=\lim_{n\to\infty}\left(\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu\right).

다시 말해,

함수 $f_{k}$ 가 “꿈틀거릴” 수 있는 “공간”이 유한하기만 하면 어떠한 이상 현상도 일어날 수 없습니다.

증명.

$f(\omega)=\lim_{n\to\infty}f_{n}(\omega)$ 이면 $f(\omega)=\liminf_{n\to\infty}f_{n}(\omega)=\limsup_{n\to\infty}f_{n}(\omega)$ 입니다. 따라서 가장 왼쪽 변과 가장 오른쪽 변이 같으므로 파투-르베그 정리의 모든 부등식이 등식이 됩니다. ∎

이로써 예제 38.1.1를 확인하는 또 다른 방법을 얻는다는 점에 유의하십시오. 일반적으로 지배 수렴 정리는 문제를 만들기 쉽기 때문에 학부 시험에서 즐겨 쓰이는 단골 소재(cliché)입니다. 다음은 그런 문제들이 대개 어떤 모습인지 보여 주는 한 가지 예입니다.

예제 38.4.7 (흔히 보는 르베그 지배 수렴 예제).

다음을 계산하고 싶다고 합시다.

\lim_{n\to\infty}\left(\int_{(0,1)}\frac{n\sin(n^{-1}x)}{\sqrt{x}}\right)\;dx

그러면 먼저 안쪽 항이 절대 적분 가능한 함수 $x^{-1/2}$ 로 유계임을 관찰합니다. 따라서 이는 다음과 같습니다.

	$\displaystyle\int_{(0,1)}\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n\sin(n^{-1}x)}{\sqrt{x}% }\right)\;dx$	$\displaystyle=\int_{(0,1)}\frac{x}{\sqrt{x}}\;dx$
		$\displaystyle=\int_{(0,1)}\sqrt{x}\;dx=\frac{2}{3}.$

이상 현상의 거동에 대해 다른 사실도 말할 수 있습니다 — 즉, $|\Omega|<\infty$ 일 때 이상 현상은 측도가 작은 집합에서만 일어납니다.

정리 38.4.8 (예고로프 정리).

측도 공간 $\Omega$ 위의 가측 함수열 $f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 이 $|\Omega|<\infty$ 를 만족하고, $f=\lim_{n\to\infty}f_{n}$ 이 거의 모든 곳에서 존재하며 유한하다고 합시다. 그러면 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대하여, 나머지 부분의 측도가 작도록 하는 부분집합 $U\subseteq\Omega$ 를 찾을 수 있습니다:

|\Omega\smallsetminus U|<\varepsilon,

또한 $U$ 위에서 수렴은 균등합니다. 즉, 수열

f_{1}|_{U},f_{2}|_{U},\dots

은 $f|_{U}$ 로 균등수렴합니다.

이는 다음 정리 때문입니다.

정리 38.4.9 (균등수렴 정리).

$f_{1},f_{2},\dots\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 을 $|\Omega|<\infty$ 인 측도 공간 $\Omega$ 위의 적분 가능한 함수열이라 하고, $\lim_{n\to\infty}f_{n}=f$ 이며 이 수렴이 균등하다고 합시다. 그러면 $f$ 는 적분 가능하며,

\lim_{n\to\infty}\left(\int_{\Omega}f_{n}\;d\mu\right)=\int_{\Omega}f\;d\mu.

다시 말해,

$\int f\;d\mu\neq\lim\int f_{k}\;d\mu$ 라는 사실은 오직 $\int_{\Omega\setminus U}f\;d\mu\neq\lim\int_{\Omega\setminus U}f\;d\mu$ 때문에 생깁니다.

예제 38.4.10 (측도가 작은 집합을 제거하면 적분과 극한의 순서를 바꿀 수 있습니다).

예제 38.1.4에서 몇 가지 예를 가져와, 여기서 측도가 작은 집합을 제거하면 어떤 일이 일어나는지 살펴봅시다.

•

수열 $f_{k}(x)=k\cdot\mathbf{1}_{(0,1/k)}$ 를 생각해 봅시다. 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대해 $f_{k}$ 의 정의역에서 구간 $(0,\varepsilon)$ 를 삭제하면, $k\to\infty$ 일 때 $f_{k}$ 는 $f$ 로 균등수렴하며 $\lim_{k\to\infty}\int f_{k}(x)\;dx=\int f(x)\;dx=0$ 이 성립합니다.
•

마찬가지로, 수열 $f_{k}(x)=\frac{\sin(1/x)}{x}\cdot\mathbf{1}_{(1/k,1)}$ 는 $f(x)=\frac{\sin(1/x)}{x}\cdot\mathbf{1}_{(0,1)}$ 로 점별수렴하며, 구간 $(0,\varepsilon)$ 를 삭제하면 모든 것이 맞아떨어집니다.

비고 38.4.11.

측도가 작은 집합만 삭제하면 된다고 해서 그 집합이 작은 구간에 몰려 있다는 뜻은 아닙니다. $f$ 로 점별수렴하지만, 수렴을 균등하게 만들려면 $[0,1]$ 의 조밀한 부분집합을 제거해야 하는 수열 $f_{k}\colon[0,1]\to\mathbb{R}^{+}$ 를 독자 여러분이 직접 구성해 보십시오. (힌트: 모든 점에서 불연속인 음이 아닌 함수 $f$ 를 아무것이나 잡고, $f_{k}=\min(k,f)$ 로 두십시오.)

38.5 푸비니와 토넬리

작성 예정: 작성 예정입니다.

38.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

작성 예정: 문제

장 38 르베그 적분과 순서 교환하기

38.1 극한 교환의 동기

예제 38.1.1 (𝟏ℚ는 유한 지지 함수들의 극한입니다).

정의 38.1.2.

명제 38.1.3.

예제 38.1.4.

38.2 개요

38.3 파투 보조정리

보조정리 38.3.1 (파투 보조정리, 예비 버전).

보조정리 38.3.2 (파투 보조정리).

38.4 그 밖의 모든 것

따름정리 38.4.1 (단조 수렴 정리).

증명.

비고 38.4.2 (단조 수렴 정리에는 단조성이 필요하지 않습니다!).

예제 38.4.3 (단조 수렴으로 𝟏ℚ 얻기).

따름정리 38.4.4 (파투-르베그 정리).

증명.

연습문제 38.4.5.

따름정리 38.4.6 (지배 수렴 정리).

증명.

예제 38.4.7 (흔히 보는 르베그 지배 수렴 예제).

정리 38.4.8 (예고로프 정리).

정리 38.4.9 (균등수렴 정리).

예제 38.4.10 (측도가 작은 집합을 제거하면 적분과 극한의 순서를 바꿀 수 있습니다).

비고 38.4.11.

38.5 푸비니와 토넬리

38.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

예제 38.1.1 ( $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 는 유한 지지 함수들의 극한입니다).

예제 38.4.3 (단조 수렴으로 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 얻기).