Appendix A 교육적 논평과 참고 문헌

절 9.9의 논평에 이어 말씀드리면, 저는 선형대수학과 다변수 미적분학을 서술하는 방식 대부분을 좋아하지 않습니다. 다음 두 가지 핵심 아이디어를 놓치고 있기 때문입니다:

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  선형대수학에서는 공간 사이의 선형 사상을 연구합니다.

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  미적분학에서는 함수를 각 점에서 선형 함수로 근사합니다.

따라서 저는 선형대수학을 항상 다변수 미적분학보다 먼저 가르쳐야 한다고 생각합니다. 특히 저는 대부분의 선형대수학 책이나 다변수 미적분학 책을 추천하지 않습니다.

선형대수학의 경우, [AXL97]가 이러한 접근 방식을 따른다고 들었으며, 그래서 “Linear Algebra Done Right”라는 적절한 이름이 붙었습니다. 저는 Math 55a의 강의 내용을 대폭 수정하여 따랐습니다. [GAI14]를 참고하십시오.

다변수 미적분학과 미분기하학의 경우, 저는 [SJA05]의 노트가 유난히 잘 쓰였다고 생각했습니다. 저는 Math 55b [GAI15]를 수강하는 동안 이 노트를 자주 참고했습니다.

공간에 대한 제 개인적인 견해는, 제가 다루어 본 모든 공간이 거리화 가능하거나 자리스키 위상이라는 것입니다.

저는 거리 위상을 먼저 사용하는 [PUG02]의 접근 방식을 채택했습니다. 저는 거리 공간이 훨씬 더 직관적이며, 열린 / 닫힌 / 콤팩트 등의 집합이 어떻게 생겼는지 그려 보기에 훨씬 더 좋은 방법이라고 생각합니다. 이것은 역사가 걸어온 접근 방식이기도 합니다. 일반위상수학은 거리 위상에서 자라났습니다.

저는 개인적으로 일반위상수학 수업을 일반적인 위상 공간이 무엇인지 정의하는 것으로 시작하는 것을 좋아하지 않습니다. 그렇게 하면 그림으로 그려 볼 수 있을 만한 열린집합과 닫힌집합의 모습을 제대로 전달하지 못하기 때문입니다.

저는 가환환보다 군을 먼저 가르치지만, 나중에 순서를 바꿀 수도 있습니다. 환에는 더 좋은 예시가 있고, 덧셈군에 곱셈 표기법을 쓰는 데서 오는 혼란이 없으며, 아이디얼로 나누는 것이 더 직관적입니다.

군론에서 제가 불만을 가진 특정한 부분이 있습니다. 바로 정규 부분군의 개념을 도입하는 방식입니다. [GOW11]만이 제 방식과 비슷하게 합니다. 대부분의 다른 사람들은 정규 부분군 $N$을 $gNg{}^{-1}$를 만족하는 것으로 그저 정의한 다음, 이 정의가 어디에서 왔는지 설명하는 데 시간을 들이지 않고 곧바로 몫을 취하는 것을 정의합니다. 저는 이 개념을 수학을 배우면서 무슨 일이 일어나고 있는지 처음으로 이해하지 못했던 순간으로 또렷이 기억합니다. 돌이켜 보고 나서야 이 정의가 어디에서 왔는지 알게 되었습니다. 저는 제 서술에 이런 문제가 없도록 많은 노력을 기울였습니다.

저는 환과 아이디얼에 관한 장 외에는 가환대수학만을 다루는 장을 일부러 포함하지 않았습니다. 그 이유는 대수적 정수론이나 대수기하학 같은 맥락 속에서 가환대수학의 정리들을 그때그때 배우는 것이 항상 더 쉽다고 느꼈기 때문입니다. 예를 들어, 저는 근기와 영점정리(Nullstellensatz)가 대수기하학에서 어떻게 쓰이는지 보고 나서야 비로소 그것들이 왜 중요한지 이해하게 되었습니다. 그 전에는 제가 왜 그것들에 관심을 가져야 하는지 전혀 이해하지 못했습니다.

저는 거리 위상과 일반위상수학을 주된 재료로 삼아 실해석학을 다룹니다. 그것이 나중에 가장 유용하고 가장 많은 깨달음을 준다고 생각하기 때문입니다. 어떤 의미에서 저는 여전히 [PUG02]를 따르고 있습니다.

이 강의들의 주된 영감은 MIT에서 Vadim Gorin이 진행한 18.175 강의입니다. [GOR18]에는 Tony Zhang이 작성한 아주 훌륭한 강의 노트가 있습니다. 저는 측도론은 조금 더 자세히 다루고, 확률론은 (현재로서는) 덜 다룹니다. 그러나 어쨌든 확률론은 측도론의 동기를 부여하는 훌륭한 방법이라고 생각하며, 반대로 확률론은 중심극한정리 같은 것들을 서술하기에 적절한 무대입니다.

또 다른 참고 자료로서 [CHE08]도 꽤 도움이 되었습니다.

저는 코시-구르사 정리를 (스토크스 정리 등으로 더 약한 버전을 증명하는 대신) 주어진 것으로 제시하고, 그로부터 정칙 함수가 해석적이라는 핵심 결과를 유도하는 방식을 택했습니다. 이 방식이 복소해석학의 “실생활” 용도, 즉 경로 적분의 계산을 가장 가깝게 반영한다고 생각합니다.

이 장의 주요 참고 문헌은 [YAN12]였으며, 이 문헌을 추천합니다.

저는 [LEI14]를 열렬히 추천합니다. 제 장들은 이 문헌을 바탕으로 하며, 이 문헌에는 제가 다룰 시간이 있었던 것보다 훨씬 많은 내용이 담겨 있습니다.

다만 2-4장은 역순으로 읽어 보셔도 좋습니다. 저는 극한이 수반보다 훨씬 더 직관적이라고 느꼈습니다. 하지만 사람마다 다를 수 있습니다.

범주론은 구조의 예를 더 많이 배울수록 더 잘 이해될 것입니다. 예를 들어 군, 환, 가군에 관한 장을 먼저 읽어 두면 도움이 될 것입니다.

여기에 제시된 설명은 MIT에서 Seth Lloyd가 한 학기 동안 가르친 18.435J [LLO15]를 바탕으로 합니다. 이 설명은 훨씬 더 수학적인 관점에서 쓰였습니다.

저는 유한 차원 힐베르트 공간만 다룹니다. 이 장의 요점인 쇼어 알고리즘에 필요한 것은 그것뿐이기 때문입니다. 이것은 양자역학을 진지하게 공부하고자 하는 사람을 위한 설명이 아닙니다(처음 읽기에는 적당할 수도 있지만). 주된 목적은 모두가 계속 이야기하는 이 “쇼어 알고리즘”이 무엇인지 학생들이 조금이나마 음미할 수 있게 하는 것입니다.

저는 대수의 표현을 먼저 가르친 다음, $k[G]$를 살펴봄으로써 군의 경우로 특수화하는 방식을 확고히 지지합니다. 여기 있는 장들에 가장 큰 영향을 준 것은 [ETI11]이며, 여기 있는 내용은 이 문헌의 처음 네 장에서 일부를 발췌한 것 정도로 생각하셔도 됩니다.

집합론은 일반적인 경로에서 한참 벗어나 있습니다. 제가 쓴 노트는 하버드 칼리지에서 수강한 Math 145a [KOE14] 수업을 바탕으로 합니다.

제가 받은 전반적인 인상으로는, 제가 집합론을 제시하는 방식(논리적 지뢰밭 속에서 직관적이고 비형식적인 태도를 유지하려는 방식)은 표준적이지 않습니다. 다른 참고 문헌으로는 [MIQ14]이 있습니다.

저는 기본군 $\pi {}_1$을 먼저 다룹니다. 그렇게 하는 편이 주제를 더 직관적으로 만든다고 생각하기 때문입니다. 이 주제에 관한 참고 문헌으로는 [MUN00]가 있습니다. 훨씬 더 복잡한 호몰로지 군은 나중에야 다룹니다. 대수적 위상수학의 유명한 표준 참고 문헌은 [HAT02]이며, 요즘은 거의 모든 사람이 이 문헌을 사용합니다. 하지만 저는 [MAX13]도 특히 코호몰로지 환에 관한 부분에서 매우 유용하다고 느꼈습니다.

저는 사실 대수적 위상수학을 그리 많이 하지 않습니다. 특히 대수적 위상수학을 배우는 주된 이유는 사슬 복합체로부터 호몰로지 군과 코호몰로지 군이 구성되는 과정을 보고, 긴 완전열이 실제로 작용하는 모습을 지켜보는 데 있다고 생각합니다. (쌍대)사슬 복합체라는 개념은 층의 코호몰로지나 갈루아 코호몰로지처럼 다른 맥락에서도 자주 등장합니다. 그중에서 대수적 위상수학이 단연 가장 자연스러운 맥락입니다.

저는 범주를 사랑하는 사람으로서 범주론을 광범위하게 사용합니다.

저는 [OGG10]로 공부했으며, 체보타료프 밀도 정리에 관한 부분에서는 [LEN02]를 사용했습니다.

가능한 한 저는 대수적 정수론 장을 근본적으로 “올림피아드 정신”에 가깝게 유지하려고 합니다. $\mathbb{Z}[i]$나 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 같은 환에서의 인수분해는 본질적으로 매우 올림피아드다운 주제입니다. 이로부터 자연스럽게 일반적인 정수환에서의 인수분해라는 아이디어로 이어지며, 전체 설명은 이 아이디어를 중심으로 구성됩니다. 이 모든 준비 과정에 대한 보상으로, 설명은 체보타료프 밀도 정리를 IMO 2003 6번 문제에 적용하는 것으로 마무리됩니다.

제가 추천하는 대수기하학 입문서는 처음 읽을 책으로는 [GAT03]이고, 본격적으로 공부할 책으로는 [VAK17]입니다. 두 강의록 모두 사실상 그 자체로 완결되어 있습니다.

먼저 고백하자면 저는 대수기하학을 비교적 잘 알지 못하며, 개인적인 의견으로는 대수기하학 부분이 Napkin에서 가장 부족한 부분입니다. 이는 여기서의 내용에도 드러납니다. 전체 노트를 통틀어 저는 이 분야의 첫 번째 핵심 정의인 스킴을 겨우 정의하는 데 그칩니다.

그럼에도 불구하고 어리석게도 제 공부 경험에 대해 몇 마디 하려고 합니다. 스킴 공부를 시작하는 데에는 크게 세 가지 접근 방식이 있다고 생각합니다.

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  보통 학부 과정인 “입문” 강의의 일부로서 아핀 다양체와 사영 다양체만 살펴보는 방식입니다.

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  아핀 다양체와 사영 다양체를 자세히 공부하고 이를 스킴의 동기가 되는 예로 삼은 뒤, 거기서부터 대수기하학을 전개하는 방식입니다.

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  높이 평가받으면서도 어려운 [VAK17]처럼 곧바로 스킴의 정의로 뛰어드는 방식입니다.

저는 두 번째 접근 방식을 택했습니다. 스킴이 무엇인지 모른다면 대수기하학을 배웠다고 할 수 없다고 생각하기 때문입니다. 하지만 한편으로는 다양체를 먼저 잘 이해하지 않고서는 스킴의 정의를 소화하기 어렵다고 생각합니다.

이러한 의견은 1년에 걸쳐 세 가지 접근 방식을 모두 시도하며 이 분야를 배우려 했던 제 개인적인 경험에 바탕을 두고 있습니다. 여러분의 경험은 다를 수 있습니다.

저는 적어도 두 번째 부분에서는 주로 아핀 스킴에 집중하기로 결정했습니다. 아핀 스킴은 이미 여러 면에서 다양체를 일반화하며, 여기서 곧바로 스킴들을 이어 붙이기 시작하면 도약이 너무 크다고 생각합니다. 저는 국소적으로 아핀인(그러나 아마도 그 자체로는 아핀이 아닌) 일반적인 스킴 $X$를 다루는 세계로 나아가기 전에, 학생이 먼저 아핀 스킴이 어떻게 작동하는지 정말로 이해했다고 느끼기를 바랍니다. 아핀 스킴의 수많은 예에 한 장 전체를 할애한 것도 이러한 생각을 보여 줍니다.

제 친구는 [MIR95]를 추천합니다. 이 책의 서문에는 다음과 같이 적혀 있습니다.

그러나 저는 (대수기하학의 관점에서) 주요 예들이 사영 곡선에서 나온다는 점을 강조하려 하며, 본문은 느리지만 확실하게 대수적 범주로 나아가 리만-로흐 정리의 대수적 증명에서 정점에 이릅니다. 아벨 정리를 위해 해석적 측면으로 돌아간 후, 층과 코호몰로지를 논의할 때 이 흐름이 다시 반복됩니다. 먼저 해석적 범주, 그다음 대수적 범주입니다.

따라서 이 책을 대수기하학을 배우는 자료로도 활용할 수 있습니다.

때때로 인자, 평면 곡선에 유도되는 복소 구조, 선다발처럼 동기가 충분히 설명되지 않은 개념들이 있습니다. 이러한 경우 Napkin에서는 그 동기를 명확히 설명하고자 합니다.

이 주제들에 대해서는 Napkin에 노트를 작성할 시간이 없었습니다. 하지만 관심이 있다면 [HIL13]를 추천합니다. 매우 접근하기 쉽고 즐겁게 읽을 수 있습니다. 실질적인 선수 지식은 코시 유수 공식을 잘 이해하는 것뿐입니다.