Appendix A 교육적 논평과 참고 문헌

절 9.9의 논평에 이어, 저는 선형대수학과 다변수 미적분학의 대다수 서술 방식을 좋아하지 않는데, 그 이유는 이들이 두 가지 핵심 아이디어를 놓치고 있기 때문입니다. 즉:

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  선형대수학에서 우리는 공간 사이의 선형 사상을 연구합니다.

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  미적분학에서 우리는 함수를 각 점에서 선형 함수로 근사합니다.

따라서 저는 선형대수학이 다변수 미적분학보다 항상 먼저 가르쳐져야 한다고 생각합니다. 특히 저는 대부분의 선형대수학이나 다변수 미적분학 책을 추천하지 않습니다.

선형대수학에 관해서는, [AXL97]가 이러한 접근법을 따른다고 들었는데, 그래서 ”Linear Algebra Done Right”라는 적절한 이름이 붙었습니다. 저는 Math 55a의 강의록을 크게 수정하여 따랐습니다. [GAI14]를 참고하십시오.

다변수 미적분학과 미분기하학에 관해서는, [SJA05] 노트가 유난히 잘 쓰여졌다고 느꼈습니다. 저는 Math 55b [GAI15]를 수강하는 동안 이를 자주 참고했습니다.

공간에 대한 저의 개인적인 견해는, 제가 다루는 모든 공간이 거리화 가능하거나 자리스키 위상이라는 것입니다.

저는 [PUG02]의 접근법을 채택하여, 거리 위상수학을 먼저 사용합니다. 저는 거리 공간이 훨씬 더 직관적이며, 열린/닫힌/콤팩트 등의 집합이 어떤 모습인지에 대한 그림을 얻는 데 훨씬 더 나은 방법이라고 생각합니다. 이는 역사가 밟아온 접근법입니다. 일반위상수학은 거리 위상수학으로부터 성장했습니다.

저는 개인적으로 일반적인 위상 공간이 무엇인지를 정의하는 것으로 일반위상수학 수업을 시작하는 것을 좋아하지 않는데, 이는 그림을 그려볼 열린집합과 닫힌집합에 대한 좋은 그림을 전달하지 못하기 때문입니다.

저는 가환환보다 군을 먼저 가르치지만 나중에 바꿀 수도 있습니다. 환은 더 좋은 예시를 가지고 있고, 덧셈 군에 대한 곱셈 표기법의 혼동이 없으며, 아이디얼로 나누는 것이 더 직관적입니다.

군론에서 제가 못마땅하게 여기는 특정한 사항이 하나 있습니다: 바로 정규 부분군이라는 개념이 도입되는 방식입니다. 오직 [GOW11]만이 제가 하는 것과 비슷한 방식을 취합니다. 대부분의 다른 사람들은 그저 정규 부분군 $N$을 $gNg{}^{-1}$를 만족하는 것으로 정의하고 나서 이 정의가 어디서 비롯되었는지 설명하는 시간을 들이지 않은 채 몫을 정의하는 것으로 넘어갑니다. 저는 이 개념을 수학을 배우면서 무슨 일이 일어나고 있는지 이해하지 못했던 첫 순간으로 뚜렷이 기억합니다. 돌이켜봐서야 비로소 이 정의가 어디서 비롯되었는지 알게 되었으며, 저는 제 자신의 서술 방식에는 이러한 문제가 없도록 애를 썼습니다.

저는 환과 아이디얼에 관한 장을 제외하고는, 오직 가환대수학만을 다루는 장을 의도적으로 포함하지 않았습니다. 그 이유는 저 자신이 대수적 정수론이나 대수기하학 같은 것의 맥락 속에서 가환대수학 정리들을 즉석에서 배우는 것이 항상 더 쉽다고 느꼈기 때문입니다. 예를 들어, 저는 근기(radical)와 힐베르트 영점 정리(Nullstellensatz)가 왜 중요했는지를 대수기하학에서 이들이 어떻게 쓰이는지 보고 나서야 비로소 이해했습니다. 그 전까지는 제가 왜 이것들을 신경 써야 하는지 전혀 이해하지 못했습니다.

저는 거리 위상수학과 일반위상수학을 주된 재료로 삼아 실해석학을 다루는데, 이것이 이후에 가장 유용하고 가장 깨우침을 준다고 생각하기 때문입니다. 어떤 의미에서 저는 여전히 [PUG02]를 따르고 있습니다.

이 강의들의 주된 영감은 MIT에서 개설된 Vadim Gorin의 18.175 강의입니다. [GOR18]에는 Tony Zhang이 작성한 정말 좋은 강의록이 실려 있습니다. 저는 측도론에 대해서는 조금 더 자세히 다루고, (현재로서는) 확률론에 대해서는 덜 다룹니다. 하지만 저는 확률론이 어쨌든 측도론에 동기를 부여하는 훌륭한 방법이라고 생각하며, 반대로 이는 중심극한정리 같은 것을 진술하기에 적절한 배경이기도 합니다.

저는 또한 [CHE08]가 또 다른 참고 자료로서 상당히 도움이 된다고 느꼈습니다.

저는 코시-구르사 정리를 (슈토크스 정리를 이용해 더 약한 버전을 증명하는 등의 방법 대신) 주어진 것으로 제시한 뒤, 이로부터 정칙 함수가 해석적이라는 핵심 결과를 유도하는 접근법을 선택했습니다. 이 방식이 복소해석학의 “실생활” 활용, 즉 등고선 적분의 계산을 가장 근접하게 반영한다고 생각합니다.

이 장의 주된 참고문헌은 [YAN12]이며, 이를 추천합니다.

제 장들의 바탕이 된 [LEI14]를 적극 추천하며, 이 책은 제가 다룰 시간이 있었던 것보다 훨씬 많은 내용을 담고 있습니다.

다만 2-4장은 역순으로 읽어보셔도 좋을 것입니다: 저는 극한이 딸림 함자보다 훨씬 직관적이라고 느꼈습니다. 하지만 사람마다 다를 수 있습니다.

구조의 예시를 더 많이 배울수록 범주론이 더 이해가 될 것입니다: 예를 들어 군, 환, 가군에 관한 장들을 읽어두면 도움이 될 것입니다.

여기서 제시하는 내용은 세스 로이드가 MIT에서 한 학기 전체에 걸쳐 강의한 18.435J [LLO15]를 바탕으로 합니다. 훨씬 더 수학적인 관점에서 서술되어 있습니다.

저는 유한 차원 힐베르트 공간만을 다루는데, 이는 이 장의 목적인 쇼어 알고리즘에 필요한 것이 그것뿐이기 때문입니다. 이는 양자역학을 진지하게 공부하고자 하는 사람을 위한 해설이 아닙니다(다만 첫 입문서로는 적절할 수도 있습니다): 주된 목적은 학생들에게 모두가 계속 이야기하는 이 “쇼어 알고리즘”이 무엇인지에 대한 작은 이해를 주는 것입니다.

저는 대수의 표현을 먼저 가르친 뒤 $k[G]$를 살펴봄으로써 군의 경우로 특수화하는 방식을 강력히 지지합니다. 여기 있는 장들의 주된 영향은 [ETI11]이며, 여기 있는 내용을 이 자료의 처음 네 장에서 발췌한 일부라고 생각하셔도 좋습니다.

집합론은 일반적인 경로에서 크게 벗어나 있습니다. 제가 작성한 노트는 하버드 칼리지에서 수강한 Math 145a [KOE14] 수업을 바탕으로 합니다.

제가 집합론을 제시하는 방식(논리의 지뢰밭 속에서 직관적이고 비형식적인 태도를 유지하려는 시도)이 표준적이지 않다는 것이 제 전반적인 인상입니다. 다른 참고문헌으로는 [MIQ14]가 가능할 것입니다.

저는 기본군 $\pi {}_1$을 먼저 다루는데, 이 방식이 더 직관적이라고 생각하기 때문입니다. 이 주제에 관한 참고문헌으로는 [MUN00]가 가능할 것입니다. 그보다 훨씬 복잡한 호몰로지 군은 나중에서야 다룹니다. 대수적 위상수학에서 유명한 표준 참고문헌은 [HAT02]이며, 요즘 거의 모든 사람이 사용하는 자료입니다. 하지만 저는 [MAX13]도, 특히 코호몰로지 환에 관한 부분에서 매우 유용하다고 느꼈습니다.

저는 사실 대수적 위상수학을 그리 많이 다루지는 않습니다. 특히, 대수적 위상수학을 배우는 주된 이유는 사슬 복합체로부터 호몰로지 군과 코호몰로지 군이 구성되는 과정을 보고, 긴 완전열이 작동하는 모습을 관찰하는 데 있다고 생각합니다. (공)사슬 복합체의 개념은 층의 코호몰로지나 갈루아 코호몰로지처럼 다른 맥락에서도 자주 등장합니다. 대수적 위상수학은 단연 가장 자연스러운 경우입니다.

저는 범주를 사랑하는 사람으로서 범주론을 광범위하게 사용합니다.

저는 [OGG10]로부터 배웠으며, 체보타료프 밀도 정리에 관한 부분은 [LEN02]를 사용했습니다.

가능한 경우 저는 대수적 정수론 장을 “올림피아드 정신”에 가깝게 유지하려고 노력합니다. $\mathbb{Z}[i]$와 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 같은 환에서의 인수분해는 그 본질에 있어 매우 올림피아드적인 색채를 띠는 주제입니다: 이로부터 자연스럽게 일반적인 정수환에서의 인수분해라는 개념으로 이어지며, 이 서술은 바로 그 개념을 중심으로 구성되어 있습니다. 지금까지 쌓아온 모든 내용에 대한 보상으로, 이 해설은 체보타료프 밀도 정리를 IMO 2003 6번 문제에 적용하는 것으로 마무리됩니다.

제가 대수기하학을 처음 접할 때 선호하는 입문서는 처음 읽을 때는 [GAT03]이고, 본격적인 버전으로는 [VAK17]입니다. 두 강의노트 모두 본질적으로 자기완결적입니다.

지금 고백하자면 저는 대수기하학을 비교적 잘 알지 못하며, 개인적인 의견으로는 대수기하학 부분이 Napkin에서 가장 취약한 부분입니다. 이는 여기서의 작업에도 반영되어 있습니다. 전체 노트에서 저는 이 분야의 첫 번째 핵심 정의인 스킴의 정의를 겨우 마무리하는 데 그칩니다.

그럼에도 불구하고, 저는 무모하게도 제 자신의 학습 경험에 대해 몇 가지 의견을 말해보고자 합니다. 저는 스킴 연구를 시작하는 데 크게 세 가지 접근법이 있다고 생각합니다.

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  전형적인 학부 과정과 같은 “입문” 수업의 일환으로, 아핀 및 사영 다양체만을 살펴보는 방법.

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  아핀 및 사영 다양체를 자세히 공부하여 이를 스킴의 동기가 되는 예시로 사용한 다음, 거기서부터 대수기하학을 전개해 나가는 방법.

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  널리 인정받으면서도 도전적인 [VAK17]에서처럼, 스킴의 정의로 곧바로 뛰어드는 방법.

저는 두 번째 접근법을 택했습니다. 저는 스킴이 무엇인지 모른다면 대수기하학을 배운 것이 아니라고 생각합니다. 하지만 다른 한편으로는, 먼저 다양체를 잘 파악하지 않은 상태에서는 스킴의 정의를 소화하기 어렵다고 생각합니다.

이러한 의견들은 제가 1년에 걸쳐 세 가지 접근법 모두를 통해 이 분야를 배우려 시도했던 개인적인 경험에 근거한 것입니다. 여러분의 경험은 다를 수 있습니다.

저는 적어도 두 번째 부분에서는 주로 아핀 스킴에 집중하기로 결정했습니다. 이들은 이미 여러 방식으로 다양체를 일반화하고 있으며, 스킴들을 곧바로 접합하기 시작하면 그 도약이 너무 크다고 생각합니다. 저는 학생이 국소적으로 아핀이지만(아마도 그 자체로는 아핀이 아닐) 일반적인 스킴 $X$를 다루는 세계로 나아가기 전에, 먼저 아핀 스킴이 어떻게 작동하는지를 정말로 이해했다고 느끼기를 바랍니다. 아핀 스킴의 수많은 예시들에 전적으로 할애된 장은 바로 이 점을 암시합니다.

제 친구는 [MIR95]를 추천합니다. 이 책의 서문은 다음과 같습니다.

하지만 저는 (대수기하학의 관점에서 볼 때) 주된 예시들이 사영 곡선에서 나온다는 점을 강조하고자 하며, 텍스트는 서서히 그러나 확실하게 대수적 범주로 발전하여, 리만-로흐 정리의 대수적 증명으로 절정에 이릅니다. 아벨의 정리를 위해 해석적 측면으로 돌아온 뒤, 층과 코호몰로지를 논의할 때 이 진행이 다시 반복됩니다. 즉 먼저 해석적 범주, 그다음 대수적 범주 순입니다.

따라서 이 책은 대수기하학을 배우는 자료로도 활용하실 수 있습니다.

때때로 인자, 평면 곡선에 유도된 복소 구조, 혹은 선다발과 같은 몇몇 개념들은 그다지 동기가 잘 설명되어 있지 않습니다. 이러한 경우 저희는 Napkin에서 그 동기를 명확히 설명하고자 노력합니다.

저는 이에 대한 노트를 Napkin에 작성할 시간이 없었습니다. 그래도 관심이 있으시다면 [HIL13]를 추천합니다. 이 책은 매우 접근하기 쉽고 읽기에 즐겁습니다. 유일한 실질적인 선행 지식은 코시의 유수 공식에 대한 확실한 이해입니다.