장 52 선다발

52.1 개요

선다발에 대해 들어보셨을 수도 있는데, 이는 어떤 식으로든 “각 점의 원상이 하나의 직선이 되는 사상 $\pi\colon L\to X$ 를 갖춘 집합 $L$ ”을 의미합니다. 그리고 대수기하학 절에서, 단지 함수처럼 보이는 “절단”이라는 개념을 마주치게 됩니다.

그럴듯하게 들리지만, “그래서 뭐 어떻다는 것인가? 그렇다면 이는 $X$ 보다 차원이 하나 더 많은 또 다른 복소다양체에 불과한 것 아닌가? 그냥 복소다양체를 공부하면 안 되는 것인가?”라고 물으실 수도 있습니다.

사실이긴 하지만, 선다발에는 더 많은 구조가 있습니다:

•

두 선다발의 곱을 취할 수 있는데, 이는 어떤 식으로든 두 선다발의 “뒤틀림을 더하는” 것입니다.
•

단면은 단순한 함수가 아닙니다 — “그래프 용지” 자체가 평평한 특수한 경우에는 단면을 함수의 그래프로 생각할 수 있지만, 만약 그것이 뫼비우스(Möbius) 띠처럼 휘어져 있다면, “그래프 용지”의 각 점에 “함숫값”을 대응시킬 방법이 없다는 것을 알게 될 것입니다 — 이러한 상황을 우리는 “선다발이 자명하지 않다”라고 부를 것입니다.

다시 말해, 선다발은 “함수의 그래프의 공간”을 크게 일반화한 것입니다.

나중에는 선다발과 인자의 선형 동치류 사이의 깊이 숨겨진 연관성을 보게 될 것이고, 그것들이 어떻게 모두 이른바 피카르 군을 통해 연결되는지 보게 될 것입니다.

52.2 정의

$X$ 를 리만 곡면이라 합시다.

이 절에서는 $X$ 를 단지 곡선으로 — 즉 $2$ 차원 대상이 아니라 $1$ 차원 대상으로 — 보겠습니다. 왜냐하면:

•

$3$ 차원 공간에 매장될 수 있는 대상은 시각화하기가 더 쉽기 때문입니다. (실수부와 허수부를 모두 가진 …의 그래프를 그려보십시오, 그러면 제가 무슨 말을 하는지 아시게 될 것입니다!)
•

우리가 관심을 갖는 모든 함수는 해석적이므로, 함수의 다른 곳에서의 거동은 실수축 위에서의 값에 의해 결정됩니다.

그러나 실수부만 보면 직관을 놓치는 경우가 있습니다 — 예를 들어, 원 $x^{2}+y^{2}=1$ 과 쌍곡선 $x^{2}=1+y^{2}$ 이 $\mathbb{C}^{2}$ 에서 같은 모양의 리만 곡면을 잘라낸다는 것을 간과하기 쉽고, 함수 $\frac{1}{x^{2}+1}$ 이 $x=\pm i$ 에서 극을 갖는다는 것도 간과하기 쉽습니다. 그러니 주의하십시오.

정의 52.2.1.

선다발 $L$ 은 다음을 함께 갖춘 집합입니다:

•

사영 사상 $\pi\colon L\to X$ ,
•

$X$ 의 열린 덮개 $\{U_{i}\}$ ,
•

각 $U_{i}$ 에 대해, $\pi^{-1}(p)$ 의 각 점을 $\mathbb{C}\times p$ 의 한 점으로 전단사적으로 대응시키는 선다발 차트 $\phi\colon\pi^{-1}(U)\to\mathbb{C}\times U$ ,
•

두 열린집합 $U_{1}$ 과 $U_{2}$ 에 대해, 전이 함수 $\phi_{2}\circ\phi_{1}^{-1}\colon\mathbb{C}\times U_{1}\to\mathbb{C}\times U_{2}$ 는 각 점 $p\in U_{1}\times U_{2}$ 에 대해 $\mathbb{C}\times p\to\mathbb{C}\times p$ 로 제한했을 때 $\mathbb{C}$ -벡터 공간 동형사상이어야 하며, 그 비례 계수는 $U$ 위에서 해석적 함수여야 합니다.

비고 52.2.2 (주의).

보통 우리는 함수 $f(x)$ 의 그래프를 $y=f(x)$ 인 점 $(x,y)$ 들의 집합으로 그립니다.

이번에는 [MIR95]의 표기법을 사용합니다 — 선다발 차트의 목표 공간이 $U\times\mathbb{C}$ 가 아니라 $\mathbb{C}\times U$ 입니다 — 그러므로 절단을 함수의 일반화로 본다면, 좌표는 대신 $(y,x)$ 처럼 보일 것입니다.

이 정의는 압축적이지만, 본질적으로는 다음과 같습니다:

선다발(line bundle)은 해석적 구조와 $1$ 차원 벡터 공간 구조로 이루어진 선다발 구조를 갖춘 집합입니다.

전이 사상(transition map)은 장 47에서 리만 곡면의 조각들을 이어 붙였던 것과 마찬가지로, 단순히 선다발의 조각들을 이어 붙이는 것입니다.

또 다른 정의도 있는데, 이것은 나중에 설명하겠습니다.

정의 52.2.3 (선다발의 절단).

$L$ 을 선다발이라 합시다. 열린집합 $U$ 위의 절단(section)이란 $\pi\circ f$ 가 $U$ 위의 항등 사상이 되는 사상 $f\colon U\to L$ 을 말합니다.

절단 $f\colon X\to L$ 을 전역 절단(global section)이라 부릅니다.

절단 $f\colon U\to L$ 이 해석적 절단(analytic section)이라는 것은, 선다발 도표 $\phi\colon\pi^{-1}(U_{1})\to\mathbb{C}\times U_{1}$ 가 존재하는 모든 $U_{1}\subseteq U$ 에 대해 $\phi\circ f{\restriction_{U_{1}}}\colon U_{1}\to\mathbb{C}\times U_{1}$ 가 해석적임을 의미합니다.

이 정의는 대수기하학, 정의 82.2.2에서 나중에 다시 보게 될 것입니다.

비고 52.2.4.

대부분의 책에서는 먼저 층(sheaf)이 무엇인지 정의한 다음, ”해석적 절단” 대신 ”해석적 함수 층의 절단”(또는 정칙 함수 등)이라고 말합니다.

52.3 선다발 시각화하기

리만 구 $\mathbb{C}_{\infty}$ 의 모든 정보를, 구를 시각화하는 것만으로 (표면 위의 어떤 ”호환되는 격자”로 해석적 구조를 바라보면서) 한꺼번에 머릿속에 담아둘 수 있는 것처럼, 적어도 가장 단순한 경우에는 선다발의 모든 정보도 한꺼번에 머릿속에 담아둘 수 있어야 합니다.

먼저, $X=\mathbb{C}$ 일 때 $\mathbb{C}\times X$ 를 시각화해봅시다. 실수부만 살펴보면, 이는 평면처럼 보입니다.

선다발로서, 각 점의 원상은 하나의 직선입니다.

질문 52.3.1.

기호로 나타내면, 수직선은 $\mathbb{C}\times X$ 의 어떤 부분집합에 대응합니까?

그런데 이들은 단순히 서로 무관한 직선들이 아닙니다 — 두 가지 구조가 더 있습니다. 첫 번째는 벡터 공간 구조입니다 — 물론 $\mathbb{C}$ -벡터 공간으로서 $\mathbb{C}$ 의 차원은 $1$ 입니다. 우리는 직선 위에 $1,2,3,\dots$ 인 점들을 표시함으로써 이를 시각화할 수 있습니다.

다른 구조는 $p$ 가 $X$ 위를 변화함에 따라 직선들이 ”매끄럽게 변화”해야 한다는 것입니다. 우리는 이를, 그렇습니다, 격자를 그림으로써 시각화합니다.

질문 52.3.2.

격자 그림은 선다발 도표의 형식적 정의와 어떻게 대응합니까? (힌트: 선다발 도표 $\phi\colon L\to\mathbb{C}\times U$ (여기서 $U\subseteq X$ )에 대해 수직선 $x=c$ 와 수평선 $y=c$ 의 원상을 취한 다음, $X$ 위의 해석적 구조를 사용하여 $U$ 의 열린 부분집합을 $\mathbb{C}$ 의 열린 부분집합과 동일시하십시오.)

지금까지는 놀라운 것이 없습니다 — 이는 그저 보통의 격자 그래프이며, 여기에 $y=x^{2}-1$ 과 같은 함수를 그릴 수 있고, 함수가 격자에 대해 해석적이면 그 함수는 해석적입니다.

물론, 함수 대신 이것을 절단이라고 부릅니다. 이 특정한 절단은 예상하시는 대로 실제로 해석적입니다.

어떤 ”격자”들이 동일한 선다발 구조를 나타내는지 살펴봅시다. 이 부분에서는 $\{z\in\mathbb{C}\mid|z-3|<2\}$ 를 살펴볼 것이며, 그 실수부는 $(1,5)$ 입니다.

선분 $(1,5)$ 위에 해석적 재매개변수화를 적용한다면 — 예를 들어 $t=25/x$ 라 두면, 격자는 다음과 같이 됩니다. 이는 여전히 동일한 선다발 구조를 나타냅니다 — 다시 말해, 두 도표는 서로 호환됩니다.

해석적으로 변화하는 함수로 수직 방향을 재조정하더라도, 이는 여전히 동일한 선다발 구조를 나타냅니다.

그러나 선형이 아닌 무언가로 수직 방향을 재조정하면, 벡터 공간 구조가 바뀌게 됩니다. 다음 격자는 동일한 선다발 구조를 나타내지 않습니다:

직관적으로 이는 타당합니다 — 벡터 공간에서는 두 원소를 더하여 또 다른 원소를 얻을 수 있습니다 — 우리의 경우, $a,b\in L$ 이고 $\pi(a)=\pi(b)$ 라면, $c=a+b$ 를 계산하여 $\pi(c)=\pi(a)=\pi(b)$ 인 또 다른 원소 $c\in L$ 을 얻을 수 있습니다. 수직 방향을 비선형적으로 재조정하면, 원소 $c$ 가 바뀌게 됩니다.

마지막으로, $L$ 이 여전히 해석적 구조를 가지고 있다는 것을 잊지 마십시오 — 단면이 반드시 함수일 필요는 없지만, 우리는 여전히 단면이 언제 해석적인지 말할 수 있습니다.

질문 52.3.3.

위에서 설명한 모든 것이 형식적 정의와 일치하는지 확인하십시오. (이것은 중요합니다! 흐릿한 그림은 개념을 이해하는 데 도움이 되지 않으며, 여러분의 직관이 불완전하거나 부정확하다면 이후 부분을 이해하는 데 큰 어려움을 겪게 될 것입니다.)

지금까지는 모든 것이 그저 모눈종이처럼 보였고, 그 위에서 단면은 마치 함수처럼 보였습니다.¹¹1위에서 경고했듯이, ”그래프 좌표”는 $(y,x)$ 로 씁니다. 좀 더 복잡한 공간 $X$ — 리만 구를 생각해 봅시다.

우리는 실수부만을 보고 있으므로, 다시 한번 $\mathbb{C}_{\infty}$ 는 그저 원처럼 보입니다.

이전처럼, 곡면 위의 점들을 매개변수화하기 위해 $z$ 와 $t$ 를 두며, 둘 다 정의되는 곳에서는 $t=\frac{1}{z}$ 입니다.

그럼에도 원을 매립하려면 2차원이 필요합니다. 따라서 $\mathbb{C}\times\mathbb{C}_{\infty}$ 의 실수부는 다음과 같이 보일 수 있습니다:

격자선이 그려져 있고, 원점 $z=0$ 은 점으로 표시되어 있습니다. 세로선은 $z=0$ , $z=\frac{1}{2}$ , $z=1$ , $z=\frac{3}{2}$ , …의 위치를 나타냅니다.

반대편에서는 다음과 같은 모습을 볼 수 있습니다. 세로선은 $t=0$ , $t=\frac{1}{2}$ , $t=1$ , $t=\frac{3}{2}$ , …의 위치를 나타냅니다.

질문 52.3.4.

$0$ 도 $\infty$ 도 포함하지 않는 임의의 열린집합 $U\subseteq\mathbb{C}_{\infty}$ 에 대해, $\mathbb{C}\times U$ 위에서 위의 두 선다발 좌표계가 동일한 선다발 구조를 정의함을 확인하십시오. (전이 함수는 무엇입니까?)

이렇게 해서, 우리는 소위 자명한 선다발 $\mathbb{C}\times\mathbb{C}_{\infty}$ 를 갖게 됩니다.

약속했던 대로, 여기에는 자명하지 않은 선다발도 존재합니다.

먼저, 위 절에서 다음을 상기하십시오: $0$ 도 $\infty$ 도 포함하지 않는 임의의 열린집합 $U$ 위에서, 세로 방향을 $z$ 배로 스케일링하는 또 다른 선다발 좌표계를 생각할 수 있으며, 이는 $U$ 위에서 동일한 선다발 구조를 유도합니다.

질문 52.3.5.

$\phi_{p}$ 와 $\phi_{g}$ 를 각각 보라색 격자와 초록색 격자에 대응하는 선다발 좌표계라 합시다. $q\in L$ 인 점이 $z\notin\{0,\infty\}$ 에 대해 $\phi_{p}(q)=(y,z)$ 를 만족한다면, $\phi_{g}(q)=(\frac{y}{z},z)$ 가 됨을 확인하십시오.

이제 — 위의 자명한 선다발 $\mathbb{C}\times\mathbb{C}_{\infty}$ 는 두 조각을 용접하여, 각 $y$ 에 대해 보라색 선 $(y,z)$ 가 빨간색 선 $(y,t)$ 에 용접되도록 한 것으로 볼 수 있음에 주목하십시오. 그러나 우리가 그 특정한 용접 방식에 제한될 이유는 전혀 없습니다 — 이번에는, 각 $y$ 에 대해 초록색 선 $(\frac{y}{z},z)$ 를 빨간색 선 $(y,t)$ 에 용접해 보겠습니다.

그 결과물은 다음과 같이 보일 것입니다. 상당히 복잡해 보이므로, 이번에는 4개의 시점을 보여드립니다.

이번에 원기둥은 오직 예시를 위한 것입니다. 무슨 일이 일어나고 있는지 살펴봅시다.

•

먼저, 보라색 점과 빨간색 점 근처에서는 그래프 선들이 우리에게 익숙한 상황처럼 보입니다.

$t=\frac{1}{z}$ 이기 때문에, 바깥에서 볼 때 빨간색 좌표선들은 뒤집힌 것처럼 보일 것임에 주목하십시오.
•

양의 쪽( $z>0$ 이고 $t>0$ )에서는 문제가 없습니다 — 그림에 나타난 대로, 보라색 선들을 더 가깝게 밀착시키기만 하면 됩니다.
•

그러나 음의 쪽에서는 — 초록색 선 $(\frac{y}{z},z)$ 가 $y$ 가 증가할 때 아래쪽으로 움직임에 주목하십시오, 따라서 그것이 위로 가도록 하려면 ”모눈종이를 비틀” 필요가 있습니다.

그림에서는 이것이 모든 가로선들이 교차하는 특이점으로 묘사되어 있지만, 실제로는 우리가 ”모눈종이”를 180도로 비틀어서 다른 부분에 용접하는 것으로 생각해야 합니다.

이것이 바로 Möbius 띠입니다!

따라서, ”동형”이 무엇을 의미하든 간에, 이 선다발이 자명한 것과 동형이 아니라는 것은 분명해 보입니다.

질문 52.3.6.

위에서 한 작업이 $y$ , $z$ , $t$ 가 실수가 아닐 때도 성립하는지 확인하십시오 — 특히, $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 와 달리 $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 는 연결 집합입니다. 이번에는 아마 “그래프 용지”를 시각화할 수 없을 것입니다 ( $4$ 차원이기 때문입니다!). 따라서 직관은 실수부에 국한시키고 나머지는 대수를 이용해야 합니다.

52.4 선다발 사이의 사상

두 선다발이 동형이라는 것이 무엇을 의미하는지 형식적으로 정의하려면, 사상을 정의할 수 있어야 합니다. 이는 정확히 예상하시는 바와 같습니다 — 즉 $L_{1}$ 과 $L_{2}$ 위의 선다발 구조(즉 벡터 공간 구조와 해석적 구조)를 보존해야 합니다.

정의 52.4.1.

$\pi_{1}\colon L_{1}\to X$ 와 $\pi_{2}\colon L_{2}\to X$ 를 선다발이라 합시다. 선다발 사상 $\alpha\colon L_{1}\to L_{2}$ 는 다음을 만족하는 집합 사상입니다:

•

$\pi_{2}\circ\alpha=\pi_{1}$ 이고,
•

$\phi_{1}\colon\pi_{1}^{-1}(U_{1})\to\mathbb{C}\times U_{1}$ 와 $\phi_{2}\colon\pi_{2}^{-1}(U_{2})\to\mathbb{C}\times U_{2}$ 가 선다발 차트라면, 그 합성이

$\phi_{2}\circ\alpha\circ\phi_{1}^{-1}\colon\mathbb{C}\times(U_{1}\cap U_{2})% \to\mathbb{C}\times(U_{1}\cap U_{2})$

$(s,p)\mapsto(f(p)\cdot s,p)$ 의 형태를 가지며, 여기서 $f$ 는 $U_{1}\cap U_{2}$ 위에서 정칙입니다.

연습문제 52.4.2.

위의 함수 $f(p)$ 는 모든 $p\in U_{1}\cap U_{2}$ 에 대해 0이 아니어야 합니다. 왜 그럴까요? (힌트: $\phi_{1}$ 과 $\phi_{2}$ 의 역할을 바꾸어 함수를 뒤집어 보십시오.)

질문 52.4.3.

위의 정의가 다음과 동치임을 확인하십시오: $\alpha$ 가 선다발 사상인 것은 다음과 동치입니다

•

점 $q\in\pi_{1}^{-1}(x)$ 를 어떤 점 $\alpha(q)\in\pi_{2}^{-1}(x)$ 로 보내며(즉 각 올이 대응하는 올로 사상되며), 그리고
•

열린집합 $U\subseteq X$ 위의 모든 정칙 단면 $s\colon U\to L_{1}$ 에 대해, $\alpha(s)$ 가 정칙 단면 $s\colon U\to L_{2}$ 가 됩니다.

예제 52.4.4.

$X=\mathbb{C}$ 라 합시다. 그러면 $\alpha(y,x)=(y\cdot x^{2},x)$ 로 정의된 $\alpha\colon\mathbb{C}\times X\to\mathbb{C}\times X$ 는 선다발 준동형사상입니다.

이 선다발 준동형사상은 동형사상이 아닌데, 모든 점 $(y,0)$ 이 $(0,0)$ 으로 사상되기 때문입니다.

선다발 동형사상의 정의는 예상하시는 바와 같습니다.

정의 52.4.5 (선다발의 동형사상).

두 선다발 $L_{1}$ 과 $L_{2}$ 는, 서로 역인 선다발 동형사상 $\alpha\colon L_{1}\to L_{2}$ 와 $\beta\colon L_{2}\to L_{1}$ 이 존재하면 동형입니다.

52.5 가역층과의 관계

작성 예정: 쓸 것입니다 (사실 층도 아직 정의하지 않았습니다)