장 52 선다발

52.1 개요

선다발에 대해 들어 본 적이 있을 것입니다. 선다발은 대략 “각 점의 역상이 직선인 사상 $\pi\colon L\to X$ 를 갖춘 집합 $L$ ”입니다. 그리고 대수기하학 부분에서는 그저 함수처럼 보이는 “단면”이라는 개념을 접하게 됩니다.

그럴듯하게 들리지만, 이렇게 물을 수도 있습니다. “그래서 뭐가 어떻다는 겁니까? 그렇다면 이것은 그저 $X$ 보다 차원이 하나 더 높은 또 다른 복소 다양체에 불과하지 않습니까? 그냥 복소 다양체를 공부하면 되지 않습니까?”

맞는 말이지만, 선다발에는 더 많은 구조가 있습니다.

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두 선다발의 곱을 취할 수 있으며, 이는 대략 두 선다발의 “꼬임을 더하는” 것입니다.
•

단면은 단순한 함수가 아닙니다. “모눈종이” 자체가 평평한 특수한 경우에는 단면을 함수의 그래프로 생각할 수 있지만, 모눈종이가 뫼비우스 띠처럼 휘어 있다면 “모눈종이”의 각 점에 “함숫값”을 부여할 방법이 없다는 것을 알게 될 것입니다. 이러한 상황을 “선다발이 자명하지 않다”고 부르겠습니다.

다시 말해, 선다발은 “함수의 그래프가 놓이는 공간”을 크게 일반화한 것입니다.

나중에 선다발과 인자의 선형 동치류 사이에 깊이 숨겨진 연결이 있다는 것과, 이들이 모두 이른바 피카르 군으로 어떻게 연결되는지를 보게 될 것입니다.

52.2 정의

$X$ 를 리만 곡면이라고 합시다.

이 절에서는 $X$ 를 그저 곡선으로, 즉 $2$ 차원 대상이 아닌 $1$ 차원 대상으로 보겠습니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

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$3$ 차원 공간에 매장할 수 있으면 대상을 시각화하기가 더 쉽습니다. (… 의 그래프를 실수부와 허수부를 모두 포함하여 그려 보십시오. 그러면 무슨 뜻인지 알게 될 것입니다!)
•

우리가 관심을 두는 함수는 모두 해석적이므로, 다른 곳에서 함수가 어떻게 행동하는지는 실수축 위에서의 값으로 결정됩니다.

하지만 실수 부분만 보면 놓치는 직관이 생길 수 있습니다. 예를 들어 원 $x^{2}+y^{2}=1$ 과 쌍곡선 $x^{2}=1+y^{2}$ 이 $\mathbb{C}^{2}$ 에서 같은 모양의 리만 곡면을 잘라 낸다는 사실이나, 함수 $\frac{1}{x^{2}+1}$ 이 $x=\pm i$ 에서 극을 갖는다는 사실을 간과할 수 있습니다. 그러므로 주의하십시오.

정의 52.2.1.

선다발 $L$ 은 다음을 갖춘 집합입니다.

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사영 사상 $\pi\colon L\to X$ ,
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$X$ 의 열린 덮개 $\{U_{i}\}$ ,
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각 $U_{i}$ 에 대하여, $\pi^{-1}(p)$ 의 각 점을 $\mathbb{C}\times p$ 의 점으로 전단사적으로 사상하는 선다발 차트 $\phi\colon\pi^{-1}(U)\to\mathbb{C}\times U$ ,
•

두 열린집합 $U_{1}$ 과 $U_{2}$ 에 대하여, 전이 함수 $\phi_{2}\circ\phi_{1}^{-1}\colon\mathbb{C}\times U_{1}\to\mathbb{C}\times U_{2}$ 는 각 점 $p\in U_{1}\times U_{2}$ 에 대해 $\mathbb{C}\times p\to\mathbb{C}\times p$ 로 제한하면 $\mathbb{C}$ -벡터 공간 동형사상이어야 하며, 그 배율은 $U$ 위의 해석 함수여야 합니다.

비고 52.2.2 (경고).

보통 함수 $f(x)$ 의 그래프는 $y=f(x)$ 를 만족하는 점 $(x,y)$ 의 집합으로 그립니다.

이번에는 [MIR95]의 표기법을 따릅니다. 즉 선다발 차트의 공역은 $U\times\mathbb{C}$ 가 아니라 $\mathbb{C}\times U$ 입니다. 따라서 단면을 함수의 일반화로 본다면 좌표는 $(y,x)$ 꼴이 됩니다.

정의가 빽빽하지만, 본질적으로는 다음과 같습니다.

선다발은 선다발 구조를 갖춘 집합이며, 이 구조는 해석적 구조와 $1$ 차원 벡터 공간 구조로 이루어집니다.

전이 사상은 장 47에서 리만 곡면의 조각들을 이어 붙였던 것과 마찬가지로, 선다발의 조각들을 이어 붙이는 역할을 할 뿐입니다.

또 다른 정의도 있는데, 이것은 나중에 설명하겠습니다.

정의 52.2.3 (선다발의 단면).

$L$ 을 선다발이라고 합시다. 열린집합 $U$ 위의 단면은 $\pi\circ f$ 가 $U$ 위의 항등 사상이 되는 사상 $f\colon U\to L$ 입니다.

단면 $f\colon X\to L$ 을 대역적 단면이라고 부릅니다.

선다발 차트 $\phi\colon\pi^{-1}(U_{1})\to\mathbb{C}\times U_{1}$ 가 존재하는 모든 $U_{1}\subseteq U$ 에 대하여 $\phi\circ f{\restriction_{U_{1}}}\colon U_{1}\to\mathbb{C}\times U_{1}$ 가 해석적이면, 단면 $f\colon U\to L$ 을 해석적 단면이라고 합니다.

이 정의는 나중에 대수기하학의 정의 82.2.2에서 다시 보게 됩니다.

비고 52.2.4.

대부분의 책에서는 먼저 층이 무엇인지 정의한 다음, “해석적 단면” 대신 “해석 함수의 층의 단면”(또는 정칙 함수 등의 층의 단면)이라고 말합니다.

52.3 선다발 시각화하기

구 하나를 떠올리는 것만으로(해석적 구조는 표면 위의 “호환되는 격자”로 보고) 리만 구 $\mathbb{C}_{\infty}$ 의 모든 정보를 한꺼번에 머릿속에 담아 둘 수 있는 것처럼, 선다발의 모든 정보도 한꺼번에 머릿속에 담아 둘 수 있어야 합니다 — 적어도 가장 단순한 경우에는 그렇습니다.

먼저 $X=\mathbb{C}$ 일 때 $\mathbb{C}\times X$ 를 시각화해 봅시다. 실수 부분만 보면 평면처럼 보입니다.

선다발로서, 각 점의 역상은 직선입니다.

질문 52.3.1.

기호로 나타내면, 수직선 하나는 $\mathbb{C}\times X$ 의 어떤 부분집합에 대응합니까?

그러나 이것들은 단지 서로 무관한 직선들이 아닙니다 — 구조가 두 가지 더 있습니다. 첫 번째는 벡터 공간 구조입니다 — 물론 $\mathbb{C}$ -벡터 공간으로서 $\mathbb{C}$ 의 차원은 $1$ 입니다. 직선 위에 점 $1,2,3,\dots$ 을 표시하여 이를 시각화할 수 있습니다.

다른 하나는 $p$ 가 $X$ 위에서 변할 때 직선들이 “매끄럽게 변해야” 한다는 구조입니다. 이것은, 음, 격자를 그려서 시각화합니다.

질문 52.3.2.

격자 그림은 선다발 차트의 형식적 정의와 어떻게 대응합니까? (힌트: $U\subseteq X$ 인 선다발 차트 $\phi\colon L\to\mathbb{C}\times U$ 에 대하여 수직선 $x=c$ 와 수평선 $y=c$ 의 역상을 취한 다음, $X$ 위의 해석적 구조를 이용하여 $U$ 의 열린 부분집합을 $\mathbb{C}$ 의 열린 부분집합과 동일시하십시오.)

지금까지는 놀라운 것이 없습니다 — 이것은 그저 평범한 격자 그래프이며, 그 위에 $y=x^{2}-1$ 과 같은 함수를 그릴 수 있고, 함수가 격자에 대하여 해석적이면 그 함수는 해석적입니다.

물론 이것을 함수라고 부르는 대신 단면이라고 부릅니다. 예상하시는 대로, 이 단면은 실제로 해석적입니다.

어떤 “격자”들이 같은 선다발 구조를 나타내는지 살펴봅시다. 이 부분에서는 실수 부분이 $(1,5)$ 인 $\{z\in\mathbb{C}\mid|z-3|<2\}$ 를 살펴보겠습니다.

구간 $(1,5)$ 에 해석적 재매개화를 적용하면 — 예를 들어 $t=25/x$ 로 두면, 격자는 다음과 같이 됩니다. 이것은 여전히 같은 선다발 구조를 나타냅니다 — 다시 말해, 두 차트는 호환됩니다.

수직 방향을 해석적으로 변하는 함수로 재조정해도 여전히 같은 선다발 구조를 나타냅니다.

그러나 수직 방향을 선형이 아닌 무언가로 재조정하면 벡터 공간 구조가 바뀝니다. 다음 격자는 같은 선다발 구조를 나타내지 않습니다:

직관적으로도 이는 타당합니다 — 벡터 공간에서는 두 원소를 더하여 또 다른 원소를 얻을 수 있습니다 — 우리의 경우, $a,b\in L$ 이 $\pi(a)=\pi(b)$ 를 만족하면 $c=a+b$ 를 계산하여 $\pi(c)=\pi(a)=\pi(b)$ 인 또 다른 원소 $c\in L$ 을 얻을 수 있습니다. 수직 방향을 비선형적으로 재조정하면 원소 $c$ 가 바뀝니다.

마지막으로, $L$ 이 여전히 해석적 구조를 가진다는 점을 잊지 마십시오. 단면이 반드시 함수인 것은 아니지만, 우리는 여전히 단면이 언제 해석적인지 말할 수 있습니다.

질문 52.3.3.

위에서 설명한 모든 내용이 형식적 정의와 일치하는지 확인하십시오. (이것은 중요합니다! 흐릿한 그림은 개념을 이해하는 데 도움이 되지 않으며, 직관이 불완전하거나 부정확하면 이후 부분을 이해하는 데 큰 어려움을 겪을 것입니다.)

지금까지는 모든 것이 그저 모눈종이처럼 보였고, 그 위에서 단면은 함수와 똑같아 보였습니다.¹¹1위에서 경고했듯이, “그래프 좌표”는 $(y,x)$ 로 씁니다. 더 복잡한 공간 $X$ , 즉 리만 구를 생각해 봅시다.

실수 부분만 보고 있으므로, 이번에도 $\mathbb{C}_{\infty}$ 는 그저 원처럼 보입니다.

앞에서처럼 $z$ 와 $t$ 로 곡면 위의 점들을 매개화하며, 둘 다 정의되는 곳에서는 $t=\frac{1}{z}$ 입니다.

그래도 원을 매장하려면 2차원이 필요합니다. 따라서 $\mathbb{C}\times\mathbb{C}_{\infty}$ 의 실수 부분은 대략 다음과 같이 보일 것입니다.

격자선이 그려져 있고, 원점 $z=0$ 은 점으로 표시되어 있습니다. 세로선들은 $z=0$ , $z=\frac{1}{2}$ , $z=1$ , $z=\frac{3}{2}$ , …의 위치를 나타냅니다.

반대쪽에서는 대략 다음과 같은 모습이 됩니다. 세로선들은 $t=0$ , $t=\frac{1}{2}$ , $t=1$ , $t=\frac{3}{2}$ , …의 위치를 나타냅니다.

질문 52.3.4.

$0$ 도 $\infty$ 도 포함하지 않는 임의의 열린집합 $U\subseteq\mathbb{C}_{\infty}$ 에 대하여, $\mathbb{C}\times U$ 위에서 위의 두 선다발 차트가 같은 선다발 구조를 정의함을 확인하십시오. (전이 함수는 무엇입니까?)

따라서 우리는 이른바 자명한 선다발 $\mathbb{C}\times\mathbb{C}_{\infty}$ 를 얻습니다.

약속한 대로, 여기에는 자명하지 않은 선다발도 있습니다.

먼저 앞 절의 내용을 떠올려 보십시오. $0$ 도 $\infty$ 도 포함하지 않는 임의의 열린집합 $U$ 위에서, 세로 방향을 $z$ 배로 늘이는 또 다른 선다발 차트를 생각할 수 있으며, 이는 $U$ 위에 같은 선다발 구조를 유도합니다.

질문 52.3.5.

$\phi_{p}$ 와 $\phi_{g}$ 를 각각 보라색 격자와 초록색 격자에 대응하는 선다발 차트라고 합시다. 점 $q\in L$ 이 $z\notin\{0,\infty\}$ 에 대하여 $\phi_{p}(q)=(y,z)$ 를 만족하면 $\phi_{g}(q)=(\frac{y}{z},z)$ 임을 확인하십시오.

이제, 위의 자명한 선다발 $\mathbb{C}\times\mathbb{C}_{\infty}$ 는 각 $y$ 에 대하여 보라색 선 $(y,z)$ 가 빨간색 선 $(y,t)$ 에 용접되도록 두 조각을 용접한 것으로 볼 수 있음에 주목하십시오. 그러나 우리가 그 특정한 용접 방법만 써야 할 이유는 없습니다. 이번에는 각 $y$ 에 대하여 초록색 선 $(\frac{y}{z},z)$ 를 빨간색 선 $(y,t)$ 에 용접해 보겠습니다.

결과는 다음과 같이 보일 것입니다. 꽤 복잡해 보이므로 이번에는 네 가지 시점에서 본 모습을 보여 드립니다.

이번의 원기둥은 설명을 위한 것일 뿐입니다. 무슨 일이 일어나는지 살펴봅시다.

•

먼저, 보라색 점과 빨간색 점 근처에서는 그래프 선이 우리에게 익숙한 상황처럼 보입니다.

$t=\frac{1}{z}$ 이므로, 바깥에서 보면 빨간색 좌표선이 뒤집혀 보인다는 점에 주의하십시오.
•

양의 쪽( $z>0$ 이고 $t>0$ )에서는 문제가 없습니다. 그림에 나타낸 것처럼 보라색 선들을 더 촘촘하게 좁혀 주기만 하면 됩니다.
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그러나 음의 쪽에서는 — 초록색 선 $(\frac{y}{z},z)$ 가 $y$ 가 증가할 때 아래로 움직인다는 점에 주목하십시오. 따라서 이 선이 위로 올라가게 하려면 “그래프 용지를 비틀어야” 합니다.

그림에서는 이것이 모든 수평선이 교차하는 특이점으로 그려져 있지만, 실제로는 “그래프 용지”를 180도 비틀어 다른 부분에 이어 붙인 것으로 생각해야 합니다.

이것은 뫼비우스(Möbius) 띠입니다!

따라서 “동형”이 무엇을 의미하든, 이 선다발이 자명한 선다발과 동형이 아니라는 것은 명백해 보입니다.

질문 52.3.6.

$y$ , $z$ , $t$ 가 실수가 아닐 때에도 위에서 한 일이 성립하는지 확인하십시오 — 특히, $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 은 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 과 달리 연결 집합입니다. 이번에는 “그래프 용지”를 시각화하기 어려울 것이므로(이것은 $4$ 차원입니다!), 직관은 실수 부분에 한정하고 나머지는 대수를 사용해야 할 것입니다.

52.4 선다발 사이의 사상

두 선다발이 동형이라는 것이 무엇을 뜻하는지 엄밀하게 정의하려면 사상을 정의할 수 있어야 합니다. 사상은 정확히 예상하시는 대로입니다 — $L_{1}$ 과 $L_{2}$ 위의 선다발 구조(즉 벡터 공간 구조와 해석적 구조)를 보존해야 합니다.

정의 52.4.1.

$\pi_{1}\colon L_{1}\to X$ 와 $\pi_{2}\colon L_{2}\to X$ 를 선다발이라고 합시다. 선다발 사상 $\alpha\colon L_{1}\to L_{2}$ 는 다음을 만족하는 집합 사상입니다.

•

$\pi_{2}\circ\alpha=\pi_{1}$ 이고,
•

$\phi_{1}\colon\pi_{1}^{-1}(U_{1})\to\mathbb{C}\times U_{1}$ 과 $\phi_{2}\colon\pi_{2}^{-1}(U_{2})\to\mathbb{C}\times U_{2}$ 가 선다발 차트이면, 합성

$\phi_{2}\circ\alpha\circ\phi_{1}^{-1}\colon\mathbb{C}\times(U_{1}\cap U_{2})% \to\mathbb{C}\times(U_{1}\cap U_{2})$

은 $(s,p)\mapsto(f(p)\cdot s,p)$ 꼴이며, 여기서 $f$ 는 $U_{1}\cap U_{2}$ 위에서 해석적입니다.

연습문제 52.4.2.

위의 함수 $f(p)$ 는 모든 $p\in U_{1}\cap U_{2}$ 에 대하여 0이 아니어야 합니다. 왜 그렇습니까? (힌트: $\phi_{1}$ 과 $\phi_{2}$ 의 역할을 바꾸어 함수의 역을 구해 보십시오.)

질문 52.4.3.

위의 정의가 다음과 동치임을 확인하십시오. $\alpha$ 가 선다발 사상일 필요충분조건은 다음과 같습니다.

•

점 $q\in\pi_{1}^{-1}(x)$ 를 어떤 점 $\alpha(q)\in\pi_{2}^{-1}(x)$ 로 사상하며(즉, 각 올은 대응하는 올로 사상됩니다),
•

열린집합 $U\subseteq X$ 위의 모든 해석적 단면 $s\colon U\to L_{1}$ 에 대하여 $\alpha(s)$ 는 해석적 단면 $s\colon U\to L_{2}$ 입니다.

예제 52.4.4.

$X=\mathbb{C}$ 라고 합시다. 그러면 $\alpha(y,x)=(y\cdot x^{2},x)$ 로 주어지는 $\alpha\colon\mathbb{C}\times X\to\mathbb{C}\times X$ 는 선다발 준동형사상입니다.

모든 점 $(y,0)$ 이 $(0,0)$ 으로 보내지므로, 이 선다발 준동형사상은 동형사상이 아닙니다.

선다발 동형사상의 정의는 예상하시는 대로입니다.

정의 52.4.5 (선다발의 동형사상).

서로의 역인 선다발 동형사상 $\alpha\colon L_{1}\to L_{2}$ 와 $\beta\colon L_{2}\to L_{1}$ 이 존재하면 두 선다발 $L_{1}$ 과 $L_{2}$ 는 동형입니다.

52.5 가역층과의 관계

작성 예정: 작성 예정 (사실 아직 층도 정의하지 않았습니다)