장 43 올바르게 하는 다변수 미적분학

먼저 $f:[a,b]\to ℝ$라고 합시다. 고등학교 미적분학에서 모든 점 $p\in ℝ$에 대해 $f{}^{\prime }(p)$를 (존재한다면) 점 $p$에서의 미분으로 정의했고, 이를 “접선”의 기울기로 해석했던 것을 기억하실 것입니다.

그것도 괜찮지만, 저는 그 점에서의 미분을 해석하는 “더 나은” 방법은 선형 사상, 즉 함수로 보는 것이라고 주장합니다. $f{}^{\prime }(p)=1.5$라면, 미분은 $p$에서 $\epsilon$만큼 이동할 때 $f$가 대략 $1.5\epsilon$만큼 변하리라 예상해야 한다는 것을 알려 줍니다. 다시 말해,

$p$에서 $f$의 미분은 $p$ 근처에서 $f$를 선형 함수로 근사합니다.

좀 더 일반적인 경우는 어떨까요? $f:ℝ{}^2\to ℝ$와 같은 함수가 있다고 합시다. 예를 들어

$$f(x,y)=x{}^2+y{}^2$$

처럼 구체적인 함수를 생각해 봅시다. 점 $p\in ℝ{}^2$에 대해, $p$에서 $f$의 “미분”은 그 점 $p$에서 $f$를 근사하는 선형 사상을 나타내야 합니다. 즉, 다음을 만족하는 선형 사상 $T:ℝ{}^2\to ℝ$를 원합니다.

$$f(p+v)\approx f(p)+T(v)$$

여기서 $v\in ℝ{}^2$는 작은 변위입니다.

더욱 일반적으로, $U\subseteq V$가 (평소처럼 $\parallel \bullet \parallel {}_V$ 거리에 대해) 열린집합이고 $f:U\to W$라면, $p\in U$에서의 미분은 다음을 만족해야 합니다.

$$f(p+v)\approx f(p)+T(v)\in W.$$

(충분히 작은 $v$에 대해 $p+v\in U$도 성립하도록 $U$가 열린집합이어야 합니다.) 사실 이것은 앞서 고등학교에서 $f{}^{\prime }(p)$로 하던 것과 정확히 같습니다.

유일한 차이는, 불행한 우연으로 인해 선형 사상 $ℝ\to ℝ$가 기울기 하나만으로 표현될 수 있다는 점입니다. 그리고 모든 것을 AP 시험으로 평가할 수 있도록 수로 만들려는 끝없는 추구 속에서, 우리는 애초에 무엇을 하려 했는지 곧바로 완전히 잊어버리고 $f$의 미분을 함수가 아니라 수로 정의해 버렸습니다.

미적분학의 근본 아이디어는 함수를 선형 함수로 국소적으로 근사하는 것입니다. 미분이 하는 일이 바로 이것입니다.

[PUG02]에 인용된 Jean Dieudonné는 다음과 같이 말을 잇습니다:

고전적인 미적분학 교육에서는 1차원 벡터 공간에서 선형 형식과 수 사이에 일대일 대응이 있다는 우연한 사실 때문에 이 아이디어가 곧바로 가려지며, 그 결과 한 점에서의 미분이 선형 형식이 아니라 수로 정의됩니다. 이러한 어떤 대가를 치르더라도 수치적 해석이라는 구호에 맹목적으로 복종하는 태도는 훨씬 더 심각해집니다 . . .

그러니 이것을 제대로 해 봅시다. 우리가 할 일은 “$\approx$”가 무엇을 뜻하는지 밝히는 것뿐이며, 이를 위해 벡터 공간의 노름을 사용합니다.

여기서 $𝐞{}_1{}^{\vee }$와 $𝐞{}_2{}^{\vee }$라는 표기가 의미를 가지는 것은 정의에 의해 $(Df){}_p\in V{}^{\vee }$이기 때문입니다. 즉, 이들은 $V$에서 $ℝ$로 가는 함수입니다!

극한을 이용한 정의로 이를 직접 확인해 봅시다. $v=xe{}_1+ye{}_2$로 두고, $V$ 위의 노름은 $\parallel (x,y)\parallel {}_V=\sqrt{x{}^2+y{}^2}$이며 $W$ 위의 노름은 단순히 절댓값 $\parallel c\parallel {}_W=\left|c\right|$임에 주목하십시오. 그러면 다음과 같이 계산됩니다.

	${\displaystyle \frac{\parallel f(p+v)-f(p)-T(v)\parallel {}_W}{\parallel v\parallel {}_V}}$	$={\displaystyle \frac{|(a+x){}^2+(b+y){}^2-(a{}^2+b{}^2)-(2ax+2by)|}{\sqrt{x{}^2+y{}^2}}}$
		$={\displaystyle \frac{x{}^2+y{}^2}{\sqrt{x{}^2+y{}^2}}}=\sqrt{x{}^2+y{}^2}$
		$\to 0$

$\parallel v\parallel \to 0$일 때 그렇습니다. 따라서 $p=ae{}_1+be{}_2$에 대하여 실제로 $(Df){}_p=2a\cdot 𝐞{}_1{}^{\vee }+2b\cdot 𝐞{}_2{}^{\vee }$가 성립합니다.

여러분은 일변수 미적분학을 일변수 함수 $ℝ\to ℝ$에 대해 미분과 적분을 하는 주제로 배웠을 것입니다. 그렇다면 “다변수 미적분학”은 함수 $ℝ{}^n\to ℝ{}^m$에 대한 미적분학이어야 합니다. 여기서 두 가지 확장이 일어나고 있음을 알아차릴 수 있을 것입니다.

• •

  정의역이 $ℝ$에서 $ℝ{}^n$으로 확장되었습니다.

• •

  공역이 $ℝ$에서 $ℝ{}^m$으로 확장되었습니다.

이 절의 요점은 두 번째 업그레이드가 첫 번째 업그레이드에 비해 매우 쉬우며, 기본적으로 새로운 일을 전혀 하지 않아도 된다는 것입니다. 흥미로운 작용은 모두 공역이 아니라 정의역을 업그레이드했기 때문에 일어납니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

“연속”을 “미분 가능”, “매끄러운”, “임의의” 또는 그 밖의 대부분의 합리적인 단어로 바꾸어도 이 정리는 여전히 참입니다. 다시 말하면 다음과 같습니다.

함수 $f:U\to ℝ{}^m$에 대해 생각하려면 각 좌표를 따로따로 생각하는 것으로 충분합니다.

이러한 이유로, 우리는 대부분의 경우 함수 $f:U\to ℝ$에 관심을 둘 것입니다. 쌍대 공간 $V{}^{\vee }$가 그토록 중요한 이유가 바로 이것입니다.

$U\subseteq V$가 열린집합이고 $V$가 기저 $𝐞{}_1$, …, $𝐞{}_n$을 가진다고 합시다. $f:U\to ℝ$가 모든 곳에서 미분 가능한 함수, 즉 모든 $p$에 대하여 $(Df){}_p\in V{}^{\vee }$가 존재하는 함수라고 가정합시다. 이 경우 $Df$를 그 자체로 하나의 함수로 볼 수 있습니다.

	$Df:U$	$\to V{}^{\vee }$
	$p$	$\mapsto (Df){}_p.$

이는 조금 기묘합니다. $U$의 모든 점에 $V{}^{\vee }$의 함수를 대응시키는 것이기 때문입니다. 우리가 다루는 정보의 양이 얼마나 많은지를 반영하여, $Df$를 $f$의 전미분이라 부릅니다. $(Df){}_p$는 $p$에서의 전미분이라 부릅니다.

이제 사영 원리를 $Df$에 적용해 봅시다. $V$의 기저 $𝐞{}_1$, …, $𝐞{}_n$을 골랐으므로, 이에 대응하는 쌍대 기저 $𝐞{}_1{}^{\vee }$, $𝐞{}_2{}^{\vee }$, …, $𝐞{}_n{}^{\vee }$가 존재합니다. 따라서 사영 원리에 의해 $Df$를 단지 $n$개의 함수로 생각할 수 있으므로, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$Df=\psi {}_1𝐞{}_1{}^{\vee }+\mathrm{\cdots }+\psi {}_n𝐞{}_n{}^{\vee }.$$

사실, $\psi {}_i$가 무엇인지도 기술할 수 있습니다.

이것을 “$𝐞{}_i$ 방향의 $f{}^{\prime }$”이라고 생각할 수 있습니다.

위의 논의로부터 다음을 유도할 수 있습니다.

$$\boxed{Df=\frac{\partial f}{\partial 𝐞{}_1}\cdot 𝐞{}_1{}^{\vee }+\mathrm{\cdots }+\frac{\partial f}{\partial 𝐞{}_n}\cdot 𝐞{}_n{}^{\vee }.}$$

따라서 $V$의 기저가 주어지면 $Df$를 단지 $n$개의 편미분으로 생각할 수 있습니다.

이렇게 이야기했지만, 정작 전미분 자체를 구하는 방법에 대해서는 거의 말하지 않았습니다. 예를 들어 제가 여러분에게

$$f(x,y)=x\sin y+x{}^{2}y{}^4$$

를 알려 준다면, 앞서 말씀드린 그 끔찍한 극한 정의를 거치지 않고 $Df$를 계산할 수 있기를 바랄 것입니다.

다행히도 여러분은 이미 편미분을 계산하는 방법을 알고 있습니다. 인생의 어느 시점에선가 AP 미적분학을 들어야 했기 때문입니다. 대부분의 적당한 함수에 대해서는 이것만 있으면 충분하다는 것이 밝혀집니다.

$f(x,y)=x{}^2+y{}^2$ 예제도 마찬가지입니다. 그렇긴 하지만, 도대체 누가 $x\sin y+x{}^{2}y{}^4$ 따위에 관심이 있겠습니까?

$U\subseteq V$를 열린집합이라 하고 $f:U\to W$를 잡아 $Df:U\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,W)$가 되게 합시다.

그런데 $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,W)$ 역시 그 자체로 노름 벡터 공간으로 생각할 수 있습니다. 실제로 다음과 같이 놓으면 그 위에 연산자 노름을 정의할 수 있습니다.

$$\parallel T\parallel ≔sup\{\frac{\parallel T(v)\parallel {}_W}{\parallel v\parallel {}_V}\mid v\ne 0{}_V\}.$$

따라서 $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,W)$ 역시 노름 벡터 공간으로 생각할 수 있습니다. 그러므로 다음과 같이 쓰는 것이 타당합니다

$$D(Df):U\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,W))$$

이를 $D{}^{2}f$로 줄여 씁니다. 모든 의심을 떨쳐 버리고 계속 밀고 나가면,

$$D{}^{3}f:U\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,W))).$$

죄송합니다. 그래도 위안이 되는 점은, 적어도 $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,W)\cong V{}^{\vee }\otimes W$가 자연스러운 방식으로 성립한다는 사실을 알고 있으므로 이를 최소한 다음과 같이 간추릴 수 있다는 것입니다

$$D{}^{k}f:V\to (V{}^{\vee }){}^{\otimes k}\otimes W$$

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}$을 잔뜩 늘어놓아 쓰는 대신 말입니다.

이계도함수의 가장 중요한 성질은 다음과 같습니다

이계도함수를 생각하면 머리가 어지러워지므로, 이 정리는 증명 없이 인용만 하겠습니다(예를 들어 [PUG02, §5, theorem 16]를 참고하십시오). 이 정리의 중요한 따름정리는 다음과 같습니다.

이로써 도함수가 실제로 무엇인지에 대한 설명을 마칩니다. 이 장에서 전하고 싶은 핵심 아이디어는 $Df$를 $U\to V{}^{\vee }$인 사상으로 생각해야 한다는 것입니다.

다음으로 자연스럽게 할 일은 적분에 대해 이야기하는 것입니다. 이를 올바르게 하는 방법은 이른바 미분 형식을 이용하는 것입니다. 그러면 그 지긋지긋한 $dx$와 $dy$들이 실제로 무엇을 의미하는지 마침내 알게 될 것입니다. (그것들은 그저 장식으로 붙어 있던 것이 아닙니다!)