장 43 올바르게 하는 다변수 미적분학

전에도 불평한 적이 있듯이, 선형대수학은 행렬을 과도하게 사용하여 선형 사상의 구조를 흐리게 함으로써 잘못된 방식으로 다루어지고 있습니다. 다변수 미적분학에서도 비슷한 문제가 발생하므로, 여기서 바로잡고자 합니다.

이 장에서는 도덕적으로 올바른 선형대수학을 사용하여 진행하므로, 선형 사상, 특히 앞으로 반복해서 사용할 쌍대 공간 $V^{\vee}$ 에 익숙해지는 것이 필수적입니다.

이 장에서 모든 벡터 공간은 노름을 가지며 $\mathbb{R}$ 위에서 유한 차원입니다. 따라서 특히 모든 벡터 공간은 (노름으로 주어지는 거리를 갖는) 거리 공간이기도 하며, 우리는 평소처럼 열린집합에 대해 이야기할 수 있습니다.

43.1 전미분

대표적인 예: $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ 이면, $(Df)_{(x,y)}=2x\mathbf{e}_{1}^{\vee}+2y\mathbf{e}_{2}^{\vee}$ 입니다.

먼저 $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 라고 합시다. 고등학교 미적분학에서 모든 점 $p\in\mathbb{R}$ 에 대해, (만약 존재한다면) 점 $p$ 에서의 미분을 $f^{\prime}(p)$ 로 정의했으며, 이를 ”접선”의 기울기로 해석했던 것을 기억하실 것입니다.

그것도 좋지만, 저는 그 점에서 미분을 해석하는 ”더 나은” 방법은 선형 사상으로, 즉 함수로 보는 것이라고 주장합니다. 만약 $f^{\prime}(p)=1.5$ 라면, 이 미분은 제가 $p$ 에서 $\varepsilon$ 만큼 떨어진 곳으로 이동할 때 $f$ 가 대략 $1.5\varepsilon$ 만큼 변할 것으로 예상해야 한다는 것을 말해줍니다. 다시 말해,

$p$ 에서 $f$ 의 미분은 $p$ 근처에서 $f$ 를 선형 함수로 근사합니다.

더 일반적으로는 어떨까요? $f\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ 와 같은 함수가 있다고 합시다. 예를 들어

f(x,y)=x^{2}+y^{2}

구체성을 위해서든 뭐든 말입니다. 점 $p\in\mathbb{R}^{2}$ 에 대해, $p$ 에서 $f$ 의 ”미분”은 그 점 $p$ 에서 $f$ 를 근사하는 선형 사상을 나타내야 합니다. 즉, 저는 다음을 만족하는 선형 사상 $T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ 를 원합니다.

f(p+v)\approx f(p)+T(v)

작은 변위 $v\in\mathbb{R}^{2}$ 에 대해서 말입니다.

더욱 일반적으로, $U\subseteq V$ 가 (평소처럼 $\left\lVert\bullet\right\rVert_{V}$ 거리에서) 열려 있고 $f\colon U\to W$ 일 때, $p\in U$ 에서의 미분은 다음을 만족해야 합니다.

f(p+v)\approx f(p)+T(v)\in W.

( $U$ 가 열린집합이어야 하는 이유는, 충분히 작은 $v$ 에 대해 $p+v\in U$ 도 성립하도록 하기 위함입니다.) 사실 이것은 고등학교에서 $f^{\prime}(p)$ 를 다룰 때 우리가 하던 것과 정확히 같습니다.

이미지는 [10]에서 파생됨

유일한 차이는, 불행한 우연으로 인해, 선형 사상 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 는 단지 그 기울기만으로 표현될 수 있다는 것입니다. 그리고 모든 것을 숫자로 만들어 AP 시험을 볼 수 있게 하려는 끝없는 추구 속에서, 우리는 애초에 무엇을 하려고 했는지 즉시 잊어버리고 그저 $f$ 의 미분을 함수가 아니라 숫자로 정의해 버렸습니다.

미적분학의 근본적인 발상은 함수를 선형 함수로 국소적으로 근사하는 것입니다. 미분은 정확히 이것을 합니다.

[PUG02]에 인용된 Jean Dieudonné는 다음과 같이 이어갑니다:

미적분학의 고전적인 교육에서, 이 발상은 1차원 벡터 공간에서 선형 형식과 숫자 사이에 일대일 대응이 존재한다는 우연한 사실로 인해 즉시 흐려지며, 그 결과 한 점에서의 미분은 선형 형식이 아니라 숫자로 정의됩니다. 어떤 대가를 치르더라도 수치적 해석이라는 표어에 대한 이 노예적 복종은 훨씬 더 심각해집니다 . . .

그러니 이것을 제대로 해봅시다. 우리가 해야 할 유일한 일은 ” $\approx$ ”가 무엇을 의미하는지 말하는 것이며, 이를 위해 벡터 공간의 노름을 사용합니다.

정의 43.1.1.

$U\subseteq V$ 가 열려 있다고 합시다. $f\colon U\to W$ 를 연속 함수라 하고, $p\in U$ 라 합시다. 다음을 만족하는 선형 사상 $T\colon V\to W$ 가 존재한다고 가정합시다.

\lim_{\left\lVert v\right\rVert_{V}\to 0}\frac{\left\lVert f(p+v)-f(p)-T(v)% \right\rVert_{W}}{\left\lVert v\right\rVert_{V}}=0.

그러면 $T$ 는 $p$ 에서 $f$ 의 전미분입니다. 이를 $(Df)_{p}$ 로 표기하며, $f$ 는 $p$ 에서 미분 가능하다고 말합니다.

$(Df)_{p}$ 가 모든 점에서 존재하면, $f$ 는 미분 가능하다고 말합니다.

질문 43.1.2.

$V=W=\mathbb{R}$ 인 경우, 이것이 단변수 정의와 동치임을 확인해 보십시오. ( $V$ 에서 $W$ 로 가는 선형 사상은 무엇입니까?)

예제 43.1.3 ( $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ 의 전미분).

$V=\mathbb{R}^{2}$ 가 표준 기저 $\mathbf{e}_{1}$ , $\mathbf{e}_{2}$ 를 가지고 $W=\mathbb{R}$ 이라 하고, $f\left(x\mathbf{e}_{1}+y\mathbf{e}_{2}\right)=x^{2}+y^{2}$ 이라 합시다. $p=a\mathbf{e}_{1}+b\mathbf{e}_{2}$ 라 합시다. 그러면 다음을 주장합니다:

(Df)_{p}\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}\quad\text{에 의해}\quad v\mapsto 2a% \cdot\mathbf{e}_{1}^{\vee}(v)+2b\cdot\mathbf{e}_{2}^{\vee}(v).

여기서 $\mathbf{e}_{1}^{\vee}$ 와 $\mathbf{e}_{2}^{\vee}$ 라는 표기가 성립하는 이유는, 정의상 $(Df)_{p}\in V^{\vee}$ 이기 때문입니다: 이들은 $V$ 에서 $\mathbb{R}$ 로 가는 함수입니다!

극한의 정의로 이를 직접 확인해 봅시다. $v=xe_{1}+ye_{2}$ 로 두고, $V$ 위의 노름은 $\left\lVert(x,y)\right\rVert_{V}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 이고 $W$ 위의 노름은 그저 절댓값 $\left\lVert c\right\rVert_{W}=\left\lvert c\right\rvert$ 임에 유의하십시오. 그러면 다음을 계산합니다

	$\displaystyle\frac{\left\lVert f(p+v)-f(p)-T(v)\right\rVert_{W}}{\left\lVert v% \right\rVert_{V}}$	$\displaystyle=\frac{\left\lvert(a+x)^{2}+(b+y)^{2}-(a^{2}+b^{2})-(2ax+2by)% \right\rvert}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$
		$\displaystyle=\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
		$\displaystyle\to 0$

$\left\lVert v\right\rVert\to 0$ 일 때. 따라서 $p=ae_{1}+be_{2}$ 에 대해 실제로 $(Df)_{p}=2a\cdot\mathbf{e}_{1}^{\vee}+2b\cdot\mathbf{e}_{2}^{\vee}$ 입니다.

비고 43.1.4.

늘 그렇듯이, 미분가능성은 연속성을 함의합니다.

비고 43.1.5.

$U\subseteq V$ 이긴 하지만, $U$ 와 $V$ 의 벡터를 서로 다른 종류의 대상으로 생각하는 것이 도움이 될 수 있습니다(특히 $0_{V}\notin U$ 일 수 있음에 유의하십시오). $U$ 의 벡터는 우리 공간의 ”입력”인 반면, $V$ 에서 오는 벡터는 ”작은 변위”입니다. 이러한 이유로, 저는 가능한 한 $p\in U$ 와 $v\in V$ 를 의도적으로 구분하여 사용하고자 합니다.

43.2 사영 원리

여러분은 일변수 미적분학을, 일변수 함수 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 에 대해 미분과 적분을 수행하는 주제로서 배웠을 것입니다. 그렇다면 ”다변수 미적분학”은 함수 $\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ 에 관한 미적분학이어야 합니다. 여기서 두 가지 확장이 일어나고 있음을 알아차렸을 수도 있습니다:

•

정의역이 $\mathbb{R}$ 에서 $\mathbb{R}^{n}$ 으로 확장되었습니다.
•

공역이 $\mathbb{R}$ 에서 $\mathbb{R}^{m}$ 으로 확장되었습니다.

이 절의 요점은, 첫 번째 확장에 비해 두 번째 확장은 매우 쉽고, 사실상 새로운 것을 전혀 필요로 하지 않는다는 것입니다. 흥미로운 일들은 모두 정의역을 확장했기 때문에 일어나는 것이지, 공역을 확장했기 때문이 아닙니다. 그 이유는 다음과 같습니다:

정리 43.2.1 (사영 원리).

$U$ 를 벡터 공간 $V$ 의 열린 부분집합이라 합시다. $W$ 를 기저 $w_{1},\dots,w_{m}$ 을 갖는 $m$ 차원 실벡터 공간이라 합시다. 그러면 연속함수 $f\colon U\to W$ 와, $i$ 번째 기저 원소로의 사영에 의한 연속함수 $m$ -튜플 $f_{1},f_{2},\dots,f_{m}\colon U\to\mathbb{R}$ 사이에는 전단사가 존재합니다. 즉

f(v)=f_{1}(v)w_{1}+\dots+f_{m}(v)w_{m}.

증명.

자명합니다. ∎

”연속”을 ”미분가능”, ”매끄러움”, ”임의”, 또는 그 밖의 대부분의 합리적인 단어로 바꾸어도 이 정리는 여전히 성립합니다. 번역하면:

함수 $f\colon U\to\mathbb{R}^{m}$ 을 생각하려면, 각 좌표를 따로따로 생각하는 것으로 충분합니다.

이러한 이유로, 우리는 대부분 함수 $f\colon U\to\mathbb{R}$ 에 관심을 갖게 될 것입니다. 이것이 바로 쌍대 공간 $V^{\vee}$ 가 그토록 중요한 이유입니다.

43.3 전미분과 편미분

대표적인 예: $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ 이면, $(Df)\colon(x,y)\mapsto 2x\cdot\mathbf{e}_{1}^{\vee}+2y\cdot\mathbf{e}_{2}^{\vee}$ 이고, $\frac{\partial f}{\partial x}=2x$ , $\frac{\partial f}{\partial y}=2y$ 입니다.

$U\subseteq V$ 가 열린집합이고 $V$ 가 기저 $\mathbf{e}_{1}$ , …, $\mathbf{e}_{n}$ 을 갖는다고 합시다. $f\colon U\to\mathbb{R}$ 가 모든 점에서 미분가능한 함수, 즉 모든 $p$ 에 대해 $(Df)_{p}\in V^{\vee}$ 가 존재하는 함수라고 합시다. 이 경우, $D f$ 를 그 자체로 하나의 함수로 볼 수 있습니다:

	$\displaystyle Df\colon U$	$\displaystyle\to V^{\vee}$
	$\displaystyle p$	$\displaystyle\mapsto(Df)_{p}.$

이는 조금 이상해 보입니다: $U$ 의 모든 점에 $V^{\vee}$ 의 함수를 대응시키는 것이기 때문입니다. 우리가 다루는 정보의 양을 반영하여, $D f$ 를 $f$ 의 전미분이라고 부릅니다. $(Df)_{p}$ 는 $p$ 에서의 전미분이라고 부릅니다.

이제 사영 원리를 $D f$ 에 적용해 봅시다. $V$ 의 기저 $\mathbf{e}_{1}$ , …, $\mathbf{e}_{n}$ 을 택했으므로, 이에 대응하는 쌍대 기저 $\mathbf{e}_{1}^{\vee}$ , $\mathbf{e}_{2}^{\vee}$ , …, $\mathbf{e}_{n}^{\vee}$ 가 존재합니다. 사영 원리에 따르면 $D f$ 는 단지 $n$ 개의 함수로 생각할 수 있으므로, 다음과 같이 쓸 수 있습니다

Df=\psi_{1}\mathbf{e}_{1}^{\vee}+\dots+\psi_{n}\mathbf{e}_{n}^{\vee}.

사실, 우리는 $\psi_{i}$ 가 무엇인지도 구체적으로 서술할 수 있습니다.

정의 43.3.1.

$f\colon U\to\mathbb{R}$ 의 $i^{\text{th}}$ 편미분은 다음과 같이 표기됩니다

\frac{\partial f}{\partial\mathbf{e}_{i}}\colon U\to\mathbb{R}

다음과 같이 정의됩니다

\frac{\partial f}{\partial\mathbf{e}_{i}}(p)\coloneqq\lim_{t\to 0}\frac{f(p+te% _{i})-f(p)}{t}.

이것을 “ $\mathbf{e}_{i}$ 방향의 $f^{\prime}$ ”이라고 생각할 수 있습니다.

질문 43.3.2.

$D f$ 가 존재하면

(Df)_{p}(\mathbf{e}_{i})=\frac{\partial f}{\partial\mathbf{e}_{i}}(p).

임을 확인하십시오.

비고 43.3.3.

물론 $\mathbf{e}_{i}$ 뿐만 아니라 임의의 $v$ 에 대해서도 $\frac{\partial f}{\partial v}$ 의 정의를 적을 수 있습니다.

위의 논의로부터 다음을 유도할 수 있습니다

\boxed{Df=\frac{\partial f}{\partial\mathbf{e}_{1}}\cdot\mathbf{e}_{1}^{\vee}+% \dots+\frac{\partial f}{\partial\mathbf{e}_{n}}\cdot\mathbf{e}_{n}^{\vee}.}

따라서 $V$ 의 기저가 주어지면, $D f$ 를 단지 $n$ 개의 편미분으로 생각할 수 있습니다.

비고 43.3.4.

각 $\frac{\partial f}{\partial\mathbf{e}_{i}}$ 가 $U$ 에서 실수로 가는 함수임을 기억하십시오. 즉,

(Df)_{p}=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial\mathbf{e}_{1}}(p)}_{\in\mathbb% {R}}\cdot\mathbf{e}_{1}^{\vee}+\dots+\underbrace{\frac{\partial f}{\partial% \mathbf{e}_{n}}(p)}_{\in\mathbb{R}}\cdot\mathbf{e}_{n}^{\vee}\in V^{\vee}.

예제 43.3.5 ( $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ 의 편미분).

$f\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ 을 $(x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}$ 로 정의합시다. 그러면 우리의 새로운 언어로는,

Df\colon(x,y)\mapsto 2x\cdot\mathbf{e}_{1}^{\vee}+2y\cdot\mathbf{e}_{2}^{\vee}.

따라서 편미분은 다음과 같습니다

\frac{\partial f}{\partial x}\colon(x,y)\mapsto 2x\in\mathbb{R}\quad\text{그리고}% \quad\frac{\partial f}{\partial y}\colon(x,y)\mapsto 2y\in\mathbb{R}

이렇게 말했지만, 전미분 자체를 어떻게 구하는지에 대해서는 별로 이야기하지 않았습니다. 예를 들어, 제가 여러분에게

f(x,y)=x\sin y+x^{2}y^{4}

를 알려준다면, 앞서 언급한 그 끔찍한 극한 정의를 거치지 않고 $D f$ 를 계산하고 싶을 것입니다.

다행히도, 여러분은 이미 편미분을 계산하는 방법을 알고 있는데, 왜냐하면 인생의 어느 시점엔가 AP 미적분학을 수강해야 했기 때문입니다. 대부분의 적당한 함수에 대해서는 이것만으로 충분하다는 것이 밝혀집니다.

정리 43.3.6 (연속인 편미분은 미분가능성을 함의합니다).

$U\subseteq V$ 를 열린집합이라 하고 임의의 기저 $\mathbf{e}_{1},\dots,\mathbf{e}_{n}$ 을 택합시다. $f\colon U\to\mathbb{R}$ 이라 하고 각 $i$ 에 대해 $\frac{\partial f}{\partial\mathbf{e}_{i}}$ 가 정의되며 나아가 연속이라고 가정합시다. 그러면 $f$ 는 미분가능하고 $D f$ 는 다음과 같이 주어집니다

Df=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial\mathbf{e}_{i}}\cdot\mathbf{e}_{i}^% {\vee}.

증명.

세부 사항을 다 적지는 않겠지만… $v=t_{1}e_{1}+\dots+t_{n}e_{n}$ 이 주어졌을 때, 아이디어는 그저 $p$ 에서 $p+t_{1}e_{1}$ 로, $p+t_{1}e_{1}+t_{2}e_{2}$ 로, …, $p+t_{1}e_{1}+t_{2}e_{2}+\dots+t_{n}e_{n}=p+v$ 까지 걸어가면서 도중에 편미분들을 모으는 것입니다. 계산을 좀 해 보십시오. ∎

비고 43.3.7.

연속 조건은 생략할 수 없습니다. 다음 함수

f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}&(x,y)\neq(0,0)\\ 0&(x,y)=(0,0).\end{cases}

는 고전적인 반례입니다 – 두 편미분이 모두 존재함에도 불구하고, 영점에서 전미분 $D f$ 는 존재하지 않습니다.

예제 43.3.8 (실제로 전미분 계산하기).

$f(x,y)=x\sin y+x^{2}y^{4}$ 라 합시다. 그러면

	$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$	$\displaystyle=\sin y+y^{4}\cdot 2x$
	$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$	$\displaystyle=x\cos y+x^{2}\cdot 4y^{3}.$

따라서 정리 43.3.6가 적용되어, $Df=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{e}_{1}^{\vee}+\frac{\partial f}{% \partial y}\mathbf{e}_{2}^{\vee}$ 이며, 이는 굳이 다 적지 않겠습니다.

$f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ 의 예도 마찬가지입니다. 그렇다고는 해도, 도대체 누가 $x\sin y+x^{2}y^{4}$ 따위에 신경을 쓰겠습니까?

43.4 (선택) 고계 도함수에 관한 소고

$U\subseteq V$ 를 열린집합이라 하고, $f\colon U\to W$ 를 취하여 $Df\colon U\to\operatorname{Hom}(V,W)$ 가 되도록 합시다.

사실, $\operatorname{Hom}(V,W)$ 역시 그 자체로 하나의 노름 벡터 공간으로 생각할 수 있습니다: 다음과 같이 설정함으로써 그 위에 작용소 노름을 정의할 수 있다는 것이 밝혀집니다

\left\lVert T\right\rVert\coloneqq\sup\left\{\frac{\left\lVert T(v)\right% \rVert_{W}}{\left\lVert v\right\rVert_{V}}\mid v\neq 0_{V}\right\}.

따라서 $\operatorname{Hom}(V,W)$ 역시 노름 벡터 공간으로 생각할 수 있습니다. 그러므로 다음과 같이 쓰는 것이 합리적입니다

D(Df)\colon U\to\operatorname{Hom}(V,\operatorname{Hom}(V,W))

이를 $D^{2}f$ 로 축약합니다. 모든 의심을 버리고 계속 나아가면,

D^{3}f\colon U\to\operatorname{Hom}(V,\operatorname{Hom}(V,\operatorname{Hom}(% V,W))).

죄송합니다. 위안이 되는 점은, 적어도 $\operatorname{Hom}(V,W)\cong V^{\vee}\otimes W$ 가 자연스러운 방식으로 성립한다는 것을 알고 있으므로, 이를 최소한 다음과 같이 압축할 수 있다는 것입니다

D^{k}f\colon V\to(V^{\vee})^{\otimes k}\otimes W

여러 개의 $\operatorname{Hom}$ 을 나열해 쓰는 대신 말입니다.

비고 43.4.1.

$k=2$ 이고 $W=\mathbb{R}$ 이면, $D^{2}f(v)\in(V^{\vee})^{\otimes 2}$ 이므로, 이는 $n\times n$ 행렬로 나타낼 수 있으며, 이는 어떤 이유에서인지 헤세 행렬이라고 불립니다.

이계도함수의 가장 중요한 성질은 다음과 같습니다

정리 43.4.2 ( $D^{2}f$ 의 대칭성).

$U\subseteq V$ 가 열린집합이고 $f\colon U\to W$ 라 합시다. 어떤 $p\in U$ 에서 $(D^{2}f)_{p}$ 가 존재하면, 이는 대칭입니다. 즉

(D^{2}f)_{p}(v_{1},v_{2})=(D^{2}f)_{p}(v_{2},v_{1}).

저는 이계도함수를 생각하면 머리가 어지러워지므로, 이를 증명 없이 그저 인용만 하겠습니다(예를 들어 [PUG02, §5, theorem 16] 참고). 이 정리의 중요한 따름정리는 다음과 같습니다:

따름정리 43.4.3 (클레로 정리: 혼합 편미분의 대칭성).

$U\subseteq V$ 가 열린집합이고 $f\colon U\to\mathbb{R}$ 가 두 번 미분가능하다고 합시다. 그러면 해당 양들이 정의되는 임의의 점 $p$ 에 대해,

\frac{\partial}{\partial\mathbf{e}_{i}}\frac{\partial}{\partial\mathbf{e}_{j}}% f(p)=\frac{\partial}{\partial\mathbf{e}_{j}}\frac{\partial}{\partial\mathbf{e}% _{i}}f(p).

43.5 미분 형식을 향하여

이로써 도함수가 실제로 무엇인지에 대한 설명을 마칩니다. 이 장에서 전달하고자 하는 핵심 아이디어는 $D f$ 를 $U\to V^{\vee}$ 로 가는 사상으로 생각해야 한다는 것입니다.

다음으로 자연스럽게 할 일은 적분에 대해 이야기하는 것입니다. 이를 제대로 하는 방법은 이른바 미분 형식을 통하는 것입니다. 그러면 그 지긋지긋한 $d x$ 와 $d y$ 들이 실제로 무엇을 의미하는지 마침내 알게 될 것입니다. (장식으로 거기 있었던 게 아닙니다!)

43.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 43A (연쇄 법칙).

$U_{1}\xrightarrow{f}U_{2}\xrightarrow{g}U_{3}$ 가 노름 벡터 공간 $V_{i}$ 의 열린집합들 사이의 미분 가능한 사상이고, $h=g\circ f$ 라 하십시오. 연쇄 법칙을 증명하십시오: 임의의 점 $p\in U_{1}$ 에 대해 다음이 성립합니다

(Dh)_{p}=(Dg)_{f(p)}\circ(Df)_{p}.

문제 43B.

$U\subseteq V$ 가 열린집합이고, $f\colon U\to\mathbb{R}$ 가 $k$ 번 미분 가능하다고 하십시오. $(D^{k}f)_{p}$ 가 그 $k$ 개의 인자에 대해 대칭임을 보이십시오. 즉 임의의 $v_{1},\dots,v_{k}\in V$ 와 $\left\{1,\dots,k\right\}$ 위의 임의의 순열 $\sigma$ 에 대해 다음이 성립합니다

(D^{k}f)_{p}(v_{1},\dots,v_{k})=(D^{k}f)_{p}(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(k)}).

힌트. $k=2$ 인 경우에 대한 작업이 이미 완료되었으므로, 단순히 귀납법을 적용하면 됩니다.