장 44 미분 형식

이 장에서 모든 벡터 공간은 유한 차원 실수 내적 공간입니다. 먼저 이 장에서 정의할 모든 대상을 (엄밀하지 않게) 그림으로 그려 보는 것으로 시작합니다. 그다음 모든 것을 적절한 대수적 맥락에서 다시 다룹니다.

44.1 미분 형식의 그림

미분 형식을 정의하기 전에 먼저 그림을 몇 개 그려 보겠습니다. 명심해야 할 핵심은 다음과 같습니다.

“미분 형식의 정의란 적분할 수 있는 무언가입니다.”
— Joe Harris

모든 함수는 매끄럽다고, 즉 무한 번 미분 가능하다고 가정하겠습니다.

$U\subseteq V$ 가 벡터 공간 $V$ 의 열린집합이라고 합시다. 함수 $f\colon U\to\mathbb{R}$ 가 주어졌다고, 즉 $U$ 의 모든 점에 값을 하나씩 부여했다고 가정합시다.

정의 44.1.1.

$U$ 위의 $0$ -형식 $f$ 는 그저 매끄러운 함수 $f\colon U\to\mathbb{R}$ 입니다.

따라서 $U$ 안의 점들로 이루어진 유한집합 $S$ 를 지정하면, 그 점들의 값을 더하기만 하여 $S$ 위에서 “적분”할 수 있습니다.

0+\sqrt{2}+3+(-1)=2+\sqrt{2}.

즉, $0$ -형식 $f$ 로는 $0$ 차원 “세포” 위에서 적분할 수 있습니다.

하지만 이는 꽤 지루합니다. 아시다시피 우리는 한 점이 아니라 곡선 같은 것 위에서 적분하기를 원하기 때문입니다. 그래서 이와 유사하게, $1$ -형식으로는 $1$ 차원 세포 위에서, 즉 곡선 위에서 적분할 수 있기를 원합니다. 그렇게 하려면 어떤 정보가 필요하겠습니까? 이에 답하기 위해, 함수 $c\colon[0,1]\to U$ 로 생각할 수 있는 곡선 $c$ 의 그림을 그려 봅시다.

$U$ 의 모든 점에 수 하나씩만 지정하고(즉 $0$ -형식 $f$ ), 곡선을 따라 $f$ 의 값을 모두 어떻게든 “더하면” 충분하리라고 생각할 수도 있습니다. 이 아이디어는 곧 사용하겠지만, 사실 더 일반적인 것을 할 수 있습니다. 매끄러운 곡선을 따라 걸어갈 때, 모든 점 $p$ 에서 추가 정보, 즉 접벡터 $v$ 도 함께 주어진다는 점에 주목하십시오. 따라서 $1$ -형식 $\alpha$ 를 다음과 같이 정의할 수 있습니다. $0$ -형식은 점 하나만 받아서 실수를 내놓았지만, $1$ -형식은 점 그리고 그 점에서의 접벡터를 함께 받아서 실수를 내놓습니다. 따라서 $1$ -형식 $\alpha$ 는 $v$ 가 $p$ 에서의 접벡터인 쌍 $(p,v)$ 에서 $\mathbb{R}$ 로 가는 매끄러운 함수입니다. 그러므로

\alpha\colon U\times V\to\mathbb{R}.

사실 임의의 점 $p$ 에 대해, $\alpha(p,-)$ 가 벡터에 대한 선형 함수이기를 요구할 것입니다. 즉 예를 들어 $\alpha(p,2v)=2\alpha(p,v)$ 이기를 원합니다. 따라서 $\alpha$ 를 다음과 같이 생각하는 것이 더 관례적입니다.

정의 44.1.2.

$1$ -형식 $\alpha$ 는 다음과 같은 매끄러운 함수입니다.

\alpha\colon U\to V^{\vee}.

$D f$ 에서와 마찬가지로, $\alpha(p)$ 대신 $\alpha_{p}$ 라고 쓰겠습니다. 따라서 모든 점 $p$ 에서 $\alpha_{p}$ 는 $p$ 에서의 접벡터를 받아서 실수를 내놓는 어떤 선형 범함수입니다. 그러므로 $\alpha_{p}$ 를 $V^{\vee}$ 의 원소로 생각합니다.

\alpha_{p}\in V^{\vee}.

비고 44.1.3 (Warning: arc length isn’t a $1$ -form).

고등학교 미적분학에서 “호의 길이 원소” $d s$ 를 곡선을 따라 적분할 수 있었던 것을 기억할 것입니다. $\int_{c}ds$ 는 곡선 $c$ 의 길이입니다.

이것은 $1$ -형식이 아닙니다! 이에 대해서는 나중에 더 다루겠습니다. (간단히 말하면, 근본적인 문제는 이것이 선형 함수가 아니라는 점입니다. 어떤 곳에서는 $ds=\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}$ 라고 비공식적으로 쓰는 것을 보게 될 텐데, 이를 보면 $d s$ 가 $d x$ 와 $d y$ 에 대해 선형적으로 행동하지 않는다는 감을 잡을 수 있을 것입니다.)

다음으로 $2$ -형식의 그림을 그려 보겠습니다. 예를 들어 $2$ -형식으로는 다음과 같은 형태의 덩어리(이른바 $2$ -세포) 위에서 적분할 수 있어야 합니다.

c\colon[0,1]\times[0,1]\to U

즉 예를 들어 $U$ 안의 정사각형입니다. 앞서 $1$ -형식의 예에서는 곡선 $c$ 의 접벡터를 살펴보았습니다. 이번에는 각 점에서 $U$ 안의 접벡터 쌍을 살펴보겠습니다. 많은 접벡터가 곡선 전체를 근사하는 것과 같은 의미에서, 많은 작은 정사각형이 $U$ 안의 큰 정사각형을 근사할 것입니다.

그렇다면 $2$ -형식 $\beta$ 는 무엇이어야 하겠습니까? 앞에서와 같이 먼저 점 $p\in U$ 를 받아야 하므로, $\beta_{p}$ 는 이제 선형 범함수입니다. 하지만 이번에는 두 벡터 $v$ 와 $w$ 에 대한 선형 사상이어야 합니다. 여기서 $v$ 와 $w$ 는 접한다기보다는 그 생성 공간이 작은 평행사변형을 잘라 냅니다. 따라서 올바른 방법은 사실 다음을 고려하는 것입니다.

\beta_{p}\in V^{\vee}\wedge V^{\vee}.

즉, 쐐기곱을 사용하여 $v$ 와 $w$ 가 평행사변형을 생성한다는 아이디어를 다루는 것입니다. $(V\wedge V)^{\vee}$ 를 선택하는 것도 타당했을 것입니다. 사실 둘은 동형이지만,¹¹1유한 차원 $V$ 만 고려합니다. 전자의 형태로 쓰는 것이 더 편리할 것입니다.²²2절 44.5을 참고하십시오.

44.2 외미분의 그림

다음 질문입니다.

$0$ -형식으로부터 $1$ -형식을 어떻게 만들 수 있겠습니까?

$f$ 를 $U$ 위의 $0$ -형식이라고 합시다. 즉, 함수 $f\colon U\to\mathbb{R}$ 가 주어져 있습니다. 그러면 사실 $f$ 로부터 생겨나는 매우 자연스러운 $1$ -형식이 $U$ 위에 존재하며, 이를 적절하게도 $d f$ 라고 부릅니다. 즉, 점 $p$ 와 접벡터 $v$ 가 주어지면, 미분 형식 $(df)_{p}$ 는 $v$ 를 따라가는 $f$ 의 변화량을 돌려줍니다. 다시 말해, 이는 그저 전미분 $(Df)_{p}(v)$ 입니다.

따라서 $d f$ 는 “ $f$ 의 변화량”을 측정합니다.

이제 아직 적분을 정의하지 않았더라도, 점 $a$ 에서 $b$ 로 가는 곡선 $c$ 가 주어졌을 때 다음

\int_{c}df

은 무엇과 같아야 한다고 생각하십니까? $d f$ 는 “ $f$ 의 무한소 변화량”을 측정하는 $1$ -형식이라는 점을 기억하십시오. 그러므로 $a$ 에서 $b$ 로 가는 경로를 따라 $f$ 의 변화량을 모두 더하면, 우리가 얻는 답은 그저 다음과 같아야 합니다

\int_{c}df=f(b)-f(a).

이것이 우리가 스토크스 정리라고 부르는 것의 첫 번째 경우입니다.

일반화하면, $1$ -형식에서 $2$ -형식으로는 어떻게 넘어가야 하겠습니까? 각 점 $p$ 에서 $2$ -형식 $\beta$ 는 “평행사변형”을 받아 실수를 돌려주는 $\beta_{p}$ 를 줍니다. 이제 $1$ -형식 $\alpha$ 가 있다고 합시다. 그러면 평행사변형의 각 변을 따라, 적절한 부호 규약하에서 $1$ -형식 $\alpha$ 는 실수 하나를 줍니다. 따라서 $1$ -형식 $\alpha$ 가 주어지면, $d\alpha$ 를 $v$ 와 $w$ 로 생성되는 평행사변형을 받아 경계를 따라 측정한 $\alpha$ 의 값을 돌려주는 $2$ -형식으로 정의합니다.

이제 $d\alpha$ 를 정사각형 $c$ 전체에 걸쳐 적분하면 어떻게 되겠습니까? 올바른 그림은 다음과 같습니다. 작은 정사각형들이 모여 큰 정사각형을 이룬다고 생각하면, 인접한 경계들은 서로 상쇄되고 주된 경계만 남습니다. 이것 역시 이른바 스토크스 정리의 한 경우일 뿐입니다.

화상 출처: [36]

44.3 미분 형식

대표적인 예: 대수적으로는 $f\mathbf{e}_{1}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{2}^{\vee}+\dots$ 처럼 생긴 것이며, 기하적으로는 이전 절을 참고하십시오.

이제 $d x$ 가 무엇을 뜻하는지 파악해 봅시다. $n$ 차원 실벡터 공간 $V$ 를 고정하고, $\mathbf{e}_{1}$ , …, $\mathbf{e}_{n}$ 을 표준 기저라고 합시다. $U$ 를 열린집합이라고 합시다.

정의 44.3.1.

$U$ 위의 미분 $k$ -형식 $\alpha$ 를 매끄러운(무한 번 미분 가능한) 사상 $\alpha\colon U\to\bigwedge^{k}(V^{\vee})$ 로 정의합니다. (여기서 $\bigwedge^{k}(V^{\vee})$ 는 쐐기곱입니다.)

$D f$ 에서와 마찬가지로, $\alpha(p)$ 대신 $\alpha_{p}$ 를 사용하겠습니다.

예제 44.3.2 ( $k=0,1$ 에 대한 $k$ -형식).

(a)

$0$ -형식은 그저 함수 $U\to\mathbb{R}$ 입니다.
(b)

$1$ -형식은 함수 $U\to V^{\vee}$ 입니다. 예를 들어, 함수 $V\to\mathbb{R}$ 의 전미분 $D f$ 는 $1$ -형식입니다.
(c)

표준 기저 $\mathbf{e}_{1}$ , $\mathbf{e}_{2}$ , $\mathbf{e}_{3}$ 을 갖는 $V=\mathbb{R}^{3}$ 이라고 합시다. 그러면 전형적인 $2$ -형식은 다음과 같이 주어집니다

$\alpha_{p}=f(p)\cdot\mathbf{e}_{1}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{2}^{\vee}+g(p)\cdot% \mathbf{e}_{1}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{3}^{\vee}+h(p)\cdot\mathbf{e}_{2}^{\vee% }\wedge\mathbf{e}_{3}^{\vee}\in\bigwedge^{2}(V^{\vee})$

여기서 $f,g,h\colon V\to\mathbb{R}$ 는 매끄러운 함수입니다.

이제 사영 원리(정리 43.2.1)에 의해, $\bigwedge^{k}(V^{\vee})$ 의 $\binom{n}{k}$ 개 기저 원소 각각에 대해 함수를 지정하기만 하면 됩니다. 따라서 $V$ 의 임의의 기저 $\{\mathbf{e}_{i}\}$ 를 잡고, 다음 원소들로 이루어진 $\bigwedge^{k}(V^{\vee})$ 의 통상적인 기저를 잡습니다

\mathbf{e}_{i_{1}}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{i_{2}}^{\vee}\wedge\dots\wedge% \mathbf{e}_{i_{k}}^{\vee}.

따라서 일반적인 $k$ -형식은 다음과 같은 꼴입니다

\alpha_{p}=\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{k}\leq n}f_{i_{1},\dots,i_{k}}(p)\cdot% \mathbf{e}_{i_{1}}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{i_{2}}^{\vee}\wedge\dots\wedge% \mathbf{e}_{i_{k}}^{\vee}.

이를 쓰는 것은 매우 번거로우므로, 간단히 다음과 같이 줄여 쓰겠습니다

\alpha=\sum_{I}f_{I}\cdot d\mathbf{e}_{I}

여기서 합은 $I=(i_{1},\dots,i_{k})$ 에 걸쳐 취한다고 이해하며, $d\mathbf{e}_{I}$ 는 $\mathbf{e}_{i_{1}}^{\vee}\wedge\dots\wedge\mathbf{e}_{i_{k}}^{\vee}$ 를 나타냅니다.

이제 $\bigwedge^{k}(V^{\vee})$ 의 원소가 생겼으니, 이것으로 무엇을 할 수 있겠습니까? 먼저 정의를 제시한 다음, 그것이 무엇을 하는지 말씀드리겠습니다.

정의 44.3.3 (한 점에서 미분 형식의 값을 구하는 방법).

선형 함수 $\xi_{1},\dots,\xi_{k}\in V^{\vee}$ 와 벡터 $v_{1},\dots,v_{k}\in V$ 에 대하여 다음과 같이 둡니다.

(\xi_{1}\wedge\dots\wedge\xi_{k})(v_{1},\dots,v_{k})\coloneqq\det\begin{% bmatrix}\xi_{1}(v_{1})&\dots&\xi_{1}(v_{k})\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \xi_{k}(v_{1})&\dots&\xi_{k}(v_{k})\end{bmatrix}.

예를 들어 $v\wedge w=-w\wedge v$ 등의 관계에 대해 이것이 잘 정의됨을 확인할 수 있습니다.

예제 44.3.4 (미분 형식의 값 구하기).

$V=\mathbb{R}^{3}$ 으로 둡시다. 어떤 점 $p$ 에서 $2$ -형식 $\alpha$ 가 다음을 반환한다고 가정합시다.

\alpha_{p}=2\mathbf{e}_{1}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{2}^{\vee}+\mathbf{e}_{1}^{% \vee}\wedge\mathbf{e}_{3}^{\vee}.

$v_{1}=3\mathbf{e}_{1}+\mathbf{e}_{2}+4\mathbf{e}_{3}$ , $v_{2}=8\mathbf{e}_{1}+9\mathbf{e}_{2}+5\mathbf{e}_{3}$ 으로 둡시다. 그러면

\alpha_{p}(v_{1},v_{2})=2\det\begin{bmatrix}3&8\\ 1&9\end{bmatrix}+\det\begin{bmatrix}3&8\\ 4&5\end{bmatrix}=21.

이 정의는 무엇을 의미합니까? 한 가지 방식으로 말하면 다음과 같습니다.

제가 점 $p\in U$ 로 걸어가면, $k$ -형식 $\alpha$ 는 $k$ 개의 벡터 $v_{1},\dots,v_{k}$ 를 받아 수 하나를 내놓으며, 이 수는 (부호 있는) 부피로 해석됩니다.

그림:

다시 말해, 모든 점 $p$ 에서 함수 $\alpha_{p}$ 를 얻습니다. 그러면 $\alpha_{p}$ 에 $k$ 개의 벡터를 넣어 수 하나를 얻을 수 있고, 저는 이 수를 $\{v_{i}\}$ 들이 생성하는 평행육면체의 부호 있는 부피로 어떤 방식으로든(예를 들어 역장의 선속으로) 해석합니다. $\alpha_{p}$ 가 “함수”이면서도 굳이 쐐기곱 안에 놓이도록 만들어진 이유가 바로 이것입니다. 이렇게 해야 “부피”라는 개념이 의미를 가지며, 예를 들어 등식 $\alpha_{p}(v_{1},v_{2})=-\alpha_{p}(v_{2},v_{1})$ 이 성립합니다.

바로 이 점 때문에 미분 형식이 적분에 그토록 적합합니다.

44.4 외미분

대표적인 예: 아마도 $(dx_{1})_{p}=\mathbf{e}_{1}^{\vee}$ 일 것입니다.

이제 이 장의 처음에 그림으로 보여 드렸던 외미분³³3“외미분”이라는 이름은 쐐기곱 $\wedge$ 를 외곱이라고도 부르는 데서 유래했습니다. $d f$ 를 정의합니다. 명시적인 좌표가 주어지면 외미분은 계산하기 쉽다는 것이 밝혀집니다.

먼저, 함수 $f\colon U\to\mathbb{R}$ 의 외미분을 다음과 같이 정의합니다.

df\coloneqq Df=\sum_{i}\frac{\partial f}{\partial\mathbf{e}_{i}}\mathbf{e}_{i}% ^{\vee}

특히 $V=\mathbb{R}^{n}$ 이고 $f(x_{1},\dots,x_{n})=x_{1}$ (즉 $f=\mathbf{e}_{1}^{\vee}$ )이라고 가정합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

질문 44.4.1.

임의의 $p\in U$ 에 대하여

\left(d(\mathbf{e}_{1}^{\vee})\right)_{p}=\mathbf{e}_{1}^{\vee}.

임을 보이십시오.

표기의 남용 44.4.2.

안타깝게도 어디선가 누군가가 “ $x_{1}$ ”로 $\mathbf{e}_{1}^{\vee}$ 를 나타내는 것이 좋겠다고 결정했고(당연히⁴⁴4비꼬는 말입니다. $x_{1}$ 은 “ $(x_{1},\dots,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}$ 을 $x_{1}$ 로 보내는 함수”를 뜻하기 때문입니다), 이어서

dx_{1}\coloneqq d(\mathbf{e}_{1}^{\vee}).

로 정하기로 했습니다. 이 표기법은 너무나 굳어져 있어서 저도 마지못해 받아들일 수밖에 없습니다. 엄밀히 말하면 $(dx_{1})_{p}=\mathbf{e}_{1}^{\vee}$ 이므로 이 표기는 옳지도 않다는 점에 유의하십시오. $dx_{1}$ 은 $1$ -형식입니다.

비고 44.4.3.

이것이 바로 지금 미적분학에서 $\frac{df}{dx}$ 라는 표기를 사용하는 이유입니다. 예를 들어 $f(x)=x^{2}$ 으로 주어진 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 에 대하여, 실제로 다음이 성립합니다.

df=2x\cdot\mathbf{e}_{1}^{\vee}=2x\cdot dx

따라서 (한 번 더) 표기 남용으로 $df/dx=2x$ 라고 씁니다.

더 일반적으로, 기저 $\mathbf{e}_{1}$ , …, $\mathbf{e}_{n}$ 을 사용하여 외미분을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

정의 44.4.4.

$\alpha=\sum_{I}f_{I}d\mathbf{e}_{I}$ 이면 외미분을 다음과 같이 정의합니다.

d\alpha\coloneqq\sum_{I}df_{I}\wedge d\mathbf{e}_{I}=\sum_{I}\sum_{j}\frac{% \partial f_{I}}{\partial\mathbf{e}_{j}}d\mathbf{e}_{j}\wedge d\mathbf{e}_{I}.

이 정의는 기저의 선택에 의존하지 않는다는 것이 밝혀집니다. 기저를 사용하지 않는 정의는 이 절의 끝에서 언급하겠습니다.

예제 44.4.5 (외미분 몇 가지 계산하기).

$V=\mathbb{R}^{3}$ 이고 표준 기저가 $\mathbf{e}_{1}$ , $\mathbf{e}_{2}$ , $\mathbf{e}_{3}$ 이라고 합시다. $f(x,y,z)=x^{4}+y^{3}+2xz$ 로 둡시다. 그러면 다음과 같이 계산합니다.

df=Df=(4x^{3}+2z)\;dx+3y^{2}\;dy+2x\;dz.

다음으로, 정해진 대로 $d(df)$ 를 계산할 수 있습니다. 그 결과는 다음과 같습니다.

	$\displaystyle d^{2}f$	$\displaystyle=(12x^{2}\;dx+2dz)\wedge dx+(6y\;dy)\wedge dy+2(dx\wedge dz)$
		$\displaystyle=12x^{2}(dx\wedge dx)+2(dz\wedge dx)+6y(dy\wedge dy)+2(dx\wedge dz)$
		$\displaystyle=2(dz\wedge dx)+2(dx\wedge dz)$
		$\displaystyle=0.$

놀랍게도 $d^{2}f$ 는 영사상입니다. 여기서 우리는 $d x$ , $d y$ , $d z$ 를 쓰면서 처음으로 표기의 남용 44.4.2를 활용했습니다.

그리고 사실 이는 일반적으로 항상 성립합니다.

정리 44.4.6 (외미분은 소멸합니다).

$\alpha$ 를 임의의 $k$ -형식이라고 합시다. 그러면 $d^{2}(\alpha)=0$ 입니다. 더 간결하게 쓰면 다음과 같습니다.

d^{2}=0.

증명은 문제 44B로 남겨 둡니다.

연습문제 44.4.7.

$d^{2}=0$ 이라는 명제를 이 장의 처음에 제시한 $2$ -형식의 기하학적 그림과 비교해 보십시오. 이것이 직관적으로 왜 타당합니까?

다음은 $d$ 의 다른 몇 가지 성질입니다.

•

방금 보았듯이 $d^{2}=0$ 입니다.
•

$k$ -형식 $\alpha$ 와 $\ell$ -형식 $\beta$ 에 대하여 다음을 보일 수 있습니다.

$d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^{k}(\alpha\wedge d\beta).$
•

$f\colon U\to\mathbb{R}$ 가 매끄러우면 $df=Df$ 입니다.

사실, 위에서 정의한 $d f$ 가 이러한 성질들을 갖는, $k$ -형식을 $(k+1)$ -형식으로 보내는 유일한 사상임을 보일 수 있습니다. 따라서 $d f$ 를 정의하는 한 가지 방법은 위에 나열한 성질들을 공리로 삼은 다음, $d$ 를 이 함수 방정식의 유일한 해로 선언하는 것입니다. 어느 경우든, 이로부터 $d$ 에 대한 우리의 정의가 선택한 기저에 의존하지 않는다는 것을 알 수 있습니다.

$d f$ 가 경계에서의 변화를 측정한다는 것을 떠올리십시오. 그런 의미에서 $d^{2}=0$ 은 “경계의 경계는 비어 있다”와 같은 것을 말하고 있습니다. 다음 장에서 스토크스 정리를 볼 때 이를 엄밀하게 만들 것입니다.

44.5 여담: $\bigwedge^{k}(V^{\vee})$ 대 $(\bigwedge^{k}(V))^{\vee}$

앞에서 우리는 $\bigwedge^{k}(V^{\vee})\cong(\bigwedge^{k}(V))^{\vee}$ 가 표준적으로 성립한다고 언급했지만, 편의를 위해 전자를 사용합니다.

전자의 표기법이 실제로 더 편리하기는 하지만(두 미분 형식의 쐐기곱이 자연스럽습니다), 정의 44.3.3이 왜 그런 방식으로 정의되는지는 분명하지 않습니다.

대신 $(\bigwedge^{k}(V))^{\vee}$ 를 사용했다면 미분 형식을 계산하는 것은 자명합니다. $f\in(\bigwedge^{k}(V))^{\vee}$ 와 벡터 $v_{1},\dots,v_{k}\in V$ 에 대하여 다음과 같습니다.

f(v_{1},\dots,v_{k})\coloneqq f(v_{1}\wedge\dots\wedge v_{k}).

이는 $f$ 가 자연스럽게 $\bigwedge^{k}(V)$ 의 원소를 받아 실수를 돌려주기 때문입니다.

그러나 이제는 $f\in(\bigwedge^{1}(V))^{\vee}$ 와 $g\in(\bigwedge^{1}(V))$ 를 받아 $f\wedge g\in(\bigwedge^{2}(V))^{\vee}$ 와 같은 것을 돌려주는 방법이 분명하지 않습니다. 자연스러운 선택인 $(v\wedge w\mapsto f(v)g(w))$ 는 잘 정의되지조차 않습니다!⁵⁵5 $f=\mathbf{e}_{1}^{\vee}$ 와 $g=\mathbf{e}_{2}^{\vee}$ 로 두고, 서로 같다고 알고 있는 $\mathbf{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{2}$ 와 $-\mathbf{e}_{2}\wedge\mathbf{e}_{1}$ 에서 계산해 보십시오.

어떻게 해야 할지 알아내려면 한 걸음 물러서서 텐서곱을 고려해야 합니다. 벡터 공간 $V$ 에 대하여 $T^{k}(V)=\underbrace{V\otimes V\otimes\cdots\otimes V}_{\text{$k$개}}$ 로 정의합니다.

다음과 같은 도식이 있습니다.

무슨 일이 일어나고 있습니까?

먼저, 다음으로 주어지는 자연스러운 사상 $T^{k}(V^{\vee})\to(T^{k}(V))^{\vee}$ 가 있습니다.

\phi(\xi_{1}\otimes\dots\otimes\xi_{k})=v_{1}\otimes\dots\otimes v_{k}\mapsto% \xi_{1}(v_{1})\xi_{2}(v_{2})\dotsm\xi_{k}(v_{k})

그리고 이는 선형성에 의해 자명한 방식으로 $T^{k}(V^{\vee})$ 전체로 확장됩니다.

위의 쐐기곱의 경우와 달리, 이 사상은 실제로 잘 정의됩니다.

약간의 수작업을 거치면 $\phi$ 가 단사임을 확인할 수 있습니다. $T^{k}(V^{\vee})$ 와 $(T^{k}(V))^{\vee}$ 의 차원이 모두 $(\dim V)^{k}$ 이므로 $\phi$ 는 전단사입니다.

다음으로, $\bigwedge^{k}(V)$ 는 단지 “ $T^{k}(V)$ 에 관계를 더 부여한 것”이므로 자연스러운 몫 사상 $q\colon T^{k}(V)\twoheadrightarrow\bigwedge^{k}(V)$ 가 존재한다는 점에 주목하십시오. 따라서 텐서들은 동치류로 나뉩니다.

예제 44.5.1.

$V=\mathbb{R}^{2}$ 이면 $T^{2}(V)$ 는 $\mathbf{e}_{1}\otimes\mathbf{e}_{1}$ , $\mathbf{e}_{1}\otimes\mathbf{e}_{2}$ 또는 $-\mathbf{e}_{2}\otimes\mathbf{e}_{1}$ 과 같은 원소를 가집니다.

이 원소들을 $\bigwedge^{2}(V)$ 로 보내면 $\mathbf{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{1}=0$ 이고 $\mathbf{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{2}=-\mathbf{e}_{2}\wedge\mathbf{e}_{1}$ 을 얻습니다. 즉, $\mathbf{e}_{1}\otimes\mathbf{e}_{2}$ 와 $-\mathbf{e}_{2}\otimes\mathbf{e}_{1}$ 은 같은 동치류에 속합니다.

사상 $q$ 는 쌍대 사상 $q^{\vee}\colon(\bigwedge^{k}(V))^{\vee}\to(T^{k}(V))^{\vee}$ 를 유도합니다.

질문 44.5.2.

함수 $f\in(T^{k}(V))^{\vee}$ 가 $\operatorname{im}q^{\vee}$ 에 속할 필요충분조건은 $f$ 가 위에서 정의한 각 동치류의 모든 원소에 같은 값을 부여하는 것임을 스스로 확인해 보십시오.

따라서 동형사상 $q\circ\phi^{-1}\circ q^{\vee}\colon(\bigwedge^{k}(V))^{\vee}\to\bigwedge^{k}(V% ^{\vee})$ 를 얻습니다.⁶⁶6표기 남용으로, 사상 $T^{k}(V)\to\bigwedge^{k}(V)$ 와 $T^{k}(V^{\vee})\to\bigwedge^{k}(V^{\vee})$ 모두에 $q$ 를 사용하고 있습니다.

이것이 실제로 동형사상임을 확인하기 위해 그 역사상을 구성하겠습니다. 위에서 정의한 대로 $T^{k}(V^{\vee})$ 의 각 동치류( $g\in\bigwedge^{k}(V^{\vee})$ 의 올)는 여러 원소를 가지지만, 다음과 같이 표준적인 원소를 찾을 수 있습니다:

정의 44.5.3.

벡터 공간 $V$ 와 원소 $f=f_{1}\otimes f_{2}\otimes\dots\otimes f_{k}\in T^{k}(V)$ 에 대하여 $f$ 의 교대화를 다음과 같이 정의합니다:

\operatorname{Alt}f=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_{k}}\operatorname{sgn}(% \sigma)\cdot(f_{\sigma(1)}\otimes f_{\sigma(2)}\otimes\dots\otimes f_{\sigma(k% )})

그리고 이를 $T^{k}(V)$ 전체로 확장합니다.

여기서 $S_{k}$ 는 순열군입니다. 행렬식의 정의와 비슷하다는 점에 주목하십시오.

예제 44.5.4.

위와 같이 $V=\mathbb{R}^{2}$ 라 합시다. 그러면 다음을 얻습니다:

\operatorname{Alt}(\mathbf{e}_{1}\otimes\mathbf{e}_{2})=\frac{\mathbf{e}_{1}% \otimes\mathbf{e}_{2}-\mathbf{e}_{2}\otimes\mathbf{e}_{1}}{2}.

$\mathbf{e}_{1}\otimes\mathbf{e}_{2}$ 의 첫째 성분과 둘째 성분을 바꾸면 $\mathbf{e}_{2}\otimes\mathbf{e}_{1}$ 을 얻는데, 이는 원래 텐서와 별 관계가 없다는 점에 주목하십시오. 그러나 $\frac{\mathbf{e}_{1}\otimes\mathbf{e}_{2}-\mathbf{e}_{2}\otimes\mathbf{e}_{1}}% {2}$ 의 첫째 성분과 둘째 성분을 바꾸면 $\frac{\mathbf{e}_{2}\otimes\mathbf{e}_{1}-\mathbf{e}_{1}\otimes\mathbf{e}_{2}}% {2}$ 를 얻으며, 이는 정확히 원래 텐서의 부호를 바꾼 것입니다!

다음과 같은 이유로 $\operatorname{Alt}f$ 가 $f$ 의 동치류의 바람직한 대표원임을 알 수 있습니다:

•

$\operatorname{Alt}(\operatorname{Alt}f)=\operatorname{Alt}f$ ;
•

$q$ 가 몫 사상 $T^{k}(V)\twoheadrightarrow\bigwedge^{k}(V)$ 일 때 $q(f)=q(\operatorname{Alt}f)$ 입니다;
•

$\operatorname{Alt}f$ 는 교대 텐서입니다 — 즉, 각 순수 텐서에 대해 $\operatorname{Alt}f$ 의 인접한 두 성분을 바꾸면 텐서 전체의 부호가 바뀝니다.

따라서 각 원소를 $T^{k}(V^{\vee})$ 의 교대 텐서로 보내는 $\iota\colon\bigwedge^{k}(V^{\vee})\hookrightarrow T^{k}(V^{\vee})$ 를 정의하는 것은 타당합니다.

예제 44.5.5.

위와 같은 예시로 $V=\mathbb{R}^{2}$ 이면 다음을 얻습니다

\iota(\mathbf{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{2})=\operatorname{Alt}(\mathbf{e}_{1}% \otimes\mathbf{e}_{2})=\frac{\mathbf{e}_{1}\otimes\mathbf{e}_{2}-\mathbf{e}_{2% }\otimes\mathbf{e}_{1}}{2}.

마지막으로,

연습문제 44.5.6.

$\operatorname{im}(\phi\circ\iota)=\operatorname{im}q^{\vee}$ 임을 보이고, $\iota^{\vee}\circ\phi\circ\iota$ 와 $q\circ\phi^{-1}\circ q^{\vee}$ 가 서로의 역사상임을 보이십시오.

관례적인 표기에서는 $\mathbf{e}_{1}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{2}^{\vee}$ 가 $\mathbf{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{2}$ (즉, $\mathbf{e}_{1}$ 과 $\mathbf{e}_{2}$ 로 이루어진 정사각형)를 받아 $1$ 을 돌려주도록 쐐기곱을 정의하고자 합니다. 그러나 위의 방법으로 쐐기곱을 자연스럽게 정의하면 다음을 얻습니다.

\iota(\mathbf{e}_{1}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{2}^{\vee})=\frac{\mathbf{e}_{1}^{% \vee}\otimes\mathbf{e}_{2}^{\vee}-\mathbf{e}_{2}^{\vee}\otimes\mathbf{e}_{1}^{% \vee}}{2}

이는 다음을 의미합니다

\phi(\iota(\mathbf{e}_{1}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{2}^{\vee}))(\mathbf{e}_{1},% \mathbf{e}_{2})=\frac{1\cdot 1-0\cdot 0}{2}=\frac{1}{2}.

따라서 보정 인자 $k!$ 가 필요합니다.

두 번째 표기법을 사용하면 쐐기곱이 얼마나 “어려워”지는지 알아보기 위해, $V=\mathbb{R}^{3}$ , $\alpha=dx\wedge dy\in\bigwedge^{2}(V^{\vee})$ , $\beta=dz\in\bigwedge^{1}(V^{\vee})$ 라고 합시다.

그러면 다음을 알 수 있습니다.

•

$\alpha(\mathbf{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{2})=1$ .
•

$\beta(\mathbf{e}_{3})=1$ .
•

$(\alpha\wedge\beta)(\mathbf{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{2}\wedge\mathbf{e}_{3})=1$ 이 성립해야 합니다.

쐐기곱을 사상 $\wedge\colon\bigwedge^{2}(V^{\vee})\times\bigwedge^{1}(V^{\vee})\to\bigwedge^{% 3}(V^{\vee})$ 로 두면 마지막 사항은 자명합니다.

그러나 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 각각 $(\bigwedge^{2}(V))^{\vee}$ 와 $(\bigwedge^{1}(V))^{\vee}$ 의 원소로 주어진다면(즉, $\alpha$ 는 $v,w\in V$ 에 대하여 $v\wedge w$ 에서만 값을 계산할 수 있고, $\beta$ 는 $v\in V$ 에 대하여 $v$ 에서만 값을 계산할 수 있다면), $\alpha\wedge\beta$ 가 무엇이어야 하는지 적기가 훨씬 더 어려워집니다. 실제로,

(\alpha\wedge\beta)(v_{1}\wedge v_{2}\wedge v_{3})=\alpha(v_{1}\wedge v_{2})% \beta(v_{3})-\alpha(v_{1}\wedge v_{3})\beta(v_{2})+\alpha(v_{2}\wedge v_{3})% \beta(v_{1}).

이것이 교대화 연산자(또는 값 계산 연산)의 변형임을 알 수 있습니다. 여기서는 $\alpha\wedge\beta$ 가 교대적이 되도록 강제하기 위해 가중 평균을 계산합니다.

44.6 곁가지 참고: 호의 길이 $d s$ 는 $1$ -형식이 아닙니다

앞선 참고에서 언급했듯이, 호의 길이 $d s$ 는 $1$ -형식이 아닙니다.⁷⁷7https://mathoverflow.net/q/90455에 이에 관한 논의가 있습니다.

앞에서 미분 형식은 적분할 수 있는 대상이라고 말했습니다. $d s$ 는 분명히 적분할 수 있지만, $1$ -형식으로 간주되지 않습니다!

$d s$ 가 선형이 아니라는 것은 정의에 비추어 쉽게 확인할 수 있지만(문제 45E), 왜 $d s$ 를 배제하도록 미분 형식을 정의하려 하는지에 대한 의문은 여전히 남습니다. 여기서 무슨 일이 일어나고 있는 것입니까?

사실 진짜 이야기는, 매끄러운 곡선 위에서 적분 가능한 대상은 $1$ -밀도라는 것입니다. 이것은 나중에 정의하겠습니다.

간단히 하기 위해 이 절에서는 $\mathbb{R}^{2}$ 위에서 작업합니다. 매끄러운 곡선 $c$ 위에서 적분할 수 있는 (매끄러운) $1$ -밀도 $\omega$ 가 주어졌을 때, 적분 $\int_{c}\omega$ 가 다음 성질을 가지기를 바랍니다.

•

가법성을 가집니다. 즉, $c$ 가 두 곡선 $c_{1}$ 과 $c_{2}$ 를 이어붙인 것이라면 $\int_{c}\omega=\int_{c_{1}}\omega+\int_{c_{2}}\omega$ 입니다.
•

모든 것이 매끄러우므로, $c$ 가 아주 작은 선분이라면 $c$ 를 길이가 같은 두 선분 $c_{1}$ 과 $c_{2}$ 로 나눌 때 실제로 $\int_{c_{1}}\omega\approx\int_{c_{2}}\omega$ 일 것이라고 기대할 수 있습니다.

따라서 $c$ 의 길이가 충분히 작을 때 $\int_{c}\omega$ 가 “근사적으로 선형”이기를 요구하는 것은 자연스럽습니다.

기호로 쓰면 다음과 같습니다. $\varepsilon>0$ 에 대하여 $c_{\varepsilon}$ 를 곡선 $c$ 의 길이가 $\varepsilon$ 인 처음 부분이라고 하면,

$\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\frac{\int_{c_{\varepsilon}}\omega}{\varepsilon}=h$

어떤 유한한 상수 $h$ 에 대하여 성립합니다.

물론 $1$ -밀도 $\omega$ 를 단순히 매끄러운 곡선 $c$ 를 받아 위의 두 조건을 만족하는 값 $\int_{c}\omega$ 를 돌려주는 함수로 형식화할 수도 있지만, 이 정의는 투박합니다.

더 나은 방법은, 아주 작은 곡선 $c$ 에 대해 $\int_{c}\omega$ 를 안다면 임의의 매끄러운 곡선 $c$ 를 아주 작은 곡선들로 잘게 나누어 $\omega$ 를 적분할 수 있다는 점을 관찰하는 것입니다. 하지만 이것은 완전히 형식적이지 않습니다 — 물론 곡선의 길이가 $0$ 으로 가면 적분 $\int_{c}\omega$ 도 0으로 갑니다 — 그래서 대신 위의 극한을 고려합니다.

\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\frac{\int_{c_{\varepsilon}}\omega}{\varepsilon}.

질문 44.6.1.

같은 점 $c(0)=c_{2}(0)=p$ 에서 출발하여 같은 방향 $c^{\prime}(0)=c_{2}^{\prime}(0)=v$ 로 움직이는 두 곡선 $c\colon[0,1]\to\mathbb{R}^{2}$ 와 $c_{2}\colon[0,1]\to\mathbb{R}^{2}$ 가 주어지면, $\int_{c}\omega$ 의 기본적인 매끄러움 조건에 의해 위의 극한이 같다는 것이 보장됨을 스스로 납득해 보십시오.

따라서,

$1$ -밀도 $\omega$ 를 점 $p$ 와 처음 방향 $v\in\mathbb{R}^{2}$ (이는 $p$ 에서 $\mathbb{R}^{2}$ 의 접벡터로 이해됩니다)를 받아 그 극한을 돌려주는 함수로 정의할 수 있습니다.

형식적으로는 다음과 같습니다.

정의 44.6.2 ( $1$ -밀도).

$1$ -밀도 $\omega$ 는 함수 $\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ 입니다.

이를 $\omega_{p}(v)\in\mathbb{R}$ 로 씁니다.

방향만이 중요하므로, $\lambda\geq 0$ 에 대하여 $\omega$ 가 $\omega_{p}(\lambda v)=\lambda\omega_{p}(v)$ 를 만족하도록 하는 것이 타당합니다. 특히 $\omega_{p}(0)=0$ 입니다.

그러면 $d s$ 는 $1$ -밀도 $ds_{p}(v)=\|v\|$ 입니다. 곡선 위에서 적분하는 방법을 아직 엄밀하게 정의하지는 않았지만(다음 장에서 정의하겠습니다), 그것이 어떻게 작동하는지는 직관적으로 알 수 있습니다.

이 정의에 따르면, $1$ -형식은 두 번째 인자에 대하여 추가로 선형인 $1$ -밀도일 뿐입니다 — $\omega_{p}(v+w)=\omega_{p}(v)+\omega_{p}(w)$ .

그렇다면 미분 형식이 갖는 특별한 성질은 무엇입니까? 우선, $\omega$ 가 미분 형식이면 다음이 성립합니다.

$c\colon[0,1]\to\mathbb{R}^{2}$ 를 매끄러운 곡선이라 하면, $c$ 로 균등수렴하는 매끄러운 곡선들의 임의의 수열 $c_{k}$ 에 대하여 $\int_{c_{k}}\omega$ 는 $\int_{c}\omega$ 로 수렴합니다.

$d s$ 에 대해서는 이것이 어떻게 성립하지 않는지 쉽게 상상할 수 있습니다 — 수평선과 수직선만으로 이루어진 조각별 매끄러운 곡선들의 수열은 원을 근사할 수 있지만, 이 들쭉날쭉한 곡선들의 호의 길이는 결코 원의 둘레로 수렴할 수 없습니다.⁸⁸8사실 같은 논증을 사용하면, 역으로 후자의 성질을 만족하는 매끄러운 밀도는 반드시 선형이어야 함도 증명할 수 있습니다!

44.7 닫힌 형식과 완전 형식

$\alpha$ 를 $k$ -형식이라고 합시다.

정의 44.7.1.

$d\alpha=0$ 이면 $\alpha$ 가 닫혀 있다고 합니다.

정의 44.7.2.

어떤 $(k-1)$ -형식 $\beta$ 에 대하여 $d\beta=\alpha$ 이면 $\alpha$ 가 완전하다고 합니다. $k=0$ 이면 $\alpha$ 는 $\alpha=0$ 일 때에만 완전합니다.

질문 44.7.3.

완전 형식은 닫혀 있음을 보이십시오.

자연스러운 질문이 생깁니다. 완전하지 않은 닫힌 형식이 존재합니까? 놀랍게도 이 질문에 대한 답은 위상수학과 연결되어 있습니다. 다음은 한 가지 중요한 예입니다.

예제 44.7.4 (각 형식).

$U=\mathbb{R}^{2}\setminus\{0\}$ 이라 하고, $\theta(p)$ 를 $x$ 축과 원점에서 $p$ 로 가는 직선이 이루는 각이라고 합시다.

다음과 같이 정의된 $1$ -형식 $\alpha\colon U\to(\mathbb{R}^{2})^{\vee}$ 를

\alpha=\frac{-y\;dx+x\;dy}{x^{2}+y^{2}}

각 형식이라고 합니다. 이는 $p\in U$ 가 주어졌을 때 접벡터를 따라 각 $\theta(p)$ 의 변화를 측정합니다. 따라서 직관적으로는 “ $\alpha=d\theta$ ”입니다. 실제로 각 형식이 닫혀 있음을 직접 확인할 수 있습니다.

그러나 $\alpha$ 는 완전하지 않습니다. $\alpha$ 를 도함수로 갖는 전역적인 매끄러운 함수 $\theta\colon U\to\mathbb{R}$ 는 존재하지 않습니다. 이는 원점을 중심으로 실제로 $2\pi$ 만큼 완전히 회전할 수 있다는 사실, 즉 $\theta$ 가 $2\pi$ 를 법으로 해서만 의미를 갖는다는 사실을 반영합니다. 따라서 각 형식 $\alpha$ 의 존재는 원점 주위를 “감아 도는” 것이 가능함을 반영합니다.

그러므로 핵심 아이디어는, 닫힌 형식이 완전하지 못하다는 사실이 공간의 “구멍”과 꽤 잘 대응한다는 것입니다. 이는 호모토피 군과 호몰로지 군이 포착하려는 것과 같은 정보입니다. 또 다른 비유를 들자면, 복소해석학에서 코시-구르사 정리는 $U$ 가 단순 연결일 때에만 성립합니다. $U$ 의 “구멍”은 형식 $\alpha$ 의 존재에 의해 감지됩니다. 이른바 드람 코호몰로지가 이 관계를 명시적으로 드러낼 것입니다.

44.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 44A.

각 형식

\alpha=\frac{-y\;dx+x\;dy}{x^{2}+y^{2}}

이 닫혀 있음을 직접 보이십시오.

문제 44B.

$d^{2}=0$ 임을 말하는 정리 44.4.6를 증명하십시오.

힌트. 이것은 단순한 합 계산일 뿐입니다. 혼합 편미분이 대칭이라는 사실이 필요합니다.