장 53 대수적 정수

대수적 수론의 첫 맛보기입니다.

이는 올림피아드와 고등 수학의 경계에 매우 가까운 내용입니다. 여러분은 항상 $a+\sqrt{2}b$ 가 “노름”(norm) $a^{2}-2b^{2}$ 를 가지며, 이 노름이 어떤 식으로든 곱셈적이라는 것을 알고 있었을 것입니다. 또한 근이 켤레쌍으로 나타난다는 것도 항상 알고 있었을 것입니다. 최소다항식에 대해 들어본 적은 있어도 그다지 잘 알지는 못할 수도 있습니다.

이 장과 다음 장은 이러한 모호한 개념들을 정확하게 만들어 줄 것입니다. 이 내용은 주로 [OGG10]의 첫 장에서 가져온 것입니다.

53.1 고등학교 대수학으로부터의 동기

이는 제 블로그 압도적인 힘¹¹1URL: https://blog.evanchen.cc/conjugate/에서 각색한 것입니다.

고등학교 미적분 예비과정에서는 정수 계수를 갖는 어떤 다항식의 근을 구하라는 문제를 자주 접하게 됩니다. 예를 들면,

x^{3}-x^{2}-x-15=(x-3)(x^{2}+2x+5)

근으로 $3$ , $-1+2i$ , $-1-2i$ 를 갖습니다. 또 다른 예로는,

x^{3}-3x^{2}-2x+2=(x+1)(x^{2}-4x+2)

근으로 $-1$ , $2+\sqrt{2}$ , $2-\sqrt{2}$ 를 갖습니다. $-1\pm 2i$ 나 $2\pm\sqrt{2}$ 와 같은 무리수 근들이 쌍으로 나타난다는 것을 알아차릴 수 있습니다. 실제로, 미적분 예비과정에서는 복소수 근이 켤레쌍으로 나타난다고 명시적으로 알려줄 것입니다. 더 일반적으로, $a+b\sqrt{c}$ 형태의 모든 근은 “켤레쌍”으로 나타나는 것처럼 보입니다. 그리고 그 이유도 알 수 있을 것입니다.

하지만 다음과 같은 다항식은

x^{3}-8x+4

유리수 근을 갖지 않습니다. (이 다항식의 근은 대략 $-3.0514$ , $0.51730$ , $2.5341$ 입니다.) 혹은 더 간단한 예로,

x^{3}-2

실근을 단 하나, $\sqrt[3]{2}$ 만 갖습니다. 이 근들은 무리수임에도 불구하고 “켤레”쌍을 갖지 않습니다. 정말 그럴까요?

정확히 무슨 일이 일어나고 있는지 알아봅시다. $\alpha$ 를 임의의 복소수라 합시다. $\mathbb{Q}$ 위에서 $\alpha$ 의 최소다항식을 다음 조건을 만족하는 다항식으로 정의합니다.

•

$P(x)$ 는 유리수 계수를 가지며, 최고차항의 계수는 $1$ 입니다.
•

$P(\alpha)=0$ .
•

$P$ 의 차수는 가능한 한 작습니다. $\deg P$ 를 $\alpha$ 의 차수라고 부릅니다.

예제 53.1.1 (최소다항식의 예).

(a)

$\sqrt{2}$ 의 최소다항식은 $x^{2}-2$ 입니다.
(b)

허수 단위 $i=\sqrt{-1}$ 의 최소다항식은 $x^{2}+1$ 입니다.
(c)

$p$ 가 소수일 때, 원시 $p$ 차 단위근 $\zeta_{p}=e^{\frac{2\pi i}{p}}$ 의 최소다항식은 $x^{p-1}+x^{p-2}+\dots+1$ 입니다.

$100x^{2}-200$ 역시 $\sqrt{2}$ 를 근으로 갖는 같은 차수의 다항식이라는 점에 주목하십시오. 바로 이 때문에 다항식이 모닉(monic)일 것을 요구하고자 하는 것입니다. 또한 바로 이 때문에 유리수 범위에서 작업하기로 선택하는 것입니다. 그렇게 하면 정수가 아닌 값이 나올 걱정 없이 최고차항의 계수로 나눌 수 있습니다.

왜 이것이 중요할까요? 요점은 다음과 같습니다: $A(\alpha)=0$ 을 만족하는 또 다른 다항식 $A(x)$ 가 있다고 합시다. 그러면 $P(x)$ 가 실제로 $A(x)$ 를 나눈다고 주장할 수 있습니다! 이는 $P$ 의 다른 모든 근 역시 $A$ 의 근이 된다는 것을 의미합니다.

증명은 귀류법으로 진행됩니다: 만약 그렇지 않다면, 다항식의 긴 나눗셈에 의해 다음을 만족하는 몫 $Q(x)$ 와 나머지 $R(x)$ 를 찾을 수 있습니다.

A(x)=Q(x)P(x)+R(x)

그리고 $R(x)\not\equiv 0$ 입니다. $x=\alpha$ 를 대입해 보면 $R(\alpha)=0$ 임을 알 수 있습니다. 하지만 $\deg R<\deg P$ 이고, $P(x)$ 는 최소다항식이어야 했습니다. 이는 불가능합니다!

이로부터 최소다항식이 유일하다는 것(존재할 경우)이 모닉성과 함께 따라 나오므로, 실제로는 그 최소다항식이라고 부르는 것이 더 낫습니다.

연습문제 53.1.2.

$\mathbb{C}$ 에서 최소 다항식이 없는 원소를 찾을 수 있습니까?

더 구체적인 예를 살펴봅시다. 처음에 나왔던 $A(x)=x^{3}-3x^{2}-2x+2$ 를 생각해 봅시다. $2+\sqrt{2}$ 의 최소 다항식은 $P(x)=x^{2}-4x+2$ 입니다(왜일까요?). 이제 $2+\sqrt{2}$ 가 근이라면 $A(x)$ 는 $P(x)$ 로 나누어떨어진다는 것을 알고 있습니다. 그리고 이것이 바로 $2+\sqrt{2}$ 가 $A$ 의 근이라면 $2-\sqrt{2}$ 도 근이어야 함을 아는 방법입니다.

또 다른 예로, $\sqrt[3]{2}$ 의 최소 다항식은 $x^{3}-2$ 입니다. 따라서 $\sqrt[3]{2}$ 는 실제로 두 개의 켤레를 가지는데, 즉 $\alpha=\sqrt[3]{2}\left(\cos 120^{\circ}+i\sin 120^{\circ}\right)$ 와 $\beta=\sqrt[3]{2}\left(\cos 240^{\circ}+i\sin 240^{\circ}\right)$ 입니다. 따라서 $\sqrt[3]{2}$ 에서 소멸하는 임의의 다항식은 $\alpha$ 와 $\beta$ 도 근으로 가집니다!

질문 53.1.3 (중요하지만 항진명제: 기약 $\iff$ 최소).

$\alpha$ 를 다항식 $P(x)$ 의 근이라 합시다. $P(x)$ 가 최소 다항식인 것과 기약인 것이 동치임을 보이십시오.

53.2 대수적 수와 대수적 정수

대표적인 예: $\sqrt{2}$ 는 대수적 정수입니다 ( $x^{2}-2$ 의 근), $\frac{1}{2}$ 는 대수적 수이지만 대수적 정수는 아닙니다 ( $x-\frac{1}{2}$ 의 근).

이제 훨씬 더 넓은 일반성 속에서 다루어 봅시다. 먼저 위에서 논의한 새로운 수들에 이름을 붙여 봅시다.

정의 53.2.1.

대수적 수는 $\mathbb{Q}$ 의 계수를 가지는 어떤 다항식의 근이 되는 임의의 $\alpha\in\mathbb{C}$ 입니다. 대수적 수의 집합은 $\overline{\mathbb{Q}}$ 로 표기합니다.

비고 53.2.2.

$\mathbb{Q}[x]$ 의 임의의 다항식은 $\mathbb{Z}[x]$ 의 다항식으로 스케일링할 수 있으므로, 대수적 수는 ( $\mathbb{Q}$ 가 아니라) $\mathbb{Z}$ 의 계수를 가지는 어떤 다항식의 근인 수라고 똑같이 말할 수도 있습니다.

정의 53.2.3.

대수적 수 $\alpha$ 와 그 최소 다항식 $P$ (모닉이며 유리수 계수를 가짐)를 생각해 봅시다. $P$ 의 계수가 정수로 밝혀지면, $\alpha$ 를 대수적 정수라고 부릅니다.

대수적 정수의 집합은 $\overline{\mathbb{Z}}$ 로 표기합니다.

비고 53.2.4.

가우스 보조정리를 사용하면, $\alpha$ 가 정수 계수를 가지는 임의의 모닉 다항식의 근이라면 $\alpha$ 는 대수적 정수임을 보일 수 있습니다. 그래서 실제로는, $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 가 대수적 정수임을 증명하고 싶다면, 그것이 최소임을 확인할 필요 없이 ”다항식 $(x^{2}-5)^{2}-24$ 가 작동합니다”라고만 말하면 됩니다.

때로는 명확성을 위해 $\mathbb{Z}$ 의 원소를 유리 정수라고 부릅니다.

예제 53.2.5 (대수적 정수의 예).

다음 수들은

4,\;i=\sqrt{-1},\;\sqrt[3]{2},\;\sqrt{2}+\sqrt{3}

모두 대수적 정수인데, 모닉 다항식 $x-4$ , $x^{2}+1$ , $x^{3}-2$ , $(x^{2}-5)^{2}-24$ 의 근이기 때문입니다.

수 $\frac{1}{2}$ 은 최소 다항식 $x-\frac{1}{2}$ 을 가지므로, 대수적 수이지만 대수적 정수는 아닙니다. (사실 유리근 정리도 임의의 모닉 정수 다항식이 $\frac{1}{2}$ 을 근으로 가지지 않음을 직접적으로 함의합니다!)

처음부터 언급하고 싶은 두 가지 성질이 있습니다. 이는 절의 끝부분에 나오는 까다롭지만 좋은 문제들에서 폭넓게 사용될 것이기 때문입니다. 첫 번째는 매우 쉬우므로 지금 증명합니다:

명제 53.2.6 (유리 대수적 정수는 유리 정수입니다).

대수적 정수가 유리수인 것은 그것이 유리 정수인 것과 필요충분조건입니다. 기호로 나타내면

\overline{\mathbb{Z}}\cap\mathbb{Q}=\mathbb{Z}.

입니다.

증명.

$\alpha$ 를 유리수라 합시다. $\alpha$ 가 정수라면 그것은 $x-\alpha$ 의 근이므로, 역시 대수적 정수입니다.

역으로, $P$ 가 정수 계수를 가지는 모닉 다항식이고 $P(\alpha)=0$ 이라면 (예컨대 유리근 정리에 의해) $\alpha$ 는 반드시 정수여야 함이 따라 나옵니다. ∎

다른 하나는 다음과 같습니다.

명제 53.2.7 ( $\overline{\mathbb{Z}}$ 는 환이고 $\overline{\mathbb{Q}}$ 는 체).

대수적 정수 $\overline{\mathbb{Z}}$ 는 환을 이룹니다. 대수적 수 $\overline{\mathbb{Q}}$ 는 체를 이룹니다.

원한다면 지금 이를 증명할 수도 있지만, 다음 장의 결과가 거의 대신해 줄 것이므로, 잠시 이를 그대로 받아들이기로 합시다.

비고 53.2.8.

최소다항식 $P$ 를 갖는 대수적 정수 $\alpha$ 에 대해, $P$ 의 다른 모든 근 역시 대수적 정수라는 것은 정의상 명백합니다. (위의 두 성질과 더불어) 이 성질이 대수적 정수의 집합을 특징짓는다는 것을 확인할 수 있습니다. 이러한 관점에서, 대수적 정수는 정수환 $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}$ 를 모든 대수적수의 체 $\overline{\mathbb{Q}}$ 로 내재적으로 정의된 방식으로 일반화한 것으로 생각할 수 있습니다.

53.3 수체

대표적인 예: $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 는 전형적인 수체입니다.

임의의 대수적수 $\alpha$ 가 주어지면, $\mathbb{Q}(\alpha)$ 형태의 체를 생각할 수 있습니다. 좀 더 완전한 버전을 적어봅시다.

정의 53.3.1.

수체 $K$ 는 $\mathbb{Q}$ 를 부분체로 포함하며 유한 차원 $\mathbb{Q}$ -벡터 공간인 체입니다. $K$ 의 차수는 그 차원입니다.

예제 53.3.2 (전형적인 예).

다음 체를 생각해봅시다

K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\left\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\right\}.

이는 $\mathbb{Q}$ 의 체 확대이며, 차수는 $2$ 입니다 (기저는 $1$ 과 $\sqrt{2}$ 입니다).

$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ 대신 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ (분모를 허용해야 하는 표기)를 쓴 것에 혼란스러울 수 있습니다. 하지만 예제 5.5.4를 읽어보면, 분모는 사실 별로 중요하지 않다는 것을 알 수 있습니다: 예를 들어 어차피 $\frac{1}{3-\sqrt{2}}=\frac{1}{7}(3+\sqrt{2})$ 입니다. 지금 일반적으로 이를 확인해보거나, 아니면 그 구별을 무시하고 제가 어디서나 대괄호를 쓴 것처럼 여기시면 됩니다.

연습문제 53.3.3 (중요하지 않음).

$\alpha$ 가 대수적수이면 $\mathbb{Q}(\alpha)\cong\mathbb{Q}[\alpha]$ 임을 보이십시오.

예제 53.3.4 (대수적수 첨가).

$\alpha$ 를 어떤 기약다항식 $P(x)\in\mathbb{Q}[x]$ 의 근이라 합시다. 체 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 역시 체 확대이며, 기저는 $1,\alpha,\alpha^{2},\dots,\alpha^{m-1}$ 입니다. 여기서 $m=\deg P$ 입니다. 특히, $\mathbb{Q}(\alpha)$ 의 차수는 $P$ 의 차수입니다.

예제 53.3.5 (수체가 아닌 예).

$\mathbb{R}$ 과 $\mathbb{C}$ 는 유한한 $\mathbb{Q}$ -기저가 없으므로 수체가 아닙니다.

53.4 원시원소 정리, 그리고 단생성 확대

대표적인 예: $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5})\cong\mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{5})$ 입니다. 왜 그런지 알 수 있습니까?

이 정리를 여기 실은 이유는 오직 그것이 참이라고 아무도 말해주지 않은 것에 화가 났기 때문이며 (이는 매우 자연스러운 추측입니다), 저는 독자에게 같은 일을 반복하고 싶지 않습니다. 다만 이후에는 이를 사용하지 않을 것입니다.

정리 53.4.1 (아르틴의 원시원소 정리).

모든 수체 $K$ 는 어떤 대수적수 $\alpha$ 에 대해 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 와 동형입니다.

증명은 문제 59F로 남겨둡니다. 이를 증명하려면 먼저 체 확대에 대해 이야기해야 하기 때문입니다.

전형적인 예

\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5})\cong\mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{5})

를 보면 왜 이 정리가 그리 놀랍지 않아야 하는지 명확해집니다.

53.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 53A.

$\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ 를 근으로 갖는 정수 계수 다항식을 찾으십시오.

문제 53B (브라질 2006).

^†^†margin:

$p$ 를 $\mathbb{Q}[x]$ 에서 차수가 $1$ 보다 큰 기약다항식이라 합시다. $p$ 가 곱이 $1$ 인 두 근 $r$ 과 $s$ 를 가지면 $p$ 의 차수가 짝수임을 증명하십시오.

힌트. $p(x)$ 가 $r$ 의 최소다항식이지만, $q(x)=x^{\deg p}p(1/x)$ 역시 그러하다는 점에 주목하십시오. 따라서 $q$ 와 $p$ 는 서로의 배수여야 합니다.

문제 53C.

$n$ 개의 단위근 $\varepsilon_{1}$ , …, $\varepsilon_{n}$ 을 생각합니다. 평균 $\frac{1}{n}(\varepsilon_{1}+\dots+\varepsilon_{n})$ 이 대수적 정수라고 가정합니다. 평균이 0이거나 $\varepsilon_{1}=\dots=\varepsilon_{n}$ 임을 증명하십시오. (보조정리 22.2.2에서 사용됩니다.)

힌트. $\left\lvert\frac{1}{n}(\varepsilon_{1}+\dots+\varepsilon_{n})\right\rvert\leq 1$ .

문제 53D.

^†^†margin:

어떤 유리수 $q$ 가 $\cos(q\pi)\in\mathbb{Q}$ 를 만족합니까?

힌트. 자명한 것들뿐입니다. $\cos(q\pi)\in\mathbb{Q}$ 라고 가정합니다. $\zeta$ 를 단위근이라 하면 (어떤 $N$ 에 대해 $\zeta^{N}-1=0$ 이므로 대수적 정수입니다) $2\cos(q\pi)=\zeta+\zeta^{N-1}$ 이 대수적 정수이자 유리수임에 주목하십시오.

문제 53E (MOP 2010).

원형으로 배열된 $n>2$ 개의 램프가 있으며, 처음에는 하나만 켜져 있고 나머지는 꺼져 있습니다. 우리는 꼭짓점들이 램프들 중에 있는 임의의 정다각형을 선택하여 모든 램프의 상태를 동시에 전환할 수 있습니다. 모든 램프를 끄는 것이 불가능함을 보이십시오.

힌트. 단위근으로 보십시오. $\frac{1}{2}$ 는 대수적 정수가 아님에 주목하십시오.

문제 53F (크로네커의 정리).

^†^†margin:

$\alpha$ 가 대수적 정수라고 하십시오. 이것의 모든 갈루아 켤레의 절댓값이 1이라고 가정하십시오. 어떤 양의 정수 $N$ 에 대해 $\alpha^{N}=1$ 임을 증명하십시오.

힌트. $\alpha=\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ , …, $\alpha_{n}$ 을 이것의 켤레라고 하십시오. $e\in\mathbb{N}$ 에 걸쳐 다항식 $(x-\alpha_{1}^{e})\dots(x-\alpha_{n}^{e})$ 을 살펴보십시오. 가능한 모든 다항식에 대해 비둘기집 원리를 적용하십시오.

문제 53G.

^†^†margin:

절댓값이 1이면서 단위근이 아닌 대수적 정수가 존재합니까?

문제 53H.

대수적 정수의 환은 뇌터 환입니까?

장 53 대수적 정수

53.1 고등학교 대수학으로부터의 동기

예제 53.1.1 (최소다항식의 예).

연습문제 53.1.2.

질문 53.1.3 (중요하지만 항진명제: 기약 ⇔ 최소).

53.2 대수적 수와 대수적 정수

정의 53.2.1.

비고 53.2.2.

정의 53.2.3.

비고 53.2.4.

예제 53.2.5 (대수적 정수의 예).

명제 53.2.6 (유리 대수적 정수는 유리 정수입니다).

증명.

명제 53.2.7 (ℤ¯는 환이고 ℚ¯는 체).

비고 53.2.8.

53.3 수체

정의 53.3.1.

예제 53.3.2 (전형적인 예).

연습문제 53.3.3 (중요하지 않음).

예제 53.3.4 (대수적수 첨가).

예제 53.3.5 (수체가 아닌 예).

53.4 원시원소 정리, 그리고 단생성 확대

정리 53.4.1 (아르틴의 원시원소 정리).

53.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 53A.

문제 53B (브라질 2006).

문제 53C.

문제 53D.

문제 53E (MOP 2010).

문제 53F (크로네커의 정리).

문제 53G.

문제 53H.

질문 53.1.3 (중요하지만 항진명제: 기약 $\iff$ 최소).

명제 53.2.7 ( $\overline{\mathbb{Z}}$ 는 환이고 $\overline{\mathbb{Q}}$ 는 체).