장 53 대수적 정수

대수적 정수론을 처음으로 맛보겠습니다.

이 내용은 올림피아드와 고등 수학의 경계에 매우 가까이 있습니다. 여러분은 $a+\sqrt{2}b$ 에 “노름” $a^{2}-2b^{2}$ 이 있고, 어째서인지 이 노름이 곱셈적이라는 것을 늘 알고 있었을 것입니다. 또한 근이 켤레 쌍으로 나타난다는 것도 늘 알고 있었을 것입니다. 최소 다항식에 대해 들어 본 적은 있어도 그에 대해 많이 알지는 못할 수도 있습니다.

이 장과 다음 장에서는 이러한 모호한 개념들을 모두 엄밀하게 만들 것입니다. 이 내용은 대부분 [OGG10]의 첫 장에서 가져왔습니다.

53.1 고등학교 대수에서 얻는 동기

이 내용은 제 블로그 Power Overwhelming¹¹1URL: https://blog.evanchen.cc/conjugate/의 글을 각색한 것입니다.

고등학교 미적분 예비 과정에서는 정수 계수 다항식의 근을 구하라는 문제를 자주 받게 됩니다. 예를 들어,

x^{3}-x^{2}-x-15=(x-3)(x^{2}+2x+5)

의 근은 $3$ , $-1+2i$ , $-1-2i$ 입니다. 또 다른 예로,

x^{3}-3x^{2}-2x+2=(x+1)(x^{2}-4x+2)

의 근은 $-1$ , $2+\sqrt{2}$ , $2-\sqrt{2}$ 입니다. $-1\pm 2i$ 와 $2\pm\sqrt{2}$ 같은 무리수 근들이 쌍으로 나타난다는 것을 알아차릴 것입니다. 실제로 제 생각에는 미적분 예비 과정에서 복소수 근이 켤레 쌍으로 나타난다고 명시적으로 알려 줍니다. 더 일반적으로, $a+b\sqrt{c}$ 꼴의 근은 모두 “켤레 쌍”으로 나타나는 것처럼 보입니다. 그리고 그 이유도 알 수 있습니다.

그러나 다음과 같은 다항식

x^{3}-8x+4

은 유리수 근을 갖지 않습니다. (이 다항식의 근은 대략 $-3.0514$ , $0.51730$ , $2.5341$ 입니다.) 또는 더 간단하게,

x^{3}-2

은 실근을 $\sqrt[3]{2}$ 하나만 갖습니다. 이 근들은 무리수인데도 “켤레” 쌍이 없습니다. 정말 그럴까요?

정확히 무슨 일이 일어나고 있는지 알아봅시다. $\alpha$ 를 임의의 복소수라고 합시다. $\mathbb{Q}$ 위에서 $\alpha$ 의 최소 다항식을 다음을 만족하는 다항식으로 정의합니다.

•

$P(x)$ 는 유리수 계수를 가지며 최고차항의 계수가 $1$ 입니다.
•

$P(\alpha)=0$ .
•

$P$ 의 차수는 가능한 한 작습니다. $\deg P$ 를 $\alpha$ 의 차수라고 부릅니다.

예제 53.1.1 (최소 다항식의 예).

(a)

$\sqrt{2}$ 의 최소 다항식은 $x^{2}-2$ 입니다.
(b)

허수 단위 $i=\sqrt{-1}$ 의 최소 다항식은 $x^{2}+1$ 입니다.
(c)

$p$ 가 소수일 때, 원시 $p$ 제곱 단위근 $\zeta_{p}=e^{\frac{2\pi i}{p}}$ 의 최소 다항식은 $x^{p-1}+x^{p-2}+\dots+1$ 입니다.

$100x^{2}-200$ 역시 $\sqrt{2}$ 를 근으로 갖는 같은 차수의 다항식이라는 점에 유의하십시오. 이것이 다항식이 모닉이어야 한다고 요구하는 이유입니다. 또한 유리수에서 작업하기로 하는 이유이기도 합니다. 그렇게 하면 정수가 아닌 수가 나올까 걱정하지 않고 최고차항의 계수로 나눌 수 있습니다.

이것이 왜 중요할까요? 요점은 다음과 같습니다. $A(\alpha)=0$ 을 만족하는 또 다른 다항식 $A(x)$ 가 있다고 합시다. 그러면 실제로 $P(x)$ 가 $A(x)$ 를 나눈다고 주장할 수 있습니다! 이는 $P$ 의 다른 모든 근도 $A$ 의 근이 된다는 뜻입니다.

증명은 귀류법으로 합니다. 그렇지 않다면, 다항식의 긴 나눗셈을 통해 다음을 만족하는 몫 $Q(x)$ 와 나머지 $R(x)$ 를 찾을 수 있습니다.

A(x)=Q(x)P(x)+R(x)

또한 $R(x)\not\equiv 0$ 입니다. $x=\alpha$ 를 대입하면 $R(\alpha)=0$ 임을 알 수 있습니다. 그러나 $\deg R<\deg P$ 이고, $P(x)$ 는 최소 다항식이어야 했습니다. 이는 불가능합니다!

이 사실과 최소 다항식이 모닉이라는 사실로부터 최소 다항식은 (존재한다면) 유일하다는 것이 따라 나오므로, 실제로는 그 최소 다항식이라고 부르는 것이 더 적절합니다.

연습문제 53.1.2.

$\mathbb{C}$ 에서 최소 다항식이 없는 원소를 찾을 수 있습니까?

좀 더 구체적인 예를 살펴봅시다. 처음에 나온 $A(x)=x^{3}-3x^{2}-2x+2$ 를 생각해 봅시다. $2+\sqrt{2}$ 의 최소 다항식은 $P(x)=x^{2}-4x+2$ 입니다(왜 그렇습니까?). 이제 $2+\sqrt{2}$ 가 근이라면 $A(x)$ 가 $P(x)$ 로 나누어떨어진다는 것을 압니다. 바로 이렇게 해서 $2+\sqrt{2}$ 가 $A$ 의 근이라면 $2-\sqrt{2}$ 도 반드시 근이어야 한다는 것을 알 수 있습니다.

또 다른 예로, $\sqrt[3]{2}$ 의 최소 다항식은 $x^{3}-2$ 입니다. 따라서 $\sqrt[3]{2}$ 는 실제로 두 개의 켤레, 즉 $\alpha=\sqrt[3]{2}\left(\cos 120^{\circ}+i\sin 120^{\circ}\right)$ 와 $\beta=\sqrt[3]{2}\left(\cos 240^{\circ}+i\sin 240^{\circ}\right)$ 를 가집니다. 그러므로 $\sqrt[3]{2}$ 에서 0이 되는 다항식은 모두 $\alpha$ 와 $\beta$ 도 근으로 가집니다!

질문 53.1.3 (중요하지만 동어반복적인 사실: 기약 $\iff$ 최소).

$\alpha$ 를 다항식 $P(x)$ 의 근이라고 합시다. $P(x)$ 가 최소 다항식일 필요충분조건은 $P(x)$ 가 기약이라는 것임을 보이십시오.

53.2 대수적 수와 대수적 정수

대표적인 예: $\sqrt{2}$ 는 대수적 정수이고( $x^{2}-2$ 의 근), $\frac{1}{2}$ 는 대수적 수이지만 대수적 정수는 아닙니다( $x-\frac{1}{2}$ 의 근).

이제 훨씬 더 일반적인 상황에서 다루어 봅시다. 먼저 위에서 논의한 새로운 수들에 이름을 붙입시다.

정의 53.2.1.

대수적 수란 계수가 $\mathbb{Q}$ 에 속하는 어떤 다항식의 근이 되는 $\alpha\in\mathbb{C}$ 를 말합니다. 대수적 수의 집합은 $\overline{\mathbb{Q}}$ 로 나타냅니다.

비고 53.2.2.

$\mathbb{Q}[x]$ 의 모든 다항식은 상수배하여 $\mathbb{Z}[x]$ 의 다항식으로 만들 수 있으므로, 대수적 수를 ( $\mathbb{Q}$ 대신) 계수가 $\mathbb{Z}$ 에 속하는 어떤 다항식의 근이 되는 수라고 말해도 똑같습니다.

정의 53.2.3.

대수적 수 $\alpha$ 와 그 최소 다항식 $P$ (모닉이고 유리수 계수를 가짐)를 생각해 봅시다. $P$ 의 계수가 모두 정수로 밝혀진다면, $\alpha$ 를 대수적 정수라고 합니다.

대수적 정수의 집합은 $\overline{\mathbb{Z}}$ 로 나타냅니다.

비고 53.2.4.

가우스 보조정리를 이용하면, $\alpha$ 가 정수 계수를 갖는 임의의 모닉 다항식의 근이면 $\alpha$ 가 대수적 정수임을 보일 수 있습니다. 따라서 실제로 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 이 대수적 정수임을 증명하고 싶다면, 그것이 최소인지 확인할 필요 없이 “다항식 $(x^{2}-5)^{2}-24$ 가 조건을 만족한다”라고만 말하면 됩니다.

때로는 명확성을 위해 $\mathbb{Z}$ 의 원소를 유리 정수라고 부릅니다.

예제 53.2.5 (대수적 정수의 예).

다음 수들은

4,\;i=\sqrt{-1},\;\sqrt[3]{2},\;\sqrt{2}+\sqrt{3}

모닉 다항식 $x-4$ , $x^{2}+1$ , $x^{3}-2$ , $(x^{2}-5)^{2}-24$ 의 근이므로 모두 대수적 정수입니다.

수 $\frac{1}{2}$ 의 최소 다항식은 $x-\frac{1}{2}$ 이므로, 이 수는 대수적 수이지만 대수적 정수는 아닙니다. (사실 유리근 정리로부터도 어떤 모닉 정수 계수 다항식도 $\frac{1}{2}$ 를 근으로 가지지 않는다는 것이 바로 따라 나옵니다!)

이 절의 마지막에 나오는 까다로운(하지만 멋진) 문제들에서 많이 쓰이므로, 곧바로 언급해 두고 싶은 성질이 두 가지 있습니다. 첫 번째 성질은 매우 쉬우므로 지금 증명하겠습니다.

명제 53.2.6 (유리수인 대수적 정수는 유리 정수입니다).

대수적 정수가 유리수일 필요충분조건은 그것이 유리 정수인 것입니다. 기호로 나타내면 다음과 같습니다.

\overline{\mathbb{Z}}\cap\mathbb{Q}=\mathbb{Z}.

증명.

$\alpha$ 를 유리수라고 합시다. $\alpha$ 가 정수이면 $\alpha$ 는 $x-\alpha$ 의 근이므로 대수적 정수이기도 합니다.

역으로, $P$ 가 $P(\alpha)=0$ 을 만족하는 정수 계수 모닉 다항식이면 (예를 들어 유리근 정리에 의해) $\alpha$ 는 반드시 정수입니다. ∎

다른 하나는 다음과 같습니다.

명제 53.2.7 ( $\overline{\mathbb{Z}}$ 는 환이고 $\overline{\mathbb{Q}}$ 는 체입니다).

대수적 정수 $\overline{\mathbb{Z}}$ 는 환을 이룹니다. 대수적 수 $\overline{\mathbb{Q}}$ 는 체를 이룹니다.

원한다면 지금 이것을 증명할 수도 있지만, 다음 장의 결과들이 대체로 이를 대신해 줄 것이므로 당분간은 이를 믿고 넘어가겠습니다.

비고 53.2.8.

최소 다항식이 $P$ 인 대수적 정수 $\alpha$ 에 대해, $P$ 의 다른 모든 근 역시 대수적 정수라는 것은 정의에 의해 분명합니다. 이 성질이 (위의 두 성질과 함께) 대수적 정수의 집합을 특징짓는다는 것을 확인할 수 있습니다. 이러한 관점에서 대수적 정수는 정수환 $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}$ 를 모든 대수적 수의 체 $\overline{\mathbb{Q}}$ 로 내재적으로 정의된 방식으로 일반화한 것이라고 생각할 수 있습니다.

53.3 수체

대표적인 예: $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 는 전형적인 수체입니다.

임의의 대수적 수 $\alpha$ 가 주어지면 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 꼴의 체를 생각할 수 있습니다. 좀 더 완전한 형태의 정의를 적어 봅시다.

정의 53.3.1.

수체 $K$ 는 $\mathbb{Q}$ 를 부분체로 포함하며 유한 차원 $\mathbb{Q}$ -벡터 공간인 체입니다. $K$ 의 차수는 그 차원입니다.

예제 53.3.2 (대표적인 예).

다음 체를 생각해 보십시오.

K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\left\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\right\}.

이것은 $\mathbb{Q}$ 의 체 확대이며, 차수는 $2$ 입니다(기저는 $1$ 과 $\sqrt{2}$ 입니다).

제가 이를테면 $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ 대신 (분모를 허용해야 하는) $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 라고 쓴 것이 혼란스러울 수도 있습니다. 하지만 예제 5.5.4를 읽어 보았다면 분모는 사실 중요하지 않다는 것을 알 수 있을 것입니다. 예를 들어 어차피 $\frac{1}{3-\sqrt{2}}=\frac{1}{7}(3+\sqrt{2})$ 입니다. 지금 이를 일반적으로 확인해 보아도 되고, 그냥 이 구별을 무시하고 제가 모든 곳에 대괄호를 썼다고 생각하셔도 됩니다.

연습문제 53.3.3 (중요하지 않음).

$\alpha$ 가 대수적 수이면 $\mathbb{Q}(\alpha)\cong\mathbb{Q}[\alpha]$ 임을 보이십시오.

예제 53.3.4 (대수적 수의 첨가).

$\alpha$ 를 어떤 기약 다항식 $P(x)\in\mathbb{Q}[x]$ 의 근이라고 합시다. 체 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 역시 체 확대이며, 그 기저는 $1,\alpha,\alpha^{2},\dots,\alpha^{m-1}$ 입니다. 여기서 $m=\deg P$ 입니다. 특히 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 의 차수는 $P$ 의 차수와 같습니다.

예제 53.3.5 (수체가 아닌 예).

$\mathbb{R}$ 과 $\mathbb{C}$ 는 유한한 $\mathbb{Q}$ -기저가 없으므로 수체가 아닙니다.

53.4 원시 원소 정리와 단생성 확대

대표적인 예: $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5})\cong\mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{5})$ 입니다. 그 이유를 아시겠습니까?

제가 이 정리를 여기에 넣는 것은 단지 아무도 이것이 참이라고 알려 주지 않아서 속상했기 때문이며(이는 매우 자연스러운 추측입니다), 독자에게는 같은 일을 하고 싶지 않기 때문입니다. 하지만 이후의 내용에서 이 정리를 사용하지는 않을 것입니다.

정리 53.4.1 (아르틴의 원시 원소 정리).

모든 수체 $K$ 는 어떤 대수적 수 $\alpha$ 에 대하여 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 와 동형입니다.

이를 증명하려면 먼저 체 확대에 대해 이야기해야 하므로, 증명은 문제 59F로 남겨 둡니다.

대표적인 예

\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5})\cong\mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{5})

를 보면 이 정리가 그다지 놀랍지 않은 이유가 분명해집니다.

53.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 53A.

$\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ 을 근으로 갖는 정수 계수 다항식을 찾으십시오.

문제 53B (브라질 2006).

^†^†margin:

$p$ 를 $\mathbb{Q}[x]$ 에 속하고 차수가 $1$ 보다 큰 기약 다항식이라고 합시다. $p$ 가 곱이 $1$ 인 두 근 $r$ 과 $s$ 를 가지면 $p$ 의 차수가 짝수임을 증명하십시오.

힌트. $p(x)$ 는 $r$ 의 최소 다항식이지만, $q(x)=x^{\deg p}p(1/x)$ 역시 $r$ 의 최소 다항식이라는 점에 주목하십시오. 따라서 $q$ 와 $p$ 는 서로의 배수여야 합니다.

문제 53C.

$n$ 개의 단위근 $\varepsilon_{1}$ , …, $\varepsilon_{n}$ 을 생각합시다. 평균 $\frac{1}{n}(\varepsilon_{1}+\dots+\varepsilon_{n})$ 이 대수적 정수라고 가정합니다. 평균이 0이거나 $\varepsilon_{1}=\dots=\varepsilon_{n}$ 임을 증명하십시오. (보조정리 22.2.2에서 사용됩니다.)

힌트. $\left\lvert\frac{1}{n}(\varepsilon_{1}+\dots+\varepsilon_{n})\right\rvert\leq 1$ .

문제 53D.

^†^†margin:

어떤 유리수 $q$ 가 $\cos(q\pi)\in\mathbb{Q}$ 를 만족합니까?

힌트. 자명한 것들뿐입니다. $\cos(q\pi)\in\mathbb{Q}$ 라고 가정합니다. $\zeta$ 를 단위근이라 하고(어떤 $N$ 에 대해 $\zeta^{N}-1=0$ 이므로 대수적 정수입니다), $2\cos(q\pi)=\zeta+\zeta^{N-1}$ 이 대수적 정수이면서 동시에 유리수라는 점에 주목하십시오.

문제 53E (MOP 2010).

$n>2$ 개의 램프가 원형으로 배열되어 있습니다. 처음에는 하나가 켜져 있고 나머지는 꺼져 있습니다. 꼭짓점이 모두 램프 위에 있는 정다각형을 아무것이나 하나 골라, 그 꼭짓점에 있는 모든 램프의 상태를 동시에 바꿀 수 있습니다. 모든 램프를 끄는 것이 불가능함을 보이십시오.

힌트. 단위근으로 보십시오. $\frac{1}{2}$ 는 대수적 정수가 아니라는 점에 주목하십시오.

문제 53F (크로네커 정리).

^†^†margin:

$\alpha$ 를 대수적 정수라고 합시다. $\alpha$ 의 갈루아 켤레들의 절댓값이 모두 1이라고 가정합니다. 어떤 양의 정수 $N$ 에 대해 $\alpha^{N}=1$ 임을 증명하십시오.

힌트. $\alpha=\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ , …, $\alpha_{n}$ 을 $\alpha$ 의 켤레들이라고 합시다. $e\in\mathbb{N}$ 을 바꾸어 가며 다항식 $(x-\alpha_{1}^{e})\dots(x-\alpha_{n}^{e})$ 을 살펴보십시오. 가능한 모든 다항식에 비둘기집 원리를 적용하십시오.

문제 53G.

^†^†margin:

절댓값이 1이면서 단위근이 아닌 대수적 정수가 존재합니까?

문제 53H.

대수적 정수들의 환은 뇌터 환입니까?

장 53 대수적 정수

53.1 고등학교 대수에서 얻는 동기

예제 53.1.1 (최소 다항식의 예).

연습문제 53.1.2.

질문 53.1.3 (중요하지만 동어반복적인 사실: 기약 ⇔ 최소).

53.2 대수적 수와 대수적 정수

정의 53.2.1.

비고 53.2.2.

정의 53.2.3.

비고 53.2.4.

예제 53.2.5 (대수적 정수의 예).

명제 53.2.6 (유리수인 대수적 정수는 유리 정수입니다).

증명.

명제 53.2.7 (ℤ¯는 환이고 ℚ¯는 체입니다).

비고 53.2.8.

53.3 수체

정의 53.3.1.

예제 53.3.2 (대표적인 예).

연습문제 53.3.3 (중요하지 않음).

예제 53.3.4 (대수적 수의 첨가).

예제 53.3.5 (수체가 아닌 예).

53.4 원시 원소 정리와 단생성 확대

정리 53.4.1 (아르틴의 원시 원소 정리).

53.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 53A.

문제 53B (브라질 2006).

문제 53C.

문제 53D.

문제 53E (MOP 2010).

문제 53F (크로네커 정리).

문제 53G.

문제 53H.

질문 53.1.3 (중요하지만 동어반복적인 사실: 기약 $\iff$ 최소).

명제 53.2.7 ( $\overline{\mathbb{Z}}$ 는 환이고 $\overline{\mathbb{Q}}$ 는 체입니다).