장 37 르베그 적분

임의의 측도 공간 $(\Omega,\mathscr{A},\mu)$ 위에서, 함수 $f\colon\Omega\to[0,\infty]$ 에 대해 적분을 정의할 수 있습니다

\int_{\Omega}f\;d\mu.

이 적분은 (설령 $f$ 가 유한하더라도) $+\infty$ 일 수 있습니다. 구성의 세부 사항은 나중에 우리에게 중요하지 않으므로, 관련된 정의들만 서술하고 모든 증명은 생략하며, 실제로 필요한 성질들만 서술하겠습니다. 따라서 이 장은 상당히 짧을 것입니다.

37.1 정의

구성은 네 단계로 이루어집니다.

정의 37.1.1.

$A$ 가 $\Omega$ 의 가측 집합이면, 지시함수 $\mathbf{1}_{A}\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 는 다음과 같이 정의됩니다

\mathbf{1}_{A}(\omega)=\begin{cases}1&\omega\in A\\ 0&\omega\notin A.\end{cases}

단계 37.1.2 (지시함수).

지시함수에 대해서는 다음을 요구합니다

\int_{\Omega}\mathbf{1}_{A}\;d\mu\coloneqq\mu(A)

(무한대일 수 있습니다.)

이제 이를 지시함수들의 합인 음이 아닌 함수들로 선형적으로 확장합니다: 이러한 함수들을 단순함수라고 부릅니다.

단계 37.1.3 (단순함수).

$A_{1}$ , …, $A_{n}$ 을 유한 개의 가측 집합들의 모임이라 합시다. $c_{1}$ , …, $c_{n}$ 을 음이 아닌 실수 또는 $+\infty$ 라 합시다. 그러면 다음과 같이 정의합니다

\int_{\Omega}\left(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\mathbf{1}_{A_{i}}\right)\;d\mu\coloneqq% \sum_{i=1}^{n}c_{i}\mu(A_{i}).

$c_{i}=\infty$ 이고 $\mu(A_{i})=0$ 이면, $c_{i}\mu(A_{i})=0$ 으로 취급합니다.

이렇게 얻은 합이 단순 함수를 $\sum c_{i}\mathbf{1}_{A_{i}}$ 로 나타내는 표현에 의존하지 않음을 확인할 수 있습니다. 특히, 이는 이전 단계와 호환됩니다.

편리하게도, 이것만으로 이미 $f\colon\Omega\to[0,+\infty]$ 에 대한 적분을 정의하기에 충분합니다. $[0,+\infty]$ 는 우리가 통상적으로 사용하는 열린 구간들의 기저에 각 실수 $a$ 에 대한 새로운 열린집합 $(a,+\infty]$ 를 추가한 위상 공간으로 생각할 수 있음에 유의하십시오. 따라서 여기에 보렐 $\sigma$ -대수를 부여할 수 있습니다.¹¹1여기에 측도를 정의해 볼 수도 있겠지만, 그렇게 하지는 않을 것입니다: 우리에게는 이것이 가측 공간이라는 사실만으로 충분합니다.

단계 37.1.4 (음이 아닌 함수).

각 가측 함수 $f\colon\Omega\to[0,+\infty]$ 에 대해, 다음과 같이 둡니다

\int_{\Omega}f\;d\mu\coloneqq\sup_{0\leq s\leq f}\left(\int_{\Omega}s\;d\mu\right)

여기서 상한은 $0\leq s\leq f$ 를 만족하는 모든 단순 $s$ 에 대해 취합니다. 이전과 마찬가지로, 이 적분은 $+\infty$ 일 수 있습니다.

즉,

우리는 적분을 계산하는 방법을 알고 있는 단순함수들로 아래쪽에서 근사함으로써 적분 $\int_{\Omega}f\;d\mu$ 를 정의합니다.

이것이 이전 정의들과 부합함을 확인할 수 있습니다. 이 시점에서, 중요한 용어를 하나 도입하겠습니다.

정의 37.1.5.

가측 (음이 아닌) 함수 $f\colon\Omega\to[0,+\infty]$ 가 $\int_{\Omega}f\;d\mu<\infty$ 를 만족하면, 이를 절대적분가능 또는 그냥 적분가능하다고 합니다.

주의: 저는 ”적분가능”이라는 용어가 정말로 혼란스럽다고 생각합니다. 실제로, $\Omega$ 에서 $[0,+\infty]$ 로 가는 모든 가측 함수에는 르베그 적분을 부여할 수 있으며, 다만 이 적분이 $+\infty$ 일 수 있을 뿐입니다. 따라서 이 정의는 이름이 시사하는 것보다 훨씬 더 엄격합니다. 상수함수조차도 적분가능하지 않을 수 있습니다:

예제 37.1.6 (사실은 ”유한적분가능”이라고 불러야 합니다).

상수함수 $1$ 은 $\mathbb{R}$ 위에서 적분가능하지 않습니다, 왜냐하면 $\int_{\mathbb{R}}1\;d\mu=\mu(\mathbb{R})=+\infty$ 이기 때문입니다.

이러한 이유로, 저는 대체로 ”절대적분가능”이라는 용어를 선호할 것입니다. (만약 제 마음대로 할 수 있다면, ”유한적분가능”이라고 부를 것이며, 개인적으로는 보통 그렇게 부릅니다.)

비고 37.1.7 (적분을 위쪽에서 근사하지 않는 이유는 무엇인가?).

$|\Omega|<\infty$ 인 측도 공간 위의 유계 함수에 대해서는, 다음과 같이 동등하게 정의할 수 있습니다

\int_{\Omega}f\;d\mu\coloneqq\inf_{0\leq f\leq s}\left(\int_{\Omega}s\;d\mu\right)

여기서 하한은 $f\leq s$ 를 만족하는 모든 단순 $s$ 에 대해 취합니다. 그러나 함수가 유계가 아니거나 $|\Omega|=\infty$ 인 경우, 상황은 그렇게 간단하지 않습니다:

•

$\Omega=(1,\infty)$ 위에서 정의된 함수 $f(x)=x^{-2}$ 는 절대 적분 가능하지만, $f\leq s$ 인 모든 단순 함수 $s$ 에 대해 $\int_{\Omega}s\;d\mu=\infty$ 입니다.
•

$\Omega=(0,1)$ 위에서 정의된 함수 $f(x)=x^{-0.5}$ 는 절대 적분 가능하지만, $f\leq s$ 이고 $s$ 가 거의 모든 곳에서 유한한 단순 함수 $s$ 는 존재하지 않습니다.

마지막으로, 이를 통해 일반적인 함수를 적분할 수 있습니다.

정의 37.1.8.

일반적으로, 가측 함수 $f\colon\Omega\to[-\infty,\infty]$ 는 $|f|$ 가 그러할 때 절대 적분 가능하다 또는 단순히 적분 가능하다고 합니다.

첫 번째 단어를 사용할 것이므로 이는 기억하기 쉽습니다: ”절대 적분 가능”은 절댓값을 취할 것을 요구합니다.

단계 37.1.9 (절대 적분 가능 함수).

$f\colon\Omega\to[-\infty,\infty]$ 가 절대 적분 가능하다면, 다음과 같이 정의합니다

	$\displaystyle f^{+}(x)$	$\displaystyle=\max\left\{f(x),0\right\}$
	$\displaystyle f^{-}(x)$	$\displaystyle=\min\left\{f(x),0\right\}$

그리고 다음과 같이 둡니다

\int_{\Omega}f\;d\mu=\int_{\Omega}|f^{+}|\;d\mu-\int_{\Omega}|f^{-}|\;d\mu

이는 특히 유한합니다.

그렇긴 하지만, 여기서 이를 ”유한 적분 가능”이라고 부르는 것도 마찬가지로 기억하기 쉬울 것입니다:

연습문제 37.1.10.

$\int_{\Omega}|f|d\mu<\infty$ 인 것과 $\int_{\Omega}|f^{+}|d\mu<\infty$ 이고 $\int_{\Omega}|f^{-}|d\mu<\infty$ 인 것이 동치임을 보이십시오.

여러분은 이미 우리가 음이 아닌 함수를 정말 좋아한다는 것을 눈치채기 시작했을지도 모릅니다: 측도 이론을 사용하면 그러한 함수를 적분하는 것이 가능하고, 심지어 $+\infty$ 를 아무 데나 집어넣어도 괜찮습니다. 하지만 양수도 될 수 있고 음수도 될 수 있는 함수를 다루기 시작하면, 유한성 제약을 추가해야 합니다 — 실제로 우리가 본질적으로 하고 있는 일은 함수를 양의 부분과 음의 부분으로 나누어, 둘 다 유한할 것을 요구한 다음 적분하는 것입니다.

이 절을 마무리하기 위해, 완결성을 위해 여러분이 아마 참이라고 짐작했을 몇 가지 결과를 서술합니다. $\Omega=(\Omega,\mathscr{A},\mu)$ 를 고정하고, $f$ 와 $g$ 를 가측인 실숫값 함수라 합시다.

•

(거의 모든 곳에서의 보존) $f(x)=g(x)$ 가 거의 모든 곳에서 성립하면, $f$ 가 절대 적분 가능한 것과 $g$ 가 절대 적분 가능한 것은 동치이며, 그럴 경우 둘의 르베그 적분값은 일치합니다.
•

(가법성) $f$ 와 $g$ 가 절대 적분 가능하다면

$\int_{\Omega}f+g\;d\mu=\int_{\Omega}f\;d\mu+\int_{\Omega}g\;d\mu.$

$f$ 와 $g$ 가 음이 아니라면 ”절대 적분 가능” 가정은 제외할 수 있습니다.
•

(스칼라배) $f$ 가 절대 적분 가능하고 $c\in\mathbb{R}$ 이면 $c f$ 는 절대 적분 가능하며

$\int_{\Omega}cf\;d\mu=c\int_{\Omega}f\;d\mu.$

$f$ 가 음이 아니고 $c>0$ 이라면 ”절대 적분 가능” 가정은 제외할 수 있습니다.
•

(단조성) $f$ 와 $g$ 가 절대 적분 가능하고 $f\leq g$ 이면

$\int_{\Omega}f\;d\mu\leq\int_{\Omega}g\;d\mu.$

$f$ 와 $g$ 가 음이 아니라면 ”절대 적분 가능” 가정은 제외할 수 있습니다.

단조/지배 수렴 정리와 같이 더 유명한 결과들도 참이지만, 확률론의 맥락에서는 실제로 쓸 일이 없을 것이므로 여기서는 서술하지 않겠습니다. (이 결과들은 나중에 보너스 장에서 등장합니다.)

37.2 동치인 정의

르베그 적분은 다음과 같이도 정의할 수 있는데 — 이는 우리가 그 단계들에서 내린 다양한 정의상의 선택에 대해 더 직관적일 것입니다.

이 정의에서,

적분 $\int_{\Omega}f\;d\mu$ 는 단지 $f$ 의 그래프 아래 영역의 부피일 뿐입니다.

정의해 봅시다:

단계 37.2.1 (그래프 아래 영역).

음이 아닌 함수 $f\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 에 대해, 함수 아래 영역 $f$ , $R(f)$ 를 $\{(x,y)\in\Omega\times\mathbb{R},0\leq y\leq f(x)\}$ 로 정의합니다.

비고 37.2.2.

왜 처음에는 음이 아닌 함수에 대해서만 이를 정의하는지는 분명할 것입니다 — 일반적인 함수 $f$ 에 대해서는, 영역을 합리적으로 정의할 수 있는 유일한 방법이 다음과 같은 것뿐이기 때문입니다:

	$\displaystyle R^{+}(f)$	$\displaystyle=\{(x,y)\in\Omega\times\mathbb{R},f(x)\geq 0,0\leq y\leq f(x)\},$
	$\displaystyle R^{-}(f)$	$\displaystyle=\{(x,y)\in\Omega\times\mathbb{R},f(x)\leq 0,0\geq y\geq f(x)\}.$

그럼에도 불구하고, $R^{+}(f)$ 는 단순히 함수 $f^{+}(x)=\max\{f(x),0\}$ 아래의 영역이며, $R^{-}(f)$ 는 함수 $f^{-}(x)=\min\{f(x),0\}$ 아래 영역과 같은 측도를 가짐에 주목하십시오. 따라서 음이 아닌 함수에 대해 $\int_{\Omega}f\;d\mu$ 를 먼저 정의하는 것이 실제로 정의를 더 단순하게 만듭니다.

단계 37.2.3 ( $\Omega\times\mathbb{R}$ 를 측도 공간으로 만들기).

$\Omega\times\mathbb{R}$ 위에 다음과 같은 자명한 방식으로 준측도를 정의합니다: $X\subseteq\Omega$ 와 $Y\subseteq\mathbb{R}$ 가 각각 가측 부분집합이라면, $|X\times Y|=|X|\times|Y|$ 로 지정합니다.

이 준측도는, 앞 장에서 했던 것처럼, 측도로 확장될 수 있습니다.

단계 37.2.4 (음이 아닌 함수).

함수 $f\colon\Omega\to[0,+\infty]$ 각각에 대해, 다음과 같다고 합시다

\int_{\Omega}f\;d\mu\coloneqq|R(f)|.

이 적분은 $R(f)$ 가 가측일 때마다 잘 정의됩니다.

절 35.7에서 약속했듯이, 가측 함수의 정의는 다음을 만족합니다:

음이 아닌 함수 $f$ 가 가측인 것과 $f$ 의 그래프 아래 영역을 ”측정”할 수 있는 것은 동치입니다.

마지막 단계는 앞 절에서와 정확히 동일합니다.

단계 37.2.5 (절대 적분가능한 함수).

$f\colon\Omega\to[-\infty,\infty]$ 가 절대 적분가능하다면, 다음과 같이 정의합니다

\int_{\Omega}f\;d\mu=\int_{\Omega}|f^{+}|\;d\mu-\int_{\Omega}|f^{-}|\;d\mu.

37.3 리만 적분과의 관계 (또는: 실제로 르베그 적분 계산하기)

닫힌 구간의 경우, 이는 실제로 아무런 수정 없이 그대로 작동합니다.

정리 37.3.1 (르베그 적분은 리만 적분을 일반화한다).

$f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 를 리만 적분가능한 함수라고 합시다 (여기서 $[a,b]$ 에는 보렐 측도가 주어져 있습니다). 그러면 $f$ 는 또한 르베그 적분가능하며 두 적분값은 일치합니다:

\int_{a}^{b}f(x)\;dx=\int_{[a,b]}f\;d\mu.

리만 적분가능한 함수는 반드시 유계여야 함에 주목하십시오. 이는 문제 37B와 같은 방식으로 함수 $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ 를 다음과 같이 구성하려 한다면

f(x)=\begin{cases}\frac{\sin(1/x)}{x}&x>0\\ 0&x=0\end{cases}

함수 $f$ 는 사실 리만 적분가능하지 않게 됨을 의미합니다! 물론 부정 리만 적분 $\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\int_{\varepsilon}^{1}f(x)\;dx$ 자체는 존재합니다.

따라서 실제로는 (더 편리한) 르베그 적분으로 모든 이론을 전개하지만, 실제로 $\int_{[1,4]}x^{2}\;d\mu$ 를 계산해야 할 때는 그저 미적분학의 기본정리를 이용한 평소의 방식으로 되돌아갑니다.

예제 37.3.2 ( $[1,4]$ 에 걸쳐 $x^{2}$ 적분하기).

예전 예제를 다시 살펴봅시다:

\int_{[1,4]}x^{2}\;d\mu=\int_{1}^{4}x^{2}\;dx=\frac{1}{3}\cdot 4^{3}-\frac{1}{% 3}\cdot 1^{3}=21.

함수가 음이 아니라면, 이는 부정 적분에 대해서도 성립합니다. 이 명제를 적는 것은 다소 번거롭지만, 여기 적어 보겠습니다.

정리 37.3.3 (부정 적분은 좋은 르베그 적분이다).

$(a,b)\subseteq\mathbb{R}$ 위에서 정의된 음이 아닌 연속함수 $f\geq 0$ 이 있다고 합시다. 이때 $a=-\infty$ 이거나 $b=\infty$ 인 경우도 허용합니다. 그러면

\int_{(a,b)}f\;d\mu=\lim_{\begin{subarray}{c}a^{\prime}\to a^{+}\\ b^{\prime}\to b^{-}\end{subarray}}\int_{a^{\prime}}^{b^{\prime}}f(x)\;dx

여기서 $f$ 가 절대 적분가능하지 않다면 양변이 모두 $+\infty$ 가 되는 것을 허용합니다.

우변은 $[a^{\prime},b^{\prime}]\subsetneq(a,b)$ 가 $f$ 가 연속인 콤팩트 구간이므로 의미가 있습니다. 이는 음이 아닌 함수의 부정 리만 적분이 해당하는 열린 구간 위의 르베그 적분으로 간주될 수 있음을 의미합니다.

그래도 예제를 하나 살펴보는 편이 아마 더 나을 것입니다.

예제 37.3.4 ( $(0,1)$ 에서 $1/\sqrt{x}$ 적분하기).

예를 들어, 여러분은 다음과 같은 이상 적분에 익숙할 수 있습니다

\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\;dx\coloneqq\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\int_{% \varepsilon}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\;dx=\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\left(2\sqrt% {1}-2\sqrt{\varepsilon}\right)=2.

(이는 앞서 문제 30C로 등장했음에 유의하십시오.) 리만 적분 상황에서는 $\varepsilon\to 0^{+}$ 일 때의 극한이 필요했는데, 그렇지 않으면 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 는 함수 $[0,1]\to\mathbb{R}$ 로 정의되지 않기 때문입니다. 그러나 이는 측정 가능한 음이 아닌 함수 $(0,1)\to[0,+\infty]$ 이며, 따라서

\int_{(0,1)}\frac{1}{\sqrt{x}}\;d\mu=2.

$f$ 가 음이 아닌 함수가 아니라면, 상황은 완전히 달라집니다. 실제로 문제 37B가 그 유명한 반례입니다.

37.4 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 37A (유리수의 지시함수).

유리수에 대한 지시함수 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\colon\mathbb{R}\to\{0,1\}\subseteq\mathbb{R}$ 을 생각해 봅시다.

(a)

$\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 가 리만 적분 가능하지 않음을 증명하십시오.
(b)

$\int_{\mathbb{R}}\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 가 존재함을 보이고 그 값을 구하십시오 — 여러분이 예상하는 바로 그 값입니다!

문제 37B (부호가 바뀌는 이상 리만 적분).

$f\colon(1,\infty)\to\mathbb{R}$ 를 $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$ 로 정의합시다. $f$ 가 절대 적분 가능하지 않지만, 이상 리만 적분

\int_{1}^{\infty}f(x)\;dx\coloneqq\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}f(x)\;dx

그럼에도 불구하고 존재합니다.