장 37 르베그 적분

그러면 임의의 측도 공간 $(\Omega,\mathscr{A},\mu)$ 위에서 함수 $f\colon\Omega\to[0,\infty]$ 에 대하여 다음과 같이 적분을 정의할 수 있습니다

\int_{\Omega}f\;d\mu.

이 적분은 ( $f$ 가 유한하더라도) $+\infty$ 일 수 있습니다. 구성의 세부 사항은 이후 우리에게 중요하지 않으므로, 관련된 정의를 서술하고 모든 증명은 생략하며, 실제로 우리가 관심을 두는 성질도 모두 서술하겠습니다. 따라서 이 장은 상당히 짧을 것입니다.

37.1 정의

구성은 네 단계로 이루어집니다.

정의 37.1.1.

$A$ 가 $\Omega$ 의 가측 집합이면, 지시 함수 $\mathbf{1}_{A}\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 는 다음과 같이 정의됩니다

\mathbf{1}_{A}(\omega)=\begin{cases}1&\omega\in A\\ 0&\omega\notin A.\end{cases}

단계 37.1.2 (지시 함수).

지시 함수에 대해서는 다음을 요구합니다

\int_{\Omega}\mathbf{1}_{A}\;d\mu\coloneqq\mu(A)

(이 값은 무한일 수 있습니다).

이제 이를 지시 함수들의 합인 음이 아닌 함수들로 선형적으로 확장합니다. 이러한 함수들을 단순 함수라고 합니다.

단계 37.1.3 (단순 함수).

$A_{1}$ , …, $A_{n}$ 을 가측 집합들의 유한한 모임이라고 합시다. $c_{1}$ , …, $c_{n}$ 을 각각 음이 아닌 실수 또는 $+\infty$ 라고 합시다. 그러면 다음과 같이 정의합니다

\int_{\Omega}\left(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\mathbf{1}_{A_{i}}\right)\;d\mu\coloneqq% \sum_{i=1}^{n}c_{i}\mu(A_{i}).

$c_{i}=\infty$ 이고 $\mu(A_{i})=0$ 이면, $c_{i}\mu(A_{i})=0$ 으로 취급합니다.

이렇게 얻은 합은 단순 함수를 $\sum c_{i}\mathbf{1}_{A_{i}}$ 꼴로 나타내는 표현에 의존하지 않음을 확인할 수 있습니다. 특히, 이는 앞 단계와 부합합니다.

편리하게도, 이것만으로 이미 $f\colon\Omega\to[0,+\infty]$ 에 대한 적분을 정의하기에 충분합니다. $[0,+\infty]$ 는 열린구간으로 이루어진 통상적인 기저에 각 실수 $a$ 에 대해 새로운 열린집합 $(a,+\infty]$ 를 추가한 위상 공간으로 생각할 수 있다는 점에 유의하십시오. 따라서 여기에 보렐 $\sigma$ -대수를 줄 수 있습니다.¹¹1그 위에 측도를 정의해 볼 수도 있지만, 그렇게 하지는 않겠습니다. 우리에게는 그것이 가측 공간이라는 사실만으로 충분합니다.

단계 37.1.4 (음이 아닌 함수).

각 가측 함수 $f\colon\Omega\to[0,+\infty]$ 에 대하여 다음과 같이 둡시다

\int_{\Omega}f\;d\mu\coloneqq\sup_{0\leq s\leq f}\left(\int_{\Omega}s\;d\mu\right)

여기서 상한은 $0\leq s\leq f$ 를 만족하는 모든 단순 함수 $s$ 에 대하여 취합니다. 앞에서와 마찬가지로, 이 적분은 $+\infty$ 일 수 있습니다.

즉,

적분 $\int_{\Omega}f\;d\mu$ 는 우리가 적분하는 방법을 알고 있는 단순 함수들로 아래에서부터 근사하여 정의합니다.

이것이 이전의 정의들과 부합함을 확인할 수 있습니다. 여기서 중요한 용어를 하나 도입합니다.

정의 37.1.5.

가측인 (음이 아닌) 함수 $f\colon\Omega\to[0,+\infty]$ 가 $\int_{\Omega}f\;d\mu<\infty$ 를 만족하면, 이 함수를 절대 적분 가능 또는 간단히 적분 가능하다고 합니다.

경고: 저는 “적분 가능”이 정말로 혼란스러운 용어라고 생각합니다. 실제로 $\Omega$ 에서 $[0,+\infty]$ 로 가는 모든 가측 함수에는 르베그 적분을 부여할 수 있으며, 단지 그 적분이 $+\infty$ 일 수 있을 뿐입니다. 따라서 이 정의는 이름이 암시하는 것보다 훨씬 엄격합니다. 상수 함수조차 적분 가능하지 않을 수 있습니다:

예제 37.1.6 (정말로 “유한 적분 가능”이라고 불러야 합니다).

상수 함수 $1$ 은 $\mathbb{R}$ 위에서 적분 가능하지 않습니다. $\int_{\mathbb{R}}1\;d\mu=\mu(\mathbb{R})=+\infty$ 이기 때문입니다.

이러한 이유로, 저는 대개 “절대 적분 가능”이라는 용어를 선호하겠습니다. (제가 정할 수 있다면 “유한 적분 가능”이라고 부를 것이며, 사적으로는 대개 그렇게 부릅니다.)

비고 37.1.7 (적분을 위에서부터 근사하지 않는 이유는 무엇입니까?).

$|\Omega|<\infty$ 인 측도 공간 위의 유계 함수에 대해서는 동치적으로 다음과 같이 정의할 수 있습니다

\int_{\Omega}f\;d\mu\coloneqq\inf_{0\leq f\leq s}\left(\int_{\Omega}s\;d\mu\right)

여기서 하한은 $f\leq s$ 를 만족하는 모든 단순 함수 $s$ 에 대하여 취합니다. 그러나 함수가 유계가 아니거나 $|\Omega|=\infty$ 이면 상황은 그렇게 간단하지 않습니다:

•

$\Omega=(1,\infty)$ 위에서 정의된 함수 $f(x)=x^{-2}$ 는 절대 적분 가능하지만, $f\leq s$ 를 만족하는 모든 단순 함수 $s$ 에 대하여 $\int_{\Omega}s\;d\mu=\infty$ 입니다.
•

$\Omega=(0,1)$ 위에서 정의된 함수 $f(x)=x^{-0.5}$ 는 절대 적분 가능하지만, $f\leq s$ 이면서 $s$ 가 거의 모든 곳에서 유한한 단순 함수 $s$ 는 존재하지 않습니다.

마침내 이를 통해 일반적인 함수를 적분할 수 있습니다.

정의 37.1.8.

일반적으로, 가측 함수 $f\colon\Omega\to[-\infty,\infty]$ 는 $|f|$ 가 적분 가능할 때 절대 적분 가능하다 또는 간단히 적분 가능하다고 합니다.

앞쪽 용어를 사용할 것이므로 이는 기억하기 쉽습니다: “절대 적분 가능”하려면 절댓값을 취해야 합니다.

단계 37.1.9 (절대 적분 가능 함수).

$f\colon\Omega\to[-\infty,\infty]$ 가 절대 적분 가능하면, 다음과 같이 정의하고

	$\displaystyle f^{+}(x)$	$\displaystyle=\max\left\{f(x),0\right\}$
	$\displaystyle f^{-}(x)$	$\displaystyle=\min\left\{f(x),0\right\}$

다음과 같이 두며,

\int_{\Omega}f\;d\mu=\int_{\Omega}|f^{+}|\;d\mu-\int_{\Omega}|f^{-}|\;d\mu

이 값은 특히 유한합니다.

그렇기는 하지만, 여기서 이를 “유한 적분 가능”이라고 불러도 똑같이 기억하기 쉬울 것입니다:

연습문제 37.1.10.

$\int_{\Omega}|f|d\mu<\infty$ 일 필요충분조건은 $\int_{\Omega}|f^{+}|d\mu<\infty$ 이고 $\int_{\Omega}|f^{-}|d\mu<\infty$ 인 것임을 보이십시오.

우리가 음이 아닌 함수를 무척 좋아한다는 것을 이미 느끼기 시작했을 것입니다: 측도 이론을 이용하면 이러한 함수를 적분할 수 있고, 곳곳에 $+\infty$ 를 넣어도 괜찮습니다. 그러나 양수도 음수도 될 수 있는 함수를 다루기 시작하면 유한성 제약을 추가해야 합니다 — 사실 본질적으로 우리가 하는 일은 함수를 양의 부분과 음의 부분으로 나누고, 둘 다 유한할 것을 요구한 다음, 적분하는 것입니다.

이 절을 마무리하며, 완비성을 위해 여러분이 아마 참이라고 짐작했을 몇 가지 결과를 서술합니다. $\Omega=(\Omega,\mathscr{A},\mu)$ 를 고정하고, $f$ 와 $g$ 를 실숫값 가측 함수라고 합시다.

•

(거의 모든 곳에서의 보존) $f(x)=g(x)$ 가 거의 모든 곳에서 성립하면, $f$ 가 절대 적분 가능할 필요충분조건은 $g$ 가 절대 적분 가능한 것이며, 이 경우 두 함수의 르베그 적분은 같습니다.
•

(가법성) $f$ 와 $g$ 가 절대 적분 가능하면 다음이 성립합니다.

$\int_{\Omega}f+g\;d\mu=\int_{\Omega}f\;d\mu+\int_{\Omega}g\;d\mu.$

$f$ 와 $g$ 가 음이 아니면 “절대 적분 가능” 가정을 없앨 수 있습니다.
•

(스칼라배) $f$ 가 절대 적분 가능하고 $c\in\mathbb{R}$ 이면 $c f$ 는 절대 적분 가능하며 다음이 성립합니다.

$\int_{\Omega}cf\;d\mu=c\int_{\Omega}f\;d\mu.$

$f$ 가 음이 아니고 $c>0$ 이면 “절대 적분 가능” 가정을 없앨 수 있습니다.
•

(단조성) $f$ 와 $g$ 가 절대 적분 가능하고 $f\leq g$ 이면 다음이 성립합니다.

$\int_{\Omega}f\;d\mu\leq\int_{\Omega}g\;d\mu.$

$f$ 와 $g$ 가 음이 아니면 “절대 적분 가능” 가정을 없앨 수 있습니다.

단조 수렴 정리나 지배 수렴 정리처럼 역시 참인 더 유명한 결과들도 있지만, 확률론의 맥락에서는 별로 쓸 일이 없으므로 여기서는 서술하지 않겠습니다. (이들은 나중에 보너스 장에서 등장합니다.)

37.2 동치인 정의

르베그 적분은 다음과 같이 정의할 수도 있습니다 — 이 정의를 보면 앞선 단계들에서 우리가 내린 여러 정의상의 선택이 더 직관적으로 다가올 것입니다.

이 정의에서,

적분 $\int_{\Omega}f\;d\mu$ 는 단지 $f$ 의 그래프 아래 영역의 부피일 뿐입니다.

다음과 같이 정의합시다.

단계 37.2.1 (그래프 아래의 영역).

음이 아닌 함수 $f\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 에 대하여, $f$ 의 함수 아래의 영역 $R(f)$ 를 $\{(x,y)\in\Omega\times\mathbb{R},0\leq y\leq f(x)\}$ 로 정의합니다.

비고 37.2.2.

처음에 음이 아닌 함수에 대해서만 이를 정의하는 이유는 분명할 것입니다 — 일반적인 함수 $f$ 에 대해서는 영역을 합리적으로 정의할 수 있는 유일한 방법이 다음과 같은 것뿐이기 때문입니다.

	$\displaystyle R^{+}(f)$	$\displaystyle=\{(x,y)\in\Omega\times\mathbb{R},f(x)\geq 0,0\leq y\leq f(x)\},$
	$\displaystyle R^{-}(f)$	$\displaystyle=\{(x,y)\in\Omega\times\mathbb{R},f(x)\leq 0,0\geq y\geq f(x)\}.$

그럼에도 $R^{+}(f)$ 는 단순히 함수 $f^{+}(x)=\max\{f(x),0\}$ 아래의 영역이고, $R^{-}(f)$ 는 함수 $f^{-}(x)=\min\{f(x),0\}$ 아래의 영역과 같은 측도를 가진다는 점에 주목하십시오. 따라서 음이 아닌 함수에 대해 $\int_{\Omega}f\;d\mu$ 를 먼저 정의하면 오히려 정의가 더 간단해집니다.

단계 37.2.3 ( $\Omega\times\mathbb{R}$ 를 측도 공간으로 만들기).

$\Omega\times\mathbb{R}$ 위의 준측도를 자명한 방식으로 정의합니다. $X\subseteq\Omega$ 와 $Y\subseteq\mathbb{R}$ 가 각각 가측 부분집합이면 $|X\times Y|=|X|\times|Y|$ 로 지정합니다.

이전 장에서 했던 것처럼, 이 준측도는 측도로 확장될 수 있습니다.

단계 37.2.4 (음이 아닌 함수).

각 함수 $f\colon\Omega\to[0,+\infty]$ 에 대하여 다음과 같이 둡니다.

\int_{\Omega}f\;d\mu\coloneqq|R(f)|.

이 적분은 $R(f)$ 가 가측일 때마다 잘 정의됩니다.

절 35.7에서 약속한 대로, 가측 함수의 정의는 다음을 만족합니다.

음이 아닌 함수 $f$ 가 가측인 것은 $f$ 의 그래프 아래의 영역을 “측정”할 수 있는 것과 동치입니다.

마지막 단계는 이전 절에서와 정확히 같습니다.

단계 37.2.5 (절대 적분 가능 함수).

$f\colon\Omega\to[-\infty,\infty]$ 가 절대 적분 가능하면 다음과 같이 정의합니다.

\int_{\Omega}f\;d\mu=\int_{\Omega}|f^{+}|\;d\mu-\int_{\Omega}|f^{-}|\;d\mu.

37.3 리만 적분과의 관계 (또는: 르베그 적분을 실제로 계산하기)

닫힌구간의 경우, 이것은 사실 별다른 조치 없이 그대로 성립합니다.

정리 37.3.1 (르베그 적분은 리만 적분을 일반화합니다).

$f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 리만 적분 가능 함수라고 합시다(여기서 $[a,b]$ 에는 보렐 측도가 주어져 있습니다). 그러면 $f$ 는 르베그 적분 가능하기도 하며 두 적분은 일치합니다.

\int_{a}^{b}f(x)\;dx=\int_{[a,b]}f\;d\mu.

리만 적분 가능 함수는 반드시 유계여야 한다는 점에 유의하십시오. 이는 문제 37B와 같은 맥락에서 함수 $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ 를 다음과 같이 구성하려고 하면

f(x)=\begin{cases}\frac{\sin(1/x)}{x}&x>0\\ 0&x=0\end{cases}

함수 $f$ 는 사실 리만 적분 가능하지 않다는 것을 의미합니다! 물론 이상 리만 적분 $\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\int_{\varepsilon}^{1}f(x)\;dx$ 는 존재합니다.

따라서 실제로는 모든 이론을 르베그 적분으로 전개하지만(르베그 적분이 더 다루기 좋기 때문입니다), $\int_{[1,4]}x^{2}\;d\mu$ 를 실제로 계산해야 할 때에는 미적분학의 기본 정리를 사용하는 평소의 방식으로 돌아갑니다.

예제 37.3.2 ( $[1,4]$ 위에서 $x^{2}$ 적분하기).

예전 예제를 다시 살펴봅시다.

\int_{[1,4]}x^{2}\;d\mu=\int_{1}^{4}x^{2}\;dx=\frac{1}{3}\cdot 4^{3}-\frac{1}{% 3}\cdot 1^{3}=21.

함수가 음이 아니라면 이는 이상 적분에 대해서도 작동합니다. 명제를 적기가 다소 번거롭지만, 다음과 같습니다.

정리 37.3.3 (이상적분은 잘 동작하는 르베그 적분임).

$(a,b)\subseteq\mathbb{R}$ 에서 정의된 음이 아닌 연속함수 $f\geq 0$ 을 생각합시다. 이때 $a=-\infty$ 또는 $b=\infty$ 일 수도 있습니다. 그러면

\int_{(a,b)}f\;d\mu=\lim_{\begin{subarray}{c}a^{\prime}\to a^{+}\\ b^{\prime}\to b^{-}\end{subarray}}\int_{a^{\prime}}^{b^{\prime}}f(x)\;dx

여기서 $f$ 가 절대 적분 가능하지 않으면 양변이 모두 $+\infty$ 가 되는 것을 허용합니다.

$[a^{\prime},b^{\prime}]\subsetneq(a,b)$ 는 $f$ 가 연속인 콤팩트 구간이므로 우변은 의미가 있습니다. 이는 음이 아닌 함수의 이상 리만 적분을 대응하는 열린구간 위의 르베그 적분으로 그냥 간주할 수 있다는 뜻입니다.

하지만 예제를 직접 보는 편이 아마 더 나을 것입니다.

예제 37.3.4 ( $(0,1)$ 에서 $1/\sqrt{x}$ 적분하기).

예를 들어, 다음과 같은 이상적분에 익숙할 수도 있습니다.

\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\;dx\coloneqq\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\int_{% \varepsilon}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\;dx=\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\left(2\sqrt% {1}-2\sqrt{\varepsilon}\right)=2.

(이것은 앞서 문제 30C로 등장했음에 유의하십시오.) 리만 적분에서는 $\varepsilon\to 0^{+}$ 일 때의 극한이 필요했습니다. 그렇지 않으면 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 가 함수 $[0,1]\to\mathbb{R}$ 로 정의되지 않기 때문입니다. 그러나 이것은 가측이고 음이 아닌 함수 $(0,1)\to[0,+\infty]$ 이며, 따라서

\int_{(0,1)}\frac{1}{\sqrt{x}}\;d\mu=2.

$f$ 가 음이 아닌 함수가 아니라면 어떤 것도 장담할 수 없습니다. 실제로 문제 37B가 그 유명한 반례입니다.

37.4 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 37A (유리수의 지시함수).

유리수에 대한 지시함수 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\colon\mathbb{R}\to\{0,1\}\subseteq\mathbb{R}$ 를 생각합시다.

(a)

$\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 가 리만 적분 가능하지 않음을 증명하십시오.
(b)

$\int_{\mathbb{R}}\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 가 존재함을 보이고 그 값을 구하십시오 — 여러분이 예상하는 바로 그 값입니다!

문제 37B (부호가 바뀌는 이상 리만 적분).

$f\colon(1,\infty)\to\mathbb{R}$ 를 $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$ 로 정의합니다. $f$ 는 절대 적분 가능하지 않지만, 다음 이상 리만 적분은

\int_{1}^{\infty}f(x)\;dx\coloneqq\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}f(x)\;dx

그럼에도 존재함을 보이십시오.