장 40 확률 변수 (작성 예정)

작성 예정: 장 작성 예정

르베그 측도와 그 위에서의 적분을 제대로 전개했으므로, 이제 확률 변수를 전개할 수 있습니다.

40.1 확률 변수

이 모든 준비를 마쳤으므로, 확률 변수는 아주 빠르게 정의할 수 있습니다.

정의 40.1.1.

확률 공간 $\Omega=(\Omega,\mathscr{A},\mu)$ 위의 (실) 확률 변수 $X$ 는 가측 함수 $X\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 입니다. 여기서 $\mathbb{R}$ 에는 보렐 $\sigma$ -대수가 주어져 있습니다.

특히 그냥 더하면 되므로, 확률 변수의 덧셈 등 모든 연산이 의미를 가집니다. 또한 앞 장의 내용에 따라 $X$ 를 $\Omega$ 위에서 적분할 수 있습니다.

정의 40.1.2 (확률 변수의 기본 성질).

확률 변수 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 의 기댓값은 다음 르베그 적분으로 정의됩니다

\mathbb{E}[X]=\int_{\Omega}X(\omega)\;d\mu.

헷갈리게도, 기댓값을 나타낼 때 문자 $\mu$ 가 자주 사용됩니다.

각 양의 정수 $k\geq 1$ 에 대하여, $X$ 의 $k$ 차 모멘트는 $\mathbb{E}[X^{k}]$ 로 정의됩니다. 그러면 $X$ 의 분산은 다음과 같이 정의됩니다

\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}\left[(X-\mathbb{E}[X])^{2}\right].

질문 40.1.3.

$\mathbf{1}_{A}$ 가 확률 변수이고(보렐 가측임만 확인하면 됩니다), 그 기댓값이 $\mu(A)$ 임을 보이십시오.

아마 이미 알고 있을 기댓값의 중요한 성질은 다음과 같습니다:

정리 40.1.4 (기댓값의 선형성).

$X$ 와 $Y$ 가 $\Omega$ 위의 확률 변수이면 다음이 성립합니다

\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y].

증명.

$\mathbb{E}[X+Y]=\int_{\Omega}X(\omega)+Y(\omega)\;d\mu=\int_{\Omega}X(\omega)% \;d\mu+\int_{\Omega}Y(\omega)\;d\mu=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$ . ∎

여기서 $X$ 와 $Y$ 가 “독립”일 필요는 없다는 점에 유의하십시오. 독립은 곧 정의할 개념입니다.

40.2 분포 함수

40.3 확률 변수의 예

40.4 특성 함수

40.5 독립 확률 변수

40.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 40A (등분포).

$X_{1}$ , $X_{2}$ , … 가 $[0,1]$ 위의 i.i.d. 균등 확률 변수라고 합시다. 거의 확실하게 $X_{i}$ 가 등분포함을, 즉 다음이

\lim_{N\to\infty}\frac{\#\{1\leq i\leq N\mid a\leq X_{i}(\omega)\leq b\}}{N}=b% -a\qquad\forall 0\leq a<b\leq 1

거의 모든 $\omega$ 의 선택에 대해 성립함을 보이십시오.

문제 40B (중선과 독립인 삼각형의 변의 길이).

$X_{1}$ , $Y_{1}$ , $X_{2}$ , $Y_{2}$ , $X_{3}$ , $Y_{3}$ 이 여섯 개의 독립인 표준 가우스 확률 변수라고 합시다. 데카르트 평면에서 삼각형 $A B C$ 를 $A=(X_{1},Y_{1})$ , $B=(X_{2},Y_{2})$ , $C=(X_{3},Y_{3})$ 로 정의합니다. 변 $B C$ 의 길이가 $A$ 에서 그은 중선의 길이와 독립임을 증명하십시오.