장 5 환의 종류

환에 대한 탐구를 이어가면서, 환이나 아이디얼이 만족할 수 있는 몇 가지 좋은 성질들을 살펴보겠습니다. 이는 나중에 유용하게 쓰일 것입니다. 이전과 마찬가지로, 정수론이 동기 부여로서 함께 엮여 있습니다. 처음부터 완성된 표가 어떤 모습일지 미리 보여드려서, 무엇을 기대해야 할지 알 수 있도록 하겠습니다.

환 명사	아이디얼 형용사	관계
PID	주	$R$ 이 PID이다 $\iff$ $R$ 은 정역이고,
		모든 $I$ 가 주 아이디얼이다
뇌터 환	유한 생성	$R$ 이 뇌터 환이다 $\iff$ 모든 $I$ 가 유한 생성입니다
체	극대	$R/I$ 가 체이다 $\iff$ $I$ 가 극대 아이디얼이다
정역	소	$R/I$ 가 정역이다 $\iff$ $I$ 가 소 아이디얼이다

5.1 체

대표적인 예: $\mathbb{Q}$ 는 체이지만, $\mathbb{Z}$ 는 그렇지 않습니다.

이 정의는 지난 장에서 이미 살펴보았습니다: 체 $K$ 란 영이 아닌 모든 원소가 단원인 자명하지 않은 환입니다.

특히, 체에는 오직 두 개의 아이디얼만 존재합니다: 극대인 아이디얼 $(0)$ 과, 체 전체인 $K$ 입니다.

5.2 정역

대표적인 예: $\mathbb{Z}$ 는 정역입니다.

실제로는, 우리가 완전한 체를 갖는 행운을 누리지 못하는 경우가 많습니다. 그럼에도 영인자 곱 성질, 즉 $ab=0$ 이면 $a=0$ 이거나 $b=0$ 이라는 결론을 여전히 내릴 수 있다면 좋을 것입니다. 우리의 환이 체라면 이는 참입니다: $b\neq 0$ 이면, $b^{-1}$ 를 곱하여 $a=0$ 을 얻을 수 있습니다. 하지만 $\mathbb{Z}$ 와 $\mathbb{Z}[x]$ 처럼 우리가 다루는 다른 많은 환들도 나눗셈이 없음에도 불구하고 이 성질을 가지고 있습니다.

그러나 모든 환이 그런 것은 아닙니다: $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ 에서는,

3\cdot 5\equiv 0\pmod{15}.

$a,b\neq 0$ 이지만 $ab=0$ 이면, $a$ 와 $b$ 를 환 $R$ 의 영인자라고 부릅니다. 그래서 이러한 환들에 이름을 붙여줍니다.

정의 5.2.1.

영인자가 없는 자명하지 않은 환을 정역이라고 부릅니다.¹¹1일부 저자들은 이를 줄여서 ”domain”이라고 부르는데, 특히 Artin이 그렇습니다.

질문 5.2.2.

체가 정역임을 보이십시오.

연습문제 5.2.3 (정역에서의 소거).

정역에서 $ac=bc$ 이고 $c\neq 0$ 이라고 합시다. $a=b$ 임을 보이십시오. ( $c^{-1}$ 를 곱할 수는 없으므로, 정의를 사용해야 합니다.)

예제 5.2.4 (정역의 예시).

모든 체는 정역이므로, 앞서 든 모든 예시가 적용됩니다. 이에 더하여:

(a)

$\mathbb{Z}$ 는 정역이지만, 체는 아닙니다.
(b)

$\mathbb{R}[x]$ 는 체가 아닙니다. $xP(x)=1$ 을 만족하는 다항식 $P(x)$ 가 존재하지 않기 때문입니다. 하지만 $\mathbb{R}[x]$ 는 정역입니다. $P(x)Q(x)=0$ 이면 $P$ 또는 $Q$ 중 하나는 영이기 때문입니다.
(c)

$\mathbb{Z}[x]$ 또한 정역의 예시입니다. 사실, 임의의 정역 $R$ 에 대해 $R[x]$ 는 정역입니다 (왜 그럴까요?).
(d)

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 은 $n$ 이 소수일 때 정확히 체(따라서 정역)입니다. $n$ 이 소수가 아닐 때는, 환이기는 하지만 정역은 아닙니다.

자명환 $0$ 은 정역으로 간주되지 않습니다.

이 지점에서, 다음과 같이 말하겠습니다:

정의 5.2.5.

모든 아이디얼이 주 아이디얼인 정역을 주 아이디얼 정역(PID)이라고 부릅니다.

아이디얼 $(a,b)$ 는 $\gcd$ 연산의 환 버전에 해당한다는 것을 기억하십시오. 그러므로 이 정의가 본질적으로 말하는 바는: 임의의 원소 모임 $\{a_{i}\}$ 를 취하면, 모든 $a_{i}$ 에 의해 생성되는 아이디얼이 실제로는 단 하나의 원소 $a$ 에 의해 생성된다는 것입니다.

다시 말해서,

PID에서는 임의의 원소 모음의 $\gcd$ 를 취할 수 있습니다.

환 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 는 주 아이디얼 환이지만 정역은 아닌 환의 예입니다. 앞서 언급했듯이, 우리는 ”주 아이디얼 환”을 실제로는 거의 사용하지 않을 것입니다: 일반적으로 이를 PID로 강화하고자 할 것입니다.

5.3 소 아이디얼

대표적인 예: $(5)$ 는 $\mathbb{Z}$ 의 소 아이디얼입니다.

모든 정수는 (부호를 제외하면) 소수들의 곱으로 유일하게 인수분해될 수 있음을 우리는 알고 있습니다. 예를 들어 $15=3\cdot 5$ 이고 $-10=-2\cdot 5$ 입니다. 이 증명에는 소위 베주 보조정리가́ 관여한다는 것을 기억하실 수도 있는데, 이는 본질적으로 $(a,b)=(\gcd(a,b))$ 임을 말합니다. 다시 말해 우리는 $\mathbb{Z}$ 가 PID라는 사실을 조심스럽게 사용한 것입니다.

일반적인 환에서는 대부분의 환이 PID가 아니기 때문에 원소를 인수분해하는 상황이 그리 좋지 않다는 것이 밝혀졌습니다. 무언가 잘못되는 대표적인 예는

6=2\cdot 3=\left(1-\sqrt{-5}\right)\left(1+\sqrt{-5}\right)

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 에서입니다. 그럼에도 불구하고 우리는 이 문제를 우회하여 아이디얼을 인수분해하는 것에 대해 이야기할 수 있습니다: 어떻게든 $10=2\cdot 5$ 라는 예는 $(10)=(2)\cdot(5)$ 가 되어야 하는데, 이는 ” $10$ 의 모든 배수는 $2$ 의 배수와 $5$ 의 배수의 곱이다”라는 것을 말합니다. 그렇다면 두 아이디얼을 곱하는 방법을 말씀드려야 할 텐데, 이는 유일 인수분해에 관한 장에서 다루겠습니다.

소수가 무엇인지 적어도 알아봅시다. $\mathbb{Z}$ 에서 $p\neq 1$ 이 소수라는 것은 $p\mid xy$ 일 때마다 $p\mid x$ 또는 $p\mid y$ 가 성립한다는 것입니다. 우리는 이 정의를 아이디얼의 세계로 옮겨갑니다.

정의 5.3.1.

$I\subsetneq R$ 인 진아이디얼 $I$ 가 소 아이디얼이라는 것은 $xy\in I$ 일 때마다 $x\in I$ 또는 $y\in I$ 가 성립한다는 것입니다.

$I$ 가 진아이디얼이어야 한다는 조건은 우리가 $1$ 을 소수로 간주하지 않는다는 사실과 유사합니다.

예제 5.3.2 (소 아이디얼의 예와 반례).

(a)

$\mathbb{Z}$ 의 아이디얼 $(7)$ 은 소 아이디얼입니다.
(b)

$\mathbb{Z}$ 의 아이디얼 $(8)$ 은 소 아이디얼이 아닌데, $2\cdot 4=8$ 이기 때문입니다.
(c)

$\mathbb{Z}[x]$ 의 아이디얼 $(x)$ 는 소 아이디얼입니다.
(d)

$\mathbb{Z}[x]$ 의 아이디얼 $(x^{2})$ 는 소 아이디얼이 아닌데, $x\cdot x=x^{2}$ 이기 때문입니다.
(e)

$\mathbb{Z}[x]$ 의 아이디얼 $(3,x)$ 는 소 아이디얼입니다. 이는 사실 아래의 정리 5.3.5를 이용하면 가장 쉽게 알 수 있습니다.
(f)

$\mathbb{Z}[i]$ 의 아이디얼 $(5)=5\mathbb{Z}+5i\mathbb{Z}$ 는 소 아이디얼이 아닌데, 원소 $3+i$ 와 $3-i$ 의 곱이 $10\in(5)$ 이지만 둘 다 그 자체로는 $(5)$ 에 속하지 않기 때문입니다.

비고 5.3.3.

아이디얼은 ”부호 문제”를 없애준다는 좋은 성질을 가지고 있습니다. 예를 들어, $\mathbb{Z}$ 에서 $-3$ 을 소수로 간주해야 할까요? 아이디얼로 표현하면 이런 성가신 문제는 사라집니다: $(-3)=(3)$ 입니다. 더 일반적으로, 환 $R$ 에 대해 아이디얼로 이야기하는 것은 단원과의 곱셈을 무시할 수 있게 해줍니다. ( $-1$ 이 $\mathbb{Z}$ 에서 단원이라는 점에 유의하십시오.)

연습문제 5.3.4.

영 아이디얼 $(0)$ 이 소 아이디얼인 환 $R$ 을 무엇이라고 부르겠습니까?

또한 다음이 성립합니다:

정리 5.3.5 (소 아이디얼 $\iff$ 몫이 정역).

아이디얼 $I$ 가 소 아이디얼인 것은 $R/I$ 가 정역인 것과 동치입니다.

연습문제 5.3.6 (필수).

이 정리가 참임을 스스로 확인해 보십시오; 이는 단지 정의를 따라가는 것일 뿐입니다. (시작점으로 $R=\mathbb{Z}$ 이고 $I=(15)$ 인 경우를 고려해 보는 것도 좋습니다.)

이제 유감스럽게도 ”소” 아이디얼이라는 개념이 있어도 유일 인수분해는 여전히 성립하지 않는다는 것을 말씀드려야 합니다(다시 말하지만 아직 두 아이디얼을 곱하는 방법도 말씀드리지 않았습니다). 하지만 대수적 정수론에서 등장할 몇 가지 추가 가정 하에서는 성립하게 될 것입니다(관련 용어: 데데킨트 정역).

5.4 극대 아이디얼

대표적인 예: 아이디얼 $(x,5)$ 는 몫을 취함으로써 $\mathbb{Z}[x]$ 에서 극대입니다.

여기 아이디얼의 또 다른 종류가 있습니다.

정의 5.4.1.

환 $R$ 의 진 아이디얼 $I$ 가 다른 어떤 진 아이디얼에도 포함되지 않으면 극대라고 합니다.

예제 5.4.2 (극대 아이디얼의 예시).

(a)

$\mathbb{Z}$ 의 아이디얼 $I=(7)$ 은 극대인데, 만약 아이디얼 $J$ 가 $7$ 과 $I$ 에 속하지 않는 원소 $n$ 을 포함한다면 $\gcd(7,n)=1$ 도 포함해야 하고, 따라서 $J=\mathbb{Z}$ 가 되기 때문입니다.
(b)

아이디얼 $(x)$ 는 $\mathbb{Z}[x]$ 에서 극대가 아닌데, $(x,5)$ 에 포함되기 때문입니다 (그 밖에도 여러 아이디얼에 포함됩니다).
(c)

반면에, $(x,5)$ 는 $\mathbb{Z}[x]$ 에서 실제로 극대입니다. 이는 아래의 정리 5.4.4를 이용하면 가장 쉽게 확인할 수 있습니다.
(d)

또한 $(x)$ 는 $\mathbb{C}[x]$ 에서 극대인데, 이번에도 아래의 정리 5.4.4에 의거합니다.

연습문제 5.4.3.

영 아이디얼 $(0)$ 이 극대인 환 $R$ 을 무엇이라고 부르겠습니까?

소 아이디얼에 대한 것과 유사한 정리가 있습니다.

정리 5.4.4 ( $I$ 가 극대 $\iff$ $R/I$ 가 체).

아이디얼 $I$ 가 극대인 것과 $R/I$ 가 체인 것은 동치입니다.

증명.

환이 체인 것과 $(0)$ 이 유일한 극대 아이디얼인 것은 동치입니다. 따라서 이는 문제 4D에 의해 성립합니다. ∎

따름정리 5.4.5 (극대 아이디얼은 소 아이디얼이다).

만약 $I$ 가 환 $R$ 의 극대 아이디얼이면, $I$ 는 소 아이디얼입니다.

증명.

만약 $I$ 가 극대이면, $R/I$ 는 체이고, 따라서 정역이므로, $I$ 는 소 아이디얼입니다. ∎

실제로는, 생성된 아이디얼로 몫을 취하는 것이 상당히 편리하기 때문에, 이것이 어떤 아이디얼이 극대인지 확인하는 매우 효율적인 방법입니다.

예제 5.4.6 ( $\mathbb{Z}{[x]}$ 에서 몫을 취하기).

(a)

이는 $(x,5)$ 가 $\mathbb{Z}[x]$ 에서 극대 아이디얼임을 즉시 함의하는데, $\mathbb{Z}[x]$ 에서 $x$ 와 $5$ 로 몫을 취하면 단지 $\mathbb{F}_{5}$ 를 얻고, 이는 체이기 때문입니다.
(b)

반면에, $x$ 만으로 몫을 취하면 $\mathbb{Z}$ 를 얻는데, 이는 정역이지만 체는 아닙니다. 이것이 $(x)$ 가 소 아이디얼이지만 극대는 아닌 이유입니다.

우리가 본 바와 같이, 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼입니다. 그런데 이제 $\mathbb{Z}$ 가 그 모든 영이 아닌 소 아이디얼이 또한 극대이기도 한 특별한 성질을 가진다는 점에 주목합시다. 바로 이 조건과 몇 가지 다른 사소한 조건들을 통해 아이디얼의 소인수분해가 실제로 작동하는, 이른바 데데킨트 정역을 얻게 됩니다. 이에 대해서는 나중에 더 다루겠습니다.

5.5 분수체

대표적인 예: $\operatorname{Frac}(\mathbb{Z})=\mathbb{Q}$ .

여기까지 온 김에, 임의의 정역을 체로 바꾸는 유용한 구성을 소개하는 시간을 가지겠습니다.

정의 5.5.1.

정역 $R$ 이 주어지면, 그 분수체 또는 분수 체 $\operatorname{Frac}(R)$ 을 다음과 같이 정의합니다: 이는 원소 $a/b$ 들로 이루어지며, 여기서 $a,b\in R$ 이고 $b\neq 0$ 입니다. $bc=ad$ 일 때 그리고 오직 그때만 $a/b\sim c/d$ 로 놓습니다. 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의됩니다

	$\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$	$\displaystyle=\frac{ad+bc}{bd}$
	$\displaystyle\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}$	$\displaystyle=\frac{ac}{bd}.$

사실 $\mathbb{Q}$ 에 대해 여러분이 알고 있는 모든 것은 기본적으로 유추를 통해 그대로 적용됩니다. 원한다면 이것이 실제로 체임을 증명할 수 있지만, $\mathbb{Q}$ 가 잘 정의되어 있다는 것에 우리가 얼마나 익숙한지를 고려하면, 저는 그것에 대해 걱정하지 않겠습니다…

정의 5.5.2.

$k$ 를 체라고 합시다. $k(x)=\operatorname{Frac}(k[x])$ 로 정의하고 (“ $k$ of $x$ ”라고 읽습니다), 이를 유리 함수체라고 부릅니다.

예제 5.5.3 (분수체의 예시).

(a)

정의에 의해, $\operatorname{Frac}(\mathbb{Z})=\mathbb{Q}$ 입니다.
(b)

체 $\mathbb{R}(x)$ 는 $x$ 에 대한 유리 함수로 이루어져 있습니다:

$\mathbb{R}(x)=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\mid f,g\in\mathbb{R}[x]\right\}.$

예를 들어, $\frac{2x}{x^{2}-3}$ 이 전형적인 원소가 될 수 있습니다.

예제 5.5.4 (가우스 유리수).

$\mathbb{Z}[i]$ 를 표기를 남용하여 정의했던 것과 마찬가지로, $\mathbb{Q}(i)=\operatorname{Frac}(\mathbb{Z}[i])$ 라고도 쓸 수 있습니다. 공식적으로는 다음과 같은 것들로 이루어져야 합니다

\mathbb{Q}(i)=\left\{\frac{f(i)}{g(i)}\mid g(i)\neq 0\right\}

유리 계수를 갖는 다항식 $f$ 와 $g$ 에 대해서 말입니다. 하지만 $i^{2}=-1$ 이므로 이는 곧 다음으로 이어집니다

\mathbb{Q}(i)=\left\{\frac{a+bi}{c+di}\mid a,b,c,d\in\mathbb{Q},(c,d)\neq(0,0)% \right\}.

그리고 $\frac{1}{c+di}=\frac{c-di}{c^{2}+d^{2}}$ 이므로 우리는 다음에 이르게 됩니다

\mathbb{Q}(i)=\left\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{Q}\right\}.

5.6 유일 인수분해 정역 (UFD)

대표적인 예: $\mathbb{Z}$ 및 일반적인 다항식환.

여기 정수론에 관심이 있는 분들에게 중요할 별도의 정의가 하나 있습니다. 양의 정수 위에서, 모든 정수가 소수의 곱으로 유일하게 표현된다는 산술의 기본 정리가 성립합니다.

$6=(-2)(-3)$ 과 같은 표현을 허용한다면, $\mathbb{Z}$ 나 $\mathbb{Z}[i]$ 에서도 유사한 진술을 할 수 있습니다. 요령은 모든 것을 단원의 차이를 무시하고 고려한다는 것입니다; 그래서 $6=(-2)(-3)=2\cdot 3$ 은 같은 것으로 간주됩니다.

일반적인 정의는 다음과 같습니다.

정의 5.6.1.

정역 $R$ 의 영이 아닌 비단원은, 두 비단원의 곱으로 쓸 수 없는 경우 기약이라고 합니다.

정역 $R$ 의 모든 영이 아닌 비단원이 기약원의 곱으로 쓸 수 있고, 그 표현이 단원을 곱하는 것을 제외하면 유일할 때, $R$ 을 유일 인수분해 정역이라고 합니다.

질문 5.6.2.

$\mathbb{Z}$ 가 UFD임을 확인하십시오.

예제 5.6.3 (UFD의 예시).

(a)

체는 UFD의 “퇴화된” 예시입니다: 영이 아닌 모든 원소가 단원이므로, 확인할 것이 없습니다.
(b)

$\mathbb{Z}$ 는 UFD입니다. 기약원은 $p$ 와 $-p$ 이며, 예를 들어 $5$ 나 $-17$ 입니다.
(c)

$\mathbb{Q}[x]$ 는 UFD입니다: 유리 계수를 갖는 다항식은 상수배를 제외하면 유일하게 인수분해될 수 있습니다 ( $\mathbb{Q}[x]$ 의 단원은 그저 유리수이기 때문입니다).
(d)

$\mathbb{Z}[x]$ 는 UFD입니다.
(e)

가우스 정수 $\mathbb{Z}[i]$ 역시 UFD임이 밝혀집니다 (이는 대수적 정수론을 다루는 장에서 증명될 것입니다).
(f)

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 는 UFD가 아닌 대표적인 예시입니다. 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$6=2\cdot 3=\left(1-\sqrt{-5}\right)\left(1+\sqrt{-5}\right)$

하지만 $2$ , $3$ , $1\pm\sqrt{-5}$ 각각은 기약원입니다. (이를 바로잡는 올바른 방법은 대신 소 아이디얼을 고려하는 것으로 밝혀지는데, 이것이 부 XIV의 주요 동기 중 하나입니다.)
(g)

증명하지 않을 정리: $R$ 이 UFD이면 $R[x]$ 도 UFD입니다 (따라서 귀납적으로 $R[x,y]$ , $R[x,y,z]$ , …도 마찬가지입니다).

다음과 같은 정리가 있습니다.

정리 5.6.4.

$R$ 을 PID라고 합시다. 그러면 $R$ 은 UFD입니다.

위의 반례를 살펴보면 다음과 같습니다.

6=2\cdot 3=\left(1-\sqrt{-5}\right)\left(1+\sqrt{-5}\right)

여기서 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 가 UFD가 되지 못하는 것은 어떤 인수도 더 이상 기약인수로 분해할 수 없다는 사실에 반영되어 있으며, 실제로 다음 아이디얼

\left(2,1+\sqrt{-5}\right)

은 주 아이디얼이 아닙니다 — $2$ 와 $1+\sqrt{-5}$ 의 $\gcd$ 가 되는 원소는 존재하지 않습니다.

비슷한 방식으로, 기약인수로의 분해가 존재한다고 가정할 때 PID가 UFD임을 증명할 수 있습니다.

5.7 추가: 유클리드 정역

이 장은 이후에 사용되지 않지만, 역사적으로 흥미로운 내용입니다.

PID는 원소들의 임의의 족에 대해 $\gcd$ 를 취할 수 있는 환이라는 것을 상기하십시오.

$\mathbb{Z}$ 에서 두 원소의 $\gcd$ 를 계산하는 가장 널리 알려진 알고리즘이 유클리드 알고리즘이라는 것은 모두 알고 있습니다.

•

두 정수 $a$ 와 $b$ 로 시작합니다.
•

$a$ 와 $b$ 중 하나가 $0$ 이면 끝납니다. $\gcd$ 는 $0$ 이 아닌 원소입니다.
•

그렇지 않으면, $|a|\geq|b|$ 라고 가정하고, $a$ 를 $b$ 로 나누어 $|r|<|b|$ 를 만족하는 나머지 $r$ 을 구한 다음, $a$ 를 $r$ 로 바꾸고 알고리즘을 계속합니다.

이 알고리즘은 매우 효율적입니다 — 이 알고리즘은 $a$ 와 $b$ 의 크기에 대해 로그 개수의 단계만 필요하다는 것을 증명할 수 있습니다 — 예를 들어, $a$ 와 $b$ 가 $10^{100}$ 자릿수 정도라면, 최악의 경우에도 $500$ 단계면 충분합니다.

자연스럽게 다음과 같은 질문이 제기됩니다.

어떤 환에서 같은 알고리즘을 수행할 수 있을까요?

사실 여러 환에서 이를 수행할 수 있다는 것을 보게 될 것입니다! 예를 들어, 가우스 정수환 $\mathbb{Z}[i]$ , 아이젠슈타인 정수환 $\mathbb{Z}[\omega]$ 등이 있습니다.

위의 알고리즘 설명을 살펴보면, 이 알고리즘이 작동하게 하는 것은 무엇일까요? 그것은 두 수의 크기를 비교하는 데 사용되는 절댓값 $|\cdot|$ 이며, 이 절댓값은 두 가지 조건을 만족합니다.

•

이 함수는 음이 아닌 정숫값을 출력합니다 — 그래야 알고리즘이 결국 종료됩니다.
•

$b\neq 0$ 인 임의의 두 환 원소 $a$ 와 $b$ 에 대해, $r=a-qb$ 가 $b$ 보다 작은 절댓값을 갖도록 하는 어떤 $q$ 가 존재합니다.

그러므로 자연스럽게, 이와 비슷한 정수 값을 갖는 함수가 있는 임의의 환에서 이 알고리즘을 수행할 수 있습니다. 위의 두 조건을 만족하는 함수 $\operatorname{N}\colon R\to\mathbb{Z}_{\geq 0}$ 을 유클리드 노름이라고 부르며, 노름을 갖는 정역 $R$ 을 유클리드 정역이라고 부릅니다.

예제 5.7.1 (가우스 정수환은 유클리드 정역입니다).

$\mathbb{Z}[i]$ 에서 통상적인 노름은

|a+bi|=a^{2}+b^{2}

유클리드 노름입니다.

실제로, $b\neq 0$ 인 임의의 원소 $a$ 와 $b$ 에 대해, $a$ 를 $b$ 로 나누어 나머지 $r$ 을 계산할 수 있습니다. $q$ 를 $\frac{a}{b}$ 에 가장 가까운 가우스 정수라 하고(즉, $|\frac{a}{b}-q|$ 가 최소가 되도록 하고) $r=a-bq$ 라 하면, $|r|<|b|$ 임을 증명할 수 있습니다.

이 증명은 $|\frac{a}{b}-q|<1$ 임을 보임으로써 이루어집니다 — 복소평면에 임베딩된 $\mathbb{Z}[i]$ 에 속한 점들의 격자를 살펴보면, $\frac{a}{b}\in\mathbb{C}$ 의 어떤 값에 대해서도 가장 가까운 정수로 반올림하면 최대 $\frac{\sqrt{2}}{2}<1$ 만큼 이동하게 됩니다.

예제 5.7.2 (아이젠슈타인 정수환은 유클리드 정역입니다).

마찬가지로 $\omega=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ 라 하면(즉 $\omega^{3}=-1$ ), $\mathbb{Z}[\omega]$ 는 통상적인 노름에 대해 유클리드 정역이 됩니다

|a+bi|=a^{2}+b^{2}

또는 동등하게

|a+b\omega|=a^{2}+ab+b^{2}.

예제 5.7.3 (환 $\mathbb{Z}[\sqrt{11}]$ 는 유클리드 정역입니다).

앞서와 마찬가지입니다. 이번에는 자연스러운 노름²²2이 노름이 왜 자연스러운 것인지에 대한 설명은 절 54.1를 참고하십시오.이 다음과 같습니다:

\operatorname{N}_{\mathbb{Q}(\sqrt{11})/\mathbb{Q}}(a+b\sqrt{11})=(a+b\sqrt{11% })(a-b\sqrt{11})=a^{2}-11b^{2}.

유클리드 노름이 필요하므로, 우리는 $\operatorname{N}(a+b\sqrt{11})=|a^{2}-11b^{2}|.$ 로 두겠습니다.

$\mathbb{Z}[\sqrt{11}]$ 의 두 원소 $a$ 와 $b$ 가 주어지고 $b\neq 0$ 일 때, 앞서와 마찬가지로 $r=a-qb$ 로 하여 $\operatorname{N}(r)<\operatorname{N}(b)$ 를 만족하는 $r$ 을 계산해 보겠습니다.

이번에는 $\mathbb{Z}[\sqrt{11}]$ 을 점들의 격자로 그릴 수 없습니다 — $\mathbb{R}$ 안에서 조밀하기 때문입니다 — 따라서 각 점 $a+b\sqrt{11}$ 을 좌표 $(a+b\sqrt{11},a-b\sqrt{11})$ 에 그리도록 하겠습니다.

노름이 $<1$ 인 점들의 집합은 아래와 같이 그려집니다.

(허수 이차체, 즉 정수 $d$ 에 대한 $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ 의 경우와 같은) 공 모양 대신, 노름이 $1$ 인 점들의 집합은 쌍곡선을 이룹니다.

이 때문에 가장 가까운 점으로 반올림하는 것이 항상 최선의 방법은 아닙니다 — 그럼에도 ( $\mathbb{Z}[i]$ 의 경우와 마찬가지로 전수 조사를 통해) $\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}(\sqrt{11})$ 의 모든 값에 대해 $\operatorname{N}(\frac{a}{b}-q)<1$ 을 만족하는 $q\in\mathbb{Z}[\sqrt{11}]$ 이 존재함을 증명할 수 있습니다. 따라서 $\operatorname{N}$ 은 유클리드 노름입니다.

그렇긴 하지만, 유클리드 정역의 자연스러운 노름이 항상 유클리드 노름일 필요는 없습니다. $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{69}}{2}]$ 가 그 첫 번째 예시입니다.

예제 5.7.4 ( $\mathbb{Q}[x]$ 는 유클리드 정역입니다).

마찬가지로 $\mathbb{Q}[x]$ 에서는 노름을 다항식의 차수로 잡을 수 있습니다 — 나머지가 있는 다항식 나눗셈 알고리즘이 $\gcd$ 의 계산을 처리해 줄 것입니다.

다시 PID 주제로 돌아가겠습니다. 유클리드 정역에서는 임의의 두 원소의 $\gcd$ 를 계산할 수 있습니다. 그렇다면 무한히 많은 원소들의 모임에 대해서는 어떨까요?

상황이 매우 좋은 것으로 밝혀집니다:

명제 5.7.5.

유클리드 정역은 PID입니다.

사실, 무한히 많은 원소들의 모임의 $\gcd$ 를 계산하는 명시적인 알고리즘을 제시할 필요는 없습니다 — 물론 그러한 알고리즘은 유한한 시간 안에 끝날 수 없습니다! — 다만 $\gcd$ 가 존재함을 보이기만 하면 되므로, 우회하는 방법을 쓸 수 있습니다.

유클리드 알고리즘에서는 원소들 중 하나가 $0$ 이 될 때까지 원소들의 노름이 계속 감소한다는 점에 주목하십시오. 그러므로 임의의 원소들의 모임이 주어졌을 때, 이 원소들이 생성하는 아이디얼을 취하면 — 분명 $\gcd$ 는 그 아이디얼 안에 있습니다 — 노름이 가장 작은 0이 아닌 원소를 취합니다. 이것이 바로 $\gcd$ 입니다.

이러한 직관을 염두에 두고, 우리의 증명을 형식화합니다:

증명.

$I$ 를 임의의 아이디얼이라 합시다. $I$ 가 주 아이디얼임을 보여야 합니다.

$a$ 를 $I$ 에서 노름이 가장 작은 0이 아닌 원소라 합시다 — $\mathbb{Z}_{\geq 0}$ 이 정렬순서집합이므로 이러한 원소가 존재합니다.

질문 5.7.6.

$I$ 의 다른 모든 원소 $b\in I$ 에 대해 $a\mid b$ 임을 보이십시오.

따라서 $I=(a)$ 이며, 증명이 끝났습니다. ∎

예제 5.7.7 (환 $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}]$ 는 유클리드 정역이 아닙니다).

$R=\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}]$ 라 합시다.

위 예를 염두에 두면, 이 환에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?

이는 사실 주 아이디얼 정역이지만(여기서는 증명하지 않겠습니다), 사실 이 환에는 유클리드 노름이 존재하지 않습니다.

위 주장을 증명하겠습니다. 전체적인 계획은 다음과 같습니다:

•

유클리드 노름이 존재하면 우리가 보편 준약수(universal side divisor)라 부르는 것이 존재함을 보이십시오.
•

$R$ 에는 보편 준약수가 존재하지 않음을 보이십시오.
•

따라서 $R$ 은 유클리드 노름을 가질 수 없습니다.

먼저, 위의 $\mathbb{Z}[i]$ 와 $\mathbb{Z}[\omega]$ 예시를 살펴봅시다. 단위원들이 노름이 가장 작은 원소들임을 알 수 있습니다.

지금까지는 유용한 것이 없습니다 — 모든 환은 단위원 $1$ 을 가집니다. 다음으로, 그다음으로 노름이 작은 원소들을 살펴봅시다:

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$\mathbb{Z}[i]$ 에서, 원소 $1+i$ 는 노름이 $2$ 이며, $0$ 도 단위원도 아니면서 노름이 가장 작은 원소입니다. (다른 원소들은 $\pm 1\pm i$ 입니다.)
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$\mathbb{Z}[\omega]$ 에서, 단위원들은 노름이 $1$ 인 $\{\pm 1,\pm\omega,\pm(\omega-1)\}$ 입니다. 그다음으로 노름이 작은 원소는 노름이 $3$ 인 $1+\omega$ 입니다.

이제 증명을 계속 진행하기 위해, 준약수(side divisor)를 정의해야 합니다. $a=bq$ 인 어떤 $q$ 가 존재하면 $b$ 가 $a$ 의 약수라는 것을 기억하십시오. 나머지 $a-bq$ 가 $0$ 이거나 단위원인 어떤 $q$ 가 존재하면, $b$ 를 $a$ 의 준약수(읽는 법: ”거의 약수”)라고 합니다.

예제 5.7.8.

$\mathbb{Z}[i]$ 에서, $b=3+i$ 를 생각해 봅시다. $b\mid a$ 를 만족하는 수 $a$ 들의 집합을 아래에 빨간색으로 그렸습니다.

이러한 $a$ 의 값들에 단위원을 더하면, $b$ 가 $a$ 의 준약수가 되는 수 $a$ 들의 집합을 얻게 되며, 이로써 ”거의 약수”라는 개념에 그림을 부여할 수 있습니다.

$b$ 가 $a$ 의 준약수가 되는 점 $a$ 들이 아래에 빨간색과 파란색으로 표시되어 있습니다.

마지막으로, 보편 준약수란 모든 원소 $a\in R$ 에 대해 $b$ 가 준약수가 되는 수 $b$ 로 정의합니다.

예제 5.7.9.

위와 비슷한 그림을 그려 보면, $\mathbb{Z}[i]$ 에서 $2+i$ 와 $1+i$ 가 준약수임을 알 수 있습니다.

이제, 위에서 살펴본 두 개념 사이의 연관성을 살펴봅시다.

보조정리 5.7.10.

유클리드 정역에서, 단원이 아니면서 노름이 가장 작은 0이 아닌 원소 $b$ 는 보편 준제수입니다.

증명.

임의의 수와 $b$ 사이에서 유클리드 호제법을 한 단계만 수행하면, 나머지는 $0$ 이거나 단원이어야 합니다. ∎

그리고 마지막으로,

명제 5.7.11.

$R$ 에는 보편 준제수가 존재하지 않습니다.

증명.

모든 수는 $\frac{a}{2}+\frac{b\sqrt{-19}}{2}$ 형태이며, 여기서 $a$ 와 $b$ 는 홀짝성이 같습니다. $\frac{a^{2}}{4}+\frac{19b^{2}}{4}$ 로 정의되는 복소수의 절댓값은 곱셈적이며, $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}]$ 의 모든 수에 대해 $1$ 보다 크지만, $-1,0,1$ 은 예외로서 각각 절댓값이 $1,0,1$ 입니다. 이 환에는 절댓값이 $0$ 보다 크고 $1$ 보다 작은 수가 존재하지 않으므로, 절댓값이 $1$ 보다 큰 환의 모든 수는 환 안에서 곱셈에 대한 역원을 갖지 않습니다. 따라서 단원은 $1$ 과 $-1$ 뿐입니다.

환의 모든 원소에 $x$ 를 곱하면, 복소평면에서 원소 쌍 사이의 거리는 $|x|$ 배가 됩니다. 처음에 원소 쌍 사이의 거리는 최소 $1$ 이었습니다.

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$x$ 가 실수이고 $|x|\geq 2$ 이면, $x R$ 은 $a+\frac{\sqrt{-19}}{2}$ 형태의 원소를 전혀 포함하지 않으므로, $x$ 는 보편 준제수가 아닙니다.
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$x$ 가 실수가 아니고 $|x|\geq 2$ 이면, $x R$ 의 원소가 실수가 되려면 곱해지기 전 원소가 실수가 아니었어야 합니다. 이는 $x R$ 에서 실수축 위에 있는 원소들의 절댓값이 최소 $2|\frac{1+\sqrt{-19}}{2}|=2\sqrt{5}\geq 4$ 임을 의미합니다. 따라서 $x$ 는 $2$ 의 준제수가 아니므로, $x$ 는 보편 준제수가 아닙니다.

$R$ 은 보편 준제수를 갖지 않으므로, $R$ 은 유클리드 정역이 아닙니다. ∎

5.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

올림피아드 문제는 아니지만, 그 취지는 올림피아드에서 볼 법한 것과 매우 유사합니다.

문제 5A.

다음 환을 생각해 봅시다

\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\left\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\right\}.

이것은 체입니까?

힌트. 그렇습니다.

문제 5B (체로부터의 준동형사상은 단사입니다).

$K$ 를 체, $R$ 을 자명하지 않은 환이라 합시다. 임의의 준동형사상 $\psi\colon K\to R$ 이 단사임을 증명하십시오.³³3 $\psi(1_{K})=1_{R}$ 을 요구하기 때문에, 우리에게 $\psi$ 는 영사상이 될 수 없다는 점에 유의하십시오. 문헌에서는 때때로 다른 서술을 찾아볼 수 있습니다.

힌트. 핵은 $K$ 의 아이디얼입니다!

문제 5C (소 아이디얼의 원상).

$\phi\colon R\to S$ 가 환 준동형사상이고, $I\subseteq S$ 가 소 아이디얼이라고 합시다. $\phi^{\text{pre}}(I)$ 또한 소 아이디얼임을 증명하십시오.

힌트. 이는 그저 정의를 따라가는 것입니다.

풀이. $ab\in\phi^{\text{pre}}(I)$ 를 생각해 봅시다. 이는 $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\in I$ 를 의미합니다. $I$ 가 소 아이디얼이므로, $\phi(a)\in I$ 이거나 $\phi(b)\in I$ 입니다. 전자의 경우 필요한 대로 $a\in\phi^{\text{pre}}(I)$ 를 얻고, 후자의 경우 $b\in\phi^{\text{pre}}(I)$ 를 얻습니다.

문제 5D.

^†^†margin:

$R$ 을 원소가 유한 개인 정역이라 합시다. $R$ 이 체임을 증명하십시오.

힌트. 페르마의 소정리 유형의 논증입니다. 정역에서는 소거 법칙이 성립합니다.

풀이. $x\neq 0$ 인 $x\in R$ 을 생각해 봅시다. 거듭제곱 $x$ , $x^{2}$ , …를 살펴봅시다. 비둘기집 원리에 의해, 결국 그중 두 개가 같아집니다. 그러므로 $m<n$ 에 대해 $x^{m}=x^{n}$ 이라고 가정합시다. 이는 다음과 동치입니다.

$0=x\cdot x\cdot\dots\cdot x\cdot\left(x^{n-m}-1\right).$

$x\neq 0$ 이므로, $x^{n-m}-1=0$ , 즉 $x^{n-m}=1$ 을 얻습니다. 따라서 $x^{n-m-1}$ 은 $x$ 의 역원입니다.

이는 모든 0이 아닌 원소가 역원을 가진다는 것을 의미하므로, $R$ 은 체입니다.

문제 5E (크룰 정리).

$R$ 을 환, $J$ 를 진 아이디얼이라 하겠습니다.

(a)

$R$ 이 뇌터 환이면 $J$ 가 극대 아이디얼 $I$ 에 포함됨을 증명하십시오.
(b)

$R$ 이 뇌터 환이 아니더라도 이 결과를 증명하기 위해 초른의 보조정리(장 88)를 사용하십시오.

힌트. 원소를 계속 추가해 나가면 오름 사슬을 얻을 수 있습니다.

풀이. (b)에서는 진 아이디얼들의 순서 집합을 살펴보십시오. 초른의 보조정리를 적용하십시오(이번에도 조건을 확인하기 위해 합집합 트릭을 사용합니다. 그 합집합이 진 아이디얼임을 반드시 확인하십시오!). (a)에서는 무한 오름 사슬이 주어지지 않으므로, 초른의 보조정리를 사용할 필요가 없습니다.

문제 5F ( $\operatorname{Spec}k[x]$ ).

$\mathbb{C}[x]$ 와 $\mathbb{R}[x]$ 의 소 아이디얼을 설명하십시오.

힌트. 둘 다 PID라는 사실을 이용하십시오.

풀이. 아이디얼 $(0)$ 은 물론 둘 다에서 소 아이디얼입니다. 또한, 두 환 모두 PID입니다.

$\mathbb{C}[x]$ 의 경우, 각 $z\in\mathbb{C}$ 에 대해 소 아이디얼 $(x-z)$ 를 얻습니다.

$\mathbb{R}[x]$ 의 경우, 각 $a\in\mathbb{R}$ 에 대해 소 아이디얼 $(x-a)$ 를 얻고, 켤레 관계에 있는 두 개의 비실수근을 갖는 각 이차식에 대해 소 아이디얼 $(x^{2}-ax+b)$ 를 얻습니다.

문제 5G.

$\mathbb{Z}[\sqrt{2017}]$ 의 소 아이디얼 중 극대 아이디얼이 아닌 것은 몇 개입니까?

힌트. 몫 $\mathbb{Z}[\sqrt{2017}]/I$ 가 임의의 0이 아닌 소 아이디얼 $I$ 에 대해 유한개의 원소를 가짐을 보이십시오. 따라서 이 몫은 정역이며, 또한 체이기도 하므로, $I$ 는 극대 아이디얼이었습니다.

풀이. 하나뿐이며, 극대가 아닌 아이디얼 $(0)$ 입니다. 그 외의 모든 소 아이디얼은 극대라고 주장합니다.

실제로, $I$ 를 임의의 아이디얼(반드시 소 아이디얼일 필요는 없음)이라 하고, $a+b\sqrt{2017}$ 을 그 안의 0이 아닌 원소라 하겠습니다. 그러면 $I$ 는 $(a^{2}-2017b^{2})$ 도 포함합니다. 이는 $I$ 를 법으로 취할 때 정수 $n\coloneqq|a^{2}-2017b^{2}|\neq 0$ 을 법으로 취해도 됨을 의미합니다.

따라서 $R$ 의 모든 원소는 $I$ 를 법으로 하여 $x+y\sqrt{2017}$ 형태의 원소와 동치이며, 여기서 $x,y\in\{0,1,\dots,n-1\}$ 입니다. 다시 말해, 몫 $R/I$ 는 많아야 유한개의 원소를 가집니다.

$I$ 가 소 아이디얼일 때, $R/I$ 역시 정역임이 따라 나옵니다. 유한개의 원소를 가지는 정역은 반드시 체여야 합니다. 따라서 $R/I$ 가 체라는 사실로부터, $I$ 가 극대 아이디얼임을 결론지을 수 있습니다.

문제 5H.

$R$ 을 유리수 $q$ 중에서, $q$ 를 기약분수로 나타냈을 때 분모가 $5$ 의 배수가 아닌 것들의 집합이라 하겠습니다. 그러면 $R$ 은 (보통의 덧셈과 곱셈에 대해) 환입니다. $R$ 의 모든 아이디얼을 분류하십시오. 이 아이디얼들 중 어느 것이 소 아이디얼/극대 아이디얼입니까?

풀이. 아이디얼은 $(0)$ , $(1)=R$ , 그리고 각 $n\geq 1$ 에 대해 $(5^{n})=5^{n}R$ 입니다. 아이디얼 $(0)$ 은 소 아이디얼이고 아이디얼 $(5)$ 는 극대 아이디얼입니다 (몫 $R/(5)\cong\mathbb{F}_{5}$ 가 체이기 때문입니다).

문제 5I.

문제 4H에서 환 $R$ 이 하강 사슬 조건을 만족시키면 아르틴이라 함을 상기하십시오. 즉, 아이디얼의 무한 하강 사슬은 존재하지 않습니다: $I_{1}\supsetneq I_{2}\supsetneq I_{3}\supsetneq\dots$ .

(a)

$R$ 이 아르틴이고 정역이면 체임을 보이십시오.
(b)

더 일반적으로, 아르틴 환의 모든 소 아이디얼이 극대 아이디얼임을 보이십시오.