장 5 환의 여러 종류

이 정의는 지난 장에서 이미 보았습니다. 체 $K$는 모든 0이 아닌 원소가 단원인 자명하지 않은 환입니다.

특히 체에는 아이디얼이 두 개뿐입니다. 하나는 극대 아이디얼인 $(0)$이고, 다른 하나는 체 $K$ 전체입니다.

실제로는 온전한 체를 얻을 만큼 운이 좋은 경우가 많지 않습니다. 그래도 영곱 성질, 즉 $ab=0$이면 $a=0$ 또는 $b=0$이라는 결론은 여전히 얻을 수 있으면 좋을 것입니다. 우리의 환이 체라면 이는 참입니다. $b\ne 0$이면 $b{}^{-1}$를 곱하여 $a=0$을 얻을 수 있기 때문입니다. 그런데 $\mathbb{Z}$나 $\mathbb{Z}[x]$처럼 우리가 다루는 다른 많은 환도 나눗셈이 없는데도 이 성질을 가집니다.

하지만 모든 환이 그런 것은 아닙니다. $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$에서는,

$a,b\ne 0$인데 $ab=0$이면 $a$와 $b$를 환 $R$의 영인자라고 합니다. 그래서 이런 환에 이름을 붙입니다.

여기서 한 걸음 더 나아가 다음과 같이 정의합니다.

아이디얼 $(a,b)$는 $\gcd$ 연산을 환에서 흉내 낸 것임을 떠올리십시오. 따라서 이 정의가 본질적으로 말하는 바는 다음과 같습니다. 원소들의 모임 $\{a{}_i\}$를 아무렇게나 택하더라도, 모든 $a{}_i$로 생성된 아이디얼은 실제로는 단 하나의 원소 $a$로 생성됩니다.

다시 말해,

PID에서는 임의의 원소들의 모임에 대해 $\gcd$를 취할 수 있습니다.

환 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$는 주 아이디얼 환이지만 정역은 아닌 환의 예입니다. 앞서 넌지시 언급했듯이, 우리는 “주 아이디얼 환”이라는 개념을 실질적으로 사용할 일이 거의 없습니다. 보통은 이를 PID로 강화하여 사용하고자 할 것입니다.

우리는 모든 정수가 (부호를 제외하면) 소수들의 곱으로 유일하게 인수분해된다는 것을 알고 있습니다. 예를 들어 $15=3\cdot 5$이고 $-10=-2\cdot 5$입니다. 그 증명에 이른바 Bézout의 보조정리가 쓰인다는 것을 기억하실지도 모르겠습니다. 이 보조정리는 본질적으로 $(a,b)=(\gcd (a,b))$임을 말해 줍니다. 다시 말해, 우리는 $\mathbb{Z}$가 PID라는 사실을 신중하게 활용한 것입니다.

알고 보면, 대부분의 환은 PID가 아니기 때문에 일반적인 환에서는 원소를 인수분해할 때만큼 상황이 좋지 않습니다. 문제가 생기는 고전적인 예는 다음과 같습니다.

이는 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$에서의 예입니다. 그럼에도 불구하고, 우리는 이 문제를 비켜 가서 아이디얼의 인수분해에 대해 이야기할 수 있습니다. 어떤 식으로든 $10=2\cdot 5$라는 예는 $(10)=(2)\cdot (5)$가 되어야 하며, 이는 “$10$의 모든 배수는 $2$의 배수와 $5$의 배수의 곱이다”라는 뜻입니다. 그러려면 두 아이디얼을 곱하는 방법을 설명해야 하는데, 이는 유일 인수분해에 관한 장에서 다룹니다.

적어도 소수가 무엇인지는 알아봅시다. $\mathbb{Z}$에서 $p\ne 1$이 소수라는 것은 $p\mid xy$일 때마다 $p\mid x$이거나 $p\mid y$라는 것입니다. 우리는 이 정의를 아이디얼의 세계로 옮겨 옵니다.

$I$가 진 아이디얼이어야 한다는 조건은 우리가 $1$을 소수로 간주하지 않는다는 사실과 유사합니다.

또한 다음이 성립합니다.

유감스럽게도 “소” 아이디얼이라는 개념을 도입해도 유일 인수분해는 여전히 성립하지 않는다는 것을 이제 알려 드려야겠습니다(다만 앞서 말했듯이 두 아이디얼을 곱하는 방법은 아직 설명하지 않았습니다). 그러나 대수적 정수론에서 등장할 몇 가지 추가 가정이 있으면 유일 인수분해가 성립하게 됩니다(관련 키워드: 데데킨트 정역).

아이디얼의 또 다른 종류를 소개합니다.

소 아이디얼에 대한 정리와 유사한 정리가 있습니다.

실제로는 생성된 아이디얼로 몫을 취하는 것이 꽤 편리하기 때문에, 이는 아이디얼이 극대인지 확인하는 매우 효율적인 방법입니다.

앞서 보았듯이 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼입니다. 그런데 이제 $\mathbb{Z}$에는 0이 아닌 모든 소 아이디얼이 극대이기도 하다는 특별한 성질이 있다는 점에 주목하십시오. 이 조건과 몇 가지 사소한 조건을 더하면, 아이디얼의 소인수분해가 실제로 성립하는 이른바 데데킨트 정역을 얻습니다. 이에 대해서는 나중에 더 다룹니다.

이왕 여기까지 온 김에, 임의의 정역을 체로 바꾸어 주는 유용한 구성을 소개하겠습니다.

사실 $\mathbb{Q}$에 대해 알고 있는 모든 것이 기본적으로 유추를 통해 그대로 적용됩니다. 원한다면 이것이 실제로 체임을 증명할 수도 있지만, $\mathbb{Q}$가 잘 정의된다는 사실을 우리가 얼마나 당연하게 받아들이는지를 생각하면 저라면 그것에 대해 걱정하지 않겠습니다…

여기 정수론에 관심이 있는 분들에게 중요할 곁가지 정의가 하나 있습니다. 양의 정수에 대해서는 산술의 기본정리가 성립하는데, 이는 모든 정수가 소수들의 곱으로 유일하게 나타내어진다는 것입니다.

$6=(-2)(-3)$ 같은 표현 등을 허용한다면 $\mathbb{Z}$나 $\mathbb{Z}[i]$에서도 유사한 명제를 세울 수 있습니다. 요령은 모든 것을 단원 차이를 무시하고 고려한다는 것입니다. 따라서 $6=(-2)(-3)=2\cdot 3$은 같은 것으로 간주됩니다.

일반적인 정의는 다음과 같습니다.

다음 정리가 성립합니다.

위의 반례를 살펴보면 다음과 같습니다.

여기서 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$가 UFD가 되지 못한다는 사실은 어떤 인수도 더 이상의 기약 인수로 분해할 수 없다는 사실에 반영되어 있습니다. 실제로 아이디얼

은 주 아이디얼이 아닙니다 — $2$와 $1+\sqrt{-5}$의 $\gcd$가 되는 원소는 존재하지 않습니다.

비슷한 방식으로, 기약 인수로의 분해가 존재한다고 가정하면 PID가 UFD임을 증명할 수 있습니다.

이 장은 이후에 사용되지 않지만, 역사적으로 흥미로운 내용입니다.

PID는 임의의 원소족의 $\gcd$를 취할 수 있는 환임을 상기하십시오.

$\mathbb{Z}$의 두 원소의 $\gcd$를 계산하는 가장 널리 알려진 알고리즘이 유클리드 알고리즘이라는 것은 모두 알고 있습니다.

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  두 정수 $a$와 $b$에서 시작합니다.

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  $a$와 $b$ 중 하나가 $0$이면 증명이 끝납니다. $\gcd$는 0이 아닌 원소입니다.

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  그렇지 않으면 $|a|\ge |b|$라고 가정하고, $a$를 $b$로 나누어 를 만족하는 나머지 $r$을 얻은 뒤, $a$를 $r$로 바꾸고 알고리즘을 계속합니다.

이 알고리즘은 매우 효율적입니다 — 이 알고리즘이 $a$와 $b$의 크기에 대해 로그 수준의 단계만 거친다는 것을 증명할 수 있습니다 — 예를 들어 $a$와 $b$가 $10{}^{100}$ 정도의 크기라면, 최악의 경우에도 $500$단계면 충분합니다.

자연스럽게 다음과 같은 질문이 제기됩니다.

어떤 환에서 같은 알고리즘을 수행할 수 있습니까?

실제로 여러 환에서 이것이 가능함을 보게 될 것입니다! 예를 들어 가우스 정수환 $\mathbb{Z}[i]$, 아이젠슈타인 정수환 $\mathbb{Z}[\omega ]$ 등이 있습니다.

위의 알고리즘 설명을 살펴보면, 무엇이 알고리즘을 작동하게 합니까? 바로 두 수의 크기를 비교하는 데 쓰이는 절댓값 $|\cdot |$이며, 이 절댓값은 두 가지 조건을 만족합니다.

• •

  이 함수는 음이 아닌 정수 값을 출력합니다. 그러므로 알고리즘은 결국 종료됩니다.

• •

  $b\ne 0$인 임의의 두 환 원소 $a$와 $b$에 대해, $r=a-qb$의 절댓값이 $b$보다 작아지도록 하는 $q$가 존재합니다.

따라서 자연스럽게, 비슷한 정숫값 함수를 갖는 환이라면 어떤 환에서든 이 알고리즘을 수행할 수 있습니다. 위의 두 조건을 만족하는 함수 $\mathrm{N}:R\to \mathbb{Z}{}_{\ge 0}$를 유클리드 노름이라 하고, 노름을 갖는 정역 $R$을 유클리드 정역이라고 합니다. 여기서 노름의 값은 음이 아닌 정수입니다.

그렇기는 하지만, 유클리드 정역의 자연스러운 노름이 유클리드 노름이 아닐 때도 있습니다. $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{69}}{2}]$가 그 첫 번째 예입니다.

PID라는 주제로 돌아갑시다. 유클리드 정역에서는 임의의 두 원소의 $\gcd$를 계산할 수 있습니다. 그렇다면 원소들의 무한족에 대해서는 어떻겠습니까?

알고 보니 상황이 매우 좋습니다:

사실, 원소들의 무한족의 $\gcd$를 계산하는 명시적인 알고리즘을 제시할 필요는 없습니다 — 물론 그러한 알고리즘은 유한한 시간 안에 끝날 수 없습니다! — $\gcd$가 존재한다는 것만 보이면 되므로, 편법을 써서 빠져나갈 수 있습니다.

유클리드 알고리즘에서는 원소들 중 하나가 $0$이 될 때까지 원소들의 노름이 계속 감소한다는 점에 주목하십시오. 따라서 원소들의 임의의 족이 주어지면, 이 원소들로 생성되는 아이디얼을 택하고 — 분명히 $\gcd$는 그 아이디얼 안에 있습니다 — 노름이 가장 작은 0이 아닌 원소를 택합니다. 이것이 바로 $\gcd$입니다.

이러한 직관을 염두에 두고 증명을 형식화하겠습니다:

위의 주장을 증명하겠습니다. 전체적인 계획은 다음과 같습니다:

• •

  유클리드 노름이 존재하면 우리가 보편 곁약수라고 부르는 것이 존재함을 보이십시오.

• •

  $R$에 보편 곁약수가 없음을 보이십시오.

• •

  따라서 $R$은 유클리드 노름을 가질 수 없습니다.

먼저 위에서 본 $\mathbb{Z}[i]$와 $\mathbb{Z}[\omega ]$의 예를 살펴보십시오. 단원이 노름이 가장 작은 원소임을 알 수 있습니다.

지금까지는 쓸모 있는 것이 없습니다 — 모든 환에는 단원 $1$이 있습니다. 다음으로 노름이 그다음으로 작은 원소들을 살펴보겠습니다:

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  $\mathbb{Z}[i]$에서 원소 $1+i$는 노름이 $2$이며, $0$도 단원도 아닌 원소 중 노름이 가장 작은 원소입니다. (다른 원소들은 $\pm 1\pm i$입니다.)

• •

  $\mathbb{Z}[\omega ]$에서 단원은 노름이 $1$인 $\{\pm 1,\pm \omega ,\pm (\omega -1)\}$입니다. 노름이 그다음으로 작은 원소는 노름이 $3$인 $1+\omega$입니다.

이제 증명을 진행하기 위해 곁약수를 정의해야 합니다. 어떤 $q$가 존재하여 $a=bq$이면 $b$를 $a$의 약수라고 했던 것을 떠올리십시오. 어떤 $q$가 존재하여 나머지 $a-bq$가 $0$이거나 단원이면, $b$를 $a$의 곁약수(“거의 약수”라고 읽습니다)라고 합니다.

마지막으로, 모든 원소 $a\in R$에 대하여 $b$가 $a$의 곁약수일 때 수 $b$를 보편 곁약수라고 정의합니다.

이제 위에서 살펴본 두 개념 사이의 연관성을 알아봅시다.

그리고 마지막으로,

올림피아드 문제는 아니지만, 이번에도 그 정신은 올림피아드에서 볼 법한 문제와 매우 가깝습니다.