장 67 대상과 사상

이 몇 개의 장에서 범주론을 제대로 다루는 것은 도저히 불가능합니다. 따라서 지금까지 만나본 개념들이 어떻게 범주론적 용어로 다시 표현될 수 있는지에 대해 매우 개괄적인 개요만 제시하겠습니다. 그러므로 범주가 무엇인지 말하고, 몇 가지 예를 든 다음, 범주가 할 수 있는 몇 가지 일에 대해 이야기하겠습니다. 예시는 이전의 모든 장에서 가져올 것입니다; 아직 보지 못한 내용에 해당하는 예시는 건너뛰어도 좋습니다.

(저처럼!) 범주론에, 어쩌면 일반적인 범주에 대해 어떤 놀라운 결과들이 성립하는지에 관심이 있다면, [LEI14]를 강력히 추천합니다.

67.1 동기: 동형사상

앞선 장들에서 두 대상의 동형사상의 정의를 상기해 봅시다:

•

두 군 $G$ 와 $H$ 는 전단사 준동형사상이 존재하면 동형입니다: 이는 동치로, $\phi\circ\psi=\mathrm{id}_{H}$ 이고 $\psi\circ\phi=\mathrm{id}_{G}$ 라는 의미에서 서로 역인 준동형사상 $\phi\colon G\to H$ 와 $\psi\colon H\to G$ 가 존재하기를 원한 것입니다.
•

두 거리 (또는 위상) 공간 $X$ 와 $Y$ 는 연속인 전단사 $f\colon X\to Y$ 가 존재하고 $f^{-1}$ 역시 연속이면 동형입니다.
•

두 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 는 선형 사상인 전단사 $T\colon V\to W$ 가 존재하면 동형입니다. 다시 말해, 이는 $T$ 와 $T^{-1}$ 가 선형 사상이라고 다시 표현할 수 있습니다.
•

두 환 $R$ 과 $S$ 는 전단사 환 준동형사상 $\phi$ 가 존재하면 동형입니다; 이 역시 서로 역인 두 환 준동형사상으로 다시 표현할 수 있습니다.

각 경우에서 우리는 대상들의 어떤 모임과 어떤 사상들을 가지고 있으며, 동형사상은 그저 사상으로 볼 수 있습니다. 이를 이용하여 일반적인 범주의 정의에 대한 동기를 부여해 봅시다.

67.2 범주, 그리고 그 예시들

대표적인 예: $\mathsf{Grp}$ 는 아마도 가장 자연스러운 예시일 것입니다.

정의 67.2.1.

범주 $\mathcal{A}$ 는 다음으로 구성됩니다:

•

$\operatorname{obj}(\mathcal{A})$ 로 표기되는 대상들의 모임.
•

임의의 두 대상 $A_{1},A_{2}\in\operatorname{obj}(\mathcal{A})$ 에 대해, 그들 사이의 화살( 사상 또는 맵이라고도 함)들의 모임. 이 화살들의 집합을 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A_{1},A_{2})$ 로 표기하겠습니다.
•

임의의 $A_{1},A_{2},A_{3}\in\operatorname{obj}(\mathcal{A})$ 에 대해, $f\colon A_{1}\to A_{2}$ 가 화살이고 $g\colon A_{2}\to A_{3}$ 가 화살이면, 이 화살들을 합성하여 화살 $g\circ f\colon A_{1}\to A_{3}$ 를 얻을 수 있습니다.

이를 가환 도식으로 나타낼 수 있습니다

여기서 $h=g\circ f$ 입니다. 합성 연산 $\circ$ 는 $\mathcal{A}$ 의 데이터의 일부이며, 결합법칙을 만족해야 합니다. 위 도식에서 $h$ 가 $A_{2}$ 를 통해 인수분해된다고 말합니다.
•

마지막으로, 모든 대상 $A\in\operatorname{obj}(\mathcal{A})$ 는 특별한 항등 화살 $\mathrm{id}_{A}$ 를 가집니다; 그것이 무엇을 하는지 짐작할 수 있을 것입니다.¹¹1고통스러울 정도로 명시적으로 말하자면: $f\colon A^{\prime}\to A$ 가 화살이면 $\mathrm{id}_{A}\circ f=f$ 이고; 마찬가지로 $g\colon A\to A^{\prime}$ 가 화살이면 $g\circ\mathrm{id}_{A}=g$ 입니다.

표기의 남용 67.2.2.

지금부터 $A\in\mathcal{A}$ 라고 하면 $A\in\operatorname{obj}(\mathcal{A})$ 를 의미하겠습니다.

표기의 남용 67.2.3.

”류(class)”는 그냥 ”집합(set)”이라고 생각해도 됩니다. ”집합”이라는 단어를 사용할 수 없는 이유는 너무 큰 모임과 관련된 몇 가지 역설적인 문제 때문입니다; 칸토어의 역설(Cantor’s Paradox)은 모든 집합의 집합은 존재하지 않는다고 말합니다. 따라서 이들을 ”류”라고 부르는 것은 이러한 문제들을 우회하는 방법입니다.

지금부터 계속 저는 다소 느슨하게, 저의 모든 범주가 국소적으로 작다(locally small)고 가정하겠습니다. 이는 임의의 $A_{1},A_{2}\in\mathcal{A}$ 에 대해 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A_{1},A_{2})$ 가 집합이라는 의미입니다. 따라서 $\mathcal{A}$ 의 원소들은 집합을 이루지 않을 수 있지만, 주어진 두 대상 사이의 사상들의 모임은 항상 집합으로 가정됩니다.

우리가 처음에 시작한 동기를 형식화해 봅시다.

예제 67.2.4 (범주의 기본 예시들).

(a)
군의 범주 $\mathsf{Grp}$ 가 있습니다. 그 데이터는 다음과 같습니다.
- •
  
  $\mathsf{Grp}$ 의 대상은 군들입니다.
- •
  
  $\mathsf{Grp}$ 의 사상은 이 군들 사이의 준동형사상들입니다.
- •
  
  $\mathsf{Grp}$ 에서의 합성 $\circ$ 는 함수 합성입니다.
(b)

같은 방식으로 (가환) 환의 범주 $\mathsf{CRing}$ 을 생각할 수 있습니다.
(c)

마찬가지로, 위상 공간의 범주 $\mathsf{Top}$ 이 있으며, 이 범주의 사상은 연속 사상입니다.
(d)

구별된 기점을 가진 위상 공간의 범주 $\mathsf{Top}_{\ast}$ 가 있습니다. 즉, $x_{0}\in X$ 인 순서쌍 $(X,x_{0})$ 입니다. 사상은 $f(x_{0})=y_{0}$ 을 만족하는 연속 사상 $f\colon X\to Y$ 입니다.
(e)

마찬가지로, 체 $k$ 위의 (무한 차원일 수도 있는) 벡터 공간의 범주 $\mathsf{Vect}_{k}$ 가 있으며, 이 범주의 사상은 선형 사상입니다. 유한 차원 벡터 공간의 범주 $\mathsf{FDVect}_{k}$ 도 있습니다.
(f)

집합의 범주 $\mathsf{Set}$ 가 있으며, 여기서 사상은 임의의 사상입니다.

그리고 물론, 이제 동형사상이 무엇인지 정의할 수 있습니다!

정의 67.2.5.

사상 $A_{1}\xrightarrow{f}A_{2}$ 가 동형사상이라는 것은, $f\circ g=\mathrm{id}_{A_{2}}$ 이고 $g\circ f=\mathrm{id}_{A_{1}}$ 을 만족하는 $A_{2}\xrightarrow{g}A_{1}$ 이 존재함을 뜻합니다. 이 경우 $A_{1}$ 과 $A_{2}$ 가 동형이라고 말하며, 따라서 $A_{1}\cong A_{2}$ 입니다.

비고 67.2.6.

$\mathsf{Set}$ 에서는 $X\cong Y\iff\left\lvert X\right\rvert=\left\lvert Y\right\rvert$ 임에 유의하십시오.

질문 67.2.7.

범주 내의 모든 대상이 자기 자신과 동형임을 확인하십시오. (이것은 어이없을 정도로 쉽습니다.)

더 중요한 점은, 이 정의가 여러분에게 다소 인상적으로 다가와야 한다는 것입니다. 우리는 두 군(환, 공간 등)이 동형인지를 오직 대상들 사이의 함수만으로 정의할 수 있습니다. 실제로, 범주론(그리고 심지어 대수학)의 핵심 주제 중 하나는 다음과 같습니다.

대상에 대해서는 그 대상들 사이의 함수를 통해 알 수 있습니다. 범주론은 이를 극단까지 밀어붙여, 오직 사상만을 바라보고 대상 자체가 무엇인지는 무시합니다.

하지만 범주의 더 까다롭고 흥미로운 예시들이 있습니다.

예제 67.2.8 (순서집합은 범주이다).

$\mathcal{P}$ 를 부분순서집합이라 합시다. 이에 대해 다음과 같이 범주 $P$ 를 구성할 수 있습니다.

•

$P$ 의 대상은 $\mathcal{P}$ 의 원소들이 될 것입니다.
•
$P$ 의 사상은 다음과 같이 정의됩니다.
- –
  
  모든 대상 $p\in P$ 에 대해, 항등 사상 $\mathrm{id}_{p}$ 를 추가하고,
- –
  
  서로 다른 대상의 쌍 $p\leq q$ 에 대해, 사상 $p\to q$ 하나를 추가합니다.
다른 사상은 없습니다.
•

합성을 하는 방법은 오직 하나뿐입니다. 그것은 무엇일까요?

예를 들어, $a\leq b$ 이고 $a\leq c\leq d$ 인 네 대상 $\{a,b,c,d\}$ 로 이루어진 부분순서집합 $\mathcal{P}$ 에 대해서는 다음과 같이 됩니다.

이는 다음과 같은 점을 보여줍니다

범주의 화살표는 함수와 완전히 다를 수 있습니다.

사실 정확하게 표현하자면, “구체적 범주”라는 용어는 화살표가 실제로 $\mathsf{Grp}$ , $\mathsf{Top}$ , $\mathsf{CRing}$ 처럼 “집합 사이의 구조를 보존하는 사상”인 경우를 가리킵니다.

질문 67.2.9.

준순서집합의 서로 다른 두 대상은 결코 동형사상이 아님을 확인하십시오.

다음은 구체적이지 않은 범주의 두 번째 중요한 예시입니다.

예제 67.2.10 (중요: 군은 대상이 하나인 범주입니다).

군 $G$ 는 대상이 하나 $\ast$ 이고 모든 화살표가 동형사상인 범주 $\mathcal{G}$ 로 해석될 수 있습니다.

[LEI14]에서 말하듯이:

군이 일종의 범주라는 발상을 처음 접하면, 우연이나 트릭으로 치부하고 싶은 유혹이 듭니다. 그렇지 않습니다: 실질적인 내용이 있습니다. 이를 확인하기 위해, 만약 교육 과정이 뒤섞여서 군이 무엇인지 배우기도 전에 범주론 강의를 먼저 들었다고 가정해봅시다. 누군가가 다가와 이렇게 말합니다:

“’군’이라 불리는 구조들이 있는데, 그 발상은 이렇습니다: 군이란 주어진 대상의 모든 대칭들을 모아놓은 것입니다.”

“’대칭’이라는 게 무슨 뜻인가요?” 당신은 묻습니다.

“음, 대상 $X$ 의 대칭이란 $X$ 를 가역적인 방식으로 변환하거나 $X$ 자신으로 사상시키는 방법입니다.”

“아,” 당신이 대답합니다, “그건 제가 전에 접한 발상의 특수한 경우로군요. 범주란 많은 대상들과 그 사이의 사상들 – 반드시 가역적일 필요는 없는 – 로 이루어진 구조입니다. 군은 대상이 단 하나뿐이고 모든 사상이 마침 가역적인 매우 특수한 경우일 뿐이군요.”

연습문제 67.2.11.

위의 내용을 검증하십시오! 즉, 모든 사상이 동형사상인 대상 하나짜리 범주의 데이터가 군의 데이터와 동일함을 보이십시오.

마지막으로, 다른 범주들로부터 만들 수 있는 범주의 몇 가지 예시를 소개합니다.

예제 67.2.12 (범주 유도하기).

(a)

범주 $\mathcal{A}$ 가 주어지면, $\mathcal{A}$ 와 같지만 모든 화살표가 뒤집힌 반대 범주 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}$ 를 구성할 수 있습니다.
(b)

범주 $\mathcal{A}$ 와 $\mathcal{B}$ 가 주어지면, 다음과 같이 곱 범주 $\mathcal{A}\times\mathcal{B}$ 를 구성할 수 있습니다: 대상은 $A\in\mathcal{A}$ 와 $B\in\mathcal{B}$ 에 대한 쌍 $(A,B)$ 이고, $(A_{1},B_{1})$ 에서 $(A_{2},B_{2})$ 로 가는 화살표는 쌍

$\left(A_{1}\xrightarrow{f}A_{2},B_{1}\xrightarrow{g}B_{2}\right).$

입니다. 합성과 항등원은 무엇이라고 생각합니까?

67.3 범주 안의 특별한 대상들

대표적인 예: $\mathsf{Set}$ 은 시작 대상 $\varnothing$ 과 끝 대상 $\{\ast\}$ 을 가집니다. $S$ 의 원소는 사상 $\{\ast\}\to S$ 에 대응됩니다.

범주 안의 특정 대상들은 특별한 성질을 가집니다. 다음은 그 예시 몇 가지입니다.

예제 67.3.1 (시작 대상).

$\mathcal{A}$ 의 시작 대상이란 임의의 $A\in\mathcal{A}$ (경우에 따라 $A=A_{\text{시작 대상}}$ 일 수도 있음)에 대해 $A_{\text{시작 대상}}$ 에서 $A$ 로 가는 화살표가 정확히 하나 존재하는 대상 $A_{\text{시작 대상}}\in\mathcal{A}$ 입니다. 예를 들어,

(a)

$\mathsf{Set}$ 의 시작 대상은 공집합 $\varnothing$ 입니다.
(b)

$\mathsf{Grp}$ 의 시작 대상은 자명군 $\{1\}$ 입니다.
(c)

$\mathsf{CRing}$ 의 시작 대상은 환 $\mathbb{Z}$ 입니다(환 준동형사상 $R\to S$ 는 $1_{R}$ 을 $1_{S}$ 로 보낸다는 사실을 상기하십시오).
(d)

$\mathsf{Top}$ 의 시작 대상은 공집합 공간입니다.
(e)

부분 순서 집합의 시작 대상은, 존재한다면, 그 최소 원소입니다.

우리는 보통 범주의 ”그” 시작 대상이라고 지칭할 것인데, 그 이유는 다음과 같습니다:

연습문제 67.3.2 (중요!).

$\mathcal{A}$ 의 임의의 두 시작 대상 $A_{1}$ , $A_{2}$ 가 유일하게 동형임을, 즉 그들 사이에 유일한 동형사상이 존재함을 보이십시오.

비고 67.3.3.

수학에서 우리는 보통 두 대상이 실제로 같은지 혹은 동형인지 알지도 못하고 신경 쓰지도 않습니다. 예를 들어 $\mathbb{R}$ 을 정의하는 여러 경쟁하는 방법이 있지만, 우리는 여전히 그것을 그저 ”그” 실수라고 부릅니다.

따라서 범주적 개념을 정의할 때, 우리는 그것들이 동형사상까지 유일한지 확인하고자 합니다. 이는 범주의 언어에서 매우 깔끔하며, 정의는 종종 위와 같은 우아한 이유로 대상이 동형사상까지 유일하게 되도록 만듭니다.

”쌍대” 개념인 끝 대상을 취할 수 있습니다.

예제 67.3.4 (끝 대상).

$\mathcal{A}$ 의 끝 대상이란 임의의 $A\in\mathcal{A}$ (가능하다면 $A=A_{\text{종말}}$ )에 대해 $A$ 에서 $A_{\text{종말}}$ 로 가는 화살이 정확히 하나 존재하는 대상 $A_{\text{종말}}\in\mathcal{A}$ 입니다. 예를 들어,

(a)

$\mathsf{Set}$ 의 끝 대상은 한원소 집합 $\{\ast\}$ 입니다. (물론 한원소 집합은 많지만, 집합으로서 그것들은 모두 동형입니다!)
(b)

$\mathsf{Grp}$ 의 끝 대상은 자명군 $\{1\}$ 입니다.
(c)

$\mathsf{CRing}$ 의 끝 대상은 영환 $0$ 입니다. (환 준동형사상 $R\to S$ 는 반드시 $1_{R}$ 을 $1_{S}$ 로 보내야 함을 기억하십시오).
(d)

$\mathsf{Top}$ 의 끝 대상은 한 점 공간입니다.
(e)

부분 순서 집합의 끝 대상은, 존재한다면, 그 최대 원소입니다.

다시 말해, 끝 대상은 동형사상까지 유일합니다. 독자는 앞선 연습문제의 증명을 여기서 반복해 보시기 바랍니다. 그러나 우리는 쌍대성 개념을 더 강하게 보여주어 짧은 증명을 제시할 수 있습니다.

질문 67.3.5.

$\mathcal{A}$ 의 끝 대상이 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}$ 의 시작 대상과 동치임을 확인하십시오. 따라서 $\mathcal{A}$ 의 끝 대상은 동형사상까지 유일합니다.

일반적으로 이런 방식으로 어떤 범주적 개념의 쌍대도 생각할 수 있습니다: $\mathcal{A}$ 의 성질은 모두 (흔히 앞에 ”쌍대”라는 접두사를 붙여서) $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}$ 의 쌍대 성질로 번역될 수 있습니다.

마지막으로 멋진 구성이 하나 있습니다: 우리가 구체적인 범주에서 작업하고 있다고 가정합시다. 이는 (느슨하게 말해) 대상이 ”추가 구조를 갖춘 집합”임을 의미합니다. 이제 여러분이 사상에 지쳐서 그저 이 집합들의 원소에 대해 생각하고 싶다고 가정합시다. 음, 여러분이 범주론 장을 읽고 있으니 그렇게 하도록 두지는 않겠지만, 대신 조언을 하나 드리겠습니다:

•

$\mathsf{Set}$ 에서 $\{\ast\}$ 에서 $S$ 로 가는 화살은 $S$ 의 원소에 대응합니다.
•

$\mathsf{Top}$ 에서 $\{\ast\}$ 에서 $X$ 로 가는 화살은 $X$ 의 점에 대응합니다.
•

$\mathsf{Grp}$ 에서 $\mathbb{Z}$ 에서 $G$ 로 가는 화살은 $G$ 의 원소에 대응합니다.
•

$\mathsf{CRing}$ 에서 $\mathbb{Z}[x]$ 에서 $R$ 로 가는 화살은 $R$ 의 원소에 대응합니다.

이런 식으로 계속됩니다. 그러므로 대부분의 구체적인 범주에서, 여러분은 원소를 특수한 집합에서 문제의 집합으로 가는 함수로 생각할 수 있습니다. 이러한 각 경우에 우리는 문제의 대상을 자유 대상이라고 부릅니다.

67.4 이항 곱

대표적인 예: 대부분의 구체적인 범주에서 $X\times Y$ 는 집합론적 곱입니다.

”보편 성질(universal property)”은 대상을 사상의 관점에서 기술하는 방법으로서, 그 대상을 유일한 동형사상까지 결정합니다 (시작 대상 및 끝 대상의 경우와 매우 비슷합니다).

이것이 일반적으로 어떻게 작동하는지 보여드리기 위해, 구체적인 예를 하나 들어보겠습니다. 어떤 범주에 있다고 가정해 봅시다 – 지금은 $\mathsf{Set}$ 이라고 합시다. 두 집합 $X$ 와 $Y$ 가 있고, 우리가 알고 있는 곱집합 $X\times Y$ 를 구성하고자 합니다. 범주론의 철학은 사상에 대해서만 이야기해야 하며, 집합 자체에 관한 어떤 것도 언급하지 않아야 한다고 지시합니다. 이것을 어떻게 할 수 있을까요?

자, $X\times Y$ 로 들어가는 사상들에 대해 생각해 봅시다. 핵심 관찰은 다음과 같습니다.

함수 $A\xrightarrow{f}X\times Y$ 는 함수의 쌍 $(A\xrightarrow{g}X,A\xrightarrow{h}Y)$ 와 대응됩니다.

달리 말하면, $X\times Y\to X$ 와 $X\times Y\to Y$ 라는 자연스러운 사영 사상이 존재합니다:

(원소가 아니라 사영 사상의 관점에서 이를 다루어야 하는데, 이는 범주론이 우리로 하여금 화살표에 대해 이야기하도록 강제하기 때문입니다.) 이제 이 도식에 $A$ 를 어떻게 추가할까요? 요점은 함수 $A\xrightarrow{f}X\times Y$ 와 함수의 쌍 $(g,h)$ 사이에 전단사가 존재한다는 것입니다. 따라서 모든 쌍 $A\xrightarrow{g}X$ 와 $A\xrightarrow{h}Y$ 에 대해 유일한 함수 $A\xrightarrow{f}X\times Y$ 가 존재합니다.

그러나 $X\times Y$ 가 특별한 이유는 그것이 ”보편적”이기 때문입니다: 임의의 집합 $A$ 에 대해, 여러분이 함수 $A\to X$ 와 $A\to Y$ 를 저에게 준다면, 저는 그것을 이용하여 유일한 함수 $A\to X\times Y$ 를 만들 수 있습니다. 그림:

이것은 임의의 일반적인 범주에서도 할 수 있으며, 이렇게 정의되는 것을 소위 곱이라고 합니다.

정의 67.4.1.

$X$ 와 $Y$ 가 임의의 범주 $\mathcal{A}$ 에서의 대상이라고 합시다. 곱은 대상 $X\times Y$ 와 $X$ , $Y$ 로 향하는 화살표 $\pi_{X}$ , $\pi_{Y}$ (사영으로 생각됩니다)로 구성됩니다. 우리는 임의의 대상 $A$ 와 화살표 $A\xrightarrow{g}X$ , $A\xrightarrow{h}Y$ 에 대해, 위 도식이 가환하게 만드는 유일한 함수 $A\xrightarrow{f}X\times Y$ 가 존재할 것을 요구합니다.

표기의 남용 67.4.2.

엄밀히 말하면, 곱은 대상 $X\times Y$ 와 사영 사상 $\pi_{X}$ , $\pi_{Y}$ 를 둘 다 포함해야 합니다. 하지만 $\pi_{X}$ 와 $\pi_{Y}$ 가 암묵적으로 이해되는 경우, 우리는 흔히 $X\times Y$ 를 그 대상을 가리키는 데 사용하며, 이를 곱이라고도 부릅니다.

곱은 항상 존재하는 것은 아닙니다. 예를 들어, 대상이 딱 두 개만 있고 항등 사상이 아닌 사상은 전혀 없는 범주를 생각해 보십시오. 그럼에도 불구하고:

명제 67.4.3 (곱의 유일성).

곱이 존재할 때, 곱은 동형사상까지 유일합니다: $X$ 와 $Y$ 의 두 곱 $P_{1}$ 과 $P_{2}$ 가 주어지면 두 대상 사이에 동형사상이 존재합니다.

증명.

이는 시작 대상이 유일한 동형사상까지 유일하다는 증명과 매우 유사합니다. 그러한 두 대상 $P_{1}$ 과 $P_{2}$ , 그리고 그에 연관된 사영 사상들을 생각해 봅시다. 그러면 다음과 같은 도식이 있습니다.

보편 성질에 따라, 도식 전체를 가환하게 만드는 $P_{1}$ 과 $P_{2}$ 사이의 유일한 사상 $f$ 와 $g$ 가 존재합니다.

한편, $g\circ f$ 를 살펴보고 바깥쪽 사각형에만 집중해 봅시다. $g\circ f$ 는 바깥쪽 사각형을 가환하게 만드는 사상이므로, $P_{1}$ 의 보편 성질에 의해 그것이 유일한 것임을 관찰할 수 있습니다. 하지만 $\mathrm{id}_{P_{1}}$ 도 마찬가지로 작동합니다. 따라서 $\mathrm{id}_{P_{1}}=g\circ f$ 입니다. 마찬가지로 $f\circ g=\mathrm{id}_{P_{2}}$ 이므로 $f$ 와 $g$ 는 동형사상입니다. ∎

표기의 남용 67.4.4.

사실, 이것은 도덕적으로 올바른 정리는 아닌데, 왜냐하면 우리는 대상 $P_{1}$ 과 $P_{2}$ 가 동형이라는 것만 보였을 뿐, 사영 사상에 관해서는 어떠한 주장도 하지 않았기 때문입니다. 하지만 저는 곱 전체의 동형사상을 정의하지 않았고 (앞으로도 하지 않을 것이며), 따라서 이후로 ” $P_{1}$ 과 $P_{2}$ 가 동형이다”라고 말할 때는 정말로 그 대상들이 동형이라는 것만을 의미합니다.

연습문제 67.4.5.

실제로, 곱이 유일한 동형사상까지 유일함을 보이겠습니다: 위의 $f$ 와 $g$ 는 사영을 존중하는, 대상 $P_{1}$ 과 $P_{2}$ 사이의 유일한 동형사상입니다.

이 ”보편 성질” 사고방식의 좋은 점은 우리가 명시적인 구성을 제시할 필요가 없다는 것입니다; 존재성을 가정하면, ”보편 성질”은 ”이러한 성질을 갖는 대상은 유일한 동형사상까지 유일하다”라고 말함으로써 이 모든 작업을 우회할 수 있게 해주며, 따라서 그 성질을 이용하기 위해 그 대상의 내부 작동 방식을 이해할 필요가 없습니다.

물론, 그렇다고 해서 구체적인 예를 들 수 없다는 뜻은 아닙니다.

예제 67.4.6 (곱의 예시들).

(a)

$\mathsf{Set}$ 에서, 두 집합 $X$ 와 $Y$ 의 곱은 그들의 곱집합 $X\times Y$ 입니다.
(b)

$\mathsf{Grp}$ 에서, $G$ 와 $H$ 의 곱은 군 곱 $G\times H$ 입니다.
(c)

$\mathsf{Vect}_{k}$ 에서, $V$ 와 $W$ 의 곱은 $V\oplus W$ 입니다.
(d)

$\mathsf{CRing}$ 에서, $R$ 과 $S$ 의 곱은 적절하게도 환 곱 $R\times S$ 입니다.
(e)
$\mathcal{P}$ 를 범주로 해석된 poset이라 합시다. 그러면 두 대상 $x$ 와 $y$ 의 곱은 최대 하한입니다; 예를 들면,
- •
  
  poset이 $(\mathbb{R},\leq)$ 이면 그것은 $\min\{x,y\}$ 입니다.
- •
  
  poset이 유한 집합의 부분집합들을 포함관계로 순서 매긴 것이면, 그것은 $x\cap y$ 입니다.
- •
  
  poset이 양의 정수를 나눗셈으로 순서 매긴 것이면, 그것은 $\gcd(x,y)$ 입니다.

물론, 두 대상보다 더 많은 대상의 곱도 정의할 수 있습니다. 범주 $\mathcal{A}$ 안의 대상들의 집합 $(X_{i})_{i\in I}$ 을 생각해봅시다. $X_{i}$ 위의 원뿔을 각 $X_{i}$ 로 가는 몇 개의 ”사영” 사상을 가진 대상 $A$ 로 정의합니다. 그러면 곱은 앞서와 같은 의미로 ”보편적”인 원뿔 $P$ 입니다: 임의의 다른 원뿔 $A$ 가 주어지면, 도식을 가환하게 만드는 유일한 사상 $A\to P$ 가 존재합니다. 요컨대, 곱은 ”보편 원뿔”입니다.

이것을 그림으로 나타내면 다음과 같습니다

문제 67C도 참고하십시오.

쌍대 구성을 하여 쌍대곱을 얻을 수도 있습니다: $X$ 와 $Y$ 가 주어지면, 그것은 대상 $X+Y$ 와 사상 $X\xrightarrow{\iota_{X}}X+Y$ 및 $Y\xrightarrow{\iota_{Y}}X+Y$ (이것은 그리스 문자 이오타이며, 포함관계라고 생각하십시오)로 이루어지며, 임의의 대상 $A$ 와 사상 $X\xrightarrow{g}A$ , $Y\xrightarrow{h}A$ 에 대해 다음을 만족하는 유일한 $f$ 가 존재합니다

가 가환하는 것입니다. 이번에는 구체적인 예시 몇 가지를 연습문제로 남겨두겠습니다, 예를 들면:

연습문제 67.4.7.

$\mathsf{Set}$ 에서 쌍대곱을 묘사하십시오.

예상 가능한 용어입니다: 쌍대곱은 보편 쌍대원뿔입니다.

나중을 위한 스포일러: 이 구성은 소위 ”극한”으로 크게 일반화될 수 있으며, 나중에 그렇게 할 것입니다.

67.5 단사 사상과 전사 사상

화살표가 반드시 함수일 필요는 없으므로, ”단사”라는 개념은 임의의 범주에서 의미가 통하지 않습니다. 올바른 범주론적 개념은 다음과 같습니다:

정의 67.5.1.

사상 $X\xrightarrow{f}Y$ 가 모닉(단사 사상)이라 함은 임의의 가환 도식에 대해

$g=h$ 를 만족해야 한다면 모닉(또는 단사 사상)이라 합니다. 다시 말해, $f\circ g=f\circ h\implies g=h$ 입니다.

질문 67.5.2.

구체적 범주에서는 단사 $\implies$ 모닉임을 스스로 확인해보십시오. (엄밀히 말하면, 아직 구체적 범주의 formal한 정의를 제시하지 않았습니다; 공식적인 정의를 원한다면 비고 68.2.3에 도달한 후 이 연습문제를 다시 풀어도 됩니다.)

질문 67.5.3.

두 모닉 사상의 합성이 모닉임을 보이십시오.

대부분의 경우, 그러나 전부는 아니지만, 역도 성립합니다.

연습문제 67.5.4.

$\mathsf{Set}$ , $\mathsf{Grp}$ , $\mathsf{CRing}$ 에서 모닉이면 단사임을 보이십시오. ( $A=\{\ast\}$ , $A=\mathbb{Z}$ , $A=\mathbb{Z}[x]$ 를 취하십시오.)

더 일반적으로, 앞서 말했듯이 원소로 생각할 수 있는 ”자유” 대상을 가진 범주가 많습니다. 집합의 원소는 함수 $1\to S$ 이고, 환의 원소는 함수 $\mathbb{Z}[x]\to R$ 입니다, 기타 등등. 이 모든 범주에서, 모닉의 정의는 문자 그대로 ” $f$ 는 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A,X)$ 위에서 단사이다”라고 읽힙니다. 따라서 이러한 범주에서는 ”모닉”과 ”단사”가 일치합니다.

그렇긴 하지만, 여기 표준적인 반례가 있습니다. 가법 아벨 군 $G=(G,+)$ 는 모든 $x\in G$ 와 정수 $n>0$ 에 대해 $ny=x$ 를 만족하는 $y\in G$ 가 존재하면 나눗셈가능하다고 합니다. $\mathsf{DivAbGrp}$ 를 이러한 군들의 범주라 합시다.

연습문제 67.5.5.

$\mathsf{DivAbGrp}$ 에서 사영 $\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 가 모닉이지만 단사는 아님을 보이십시오.

물론, 쌍대 개념도 취할 수 있습니다.

정의 67.5.6.

사상 $X\xrightarrow{f}Y$ 가 다음과 같은 가환 도식에 대해 전사(또는 전사 사상)이라는 것은

$g=h$ 이어야 한다면 전사적(epic, 또는 전사 사상)이라고 합니다. 다시 말해, $g\circ f=h\circ f\implies g=h$ 입니다.

이는 전사성과 비슷한 개념이지만, 지난번보다는 조금 더 나아간 것입니다. 구체적 범주(concrete category)에서는 전사 $\implies$ 전사적임에 유의하십시오.

연습문제 67.5.7.

$\mathsf{Set}$ , $\mathsf{Grp}$ , $\mathsf{Ab}$ , $\mathsf{Vect}_{k}$ , $\mathsf{Top}$ 에서 전사적임과 전사가 일치함을 보이십시오. ( $\mathsf{Set}$ 의 경우, $A=\{0,1\}$ 을 취하십시오.)

그러나 이것이 성립하지 않는 경우가 더 많습니다. 가장 대표적으로는:

예제 67.5.8 (전사적이지만 전사가 아닌 경우).

(a)

예를 들어 $\mathsf{CRing}$ 에서, 포함 사상 $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$ 는 전사적입니다(그리고 전사가 아닙니다). 실제로, 두 준동형사상 $\mathbb{Q}\to A$ 가 모든 정수에서 일치한다면 이들은 모든 곳에서 일치합니다 (왜 그럴까요?),
(b)

하우스도르프(Hausdorff) 위상 공간(임의의 두 점이 서로소인 열린 근방을 가짐)의 범주에서는, 실제로 전사적임 $\iff$ 조밀한 상(像)입니다(예: $\mathbb{Q}\hookrightarrow\mathbb{R}$ 처럼).

따라서 함수 $f\colon X\to Y$ 가 $X$ 의 일부 점들만으로 결정될 수 있을 때 실패가 발생합니다.

67.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 67A.

체 $k$ 에 대한 $k$ -벡터 공간의 범주 $\mathsf{Vect}_{k}$ 에서, 시작 대상과 끝 대상은 무엇입니까?

문제 67B.

범주 $\mathsf{Vect}_{k}$ 와 포셋(poset)에서 쌍대곱 $X+Y$ 는 무엇입니까?

문제 67C.

모든 곱이 존재하는 임의의 범주 $\mathcal{A}$ 에서, $X$ , $Y$ , $Z$ 가 임의의 대상일 때

(X\times Y)\times Z\cong X\times(Y\times Z)

임을 보이십시오. (여기서 양변은 표기의 남용 67.4.2에서와 같이 대상을 가리킵니다.)

문제 67D.

^†^†margin:

영 대상을 갖는 범주 $\mathcal{A}$ 을 생각해 보십시오. 여기서 영 대상이란 시작 대상이면서 동시에 끝 대상인 대상을 의미합니다. $\mathcal{A}$ 에서 대상 $X$ 와 $Y$ 가 주어졌을 때, 사영 $X\times Y\to X$ 가 전사 사상임을 증명하십시오.