장 67 대상과 사상

이 몇 개의 장만으로 범주론을 제대로 다루기는 도저히 불가능합니다. 따라서 지금까지 접한 여러 개념을 범주론의 언어로 어떻게 다시 표현할 수 있는지 아주 개괄적으로 살펴보는 데 그치겠습니다. 먼저 범주가 무엇인지 설명하고, 몇 가지 예를 든 다음, 범주로 할 수 있는 몇 가지를 이야기하겠습니다. 예는 앞선 모든 장에서 가져올 것이므로, 아직 보지 않은 내용에 해당하는 예는 자유롭게 건너뛰십시오.

(저처럼!) 범주론에 관심이 있다면, 특히 일반적인 범주에서 어떤 놀라운 결과들이 성립하는지에 관심이 있다면 [LEI14]를 강력히 추천합니다.

67.1 동기: 동형사상

앞선 장들에서 다룬 두 대상 사이의 동형사상의 정의를 떠올려 봅시다:

•

두 군 $G$ 와 $H$ 는 전단사인 준동형사상이 존재할 때 동형이었습니다. 동치로, 서로 역인 준동형사상 $\phi\colon G\to H$ 와 $\psi\colon H\to G$ , 즉 $\phi\circ\psi=\mathrm{id}_{H}$ 이고 $\psi\circ\phi=\mathrm{id}_{G}$ 인 준동형사상이 존재하기를 요구했습니다.
•

두 거리 공간(또는 위상 공간) $X$ 와 $Y$ 는 $f^{-1}$ 도 연속인 연속 전단사 $f\colon X\to Y$ 가 존재할 때 동형입니다.
•

두 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 는 선형 사상인 전단사 $T\colon V\to W$ 가 존재할 때 동형입니다. 이번에도 이는 $T$ 와 $T^{-1}$ 가 선형 사상이라는 말로 다시 표현할 수 있습니다.
•

두 환 $R$ 과 $S$ 는 전단사인 환 준동형사상 $\phi$ 가 존재할 때 동형입니다. 이번에도 이를 서로 역인 두 환 준동형사상으로 다시 표현할 수 있습니다.

각 경우마다 대상들의 모임과 사상들이 있으며, 동형사상은 그저 사상으로 볼 수 있습니다. 이를 동기로 삼아 일반적인 범주의 정의를 세워 봅시다.

67.2 범주와 그 예

대표적인 예: $\mathsf{Grp}$ 가 아마 가장 자연스러운 예일 것입니다.

정의 67.2.1.

범주 $\mathcal{A}$ 는 다음으로 이루어집니다:

•

$\operatorname{obj}(\mathcal{A})$ 로 표기하는 대상들의 클래스.
•

임의의 두 대상 $A_{1},A_{2}\in\operatorname{obj}(\mathcal{A})$ 에 대하여, 그 사이의 화살표( 사상 또는 맵이라고도 합니다)들의 클래스. 이 화살표들의 집합을 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A_{1},A_{2})$ 로 표기하겠습니다.
•

임의의 $A_{1},A_{2},A_{3}\in\operatorname{obj}(\mathcal{A})$ 에 대하여, $f\colon A_{1}\to A_{2}$ 가 화살표이고 $g\colon A_{2}\to A_{3}$ 가 화살표이면, 이 화살표들을 합성하여 화살표 $g\circ f\colon A_{1}\to A_{3}$ 를 얻을 수 있습니다.

이를 가환 도식으로 나타낼 수 있습니다

여기서 $h=g\circ f$ 입니다. 합성 연산 $\circ$ 는 $\mathcal{A}$ 의 데이터의 일부이며, 결합법칙을 만족해야 합니다. 위 도식에서 $h$ 가 $A_{2}$ 를 거쳐 분해된다고 말합니다.
•

마지막으로, 모든 대상 $A\in\operatorname{obj}(\mathcal{A})$ 에는 특별한 항등 화살표 $\mathrm{id}_{A}$ 가 있습니다. 이것이 무엇을 하는지는 짐작할 수 있을 것입니다.¹¹1지나칠 만큼 명시적으로 쓰자면, $f\colon A^{\prime}\to A$ 가 화살표이면 $\mathrm{id}_{A}\circ f=f$ 이고, 마찬가지로 $g\colon A\to A^{\prime}$ 가 화살표이면 $g\circ\mathrm{id}_{A}=g$ 입니다.

표기의 남용 67.2.2.

앞으로 $A\in\mathcal{A}$ 라고 쓰면 $A\in\operatorname{obj}(\mathcal{A})$ 를 뜻하는 것으로 하겠습니다.

표기의 남용 67.2.3.

“클래스”는 그냥 “집합”으로 생각해도 됩니다. “집합”이라는 단어를 쓸 수 없는 이유는 너무 큰 모임과 관련된 몇 가지 역설적인 문제 때문입니다. 칸토어의 역설에 따르면 모든 집합의 집합은 존재하지 않습니다. 그래서 이것들을 “클래스”라고 부르는 것은 이러한 문제를 피해 가는 방법입니다.

지금부터 줄곧 엄밀함을 다소 느슨하게 하여, 모든 범주가 국소적으로 작다고 가정하겠습니다. 즉 임의의 $A_{1},A_{2}\in\mathcal{A}$ 에 대하여 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A_{1},A_{2})$ 가 집합이라는 뜻입니다. 따라서 $\mathcal{A}$ 의 원소들은 집합을 이루지 않을 수도 있지만, 주어진 두 대상 사이의 사상들의 집합은 항상 집합이라고 가정합니다.

처음에 이야기한 동기를 형식화해 봅시다.

예제 67.2.4 (범주의 기본적인 예).

(a)
군들의 범주 $\mathsf{Grp}$ 가 있습니다. 그 데이터는 다음과 같습니다.
- •
  
  $\mathsf{Grp}$ 의 대상은 군입니다.
- •
  
  $\mathsf{Grp}$ 의 화살표는 이 군들 사이의 준동형사상입니다.
- •
  
  $\mathsf{Grp}$ 에서의 합성 $\circ$ 는 함수의 합성입니다.
(b)

같은 방식으로 (가환)환들의 범주 $\mathsf{CRing}$ 도 생각할 수 있습니다.
(c)

마찬가지로 위상 공간들의 범주 $\mathsf{Top}$ 이 있으며, 그 화살표는 연속 사상입니다.
(d)

기점이 지정된 위상 공간들의 범주 $\mathsf{Top}_{\ast}$ 가 있습니다. 즉, 대상은 $x_{0}\in X$ 인 쌍 $(X,x_{0})$ 입니다. 화살표는 $f(x_{0})=y_{0}$ 을 만족하는 연속 사상 $f\colon X\to Y$ 입니다.
(e)

마찬가지로 체 $k$ 위의 (무한 차원일 수도 있는) 벡터 공간들의 범주 $\mathsf{Vect}_{k}$ 가 있으며, 그 화살표는 선형 사상입니다. 심지어 유한 차원 벡터 공간들의 범주 $\mathsf{FDVect}_{k}$ 도 있습니다.
(f)

집합들의 범주 $\mathsf{Set}$ 이 있으며, 여기서 화살표는 임의의 사상입니다.

그리고 물론, 이제 동형사상이 무엇인지 정의할 수 있습니다!

정의 67.2.5.

화살표 $A_{1}\xrightarrow{f}A_{2}$ 에 대하여 $f\circ g=\mathrm{id}_{A_{2}}$ 이고 $g\circ f=\mathrm{id}_{A_{1}}$ 인 $A_{2}\xrightarrow{g}A_{1}$ 이 존재하면, 이 화살표를 동형사상이라고 합니다. 이 경우 $A_{1}$ 과 $A_{2}$ 가 동형이라고 하며, $A_{1}\cong A_{2}$ 로 씁니다.

비고 67.2.6.

$\mathsf{Set}$ 에서는 $X\cong Y\iff\left\lvert X\right\rvert=\left\lvert Y\right\rvert$ 임에 유의하십시오.

질문 67.2.7.

범주의 모든 대상이 자기 자신과 동형임을 확인하십시오. (이것은 어이없을 만큼 쉽습니다.)

더 중요한 점은, 이 정의가 꽤 인상적으로 느껴져야 한다는 것입니다. 우리는 두 군(환, 공간 등) 이 동형인지를 오로지 대상들 사이의 함수만으로 정의할 수 있습니다. 실제로 범주론(나아가 대수학)의 핵심 주제 중 하나는 다음과 같습니다.

대상들 사이의 함수를 통해 대상에 대해 알 수 있습니다. 범주론은 이를 극단까지 밀고 나가서, 오직 화살표만 보고 대상 자체가 무엇인지는 무시합니다.

하지만 조금 더 까다로우면서도 흥미로운 범주의 예들도 있습니다.

예제 67.2.8 (부분순서집합은 범주입니다).

$\mathcal{P}$ 를 부분순서집합이라고 합시다. 이에 대해 다음과 같이 범주 $P$ 를 구성할 수 있습니다:

•

$P$ 의 대상은 $\mathcal{P}$ 의 원소들로 정합니다.
•
$P$ 의 화살표는 다음과 같이 정의합니다.
- –
  
  모든 대상 $p\in P$ 에 대하여 항등 화살표 $\mathrm{id}_{p}$ 를 추가하고,
- –
  
  $p\leq q$ 인 서로 다른 대상의 쌍마다 화살표 $p\to q$ 를 하나씩 추가합니다.
그 밖의 화살표는 없습니다.
•

합성을 정의하는 방법은 단 하나뿐입니다. 그것은 무엇입니까?

예를 들어, $a\leq b$ 이고 $a\leq c\leq d$ 인 네 대상 $\{a,b,c,d\}$ 위의 부분순서집합 $\mathcal{P}$ 에 대해서는 다음을 얻습니다:

이는 다음과 같은 점을 잘 보여 줍니다

범주의 화살표는 함수와 완전히 다른 것일 수 있습니다.

실제로 엄밀하게 정식화할 수 있는 의미에서, “구체적 범주”라는 용어는 $\mathsf{Grp}$ , $\mathsf{Top}$ , $\mathsf{CRing}$ 처럼 화살표가 정말로 “집합 사이의 구조를 보존하는 사상”인 범주를 가리킵니다.

질문 67.2.9.

부분순서집합에서 서로 다른 두 대상은 결코 동형이 아님을 확인하십시오.

다음은 구체적 범주가 아닌 범주의 두 번째 예로, 상당히 중요한 예입니다.

예제 67.2.10 (중요: 군은 대상이 하나인 범주입니다).

군 $G$ 는 대상이 $\ast$ 하나뿐이고 모든 화살표가 동형사상인 범주 $\mathcal{G}$ 로 해석할 수 있습니다.

[LEI14]에서는 다음과 같이 말합니다.

군이 일종의 범주라는 생각을 처음 접하면, 이를 우연의 일치나 속임수로 치부하고 넘어가고 싶어집니다. 그러나 그렇지 않습니다. 여기에는 실질적인 내용이 있습니다. 이를 이해하기 위해, 교육 과정이 뒤섞여서 군이 무엇인지 배우기도 전에 범주론 강의를 먼저 들었다고 가정해 봅시다. 누군가가 다가와서 이렇게 말합니다.

“‘군’이라는 구조가 있는데, 그 발상은 이렇습니다. 군이란 주어진 대상의 모든 대칭을 한데 모았을 때 얻는 것입니다.”

“‘대칭’이란 무슨 뜻입니까?” 하고 여러분이 묻습니다.

“음, 대상 $X$ 의 대칭이란 $X$ 를 가역적인 방식으로 변환하는, 즉 $X$ 를 자기 자신으로 보내는 방법입니다.”

“아,” 하고 여러분이 대답합니다. “그것은 제가 전에 접한 개념의 특수한 경우입니다. 범주란 많은 대상과 그 사이의 사상 – 반드시 가역적일 필요는 없는 사상 – 으로 이루어진 구조입니다. 군은 대상이 단 하나뿐이고 모든 사상이 마침 가역적인, 아주 특수한 경우일 뿐입니다.”

연습문제 67.2.11.

위 내용을 확인하십시오! 즉, 모든 화살표가 동형사상이고 대상이 하나인 범주의 데이터가 군의 데이터와 같음을 보이십시오.

마지막으로, 다른 범주로부터 만들 수 있는 범주의 예를 몇 가지 소개합니다.

예제 67.2.12 (범주로부터 새 범주 만들기).

(a)

범주 $\mathcal{A}$ 가 주어지면, $\mathcal{A}$ 와 같되 모든 화살표의 방향을 뒤집은 반대 범주 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}$ 를 구성할 수 있습니다.
(b)

범주 $\mathcal{A}$ 와 $\mathcal{B}$ 가 주어지면, 곱 범주 $\mathcal{A}\times\mathcal{B}$ 를 다음과 같이 구성할 수 있습니다. 대상은 $A\in\mathcal{A}$ 와 $B\in\mathcal{B}$ 에 대한 쌍 $(A,B)$ 이고, $(A_{1},B_{1})$ 에서 $(A_{2},B_{2})$ 로 가는 화살표는 쌍

$\left(A_{1}\xrightarrow{f}A_{2},B_{1}\xrightarrow{g}B_{2}\right).$

입니다. 합성과 항등 화살표는 무엇이라고 생각합니까?

67.3 범주의 특별한 대상

대표적인 예: $\mathsf{Set}$ 의 시작 대상은 $\varnothing$ 이고 끝 대상은 $\{\ast\}$ 입니다. $S$ 의 원소는 사상 $\{\ast\}\to S$ 에 대응합니다.

범주의 어떤 대상들은 특별한 성질을 가집니다. 몇 가지 예를 들겠습니다.

예제 67.3.1 (시작 대상).

$\mathcal{A}$ 의 시작 대상이란 임의의 $A\in\mathcal{A}$ ( $A=A_{\text{시작}}$ 인 경우도 포함)에 대하여 $A_{\text{시작}}$ 에서 $A$ 로 가는 화살표가 정확히 하나 존재하는 대상 $A_{\text{시작}}\in\mathcal{A}$ 입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

(a)

$\mathsf{Set}$ 의 시작 대상은 공집합 $\varnothing$ 입니다.
(b)

$\mathsf{Grp}$ 의 시작 대상은 자명군 $\{1\}$ 입니다.
(c)

$\mathsf{CRing}$ 의 시작 대상은 환 $\mathbb{Z}$ 입니다(환 준동형사상 $R\to S$ 는 $1_{R}$ 을 $1_{S}$ 로 보낸다는 점을 상기하십시오).
(d)

$\mathsf{Top}$ 의 시작 대상은 공간 $\varnothing$ , 즉 공집합 공간입니다.
(e)

부분 순서 집합의 시작 대상은 최소 원소가 존재할 경우 그 최소 원소입니다.

다음과 같은 이유로 우리는 보통 범주의 “그” 시작 대상이라고 부릅니다.

연습문제 67.3.2 (중요!).

$\mathcal{A}$ 의 임의의 두 시작 대상 $A_{1}$ , $A_{2}$ 가 유일하게 동형임을, 즉 둘 사이에 유일한 동형사상이 존재함을 보이십시오.

비고 67.3.3.

수학에서 우리는 보통 두 대상이 실제로 같은지, 아니면 동형인지를 알지도 못하고 신경 쓰지도 않습니다. 예를 들어 $\mathbb{R}$ 을 정의하는 방법은 서로 경쟁하는 여러 가지가 있지만, 우리는 여전히 이를 그냥 “그” 실수라고 부릅니다.

따라서 범주론적 개념을 정의할 때에는 그것이 동형사상을 제외하면 유일한지 확인하고자 합니다. 이는 범주의 언어로 매우 깔끔하게 다룰 수 있으며, 정의 자체가 위와 같은 우아한 이유로 대상을 동형사상을 제외하면 유일하게 만드는 경우가 많습니다.

“쌍대” 개념인 끝 대상을 생각할 수 있습니다.

예제 67.3.4 (끝 대상).

$\mathcal{A}$ 의 끝 대상이란 임의의 $A\in\mathcal{A}$ ( $A=A_{\text{끝}}$ 일 수도 있음)에 대하여 $A$ 에서 $A_{\text{끝}}$ 로 가는 화살표가 정확히 하나 존재하는 대상 $A_{\text{끝}}\in\mathcal{A}$ 입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

(a)

$\mathsf{Set}$ 의 끝 대상은 한원소 집합 $\{\ast\}$ 입니다. (물론 한원소 집합은 여러 개 있지만, 집합으로서 이들은 모두 동형입니다!)
(b)

$\mathsf{Grp}$ 의 끝 대상은 자명군 $\{1\}$ 입니다.
(c)

$\mathsf{CRing}$ 의 끝 대상은 영환 $0$ 입니다. (환 준동형사상 $R\to S$ 는 $1_{R}$ 을 $1_{S}$ 로 보내야 함을 상기하십시오.)
(d)

$\mathsf{Top}$ 의 끝 대상은 한 점 공간입니다.
(e)

부분 순서 집합의 끝 대상은 최대 원소가 존재할 경우 그 최대 원소입니다.

이번에도 끝 대상은 동형사상을 제외하면 유일합니다. 독자는 앞 연습문제의 증명을 여기서 되풀이해 보아도 좋습니다. 그러나 쌍대성 개념을 더 뚜렷하게 보여 주는 짧은 증명을 제시할 수도 있습니다.

질문 67.3.5.

$\mathcal{A}$ 의 끝 대상이 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}$ 의 시작 대상과 같은 것임을 확인하십시오. 따라서 $\mathcal{A}$ 의 끝 대상은 동형사상을 제외하면 유일합니다.

일반적으로 이와 같은 방식으로 임의의 범주론적 개념의 쌍대를 생각할 수 있습니다. $\mathcal{A}$ 의 성질은 모두 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}$ 의 쌍대 성질로 옮길 수 있습니다(흔히 앞에 접두사 “co”(우리말로는 흔히 “쌍대”)를 붙입니다).

마지막으로 멋진 구성을 하나 소개합니다. 구체적 범주, 즉 (느슨하게 말해) 대상이 “추가 구조를 가진 집합”인 범주에서 작업한다고 합시다. 이제 여러분이 사상에 질려서 이 집합들의 원소만 생각하고 싶다고 합시다. 음, 여러분은 범주론 장을 읽고 있으니 그렇게 하도록 두지는 않겠지만, 조언을 하나 드리겠습니다.

•

$\mathsf{Set}$ 에서 $\{\ast\}$ 에서 $S$ 로 가는 화살표는 $S$ 의 원소에 대응합니다.
•

$\mathsf{Top}$ 에서 $\{\ast\}$ 에서 $X$ 로 가는 화살표는 $X$ 의 점에 대응합니다.
•

$\mathsf{Grp}$ 에서 $\mathbb{Z}$ 에서 $G$ 로 가는 화살표는 $G$ 의 원소에 대응합니다.
•

$\mathsf{CRing}$ 에서 $\mathbb{Z}[x]$ 에서 $R$ 로 가는 화살표는 $R$ 의 원소에 대응합니다.

그 밖에도 마찬가지입니다. 따라서 대부분의 구체적 범주에서는 원소를 특별한 집합에서 해당 집합으로 가는 함수로 생각할 수 있습니다. 이 각각의 경우에 해당 대상을 자유 대상이라고 부릅니다.

67.4 이항 곱

대표적인 예: 대부분의 구체적 범주에서 $X\times Y$ 는 집합론적 곱입니다.

“보편 성질”은 사상을 이용해 대상을 기술하는 방식으로, 대상을 유일한 동형사상 아래에서 결정합니다(시작 대상 및 끝 대상의 경우와 거의 같습니다).

이것이 일반적으로 어떻게 작동하는지 보이기 위해 구체적인 예를 들겠습니다. 어떤 범주 안에 있다고 가정합시다 – 일단은 $\mathsf{Set}$ 이라고 합시다. 두 집합 $X$ 와 $Y$ 가 있고, 우리가 알고 있는 데카르트 곱 $X\times Y$ 를 구성하고자 합니다. 범주론의 철학에 따르면 사상에 대해서만 이야기해야 하며, 집합 자체에 관해서는 아무것도 언급하지 않아야 합니다. 어떻게 하면 이것을 할 수 있겠습니까?

자, $X\times Y$ 로 가는 사상을 생각해 봅시다. 핵심적인 관찰은 다음과 같습니다.

함수 $A\xrightarrow{f}X\times Y$ 는 함수의 쌍 $(A\xrightarrow{g}X,A\xrightarrow{h}Y)$ 와 같은 것입니다.

달리 말하면, 자연스러운 사영 사상 $X\times Y\to X$ 와 $X\times Y\to Y$ 가 있습니다:

(범주론은 화살표에 대해 이야기하도록 강제하므로, 원소가 아니라 사영 사상을 이용해 이것을 해야 합니다.) 이제 이 도식에 $A$ 를 어떻게 추가하겠습니까? 요점은 함수 $A\xrightarrow{f}X\times Y$ 와 함수의 쌍 $(g,h)$ 사이에 전단사가 있다는 것입니다. 따라서 모든 쌍 $A\xrightarrow{g}X$ 와 $A\xrightarrow{h}Y$ 에 대해 유일한 함수 $A\xrightarrow{f}X\times Y$ 가 존재합니다.

그런데 $X\times Y$ 는 “보편적”이라는 점에서 특별합니다: 임의의 집합 $A$ 에 대해, 함수 $A\to X$ 와 $A\to Y$ 가 주어지면 이를 이용해 유일한 함수 $A\to X\times Y$ 를 만들 수 있습니다. 그림으로 나타내면 다음과 같습니다:

이것은 임의의 일반적인 범주에서 할 수 있으며, 이렇게 하여 이른바 곱을 정의합니다.

정의 67.4.1.

$X$ 와 $Y$ 를 임의의 범주 $\mathcal{A}$ 의 대상이라고 합시다. 곱은 대상 $X\times Y$ 와 $X$ 및 $Y$ 로 가는 화살표 $\pi_{X}$ , $\pi_{Y}$ (사영으로 생각합니다)로 이루어집니다. 임의의 대상 $A$ 와 화살표 $A\xrightarrow{g}X$ , $A\xrightarrow{h}Y$ 에 대해, 위 도식을 가환하게 하는 유일한 함수 $A\xrightarrow{f}X\times Y$ 가 존재할 것을 요구합니다.

표기의 남용 67.4.2.

엄밀히 말하면, 곱은 대상 $X\times Y$ 와 사영 사상 $\pi_{X}$ 및 $\pi_{Y}$ 를 모두 포함해야 합니다. 그러나 $\pi_{X}$ 와 $\pi_{Y}$ 가 무엇인지 분명할 때에는 흔히 $X\times Y$ 로 그 대상을 가리키고, 이것 역시 곱이라고 부릅니다.

곱이 항상 존재하는 것은 아닙니다. 예를 들어, 대상이 단 두 개이고 항등 사상이 아닌 사상이 없는 범주를 생각해 보십시오. 그럼에도 다음이 성립합니다:

명제 67.4.3 (곱의 유일성).

곱이 존재한다면 동형사상 아래에서 유일합니다: $X$ 와 $Y$ 의 두 곱 $P_{1}$ 과 $P_{2}$ 가 주어지면 두 대상 사이에 동형사상이 존재합니다.

증명.

이것은 시작 대상이 유일한 동형사상 아래에서 유일하다는 증명과 매우 비슷합니다. 그러한 두 대상 $P_{1}$ 과 $P_{2}$ , 그리고 이에 딸린 사영 사상을 생각합시다. 그러면 다음 도식을 얻습니다.

보편 성질에 따라, 도식 전체를 가환하게 하는 $P_{1}$ 과 $P_{2}$ 사이의 유일한 사상 $f$ 와 $g$ 가 존재합니다.

한편 $g\circ f$ 를 보고 바깥쪽 사각형에만 집중해 봅시다. $g\circ f$ 는 바깥쪽 사각형을 가환하게 하는 사상이므로, $P_{1}$ 의 보편 성질에 의해 그러한 사상은 이것뿐입니다. 그런데 $\mathrm{id}_{P_{1}}$ 역시 이 조건을 만족합니다. 따라서 $\mathrm{id}_{P_{1}}=g\circ f$ 입니다. 마찬가지로 $f\circ g=\mathrm{id}_{P_{2}}$ 이므로 $f$ 와 $g$ 는 동형사상입니다. ∎

표기의 남용 67.4.4.

사실 이것은 본래 의도에 딱 맞는 정리는 아닙니다. 대상 $P_{1}$ 과 $P_{2}$ 가 동형이라는 것만 보였을 뿐, 사영 사상에 대해서는 아무런 주장도 하지 않았기 때문입니다. 그러나 곱 전체의 동형사상은 정의하지 않았고 앞으로도 정의하지 않을 것이므로, 이후에 “ $P_{1}$ 과 $P_{2}$ 가 동형이다”라고 말하면 실제로는 대상이 동형이라는 뜻일 뿐입니다.

연습문제 67.4.5.

실제로는 곱이 유일한 동형사상 아래에서 유일함을 보이십시오. 즉, 위의 $f$ 와 $g$ 가 사영을 보존하는, 대상 $P_{1}$ 과 $P_{2}$ 사이의 유일한 동형사상임을 보이십시오.

이러한 “보편 성질”식 사고방식의 좋은 점은 명시적인 구성을 제시할 필요가 없다는 것입니다. 존재성을 가정하면, “보편 성질” 덕분에 “이러한 성질을 갖는 대상은 유일한 동형사상 아래에서 유일하다”라고 말함으로써 이 모든 작업을 건너뛸 수 있습니다. 따라서 대상의 성질을 사용하기 위해 그 대상의 내부 작동 방식을 이해할 필요가 없습니다.

물론 그렇다고 해서 구체적인 예를 들 수 없다는 뜻은 아닙니다.

예제 67.4.6 (곱의 예).

(a)

$\mathsf{Set}$ 에서 두 집합 $X$ 와 $Y$ 의 곱은 그 데카르트 곱 $X\times Y$ 입니다.
(b)

$\mathsf{Grp}$ 에서 $G$ , $H$ 의 곱은 군의 곱 $G\times H$ 입니다.
(c)

$\mathsf{Vect}_{k}$ 에서 $V$ 와 $W$ 의 곱은 $V\oplus W$ 입니다.
(d)

$\mathsf{CRing}$ 에서 $R$ 과 $S$ 의 곱은 예상대로 환의 곱 $R\times S$ 입니다.
(e)
$\mathcal{P}$ 를 범주로 해석한 부분순서집합이라고 합시다. 그러면 두 대상 $x$ 와 $y$ 의 곱은 최대 하계입니다. 예를 들어,
- •
  
  부분순서집합이 $(\mathbb{R},\leq)$ 이면 곱은 $\min\{x,y\}$ 입니다.
- •
  
  부분순서집합이 유한집합의 부분집합들에 포함 관계로 순서를 준 것이면 곱은 $x\cap y$ 입니다.
- •
  
  부분순서집합이 양의 정수들에 나누어떨어짐으로 순서를 준 것이면 곱은 $\gcd(x,y)$ 입니다.

물론 두 개보다 많은 대상의 곱도 정의할 수 있습니다. 범주 $\mathcal{A}$ 의 대상들의 집합 $(X_{i})_{i\in I}$ 를 생각합시다. $X_{i}$ 위의 원뿔을 각 $X_{i}$ 로 가는 “사영” 사상들을 갖춘 대상 $A$ 로 정의합니다. 그러면 곱은 앞에서와 같은 의미로 “보편적”인 원뿔 $P$ 입니다. 즉, 다른 임의의 원뿔 $A$ 가 주어지면 도식을 가환하게 만드는 유일한 사상 $A\to P$ 가 존재합니다. 요컨대 곱은 “보편 원뿔”입니다.

이를 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

문제 67C도 참고하십시오.

쌍대 구성을 통해 쌍대곱을 얻을 수도 있습니다. $X$ 와 $Y$ 가 주어졌을 때, 쌍대곱은 대상 $X+Y$ 와 사상 $X\xrightarrow{\iota_{X}}X+Y$ 및 $Y\xrightarrow{\iota_{Y}}X+Y$ (그리스 문자 이오타이며, 포함을 떠올리십시오)로 이루어지며, 임의의 대상 $A$ 와 사상 $X\xrightarrow{g}A$ , $Y\xrightarrow{h}A$ 에 대하여 다음 도식이 성립하게 하는 유일한 $f$ 가 존재합니다.

가환하게 하는 유일한 $f$ 가 존재하는 것입니다. 이번에는 구체적인 예 중 일부를 연습 문제로 남겨 두겠습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

연습문제 67.4.7.

$\mathsf{Set}$ 에서의 쌍대곱을 설명하십시오.

예상할 수 있는 용어로, 쌍대곱은 보편 쌍대원뿔입니다.

나중 내용을 미리 말씀드리면, 이 구성은 이른바 “극한”으로 크게 일반화할 수 있으며 나중에 실제로 그렇게 할 것입니다.

67.5 모닉 사상과 에픽 사상

임의의 범주에서는 화살표가 함수일 필요가 없으므로 “단사”라는 개념이 의미를 갖지 않습니다. 올바른 범주론적 개념은 다음과 같습니다.

정의 67.5.1.

사상 $X\xrightarrow{f}Y$ 가 모닉(또는 단사 사상)이라는 것은 임의의 가환 도식

에 대해 반드시 $g=h$ 가 성립한다는 뜻입니다. 다시 말해 $f\circ g=f\circ h\implies g=h$ 입니다.

질문 67.5.2.

구체적 범주에서는 단사 $\implies$ 모닉임을 스스로 납득해 보십시오. (엄밀히 말하면 아직 구체적 범주의 형식적 정의를 제시하지 않았습니다. 공식적인 정의를 원한다면 비고 68.2.3에 도달한 뒤에 이 연습 문제를 다시 풀어 보십시오.)

질문 67.5.3.

두 모닉 사상의 합성이 모닉임을 보이십시오.

전부는 아니지만 대부분의 상황에서는 역도 성립합니다.

연습문제 67.5.4.

$\mathsf{Set}$ , $\mathsf{Grp}$ , $\mathsf{CRing}$ 에서 모닉이면 단사임을 보이십시오. ( $A=\{\ast\}$ , $A=\mathbb{Z}$ , $A=\mathbb{Z}[x]$ 로 잡으십시오.)

더 일반적으로, 앞에서 말했듯이 원소처럼 생각할 수 있는 “자유” 대상을 가진 범주가 많이 있습니다. 집합의 원소는 함수 $1\to S$ 이고, 환의 원소는 함수 $\mathbb{Z}[x]\to R$ 이며, 나머지도 마찬가지입니다. 이러한 모든 범주에서 모닉의 정의는 문자 그대로 “ $f$ 가 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A,X)$ 위에서 단사”라는 뜻이 됩니다. 따라서 이러한 범주에서는 “모닉”과 “단사”가 일치합니다.

그렇기는 하지만, 표준적인 반례는 다음과 같습니다. 덧셈 아벨 군 $G=(G,+)$ 에서 모든 $x\in G$ 와 정수 $n>0$ 에 대해 $ny=x$ 인 $y\in G$ 가 존재하면 $G$ 를 나눗셈 가능하다고 합니다. $\mathsf{DivAbGrp}$ 를 이러한 군들의 범주라고 합시다.

연습문제 67.5.5.

$\mathsf{DivAbGrp}$ 에서 사영 $\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 가 모닉이지만 단사가 아님을 보이십시오.

물론 쌍대 개념도 생각할 수 있습니다.

정의 67.5.6.

사상 $X\xrightarrow{f}Y$ 가 에픽(또는 전사 사상)이라는 것은, 다음과 같은 임의의 가환 도식에 대하여

반드시 $g=h$ 가 성립한다는 뜻입니다. 다시 말해, $g\circ f=h\circ f\implies g=h$ 입니다.

이는 전사성과 비슷하지만, 지난번보다는 조금 더 거리가 있습니다. 구체적 범주에서는 전사 $\implies$ 에픽임에 유의하십시오.

연습문제 67.5.7.

$\mathsf{Set}$ , $\mathsf{Grp}$ , $\mathsf{Ab}$ , $\mathsf{Vect}_{k}$ , $\mathsf{Top}$ 에서 에픽과 전사의 개념이 일치함을 보이십시오. ( $\mathsf{Set}$ 의 경우 $A=\{0,1\}$ 로 두십시오.)

그러나 이것이 성립하지 않는 경우가 더 많습니다. 가장 대표적인 예는 다음과 같습니다.

예제 67.5.8 (에픽이지만 전사가 아닌 경우).

(a)

예를 들어 $\mathsf{CRing}$ 에서 포함 사상 $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$ 는 에픽입니다(그리고 전사가 아닙니다). 실제로 두 준동형사상 $\mathbb{Q}\to A$ 가 모든 정수에서 일치하면 모든 곳에서 일치합니다(왜 그렇습니까?),
(b)

하우스도르프 위상 공간(임의의 두 점이 서로소인 열린 근방을 가지는 공간)의 범주에서는, 사실 에픽 $\iff$ 조밀한 상입니다( $\mathbb{Q}\hookrightarrow\mathbb{R}$ 처럼).

따라서 함수 $f\colon X\to Y$ 가 $X$ 의 일부 점만으로 결정될 수 있을 때 이러한 실패가 일어납니다.

67.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 67A.

( $k$ 가 체일 때) $k$ -벡터 공간의 범주 $\mathsf{Vect}_{k}$ 에서 시작 대상과 끝 대상은 무엇입니까?

문제 67B.

범주 $\mathsf{Vect}_{k}$ 와 부분순서집합에서 쌍대곱 $X+Y$ 는 무엇입니까?

문제 67C.

모든 곱이 존재하는 임의의 범주 $\mathcal{A}$ 에서, 임의의 대상 $X$ , $Y$ , $Z$ 에 대하여

(X\times Y)\times Z\cong X\times(Y\times Z)

임을 보이십시오. (여기서 양변은 표기의 남용 67.4.2에서와 같이 대상을 가리킵니다.)

문제 67D.

^†^†margin:

영 대상, 즉 시작 대상이면서 동시에 끝 대상인 대상을 가지는 범주 $\mathcal{A}$ 를 생각합시다. $\mathcal{A}$ 의 대상 $X$ 와 $Y$ 가 주어졌을 때, 사영 $X\times Y\to X$ 가 에픽임을 증명하십시오.