장 39 보너스: 폰트랴긴 쌍대성 맛보기

이 짧은 장에서는 푸리에 해석(보너스 장 장 14)을 훨씬 더 넓은 부류의 군 $G$ 로 일반화하는 방법에 관한 명제들을 제시하겠습니다.

39.1 LCA 군

대표적인 예: $\mathbb{T}$ , $\mathbb{R}$ .

앞서 우리는 $\mathbb{R}$ 을 다루었습니다. $\mathbb{R}$ 은 위상 공간일 뿐만 아니라 덧셈에 대한 아벨 군이기도 하다는 점에서 좋은 대상입니다. 이처럼 군이면서 동시에 공간인 대상에는 이름이 있습니다.

정의 39.1.1.

위상군 $G$ 란 군 연산 $(G,\cdot)$ 도 함께 갖춘 하우스도르프¹¹1하우스도르프 조건을 생략하는 저자도 있습니다. 위상 공간으로서, 다음 두 사상이

	$\displaystyle G\times G$	$\displaystyle\to G\quad\text{에 의해}\quad(x,y)\mapsto xy$
	$\displaystyle G$	$\displaystyle\to G\quad\text{에 의해}\quad x\mapsto x^{-1}$

모두 연속인 것을 말합니다.

푸리에 해석을 위해서는 몇 가지 추가 조건이 필요합니다.

정의 39.1.2.

국소 콤팩트 아벨 (LCA) 군 $G$ 란 군 연산이 아벨이고, 더 나아가 위상이 국소 콤팩트인 군입니다. 즉 $G$ 의 모든 점 $p$ 에 대하여, $K\ni p$ 이고 $K$ 가 $p$ 의 어떤 열린 근방을 포함하는 $G$ 의 콤팩트 부분집합 $K$ 가 존재합니다.

앞에서 본 예들은 모두 이 범주에 속합니다.

예제 39.1.3 (국소 콤팩트 아벨 군의 예).

•

이산 위상을 준 유한군 $Z$ 는 모두 LCA입니다.
•

원군 $\mathbb{T}$ 는 LCA이며, 사실 콤팩트이기도 합니다.
•

실수 $\mathbb{R}$ 은 콤팩트가 아닌 LCA 군의 예입니다.

이 조건들만으로도 공간 $G$ 위에 측도를 정의하기에 충분하다는 것이 밝혀집니다. 관련 정리는 다음과 같으며, 여기서는 인용만 하겠습니다.

정리 39.1.4 (하르 측도).

$G$ 를 국소 콤팩트 아벨 군이라고 합시다. $G$ 의 보렐 $\sigma$ -대수 $\mathscr{B}(G)$ 를 사용하여 $G$ 를 가측 공간으로 간주합니다. 다음 성질들을 만족하는 측도 $\mu\colon\mathscr{B}(G)\to[0,\infty]$ 가 존재하며, 이를 하르 측도라고 부릅니다.

•

모든 $g\in G$ 와 가측 집합 $S$ 에 대하여 $\mu(gS)=\mu(S)$ 입니다. 이는 $\mu$ 가 $G$ 에 의한 평행 이동에 대하여 “평행 이동 불변”이라는 뜻입니다.
•

모든 콤팩트 집합 $K$ 에 대하여 $\mu(K)$ 는 유한합니다.
•

$S$ 가 가측이면 $\mu(S)=\inf\left\{\mu(U)\mid U\supseteq S\text{ 열린집합}\right\}$ 입니다.
•

$U$ 가 열린집합이면 $\mu(U)=\sup\left\{\mu(K)\mid K\subseteq U\text{ 콤팩트}\right\}$ 입니다.

더욱이, 이 측도는 양의 상수배를 제외하면 유일합니다.

비고 39.1.5.

$G$ 가 콤팩트이면 $\mu(G)$ 는 유한(하며 양수)임에 유의하십시오. 이 때문에 LCA 군 $G$ 위의 하르 측도는 보통 $\mu(G)=1$ 이 되도록 정규화합니다.

이 장에서는 처음 두 성질만 사용하며, 나머지 두 성질은 완비성을 기하기 위해 언급할 뿐입니다. 이는 사실 $\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$ 위에 측도를 구성했던 장을 일반화한다는 점에 주목하십시오. $\mathbb{R}^{n}$ 은 LCA 군이기 때문입니다!

요컨대, LCA 군이 있으면 그 위에 측도 $\mu$ 가 있습니다.

39.2 폰트랴긴 쌍대

이제 핵심 정의는 다음과 같습니다.

정의 39.2.1.

$G$ 를 LCA 군이라고 합시다. 그러면 $G$ 의 폰트랴긴 쌍대는 다음 아벨 군입니다.

\widehat{G}\coloneqq\left\{\text{연속 군 준동형사상}\xi\colon G\to\mathbb{T}\right\}.

사상 $\xi$ 들을 지표라고 부릅니다. 이것 자체도 LCA 군으로 만들 수 있습니다.²²2위상을 꼭 알아야 한다면, 그것은 콤팩트-열린 위상입니다. 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq G$ 와 열린집합 $U\subseteq\mathbb{T}$ 에 대하여 $\xi^{\text{img}}(K)\subseteq U$ 를 만족하는 모든 $\xi$ 의 집합을 열린집합으로 선언하고, 그러한 집합을 모두 포함하는 가장 작은 위상을 취합니다. 이것은 전혀 사용하지 않을 것입니다.

예제 39.2.2 (폰트랴긴 쌍대의 예).

•

군 준동형사상 $\mathbb{Z}\to\mathbb{T}$ 는 $1$ 의 상에 의해 결정되므로 $\widehat{\mathbb{Z}}\cong\mathbb{T}$ 입니다.
•

$\widehat{\mathbb{T}}\cong\mathbb{Z}$ 입니다. 지표는 $n\in\mathbb{Z}$ 에 대하여 $\theta\mapsto n\theta$ 로 주어집니다.
•

$\widehat{\mathbb{R}}\cong\mathbb{R}$ 입니다. 이는 영이 아닌 연속 준동형사상 $\mathbb{R}\to S^{1}$ 이 $1\in S^{1}$ 위의 올에 의해 결정되기 때문입니다. (대수적 위상수학자라면 여기서 피복 사영을 알아볼 수 있을 것입니다.)
•

$\widehat{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 이며, 지표 $\xi$ 는 상 $\xi(1)\in\mathbb{T}$ 에 의해 결정됩니다.
•

$\widehat{G\times H}\cong\widehat{G}\times\widehat{H}$ .

연습문제 39.2.3 (절 18.1를 읽은 분들을 위한 $\widehat{Z}\cong Z$ ).

$Z$ 가 유한 아벨 군이면, 앞의 예의 결과를 이용하여 $\widehat{Z}\cong Z$ 임을 보이십시오. 이제 쌍선형 형식 $\cdot\colon Z\times Z\to\mathbb{T}$ 가 정확히 동형사상 $Z\to\widehat{Z}$ 의 한 선택이라는 것을 알아볼 수 있을 것입니다. 이것은 “표준적”이지 않습니다.

쌍대라는 이름에 걸맞게, 그리고 벡터 공간 $V$ 에 대한 $(V^{\vee})^{\vee}\cong V$ 와 유사하게, 다음이 성립합니다.

정리 39.2.4 (폰트랴긴 쌍대성 정리).

임의의 LCA 군 $G$ 에 대하여 다음 동형사상이 존재합니다.

G\cong\widehat{\widehat{G}}\qquad\text{에 의해}\qquad x\mapsto\left(\xi\mapsto\xi% (x)\right).

콤팩트인 경우는 특히 좋습니다.

명제 39.2.5 ( $G$ 콤팩트 $\iff$ $\widehat{G}$ 이산).

$G$ 를 LCA 군이라고 합시다. 그러면 $G$ 가 콤팩트인 것은 $\widehat{G}$ 가 이산인 것과 동치입니다.

증명.

문제 39B. ∎

39.3 콤팩트한 경우의 정규직교 기저

$G$ 를 콤팩트 LCA 군이라 하고, 그 하르 측도를 사용합시다. 이제 $L^{2}(G)$ 를 $\mathbb{C}$ 로 가는 제곱적분가능 함수들의 공간이라고 둘 수 있습니다. 즉,

L^{2}(G)=\left\{f\colon G\to\mathbb{C}\quad\text{다음을 만족하는}\quad\int_{G}|f|^{2}% <\infty\right\}.

따라서 여기에 다음 내적 형식을 줄 수 있습니다.

\left<f,g\right>=\int_{G}f\cdot\overline{g}.

이 경우, 앞서 원했던 결과를 모두 얻습니다.

정리 39.3.1 ( $\widehat{G}$ 의 지표는 정규직교 기저를 이룹니다).

$G$ 가 LCA이고 콤팩트라고 가정합시다(따라서 $\widehat{G}$ 는 이산입니다). 그러면 지표

(e_{\xi})_{\xi\in\widehat{G}}\qquad\text{에 의해}\qquad e_{\xi}(x)=e(\xi(x))=\exp% (2\pi i\xi(x))

$L^{2}(G)$ 의 정규직교 기저를 이룹니다. 따라서 각 $f\in L^{2}(G)$ 에 대하여 다음이 성립합니다.

f=\sum_{\xi\in\widehat{G}}\widehat{f}(\xi)e_{\xi}

여기서

\widehat{f}(\xi)=\left<f,e_{\xi}\right>=\int_{G}f(x)\exp(-2\pi i\xi(x))\;d\mu.

$\widehat{G}$ 가 이산이므로 합 $\sum_{\xi\in\widehat{G}}$ 는 의미가 있습니다. 특히,

•

유한군 $Z$ 에 대하여 $G=Z$ 로 두면 “유한군 위의 푸리에 변환”을 얻습니다.
•

특수한 경우인 $G=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 는 별도의 위키백과 문서가 있습니다. 바로 “이산 푸리에 변환”입니다.
•

$G=\mathbb{T}$ 로 두면 앞에서 본 “푸리에 급수”를 얻습니다.

39.4 콤팩트가 아닌 경우의 푸리에 변환

$G$ 가 LCA이지만 콤팩트가 아니라면 정리 39.3.1는 성립하지 않습니다. 하지만 $\widehat{G}$ 는 여전히 정의할 수 있습니다. 그러면 어쨌든 푸리에 계수를 써 볼 수 있습니다. $\xi\in\widehat{G}$ 와 $f\colon G\to\mathbb{C}$ 에 대하여

\widehat{f}(\xi)=\int_{G}f\cdot\overline{e_{\xi}}\;d\mu

라 둡시다. 이 경우의 결과는 덜 재미있지만, 그래도 예를 들어 다음이 성립합니다.

정리 39.4.1 (콤팩트가 아닌 경우의 푸리에 역변환 공식).

$\mu$ 를 $G$ 위의 하르 측도라 합시다. 그러면 $\widehat{G}$ 위의 하르 측도 $\nu$ ( 쌍대 측도라고 부릅니다)가 유일하게 존재하여, $f\in L^{1}(G)$ 이고 $\widehat{f}\in L^{1}(\widehat{G})$ 일 때마다 다음이 성립합니다.

f(x)=\int_{\widehat{G}}\widehat{f}(\xi)\xi(x)\;d\nu

이는 ( $\mu$ 에 대하여) 거의 모든 $x\in G$ 에 대해 성립합니다. $f$ 가 연속이면 이는 모든 $x$ 에 대해 성립합니다.

따라서 앞에서처럼 완전한 내적이 주는 좋은 성질은 없지만, 몇몇 상황에서는 적어도 앞에서와 비슷한 방식으로 $f$ 를 적분으로 쓸 수 있습니다.

특히 몇 가지 특별한 $G$ 에 대해서는 특별한 이름이 붙어 있습니다.

•

$G=\mathbb{R}$ 이면 $\widehat{G}=\mathbb{R}$ 이고, 이로부터 “(연속) 푸리에 변환”을 얻습니다.
•

$G=\mathbb{Z}$ 이면 $\widehat{G}=\mathbb{T}$ 이고, 이로부터 “이산 시간 푸리에 변환”을 얻습니다.

39.5 요약

앞 절들에서 다룬 여러 가지 푸리에 해석을 다음 표에 정리합니다. 전반부에서는 $G$ 가 콤팩트이고, 후반부에서는 $G$ 가 콤팩트가 아닙니다.

\begin{array}[]{llll}\hline\cr\text{이름}&\text{정의역}G&\text{쌍대}\widehat{G}&\text% {지표}\\ \hline\cr\text{이진 푸리에 해석}&\{\pm 1\}^{n}&S\subseteq\left\{1,\dots,n\right\}&% \prod_{s\in S}x_{s}\\ \text{유한군 위의 푸리에 변환}&Z&\xi\in\widehat{Z}\cong Z&e(i\xi\cdot x)\\ \text{이산 푸리에 변환}&\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}&\xi\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}&e(\xi x/n% )\\ \text{푸리에 급수}&\mathbb{T}\cong[-\pi,\pi]&n\in\mathbb{Z}&\exp(inx)\\ \hline\cr\text{연속 푸리에 변환}&\mathbb{R}&\xi\in\mathbb{R}&e(\xi x)\\ \text{이산 시간 푸리에 변환}&\mathbb{Z}&\xi\in\mathbb{T}\cong[-\pi,\pi]&\exp(i\xi n)\\ \end{array}

여러 이름들이 끔찍하다는 것을 눈치채셨을지도 모릅니다. 제가 고등학생 때 혼란스러웠던 이유 중 하나가 바로 이것입니다. 위의 모든 종류의 푸리에 급수가 각각 별도의 위키백과 문서를 가지고 있습니다. 제가 정할 수 있다면 그냥 “ $G$ -푸리에 변환”이라는 용어를 쓸 것이고, 그러면 모두의 삶이 훨씬 편해질 것입니다.

39.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 39A.

$G$ 가 콤팩트이어서 $\widehat{G}$ 가 이산적일 때, 쌍대 측도 $\nu$ 를 설명하십시오.

힌트. 정리 39.3.1에서 바로 읽어낼 수 있습니다.

풀이. 셈 측도입니다.

문제 39B.

LCA 군 $G$ 가 콤팩트일 필요충분조건은 $\widehat{G}$ 가 이산적인 것임을 보이십시오. (이를 위해서는 콤팩트-열린 위상이 필요합니다.)

힌트. 폰트랴긴 쌍대성을 쓰고 나면, $G$ 가 콤팩트이면 $\widehat{G}$ 가 이산적이고 $G$ 가 이산적이면 $\widehat{G}$ 가 콤팩트임을 보이면 됩니다. 둘 다 특별한 것이 필요하지 않으며, 위상적인 사실입니다.