장 39 보너스: 폰트랴긴 쌍대성에 대한 힌트

이 짧은 장에서는 우리의 푸리에 해석(보너스 장 장 14)을 훨씬 더 넓은 부류의 군 $G$ 로 일반화하는 방법에 대한 서술을 제시하겠습니다.

39.1 LCA 군

대표적인 예: $\mathbb{T}$ , $\mathbb{R}$ .

앞서 우리는 $\mathbb{R}$ 을 다루었는데, 이것이 좋은 이유는 위상 공간일 뿐만 아니라 덧셈에 대해 아벨 군이기도 하기 때문입니다. 이처럼 군이면서 동시에 공간이기도 한 이러한 종류의 대상에는 이름이 있습니다.

정의 39.1.1.

위상군 $G$ 란 하우스도르프¹¹1일부 저자는 하우스도르프 조건을 생략합니다. 위상 공간이면서 동시에 군 연산 $(G,\cdot)$ 을 갖추고 있어서, 다음 두 사상이

	$\displaystyle G\times G$	$\displaystyle\to G\quad\text{~{}에 의해}\quad(x,y)\mapsto xy$
	$\displaystyle G$	$\displaystyle\to G\quad\text{~{}에 의해}\quad x\mapsto x^{-1}$

연속인 것을 말합니다.

우리의 푸리에 해석을 위해서는 몇 가지 추가 조건이 필요합니다.

정의 39.1.2.

국소 콤팩트 아벨(LCA) 군 $G$ 란 군 연산이 아벨적이며, 나아가 위상이 국소 콤팩트한 것을 말합니다: $G$ 의 모든 점 $p$ 에 대해, $K\ni p$ 이고 $K$ 가 $p$ 의 어떤 열린 근방을 포함하는 콤팩트 부분집합 $K$ 가 $G$ 안에 존재합니다.

우리가 앞서 다룬 예들은 모두 이 범주에 속합니다:

예제 39.1.3 (국소 콤팩트 아벨 군의 예).

•

이산 위상을 갖는 임의의 유한군 $Z$ 는 LCA입니다.
•

원군 $\mathbb{T}$ 는 LCA이며 사실 콤팩트하기도 합니다.
•

실수 $\mathbb{R}$ 은 콤팩트하지 않은 LCA 군의 한 예입니다.

이러한 조건들은 공간 $G$ 위에 측도를 정의하기에 충분한 것으로 밝혀집니다. 관련된 정리는 다음과 같으며, 여기서는 그저 인용만 하겠습니다:

정리 39.1.4 (하르 측도).

$G$ 를 국소 콤팩트 아벨 군이라 합시다. 우리는 이를 보렐 $\sigma$ -대수 $\mathscr{B}(G)$ 를 사용하여 가측 공간으로 간주합니다. 다음 성질들을 만족하는, 하르 측도라 불리는 측도 $\mu\colon\mathscr{B}(G)\to[0,\infty]$ 가 존재합니다:

•

모든 $g\in G$ 와 가측 집합 $S$ 에 대해 $\mu(gS)=\mu(S)$ 입니다. 이는 $\mu$ 가 $G$ 에 의한 평행이동에 대해 ”평행이동 불변”임을 의미합니다.
•

임의의 콤팩트 집합 $K$ 에 대해 $\mu(K)$ 는 유한합니다.
•

$S$ 가 가측이면, $\mu(S)=\inf\left\{\mu(U)\mid U\supseteq S\text{열린}\right\}$ 입니다.
•

$U$ 가 열린집합이면, $\mu(U)=\sup\left\{\mu(K)\mid K\subseteq U\text{ 콤팩트}\right\}$ 입니다.

나아가, 이는 양의 상수배까지를 제외하면 유일합니다.

비고 39.1.5.

$G$ 가 콤팩트하면 $\mu(G)$ 는 유한(하며 양수)임에 유의하십시오. 이러한 이유로 LCA 군 $G$ 위의 하르 측도는 보통 $\mu(G)=1$ 이 되도록 정규화됩니다.

이 장에서는 처음 두 성질만을 사용할 것이며, 나머지 두 성질은 완결성을 위해 언급될 뿐입니다. 사실 이는 $\mathbb{R}^{n}$ 이 LCA 군이므로, 우리가 $\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$ 위에 측도를 구성했던 장을 실제로 일반화한 것임에 유의하십시오!

그러므로 요약하면: LCA 군이 있으면, 그 위에 측도 $\mu$ 가 있습니다.

39.2 폰트랴긴 쌍대

이제 핵심적인 정의는 다음과 같습니다:

정의 39.2.1.

$G$ 를 LCA 군이라 합시다. 그러면 이것의 폰트랴긴 쌍대는 다음과 같은 아벨 군입니다

\widehat{G}\coloneqq\left\{\text{연속 군 준동형사상}\xi\colon G\to\mathbb{T}\right\}.

사상 $\xi$ 들은 지표라고 불립니다. 이것 자체도 LCA 군으로 만들 수 있습니다.²²2만약 위상을 꼭 알아야 한다면, 그것은 콤팩트-열린 위상입니다: 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq G$ 와 열린집합 $U\subseteq\mathbb{T}$ 에 대해, $\xi^{\text{img}}(K)\subseteq U$ 를 만족하는 모든 $\xi$ 의 집합을 열린집합으로 선언하고, 그러한 모든 집합을 포함하는 가장 작은 위상을 취합니다. 우리는 이것을 전혀 사용하지 않을 것입니다.

예제 39.2.2 (폰트랴긴 쌍대의 예시).

•

$\widehat{\mathbb{Z}}\cong\mathbb{T}$ 인데, 군 준동형사상 $\mathbb{Z}\to\mathbb{T}$ 는 $1$ 의 상에 의해 결정되기 때문입니다.
•

$\widehat{\mathbb{T}}\cong\mathbb{Z}$ 입니다. 지표들은 $n\in\mathbb{Z}$ 에 대해 $\theta\mapsto n\theta$ 로 주어집니다.
•

$\widehat{\mathbb{R}}\cong\mathbb{R}$ 입니다. 이는 영이 아닌 연속 준동형사상 $\mathbb{R}\to S^{1}$ 이 $1\in S^{1}$ 위의 올에 의해 결정되기 때문입니다. (대수적 위상수학자라면 여기서 피복 사영을 볼 수도 있을 것입니다.)
•

$\widehat{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 인데, 지표 $\xi$ 는 상 $\xi(1)\in\mathbb{T}$ 에 의해 결정됩니다.
•

$\widehat{G\times H}\cong\widehat{G}\times\widehat{H}$ .

연습문제 39.2.3 (절 18.1를 읽은 분들을 위한 $\widehat{Z}\cong Z$ ).

$Z$ 가 유한 아벨 군이라면, 앞선 예시의 결과를 이용하여 $\widehat{Z}\cong Z$ 임을 보이십시오. 이제 쌍선형 형식 $\cdot\colon Z\times Z\to\mathbb{T}$ 가 정확히 동형사상 $Z\to\widehat{Z}$ 의 한 선택임을 알아볼 수 있을 것입니다. 이는 ”표준적”이지 않습니다.

쌍대라는 이름에 걸맞게, 벡터 공간 $V$ 에 대한 $(V^{\vee})^{\vee}\cong V$ 와 유사하게, 다음이 성립합니다:

정리 39.2.4 (폰트랴긴 쌍대성 정리).

임의의 LCA 군 $G$ 에 대해, 다음과 같은 동형사상이 존재합니다

G\cong\widehat{\widehat{G}}\qquad\text{~{}에 의해}\qquad x\mapsto\left(\xi\mapsto% \xi(x)\right).

콤팩트한 경우가 특히 훌륭합니다.

명제 39.2.5 ( $G$ 가 콤팩트 $\iff$ $\widehat{G}$ 가 이산).

$G$ 를 LCA 군이라 합시다. 그러면 $G$ 가 콤팩트인 것과 $\widehat{G}$ 가 이산인 것은 동치입니다.

증명.

문제 39B. ∎

39.3 콤팩트한 경우의 정규직교 기저

$G$ 를 콤팩트 LCA 군이라 하고, 그것의 하르 측도를 가지고 다룹시다. 이제 $L^{2}(G)$ 를 $\mathbb{C}$ 로 가는 제곱 적분 가능한 함수들의 공간으로 둘 수 있습니다, 즉

L^{2}(G)=\left\{f\colon G\to\mathbb{C}\quad\text{~{}이도록}\quad\int_{G}|f|^{2}<% \infty\right\}.

따라서 우리는 이것에 다음과 같은 내적 형식을 부여할 수 있습니다

\left<f,g\right>=\int_{G}f\cdot\overline{g}.

그러한 경우, 우리는 이전에 원했던 모든 결과를 얻습니다:

정리 39.3.1 ( $\widehat{G}$ 의 지표들이 정규직교 기저를 이룬다).

$G$ 가 LCA이면서 콤팩트하다고 가정합시다 (따라서 $\widehat{G}$ 는 이산입니다). 그러면 지표들은

(e_{\xi})_{\xi\in\widehat{G}}\qquad\text{~{}에 의해}\qquad e_{\xi}(x)=e(\xi(x))=% \exp(2\pi i\xi(x))

$L^{2}(G)$ 의 정규직교 기저를 이룹니다. 따라서 각 $f\in L^{2}(G)$ 에 대해 다음이 성립합니다

f=\sum_{\xi\in\widehat{G}}\widehat{f}(\xi)e_{\xi}

여기서

\widehat{f}(\xi)=\left<f,e_{\xi}\right>=\int_{G}f(x)\exp(-2\pi i\xi(x))\;d\mu.

합 $\sum_{\xi\in\widehat{G}}$ 은 $\widehat{G}$ 가 이산이기 때문에 뜻이 통합니다. 특히,

•

유한 군 $Z$ 에 대해 $G=Z$ 로 두면 ”유한 군 위의 푸리에 변환”을 얻습니다.
•

특수한 경우인 $G=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 는 자신만의 위키피디아 페이지를 가지고 있습니다: 바로 ”이산 푸리에 변환”입니다.
•

$G=\mathbb{T}$ 로 두면 앞서 나온 ”푸리에 급수”가 됩니다.

39.4 비콤팩트한 경우의 푸리에 변환

$G$ 가 LCA이지만 콤팩트하지 않다면, 정리 39.3.1는 거짓이 됩니다. 반면, $\widehat{G}$ 를 정의하는 것은 여전히 가능합니다. 이제 어쨌든 푸리에 계수를 써보려 시도할 수 있습니다: $\xi\in\widehat{G}$ 이고 $f\colon G\to\mathbb{C}$ 일 때

\widehat{f}(\xi)=\int_{G}f\cdot\overline{e_{\xi}}\;d\mu

로 둡니다. 이 경우 결과는 덜 흥미롭지만, 여전히 예를 들어 다음이 성립합니다:

정리 39.4.1 (비콤팩트한 경우의 푸리에 역변환 공식).

$\mu$ 를 $G$ 위의 하르 측도라 합시다. 그러면 $\widehat{G}$ 위에 유일한 하르 측도 $\nu$ ( 쌍대 측도라 불림)가 존재하여, $f\in L^{1}(G)$ 이고 $\widehat{f}\in L^{1}(\widehat{G})$ 일 때마다 다음이 성립합니다:

f(x)=\int_{\widehat{G}}\widehat{f}(\xi)\xi(x)\;d\nu

(거의 모든 $x\in G$ 에 대해, $\mu$ 에 관하여). $f$ 가 연속이면, 이는 모든 $x$ 에 대해 성립합니다.

따라서 이전만큼 완전한 내적의 좋은 성질은 가지고 있지 않지만, 여전히 몇몇 경우에는 적어도 $f$ 를 이전과 비슷한 방식으로 적분으로 쓸 수 있습니다.

특히, 몇몇 특별한 $G$ 에 대해서는 특별한 이름이 붙어 있습니다:

•

$G=\mathbb{R}$ 이면, $\widehat{G}=\mathbb{R}$ 이 되어 ”(연속) 푸리에 변환”이 됩니다.
•

$G=\mathbb{Z}$ 이면, $\widehat{G}=\mathbb{T}$ 가 되어 ”이산 시간 푸리에 변환”이 됩니다.

39.5 요약

앞선 절들에서 다룬 다양한 형태의 푸리에 해석을 다음 표에 요약합니다. 첫 번째 부분에서는 $G$ 가 콤팩트이고, 두 번째 부분에서는 $G$ 가 콤팩트가 아닙니다.

\begin{array}[]{llll}\hline\cr\text{이름}&\text{정의역}G&\text{쌍대}\widehat{G}&\text% {지표}\\ \hline\cr\text{이진 푸리에 해석}&\{\pm 1\}^{n}&S\subseteq\left\{1,\dots,n\right\}&% \prod_{s\in S}x_{s}\\ \text{유한군 위의 푸리에 변환}&Z&\xi\in\widehat{Z}\cong Z&e(i\xi\cdot x)\\ \text{이산 푸리에 변환}&\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}&\xi\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}&e(\xi x/n% )\\ \text{푸리에 급수}&\mathbb{T}\cong[-\pi,\pi]&n\in\mathbb{Z}&\exp(inx)\\ \hline\cr\text{연속 푸리에 변환}&\mathbb{R}&\xi\in\mathbb{R}&e(\xi x)\\ \text{이산 시간 푸리에 변환}&\mathbb{Z}&\xi\in\mathbb{T}\cong[-\pi,\pi]&\exp(i\xi n)\\ \end{array}

다양한 이름들이 형편없다는 것을 눈치채셨을 것입니다. 이것이 제가 고등학생 시절 혼란스러워했던 이유 중 하나입니다: 위에 나온 모든 종류의 푸리에 급수는 각각 자신만의 위키백과 문서를 가지고 있습니다. 저에게 결정권이 있었다면, 우리는 그냥 ” $G$ -푸리에 변환”이라는 용어를 사용했을 것이고, 그것이 모두의 삶을 훨씬 편하게 만들었을 것입니다.

39.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 39A.

$G$ 가 콤팩트여서 $\widehat{G}$ 가 이산이라면, 쌍대 측도 $\nu$ 를 설명하십시오.

힌트. 정리 39.3.1에서 바로 읽어낼 수 있습니다.

풀이. 그것은 셈 측도입니다.

문제 39B.

LCA 군 $G$ 가 콤팩트인 것과 $\widehat{G}$ 가 이산인 것이 동치임을 보이십시오. (이를 위해서는 콤팩트-열림 위상이 필요할 것입니다.)

힌트. 폰트랴긴 쌍대성 이후, 우리는 $G$ 가 콤팩트이면 $\widehat{G}$ 가 이산이고, $G$ 가 이산이면 $\widehat{G}$ 가 콤팩트임을 보여야 합니다. 둘 다 특별한 것이 필요하지 않습니다: 이는 위상적 사실입니다.