장 33 정칙 제곱근과 로그

이 장에서는 정칙 제곱근과 로그가 무엇을 뜻하는지 명확히 합니다. 주요 결과는 정리 33.3.2, 정리 33.4.2, 따름정리 33.5.1, 정리 33.5.2입니다. 원한다면 이 네 가지 결과만 읽고, 이 결과들이 어떻게 나오게 되었는지에 대한 논의는 건너뛰어도 됩니다.

$f\colon U\to\mathbb{C}$ 를 정칙 함수라고 합시다. $f$ 의 정칙 $n$ 제곱근은 모든 $z\in U$ 에 대해 $f(z)=g(z)^{n}$ 을 만족하는 함수 $g\colon U\to\mathbb{C}$ 입니다. $f$ 의 로그는 모든 $z\in U$ 에 대해 $f(z)=e^{g(z)}$ 를 만족하는 함수 $g\colon U\to\mathbb{C}$ 입니다. 우리가 알아내고자 하는 주된 질문은 다음과 같습니다. 이러한 함수는 언제 존재합니까? 특히 $f=\mathrm{id}$ 이면 어떻게 됩니까?

33.1 동기: 복소수의 제곱근

먼저, 임의의 복소수 $z$ 에 대해 $\sqrt{z}$ 를 정의할 수 있겠습니까?

가장 먼저 드러나는 명백한 문제는 임의의 $z$ 에 대해 $w^{2}=z$ 를 만족하는 수 $w$ 가 두 개 있다는 점입니다. 그중 어느 것을 골라 사용해야 합니까? 일반적인 제곱근 함수에서는 “양수”라는 개념이 있었으므로, 단순히 양의 근을 택했습니다.

이를 더 자세히 살펴봅시다. $z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$ (여기서 $r\geq 0$ )가 주어지면 근을 다음과 같이 택해야 합니다.

w=\sqrt{r}\left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right).

여기서 $2\alpha\equiv\theta\pmod{2\pi}$ 입니다. $\alpha\pmod{2\pi}$ 의 선택지는 두 가지이며, 둘은 $\pi$ 만큼 차이가 납니다.

복소수의 경우에는 $\alpha$ 를 고르는 명백한 방법이 없습니다. 그럼에도 임의로 구분을 두어도 괜찮을지 모릅니다. $-\frac{1}{2}\pi<\alpha\leq\frac{1}{2}\pi$ 를 만족하는 $\alpha$ 를 그냥 택하면 어떻게 되는지 살펴봅시다.

아래 그림은 몇몇 점(빨간색)과 이 “위쪽 절반” 제곱근에 의한 그 상(파란색)을 보여 줍니다. $\alpha$ 에 대한 조건은 파란 점들이 오른쪽 반평면에 놓이도록 강제한다는 뜻입니다.

여기서 각 $i$ 에 대해 $w_{i}^{2}=z_{i}$ 이며, $w_{i}$ 가 복소평면의 오른쪽 절반에 놓이도록 제한하고 있습니다. 명백한 문제가 보입니다. 점 $w_{5}$ 와 $w_{7}$ 근처에 큰 불연속이 있습니다! 가까이 있는 점 $w_{6}$ 은 아주 멀리 떨어진 곳으로 보내졌습니다. 이 불연속은 음의 실수축 위의 점들이 “경계”에 있기 때문에 생깁니다. 예를 들어 $-4$ 가 주어지면 이를 $2i$ 로 보내지만, 이때 경계에 닿게 됩니다. 구간 $-\frac{1}{2}\pi<\alpha\leq\frac{1}{2}\pi$ 에서 바로 오른쪽 끝에 있기 때문입니다.

건드려서는 안 되는 음의 실수축은 나중에 분지 절단이라고 부를 것이지만, 지금은 죽음의 반직선이라고 부르겠습니다. 이는 빨간 점들에 대한 경고입니다. 이 선을 넘으면 죽습니다! 그러나 빨간 원을 (음의 실수축을 피하도록) 아주 조금 위로 옮기면 이 문제는 완전히 사라지고, “좋은” 제곱근으로 보이는 것을 얻습니다.

사실 죽음의 반직선은 꽤 임의적입니다. 이는 $-\frac{1}{2}\pi<\alpha\leq\frac{1}{2}\pi$ 를 택했을 때 생긴 “경계 문제”들의 집합입니다. 대신 구간 $0\leq\alpha<\pi$ 를 고집한다고 합시다. 그러면 죽음의 반직선은 양의 실수축이 됩니다. 앞서 다룬 원은 이제 아무 문제 없이 잘 작동합니다.

여기서 알 수 있는 것은 특정한 $\alpha$ -구간을 고르면 서로 다른 경계 사례들의 집합이 생기고, 따라서 서로 다른 죽음의 반직선이 생긴다는 점입니다. 이 반직선들의 유일한 공통점은 시작점이 영이라는 것입니다. 다시 말해, 빨간 원과 $\alpha$ 에 대한 제한이 주어지면, 죽음의 반직선이 그 원을 비껴가는 한 “제곱근을 취한” 좋은 파란 원을 만들 수 있습니다.

그렇다면 정확히 무슨 일이 일어나고 있는 것입니까?

33.2 정칙 함수의 제곱근

무슨 일이 일어나고 있는지 파악하기 위해, 더 일반적인 문제를 생각해 봅시다. $f\colon U\to\mathbb{C}$ 가 정칙이라고 합시다. 그러면

f(z)=g(z)^{2}.

을 만족하는 정칙 함수 $g\colon U\to\mathbb{C}$ 가 존재하는지 판단하고자 합니다. 앞서 $f=\mathrm{id}$ 에 대해 논의한 내용으로부터 $U=\mathbb{C}$ 일 때는 이를 기대할 수 없음을 알 수 있습니다. 문제를 일으키는 “반직선”이 있기 때문입니다. 그러나 그러한 $g$ 가 존재하는 함수 $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 는 분명히 있습니다. 가장 간단한 예로, $f(z)=z^{2}$ 는 당연히 제곱근을 가져야 합니다!

이제 제곱근을 대충 짜 맞출 수 있는지 살펴봅시다. 앞서 우리가 한 일은 각 점에서 두 선택지 중 하나를 강제하는 규칙을 정하려는 것이었습니다. 이는 쓸데없이 엄격합니다. 아마도 다음과 같이 할 수 있을 것입니다. 한 점 $z_{0}\in U$ 에서 시작하여 $f(z_{0})$ 의 제곱근 $w_{0}$ 를 하나 고르고, 거기서부터 다른 점들의 제곱근을 “짜 맞춰” 보는 것입니다. 짜 맞춘다는 것이 무슨 뜻입니까? 자, $z_{1}$ 이 $z_{0}$ 에 아주 가까운 점이고 $f(z_{1})$ 의 제곱근 $w_{1}$ 을 고르고 싶다고 합시다. 선택지는 두 가지이지만, 우리는 $w_{0}$ 가 $w_{1}$ 에 가까울 것이라고 기대할 것입니다. 운이 아주 나쁘지 않다면, 이로부터 $w_{1}$ 으로 어느 것을 골라야 할지 알 수 있을 것입니다. (단순하고 구체적인 예: 제가 $-17$ 의 제곱근으로 $-4.12i$ 를 택한 다음, 이 제곱근을 $-16$ 까지 이어 가라고 한다면, $\pm 4i$ 중 어느 부호를 골라야 하겠습니까?)

위의 스킴에서 운이 나쁠 수 있는 경우는 두 가지가 있습니다. 첫째로, $w_{0}=0$ 이면 속수무책입니다. 그러나 이를 피하더라도, 복소평면에서 한 바퀴를 완전히 돌면 출발한 곳과 다른 곳에 도착할 수도 있다는 점을 염려해야 합니다. 구체적으로, 다시 $f=\mathrm{id}$ 인 경우의 다음 상황을 생각해 봅시다:

우리는 점 $z_{0}$ 에서 그 제곱근 중 하나를 $w_{0}$ 로 삼아 출발했습니다. 그다음 원점 주위로 빨간 원을 한 바퀴 온전히 감았는데, 끝에 이르러 보니 파란 호가 출발한 곳과 다른 곳에 있었습니다!

앞서의 구간 구성도 통하지 않습니다. $\alpha$ 에 대한 구간을 어떻게 고르든, 어떤 죽음의 반직선이든 반드시 빨간 원과 만납니다. 문제는 어째서인지 아주 특별한 점 $0$ 을 감싸고 있다는 사실에 있습니다.

그럼에도 $f(z)=z^{2}$ 를 택하면 “그때그때 만들어 가는” 절차에서 아무 문제도 생기지 않는다는 것을 압니다. 그렇다면 정확히 무슨 일이 일어나고 있는 것입니까?

33.3 피복 사영

대수적 위상수학 부분을 읽었다면, 지금쯤 이 모든 것이 꽤 익숙하게 느껴질 것입니다. “짜 맞추기” 절차는 바로 올림의 개념을 설명합니다.

더 정확히 말하면, 다음과 같은 피복 사영이 있다는 것을 상기하십시오.

(-)^{2}\colon\mathbb{C}\setminus\{0\}\to\mathbb{C}\setminus\{0\}.

$V=\left\{z\in U\mid f(z)\neq 0\right\}$ 라고 합시다. $z\in U\setminus V$ 에 대해서는 이미 제곱근 $g(z)=\sqrt{f(z)}=\sqrt{0}=0$ 이 있습니다. 따라서 남은 과제는 $g\colon V\to\mathbb{C}$ 를 완성하는 것입니다.

그러면 본질적으로 우리가 하려는 것은 다음 도식에서 올림 $g$ 를 구성하는 것입니다.

사상 $p$ 는 “두 번 감기”로 묘사할 수 있습니다. 이제 정리 66.2.6에 따르면 이 올림이 존재할 필요충분조건은 다음이

f_{\ast}^{\text{img}}(\pi_{1}(V))\subseteq p_{\ast}^{\text{img}}(\pi_{1}(E))

$p$ 에 의한 $\pi_{1}(E)$ 의 상의 부분집합이라는 것입니다. $B$ 와 $E$ 는 모두 구멍 뚫린 평면이므로 이들을 $S^{1}$ 과 동일시할 수 있습니다.

질문 33.3.1.

$\pi_{1}(B)=\mathbb{Z}$ 로 동일시하면 $p$ 에 의한 상이 정확히 $2\mathbb{Z}$ 임을 보이십시오.

이는 $V$ 안의 임의의 고리 $\gamma$ 에 대해 $f\circ\gamma$ 가 $0\in B$ 주위로 짝수 감김수를 가져야 한다는 뜻입니다. 이는 다음 조건과 같습니다.

\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f^{\prime}}{f}\;dz\in 2\mathbb{Z}

$f$ 에 극점이 없기 때문입니다.

$2$ 를 $n$ 으로 바꾸고 같은 논의를 그대로 적용하면 첫 번째 주요 결과를 얻습니다.

정리 33.3.2 (정칙 $n$ 제곱근의 존재성).

$f\colon U\to\mathbb{C}$ 가 정칙이라고 합시다. 그러면 $f$ 가 정칙 $n$ 제곱근을 가질 필요충분조건은 다음 식이

\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f^{\prime}}{f}\;dz\in n\mathbb{Z}

$U$ 안의 모든 경로 $\gamma$ 에 대해 성립하는 것입니다.

33.4 복소 로그

복소 로그가 다가 함수가 되는 것은 다음 사실 때문입니다.

\exp(z+2\pi i)=\exp(z).

따라서 $e^{w}=z$ 이면 임의의 복소수 $w+2\pi ik$ 도 해가 됩니다.

이것도 앞에서와 같은 방식으로 다룰 수 있습니다. 즉, 다음 도식의 올림을 찾는 문제가 됩니다.

다음과 같은 이유로 더 이상 별도의 $V$ 를 다룰 필요가 없습니다:

질문 33.4.1.

$f$ 가 영점을 하나라도 가지면 $g$ 가 존재할 수 없음을 보이십시오.

실제로 $\mathbb{C}$ 가 단순 연결이므로 사상 $\exp\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 는 보편 피복입니다. 따라서 $p^{\text{img}}(\pi_{1}(\mathbb{C}))$ 는 자명합니다. 그러므로 $f$ 는 영점이 없어야 할 뿐 아니라 $0\in B$ 주위의 감김수도 전혀 가질 수 없습니다. 다시 말해 다음과 같습니다:

정리 33.4.2 (로그의 존재성).

$f\colon U\to\mathbb{C}$ 가 정칙이라고 합시다. 그러면 $f$ 가 로그를 가질 필요충분조건은 다음 식이

\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f^{\prime}}{f}\;dz=0

$U$ 안의 모든 경로 $\gamma$ 에 대해 성립하는 것입니다.

33.5 몇 가지 특수한 경우

가장 흔한 특수한 경우는 다음과 같습니다.

따름정리 33.5.1 (단순연결 영역에서 정의된, 영점이 없는 함수).

$\Omega$ 가 단순연결이고 $f\colon\Omega\to\mathbb{C}$ 가 연속이라고 합시다. 모든 $z\in\Omega$ 에 대해 $f(z)\neq 0$ 이면, $f$ 는 로그와 정칙 $n$ 제곱근을 모두 가집니다.

마지막으로, 맨 처음에 던졌던 $f=\mathrm{id}$ 에 관한 질문으로 돌아가 봅시다.

\sqrt{-}\colon U\to\mathbb{C}

가 잘 정의되도록 하는 가장 좋은 영역 $U$ 는 무엇입니까? $U=\mathbb{C}$ 로는 분명히 불가능하지만, 거의 그에 가까운 결과는 얻을 수 있습니다. $f=\mathrm{id}$ 의 유일한 영점이 원점이라는 점에 주목하십시오. 따라서 로그가 존재하게 하려면 복소평면을 잘라서 원점을 도는 고리를 만들 수 없게 하기만 하면 됩니다. 흔히 쓰는 방법은 실수축의 음의 절반, 즉 우리가 맨 처음 만났던 죽음의 반직선을 제거하는 것입니다. 이것을 분지 절단이라고 부르며, 이때 분지점은 $0\in\mathbb{C}$ (우리가 그 주위를 돌 수 없는 점)입니다. 그러면 다음을 얻습니다.

정리 33.5.2 (분지 절단 함수).

다음과 같은 정칙 함수들이 존재합니다.

	$\displaystyle\log$	$\displaystyle:\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]\to\mathbb{C}$
	$\displaystyle\sqrt[n]{-}$	$\displaystyle:\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]\to\mathbb{C}$

이 함수들은 당연한 성질들을 만족합니다.

이러한 함수는 여러 가지로 선택할 수 있습니다( $n$ 제곱근은 $n$ 가지, $\log$ 는 무한히 많은 선택이 있습니다). 이러한 함수를 하나 선택한 것을 분지라고 부릅니다. 로그의 “분지”란 바로 이것을 뜻합니다.

주분지는 “표준적인” 분지로, $\sqrt{-}\colon\mathbb{R}_{\geq 0}\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ 를 정의할 때 임의로 양의 분지를 택하는 것과 비슷합니다. $\log$ 의 경우에는 $e^{w}=z$ 이고 $w$ 의 허수부가 $(-\pi,\pi]$ 에 속하는 $w$ 를 택합니다 ( $2\pi i$ 의 정수배만큼 옮길 수 있기 때문입니다). 이 선택을 강조하기 위해 저자들은 흔히 $\operatorname{Log}z$ 라고 씁니다.

33.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 33A.

정칙 함수 $f\colon U\to\mathbb{C}$ 가 정칙 로그를 가질 필요충분조건은 모든 정수 $n$ 에 대해 정칙 $n$ 제곱근을 가지는 것임을 보이십시오.

문제 33B.

$U$ 가 복소평면 전체에서 닫힌구간 $[0,1]$ 을 뺀 집합일 때, $z\mapsto z(z-1)$ 로 주어지는 함수 $f\colon U\to\mathbb{C}$ 가 정칙 제곱근을 가짐을 보이십시오.