장 33 정칙 제곱근과 로그

이 장에서는 정칙 제곱근과 로그의 의미를 명확히 하겠습니다. 주요 결과는 정리 33.3.2, 정리 33.4.2, 따름정리 33.5.1, 정리 33.5.2입니다. 원하신다면 이 네 가지 결과만 읽고 그것들이 어떻게 도출되었는지에 대한 논의는 건너뛰셔도 됩니다.

$f\colon U\to\mathbb{C}$ 를 정칙 함수라 하겠습니다. $f$ 의 정칙 $n$ 제곱근이란 모든 $z\in U$ 에 대해 $f(z)=g(z)^{n}$ 을 만족하는 함수 $g\colon U\to\mathbb{C}$ 를 말합니다. $f$ 의 로그란 모든 $z\in U$ 에 대해 $f(z)=e^{g(z)}$ 를 만족하는 함수 $g\colon U\to\mathbb{C}$ 를 말합니다. 우리가 알아내고자 하는 주요 질문은 다음과 같습니다: 이러한 것들은 언제 존재할까요? 특히 $f=\mathrm{id}$ 인 경우는 어떨까요?

33.1 동기 부여: 복소수의 제곱근

먼저, 임의의 복소수 $z$ 에 대해 $\sqrt{z}$ 를 정의할 수 있을까요?

처음 마주치는 명백한 문제는, 임의의 $z$ 에 대해 $w^{2}=z$ 를 만족하는 수 $w$ 가 두 개 존재한다는 것입니다. 어떻게 하나를 선택할 수 있을까요? 일반적인 제곱근 함수의 경우, 우리는 ”양수”라는 개념을 가지고 있었으므로 단순히 양의 근을 취했습니다.

이를 좀 더 발전시켜 보겠습니다: $z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$ 가 주어졌을 때(여기서 $r\geq 0$ ), 우리는 근을 다음과 같이 취해야 합니다

w=\sqrt{r}\left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right).

이때 $2\alpha\equiv\theta\pmod{2\pi}$ 를 만족합니다; $\alpha\pmod{2\pi}$ 에 대해서는 $\pi$ 만큼 차이 나는 두 가지 선택지가 있습니다.

복소수의 경우, $\alpha$ 를 선택하는 명백한 방법이 없습니다. 그럼에도 불구하고 우리는 임의의 구분을 시도해 볼 수도 있을 것입니다: 단순히 $-\frac{1}{2}\pi<\alpha\leq\frac{1}{2}\pi$ 인 $\alpha$ 를 선택하면 어떻게 되는지 살펴보겠습니다.

아래 그림에는 이 ”위쪽-절반” 제곱근에 따른 몇몇 점들(빨간색)과 그 상(파란색)이 나타나 있습니다. $\alpha$ 에 대한 조건은 파란색 점들이 오른쪽-절반 평면에 놓이도록 강제한다는 것을 의미합니다.

여기서 각 $i$ 에 대해 $w_{i}^{2}=z_{i}$ 이며, 우리는 $w_{i}$ 가 복소평면의 오른쪽 절반에 놓이도록 제약을 가하고 있습니다. 명백한 문제가 있음을 알 수 있습니다: 점 $w_{5}$ 와 $w_{7}$ 근처에서 큰 불연속이 발생합니다! 근처의 점 $w_{6}$ 은 매우 멀리 떨어진 곳으로 매핑되었습니다. 이러한 불연속은 음의 실수축 위의 점들이 ”경계”에 있기 때문에 발생합니다. 예를 들어, $-4$ 가 주어지면 이를 $2i$ 로 보내지만, 우리는 경계에 도달한 것입니다: 구간 $-\frac{1}{2}\pi<\alpha\leq\frac{1}{2}\pi$ 에서 우리는 바로 오른쪽 끝에 있는 것입니다.

우리가 건드리면 안 되는 이 음의 실수축이 바로 나중에 분지 절단이라 부르게 될 것이지만, 지금은 이를 죽음의 광선이라고 부르겠습니다. 이는 빨간 점들에게 보내는 경고입니다: 이 선을 넘으면 죽게 됩니다! 하지만 빨간 원을 약간만 위로 옮기면(음의 실수축을 벗어나도록) 이 문제는 완전히 피할 수 있으며, 우리는 ”좋은” 제곱근처럼 보이는 것을 얻게 됩니다.

사실 죽음의 광선은 상당히 임의적입니다: 이는 우리가 $-\frac{1}{2}\pi<\alpha\leq\frac{1}{2}\pi$ 를 택했을 때 발생한 “경계 문제”의 집합입니다. 대신 구간 $0\leq\alpha<\pi$ 를 고집했다고 합시다; 그러면 죽음의 광선은 대신 양의 실수축이 될 것입니다. 앞서 있던 원은 이제 아무 문제 없이 작동합니다.

우리가 보는 것은, 특정 $\alpha$ -구간을 선택하면 서로 다른 경계 사례 집합으로 이어지고, 따라서 서로 다른 죽음의 광선이 생긴다는 것입니다. 이 광선들이 공통으로 가지는 유일한 점은 그 시작점인 영입니다. 다시 말해, 빨간 원과 $\alpha$ 의 제한이 주어졌을 때, 죽음의 광선이 그것을 비켜가는 한 저는 멋진 “제곱근을 취한” 파란 원을 만들 수 있습니다.

그렇다면 도대체 무슨 일이 벌어지고 있는 것일까요?

33.2 정칙 함수의 제곱근

무슨 일이 일어나고 있는지 그림을 얻기 위해, 좀 더 일반적인 문제를 고려해보고자 합니다: $f\colon U\to\mathbb{C}$ 가 정칙이라고 합시다. 그러면 우리는

f(z)=g(z)^{2}.

를 만족하는 정칙 함수 $g\colon U\to\mathbb{C}$ 가 존재하는지 판단하고자 합니다. 앞서 $f=\mathrm{id}$ 로 논의한 바에 따르면 $U=\mathbb{C}$ 에 대해서는 이를 달성할 수 없다는 것을 알 수 있습니다; 문제를 일으키는 “반직선”이 존재하기 때문입니다. 그러나 $g$ 가 존재하는 함수 $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 도 분명히 존재합니다. 가장 간단한 예로, $f(z)=z^{2}$ 은 분명 제곱근을 가져야 합니다!

이제 제곱근을 얼기설기 짜맞출 수 있는지 살펴봅시다. 앞서 우리가 했던 것은 각 점에서 두 선택지 중 하나를 강제하는 규칙을 명시하려는 시도였습니다. 이는 불필요하게 엄격합니다. 아마 다음과 같이 할 수도 있을 것입니다: $z_{0}\in U$ 의 한 점에서 시작하여, $f(z_{0})$ 의 제곱근 $w_{0}$ 을 선택한 다음, 거기서부터 다른 점들의 제곱근을 “짜맞추어” 나가는 것입니다. 짜맞춘다는 것이 무슨 뜻일까요? 자, $z_{1}$ 이 $z_{0}$ 에 매우 가까운 점이고, 우리가 $f(z_{1})$ 의 제곱근 $w_{1}$ 을 선택하고자 한다고 합시다. 두 가지 선택지가 있지만, 우리는 또한 $w_{0}$ 이 $w_{1}$ 에 가까울 것이라고 기대할 수 있습니다. 우리가 매우 운이 나쁘지 않은 한, 이것이 $w_{1}$ 의 어느 선택을 골라야 하는지 알려줄 것입니다. (어리석은 구체적 예: 만약 제가 $-17$ 의 제곱근으로 $-4.12i$ 를 택했고, 그런 다음 여러분에게 이 제곱근을 $-16$ 까지 계속하라고 요청한다면, $\pm 4i$ 중 어느 부호를 골라야 할까요?)

위의 스킴에는 운이 나쁠 수 있는 두 가지 경우가 있습니다: 첫째, $w_{0}=0$ 이면 우리는 가망이 없습니다. 하지만 이를 피하더라도, 복소평면에서 완전히 한 바퀴를 돌면 시작한 곳과 다른 곳에 도달할 수도 있다는 점을 걱정해야 합니다. 구체적으로, 다시 $f=\mathrm{id}$ 인 다음 상황을 고려해 봅시다:

우리는 점 $z_{0}$ 에서 시작했으며, 그것의 제곱근 중 하나를 $w_{0}$ 으로 삼았습니다. 그런 다음 원점 주위로 완전한 빨간 원을 한 바퀴 감았는데, 결국 그 끝에서 파란 호가 시작했던 곳과 다른 곳에 있음을 발견했습니다!

앞서의 구간 구성 또한 통하지 않습니다: $\alpha$ 의 구간을 어떻게 선택하더라도, 어떤 죽음의 광선이든 우리의 빨간 원에 부딪히기 마련입니다. 문제는 어쩐지 우리가 매우 특별한 점 $0$ 을 둘러쌌다는 사실에 있습니다.

그럼에도 불구하고, $f(z)=z^{2}$ 을 취하면 우리의 “되는 대로 만들어가는” 절차에서 아무런 문제도 생기지 않는다는 것을 알고 있습니다. 그렇다면 도대체 무슨 일이 벌어지고 있는 것일까요?

33.3 피복 사영

지금쯤이면, 만약 여러분이 대수적 위상수학을 다룬 부분을 읽었다면, 이 모든 것이 상당히 익숙하게 느껴질 것입니다. “짜맞추는” 절차는 정확히 올림(lifting)의 개념을 설명합니다.

더 정확히 말하면, 다음과 같은 피복 사영이 존재함을 상기하십시오

(-)^{2}\colon\mathbb{C}\setminus\{0\}\to\mathbb{C}\setminus\{0\}.

$V=\left\{z\in U\mid f(z)\neq 0\right\}$ 라고 하겠습니다. $z\in U\setminus V$ 에 대해서는 이미 제곱근 $g(z)=\sqrt{f(z)}=\sqrt{0}=0$ 을 얻었습니다. 따라서 남은 과제는 $g\colon V\to\mathbb{C}$ 를 완성하는 것입니다.

그러면 본질적으로 우리가 하려는 것은 다음 도식에서 올림 $g$ 를 구성하는 것입니다

우리의 사상 $p$ 는 ”두 번 감기”로 설명될 수 있습니다. 이제 정리 66.2.6에 따르면 이러한 올림이 존재할 필요충분조건은 다음과 같습니다

f_{\ast}^{\text{img}}(\pi_{1}(V))\subseteq p_{\ast}^{\text{img}}(\pi_{1}(E))

$p$ 에 의한 $\pi_{1}(E)$ 의 상의 부분집합인 것입니다. $B$ 와 $E$ 가 모두 punctured plane이므로, 이들을 $S^{1}$ 과 동일시할 수 있습니다.

질문 33.3.1.

$\pi_{1}(B)=\mathbb{Z}$ 로 동일시하면 $p$ 에 의한 상이 정확히 $2\mathbb{Z}$ 임을 보이십시오.

이는 $V$ 안의 임의의 고리 $\gamma$ 에 대해 $f\circ\gamma$ 가 $0\in B$ 둘레로 짝수 감김수를 가져야 함을 의미합니다. 이는 다음과 같습니다

\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f^{\prime}}{f}\;dz\in 2\mathbb{Z}

$f$ 가 극을 갖지 않기 때문입니다.

$2$ 를 $n$ 으로 바꾸어 논의를 그대로 이어가면 첫 번째 주요 결과를 얻습니다.

정리 33.3.2 (정칙 $n$ 제곱근의 존재).

$f\colon U\to\mathbb{C}$ 를 정칙 함수라고 하겠습니다. 그러면 $f$ 가 정칙 $n$ 제곱근을 가질 필요충분조건은 다음과 같습니다

\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f^{\prime}}{f}\;dz\in n\mathbb{Z}

$U$ 안의 모든 등고선 $\gamma$ 에 대해 성립하는 것입니다.

33.4 복소 로그

복소 로그의 다가성은 다음 사실에서 비롯됩니다

\exp(z+2\pi i)=\exp(z).

따라서 $e^{w}=z$ 이면, 임의의 복소수 $w+2\pi ik$ 또한 해가 됩니다.

이는 이전과 같은 방식으로 다룰 수 있으며, 다음 도식을 들어올리는 것에 해당합니다.

다음과 같은 이유로 더 이상 별도의 $V$ 를 다룰 필요가 없습니다:

질문 33.4.1.

$f$ 가 영점을 하나라도 가지면 $g$ 가 존재할 수 없음을 보이십시오.

사실, $\mathbb{C}$ 가 단순연결이므로 사상 $\exp\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 은 보편 피복입니다. 따라서 $p^{\text{img}}(\pi_{1}(\mathbb{C}))$ 는 자명합니다. 그러므로 $f$ 는 영점이 없을 뿐만 아니라, $0\in B$ 에 대한 감김수 또한 전혀 가질 수 없습니다. 다시 말해:

정리 33.4.2 (로그의 존재성).

$f\colon U\to\mathbb{C}$ 를 정칙 함수라 하십시오. 그러면 $f$ 가 로그를 가질 필요충분조건은 다음과 같습니다

\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f^{\prime}}{f}\;dz=0

$U$ 안의 모든 폐곡선 $\gamma$ 에 대해.

33.5 몇 가지 특수한 경우

가장 흔한 특수한 경우는

따름정리 33.5.1 (단순 연결 정의역에서의 영이 아닌 함수들).

$f\colon\Omega\to\mathbb{C}$ 가 연속함수이고, $\Omega$ 는 단순 연결이라고 합시다. 모든 $z\in\Omega$ 에 대해 $f(z)\neq 0$ 이면, $f$ 는 로그와 정칙 $n$ 제곱근을 모두 가집니다.

마지막으로, 맨 처음의 $f=\mathrm{id}$ 에 대한 질문으로 돌아가 봅시다.

\sqrt{-}\colon U\to\mathbb{C}

가 잘 정의되도록 하는 가장 좋은 정의역 $U$ 는 무엇일까요? 분명히 $U=\mathbb{C}$ 는 성립할 수 없지만, 거의 그만큼 잘 해낼 수 있습니다. $f=\mathrm{id}$ 의 유일한 영점은 원점에 있다는 점에 주목하십시오. 따라서 로그가 존재하도록 만들고자 한다면, 원점을 둘러싸는 고리를 만드는 것이 불가능하도록 복소평면에 절개를 넣기만 하면 됩니다. 흔히 선택하는 방법은 실수축의 음의 절반, 즉 우리의 첫 번째 죽음의 광선을 제거하는 것입니다. 이를 가지 절단(branch cut)이라 부르고, $0\in\mathbb{C}$ (둘러쌀 수 없는 점)를 가지점(branch point)이라 부릅니다. 이로부터 다음을 얻습니다.

정리 33.5.2 (가지 절단 함수).

다음을 만족하는 정칙 함수들이 존재합니다

	$\displaystyle\log$	$\displaystyle:\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]\to\mathbb{C}$
	$\displaystyle\sqrt[n]{-}$	$\displaystyle:\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]\to\mathbb{C}$

명백한 성질들을 만족시키는

이러한 함수의 선택은 여러 가지가 가능합니다( $n$ 제곱근에 대해서는 $n$ 가지, $\log$ 에 대해서는 무한히 많은 선택). 이러한 함수의 선택을 가지(branch)라고 부릅니다. 이것이 바로 로그의 ”가지”라는 말이 의미하는 바입니다.

주가지(principal branch)는 ”표준적인” 가지로서, $\sqrt{-}\colon\mathbb{R}_{\geq 0}\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ 를 정의할 때 임의로 양의 가지를 선택하는 방식과 유사합니다. $\log$ 에 대해서는, $e^{w}=z$ 이고 $w$ 의 허수부가 $(-\pi,\pi]$ 에 속하는 $w$ 를 취합니다( $2\pi i$ 의 정수배만큼 이동할 수 있기 때문입니다). 저자들은 종종 이러한 선택을 강조하기 위해 $\operatorname{Log}z$ 라고 씁니다.

33.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 33A.

정칙 함수 $f\colon U\to\mathbb{C}$ 가 정칙 로그를 갖는 것은 모든 정수 $n$ 에 대해 정칙 $n$ 제곱근을 갖는 것과 동치임을 보이십시오.

문제 33B.

$U$ 가 닫힌구간 $[0,1]$ 을 제외한 복소평면 전체일 때, $z\mapsto z(z-1)$ 로 정의된 함수 $f\colon U\to\mathbb{C}$ 가 정칙 제곱근을 가짐을 보이십시오.