장 0 세일즈 피치

시작하기.
첫 번째 부에는 대수학과 위상수학이 조금씩 다 들어가야 한다는 설계상의 결정을 내렸습니다: 그래서 이 첫 번째 장은 군을 정의하는 것으로 시작하고, 두 번째 장은 거리 공간을 정의하는 것으로 시작합니다. 그 의도는 초심자들이 다소 다른 맥락에서 ”추가 구조를 가진 집합”의 두 가지 다른 예시를 보게 하고, 이러한 종류의 정의가 계속해서 반복해서 등장할 때를 대비해 최소한의 소양을 갖추게 하려는 것입니다.¹¹1특히, 군 동형사상을 본 뒤에 위상동형사상이 무엇인지 배우는 것이, 그리고 연속 사상을 본 뒤에 준동형사상이 무엇인지 배우는 것이 더 쉽다고 생각합니다.

기본 추상대수학.
대수학에 더 마음이 끌리는 사람은 그다음 더 다양한 종류의 대수적 구조로 파고들 수 있습니다: 군에 대한 몇 가지 추가 세부 사항, 그다음 $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $ℝ$, $ℂ$를 일반화할 수 있게 해줄 환과 체입니다. 그렇게 하여 대수학에 등장하는 온갖 다른 명사들에 익숙해지는 법을 배우게 되며, 전에는 이야기할 수 없었던 온갖 대상들의 세계가 열리게 됩니다.

우리는 또한 여러분이 알고 있을 법한 $\mathbb{Z}$에서의 최대공약수를 일반화하는 아이디얼에 이르게 될 것입니다. 예를 들어, $\gcd (3,5)=1$이므로 $\mathbb{Z}$에서 모든 정수는 $a,b\in \mathbb{Z}$에 대해 $3a+5b$의 형태로 쓸 수 있다는 것을 알고 있을 것입니다. 우리는 이 진술이 실제로는 아이디얼에 대한 진술, 즉 ”$\mathbb{Z}$에서 $(3,5)=1$”이라는 것을 보게 될 것이고, 따라서 어떤 상황에서 이것이 일반화될 수 있는지, 예컨대 다항식으로 일반화될 수 있는지 이해하게 될 것입니다.

기본 위상수학.
더 해석학적으로 마음이 끌리는 사람은 대신 위상수학으로 넘어가 공간에 대해 더 배울 수 있습니다. 우리는 ”거리 공간”이 실제로는 너무 특수하며, 이른바 열린집합에 기반한 위상 공간을 다루는 것이 더 낫다는 것을 알게 될 것입니다. 그런 다음 여러분은 몇 가지 기하학적 아이디어의 싹이 트는 것을 보게 되고, 실해석학을 작동하게 만드는 강력한 개념인 콤팩트성이라는 정말 훌륭한 개념으로 마무리하게 됩니다.

지금 여러분을 유혹할 콤팩트성 응용의 한 예시입니다: 연속 함수 $f:[0,1]\to ℝ$는 항상 최댓값을 달성합니다. (반면, $x\mapsto 1/x$로 정의된 $f:(0,1)\to ℝ$는 그렇지 않습니다.) 우리는 그 이유가 $[0,1]$이 콤팩트하기 때문이라는 것을 보게 될 것입니다.

선형대수학.
고등학교에서 선형대수학은 종종 정말 만족스럽지 않습니다. 여러분은 이 숫자들의 배열을 받고, 그것들은 별로 말이 되지 않는 방식으로 다루어집니다. 예를 들어, 행렬식은 마치 허공에서 나온 것처럼 보이는 여러 곱의 합으로 이루어진 이상하게 생긴 식으로 정의됩니다. 그것은 어디서 오는 것일까요? 왜 $det(AB)=detAdetB$가 그토록 기이한 공식으로 성립할까요?

자, 이 모든 것을 설명할 수 있다는 것이 밝혀집니다! 그 비결은 선형대수학을 행렬의 학문으로 생각하지 않고, 대신 선형 사상의 학문으로 생각하는 것입니다. 앞선 장들에서 우리는 ”풍부한 구조를 가진 집합”과 ”그 사이의 사상”을 이야기함으로써 훌륭한 일반화를 얻었다는 것을 보았습니다. 이번에 우리의 집합은 벡터 공간이고 우리의 사상은 선형 사상입니다. 우리는 행렬이 실제로는 선형 사상을 숫자의 배열로 적어 내는 하나의 방법일 뿐이라는 것을 알게 될 것이지만, ”본질적인” 정의를 사용함으로써 고등학교에서 배운 모든 이상한 공식들의 신비를 벗겨내고 그것들이 어디서 오는지 보여드리겠습니다.

특히, 우리는 열 계수가 행 계수와 같다는 것, 행렬식이 곱셈적이라는 것, 대각합이 대각 원소들의 합이라는 것의 쉬운 증명들을 보게 될 것입니다. 우리는 내적이 어떻게 작동하는지 보고, ”고유-”로 시작하는 모든 단어들을 배우게 될 것입니다. 벡터 공간에 익숙해지는 것만으로도 모든 큰 유행어들을 설명할 수 있음을 보여주는 푸리에 해석에 대한 보너스 장까지 있을 것입니다.

군에 대하여 더 알아보기.
여러분 중 몇몇은 군에 대해 더 관심이 있을 수 있는데, 이 장은 여러분에게 더 나아가 탐구할 방법을 제공할 것입니다. 이는 군의 작용에 대한 탐구로 시작하여, 모든 군을 분류하려는 시도를 가능하게 해주는 도구인 실로우 정리에 대해 조금 다룹니다.

표현론.
$G$가 군이라면, 우리는 그것을 행렬로 구현함으로써, 즉 매입 $G\hookrightarrow \mathrm{G}\mathrm{L}{}_n(ℂ)$을 고려함으로써 이해하려고 시도할 수 있습니다. 이것들은 $G$의 표현이라고 불립니다; 이것들은 기약 표현으로 분해될 수 있다는 것이 밝혀집니다. 놀랍게도 우리는 그것들 전부를 기본적으로 특징지을 수 있다는 것을 알게 될 것입니다: 그 결과는 짧으면서도 완전히 예상치 못한 것으로 밝혀집니다.

예를 들어, 우리는 주어진 유한군 $G$의 기약 표현이 유한개만 존재한다는 것을 알게 될 것입니다; 그것들을 $V{}_1$, $V{}_2$, …, $V{}_r$이라고 표시하면, 우리는 $r$이 $G$의 켤레류의 개수라는 것을, 그리고 더 나아가 다음이 성립한다는 것을 알게 될 것입니다

$$|G|=(dimV{}_1){}^2+\mathrm{\cdots }+(dimV{}_r){}^2$$

이는 난데없이 튀어나옵니다!

이 부의 마지막 장은 여러분에게 몇 가지 예상치 못한 따름정리를 보여드릴 것입니다. 그중 하나는 다음과 같습니다: $G$를 유한군이라 하고 각 $g\in G$에 대해 변수 $x{}_g$를 만듭니다. $|G|\times |G|$ 행렬 $M$은 $(g,h)$번째 원소를 변수 $x{}_{g\cdot h}$로 설정하여 정의됩니다. 그러면 이 행렬식은 인수분해된다는 것이 밝혀지며, 그 인수들은 위에서 설명한 $V{}_i$에 대응됩니다: $dimV{}_i$번 나타나는 차수 $dimV{}_i$의 기약 인수가 존재하게 됩니다. 프로베니우스 행렬식이라 불리는 이 결과는 표현론을 탄생시켰다고 전해집니다.

양자 알고리즘.
쇼어 알고리즘이 무엇인지 궁금했던 적이 있다면, 이 장에서는 지금까지 쌓아온 선형대수를 이용해 그것을 알려드립니다!

미적분학 101.
이 부에서는 거리 공간과 위상 공간에 대해 쌓아온 지식을 이용하여, 고등학교 미적분학에서 전형적으로 다루는 정의와 정리들을 짧고 엄밀하게 제시합니다. 즉, 극한, 급수, 도함수, 적분에 관해 여러분이 이미 보아온 거의 모든 것을 실제로 정의하고 증명합니다.

이것이 다소 벅차 보일 수 있지만, 사실 이 장을 시작할 즈음이면 어려운 작업은 이미 끝나 있습니다: 극한, 열린집합, 콤팩트성이라는 개념이 있으면 AP 미적분학에서 대충 넘어갔던 부분들을 손쉽게 처리할 수 있습니다. 따라서 대부분의 증명은 실제로 상당히 짧을 것입니다. 우리는 뒤로 물러앉아, 앞서 위상수학을 꼼꼼히 공부한 것에 대한 보상으로 모든 조각들이 서서히 맞춰지는 것을 지켜보게 됩니다.

그렇긴 하지만, 만약 잠시 의구심을 접어둘 의향이 있다면, 여기 나오는 미적분학의 정확한 세부 사항을 몰라도 다른 부의 대부분을 실제로 읽을 수 있으므로, 어떤 의미에서 이 부는 ”선택 사항”입니다.

복소해석학.
정칙 함수(복소미분가능 함수)는 지금까지 나온 것 중 거의 가장 좋은 것에 가깝다는 것이 밝혀집니다: 이들은 테일러 급수로 주어진다는 것이(즉, 본질적으로 다항식이라는 것이) 밝혀집니다. 이는 정칙 함수 $ℂ\to ℂ$에 대해 비합리적일 만큼 좋은 결과들을 증명할 수 있게 해준다는 것을 의미합니다. 예를 들면

• –

  이들은 단 몇 개의 입력값만으로 결정되고,

• –

  이들의 등고선 적분은 모두 영이며,

• –

  상수가 아닌 한 유계일 수 없다는 것 등입니다,

• –

  ….

이어서 정칙 함수의 몫과 같은 유리형 함수를 소개하고, 평면에 단순히 고리를 그려 그 위에서 적분함으로써 그 영점을 검출할 수 있음을 알게 됩니다: 여기서 유명한 유수 정리가 등장합니다. (연습 문제에서, 이것이 다른 방법으로는 계산할 수 없는 실적분을 계산하는 방법까지도 제공한다는 것을 보게 됩니다.)

측도론.
측도론은 적분의 업그레이드 버전입니다. 리만 적분은 여러 용도에서 실제로 충분하지 않습니다; 예를 들어, $f$가 유리수에서는 $1$이고 무리수에서는 $0$인 함수라면, 우리는 $\int {}_0{}^{1}f(x)dx=0$이기를 바라겠지만, 리만 적분은 이 함수 $f$를 다룰 수 없습니다.

르베그 적분은 일반적인 공간 $\mathrm{\Omega }$에 측도를 부여하여 이를 측도 공간으로 만듦으로써 이러한 문제들을 해결할 것입니다. 이를 통해 위 적분이 ”유리수는 측도가 0이다”라는 사실 때문에 실제로 0이 되는 더 풍부한 적분 이론을 전개할 수 있게 됩니다. 측도의 개발 자체도 하나의 성취인데, 왜냐하면 이는 넓이와 부피 같은 개념이 의미하는 바를 —$ℝ{}^n$뿐 아니라 어떤 공간에서든— 엄밀하고 완전하게 논할 방법을 개발했다는 뜻이기 때문입니다! 따라서 예를 들어 르베그 적분은 우리가 어떤 측도 공간 위에서든 함수를 적분할 수 있게 해줄 것입니다.

확률 (작성 예정).
측도론의 도구들을 이용하여, 우리는 확률에 대해서도 엄밀한 정의를 제시하기 시작할 수 있습니다. 우리는 확률 변수가 실제로는 세계들의 측도 공간에서 $ℝ$로 가는 함수임을 알게 되며, 이는 그 확률에 대해 엄밀하게 이야기할 방법을 제공합니다. 그런 다음 우리는 큰 수의 법칙과 중심 극한 정리 같은 결과들을 진술하기도 쉽고 증명하기도 간단한 방식으로 실제로 서술하기 시작할 수 있습니다.

미분기하학.
다변수 미적분학은 온갖 편도함수 때문에 종종 혼란스럽습니다. 하지만 선형대수에 대한 좋은 이해로 무장하면, 우리가 실제로 보고 있는 것은 전미분이라는 것을 알게 됩니다: 함수 $f:ℝ{}^n\to ℝ$의 모든 점에서 우리는 편도함수라는 개념을 하나의 대상으로 담아내는 선형 사상 $Df$를 대응시킬 수 있습니다. 이렇게 설정하면, 미분 형식과 스토크스 정리의 버전들을 보게 될 것이며, 마침내 표기법 $dx$가 실제로 무엇을 의미하는지 알게 될 것입니다. 마지막으로, 다양체 일반에 대해서도 조금 이야기하겠습니다.

대수적 정수론 I: 정수환.
왜 $3+\sqrt{5}$는 $3-\sqrt{5}$의 켤레일까요? 펠 방정식에서 사용되는 노름 $\parallel a+b\sqrt{5}\parallel =a{}^2-5b{}^2$이 왜 하필 곱셈적일까요? 왜 $\mathbb{Z}[i]$에서는 소수로의 인수분해를 할 수 있는데 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$에서는 할 수 없을까요? 이 모든 질문과 그 이상이 이 부에서 답을 얻게 되는데, 이때 우리는 $\mathbb{Q}$와 $\mathbb{Z}$를 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$와 $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ 같은 것들로 일반화한 수체에 대해 배우게 됩니다. 우리는 소 아이디얼로의 유일 인수분해가 성립함을, 여기에 실제로 곱셈적 노름이 관여하고 있음을, 그리고 그 밖의 것들을 알게 됩니다. 또한 펠 방정식이 이 이론으로부터 자연스럽게 도출됨을 보게 됩니다.

대수적 정수론 II: 갈루아 이론과 분기 이론.
이제 거창한 유행어들이 모두 등장합니다: 갈루아 군, 프로베니우스, 그리고 그 친구들 말입니다. 이차 상호법칙이 프로베니우스 원소의 거동이 드리우는 그림자에 불과함을 보게 될 것이고, $a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$ 꼴인 소수의 무한성에 관한 디리클레 정리를 크게 일반화하는 체보타레프 밀도 정리를 만나게 됩니다. 마지막 부분에서는 유체론의 위대한 결과 중 하나인 아르틴 상호법칙을 서술하고, 이것이 이차 상호법칙과 삼차 상호법칙을 어떻게 일반화하는지도 다룰 것입니다.

대수적 위상수학 I: 호모토피.
환형(annulus)과 원판의 차이는 무엇일까요? 물론 둘 중 하나에는 ”구멍”이 있지만, 순수하게 내재적인 위상 공간만 주어졌을 때 이 개념을 정확히 규정하기는 어렵습니다. 기본군 $\pi {}_1(X)$와 더 일반적인 호모토피 군은 이를 정확하게 만들어 줍니다 — 공간 안에 올가미를 던져 넣고 그것을 다시 감아 들일 수 있는지를 살펴봄으로써, 공간에 구멍이 있다는 발상을 포착하는 아벨 군 $\pi {}_1(X)$를 모든 위상 공간 $X$에 대해 정의하는 방법을 찾아낼 것입니다.

놀랍게도 기본군 $\pi {}_1(X)$는 온건한 조건 하에서 소위 피복 사영이라는 방식으로 $X$를 덮는 방법들을 알려줍니다. 하나의 그림은 실직선 $ℝ$을 나선 모양으로 감아서 원 $S{}^1$ 위로 사영하는 것입니다. 이는 $\pi {}_1(S{}^1)=\mathbb{Z}$라는 사실에 대응함이 밝혀질 것입니다. 더 일반적으로 $\pi {}_1(X)$의 부분군들은 공간 $X$를 덮는 방법들과 전단사 관계에 있게 됩니다!

범주론.
체, 군, 다양체, 거리 공간, 측도 공간, 가군, 표현, 환, 위상 공간, 벡터 공간은 서로 무슨 공통점이 있을까요? 답: 이들은 모두 ”추가 구조를 지닌 대상”이며, 그 사이에 사상들이 있다는 것입니다.

범주라는 개념은 이 모든 것을 적절하게 일반화합니다. 온갖 종류의 구성과 발상이 범주라는 틀 안으로 추상화될 수 있음을 보게 될 것인데, 이 틀에서는 대상들이 정확히 무엇인지를 굳이 깊이 파고들지 않고, 오직 대상들과 그 사이의 화살표들만을 생각합니다. 그 결과로 많은 가환 도식을 그리게 됩니다.

예를 들어, 한 범주의 대상을 취해 다른 범주의 대상을 얻는 방법(예컨대 위에서 나온 $\pi {}_1$처럼, 공간의 범주에서 군의 범주로 가는 경우)은 대개 함자일 것입니다. $G\times H$, $X\times Y$, $R\times S$, 그리고 $\times$ 기호가 들어간 그 무엇이든 곱의 개념으로 통합하고, 그런 다음 훨씬 더 일반적으로 극한으로 통합할 것입니다. 마지막 부분에서는 아벨 범주에 관해 이야기하고, 유명한 뱀 보조정리, 다섯 보조정리 등에 대해서도 다룹니다.

대수적 위상수학 II: 호몰로지.
범주론의 언어를 사용하여, 우리는 대수적 위상수학에서의 모험을 다시 이어가는데, 여기서 정의를 내리는 데는 더 오래 걸리지만 실제로 계산하기는 더 쉬운 방식으로 공간의 구멍을 알아채는 또 다른 방법을 주는 호몰로지 군을 정의합니다. 그런 다음 이 구성을 뒤집어서, 공간을 구별하는 데 훨씬 더 섬세한 불변량을 주는 소위 코호몰로지 환을 얻을 것입니다.

대수기하학 I: 고전적 다양체.
우리는 고전적인 복소 다양체에 대한 고전적인 연구, 즉 $ℂ$ 위에서 다항 방정식들의 교집합에 대한 연구로부터 시작합니다. 이는 자연스럽게 우리를 환의 기하학으로 이끌어, 아이디얼을 그림으로 그리는 방법을 제공하고 힐베르트 영점정리에 동기를 부여합니다. 자리스키 위상이 그 모습을 드러낼 것이며, 그 후 우리는 사영 다양체와 유사사영 다양체를 가지고 놀아볼 것이고, 덤으로 Bézout의 정리로 잠시 우회할 것입니다. 이 모든 것이 스킴으로의 여정을 위한 준비가 됩니다.

대수기하학 II: 아핀 스킴.
이제 우리는 진지하게 그로텐디크의 아핀 스킴 정의로 파고듭니다: 이는 우리의 고전적인 다양체를 일반화한 것으로, 임의의 환 $A$에서 시작하여 그 위에 공간 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$를 구성할 수 있게 해 줍니다. 우리는 여기에 자체의 자리스키 위상을 부여한 다음 그 위에 함수들의 층을 부여하여 국소 환 달린 공간으로 만들 것이며, 이 층이 그 위의 국소화의 관점에서 효과적으로 이해될 수 있음을 알게 될 것입니다. 우리는 가환대수학의 언어가 기하학적으로 벌어지는 일을 우아하게 일반화해 줌을 알게 될 것입니다: 소 아이디얼은 기약 닫힌집합에, 근기 아이디얼은 닫힌집합에, 극대 아이디얼은 닫힌 점에 대응하는 식입니다. 이를 뒷받침하기 위해 공간과 예시들의 그림을 많이 그릴 것입니다.

집합론 I: ZFC, 순서수, 그리고 기수.
러셀의 역설은 왜 그렇게 큰 문제이며 어떻게 해결될까요? 다들 계속 이야기하는 이 초른의 보조정리란 무엇일까요? 이 부분에서는 체르멜로-프랭켈 공리와 선택 공리를 실제로 서술함으로써, 수학이 맨 밑바닥 토대에서부터 공리적으로 어떻게 세워지는지 그 세부 사항으로 파고들어 이러한 질문들에 대한 답을 배울 것입니다. 순서수와 기수를 만나고, 이들을 가지고 초한 귀납법을 수행하는 법을 배울 것입니다.

집합론 II: 모형 이론과 강제법.
연속체 가설은 자연수의 크기와 실수의 크기 사이에 어떤 기수도 존재하지 않는다는 것을 말합니다. 이는 공리들과 독립적임이 증명되었습니다 — 증명할 수도 반증할 수도 없습니다. 그런 결과가 대체 어떻게 증명될 수 있었을까요? ZF 공리에 대한 이해를 바탕으로, 약간의 모델 이론을 전개한 다음 강제법을 사용하여 연속체 가설이 참인 우주의 모델과 거짓인 우주의 모델을 통째로 구성하는 방법을 보이겠습니다.