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시작하기.
저는 첫 번째 부에 대수학과 위상수학이 조금씩 모두 들어가도록 설계했습니다. 그래서 첫 번째 장은 군을 정의하는 것으로 시작하고, 두 번째 장은 거리 공간을 정의하는 것으로 시작합니다. 이는 입문자들이 “추가 구조를 갖춘 집합”의 서로 다른 두 예를 다소 다른 맥락에서 접해 보고, 이런 종류의 정의가 계속해서 등장하므로 이를 읽어 낼 최소한의 소양을 갖추도록 하기 위함입니다.¹¹1특히, 군 동형사상을 본 뒤에 위상동형사상이 무엇인지 배우고, 연속 사상을 본 뒤에 준동형사상이 무엇인지 배우는 편이 더 쉽다고 생각합니다.

기초 추상대수학.
대수에 관심이 있는 분들은 이어서 더 다양한 대수적 구조를 깊이 탐구할 수 있습니다. 군을 좀 더 자세히 살펴본 다음, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $ℝ$, $ℂ$를 일반화할 수 있게 해 주는 환과 체를 다룹니다. 이를 통해 대수학에 등장하는 온갖 다른 명사에 익숙해지고, 이전에는 이야기할 수 없었던 수많은 대상을 다룰 수 있게 됩니다.

또한 여러분이 알고 있을 $\mathbb{Z}$에서의 최대공약수를 일반화하는 아이디얼도 다룹니다. 예를 들어, $\gcd (3,5)=1$이므로 $\mathbb{Z}$에서 모든 정수는 $a,b\in \mathbb{Z}$에 대해 $3a+5b$ 꼴로 쓸 수 있다는 것을 알고 있을 것입니다. 이 명제가 사실은 아이디얼에 관한 명제, 즉 “$\mathbb{Z}$에서 $(3,5)=1$”이라는 것을 보게 될 것이며, 이를 통해 이 명제가 어떤 상황에서 일반화될 수 있는지(예를 들어 다항식으로) 이해하게 될 것입니다.

기초 위상수학.
해석에 더 관심이 있는 분들은 대신 위상수학으로 넘어가 공간에 대해 더 배울 수 있습니다. “거리 공간”은 실은 너무 구체적이며, 이른바 열린집합에 기반한 위상 공간을 다루는 편이 더 낫다는 것을 알게 될 것입니다. 그런 다음 몇 가지 기하학적 아이디어가 싹트는 모습을 보게 되고, 마지막으로 콤팩트성이라는 정말 훌륭한 개념에 이르게 됩니다. 콤팩트성은 실해석학을 떠받치는 강력한 개념입니다.

콤팩트성을 응용한 예를 하나 들어 흥미를 돋워 보겠습니다. 연속함수 $f:[0,1]\to ℝ$는 항상 최댓값을 가집니다. (반면에 $x\mapsto 1/x$로 정의된 $f:(0,1)\to ℝ$는 그렇지 않습니다.) 그 이유가 $[0,1]$이 콤팩트이기 때문이라는 것을 보게 될 것입니다.

선형대수학.
고등학교에서 배우는 선형대수학은 대개 몹시 불만족스럽습니다. 숫자들을 늘어놓은 배열이 주어지고, 그것들을 별로 납득이 가지 않는 방식으로 조작합니다. 예를 들어 행렬식은 난데없이 튀어나온 듯한 여러 곱들로 이루어진 괴상한 모양의 합으로 정의됩니다. 이것은 대체 어디에서 온 것입니까? 이렇게 기이한 공식인데 어째서 $det(AB)=detAdetB$가 성립합니까?

그런데 이 모든 것을 설명할 수 있다는 사실이 밝혀집니다! 요령은 선형대수학을 행렬에 대한 학문이 아니라 선형 사상에 대한 학문으로 생각하는 것입니다. 앞의 장에서 우리는 “풍부한 구조를 갖춘 집합”과 “그 사이의 사상”에 대해 이야기함으로써 훌륭한 일반화를 얻는 것을 보았습니다. 이번에는 우리의 집합이 벡터 공간이고 우리의 사상이 선형 사상입니다. 행렬은 사실 선형 사상을 숫자의 배열로 적어 내는 하나의 방법일 뿐이라는 것을 알게 될 것이며, “내재적인” 정의를 사용하여 고등학교에서 배운 온갖 이상한 공식들의 신비를 벗기고 그것들이 모두 어디에서 오는지 보여 드리겠습니다.

특히 열 계수와 행 계수가 같다는 것, 행렬식이 곱셈적이라는 것, 대각합이 대각 성분의 합이라는 것의 쉬운 증명을 보게 될 것입니다. 점곱이 어떻게 작동하는지 살펴보고, “고유-”로 시작하는 모든 용어를 배우게 될 것입니다. 푸리에 해석에 관한 보너스 장도 있는데, 이 장에서는 벡터 공간에 익숙하기만 하면 온갖 거창한 유행어도 설명할 수 있다는 것을 보여 드립니다.

군에 대하여 더 알아보기.
여러분 중 일부는 군에 대해 더 알고 싶을 수도 있는데, 이 장에서는 더 깊이 다뤄 볼 수 있는 방법을 제공합니다. 먼저 군 작용을 탐구하고, 이어서 실로우 정리를 조금 다룹니다. 실로우 정리는 모든 군을 분류하려는 시도를 가능하게 해 주는 도구입니다.

표현론.
$G$가 군이라면, 이를 행렬로 구현함으로써, 즉 매장 $G\hookrightarrow \mathrm{G}\mathrm{L}{}_n(ℂ)$를 고려함으로써 이해하려고 시도할 수 있습니다. 이를 $G$의 표현이라고 하며, 표현은 기약 표현들로 분해될 수 있다는 것이 밝혀집니다. 놀랍게도 우리는 그것들을 사실상 모두 특징지을 수 있다는 것을 알게 될 것입니다. 그 결과는 간결하면서도 전혀 예상치 못한 것입니다.

예를 들어, 주어진 유한군 $G$의 기약 표현은 유한 개뿐이라는 것을 알게 될 것입니다. 이들을 $V{}_1$, $V{}_2$, …, $V{}_r$이라고 하면, $r$은 $G$의 켤레류의 개수이며, 더 나아가 다음이 성립한다는 것을 알게 될 것입니다

$$|G|=(dimV{}_1){}^2+\mathrm{\cdots }+(dimV{}_r){}^2$$

이는 난데없이 튀어나온 결과입니다!

이 부의 마지막 장에서는 몇 가지 뜻밖의 따름정리를 보여 드립니다. 그중 하나를 소개하겠습니다. $G$를 유한군이라 하고 각 $g\in G$에 대해 변수 $x{}_g$를 만듭니다. $(g,h)$번째 성분을 변수 $x{}_{g\cdot h}$로 두어 $|G|\times |G|$ 행렬 $M$을 정의합니다. 그러면 이 행렬식은 인수분해되며, 그 인수들은 위에서 설명한 $V{}_i$에 대응한다는 것이 밝혀집니다. 즉, 차수가 $dimV{}_i$인 기약 인수가 $dimV{}_i$번 나타납니다. 프로베니우스 행렬식이라고 불리는 이 결과가 표현론을 탄생시켰다고 합니다.

양자 알고리즘.
쇼어 알고리즘이 무엇인지 궁금했던 적이 있다면, 이 장에서 지금까지 쌓아 온 선형대수학을 이용하여 알려 드리겠습니다!

미적분학 101.
이 부에서는 지금까지 쌓아 온 거리 공간과 위상 공간에 대한 지식을 이용하여, 고등학교 미적분학에서 흔히 볼 수 있는 정의와 정리를 짧고 엄밀하게 제시하겠습니다. 즉, 여러분이 극한, 급수, 도함수, 적분에 관해 보아 온 거의 모든 것을 제대로 정의하고 증명하겠습니다.

이것이 부담스럽게 보일 수도 있지만, 실제로는 이 장을 시작할 즈음이면 어려운 작업은 이미 끝나 있습니다: 극한, 열린집합, 콤팩트성의 개념을 이용하면 AP 미적분학에서 대충 덮어 두고 넘어갔던 내용을 손쉽게 처리할 수 있습니다. 따라서 대부분의 증명은 실제로 상당히 짧습니다. 앞서 위상수학을 꼼꼼히 공부한 보상으로, 우리는 느긋하게 앉아 모든 조각이 천천히 맞춰지는 것을 지켜보면 됩니다.

그렇기는 하지만, 의심을 잠시 접어 둘 의향이 있다면 여기 나오는 미적분학의 세부 사항을 정확히 알지 못해도 다른 부의 대부분을 실제로 읽을 수 있으므로, 어떤 의미에서 이 부는 “선택 사항”입니다.

복소해석학.
정칙 함수(복소 미분 가능 함수)는 지금까지 존재하는 것 중 가장 좋은 대상에 가깝습니다. 정칙 함수는 테일러 급수로 주어지며, 즉 본질적으로 다항식입니다. 따라서 정칙 함수 $ℂ\to ℂ$에 대해 터무니없을 만큼 좋은 결과들을 증명할 수 있게 됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

• –

  단 몇 개의 입력값만으로 결정된다는 점,

• –

  경로 적분이 모두 0이라는 점,

• –

  상수 함수가 아니면 유계일 수 없다는 점,

• –

  ….

그다음으로 정칙 함수의 몫과 같은 유리형 함수를 도입하고, 평면에 고리를 그려 그 위에서 적분하기만 하면 유리형 함수의 영점을 찾아낼 수 있다는 사실을 알게 됩니다: 이렇게 해서 유명한 유수 정리가 등장합니다. (연습 문제에서는 이것이 다른 방법으로는 계산할 수 없는 실적분을 계산하는 방법까지 제공한다는 것을 보게 될 것입니다.)

측도론.
측도론은 적분을 한층 발전시킨 이론입니다. 리만 적분은 많은 목적에 비추어 볼 때 그다지 충분하지 않습니다. 예를 들어 $f$가 유리수에서는 $1$이고 무리수에서는 $0$인 함수라면 $\int {}_0{}^{1}f(x)dx=0$이기를 기대하겠지만, 리만 적분으로는 이 함수 $f$를 다룰 수 없습니다.

르베그 적분은 일반적인 공간 $\mathrm{\Omega }$에 측도를 부여하여 이를 측도 공간으로 만듦으로써 이러한 결함을 해결합니다. 이를 통해 “유리수의 측도가 0”이므로 위의 적분이 실제로 0이 되는, 더 풍부한 적분 이론을 전개할 수 있습니다. 측도를 전개하는 것 자체도 하나의 성취가 될 것입니다. $ℝ{}^n$뿐만 아니라 임의의 공간에서 넓이나 부피 같은 개념이 무엇을 의미하는지를 엄밀하고 완전하게 논할 방법을 마련했다는 뜻이기 때문입니다! 따라서 예를 들어 르베그 적분을 이용하면 임의의 측도 공간 위에서 함수를 적분할 수 있습니다.

확률론 (작성 예정).
측도론의 도구를 이용하면 확률에 대해서도 엄밀한 정의를 내리기 시작할 수 있습니다. 확률 변수가 실제로는 세계들로 이루어진 측도 공간에서 $ℝ$로 가는 함수이며, 이를 통해 그 확률을 엄밀하게 논할 수 있다는 것을 보게 될 것입니다. 그러고 나면 큰 수의 법칙이나 중심극한정리 같은 결과를 서술하기도 쉽고 증명하기도 간단한 방식으로 실제로 서술하기 시작할 수 있습니다.

미분기하학.
다변수 미적분학은 수많은 편미분 때문에 대개 혼란스럽습니다. 그러나 선형대수학에 대한 탄탄한 이해로 무장하면, 우리가 실제로 보고 있는 것은 전미분이라는 것을 알게 될 것입니다. 함수 $f:ℝ{}^n\to ℝ$의 모든 점에 선형 사상 $Df$를 대응시킬 수 있으며, 이 사상은 편미분이라는 개념을 하나의 대상에 담아냅니다. 이렇게 설정하면 미분 형식과 스토크스 정리의 여러 형태를 보게 될 것이며, 마침내 $dx$라는 표기가 진정으로 무엇을 의미하는지 알게 될 것입니다. 마지막으로 다양체 일반에 대해 조금 이야기하겠습니다.

대수적 정수론 I: 정수환.
왜 $3+\sqrt{5}$는 $3-\sqrt{5}$의 켤레입니까? 펠 방정식에 쓰이는 노름 $\parallel a+b\sqrt{5}\parallel =a{}^2-5b{}^2$은 어째서 공교롭게도 곱셈적입니까? 왜 $\mathbb{Z}[i]$에서는 소수로 인수분해할 수 있는데 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$에서는 할 수 없습니까? 이 모든 질문과 그 밖의 여러 질문에 대한 답은 이 부에서 $\mathbb{Q}$와 $\mathbb{Z}$를 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$나 $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ 같은 대상으로 일반화한 수체에 대해 배우면서 얻게 될 것입니다. 소 아이디얼로의 유일 인수분해가 성립한다는 것, 여기에 진정한 곱셈적 노름이 작용하고 있다는 것 등을 알게 될 것입니다. 또한 펠 방정식이 이 이론으로부터 자연스럽게 도출된다는 것도 보게 될 것입니다.

대수적 정수론 II: 갈루아 이론과 분기 이론.
이제 굵직한 전문 용어들이 모두 등장합니다. 갈루아 군, 프로베니우스와 그 친구들입니다. 이차 상호 법칙이 프로베니우스 원소가 보이는 성질의 그림자에 불과하다는 것을 보게 되고, $a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$ 꼴인 소수가 무한히 많다는 디리클레 정리를 크게 일반화하는 체보타료프 밀도 정리도 만나게 됩니다. 끝부분에서는 유체론의 위대한 결과 중 하나인 아르틴 상호 법칙을 서술하고, 이것이 이차 상호 법칙과 삼차 상호 법칙을 어떻게 일반화하는지도 살펴봅니다.

대수적 위상수학 I: 호모토피.
고리 영역과 원판의 차이는 무엇입니까? 한쪽에는 “구멍”이 있지만, 내재적인 위상 공간만 주어진다면 이 개념을 엄밀하게 만들기는 어렵습니다. 기본군 $\pi {}_1(X)$와 더 일반적인 호모토피 군이 이를 엄밀하게 만들어 줄 것입니다 — 공간에 올가미를 던져 넣고 그것을 끌어당겨 회수할 수 있는지 살펴봄으로써, 모든 위상 공간 $X$에 대해 공간에 구멍이 있다는 생각을 담아내는 아벨 군 $\pi {}_1(X)$를 정의하는 방법을 찾을 것입니다.

놀랍게도 기본군 $\pi {}_1(X)$는 가벼운 조건 아래에서 이른바 피복 사영으로 $X$를 덮는 방법들에 대해 알려 줍니다. 한 가지 그림은 실직선 $ℝ$을 나선 모양으로 감은 다음 원 $S{}^1$ 위로 사영하는 것입니다. 이것은 $\pi {}_1(S{}^1)=\mathbb{Z}$라는 사실에 대응하는 것으로 드러날 것입니다. 더 일반적으로, $\pi {}_1(X)$의 부분군들은 공간 $X$를 덮는 방법들과 전단사 대응을 이룹니다!

범주론.
체, 군, 다양체, 거리 공간, 측도 공간, 가군, 표현, 환, 위상 공간, 벡터 공간은 모두 어떤 공통점을 가지고 있습니까? 답은 이것들이 모두 그들 사이의 사상을 갖춘 “추가 구조를 가진 대상”이라는 것입니다.

범주라는 개념은 이것들을 모두 적절히 일반화합니다. 온갖 종류의 구성과 아이디어가 범주라는 틀로 추상화될 수 있음을 보게 됩니다. 이 틀에서는 대상이 구체적으로 무엇인지 너무 깊이 파고들지 않고, 오직 대상과 그 사이의 화살표만을 생각합니다. 그 결과 수많은 가환 도식을 그리게 됩니다.

예를 들어 한 범주의 대상을 받아 다른 대상을 얻는 방법(예컨대 위에서 본, 공간의 범주에서 군의 범주로 가는 $\pi {}_1$)은 대개 함자일 것입니다. $G\times H$, $X\times Y$, $R\times S$를 비롯하여 $\times$ 기호가 붙은 모든 것을 곱이라는 개념으로 통합하고, 더 나아가 이를 극한이라는 개념으로 한층 더 일반화합니다. 끝부분에서는 아벨 범주를 다루고, 유명한 뱀 보조정리, 다섯 보조정리 등을 이야기합니다.

대수적 위상수학 II: 호몰로지.
이어서 범주론의 언어를 사용하여 대수적 위상수학의 모험을 재개합니다. 여기서는 공간의 구멍을 알아차리는 또 다른 방법을 제공하는 호몰로지 군을 정의합니다. 이 방법은 정의하기에는 더 길지만 실제로 계산하기에는 더 쉽습니다. 그런 다음 이 구성을 뒤집어 이른바 코호몰로지 환을 얻습니다. 코호몰로지 환은 공간을 구별하는 데 훨씬 더 섬세한 불변량을 제공합니다.

대수기하학 I: 고전적 대수다양체.
먼저 고전적인 복소 다양체, 즉 $ℂ$ 위의 다항식 방정식들의 교집합에 대한 고전적인 연구로 시작합니다. 이는 자연스럽게 환의 기하학으로 이어지며, 아이디얼의 그림을 그리는 방법을 제공하고 힐베르트 영점정리의 동기를 부여합니다. 자리스키 위상이 모습을 드러낼 것이고, 그다음에는 사영 다양체와 준사영 다양체를 다루며, 덤으로 Bézout 정리에도 잠시 들르겠습니다. 이 모든 것이 스킴으로의 여정을 위한 준비가 됩니다.

대수기하학 II: 아핀 스킴.
이제 본격적으로 그로텐디크의 아핀 스킴 정의를 깊이 파고들겠습니다. 아핀 스킴은 고전적인 다양체의 일반화로서, 임의의 환 $A$에서 출발하여 그 위에 공간 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$를 구성할 수 있게 해 줍니다. 이 공간에 고유한 자리스키 위상을 부여하고 이어서 그 위의 함수들의 층을 부여하여 국소환 달린 공간으로 만들 것이며, 그 층이 그 위에서의 국소화를 통해 효과적으로 이해될 수 있음을 알게 될 것입니다. 가환대수학의 언어가 기하학적으로 일어나는 일에 대한 우아한 일반화를 제공한다는 것도 알게 될 것입니다. 소 아이디얼은 기약 닫힌 부분집합에, 근기 아이디얼은 닫힌 부분집합에, 극대 아이디얼은 닫힌 점에 대응하는 식입니다. 이에 곁들여 공간과 예시의 그림을 많이 그려 보겠습니다.

집합론 I: ZFC, 순서수, 기수.
러셀의 역설은 왜 그렇게 중대한 문제이며, 어떻게 해결됩니까? 모두가 계속 이야기하는 초른 보조정리란 무엇입니까? 이 부에서는 체르멜로-프렝켈 공리계와 선택 공리를 실제로 서술하고, 수학이 가장 밑바닥의 기초에서 어떻게 공리적으로 구축되는지 세부 사항을 파고들어 이러한 질문들의 답을 알아봅니다. 순서수와 기수를 만나고, 이를 이용해 초한 귀납법을 수행하는 방법을 배웁니다.

집합론 II: 모형 이론과 강제법.
연속체 가설은 자연수 집합의 크기와 실수 집합의 크기 사이에 어떤 기수도 존재하지 않는다고 주장합니다. 이 가설은 공리계와 독립적임이 증명되었습니다 — 증명할 수도 반증할 수도 없습니다. 그런 결과를 도대체 어떻게 증명할 수 있겠습니까? ZF 공리계에 대한 이해를 바탕으로 모형 이론을 약간 전개한 다음, 강제법을 사용하여 연속체 가설이 참이거나 거짓인 우주의 모형 전체를 구성하는 방법을 보입니다.