장 74 보너스: 세포 호몰로지

이제 세포 호몰로지를 소개합니다. 세포 호몰로지를 사용하면 원하는 CW 복합체라면 무엇이든 그 호몰로지 군을 사실상 계산할 수 있습니다.

74.1 차수

대표적인 예: $z\mapsto z^{d}$ 의 차수는 $d$ 입니다.

임의의 $n>0$ 과 사상 $f\colon S^{n}\to S^{n}$ 에 대하여 다음을 생각합시다.

f_{\ast}\colon\underbrace{H_{n}(S^{n})}_{\cong\mathbb{Z}}\to\underbrace{H_{n}(% S^{n})}_{\cong\mathbb{Z}}

이는 어떤 상수 $d$ 에 의한 곱셈이어야 합니다. 이 $d$ 를 $f$ 의 차수라 하고, $\deg f$ 로 표기합니다.

질문 74.1.1.

$\deg(f\circ g)=\deg(f)\deg(g)$ 임을 보이십시오.

예제 71.2.12에서 언급했듯이, 대략적으로 말하면 다음과 같습니다.

$\deg f$ 는 $\operatorname{im}f$ 가 $S^{n}$ 을 몇 번 감는지를 셉니다.

또는, $\operatorname{im}f$ 가 몇 개의 “ $S^{n}$ 주머니”로 이루어져 있는지를 셉니다.

예제 74.1.2 (차수).

(a)

$n=1$ 일 때, ( $S^{1}\subseteq\mathbb{C}$ 로 보면) 사상 $z\mapsto z^{k}$ 의 차수는 $k$ 입니다.
(b)

반사 사상 $(x_{0},x_{1},\dots,x_{n})\mapsto(-x_{0},x_{1},\dots,x_{n})$ 의 차수는 $-1$ 입니다. 이를 증명하지는 않겠지만, 기하학적으로는 분명할 것입니다.
(c)

대척 사상 $x\mapsto-x$ 는 위와 같은 반사 $n+1$ 개의 합성이므로 차수가 $(-1)^{n+1}$ 입니다. 이 사상을 $-\mathrm{id}$ 로 나타냅니다.

당연히, $f$ 와 $g$ 가 호모토픽하면 $\deg f=\deg g$ 입니다. 사실 호프(Hopf)의 정리에 따르면 이것은 분류 불변량입니다. 즉, $\deg f=\deg g$ 이기만 하면 $f$ 와 $g$ 는 호모토픽합니다.

이것의 멋진 응용 하나는 다음과 같습니다.

정리 74.1.3 (털북숭이 공 정리).

$n>0$ 이 짝수이면, $S^{n}$ 전체에 걸쳐 0이 아닌 접벡터들로 이루어진 연속적인 벡터장은 존재하지 않습니다.

증명.

벡터들이 0이 아니라면 일반성을 잃지 않고 그 노름이 $1$ 이라고 할 수 있습니다. 즉, 모든 $x$ 에 대하여 직교하는 단위 벡터 $v(x)$ 가 있습니다. 그러면 호모토피 사상 $F\colon S^{n}\times[0,1]\to S^{n}$ 을 다음과 같이 구성할 수 있습니다.

(x,t)\mapsto(\cos\pi t)x+(\sin\pi t)v(x).

이것은 $\mathrm{id}$ 에서 $-\mathrm{id}$ 로의 호모토피를 줍니다. 따라서 $\deg(\mathrm{id})=\deg(-\mathrm{id})$ 이고, 이는 $1=(-1)^{n+1}$ 을 뜻하므로 $n$ 은 홀수여야 합니다. ∎

물론 $n$ 이 홀수일 때는 언제나 그러한 벡터장을 구성할 수 있습니다. 구체적인 예로, $n=1$ 일 때의 그러한 벡터장을 아래에 그려 두었습니다.

74.2 세포 사슬 복합체

시작하기 전에 다음을 서술합니다.

보조정리 74.2.1 (CW 호몰로지 군).

$X$ 가 CW 복합체라고 합시다. 그러면

	$\displaystyle H_{k}(X^{n},X^{n-1})$	$\displaystyle\cong\begin{cases}\mathbb{Z}^{\oplus\text{$X$의 \#$n$-세포}}&k=n\\ 0&\text{그 외의 경우}.\end{cases}$
그리고
	$\displaystyle H_{k}(X^{n})$	$\displaystyle\cong\begin{cases}H_{k}(X)&k\leq n-1\\ 0&k\geq n+1.\end{cases}$

증명.

첫 번째 부분은 $(X^{n},X^{n-1})$ 이 정리 73.4.3의 가정을 만족한다는 점에 주목하면 바로 따라 나옵니다. 따라서 $H_{k}(X^{n},X^{n-1})\cong\widetilde{H}_{k}(X^{n}/X^{n-1})$ 이고, $X^{n}/X^{n-1}$ 은 여러 개의 $n$ -구면의 쐐기합입니다.

예를 들어, $n=2$ 일 때는 다음과 같습니다(여기서 “구”는 풍선 모양의 덩어리로 그려져 있습니다):

두 번째 부분에서는 $k$ 를 고정하고, $n\leq k-1$ 또는 $n\geq k+2$ 이기만 하면 다음이 성립함에 주목하십시오.

\underbrace{H_{k+1}(X^{n},X^{n-1})}_{=0}\to H_{k}(X^{n-1})\to H_{k}(X^{n})\to% \underbrace{H_{k}(X^{n},X^{n-1})}_{=0}.

따라서 다음 동형사상들을 얻습니다.

H_{k}(X^{k-1})\cong H_{k}(X^{k-2})\cong\dots\cong H_{k}(X^{0})=0

그리고

H_{k}(X^{k+1})\cong H_{k}(X^{k+2})\cong\dots\cong H_{k}(X).\qed

따라서 군 $H_{k}(X^{k},X^{k-1})$ 은 아주 좋은 성질을 가진다는 것을 알 수 있습니다. 이 군들은 $X$ 의 세포들을 기저로 하는 자유 아벨 군입니다. 그러므로 여기에 이름을 붙이겠습니다.

정의 74.2.2.

CW 복합체 $X$ 에 대하여 다음과 같이 정의합니다.

\operatorname{Cells}_{k}(X)=H_{k}(X^{k},X^{k-1})

여기서 관례에 따라 $\operatorname{Cells}_{0}(X)=H_{0}(X^{0},\varnothing)=H_{0}(X^{0})$ 입니다. 따라서 $\operatorname{Cells}_{k}(X)$ 는 $X$ 의 $k$ -세포들을 기저로 하는 아벨 군입니다.

이제 $\operatorname{Cells}_{k}=H_{k}(X^{k},X^{k-1})$ 를 사용하여, 긴 완전열을 이용해 이들 사이의 사상들을 한데 이어 봅시다. 다음 도식을 살펴보십시오.

요점은 인접한 뼈대들로부터 생성되는 모든 완전열을 가져와 군 $H_{k}(X^{k})$ 에서 한데 이었다는 것이며, 완전열의 절반은 세로로, 나머지 절반은 가로로 배치되어 있습니다.

이 경우, 그림과 같이 합성을 통해 $H_{k}(X^{k},X^{k-1})$ 사이에 파란색 사상들의 열이 생성됩니다.

질문 74.2.3.

인접한 두 파란색 화살표의 합성이 0임을 보이십시오.

따라서 위의 도식으로부터 다음과 같은 화살표들의 열을 읽어낼 수 있습니다.

\dots\xrightarrow{d_{5}}\operatorname{Cells}_{4}(X)\xrightarrow{d_{4}}% \operatorname{Cells}_{3}(X)\xrightarrow{d_{3}}\operatorname{Cells}_{2}(X)% \xrightarrow{d_{2}}\operatorname{Cells}_{1}(X)\xrightarrow{d_{1}}\operatorname% {Cells}_{0}(X)\xrightarrow{d_{0}}0.

이것은 사슬 복합체이며, 세포 사슬 복합체라고 부릅니다. 앞서 언급했듯이 모든 호몰로지 군은 자유군이지만, 이 군들은 특히 좋은 성질을 가집니다. 대부분의 합리적인 CW 복합체에 대해 이 군들은 유한 생성되기도 하기 때문입니다(앞서 다루었던 거대한 $C_{\bullet}(X)$ 와는 다릅니다). 다시 말해, $H_{k}(X^{k},X^{k-1})$ 은 실제로 다룰 수 있는 특히 좋은 “구체적인” 자유군입니다.

우리가 이에 관심을 가지는 또 다른 이유는 사실 다음이 성립하기 때문입니다.

정리 74.2.4 (세포 사슬 복합체로 얻는 $H_{n}(X)$ ).

세포 사슬 복합체의 $k$ 번째 호몰로지 군은 $H_{k}(X)$ 와 동형입니다.

증명.

도식으로부터 따라 나옵니다. 문제 74D를 참고하십시오. ∎

74.3 여담: 호몰로지 군들은 왜 같습니까?

이를 설명하는 또 다른 직관이 있습니다 — 대략적으로 말하면,

H_{k}(\operatorname{Cells}_{\bullet}(X))=\frac{\text{정렬된 순환}}{\text{정렬된 경계}}=% \frac{\text{정렬된 순환}\times\text{잡음}}{\text{정렬된 경계}\times\text{잡음}}=\frac{\text{% 순환}}{\text{경계}}=H_{k}(X).

설명하겠습니다. 다음과 같이 생긴 CW 복합체 $X$ 를 생각해 보십시오. 여기서 $X^{1}$ 은 빨간색으로 그려져 있습니다. 각 파란색 영역은 하나의 $2$ -세포에 대응합니다.

그런 다음, 다음 그림을 보십시오.

내용이 많아 보이니 설명하겠습니다.

•

첫 번째 그림은 $C_{1}(X^{1})$ 의 전형적인 원소를 나타냅니다 — 즉, $X^{1}$ 에 포함된 $1$ -사슬로서, $\Delta^{1}$ 에서 $X^{1}$ 로 가는 두 사상의 형식적 합이며, 그 상은 검은색 화살표로 그려져 있습니다.

사상들의 상만 나타나 있으며, 단체 $\Delta^{1}$ 의 어느 점이 $X^{1}$ 안의 어느 점으로 보내지는지와 같은 정보는 표시되어 있지 않다는 점에 유의하십시오 — 서로 다른 연속 사상은 $C_{1}(X^{1})$ 의 서로 다른 원소를 낳지만 말입니다.
•

두 번째 그림은 $Z_{1}(X^{1},X^{0})$ 의 전형적인 원소, 즉 상대 순환을 나타냅니다.

상대 순환이나 군 $Z_{1}(X^{1},X^{0})$ 이 무엇인지 정식으로 정의한 적은 없지만, $Z_{1}(X^{1})$ 의 정의로부터 그 정의를 짐작할 수 있습니다 — 이는 $C_{1}(X^{1},X^{0})=C_{1}(X^{1})/C_{1}(X^{0})$ 에서 경계가 사라지는 원소들로 이루어진 부분군입니다.

아래쪽 고리가 납작하게 그려진 것은 단지 보기 좋게 하기 위해서일 뿐입니다 — 전체가 빨간 뼈대, 즉 $X^{1}$ 안에 들어 있습니다.

물론 몫의 원소이므로 대표원 하나만 그려져 있습니다 — “나누어 없앤” 부분은 $X^{0}$ 안에 완전히 포함되는 사슬, 즉 몇몇 꼭짓점입니다.
•

세 번째 그림은 $B_{1}(X^{1},X^{0})$ 의 전형적인 원소, 즉 상대 경계를 나타냅니다.

이것은 $\operatorname{im}\left(C_{2}(X^{1},X^{0})\xrightarrow{\partial}C_{1}(X^{1},X^{% 0})\right)$ 에 속합니다 — 말로 풀어 쓰면, 경계가 그려진 원소와 같은 어떤 $2$ -사슬이 존재한다는 뜻입니다.
•

네 번째 그림은 $\operatorname{Cells}_{1}(X)$ 의 전형적인 원소, 즉 “상대 경계를 법으로 한 상대 순환”을 나타냅니다.

이 군이 $X$ 의 각 $1$ -세포로 생성되는 아벨 군과 어떻게 동형인지는 직관적으로 명백하기를 바랍니다.

사실 이 원소들 각각을 모든 끝점이 꼭짓점 안에 놓이는(즉, 그 원소의 경계가 $X^{0}$ 안에 있는) $C_{1}(X^{1})$ 의 “정렬된 원소”로 생각할 수 있으며, 각 $1$ -세포마다 그 세포를 덮는 표준적인 $1$ -단체 하나가 선택됩니다(같은 상을 갖는 서로 다른 단체들은 직관적으로 속력을 바꾸는 “재매개화”에 해당하며, 단체와 그 재매개화의 차는 사실 $B_{1}(X^{1},X^{0})$ 의 원소라는 점에 유의하십시오 — 이를 엄밀하게 만들어 보십시오! 힌트: 프리즘 연산자를 사용하십시오.)
•

다섯 번째 그림은 다음 군의 전형적인 원소를 나타냅니다.

$\ker\left(\operatorname{Cells}_{1}(X)\xrightarrow{\partial}\operatorname{Cells% }_{0}(X)\right)$

이는 “세포 순환”, 즉 위에서 설명한 의미로 “정렬된” $1$ -순환( $Z_{1}(X)$ 의 원소)으로 생각할 수 있습니다.
•

여섯 번째 그림은 다음 군의 전형적인 원소를 나타냅니다.

$\operatorname{im}\left(\operatorname{Cells}_{2}(X)\xrightarrow{\partial}% \operatorname{Cells}_{1}(X)\right)$

이는 “세포 경계”, 즉 위와 같은 의미로 “정렬된” $1$ -경계( $B_{1}(X)$ 의 원소¹¹1이것은 $B_{1}(X^{1})$ 의 원소가 아닙니다! 그 이유를 생각해 보십시오.)로 생각할 수 있습니다.
•

마지막으로, 마지막 그림은 $H_{1}(\operatorname{Cells}_{\bullet}(X))$ 이며, 이는 다음과 같습니다.

$H_{1}(\operatorname{Cells}_{\bullet}(X))=\frac{\ker\left(\operatorname{Cells}_% {1}(X)\xrightarrow{\partial}\operatorname{Cells}_{0}(X)\right)}{\operatorname{% im}\left(\operatorname{Cells}_{2}(X)\xrightarrow{\partial}\operatorname{Cells}% _{1}(X)\right)}.$

또는, 대략적으로 말하면 다음과 같습니다.

$H_{1}(\operatorname{Cells}_{\bullet}(X))=\frac{\text{정렬된 순환}}{\text{정렬된 경계}}.$

이것이 $\frac{\text{정렬된 순환}}{\text{정렬된 경계}}=\frac{\text{순환}}{\text{경계}}$ 가 의미하는 바입니다. 적절한 형식화와 표준 단체의 임의 선택을 통해,²²2엄밀히 말하면 $X$ 위의 이른바 $\Delta$ -복합체 구조가 필요하지만, Napkin에서는 $\Delta$ -구조를 정의하지 않습니다. 자세한 내용은 [HAT02]를 참고하십시오. 위의 논증을 엄밀하게 만들 수 있습니다.

“흐릿함”이란 무엇을 뜻하는 것입니까? 이 부분은 명백하기를 바라지만, 요점은 정렬된 순환을 (재매개화하거나 $B_{1}(X^{1},X^{0})$ 의 원소를 더하여) 조금 “움직여도” 여전히 순환(즉, $Z_{1}(X)$ 의 원소)으로 남는다는 것입니다. 정렬된 경계에 대해서도 마찬가지입니다.

따라서 요점은 — 분자와 분모에 공통으로 있는 흐릿함 인자를 “약분”할 수 있고, 그래도 결과는 그대로라는 것입니다.

단체 근사에 대한 형식적인 논의는 [HAT02]를 참고하십시오.

74.4 응용: 베티 수를 통한 오일러 지표

이것의 좋은 응용 중 하나는 유한 CW 복합체 $X$ 의 오일러 지표를 정의하는 것입니다. 물론 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\chi(X)=\sum_{n}(-1)^{n}\cdot\#(\text{$X$의 $n$-세포})

이는 익숙한 $V-E+F$ 공식을 일반화합니다. 그러나 이 정의는 CW 복합체의 선택에 의존하므로 만족스럽지 않습니다. 실제로 우리는 $\chi(X)$ 가 (어떻게 구성되었는지가 아니라) 공간 $X$ 자체에만 의존하기를 원합니다. 이를 염두에 두고, 다음을 증명합니다.

정리 74.4.1 (베티 수를 통한 오일러 지표).

임의의 유한 CW 복합체 $X$ 에 대하여 다음이 성립합니다.

\chi(X)=\sum_{n}(-1)^{n}\operatorname{rank}H_{n}(X).

따라서 $\chi(X)$ 는 CW 분해의 선택에 의존하지 않습니다. 다음 수들

b_{n}=\operatorname{rank}H_{n}(X)

이를 $X$ 의 베티 수라고 합니다. 실제로 이를 이용하면 임의의 적당한 공간에 대해 $\chi(X)$ 를 정의할 수 있습니다. $X$ 가 CW 복합체인 (흔한) 경우에는 이 정의가 오일러 지표의 일반적인 정의와 일치하므로 만족스럽습니다.

증명.

$0\to A\to B\to C\to D\to 0$ 이 완전하면 $\operatorname{rank}B+\operatorname{rank}D=\operatorname{rank}A+\operatorname{% rank}C$ 라는 사실을 인용합니다. 그러면 예를 들어 다음 행에

이를 적용하면 세포 도식에서 다음을 얻습니다.

\#(\text{$2$-세포})+\operatorname{rank}H_{1}(X)=\operatorname{rank}H_{2}(X^{2})+% \operatorname{rank}H_{1}(X^{1}).

더 일반적으로,

\#(\text{$k$-세포})+\operatorname{rank}H_{k-1}(X)=\operatorname{rank}H_{k}(X^{k}% )+\operatorname{rank}H_{k-1}(X^{k-1})

이는 $H_{-1}$ 항을 버리면 $k=0$ 일 때에도 성립합니다( $\#\text{$0$-세포}=\operatorname{rank}H_{0}(X^{0})$ 임은 자명하기 때문입니다). 여기에 $(-1)^{k}$ 를 곱하고 $k\geq 0$ 에 걸쳐 합하면 결론을 얻습니다. ∎

예제 74.4.2 (베티 수의 예).

(a)

$S^{n}$ 의 베티 수는 $b_{0}=b_{n}=1$ 이고 나머지는 0입니다. 오일러 지표는 $1+(-1)^{n}$ 입니다.
(b)

원환면 $S^{1}\times S^{1}$ 의 베티 수는 $b_{0}=1$ , $b_{1}=2$ , $b_{2}=1$ 이고 나머지는 0입니다. 따라서 오일러 지표는 $0$ 입니다.
(c)

$\mathbb{CP}^{n}$ 의 베티 수는 $b_{0}=b_{2}=\dots=b_{2n}=1$ 이고 나머지는 0입니다. 따라서 오일러 지표는 $n+1$ 입니다.
(d)

클라인 병의 베티 수는 $b_{0}=1$ , $b_{1}=1$ 이고 나머지는 0입니다. 따라서 오일러 지표는 $0$ 으로 구와 같습니다(두 공간의 CW 구조가 같은 개수의 세포를 사용한다는 점에서도 알 수 있습니다).

“좋은” 공간인 $S^{n}$ , $S^{1}\times S^{1}$ , $\mathbb{CP}^{n}$ 에서는 베티 수에 멋진 대칭성, 즉 $b_{k}=b_{n-k}$ 가 있음을 알 수 있습니다. 이는 더 일반적으로도 성립합니다. 푸앵카레 쌍대성과 문제 76A를 참고하십시오.

74.5 세포 경계 공식

실제로 사상 $d_{n}$ 이 무엇인지 명시적으로 기술할 수 있습니다. $H_{k}(X^{k},X^{k-1})$ 가 $X$ 의 $k$ -세포들을 기저로 가진다는 것을 떠올리면 다음을 얻습니다.

정리 74.5.1 ( $k=1$ 에 대한 세포 경계 공식).

$k=1$ 일 때

d_{1}\colon\operatorname{Cells}_{1}(X)\to\operatorname{Cells}_{0}(X)

는 그저 경계 사상입니다.

정리 74.5.2 ( $k>1$ 에 대한 세포 경계).

$k>1$ 을 양의 정수라고 합시다. $e^{k}$ 를 $k$ -세포라 하고, $\{e_{\beta}^{k-1}\}_{\beta}$ 를 $X$ 의 모든 $(k-1)$ -세포라고 합시다. 그러면

d_{k}\colon\operatorname{Cells}_{k}(X)\to\operatorname{Cells}_{k-1}(X)

는 기저 원소에 대해 다음과 같이 주어집니다.

d_{k}(e^{k})=\sum_{\beta}d_{\beta}e_{\beta}^{k-1}

여기서 $d_{\beta}$ 는 다음 합성 사상의 차수입니다.

S^{k-1}=\partial e^{k}\xrightarrow{\text{붙이기}}X^{k-1}\twoheadrightarrow S_{% \beta}^{k-1}.

여기서 첫 번째 화살표는 $e^{k}$ 의 부착 사상이고, 두 번째 화살표는 $X^{k-1}\setminus e^{k-1}_{\beta}$ 를 한 점으로 붕괴시키는 몫 사상입니다.

여기서 차수는 무슨 역할을 할까요? 기저 원소 $e^{k}\in\operatorname{Cells}_{k}(X)$ 는 그저 하나의 $k$ -세포이며, 그 경계는 그저 그 경계를 이루는 세포들이어야 한다는 점을 기억하십시오.

위와 같은 시각화를 이용하면 다음과 같은 것을 할 수 있습니다.

하지만 그렇게 쉽지는 않습니다! CW 복합체에서는 $k$ -세포의 경계가 $X^{k-1}$ 의 임의의 점들에 융합될 수 있으므로, $k$ -세포의 “변”이 반드시 $(k-1)$ -세포일 필요는 없다는 점에 유의하십시오.

설상가상으로 때로는 중복된 변이 있을 수도 있습니다 — 클라인 병에서는 그림에 나타난 마주 보는 두 변의 각 쌍이 실제로는 같은 변이며, 방향이 서로 다를 수도 있습니다.

이런 경우에는 각 변의 중복도를 세어야 합니다 — 그리고 이것이 바로 사상의 차수가 세는 것입니다! 곧 클라인 병의 호몰로지 군을 계산하는 명시적인 예를 보겠습니다.

이로써 CW 복합체의 호몰로지 군을 계산하는 알고리즘을 얻습니다.

•

$\operatorname{Cells}_{k}(X)$ 가 $\mathbb{Z}^{\oplus\#\text{$k$-세포}}$ 인 세포 사슬 복합체를 구성하십시오.
•

$d_{1}\colon\operatorname{Cells}_{1}(X)\to\operatorname{Cells}_{0}(X)$ 는 단순히 경계 사상입니다(따라서 $d_{1}(e^{1})$ 은 두 끝점의 차입니다).
•
임의의 $k>1$ 에 대해 기저 원소에서의 $d_{k}\colon\operatorname{Cells}_{k}(X)\to\operatorname{Cells}_{k-1}(X)$ 를 다음과 같이 계산합니다. 각 $k$ -세포 $e^{k}$ 마다 다음을 반복하십시오.
- –
  
  모든 $k-1$ 세포 $e^{k-1}_{\beta}$ 에 대해 $e^{k-1}_{\beta}$ 의 경계에 붙인 $e^{k}$ 의 경계의 차수를 계산하고, 이를 $d_{\beta}$ 라 합시다.
- –
  
  그러면 $d_{k}(e^{k})=\sum_{\beta}d_{\beta}e^{k-1}_{\beta}$ 입니다.
•

이제 세포 사슬 복합체의 사상들을 얻었으므로, (핵을 상으로 나눈 몫을 취하여) 호몰로지를 직접 계산할 수 있습니다.

예를 들어 이를 이용하여 원환면의 호몰로지 군을 다시 계산할 수 있으며, 클라인 병과 다른 공간들의 호몰로지 군도 계산할 수 있습니다.

예제 74.5.3 (원환면의 세포 호몰로지).

앞에서와 같이 $e^{0}$ , $e^{1}_{a}$ , $e^{1}_{b}$ , $e^{2}$ 로 만들어진 원환면을 생각하십시오. 여기서 $e^{2}$ 는 단어 $aba^{-1}b^{-1}$ 를 통해 붙여집니다. 예를 들어 $X^{1}$ 은 다음과 같습니다.

세포 사슬 복합체는 다음과 같습니다.

이제 세포 경계 공식을 적용하십시오.

•

$d_{1}$ 이 경계 공식이었음을 상기하십시오. $d_{1}(e^{1}_{a})=e_{0}-e_{0}=0$ 이고, 마찬가지로 $d_{1}(e^{1}_{b})=0$ 입니다. 따라서 $d_{1}=0$ 입니다.
•

$d_{2}$ 에 대해서는 경계 $e^{2}$ 의 $e^{1}_{a}$ 위로의 상을 생각하십시오. 이는 $X^{1}$ 을 따라 $e^{1}_{a}$ 를 한 번, $e^{1}_{b}$ 를 한 번 감고, 다시 $e^{1}_{a}$ 를 (반대 방향으로), 그리고 다시 $e^{1}_{b}$ 를 감습니다. $e^{1}_{b}$ 전체를 한 점으로 붕괴시키면 이 사상의 차수가 $0$ 임을 알 수 있습니다. 따라서 $d_{2}(e^{2})$ 에는 $e^{1}_{a}$ 계수가 없습니다. 마찬가지로 $e^{1}_{b}$ 계수도 없으므로 $d_{2}=0$ 입니다.

따라서

d_{1}=d_{2}=0.

입니다. 그러므로 복합체의 모든 사상에서 사상의 핵은 공간 전체이고 상은 $\{0\}$ 입니다. 따라서 호몰로지 군은 $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Z}^{\oplus 2}$ , $\mathbb{Z}$ 입니다.

예제 74.5.4 (클라인 병의 세포 호몰로지).

$X$ 를 클라인 병이라 합시다. 앞에서와 같이 세포 $e^{0}$ , $e^{1}_{a}$ , $e^{1}_{b}$ , $e^{2}$ 를 생각하되, 이번에는 $e^{2}$ 가 단어 $abab^{-1}$ 를 통해 붙여집니다. 따라서 $d_{1}$ 은 여전히 0이지만, 이번에는 대신 $d_{2}(e^{2})=2e^{1}_{a}$ 입니다(왜 그렇습니까?). 따라서 도식은 다음과 같습니다.

따라서 $H_{0}(X)\cong\mathbb{Z}$ 를 얻지만, 이번에는

H_{1}(X)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

입니다(이는 $\mathbb{Z}^{\oplus 2}$ 를 $2\mathbb{Z}$ 의 사본으로 나눈 몫입니다). 또한 $\ker d_{2}=0$ 이므로 이제 $H_{2}(X)=0$ 입니다.

이것이 타당한지 확인해 봅시다 — 즉, 경계는 아니지만 두 배로 하면 경계가 되는 순환이 존재하는지 확인해 봅시다.

사실 대부분의 순환이 여기에 해당합니다.

경로를 두 배로 하면 다음과 같은 것을 얻습니다.

중요한 부분은 다음과 같습니다. 두 파란 변은 반대 방향으로 동일시되므로, 경로 중 하나를 변 너머로 당겨 그 방향을 뒤집을 수 있습니다… 그런데 이제 그 영역은 사실 청록색 영역의 경계입니다! 따라서 증명이 끝났습니다.

이제 서로 호모토피 동치인 두 경로의 차가 경계임을 스스로 납득하는 일만 남았습니다.

74.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 74A.

$n$ 을 양의 정수라 합시다. 다음을 보이십시오.

H_{k}(\mathbb{CP}^{n})\cong\begin{cases}\mathbb{Z}&k=0,2,4,\dots,2n\\ 0&\text{그 외의 경우}.\end{cases}

힌트. $\mathbb{CP}^{n}$ 은 인접한 차원에 세포를 갖지 않으므로, 모든 $d_{k}$ 사상은 0이어야 합니다.

문제 74B.

전사가 아닌 사상 $f\colon S^{n}\to S^{n}$ 의 차수가 0임을 보이십시오.

힌트. 공간 $S^{n}-\{x_{0}\}$ 는 축약 가능합니다.

문제 74C (무어 공간).

^†^†margin:

$G_{1}$ , $G_{2}$ , …, $G_{N}$ 이 유한 생성 아벨 군들의 열이라고 합시다. 다음을 만족하는 공간 $X$ 를 구성하십시오.

\widetilde{H}_{n}(X)\cong\begin{cases}G_{n}&1\leq n\leq N\\ 0&\text{그 외의 경우}.\end{cases}

문제 74D.

정리 74.2.4를 증명하여 $X$ 의 호몰로지 군이 세포 사슬 복합체의 호몰로지 군과 일치함을 보이십시오.

힌트. 원소를 언급할 필요는 전혀 없습니다. 이를테면

$H_{2}(X)\cong H_{2}(X^{3})\cong H_{2}(X^{2})/\ker\left[H_{2}(X^{2})% \twoheadrightarrow H_{2}(X^{3})\right],$

에서 시작하십시오. 표시된 단사 화살표와 전사 화살표에 주목하십시오.

풀이. 구체적으로 $H_{2}(X^{2},X^{1})$ 에서의 호몰로지만 살펴보고 이것이 $H_{2}(X)$ 와 동형임을 보입시다. 다음 도식에 따르면

$\displaystyle H_{2}(X)$ $\displaystyle\cong H_{2}(X^{3})$

$\displaystyle\cong H_{2}(X^{2})/\ker\left[H_{2}(X^{2})\twoheadrightarrow H_{2}% (X^{3})\right]$

$\displaystyle\cong H_{2}(X^{2})/\operatorname{im}\partial_{3}$

$\displaystyle\cong\operatorname{im}\left[H_{2}(X^{2})\hookrightarrow H_{2}(X^{% 2},X^{1})\right]/\operatorname{im}\partial_{3}$

$\displaystyle\cong\ker(\partial_{2})/\operatorname{im}\partial_{3}$

$\displaystyle\cong\ker d_{2}/\operatorname{im}d_{3}.$

문제 74E.