장 74 보너스: 세포 호몰로지

이제 세포 호몰로지를 도입하겠습니다. 이는 본질적으로 우리가 원하는 임의의 CW 복합체의 호몰로지 군을 계산할 수 있게 해줍니다.

74.1 차수

대표적인 예: $z\mapsto z^{d}$ 는 차수 $d$ 를 갖습니다.

임의의 $n>0$ 과 사상 $f\colon S^{n}\to S^{n}$ 에 대해, 다음을 고려합시다:

f_{\ast}\colon\underbrace{H_{n}(S^{n})}_{\cong\mathbb{Z}}\to\underbrace{H_{n}(% S^{n})}_{\cong\mathbb{Z}}

이는 어떤 상수 $d$ 에 의한 곱셈이어야 합니다. 이 $d$ 를 $f$ 의 차수라 부르며, $\deg f$ 로 표기합니다.

질문 74.1.1.

$\deg(f\circ g)=\deg(f)\deg(g)$ 임을 보이십시오.

예제 71.2.12에서 언급했듯이, 대략적으로 말하면:

$\deg f$ 는 $\operatorname{im}f$ 가 $S^{n}$ 을 몇 번 감는지를 셉니다.

또는, $\operatorname{im}f$ 가 몇 개의 “ $S^{n}$ 자루”로 이루어져 있는지를 셉니다.

예제 74.1.2 (차수).

(a)

$n=1$ 일 때, 사상 $z\mapsto z^{k}$ ( $S^{1}\subseteq\mathbb{C}$ 로 볼 때)는 차수 $k$ 를 갖습니다.
(b)

반사 사상 $(x_{0},x_{1},\dots,x_{n})\mapsto(-x_{0},x_{1},\dots,x_{n})$ 은 차수 $-1$ 을 갖습니다; 이를 증명하지는 않겠지만, 기하학적으로 이는 명백해야 합니다.
(c)

대척점 사상 $x\mapsto-x$ 는 위와 같은 반사 $n+1$ 개의 합성이므로 차수 $(-1)^{n+1}$ 을 갖습니다. 이 사상을 $-\mathrm{id}$ 로 표기합니다.

당연히, $f$ 와 $g$ 가 호모토픽하다면 $\deg f=\deg g$ 입니다. 실제로 Hopf의 정리에 따르면 이것이 분류 불변량입니다: $\deg f=\deg g$ 이기만 하면 언제든지 $f$ 와 $g$ 는 호모토픽합니다.

이것의 한 가지 좋은 응용은 다음과 같습니다:

정리 74.1.3 (털 난 공 정리).

$n>0$ 이 짝수이면, $S^{n}$ 은 연속적인 0이 아닌 접벡터장을 갖지 않습니다.

증명.

벡터들이 0이 아니라면 일반성을 잃지 않고 노름이 $1$ 이라고 할 수 있습니다; 즉 모든 $x$ 에 대해 직교하는 단위벡터 $v(x)$ 가 존재합니다. 그러면 다음과 같이 호모토피 사상 $F\colon S^{n}\times[0,1]\to S^{n}$ 을 구성할 수 있습니다:

(x,t)\mapsto(\cos\pi t)x+(\sin\pi t)v(x).

이는 $\mathrm{id}$ 에서 $-\mathrm{id}$ 로 가는 호모토피를 줍니다. 따라서 $\deg(\mathrm{id})=\deg(-\mathrm{id})$ 이며, 이는 $1=(-1)^{n+1}$ 을 의미하므로 $n$ 은 홀수여야 합니다. ∎

물론, $n$ 이 홀수일 때는 언제나 그러한 벡터장을 구성할 수 있습니다. 예를 들어, $n=1$ 일 때 그러한 벡터장이 아래에 그려져 있습니다.

74.2 세포 사슬 복합체

시작하기 전에, 다음을 기술합니다:

보조정리 74.2.1 (CW 호몰로지 군).

$X$ 를 CW 복합체라 합시다. 그러면

	$\displaystyle H_{k}(X^{n},X^{n-1})$	$\displaystyle\cong\begin{cases}\mathbb{Z}^{\oplus\text{$X$의 \#$n$-셀}}&k=n\\ 0&\text{그 외의 경우}.\end{cases}$
그리고
	$\displaystyle H_{k}(X^{n})$	$\displaystyle\cong\begin{cases}H_{k}(X)&k\leq n-1\\ 0&k\geq n+1.\end{cases}$

증명.

첫 번째 부분은 $(X^{n},X^{n-1})$ 이 정리 73.4.3의 가정을 만족한다는 것을 언급함으로써 즉시 얻어집니다. 따라서 $H_{k}(X^{n},X^{n-1})\cong\widetilde{H}_{k}(X^{n}/X^{n-1})$ 이며, $X^{n}/X^{n-1}$ 은 여러 개의 $n$ -구의 쐐기합입니다.

예를 들어, $n=2$ 인 경우 (여기서는 ”구”가 풍선 모양의 덩어리로 그려져 있습니다):

두 번째 부분에서는 $k$ 를 고정하고, $n\leq k-1$ 또는 $n\geq k+2$ 인 한

\underbrace{H_{k+1}(X^{n},X^{n-1})}_{=0}\to H_{k}(X^{n-1})\to H_{k}(X^{n})\to% \underbrace{H_{k}(X^{n},X^{n-1})}_{=0}.

따라서 다음과 같은 동형사상을 얻습니다

H_{k}(X^{k-1})\cong H_{k}(X^{k-2})\cong\dots\cong H_{k}(X^{0})=0

그리고

H_{k}(X^{k+1})\cong H_{k}(X^{k+2})\cong\dots\cong H_{k}(X).\qed

따라서 군 $H_{k}(X^{k},X^{k-1})$ 이 매우 좋다는 것을 알 수 있습니다: 이들은 $X$ 의 세포들을 기저로 가지는 자유 아벨 군입니다. 그래서 이들에게 이름을 붙입니다:

정의 74.2.2.

CW 복합체 $X$ 에 대해, 다음과 같이 정의합니다

\operatorname{Cells}_{k}(X)=H_{k}(X^{k},X^{k-1})

여기서 관례상 $\operatorname{Cells}_{0}(X)=H_{0}(X^{0},\varnothing)=H_{0}(X^{0})$ 입니다. 따라서 $\operatorname{Cells}_{k}(X)$ 는 $X$ 의 $k$ -세포들을 기저로 가지는 아벨 군입니다.

이제 $\operatorname{Cells}_{k}=H_{k}(X^{k},X^{k-1})$ 을 사용하여, 우리의 긴 완전열을 이용해 이들 사이의 사상을 엮어 봅시다. 다음 도식을 살펴봅시다.

아이디어는, 인접한 스켈레톤들에 의해 생성된 모든 완전열을 취하여, 이를 군 $H_{k}(X^{k})$ 에서 서로 엮은 것으로, 완전열의 절반은 세로로, 나머지 절반은 가로로 배치됩니다.

이 경우, 합성에 의해 그림과 같이 $H_{k}(X^{k},X^{k-1})$ 사이의 파란색 사상들의 수열이 생성됩니다.

질문 74.2.3.

인접한 두 파란색 화살표의 합성이 영임을 보이십시오.

따라서 위의 도식으로부터, 다음과 같은 화살표들의 수열을 읽어낼 수 있습니다

\dots\xrightarrow{d_{5}}\operatorname{Cells}_{4}(X)\xrightarrow{d_{4}}% \operatorname{Cells}_{3}(X)\xrightarrow{d_{3}}\operatorname{Cells}_{2}(X)% \xrightarrow{d_{2}}\operatorname{Cells}_{1}(X)\xrightarrow{d_{1}}\operatorname% {Cells}_{0}(X)\xrightarrow{d_{0}}0.

이는 세포 사슬 복합체라 불리는 사슬 복합체입니다; 앞서 언급했듯이 모든 호몰로지 군은 자유 군이지만, 이들은 대부분의 합리적인 CW 복합체에 대해 유한 생성이기도 하다는 점에서 특히 좋습니다 (앞서 다루었던 거대한 $C_{\bullet}(X)$ 와는 다릅니다). 다시 말해, $H_{k}(X^{k},X^{k-1})$ 은 실제로 다룰 수 있는 특히 좋은 ”구체적인” 자유 군입니다.

우리가 이에 관심을 가지는 또 다른 이유는 실제로 다음과 같기 때문입니다:

정리 74.2.4 (세포 사슬 복합체는 $H_{n}(X)$ 를 줍니다).

세포 사슬 복합체의 $k$ 번째 호몰로지 군은 $H_{k}(X)$ 와 동형입니다.

증명.

도식으로부터 따라 나옵니다; 문제 74D. ∎

74.3 여담: 왜 호몰로지 군들이 같은가?

이를 설명하는 또 다른 직관이 있습니다 — 대략적으로 말하면,

H_{k}(\operatorname{Cells}_{\bullet}(X))=\frac{\text{정렬된 사이클}}{\text{정렬된 경계}}=% \frac{\text{정렬된 사이클}\times\text{잡음}}{\text{정렬된 경계}\times\text{잡음}}=\frac{\text% {사이클}}{\text{경계}}=H_{k}(X).

설명해 보겠습니다. 다음과 같이 생긴 CW 복합체 $X$ 를 생각해 봅시다. 여기서 $X^{1}$ 은 빨간색으로 그려져 있습니다. 각 파란색 영역은 하나의 $2$ -세포에 해당합니다.

그러면, 다음 그림을 살펴봅시다.

많아 보이니, 설명해 보겠습니다.

•

첫 번째 그림은 $C_{1}(X^{1})$ 의 전형적인 원소를 묘사합니다 — 즉, $X^{1}$ 에 포함된 $1$ -사슬로서, $\Delta^{1}$ 에서 $X^{1}$ 로 가는 두 사상의 형식적 합이며, 그 상은 검은색 화살표로 그려져 있습니다.

사상들의 상만이 묘사되어 있으며, 단체 $\Delta^{1}$ 의 어느 점이 $X^{1}$ 내부의 어느 점으로 대응되는지와 같은 정보는 나타나 있지 않다는 점에 유의하십시오 — 비록 서로 다른 연속 사상들은 $C_{1}(X^{1})$ 의 서로 다른 원소를 만들어내지만 말입니다.
•

두 번째 그림은 $Z_{1}(X^{1},X^{0})$ 의 전형적인 원소, 즉 상대 사이클을 나타냅니다.

상대 사이클이나 군 $Z_{1}(X^{1},X^{0})$ 이 무엇인지 공식적으로 정의한 적은 없지만, $Z_{1}(X^{1})$ 의 정의로부터 그 정의를 짐작할 수 있습니다 — 이는 경계가 소멸하는 $C_{1}(X^{1},X^{0})=C_{1}(X^{1})/C_{1}(X^{0})$ 의 부분군입니다.

아래쪽 고리가 평평하게 그려진 것은 그저 보기 좋게 하기 위함일 뿐이며 — 전체는 빨간색 골격, 즉 $X^{1}$ 안에 포함되어 있습니다.

물론 몫의 원소이므로 대표 원소 하나만 그려져 있습니다 — ”모드로 없앤” 부분은 $X^{0}$ 안에 완전히 포함된 사슬, 즉 몇몇 꼭짓점들입니다.
•

세 번째 그림은 $B_{1}(X^{1},X^{0})$ 의 전형적인 원소, 즉 상대 경계를 나타냅니다.

이는 $\operatorname{im}\left(C_{2}(X^{1},X^{0})\xrightarrow{\partial}C_{1}(X^{1},X^{% 0})\right)$ 에 속합니다 — 말로 풀면, 경계가 그려진 원소와 같아지는 어떤 $2$ -사슬이 존재한다는 것입니다.
•

네 번째 그림은 $\operatorname{Cells}_{1}(X)$ 의 전형적인 원소, 즉 ”상대 경계로 나눈 상대 사이클”을 나타냅니다.

이 군이 $X$ 의 각 $1$ -세포로 생성되는 아벨 군과 어떻게 동형인지는 직관적으로 명백하기를 바랍니다.

사실 이러한 원소 각각을, 모든 끝점이 어떤 꼭짓점 안에 놓이는(즉 그 원소의 경계가 $X^{0}$ 안에 있는) $C_{1}(X^{1})$ 의 ”정렬된 원소”로 생각할 수 있으며, 각 $1$ -세포에 대해 그 세포를 덮는 정준 $1$ -단체가 하나 선택됩니다(같은 상을 갖는 서로 다른 단체들은 직관적으로 속도를 바꾸는 ”재매개변수화”에 대응하며, 단체와 그 재매개변수화의 차이는 사실 $B_{1}(X^{1},X^{0})$ 의 원소임에 유의하십시오 — 이를 엄밀하게 만들어 보십시오! 힌트: 프리즘 연산자를 사용하십시오.)
•

다섯 번째 그림은 다음의 전형적인 원소를 나타냅니다

$\ker\left(\operatorname{Cells}_{1}(X)\xrightarrow{\partial}\operatorname{Cells% }_{0}(X)\right)$

이는 위에서 설명한 대로 ”정렬된” $1$ -사이클(즉 $Z_{1}(X)$ 의 원소)인 ”세포 사이클”로 생각할 수 있습니다.
•

여섯 번째 그림은 다음의 전형적인 원소를 나타냅니다

$\operatorname{im}\left(\operatorname{Cells}_{2}(X)\xrightarrow{\partial}% \operatorname{Cells}_{1}(X)\right)$

이는 위와 같은 의미에서 ”정렬된” $1$ -경계(즉 $B_{1}(X)$ ¹¹1이는 $B_{1}(X^{1})$ 의 원소가 아닙니다! 그 이유를 생각해 보십시오.의 원소)인 ”세포 경계”로 생각할 수 있습니다.
•

마지막으로, 마지막 그림은 $H_{1}(\operatorname{Cells}_{\bullet}(X))$ 이며, 이는

$H_{1}(\operatorname{Cells}_{\bullet}(X))=\frac{\ker\left(\operatorname{Cells}_% {1}(X)\xrightarrow{\partial}\operatorname{Cells}_{0}(X)\right)}{\operatorname{% im}\left(\operatorname{Cells}_{2}(X)\xrightarrow{\partial}\operatorname{Cells}% _{1}(X)\right)}.$

또는 대략적으로 말하면,

$H_{1}(\operatorname{Cells}_{\bullet}(X))=\frac{\text{정렬된 사이클}}{\text{정렬된 경계}}.$

이것이 바로 $\frac{\text{정렬된 사이클}}{\text{정렬된 경계}}=\frac{\text{사이클}}{\text{경계}}$ 가 의미하는 바입니다. 적절한 형식화와 정준 단체들의 임의의 선택을 통해²²2엄밀히 말하면 $X$ 위에 이른바 $\Delta$ -복합체 구조가 필요하지만, 냅킨에서는 $\Delta$ -구조를 정의하지 않습니다. 자세한 내용은 [HAT02]을 참고하십시오. 위의 논증을 엄밀하게 만들 수 있습니다.

”잡음”이란 무엇을 의미할까요? 이 부분은 명백하기를 바라지만, 요점은 정렬된 사이클이 여전히 사이클(즉 $Z_{1}(X)$ 의 원소)로 남아 있으면서도(재매개변수화나 $B_{1}(X^{1},X^{0})$ 의 원소를 더함으로써) 약간 ”이리저리 움직여질” 수 있다는 것입니다. 정렬된 경계에 대해서도 마찬가지입니다.

그러므로 요점은 — 분자와 분모의 공통된 잡음 인자를 ”약분”할 수 있으며, 그 결과는 변하지 않는다는 것입니다.

단체 근사에 대한 형식적인 논의는 [HAT02]를 참고하십시오.

74.4 응용: 베티 수를 통한 오일러 지표

이것의 좋은 응용으로는 유한 CW 복합체 $X$ 의 오일러 지표를 정의하는 것이 있습니다. 물론 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다

\chi(X)=\sum_{n}(-1)^{n}\cdot\#(\text{$X$의 $n$-세포})

이는 익숙한 $V-E+F$ 공식을 일반화합니다. 그러나 이 정의는 CW 복합체의 선택에 의존한다는 점에서 만족스럽지 않은데, 우리는 사실 $\chi(X)$ 가 공간 $X$ 자체에만 의존하고(어떻게 만들어졌는지에는 의존하지 않기를) 원하기 때문입니다. 이를 염두에 두고 다음을 증명합니다:

정리 74.4.1 (베티 수를 통한 오일러 지표).

임의의 유한 CW 복합체 $X$ 에 대해 다음이 성립합니다

\chi(X)=\sum_{n}(-1)^{n}\operatorname{rank}H_{n}(X).

따라서 $\chi(X)$ 는 CW 분해의 선택에 의존하지 않습니다. 다음의 수들은

b_{n}=\operatorname{rank}H_{n}(X)

$X$ 의 베티 수라고 부릅니다. 실제로 이를 이용해 임의의 적당한 공간에 대해 $\chi(X)$ 를 정의할 수 있습니다. $X$ 가 CW 복합체인 (흔한) 경우 이 정의가 오일러 지표의 일반적인 정의와 일치하므로 우리는 만족스럽습니다.

증명.

$0\to A\to B\to C\to D\to 0$ 이 완전열이면 $\operatorname{rank}B+\operatorname{rank}D=\operatorname{rank}A+\operatorname{% rank}C$ 라는 사실을 인용합니다. 그러면 예를 들어 다음 행은

세포 도식에서 나온 것으로

\#(\text{$2$-세포})+\operatorname{rank}H_{1}(X)=\operatorname{rank}H_{2}(X^{2})+% \operatorname{rank}H_{1}(X^{1}).

더 일반적으로,

\#(\text{$k$-셀})+\operatorname{rank}H_{k-1}(X)=\operatorname{rank}H_{k}(X^{k})% +\operatorname{rank}H_{k-1}(X^{k-1})

이는 $H_{-1}$ 항을 제외하면 $k=0$ 에 대해서도 성립합니다( $\#\text{$0$-셀}=\operatorname{rank}H_{0}(X^{0})$ 는 자명하므로). 이를 $(-1)^{k}$ 로 곱하고 $k\geq 0$ 에 걸쳐 합하면 결론을 얻습니다. ∎

예제 74.4.2 (베티 수의 예시).

(a)

$S^{n}$ 의 베티 수는 $b_{0}=b_{n}=1$ 이고 나머지는 $0$ 입니다. 오일러 지표는 $1+(-1)^{n}$ 입니다.
(b)

원환면 $S^{1}\times S^{1}$ 의 베티 수는 $b_{0}=1$ , $b_{1}=2$ , $b_{2}=1$ 이고 나머지는 $0$ 입니다. 따라서 오일러 지표는 $0$ 입니다.
(c)

$\mathbb{CP}^{n}$ 의 베티 수는 $b_{0}=b_{2}=\dots=b_{2n}=1$ 이고 나머지는 $0$ 입니다. 따라서 오일러 지표는 $n+1$ 입니다.
(d)

클라인 병의 베티 수는 $b_{0}=1$ , $b_{1}=1$ 이고 나머지는 $0$ 입니다. 따라서 오일러 지표는 $0$ 으로, 구와 같습니다(이는 이들의 CW 구조가 같은 수의 세포를 사용하기 때문이기도 합니다).

$S^{n}$ , $S^{1}\times S^{1}$ , $\mathbb{CP}^{n}$ 과 같은 “좋은” 공간에서는 베티 수에 $b_{k}=b_{n-k}$ 라는 멋진 대칭성이 있음을 알 수 있습니다. 이는 더 일반적으로도 성립하는 사실입니다. 푸앵카레쌍́대성과 문제 76A를 참고하십시오.

74.5 세포 경계 공식

실제로 사상 $d_{n}$ 이 무엇인지 명시적으로 기술할 수 있습니다. $H_{k}(X^{k},X^{k-1})$ 가 $X$ 의 $k$ -세포를 기저로 가짐을 상기하면, 다음을 얻습니다:

정리 74.5.1 ( $k=1$ 에 대한 세포 경계 공식).

$k=1$ 일 때,

d_{1}\colon\operatorname{Cells}_{1}(X)\to\operatorname{Cells}_{0}(X)

는 단순히 경계 사상입니다.

정리 74.5.2 ( $k>1$ 에 대한 세포 경계).

$k>1$ 을 양의 정수라 합시다. $e^{k}$ 를 $k$ -세포라 하고, $\{e_{\beta}^{k-1}\}_{\beta}$ 가 $X$ 의 모든 $(k-1)$ -세포를 나타낸다고 합시다. 그러면

d_{k}\colon\operatorname{Cells}_{k}(X)\to\operatorname{Cells}_{k-1}(X)

는 기저 원소에 대해 다음과 같이 주어집니다

d_{k}(e^{k})=\sum_{\beta}d_{\beta}e_{\beta}^{k-1}

여기서 $d_{\beta}$ 는 다음 합성 사상의 차수입니다

S^{k-1}=\partial e^{k}\xrightarrow{\text{붙이다}}X^{k-1}\twoheadrightarrow S_{% \beta}^{k-1}.

여기서 첫 번째 화살표는 $e^{k}$ 의 부착 사상이고, 두 번째 화살표는 $X^{k-1}\setminus e^{k-1}_{\beta}$ 를 한 점으로 붕괴시키는 몫사상입니다.

여기서 차수는 무엇을 하고 있는 것일까요? 기저 원소 $e^{k}\in\operatorname{Cells}_{k}(X)$ 는 단지 하나의 $k$ -세포이고, 그 경계는 단지 그 경계를 이루는 세포들이어야 함을 기억하십시오.

위와 같은 시각화를 통해 다음과 같은 것을 할 수 있습니다.

하지만 그리 쉽지 않습니다! CW 복합체에서 $k$ -세포의 경계는 $X^{k-1}$ 안의 임의의 점들로 융합될 수 있으므로, $k$ -세포의 ”모서리”가 반드시 $(k-1)$ -세포일 필요는 없다는 점에 유의하십시오.

설상가상으로, 때로는 중복된 모서리가 있을 수 있습니다 — 클라인 병에서 그려진 마주보는 두 모서리 각 쌍은 실제로 방향이 다를 수 있는 같은 모서리입니다.

이러한 경우, 각 모서리의 중복도를 세어야 합니다 — 그리고 이것이 바로 사상의 차수가 세는 것입니다! 잠시 후 클라인 병의 호몰로지 군을 계산하는 명시적인 예를 살펴보겠습니다.

이는 CW 복합체의 호몰로지 군을 계산하는 알고리즘을 제공합니다:

•

세포 사슬 복합체를 구성합니다. 여기서 $\operatorname{Cells}_{k}(X)$ 는 $\mathbb{Z}^{\oplus\#\text{$k$-셀}}$ 입니다.
•

$d_{1}\colon\operatorname{Cells}_{1}(X)\to\operatorname{Cells}_{0}(X)$ 은 그냥 경계 사상입니다 (따라서 $d_{1}(e^{1})$ 은 두 끝점의 차입니다).
•
$k>1$ 에 대해, 기저 원소 위에서 $d_{k}\colon\operatorname{Cells}_{k}(X)\to\operatorname{Cells}_{k-1}(X)$ 를 다음과 같이 계산합니다. 각 $k$ -세포 $e^{k}$ 에 대해 다음을 반복하십시오:
- –
  
  모든 $k-1$ 세포 $e^{k-1}_{\beta}$ 에 대해, $e^{k}$ 의 경계를 $e^{k-1}_{\beta}$ 의 경계에 용접했을 때의 차수를 계산하며, 이를 $d_{\beta}$ 라 합니다.
- –
  
  그러면 $d_{k}(e^{k})=\sum_{\beta}d_{\beta}e^{k-1}_{\beta}$ 입니다.
•

이제 세포 사슬 복합체의 사상들을 얻었으므로, (핵을 상으로 나눈 몫을 취하여) 호몰로지를 직접 계산할 수 있습니다.

예를 들어 이를 이용하여 토러스의 호몰로지 군을 다시 계산할 수 있으며, 클라인 병 및 다른 공간들에 대해서도 마찬가지입니다.

예제 74.5.3 (토러스의 세포 호몰로지).

이전과 같이 $e^{0}$ , $e^{1}_{a}$ , $e^{1}_{b}$ , $e^{2}$ 로 구성된 토러스를 생각해 봅시다. 여기서 $e^{2}$ 는 단어 $aba^{-1}b^{-1}$ 를 통해 붙여집니다. 예를 들어, $X^{1}$ 은 다음과 같습니다

세포 사슬 복합체는 다음과 같습니다

이제 세포 경계 공식을 적용해 봅시다:

•

$d_{1}$ 이 경계 공식이었음을 상기하십시오. $d_{1}(e^{1}_{a})=e_{0}-e_{0}=0$ 이고 마찬가지로 $d_{1}(e^{1}_{b})=0$ 입니다. 따라서 $d_{1}=0$ 입니다.
•

$d_{2}$ 에 대해서는, $e^{2}$ 의 경계가 $e^{1}_{a}$ 에 미치는 상을 생각해 봅시다. $X^{1}$ 주위를 따라, 이는 $e^{1}_{a}$ 를 한 번, $e^{1}_{b}$ 를 한 번, 다시 $e^{1}_{a}$ 를 (반대 방향으로) 한 번, 그리고 다시 $e^{1}_{b}$ 를 한 번 감쌉니다. $e^{1}_{b}$ 전체를 한 점으로 붕괴시키면, 이 사상의 차수가 $0$ 임을 알 수 있습니다. 따라서 $d_{2}(e^{2})$ 에는 $e^{1}_{a}$ 계수가 없습니다. 마찬가지로 $e^{1}_{b}$ 계수도 없으므로, $d_{2}=0$ 입니다.

따라서

d_{1}=d_{2}=0.

이므로 복합체의 모든 사상에서 사상의 핵은 전체 공간이고 상은 $\{0\}$ 입니다. 따라서 호몰로지 군은 $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Z}^{\oplus 2}$ , $\mathbb{Z}$ 입니다.

예제 74.5.4 (클라인 병의 세포 호몰로지).

$X$ 를 클라인 병이라 합시다. 이전과 같이 세포 $e^{0}$ , $e^{1}_{a}$ , $e^{1}_{b}$ , $e^{2}$ 를 생각해 보되, 이번에는 $e^{2}$ 가 단어 $abab^{-1}$ 를 통해 붙여집니다. 따라서 $d_{1}$ 은 여전히 영이지만, 이번에는 대신 $d_{2}(e^{2})=2e^{1}_{a}$ 가 됩니다 (왜일까요?). 따라서 우리의 도식은 다음과 같습니다

그러므로 $H_{0}(X)\cong\mathbb{Z}$ 임을 얻지만, 이번에는

H_{1}(X)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

입니다 (이는 $\mathbb{Z}^{\oplus 2}$ 를 $2\mathbb{Z}$ 의 사본으로 나눈 몫입니다). 또한 $\ker d_{2}=0$ 이므로, 이제 $H_{2}(X)=0$ 입니다.

이것이 말이 되는지 검산해 봅시다 — 즉, 경계는 아니지만 두 배로 하면 경계가 되는 어떤 사이클이 존재함을 확인해 봅시다.

사실, 대부분의 사이클이 성립합니다.

경로를 두 배로 하면, 다음과 같은 것을 얻습니다.

여기서 중요한 부분은 다음과 같습니다: 두 파란색 변이 반대 방향으로 동일시되어 있으므로, 경로 중 하나를 변을 가로질러 당겨서 방향을 뒤집을 수 있습니다… 그런데 이제 이 영역은 실제로 청록색 영역의 경계입니다! 이것으로 끝났습니다.

두 호모토피 동치 경로의 차이가 경계임을 스스로 확인하는 것만 남았습니다.

74.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 74A.

$n$ 을 양의 정수라 합시다. 다음을 보이십시오

H_{k}(\mathbb{CP}^{n})\cong\begin{cases}\mathbb{Z}&k=0,2,4,\dots,2n\\ 0&\text{그 외의 경우}.\end{cases}

힌트. $\mathbb{CP}^{n}$ 은 인접한 차원에 세포가 없으므로, 모든 $d_{k}$ 사상은 영이어야 합니다.

문제 74B.

전사가 아닌 사상 $f\colon S^{n}\to S^{n}$ 의 차수가 영임을 보이십시오.

힌트. 공간 $S^{n}-\{x_{0}\}$ 는 수축 가능합니다.

문제 74C (무어 공간).

^†^†margin:

$G_{1}$ , $G_{2}$ , …, $G_{N}$ 을 유한 생성 아벨 군의 수열이라고 합시다. 다음을 만족하는 공간 $X$ 를 구성하십시오.

\widetilde{H}_{n}(X)\cong\begin{cases}G_{n}&1\leq n\leq N\\ 0&\text{그 외의 경우}.\end{cases}

문제 74D.

정리 74.2.4를 증명하여, $X$ 의 호몰로지 군이 세포 사슬 복합체의 호몰로지 군과 일치함을 보이십시오.

힌트. 원소를 참조할 필요는 없습니다. 예를 들어

$H_{2}(X)\cong H_{2}(X^{3})\cong H_{2}(X^{2})/\ker\left[H_{2}(X^{2})% \twoheadrightarrow H_{2}(X^{3})\right],$

로 시작하십시오. 표시된 단사 사상과 전사 화살표에 주목하십시오.

풀이. 구체적으로, $H_{2}(X^{2},X^{1})$ 에서의 호몰로지만 살펴보고 이것이 $H_{2}(X)$ 와 동형사상임을 보이겠습니다. 다음 도식에 따르면

$\displaystyle H_{2}(X)$ $\displaystyle\cong H_{2}(X^{3})$

$\displaystyle\cong H_{2}(X^{2})/\ker\left[H_{2}(X^{2})\twoheadrightarrow H_{2}% (X^{3})\right]$

$\displaystyle\cong H_{2}(X^{2})/\operatorname{im}\partial_{3}$

$\displaystyle\cong\operatorname{im}\left[H_{2}(X^{2})\hookrightarrow H_{2}(X^{% 2},X^{1})\right]/\operatorname{im}\partial_{3}$

$\displaystyle\cong\ker(\partial_{2})/\operatorname{im}\partial_{3}$

$\displaystyle\cong\ker d_{2}/\operatorname{im}d_{3}.$

문제 74E.