장 36 보렐 측도와 르베그 측도 구성하기

보렐 공간 $\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$ 위의 측도를 단번에 정의하는 것은 매우 어렵습니다. 먼저 더 약한 개념을 정의하면 더 쉽습니다. 우리가 정의할 이러한 약한 개념은 두 가지입니다:

•

준측도(pre-measure): 측도의 공리를 만족시키지만, 측도보다 더 적은 집합들에 대해 정의됩니다: 이들은 완전한 형태의 “ $\sigma$ -대수”가 아니라 “대수” 위에서 정의될 것입니다.
•

외측도(outer measure): $2^{\Omega}$ 위에서 정의되지만 더 약한 공리를 만족시킵니다.

준측도는 외측도를 낳고, 외측도는 측도를 낳는다는 것이 밝혀질 것입니다.

36.1 사전측도

대표적인 예: $\Omega=\mathbb{R}^{2}$ 라고 합시다. 그러면 직사각형들로 생성된 $\mathscr{A}_{0}$ 을 취하고, $\mu_{0}$ 은 일반적인 넓이로 둡니다.

사전측도를 정의하는 방법은 $\sigma$ -대수를 대수로 약화시키는 것입니다.

정의 36.1.1.

$\Omega$ 를 집합이라고 합시다. 대수의 개념을 정의하는데, 이는 모든 곳에서 ”가산”을 유한으로 바꾼 것을 제외하면 $\sigma$ -대수와 동일합니다.

즉: $\Omega$ 위의 대수 $\mathscr{A}_{0}$ 란 $2^{\Omega}$ 의 공집합이 아닌 부분집합으로서, 여집합과 유한 합집합에 대해 닫혀 있는 것입니다. 부분집합 $\mathscr{F}\subseteq 2^{\Omega}$ 를 포함하는 가장 작은 대수를 $\mathscr{F}$ 에 의해 생성된 대수라고 합니다.

실제로 우리는 대수에 대해 기본적으로 항상 생성 방법을 사용할 것입니다.

예제 36.1.2.

$\Omega=\mathbb{R}^{n}$ 일 때, $[a_{1},b_{1}]\times\dots\times[a_{n},b_{n}]$ 에 의해 생성된 대수를 $\mathcal{L}_{0}$ 이라 할 수 있습니다. 전형적인 원소는 다음과 같이 생겼을 것입니다:

놀랄 것도 없이, 여기에는 유한개의 직사각형과 그 여집합만 관련되어 있으므로, 이 경우에는 실제로 넓이를 모호함 없이 부여할 수 있으며, 곧 그렇게 할 것입니다.

정의 36.1.3.

대수 $\mathscr{A}_{0}$ 위의 준측도 $\mu_{0}$ 란 다음 공리를 만족시키는 함수 $\mu_{0}\colon\mathscr{A}_{0}\to[0,+\infty]$ 입니다

•

$\mu_{0}(\varnothing)=0$ 이고,
•

가산 가법성: $A_{1}$ , $A_{2}$ , …가 $\mathscr{A}_{0}$ 안의 서로소인 집합들이고 게다가 서로소 합집합 $\bigsqcup A_{i}$ 가 $\mathscr{A}_{0}$ 에 포함된다면(이는 대수의 공리에 의해 보장되지 않습니다!), 다음이 성립합니다

$\mu_{0}\left(\bigsqcup_{n}A_{n}\right)=\sum_{n}\mu_{0}(A_{n}).$

예제 36.1.4 ( $\mathbb{R}^{n}$ 위의 준측도).

$\Omega=\mathbb{R}^{2}$ 이라 합시다. 그러면 $\mathcal{L}_{0}$ 을 직사각형 $[a_{1},a_{2}]\times[b_{1},b_{2}]$ 에 의해 생성된 대수라 합시다. 이제 다음과 같이 둡니다

\mu_{0}\left([a_{1},a_{2}]\times[b_{1},b_{2}]\right)=(a_{2}-a_{1})(b_{2}-b_{1})

직사각형의 넓이입니다. $\mathcal{L}_{0}$ 의 원소들은 단순히 직사각형들과 그 여집합들의 유한 합집합이므로(앞서 그린 그림 참조), 이를 여러분이 예상하는 대로 작동하는 준측도 $\lambda_{0}$ 으로 확장하는 것은 어렵지 않습니다 — 다만 우리는 이를 실제로 하지는 않을 것입니다.

우리가 개념적으로 중요한 것으로 밝혀질 어떤 것을 카펫 밑으로 쓸어 넣고 있으므로, 나서서 이를 파란 상자로 표시하겠습니다.

명제 36.1.5 (우리가 증명하지 않을 기하학적 타당성 점검).

$\Omega=\mathbb{R}^{n}$ 이고 $\mathcal{L}_{0}$ 이 직육면체에 의해 생성된 대수일 때, $\mathcal{L}_{0}$ 위에 준측도 $\lambda_{0}$ 을 정의할 수 있습니다.

이 지점부터는, 측도 $\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$ 을 정의하는 데 있어 기본적으로 거의 어떠한 기하학도¹¹1작은 거짓말입니다. 엄밀히 말하면, 연습문제 36.5.1에서와 같이 $\mathbb{R}^{n}$ 의 열린집합이 가산 개의 직사각형으로 덮일 수 있다는 사실을 하나 더 사용할 것입니다. 다만 이 단계는 어떠한 넓이 배정도 포함하지 않습니다. 사용하지 않을 것이며, 오직 집합론만을 사용하여 측도를 확장할 것입니다. 따라서 명제 36.1.5은 우리의 “초기 정의”가 타당함을 확인하는 유일한 보초입니다.

다른 방식으로 논점을 말하자면, 미친 과학자²²2“매드 사이언티스트”는 과대평가되었으니까요.가 모든 직사각형이 넓이 $1$ 을 갖는 넓이 개념을 정의하려 시도했다고 합시다. 직관적으로 이는 불가능해야 합니다: 모든 직사각형은 두 개의 반쪽으로 나뉠 수 있고 우리는 $1+1\neq 1$ 이어야 하기 때문입니다. 그러나 그들을 막을 유일한 것은 그들이 대수 $\mathcal{L}_{0}$ 위의 준측도를 확장할 수 없다는 점입니다. 만약 그들이 어떻게든 그 장벽을 넘어서 준측도를 얻었다면, 이 절의 나머지 부분에서는 그들이 이 성질을 갖는 완전한 진정한 측도를 얻는 것을 막을 것이 아무것도 없습니다. 따라서 르베그 측도를 구성함에 있어, 기하학적 작업의 대부분은 (생략된) 명제 36.1.5의 증명 안에 담겨 있습니다.

36.2 외측도

대표적인 예: 계속해서 $\Omega=\mathbb{R}^{2}$ 로 둡니다; 이어질 그림을 참조하십시오.

측도를 약화시키는 또 다른 방법은 가산 가법성을 완화하는 것이며, 이는 다음을 낳습니다:

정의 36.2.1.

집합 $\Omega$ 위의 외측도(outer measure) $\mu^{\ast}$ 란 다음 공리들을 만족하는 함수 $\mu^{\ast}\colon 2^{\Omega}\to[0,+\infty]$ 입니다:

•

$\mu^{\ast}(\varnothing)=0$ ;
•

$E\subseteq F$ 이고 $E,F\in 2^{\Omega}$ 이면 $\mu^{\ast}(E)\leq\mu^{\ast}(F)$ 입니다;
•

$\Omega$ 의 임의의 부분집합 $E_{1}$ , $E_{2}$ , … 에 대해 다음이 성립합니다

$\mu^{\ast}\left(\bigcup_{n}E_{n}\right)\leq\sum_{n}\mu^{\ast}(E_{n}).$

(저는 ”외측도”라는 단어를 그다지 좋아하지 않는데, 이는 다소 잘못된 명칭이라고 생각하기 때문입니다: 이것 역시 측도가 아니므로 차라리 ”가짜 측도”라고 부르고 싶습니다.)

”외측도”라는 이름의 이유는, 거의 항상 집합을 ”바깥에서” 근사함으로써 외측도를 얻기 때문입니다. 공식적으로 이 결과는 흔히 다음과 같이 서술됩니다(문제 36A로서).

집합 $\Omega$ 에 대해, $\mathcal{E}$ 를 $2^{\Omega}$ 의 임의의 부분집합이라 하고, $\rho\colon\mathcal{E}\to[0,+\infty]$ 를 임의의 함수라 합시다. 그러면

$\mu^{\ast}(E)=\inf\left\{\sum_{n=1}^{\infty}\rho(E_{n})\mid E_{n}\in\mathcal{E% },\;E\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}\right\}$

는 외측도입니다.

하지만 저는 위 정리를 실제로 사용하기에는 기본적으로 항상 옳지 않다고 생각하는데, 이는 지나치게 일반적이기 때문입니다. 제가 미친 과학자 예시로 경고했듯이, 우리는 정말로 $\rho$ 에 대해 어떤 종류의 정상성(sanity) 조건을 원합니다: 그렇지 않으면, 위 결과를 그대로 적용할 경우 $\mu^{\ast}$ 가 어떤 식으로든 $\rho$ 와 호환된다는 보장이 없습니다.

그래서 저는 결과로 얻어지는 $\mu^{\ast}$ 가 $\mu_{0}$ 와 호환된다는 어떤 종류의 보장을 실제로 갖는 전측도(pre-measure) $\mu_{0}$ 에 이 정리를 적용하는 것이 정말 더 낫다고 생각합니다. 실제로는, 이것이 항상 우리가 외측도를 구성하고자 하는 방식이 될 것입니다.

정리 36.2.2 (전측도로부터 외측도 구성하기).

$\mu_{0}$ 를 집합 $\Omega$ 위의 대수(algebra) $\mathscr{A}_{0}$ 위의 전측도라 합시다.

(a)

다음과 같이 정의되는 사상 $\mu^{\ast}\colon 2^{\Omega}\to[0,+\infty]$ 는

$\mu^{\ast}(E)=\inf\left\{\sum_{n=1}^{\infty}\mu_{0}(A_{n})\mid A_{n}\in% \mathscr{A}_{0},\;E\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right\}$

외측도입니다.
(b)

게다가, 이 측도는 $\mathscr{A}_{0}$ 의 집합들 위에서 $\mu_{0}$ 와 일치합니다.

직관적으로, 일어나고 있는 일은 $\mu^{\ast}(A)$ 가 $\mathscr{A}_{0}$ 의 원소들의 가산 합집합에 의한 $A$ 의 덮개들의 하한이라는 것입니다. (b) 부분은 제가 약속했던 호환성 조건의 전반부이며; 나머지 절반은 나중에 명제 36.3.2로 등장합니다.

정리 36.2.2의 증명.

이미 언급했듯이, (a) 부분은 문제 36A의 특수한 경우입니다(그리고 이렇게 일반적인 형태로 증명하는 것이 실제로 더 쉬운데, 불필요한 성질들에 정신이 팔리지 않기 때문입니다).

이제 (b)를 확인해 봅시다, 즉 $A\in\mathscr{A}_{0}$ 에 대해 $\mu^{\ast}(A)=\mu_{0}(A)$ 임을 확인합니다. 한쪽 부등식은 빠릅니다:

질문 36.2.3.

$\mu^{\ast}(A)\leq\mu_{0}(A)$ 임을 보이십시오.

역방향을 위해, $A\subseteq\bigcup_{n}A_{n}$ 이라고 가정합시다. 그러면 다음 집합들을 정의합니다

	$\displaystyle B_{1}$	$\displaystyle=A\cap A_{1}$
	$\displaystyle B_{2}$	$\displaystyle=(A\cap A_{2})\setminus B_{1}$
	$\displaystyle B_{3}$	$\displaystyle=(A\cap A_{3})\setminus(B_{1}\cup B_{2})$
		$\displaystyle\mathmakebox[width("{}={}")][c]{\vdots}$

등등입니다. 그러면 $B_{n}$ 들은 $\mathscr{A}_{0}$ 의 서로소인 원소들이며 $B_{n}\subset A_{n}$ 을 만족하고, 정의를 조작하여 $\bigsqcup_{n}B_{n}=A$ 가 되도록 하였습니다. 따라서 전측도의 정의에 의해,

\mu_{0}(A)=\sum_{n}\mu_{0}(B_{n})\leq\sum_{n}\mu_{0}(A_{n})

원하는 대로입니다. ∎

예제 36.2.4.

$\Omega=\mathbb{R}^{2}$ 이고 $\lambda_{0}$ 을 앞서 나온 전측도라 합시다. 그러면 $\lambda^{\ast}(A)$ 는 직관적으로 집합 $A$ 를 직사각형들로 덮는 덮개들의 하한입니다. 다음은 $A$ 가 단위 원판인 상황을 상상하는 데 사용할 수 있는 그림입니다.

그림 작성 예정: 직사각형들로 덮인 원들

36.3 외측도에 대한 Carathéodory 확장

이제 임의의 외측도를 취하여 이를 제대로 된 측도로 바꾸겠습니다. 이를 위해서는 먼저 측도를 정의할 $\sigma$ -대수를 지정해야 합니다.

정의 36.3.1.

$\mu^{\ast}$ 를 외측도라고 합시다. 집합 $A$ 가 $\mu^{\ast}$ 에 대해 Carathéodory 가측이다, 또는 줄여서 $\mu^{\ast}$ -가측이다라고 하는 것은 다음 조건이 성립하는 경우를 말합니다: 임의의 집합 $E\in 2^{\Omega}$ 에 대하여,

\mu^{\ast}(E)=\mu^{\ast}(E\cap A)+\mu^{\ast}(E\setminus A).

이 정의의 동기를 설명하기는 어렵지만, 결국 옳은 정의임이 밝혀집니다. 동기를 설명하는 한 가지 방법은 다음과 같습니다: $\mathbb{R}^{n}$ 에서는 이것이 합리적인 기하학적 조건(명제 36.4.3에서 서술할 것입니다)과 동치임이 밝혀지지만, 그 기하학적 정의는 $\mathbb{R}^{n}$ 자체에 대한 정보를 필요로 하므로, 이것이 일반적인 측도 공간에 대한 ”올바른” 일반화입니다.

우리의 목표가 $\mathscr{A}_{0}$ 를 확장하는 것이었으므로, 이 정의가 우리가 처음 시작했던 집합들을 측정할 수 있게 해주는지 반드시 확인해야 합니다!

명제 36.3.2 (Carathéodory 가측성은 초기 $\mathscr{A}_{0}$ 와 호환됩니다).

$\mu^{\ast}$ 가 정리 36.2.2에서처럼 대수 $\mathscr{A}_{0}$ 위의 전측도 $\mu_{0}$ 로부터 얻어졌다고 합시다. 그러면 $\mathscr{A}_{0}$ 의 모든 집합은 $\mu^{\ast}$ -가측입니다.

이는 초기 $\mu_{0}$ 가 적어도 전측도 공리를 만족하도록 하면 얻어지는 호환성 조건의 후반부입니다. (전반부는 정리 36.2.2의 (b)였습니다.)

증명.

$A\in\mathscr{A}_{0}$ 이고 $E\in 2^{\Omega}$ 라고 합시다; 우리는 $\mu^{\ast}(E)=\mu^{\ast}(E\cap A)+\mu^{\ast}(E\setminus A)$ 를 증명하고자 합니다. 외측도의 정의는 이미 $\mu^{\ast}(E)\leq\mu^{\ast}(E\cap A)+\mu^{\ast}(E\setminus A)$ 를 요구하므로, 역부등식만 증명하면 충분합니다.

하한의 정의에 의해, 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대해, $\mu^{\ast}(E)+\varepsilon\geq\sum_{n}\mu_{0}(A_{n})$ 을 만족하는 덮개 $E\subset\bigcup_{n}A_{n}$ 가 존재합니다. 그러나

\sum_{n}\mu_{0}(A_{n})=\sum_{n}\left(\mu_{0}(A_{n}\cap A)+\mu_{0}(A_{n}% \setminus A)\right)\geq\mu^{\ast}(E\cap A)+\mu^{\ast}(E\setminus A)

이며, 첫 번째 등식은 $\mathscr{A}_{0}$ 위의 전측도 정의에 의한 것이고, 두 번째는 단지 $\mu^{\ast}$ 의 정의에 의한 것입니다(예를 들어 $A_{n}\cap A$ 가 확실히 $E\cap A$ 를 덮으므로). 따라서 $\mu^{\ast}(E)+\varepsilon\geq\mu^{\ast}(E\cap A)+\mu^{\ast}(E\setminus A)$ 입니다. 이 부등식이 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대해 성립하므로, 증명이 끝났습니다. ∎

케이크 위에 추가로 장식을 올리자면, 여기 우리가 구성한 측도가 우연히 만족하게 될 또 하나의 좋은 조건이 있습니다.

정의 36.3.3.

측도 공간 $(\Omega,\mathscr{A},\mu)$ 의 영집합이란 $\mu(A)=0$ 을 만족하는 집합 $A\in\mathscr{A}$ 입니다. 측도 공간 $(\Omega,\mathscr{A},\mu)$ 는 $A$ 가 영집합일 때마다 $A$ 의 모든 부분집합 역시 $\mathscr{A}$ 에 속하는(따라서 영집합이 되는) 경우 완비라고 합니다.

이는 명백한 이유로 가지고 있으면 좋은 성질입니다. 시각적으로 보면, 제가 무게 0을 이미 부여한 먼지 한 무더기를 가지고 있고, 그중 일부를 불어서 날려버린다면, 남은 먼지에도 여전히 부여된 무게 — 0 — 이 있어야 합니다. 확장 정리는 이러한 성질을 갖는 $\sigma$ -대수를 우리에게 제공할 것입니다.

정리 36.3.4 (외측도에 대한 Carathéodory 확장 정리).

$\mu^{\ast}$ 가 외측도이고, $\mathscr{A}^{\text{cm}}$ 가 $\mu^{\ast}$ 에 대해 $\mu^{\ast}$ -가측인 집합들의 모임이라면, $\mathscr{A}^{\text{cm}}$ 는 $\Omega$ 위의 $\sigma$ -대수이며, $\mu^{\ast}$ 를 $\mathscr{A}^{\text{cm}}$ 로 제한한 $\mu^{\text{cm}}$ 는 완비 측도 공간을 이룹니다.

(발음 관련 첨언: 위첨자 ${}^{\text{cm}}$ 는 ”Carathéodory 가측(measurable)” 또는 ”완비(complete)”를 나타낸다고 생각할 수 있습니다. 둘 다 이 표기가 무엇을 나타내는지 기억하는 데 도움이 됩니다. 이 표기법은 표준은 아니지만, 말장난이 너무 좋아서 참을 수 없었습니다.)

따라서 정리 36.2.2와 정리 36.3.4를 합성하면, 대수 $\mathscr{A}_{0}$ 위의 모든 전측도 $\mu_{0}$ 는 완비 측도 $\mu^{\text{cm}}$ 를 갖는 $\sigma$ -대수 $\mathscr{A}^{\text{cm}}$ 를 자연스럽게 만들어내며, 우리의 두 호환성 결과(즉 정리 36.2.2의 (b)와 명제 36.3.2)는 $\mathscr{A}^{\text{cm}}\supset\mathscr{A}_{0}$ 이고 $\mu^{\text{cm}}$ 가 $\mu_{0}$ 와 일치함을 의미합니다.

다음은 이 과정을 보여주는 표로서, 표의 각 행을 따라 내려가는 것이 제한 과정에 대응합니다.

		순서 구성	참고사항
$2^{\Omega}$	$\mu^{\ast}$	2단계	$\mu^{\ast}$ 는 $\mu_{0}$ 로부터 얻어진 외측도입니다
$\mathscr{A}^{\text{cm}}$	$\mu^{\text{cm}}$	3단계	$\mathscr{A}^{\text{cm}}$ 는 $\mu^{\ast}$ -가측 집합들로 정의되며,
			$(\mathscr{A}^{\text{cm}},\mu^{\text{cm}})$ 는 완비입니다.
$\mathscr{A}_{0}$	$\mu_{0}$	1단계	$\mu_{0}$ 는 준측도입니다

36.4 르베그 측도 정의하기

이로써 마침내 $\mathbb{R}^{n}$ 위의 르베그 측도를 정의할 수 있습니다. 이제 모든 것을 한 번에 종합해 보겠습니다.

정의 36.4.1.

다음 절차에 따라 $\mathbb{R}^{n}$ 위의 측도를 만듭니다.

•

직육면체들이 생성하는 대수 $\mathcal{L}_{0}$ 에서 시작하여, 이 $\mathcal{L}_{0}$ 위에 전측도 $\lambda_{0}$ 를 정의합니다(이는 예시에서 대충 넘어갔던 부분입니다).
•

정리 36.2.2에 의해, 이는 $2^{\mathbb{R}^{n}}$ 위의 르베그 외측도 $\lambda^{\ast}$ 를 주며, 이는 모든 직육면체에 대해 호환됩니다.
•

Carathéodory에 의해(정리 36.3.4), 이는 $\lambda^{\ast}$ -가측 집합들의 $\sigma$ -대수 $\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n})$ 위의 완비 측도 $\lambda$ 로 제한되며(약속한 대로 모든 직사각형 상자를 포함합니다).³³3앞선 정리들과의 일관성을 위해서라면, 강조를 위해 $\mathcal{L}^{\text{cm}}$ 와 $\lambda^{\text{cm}}$ 로 표기하는 편을 선호했을 것입니다. 하지만 아무도 그렇게 하지 않는 것 같으므로, 저도 그렇게 하지 않겠습니다.

그 결과로 얻어지는 완비 측도는 $\lambda$ 로 표기하며, 르베그 측도라고 부릅니다.

우리가 얻은 대수 $\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n})$ 는 르베그 $\sigma$ -대수라고 부를 것이며, 이에 속하는 집합들은 르베그 가측이라고 합니다.

다음은 특수한 경우 $\Omega=\mathbb{R}^{n}$ 에 대해 값을 채워 넣은, 앞서 본 것과 동일한 표이며, 이는 우리에게 르베그 대수를 제공합니다.

		순서 구성	주해
$2^{\mathbb{R}^{n}}$	$\lambda^{\ast}$	2단계	$\lambda^{\ast}$ 는 르베그 외측도입니다
$\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n})$	$\lambda$	3단계	르베그 $\sigma$ -대수(완비)
$\mathcal{L}_{0}$	$\lambda_{0}$	1단계	직사각형에 대한 사전측도 정의

물론 여기까지 온 이상, 실제로 어떤 측도를 계산하고자 한다면 측도를 실제로 어떻게 구성했는지는 대체로 기꺼이 잊어버리고 그 성질들만 사용하면 됩니다. 어려운 부분은 측도를 일관되게 부여하는 방법이 존재한다는 것을 보이는 것이었습니다. 그 측도의 값이 존재한다는 것을 전제로 실제로 그 값을 알아내는 것은 대체로 훨씬 쉽습니다. 여기 하나의 예가 있습니다.

예제 36.4.2 (칸토어 집합은 측도 0입니다).

표준적인 중간 삼분의 일 칸토어 집합은 다음과 같이 얻어지는 $[0,1]$ 의 부분집합입니다: 먼저 열린구간 $(1/3,2/3)$ 을 제거합니다. 그러면 두 구간 $[0,1/3]$ 과 $[2/3,1]$ 이 남으며, 이 둘에서 다시 각각의 가운데 삼분의 일을 제거합니다. 즉 $(1/9,2/9)$ 과 $(7/9,8/9)$ 을 제거합니다. 이 과정을 무한히 반복하고 그 결과를 $C$ 라고 합니다. 아래에 그림이 나와 있습니다.

[12707]에서 가져온 이미지입니다

$C$ 가 비가산이라는 것은 고전적인 사실입니다(이는 숫자 $1$ 을 배제한 삼진 전개들로 이루어져 있습니다). 하지만 이는 가측이며(닫힌집합들의 교집합이기 때문입니다!), 우리는 이것이 측도 0을 가진다고 주장합니다. 실제로 $n$ 번째 단계에서 그 결과는 $(2/3)^{n}$ 의 측도가 남아 있습니다. 따라서 모든 $n$ 에 대해 $\mu(C)\leq(2/3)^{n}$ 이므로 $\mu(C)=0$ 이 강제됩니다.

훌륭하지만, 방 안의 코끼리가 하나 있습니다: 르베그 $\sigma$ -대수와 보렐 $\sigma$ -대수는 어떻게 관련되어 있을까요? 이 질문에 간단히 답하기 위해, 저는 두 가지 결과를 서술하겠습니다(다만 다른 답은 다음 절에서 주어집니다). 첫 번째는 기이한 Carathéodory 가측 가정에 대한 기하학적 해석입니다.

명제 36.4.3 (르베그 가측성에 대한 기하학적 해석).

집합 $A\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 가 르베그 가측일 필요충분조건은 모든 $\varepsilon>0$ 에 대해 다음을 만족하는 열린집합 $U\supset A$ 가 존재하는 것입니다

\lambda^{\ast}(U\setminus A)<\varepsilon

여기서 $\lambda^{\ast}$ 는 르베그 외측도입니다.

이것이 르베그의 원래 ”가측”의 정식화였다고 말하고 싶지만, 확실하지는 않습니다. 어쨌든 우리는 이를 사용할 필요는 없지만, 우리의 르베그 가측 정의가 소박한 기하학적 해석을 갖는다는 것을 보는 것은 좋습니다.

질문 36.4.4.

모든 열린집합이 르베그 가측임을 유도하십시오. 르베그 $\sigma$ -대수가 보렐 $\sigma$ -대수를 포함함을 결론지으십시오. (다른 증명이 뒤에서 주어집니다.)

그러나 이 포함관계는 진부분집합 관계입니다: 보렐 가측 집합보다 르베그 가측 집합이 더 많습니다. 실제로 (여기서는 다루지 않겠지만) 초한 귀납법을 사용하여 $\left\lvert\mathscr{B}(\mathbb{R})\right\rvert=\left\lvert\mathbb{R}\right\rvert$ 임을 증명할 수 있습니다.⁴⁴4개략적인 설명은 https://math.stackexchange.com/a/70891을 참고하십시오. 이를 이용하면 다음을 얻습니다:

연습문제 36.4.5.

보렐 $\sigma$ -대수가 완비가 아님을 보이십시오. (힌트: 칸토어 집합을 고려하십시오. 비가측 집합의 예를 직접 적어낼 수는 없겠지만, 기수 논증을 사용할 수 있습니다.) 따라서 르베그 $\sigma$ -대수는 보렐 $\sigma$ -대수를 진부분집합으로서 포함합니다.

그럼에도 불구하고, 완비성이라는 개념을 이용하여 르베그 $\sigma$ -대수를 기술하는 훌륭한 방법이 있습니다.

정의 36.4.6.

$(\Omega,\mathscr{A},\mu)$ 를 측도 공간이라고 합시다. 완비화 $(\Omega,\overline{\mathscr{A}},\overline{\mu})$ 는 다음과 같이 정의됩니다: 우리는 다음과 같이 둡니다

\overline{\mathscr{A}}=\left\{A\cup N\mid A\in\mathscr{A},N\text{영집합의 부분집합}% \right\}.

그리고 $\overline{\mu}(A\cup N)=\mu(A)$ 라고 둡니다. 이것이 잘 정의되어 있음을 확인할 수 있으며, 실제로 $\overline{\mu}$ 는 $\mu$ 를 $\mathscr{A}$ 에서 $\overline{\mathscr{A}}$ 로 확장한 유일한 확장입니다.

이것은 실제보다 더 복잡해 보입니다. 직관적으로, 우리가 하고 있는 일은 영집합의 임의의 부분집합 역시 측도 영을 갖는 것으로 간주하도록 $\overline{\mu}$ 에게 알려줌으로써 측도를 ”완비화”하는 것뿐입니다.

그러면, 구원의 손길은:

정리 36.4.7 (르베그는 보렐의 완비화입니다).

$\mathbb{R}^{n}$ 에 대해, 르베그 측도는 보렐 측도의 완비화입니다.

증명.

이는 사실 다음 절의 결과, 즉 연습문제 36.5.1과 준측도에 대한 Carathéodory 정리의 (c) 부분(정리 36.5.5)으로부터 따라 나옵니다. ∎

36.5 네 번째 행: 준측도에 대한 Carathéodory 정리

대표적인 예: 르베그 측도에 대한 네 번째 행은 $\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$ 입니다.

많은 경우, $\mathscr{A}^{\text{cm}}$ 는 실제로 우리의 원래 목표보다 더 크며, 대신 우리는 $\mathscr{A}_{0}$ 위의 $\mu_{0}$ 를 $\mathscr{A}$ 위의 $\mu$ 로 확장하기만 하면 됩니다. 여기서 $\mathscr{A}$ 는 $\mathscr{A}_{0}$ 에 의해 생성된 $\sigma$ -대수입니다. 실제로, 우리의 원래 목표는 $\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$ 를 얻는 것이었으며, 사실상:

연습문제 36.5.1.

$\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$ 가 앞서 정의한 $\mathcal{L}_{0}$ 에 의해 생성된 $\sigma$ -대수임을 보이십시오.

다행히도, 이 제한은 하기가 자명합니다.

질문 36.5.2.

$\mathscr{A}^{\text{cm}}\supset\mathscr{A}$ 임을 보이십시오. 따라서 우리는 $\mu^{\text{cm}}$ 를 그냥 $\mathscr{A}$ 로 제한하면 됩니다.

우리는 잠시 후 이것을 우리 표의 네 번째 행으로 추가할 것입니다.

하지만 이것이 최종 목표라면, 종종 하나 더 좋은 성질이 성립하기 때문에 다소 다른 카라테오도리(Carathéodory) 정리를 서술할 수 있습니다:

정의 36.5.3.

$\Omega$ 위의 준측도 또는 측도 $\mu$ 는, $\Omega$ 가 각 $n$ 에 대해 $\mu(A_{n})<\infty$ 를 만족하는 가산 합집합 $\Omega=\bigcup_{n}A_{n}$ 으로 쓰일 수 있을 때 $\sigma$ -유한이라고 합니다.

질문 36.5.4.

우리가 가지고 있던 준측도 $\lambda_{0}$ 뿐만 아니라 보렐 측도 $\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$ 도 둘 다 $\sigma$ -유한임을 보이십시오.

사실, 우리에게는 $\sigma$ -유한이 기본적으로 항상 성립할 것이므로, 여러분은 대체로 이를 그냥 당연한 것으로 받아들이셔도 됩니다.

정리 36.5.5 (예측도에 대한 카라테오도리(Carathéodory) 확장 정리).

$\mu_{0}$ 를 $\Omega$ 의 대수 $\mathscr{A}_{0}$ 위의 준측도라 하고, $\mathscr{A}$ 를 $\mathscr{A}_{0}$ 에 의해 생성된 $\sigma$ -대수라 합시다. $\mathscr{A}^{\text{cm}}$ , $\mu^{\text{cm}}$ 를 정리 36.3.4에서와 같다고 합시다. 그러면:

(a)

$\mathscr{A}$ 로 제한된 $\mu^{\text{cm}}$ 는 $\mu_{0}$ 를 확장하는 측도 $\mu$ 를 줍니다.
(b)

$\mu_{0}$ 가 $\sigma$ -유한이었다면, $\mu$ 는 $\mu_{0}$ 의 $\mathscr{A}$ 로의 유일한 확장입니다.
(c)

$\mu_{0}$ 가 $\sigma$ -유한이었다면, $\mu^{\text{cm}}$ 는 $\mu$ 의 완비화이며, 따라서 $\mu_{0}$ 의 $\mathscr{A}^{\text{cm}}$ 로의 유일한 확장입니다.

다음은 $\mu_{0}$ 가 실제로 $\sigma$ -유한이었을 경우의 설명이 달린, 갱신된 표입니다.

		순서 구성	주해
$2^{\Omega}$	$\mu^{\ast}$	2단계	$\mu^{\ast}$ 는 $\mu_{0}$ 로부터 얻어진 외측도입니다
$\mathscr{A}^{\text{cm}}$	$\mu^{\text{cm}}$	3단계	$(\mathscr{A}^{\text{cm}},\mu^{\text{cm}})$ 는 $(\mathscr{A},\mu)$ 의 완비화입니다,
			$\mathscr{A}^{\text{cm}}$ 는 $\mu^{\ast}$ -가측 집합들로 정의됩니다
$\mathscr{A}$	$\mu$	4단계	$\mathscr{A}$ 는 $\mathscr{A}_{0}$ 에 의해 생성된 $\sigma$ -대수로 정의됩니다
$\mathscr{A}_{0}$	$\mu_{0}$	1단계	$\mu_{0}$ 는 전측도입니다

그리고 다음은 보렐과 르베그가 포함된, $\Omega=\mathbb{R}^{n}$ 에 대한 표입니다.

		순서 구성	주해
$2^{\mathbb{R}^{n}}$	$\lambda^{\ast}$	2단계	$\lambda^{\ast}$ 는 르베그 외측도입니다
$\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n})$	$\lambda$	3단계	르베그 $\sigma$ -대수, 보렐 $\sigma$ -대수의 완비화
$\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$	$\mu$	4단계	보렐 $\sigma$ -대수, $\mathcal{L}_{0}$ 에 의해 생성됨
$\mathcal{L}_{0}$	$\lambda_{0}$	1단계	직사각형에 대한 사전 측도 정의

표의 한 행을 내려가는 것은 제한에 대응하며, $\mu_{0}\to\mu\to\mu^{\text{cm}}$ 의 각 단계는 $\mu_{0}$ 가 $\sigma$ -유한일 때 유일한 확장입니다.

정리 36.5.5의 증명.

(a)에 대해: 이는 단지 정리 36.2.2와 정리 36.3.4를 결합한 것으로, $\mathscr{A}^{\text{cm}}\supset\mathscr{A}_{0}$ 이며 따라서 $\mathscr{A}^{\text{cm}}\supset\mathscr{A}$ 라는 관찰과 결합됩니다. (b)와 (c) 부분은 더 기술적이므로 생략합니다. ∎

36.6 지금부터, 우리는 보렐 측도를 가정합니다

작성 예정: 그 이유를 설명하십시오

36.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 36A (임의의 $\rho$ 로부터 외측도 구성하기).

집합 $\Omega$ 에 대해, $\mathcal{E}$ 를 $2^{\Omega}$ 의 임의의 부분집합이라 하고 $\rho\colon\mathcal{E}\to[0,+\infty]$ 를 임의의 함수라 합시다. 다음을 증명하십시오

\mu^{\ast}(E)=\inf\left\{\sum_{n=1}^{\infty}\rho(E_{n})\mid E_{n}\in\mathcal{E% },\;E\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}\right\}

은 외측도입니다.

문제 36B (미친 과학자).

$\Omega=\mathbb{R}^{2}$ 라 하고, $\mathcal{E}$ 를 (퇴화하지 않은) 직사각형의 집합이라 합시다. 모든 직사각형 $E\in\mathcal{E}$ 에 대해 $\rho(E)=1$ 이라 합시다. 저의 조언을 무시하고, 그 미친 과학자는 문제 36A에서와 같이 $\rho$ 를 사용하여 외측도 $\mu^{\ast}$ 를 구성합니다.

(a)

$\mathbb{R}^{2}$ 의 각 부분집합 $S$ 에 대해 $\mu^{\ast}(S)$ 를 구하십시오.
(b)

어떤 집합들이 $\mu^{\ast}$ -가측입니까?

어떤 직사각형도 $\mu^{\ast}$ -가측이 아니라는 것을 알게 될 것이며, 이는 놀랍지 않게도 그 과학자를 좌절시킵니다.

힌트. 다음을 보이십시오

$\mu^{\ast}(S)=\begin{cases}0&S=\varnothing\\ 1&S\text{유계이고 공집합이 아님}\\ \infty&S\text{유계가 아닙니다}.\end{cases}$

이를 이용하면 (b)를 쉽게 풀 수 있습니다; 답은 그저 $\varnothing$ 과 $\Omega$ 입니다.

문제 36C.

^†^†margin:

함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 연속이라고 합시다. $f$ 는 $\mathbb{R}$ 위의 르베그 측도에 대해 반드시 가측이어야 합니까?