장 36 보렐 측도와 르베그 측도의 구성

보렐 공간 $\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$ 위의 측도를 단번에 정의하기는 매우 어렵습니다. 더 약한 개념을 먼저 정의하면 더 쉽습니다. 우리가 정의할 더 약한 개념은 다음 두 가지입니다.

•

준측도: 측도의 공리를 만족하지만, 측도보다 더 적은 집합 위에서 정의됩니다. 즉, 완전한 “ $\sigma$ -대수”가 아니라 “대수” 위에서 정의됩니다.
•

외측도: $2^{\Omega}$ 위에서 정의되지만 더 약한 공리를 만족합니다.

준측도로부터 외측도를 얻고, 외측도로부터 측도를 얻게 됨을 보일 것입니다.

36.1 준측도

대표적인 예: $\Omega=\mathbb{R}^{2}$ 라고 합시다. 그러면 직사각형들로 생성된 $\mathscr{A}_{0}$ 를 잡고, $\mu_{0}$ 를 통상적인 넓이로 둡니다.

준측도를 정의하는 방법은 $\sigma$ -대수를 대수로 약화하는 것입니다.

정의 36.1.1.

$\Omega$ 를 집합이라고 합시다. 대수의 개념을 정의하는데, 이는 모든 곳에서 “가산”을 유한으로 바꾼 것을 제외하면 $\sigma$ -대수와 같습니다.

즉, $\Omega$ 위의 대수 $\mathscr{A}_{0}$ 는 $2^{\Omega}$ 의 공집합이 아닌 부분집합으로서 여집합과 유한 합집합에 대해 닫혀 있는 것입니다. 부분집합 $\mathscr{F}\subseteq 2^{\Omega}$ 를 포함하는 가장 작은 대수를 $\mathscr{F}$ 로 생성된 대수라고 합니다.

실제로는 대수를 거의 항상 생성을 통해 다룰 것입니다.

예제 36.1.2.

$\Omega=\mathbb{R}^{n}$ 일 때, $\mathcal{L}_{0}$ 를 $[a_{1},b_{1}]\times\dots\times[a_{n},b_{n}]$ 로 생성된 대수로 둘 수 있습니다. 전형적인 원소는 다음과 같은 모습입니다.

놀랍지 않게도, 유한 개의 직사각형과 그 여집합만이 관여하므로, 이 경우에는 실제로 넓이를 모호함 없이 부여할 수 있으며, 곧 그렇게 할 것입니다.

정의 36.1.3.

대수 $\mathscr{A}_{0}$ 위의 준측도 $\mu_{0}$ 는 다음 공리를 만족하는 함수 $\mu_{0}\colon\mathscr{A}_{0}\to[0,+\infty]$ 입니다.

•

$\mu_{0}(\varnothing)=0$ 이고,
•

가산 가법성: $A_{1}$ , $A_{2}$ , … 가 $\mathscr{A}_{0}$ 의 서로소인 집합들이고 더욱이 서로소 합집합 $\bigsqcup A_{i}$ 가 $\mathscr{A}_{0}$ 에 속한다면(대수의 공리로는 보장되지 않습니다!), 다음이 성립합니다.

$\mu_{0}\left(\bigsqcup_{n}A_{n}\right)=\sum_{n}\mu_{0}(A_{n}).$

예제 36.1.4 ( $\mathbb{R}^{n}$ 위의 준측도).

$\Omega=\mathbb{R}^{2}$ 라고 합시다. 그리고 $\mathcal{L}_{0}$ 를 직사각형 $[a_{1},a_{2}]\times[b_{1},b_{2}]$ 로 생성된 대수라고 합시다. 그러면 다음과 같이 둡니다.

\mu_{0}\left([a_{1},a_{2}]\times[b_{1},b_{2}]\right)=(a_{2}-a_{1})(b_{2}-b_{1})

이는 직사각형의 넓이입니다. $\mathcal{L}_{0}$ 의 원소는 단순히 직사각형과 그 여집합의 유한 합집합이므로(앞서 그린 그림 참조), 이것을 기대하는 대로 동작하는 준측도 $\lambda_{0}$ 로 확장하는 것은 어렵지 않습니다 — 다만 여기서 그렇게 하지는 않겠습니다.

개념적으로 중요한 것으로 드러나는 무언가를 덮어 두고 넘어가는 것이므로, 이를 파란 상자에 넣어 두겠습니다.

명제 36.1.5 (증명하지 않을 기하학적 타당성 점검).

$\Omega=\mathbb{R}^{n}$ 이고 $\mathcal{L}_{0}$ 이 직사각 프리즘으로 생성된 대수일 때, $\mathcal{L}_{0}$ 위에 준측도 $\lambda_{0}$ 를 정의할 수 있습니다.

이제부터 측도 $\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$ 을 정의할 때 기하학은 기본적으로 거의 전혀 사용하지 않을 것이며¹¹1선의의 거짓말입니다. 엄밀히 말하면 사실 하나를 더 사용할 것입니다. 즉, 연습문제 36.5.1에서처럼 $\mathbb{R}^{n}$ 의 열린집합은 가산 무한 개의 직사각형으로 덮일 수 있다는 사실입니다. 다만 이 단계에는 넓이를 부여하는 일이 전혀 관여하지 않습니다., 측도를 확장하는 데에는 집합론만 사용할 것입니다. 따라서 명제 36.1.5은 우리의 “초기 정의”가 타당한지를 확인하는 유일한 파수꾼입니다.

다른 방식으로 말하자면, 어떤 정신 나간 과학자²²2“미친 과학자”는 과대평가되어 있기 때문입니다.가 모든 직사각형의 넓이가 $1$ 인 넓이 개념을 정의하려 했다고 가정합시다. 직관적으로 이는 가능하지 않아야 합니다. 모든 직사각형은 두 개의 절반으로 나눌 수 있고, $1+1\neq 1$ 이어야 하기 때문입니다. 그러나 그들을 막을 수 있는 유일한 것은 대수 $\mathcal{L}_{0}$ 위의 준측도를 확장할 수 없다는 점뿐입니다. 만약 그들이 어떻게든 그 장벽을 넘어 준측도를 얻는다면, 이 절의 나머지 부분에서는 그들이 이 성질을 갖는 완전한 진정한 측도를 얻는 것을 막을 것이 아무것도 없습니다. 따라서 르베그 측도의 구성에서 기하학적 작업의 대부분은 명제 36.1.5의 (생략된) 증명에 담겨 있습니다.

36.2 외측도

대표적인 예: 계속해서 $\Omega=\mathbb{R}^{2}$ 로 둡니다. 이어지는 그림을 참고하십시오.

측도를 약화하는 또 다른 방법은 가산 가법성을 완화하는 것이며, 그러면 다음을 얻습니다.

정의 36.2.1.

집합 $\Omega$ 위의 외측도 $\mu^{\ast}$ 는 다음 공리들을 만족하는 함수 $\mu^{\ast}\colon 2^{\Omega}\to[0,+\infty]$ 입니다.

•

$\mu^{\ast}(\varnothing)=0$ ;
•

$E\subseteq F$ 이고 $E,F\in 2^{\Omega}$ 이면 $\mu^{\ast}(E)\leq\mu^{\ast}(F)$ 입니다.
•

$\Omega$ 의 임의의 부분집합 $E_{1}$ , $E_{2}$ , … 에 대하여 다음이 성립합니다.

$\mu^{\ast}\left(\bigcup_{n}E_{n}\right)\leq\sum_{n}\mu^{\ast}(E_{n}).$

(저는 “외측도”라는 말을 별로 좋아하지 않습니다. 약간 잘못 붙은 이름이라고 생각하기 때문입니다. 이것 역시 측도가 아니므로, 차라리 “가짜 측도”라고 부르고 싶습니다.)

“외측도”라는 이름이 붙은 이유는 외측도를 거의 항상 “바깥쪽” 집합들로 근사하여 얻기 때문입니다. 공식적으로는 이 결과를 흔히 다음과 같이 서술합니다(문제 36A로).

집합 $\Omega$ 에 대하여 $\mathcal{E}$ 를 $2^{\Omega}$ 의 임의의 부분집합이라 하고, $\rho\colon\mathcal{E}\to[0,+\infty]$ 를 임의의 함수라 합시다. 그러면

$\mu^{\ast}(E)=\inf\left\{\sum_{n=1}^{\infty}\rho(E_{n})\mid E_{n}\in\mathcal{E% },\;E\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}\right\}$

는 외측도입니다.

그러나 저는 위 정리를 실제로 사용하는 것은 기본적으로 언제나 잘못이라고 생각합니다. 지나치게 일반적이기 때문입니다. 정신 나간 과학자의 예로 경고했듯이, 우리는 $\rho$ 에 어떤 종류의 건전성 조건을 정말로 원합니다. 그렇지 않으면 위 결과를 서술된 그대로 적용할 경우 $\mu^{\ast}$ 가 $\rho$ 와 어떤 식으로든 양립한다는 보장이 없습니다.

그러므로 결과로 얻는 $\mu^{\ast}$ 가 $\mu_{0}$ 와 호환된다는 어떤 보장이 실제로 있는 준측도 $\mu_{0}$ 에 정리를 적용하는 편이 정말로 더 낫다고 생각합니다. 실제로 우리가 외측도를 구성하고자 할 때는 항상 이 방법을 사용할 것입니다.

정리 36.2.2 (준측도로부터 외측도 구성하기).

$\mu_{0}$ 를 집합 $\Omega$ 위의 대수 $\mathscr{A}_{0}$ 위의 준측도라고 합시다.

(a)

다음으로 정의되는 사상 $\mu^{\ast}\colon 2^{\Omega}\to[0,+\infty]$

$\mu^{\ast}(E)=\inf\left\{\sum_{n=1}^{\infty}\mu_{0}(A_{n})\mid A_{n}\in% \mathscr{A}_{0},\;E\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right\}$

는 외측도입니다.
(b)

더욱이 이 측도는 $\mathscr{A}_{0}$ 에 속하는 집합들 위에서 $\mu_{0}$ 와 일치합니다.

직관적으로 말하면, $\mu^{\ast}(A)$ 는 $\mathscr{A}_{0}$ 의 원소들의 가산 합집합으로 $A$ 를 덮는 덮개들의 하한입니다. (b)는 제가 약속한 양립 조건의 앞쪽 절반이며, 나머지 절반은 나중에 명제 36.3.2로 나타납니다.

정리 36.2.2의 증명.

이미 암시했듯이, (a)는 문제 36A의 특수한 경우입니다(그리고 이러한 일반성에서 증명하는 것이 실제로 더 쉽습니다. 불필요한 성질들에 주의를 빼앗기지 않기 때문입니다).

이제 (b), 즉 $A\in\mathscr{A}_{0}$ 에 대하여 $\mu^{\ast}(A)=\mu_{0}(A)$ 임을 확인합니다. 한쪽 부등식은 금방 얻어집니다.

질문 36.2.3.

$\mu^{\ast}(A)\leq\mu_{0}(A)$ 임을 보이십시오.

반대 방향을 보이기 위해 $A\subseteq\bigcup_{n}A_{n}$ 이라 가정합시다. 그리고 다음과 같이 집합들을 정의합니다.

	$\displaystyle B_{1}$	$\displaystyle=A\cap A_{1}$
	$\displaystyle B_{2}$	$\displaystyle=(A\cap A_{2})\setminus B_{1}$
	$\displaystyle B_{3}$	$\displaystyle=(A\cap A_{3})\setminus(B_{1}\cup B_{2})$
		$\displaystyle\mathmakebox[width("{}={}")][c]{\vdots}$

이와 같이 계속합니다. 그러면 $B_{n}$ 들은 $B_{n}\subset A_{n}$ 을 만족하는 $\mathscr{A}_{0}$ 의 서로소인 원소들이며, $\bigsqcup_{n}B_{n}=A$ 가 되도록 정의를 맞추어 두었습니다. 따라서 준측도의 정의에 의해 다음이 성립합니다.

\mu_{0}(A)=\sum_{n}\mu_{0}(B_{n})\leq\sum_{n}\mu_{0}(A_{n})

이므로 원하는 결과를 얻습니다. ∎

예제 36.2.4.

$\Omega=\mathbb{R}^{2}$ 이고 $\lambda_{0}$ 를 앞에서 본 준측도라고 합시다. 그러면 직관적으로 $\lambda^{\ast}(A)$ 는 집합 $A$ 를 직사각형들로 덮는 덮개들의 하한입니다. 다음은 $A$ 가 단위 원판인 상황을 상상할 때 사용할 수 있는 그림입니다.

그림 작성 예정: 직사각형들로 덮인 원들

36.3 외측도에 대한 Carathéodory 확장

이제 임의의 외측도를 취하여 제대로 된 측도로 바꾸겠습니다. 이를 위해서는 먼저 측도를 정의할 $\sigma$ -대수를 지정해야 합니다.

정의 36.3.1.

$\mu^{\ast}$ 가 외측도라고 합시다. 다음 조건이 성립할 때 집합 $A$ 를 $\mu^{\ast}$ 에 대하여 Carathéodory 가측이라고 하거나, 간단히 $\mu^{\ast}$ -가측이라고 합니다. 임의의 집합 $E\in 2^{\Omega}$ 에 대하여,

\mu^{\ast}(E)=\mu^{\ast}(E\cap A)+\mu^{\ast}(E\setminus A).

이 정의는 동기를 설명하기 어렵지만, 결국 올바른 정의임이 드러납니다. 동기를 설명하는 한 가지 방법은 다음과 같습니다. $\mathbb{R}^{n}$ 에서는 이 정의가 합리적인 기하학적 조건(명제 36.4.3에서 서술하겠습니다)과 동치임이 밝혀집니다. 그러나 그 기하학적 정의에는 $\mathbb{R}^{n}$ 자체에 대한 정보가 필요하므로, 일반적인 측도 공간에서는 이것이 “올바른” 일반화입니다.

우리의 목표는 $\mathscr{A}_{0}$ 를 확장하는 것이었으므로, 이 정의로 처음에 시작한 집합들을 측정할 수 있는지 반드시 확인해 두는 것이 좋습니다!

명제 36.3.2 (Carathéodory 가측성은 처음의 $\mathscr{A}_{0}$ 와 양립합니다).

정리 36.2.2에서처럼 $\mu^{\ast}$ 가 대수 $\mathscr{A}_{0}$ 위의 준측도 $\mu_{0}$ 로부터 얻어졌다고 가정합시다. 그러면 $\mathscr{A}_{0}$ 의 모든 집합은 $\mu^{\ast}$ -가측입니다.

이것은 처음의 $\mu_{0}$ 가 적어도 준측도 공리를 만족하도록 보장하면 얻을 수 있는 호환성 조건의 나머지 절반입니다. (처음 절반은 정리 36.2.2의 (b)였습니다.)

증명.

$A\in\mathscr{A}_{0}$ 이고 $E\in 2^{\Omega}$ 라고 합시다. 우리는 $\mu^{\ast}(E)=\mu^{\ast}(E\cap A)+\mu^{\ast}(E\setminus A)$ 임을 증명하려고 합니다. 외측도의 정의에 의해 이미 $\mu^{\ast}(E)\leq\mu^{\ast}(E\cap A)+\mu^{\ast}(E\setminus A)$ 가 성립하므로, 반대 방향의 부등식만 증명하면 충분합니다.

하한의 정의에 의해, 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대하여 $\mu^{\ast}(E)+\varepsilon\geq\sum_{n}\mu_{0}(A_{n})$ 을 만족하는 덮개 $E\subset\bigcup_{n}A_{n}$ 이 존재합니다. 그런데

\sum_{n}\mu_{0}(A_{n})=\sum_{n}\left(\mu_{0}(A_{n}\cap A)+\mu_{0}(A_{n}% \setminus A)\right)\geq\mu^{\ast}(E\cap A)+\mu^{\ast}(E\setminus A)

이며, 첫 번째 등식은 $\mathscr{A}_{0}$ 위의 준측도의 정의이고, 두 번째는 단지 $\mu^{\ast}$ 의 정의에 의한 것입니다(예를 들어 $A_{n}\cap A$ 는 분명히 $E\cap A$ 를 덮기 때문입니다). 따라서 $\mu^{\ast}(E)+\varepsilon\geq\mu^{\ast}(E\cap A)+\mu^{\ast}(E\setminus A)$ 입니다. 이 부등식이 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대하여 성립하므로 증명이 끝납니다. ∎

금상첨화로, 우리가 구성한 측도가 마침 만족하게 되는 좋은 성질을 하나 더 소개합니다.

정의 36.3.3.

측도 공간 $(\Omega,\mathscr{A},\mu)$ 의 영집합이란 $\mu(A)=0$ 인 집합 $A\in\mathscr{A}$ 를 말합니다. $A$ 가 영집합일 때마다 $A$ 의 모든 부분집합도 $\mathscr{A}$ 에 속하면(따라서 영집합이면), 측도 공간 $(\Omega,\mathscr{A},\mu)$ 를 완비라고 합니다.

이것은 명백한 이유로 갖추고 있으면 좋은 성질입니다. 시각적으로 설명하면, 제가 이미 무게 0을 부여한 먼지 더미가 있을 때 그 먼지의 일부를 불어 날려 버리면, 남은 먼지에도 여전히 부여된 무게가 있어야 합니다 — 바로 0입니다. 확장 정리를 사용하면 이 성질을 갖는 $\sigma$ -대수를 얻을 수 있습니다.

정리 36.3.4 (외측도에 대한 Carathéodory 확장 정리).

$\mu^{\ast}$ 가 외측도이고 $\mathscr{A}^{\text{cm}}$ 가 $\mu^{\ast}$ 에 대한 $\mu^{\ast}$ -가측 집합들의 모임이면, $\mathscr{A}^{\text{cm}}$ 는 $\Omega$ 위의 $\sigma$ -대수이고, $\mu^{\ast}$ 를 $\mathscr{A}^{\text{cm}}$ 로 제한한 $\mu^{\text{cm}}$ 는 완비 측도 공간을 이룹니다.

(발음에 관한 주석: 위첨자 ${}^{\text{cm}}$ 는 “Carathéodory measurable(Carathéodory 가측)” 또는 “complete(완비)”를 나타낸다고 생각하면 됩니다. 두 가지 모두 이 기호가 무엇을 나타내는지 기억하는 데 도움이 됩니다. 이 표기법은 표준이 아니지만, 말장난이 너무 좋아서 참을 수 없었습니다.)

따라서 정리 36.2.2와 정리 36.3.4를 합성하면, 대수 $\mathscr{A}_{0}$ 위의 모든 준측도 $\mu_{0}$ 는 자연스럽게 완비 측도 $\mu^{\text{cm}}$ 를 갖춘 $\sigma$ -대수 $\mathscr{A}^{\text{cm}}$ 를 준다는 것을 알 수 있으며, 두 호환성 결과(즉 정리 36.2.2의 (b)와 명제 36.3.2)는 $\mathscr{A}^{\text{cm}}\supset\mathscr{A}_{0}$ 이고 $\mu^{\text{cm}}$ 가 $\mu_{0}$ 와 일치한다는 것을 뜻합니다.

다음은 이 과정을 보여 주는 표이며, 표의 각 행을 따라 아래로 내려가는 것은 제한 과정에 해당합니다.

		구성 순서	참고
$2^{\Omega}$	$\mu^{\ast}$	2단계	$\mu^{\ast}$ 는 $\mu_{0}$ 로부터 얻은 외측도입니다
$\mathscr{A}^{\text{cm}}$	$\mu^{\text{cm}}$	3단계	$\mathscr{A}^{\text{cm}}$ 는 $\mu^{\ast}$ -가측 집합들로 정의되며,
			$(\mathscr{A}^{\text{cm}},\mu^{\text{cm}})$ 는 완비입니다.
$\mathscr{A}_{0}$	$\mu_{0}$	1단계	$\mu_{0}$ 는 준측도입니다

36.4 르베그 측도의 정의

이로써 마침내 $\mathbb{R}^{n}$ 위의 르베그 측도를 정의할 수 있습니다. 이제 모든 것을 한꺼번에 정리하겠습니다.

정의 36.4.1.

다음 절차에 따라 $\mathbb{R}^{n}$ 위의 측도를 만듭니다.

•

직사각 프리즘으로 생성된 대수 $\mathcal{L}_{0}$ 에서 시작하여, 이 $\mathcal{L}_{0}$ 위에 준측도 $\lambda_{0}$ 를 정의합니다(이 부분은 예제에서 대충 넘어갔습니다).
•

정리 36.2.2에 의해, 이로부터 $2^{\mathbb{R}^{n}}$ 위의 르베그 외측도 $\lambda^{\ast}$ 를 얻으며, 이는 모든 직사각 프리즘 위에서 호환됩니다.
•

카라테오도리 정리(정리 36.3.4)에 의해, 이것을 $\lambda^{\ast}$ -가측 집합들의 $\sigma$ -대수 $\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n})$ (약속한 대로 모든 직사각 프리즘을 포함합니다) 위로 제한하면 완비 측도 $\lambda$ 를 얻습니다.³³3앞의 정리들과 일관성을 유지하려면, 강조를 위해 $\mathcal{L}^{\text{cm}}$ 와 $\lambda^{\text{cm}}$ 로 쓰는 편을 선호할 수도 있습니다. 하지만 아무도 그렇게 쓰지 않는 것 같으므로 저도 그렇게 쓰지 않겠습니다.

이렇게 얻은 완비 측도를 $\lambda$ 로 나타내고, 르베그 측도라고 부릅니다.

우리가 얻은 대수 $\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n})$ 을 르베그 $\sigma$ -대수라고 부르겠습니다. 여기에 속하는 집합은 르베그 가측이라고 합니다.

다음은 앞서 본 것과 같은 표에 특수한 경우 $\Omega=\mathbb{R}^{n}$ 의 값을 채워 넣은 것입니다. 이 경우에서 르베그 대수를 얻습니다.

		구성 순서	참고
$2^{\mathbb{R}^{n}}$	$\lambda^{\ast}$	2단계	$\lambda^{\ast}$ 는 르베그 외측도입니다
$\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n})$	$\lambda$	3단계	르베그 $\sigma$ -대수(완비)
$\mathcal{L}_{0}$	$\lambda_{0}$	1단계	직사각형 위에서 준측도를 정의합니다

물론 여기까지 왔으니, 실제로 측도를 계산하고 싶다면 측도를 실제로 어떻게 구성했는지는 대체로 기꺼이 잊어버리고 그 성질만 사용하면 됩니다. 어려운 부분은 측도를 일관되게 부여하는 방법이 존재한다는 것을 보이는 일이었습니다. 측도가 존재한다는 전제하에 그 값이 실제로 얼마인지 알아내는 일은 대개 훨씬 쉽습니다. 다음은 그 예입니다.

예제 36.4.2 (칸토어 집합은 측도가 0입니다).

표준 삼등분 칸토어 집합은 다음과 같이 얻는 $[0,1]$ 의 부분집합입니다. 먼저 열린구간 $(1/3,2/3)$ 을 삭제합니다. 그러면 두 구간 $[0,1/3]$ 과 $[2/3,1]$ 이 남는데, 두 구간 모두에서 다시 가운데 3분의 1을 삭제합니다. 즉 $(1/9,2/9)$ 와 $(7/9,8/9)$ 를 삭제합니다. 이 과정을 끝없이 반복하고 그 결과를 $C$ 로 나타냅니다. 아래에 그림이 있습니다.

[12707]에서 가져온 화상입니다.

$C$ 가 비가산이라는 것은 고전적인 사실입니다( $C$ 는 숫자 $1$ 이 나오지 않는 삼진 전개들로 이루어져 있습니다). 하지만 $C$ 는 가측이며(닫힌집합들의 교집합입니다!) 우리는 그 측도가 0이라고 주장합니다. 실제로 $n$ 번째 단계에서 남은 결과의 측도는 $(2/3)^{n}$ 입니다. 따라서 모든 $n$ 에 대해 $\mu(C)\leq(2/3)^{n}$ 이므로 $\mu(C)=0$ 일 수밖에 없습니다.

훌륭한 결과이지만, 그냥 넘어갈 수 없는 커다란 문제가 하나 있습니다. 르베그 $\sigma$ -대수와 보렐 $\sigma$ -대수는 어떤 관계일까요? 이 질문에 간단히 답하기 위해 두 가지 결과를 제시하겠습니다(다음 절에서 또 다른 답을 제시합니다). 첫 번째는 낯선 Carathéodory 가측 가정의 기하학적 해석입니다.

명제 36.4.3 (르베그 가측성의 기하학적 해석).

집합 $A\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 이 르베그 가측일 필요충분조건은 모든 $\varepsilon>0$ 에 대해 다음을 만족하는 열린집합 $U\supset A$ 가 존재하는 것입니다.

\lambda^{\ast}(U\setminus A)<\varepsilon

여기서 $\lambda^{\ast}$ 는 르베그 외측도입니다.

이것이 르베그가 원래 제시한 “가측”의 정식화였다고 말하고 싶지만, 확실하지는 않습니다. 어쨌든 이 결과를 사용할 필요는 없겠지만, 우리의 르베그 가측 정의가 알기 쉬운 기하학적 해석을 가진다는 것을 확인해 두면 좋습니다.

질문 36.4.4.

모든 열린집합이 르베그 가측임을 유도하십시오. 르베그 $\sigma$ -대수가 보렐 $\sigma$ -대수를 포함한다고 결론지으십시오. (다른 증명은 나중에 제시합니다.)

하지만 이 포함 관계는 진포함입니다. 르베그 가측 집합이 보렐 집합보다 더 많습니다. 실제로 초한 귀납법을 사용하면(여기서 하지는 않겠지만) $\left\lvert\mathscr{B}(\mathbb{R})\right\rvert=\left\lvert\mathbb{R}\right\rvert$ 임을 증명할 수 있습니다.⁴⁴4개략적인 증명은 https://math.stackexchange.com/a/70891을 참고하십시오. 이를 이용하면 다음을 얻습니다.

연습문제 36.4.5.

보렐 $\sigma$ -대수가 완비가 아님을 보이십시오. (힌트: 칸토어 집합을 생각하십시오. 비가측 집합의 예를 구체적으로 적을 수는 없겠지만, 기수 논법을 사용할 수 있습니다.) 따라서 르베그 $\sigma$ -대수는 보렐 $\sigma$ -대수를 진부분집합으로 포함합니다.

그럼에도 불구하고, 완비성이라는 개념을 사용하여 르베그 $\sigma$ -대수를 기술하는 훌륭한 방법이 있습니다.

정의 36.4.6.

$(\Omega,\mathscr{A},\mu)$ 가 측도 공간이라고 합시다. 완비화 $(\Omega,\overline{\mathscr{A}},\overline{\mu})$ 는 다음과 같이 정의합니다. 먼저

\overline{\mathscr{A}}=\left\{A\cup N\mid A\in\mathscr{A},N\text{영집합의 부분집합}% \right\}.

로 두고, $\overline{\mu}(A\cup N)=\mu(A)$ 로 둡니다. 이것이 잘 정의됨을 확인할 수 있으며, 실제로 $\overline{\mu}$ 는 $\mu$ 를 $\mathscr{A}$ 에서 $\overline{\mathscr{A}}$ 로 확장하는 유일한 확장입니다.

이것은 보기보다 복잡하지 않습니다. 직관적으로, 우리가 하는 일은 $\overline{\mu}$ 에게 영집합의 모든 부분집합도 측도가 0인 것으로 간주하라고 알려 줌으로써 측도를 “완비화”하는 것뿐입니다.

그러면 다행스럽게도 다음이 성립합니다.

정리 36.4.7 (르베그 측도는 보렐 측도의 완비화입니다).

$\mathbb{R}^{n}$ 에서 르베그 측도는 보렐 측도의 완비화입니다.

증명.

이것은 사실 다음 절의 결과들, 즉 연습문제 36.5.1과 준측도에 대한 Carathéodory 정리(정리 36.5.5)의 (c) 부분에서 따라 나옵니다. ∎

36.5 네 번째 행: 준측도에 대한 Carathéodory 정리

대표적인 예: 르베그 측도에 대한 네 번째 행은 $\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$ 입니다.

많은 경우 $\mathscr{A}^{\text{cm}}$ 는 실제로 우리의 원래 목표보다 더 크며, 우리는 $\mathscr{A}_{0}$ 위의 $\mu_{0}$ 를 $\mathscr{A}$ 위의 $\mu$ 로 확장하기만 하면 됩니다. 여기서 $\mathscr{A}$ 는 $\mathscr{A}_{0}$ 로 생성된 $\sigma$ -대수입니다. 실제로 우리의 원래 목표는 $\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$ 를 얻는 것이었으며, 사실 다음이 성립합니다.

연습문제 36.5.1.

$\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$ 가 앞서 정의한 $\mathcal{L}_{0}$ 로 생성된 $\sigma$ -대수임을 보이십시오.

다행히 이 제한은 자명하게 할 수 있습니다.

질문 36.5.2.

$\mathscr{A}^{\text{cm}}\supset\mathscr{A}$ 임을 보이십시오. 따라서 $\mu^{\text{cm}}$ 를 $\mathscr{A}$ 로 제한하기만 하면 됩니다.

잠시 후 이것을 표의 네 번째 행으로 추가하겠습니다.

그러나 이것이 최종 목표라면, 흔히 좋은 조건이 하나 더 성립하므로 조금 다른 카라테오도리 정리를 서술할 수 있습니다.

정의 36.5.3.

$\Omega$ 위의 준측도 또는 측도 $\mu$ 에 대하여, $\Omega$ 를 각 $n$ 마다 $\mu(A_{n})<\infty$ 인 가산 합집합 $\Omega=\bigcup_{n}A_{n}$ 으로 나타낼 수 있으면 $\mu$ 를 $\sigma$ -유한하다고 합니다.

질문 36.5.4.

앞에서 다룬 준측도 $\lambda_{0}$ 와 보렐 측도 $\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$ 가 모두 $\sigma$ -유한임을 보이십시오.

사실 우리가 다루는 경우에는 $\sigma$ -유한성이 거의 항상 성립할 것이므로, 대체로 당연하게 받아들이셔도 됩니다.

정리 36.5.5 (준측도에 대한 카라테오도리 확장 정리).

$\mu_{0}$ 를 $\Omega$ 의 대수 $\mathscr{A}_{0}$ 위의 준측도라 하고, $\mathscr{A}$ 를 $\mathscr{A}_{0}$ 로 생성된 $\sigma$ -대수라 합시다. $\mathscr{A}^{\text{cm}}$ , $\mu^{\text{cm}}$ 는 정리 36.3.4에서와 같다고 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

(a)

$\mu^{\text{cm}}$ 를 $\mathscr{A}$ 로 제한하면 $\mu_{0}$ 를 확장하는 측도 $\mu$ 를 얻습니다.
(b)

$\mu_{0}$ 가 $\sigma$ -유한이면, $\mu$ 는 $\mu_{0}$ 를 $\mathscr{A}$ 로 확장하는 유일한 확장입니다.
(c)

$\mu_{0}$ 가 $\sigma$ -유한이면, $\mu^{\text{cm}}$ 는 $\mu$ 의 완비화이며, 따라서 $\mu_{0}$ 를 $\mathscr{A}^{\text{cm}}$ 로 확장하는 유일한 확장입니다.

다음은 $\mu_{0}$ 가 실제로 $\sigma$ -유한인 경우에 대한 설명을 덧붙여 갱신한 표입니다.

		구성 순서	참고
$2^{\Omega}$	$\mu^{\ast}$	2단계	$\mu^{\ast}$ 는 $\mu_{0}$ 로부터 얻은 외측도입니다
$\mathscr{A}^{\text{cm}}$	$\mu^{\text{cm}}$	3단계	$(\mathscr{A}^{\text{cm}},\mu^{\text{cm}})$ 는 $(\mathscr{A},\mu)$ 의 완비화이며,
			$\mathscr{A}^{\text{cm}}$ 는 $\mu^{\ast}$ -가측 집합들로 정의됩니다
$\mathscr{A}$	$\mu$	4단계	$\mathscr{A}$ 는 $\mathscr{A}_{0}$ 로 생성된 $\sigma$ -대수로 정의됩니다
$\mathscr{A}_{0}$	$\mu_{0}$	1단계	$\mu_{0}$ 는 준측도입니다

그리고 다음은 보렐과 르베그를 포함한 $\Omega=\mathbb{R}^{n}$ 에 대한 표입니다.

		구성 순서	참고
$2^{\mathbb{R}^{n}}$	$\lambda^{\ast}$	2단계	$\lambda^{\ast}$ 는 르베그 외측도입니다
$\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n})$	$\lambda$	3단계	르베그 $\sigma$ -대수, 보렐 $\sigma$ -대수의 완비화
$\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$	$\mu$	4단계	$\mathcal{L}_{0}$ 로 생성되는 보렐 $\sigma$ -대수
$\mathcal{L}_{0}$	$\lambda_{0}$	1단계	직사각형 위에 준측도 정의하기

표에서 한 행 아래로 내려가는 것은 제한에 해당하며, $\mu_{0}$ 가 $\sigma$ -유한일 때 $\mu_{0}\to\mu\to\mu^{\text{cm}}$ 의 각 단계는 유일한 확장입니다.

정리 36.5.5의 증명.

(a)의 경우: 이는 정리 36.2.2와 정리 36.3.4를 합친 것에 $\mathscr{A}^{\text{cm}}\supset\mathscr{A}_{0}$ 이고 따라서 $\mathscr{A}^{\text{cm}}\supset\mathscr{A}$ 라는 관찰을 결합한 것에 불과합니다. (b)와 (c)는 더 기술적이므로 생략합니다. ∎

36.6 이제부터 보렐 측도를 가정합니다

작성 예정: 그 이유를 설명하십시오

36.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 36A (임의의 $\rho$ 로부터 외측도 구성하기).

집합 $\Omega$ 에 대하여 $\mathcal{E}$ 를 $2^{\Omega}$ 의 임의의 부분집합이라 하고 $\rho\colon\mathcal{E}\to[0,+\infty]$ 를 임의의 함수라 합시다. 다음 함수

\mu^{\ast}(E)=\inf\left\{\sum_{n=1}^{\infty}\rho(E_{n})\mid E_{n}\in\mathcal{E% },\;E\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}\right\}

가 외측도임을 증명하십시오.

문제 36B (미친 과학자).

$\Omega=\mathbb{R}^{2}$ 라 하고, $\mathcal{E}$ 를 (퇴화하지 않은) 직사각형들의 집합이라 합시다. 모든 직사각형 $E\in\mathcal{E}$ 에 대하여 $\rho(E)=1$ 이라 합시다. 미친 과학자는 제 조언을 무시하고 문제 36A에서와 같이 $\rho$ 를 사용하여 외측도 $\mu^{\ast}$ 를 구성합니다.

(a)

$\mathbb{R}^{2}$ 의 각 부분집합 $S$ 에 대하여 $\mu^{\ast}(S)$ 를 구하십시오.
(b)

어떤 집합이 $\mu^{\ast}$ -가측입니까?

어떤 직사각형도 $\mu^{\ast}$ -가측이 아님을 알게 될 것이며, 예상대로 이는 그 과학자의 계획을 좌절시킵니다.

힌트. 다음을 보이십시오.

$\mu^{\ast}(S)=\begin{cases}0&S=\varnothing\\ 1&S\text{유계이며 공집합이 아님}\\ \infty&S\text{유계가 아님}.\end{cases}$

이를 이용하면 (b)를 쉽게 풀 수 있습니다. 답은 $\varnothing$ 과 $\Omega$ 뿐입니다.

문제 36C.

^†^†margin:

함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 연속이라고 합시다. $f$ 는 반드시 $\mathbb{R}$ 위의 르베그 측도에 대하여 가측이어야 합니까?