장 89 선택 공리를 포함한 체르멜로-프렝켈 집합론

[LEI14]의 3.1장에 이에 대한 좋은 설명이 있습니다.

89.1 궁극의 함수 방정식

추상 수학에서는 구조를 그것이 가져야 할 성질로 정의하는 경우가 많습니다. 예를 들어, 군은 이러저러한 공리를 만족하는 집합과 이항 연산이고, 거리 공간은 이러저러한 공리를 만족하는 집합과 거리 함수입니다.

그럼에도 이러한 정의들은 앞선 정의들에 의존합니다. 이에 대한 [LEI14]의 재미있는 설명은 다음과 같습니다.

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벡터 공간은 …를 갖춘 아벨 군입니다.
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아벨 군은 …를 만족하는 이항 연산을 가집니다.
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집합 위의 이항 연산은 …입니다.
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집합은 …입니다.

이런 식으로 계속됩니다.

정의를 끝없이 나열하는 것은 좋지 않으므로 어딘가에서 멈춰야 합니다. 그 멈추는 지점이 바로 성질에 의해 “정의되는” 집합입니다. 요령은 집합이 무엇인지 실제로는 결코 정의하지 않으면서도, 이러한 집합들이 특정한 성질을 만족한다고 가정한다는 것입니다. 이것이 바로 $\mathsf{ZFC}$ 공리입니다. 느슨하게 말하면, $\mathsf{ZFC}$ 는 궁극의 함수 방정식이라고 생각할 수 있습니다.

이 공리들이 무엇인지 이야기하기 전에, 주의할 점부터 이야기해야 합니다.

89.2 칸토어의 역설

직관적으로, 집합은 원소들을 순서 없이 모아 놓은 것입니다. 두 집합이 같은 원소를 가지면 두 집합은 같습니다.

\left\{x\mid x\text{깃털 없는 두 발 동물입니다}\right\}=\left\{x\mid x\text{인간입니다}\right\}

(공룡 문제는 잠시 제쳐 둡시다).

또 다른 예로, 아무 대상도 포함하지 않는 공집합 $\varnothing$ 이 있습니다. 집합 $\{1,2,3\}$ 을 생각할 수도 있고, 자연수의 집합 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$ 을 생각할 수도 있습니다. (집합론에서는 보통 $0$ 을 자연수로 간주합니다.) 집합은 $\left\{\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{N}\right\}$ 처럼 다른 집합을 원소로 가질 수도 있습니다. 아무 문제 없어 보이지 않습니까?

문제는 이 정의가 사실 충분하지 않다는 것이며, 그 이유는 다음과 같습니다. 단순히 “집합은 대상들의 임의의 모임”이라고 말한다면, 모든 집합의 집합이라는 아주 큰 집합 $V$ 를 생각할 수 있습니다. 여기까지는 문제가 없어 보이지 않습니까? $V\in V$ 라는 기묘한 일이 생기기는 하지만, 뭐 그리 큰일은 아닙니다.

불행히도, 이러한 $V$ 가 존재하면 곧바로 역설이 생깁니다. 고전적인 예는 러셀의 역설입니다. 여기서는 그 대신 조금 더 간단한 역설을 소개하겠습니다. $V$ 는 자기 자신을 포함할 뿐 아니라, 모든 부분집합 $S\subseteq V$ 도 그 자체로 $V$ 의 원소입니다(즉, $S\in V$ ). $V$ 의 멱집합(즉, $V$ 의 모든 부분집합)을 $\mathcal{P}(V)$ 로 나타내면, 다음과 같은 포함 사상을 얻습니다.

\mathcal{P}(V)\hookrightarrow V.

이는 좋지 않습니다. 왜냐하면 다음이 성립하기 때문입니다.

보조정리 89.2.1 (칸토어의 대각선 논법).

임의의 집합 $X$ 에 대해, 단사 사상 $\iota\colon\mathcal{P}(X)\hookrightarrow X$ 를 구성하는 것은 불가능합니다.

증명.

모순을 이끌어 내기 위해 $\iota$ 가 존재한다고 가정합시다.

연습문제 89.2.2.

$\iota$ 가 존재하면 전사 사상 $j\colon X\twoheadrightarrow\mathcal{P}(X)$ 가 존재함을 보이십시오. (보기보다 쉽습니다. 그냥 “ $\iota$ 를 뒤집으면” 됩니다).

이제 $j$ 가 존재할 수 없음을 보이겠습니다.

먼저 개념을 잡을 수 있도록 $j$ 에 대한 그림을 하나 그려 보겠습니다:

\begin{array}[]{cccccccc}&&x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&x_{5}&\dots\\ \cline{3-8}\cr x_{1}&\xmapsto{j}&\mathbf{0}&1&1&0&1&\dots\\ x_{2}&\xmapsto{j}&1&\mathbf{1}&0&1&1&\dots\\ x_{3}&\xmapsto{j}&0&1&\mathbf{0}&0&1&\dots\\ x_{4}&\xmapsto{j}&1&0&0&\mathbf{1}&0&\dots\\ x_{5}&\xmapsto{j}&0&1&1&1&\mathbf{1}&\dots\\ \vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{array}

여기서 각 $j(x)\subseteq X$ 에 대해, 원소가 $j(x)$ 안에 있으면 “ $1$ ”이라고 쓰고, 그렇지 않으면 “ $0$ ”이라고 씁니다. 따라서 $j(x_{1})=\{x_{2},x_{3},x_{5}\dots\}$ 입니다. ( $X$ 가 비가산일 수 있으므로 여기서 첨자는 정수가 아니라 순서수입니다. 전문가라면 제가 $X$ 의 정렬순서를 암묵적으로 가정했다는 것을 눈치챌 수도 있습니다. 하지만 이 그림은 동기 부여를 위한 것일 뿐이므로 이 점을 깊이 다루지는 않겠습니다.) 그러면 대각선을 읽어 내어 새로운 집합을 얻을 수 있습니다. 우리 예에서 대각선은 집합 $A=\{x_{2},x_{4},x_{5}\dots\}$ 를 지정합니다. 그런 다음 이를 “뒤집어” 집합 $B=\{x_{1},x_{3},\dots\}$ 를 얻습니다.

다시 형식적인 증명으로 돌아갑시다. 위에서 동기를 부여한 대로, 다음과 같이 정의합니다

B=\left\{x\mid x\notin j(x)\right\}.

구성에 의해 $B\subseteq X$ 는 $j$ 의 상에 속하지 않으며, $j$ 는 전사라고 가정했으므로 이는 모순입니다. ∎

여러분이 집합론 학자가 아니라면 “뭐, 어떤 집합들은 다룰 수 없나 보다”라고 말하며 이를 그냥 넘겨 버릴 수도 있을 것입니다. 하지만 집합론 학자라면 이것이 걱정스럽습니다. 이는 집합을 그냥 “대상들의 모임”으로 정의할 수는 없다는 뜻임을 깨닫기 때문입니다. 그렇게 하면 모든 것이 무너져 버릴 것입니다. 무언가가 더 필요합니다.

89.3 집합론의 언어

“대상들의 모임”이라는 비형식적인 설명 말고 다른 방식으로 집합을 가리킬 방법이 필요합니다.

그래서 우리가 할 일은 다음과 같습니다. 먼저 논리적 명제를 쓰는 방식인 형식적인 집합론의 언어를 정의하는 것으로 시작하겠습니다. 우선 늘 쓰는 논리 연산자들을 넣을 수 있습니다:

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$\forall$ 는 “모든 에 대해”를 뜻합니다
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$\exists$ 는 “존재한다”를 뜻합니다
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$=$ 는 “같다”를 뜻합니다
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$X\implies Y$ 는 “ $X$ 이면 $Y$ 이다”를 뜻합니다
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$A\land B$ 는 “ $A$ 이고 $B$ 이다”를 뜻합니다
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$A\lor B$ 는 “ $A$ 이거나 $B$ 이다”를 뜻합니다
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$\neg A$ 는 “ $A$ 가 아니다”를 뜻합니다.

우리는 집합론을 다루고 있으므로, 여기에 연산자를 딱 하나만 더 추가합니다. 바로 포함 관계 $\in$ 입니다. 그리고 (당분간은) 이것이 우리가 사용할 전부입니다.

그렇다면 “집합 $\{1,2\}$ ” 같은 것은 어떻게 표현할까요? 요령은 실제로 집합을 “구성”하지 않고, 다음과 같이 간접적으로 가리키는 것입니다:

\exists S:x\in S\iff\left((x=1)\lor(x=2)\right).

이는 “ $x=1$ 이거나 $x=2$ 일 때, 그리고 그때에만 $x$ 가 $S$ 에 속하는 $S$ 가 존재한다”라고 읽습니다. 이제 더는 집합을 그 자체로 대상으로서 가리킬 필요가 없습니다 — 집합이 정확히 무엇을 담고 있는지를 나타내는 식을 써서 집합을 “만들어 낼” 방법이 생겼기 때문입니다. 이것은 기계가 파싱할 수 있는 것입니다.

그렇다면 집합이 아닌 $1$ 이나 $2$ 같은 것들은 어떻게 해야 할까요? 답은 다음과 같습니다:

집합의 원소 역시 집합입니다.

우리는 모든 것을 집합으로 만들 것입니다. 자연수도 집합이 됩니다. 순서쌍도 집합이 됩니다. 함수도 집합이 됩니다. $1$ 같은 것을 정확히 어떻게 집합으로 부호화하는지는 나중에 알려 드리겠습니다. 지금은 집합이 단지 대상들만 담는 것이 아니라 다른 집합들을 담는다는 것만 알면 충분합니다.

이제 어떤 것이 집합인지 아닌지를 이야기하는 것이 의미를 갖습니다. $\exists x$ 는 “ $x$ 는 집합이다”를 뜻하고, $\nexists x$ 는 “ $x$ 는 집합이 아니다”를 뜻합니다. 다시 말해, 어떤 것이 집합인지 판정하는 문제를 그것이 존재하는지의 문제로 바꾸어 말한 것이며, 덕분에 형식 언어 안에서 다루기가 더 쉬워집니다. 이는 곧 우리의 공리 체계가 많은 것들이 존재함을 보일 수 있게 해 주면서도, 다음을 증명하지는 못하게 하는 방법을 반드시 찾아야 한다는 뜻입니다

\exists S\forall x:x\in S.

이 식을 증명하게 되면, 애초에 우리를 토끼굴로 빠뜨렸던 그 “나쁜” 집합이 생기기 때문입니다.

89.4 $\mathsf{ZFC}$ 의 공리

이 공리들의 세부 사항까지 깊이 들어가고 싶지는 않습니다. 관심이 있다면 다음을 읽어 보십시오.

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https://blog.evanchen.cc/zfc1/
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https://blog.evanchen.cc/zfc2/

다음은 공리들을 훨씬 간결하게 설명한 것으로, 집합론의 언어로 쓴 해당 문장도 함께 담고 있습니다. $\forall$ , $\exists$ 등을 해석하는 연습을 해 볼 만한 가치가 있으며, 형식적인 문장을 공리의 자연어 서술과 비교해 보면서 연습할 수 있습니다.

먼저, 가장 쉬운 두 공리입니다.

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$\mathrm{Extensionality}$ 는 문장 $\forall x\forall y\left(\left(\forall a\left(a\in x\iff a\in y\right)\right)% \implies x=y\right)$ 이며, 두 집합 $x$ 와 $y$ 가 같은 원소를 가지면 $x=y$ 라는 뜻입니다.
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$\mathrm{EmptySet}$ 은 문장 $\exists a:\forall x\;\neg(x\in a)$ 이며, 원소가 없는 집합이 존재한다는 뜻입니다. $\mathrm{Extensionality}$ 에 의해 이 집합은 유일하므로, 이를 $\varnothing$ 으로 나타냅니다.

다음 두 공리는 새로운 집합을 만드는 기본적인 방법을 제공합니다.

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두 원소 $x$ 와 $y$ 가 주어지면, 오직 그 두 원소만을 포함하는 집합 $a$ 가 존재합니다. 기계어로 쓰면 이는 문장 $\mathrm{Pairing}$ 이며, 다음과 같이 씁니다.

$\forall x\forall y\exists a\quad\forall z,\;z\in a\iff\left((z=x)\lor(z=y)% \right).$

$\mathrm{Extensionality}$ 에 의해 이 집합 $a$ 는 유일하므로, $a=\{x,y\}$ 로 씁니다.
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집합 $a$ 가 주어지면, $a$ 의 원소들의 합집합을 만들 수 있습니다. 예를 들어 $a=\{\{1,2\},\{3,4\}\}$ 이면 $U=\{1,2,3,4\}$ 는 집합입니다. 형식적으로 이는 문장 $\mathrm{Union}$ 입니다.

$\forall a\exists U\quad\forall x\;\left[(x\in U)\iff(\exists y:x\in y\in a)% \right].$

$\mathrm{Extensionality}$ 에 의해 $U$ 는 유일하므로, 이를 $\cup a$ 로 나타냅니다.
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멱집합 $\mathcal{P}(x)$ 를 구성할 수 있습니다. 형식적으로, 문장 $\mathrm{PowerSet}$ 은 다음을 말합니다.

$\forall x\exists P\forall y(y\in P\iff y\subseteq x)$

여기서 $y\subseteq x$ 는 $\forall z(z\in y\implies z\in x)$ 의 줄임말입니다. $\mathrm{Extensionality}$ 가 $P$ 의 유일성을 보장하므로, 이를 $\mathcal{P}(x)$ 로 나타냅니다.
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$\mathrm{Foundation}$ 은 무한 하강 사슬이 존재하지 않는다는 것을 말합니다.

$x_{0}\ni x_{1}\ni x_{2}\ni\dots.$

이는 귀납법을 쓸 수 있게 해 주므로 중요합니다. 특히 어떤 집합도 자기 자신을 포함하지 않습니다.
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$\mathrm{Infinity}$ 는 $\omega=\{0,1,\dots\}$ 가 집합임을 함의합니다.

이것들은 모두 이미 익숙한 내용이므로, 그 직관을 그대로 유지하십시오. 다음 공리는 덜 직관적입니다.

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제한된 내포 공리꼴은 다음을 말합니다. 집합 $X$ 가 주어지고 어떤 논리식 $\phi(x)$ 가 주어지면, $X$ 의 원소들을 걸러내어 다음 부분집합을 얻을 수 있습니다.

$Y=\left\{x\in X\mid\phi(x)\right\}.$

형식적으로, 논리식 $\phi$ 가 주어지면 다음과 같습니다.

$\forall X\quad\exists Y\quad\forall y(y\in Y\iff y\in X\land\phi(y)).$

이러한 걸러내기는 이미 주어진 집합 위에서만 할 수 있다는 점에 유의하십시오. 따라서 $\left\{x\mid x\text{는 집합}\right\}$ 를 만드는 것은 허용되지 않습니다. 덕분에 칸토어의 역설을 피할 수 있으니 다행스러운 일입니다.

표기의 남용 89.4.1.

엄밀히 말하면 문장은 무한히 많다는 점에 유의하십시오. 가능한 모든 논리식 $\phi$ 마다 $\mathrm{Comprehension}_{\phi}$ 가 하나씩 있습니다. 표기 남용으로, 모든 $\phi$ 에 대한 무한히 많은 공리 $\mathrm{Comprehension}_{\phi}$ 를 $\mathrm{Comprehension}$ 으로 줄여 씁니다.

마지막으로 $\mathrm{Replacement}_{\phi}$ 라는 공리꼴이 하나 더 있습니다. $X$ 가 집합이고, $\phi(x,y)$ 가 어떤 논리식으로서 모든 $x\in X$ 에 대해 $\phi(x,y)$ 가 참이 되는 $y$ 가 우주 안에 유일하게 존재한다고 합시다. 예를 들어 “ $y=x\cup\{x\}$ ”가 이에 해당합니다. (사실상 $\phi$ 는 $X$ 위의 함수 $f$ 를 정의하고 있습니다.) 그러면 정확히 이 상들로 이루어진 집합 $Y$ 가 존재합니다. (즉 $f^{\text{img}}(X)$ 는 집합입니다.)

표기의 남용 89.4.2.

표기 남용으로, 모든 $\phi$ 에 대한 무한히 많은 공리 $\mathrm{Replacement}_{\phi}$ 를 $\mathrm{Replacement}$ 로 줄여 씁니다.

비고 89.4.3.

여기서 “모든 $x\in X$ 에 대해 $\phi(x,y)$ 가 참이 되는 $y$ 가 우주 안에 유일하게 존재한다”는 것은 무슨 뜻입니까? $\mathrm{Replacement}_{\phi}$ 가 공리가 되려면, 논리식 $\phi$ 가 주어졌을 때 그 명제가 참인지 어떻게 판정할 수 있습니까?

일반적으로는 판정할 수 없는 것으로 밝혀집니다. 하지만 그럴 필요가 없습니다! 이 문제를 피하기 위해, 모든 $\phi(x,y)$ 에 대해 공리 $\mathrm{Replacement}_{\phi}$ 는 다음을 말합니다.

\text{``$\phi$가 함수를 정의합니다''}\implies\forall X\quad\exists Y\quad\text{``$Y=f^{% \text{img}}(X)$''}.

다시 말해, $\phi$ 가 함수라는 가정은 공리 $\mathrm{Replacement}_{\phi}$ 자체에 “포함되어” 있습니다.

지금 당장은 이것이 크게 중요하지 않지만, 나중에 모형 이론에서는 중요해집니다. 그때 보조정리 92.5.1에서 모형 $M$ 이 $\mathrm{Replacement}$ 를 만족한다는 것이 무엇을 의미하는지 서술할 것입니다.

선택 공리에 대한 논의는 잠시 뒤로 미룹니다.

89.5 부호화

이제 이 허술한 집합의 우주를 갖추었으니, 수학을 다시 세우기 시작할 수 있습니다. 이는 순서수를 다루는 다음 장에서 더 많이 보게 될 것입니다.

정의 89.5.1.

순서쌍 $(x,y)$ 는 다음 형태의 집합입니다

(x,y)\coloneqq\left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\}.

$(x,y)=(a,b)$ 일 필요충분조건은 $x=a$ 이고 $y=b$ 인 것임에 유의하십시오. 순서 $k$ -튜플은 재귀적으로 정의할 수 있습니다. 즉, 세 쌍 $(a,b,c)$ 는 $(a,(b,c))$ 를 의미합니다.

정의 89.5.2.

함수 $f\colon X\to Y$ 는 다음을 만족하는 순서쌍들의 모임으로 정의됩니다

•

$(x,y)\in f$ 이면 $x\in X$ 이고 $y\in Y$ 입니다.
•

모든 $x\in X$ 에 대하여 $(x,y)\in f$ 를 만족하는 $y\in Y$ 가 유일하게 존재합니다. 이 $y$ 를 $f(x)$ 로 나타냅니다.

정의 89.5.3.

자연수는 다음과 같이 귀납적으로 정의됩니다

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=\varnothing$
	$\displaystyle 1$	$\displaystyle=\{0\}$
	$\displaystyle 2$	$\displaystyle=\{0,1\}$
	$\displaystyle 3$	$\displaystyle=\{0,1,2\}$
		$\displaystyle\mathmakebox[width("{}={}")][c]{\vdots}$

모든 자연수의 집합은 $\omega$ 로 나타냅니다.

표기의 남용 89.5.4.

네, 죄송하지만 집합론에서는 $0$ 을 자연수로 간주합니다. 이 책의 다른 모든 부분에서는 명시적으로 $0\notin\mathbb{N}$ 으로 두었기 때문에, 여기서는 $\mathbb{N}$ 이 아닌 $\omega$ 를 사용합니다.

기타 등등, 기타 등등입니다.

89.6 선택과 정렬 순서

선택 공리는 공집합이 아닌 집합들의 모임 $Y$ 가 주어지면, $Y$ 의 각 원소에서 원소 하나를 “골라내는” 함수 $g\colon Y\to\cup Y$ 가 존재한다는 것입니다. 즉, 모든 $y\in Y$ 에 대하여 $g(y)\in y$ 입니다. (전형적인 비유는 $Y$ 에 무한히 많은 서랍이 있고, 각 서랍(하나의 $y$ )에 양말이 들어 있다는 것입니다.)

형식적으로는 다음 문장입니다

\forall Y\left(\varnothing\notin Y\implies\exists g\colon Y\to\cup Y\text{다음을 % 만족하는}\forall y\in Y\left(g(y)\in y\right).\right)

까다로운 부분은 그러한 함수 $g$ 를 떠올릴 수 있다는 점이 아니라, 이 함수 $g$ 가 실제로 집합이라는 점입니다.

자주 유용하게 쓰이는 동치인 정식화가 있습니다.

정의 89.6.1.

$X$ 의 정렬 순서 $<$ 는 무한 하강 사슬이 없는 $X$ 위의 엄격한 전순서입니다.

집합 위의 정렬 순서는 최소 원소를 고를 수 있게 해 주므로 매우 좋습니다. 예를 들어 이를 통해 귀납법을 사용할 수 있습니다.

예제 89.6.2 (정렬 순서의 예와 반례).

(a)

자연수 $\omega=\{0,1,2,\dots\}$ 는 $<$ 에 의해 정렬됩니다.
(b)

정수 $\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$ 는 무한 하강 사슬이 존재하므로 $<$ 에 의해 정렬되지 않습니다( $-1>-2>-3>\dots$ 을 생각하십시오).
(c)

양의 실수는 $<$ 에 의해 정렬되지 않습니다. 이번에도 내림 사슬 $\frac{1}{1}>\frac{1}{2}>\frac{1}{3}>\dots$ 가 있기 때문입니다.
(d)

양의 정수는 나누어떨어짐 연산 $\mid$ 에 의해 정렬되지 않습니다. 내림 사슬은 없지만, 비교할 수 없는 원소가 있습니다(예를 들어 $3\nmid 5$ , $5\nmid 3$ 이고 $3\neq 5$ 입니다).

정리 89.6.3 (정렬 정리).

선택 공리를 가정하면 모든 집합 위에 어떤 정렬 순서를 줄 수 있습니다.

사실 정렬 정리는 선택 공리와 동치입니다.

89.7 집합과 모임

대표적인 예: 모든 집합의 집합은 고유 모임의 대표적인 예입니다.

“모임”을 언급하며 $\mathsf{ZFC}$ 에 대한 논의를 마치겠습니다.

대략 말하자면, 일어난 “나쁜 일”은 “모든 집합의 집합”이라는 집합 $S$ 를 생각했는데 그것이 너무 컸다는 것입니다. 즉,

\left\{x\mid x\text{집합입니다}\right\}

는 좋지 않습니다. 마찬가지로 다음 집합도 구성할 수 없습니다.

\left\{x\mid x\text{순서쌍입니다}\right\}.

칸토어의 역설이 주는 교훈은 원하는 집합을 아무렇게나 만들 수는 없다는 것입니다. 그보다 더 신중해야 합니다.

그럼에도 불구하고 집합이 주어지면 그것이 순서쌍인지 아닌지는 여전히 판별할 수 있습니다. 그래서 편의상 “모든 순서쌍의 모임”과 같은 “개념”을 모임으로 정의하겠습니다. 형식적으로 모임은 어떤 논리식 $\phi$ 로 정의되며, 그 논리식을 만족하는 집합들로 이루어집니다.

특히 다음이 성립합니다.

정의 89.7.1.

모든 집합의 모임은 $V$ 로 표기하며 $V=\left\{x\mid x=x\right\}$ 로 정의됩니다. 이를 폰 노이만 우주라고 부릅니다.

집합이 아닌 모임을 고유 모임이라고 합니다. 따라서 예를 들어 다음이 성립합니다.

정리 89.7.2 (모든 집합의 집합은 존재하지 않습니다).

$V$ 는 고유 모임입니다.

증명.

그렇지 않다고, 즉 $V$ 가 집합이라고 가정합시다. 그러면 $V\in V$ 가 되어 $\mathrm{Foundation}$ 에 위배됩니다. (사실 앞에서 보았듯이 $\mathrm{Foundation}$ 이 없어도 $V$ 는 집합일 수 없습니다.) ∎

표기의 남용 89.7.3.

모임 $C$ 가 주어졌을 때, $x$ 가 $C$ 를 정의하는 성질을 가진다는 뜻으로 $x\in C$ 라고 쓰겠습니다. 예를 들어 $x\in V$ 는 “ $x$ 가 집합임”을 뜻합니다.

이것은 $x$ 가 $V$ 의 원소라는 뜻이 아닙니다. $V$ 는 집합이 아니므로 그런 말은 성립하지 않습니다.

89.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 89A.

$A$ 와 $B$ 가 집합이라고 합시다. $A\cap B$ 와 $A\times B$ 가 집합임을 보이십시오.

문제 89B.

모든 군의 모임이 고유 모임임을 보이십시오. (군의 정의로는 $\cdot$ 이 함수 $G\times G\to G$ 인 쌍 $(G,\cdot)$ 를 사용해도 됩니다.)

문제 89C.

정렬 정리로부터 선택 공리가 따라 나옴을 보이십시오.

문제 89D.

사실은 $\mathrm{Replacement}\implies\mathrm{Comprehension}$ 임을 증명하십시오.

문제 89E (대만 IMO 훈련 캠프 문제).

무한히 많은 사람이 각각 빨간색, 초록색, 파란색 중 하나인 모자를 쓰고 있다고 합시다. 각 사람은 자기 자신을 제외한 모든 사람의 모자 색을 볼 수 있습니다. 모든 사람이 동시에 자기 모자의 색을 추측합니다. 자기 모자 색을 틀리게 추측하는 사람이 많아야 유한 명이 되도록 하는 전략을 세울 수 있음을 보이십시오.

힌트. 이것은 선택 공리의 응용입니다.

풀이. 두 모자 배치가 유한히 많은 곳에서만 다를 때 둘을 같게 보는 동치 관계를 정의합니다. 이제 각 동치류에 대해 모든 사람이 특정한 대표원을 미리 합의해 둡니다. 마지막으로, 각 사람은 자기 모자 색을 몰라도 군중 전체가 어느 동치류에 속하는지 알아낼 수 있다는 점에 주목하십시오. 따라서 모두가 만장일치로 같은 대표원을 고르게 되며, 증명이 끝납니다.