장 12 행렬식

이 장의 목표는 행렬식의 기저 독립적인 정의를 제시하는 것입니다. 즉, $T\colon V\to V$ 에 대해 $T$ 의 인코딩을 참조하지 않고 $\det T$ 를 정의할 것입니다. 이를 통해 행렬의 행렬식이 기저 선택에 의존하지 않는다는 것과, 몇몇 성질(예를 들어 행렬식이 곱셈적이라는 것)이 공허하게 참이라는 것이 명백해질 것입니다.

행렬식은 유한 차원 벡터 공간에 대해서만 정의되므로, 원한다면 이 장에서는 유한 차원 벡터 공간으로 관심을 국한해도 좋습니다. 반면 바탕체가 대수적으로 닫혀 있을 필요는 없습니다.

12.1 쐐기곱

대표적인 예: $\bigwedge^{2}(\mathbb{R}^{2})$ 는 평행사변형을 줍니다.

이제 쐐기곱이라 불리는 것을 정의하려고 합니다. 처음에는 텐서곱 $V\otimes V$ 처럼 보이겠지만, 여기에 관계 하나가 추가로 있을 것입니다.

간단히 하기 위해, 먼저 쐐기곱 $\bigwedge^{2}(V)$ 를 정의하겠습니다. 하지만 나중에 $2$ 를 임의의 $n$ 으로 대체할 것입니다.

정의 12.1.1.

$V$ 를 $k$ -벡터 공간이라 합시다. $2$ -쐐기곱 $\bigwedge^{2}(V)$ 는 $v\wedge w$ ( $v,w\in V$ ) 형태의 원소들로 생성되는 아벨 군이며, 동일한 관계들을 만족합니다

	$\displaystyle(v_{1}+v_{2})\wedge w$	$\displaystyle=v_{1}\wedge w+v_{2}\wedge w$
	$\displaystyle v\wedge(w_{1}+w_{2})$	$\displaystyle=v\wedge w_{1}+v\wedge w_{2}$
	$\displaystyle(c\cdot v)\wedge w$	$\displaystyle=v\wedge(c\cdot w)$

여기에 두 가지 추가 관계가 더해집니다:

v\wedge v=0\quad\text{그리고}\quad v\wedge w=-w\wedge v.

벡터 공간으로서, 그 작용은 $c\cdot(v\wedge w)=(c\cdot v)\wedge w=v\wedge(c\cdot w)$ 로 주어집니다.

연습문제 12.1.2.

조건 $v\wedge w=-(w\wedge v)$ 가 사실은 불필요함을 보이십시오: 이는 $v\wedge v=0$ 이라는 사실로부터 유도할 수 있습니다. (힌트: $(v+w)\wedge(v+w)=0$ 을 전개해 보십시오.)

이는 텐서곱의 정의와 거의 똑같아 보이지만, 두 가지 미묘한 차이가 있습니다. 첫째는 이제 텐서곱에서처럼 $V$ 와 $W$ 가 아니라 $V$ 하나만 있다는 것입니다.¹¹1그러니 어쩌면 쐐기곱은 ”쐐기 거듭제곱”이라고 부르는 것이 더 정확할지도 모릅니다! 둘째로, 새로운 수수께끼 같은 관계가 있습니다

v\wedge v=0\implies v\wedge w=-(w\wedge v).

저게 왜 저기 있는 걸까요? 좀 이상해 보입니다.

힌트를 하나 드리겠습니다.

예제 12.1.3 (쐐기곱의 명시적 계산).

$V=\mathbb{R}^{2}$ 이고, $v=ae_{1}+be_{2}$ , $w=ce_{1}+de_{2}$ 라고 합시다. 이제 $\bigwedge^{2}(V)$ 에서 $v\wedge w$ 를 계산해 봅시다.

	$\displaystyle v\wedge w$	$\displaystyle=(ae_{1}+be_{2})\wedge(ce_{1}+de_{2})$
		$\displaystyle=ac(e_{1}\wedge e_{1})+bd(e_{2}\wedge e_{2})+ad(e_{1}\wedge e_{2}% )+bc(e_{2}\wedge e_{1})$
		$\displaystyle=ad(e_{1}\wedge e_{2})+bc(e_{2}\wedge e_{1})$
		$\displaystyle=(ad-bc)(e_{1}\wedge e_{2}).$

$ad-bc$ 는 무엇일까요? 이미 알아보셨을지도 모릅니다:

•

$v$ 와 $w$ 로 이루어진 평행사변형의 넓이가 $ad-bc$ 라는 것을 알고 있을 것입니다.
•

이것이 $\begin{bmatrix}a&c\\ b&d\end{bmatrix}$ 의 행렬식이라는 것을 알아볼 수도 있습니다. 실제로, 행렬식이 초부피(hypervolume)를 해석하기 위한 것임을 이미 알고 있을 수도 있습니다.

이는 결코 우연이 아닙니다. 쐐기곱(wedge product)은 부호 있는 넓이를 해석하도록 설계되어 있습니다. 즉, $v\wedge w$ 는 $v$ 와 $w$ 로 이루어진 평행사변형의 넓이를 해석하기 위한 것입니다. 이제 $(cv)\wedge w=v\wedge(cw)$ 라는 조건이 왜 타당한지 알 수 있을 것입니다. 그리고 이제 물론 $v\wedge v$ 가 왜 $0$ 이 되어야 하는지도 알 수 있습니다: 그것은 넓이가 $0$ 인 평행사변형이기 때문입니다!

쐐기곱의 기적은 텐서곱 공리에 추가로 필요한 조건이 오직 $v\wedge v=0$ 뿐이라는 것입니다. 그러면 갑자기 쐐기가 부피를 해석하는 우리의 모든 작업을 대신 해줄 것입니다.

비고 (수학에서의 정의에 관한 부수적 여담).

이 ”성질 기반” 철학은 현대 수학에서 흔한 상투 수법입니다. 정의하고자 하는 대상에 대한 어떤 직관을 가지고 있고, 그로부터 ”따라와야 할” 것 같은 성질들의 희망 목록을 적어 봅니다. 그런데 그 성질들만으로 다루기에 충분하다는 것이 밝혀지면, 정의를 위해서는 그저 희망 목록의 모든 성질을 만족하는 추상적 대상을 정의하기만 하면 됩니다. 그 이후로 직관은 어떤 ”공식적인” 역할도 하지 않으며, 그저 희망 목록에 대한 응원 삼아 동기를 부여하는 역할만 할 뿐입니다.

쐐기곱의 경우, 희망 목록에는 단 하나의 성질 $v\wedge v=0$ 만 있습니다.

앞서와 유사하게:

명제 12.1.4 ( $\bigwedge^{2}(V)$ 의 기저).

$V$ 를 기저 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 을 갖는 벡터 공간이라고 합시다. 그러면 $\bigwedge^{2}(V)$ 의 기저는 다음과 같습니다.

e_{i}\wedge e_{j}

여기서 $i<j$ 입니다. 따라서 $\bigwedge^{2}(V)$ 는 차원 $\binom{n}{2}$ 를 가집니다.

증명.

놀랍도록 다루기 까다로우며, 이 역시 생략합니다. (텐서곱에 대한 해당 정리로부터 유도할 수 있습니다.) ∎

이제 다차원 쐐기곱을 정의할 용기가 생겼습니다. 이것은 쐐기가 더 많아진 것일 뿐, 동일한 것입니다.

정의 12.1.5.

$V$ 를 벡터 공간, $m$ 을 양의 정수라고 합시다. 공간 $\bigwedge^{m}(V)$ 는 다음 형태의 쐐기들로 생성됩니다.

v_{1}\wedge v_{2}\wedge\dots\wedge v_{m}

다음 관계를 조건으로 합니다.

	$\displaystyle\dots\wedge(v_{1}+v_{2})\wedge\dots$	$\displaystyle=(\dots\wedge v_{1}\wedge\dots)+(\dots\wedge v_{2}\wedge\dots)$
	$\displaystyle\dots\wedge(cv_{1})\wedge v_{2}\wedge\dots$	$\displaystyle=\dots\wedge v_{1}\wedge(cv_{2})\wedge\dots$
	$\displaystyle\dots\wedge v\wedge v\wedge\dots$	$\displaystyle=0$
	$\displaystyle\dots\wedge v\wedge w\wedge\dots$	$\displaystyle=-(\dots\wedge w\wedge v\wedge\dots)$

벡터 공간으로서

c\cdot(v_{1}\wedge v_{2}\wedge\dots\wedge v_{m})=(cv_{1})\wedge v_{2}\wedge% \dots\wedge v_{m}=v_{1}\wedge(cv_{2})\wedge\dots\wedge v_{m}=\dots.

이 정의는 상당히 장황하지만, 세 가지 조건을 말로 풀면 다음과 같습니다.

•

이전처럼 곱을 더할 수 있어야 합니다.
•

(”벡터 공간” 작용에서 직접 지적되었듯이) $m$ 개의 성분 중 아무 곳에나 상수를 넣을 수 있으며, 그리고
•

임의의 두 인접한 쐐기를 바꾸면 쐐기 전체의 부호가 바뀝니다.

따라서 이것은 $\bigwedge^{2}(V)$ 의 자연스러운 일반화입니다. 다음 형태의 임의의 원소는

\dots\wedge v\wedge\dots\wedge v\wedge\dots

여전히 0이어야 함을 스스로 확인할 수 있습니다.

앞서 $e_{1}\wedge e_{2}$ 가 기저였던 것처럼, 일반적인 $m$ 과 $n$ 에 대해서도 기저를 찾을 수 있습니다.

명제 12.1.6 (쐐기곱의 기저).

$V$ 를 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 을 갖는 벡터 공간이라고 합시다. $\bigwedge^{m}(V)$ 의 기저는 다음 원소들로 구성됩니다.

e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge\dots\wedge e_{i_{m}}

여기서

1\leq i_{1}<i_{2}<\dots<i_{m}\leq n.

따라서 $\bigwedge^{m}(V)$ 는 차원 $\binom{n}{m}$ 을 가집니다.

증명 개요.

우리는 앞서 $e_{i_{1}}\otimes\dots\otimes e_{i_{m}}$ 이 텐서곱의 기저임을 알고 있었습니다. 여기서는 다음의 추가적인 성질이 있습니다: (a) 만약 두 기저 원소가 다시 나타나면 전체가 0이 되므로, $i$ 들이 모두 서로 다르다고 가정해야 합니다. 그리고 (b) 원소들의 순서를 바꿀 수 있으므로, 임의로 기저 원소들을 증가하는 순서로 배치하기로 정합니다. ∎

12.2 행렬식

대표적인 예: $(ae_{1}+be_{2})\wedge(ce_{1}+de_{2})=(ad-bc)(e_{1}\wedge e_{2})$ .

이제 행렬식을 정의할 준비가 되었습니다. $T\colon V\to V$ 가 정방행렬이라고 합시다. 쐐기들에 대해 다음과 같이 주어지는 사상 $\bigwedge^{m}(V)\to\bigwedge^{m}(V)$ 가

v_{1}\wedge v_{2}\wedge\dots\wedge v_{m}\mapsto T(v_{1})\wedge T(v_{2})\wedge% \dots\wedge T(v_{m}).

$\bigwedge^{m}(V)$ 전체로 선형적으로 확장할 때 잘 정의된 선형 사상임을 주장합니다. (여기서 ”잘 정의됨”이란 정의역의 동치인 원소들이 공역의 동치인 원소들로 대응됨을 의미합니다. 이는 선형성과 함께 $T$ 가 선형 사상이라는 사실로부터 따라 나옵니다.) 이 사상을 $\bigwedge^{m}(T)$ 라고 부릅니다.

예제 12.2.1 ( $\bigwedge^{m}(T)$ 의 예).

표준 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ , $e_{4}$ 를 갖는 $V=\mathbb{R}^{4}$ 에서, $T(e_{1})=e_{2}$ , $T(e_{2})=2e_{3}$ , $T(e_{3})=e_{3}$ , $T(e_{4})=2e_{2}+e_{3}$ 라고 합시다. 그러면 예를 들어 $\bigwedge^{2}(T)$ 는 다음을 보냅니다.

	$\displaystyle(e_{1}\wedge e_{2})+(e_{3}\wedge e_{4})$	$\displaystyle\mapsto T(e_{1})\wedge T(e_{2})+T(e_{3})\wedge T(e_{4})$
		$\displaystyle=e_{2}\wedge 2e_{3}+e_{3}\wedge(2e_{2}+e_{3})$
		$\displaystyle=2(e_{2}\wedge e_{3}+e_{3}\wedge e_{2})$
		$\displaystyle=0.$

이제 흥미로운 사실이 하나 있습니다. $V$ 의 차원이 $n$ 이고, $m=n$ 이라고 합시다. 그러면 $\bigwedge^{n}(V)$ 는 차원 $\binom{n}{n}=1$ 을 가집니다 — 즉 1차원 공간입니다! 따라서 $\bigwedge^{n}(V)\cong k$ 입니다.

따라서 $\bigwedge^{n}(T)$ 는 $k$ 에서 $k$ 로 가는 선형 사상으로 생각할 수 있습니다. 그런데 $k$ 에서 $k$ 로 가는 선형 사상은 단순히 상수 곱셈이라는 것을 우리는 알고 있습니다. 따라서 $\bigwedge^{n}(T)$ 는 어떤 상수의 곱셈입니다.

정의 12.2.2.

$V$ 가 $n$ 차원 벡터 공간일 때, $T\colon V\to V$ 라 합시다. 그러면 $\bigwedge^{n}(T)$ 는 상수 $c$ 의 곱셈이며, 이 $c=\det T$ 를 $T$ 의 행렬식으로 정의합니다.

예제 12.2.3 ( $2\times 2$ 행렬의 행렬식).

다시 $V=\mathbb{R}^{2}$ 이고 기저가 $e_{1}$ 과 $e_{2}$ 라고 합시다. 다음과 같다고 합시다

T=\begin{bmatrix}a&c\\ b&d\end{bmatrix}.

다시 말해, $T(e_{1})=ae_{1}+be_{2}$ 이고 $T(e_{2})=ce_{1}+de_{2}$ 입니다.

이제 $\bigwedge^{2}(V)$ 를 생각해 봅시다. 이는 기저 $e_{1}\wedge e_{2}$ 를 가집니다. 이제 $\bigwedge^{2}(T)$ 는 이것을 다음으로 보냅니다

e_{1}\wedge e_{2}\xmapsto{\bigwedge^{2}(T)}T(e_{1})\wedge T(e_{2})=(ae_{1}+be_% {2})\wedge(ce_{1}+de_{2})=(ad-bc)(e_{1}\wedge e_{2}).

따라서 $\bigwedge^{2}(T)\colon\bigwedge^{2}(V)\to\bigwedge^{2}(V)$ 는 $\det T=ad-bc$ 의 곱셈인데, 이는 $e_{1}\wedge e_{2}$ 를 $(ad-bc)(e_{1}\wedge e_{2})$ 로 보내기 때문입니다.

그리고 이것이 바로 행렬식의 정의입니다. 다시 한번 말하지만, 이를 $\bigwedge^{n}(T)$ 의 관점에서 정의했으므로, 이 정의는 기저의 선택과 완전히 무관합니다. 다시 말해, 행렬식은 행렬을 전혀 참조하지 않고 $T\colon V\to V$ 만으로 정의할 수 있습니다.

질문 12.2.4.

왜 $\bigwedge^{n}(S\circ T)=\bigwedge^{n}(S)\circ\bigwedge^{n}(T)$ 가 성립합니까?

이런 방식으로 우리는

\det(S\circ T)=\det(S)\det(T)

도 공짜로 얻습니다.

더 일반적으로 $2$ 를 $n$ 으로 바꾸고, 다음을 전개한 결과를 써보면

\left(a_{11}e_{1}+a_{21}e_{2}+\cdots\right)\wedge\dots\wedge\left(a_{1n}e_{1}+% a_{2n}e_{2}+\dots+a_{nn}e_{n}\right)

다음 공식을 얻게 됩니다.

\det(A)=\sum_{\sigma\in S_{n}}\operatorname{sgn}(\sigma)a_{1,\sigma(1)}a_{2,% \sigma(2)}\dots a_{n,\sigma(n)}

이는 행렬식에 대한 라이프니츠 공식이라 불립니다. 미국 고등학생이라면 이를 알아볼 텐데, (안타깝게도) 이것이 웨지곱을 이용한 더 나은 정의의 따름정리가 아니라 행렬식의 정의 자체로 가르쳐지고 있습니다.

연습문제 12.2.5.

웨지곱을 전개하면 $n=3$ 에 대한 라이프니츠 공식이 나옴을 확인하십시오.

12.3 특성다항식과 케일리-해밀턴

고윳값 이론과 연결해 봅시다. $V$ 가 대수적으로 닫힌 체 위에서 $n$ 차원일 때, 사상 $T\colon V\to V$ 를 생각하고, 그 고윳값을 $\lambda_{1}$ , $\lambda_{2}$ , …, $\lambda_{n}$ 이라 합시다(중복 포함). 그러면 특성다항식은 다음과 같이 주어집니다.

p_{T}(X)=(X-\lambda_{1})(X-\lambda_{2})\dots(X-\lambda_{n}).

$T$ 를 조르당 표준형으로 썼다면, 즉

T=\begin{bmatrix}\lambda_{1}&\ast&0&\dots&0\\ 0&\lambda_{2}&\ast&\dots&0\\ 0&0&\lambda_{3}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&\lambda_{n}\end{bmatrix}

(여기서 각 $\ast$ 는 $0$ 또는 $1$ 입니다) 다음과 같이 정의를 짜맞출 수 있습니다.

p_{T}(X)\coloneqq\det\left(X\cdot\mathrm{id}_{n}-T\right)=\det\begin{bmatrix}X% -\lambda_{1}&\ast&0&\dots&0\\ 0&X-\lambda_{2}&\ast&\dots&0\\ 0&0&X-\lambda_{3}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&X-\lambda_{n}\end{bmatrix}.

후자의 정의는 대부분의 선형대수학 책에서 볼 수 있는 것인데, 이는 ”고윳값”이라는 단어를 언급하지 않고(즉, 전적으로 숫자 배열의 관점에서) 특성다항식을 정의할 수 있게 해주기 때문입니다. 어떤 행렬이 주어지든 특성다항식을 쉽게 계산할 수 있고 따라서 고윳값도 쉽게 계산할 수 있다는 점에서 이러한 정의가 장점을 가진다는 것은 인정합니다. 하지만 저는 여전히 정의는 애초에 고윳값의 관점에서 이루어져야 한다고 생각합니다. 예를 들어 행렬식을 이용한 정의는 다음 정리를 모호하게 만드는데, 사실 이 정리는 완전히 자명한 것입니다.

정리 12.3.1 (케일리-해밀턴).

$T\colon V\to V$ 가 대수적으로 닫힌 체 위의 유한 차원 벡터 공간들 사이의 사상이라 합시다. 그러면 사상 $p_{T}(T)$ 는 영사상입니다.

여기서 $p_{T}(T)$ 란, 만약

p_{T}(X)=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\dots+c_{0}

라면

p_{T}(T)=T^{n}+c_{n-1}T^{n-1}+\dots+c_{1}T+c_{0}I

가 영사상임을 의미하며, 여기서 $T^{k}$ 는 $T$ 를 $k$ 번 적용한 것을 나타냅니다. 우리는 $T$ 가 적어도 하나의 영이 아닌 고유벡터를 가짐을 증명할 때 이미 이 개념을 본 적이 있습니다.

예제 12.3.2 (행렬식 정의를 이용한 케일리-해밀턴 정리의 예).

$T=\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}$ 라고 합시다. 특성다항식의 행렬식 정의를 이용하면, $p_{T}(X)=(X-1)(X-4)-(-2)(-3)=X^{2}-5X-2$ 임을 알 수 있습니다. 실제로 다음을 확인할 수 있습니다

T^{2}-5T-2=\begin{bmatrix}7&10\\ 15&22\end{bmatrix}-5\cdot\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}-2\cdot\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\ 0&0\end{bmatrix}.

만약 고윳값이라는 단어 없이 $p_{T}$ 를 정의하고, 행렬을 숫자들의 배열로 보는 사악한 관점을 취한다면, 이것은 완전한 기적처럼 보일 것입니다. (실제로 위키백과에 있는 끔찍한 증명들을 보십시오.)

하지만 $T$ 를 선형 사상으로 보는 추상적인 관점을 사용한다면, 이 정리는 거의 자명합니다.

케일리-해밀턴 정리의 증명.

$V$ 를 조르당 표준형으로 다음과 같이 쓴다고 합시다.

V=J_{1}\oplus\dots\oplus J_{m}

여기서 $J_{i}$ 는 고윳값 $\lambda_{i}$ 와 차원 $d_{i}$ 를 가집니다. 정의에 의해,

p_{T}(T)=(T-\lambda_{1})^{d_{1}}(T-\lambda_{2})^{d_{2}}\dots(T-\lambda_{m})^{d% _{m}}.

정의에 의해, $(T-\lambda_{1})^{d_{1}}$ 은 $J_{1}$ 위에서 영사상입니다. 따라서 $p_{T}(T)$ 는 $J_{1}$ 위에서 영입니다. 마찬가지로 다른 $J_{i}$ 들 각각에 대해서도 영이며 — 이것으로 끝입니다. ∎

비고 12.3.3 (텐서로 확장하기).

케일리-해밀턴 정리는 $k$ 가 대수적으로 닫혀 있다는 가정 없이도 성립합니다. 예를 들어 임의의 실수 행렬은 (앞서 언급한 트릭에 따라) 복소수 계수를 가진 행렬로 볼 수 있기 때문입니다. 이 아이디어를 텐서곱을 이용해 어떻게 형식화할 수 있는지 간략히 힌트를 드리겠습니다.

기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ 을 가지는 공간 $V=\mathbb{R}^{3}$ 을 생각해 봅시다. 그러면 $V$ 의 원소들은 $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ 이 실수인 $r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+r_{3}e_{3}$ 형태를 가집니다. 우리는 본질적으로 동일한 벡터 공간을 고려하되, 실수 계수 $r_{i}$ 대신 복소수 계수 $z_{i}$ 를 가지도록 하고자 합니다.

그래서 우리가 하는 일은 다음과 같습니다. $\mathbb{C}$ 를 (예를 들어 기저 $\{1,i\}$ 를 가지는) $\mathbb{R}$ -벡터 공간으로 보고, 복소화를 고려합니다.

V_{\mathbb{C}}\coloneqq\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}V.

그러면 우리의 원소들이 실제로 다음과 같은 형태를 가짐을 확인할 수 있습니다.

z_{1}\otimes e_{1}+z_{2}\otimes e_{2}+z_{3}\otimes e_{3}.

여기서 텐서곱은 $\mathbb{R}$ 위에서 이루어지므로, $r\in\mathbb{R}$ 에 대해 $z\otimes re_{i}=(zr)\otimes e_{i}$ 가 성립합니다. 그러면 $V_{\mathbb{C}}$ 는 $i\in\{1,2,3\}$ 에 대한 기저 $1\otimes e_{i}$ 를 가지는 $\mathbb{C}$ 위의 3차원 벡터 공간으로 생각할 수 있습니다. 이런 방식으로, 텐서곱은 복소수 계수를 ”덧붙인다”는 아이디어를 형식화할 수 있게 해줍니다.

$T\colon V\to W$ 가 사상이라면, $T_{\mathbb{C}}\colon V_{\mathbb{C}}\to W_{\mathbb{C}}$ 는 단순히 $z\otimes v\mapsto z\otimes T(v)$ 인 사상입니다. 이는 때때로 $T_{\mathbb{C}}=\mathrm{id}\otimes T$ 로 표기되는 것을 볼 수 있습니다. 이렇게 하면 $T_{\mathbb{C}}$ 에 정리들을 적용하여 $T$ 에 대한 해당 결과를 유도할 수 있습니다.

12.4 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 12A (열 연산).

임의의 실수 $x_{ij}$ (여기서 $1\leq i,j\leq n$ )에 대해 다음이 성립함을 보이십시오.

\det\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&\dots&x_{1n}\\ x_{21}&x_{22}&\dots&x_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{n1}&x_{n2}&\dots&x_{nn}\\ \end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}x_{11}+cx_{12}&x_{12}&\dots&x_{1n}\\ x_{21}+cx_{22}&x_{22}&\dots&x_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{n1}+cx_{n2}&x_{n2}&\dots&x_{nn}\\ \end{bmatrix}.

힌트. 핵심은 다음과 같습니다.

$(v_{1}+cv_{2})\wedge v_{2}\dots\wedge v_{n}=v_{1}\wedge v_{2}\dots\wedge v_{n}% +c(v_{2}\wedge v_{2}\dots\wedge v_{n})$

그리고 뒤의 항은 영입니다.

문제 12B (행렬식은 고윳값들의 곱).

$V$ 를 대수적으로 닫힌 체 $k$ 위의 $n$ 차원 벡터 공간이라 합시다. $T\colon V\to V$ 를 고윳값 $\lambda_{1}$ , $\lambda_{2}$ , …, $\lambda_{n}$ 을 (대수적 중복도를 세어) 가지는 선형 사상이라 합시다. $\det T=\lambda_{1}\dots\lambda_{n}$ 임을 보이십시오.

힌트. $T$ 를 행렬 형태로 써서 이를 보일 수도 있고, 조르당 형식이 주는 기저를 사용하여 $\det T$ 의 쐐기 정의를 사용할 수도 있습니다.

문제 12C (지수 행렬).

$X$ 를 복소수 계수를 가지는 $n\times n$ 행렬이라 합시다. 우리는 지수 사상을 다음과 같이 정의합니다.

\exp(X)=1+X+\frac{X^{2}}{2!}+\frac{X^{3}}{3!}+\cdots

(이것이 어떤 $n\times n$ 행렬로 수렴한다는 것은 당연한 것으로 받아들이십시오.) 다음을 증명하십시오.

\det(\exp(X))=e^{\operatorname{Tr}X}.

힌트. 이는 사실 $X$ 가 위삼각 행렬이 되는 임의의 기저를 취하면 즉시 얻어집니다!

문제 12D (문제 9B의 확장).

$T\colon V\to V$ 를 유한 차원 벡터 공간들 사이의 사상이라 합시다. $T$ 가 동형사상인 것과 $\det T\neq 0$ 인 것이 동치임을 증명하십시오.

힌트. 고윳값이 필요하지는 않습니다 (물론 사용해도 될 수는 있습니다). 한 방향에서는, (문제 9B에 의해) ”동형사상”을 ”단사”로 바꿀 수 있음을 기억하십시오. 다른 방향에서는, $T$ 가 동형사상이라면 $S$ 를 역사상이라 하고 $\det(S\circ T)$ 를 살펴보십시오.

풀이. (문제 9B에 의해) ”동형사상”을 ”단사”로 바꿔 쓸 수 있음을 기억하십시오.

0이 아닌 어떤 $v$ 에 대해 $T(v)=0$ 이면, $e_{1}=v$ 가 되도록 기저를 택했을 때 $\bigwedge^{n}(T)$ 가 $e_{1}\wedge\dots$ 를 $0\wedge T(e_{2})\wedge\dots=0$ 으로 보낸다는 것을 알 수 있으므로, 이는 영사상이 되고 따라서 $\det T=0$ 입니다.

반대로 $T$ 가 동형사상이면 $S$ 를 그 역사상이라고 합시다. 그러면 $1=\det(\mathrm{id})=\det(S\circ T)=\det S\det T$ 이므로 $\det T\neq 0$ 입니다.

문제 12E (스웨덴 2010에 기반함).

^†^†margin:

0이 아닌 무게를 가진 $1000$ 마리의 소 떼가 주어져 있습니다. 소 한 마리를 제거하여 남은 $999$ 마리의 소를 무게의 합이 같은 두 집합으로 분할할 수 없도록 할 수 있음을 증명하십시오.

힌트. 대각선상의 성분은 $0$ 이고 대각선 밖의 성분은 $\pm 1$ 인 $1000\times 1000$ 행렬 $M$ 을 생각하십시오. 법 $2$ 로 계산합니다.

풀이. 귀류법으로 증명합니다. $v$ 를 소들의 무게를 성분으로 하는 길이 $1000$ 의 벡터라고 합시다. 대각선 성분은 $0$ 이고 비대각선 성분은 $\pm 1$ 인 행렬 $M$ 이 존재하여 $Mv=0$ 이라고 가정합니다. 하지만 $\det M\pmod{2}$ 는 $\{1,\dots,1000\}$ 의 교란순열 개수와 같으며, 이는 홀수입니다. 따라서 $\det M$ 은 홀수이고 특히 $0$ 이 아니므로, $M$ 은 가역입니다. 따라서 $Mv=0\implies v=0$ 이 되어 모순입니다.

문제 12F (퍼트넘 2015).

^†^†margin:

$S$ 를 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 가 이 순서로 등차수열을 이루는 실수 행렬 $\left(\begin{smallmatrix}a&b\\ c&d\end{smallmatrix}\right)$ 의 집합이라고 정의합니다. 어떤 정수 $k>1$ 에 대해 $M^{k}\in S$ 인 모든 $M\in S$ 를 구하십시오.

힌트. $a=b=c=d$ 만이 아닌 다른 해의 족이 존재합니다.

케일리-해밀턴 정리를 이용하여 문제를 풀 수도 있습니다. 좀 더 ”직접적인” 접근법은 (( $a=b=c=d$ 가 아닌 한) 행렬이 가역임을 보인 다음 행렬을 다음과 같이 대각화하는 것입니다 $M=\begin{bmatrix}s&-q\\ -r&p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_{1}&0\\ 0&\lambda_{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p&q\\ r&s\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ps\lambda_{1}-qr\lambda_{2}&qs(\lambda_{1}-% \lambda_{2})\\ pr(\lambda_{2}-\lambda_{1})&ps\lambda_{2}-qr\lambda_{1}\end{bmatrix}$ .

풀이. 답은 다음과 같습니다

$\begin{bmatrix}t&t\\ t&t\end{bmatrix}\quad\text{그리고}\quad\begin{bmatrix}-3t&-t\\ t&3t\end{bmatrix}$

$t\in\mathbb{R}$ 에 대해서입니다. 이들은 $k=3$ 을 취함으로써 성립합니다.

이제 이것들이 유일한 해임을 보이기 위해, 등차수열 행렬을 생각합시다

$M=\begin{bmatrix}a&a+e\\ a+2e&a+3e\end{bmatrix}.$

단 $e\neq 0$ 입니다. 이 행렬의 특성다항식은 $t^{2}-(2a+3e)t-2e^{2}$ 이고, 판별식은 $(2a+3e)^{2}+8e^{2}$ 이므로 서로 다른 두 실근을 가집니다. 더욱이 $-2e^{2}\leq 0$ 이므로 두 근 중 하나가 $0$ 이거나 두 근의 부호가 서로 반대입니다. 이제 다음과 같이 써서 $M$ 을 대각화할 수 있습니다

$M=\begin{bmatrix}s&-q\\ -r&p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_{1}&0\\ 0&\lambda_{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p&q\\ r&s\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ps\lambda_{1}-qr\lambda_{2}&qs(\lambda_{1}-% \lambda_{2})\\ pr(\lambda_{2}-\lambda_{1})&ps\lambda_{2}-qr\lambda_{1}\end{bmatrix}$

단 $ps-qr=1$ 입니다. 대각선 성분들의 합이 대각선 밖 성분들과 같다는 사실을 이용하면 다음을 얻습니다

$(ps-qr)(\lambda_{1}+\lambda_{2})=(qs-pr)(\lambda_{1}-\lambda_{2})\implies qs-% pr=\frac{\lambda_{1}+\lambda_{2}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}.$

이제 $M^{k}\in S$ 도 성립한다면 같은 계산으로부터 다음을 얻습니다

$qs-pr=\frac{\lambda_{1}^{k}+\lambda_{2}^{k}}{\lambda_{1}^{k}-\lambda_{2}^{k}}.$

$x=\lambda_{1}/\lambda_{2}<0$ 이라고 합시다 ( $-2e^{2}<0$ 이기 때문입니다). 적절히 계산하면 다음을 얻습니다

$\frac{x+1}{x-1}=\frac{x^{k}+1}{x^{k}-1}\implies\frac{2}{x-1}=\frac{2}{x^{k}-1}% \implies x=x^{k}\implies x=-1\text{또는}x=0$

그리고 $k$ 는 홀수입니다. $x=0$ 이면 $e=0$ 을 얻고, $x=-1$ 이면 $2a+3e=0$ 을 얻는데, 이는 우리가 주장한 해들의 곡선을 줍니다.

더 깔끔한 접근법은 케일리-해밀턴 정리를 이용하는 것입니다. $e\neq 0$ 이라고 가정하면, 위에서와 같이 $M$ 은 서로 다른 두 실수 고윳값을 가집니다. $M$ 이 어떤 이차다항식을 만족시키므로, 어떤 상수 $c$ , $d$ 에 대해 $M^{k}=cM+d\mathrm{id}$ 입니다. $M\in S$ 이고 $M^{k}\in S$ 이므로 $d=0$ 을 얻습니다. 따라서 $M^{k}=cM$ 이 되고, 이로부터 $M$ 의 고윳값들이 서로 음수 관계임이 따라옵니다. 이는 $\operatorname{Tr}M=0$ 을 의미하며, 나머지는 명백합니다.

문제 12G.

^†^†margin:

$V$ 를 $k$ 위의 유한 차원 벡터 공간이라 하고 $T\colon V\to V$ 라고 합시다. 다음을 보이십시오.

\det(a\cdot\mathrm{id}_{V}-T)=\sum_{n=0}^{\dim V}a^{\dim V-n}\cdot(-1)^{n}% \operatorname{Tr}\left(\bigwedge^{n}(T)\right)

여기서 대각합은 $\bigwedge^{n}(T)\colon\bigwedge^{n}(V)\to\bigwedge^{n}(V)$ 로 보고 취한 것입니다.

힌트. 기저를 택하여 다소 긴 계산을 수행하십시오.

풀이. $V$ 의 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 을 택하십시오. $T$ 가 행렬 $(x_{ij})$ 를 가진다고 하고, $m=\dim V$ 라고 하십시오. $\delta_{ij}$ 를 크로네커 델타라고 하십시오. 또한 $\operatorname{Fix}(\sigma)$ 는 순열 $\sigma$ 의 고정점을 나타내고 $\operatorname{NoFix}(\sigma)$ 는 고정되지 않은 점을 나타낸다고 하십시오.

전개하면 다음을 얻습니다.

$\displaystyle\qquad\det(a\cdot\mathrm{id}-T)$

$\displaystyle=\sum_{\sigma\in S_{m}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \prod_{i=1}^{m}\left(a\cdot\delta_{i\sigma(i)}-x_{i\sigma(i)}\right)\right)$

$\displaystyle=\sum_{s=0}^{m}\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{s}\leq m}\sum_{\begin{% subarray}{c}\sigma\in S_{m}\\ \sigma\text{고정합니다}i_{k}\end{subarray}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \prod_{i=1}^{m}\left(a\cdot\delta_{i\sigma(i)}-x_{i\sigma(i)}\right)\right)$

$\displaystyle=\sum_{s=0}^{m}\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{s}\leq m}\sum_{\begin{% subarray}{c}\sigma\in S_{m}\\ \sigma\text{고정합니다}(i_{k})\end{subarray}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \prod_{i\notin(i_{k})}-x_{i\sigma(i)}\prod_{i\in(i_{k})}\left(a-x_{ii}\right)\right)$

$\displaystyle=\sum_{\sigma\in S_{m}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \prod_{i\in\operatorname{NoFix}(\sigma)}-x_{i\sigma(i)}\prod_{i\in% \operatorname{Fix}{\sigma}}\left(a-x_{ii}\right)\right)$

$\displaystyle=\sum_{\sigma\in S_{m}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \left(\prod_{i\in\operatorname{NoFix}(\sigma)}-x_{i\sigma(i)}\right)\left(\sum% _{t=0}^{\left\lvert\operatorname{Fix}(\sigma)\right\rvert}a^{\left\lvert% \operatorname{Fix}(\sigma)\right\rvert-t}\cdot\sum_{i_{1}<\dots<i_{t}\in% \operatorname{Fix}(\sigma)}\prod_{k=1}^{t}-x_{i_{k}i_{k}}\right)\right)$

$\displaystyle=\sum_{\sigma\in S_{m}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\left(% \sum_{t=0}^{\left\lvert\operatorname{Fix}(\sigma)\right\rvert}a^{m-t-\left% \lvert\operatorname{NoFix}(\sigma)\right\rvert}\sum_{\begin{subarray}{c}X% \subseteq\{1,\dots,m\}\\ \operatorname{NoFix}(\sigma)\subseteq X\\ X\text{정확히 $t$개의 고정점을 가집니다}\end{subarray}}\prod_{i\in X}-x_{i\sigma(i)}\right)\right)$

$\displaystyle=\sum_{n=0}^{m}a^{m-n}\left(\sum_{\sigma\in S_{m}}\operatorname{% sign}(\sigma)\sum_{\begin{subarray}{c}X\subseteq\{1,\dots,m\}\\ \operatorname{NoFix}(\sigma)\subseteq X\\ \left\lvert X\right\rvert=n\end{subarray}}\prod_{i\in X}-x_{i\sigma(i)}\right)$

$\displaystyle=\sum_{n=0}^{m}a^{m-n}(-1)^{n}\left(\sum_{\begin{subarray}{c}X% \subseteq\{1,\dots,m\}\\ \left\lvert X\right\rvert=n\end{subarray}}\sum_{\begin{subarray}{c}\sigma\in S% _{m}\\ \operatorname{NoFix}(\sigma)\subseteq X\end{subarray}}\operatorname{sign}(% \sigma)\prod_{i\in X}x_{i\sigma(i)}\right).$

따라서 다음을 보이는 것과 동치입니다.

$\sum_{\begin{subarray}{c}X\subseteq\{1,\dots,m\}\\ \left\lvert X\right\rvert=n\end{subarray}}\sum_{\begin{subarray}{c}\sigma\in S% _{m}\\ \operatorname{NoFix}(\sigma)\subseteq X\end{subarray}}\operatorname{sign}(% \sigma)\prod_{i\in X}x_{i\sigma(i)}=\operatorname{Tr}_{\bigwedge^{n}(V)}\left(% \bigwedge^{n}(T)\right)$

이 모든 $n$ 에 대해 성립합니다.

기저 원소를 사용하여 대각합의 정의를 다음과 같이 전개할 수 있습니다.

$\displaystyle\operatorname{Tr}\left(\bigwedge^{n}(T)\right)$ $\displaystyle=\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{n}\leq m}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}e_{% i_{k}}\right)^{\vee}\left(\bigwedge^{n}(T)\left(\bigwedge_{k=1}^{n}e_{i_{k}}% \right)\right)$

$\displaystyle=\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{n}\leq m}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}e_{% i_{k}}\right)^{\vee}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}T(e_{i_{k}})\right)$

$\displaystyle=\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{n}\leq m}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}e_{% i_{k}}\right)^{\vee}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{m}x_{i_{k}j}e_{% j}\right)\right)$

$\displaystyle=\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{n}\leq m}\sum_{\pi\in S_{n}}% \operatorname{sign}(\pi)\prod_{k=1}^{n}x_{i_{\pi(k)}k}$

$\displaystyle=\sum_{\begin{subarray}{c}X\subseteq\{1,\dots,m\}\\ \left\lvert X\right\rvert=n\end{subarray}}\sum_{\pi\in S_{X}}\operatorname{% sign}(\pi)\prod_{t\in X}x_{t\pi(t)}$

따라서 $X$ 에 대한 순열이 $\{1,\dots,m\}-X$ 를 고정하는 $S_{m}$ 에 대한 순열과 전단사 관계에 있음을 보이면 충분한데, 이는 명백하며, 더욱이 부호도 명백히 일치합니다.

문제 12H (코시-비네 공식).

^†^†margin:

$n\geq s\geq 1$ 을 정수라 하고, $A$ 와 $B$ 를 각각 $s\times n$ 행렬과 $n\times s$ 행렬이라고 하십시오. (따라서 $A B$ 는 $s\times s$ 행렬입니다.) $|S|=s$ 인 임의의 부분집합 $S\subseteq\{1,2,\dots,n\}$ 에 대해, $A_{S}$ 를 인덱스가 $S$ 에 속하는 행들로 이루어진 $A$ 의 $s\times s$ 부분행렬이라 하고, $B_{S}$ 를 인덱스가 $S$ 에 속하는 열들로 이루어진 $B$ 의 $s\times s$ 부분행렬이라고 하십시오. 다음을 증명하십시오.

\det(AB)=\sum_{|S|=s}\det A_{S}\det B_{S}.

풀이. https://www3.nd.edu/~andyp/notes/CauchyBinet.pdf를 참고하십시오.

	$\displaystyle\qquad\det(a\cdot\mathrm{id}-T)$
	$\displaystyle=\sum_{\sigma\in S_{m}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \prod_{i=1}^{m}\left(a\cdot\delta_{i\sigma(i)}-x_{i\sigma(i)}\right)\right)$
	$\displaystyle=\sum_{s=0}^{m}\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{s}\leq m}\sum_{\begin{% subarray}{c}\sigma\in S_{m}\\ \sigma\text{고정합니다}i_{k}\end{subarray}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \prod_{i=1}^{m}\left(a\cdot\delta_{i\sigma(i)}-x_{i\sigma(i)}\right)\right)$
	$\displaystyle=\sum_{s=0}^{m}\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{s}\leq m}\sum_{\begin{% subarray}{c}\sigma\in S_{m}\\ \sigma\text{고정합니다}(i_{k})\end{subarray}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \prod_{i\notin(i_{k})}-x_{i\sigma(i)}\prod_{i\in(i_{k})}\left(a-x_{ii}\right)\right)$
	$\displaystyle=\sum_{\sigma\in S_{m}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \prod_{i\in\operatorname{NoFix}(\sigma)}-x_{i\sigma(i)}\prod_{i\in% \operatorname{Fix}{\sigma}}\left(a-x_{ii}\right)\right)$
	$\displaystyle=\sum_{\sigma\in S_{m}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \left(\prod_{i\in\operatorname{NoFix}(\sigma)}-x_{i\sigma(i)}\right)\left(\sum% _{t=0}^{\left\lvert\operatorname{Fix}(\sigma)\right\rvert}a^{\left\lvert% \operatorname{Fix}(\sigma)\right\rvert-t}\cdot\sum_{i_{1}<\dots<i_{t}\in% \operatorname{Fix}(\sigma)}\prod_{k=1}^{t}-x_{i_{k}i_{k}}\right)\right)$
	$\displaystyle=\sum_{\sigma\in S_{m}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\left(% \sum_{t=0}^{\left\lvert\operatorname{Fix}(\sigma)\right\rvert}a^{m-t-\left% \lvert\operatorname{NoFix}(\sigma)\right\rvert}\sum_{\begin{subarray}{c}X% \subseteq\{1,\dots,m\}\\ \operatorname{NoFix}(\sigma)\subseteq X\\ X\text{정확히 $t$개의 고정점을 가집니다}\end{subarray}}\prod_{i\in X}-x_{i\sigma(i)}\right)\right)$
	$\displaystyle=\sum_{n=0}^{m}a^{m-n}\left(\sum_{\sigma\in S_{m}}\operatorname{% sign}(\sigma)\sum_{\begin{subarray}{c}X\subseteq\{1,\dots,m\}\\ \operatorname{NoFix}(\sigma)\subseteq X\\ \left\lvert X\right\rvert=n\end{subarray}}\prod_{i\in X}-x_{i\sigma(i)}\right)$
	$\displaystyle=\sum_{n=0}^{m}a^{m-n}(-1)^{n}\left(\sum_{\begin{subarray}{c}X% \subseteq\{1,\dots,m\}\\ \left\lvert X\right\rvert=n\end{subarray}}\sum_{\begin{subarray}{c}\sigma\in S% _{m}\\ \operatorname{NoFix}(\sigma)\subseteq X\end{subarray}}\operatorname{sign}(% \sigma)\prod_{i\in X}x_{i\sigma(i)}\right).$

	$\displaystyle\operatorname{Tr}\left(\bigwedge^{n}(T)\right)$	$\displaystyle=\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{n}\leq m}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}e_{% i_{k}}\right)^{\vee}\left(\bigwedge^{n}(T)\left(\bigwedge_{k=1}^{n}e_{i_{k}}% \right)\right)$
		$\displaystyle=\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{n}\leq m}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}e_{% i_{k}}\right)^{\vee}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}T(e_{i_{k}})\right)$
		$\displaystyle=\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{n}\leq m}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}e_{% i_{k}}\right)^{\vee}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{m}x_{i_{k}j}e_{% j}\right)\right)$
		$\displaystyle=\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{n}\leq m}\sum_{\pi\in S_{n}}% \operatorname{sign}(\pi)\prod_{k=1}^{n}x_{i_{\pi(k)}k}$
		$\displaystyle=\sum_{\begin{subarray}{c}X\subseteq\{1,\dots,m\}\\ \left\lvert X\right\rvert=n\end{subarray}}\sum_{\pi\in S_{X}}\operatorname{% sign}(\pi)\prod_{t\in X}x_{t\pi(t)}$

장 12 행렬식

12.1 쐐기곱

정의 12.1.1.

연습문제 12.1.2.

예제 12.1.3 (쐐기곱의 명시적 계산).

비고 (수학에서의 정의에 관한 부수적 여담).

명제 12.1.4 (⋀2(V)의 기저).

증명.

정의 12.1.5.

명제 12.1.6 (쐐기곱의 기저).

증명 개요.

12.2 행렬식

예제 12.2.1 (⋀m(T)의 예).

정의 12.2.2.

예제 12.2.3 (2×2 행렬의 행렬식).

질문 12.2.4.

연습문제 12.2.5.

12.3 특성다항식과 케일리-해밀턴

정리 12.3.1 (케일리-해밀턴).

예제 12.3.2 (행렬식 정의를 이용한 케일리-해밀턴 정리의 예).

케일리-해밀턴 정리의 증명.

비고 12.3.3 (텐서로 확장하기).

12.4 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 12A (열 연산).

문제 12B (행렬식은 고윳값들의 곱).

문제 12C (지수 행렬).

문제 12D (문제 9B의 확장).

문제 12E (스웨덴 2010에 기반함).

문제 12F (퍼트넘 2015).

문제 12G.

문제 12H (코시-비네 공식).

명제 12.1.4 ( $\bigwedge^{2}(V)$ 의 기저).

예제 12.2.1 ( $\bigwedge^{m}(T)$ 의 예).

예제 12.2.3 ( $2\times 2$ 행렬의 행렬식).