장 12 행렬식

이 장의 목표는 기저에 의존하지 않는 행렬식의 정의를 제시하는 것입니다. 즉, $T$ 의 표현 방식을 참조하지 않고 $T\colon V\to V$ 에 대해 $\det T$ 를 정의하려는 것입니다. 이렇게 하면 행렬의 행렬식이 기저의 선택에 의존하지 않는다는 사실이 명백해지고, 몇몇 성질(e.g. 행렬식이 곱셈적이라는 것)은 자명하게 참이 됩니다.

행렬식은 유한 차원 벡터 공간에 대해서만 정의되므로, 원한다면 이 장에서는 유한 차원 벡터 공간만 고려해도 됩니다. 한편 바탕체가 대수적으로 닫혀 있을 필요는 없습니다.

12.1 쐐기곱

대표적인 예: $\bigwedge^{2}(\mathbb{R}^{2})$ 는 평행사변형을 줍니다.

이제 쐐기곱이라는 것을 정의하겠습니다. 처음에는 텐서곱 $V\otimes V$ 처럼 보이지만, 관계가 하나 더 추가됩니다.

간단히 하기 위해 먼저 쐐기곱 $\bigwedge^{2}(V)$ 를 정의하겠습니다. 하지만 나중에는 $2$ 를 임의의 $n$ 으로 바꿀 것입니다.

정의 12.1.1.

$V$ 를 $k$ -벡터 공간이라고 합시다. $2$ -쐐기곱 $\bigwedge^{2}(V)$ 는 $v\wedge w$ ( $v,w\in V$ ) 꼴의 원소들로 생성되는 아벨 군으로, 다음과 같은 동일한 관계들을 따르며

	$\displaystyle(v_{1}+v_{2})\wedge w$	$\displaystyle=v_{1}\wedge w+v_{2}\wedge w$
	$\displaystyle v\wedge(w_{1}+w_{2})$	$\displaystyle=v\wedge w_{1}+v\wedge w_{2}$
	$\displaystyle(c\cdot v)\wedge w$	$\displaystyle=v\wedge(c\cdot w)$

추가로 다음 두 관계를 더 따릅니다:

v\wedge v=0\quad\text{그리고}\quad v\wedge w=-w\wedge v.

벡터 공간으로서의 작용은 $c\cdot(v\wedge w)=(c\cdot v)\wedge w=v\wedge(c\cdot w)$ 로 주어집니다.

연습문제 12.1.2.

조건 $v\wedge w=-(w\wedge v)$ 가 사실은 불필요하다는 것을 보이십시오. 이 조건은 $v\wedge v=0$ 이라는 사실로부터 유도할 수 있습니다. (힌트: $(v+w)\wedge(v+w)=0$ 을 전개하십시오.)

이것은 텐서곱의 정의와 거의 똑같아 보이지만, 미묘한 차이가 두 가지 있습니다. 첫째, 텐서곱에서처럼 $V$ 와 $W$ 가 있는 것이 아니라 이제는 $V$ 만 있습니다.¹¹1그러니 쐐기곱은 “쐐기 거듭제곱”이라고 부르는 편이 더 정확할지도 모릅니다! 둘째, 다음과 같은 새로운 수수께끼 같은 관계가 있습니다

v\wedge v=0\implies v\wedge w=-(w\wedge v).

저것은 왜 저기 있는 것입니까? 좀 이상해 보입니다.

힌트를 드리겠습니다.

예제 12.1.3 (쐐기곱의 명시적 계산).

$V=\mathbb{R}^{2}$ 라 하고, $v=ae_{1}+be_{2}$ , $w=ce_{1}+de_{2}$ 라 합시다. 이제 $\bigwedge^{2}(V)$ 에서 $v\wedge w$ 를 계산해 봅시다.

	$\displaystyle v\wedge w$	$\displaystyle=(ae_{1}+be_{2})\wedge(ce_{1}+de_{2})$
		$\displaystyle=ac(e_{1}\wedge e_{1})+bd(e_{2}\wedge e_{2})+ad(e_{1}\wedge e_{2}% )+bc(e_{2}\wedge e_{1})$
		$\displaystyle=ad(e_{1}\wedge e_{2})+bc(e_{2}\wedge e_{1})$
		$\displaystyle=(ad-bc)(e_{1}\wedge e_{2}).$

$ad-bc$ 는 무엇입니까? 이미 알아보셨을지도 모릅니다:

•

$v$ 와 $w$ 로 만들어지는 평행사변형의 넓이가 $ad-bc$ 라는 것을 알고 계실지도 모릅니다.
•

이것이 $\begin{bmatrix}a&c\\ b&d\end{bmatrix}$ 의 행렬식이라는 것을 알아보셨을지도 모릅니다. 사실 행렬식이 초부피를 나타내기 위한 것이라는 점까지 알고 계실지도 모릅니다.

이것은 결코 우연이 아닙니다. 쐐기곱은 부호 있는 넓이를 나타내도록 설계되었습니다. 즉, $v\wedge w$ 는 $v$ 와 $w$ 로 만들어지는 평행사변형의 넓이를 나타내기 위한 것입니다. 이제 조건 $(cv)\wedge w=v\wedge(cw)$ 가 왜 타당한지 알 수 있습니다. 그리고 물론 이제 $v\wedge v$ 가 왜 0이어야 하는지도 알 수 있습니다. 넓이가 0인 평행사변형이기 때문입니다!

쐐기곱의 기적은 텐서곱 공리에 추가해야 하는 조건이 $v\wedge v=0$ 하나뿐이라는 것입니다. 그러면 갑자기 쐐기가 부피를 나타내는 모든 일을 우리 대신 해 줍니다.

비고 (수학에서의 정의에 관한 여담).

이러한 “성질 기반” 철학은 현대 수학에서 흔히 쓰이는 방식입니다. 정의하고자 하는 대상에 대한 어떤 직관이 있으면, 그로부터 “마땅히” 따라 나와야 할 성질들의 희망 목록을 적습니다. 그런데 알고 보면 그 성질들만으로도 충분히 다룰 수 있으므로, 정의할 때는 희망 목록의 모든 성질을 만족하는 추상적인 대상을 정의하기만 하면 됩니다. 그 뒤로 직관은 아무런 “공식적인” 역할도 하지 않으며, 희망 목록을 뒷받침하는 응원 삼아 동기를 부여하는 역할만 합니다.

쐐기곱의 경우, 희망 목록에는 $v\wedge v=0$ 이라는 성질 하나만 있습니다.

앞에서와 유사하게 다음이 성립합니다:

명제 12.1.4 ( $\bigwedge^{2}(V)$ 의 기저).

$V$ 를 기저 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 을 갖는 벡터 공간이라고 합시다. 그러면 $\bigwedge^{2}(V)$ 의 기저는 다음과 같습니다.

e_{i}\wedge e_{j}

여기서 $i<j$ 입니다. 따라서 $\bigwedge^{2}(V)$ 의 차원은 $\binom{n}{2}$ 입니다.

증명.

의외로 까다로우며, 이 역시 생략합니다. (텐서곱에 관한 대응하는 정리로부터 유도할 수 있습니다.) ∎

이제 다차원 쐐기곱을 정의할 용기가 생겼습니다. 쐐기가 더 많아졌을 뿐 같은 것입니다.

정의 12.1.5.

$V$ 를 벡터 공간, $m$ 을 양의 정수라고 합시다. 공간 $\bigwedge^{m}(V)$ 는 다음 꼴의 쐐기들로 생성되며

v_{1}\wedge v_{2}\wedge\dots\wedge v_{m}

다음 관계를 만족합니다.

	$\displaystyle\dots\wedge(v_{1}+v_{2})\wedge\dots$	$\displaystyle=(\dots\wedge v_{1}\wedge\dots)+(\dots\wedge v_{2}\wedge\dots)$
	$\displaystyle\dots\wedge(cv_{1})\wedge v_{2}\wedge\dots$	$\displaystyle=\dots\wedge v_{1}\wedge(cv_{2})\wedge\dots$
	$\displaystyle\dots\wedge v\wedge v\wedge\dots$	$\displaystyle=0$
	$\displaystyle\dots\wedge v\wedge w\wedge\dots$	$\displaystyle=-(\dots\wedge w\wedge v\wedge\dots)$

벡터 공간으로서

c\cdot(v_{1}\wedge v_{2}\wedge\dots\wedge v_{m})=(cv_{1})\wedge v_{2}\wedge% \dots\wedge v_{m}=v_{1}\wedge(cv_{2})\wedge\dots\wedge v_{m}=\dots.

이 정의는 상당히 장황하지만, 세 조건을 말로 풀면 다음과 같습니다.

•

이전과 마찬가지로 곱들을 더할 수 있어야 하고,
•

$m$ 개의 성분 중 어느 것에나 상수를 붙일 수 있으며(“벡터 공간” 작용에서 직접 지적된 대로),
•

임의의 인접한 두 쐐기를 서로 바꾸면 쐐기 전체의 부호가 바뀝니다.

따라서 이것은 $\bigwedge^{2}(V)$ 의 자연스러운 일반화입니다. 다음 꼴의 임의의 원소가

\dots\wedge v\wedge\dots\wedge v\wedge\dots

여전히 0이어야 함을 스스로 확인할 수 있습니다.

앞에서 $e_{1}\wedge e_{2}$ 가 기저였던 것처럼, 일반적인 $m$ 과 $n$ 에 대해서도 기저를 찾을 수 있습니다.

명제 12.1.6 (쐐기곱의 기저).

$V$ 를 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 을 갖는 벡터 공간이라고 합시다. $\bigwedge^{m}(V)$ 의 기저는 다음 원소들로 이루어집니다.

e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge\dots\wedge e_{i_{m}}

여기서

1\leq i_{1}<i_{2}<\dots<i_{m}\leq n.

따라서 $\bigwedge^{m}(V)$ 의 차원은 $\binom{n}{m}$ 입니다.

증명의 개요.

앞에서 $e_{i_{1}}\otimes\dots\otimes e_{i_{m}}$ 이 텐서곱의 기저임을 알았습니다. 여기서는 다음과 같은 추가 성질이 있습니다. (a) 두 기저 원소가 다시 나타나면 전체가 0이 되므로, $i$ 들이 모두 서로 다르다고 가정해야 합니다. 그리고 (b) 원소들의 순서를 뒤섞을 수 있으므로, 기저 원소들을 증가하는 순서로 놓기로 임의로 정합니다. ∎

12.2 행렬식

대표적인 예: $(ae_{1}+be_{2})\wedge(ce_{1}+de_{2})=(ad-bc)(e_{1}\wedge e_{2})$ .

이제 행렬식을 정의할 준비가 되었습니다. $T\colon V\to V$ 가 정사각행렬이라고 합시다. 쐐기들에 대해 다음과 같이 주어지는 사상 $\bigwedge^{m}(V)\to\bigwedge^{m}(V)$ 를

v_{1}\wedge v_{2}\wedge\dots\wedge v_{m}\mapsto T(v_{1})\wedge T(v_{2})\wedge% \dots\wedge T(v_{m}).

$\bigwedge^{m}(V)$ 전체로 선형적으로 확장하면 잘 정의된 선형 사상이 된다고 주장합니다(여기서 “잘 정의된”이란 정의역의 동치인 원소들이 공역의 동치인 원소들로 보내진다는 뜻입니다. 이것과 선형성은 모두 $T$ 가 선형 사상이라는 사실에서 따라 나옵니다). 이 사상을 $\bigwedge^{m}(T)$ 라고 부릅니다.

예제 12.2.1 ( $\bigwedge^{m}(T)$ 의 예).

표준 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ , $e_{4}$ 를 갖는 $V=\mathbb{R}^{4}$ 에서 $T(e_{1})=e_{2}$ , $T(e_{2})=2e_{3}$ , $T(e_{3})=e_{3}$ , $T(e_{4})=2e_{2}+e_{3}$ 이라고 합시다. 그러면 예를 들어 $\bigwedge^{2}(T)$ 는 다음과 같이 보냅니다.

	$\displaystyle(e_{1}\wedge e_{2})+(e_{3}\wedge e_{4})$	$\displaystyle\mapsto T(e_{1})\wedge T(e_{2})+T(e_{3})\wedge T(e_{4})$
		$\displaystyle=e_{2}\wedge 2e_{3}+e_{3}\wedge(2e_{2}+e_{3})$
		$\displaystyle=2(e_{2}\wedge e_{3}+e_{3}\wedge e_{2})$
		$\displaystyle=0.$

이제 흥미로운 사실이 있습니다. $V$ 의 차원이 $n$ 이라고 하고, $m=n$ 이라고 합시다. 그러면 $\bigwedge^{n}(V)$ 의 차원은 $\binom{n}{n}=1$ 입니다 — 1차원 공간입니다! 따라서 $\bigwedge^{n}(V)\cong k$ 입니다.

따라서 $\bigwedge^{n}(T)$ 를 $k$ 에서 $k$ 로 가는 선형 사상으로 생각할 수 있습니다. 그런데 우리는 $k$ 에서 $k$ 로 가는 선형 사상은 단지 상수에 의한 곱셈일 뿐임을 알고 있습니다. 그러므로 $\bigwedge^{n}(T)$ 는 어떤 상수에 의한 곱셈입니다.

정의 12.2.2.

$V$ 가 $n$ 차원 벡터 공간일 때 $T\colon V\to V$ 라고 합시다. 그러면 $\bigwedge^{n}(T)$ 는 상수 $c$ 에 의한 곱셈이며, $T$ 의 행렬식을 $c=\det T$ 로 정의합니다.

예제 12.2.3 ( $2\times 2$ 행렬의 행렬식).

다시 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ 를 갖는 $V=\mathbb{R}^{2}$ 를 생각합시다. 다음과 같이 둡시다.

T=\begin{bmatrix}a&c\\ b&d\end{bmatrix}.

다시 말해 $T(e_{1})=ae_{1}+be_{2}$ 이고 $T(e_{2})=ce_{1}+de_{2}$ 입니다.

이제 $\bigwedge^{2}(V)$ 를 생각해 봅시다. 이 공간은 기저 $e_{1}\wedge e_{2}$ 를 가집니다. 이제 $\bigwedge^{2}(T)$ 는 이것을 다음으로 보냅니다.

e_{1}\wedge e_{2}\xmapsto{\bigwedge^{2}(T)}T(e_{1})\wedge T(e_{2})=(ae_{1}+be_% {2})\wedge(ce_{1}+de_{2})=(ad-bc)(e_{1}\wedge e_{2}).

따라서 $\bigwedge^{2}(T)\colon\bigwedge^{2}(V)\to\bigwedge^{2}(V)$ 는 $\det T=ad-bc$ 에 의한 곱셈입니다. $e_{1}\wedge e_{2}$ 를 $(ad-bc)(e_{1}\wedge e_{2})$ 로 보내기 때문입니다.

이것이 바로 행렬식의 정의입니다. 다시 한번 말하지만, $\bigwedge^{n}(T)$ 를 이용하여 정의했으므로 이 정의는 기저의 선택과 완전히 무관합니다. 다시 말해 행렬식은 행렬을 전혀 언급하지 않고 $T\colon V\to V$ 만으로 정의할 수 있습니다.

질문 12.2.4.

왜 $\bigwedge^{n}(S\circ T)=\bigwedge^{n}(S)\circ\bigwedge^{n}(T)$ 가 성립합니까?

이런 방식으로

\det(S\circ T)=\det(S)\det(T)

역시 공짜로 얻습니다.

더 일반적으로 $2$ 를 $n$ 으로 바꾸고 다음을 전개한 결과를 적어 보면

\left(a_{11}e_{1}+a_{21}e_{2}+\cdots\right)\wedge\dots\wedge\left(a_{1n}e_{1}+% a_{2n}e_{2}+\dots+a_{nn}e_{n}\right)

다음 공식을 얻게 됩니다.

\det(A)=\sum_{\sigma\in S_{n}}\operatorname{sgn}(\sigma)a_{1,\sigma(1)}a_{2,% \sigma(2)}\dots a_{n,\sigma(n)}

이것을 행렬식에 대한 라이프니츠 공식이라고 부릅니다. 미국 고등학생들은 이 공식을 알아볼 것입니다. (안타깝게도) 이 공식은 쐐기곱을 이용한 더 나은 정의의 따름정리로서가 아니라 행렬식의 정의로서 가르쳐지고 있습니다.

연습문제 12.2.5.

쐐기곱을 전개하면 $n=3$ 일 때의 라이프니츠 공식이 나온다는 것을 확인하십시오.

12.3 특성다항식과 케일리-해밀턴

고윳값 이론과 연결해 봅시다. $V$ 가 대수적으로 닫힌 체 위의 $n$ 차원 공간일 때 사상 $T\colon V\to V$ 를 택하고, 그 고윳값들이 (중복을 포함하여) $\lambda_{1}$ , $\lambda_{2}$ , …, $\lambda_{n}$ 이라고 합시다. 그러면 특성다항식은 다음과 같이 주어집니다.

p_{T}(X)=(X-\lambda_{1})(X-\lambda_{2})\dots(X-\lambda_{n}).

$T$ 를 조르당 표준형으로 썼다면, 즉

T=\begin{bmatrix}\lambda_{1}&\ast&0&\dots&0\\ 0&\lambda_{2}&\ast&\dots&0\\ 0&0&\lambda_{3}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&\lambda_{n}\end{bmatrix}

(여기서 각 $\ast$ 는 $0$ 또는 $1$ 입니다) 다음과 같은 정의를 억지로 끼워 맞출 수 있다는 점에 주목하십시오.

p_{T}(X)\coloneqq\det\left(X\cdot\mathrm{id}_{n}-T\right)=\det\begin{bmatrix}X% -\lambda_{1}&\ast&0&\dots&0\\ 0&X-\lambda_{2}&\ast&\dots&0\\ 0&0&X-\lambda_{3}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&X-\lambda_{n}\end{bmatrix}.

대부분의 선형대수학 책에서 보게 되는 것은 후자의 정의인데, 이 정의를 쓰면 “고윳값”이라는 단어를 언급하지 않고도(즉 전적으로 수의 배열만으로) 특성다항식을 정의할 수 있기 때문입니다. 이 정의에는 어떤 행렬이 주어지든 특성다항식을 쉽게 계산할 수 있고 따라서 고윳값도 계산할 수 있다는 장점이 있다는 것은 인정합니다. 하지만 저는 여전히 처음부터 고윳값을 이용하여 정의해야 한다고 생각합니다. 예를 들어 행렬식을 이용한 정의는 다음 정리를 가려 버리는데, 이 정리는 사실 완전히 자명한 것입니다.

정리 12.3.1 (케일리-해밀턴).

$T\colon V\to V$ 가 대수적으로 닫힌 체 위의 유한 차원 벡터 공간 사이의 사상이라고 합시다. 그러면 사상 $p_{T}(T)$ 는 영사상입니다.

여기서 $p_{T}(T)$ 가 뜻하는 바는 다음과 같습니다. 만약

p_{T}(X)=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\dots+c_{0}

이라면

p_{T}(T)=T^{n}+c_{n-1}T^{n-1}+\dots+c_{1}T+c_{0}I

가 영사상이라는 것이며, 여기서 $T^{k}$ 는 $T$ 를 $k$ 번 적용한 것을 나타냅니다. 이 개념은 $T$ 가 영이 아닌 고유벡터를 적어도 하나 가진다는 것을 증명할 때 이미 보았습니다.

예제 12.3.2 (행렬식 정의를 이용한 케일리-해밀턴 정리의 예).

$T=\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}$ 라고 합시다. 특성다항식을 행렬식으로 정의하면 $p_{T}(X)=(X-1)(X-4)-(-2)(-3)=X^{2}-5X-2$ 임을 얻습니다. 실제로 다음을 확인할 수 있습니다.

T^{2}-5T-2=\begin{bmatrix}7&10\\ 15&22\end{bmatrix}-5\cdot\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}-2\cdot\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\ 0&0\end{bmatrix}.

고윳값이라는 단어 없이 $p_{T}$ 를 정의하고 행렬을 수의 배열로 보는 사악한 관점을 취한다면, 이것은 완전한 기적처럼 보입니다. (실제로 위키백과에 있는 끔찍한 증명들을 보십시오.)

그러나 $T$ 를 선형 사상으로 보는 추상적인 관점을 사용하면, 이 정리는 거의 자명합니다.

케일리-해밀턴 정리의 증명.

$V$ 를 조르당 표준형으로 다음과 같이 쓴다고 합시다.

V=J_{1}\oplus\dots\oplus J_{m}

여기서 $J_{i}$ 는 고윳값 $\lambda_{i}$ 와 차원 $d_{i}$ 를 가집니다. 정의에 의해 다음이 성립합니다.

p_{T}(T)=(T-\lambda_{1})^{d_{1}}(T-\lambda_{2})^{d_{2}}\dots(T-\lambda_{m})^{d% _{m}}.

정의에 의해 $(T-\lambda_{1})^{d_{1}}$ 은 $J_{1}$ 위에서 영사상입니다. 따라서 $p_{T}(T)$ 는 $J_{1}$ 위에서 0입니다. 마찬가지로 이것은 다른 각 $J_{i}$ 위에서도 0입니다 — 이것으로 끝입니다. ∎

비고 12.3.3 (텐서곱으로 확장하기).

케일리-해밀턴 정리는 $k$ 가 대수적으로 닫혀 있다는 가정 없이도 성립합니다. 예를 들어 임의의 실수 행렬은 복소수 계수를 가진 행렬로 볼 수 있기 때문입니다(앞서 언급한 기법입니다). 텐서곱을 사용하여 이 아이디어를 어떻게 형식화할 수 있는지 간략히 귀띔하겠습니다.

기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ 을 가지는 공간 $V=\mathbb{R}^{3}$ 을 생각합시다. 따라서 $V$ 의 대상은 $r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+r_{3}e_{3}$ 꼴이며, 여기서 $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ 은 실수입니다. 우리는 본질적으로 같은 벡터 공간이지만 실수 계수 $r_{i}$ 대신 복소수 계수 $z_{i}$ 를 가지는 것을 생각하고자 합니다.

그래서 다음과 같이 합니다. $\mathbb{C}$ 를 (예를 들어 기저 $\{1,i\}$ 를 가지는) $\mathbb{R}$ -벡터 공간으로 보고, 다음 복소화를 생각합니다.

V_{\mathbb{C}}\coloneqq\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}V.

그러면 우리의 원소들이 실제로 다음 꼴임을 확인할 수 있습니다.

z_{1}\otimes e_{1}+z_{2}\otimes e_{2}+z_{3}\otimes e_{3}.

여기서 텐서곱은 $\mathbb{R}$ 위에서 취한 것이므로, $r\in\mathbb{R}$ 에 대해 $z\otimes re_{i}=(zr)\otimes e_{i}$ 가 성립합니다. 그러면 $V_{\mathbb{C}}$ 는 $i\in\{1,2,3\}$ 에 대한 $1\otimes e_{i}$ 를 기저로 가지는 $\mathbb{C}$ 위의 3차원 벡터 공간으로 생각할 수 있습니다. 이런 방식으로, 텐서곱은 복소수 계수를 “덧붙인다”는 아이디어를 형식화할 수 있게 해 줍니다.

$T\colon V\to W$ 가 사상이면, $T_{\mathbb{C}}\colon V_{\mathbb{C}}\to W_{\mathbb{C}}$ 는 단순히 사상 $z\otimes v\mapsto z\otimes T(v)$ 입니다. 이것을 때때로 $T_{\mathbb{C}}=\mathrm{id}\otimes T$ 로 쓰는 것을 보게 될 것입니다. 그러면 $T_{\mathbb{C}}$ 에 정리들을 적용하여 $T$ 에 대한 대응하는 결과를 유도해 볼 수 있습니다.

12.4 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 12A (열 연산).

임의의 실수 $x_{ij}$ (여기서 $1\leq i,j\leq n$ )에 대해 다음이 성립함을 보이십시오.

\det\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&\dots&x_{1n}\\ x_{21}&x_{22}&\dots&x_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{n1}&x_{n2}&\dots&x_{nn}\\ \end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}x_{11}+cx_{12}&x_{12}&\dots&x_{1n}\\ x_{21}+cx_{22}&x_{22}&\dots&x_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{n1}+cx_{n2}&x_{n2}&\dots&x_{nn}\\ \end{bmatrix}.

힌트. 핵심은 다음과 같습니다.

$(v_{1}+cv_{2})\wedge v_{2}\dots\wedge v_{n}=v_{1}\wedge v_{2}\dots\wedge v_{n}% +c(v_{2}\wedge v_{2}\dots\wedge v_{n})$

그리고 뒤의 항은 0입니다.

문제 12B (행렬식은 고윳값들의 곱).

$V$ 를 대수적으로 닫힌 체 $k$ 위의 $n$ 차원 벡터 공간이라고 합시다. $T\colon V\to V$ 를 (대수적 중복도를 고려하여 센) 고윳값 $\lambda_{1}$ , $\lambda_{2}$ , …, $\lambda_{n}$ 을 가지는 선형 사상이라고 합시다. $\det T=\lambda_{1}\dots\lambda_{n}$ 임을 보이십시오.

힌트. $T$ 를 행렬 형태로 써서 할 수도 있고, 조르당 표준형으로 주어지는 기저와 함께 $\det T$ 의 쐐기 정의를 사용할 수도 있습니다.

문제 12C (지수 행렬).

$X$ 를 복소수 계수를 가지는 $n\times n$ 행렬이라고 합시다. 지수 사상을 다음과 같이 정의합니다.

\exp(X)=1+X+\frac{X^{2}}{2!}+\frac{X^{3}}{3!}+\cdots

(이것이 어떤 $n\times n$ 행렬로 수렴한다는 사실은 당연한 것으로 받아들이십시오.) 다음을 증명하십시오.

\det(\exp(X))=e^{\operatorname{Tr}X}.

힌트. 이것은 $X$ 가 상삼각 행렬이 되는 아무 기저나 잡으면 사실 바로 따라 나옵니다!

문제 12D (문제 9B의 확장).

$T\colon V\to V$ 를 유한 차원 벡터 공간의 사상이라고 합시다. $T$ 가 동형사상일 필요충분조건이 $\det T\neq 0$ 임을 증명하십시오.

힌트. 고윳값은 필요하지 않습니다(물론 고윳값을 사용해도 됩니다). 한 방향에 대해서는, (문제 9B에 의해) “동형사상”을 “단사”로 바꿀 수 있음을 상기하십시오. 다른 방향에 대해서는, $T$ 가 동형사상이면 $S$ 를 역사상이라 하고 $\det(S\circ T)$ 를 살펴보십시오.

풀이. (문제 9B에 의해) “동형사상”을 “단사”로 바꿀 수 있음을 상기하십시오.

0이 아닌 어떤 $v$ 에 대해 $T(v)=0$ 이라면, $e_{1}=v$ 가 되도록 기저를 잡을 때 $\bigwedge^{n}(T)$ 가 $e_{1}\wedge\dots$ 를 $0\wedge T(e_{2})\wedge\dots=0$ 으로 보낸다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 $\bigwedge^{n}(T)$ 는 영사상이고, $\det T=0$ 입니다.

역으로, $T$ 가 동형사상이면 그 역사상을 $S$ 라고 합시다. 그러면 $1=\det(\mathrm{id})=\det(S\circ T)=\det S\det T$ 이므로 $\det T\neq 0$ 입니다.

문제 12E (스웨덴 2010 기반).

^†^†margin:

무게가 0이 아닌 소 $1000$ 마리로 이루어진 무리가 주어져 있습니다. 소 한 마리를 적절히 제거하여, 남은 $999$ 마리의 소를 무게의 합이 같은 두 집합으로 분할할 수 없게 할 수 있음을 증명하십시오.

힌트. 대각 성분이 $0$ 이고 비대각 성분이 $\pm 1$ 인 $1000\times 1000$ 행렬 $M$ 을 생각하십시오. $2$ 를 법으로 보십시오.

풀이. 귀류법으로 증명합니다. 성분이 소들의 무게인 길이 $1000$ 의 벡터를 $v$ 라고 합시다. 대각 성분이 $0$ 이고 비대각 성분이 $\pm 1$ 이며 $Mv=0$ 을 만족하는 행렬 $M$ 이 존재한다고 가정합시다. 그런데 $\det M\pmod{2}$ 는 $\{1,\dots,1000\}$ 의 교란순열의 개수와 같고, 이는 홀수입니다. 따라서 $\det M$ 은 홀수이고 특히 0이 아니므로 $M$ 은 가역입니다. 따라서 $Mv=0\implies v=0$ 이 되어 모순입니다.

문제 12F (퍼트넘 2015).

^†^†margin:

$a$ , $b$ , $c$ , $d$ 가 이 순서대로 등차수열을 이루는 실수 행렬 $\left(\begin{smallmatrix}a&b\\ c&d\end{smallmatrix}\right)$ 들의 집합을 $S$ 로 정의합니다. 어떤 정수 $k>1$ 에 대해 $M^{k}\in S$ 가 되는 $M\in S$ 를 모두 구하십시오.

힌트. $a=b=c=d$ 외에도 해들의 족이 존재합니다.

이 문제는 케일리-해밀턴 정리를 이용하여 풀 수 있습니다. 좀 더 “맨손”인 접근법은 ( $a=b=c=d$ 인 경우를 제외하면) 행렬이 가역임을 보인 다음, 행렬을 다음과 같이 대각화하는 것입니다: $M=\begin{bmatrix}s&-q\\ -r&p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_{1}&0\\ 0&\lambda_{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p&q\\ r&s\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ps\lambda_{1}-qr\lambda_{2}&qs(\lambda_{1}-% \lambda_{2})\\ pr(\lambda_{2}-\lambda_{1})&ps\lambda_{2}-qr\lambda_{1}\end{bmatrix}$ .

풀이. 답은 다음과 같습니다

$\begin{bmatrix}t&t\\ t&t\end{bmatrix}\quad\text{그리고}\quad\begin{bmatrix}-3t&-t\\ t&3t\end{bmatrix}$

여기서 $t\in\mathbb{R}$ 입니다. 이들은 $k=3$ 으로 잡으면 성립합니다.

이제 이것들이 유일한 해임을 보이기 위해, 다음과 같은 등차 행렬을 생각합시다

$M=\begin{bmatrix}a&a+e\\ a+2e&a+3e\end{bmatrix}.$

여기서 $e\neq 0$ 입니다. 이 행렬의 특성다항식은 $t^{2}-(2a+3e)t-2e^{2}$ 이고 판별식은 $(2a+3e)^{2}+8e^{2}$ 이므로, 서로 다른 두 실근을 가집니다. 더욱이 $-2e^{2}\leq 0$ 이므로 두 근 중 하나가 0이거나 두 근의 부호가 서로 반대입니다. 이제 다음과 같이 써서 $M$ 을 대각화할 수 있습니다

$M=\begin{bmatrix}s&-q\\ -r&p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_{1}&0\\ 0&\lambda_{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p&q\\ r&s\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ps\lambda_{1}-qr\lambda_{2}&qs(\lambda_{1}-% \lambda_{2})\\ pr(\lambda_{2}-\lambda_{1})&ps\lambda_{2}-qr\lambda_{1}\end{bmatrix}$

여기서 $ps-qr=1$ 입니다. 대각 성분의 합이 비대각 성분의 합과 같다는 사실을 이용하면 다음을 얻습니다

$(ps-qr)(\lambda_{1}+\lambda_{2})=(qs-pr)(\lambda_{1}-\lambda_{2})\implies qs-% pr=\frac{\lambda_{1}+\lambda_{2}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}.$

이제 $M^{k}\in S$ 이기도 하다면, 같은 계산으로 다음을 얻습니다

$qs-pr=\frac{\lambda_{1}^{k}+\lambda_{2}^{k}}{\lambda_{1}^{k}-\lambda_{2}^{k}}.$

$x=\lambda_{1}/\lambda_{2}<0$ 이라고 합시다( $-2e^{2}<0$ 이므로). 그러면 적절히 다음을 얻습니다

$\frac{x+1}{x-1}=\frac{x^{k}+1}{x^{k}-1}\implies\frac{2}{x-1}=\frac{2}{x^{k}-1}% \implies x=x^{k}\implies x=-1\text{또는}x=0$

그리고 $k$ 는 홀수입니다. $x=0$ 이면 $e=0$ 을 얻고, $x=-1$ 이면 $2a+3e=0$ 을 얻으며, 이것이 앞서 주장한 해들의 곡선을 줍니다.

더 깔끔한 접근법은 케일리-해밀턴 정리를 이용하는 것입니다. $e\neq 0$ 이라고 가정하면, 앞에서와 같이 $M$ 은 서로 다른 두 실수 고윳값을 가집니다. ( $M$ 이 어떤 이차다항식을 만족하므로) 어떤 상수 $c$ 와 $d$ 에 대해 $M^{k}=cM+d\mathrm{id}$ 입니다. $M\in S$ 이고 $M^{k}\in S$ 이므로 $d=0$ 을 얻습니다. 따라서 $M^{k}=cM$ 이고, 이로부터 $M$ 의 고윳값들은 서로 부호만 반대임이 따라 나옵니다. 이는 $\operatorname{Tr}M=0$ 을 뜻하며, 나머지는 자명합니다.

문제 12G.

^†^†margin:

$V$ 가 $k$ 위의 유한 차원 벡터 공간이고 $T\colon V\to V$ 라고 합시다. 다음을 보이십시오.

\det(a\cdot\mathrm{id}_{V}-T)=\sum_{n=0}^{\dim V}a^{\dim V-n}\cdot(-1)^{n}% \operatorname{Tr}\left(\bigwedge^{n}(T)\right)

여기서 대각합은 $\bigwedge^{n}(T)\colon\bigwedge^{n}(V)\to\bigwedge^{n}(V)$ 로 보아 취한 것입니다.

힌트. 기저를 잡고, 꽤 긴 계산을 수행하십시오.

풀이. $V$ 의 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 을 고릅시다. $T$ 의 행렬을 $(x_{ij})$ 라 하고, $m=\dim V$ 라고 합시다. $\delta_{ij}$ 를 크로네커 델타라고 합시다. 또한 순열 $\sigma$ 의 고정점들을 $\operatorname{Fix}(\sigma)$ 로, 고정점이 아닌 점들을 $\operatorname{NoFix}(\sigma)$ 로 나타냅시다.

전개하면 다음을 얻습니다.

$\displaystyle\qquad\det(a\cdot\mathrm{id}-T)$

$\displaystyle=\sum_{\sigma\in S_{m}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \prod_{i=1}^{m}\left(a\cdot\delta_{i\sigma(i)}-x_{i\sigma(i)}\right)\right)$

$\displaystyle=\sum_{s=0}^{m}\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{s}\leq m}\sum_{\begin{% subarray}{c}\sigma\in S_{m}\\ \sigma\text{고정합니다}i_{k}\end{subarray}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \prod_{i=1}^{m}\left(a\cdot\delta_{i\sigma(i)}-x_{i\sigma(i)}\right)\right)$

$\displaystyle=\sum_{s=0}^{m}\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{s}\leq m}\sum_{\begin{% subarray}{c}\sigma\in S_{m}\\ \sigma\text{고정합니다}(i_{k})\end{subarray}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \prod_{i\notin(i_{k})}-x_{i\sigma(i)}\prod_{i\in(i_{k})}\left(a-x_{ii}\right)\right)$

$\displaystyle=\sum_{\sigma\in S_{m}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \prod_{i\in\operatorname{NoFix}(\sigma)}-x_{i\sigma(i)}\prod_{i\in% \operatorname{Fix}{\sigma}}\left(a-x_{ii}\right)\right)$

$\displaystyle=\sum_{\sigma\in S_{m}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \left(\prod_{i\in\operatorname{NoFix}(\sigma)}-x_{i\sigma(i)}\right)\left(\sum% _{t=0}^{\left\lvert\operatorname{Fix}(\sigma)\right\rvert}a^{\left\lvert% \operatorname{Fix}(\sigma)\right\rvert-t}\cdot\sum_{i_{1}<\dots<i_{t}\in% \operatorname{Fix}(\sigma)}\prod_{k=1}^{t}-x_{i_{k}i_{k}}\right)\right)$

$\displaystyle=\sum_{\sigma\in S_{m}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\left(% \sum_{t=0}^{\left\lvert\operatorname{Fix}(\sigma)\right\rvert}a^{m-t-\left% \lvert\operatorname{NoFix}(\sigma)\right\rvert}\sum_{\begin{subarray}{c}X% \subseteq\{1,\dots,m\}\\ \operatorname{NoFix}(\sigma)\subseteq X\\ X\text{정확히 $t$개의 고정점을 가집니다}\end{subarray}}\prod_{i\in X}-x_{i\sigma(i)}\right)\right)$

$\displaystyle=\sum_{n=0}^{m}a^{m-n}\left(\sum_{\sigma\in S_{m}}\operatorname{% sign}(\sigma)\sum_{\begin{subarray}{c}X\subseteq\{1,\dots,m\}\\ \operatorname{NoFix}(\sigma)\subseteq X\\ \left\lvert X\right\rvert=n\end{subarray}}\prod_{i\in X}-x_{i\sigma(i)}\right)$

$\displaystyle=\sum_{n=0}^{m}a^{m-n}(-1)^{n}\left(\sum_{\begin{subarray}{c}X% \subseteq\{1,\dots,m\}\\ \left\lvert X\right\rvert=n\end{subarray}}\sum_{\begin{subarray}{c}\sigma\in S% _{m}\\ \operatorname{NoFix}(\sigma)\subseteq X\end{subarray}}\operatorname{sign}(% \sigma)\prod_{i\in X}x_{i\sigma(i)}\right).$

따라서 다음을 보이는 것과 같습니다.

$\sum_{\begin{subarray}{c}X\subseteq\{1,\dots,m\}\\ \left\lvert X\right\rvert=n\end{subarray}}\sum_{\begin{subarray}{c}\sigma\in S% _{m}\\ \operatorname{NoFix}(\sigma)\subseteq X\end{subarray}}\operatorname{sign}(% \sigma)\prod_{i\in X}x_{i\sigma(i)}=\operatorname{Tr}_{\bigwedge^{n}(V)}\left(% \bigwedge^{n}(T)\right)$

모든 $n$ 에 대하여 성립합니다.

대각합의 정의를 기저 원소를 사용하여 다음과 같이 전개할 수 있습니다.

$\displaystyle\operatorname{Tr}\left(\bigwedge^{n}(T)\right)$ $\displaystyle=\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{n}\leq m}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}e_{% i_{k}}\right)^{\vee}\left(\bigwedge^{n}(T)\left(\bigwedge_{k=1}^{n}e_{i_{k}}% \right)\right)$

$\displaystyle=\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{n}\leq m}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}e_{% i_{k}}\right)^{\vee}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}T(e_{i_{k}})\right)$

$\displaystyle=\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{n}\leq m}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}e_{% i_{k}}\right)^{\vee}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{m}x_{i_{k}j}e_{% j}\right)\right)$

$\displaystyle=\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{n}\leq m}\sum_{\pi\in S_{n}}% \operatorname{sign}(\pi)\prod_{k=1}^{n}x_{i_{\pi(k)}k}$

$\displaystyle=\sum_{\begin{subarray}{c}X\subseteq\{1,\dots,m\}\\ \left\lvert X\right\rvert=n\end{subarray}}\sum_{\pi\in S_{X}}\operatorname{% sign}(\pi)\prod_{t\in X}x_{t\pi(t)}$

따라서 $X$ 위의 순열들이 $\{1,\dots,m\}-X$ 를 고정하는 $S_{m}$ 위의 순열들과 전단사 대응을 이룬다는 것을 보이는 일만 남는데, 이는 자명하며, 더욱이 부호도 분명히 일치합니다.

문제 12H (코시-비네 공식).

^†^†margin:

$n\geq s\geq 1$ 을 정수라 하고, $A$ 와 $B$ 를 각각 $s\times n$ 행렬과 $n\times s$ 행렬이라 합시다. (따라서 $A B$ 는 $s\times s$ 행렬입니다.) $|S|=s$ 인 임의의 부분집합 $S\subseteq\{1,2,\dots,n\}$ 에 대하여, $A_{S}$ 를 $A$ 에서 첨자가 $S$ 에 속하는 행들로 이루어진 $s\times s$ 부분행렬이라 하고, $B_{S}$ 를 $B$ 에서 첨자가 $S$ 에 속하는 열들로 이루어진 $s\times s$ 부분행렬이라 합시다. 다음을 증명하십시오.

\det(AB)=\sum_{|S|=s}\det A_{S}\det B_{S}.

풀이. https://www3.nd.edu/~andyp/notes/CauchyBinet.pdf를 참조하십시오.

	$\displaystyle\qquad\det(a\cdot\mathrm{id}-T)$
	$\displaystyle=\sum_{\sigma\in S_{m}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \prod_{i=1}^{m}\left(a\cdot\delta_{i\sigma(i)}-x_{i\sigma(i)}\right)\right)$
	$\displaystyle=\sum_{s=0}^{m}\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{s}\leq m}\sum_{\begin{% subarray}{c}\sigma\in S_{m}\\ \sigma\text{고정합니다}i_{k}\end{subarray}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \prod_{i=1}^{m}\left(a\cdot\delta_{i\sigma(i)}-x_{i\sigma(i)}\right)\right)$
	$\displaystyle=\sum_{s=0}^{m}\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{s}\leq m}\sum_{\begin{% subarray}{c}\sigma\in S_{m}\\ \sigma\text{고정합니다}(i_{k})\end{subarray}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \prod_{i\notin(i_{k})}-x_{i\sigma(i)}\prod_{i\in(i_{k})}\left(a-x_{ii}\right)\right)$
	$\displaystyle=\sum_{\sigma\in S_{m}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \prod_{i\in\operatorname{NoFix}(\sigma)}-x_{i\sigma(i)}\prod_{i\in% \operatorname{Fix}{\sigma}}\left(a-x_{ii}\right)\right)$
	$\displaystyle=\sum_{\sigma\in S_{m}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\cdot% \left(\prod_{i\in\operatorname{NoFix}(\sigma)}-x_{i\sigma(i)}\right)\left(\sum% _{t=0}^{\left\lvert\operatorname{Fix}(\sigma)\right\rvert}a^{\left\lvert% \operatorname{Fix}(\sigma)\right\rvert-t}\cdot\sum_{i_{1}<\dots<i_{t}\in% \operatorname{Fix}(\sigma)}\prod_{k=1}^{t}-x_{i_{k}i_{k}}\right)\right)$
	$\displaystyle=\sum_{\sigma\in S_{m}}\left(\operatorname{sign}(\sigma)\left(% \sum_{t=0}^{\left\lvert\operatorname{Fix}(\sigma)\right\rvert}a^{m-t-\left% \lvert\operatorname{NoFix}(\sigma)\right\rvert}\sum_{\begin{subarray}{c}X% \subseteq\{1,\dots,m\}\\ \operatorname{NoFix}(\sigma)\subseteq X\\ X\text{정확히 $t$개의 고정점을 가집니다}\end{subarray}}\prod_{i\in X}-x_{i\sigma(i)}\right)\right)$
	$\displaystyle=\sum_{n=0}^{m}a^{m-n}\left(\sum_{\sigma\in S_{m}}\operatorname{% sign}(\sigma)\sum_{\begin{subarray}{c}X\subseteq\{1,\dots,m\}\\ \operatorname{NoFix}(\sigma)\subseteq X\\ \left\lvert X\right\rvert=n\end{subarray}}\prod_{i\in X}-x_{i\sigma(i)}\right)$
	$\displaystyle=\sum_{n=0}^{m}a^{m-n}(-1)^{n}\left(\sum_{\begin{subarray}{c}X% \subseteq\{1,\dots,m\}\\ \left\lvert X\right\rvert=n\end{subarray}}\sum_{\begin{subarray}{c}\sigma\in S% _{m}\\ \operatorname{NoFix}(\sigma)\subseteq X\end{subarray}}\operatorname{sign}(% \sigma)\prod_{i\in X}x_{i\sigma(i)}\right).$

	$\displaystyle\operatorname{Tr}\left(\bigwedge^{n}(T)\right)$	$\displaystyle=\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{n}\leq m}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}e_{% i_{k}}\right)^{\vee}\left(\bigwedge^{n}(T)\left(\bigwedge_{k=1}^{n}e_{i_{k}}% \right)\right)$
		$\displaystyle=\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{n}\leq m}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}e_{% i_{k}}\right)^{\vee}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}T(e_{i_{k}})\right)$
		$\displaystyle=\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{n}\leq m}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}e_{% i_{k}}\right)^{\vee}\left(\bigwedge_{k=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{m}x_{i_{k}j}e_{% j}\right)\right)$
		$\displaystyle=\sum_{1\leq i_{1}<\dots<i_{n}\leq m}\sum_{\pi\in S_{n}}% \operatorname{sign}(\pi)\prod_{k=1}^{n}x_{i_{\pi(k)}k}$
		$\displaystyle=\sum_{\begin{subarray}{c}X\subseteq\{1,\dots,m\}\\ \left\lvert X\right\rvert=n\end{subarray}}\sum_{\pi\in S_{X}}\operatorname{% sign}(\pi)\prod_{t\in X}x_{t\pi(t)}$

장 12 행렬식

12.1 쐐기곱

정의 12.1.1.

연습문제 12.1.2.

예제 12.1.3 (쐐기곱의 명시적 계산).

비고 (수학에서의 정의에 관한 여담).

명제 12.1.4 (⋀2(V)의 기저).

증명.

정의 12.1.5.

명제 12.1.6 (쐐기곱의 기저).

증명의 개요.

12.2 행렬식

예제 12.2.1 (⋀m(T)의 예).

정의 12.2.2.

예제 12.2.3 (2×2 행렬의 행렬식).

질문 12.2.4.

연습문제 12.2.5.

12.3 특성다항식과 케일리-해밀턴

정리 12.3.1 (케일리-해밀턴).

예제 12.3.2 (행렬식 정의를 이용한 케일리-해밀턴 정리의 예).

케일리-해밀턴 정리의 증명.

비고 12.3.3 (텐서곱으로 확장하기).

12.4 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 12A (열 연산).

문제 12B (행렬식은 고윳값들의 곱).

문제 12C (지수 행렬).

문제 12D (문제 9B의 확장).

문제 12E (스웨덴 2010 기반).

문제 12F (퍼트넘 2015).

문제 12G.

문제 12H (코시-비네 공식).

명제 12.1.4 ( $\bigwedge^{2}(V)$ 의 기저).

예제 12.2.1 ( $\bigwedge^{m}(T)$ 의 예).

예제 12.2.3 ( $2\times 2$ 행렬의 행렬식).