장 71 특이 호몰로지

이제 $\pi_{1}(X)$ 를 정의했으므로, 같은 개념을 포착하는 두 번째 방법인 $H_{1}(X)$ 로 관심을 돌리겠습니다. 그런 다음 $n\geq 2$ 에 대해 $H_{n}(X)$ 를 정의하겠습니다. $H_{n}$ 군의 좋은 점은, $\pi_{n}$ 군과 달리 실제로 계산하기가 훨씬 쉽다는 것입니다. 단점은 그 정의에 상당히 많은 준비가 필요하며, ”대수적 위상수학”의 ”대수적” 부분이 훨씬 더 기술적이 된다는 것입니다.

71.1 단체와 경계

대표적인 예: $\partial[v_{0},v_{1},v_{2}]=[v_{0},v_{1}]-[v_{0},v_{2}]+[v_{1},v_{2}]$ .

먼저 가장 기본적인 것부터 시작하겠습니다.

정의 71.1.1.

표준 $n$ -단체는 $\Delta^{n}$ 으로 표기하며, 다음과 같이 정의됩니다.

\left\{(x_{0},x_{1},\dots x_{n})\mid x_{i}\geq 0,x_{0}+\dots+x_{n}=1\right\}.

따라서 이것은 몇몇 꼭짓점 $[v_{0},\dots,v_{n}]$ 의 볼록 껍질입니다. 곧 명확해질 이유로 인해 꼭짓점의 순서 $v_{0}$ , …, $v_{n}$ 을 유지하고 있음에 유의하십시오.

위상 공간 $X$ 가 주어졌을 때, 특이 $n$ -단체는 사상 $\sigma\colon\Delta^{n}\to X$ 입니다.

예제 71.1.2 (특이 단체).

(a)

$\Delta^{0}=[v_{0}]$ 는 단지 하나의 점이므로, $X$ 의 특이 $0$ -단체는 단지 $X$ 의 한 점입니다.
(b)

$\Delta^{1}=[v_{0},v_{1}]$ 은 하나의 구간이므로, $X$ 의 특이 $1$ -단체는 단지 $X$ 의 경로입니다.
(c)

$\Delta^{2}=[v_{0},v_{1},v_{2}]$ 는 정삼각형이므로, $X$ 의 특이 $2$ -단체는 $X$ 안의 ”원판”처럼 보입니다.

다음은 공간 $X$ 안에서 세 가지 모두를 나타낸 그림입니다.

화살표가 꼭 필요한 것은 아니지만, 꼭짓점의 ”순서”를 추적하는 데 도움이 되도록 포함했습니다. 이는 곧 유용하게 쓰일 것입니다.

이제 스토크스 정리를 논할 때와 매우 비슷한 작업을 하겠습니다. 특이 $n$ -단체에 경계 $\partial$ 연산자를 부여하겠습니다. 이를 통해 $n$ -단체의 형식적 선형합 $\sum_{k}a_{k}\sigma_{k}$ 를 얻게 되는데, 이를 $n$ -사슬이라고 부릅니다.

이 경우

정의 71.1.3.

꼭짓점이 $[v_{0},\dots,v_{n}]$ 인 특이 $n$ -단체 $\sigma$ 가 주어졌을 때, 모든 $i$ 에 대해 $(n-1)$ -단체 $[v_{0},\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots,v_{n}]$ 이 있음에 유의하십시오. 경계 연산자 $\partial$ 은 다음과 같이 정의됩니다.

\partial(\sigma)\coloneqq\sum_{i}(-1)^{i}\left[v_{0},\dots,v_{i-1},v_{i+1},% \dots,v_{n}\right].

경계 연산자는 그런 다음 $n$ -사슬로 선형적으로 확장됩니다.

\partial\left(\sum_{k}a_{k}\sigma_{k}\right)\coloneqq\sum a_{k}\partial(\sigma% _{k}).

관례상, $0$ -사슬은 빈 경계를 가집니다.

예제 71.1.4 (경계 연산자).

예제 71.1.2에 나타낸 사슬들을 생각해 봅시다. 그러면

(a)

$\partial\sigma^{0}=0$ .
(b)

$\partial(\sigma^{1})=[v_{1}]-[v_{0}]$ : 이는 점 $v_{1}$ 에 대응하는 $0$ -사슬과 점 $v_{0}$ 에 대응하는 $0$ -사슬의 ”차”입니다.
(c)

$\partial(\sigma^{2})=[v_{0},v_{1}]-[v_{0},v_{2}]+[v_{1},v_{2}]$ ; 즉, 이는 $\sigma^{2}$ 의 ”변”을 이루는 세 방향 화살표의 합으로 생각할 수 있습니다.
(d)

다시 경계를 취하면 다음을 얻는다는 점에 주목하십시오.

$\displaystyle\partial(\partial(\sigma^{2}))$ $\displaystyle=\partial([v_{0},v_{1}])-\partial([v_{0},v_{2}])+\partial([v_{1},% v_{2}])$

$\displaystyle=\left([v_{1}]-[v_{0}]\right)-\left([v_{2}]-[v_{0}]\right)+\left(% [v_{2}]-[v_{1}]\right)$

$\displaystyle=0.$

$\partial^{2}=0$ 이라는 사실은 물론 우연이 아닙니다.

정리 71.1.5 ( $\partial^{2}=0$ ).

임의의 사슬 $c$ 에 대해, $\partial(\partial(c))=0$ 입니다.

증명.

문제 45B와 본질적으로 동일합니다: 이는 그저 여러 개의 $\sum$ 기호를 써 내려가는 문제일 뿐입니다. 성실한 독자라면 직접 계산을 시도해 보셔도 좋습니다. ∎

비고 71.1.6.

미분 형식을 적분하는 데 사용되는 사슬과 호몰로지에서의 사슬 사이의 기묘한 유사성은 우연이 아닙니다. 훨씬 나중에 다룰 드람 코호몰로지가 이 관계를 명시적으로 밝혀 줄 것입니다.

71.2 특이 호몰로지 군

대표적인 예: 아마도 $H_{n}(S^{m})$ 일 것이며, 특히 $m=n=1$ 인 경우일 것입니다.

$X$ 를 위상 공간이라 하고, $C_{n}(X)$ 를 앞서 정의한 $X$ 의 $n$ -사슬들의 자유 아벨 군이라 합시다. 위에서 한 작업으로부터 경계 연산자 $\partial$ 을 얻게 되므로, 다음과 같은 사상들의 열을 갖습니다

\dots\xrightarrow{\partial}C_{3}(X)\xrightarrow{\partial}C_{2}(X)\xrightarrow{% \partial}C_{1}(X)\xrightarrow{\partial}C_{0}(X)\xrightarrow{\partial}0

(여기서 $0$ 은 자명군을 나타내는 데 사용하고 있으며, 이는 아벨 군에 대한 표준 표기법입니다.) 이를 특이 사슬 복합체라 부르겠습니다.

이제, 이것이 공간의 구멍을 어떻게 탐지할 수 있게 해 줄까요? 그 이유를 보기 위해, 빨간색으로 그려진 $1$ -사슬 $c$ 를 가진 환형(annulus)을 살펴봅시다:

다음에 주목하십시오

\partial c=([v_{1}]-[v_{0}])-([v_{2}]-[v_{0}])+([v_{2}]-[v_{1}])=0

그러므로 이 $1$ -사슬 $c$ 는 자명한 경계를 가지므로 ”사이클(cycle)”이라고 말할 수 있습니다. 그러나 $c$ 자체는 어떤 $2$ -사슬의 경계도 아닌데, 이는 공간 중심에 구멍이 있기 때문입니다 — $c$ 의 내부를 ”채워 넣는” 것이 불가능합니다! 따라서 우리는 다음과 같은 대수적 사실을 통해 구멍을 탐지한 것입니다

c\in\ker\left(C_{1}(X)\xrightarrow{\partial}C_{0}(X)\right)\qquad\text{그러나}% \qquad c\notin\operatorname{im}\left(C_{2}(X)\xrightarrow{\partial}C_{1}(X)% \right).

실제로, 만약 구멍이 존재하지 않았다면 이 명제는 거짓이었을 것입니다.

비고 71.2.1.

호모토피와 호몰로지는 ”구멍”에 대해 다소 다른 개념을 포착한다는 점에 유의하십시오. 예를 들어, $T$ 를 토러스라고 합시다. 그러면 모든 사상 $S^{2}\to T$ 는 널호모토픽(nulhomotopic)이므로 $\pi_{2}(T)$ 는 자명하지만, 명제 72.3.6에서 보게 되듯이 $H_{2}(T)\cong\mathbb{Z}$ 입니다.

적어도 $n=1$ 인 경우에는, 정리 71.2.7에 따르면 임의의 경로 연결 공간 $X$ 와 $x_{0}\in X$ 에 대해 $H_{1}(X)$ 는 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 의 아벨화가 되며, 이는 기대할 수 있는 최선의 결과에 가깝습니다 — $H_{1}(X)$ 는 반드시 아벨 군이어야 하는 반면, $\pi_{1}(X,x_{0})$ 은 아벨 군일 필요가 없습니다. 그럼에도 불구하고, $\pi_{1}(X,x_{0})$ 이 자명하지 않으면서 $H_{1}(X)$ 가 자명한 경우도 여전히 가능합니다 — 예시는 https://math.stackexchange.com/q/1052414를 참고하십시오.

이 아이디어는 다음과 같이 임의의 차원에서 포착할 수 있습니다.

정의 71.2.2.

다음을 봅시다

\dots\xrightarrow{\partial}C_{2}(X)\xrightarrow{\partial}C_{1}(X)\xrightarrow{% \partial}C_{0}(X)\xrightarrow{\partial}0

위와 같습니다. $c\in C_{n}(X)$ 가 다음과 같다고 말합니다:

•

$c\in\ker\left(C_{n}(X)\xrightarrow{\partial}C_{n-1}(X)\right)$ 이면 사이클(cycle)이라 하고,
•

$c\in\operatorname{im}\left(C_{n+1}(X)\xrightarrow{\partial}C_{n}(X)\right)$ 이면 경계(boundary)라 합니다.

사이클과 경계를 각각 $Z_{n}(X),B_{n}(X)\subseteq C_{n}(X)$ 로 표기합니다.¹¹1 $C_{n}(X)$ 를 사이클을 나타내는 데 쓰지 않는 이유는, 이미 그 표기법이 사용 중이라는 명백한 이유 외에도, 문자 $Z$ 가 독일어 단어 ”Zyklus”에서 유래했기 때문입니다.

질문 71.2.3.

표기법에 익숙해지기 위해: $B_{n}$ 과 $Z_{n}$ 이 그 자체로 아벨 군이며, $B_{n}(X)\subseteq Z_{n}(X)\subseteq C_{n}(X)$ 임을 확인해 보십시오.

핵심은 이제 다음을 정의할 수 있다는 것입니다:

정의 71.2.4.

$n$ 번째 호몰로지 군 $H_{n}(X)$ 는 다음과 같이 정의됩니다

H_{n}(X)\coloneqq Z_{n}(X)/B_{n}(X).

예제 71.2.5 (영번째 호몰로지 군).

위상 공간 $X$ 에 대해 $H_{0}(X)$ 를 계산해 봅시다. $C_{0}(X)$ 를 취하는데, 이는 그저 $X$ 의 점들의 형식적 선형합입니다.

먼저 $\partial\colon C_{0}(X)\to 0$ 의 핵을 생각해보면, $\partial$ 의 핵은 공간 $C_{0}(X)$ 전체입니다. 즉, 모든 점이 ”순환”입니다.

그렇다면 경계는 무엇일까요? 핵심 아이디어는 $[b]-[a]=0$ 인 것과 $a$ 에서 $b$ 로 이어지는 $1$ -사슬이 존재하는 것, 즉 $a$ 에서 $b$ 로 가는 경로가 존재하는 것이 동치라는 점입니다. 특히,

\text{$X$가 경로 연결됨}\implies H_{0}(X)\cong\mathbb{Z}.

더 일반적으로, 다음이 성립합니다

명제 71.2.6 (호몰로지 군은 경로 연결 성분으로 분리됩니다).

$X=\bigcup_{\alpha}X_{\alpha}$ 가 경로 연결 성분으로의 분해라면,

H_{n}(X)\cong\bigoplus_{\alpha}H_{n}(X_{\alpha}).

가 성립합니다. 특히, $X$ 가 $r$ 개의 경로 연결 성분을 가진다면, $H_{0}(X)\cong\mathbb{Z}^{\oplus r}$ 입니다.

( $\mathbb{Z}^{\oplus r}$ 을 보고 놀랐다면, 아벨 군은 $\mathbb{Z}$ -가군과 같은 것이므로, $G$ , $H$ 가 아벨 군일 때 $G\times H$ 대신 $G\oplus H$ 라는 표기를 관용적으로 사용한다는 점을 기억하십시오.)

이제 첫 번째 호몰로지 군을 살펴봅시다.

정리 71.2.7 (후레비치 정리).

$X$ 가 경로 연결이라고 합시다. 그러면 $H_{1}(X)$ 는 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 의 아벨화입니다.

이를 증명하지는 않겠지만, 예시로부터 대략적으로 확인할 수 있습니다. 군 $H_{1}(X)$ 는 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 와 동일한 정보를 담고 있습니다. ( $Z_{1}(X)$ 에서의) 순환은 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 에서 다뤘던 고리와 같은 것에 대응하며, ( $B_{1}(X)$ 에서의, 즉 우리가 나누는 대상인) 경계는 정확히 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 에서의 널호모토픽 고리에 해당합니다. 차이점은 $H_{1}(X)$ 에서는 고리들이 교환 가능하지만, $\pi_{1}(X,x_{0})$ 에서는 그렇지 않다는 것입니다.

비고 71.2.8 (여담: 범주론적 해석).

이로부터, 각 $(X,x_{0})$ 에 대해 후레비치 사상 $\pi_{1}(X,x_{0})\xrightarrow{\phi}H_{1}(X)$ 가 존재한다고 말할 수 있습니다.

하지만 그 이상의 사실이 있습니다. 이 사상은 자연스러운데, 점을 가진 공간 사이의 사상 $h\colon(X,x_{0})\to(Y,y_{0})$ 에 대해 다음이

가환한다는 의미입니다.

범주론의 용어로, $\phi$ 는 $\pi_{1}$ 에서 $H_{1}$ 로 가는 자연 변환이라고 말합니다.

이를 달리 표현하면 다음과 같습니다. 우리는 군들의 모임을 가지고 있고

\{\pi_{1}(X,x_{0})\mid(X,x_{0})\text{점을 가진 공간}\}

그리고

\{H_{1}(X)\mid(X,x_{0})\text{점을 가진 공간}\}

이때 자연 변환 $\phi$ 는 준동형사상들의 모임으로 볼 수 있습니다.

\{\phi\colon\pi_{1}(X,x_{0})\to H_{1}(X)\mid(X,x_{0})\text{점을 가진 공간}\}

자연성 조건을 만족하는

물론, $\pi_{1}$ 이 함자라는 사실은 정리 65.6.2에서 설명했듯이 $\{\pi_{1}(X,x_{0})\mid(X,x_{0})\text{점을 가진 공간}\}$ 가 점을 가진 공간으로 색인된 군들의 모임보다 훨씬 더 많은 것을 의미한다는 것을 뜻합니다.

예제 71.2.9 (환면의 첫 번째 호몰로지 군).

구체적인 예를 들기 위해, 위의 환면 $X$ 를 생각해봅시다. 우리는 $X$ 의 구멍을 한 바퀴 감는 사슬 $c$ 를 찾았습니다. 요점은 실제로

H_{1}(X)=\left<c\right>\cong\mathbb{Z}

사슬 $c$ , $2c$ , … 는 $H_{1}(X)$ 에서 모두 서로 다르지만, 다른 모든 $1$ -사슬은 이들 중 하나와 동치라는 것입니다. 이는 $X$ 가 사실상 $S^{1}$ 과 같다는 사실을 담아냅니다.

예제 71.2.10 ( $S^{1}$ 에서의 명시적인 경계).

$X=S^{1}$ 에서, $a$ 를 가장 위쪽 점, $b$ 를 가장 아래쪽 점이라고 합시다. $c$ 를 원의 왼쪽 절반을 따라 $a$ 에서 $b$ 로 가는 단체, $d$ 를 원의 오른쪽 절반을 따라 $a$ 에서 $b$ 로 가는 단체라고 합시다. 마지막으로, $\gamma$ 를 $S^{1}$ 을 반시계 방향으로 한 바퀴 감으며 $a$ 에서 자기 자신으로 가는 고리 $\gamma$ 를 나타내는 단체라고 합시다. $H_{1}(S^{1})$ 에서 다음이 성립한다고 주장합니다.

\gamma=c-d

이는 기하학적으로 $c-d$ 가 원을 한 바퀴 감는 것을 나타낸다는 뜻이며, (당연히 우리가 예상하는 바입니다).

실제로 이는 위 그림에서 확인할 수 있는데, 여기서 우리는 경계가 정확히 $\gamma-c+d$ 인 $2$ -단체를 그렸습니다. 이 그림은 다소 비유적입니다. 실제로는 $v_{0}=v_{1}=a$ 이며, 전체 $2$ -단체는 $S^{1}$ 안에 내장되어 있습니다. 특이 호몰로지라는 이름이 붙은 이유가 바로 이것인데, 단체의 상이 때때로 상당히 “특이하게” 보일 수 있기 때문입니다.

예제 71.2.11 (숫자 8 모양 도형의 첫 번째 호몰로지 군).

$X_{8}$ 을 생각해봅시다 (예제 65.2.9 참고). 호몰로지와 호모토피 모두 $X_{8}$ 안의 두 고리를 인식하며, 이들을 $a$ 와 $b$ 라고 부릅시다. 차이점은 $\pi_{1}(X_{8},x_{0})$ 에서는 이 두 고리가 교환하는 것이 허용되지 않는다는 것입니다. $\pi_{1}$ 에서의 군 연산이 ”경로를 이어붙이는” 것이기 때문에 $ab\neq ba$ 입니다. 하지만 호몰로지 군 $H_{1}(X)$ 에서는 $a$ 와 $b$ 를 형식적으로 더해서 $1$ -사슬 $a+b$ 를 얻는 방식으로 더합니다. 따라서

H_{1}(X)\cong\mathbb{Z}^{\oplus 2}\quad\text{한편}\quad\pi_{1}(X,x_{0})=\left<a,% b\right>.

입니다.

예제 71.2.12 ( $S^{2}$ 의 호몰로지 군).

$S^{2}$ , 즉 이차원 구를 생각해 봅시다. 경로 연결되어 있으므로 $H_{0}(S^{2})=\mathbb{Z}$ 입니다. 또한 $\pi_{1}(S^{2})$ 가 자명한 것과 같은 이유로 $H_{1}(S^{2})=0$ 입니다. 반면 우리는 다음과 같이 주장합니다.

H_{2}(S^{2})\cong\mathbb{Z}.

$H_{2}(S^{2})$ 의 원소들은 $S^{2}$ 를 사면체 모양의 자루로 감싸는 것(또는 두 개의 자루, 세 개의 자루 등)에 대응합니다. 따라서 두 번째 호몰로지 군을 통해 $S^{2}$ 의 구형 공동을 감지할 수 있습니다.²²2비고 71.2.1에서 언급했듯이, $\pi_{2}$ 와 달리 $H_{2}$ 는 구형뿐만 아니라 다른 종류의 공동도 감지합니다.

사실 더 일반적으로는 다음이 성립함이 밝혀집니다.

H_{n}(S^{m})\cong\begin{cases}\mathbb{Z}&n=m\text{또는}n=0\\ 0&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

예제 71.2.13 (수축 가능한 공간).

임의의 수축 가능한 공간 $X$ 가 주어지면, 다음이 성립함이 밝혀집니다.

H_{n}(X)\cong\begin{cases}\mathbb{Z}&n=0\\ 0&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

그 이유는 호모토피 군과 마찬가지로 호몰로지 군 역시 호모토피 불변량이기 때문임이 밝혀집니다. (이는 다음 절에서 증명하겠습니다.) 따라서 수축 가능한 $X$ 의 호몰로지 군은 한 점 공간의 호몰로지 군과 같으며, 이는 위에서 언급한 것들입니다.

예제 71.2.14 (원환면의 호몰로지 군).

당분간은 증명할 수 없겠지만, 다음이 성립함이 밝혀집니다.

H_{n}(S^{1}\times S^{1})\cong\begin{cases}\mathbb{Z}&n=0,2\\ \mathbb{Z}^{\oplus 2}&n=1\\ 0&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

$1$ 에서의 호몰로지 군은 $\pi_{1}(S^{1}\times S^{1})\cong\mathbb{Z}^{2}$ 이라는 우리가 아는 사실에 대응하며, $2$ 에서의 호몰로지 군은 원환면의 ”공동”을 감지합니다.

이는 아주 멋진 이야기이지만, 실제로 호몰로지 군을 어떻게 계산할 수 있을까요? 이는 다소 긴 이야기가 될 것이며, 실제로 호몰로지 군을 계산할 수 있게 되기까지는 상당한 양의 대수학과 기하학을 다뤄야 합니다. 앞으로는 어떤 것이 순수하게 대수적인지(임의의 사슬 복합체에 대해 성립하는지), 그리고 어떤 부분이 실제로 기하학적으로 참인 사실을 말하고 있는지를 계속 구분해 두는 것이 종종 도움이 될 것입니다.

71.3 호몰로지 함자와 사슬 복합체

앞서 언급했듯이 호몰로지 군은 호모토피 불변량입니다. 이는 함자 $\pi_{1}\colon\mathsf{hTop}_{\ast}\to\mathsf{Grp}$ 를 만들기 위해 했던 작업과 비슷한 과정이 될 것입니다. 천천히 진행하다가 마지막에 가서야 범주론이라는 커튼을 젖혀 드러내는 대신, 이번에는 시간을 절약하기 위해 처음부터 범주론으로 시작하겠습니다.

정의 71.3.1.

범주 $\mathsf{hTop}$ 은 다음과 같이 정의됩니다.

•

대상: 위상 공간.
•

사상: 사상 $X\to Y$ 의 호모토피 동치류.

특히, $X$ 와 $Y$ 가 호모토피 동치일 때, 오직 그때만 $\mathsf{hTop}$ 에서 동형입니다.

이는 $\mathsf{hTop}_{\ast}$ 와 같지만 기준점이 없다는 점만 다르다는 것을 알 수 있습니다.

정리 71.3.2 (호몰로지는 함자 $\mathsf{hTop}\to\mathsf{Ab}$ 입니다).

임의의 특정한 $n$ 에 대해, $H_{n}$ 은 함자 $\mathsf{hTop}\to\mathsf{Ab}$ 입니다. 특히,

•

임의의 사상 $f\colon X\to Y$ 가 주어지면, 유도된 사상 $f_{\ast}\colon H_{n}(X)\to H_{n}(Y)$ 를 얻습니다.
•

호모토피 동치인 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대해 $f_{\ast}=g_{\ast}$ 입니다.
•

호모토피 동치인 두 공간 $X$ 와 $Y$ 는 동형인 호몰로지 군을 가집니다. 즉, $f\colon X\to Y$ 가 호모토피 동치이면 $f_{\ast}\colon H_{n}(X)\to H_{n}(Y)$ 는 동형사상입니다.
•

(여기에 여러분이 좋아하는 함자에 관한 결과를 넣으십시오.)

이를 위해서는 사상 $f\colon X\to Y$ 를 취해 사상 $H_{n}(f)\colon H_{n}(X)\to H_{n}(Y)$ 를 얻는 방법을 기술해야 합니다. 그런 다음 이 사상이 호모토피의 선택에 의존하지 않음을 보여야 합니다. (이는 앞서 $f_{\sharp}$ 에 대해 했던 작업과 유사한 것입니다.) 이번에는 이를 증명하는 것이 훨씬 까다로운 것으로 밝혀지며, 처음에 구축한 사슬 복합체 $C_{\bullet}(X)$ 로 다시 돌아가야 합니다.

71.3.1 사슬 복합체의 대수학

대수학부터 시작해 봅시다. 먼저, 복합체를 임의의 아벨 군의 수열로 일반화한 다음과 같은 추상화를 정의하겠습니다. 사실 이는 ( $\mathsf{AbGrp}$ 뿐만 아니라) 임의의 범주에서 성립합니다. 전략은 다음과 같습니다. 필요한 모든 것을 완전히 추상적으로 정의한 다음, 우리가 원하는 기하학적 개념들이 이 설정에 대응함을 보이겠습니다.

정의 71.3.3.

사슬 복합체는 군 $A_{n}$ 들과 사상들의 수열입니다.

\dots\xrightarrow{\partial}A_{n+1}\xrightarrow{\partial}A_{n}\xrightarrow{% \partial}A_{n-1}\xrightarrow{\partial}\dots

이때 인접한 두 사상의 합성은 영 사상이 됩니다. 이를 보통 $A_{\bullet}$ 로 표기합니다.

$n$ 번째 호몰로지 군 $H_{n}(A_{\bullet})$ 은 $\ker(A_{n}\to A_{n-1})/\operatorname{im}(A_{n+1}\to A_{n})$ 으로 정의됩니다. 사이클과 경계는 이전과 같은 방식으로 정의됩니다.

이는 분명히 앞서 살펴본 구조를, 원래의 기하학적 맥락에서 완전히 벗어나 대수적으로 일반화한 것에 지나지 않습니다.

정의 71.3.4.

사슬 복합체의 사상(또는 사슬 사상) $f\colon A_{\bullet}\to B_{\bullet}$ 은 다음 도식이 성립하도록 하는, 모든 $n$ 에 대한 사상 $f_{n}$ 들의 수열입니다.

가환입니다. 이 정의 아래에서 사슬 복합체들의 모임은 범주가 되며, 이를 $\mathsf{Cmplx}$ 로 표기합니다.

사슬 복합체의 사상 $f\colon A_{\bullet}\to B_{\bullet}$ 이 주어지면, $A_{n}$ 의 모든 사이클은 $B_{n}$ 의 사이클로 보내진다는 점에 주목하십시오. 왜냐하면 다음 사각형이

가환이기 때문입니다. 마찬가지로, $A_{n}$ 의 모든 경계는 $B_{n}$ 의 경계로 보내집니다. 따라서,

$f\colon A_{\bullet}\to B_{\bullet}$ 인 모든 사상은 모든 $n$ 에 대해 사상 $f_{\ast}\colon H_{n}(A)\to H_{n}(B)$ 를 줍니다.

연습문제 71.3.5.

$H_{n}$ 을 함자 $\mathsf{Cmplx}\to\mathsf{Grp}$ 로 해석하십시오.

다음으로, 두 사상 $f$ 와 $g$ 가 호모토픽하다는 것이 무엇을 의미하는지 정의하고자 합니다. 그 답은 다음과 같습니다.

정의 71.3.6.

$f,g\colon A_{\bullet}\to B_{\bullet}$ 이라 합시다. 다음이 성립하도록 하는, 모든 $n$ 에 대한 사상 $P_{n}\colon A_{n}\to B_{n+1}$ 을 찾을 수 있다고 가정합시다.

g_{n}-f_{n}=\partial_{B}\circ P_{n}+P_{n-1}\circ\partial_{A}

그러면 $P$ 는 $f$ 에서 $g$ 로의 사슬 호모토피이며, $f$ 와 $g$ 는 사슬 호모토픽합니다.

이를 그림으로 나타낼 수 있습니다(주의: 대각선의 점선 화살표들은 다른 모든 화살표와 가환하지 않습니다).

정의는, 각 기울어진 ”평행사변형”에서 $g-f$ 화살표가 양변을 따르는 두 합성의 합이 된다는 것입니다.

비고 71.3.7.

이 방정식은 지금으로서는 그것이 올바른 대수적 작용을 한다는 것을 곧 보이려 한다는 사실을 제외하면 전혀 동기가 없어 보일 것입니다. 이 방정식의 유도는 다음 절까지 미뤄둔 기하학적 맥락에서 비롯되며, 그곳에서 ”호모토피”가 자연스럽게 ”사슬 호모토피”를 낳게 됩니다.

이제, 이 정의의 요점은 다음과 같습니다

명제 71.3.8 (사슬 호모토픽 사상은 호몰로지 군에서 동일한 사상을 유도합니다).

$f,g:A_{\bullet}\to B_{\bullet}$ 를 사슬 호모토픽 사상 $A_{\bullet}\to B_{\bullet}$ 라 합시다. 그러면 유도된 사상 $f_{\ast},g_{\ast}\colon H_{n}(A_{\bullet})\to H_{n}(B_{\bullet})$ 는 각 $n$ 에 대해 일치합니다.

증명.

이는 $g-f$ 가 호몰로지 군 위에서 영 사상을 준다는 것을 보이는 것과 동치입니다. 다시 말해, $A_{n}$ 의 모든 사이클이 $g-f$ 에 의해 $B_{n}$ 의 경계가 됨을 확인해야 합니다.

질문 71.3.9.

이것이 참임을 확인하십시오. ∎

71.3.2 사슬 복합체의 기하학

이제 위 그림의 기하학적 세부 사항을 채워 넣어 봅시다. 먼저:

보조정리 71.3.10 (공간의 사상 $\implies$ 특이 사슬 복합체의 사상).

각 $f\colon X\to Y$ 는 사상 $C_{n}(X)\to C_{n}(Y)$ 를 유도합니다.

증명.

다음 합성을 생각해봅시다

\Delta^{n}\xrightarrow{\sigma}X\xrightarrow{f}Y.

다시 말해, $X$ 의 경로가 $Y$ 의 경로가 되는 등입니다. ( $\partial$ 이 관여하는 사각형들이 가환함을 확인하는 것은 어렵지 않습니다; 원한다면 직접 확인해 보십시오.) ∎

이제 우리가 보여야 할 것은 $f,g\colon X\to Y$ 가 호모토픽이면 이들이 사슬 호모토픽이라는 것입니다. 사슬 호모토피를 만들어내기 위해서는, 모든 $n$ -단체 $X$ 를 $Y$ 에서의 $(n+1)$ -사슬로 보내는 사상, 즉 $P_{n}$ 을 정의해야 합니다.

어떻게 이를 해낼 수 있을지 생각해봅시다. $n$ -단체 $\sigma\colon\Delta^{n}\to X$ 를 취하여 $f$ 와 $g$ 를 통과시켜봅시다; 아래 그림은 공간 $Y$ 로 사상된 $1$ -단체 $\sigma$ (즉 $X$ 에서의 경로)를 나타낸 것입니다. 호모토피란 $F(-,0)=f$ 이고 $F(-,1)=g$ 를 만족하는 사상 $F\colon X\times[0,1]\to Y$ 가 존재함을 뜻하며, 그 일부를 아래 $Y$ 에 대한 그림에서 회색 화살표로 나타내었습니다.

이 그림은 우리가 어떻게 나아가야 할지를 시사합니다: 우리는 지금까지 그려온 $1$ -사슬들로부터 $Y$ 위의 $2$ -사슬을 만들어내고자 합니다. 호모토피 $F$ 는 $Y$ 위에 ”사각형” 구조, 즉 $v_{0}$ , $v_{1}$ , $w_{1}$ , $w_{0}$ 로 둘러싸인 사각형을 제공합니다. 우리는 이를 두 개의 삼각형으로 나눕니다; 그것이 바로 우리의 $2$ -사슬입니다.

이를 형식적으로 만들기 위해서는 $\Delta^{1}\times[0,1]$ (이는 실제로 사각형입니다)을 취하여 두 개의 삼각형으로 나누면 됩니다. 그런 다음 $\sigma\times\mathrm{id}$ 를 적용하면 $X\times[0,1]$ 에서의 $2$ -사슬을 얻게 되고, 마지막으로 $F$ 를 적용하면 모든 것이 우리 공간 $Y$ 로 사상됩니다. 우리 예제에서 최종 상은 두 개의 삼각형으로 이루어진 $2$ -사슬이며, 이는 우리 그림에서 $[v_{0},w_{0},w_{1}]-[v_{0},v_{1},w_{1}]$ 로 쓸 수 있습니다; 그 경계는 빨강, 초록, 회색으로 주어집니다.

더 일반적으로, $n$ -단체 $\phi=[x_{0},\dots,x_{n}]$ 에 대해 이른바 프리즘 연산자 $P_{n}$ 을 다음과 같이 정의합니다. 각 $i$ 에 대해 $v_{i}=f(x_{i})$ 이고 $w_{i}=g(x_{i})$ 로 둡시다. 그러면 다음과 같이 정의합니다

P_{n}(\phi)\coloneqq\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}(F\circ(\phi\times\mathrm{id}))\left% [v_{0},\dots,v_{i},w_{i},\dots,w_{n}\right].

이는 앞서의 구성을 $n>1$ 인 차원으로 일반화한 것에 불과합니다; 우리는 $\Delta^{n}\times[0,1]$ 을 $n+1$ 개의 단체로 나누고, $\phi\times\mathrm{id}$ 에 의해 $X$ 로 사상한 다음 전체를 $Y$ 로 밀어넣습니다. $(-1)^{i}$ 는 ”대각선” 면들이 서로 상쇄되도록 보장합니다.

이제 모든 $\sigma$ 에 대해 다음이 성립함을 주장합니다,

\partial_{Y}(P_{n}(\sigma))=g(\sigma)-f(\sigma)-P_{n-1}(\partial_{X}\sigma).

그림에서 $\partial_{Y}\circ P_{n}$ 은 프리즘 전체의 경계입니다(그림에서 이는 빨강, 초록, 회색 선이 되며, 상쇄되는 대각선 회색은 포함하지 않습니다). $g-f$ 는 초록에서 빨강을 뺀 것이고, $P_{n-1}\circ\partial_{X}$ 는 프리즘의 회색 모서리들을 나타냅니다( $v_{1}$ 에서 $w_{0}$ 로 가는 대각선은 포함하지 않습니다). 실제로 (그저 여러 개의 $\sum$ 기호를 적어보는 것만으로도) 위 항등식이 성립함을 확인할 수 있습니다.

그림으로 나타내면:

이로써 $f$ 에서 $g$ 로 가는 사슬 호모토피가 주어지며, 정리 71.3.2의 증명이 완성됩니다.

71.4 사슬 복합체의 더 많은 예시

이제 이 장을 마무리하며 사슬 복합체의 몇 가지 예시를 더 제시하고자 하며, 이는 다음 장에서 위상적 호몰로지 군을 마침내 계산하는 데 사용할 것입니다.

예제 71.4.1 (축소 호몰로지 군).

$X$ 가 (공집합이 아닌) 위상 공간이라고 합시다. 표준 특이 복합체를 다음과 같이 증대할 수 있습니다: 이전과 같은 방식을 그대로 사용하되, 끝부분에 $\mathbb{Z}$ 를 추가하여 증대시키며, 다음과 같습니다:

\dots\to C_{1}(X)\to C_{0}(X)\xrightarrow{\varepsilon}\mathbb{Z}\to 0

여기서 $\varepsilon$ 는 점 $p_{i}\in X$ 에 대해 $\varepsilon(\sum n_{i}p_{i})=\sum n_{i}$ 로 정의됩니다. ( $0$ -사슬은 그저 점들의 형식적 합임을 기억하십시오!) 이를 증대 특이 사슬 복합체라 부르고 $\widetilde{C}_{\bullet}(X)$ 로 표기합니다.

이는 무작위적인 일처럼 보일 수 있지만, 우리가 처음 시작했던 정의들을 취하여 ”거꾸로 일반화”함으로써 정당화할 수 있습니다. $n$ -단체는 $n+1$ 개의 꼭짓점 $[v_{0},\ldots,v_{n}]$ 으로 주어짐을 기억하십시오. 이는 $(-1)$ -단체가 $0$ 개의 꼭짓점, 즉 $[]$ 로 주어짐을 시사합니다!

표준 $n$ -단체의 정의에 $n=-1$ 을 대입해도 같은 결론에 도달합니다. $\Delta^{-1}$ 은 좌표가 모두 음이 아니며 합이 $1$ 인 점들로 이루어진 $\mathbb{R}^{0}$ 의 부분집합이어야 합니다. 그러한 점은 존재하지 않으므로, $\Delta^{-1}=\{\}$ 입니다. 따라서 위상 공간 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 에서의 특이 $(-1)$ -단체는 함수 $\{\}\to X$ 여야 합니다. 그러한 함수는 하나 존재합니다: 상이 공집합인 공함수입니다.

즉, 모든 위상 공간 $X$ 는 정확히 하나의 $(-1)$ -단체를 가지며, 이를 $\{\}$ 와 동일시합니다. 따라서 $(-1)$ 번째 사슬 군 $C_{-1}(X)$ 는 하나의 원소로 생성된 자유 아벨 군입니다; 즉 $\widetilde{C}_{-1}(X)\cong\mathbb{Z}$ 입니다(여기서 이 동형사상은 $\{\}$ 를 $1$ 과 동일시합니다).

경계는 어떨까요? 단체 $[v_{0},\ldots,v_{n}]$ 의 경계를 취하기 위해서는, 각 꼭짓점을 하나씩 제거하고 교대합을 취합니다. 따라서 $\partial([v])=[]$ 입니다. 이를 복합체에 선형적으로 확장하면 $\partial(\sum n_{i}p_{i})=\sum n_{i}\cdot 1$ 을 얻습니다 — 즉 $\varepsilon$ 는 실제로 경계 연산자가 $\widetilde{C}_{0}(X)\xrightarrow{\partial}\widetilde{C}_{-1}(X)$ 인 경우로 일반화된 것에 불과합니다.³³3 $n\leq-2$ 인 경우는 어떨까요? $n$ -단체는 길이가 $(n+1)$ 인 꼭짓점 목록에서 나오므로, $(-2)$ -단체는 길이가 $(-1)$ 인 꼭짓점 목록을 필요로 할 것입니다 — 하지만 그런 목록은 존재하지 않습니다. 따라서 $(-1)$ -단체는 하나 존재하지만, $(-2)$ -단체는 0개 존재합니다( $n<-2$ 일 때도 마찬가지입니다). 0개의 원소로 생성된 자유 아벨 군은 자명군이므로, $\widetilde{C}_{-2}\cong\mathbf{0}$ 입니다. 특히, $\partial([])=0$ 입니다.

질문 71.4.2.

위 사슬의 $\mathbb{Z}$ 에서의 호몰로지는 무엇입니까? (힌트: $X$ 가 공집합이 아니어야 합니다.)

정의 71.4.3.

증대 사슬 복합체의 호몰로지 군들을 공간 $X$ 의 축소 호몰로지 군 $\widetilde{H}_{n}(X)$ 라 부릅니다.

$n>0$ 일 때 $\widetilde{H}_{n}(X)\cong H_{n}(X)$ 임은 명백합니다. 하지만 $n=0$ 일 때, $\varepsilon$ 에 의한 사상 $H_{0}(X)\to\mathbb{Z}$ 는 핵 $\widetilde{H}_{0}(X)$ 를 가지므로, $H_{0}(X)\cong\widetilde{H}_{0}(X)\oplus\mathbb{Z}$ 입니다.

이는 보통 그저 추가적인 편의일 뿐입니다. 예를 들어, 이는 $X$ 가 수축가능이면 그 모든 축소 호몰로지 군이 소멸함을 의미하며, 따라서 특별한 $n=0$ 인 경우를 계속 신경 쓸 필요가 없게 됩니다.

질문 71.4.4.

앞서 $H_{n}(S^{m})$ 에 대해 주장한 내용을 고려할 때, $\widetilde{H}_{n}(S^{m})$ 은 무엇이어야 합니까?

예제 71.4.5 (상대 사슬군).

$X$ 가 위상 공간이고 $A\subseteq X$ 가 부분공간이라고 합시다. 다음과 같이 정의하여 $A$ 로 “몫을 취할” 수 있습니다

C_{n}(X,A)\coloneqq C_{n}(X)/C_{n}(A)

모든 $n$ 에 대해 그렇습니다. 따라서 전적으로 $A$ 에 포함된 사슬은 자명합니다.

그러면 $C_{n}(X)$ 위의 보통 $\partial$ 이 새로운 사슬 복합체를 생성합니다

\dots\xrightarrow{\partial}C_{n+1}(X,A)\xrightarrow{\partial}C_{n}(X,A)% \xrightarrow{\partial}C_{n-1}(X,A)\xrightarrow{\partial}\dots.

이는 $\partial$ 이 $C_{n}(A)$ 를 $C_{n-1}(A)$ 로 보내기 때문에 잘 정의됩니다.

정의 71.4.6.

이 상대 사슬 복합체의 호몰로지 군을 상대 호몰로지 군이라 하며 $H_{n}(X,A)$ 로 표기합니다.

하나의 순진한(naïve) 추측은 이것이 $H_{n}(X)/H_{n}(A)$ 와 같을 수도 있다는 것입니다. 이는 사실이 아니며, 일반적으로는 의미조차 통하지 않습니다. $X$ 를 $\mathbb{R}^{2}$ 로, $A=S^{1}$ 을 그 안의 원으로 잡으면, $H_{1}(X)=H_{1}(\mathbb{R}^{2})=0$ 이고 $H_{1}(S^{1})=\mathbb{Z}$ 입니다.

또 다른 추측은 $H_{n}(X,A)$ 가 그저 $\widetilde{H}_{n}(X/A)$ 일지도 모른다는 것입니다. 이는 대부분의 합리적인 공간 $X$ 와 $A$ 에 대해 참으로 밝혀질 것이며, 장 73에서 절제 정리(excision theorem)에 이르렀을 때 논의하겠습니다.

예제 71.4.7 (마이어-비토리스 열).

공간 $X$ 가 두 열린집합 $U$ 와 $V$ 로 덮인다고 합시다. $C_{n}(U+V)$ 를 다음과 같이 정의할 수 있습니다: 각 단체의 상이 전적으로 $U$ 에 포함되거나 전적으로 $V$ 에 포함되는 사슬들로 구성됩니다.

물론 그러면 $\partial$ 은 또 다른 사슬 복합체를 정의합니다

\dots\xrightarrow{\partial}C_{n+1}(U+V)\xrightarrow{\partial}C_{n}(U+V)% \xrightarrow{\partial}C_{n-1}(U+V)\xrightarrow{\partial}\dots.

그리하여 다시 한번, 이 복합체에 대한 호몰로지 군을 정의할 수 있으며, 이를 $H_{n}(U+V)$ 로 표기합니다. 놀랍게도 $H_{n}(U+V)\cong H_{n}(X)$ 임이 밝혀질 것입니다.

71.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 71A.

$n\geq 1$ 에 대해 다음 합성이

S^{n-1}\hookrightarrow D^{n}\xrightarrow{F}S^{n-1}

어떠한 연속함수 $F$ 에 대해서도 $S^{n-1}$ 위의 항등사상이 될 수 없습니다.

힌트. $n-1$ 번째 호몰로지 군을 취합니다.

풀이. 함자 $H_{n-1}$ 을 적용하면 합성 $\mathbb{Z}\to 0\to\mathbb{Z}$ 이 항등사상이 되는데, 이는 명백히 불가능합니다.

문제 71B (브라우어르 부동점 정리).

앞선 문제를 이용하여 임의의 연속함수 $f\colon D^{n}\to D^{n}$ 이 부동점을 가짐을 증명하십시오.

힌트. $F$ 를 다음과 같이 구성합니다: $x$ 에서 $f(x)$ 를 지나는 광선을 그어 경계 $S^{n-1}$ 과 교차시킵니다.

	$\displaystyle\partial(\partial(\sigma^{2}))$	$\displaystyle=\partial([v_{0},v_{1}])-\partial([v_{0},v_{2}])+\partial([v_{1},% v_{2}])$
		$\displaystyle=\left([v_{1}]-[v_{0}]\right)-\left([v_{2}]-[v_{0}]\right)+\left(% [v_{2}]-[v_{1}]\right)$
		$\displaystyle=0.$