장 71 특이 호몰로지

이제 $\pi_{1}(X)$ 를 정의했으므로, 같은 아이디어를 포착하는 두 번째 방법인 $H_{1}(X)$ 로 관심을 돌리겠습니다. 그다음 $n\geq 2$ 에 대해 $H_{n}(X)$ 를 정의하겠습니다. $H_{n}$ 군의 좋은 점은 $\pi_{n}$ 군과 달리 실제로 계산하기가 훨씬 쉽다는 것입니다. 단점은 그 정의에 상당히 많은 준비가 필요하며, “대수적 위상수학”의 “대수적” 부분이 훨씬 더 기술적이 된다는 것입니다.

71.1 단체와 경계

대표적인 예: $\partial[v_{0},v_{1},v_{2}]=[v_{0},v_{1}]-[v_{0},v_{2}]+[v_{1},v_{2}]$ .

가장 기본적인 것부터 시작하겠습니다.

정의 71.1.1.

$\Delta^{n}$ 으로 표기하는 표준 $n$ -단체는 다음과 같이 정의됩니다.

\left\{(x_{0},x_{1},\dots x_{n})\mid x_{i}\geq 0,x_{0}+\dots+x_{n}=1\right\}.

따라서 이것은 꼭짓점 $[v_{0},\dots,v_{n}]$ 의 볼록 껍질입니다. 곧 분명해질 이유로 꼭짓점의 순서 $v_{0}$ , …, $v_{n}$ 을 기억해 둔다는 점에 유의하십시오.

위상 공간 $X$ 가 주어졌을 때, 특이 $n$ -단체란 사상 $\sigma\colon\Delta^{n}\to X$ 입니다.

예제 71.1.2 (특이 단체).

(a)

$\Delta^{0}=[v_{0}]$ 는 한 점에 불과하므로, $X$ 안의 특이 $0$ -단체는 $X$ 의 한 점일 뿐입니다.
(b)

$\Delta^{1}=[v_{0},v_{1}]$ 은 구간이므로, $X$ 안의 특이 $1$ -단체는 $X$ 안의 경로일 뿐입니다.
(c)

$\Delta^{2}=[v_{0},v_{1},v_{2}]$ 는 정삼각형이므로, $X$ 안의 특이 $2$ -단체는 $X$ 안의 “원판”처럼 보입니다.

다음은 공간 $X$ 안에 이 세 가지를 모두 나타낸 그림입니다.

화살표가 꼭 필요한 것은 아니지만, 꼭짓점의 “순서”를 추적하는 데 도움이 되도록 넣었습니다. 이는 잠시 후에 유용하게 쓰일 것입니다.

이제 스토크스 정리를 이야기할 때와 매우 비슷한 일을 하겠습니다. 즉, 특이 $n$ -단체에 경계 연산자 $\partial$ 를 부여하겠습니다. 이렇게 하면 $n$ -단체들의 형식적 선형 합 $\sum_{k}a_{k}\sigma_{k}$ 를 얻게 되며, 이를 $n$ -사슬이라고 부릅니다.

이 경우,

정의 71.1.3.

꼭짓점이 $[v_{0},\dots,v_{n}]$ 인 특이 $n$ -단체 $\sigma$ 가 주어졌을 때, 모든 $i$ 에 대해 $(n-1)$ -단체 $[v_{0},\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots,v_{n}]$ 이 있다는 점에 유의하십시오. 그러면 경계 연산자 $\partial$ 는 다음과 같이 정의됩니다.

\partial(\sigma)\coloneqq\sum_{i}(-1)^{i}\left[v_{0},\dots,v_{i-1},v_{i+1},% \dots,v_{n}\right].

그러면 경계 연산자는 $n$ -사슬로 선형적으로 확장됩니다.

\partial\left(\sum_{k}a_{k}\sigma_{k}\right)\coloneqq\sum a_{k}\partial(\sigma% _{k}).

관례상 $0$ -사슬의 경계는 비어 있습니다.

예제 71.1.4 (경계 연산자).

예제 71.1.2에 나타낸 사슬들을 생각해 봅시다. 그러면

(a)

$\partial\sigma^{0}=0$ .
(b)

$\partial(\sigma^{1})=[v_{1}]-[v_{0}]$ : 이는 점 $v_{1}$ 에 대응하는 $0$ -사슬과 점 $v_{0}$ 에 대응하는 $0$ -사슬의 “차”입니다.
(c)

$\partial(\sigma^{2})=[v_{0},v_{1}]-[v_{0},v_{2}]+[v_{1},v_{2}]$ 입니다. 즉 이는 $\sigma^{2}$ 의 “변”을 이루는 방향이 있는 화살표 세 개의 합으로 생각할 수 있습니다.
(d)

경계를 한 번 더 취하면 다음을 얻는다는 점에 주목하십시오.

$\displaystyle\partial(\partial(\sigma^{2}))$ $\displaystyle=\partial([v_{0},v_{1}])-\partial([v_{0},v_{2}])+\partial([v_{1},% v_{2}])$

$\displaystyle=\left([v_{1}]-[v_{0}]\right)-\left([v_{2}]-[v_{0}]\right)+\left(% [v_{2}]-[v_{1}]\right)$

$\displaystyle=0.$

$\partial^{2}=0$ 이라는 사실은 물론 우연이 아닙니다.

정리 71.1.5 ( $\partial^{2}=0$ ).

임의의 사슬 $c$ 에 대해 $\partial(\partial(c))=0$ 입니다.

증명.

문제 45B와 본질적으로 같습니다. $\sum$ 기호를 잔뜩 적어 내려가기만 하면 되는 문제입니다. 부지런한 독자는 직접 계산해 보셔도 좋습니다. ∎

비고 71.1.6.

미분 형식을 적분하는 데 쓰이는 사슬과 호몰로지의 사슬 사이의 기묘한 유사성은 우연이 아닙니다. 훨씬 나중에 다룰 드람 코호몰로지가 이 관계를 명시적으로 드러내 줄 것입니다.

71.2 특이 호몰로지 군

대표적인 예: 아마도 $H_{n}(S^{m})$ 일 것이며, 특히 $m=n=1$ 인 경우입니다.

$X$ 를 위상 공간이라 하고, $C_{n}(X)$ 를 앞에서 정의한 $X$ 의 $n$ -사슬들의 자유 아벨 군이라 합시다. 앞의 작업으로 경계 연산자 $\partial$ 를 얻었으므로, 다음과 같은 사상들의 열이 있습니다.

\dots\xrightarrow{\partial}C_{3}(X)\xrightarrow{\partial}C_{2}(X)\xrightarrow{% \partial}C_{1}(X)\xrightarrow{\partial}C_{0}(X)\xrightarrow{\partial}0

(여기서 $0$ 은 자명군을 나타내며, 이는 아벨 군에 대한 표준 표기법입니다.) 이것을 특이 사슬 복합체라고 부르겠습니다.

그렇다면 이것으로 어떻게 공간의 구멍을 감지할 수 있습니까? 그 이유를 알아보기 위해, $1$ -사슬 $c$ 가 빨간색으로 그려진 고리 영역을 생각해 봅시다:

다음에 주목하십시오.

\partial c=([v_{1}]-[v_{0}])-([v_{2}]-[v_{0}])+([v_{2}]-[v_{1}])=0

따라서 이 $1$ -사슬 $c$ 는 경계가 자명하므로 “순환”이라고 말할 수 있습니다. 그러나 공간의 중심에 있는 구멍 때문에 $c$ 자체는 어떤 $2$ -사슬의 경계도 아닙니다 — $c$ 의 내부를 “채우는” 것은 불가능합니다! 따라서 우리는 다음과 같은 대수적 사실로 구멍을 감지한 것입니다.

c\in\ker\left(C_{1}(X)\xrightarrow{\partial}C_{0}(X)\right)\qquad\text{그러나}% \qquad c\notin\operatorname{im}\left(C_{2}(X)\xrightarrow{\partial}C_{1}(X)% \right).

실제로 구멍이 없었다면 이 명제는 거짓이 되었을 것입니다.

비고 71.2.1.

호모토피와 호몰로지는 “구멍”에 대해 약간 다른 개념을 포착한다는 점에 유의하십시오. 예를 들어 $T$ 를 원환면(torus)이라 합시다. 그러면 모든 사상 $S^{2}\to T$ 는 영호모토픽이므로 $\pi_{2}(T)$ 는 자명하지만, 명제 72.3.6에서 보게 되듯이 $H_{2}(T)\cong\mathbb{Z}$ 입니다.

적어도 $n=1$ 인 경우에 정리 71.2.7는 임의의 경로 연결 공간 $X$ 와 $x_{0}\in X$ 에 대해 $H_{1}(X)$ 가 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 의 아벨화임을 말해 주는데, 이는 기대할 수 있는 거의 최선의 결과입니다 — $H_{1}(X)$ 는 반드시 아벨 군이어야 하지만, $\pi_{1}(X,x_{0})$ 는 아벨 군일 필요가 없습니다. 그럼에도 불구하고 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 는 자명하지 않은데 $H_{1}(X)$ 는 자명한 경우가 여전히 있을 수 있습니다 — 그 예는 https://math.stackexchange.com/q/1052414를 참고하십시오.

이 아이디어는 다음과 같이 임의의 차원에서 포착할 수 있습니다.

정의 71.2.2.

위와 같이

\dots\xrightarrow{\partial}C_{2}(X)\xrightarrow{\partial}C_{1}(X)\xrightarrow{% \partial}C_{0}(X)\xrightarrow{\partial}0

이라 합시다. $c\in C_{n}(X)$ 를 다음과 같이 부릅니다.

•

$c\in\ker\left(C_{n}(X)\xrightarrow{\partial}C_{n-1}(X)\right)$ 이면 순환이라 하고,
•

$c\in\operatorname{im}\left(C_{n+1}(X)\xrightarrow{\partial}C_{n}(X)\right)$ 이면 경계라고 합니다.

순환과 경계를 각각 $Z_{n}(X),B_{n}(X)\subseteq C_{n}(X)$ 로 나타냅니다.¹¹1순환을 나타내는 데 $C_{n}(X)$ 를 쓰지 않는 이유는 그 표기가 이미 쓰이고 있다는 명백한 이유도 있지만, 문자 $Z$ 는 독일어 단어 “Zyklus”에서 왔습니다.

질문 71.2.3.

표기법에 익숙해지도록, $B_{n}$ 과 $Z_{n}$ 이 그 자체로 아벨 군이며 $B_{n}(X)\subseteq Z_{n}(X)\subseteq C_{n}(X)$ 임을 확인해 보십시오.

핵심은 이제 다음을 정의할 수 있다는 것입니다.

정의 71.2.4.

$n$ 번째 호몰로지 군 $H_{n}(X)$ 는

H_{n}(X)\coloneqq Z_{n}(X)/B_{n}(X).

로 정의됩니다.

예제 71.2.5 (0번째 호몰로지 군).

위상 공간 $X$ 에 대해 $H_{0}(X)$ 를 계산해 봅시다. $C_{0}(X)$ 를 생각하는데, 이는 단지 $X$ 의 점들의 형식적 선형 합입니다.

먼저 $\partial\colon C_{0}(X)\to 0$ 의 핵을 생각하면, $\partial$ 의 핵은 공간 $C_{0}(X)$ 전체입니다. 즉, 모든 점이 “순환”입니다.

그렇다면 경계는 무엇일까요? 핵심 아이디어는 $a$ 와 $b$ 를 잇는 $1$ -사슬이 존재할 때, 즉 $a$ 에서 $b$ 로 가는 경로가 존재할 때, 그리고 오직 그때에만 $[b]-[a]=0$ 이라는 것입니다. 특히,

\text{$X$가 경로 연결됨}\implies H_{0}(X)\cong\mathbb{Z}.

더 일반적으로, 다음이 성립합니다.

명제 71.2.6 (호몰로지 군은 경로 연결 성분별로 분해됩니다).

$X=\bigcup_{\alpha}X_{\alpha}$ 가 경로 연결 성분으로의 분해이면 다음이 성립합니다.

H_{n}(X)\cong\bigoplus_{\alpha}H_{n}(X_{\alpha}).

특히 $X$ 가 $r$ 개의 경로 연결 성분을 가지면 $H_{0}(X)\cong\mathbb{Z}^{\oplus r}$ 입니다.

( $\mathbb{Z}^{\oplus r}$ 이라는 표기가 의외라면, 아벨 군은 $\mathbb{Z}$ -가군과 같은 것임을 기억하십시오. 그래서 $G$ , $H$ 가 아벨 군일 때는 $G\times H$ 대신 $G\oplus H$ 라는 표기를 쓰는 것이 관례입니다.)

이제 첫 번째 호몰로지 군을 살펴봅시다.

정리 71.2.7 (후레비치 정리).

$X$ 가 경로 연결이라고 합시다. 그러면 $H_{1}(X)$ 는 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 의 아벨화입니다.

이것을 증명하지는 않겠지만, 앞의 예로부터 대략 파악할 수 있습니다. 군 $H_{1}(X)$ 는 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 와 같은 정보를 담고 있습니다. ( $Z_{1}(X)$ 의) 순환은 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 에서 다루었던 고리와 같은 것에 대응하고, ( $B_{1}(X)$ 의, 즉 우리가 나누어 없애는 대상인) 경계는 정확히 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 에서 영호모토픽인 고리입니다. 차이점은 $H_{1}(X)$ 에서는 고리들이 서로 교환할 수 있지만 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 에서는 그렇지 않다는 것입니다.

비고 71.2.8 (여담: 범주론적 해석).

이로부터 각 $(X,x_{0})$ 마다 후레비치 사상 $\pi_{1}(X,x_{0})\xrightarrow{\phi}H_{1}(X)$ 가 존재한다고 말할 수 있습니다.

그런데 그것만이 아닙니다. 이 사상은 자연스럽습니다. 즉 점을 가진 공간들 사이의 사상 $h\colon(X,x_{0})\to(Y,y_{0})$ 에 대하여 다음 도식이

가환한다는 뜻입니다.

범주론의 용어로는 $\phi$ 가 $\pi_{1}$ 에서 $H_{1}$ 로 가는 자연 변환이라고 말합니다.

이를 달리 말하면 다음과 같습니다. 군들의 족

\{\pi_{1}(X,x_{0})\mid(X,x_{0})\text{점을 가진 공간}\}

과

\{H_{1}(X)\mid(X,x_{0})\text{점을 가진 공간}\}

이 있을 때, 자연 변환 $\phi$ 는 다음과 같은 준동형사상들의 족으로 볼 수 있습니다.

\{\phi\colon\pi_{1}(X,x_{0})\to H_{1}(X)\mid(X,x_{0})\text{점을 가진 공간}\}

이 족은 자연성 조건을 만족합니다.

물론 정리 65.6.2에서 설명했듯이, $\pi_{1}$ 이 함자라는 사실은 $\{\pi_{1}(X,x_{0})\mid(X,x_{0})\text{ 점을 가진 공간}\}$ 이 단순히 점을 가진 공간들로 첨수된 군들의 족보다 훨씬 많은 것임을 의미합니다.

예제 71.2.9 (고리 영역의 첫 번째 호몰로지 군).

구체적인 예를 들기 위해, 위의 고리 영역 $X$ 를 생각해 봅시다. 우리는 $X$ 의 구멍을 한 번 감는 사슬 $c$ 를 찾았습니다. 핵심은 사실

H_{1}(X)=\left<c\right>\cong\mathbb{Z}

즉 사슬 $c$ , $2c$ , … 는 $H_{1}(X)$ 에서 모두 서로 다르지만, 다른 어떤 $1$ -사슬도 이들 중 하나와 동치라는 뜻입니다. 이는 $X$ 가 사실상 $S^{1}$ 에 불과하다는 사실을 반영합니다.

예제 71.2.10 ( $S^{1}$ 에서의 명시적인 경계).

$X=S^{1}$ 에서 $a$ 를 가장 위의 점, $b$ 를 가장 아래의 점이라고 합시다. $c$ 를 원의 왼쪽 절반을 따라 $a$ 에서 $b$ 로 가는 단체, $d$ 를 오른쪽 절반을 따라 $a$ 에서 $b$ 로 가는 단체라고 합시다. 마지막으로 $\gamma$ 를 $a$ 에서 자기 자신으로 가며 $S^{1}$ 을 반시계 방향으로 한 번 감는 고리 $\gamma$ 를 나타내는 단체라고 합시다. 우리는 $H_{1}(S^{1})$ 에서 다음이 성립한다고 주장합니다.

\gamma=c-d

이는 기하학적으로 $c-d$ 가 원을 한 번 감는 것을 나타낸다는 뜻입니다(물론 이는 우리가 예상하는 바입니다).

실제로 이는 위 그림에서 확인할 수 있습니다. 그림에는 경계가 정확히 $\gamma-c+d$ 인 $2$ -단체를 그려 두었습니다. 이 그림은 다소 비유적입니다. 실제로는 $v_{0}=v_{1}=a$ 이고, $2$ -단체 전체가 $S^{1}$ 안에 매장되어 있습니다. 특이 호몰로지라는 이름이 붙은 것도 이 때문입니다. 단체의 상이 때로는 꽤 “특이하게” 보일 수 있습니다.

예제 71.2.11 (8자 도형의 첫 번째 호몰로지 군).

$X_{8}$ 을 생각해 봅시다(예제 65.2.9 참고). 호몰로지와 호모토피 모두 $X_{8}$ 의 두 고리를 감지하며, 이 두 고리를 $a$ 와 $b$ 라고 부르겠습니다. 차이점은 $\pi_{1}(X_{8},x_{0})$ 에서는 이 두 고리가 서로 교환될 수 없다는 것입니다. $\pi_{1}$ 의 군 연산은 “경로 이어붙이기”이므로 $ab\neq ba$ 입니다. 그러나 호몰로지 군 $H_{1}(X)$ 에서는 $a$ 와 $b$ 를 형식적으로 더하여 $1$ -사슬 $a+b$ 를 얻습니다. 따라서

H_{1}(X)\cong\mathbb{Z}^{\oplus 2}\quad\text{인 반면}\quad\pi_{1}(X,x_{0})=\left<% a,b\right>

입니다.

예제 71.2.12 ( $S^{2}$ 의 호몰로지 군).

2차원 구면 $S^{2}$ 을 생각해 봅시다. $S^{2}$ 은 경로 연결이므로 $H_{0}(S^{2})=\mathbb{Z}$ 입니다. 또한 $\pi_{1}(S^{2})$ 이 자명한 것과 같은 이유로 $H_{1}(S^{2})=0$ 입니다. 한편 우리는 다음과 같이 주장합니다.

H_{2}(S^{2})\cong\mathbb{Z}.

$H_{2}(S^{2})$ 의 원소는 $S^{2}$ 을 사면체 모양의 주머니 하나(또는 두 개, 세 개 등)로 감싸는 것에 대응합니다. 따라서 두 번째 호몰로지 군으로 $S^{2}$ 의 구형 공동을 감지할 수 있습니다.²²2비고 71.2.1에서 언급했듯이, $\pi_{2}$ 와 달리 $H_{2}$ 는 구형 공동뿐 아니라 다른 종류의 공동도 감지합니다.

사실 더 일반적으로 다음이 성립합니다.

H_{n}(S^{m})\cong\begin{cases}\mathbb{Z}&n=m\text{또는}n=0\\ 0&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

예제 71.2.13 (축약 가능한 공간).

임의의 축약 가능한 공간 $X$ 에 대하여 다음이 성립합니다.

H_{n}(X)\cong\begin{cases}\mathbb{Z}&n=0\\ 0&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

그 이유는 호모토피 군과 마찬가지로 호몰로지 군도 호모토피 불변이기 때문입니다. (이는 다음 절에서 증명하겠습니다.) 따라서 축약 가능한 $X$ 의 호몰로지 군은 한 점 공간의 호몰로지 군, 즉 위에서 본 것과 같습니다.

예제 71.2.14 (원환면의 호몰로지 군).

당분간은 증명할 수 없지만, 다음이 성립합니다.

H_{n}(S^{1}\times S^{1})\cong\begin{cases}\mathbb{Z}&n=0,2\\ \mathbb{Z}^{\oplus 2}&n=1\\ 0&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

$1$ 에서의 호몰로지 군은 우리가 알고 있는 사실인 $\pi_{1}(S^{1}\times S^{1})\cong\mathbb{Z}^{2}$ 에 대응하며, $2$ 에서의 호몰로지 군은 원환면의 “공동”을 감지합니다.

이 모든 것이 멋지기는 하지만, 실제로 호몰로지 군을 계산하려면 어떻게 해야 합니까? 이는 꽤 긴 이야기가 될 것이며, 실제로 호몰로지 군을 계산할 수 있게 되기까지 상당한 양의 대수와 기하를 다루어야 합니다. 이후의 내용에서는 어떤 것이 순수하게 대수적인지(임의의 사슬 복합체에 대해 성립하는지), 그리고 어떤 부분이 실제로 기하학적으로 참인 내용을 서술하는지 구분해 두는 것이 종종 도움이 될 것입니다.

71.3 호몰로지 함자와 사슬 복합체

앞서 언급했듯이 호몰로지 군은 호모토피 불변입니다. 이는 함자 $\pi_{1}\colon\mathsf{hTop}_{\ast}\to\mathsf{Grp}$ 를 만들 때 했던 작업과 비슷한 과정이 될 것입니다. 천천히 진행하다가 마지막에 장막을 걷어 범주론을 드러내는 대신, 시간을 절약하기 위해 처음부터 범주론으로 시작하겠습니다.

정의 71.3.1.

범주 $\mathsf{hTop}$ 은 다음과 같이 정의됩니다.

•

대상: 위상 공간.
•

사상: 사상 $X\to Y$ 들의 호모토피류.

특히 $X$ 와 $Y$ 가 $\mathsf{hTop}$ 에서 동형일 필요충분조건은 두 공간이 호모토피 동치인 것입니다.

이것은 기점이 없다는 점을 제외하면 $\mathsf{hTop}_{\ast}$ 와 같다는 것을 알 수 있습니다.

정리 71.3.2 (호몰로지는 함자 $\mathsf{hTop}\to\mathsf{Ab}$ 입니다).

각각의 $n$ 에 대하여 $H_{n}$ 은 함자 $\mathsf{hTop}\to\mathsf{Ab}$ 입니다. 특히 다음이 성립합니다.

•

임의의 사상 $f\colon X\to Y$ 가 주어지면, 유도된 사상 $f_{\ast}\colon H_{n}(X)\to H_{n}(Y)$ 를 얻습니다.
•

서로 호모토픽인 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여 $f_{\ast}=g_{\ast}$ 입니다.
•

호모토피 동치인 두 공간 $X$ 와 $Y$ 는 동형인 호몰로지 군을 가집니다. 즉, $f\colon X\to Y$ 가 호모토피 동치이면 $f_{\ast}\colon H_{n}(X)\to H_{n}(Y)$ 는 동형사상입니다.
•

(함자에 관해 가장 좋아하는 결과를 여기에 넣으십시오.)

이를 위해서는 사상 $f\colon X\to Y$ 로부터 사상 $H_{n}(f)\colon H_{n}(X)\to H_{n}(Y)$ 를 얻는 방법을 설명해야 합니다. 그다음 이 사상이 호모토피의 선택에 의존하지 않음을 보여야 합니다. (이는 앞서 $f_{\sharp}$ 에 대해 했던 작업에 해당합니다.) 이번에는 이것을 증명하기가 훨씬 까다로우며, 처음에 만들었던 사슬 복합체 $C_{\bullet}(X)$ 로 다시 돌아가야 합니다.

71.3.1 사슬 복합체의 대수

대수부터 시작하겠습니다. 먼저, 복합체를 임의의 아벨 군의 열로 추상화하여 다음과 같이 정의하겠습니다. 사실 이 정의는 ( $\mathsf{AbGrp}$ 뿐만 아니라) 임의의 범주에서 통합니다. 전략은 다음과 같습니다. 필요한 모든 것을 완전히 추상적으로 정의한 다음, 우리가 원하는 기하학적 개념이 이 설정에 대응함을 보이겠습니다.

정의 71.3.3.

사슬 복합체는 군 $A_{n}$ 과 다음과 같은 사상들의 열로서,

\dots\xrightarrow{\partial}A_{n+1}\xrightarrow{\partial}A_{n}\xrightarrow{% \partial}A_{n-1}\xrightarrow{\partial}\dots

인접한 임의의 두 사상의 합성이 영 사상인 것입니다. 이를 보통 $A_{\bullet}$ 로 표기합니다.

$n$ 번째 호몰로지 군 $H_{n}(A_{\bullet})$ 는 $\ker(A_{n}\to A_{n-1})/\operatorname{im}(A_{n+1}\to A_{n})$ 로 정의됩니다. 순환과 경계는 앞에서와 같은 방식으로 정의됩니다.

분명히 이는 앞에서 살펴본 구조에서 원래의 기하학적 맥락을 모두 걷어 내고 대수적으로 일반화한 것에 불과합니다.

정의 71.3.4.

사슬 복합체의 사상(또는 사슬 사상) $f\colon A_{\bullet}\to B_{\bullet}$ 는 모든 $n$ 에 대한 사상 $f_{n}$ 들의 열로서, 다음 도식이

가환하는 것입니다. 이 정의 아래에서 사슬 복합체들의 집합은 범주가 되며, 이를 $\mathsf{Cmplx}$ 로 표기합니다.

사슬 복합체의 사상 $f\colon A_{\bullet}\to B_{\bullet}$ 가 주어지면 $A_{n}$ 의 모든 순환은 $B_{n}$ 의 순환으로 보내진다는 점에 유의하십시오. 다음 사각형이

가환하기 때문입니다. 마찬가지로 $A_{n}$ 의 모든 경계는 $B_{n}$ 의 경계로 보내집니다. 따라서,

모든 사상 $f\colon A_{\bullet}\to B_{\bullet}$ 는 모든 $n$ 에 대해 사상 $f_{\ast}\colon H_{n}(A)\to H_{n}(B)$ 를 줍니다.

연습문제 71.3.5.

$H_{n}$ 을 함자 $\mathsf{Cmplx}\to\mathsf{Grp}$ 로 해석하십시오.

다음으로, 두 사상 $f$ 와 $g$ 가 호모토픽하다는 것이 무엇을 뜻하는지 정의하고자 합니다. 답은 다음과 같습니다.

정의 71.3.6.

$f,g\colon A_{\bullet}\to B_{\bullet}$ 라고 합시다. 모든 $n$ 에 대해 다음을 만족하는 사상 $P_{n}\colon A_{n}\to B_{n+1}$ 을 찾을 수 있다고 가정합시다.

g_{n}-f_{n}=\partial_{B}\circ P_{n}+P_{n-1}\circ\partial_{A}

그러면 $P$ 를 $f$ 에서 $g$ 로의 사슬 호모토피라고 하며, $f$ 와 $g$ 는 사슬 호모토픽하다고 합니다.

이를 설명하기 위해 그림을 그릴 수 있습니다(주의: 대각선 점선 화살표는 다른 모든 화살표와 가환하지 않습니다).

이 정의는 기울어진 각 “평행사변형”에서 $g-f$ 화살표가 두 변을 따라가는 두 합성의 합이라는 것입니다.

비고 71.3.7.

이 방정식이 올바른 대수적 역할을 한다는 것을 곧 보일 것이라는 사실을 제외하면, 지금 당장은 이 방정식이 지독하게 동기가 없어 보일 것입니다. 이 방정식의 유도는 다음 절로 미루어 둔 기하학적 맥락에서 나오며, 거기서 “호모토피”가 자연스럽게 “사슬 호모토피”를 줄 것입니다.

이제 이 정의의 요점은 다음과 같습니다.

명제 71.3.8 (사슬 호모토픽한 사상들은 호몰로지 군 위에 같은 사상을 유도합니다).

$f,g:A_{\bullet}\to B_{\bullet}$ 가 사슬 호모토픽한 사상 $A_{\bullet}\to B_{\bullet}$ 라고 합시다. 그러면 유도된 사상 $f_{\ast},g_{\ast}\colon H_{n}(A_{\bullet})\to H_{n}(B_{\bullet})$ 는 각 $n$ 에 대해 일치합니다.

증명.

이는 $g-f$ 가 호몰로지 군 위에서 영사상을 준다는 것을 보이는 것과 동치입니다, 다시 말해, $A_{n}$ 의 모든 순환이 $g-f$ 에 의해 $B_{n}$ 의 경계가 된다는 것을 확인해야 합니다.

질문 71.3.9.

이것이 참임을 확인하십시오. ∎

71.3.2 사슬 복합체의 기하학

이제 위 그림의 기하학적 세부 사항을 채워 봅시다. 먼저:

보조정리 71.3.10 (공간의 사상 $\implies$ 특이 사슬 복합체의 사상).

각 $f\colon X\to Y$ 는 사상 $C_{n}(X)\to C_{n}(Y)$ 를 유도합니다.

증명.

다음 합성을 취합니다.

\Delta^{n}\xrightarrow{\sigma}X\xrightarrow{f}Y.

다시 말해, $X$ 안의 경로는 $Y$ 안의 경로가 되며, 나머지도 마찬가지입니다. ( $\partial$ 가 포함된 사각형들이 가환한다는 것은 어렵지 않게 알 수 있습니다. 원한다면 직접 확인해 보십시오.) ∎

이제 우리가 보여야 할 것은 $f,g\colon X\to Y$ 가 호모토픽이면 이들이 사슬 호모토픽이라는 것입니다. 사슬 호모토피를 만들려면 모든 $n$ -단체 $X$ 를 $Y$ 안의 $(n+1)$ -사슬로 보내야 하며, 이로써 사상 $P_{n}$ 을 정의하게 됩니다.

이것을 어떻게 할 수 있을지 생각해 봅시다. $n$ -단체 $\sigma\colon\Delta^{n}\to X$ 를 취하여 $f$ 와 $g$ 에 통과시켜 봅시다. 아래 그림은 공간 $Y$ 안으로 옮겨진 $1$ -단체 $\sigma$ (즉 $X$ 안의 경로)를 나타냅니다. 호모토피란 $F(-,0)=f$ 이고 $F(-,1)=g$ 인 사상 $F\colon X\times[0,1]\to Y$ 가 존재한다는 뜻이며, 그 일부를 아래 $Y$ 그림에 회색 화살표로 나타냈습니다.

이 그림은 어떻게 진행하면 될지 시사합니다. 우리가 그린 $1$ -사슬들이 주어졌을 때 $Y$ 위에 $2$ -사슬을 만들고자 합니다. 호모토피 $F$ 는 $Y$ 위에 “사각형” 구조, 즉 $v_{0}$ , $v_{1}$ , $w_{1}$ , $w_{0}$ 으로 둘러싸인 사각형을 제공합니다. 이를 두 개의 삼각형으로 나누면, 그것이 바로 우리의 $2$ -사슬입니다.

$\Delta^{1}\times[0,1]$ (이것은 실제로 정사각형입니다)을 두 개의 삼각형으로 나누면 이를 엄밀하게 만들 수 있습니다. 그런 다음 $\sigma\times\mathrm{id}$ 를 적용하면 $X\times[0,1]$ 안의 $2$ -사슬을 얻고, 마지막으로 $F$ 를 적용하면 모든 것이 우리의 공간 $Y$ 안으로 사상됩니다. 우리의 예에서 최종 상은 두 개의 삼각형으로 이루어진 $2$ -사슬이며, 이는 그림에서 $[v_{0},w_{0},w_{1}]-[v_{0},v_{1},w_{1}]$ 로 쓸 수 있습니다. 경계는 빨간색, 초록색, 회색으로 주어집니다.

더 일반적으로, $n$ -단체 $\phi=[x_{0},\dots,x_{n}]$ 에 대해 이른바 프리즘 연산자 $P_{n}$ 을 다음과 같이 정의합니다. 각 $i$ 에 대해 $v_{i}=f(x_{i})$ , $w_{i}=g(x_{i})$ 로 둡니다. 그러면 다음과 같이 둡니다.

P_{n}(\phi)\coloneqq\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}(F\circ(\phi\times\mathrm{id}))\left% [v_{0},\dots,v_{i},w_{i},\dots,w_{n}\right].

이것은 위의 구성을 $n>1$ 인 차원으로 일반화한 것에 불과합니다. $\Delta^{n}\times[0,1]$ 을 $n+1$ 개의 단체로 나누고, $\phi\times\mathrm{id}$ 에 의해 이를 $X$ 안으로 사상한 다음, 전체를 $Y$ 안으로 밀어 넣습니다. $(-1)^{i}$ 는 “대각선” 면들이 모두 서로 상쇄되도록 보장합니다.

이제 모든 $\sigma$ 에 대해 다음이 성립한다고 주장합니다.

\partial_{Y}(P_{n}(\sigma))=g(\sigma)-f(\sigma)-P_{n-1}(\partial_{X}\sigma).

그림에서 $\partial_{Y}\circ P_{n}$ 은 프리즘 전체의 경계입니다(그림에서는 빨간색, 초록색, 회색 선이 되며, 상쇄되는 대각선 회색 선은 포함하지 않습니다). $g-f$ 는 초록색에서 빨간색을 뺀 것이고, $P_{n-1}\circ\partial_{X}$ 는 프리즘의 회색 모서리를 나타냅니다( $v_{1}$ 에서 $w_{0}$ 으로 가는 대각선은 포함하지 않습니다). 실제로 (단지 $\sum$ 기호를 몇 개 적어 보는 것만으로) 위의 항등식이 성립함을 확인할 수 있습니다.

그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

이로써 $f$ 에서 $g$ 로 가는 사슬 호모토피를 얻으며, 정리 71.3.2의 증명이 완료됩니다.

71.4 사슬 복합체의 추가 예

이제 사슬 복합체의 예를 몇 가지 더 제시하며 이 장을 마치겠습니다. 이 예들은 다음 장에서 마침내 위상적 호몰로지 군을 계산하는 데 사용할 것입니다.

예제 71.4.1 (축소 호몰로지 군).

$X$ 가 (공집합이 아닌) 위상 공간이라고 합시다. 표준 특이 복합체를 다음과 같이 확대할 수 있습니다. 앞에서와 똑같이 하되, 아래와 같이 끝에 $\mathbb{Z}$ 를 추가하여 확대합니다.

\dots\to C_{1}(X)\to C_{0}(X)\xrightarrow{\varepsilon}\mathbb{Z}\to 0

여기서 $\varepsilon$ 는 점 $p_{i}\in X$ 에 대해 $\varepsilon(\sum n_{i}p_{i})=\sum n_{i}$ 로 정의됩니다. ( $0$ -사슬은 점들의 형식적 합일 뿐임을 떠올리십시오!) 이 확대 특이 사슬 복합체를 $\widetilde{C}_{\bullet}(X)$ 로 나타냅니다.

이것이 임의적인 일처럼 보일 수도 있지만, 처음에 사용한 정의들을 “거꾸로 일반화”하면 정당화할 수 있습니다. $n$ -단체는 $n+1$ 개의 꼭짓점 $[v_{0},\ldots,v_{n}]$ 으로 주어진다는 것을 떠올리십시오. 이는 $(-1)$ -단체가 $0$ 개의 꼭짓점 $[]$ 으로 주어짐을 시사합니다!

표준 $n$ -단체의 정의에 $n=-1$ 을 적용해도 같은 결론에 도달합니다. $\Delta^{-1}$ 은 좌표가 모두 음이 아니고 그 합이 $1$ 인 모든 점으로 이루어진 $\mathbb{R}^{0}$ 의 부분집합이어야 합니다. 그러한 점은 존재하지 않으므로 $\Delta^{-1}=\{\}$ 입니다. 따라서 위상 공간 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 안의 특이 $(-1)$ -단체는 함수 $\{\}\to X$ 여야 합니다. 그러한 함수는 하나 있는데, 바로 상이 공집합인 공함수입니다.

즉, 모든 위상 공간 $X$ 는 정확히 하나의 $(-1)$ -단체를 가지며, 이를 $\{\}$ 와 동일시합니다. 따라서 $(-1)$ 번째 사슬 군 $C_{-1}(X)$ 는 원소 하나로 생성되는 자유 아벨 군입니다. 즉, $\widetilde{C}_{-1}(X)\cong\mathbb{Z}$ 입니다(여기서 동형사상은 $\{\}$ 를 $1$ 과 동일시합니다).

경계는 어떻습니까? 단체 $[v_{0},\ldots,v_{n}]$ 의 경계를 취하려면 각 꼭짓점을 하나씩 제거하고 교대합을 취합니다. 따라서 $\partial([v])=[]$ 입니다. 이를 복합체로 선형 확장하면 $\partial(\sum n_{i}p_{i})=\sum n_{i}\cdot 1$ 을 얻습니다 — 따라서 $\varepsilon$ 는 실제로 경계 연산자를 $\widetilde{C}_{0}(X)\xrightarrow{\partial}\widetilde{C}_{-1}(X)$ 인 경우로 일반화한 것일 뿐입니다.³³3 $n\leq-2$ 이면 어떻습니까? $n$ -단체는 길이가 $(n+1)$ 인 꼭짓점 목록에서 나오므로, $(-2)$ -단체에는 길이가 $(-1)$ 인 꼭짓점 목록이 필요합니다 — 하지만 그러한 목록은 존재하지 않습니다. 따라서 $(-1)$ -단체는 하나 있지만 $(-2)$ -단체는 0개입니다( $n<-2$ 도 마찬가지입니다). 원소 0개 위의 자유 아벨 군은 자명군이므로 $\widetilde{C}_{-2}\cong\mathbf{0}$ 입니다. 특히 $\partial([])=0$ 입니다.

질문 71.4.2.

위 사슬의 $\mathbb{Z}$ 에서의 호몰로지는 무엇입니까? (힌트: $X$ 가 공집합이 아니어야 합니다.)

정의 71.4.3.

확대 사슬 복합체의 호몰로지 군을 공간 $X$ 의 축소 호몰로지 군 $\widetilde{H}_{n}(X)$ 라고 합니다.

자명하게도 $n>0$ 일 때 $\widetilde{H}_{n}(X)\cong H_{n}(X)$ 입니다. 그러나 $n=0$ 일 때에는 $\varepsilon$ 에 의한 사상 $H_{0}(X)\to\mathbb{Z}$ 의 핵이 $\widetilde{H}_{0}(X)$ 이므로, $H_{0}(X)\cong\widetilde{H}_{0}(X)\oplus\mathbb{Z}$ 입니다.

이는 보통 편의를 위해 덧붙인 것에 불과합니다. 예를 들어, $X$ 가 수축 가능하면 그 축소 호몰로지 군이 모두 소멸한다는 뜻이며, 따라서 $n=0$ 인 특수한 경우를 계속 신경 쓸 필요가 없습니다.

질문 71.4.4.

앞서 $H_{n}(S^{m})$ 에 대해 주장한 내용을 바탕으로 할 때, $\widetilde{H}_{n}(S^{m})$ 은 무엇이어야 합니까?

예제 71.4.5 (상대 사슬군).

$X$ 가 위상 공간이고 $A\subseteq X$ 가 부분공간이라고 합시다. 다음과 같이 정의하여 $A$ 에 대한 “몫을 취할” 수 있습니다.

C_{n}(X,A)\coloneqq C_{n}(X)/C_{n}(A)

이를 모든 $n$ 에 대해 정의합니다. 따라서 전적으로 $A$ 에 포함된 사슬은 자명합니다.

그러면 $C_{n}(X)$ 위의 통상적인 $\partial$ 가 새로운 사슬 복합체를 생성합니다.

\dots\xrightarrow{\partial}C_{n+1}(X,A)\xrightarrow{\partial}C_{n}(X,A)% \xrightarrow{\partial}C_{n-1}(X,A)\xrightarrow{\partial}\dots.

$\partial$ 가 $C_{n}(A)$ 를 $C_{n-1}(A)$ 안으로 보내므로, 이는 잘 정의됩니다.

정의 71.4.6.

상대 사슬 복합체의 호몰로지 군을 상대 호몰로지 군이라고 하며 $H_{n}(X,A)$ 로 나타냅니다.

한 가지 순진한 추측은 이것이 $H_{n}(X)/H_{n}(A)$ 와 같으리라는 것입니다. 이는 참이 아니며 일반적으로는 말조차 되지 않습니다. $X$ 를 $\mathbb{R}^{2}$ 로, $A=S^{1}$ 을 그 안의 원으로 잡으면 $H_{1}(X)=H_{1}(\mathbb{R}^{2})=0$ 이고 $H_{1}(S^{1})=\mathbb{Z}$ 입니다.

또 다른 추측은 $H_{n}(X,A)$ 가 그냥 $\widetilde{H}_{n}(X/A)$ 일 수도 있다는 것입니다. 이는 대부분의 적당한 공간 $X$ 와 $A$ 에 대해 참임이 밝혀질 것이며, 장 73에서 절제 정리에 이르렀을 때 이를 논의하겠습니다.

예제 71.4.7 (마이어-비토리스 열).

공간 $X$ 가 두 열린집합 $U$ 와 $V$ 로 덮인다고 가정합시다. $C_{n}(U+V)$ 를 다음과 같이 정의할 수 있습니다. 이는 각 단체의 상이 $U$ 에 완전히 포함되거나 $V$ 에 완전히 포함되는 사슬들로 이루어집니다.

물론 그러면 $\partial$ 가 또 다른 사슬 복합체를 정의합니다.

\dots\xrightarrow{\partial}C_{n+1}(U+V)\xrightarrow{\partial}C_{n}(U+V)% \xrightarrow{\partial}C_{n-1}(U+V)\xrightarrow{\partial}\dots.

따라서 다시 한번 이 복합체에 대해 호몰로지 군을 정의할 수 있으며, 이를 $H_{n}(U+V)$ 로 나타냅니다. 놀랍게도 $H_{n}(U+V)\cong H_{n}(X)$ 임이 밝혀질 것입니다.

71.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 71A.

$n\geq 1$ 에 대해, 다음 합성이

S^{n-1}\hookrightarrow D^{n}\xrightarrow{F}S^{n-1}

어떤 연속인 $F$ 에 대해서도 $S^{n-1}$ 위의 항등 사상이 될 수 없음을 보이십시오.

힌트. $n-1$ 번째 호몰로지 군을 취하십시오.

풀이. 함자 $H_{n-1}$ 을 적용하면 합성 $\mathbb{Z}\to 0\to\mathbb{Z}$ 가 항등 사상이라는 결론을 얻는데, 이는 명백히 불가능합니다.

문제 71B (브라우어르 고정점 정리).

앞의 문제를 이용하여 임의의 연속함수 $f\colon D^{n}\to D^{n}$ 이 고정점을 가짐을 증명하십시오.

힌트. $F$ 를 다음과 같이 구성하십시오. $x$ 에서 $f(x)$ 를 지나는 반직선을 긋고, 이를 경계 $S^{n-1}$ 과 교차시키십시오.

	$\displaystyle\partial(\partial(\sigma^{2}))$	$\displaystyle=\partial([v_{0},v_{1}])-\partial([v_{0},v_{2}])+\partial([v_{1},% v_{2}])$
		$\displaystyle=\left([v_{1}]-[v_{0}]\right)-\left([v_{2}]-[v_{0}]\right)+\left(% [v_{2}]-[v_{1}]\right)$
		$\displaystyle=0.$