장 87 국소환 달린 공간의 사상

국소환 달린 공간의 정의를 세웠으니, 이제 이들 사이의 사상을 정의할 준비가 거의 되었습니다. 이 장 전체에 걸쳐 여러분의 환 달린 공간은 우리가 그토록 공들여 정의한 아핀 스킴이라고 상상하십시오. 하지만 임의의 국소환 달린 공간이라는 일반적인 상황에서 다루어도 달라지는 것은 없습니다.

87.1 단면을 통한 환 달린 공간의 사상

$(X,\mathcal{O}_{X})$ 와 $(Y,\mathcal{O}_{Y})$ 를 환 달린 공간이라고 합시다. 우리는 이들 사이에 함수 $\pi\colon X\to Y$ 가 있다는 것이 무엇을 뜻하는지 정의하고자 합니다.¹¹1표기상의 함의: 환 달린 공간에 대해서는 $f$ 가 흔히 단면을 나타내는 데 쓰이므로, 사상에는 $\pi$ 를 사용하겠습니다. 먼저 이 사상이 연속이기를 요구하는 것으로 시작하지만, 이것으로는 충분하지 않습니다. 그 위에 층이 얹혀 있기 때문입니다!

자, 아기 환 달린 공간에 대해 우리가 무엇을 했는지 기억하실 것입니다. 열린집합 $U\subseteq Y$ 위에 함수가 있을 때마다, 우리는 $\pi^{\text{pre}}(U)\subseteq X$ 위에도 그와 유사한 함수가 있기를 원했습니다. 아기 환 달린 공간의 경우에는 층의 원소가 실제로 복소수 값 함수였으므로, 이는 합성으로 이루어졌습니다:

\pi^{\sharp}\phi\text{로 정의되었습니다}\phi\circ\pi.

결론적으로 모든 열린집합 $U$ 에 대해 사상 $\mathcal{O}_{Y}(U)\to\mathcal{O}_{X}(\pi^{\text{pre}}(U))$ 를 얻었습니다.

그런데 일반적인 국소환 달린 공간에서는 단면이 그저 임의의 환일 뿐이며, 그다지 성질이 좋지 않을 수도 있습니다. 따라서 해결책은 $\pi^{\sharp}$ 라는 데이터를 사상의 정의의 일부로 포함시키는 것입니다.

비고 87.1.1.

예제 87.4.2에서 보겠지만, 사상이 위상 공간 사이의 사상에 의해 유일하게 결정되는 대수다양체의 상황과 달리, 여기서는 $\pi^{\sharp}$ 가 사상 $\pi$ 에 의해 반드시 유일하게 결정되지는 않습니다. 따라서 $\pi^{\sharp}$ 를 포함시키는 것이 필요합니다.

정의 87.1.2.

환 달린 공간의 사상 $(X,\mathcal{O}_{X})\to(Y,\mathcal{O}_{Y})$ 는 순서쌍 $(\pi,\pi^{\sharp})$ 로 이루어지며, 여기서 $\pi\colon X\to Y$ 는 (위상 공간 사이의) 연속 사상이고, $\pi^{\sharp}$ 는 환 준동형사상

\pi^{\sharp}_{U}\colon\mathcal{O}_{Y}(U)\to\mathcal{O}_{X}(\pi^{\text{pre}}(U))

을 모든 열린집합 $U\subseteq Y$ 에 대해 선택한 것으로 이루어지며, 이때 제한 도식

은 $V\subseteq U$ 에 대해 가환해야 합니다.

표기의 남용 87.1.3.

이 표기가 위상 공간에 대한 표기와 정확히 같음에도 불구하고, $(\pi,\pi^{\sharp})\colon(X,\mathcal{O}_{X})\to(Y,\mathcal{O}_{Y})$ 를 간단히 $\pi\colon X\to Y$ 로 줄여 쓰겠습니다.

자명한 항등 사상이 있으므로, 동형사상 등도 범주론적인 방식으로 정의할 수 있습니다.

87.2 줄기를 통한 환 달린 공간의 사상

이제 우리가 국소화를 사랑하게 된 만큼, 놀랍지 않게도 단면은 줄기보다 다루기가 더 번거롭습니다. 따라서 모든 열린집합 $U$ 에서 $\pi^{\sharp}_{U}$ 를 지정하는 대신 줄기를 통해 이를 할 수 있다면 더 좋을 것 같습니다(줄기는 열린집합보다 적으므로, 이렇게 하면 많은 수고를 덜 수 있습니다!).

먼저 줄기의 사상을 실제로 얻는다는 것을 관찰하는 것으로 시작합니다.

명제 87.2.1 (유도된 줄기 사상).

$\pi\colon X\to Y$ 가 $\pi(p)=q$ 인 환 달린 공간의 사상이라면, 다음 사상

\pi_{p}^{\sharp}\colon\mathcal{O}_{Y,q}\to\mathcal{O}_{X,p}

을 $\pi(p)=q$ 일 때마다 얻습니다.

이는 국소환 달린 공간의 사상을 위상 공간 위의 연속 사상과 함께, 각 $\pi(p)=q$ 에 대해 $q$ 에서의 각 싹을 $p$ 에서의 싹에 대응시키는 할당으로 그릴 수 있다는 뜻입니다.

다시 한번, 이를 당겨오기 그림과 비교해 보십시오. 이는 대략 함수 $f$ 가 $q$ 에서 어떤 풍부해진 값을 가진다면, $\pi^{\sharp}(f)$ 에는 $p$ 에서 그에 대응하는 풍부해진 값이 할당되어야 한다는 뜻입니다. 일반적으로 $q$ 와 $p$ 에서의 줄기가 서로 다른 환일 수 있으므로 이 비유는 완벽하지 않지만, 적어도 환 준동형사상(할당)은 있어야 합니다.

증명.

$(s,U)$ 가 $q$ 에서의 싹이라면 $(\pi^{\sharp}(s),\pi^{\text{pre}}(U))$ 는 $p$ 에서의 싹이며, 제한과의 호환성 덕분에 이는 잘 정의된 사상입니다. ∎

다음과 같은 의미에서의 유일성은 이미 자명하게 성립합니다.

명제 87.2.2 (줄기를 통한 사상의 유일성).

환 달린 공간의 사상 $(\pi,\pi^{\sharp})\colon(X,\mathcal{O}_{X})\to(Y,\mathcal{O}_{Y})$ 와 이에 대응하는 줄기의 사상 $\pi^{\sharp}_{p}$ 를 생각하십시오. 그러면 $\pi^{\sharp}$ 는 $\pi^{\sharp}_{p}$ 에 의해 유일하게 결정됩니다.

증명.

단면 $s\in\mathcal{O}_{Y}(U)$ 가 주어졌을 때, 다음과 같이 둡시다.

t=\pi^{\sharp}_{U}(s)\in\mathcal{O}_{X}(\pi^{\text{pre}}(U))

$\pi^{\sharp}$ 에 의한 상을 나타냅니다.

각 $p\in\pi^{\text{pre}}(U)$ 에 대하여 $t_{p}$ 는 정의에 의해 $\pi^{\sharp}_{p}(t)$ 와 같으므로 우리는 $t_{p}$ 를 알고 있습니다. 즉, $t$ 의 모든 싹을 알고 있습니다. 따라서 $t$ 를 알고 있습니다. ∎

그러나 줄기 사상을 아무렇게나 고른다고 해서 모두 $\pi^{\sharp}_{U}$ 로 이어지지는 않는다는 점은 분명해 보입니다. 일종의 “연속성” 또는 “호환성”이 필요합니다. 실제로 이를 명시적인 진술로 적을 수도 있습니다. $U$ 위의 호환되는 싹들의 열은 각각 $\pi^{\text{pre}}(U)$ 위의 호환되는 싹들의 열로 보내져야 합니다. 지금은 이에 대한 형식적인 진술을 내세우지 않겠습니다. 진술이 어색하기도 하고, 곧 실제 사례에서 보게 될 것이기 때문입니다(그때가 더 이해가 잘 될 것입니다).

비고 87.2.3 (동형사상은 줄기에 의해 결정됩니다).

증명하지는 않겠지만 언급할 가치가 있고 알아 두면 좋은 사실이 하나 있습니다. 환 달린 공간의 사상 $(\pi,\pi^{\sharp})\colon(X,\mathcal{O}_{X})\to(Y,\mathcal{O}_{Y})$ 가 동형사상일 필요충분조건은 $\pi$ 가 위상동형사상이고, 나아가 각 $p\in X$ 에 대하여 $\pi^{\sharp}_{p}$ 가 동형사상인 것입니다.

87.3 국소환 달린 공간의 사상

한편, 우리는 줄기가 국소환이라는 것을 보았으며, 이 덕분에 실제로 값에 대해 이야기할 수 있습니다. 그래서 값이라는 개념이 보존되도록 양립성 조건을 하나 더 추가하려고 합니다. 앞의 그림에서 $p$ 와 $q$ 에서의 줄기는 서로 다를 수 있으므로, $\kappa(p)$ 와 $\kappa(q)$ 는 심지어 서로 다른 체일 수도 있습니다.

정의 87.3.1.

국소환 달린 공간의 사상이란 다음과 같은 추가 성질을 갖는 환 달린 공간의 사상 $\pi\colon X\to Y$ 입니다. $\pi(p)=q$ 일 때마다, 줄기에서의 사상이 다음과 같은 잘 정의된 환 준동형사상도 유도합니다.

\pi^{\sharp}_{p}\colon\kappa(q)\to\kappa(p).

즉, $\pi^{\sharp}_{p}$ 가 잉여체 위의 체 준동형사상²²2문제 5B에 의해 이는 자동으로 단사임을 뜻합니다.을 유도할 것을 요구합니다. 특히 $\pi^{\sharp}(0)=0$ 이므로, 이는 매우 중요한 사실을 의미합니다.

국소환 달린 공간의 사상에서, 어떤 싹이 $q$ 에서 소멸할 필요충분조건은 대응하는 싹이 $p$ 에서 소멸하는 것입니다.

연습문제 87.3.2 (이른바 “국소환 준동형사상”).

이것이 다음 조건을 요구하는 것과 동치임을 보이십시오.

(\pi^{\sharp}_{p})^{\text{img}}(\mathfrak{m}_{Y,q})\subseteq\mathfrak{m}_{X,p}

말로 풀면, $q$ 에서의 싹이 값 0을 가질 필요충분조건은 대응하는 $p$ 에서의 싹이 값 0을 가지는 것입니다.

저는 $(\pi^{\sharp})^{\text{img}}(\mathfrak{m}_{Y,q})\subseteq\mathfrak{m}_{X,p}$ 라는 이 표현을 그다지 좋아하지 않는데, 많은 기호 뒤에 기하학적 직관, 즉 “한 점에서의 값”이라는 개념이 어떤 식으로든 보존되기를 바란다는 직관을 숨기기 때문입니다.

이 시점에서 스킴의 정의를 서술할 수 있으므로 서술하겠습니다. 다만 앞으로 몇 절 동안은 이를 실제로 사용하지 않을 것입니다.

정의 87.3.3.

스킴이란 모든 점이 아핀 스킴과 동형인 열린 근방을 갖는 국소환 달린 공간입니다. 스킴의 사상은 단순히 국소환 달린 공간의 사상입니다.

특히 $\operatorname{Spec}A$ 는 스킴입니다(열린 근방으로 공간 전체를 잡으면 됩니다!). 그러니 이것들부터 살펴봅시다.

87.4 아핀 스킴 사이의 사상의 몇 가지 예

좋습니다, 앞의 몇 개 절에서 예시가 부족했던 점에 대해 사과드립니다. 이제 그것을 만회하도록 합시다. 여기서 모든 구성 요소가 실제로 작용하는 모습을 볼 수 있습니다.

87.4.1 한 점 스킴

예제 87.4.1 ( $\operatorname{Spec}\mathbb{R}$ 은 얌전합니다).

사상 $X=\operatorname{Spec}\mathbb{R}\to\operatorname{Spec}\mathbb{R}=Y$ 는 단 하나뿐입니다. 실제로 이들은 점이 하나인 공간이며, $\mathbb{R}$ 의 체 자기동형사상은 하나(항등사상)뿐이므로 사상 $\mathbb{R}=\mathcal{O}_{Y}(Y)\to\mathcal{O}_{X}(X)=\mathbb{R}$ 를 지정하는 방법은 한 가지뿐입니다.

예제 87.4.2 ( $\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ 공포 이야기).

끔찍하게도, 사상 $X=\operatorname{Spec}\mathbb{C}\to\operatorname{Spec}\mathbb{C}=Y$ 는 여러 개 존재합니다! 실제로 이들은 점이 하나뿐인 공간이므로, 이번에도 사상 $\mathbb{C}=\mathcal{O}_{Y}(Y)\to\mathcal{O}_{X}(X)=\mathbb{C}$ 를 지정하는 문제로 귀결될 뿐입니다. 그런데 항등 사상 외에도 복소켤레가 가능하며, $\mathbb{C}$ 의 이른바 “야생 자기동형사상”들도 가능합니다.

이런 현상은 분명히 끔찍하므로, 설명을 위해 일부 예에서는 방금 본 공포 이야기를 피하고자 $\mathbb{C}$ 대신 $\mathbb{R}$ 을 사용합니다. 다만 나중에 “ $\mathbb{C}$ 위의 스킴”을 사용하는 간단한 해결책이 있으며, 이는 환 준동형사상이 $\mathbb{C}$ 를 고정하도록 강제합니다.

예제 87.4.3 ( $\operatorname{Spec}k$ 와 $\operatorname{Spec}k^{\prime}$ ).

일반적으로 $k$ 와 $k^{\prime}$ 이 체이면, 사상 $\operatorname{Spec}k\to\operatorname{Spec}k^{\prime}$ 은 체 준동형사상 $k^{\prime}\to k$ 와 전단사 대응임을 알 수 있습니다. 지정해야 할 것이 그것뿐이기 때문입니다.

87.4.2 상수 사상의 예

예제 87.4.4 ( $(y-3)$ 로 가는 상수 사상).

다음과 같은 스킴 사상을 분석합니다

X=\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]\xrightarrow{\pi}\operatorname{Spec}\mathbb{% R}[y]=Y

이 사상은 $X$ 의 모든 점을 $\mathfrak{m}=(y-3)\in Y$ 로 보냅니다. 상수 사상은 위상이 아무리 기이하더라도 연속이므로, 우리는 단면에만 주의를 집중하면 됩니다.

저는 줄기가 더 간단하다고 생각하지만, 이 예는 충분히 간단하므로 단면으로도 처리할 수 있습니다. $U$ 를 $Y$ 의 임의의 열린 부분집합이라고 하면, 다음 사상을 지정해야 합니다

\pi^{\sharp}_{U}\colon\mathcal{O}_{Y}(U)\to\mathcal{O}_{X}(\pi^{\text{pre}}(U)).

$U$ 가 $(y-3)$ 을 포함하지 않으면 $\pi^{\text{pre}}(U)=\varnothing$ 이므로 $\mathcal{O}_{X}(\varnothing)=0$ 은 영환이고, 할 일이 없습니다.

반대로 $U$ 가 $(y-3)$ 을 포함하면 $\pi^{\text{pre}}(U)=X$ 이므로, 이번에는 다음 사상을 지정해야 합니다

\pi^{\sharp}_{U}\colon\mathcal{O}_{Y}(U)\to\mathcal{O}_{X}(X)=\mathbb{R}[x]

이 사상은 제한 사상과 호환되어야 합니다. 임의의 $U$ 에 대해 원소 $y$ 는 $\mathbb{R}[x]$ 의 단원으로 보내져야 한다는 점에 주의하십시오. $(y)$ 를 포함하지 않는 $U$ 의 부분집합에서는 $1/y$ 도 단면이기 때문입니다. 더 자세히 말하면, $(y)\notin W$ 가 되도록 $W=U\cap D(y)$ 라고 두면 다음이 성립합니다

\pi^{\sharp}_{W}(y)=\pi^{\sharp}_{U}(y)\quad\text{그리고}\quad\pi^{\sharp}_{W}(y)% \pi^{\sharp}_{W}(1/y)=1.

사실 $c\neq 3$ 인 임의의 실수 $c$ 에 대해 $y-c$ 는 $\mathbb{R}[x]$ 의 단원으로 보내져야 합니다. 이는 $y\mapsto 3\in\mathbb{R}[x]$ 인 경우에만 가능합니다.

$y\mapsto 3$ 으로 $\mathbb{R}[y]\mapsto\mathbb{R}[x]$ 를 지정했으므로, 이로써 필요한 모든 환 준동형사상이 결정됩니다.

하지만 줄기를 사용할 수도 있었습니다. 우리는 다음 사상을 지정하고자 했습니다

\mathbb{R}[y]_{(y-3)}=\mathcal{O}_{Y,(y-3)}\to\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}

이 사상은 모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해 호환되는 싹을 호환되는 싹으로 보냅니다…그런데 잠깐, $(y-3)$ 이 모든 싹을 쏟아내고 있습니다. 따라서 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}Y,(y-3)}$ 의 각각의 싹은 $\operatorname{Spec}X$ 의 모든 점 위에서 (호환되는) 싹을 만들어 내야 하며, 이는 대역적 단면 전체의 데이터입니다. 따라서 실제로 우리가 지정하려는 것은 다음과 같습니다

\mathbb{R}[y]_{(y-3)}=\mathcal{O}_{Y,(y-3)}\to\mathcal{O}_{X}(X)=\mathbb{R}[x].

앞에서 보았듯이 $c\neq 3$ 인 임의의 $c$ 에 대해 $y-c$ 는 $\mathbb{R}[x]$ 의 단원이므로, 이를 위해서는 $y\mapsto 3$ 이어야 합니다.

예제 87.4.5 ( $(y^{2}+1)$ 로 가는 상수 사상은 존재하지 않음).

모든 것을 $(y^{2}+1)$ 로 보내는 상수 사상 $X=\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]\to\operatorname{Spec}\mathbb{R}[y]=Y$ 가 있는지 살펴봅시다. 앞의 예를 그대로 따라 하면, 다음을 원한다는 것을 알 수 있습니다

\mathcal{O}_{Y}(U)\to\mathcal{O}_{X}(X)=\mathbb{R}[x].

$y$ 와 $1/y$ 는 갈 곳이 없다는 것을 알 수 있습니다. 지난번과 같은 논증에 의해 $y-c$ 는 $\mathbb{R}[x]$ 의 단원이어야 하는데, 이번에는 임의의 실수 $c$ 에 대해 그러합니다.

이번에도 줄기를 사용하여 이를 보일 수 있으며, 심지어 잉여체만으로도 충분합니다. 예를 들어 다음과 같은 체 준동형사상이 필요할 것입니다

\mathbb{C}=\kappa((y^{2}+1))\to\kappa((x))=\mathbb{R}

그러나 그러한 준동형사상은 존재하지 않습니다.

여러분은 이미 다음 사실을 눈치챘을 수도 있습니다:

예제 87.4.6 (일반점은 더 작은 점을 밀어냅니다).

분위기를 바꾸어 사상 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]\to\operatorname{Spec}\mathbb{C}[y]$ 를 생각합시다. $\mathfrak{m}$ 이 $\mathbb{C}[x]$ 의 극대 아이디얼(닫힌 점)이면, $\mathfrak{m}$ 은 결코 $\mathbb{C}[y]$ 의 일반점 $(0)$ 으로 보내질 수 없다고 주장합니다.

그렇지 않다면 다음과 같은 국소환 준동형사상을 얻게 됩니다

\mathbb{C}(y)\cong\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}\mathbb{C}[y],(0)}\to% \mathcal{O}_{\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x],\mathfrak{m}}\cong\mathbb{C}[x]_% {\mathfrak{m}}

이는 특히 잉여체 사이에 다음 사상이 있다는 뜻입니다

\mathbb{C}(y)\to\mathbb{C}[x]/\mathfrak{m}\cong\mathbb{C}

그런데 이는 불가능합니다. 그러한 체 준동형사상은 전혀 존재하지 않습니다(왜 그렇습니까?).

마지막 예는 일반적으로 좋은 직관을 줍니다. “더 일반적인” 점은 “덜 일반적인” 점보다 더 큰 줄기를 갖는 경향이 있으므로, 그러한 점을 밀어냅니다.

87.4.3 사상 $t\mapsto t^{2}$

이제 우리가 사상 $t\mapsto t^{2}$ 라고 생각할 만한 것을 살펴봅니다.

예제 87.4.7 (사상 $t\mapsto t^{2}$ ).

다음 사상을 생각합니다

\pi\colon X=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]\to\operatorname{Spec}\mathbb{C}[y% ]=Y

점에서는 다음과 같이 정의됩니다:

	$\displaystyle\pi\left((0)\right)$	$\displaystyle=(0)$
	$\displaystyle\pi\left((x-a)\right)$	$\displaystyle=(y-a^{2}).$

원하신다면 이 사상이 연속임을 확인해 보셔도 됩니다. 놀랍게도 점에서의 이 동작만으로 실제로 $\pi^{\sharp}$ 를 읽어낼 수 있다고 주장합니다. 그 이유는 $\pi(\mathfrak{p})=\mathfrak{q}$ 일 때, 단면 $s$ 가 $\mathfrak{q}\in Y$ 에서 소멸하는 것과 $\pi^{\sharp}_{X}(s)$ 가 $\mathfrak{p}\in X$ 에서 소멸하는 것이 동치라는 조건을 부과했기 때문입니다. 그러면 이제 다음과 같습니다:

•

$(y)\in\operatorname{Spec}\mathbb{C}[y]$ 에서만 소멸하는 단면 $y\in\mathcal{O}_{Y}(Y)$ 를 생각하십시오. 그러면 그 상 $\pi^{\sharp}_{Y}(y)\in\mathcal{O}_{X}(X)$ 는 정확히 $(x)\in\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 에서 소멸해야 하므로, 어떤 정수 $n\geq 1$ 에 대해 $\pi^{\sharp}_{Y}(y)=x^{n}$ 입니다.
•

$(y-4)\in\operatorname{Spec}\mathbb{C}[y]$ 에서만 소멸하는 단면 $y-4\in\mathcal{O}_{Y}(Y)$ 를 생각하십시오. 그러면 그 상 $\pi^{\sharp}_{Y}(y-4)\in\mathcal{O}_{X}(X)$ 는 정확히 $(x-2)\in\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 와 $(x+2)\in\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 에서 소멸해야 합니다. 따라서 어떤 $a\geq 1$ 과 $b\geq 1$ 에 대해 $\pi^{\sharp}_{Y}(y)-4$ 는 $(x-2)^{a}(x+2)^{b}$ 로 나누어떨어집니다.

따라서 최상위 단면 사상 $\pi^{\sharp}_{Y}$ 에서 $y\mapsto x^{2}$ 이며, 그러므로 모든 단면 사상에서도(그리고 모든 줄기에서도) 마찬가지입니다.

위의 예시는 $t^{2}$ 을 어떤 다항식 $f(t)$ 로 바꾸어도 똑같이 성립하며, 이때 $(x-a)$ 는 $(y-f(a))$ 로 가는 사상에 의해 보내집니다. $y$ 의 상은 모든 $c\in\mathbb{C}$ 에 대하여 $g(x)-c$ 가 $f(x)-c$ 와 같은 근을 갖는다는 성질을 만족하는 다항식 $g(x)$ 여야 합니다. 다른 말로 하면, $f$ 와 $g$ 는 같은 값을 가지므로 $f=g$ 입니다.

비고 87.4.8 (일반점 줄기의 막강한 위력).

또한 일반점에서의 줄기만으로도 다항식을 읽어낼 수 있다는 점을 짚고 넘어가고자 합니다. 예를 들어 앞의 예에서는 다음과 같습니다:

\mathbb{C}(y)\cong\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}\mathbb{C}[y],(0)}\to% \mathcal{O}_{\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x],(0)}\cong\mathbb{C}(x)\qquad y% \mapsto x^{2}.

이것이 일반점이 그토록 강력한 이유 중 하나입니다. 다항식의 경우, “일반적인” 점에 무슨 일이 일어나는지 알면 사상 전체를 알아낼 수 있으리라 기대합니다. 이 직관은 옳습니다. 일반점에서의 각 싹이 어디로 가는지 아는 것만으로 사상 전체를 알 수 있습니다.

87.4.4 산술적인 예

예제 87.4.9 ( $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ ).

이제 스킴의 사상 $\pi\colon\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 를 구성합니다. 점에서는 다음과 같이 동작합니다

	$\displaystyle\pi\left((0)\right)$	$\displaystyle=(0)$
	$\displaystyle\pi\left((p)\right)$	$\displaystyle=(p)$
	$\displaystyle\pi\left((a+bi)\right)$	$\displaystyle=(a^{2}+b^{2})$

여기서 $a+bi$ 는 가우스 소수입니다. 따라서 예를 들어 $\pi((2+i))=(5)$ 이고 $\pi((1+i))=(2)$ 입니다. 앞에서와 마찬가지로 지금 줄기 위의 유도된 사상을 알아낼 수도 있지만, 곧 이런 수고를 덜어 주는 큰 정리를 얻게 됩니다.

87.5 큰 정리

지금까지 국소환 달린 공간 사이의 사상의 모든 데이터를 명시하면서 $\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B$ 의 예 몇 가지를 손으로 다루었습니다. 그런데 사실은 그렇게 많은 데이터를 명시할 필요가 없었으며, 이 과정의 상당 부분을 자동화할 수 있음이 밝혀집니다:

명제 87.5.1 (아핀 재구성).

$\pi\colon\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B$ 를 스킴 사이의 사상이라 합시다. $\psi\colon B\to A$ 를 대역적 단면을 취하여 얻은 환 준동형사상이라 합시다. 즉,

\psi=\pi^{\sharp}_{B}\colon\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}B}(\operatorname{% Spec}B)\to\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}(\operatorname{Spec}A).

그러면 $\psi$ 만 주어져도 $\pi$ 를 복원할 수 있습니다. 사실 $\pi$ 는 다음과 같이 명시적으로 주어집니다

\pi(\mathfrak{p})=\psi^{\text{pre}}(\mathfrak{p})

그리고

\pi^{\sharp}_{\mathfrak{p}}\colon\mathcal{O}_{Y,\pi(\mathfrak{p})}\to\mathcal{% O}_{X,\mathfrak{p}}\quad\text{에 의해}\quad f/g\mapsto\psi(f)/\psi(g).

이것이 아핀 스킴의 큰 기적입니다. 정의에 엄청난 양의 데이터가 담겨 있음에도 불구하고, 아핀 스킴 사이의 사상을 최상위의 환 준동형사상 하나로 압축할 수 있습니다.

증명.

이를 위해서는 두 부분이 필요합니다.

•

사상들이 점에서 일치함을 확인해야 합니다. 놀랍게도 이쪽이 더 어려운 절반입니다. 어떻게 되는지 보기 위해 $\mathfrak{q}=\pi(\mathfrak{p})$ 라 합시다. 핵심 사실은 함수 $f\in B$ 가 $\mathfrak{q}$ 에서 소멸하는 것과 $\pi^{\sharp}_{B}(f)$ 가 $\mathfrak{p}$ 에서 소멸하는 것이 동치라는 것입니다( $\pi^{\sharp}_{B}$ 는 국소환의 준동형사상이어야 하기 때문입니다). 따라서,

	$\displaystyle\pi(\mathfrak{p})$	$\displaystyle=\mathfrak{q}=\left\{f\in B\mid f\in\mathfrak{q}\right\}$
		$\displaystyle=\left\{f\in B\mid f\text{에서 소멸하는}\mathfrak{q}\right\}$
		$\displaystyle=\left\{f\in B\mid\pi^{\sharp}_{B}(f)\text{에서 소멸하는}\mathfrak{p}\right\}$
		$\displaystyle=\left\{f\in B\mid\pi^{\sharp}_{B}(f)\in\mathfrak{p}\right\}=% \left\{f\in B\mid\psi(f)\in\mathfrak{p}\right\}$
		$\displaystyle=\psi^{\text{pre}}(\mathfrak{p}).$

•

또한 줄기 위의 사상들이 같은지도 확인하고자 합니다. $\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A$ , $\mathfrak{q}\in\operatorname{Spec}B$ 이고 (위의 두 사상 모두에 의해) $\mathfrak{p}\mapsto\mathfrak{q}$ 라고 가정합시다.

원래의 $\pi$ 에서 사상 $\pi^{\sharp}_{\mathfrak{p}}\colon B_{\mathfrak{q}}\to A_{\mathfrak{p}}$ 를 생각하십시오. 각 대역적 단면 $f\in B$ 의 $\mathfrak{q}$ 에서의 싹을 취함으로써, 이 사상이 각 $f\in B$ 를 $\psi(f)\in A$ 로 보낸다는 것을 압니다. 따라서 이 사상은 환 준동형사상이므로, 필요한 대로 $f/g$ 를 $\psi(f)/\psi(g)$ 로 보내야 합니다. ∎

이 모든 것은 훌륭한 아이디어를 시사합니다. $\psi\colon B\to A$ 가 임의의 환 준동형사상이라면, 방금 찾은 증명의 일부를 사용하여 스킴의 사상을 구성할 수 있어야 합니다. 추가로 해야 할 일은 자리스키 위상에서 연속 사상을 얻는다는 것과 적절한 $\pi^{\sharp}$ 를 얻을 수 있다는 것을 확인하는 것뿐입니다.

이리하여 아핀 스킴에 관한 매우 중요한 정리를 얻습니다.

정리 87.5.2 ( $\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B$ 는 곧 $B\to A$ 입니다).

이 두 구성은 환 준동형사상 $B\to A$ 와 $\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B$ 사이의 전단사를 줍니다.

증명.

각 $\pi\colon\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B$ 로부터 환 준동형사상 $\psi$ 를 얻는 방법은 앞에서 보았습니다. 명제 87.5.1은 이 대응이 단사임을 보여 줍니다. 따라서 이 대응이 전사임을, 즉 모든 $\psi$ 가 어떤 $\pi$ 로부터 얻어짐을 확인하기만 하면 됩니다.

$\psi\colon B\to A$ 가 주어지면, 명제 87.5.1을 그대로 따라 하고 모든 것이 잘 정의되는지 확인하여 $(\pi,\pi^{\sharp})\colon\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B$ 를 정의합니다. 자세한 내용은 다음과 같습니다.

•

각 소 아이디얼 $\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A$ 에 대해 $\pi(\mathfrak{p})=\psi^{\text{pre}}(\mathfrak{p})\in\operatorname{Spec}B$ 로 둡니다(문제 5C에 의해 이것 역시 소 아이디얼입니다).

연습문제 87.5.3.

이렇게 얻은 사상 $\pi$ 가 자리스키 위상에서 연속임을 보이십시오.
•

이제 줄기 위의 사상도 정의하고자 하므로, 각 $\pi(\mathfrak{p})=\mathfrak{q}$ 에 대해 다음과 같이 놓습니다.

$B_{\mathfrak{q}}\ni\frac{f}{g}\mapsto\frac{\psi(f)}{\psi(g)}\in A_{\mathfrak{p% }}.$

$g\notin\mathfrak{q}\implies\psi(g)\notin\mathfrak{p}$ 이므로 이는 의미가 있습니다. 또한 $f\in\mathfrak{q}\implies\psi(f)\in\mathfrak{p}$ 이므로, 이것이 실제로 국소환 준동형사상임(즉 $B_{\mathfrak{q}}$ 의 극대 아이디얼을 $A_{\mathfrak{p}}$ 의 극대 아이디얼 안으로 보냄)을 알 수 있습니다.

$f/g$ 가 열린집합 $U\subseteq B$ 위의 단면이면( $g$ 가 $U$ 의 소 아이디얼들에서 소멸하지 않는다는 뜻입니다), $\psi(f)/\psi(g)$ 는 $\pi^{\text{pre}}(U)$ 위의 단면이 됨( $\psi(g)$ 가 $\pi^{\text{pre}}(U)$ 의 소 아이디얼들에서 소멸하지 않는다는 뜻입니다)을 관찰하십시오. 따라서 필요한 대로, $B$ 위의 서로 호환되는 싹들은 $A$ 위의 서로 호환되는 싹들로 보내집니다.

마지막으로, 이렇게 얻은 $\pi$ 는 대역적 단면에서 $\pi^{\sharp}_{B}=\psi$ 를 만족하므로 증명이 완료됩니다. ∎

이는 범주론을 사용하여 간결하게 요약할 수 있습니다.

따름정리 87.5.4 (범주론적 해석).

환의 반대 범주 $\mathsf{CRing}^{\mathrm{op}}$ 는 $\operatorname{Spec}$ 을 함자로 하여 아핀 스킴의 범주 $\mathsf{AffSch}$ 와 “동치”입니다.

이는 예를 들어 $A\cong B$ 일 때마다 자연스럽게 $\operatorname{Spec}A\cong\operatorname{Spec}B$ 임을 뜻합니다.

이 정리가 중요하다는 것을 확실히 깨닫도록, 대수기하학 참고 문헌에 관해 찾아보다가 MathOverflow에서 발견한 재미있는 댓글을 소개합니다³³3출처: https://mathoverflow.net/q/2446/70654..

제가 보기에 그[Hartshorne]는 아핀 스킴의 범주가 환의 범주와 쌍대라는 사실을 한 번도 언급하지 않습니다. 저라면 스킴의 정의 근처에 그 사실이 커다란 글자로 적혀 있기를 기대하겠습니다. 어떻게 그것을 빠뜨릴 수 있습니까?

87.6 스킴 사상의 더 많은 예

이제 강력한 도구를 갖추었으므로, 몇 절 전보다 훨씬 간단하게 예들을 다룰 수 있습니다. 본격적으로 다루기 전에, $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 가 자명하지 않은 체 자기동형사상을 가져서 생겼던 이상한 현상을 없애 줄 정의를 하나 더 제시하겠습니다.

정의 87.6.1.

$S$ 를 스킴이라고 합시다. $S$ 위의 스킴 또는 $S$ -스킴은 스킴 $X$ 와 사상 $X\to S$ 의 쌍입니다. $S$ -스킴의 사상은 스킴 사상 $X\to Y$ 로서 다음 도식이 가환인 것입니다. $S=\operatorname{Spec}k$ 인 경우, $X$ 를 흔히 $k$ 위의 스킴 또는 줄여서 $k$ -스킴이라고 부르겠습니다.

예제 87.6.2 ( $\operatorname{Spec}k[\dots]$ ).

어떤 아이디얼 $I$ 에 대해 $X=\operatorname{Spec}k[x_{1},\dots,x_{n}]/I$ 이면, $X$ 는 자연스럽게 $k$ -스킴이 됩니다. 명백한 준동형사상 $k\hookrightarrow k[x_{1},\dots,x_{n}]/I$ 가 있고, 이것이 사상 $X\to\operatorname{Spec}k$ 를 주기 때문입니다.

예제 87.6.3 ( $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]\to\operatorname{Spec}\mathbb{C}[y]$ ).

$\mathbb{C}$ -스킴으로서의 사상 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]\to\operatorname{Spec}\mathbb{C}[y]$ 는 환 준동형사상 $\psi\colon\mathbb{C}[y]\to\mathbb{C}[x]$ 중에서 다음 도식이

가환이 되는 것과 일치합니다. “ $\mathbb{C}$ 위”라는 조건이 앞서 본 병리적 현상을 없애 준다는 것을 알 수 있습니다. $\psi$ 가 $\mathbb{C}$ 를 보존해야 하기 때문입니다. 따라서 사상은 $y$ 의 상, 즉 $\mathbb{C}[x]$ 의 다항식 하나를 고르는 것으로 결정됩니다. 예를 들어 $\psi(y)=x^{2}$ 이면 처음에 보았던 예를 다시 얻습니다. 이는 이러한 사상들이 다항식에 대응해야 한다는 우리의 직관과 일치합니다.

예제 87.6.4 ( $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{K}$ ).

이는 앞서 본 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]$ 를 일반화합니다. $K$ 가 수체이고 $\mathcal{O}_{K}$ 가 그 정수환이면, (유일한) 환 준동형사상 $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathcal{O}_{K}$ 로부터 자연스러운 사상 $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{K}\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 가 존재합니다. 각 유리 소수 $(p)\in\mathbb{Z}$ 위에는 $p$ 가 분해되어 생기는 소 아이디얼들이 놓입니다. (아쉽게도 아직은 분기를 포착할 방법이 없습니다.)

87.7 아핀 스킴이 아닌 스킴에 대하여 조금

마침내 오랫동안 원했던 동형사상(소절 85.2.3에서 처음 언급함)을 서술할 수 있습니다.

정리 87.7.1 (특수 열린집합은 아핀 스킴과 동형입니다).

$A$ 를 환이라 하고 $f$ 를 그 원소라 합시다. 그러면

\operatorname{Spec}A[1/f]\cong D(f)\subseteq\operatorname{Spec}A.

증명.

번거로운 확인 과정이므로 아직 싣지 않았습니다. (점 수준에서 소 아이디얼 사이의 전단사는 이미 살펴보았습니다.) ∎

따름정리 87.7.2 (열린 부분집합은 스킴입니다).

(a)

아핀 스킴의 공집합이 아닌 열린 부분집합은 그 자체로 스킴입니다.
(b)

임의의 스킴(아핀이든 아니든)의 공집합이 아닌 열린 부분집합은 그 자체로 스킴입니다.

증명.

(a)는 사실상 이미 증명되었습니다.

질문 87.7.3.

정리 85.2.2와 앞의 명제를 결합하여 (a)를 이끌어 내십시오.

그러면 (b)는 다음 사실에서 따라 나옵니다. $U$ 가 열린집합이고 $p$ 가 $U$ 의 점이면, $p$ 에서 아핀 열린 근방 $\operatorname{Spec}A$ 를 잡은 다음 (a)에서처럼 $U\cap\operatorname{Spec}A$ 를 $\operatorname{Spec}A$ 의 특수 열린 부분집합들로 덮을 수 있습니다. ∎

이제 소절 85.2.4을 다시 다룹니다(다만 $\mathbb{C}$ 는 $k$ 로 바꿉니다). 이것이 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ 의 열린 부분집합 $U$ 임을 이미 보았으므로, 이는 스킴입니다.

질문 87.7.4.

실제로 $U$ 를 둘 다 아핀인 두 열린집합으로 덮을 수 있음을 보이십시오.

그러나 이제 특수 열린집합이 정말로 두 개 필요하다는 것을 보이겠습니다.

명제 87.7.5 (유명한 예: 구멍 뚫린 평면은 아핀이 아닙니다).

$\operatorname{Spec}k[x,y]$ 에서 $(x,y)$ 를 제거하여 얻은 구멍 뚫린 평면 $U=(U,\mathcal{O}_{U})$ 는 어떤 아핀 스킴 $\operatorname{Spec}B$ 와도 동형이 아닙니다.

직관적으로 말하면, $\mathcal{O}_{U}(U)=k[x,y]$ 이지만 $U$ 는 평면이 아니라는 것입니다.

증명.

우리는 이미 $\mathcal{O}_{U}(U)=k[x,y]$ 임을 알고 있으며 이를 잘 다룰 수 있습니다. 예를 들어 $y\in\mathcal{O}_{U}(U)$ 는 $x$ 축처럼 보이는 곳에서 사라지는 대역적 단면입니다. 마찬가지로 $x\in\mathcal{O}_{X}(X)$ 는 $y$ 축처럼 보이는 곳에서 사라지는 대역적 단면입니다. 특히 $U$ 의 어떤 점에서도 둘이 동시에 사라지지는 않습니다.

이제 모순을 이끌어 내기 위해 다음과 같은 동형사상이 존재한다고 가정합시다.

\psi\colon\operatorname{Spec}B\to U.

대역적 단면 위의 사상을 취하면(정의의 일부),

k[x,y]=\mathcal{O}_{U}(U)\xrightarrow{\psi^{\sharp}}\mathcal{O}_{\operatorname% {Spec}B}(\operatorname{Spec}B)\cong B.

그러면 $\mathcal{O}_{U}(U)$ 의 대역적 단면 $x$ 와 $y$ 는 $B$ 에서 상 $a$ 와 $b$ 를 가져야 하며, 따라서 환 동형사상 $B\cong k[a,b]$ 를 얻습니다.

이제 $\operatorname{Spec}B$ 에서 $\mathcal{V}(a)\cap\mathcal{V}(b)$ 는 단 하나의 점, 즉 극대 아이디얼 $\mathfrak{m}=(a,b)$ 만을 포함하는 닫힌집합입니다. 따라서 $\operatorname{Spec}B$ 에는 $a$ 와 $b$ 모두에서 소멸하는 점이 정확히 하나 있습니다. 스킴의 사상이 값을 보존하도록 요구했으므로(그래서 국소환 달린 공간에 대해 그토록 공을 들였던 것입니다), 이는 $U$ 에도 $x$ 와 $y$ 모두에서 소멸하는 점이 하나 있어야 한다는 뜻입니다. 그러나 그런 점은 없습니다 — 그 점은 바로 우리가 제거한 원점이었습니다. ∎

87.8 앞으로 나아갈 길

이 장으로 스킴의 정의를 위한 긴 준비를 마칩니다. 아쉽게도 지금으로서는 시간이 허락하는 범위가 여기까지입니다. 따라서 “실제 세계”에서 스킴이 실제로 어떻게 쓰이는지 보고 싶다면 다른 자료를 찾아보셔야 합니다.

기꺼이 추천하는 좋은 참고 문헌은 [GAT03]이며, 더 어려운 (그리고 유명한) 문헌은 [VAK17]입니다. 추가 설명은 Appendix A를 참고하십시오.

87.9 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 87A.

아핀 스킴 $X=\operatorname{Spec}R$ 이 주어졌을 때, 스킴의 사상 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 가 유일하게 존재함을 보이고, 이 사상이 $X$ 의 점들을 어디로 보내는지 설명하십시오.

힌트. $\mathsf{AffSch}\simeq\mathsf{CRing}$ 이라는 사실을 이용하십시오.

풀이. $\mathbb{Z}$ 는 $\mathsf{CRing}$ 의 시작 대상이므로, $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 는 $\mathsf{AffSch}$ 의 끝 대상입니다. $\mathfrak{p}$ 는 체 $\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}/\mathfrak{m}_{X,\mathfrak{p}}$ 의 표수로 보내집니다.

문제 87B.

점 $\mathfrak{m}=(2,x)$ 를 제거하여 얻은 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$ 의 열린 부분집합은 어떤 아핀 스킴과 동형입니까?