장 87 국소 환 달린 공간의 사상

국소 환 달린 공간의 정의를 설정했으니, 이제 이들 사이의 사상을 정의할 준비가 거의 되었습니다. 이 장 전체에서, 여러분의 환 달린 공간을 우리가 그토록 공들여 정의한 아핀 스킴이라고 상상하십시오. 하지만 임의의 국소 환 달린 공간이라는 일반적인 설정에서 작업해도 달라지는 것은 없습니다.

87.1 단면을 통한 환 달린 공간의 사상

$(X,\mathcal{O}_{X})$ 와 $(Y,\mathcal{O}_{Y})$ 를 환 달린 공간이라 합시다. 이들 사이에 함수 $\pi\colon X\to Y$ 가 있다는 것이 무엇을 의미하는지 정의하고자 합니다.¹¹1표기상의 함의: 환 달린 공간의 경우, $f$ 가 흔히 단면을 나타내는 데 쓰이므로 $\pi$ 는 사상을 나타내는 데 사용될 것입니다. 먼저 이 사상이 연속이어야 한다는 조건을 요구하지만, 이것만으로는 충분하지 않습니다. 그 위에는 층이 있기 때문입니다!

자, 여러분은 우리가 초급 환 달린 공간에 대해 했던 것을 기억할지도 모릅니다. $U\subseteq Y$ 의 열린집합 위에 함수가 있을 때마다, 우리는 $\pi^{\text{pre}}(U)\subseteq X$ 위에도 이에 대응하는 함수가 있기를 원했습니다. 초급 환 달린 공간의 경우, 이는 합성을 통해 이루어졌는데, 층의 원소들이 실제로 복소수 값을 갖는 함수였기 때문입니다:

\pi^{\sharp}\phi\text{다음과 같이 정의되었습니다}\phi\circ\pi.

그 결과, 모든 열린집합 $U$ 에 대해 사상 $\mathcal{O}_{Y}(U)\to\mathcal{O}_{X}(\pi^{\text{pre}}(U))$ 를 얻었습니다.

이제 일반적인 국소 환 달린 공간의 경우, 단면은 그저 임의의 환일 뿐이며, 그다지 잘 다뤄지지 않을 수도 있습니다. 그래서 해결책은 $\pi^{\sharp}$ 의 데이터를 사상의 정의의 일부로 포함시키는 것입니다.

비고 87.1.1.

예제 87.4.2에서 보게 되듯이, 대수적 다양체의 경우 사상이 위상 공간의 사상에 의해 유일하게 결정되는 상황과는 달리, 여기서는 $\pi^{\sharp}$ 가 사상 $\pi$ 에 의해 반드시 유일하게 결정되는 것은 아닙니다. 따라서 $\pi^{\sharp}$ 를 포함시키는 것이 필요합니다.

정의 87.1.2.

$(X,\mathcal{O}_{X})\to(Y,\mathcal{O}_{Y})$ 의 환 달린 공간의 사상은 쌍 $(\pi,\pi^{\sharp})$ 로 구성되는데, 여기서 $\pi\colon X\to Y$ 는 (위상 공간의) 연속 사상이고, $\pi^{\sharp}$ 는 환 준동형사상의 선택으로 구성됩니다

\pi^{\sharp}_{U}\colon\mathcal{O}_{Y}(U)\to\mathcal{O}_{X}(\pi^{\text{pre}}(U))

모든 열린집합 $U\subseteq Y$ 에 대해, 제한 도식이

$V\subseteq U$ 에 대해 가환하도록 합니다.

표기의 남용 87.1.3.

$(\pi,\pi^{\sharp})\colon(X,\mathcal{O}_{X})\to(Y,\mathcal{O}_{Y})$ 를 그냥 $\pi\colon X\to Y$ 로 줄여 쓰겠습니다. 비록 이 표기가 위상 공간에 대한 표기와 정확히 동일하다는 사실에도 불구하고 말입니다.

명백한 항등 사상이 존재하며, 따라서 우리는 동형사상 등도 범주론적인 방식으로 정의할 수 있습니다.

87.2 줄기를 통한 환 달린 공간의 사상

놀랍지 않게도, 우리가 국소화를 사랑하게 된 지금, 단면은 줄기보다 다루기 더 번거롭습니다. 그러므로 모든 열린집합 $U$ 에서 $\pi^{\sharp}_{U}$ 를 명시하는 대신, 줄기를 통해 그렇게 할 수 있다면 더 나을 것 같습니다(줄기는 열린집합보다 수가 적으므로, 이렇게 하면 많은 수고를 덜 수 있습니다!).

먼저 우리가 실제로 줄기의 사상을 얻는다는 것을 관찰하는 것부터 시작합시다.

명제 87.2.1 (유도된 줄기 사상).

$\pi\colon X\to Y$ 가 $\pi(p)=q$ 를 보내는 환 달린 공간의 사상이라면, 우리는 사상을 얻습니다

\pi_{p}^{\sharp}\colon\mathcal{O}_{Y,q}\to\mathcal{O}_{X,p}

$\pi(p)=q$ 일 때마다 그러합니다.

이는 국소 환 달린 공간의 사상을, 위상 공간 위의 연속 사상에 더해, $\pi(p)=q$ 인 각 경우마다 $q$ 에서의 각 싹을 $p$ 에서의 싹으로 대응시키는 배정으로 그릴 수 있음을 의미합니다.

다시, 이를 당겨오기 그림과 비교해 봅시다. 이는 대략, 함수 $f$ 가 $q$ 에서 어떤 풍부한 값을 가진다면, $\pi^{\sharp}(f)$ 는 $p$ 에서 그에 대응하는 풍부한 값을 배정받아야 한다는 것을 말하고 있습니다. $q$ 와 $p$ 에서의 줄기가 일반적으로 서로 다른 환일 수 있으므로 이 유비가 완벽하지는 않지만, 적어도 환 준동형사상(그 배정)은 있어야 합니다.

증명.

$(s,U)$ 가 $q$ 에서의 싹이라면, $(\pi^{\sharp}(s),\pi^{\text{pre}}(U))$ 는 $p$ 에서의 싹이며, 이는 제한과의 호환성 덕분에 잘 정의된 사상입니다. ∎

우리는 이미 다음과 같은 의미에서 유일성을 명백히 가지고 있습니다.

명제 87.2.2 (줄기를 통한 사상의 유일성).

환 달린 공간의 사상 $(\pi,\pi^{\sharp})\colon(X,\mathcal{O}_{X})\to(Y,\mathcal{O}_{Y})$ 와 그에 대응하는 줄기의 사상 $\pi^{\sharp}_{p}$ 를 생각합시다. 그러면 $\pi^{\sharp}$ 는 $\pi^{\sharp}_{p}$ 에 의해 유일하게 결정됩니다.

증명.

단면 $s\in\mathcal{O}_{Y}(U)$ 가 주어졌을 때, 다음과 같이 놓습니다

t=\pi^{\sharp}_{U}(s)\in\mathcal{O}_{X}(\pi^{\text{pre}}(U))

$\pi^{\sharp}$ 아래에서의 상을 나타냅니다.

각 $p\in\pi^{\text{pre}}(U)$ 에 대해 $t_{p}$ 를 알고 있는데, 이는 정의에 의해 $\pi^{\sharp}_{p}(t)$ 와 같기 때문입니다. 즉, $t$ 의 모든 싹을 알고 있습니다. 따라서 $t$ 를 알고 있습니다. ∎

그러나 모든 줄기 사상의 선택이 $\pi^{\sharp}_{U}$ 로 이어지는 것은 아님이 분명해 보입니다: 일종의 “연속성” 또는 “호환성”이 필요합니다. 실제로 명시적인 진술을 적어볼 수 있습니다: $U$ 위의 호환 가능한 싹들의 수열은 각각 $\pi^{\text{pre}}(U)$ 위의 호환 가능한 싹들의 수열로 대응되어야 합니다. 지금은 이에 대한 형식적인 진술을 제시하지 않는데, 그 진술이 다루기 번거롭고, 곧 실제 사례에서 (더 이해가 잘 되는 형태로) 보게 될 것이기 때문입니다.

비고 87.2.3 (동형사상은 줄기에 의해 결정됩니다).

증명하지는 않겠지만 알아두면 좋은 사실이 하나 있습니다: 환 달린 공간의 사상 $(\pi,\pi^{\sharp})\colon(X,\mathcal{O}_{X})\to(Y,\mathcal{O}_{Y})$ 가 동형사상인 것은 $\pi$ 가 위상동형사상이고, 게다가 각 $p\in X$ 에 대해 $\pi^{\sharp}_{p}$ 가 동형사상인 것과 동치입니다.

87.3 국소 환 달린 공간의 사상

한편, 우리의 줄기들이 국소환이라는 사실을 보았는데, 이는 실제로 값에 대해 이야기할 수 있게 해줍니다. 그래서 우리는 값의 개념이 보존되도록 보장하기 위해 호환성 조건을 하나 더 추가하고자 합니다. 이제 앞의 그림에서 $p$ 와 $q$ 에서의 줄기는 서로 다를 수 있으므로, $\kappa(p)$ 와 $\kappa(q)$ 는 서로 다른 체일 수도 있습니다.

정의 87.3.1.

국소 환 달린 공간의 사상이란 다음과 같은 추가 성질을 만족하는 환 달린 공간의 사상 $\pi\colon X\to Y$ 를 말합니다: $\pi(p)=q$ 일 때마다, 줄기에서의 사상 또한 잘 정의된 환 준동형사상을 유도합니다.

\pi^{\sharp}_{p}\colon\kappa(q)\to\kappa(p).

그래서 우리는 $\pi^{\sharp}_{p}$ 가 잉여체에서 체 준동형사상을 유도할 것을 요구합니다²²2이는 문제 5B에 의해 자동으로 단사임을 의미합니다.. 특히, $\pi^{\sharp}(0)=0$ 이므로, 이는 매우 중요한 무언가를 의미합니다:

국소 환 달린 공간의 사상에서, 어떤 싹이 $q$ 에서 소멸하는 것은 대응하는 싹이 $p$ 에서 소멸하는 것과 동치입니다.

연습문제 87.3.2 (이른바 “국소환 준동형사상”).

이것이 다음을 요구하는 것과 동치임을 보이십시오

(\pi^{\sharp}_{p})^{\text{img}}(\mathfrak{m}_{Y,q})\subseteq\mathfrak{m}_{X,p}

즉 쉽게 말하면, $q$ 에서의 싹의 값이 영인 것은 $p$ 에서 대응하는 싹의 값이 영인 것과 동치입니다.

저는 $(\pi^{\sharp})^{\text{img}}(\mathfrak{m}_{Y,q})\subseteq\mathfrak{m}_{X,p}$ 라는 이 표현을 그다지 좋아하지 않는데, 많은 기호들 뒤에 기하학적 직관—즉 “한 점에서의 값”이라는 개념이 어떤 식으로든 보존되기를 원한다는 것—을 숨기기 때문입니다.

이 시점에서 우리는 스킴의 정의를 서술할 수 있으며, 앞으로 몇 개의 절 동안은 실제로 사용하지 않겠지만 여기서 그것을 제시하겠습니다.

정의 87.3.3.

스킴이란 모든 점이 아핀 스킴과 동형인 열린 근방을 갖는 국소 환 달린 공간을 말합니다. 스킴의 사상이란 그저 국소 환 달린 공간의 사상입니다.

특히, $\operatorname{Spec}A$ 는 스킴입니다 (열린 근방이 공간 전체가 되는 경우입니다!). 그러니 이제 그것들부터 살펴보도록 합시다.

87.4 아핀 스킴 사이의 사상의 몇 가지 예

좋습니다, 지난 몇 절 동안 예시가 부족했던 점에 대해 사과드립니다. 이제 만회해 보도록 하겠습니다. 여기서는 모든 움직이는 부분들이 실제로 작동하는 모습을 볼 수 있습니다.

87.4.1 한 점 스킴

예제 87.4.1 ( $\operatorname{Spec}\mathbb{R}$ 은 잘 작동합니다).

$X=\operatorname{Spec}\mathbb{R}\to\operatorname{Spec}\mathbb{R}=Y$ 인 사상은 오직 하나뿐입니다. 실제로 이들은 점이 하나인 공간이며, 사상 $\mathbb{R}=\mathcal{O}_{Y}(Y)\to\mathcal{O}_{X}(X)=\mathbb{R}$ 를 명시하는 방법은 오직 하나뿐인데, $\mathbb{R}$ 의 체 자기동형사상은 (항등사상) 하나밖에 없기 때문입니다.

예제 87.4.2 ( $\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ 의 공포담).

놀랍게도 $X=\operatorname{Spec}\mathbb{C}\to\operatorname{Spec}\mathbb{C}=Y$ 인 사상은 여러 개 존재합니다! 실제로 이들은 점이 하나인 공간이므로, 다시금 우리는 사상 $\mathbb{C}=\mathcal{O}_{Y}(Y)\to\mathcal{O}_{X}(X)=\mathbb{C}$ 를 명시하는 것으로 귀착됩니다. 그러나 항등사상 외에도 복소켤레 또한 성립하며, 이른바 $\mathbb{C}$ 의 “야생 자기동형사상” 몇 가지 역시 성립합니다.

이러한 동작은 명백히 끔찍하므로, 예시를 위해 일부 예시들은 방금 본 공포담을 피하기 위해 $\mathbb{C}$ 대신 $\mathbb{R}$ 을 사용합니다. 그러나 나중에 환 준동형사상이 $\mathbb{C}$ 를 고정하도록 강제하는 “ $\mathbb{C}$ 위의 스킴”을 이용한 간단한 해결책이 있습니다.

예제 87.4.3 ( $\operatorname{Spec}k$ 와 $\operatorname{Spec}k^{\prime}$ ).

일반적으로, $k$ 와 $k^{\prime}$ 이 체라면, 사상 $\operatorname{Spec}k\to\operatorname{Spec}k^{\prime}$ 은 체 준동형사상 $k^{\prime}\to k$ 와 전단사 대응됨을 알 수 있는데, 명시해야 할 것이 그것밖에 남지 않기 때문입니다.

87.4.2 상수 사상의 예

예제 87.4.4 ( $(y-3)$ 로 가는 상수 사상).

우리는 스킴 사상을 분석합니다

X=\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]\xrightarrow{\pi}\operatorname{Spec}\mathbb{% R}[y]=Y

이는 $X$ 의 모든 점을 $\mathfrak{m}=(y-3)\in Y$ 로 보냅니다. 상수 사상은 위상이 아무리 이상하더라도 항상 연속이므로, 이 덕분에 우리는 그저 단면에만 주의를 집중할 수 있습니다.

이 예시는 충분히 간단해서, 저는 줄기가 더 간단하다고 생각함에도 불구하고 단면으로도 처리할 수 있습니다. $U$ 를 $Y$ 의 임의의 열린집합이라 하면, 우리는 다음과 같은 사상을 명시해야 합니다

\pi^{\sharp}_{U}\colon\mathcal{O}_{Y}(U)\to\mathcal{O}_{X}(\pi^{\text{pre}}(U)).

$U$ 가 $(y-3)$ 을 포함하지 않으면, $\pi^{\text{pre}}(U)=\varnothing$ 이므로 $\mathcal{O}_{X}(\varnothing)=0$ 은 영환이고 아무것도 할 필요가 없습니다.

반대로 $U$ 가 $(y-3)$ 을 포함한다면 $\pi^{\text{pre}}(U)=X$ 이므로, 이번에는 다음과 같은 사상을 명시하고자 합니다

\pi^{\sharp}_{U}\colon\mathcal{O}_{Y}(U)\to\mathcal{O}_{X}(X)=\mathbb{R}[x]

이는 제한 사상을 만족합니다. 임의의 $U$ 에 대해, 원소 $y$ 는 $\mathbb{R}[x]$ 의 단원으로 보내져야 함에 주목하십시오. $(y)$ 를 포함하지 않는 $U$ 의 부분집합에 대해서는 $1/y$ 역시 단면이기 때문입니다. 좀 더 자세히 설명하면, $W=U\cap D(y)$ 라 두어 $(y)\notin W$ 가 되도록 하면, 다음과 같습니다

\pi^{\sharp}_{W}(y)=\pi^{\sharp}_{U}(y)\quad\text{그리고}\quad\pi^{\sharp}_{W}(y)% \pi^{\sharp}_{W}(1/y)=1.

사실 임의의 실수 $c\neq 3$ 에 대해, $y-c$ 는 $\mathbb{R}[x]$ 의 단원으로 사상되어야 합니다. 이는 $y\mapsto 3\in\mathbb{R}[x]$ 인 경우에만 가능합니다.

우리는 $y\mapsto 3$ 을 통해 $\mathbb{R}[y]\mapsto\mathbb{R}[x]$ 를 명시했으므로, 그것이 우리가 필요로 했던 모든 환 준동형사상을 결정합니다.

하지만 우리는 줄기를 사용할 수도 있었습니다. 우리는 다음과 같은 사상을 명시하고자 했습니다

\mathbb{R}[y]_{(y-3)}=\mathcal{O}_{Y,(y-3)}\to\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}

모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해, 호환되는 싹을 호환되는 싹으로 보내는 것입니다…그런데 잠깐, $(y-3)$ 은 모든 싹을 쏟아내고 있습니다. 따라서 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}Y,(y-3)}$ 의 모든 개별 싹은 $\operatorname{Spec}X$ 의 모든 점 위에서 (호환되는) 싹을 산출해야 하며, 이는 전역 단면 전체의 데이터에 해당합니다. 그러므로 우리는 실제로는 다음을 명시하려는 것입니다

\mathbb{R}[y]_{(y-3)}=\mathcal{O}_{Y,(y-3)}\to\mathcal{O}_{X}(X)=\mathbb{R}[x].

앞서 보았듯이 이는 $y\mapsto 3$ 을 요구하는데, 임의의 $c\neq 3$ 에 대해 $y-c$ 가 $\mathbb{R}[x]$ 의 단원이기 때문입니다.

예제 87.4.5 ( $(y^{2}+1)$ 로 가는 상수 사상은 존재하지 않음).

모든 것을 $(y^{2}+1)$ 로 보내는 상수 사상 $X=\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]\to\operatorname{Spec}\mathbb{R}[y]=Y$ 가 존재하는지 살펴봅시다. 앞선 예시를 그대로 따라 하면, 우리가 원하는 것은 다음과 같습니다

\mathcal{O}_{Y}(U)\to\mathcal{O}_{X}(X)=\mathbb{R}[x].

우리는 $y$ 와 $1/y$ 가 갈 곳이 없음을 알게 됩니다. 지난번과 같은 논증에 의해 $y-c$ 는 $\mathbb{R}[x]$ 의 단원이어야 하는데, 이번에는 임의의 실수 $c$ 에 대해서 그러합니다.

이번에도 줄기는, 심지어 잉여체만으로도, 이를 보여줍니다. 예를 들어 우리는 다음과 같은 체 준동형사상이 필요할 것입니다

\mathbb{C}=\kappa((y^{2}+1))\to\kappa((x))=\mathbb{R}

그러나 그런 것은 존재하지 않습니다.

여러분은 이미 다음을 눈치챘을지도 모릅니다

예제 87.4.6 (일반점은 더 작은 점을 밀어낸다).

이야기를 바꾸어, 사상 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]\to\operatorname{Spec}\mathbb{C}[y]$ 를 생각해 봅시다. 우리는 $\mathfrak{m}$ 이 $\mathbb{C}[x]$ 의 극대 아이디얼(닫힌점)이라면, 이것이 결코 $\mathbb{C}[y]$ 의 일반점 $(0)$ 으로 보내질 수 없다고 주장합니다.

그렇지 않다면, 우리는 국소 환 준동형사상을 얻게 될 것입니다

\mathbb{C}(y)\cong\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}\mathbb{C}[y],(0)}\to% \mathcal{O}_{\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x],\mathfrak{m}}\cong\mathbb{C}[x]_% {\mathfrak{m}}

이는 특히 우리가 잉여체 사이의 사상을 갖는다는 것을 의미합니다

\mathbb{C}(y)\to\mathbb{C}[x]/\mathfrak{m}\cong\mathbb{C}

그런데 이는 불가능합니다. 그러한 체 준동형사상은 전혀 존재하지 않기 때문입니다(왜 그럴까요?).

마지막 예시는 일반적으로 좋은 직관을 줍니다. ”더 일반적인” 점은 ”덜 일반적인” 점보다 더 큰 줄기를 갖는 경향이 있으며, 따라서 그런 점들을 밀어냅니다.

87.4.3 사상 $t\mapsto t^{2}$

이제 우리는 $t\mapsto t^{2}$ 라는 사상으로 생각할 만한 것을 살펴봅니다.

예제 87.4.7 (사상 $t\mapsto t^{2}$ ).

우리는 다음과 같은 사상을 살펴봅니다

\pi\colon X=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]\to\operatorname{Spec}\mathbb{C}[y% ]=Y

점에서 다음과 같이 정의됩니다:

	$\displaystyle\pi\left((0)\right)$	$\displaystyle=(0)$
	$\displaystyle\pi\left((x-a)\right)$	$\displaystyle=(y-a^{2}).$

원하신다면 이 사상이 연속인지 확인해 보실 수 있습니다. 저는 놀랍게도 점에서의 이러한 행동만으로도 실제로 $\pi^{\sharp}$ 를 읽어낼 수 있다고 주장합니다. 그 이유는 우리가 다음과 같은 요구 사항을 부과했기 때문입니다: 절단 $s$ 가 $\mathfrak{q}\in Y$ 에서 소멸하는 것은 $\pi^{\sharp}_{X}(s)$ 가 $\mathfrak{p}\in X$ 에서 소멸하는 것과 동치이며, 여기서 $\pi(\mathfrak{p})=\mathfrak{q}$ 입니다. 그러면 이제:

•

절단 $y\in\mathcal{O}_{Y}(Y)$ 를 생각해 봅시다. 이는 오직 $(y)\in\operatorname{Spec}\mathbb{C}[y]$ 에서만 소멸합니다. 그러면 그 상 $\pi^{\sharp}_{Y}(y)\in\mathcal{O}_{X}(X)$ 는 정확히 $(x)\in\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 에서 소멸해야 하므로, 어떤 정수 $n\geq 1$ 에 대해 $\pi^{\sharp}_{Y}(y)=x^{n}$ 입니다.
•

절단 $y-4\in\mathcal{O}_{Y}(Y)$ 를 생각해 봅시다. 이는 오직 $(y-4)\in\operatorname{Spec}\mathbb{C}[y]$ 에서만 소멸합니다. 그러면 그 상 $\pi^{\sharp}_{Y}(y-4)\in\mathcal{O}_{X}(X)$ 는 정확히 $(x-2)\in\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 와 $(x+2)\in\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 에서 소멸해야 합니다. 따라서 $\pi^{\sharp}_{Y}(y)-4$ 는 어떤 $a\geq 1$ 과 $b\geq 1$ 에 대해 $(x-2)^{a}(x+2)^{b}$ 로 나누어떨어집니다.

따라서 절단들의 최상위 사상 $\pi^{\sharp}_{Y}$ 에서 $y\mapsto x^{2}$ 이며, 그러므로 모든 절단의 사상에서도 (또한 모든 줄기에서도) 마찬가지입니다.

위의 예는 $t^{2}$ 을 어떤 다항식 $f(t)$ 로 바꾸어도 마찬가지로 성립하며, 그러면 $(x-a)$ 는 $(y-f(a))$ 로 사상됩니다. $y$ 의 상은 다항식 $g(x)$ 여야 하며, 이는 임의의 $c\in\mathbb{C}$ 에 대해 $g(x)-c$ 가 $f(x)-c$ 와 같은 근을 가진다는 성질을 만족해야 합니다. 다시 말하면, $f$ 와 $g$ 는 같은 값을 가지므로, $f=g$ 입니다.

비고 87.4.8 (일반점 줄기의 압도적 위력).

또한 지적하고 싶은 점은, 일반점에서의 줄기만으로도 다항식을 읽어낼 수 있다는 것입니다: 예를 들어, 앞선 예에서는

\mathbb{C}(y)\cong\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}\mathbb{C}[y],(0)}\to% \mathcal{O}_{\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x],(0)}\cong\mathbb{C}(x)\qquad y% \mapsto x^{2}.

이것이 일반점이 그토록 강력한 이유의 일부입니다. 우리는 다항식의 경우, “일반적인” 점에서 무슨 일이 일어나는지 알면 전체 사상을 알아낼 수 있으리라 기대합니다. 이 직관은 참입니다: 일반점에서의 각 배아가 어디로 가는지 아는 것만으로 전체 사상을 알기에 충분합니다.

87.4.4 산술적 예

예제 87.4.9 ( $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ ).

이제 스킴의 사상 $\pi\colon\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 를 구성하겠습니다. 점 위에서는 다음과 같이 작동합니다

	$\displaystyle\pi\left((0)\right)$	$\displaystyle=(0)$
	$\displaystyle\pi\left((p)\right)$	$\displaystyle=(p)$
	$\displaystyle\pi\left((a+bi)\right)$	$\displaystyle=(a^{2}+b^{2})$

여기서 $a+bi$ 는 가우스 소수입니다: 예를 들어 $\pi((2+i))=(5)$ 이고 $\pi((1+i))=(2)$ 입니다. 앞서와 마찬가지로 지금 줄기에서 유도되는 사상을 알아낼 수도 있겠지만, 잠시 후 그 수고를 덜어 줄 큰 정리를 다루겠습니다.

87.5 큰 정리

우리는 국소환 공간의 사상에 대한 전체 데이터를 명시하면서 $\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B$ 의 몇 가지 예를 손으로 다루어 보았습니다. 사실 그렇게 많은 데이터를 명시할 필요가 없었으며, 그 과정의 상당 부분을 자동화할 수 있다는 것이 밝혀집니다:

명제 87.5.1 (아핀 재구성).

$\pi\colon\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B$ 를 스킴의 사상이라 합시다. $\psi\colon B\to A$ 를 전역 절단을 취하여 얻어지는 환 준동형사상이라 합시다, 즉

\psi=\pi^{\sharp}_{B}\colon\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}B}(\operatorname{% Spec}B)\to\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}(\operatorname{Spec}A).

그러면 우리는 $\psi$ 만 가지고 $\pi$ 를 복원할 수 있습니다; 실제로 $\pi$ 는 다음과 같이 명시적으로 주어집니다

\pi(\mathfrak{p})=\psi^{\text{pre}}(\mathfrak{p})

그리고

\pi^{\sharp}_{\mathfrak{p}}\colon\mathcal{O}_{Y,\pi(\mathfrak{p})}\to\mathcal{% O}_{X,\mathfrak{p}}\quad\text{~{}에 의해}\quad f/g\mapsto\psi(f)/\psi(g).

이것이 아핀 스킴의 큰 기적입니다. 그 정의에 담긴 엄청난 양의 데이터에도 불구하고, 우리는 아핀 스킴 사이의 사상을 최상위 수준의 단 하나의 환 준동형사상으로 압축할 수 있습니다.

증명.

이는 두 부분을 필요로 합니다.

•

우리는 사상들이 점에서 일치하는지 확인해야 합니다; 놀랍게도 이것이 더 어려운 절반입니다. 이것이 어떻게 작동하는지 보기 위해, $\mathfrak{q}=\pi(\mathfrak{p})$ 라 합시다. 핵심 사실은 함수 $f\in B$ 가 $\mathfrak{q}$ 에서 소멸하는 것은 $\pi^{\sharp}_{B}(f)$ 가 $\mathfrak{p}$ 에서 소멸하는 것과 동치라는 것입니다(왜냐하면 $\pi^{\sharp}_{B}$ 는 국소 환의 준동형사상이어야 하기 때문입니다). 따라서,

	$\displaystyle\pi(\mathfrak{p})$	$\displaystyle=\mathfrak{q}=\left\{f\in B\mid f\in\mathfrak{q}\right\}$
		$\displaystyle=\left\{f\in B\mid f\text{~{}에서 소멸합니다}\mathfrak{q}\right\}$
		$\displaystyle=\left\{f\in B\mid\pi^{\sharp}_{B}(f)\text{~{}에서 소멸합니다}\mathfrak{% p}\right\}$
		$\displaystyle=\left\{f\in B\mid\pi^{\sharp}_{B}(f)\in\mathfrak{p}\right\}=% \left\{f\in B\mid\psi(f)\in\mathfrak{p}\right\}$
		$\displaystyle=\psi^{\text{pre}}(\mathfrak{p}).$

•

우리는 또한 줄기에서의 사상이 같은지도 확인하고 싶습니다. $\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A$ , $\mathfrak{q}\in\operatorname{Spec}B$ 이고, (위의 두 경우 모두에서) $\mathfrak{p}\mapsto\mathfrak{q}$ 라 합시다.

우리의 원래 $\pi$ 에서, 사상 $\pi^{\sharp}_{\mathfrak{p}}\colon B_{\mathfrak{q}}\to A_{\mathfrak{p}}$ 를 생각해 봅시다. 우리는 이것이 각 $f\in B$ 를 $\psi(f)\in A$ 로 보낸다는 것을 압니다. 이는 $\mathfrak{q}$ 에서 각 전역 절단 $f\in B$ 의 배아를 취함으로써 얻어집니다. 따라서 이것은 필요한 대로 $f/g$ 를 $\psi(f)/\psi(g)$ 로 보내야 합니다, 왜냐하면 환 준동형사상이기 때문입니다. ∎

이 모든 것은 하나의 훌륭한 발상을 시사합니다: 만약 $\psi\colon B\to A$ 가 임의의 환 준동형사상이라면, 우리는 방금 발견한 증명의 조각들을 이용하여 스킴의 사상을 구성할 수 있어야 합니다. 우리가 해야 할 유일한 추가 작업은 자리스키 위상에서 연속인 사상을 얻는지, 그리고 적절한 $\pi^{\sharp}$ 를 얻을 수 있는지 확인하는 것입니다.

이렇게 하여 우리는 아핀 스킴에 관한 거대하고 중요한 정리를 얻습니다.

정리 87.5.2 ( $\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B$ 는 그저 $B\to A$ 입니다).

이 두 구성은 환 준동형사상 $B\to A$ 와 $\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B$ 사이의 전단사를 줍니다.

증명.

각 $\pi\colon\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B$ 를 취해 환 준동형사상 $\psi$ 를 얻는 방법을 살펴보았습니다. 명제 87.5.1은 이 사상이 단사임을 보여줍니다. 따라서 이것이 전사임을, 즉 모든 $\psi$ 가 어떤 $\pi$ 로부터 나온다는 것을 확인하기만 하면 됩니다.

$\psi\colon B\to A$ 가 주어지면, 명제 87.5.1을 그대로 따라 하고 모든 것이 잘 정의됨을 확인함으로써 $(\pi,\pi^{\sharp})\colon\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B$ 를 정의합니다. 세부 사항은 다음과 같습니다:

•

각 소 아이디얼 $\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A$ 에 대해, $\pi(\mathfrak{p})=\psi^{\text{pre}}(\mathfrak{p})\in\operatorname{Spec}B$ 로 둡니다 (이는 문제 5C에 의해 역시 소 아이디얼입니다).

연습문제 87.5.3.

결과로 얻어지는 사상 $\pi$ 가 자리스키 위상에서 연속임을 보이십시오.
•

이제 줄기 위에서도 사상을 정의하고자 하므로, 각 $\pi(\mathfrak{p})=\mathfrak{q}$ 에 대해 다음과 같이 둡니다

$B_{\mathfrak{q}}\ni\frac{f}{g}\mapsto\frac{\psi(f)}{\psi(g)}\in A_{\mathfrak{p% }}.$

이는 $g\notin\mathfrak{q}\implies\psi(g)\notin\mathfrak{p}$ 이므로 성립합니다. 또한 $f\in\mathfrak{q}\implies\psi(f)\in\mathfrak{p}$ 이므로, 이것이 실제로 국소환 준동형사상임을 알 수 있습니다 ( $B_{\mathfrak{q}}$ 의 극대 아이디얼을 $A_{\mathfrak{p}}$ 의 극대 아이디얼로 보냅니다).

$f/g$ 가 열린집합 $U\subseteq B$ 위의 절단이라면(즉 $g$ 가 $U$ 의 소 아이디얼들에서 소멸하지 않는다면), $\psi(f)/\psi(g)$ 는 $\pi^{\text{pre}}(U)$ 위의 절단임을 관찰하십시오(즉 $\psi(g)$ 가 $\pi^{\text{pre}}(U)$ 의 소 아이디얼들에서 소멸하지 않습니다). 따라서 $B$ 위의 양립 가능한 싹들은 필요한 대로 $A$ 위의 양립 가능한 싹들로 보내집니다.

마지막으로, 결과로 얻어지는 $\pi$ 는 전역 절단에서 $\pi^{\sharp}_{B}=\psi$ 를 만족하며, 이로써 증명이 완성됩니다. ∎

이것은 범주론을 이용해 간결하게 요약될 수 있습니다:

따름정리 87.5.4 (범주론적 해석).

환의 반대 범주 $\mathsf{CRing}^{\mathrm{op}}$ 는 아핀 스킴의 범주 $\mathsf{AffSch}$ 와 “동치”이며, $\operatorname{Spec}$ 이 함자 역할을 합니다.

이는 예를 들어 $A\cong B$ 일 때마다 자연스럽게 $\operatorname{Spec}A\cong\operatorname{Spec}B$ 임을 의미합니다.

이 정리가 중요하다는 것을 확실히 인식할 수 있도록, 대수기하학 참고문헌에 대해 읽던 중 MathOverflow에서 발견한 재미있는 댓글을 소개합니다³³3From https://mathoverflow.net/q/2446/70654.:

그[Hartshorne]는 아핀 스킴의 범주가 환의 범주와 쌍대라는 것을 제가 보기에 전혀 언급하지 않습니다. 저는 스킴의 정의 근처에 큰 글씨로 그것이 쓰여 있기를 기대했습니다. 어떻게 그것을 빠뜨릴 수 있습니까?

87.6 스킴 사상의 추가 예시

이제 큰 망치를 손에 넣었으니, 몇 절 전에 했던 것보다 훨씬 더 간략하게 예시들을 논할 수 있습니다. 여러 가지를 마구 던지기 전에, $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 가 자명하지 않은 체 자기동형사상을 갖는다는 앞서 본 이상한 현상을 없애줄 또 다른 정의를 하나 소개하고자 합니다:

정의 87.6.1.

$S$ 를 스킴이라고 합시다. $S$ 위의 스킴(scheme over $S$ ) 또는 $S$ -스킴은 스킴 $X$ 와 사상 $X\to S$ 의 짝입니다. $S$ -스킴의 사상은 스킴 사상 $X\to Y$ 로서 다음 도식이 이 가환하도록 하는 스킴 사상 $X\to Y$ 를 말합니다. 종종 $S=\operatorname{Spec}k$ 인 경우, $X$ 를 간단히 $k$ 위의 스킴 또는 $k$ -스킴이라 부르겠습니다.

예제 87.6.2 ( $\operatorname{Spec}k[\dots]$ ).

어떤 아이디얼 $I$ 에 대해 $X=\operatorname{Spec}k[x_{1},\dots,x_{n}]/I$ 이면, $X$ 는 자연스럽게 $k$ -스킴이 됩니다; 명백한 준동형사상 $k\hookrightarrow k[x_{1},\dots,x_{n}]/I$ 가 있으므로 이것이 사상 $X\to\operatorname{Spec}k$ 를 줍니다.

예제 87.6.3 ( $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]\to\operatorname{Spec}\mathbb{C}[y]$ ).

$\mathbb{C}$ -스킴으로서, 사상 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]\to\operatorname{Spec}\mathbb{C}[y]$ 는 다음 도식이 가환하는 준동형사상 $\psi\colon\mathbb{C}[y]\to\mathbb{C}[x]$ 와 일치합니다.

이 가환하도록 하는 환 준동형사상 $\psi\colon\mathbb{C}[y]\to\mathbb{C}[x]$ 와 일치합니다. “ $\mathbb{C}$ 위”라는 조건이 이전의 병리적 현상을 없애줌을 알 수 있습니다: $\psi$ 는 $\mathbb{C}$ 를 보존하도록 요구됩니다. 따라서 이 사상은 $y$ 의 상, 즉 $\mathbb{C}[x]$ 안의 다항식의 선택에 의해 결정됩니다. 예를 들어 $\psi(y)=x^{2}$ 이면 우리가 처음 본 예시를 다시 얻습니다. 이는 이러한 사상들이 다항식에 대응해야 한다는 직관과 일치합니다.

예제 87.6.4 ( $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{K}$ ).

이는 앞서 나온 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]$ 를 일반화한 것입니다. $K$ 가 수체이고 $\mathcal{O}_{K}$ 가 정수환이라면, (유일한) 환 준동형사상 $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathcal{O}_{K}$ 로부터 자연스러운 사상 $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{K}\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 가 존재합니다. 각 유리 소수 $(p)\in\mathbb{Z}$ 위에서, $p$ 가 분해되는 소 아이디얼들을 얻게 됩니다. (아쉽게도 아직 분기를 포착할 방법은 없습니다.)

87.7 비아핀 스킴에 관하여 조금

마침내 우리가 오랫동안 원했던 동형사상을 (소절 85.2.3에서 처음 언급된) 서술할 수 있습니다:

정리 87.7.1 (특수 열린집합은 아핀 스킴과 동형입니다).

$A$ 를 환이라 하고 $f$ 를 그 원소라 합시다. 그러면

\operatorname{Spec}A[1/f]\cong D(f)\subseteq\operatorname{Spec}A.

증명.

성가신 확인이지만 아직 포함되지 않았습니다. (점의 수준에서 소 아이디얼의 전단사는 이미 살펴보았습니다.) ∎

따름정리 87.7.2 (열린 부분집합은 스킴입니다).

(a)

아핀 스킴의 공집합이 아닌 열린 부분집합은 그 자체로 스킴입니다.
(b)

(아핀이든 아니든) 임의의 스킴의 공집합이 아닌 열린 부분집합은 그 자체로 스킴입니다.

증명.

(a) 부분은 본질적으로 이미 완료되었습니다.

질문 87.7.3.

정리 85.2.2를 앞선 명제와 결합하여 (a)를 이끌어내십시오.

그러면 (b) 부분은, $U$ 가 열린집합이고 $p$ 가 $U$ 의 한 점일 때, $p$ 에서 아핀 열린 근방 $\operatorname{Spec}A$ 를 취한 다음, (a)에서와 같이 $U\cap\operatorname{Spec}A$ 를 $\operatorname{Spec}A$ 의 특수 열린 부분집합들로 덮음으로써 따라 나옵니다. ∎

이제 소절 85.2.4을 다시 살펴봅시다 ( $\mathbb{C}$ 가 $k$ 로 대체된다는 점만 다릅니다). 그것이 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ 의 열린 부분집합 $U$ 임을 이미 살펴보았으므로, 이는 스킴입니다.

질문 87.7.4.

실제로 $U$ 가 둘 다 아핀인 두 열린집합으로 덮일 수 있음을 보이십시오.

하지만 이제 정말로 두 개의 특수 열린집합이 필요하다는 것을 보이겠습니다.

명제 87.7.5 (유명한 예시: 구멍 뚫린 평면은 아핀이 아닙니다).

$\operatorname{Spec}k[x,y]$ 에서 $(x,y)$ 를 제거하여 얻은 구멍 뚫린 평면 $U=(U,\mathcal{O}_{U})$ 는 어떤 아핀 스킴 $\operatorname{Spec}B$ 와도 동형이 아닙니다.

직관적으로 말하면, $\mathcal{O}_{U}(U)=k[x,y]$ 이지만 $U$ 는 평면이 아니기 때문입니다.

증명.

우리는 이미 $\mathcal{O}_{U}(U)=k[x,y]$ 임을 알고 있으며 이를 잘 다룰 수 있습니다. 예를 들어, $y\in\mathcal{O}_{U}(U)$ 는 마치 $x$ 축처럼 보이는 곳에서 소멸하는 전역 절단입니다. 마찬가지로, $x\in\mathcal{O}_{X}(X)$ 는 마치 $y$ 축처럼 보이는 곳에서 소멸하는 전역 절단입니다. 특히, $U$ 의 어떤 점도 둘 다에서 소멸하지 않습니다.

이제 모순을 이끌어내기 위해 동형사상이 존재한다고 가정합시다

\psi\colon\operatorname{Spec}B\to U.

전역 절단에 대한 사상을 취함으로써 (정의의 일부),

k[x,y]=\mathcal{O}_{U}(U)\xrightarrow{\psi^{\sharp}}\mathcal{O}_{\operatorname% {Spec}B}(\operatorname{Spec}B)\cong B.

그러면 $\mathcal{O}_{U}(U)$ 의 전역 절단 $x$ 와 $y$ 는 $B$ 에서 상 $a$ 와 $b$ 를 가져야 하며; 이로부터 환 동형사상 $B\cong k[a,b]$ 가 존재함이 따라 나옵니다.

이제 $\operatorname{Spec}B$ 에서, $\mathcal{V}(a)\cap\mathcal{V}(b)$ 는 단 하나의 점, 즉 극대 아이디얼 $\mathfrak{m}=(a,b)$ 를 포함하는 닫힌집합입니다. 따라서 $\operatorname{Spec}B$ 에는 $a$ 와 $b$ 모두에서 소멸하는 점이 정확히 하나 존재합니다. 스킴의 사상이 값을 보존하도록 요구했기 때문에 (국소 환달린 공간에 대한 큰 소동이 바로 그 때문입니다), 이는 $U$ 에도 $x$ 와 $y$ 모두에서 소멸하는 점이 하나 있어야 함을 의미합니다. 하지만 그런 점은 없습니다 — 우리가 삭제한 것이 바로 원점이었습니다. ∎

87.8 여기서 어디로 갈 것인가

이 장으로 스킴의 정의를 위한 긴 준비 과정이 마무리됩니다. 지금으로서는 안타깝게도 이것이 제가 시간을 낼 수 있는 한계입니다. 그러므로, 스킴이 실제로 “현실 세계”에서 어떻게 사용되는지 직접 보고 싶다면, 다른 곳을 찾아보아야 합니다.

제가 기꺼이 추천하는 좋은 참고문헌은 [GAT03]이며; 더 어려운 (그리고 유명한) 것으로는 [VAK17]이 있습니다. 더 자세한 언급은 Appendix A를 참고하십시오.

87.9 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 87A.

아핀 스킴 $X=\operatorname{Spec}R$ 이 주어졌을 때, 스킴의 사상 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 가 유일하게 존재함을 보이고, 이것이 $X$ 의 점들을 어디로 보내는지 설명하십시오.

힌트. $\mathsf{AffSch}\simeq\mathsf{CRing}$ 이라는 사실을 이용하십시오.

풀이. $\mathbb{Z}$ 가 $\mathsf{CRing}$ 의 시작 대상이므로, $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 는 $\mathsf{AffSch}$ 의 끝 대상이 됩니다. $\mathfrak{p}$ 는 체 $\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}/\mathfrak{m}_{X,\mathfrak{p}}$ 의 표수로 보내집니다.

문제 87B.

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$ 에서 점 $\mathfrak{m}=(2,x)$ 를 제거하여 얻은 열린 부분집합은 어떤 아핀 스킴과 동형입니까?