장 81 대수다양체의 사상

스킴을 다루기 위한 준비로, 아핀 다양체와 사영 다양체를 정의하는 데 시간을 들였으니 이들 사이의 사상에 대해 이야기하며 이 부분을 마무리하겠습니다.

아이디어: 아핀 다양체와 사영 다양체가 모두 아기 환 달린 공간의 특수한 경우임을 알고 있으므로, 사실 임의의 두 아기 환 달린 공간 사이의 사상을 정의하기만 하면 됩니다.

81.1 아기 환 달린 공간의 사상 정의하기

대표적인 예: 다음 절을 참조하십시오.

$(X,\mathcal{O}_{X})$ 와 $(Y,\mathcal{O}_{Y})$ 를 아기 환 달린 공간이라 하고, 이들 사이의 사상을 어떻게 정의할지 생각해 봅시다.

대수학의 기본 원칙은 사상이 밑바탕 구조 위의 함수이면서 그 위에 덧붙인 추가 데이터도 보존하기를 바란다는 것입니다. 맨 처음 배웠던 것들에서 몇 가지 예를 들면 다음과 같습니다.

예제 81.1.1 (사상을 정의하는 방법).

•

군을 생각해 봅시다. 군 $G$ 에는 (원소들의) 밑바탕 집합이 있고, 여기에 곱셈 연산을 덧붙입니다. 따라서 준동형사상은 밑바탕 집합 사이의 사상이면서 군의 곱셈도 보존해야 합니다.
•

$R$ -가군을 생각해 봅시다. 각 $R$ -가군에는 밑바탕 아벨 군이 있고, 여기에 스칼라 곱셈을 덧붙입니다. 따라서 선형 사상은 아벨 군의 준동형사상일 뿐 아니라 스칼라 곱셈도 보존해야 한다고 요구합니다.
•

위상 공간을 생각해 봅시다. 공간 $X$ 는 (점들의) 바탕 집합을 가지며, 여기에 열린집합들로 이루어진 위상을 더하여 풍부하게 만듭니다. 따라서 우리는 위상을 존중하는(열린집합의 역상이 열린집합인) 점들의 집합 사이의 사상을 생각합니다.

이번에는 환 달린 공간 $(X,\mathcal{O}_{X})$ 에 밑바탕 위상 공간이 있고, 여기에 구조층을 덧붙였습니다. 따라서 이 위상 공간들 사이의 연속 사상 $f\colon X\to Y$ 를 원하며, 이 사상은 정칙 함수의 층도 보존해야 합니다.

어떻게 하면 될까요? $\psi\colon Y\to\mathbb{C}$ 를 정칙 함수라 하면, 합성을 통해 사상 $X\to Y\to\mathbb{C}$ 를 자연스럽게 쓸 수 있습니다. 그러면 이것도 정칙 함수이기를 요구하면 됩니다.

더 일반적으로, $Y$ 위의 임의의 정칙 함수로부터 $X$ 위의 어떤 함수를 얻을 수 있는데, 이를 당겨오기라고 부릅니다. 그리고 모든 당겨오기가 $X$ 위에서 정칙이기를 요구합니다.

정의 81.1.2.

$(X,\mathcal{O}_{X})$ 와 $(Y,\mathcal{O}_{Y})$ 를 아기 환 달린 공간이라 합시다. 사상 $f\colon X\to Y$ 와 정칙 함수 $\phi\in\mathcal{O}_{Y}(U)$ 가 주어졌을 때, $f^{\sharp}\phi$ 로 표기하는 $\phi$ 의 당겨오기를 다음 합성 함수로 정의합니다

f^{\text{pre}}(U)\xrightarrow{f}U\xrightarrow{\phi}\mathbb{C}.

“당겨오기”라는 말은 미분 형식을 공부할 때와 같은 뜻으로 쓰입니다.

정의 81.1.3.

$(X,\mathcal{O}_{X})$ 와 $(Y,\mathcal{O}_{Y})$ 를 아기 환 달린 공간이라 합시다. 위상 공간 사이의 연속 사상 $f\colon X\to Y$ 는 $Y$ 위의 정칙 함수의 모든 당겨오기가 $X$ 위의 정칙 함수일 때 사상이라고 합니다.

두 아기 환 달린 공간 사이에 서로 역인 사상들이 존재하면 두 공간은 동형이라고 하며, 이러한 사상들을 동형사상이라고 부릅니다.

특히 당겨오기는 모든 $U$ 에 대해 (방향이 뒤집힌) 환 준동형사상

f^{\sharp}\colon\mathcal{O}_{Y}(U)\to\mathcal{O}_{X}(f^{\text{pre}}(U))

을 줍니다. 따라서 우리의 사상은 많은 정보를 담고 있습니다. 다음은 사상 $f$ 와 $\phi\colon U\to\mathbb{C}$ (여기서 $U\subseteq Y$ )의 당겨오기를 나타낸 그림입니다.

예제 81.1.4 ( $t\mapsto t^{2}$ 에 의한 $\frac{1}{y-25}$ 의 당겨오기).

사상

f\colon X=\mathbb{A}^{1}\to Y=\mathbb{A}^{1}\quad\text{~{}에 의해}\quad t\mapsto t% ^{2}

은 대수다양체의 사상입니다. 예를 들어 열린집합 $Y\setminus\{25\}\subseteq Y$ 위의 정칙 함수 $\varphi=\frac{1}{y-25}$ 를 생각해 봅시다. $f$ 에 의한 역상은 $X\setminus\{\pm 5\}$ 입니다. 따라서 당겨오기는

	$\displaystyle f^{\sharp}\varphi\colon X\setminus\{\pm 5\}$	$\displaystyle\to\mathbb{C}$
	$\displaystyle\quad\text{~{}에 의해}\quad x$	$\displaystyle\mapsto\frac{1}{x^{2}-25}$

이며, 이는 $X\setminus\{\pm 5\}$ 위에서 정칙입니다.

81.2 가장 간단한 예의 분류

대표적인 예: 정리 81.2.2; 이들은 그저 다항식입니다.

철학적인 관점에서 보면 우리는 앞의 정의를 선호합니다. 다양체를 매장된 대상이 아니라 내재적인 대상으로 다룬다는 우리의 철학을 따르기 때문입니다. 그러나 이 정의를 실제로 확인하는 일은 다소 번거롭습니다.

그래서 이 절에서는 다음을 하겠습니다.

•

$\mathbb{A}^{m}\to\mathbb{A}^{n}$ 인 모든 사상을 분류하고,
•

$\mathbb{CP}^{m}\to\mathbb{CP}^{n}$ 인 모든 사상을 분류합니다.

이어지는 내용에서는 무언가가 사상이라고 주장할 때 상당히 대충 넘어가겠습니다. 그것을 보이는 일은 대부분 세부 사항 확인에 불과하기 때문입니다. 이어지는 정리들은 사상의 대안적인 정의를 제공하며, 이 정의들은 좌표에 더 기반하고 실제 계산에 사용하기 더 쉽습니다.

81.2.1 아핀 분류

앞에서 $t\mapsto t^{2}$ 가 어떻게 사상을 주는지 보았습니다. 더 일반적으로, 임의의 다항식 $P(t)$ 가 주어지면 사상 $t\mapsto P(t)$ 도 성립합니다. 그리고 사실 그것이 전부입니다:

연습문제 81.2.1.

$X=\mathbb{A}^{1}$ , $Y=\mathbb{A}^{1}$ 이라 합시다. $\mathrm{id}\in\mathcal{O}_{Y}(Y)$ 를 고려하여 다른 정칙 함수가 존재하지 않음을 보이십시오.

사실, 앞의 연습문제를 일반화해 봅시다:

정리 81.2.2 (아핀 다양체의 정칙 사상은 대역적으로 다항식입니다).

$X\subseteq\mathbb{A}^{m}$ 와 $Y\subseteq\mathbb{A}^{n}$ 가 아핀 다양체라고 합시다. 다양체의 모든 사상 $f\colon X\to Y$ 는 다음과 같이 주어집니다.

x=\left(x_{1},\dots,x_{m}\right)\xmapsto{f}\left(P_{1}(x),\dots,P_{n}(x)\right)

여기서 $P_{1}$ , …, $P_{n}$ 은 다항식입니다.

증명.

이러한 함수가 모두 성립한다는 것은 그리 어렵지 않게 알 수 있으므로, 반대 방향을 보입시다. $f\colon X\to Y$ 가 사상이라고 합시다.

먼저, $f^{\text{pre}}(Y)=X$ 임에 주목하십시오. 이제 사영 $(y_{1},\dots,y_{n})\mapsto y_{1}$ 으로 주어지는 정칙 함수 $\pi_{1}\in\mathcal{O}_{Y}(Y)$ 를 고려합시다. 따라서 $\pi_{1}\circ f$ 는 $X$ 위에서 정칙이어야 합니다.

그런데 아핀 다양체에 대해 $\mathcal{O}_{X}(X)$ 는 바로 좌표환 $\mathbb{C}[X]$ 이므로, $\pi_{1}\circ f=P_{1}$ 을 만족하는 다항식 $P_{1}$ 이 존재함을 압니다. 다른 좌표에 대해서도 마찬가지입니다. ∎

81.2.2 사영 분류

안타깝게도 사영의 경우에는 상황이 조금 더 이상합니다. $X\subseteq\mathbb{CP}^{m}$ 와 $Y\subseteq\mathbb{CP}^{n}$ 가 사영 다양체이면, 다음 형태의 모든 함수는

x=\left(x_{0}:x_{1}:\dots:x_{m}\right)\mapsto\left(P_{0}(x):P_{1}(x):\dots:P_{% n}(x)\right)

$P_{i}$ 들이 같은 차수의 동차 다항식이고 동시에 모두 0이 되지 않는 한 올바른 사상입니다. 그러나 아핀 다양체에 대한 증명을 되풀이하려 하면 문제에 부딪힙니다: $\pi_{1}$ 사상이 존재하지 않습니다. ( $(1:1)=(2:2)$ 를 $1$ 로 보내야 합니까, $2$ 로 보내야 합니까?)

그리고 안타깝게도 이를 고칠 방법은 없습니다. 반례는 다음과 같습니다.

예제 81.2.3 (대역적으로 다항식이 아닌 사영 사상).

$V=\mathcal{V}_{\text{pr}}(xy-z^{2})\subseteq\mathbb{CP}^{2}$ 라 합시다. 그러면 다음 사상은

V\to\mathbb{CP}^{1}\quad\text{~{}에 의해}\quad(x:y:z)\mapsto\begin{cases}(x:z)&x% \neq 0\\ (z:y)&y\neq 0\end{cases}

사영 다양체의 사상임이 밝혀집니다. 이것이 잘 정의되는 것은 단지 $x,y\neq 0$ 일 때 $(x:z)=(z:y)$ 이기 때문입니다. 이는 정칙 함수의 정의를 떠올리게 할 것입니다.

좋은 소식은 “국소적인” 문제만이 유일한 제약 요인이라는 점입니다.

정리 81.2.4 (사영 다양체의 정칙 사상은 국소적으로 다항식입니다).

$X\subseteq\mathbb{CP}^{m}$ 와 $Y\subseteq\mathbb{CP}^{n}$ 가 사영 다양체이고 $f\colon X\to Y$ 가 사상이라고 합시다. 그러면 모든 점 $p\in X$ 에서 열린 근방 $U_{p}\ni p$ 와 ( $U$ 에 의존하는) 다항식 $P_{0}$ , $P_{1}$ , …, $P_{n}$ 이 존재하여 다음이 성립합니다.

f(x)=\left(P_{0}(x):P_{1}(x):\dots:P_{n}(x)\right)\quad\forall x=(x_{0}:\dots:% x_{n})\in U_{p}.

물론 다항식 $P_{i}$ 들은 같은 차수의 동차 다항식이어야 하며 $U_{p}$ 의 어떤 점에서도 동시에 0이 될 수 없습니다.

예제 81.2.5 (동형사상의 예).

사실, 사상 $V=\mathcal{V}_{\text{pr}}(xy-z^{2})\to\mathbb{CP}^{1}$ 은 동형사상입니다. 역사상 $\mathbb{CP}^{1}\to V$ 는 다음과 같이 주어집니다.

(s:t)\mapsto(s^{2}:t^{2}:st).

따라서 실제로 $V\cong\mathbb{CP}^{1}$ 입니다.

81.3 몇 가지 추가 응용과 예시

대표적인 예: $\mathbb{A}^{1}\hookrightarrow\mathbb{CP}^{1}$ 은 좋은 예입니다.

앞 절에서 아핀 다양체에서 아핀 다양체로 가는 경우와 사영 다양체에서 사영 다양체로 가는 경우를 완전히 정리했습니다. 그러나 이 장의 시작에서 제시한 정의는 임의의 아기 환 달린 공간에 대해 성립하므로, 아직 탐구할 여지가 많이 남아 있습니다.

예를 들어, 아핀 공간과 사영 공간이 서로 대화하게 할 수 있습니다. 안 될 이유가 있겠습니까? 당겨오기에 기반한 우리 정의의 강력함은, 서로 다른 곳에 있더라도 어떤 아기 환 달린 공간이든 서로 소통할 수 있게 해 준다는 데 있습니다.

예제 81.3.1 (매장 $\mathbb{A}^{1}\hookrightarrow\mathbb{CP}^{1}$ ).

다음 사상을 생각해 봅시다.

f\colon\mathbb{A}^{1}\hookrightarrow\mathbb{CP}^{1}\quad\text{~{}에 의해}\quad t% \mapsto(t:1).

이것 역시 다양체의 사상입니다. (당겨오기가 어떤 모습인지 보이십니까?) 이는 $\mathbb{CP}^{1}$ 이 “ $\mathbb{A}^{1}$ 에 무한원점 하나를 더한 것”이라는 사실을 반영합니다.

아기 환 달린 공간을 더 만들어 내는 또 다른 방법이 있습니다. 임의의 사영 다양체가 주어지면 그 열린 부분집합을 취할 수 있고, 그것 자체가 아기 환 달린 공간이 됩니다. 여기에 이름을 붙이겠습니다.

정의 81.3.2.

준사영 다양체란 사영 다양체 $V$ 의 열린집합 $X$ 입니다. 임의의 열린집합 $U\subseteq X$ 에 대해 단순히 $\mathcal{O}_{X}(U)=\mathcal{O}_{V}(U)$ 로 정의하면 되므로, 이것 역시 아기 환 달린 공간 $(X,\mathcal{O}_{X})$ 입니다.

사영 다양체의 열린 부분집합을 취하기로 한 것은 이렇게 하면 아핀 다양체까지 포괄되기 때문입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

예제 81.3.3 (포물선은 준사영입니다).

포물선 $V=\mathcal{V}(y-x^{2})\subset\mathbb{A}^{2}$ 을 생각해 봅시다. 사영 다양체 $W=\mathcal{V}_{\text{pr}}(zy-x^{2})$ 을 취하고 표준 아핀 차트 $D(z)$ 를 살펴봅니다. 그러면 다음 동형사상이 존재합니다.

	$\displaystyle V$	$\displaystyle\to D(z)\subseteq W$
	$\displaystyle(x,y)$	$\displaystyle\mapsto(x:y:1)$
	$\displaystyle(x/z,y/z)$	$\displaystyle\mapsfrom(x:y:z).$

따라서 $V$ 는 $W$ 의 열린 부분집합(과 동형)이므로, 이를 준사영으로 간주합니다.

그림 작성 예정: 포물선

일반적으로 이 증명은 쉽게 변형하여 적용할 수 있습니다.

명제 81.3.4 (아핀 $\subseteq$ 준사영).

모든 아핀 다양체는 어떤 준사영 다양체와 동형입니다(즉, 모든 아핀 다양체는 사영 다양체의 열린 부분집합입니다).

따라서 준사영 다양체는 지금까지 본 두 종류의 다양체를 모두 일반화합니다.

81.4 쌍곡선 효과

대표적인 예: $\mathbb{A}^{1}\setminus\{0\}$ 은 심지어 아핀입니다

그렇다면 자연스러운 질문이 생깁니다. 아핀도 사영도 아닌 준사영 다양체가 존재합니까? 답은 ’그렇다’이지만, 이야기 전개를 위해 일부러 모르는 척하며 예가 아닌 것을 찾아보겠습니다. 실제 예는 연습문제에서 제시합니다.

처음 떠오르는 방법은 가장 간단한 사영 다양체, 예컨대 $\mathbb{CP}^{1}$ 을 택해 (열린집합을 얻기 위해) 한 점을 제거하는 것일 수 있습니다. 이것은 준사영이지만 $\mathbb{A}^{1}$ 과 동형입니다. 그래서 대신 가장 간단한 아핀 다양체, 예컨대 $\mathbb{A}^{1}$ 에서 시작하여 한 점을 제거해 봅니다.

놀랍게도 이 방법은 통하지 않습니다.

예제 81.4.1 (핵심 예제: 구멍 뚫린 직선은 쌍곡선과 동형입니다).

$X=\mathbb{A}^{1}\setminus\{0\}$ 을 준사영 다양체라고 합시다. 사실 다음 동형사상이 존재한다고 주장합니다.

X\cong V=\mathcal{V}(xy-1)\subseteq\mathbb{A}^{2}

이로써 $X$ 가 여전히 아핀 다양체와 동형임을 알 수 있습니다. 사상은 다음과 같습니다.

	$\displaystyle X$	$\displaystyle\leftrightarrow V$
	$\displaystyle t$	$\displaystyle\mapsto(t,1/t)$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsfrom(x,y).$

직관적으로, $\mathbb{A}^{2}$ 안의 “쌍곡선 $y=1/x$ ”를 $x$ 축 위로 사영할 수 있습니다. 관련 그림은 다음과 같습니다.

사실 $\mathbb{A}^{1}$ 에서 점을 몇 개 제거하든 실패합니다. $\{1,2,3\}$ 을 제거하면, 그 결과로 얻는 열린집합은 아기 환 달린 공간으로서 $\mathcal{V}(y(x-1)(x-2)(x-3)-1)$ 과 동형이며, 이는 흔히 $y=\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)}$ 이라고 부를 수 있습니다.

사실은 더 일반적인 결과가 성립합니다.

아핀 다양체의 특수 열린집합은 아핀입니다.

정확한 동형사상은 다음과 같습니다.

정리 81.4.2 (아핀 다양체의 특수 열린 부분집합은 아핀입니다).

$X=D(f)\subseteq V=\mathcal{V}(f_{1},\dots,f_{m})\subseteq\mathbb{A}^{n}$ 을 생각합시다. 여기서 $V$ 는 아핀 다양체이고, 특수 열린집합 $X$ 는 준사영 다양체로 간주합니다. 다음과 같이 정의합니다.

W=\mathcal{V}(f_{1},\dots,f_{m},y\cdot f-1)\subseteq\mathbb{A}^{n+1}

여기서 $y$ 는 $\mathbb{A}^{n+1}$ 의 $(n+1)$ 번째 좌표입니다.

그러면 $X\cong W$ 입니다.

더 나은 이름이 없으므로 저는 이것을 쌍곡선 효과라고 부르겠으며, 이는 나중에 중요한 역할을 할 것입니다.

따라서 아핀이 아닌 준사영 다양체의 예를 찾고 싶다면, 구별된 열린집합이 아닌 아핀 공간의 열린집합을 살펴보는 것이 좋습니다. 의욕이 있다면 지금 구멍 뚫린 평면(즉, $\mathbb{A}^{2}$ 에서 원점을 뺀 것)이 그러한 예임을 증명해 보십시오. 이 예는 다음 장에서 다시 보게 될 것이므로, 그때 다시 한번 시도할 기회가 있습니다.

81.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 81A.

다음 사상을 생각합시다

\mathbb{A}^{1}\to\mathcal{V}(y^{2}-x^{3})\subseteq\mathbb{A}^{2}\quad\text{~{}% 에 의해}\quad t\mapsto(t^{2},t^{3}).

이것이 다양체의 사상이지만 동형사상은 아님을 보이십시오.

문제 81B.

모든 사영 다양체는 아핀 다양체와 동형인 열린 근방을 가짐을 보이십시오. 이러한 의미에서 “사영 다양체는 국소적으로 아핀”이라고 할 수 있습니다.

힌트. 표준 아핀 차트를 사용하십시오.

문제 81C.

$V$ 를 아핀 다양체, $W$ 를 기약 사영 다양체라고 합시다. $V\cong W$ 일 필요충분조건은 $V$ 와 $W$ 가 한 점인 것임을 증명하십시오.

힌트. 전역 정칙 함수를 살펴보십시오.

풀이. 두 다양체가 동형이라면 $\mathcal{O}_{V}(V)\cong\mathcal{O}_{W}(W)$ 가 성립합니다. 기약 사영 다양체에 대해서는 $\mathcal{O}_{W}(W)\cong\mathbb{C}$ 이고, 아핀 다양체에 대해서는 $\mathcal{O}_{V}(V)\cong\mathbb{C}[V]$ 입니다. 따라서 $V$ 는 한 점이어야 한다는 결론을 얻습니다.

문제 81D (구멍 뚫린 평면은 아핀이 아님).

^†^†margin:

$X=\mathbb{A}^{2}\setminus\{(0,0)\}$ 을 $\mathbb{A}^{2}$ 의 열린집합이라고 합시다. $V$ 를 임의의 아핀 다양체라 하고 $f\colon X\to V$ 를 사상이라고 합시다. $f$ 가 동형사상이 아님을 보이십시오.

힌트. $f$ 가 동형사상이라고 가정합시다. 그러면 이로부터 동형사상 $f^{\sharp}\colon\mathcal{O}_{V}(V)\to\mathcal{O}_{X}(X)=\mathbb{C}[x,y]$ 를 얻습니다. 따라서 $f^{\sharp}(a)=x$ , $f^{\sharp}(b)=y$ 가 되도록 $\mathcal{O}_{V}(V)=\mathbb{C}[a,b]$ 로 쓸 수 있습니다. $\mathcal{V}(a,b)=\{q\}$ 일 때 $f(p)=q$ 라고 합시다. 당겨오기의 정의를 사용하여 $p\in\mathcal{V}(x,y)$ 임을 증명하면 모순이 생깁니다.

풀이. 모순을 이끌어내기 위해 아핀 다양체 $V$ 와 다음 동형사상이 존재한다고 가정합시다

$f\colon X\to V.$

그러면 당겨오기를 취하여 다음 환 동형사상을 얻습니다

$f^{\sharp}\colon\mathcal{O}_{V}(V)\to\mathcal{O}_{X}(X)=\mathbb{C}[x,y].$

이제 $f^{\sharp}(a)=x$ , $f^{\sharp}(b)=y$ 가 되도록 $\mathcal{O}_{V}(V)=\mathbb{C}[a,b]$ 라고 합시다. 특히 실제로 $V\cong\mathbb{A}^{2}$ 이어야 합니다.

이제 아핀 다양체 $V$ 에서 $\mathcal{V}(a)$ 와 $\mathcal{V}(b)$ 를 취할 수 있습니다. $(a,b)$ 가 $\mathcal{O}_{V}(V)$ 의 극대 아이디얼이므로 이 둘의 교집합은 공집합이 아닙니다. 이 점을 $q$ 라 하고, $f(p)=q$ 인 점을 $p$ 라고 합시다.

그러면

$0=a(q)=(f^{\sharp}a)(p)=x(p)$

따라서 $p\in\mathcal{V}(x)\subseteq X$ 입니다. 마찬가지로 $p\in\mathcal{V}(y)\subseteq X$ 이지만, $\mathcal{V}(x,y)=\varnothing$ 이므로 이는 모순입니다.