장 81 대수다양체의 사상

스킴에 대한 작업을 준비하면서, 아핀 및 사영 대수다양체 사이의 사상에 대해 이야기하는 것으로 이 부분을 마무리하겠습니다. 이는 우리가 그것들을 정의하는 데 시간을 들였기 때문입니다.

아이디어: 아핀 및 사영 대수다양체가 모두 초급 유윤공간(baby ringed space)의 특수한 경우임을 알고 있으므로, 사실 우리는 임의의 두 초급 유윤공간 사이의 사상을 정의하기만 하면 됩니다.

81.1 초급 유윤공간의 사상 정의하기

대표적인 예: 다음 절을 보십시오.

$(X,\mathcal{O}_{X})$ 와 $(Y,\mathcal{O}_{Y})$ 를 초급 유윤공간이라 하고, 이들 사이의 사상을 어떻게 정의할지 생각해 봅시다.

대수학에서의 지도 원리는 사상이 기저 구조에 대한 함수이면서도, 그 위에 덧붙여진 풍부화된 추가 데이터를 존중하기를 원한다는 것입니다. 아주 초기의 몇 가지 예를 들어 보겠습니다:

예제 81.1.1 (사상을 정의하는 방법).

•

군을 생각해 봅시다. 군 $G$ 는 (원소들의) 기저 집합을 가지며, 이를 곱셈 연산으로 풍부화합니다. 따라서 준동형사상은 기저 집합 사이의 사상이면서, 동시에 군의 곱셈을 존중해야 합니다.
•

$R$ -가군을 생각해 봅시다. 각 $R$ -가군은 기저 아벨 군을 가지며, 이를 스칼라 곱셈으로 풍부화합니다. 따라서 선형 사상은 아벨 군의 준동형사상이어야 할 뿐만 아니라, 스칼라 곱셈 또한 존중해야 함을 요구합니다.
•

위상 공간을 생각해 봅시다. 공간 $X$ 는 (점들의) 기저 집합을 가지며, 이를 열린집합들의 위상으로 풍부화합니다. 따라서 우리는 점들의 집합에 대한 사상 중, 위상을 존중하는 것(열린집합의 원상이 열린집합인 것)을 고려합니다.

이번 경우, 유윤공간 $(X,\mathcal{O}_{X})$ 는 기저 위상 공간을 가지며, 이를 구조층으로 풍부화했습니다. 따라서 우리는 이러한 위상 공간들 사이의 연속 사상 $f\colon X\to Y$ 를 원하며, 이는 정칙 함수의 층을 존중해야 합니다.

이를 어떻게 할 수 있을까요? 만약 $\psi\colon Y\to\mathbb{C}$ 를 정칙 함수라 하면, 합성을 통해 $X\to Y\to\mathbb{C}$ 라는 사상을 자연스럽게 쓸 수 있습니다. 그러면 우리는 이것 또한 정칙 함수이기를 요구하고자 합니다.

더 일반적으로, $Y$ 위의 임의의 정칙 함수를 가져와 $X$ 위의 어떤 함수를 얻을 수 있는데, 이를 당겨오기라 부릅니다. 그런 다음 우리는 모든 당겨오기가 $X$ 위에서 정칙이기를 요구합니다.

정의 81.1.2.

$(X,\mathcal{O}_{X})$ 와 $(Y,\mathcal{O}_{Y})$ 를 초급 유윤공간이라 합시다. 사상 $f\colon X\to Y$ 와 정칙 함수 $\phi\in\mathcal{O}_{Y}(U)$ 가 주어졌을 때, $\phi$ 의 당겨오기를 $f^{\sharp}\phi$ 로 표기하며, 다음의 합성 함수로 정의합니다

f^{\text{pre}}(U)\xrightarrow{f}U\xrightarrow{\phi}\mathbb{C}.

”당겨오기”라는 용어의 사용은 미분 형식을 공부할 때와 동일합니다.

정의 81.1.3.

$(X,\mathcal{O}_{X})$ 와 $(Y,\mathcal{O}_{Y})$ 를 초급 유윤공간이라 합시다. 위상 공간 사이의 연속 사상 $f\colon X\to Y$ 는, $Y$ 위의 정칙 함수의 모든 당겨오기가 $X$ 위에서 정칙 함수일 때 사상이라 합니다.

두 초급 유윤공간은 그들 사이에 서로 역인 사상들이 존재할 때 동형이라 하며, 이때 이 사상들을 동형사상이라 부릅니다.

특히, 당겨오기는 모든 $U$ 에 대해 (방향이 뒤집힌) 환 준동형사상

f^{\sharp}\colon\mathcal{O}_{Y}(U)\to\mathcal{O}_{X}(f^{\text{pre}}(U))

을 제공합니다. 따라서 우리의 사상은 많은 정보를 담고 있습니다. 다음은 사상 $f$ 와, $\phi\colon U\to\mathbb{C}$ (여기서 $U\subseteq Y$ )의 당겨오기를 나타낸 그림입니다.

예제 81.1.4 ( $t\mapsto t^{2}$ 아래에서의 $\frac{1}{y-25}$ 의 당겨오기).

사상

f\colon X=\mathbb{A}^{1}\to Y=\mathbb{A}^{1}\quad\text{~{}에 의해}\quad t\mapsto t% ^{2}

은 대수다양체의 사상입니다. 예를 들어, 열린집합 $Y\setminus\{25\}\subseteq Y$ 위의 정칙 함수 $\varphi=\frac{1}{y-25}$ 를 생각해 봅시다. $f$ 의 역상은 $X\setminus\{\pm 5\}$ 입니다. 따라서 당겨오기는

	$\displaystyle f^{\sharp}\varphi\colon X\setminus\{\pm 5\}$	$\displaystyle\to\mathbb{C}$
	$\displaystyle\quad\text{~{}에 의해}\quad x$	$\displaystyle\mapsto\frac{1}{x^{2}-25}$

이며, 이는 $X\setminus\{\pm 5\}$ 위에서 정칙입니다.

81.2 가장 단순한 예시 분류

대표적인 예: 정리 81.2.2; 그것들은 그저 다항식일 뿐입니다.

철학적인 관점에서, 우리는 앞선 정의를 선호하는데, 이는 우리의 다양체를 매장된 대상이 아니라 내재적인 대상으로 다룬다는 우리의 철학에 부합하기 때문입니다. 그러나 이를 실제로 검증하는 것은 다소 성가신 일입니다.

그러므로 이 절에서 우리는 다음을 할 것입니다.

•

$\mathbb{A}^{m}\to\mathbb{A}^{n}$ 로부터의 모든 사상을 분류하고,
•

$\mathbb{CP}^{m}\to\mathbb{CP}^{n}$ 로부터의 모든 사상을 분류합니다.

이어지는 내용에서 어떤 것이 사상임을 주장할 때 많은 부분을 대충 얼버무릴 것인데, 이는 그렇게 하는 것이 대부분 세부 사항을 확인하는 작업이기 때문입니다. 이어지는 정리들은 우리에게 좌표에 더 기반을 두고 실제 계산에 사용하기 더 쉬운, 사상에 대한 대안적인 정의를 제공할 것입니다.

81.2.1 아핀 분류

앞서 우리는 $t\mapsto t^{2}$ 가 어떻게 사상을 주는지 보았습니다. 더 일반적으로, 임의의 다항식 $P(t)$ 가 주어졌을 때, 사상 $t\mapsto P(t)$ 도 성립합니다. 그리고 사실, 이것이 전부입니다:

연습문제 81.2.1.

$X=\mathbb{A}^{1}$ , $Y=\mathbb{A}^{1}$ 이라 합시다. $\mathrm{id}\in\mathcal{O}_{Y}(Y)$ 를 고려함으로써, 다른 정칙 함수는 존재하지 않음을 보이십시오.

사실, 앞선 연습문제를 일반화해봅시다:

정리 81.2.2 (아핀 다양체의 정칙 사상은 전역적으로 다항식이다).

$X\subseteq\mathbb{A}^{m}$ 과 $Y\subseteq\mathbb{A}^{n}$ 이 아핀 다양체라 합시다. 다양체의 모든 사상 $f\colon X\to Y$ 는 다음과 같이 주어집니다

x=\left(x_{1},\dots,x_{m}\right)\xmapsto{f}\left(P_{1}(x),\dots,P_{n}(x)\right)

여기서 $P_{1}$ , …, $P_{n}$ 은 다항식입니다.

증명.

그러한 모든 함수가 성립함을 확인하는 것은 그리 어렵지 않으므로, 반대 방향으로 가봅시다. $f\colon X\to Y$ 가 사상이라 합시다.

먼저, $f^{\text{pre}}(Y)=X$ 임을 주목하십시오. 이제 사영 $(y_{1},\dots,y_{n})\mapsto y_{1}$ 로 주어지는 정칙 함수 $\pi_{1}\in\mathcal{O}_{Y}(Y)$ 를 고려합시다. 따라서 우리는 $\pi_{1}\circ f$ 가 $X$ 위에서 정칙이어야 함이 필요합니다.

하지만 아핀 다양체의 경우 $\mathcal{O}_{X}(X)$ 는 단순히 좌표환 $\mathbb{C}[X]$ 이므로, $\pi_{1}\circ f=P_{1}$ 이 되는 다항식 $P_{1}$ 이 존재함을 알 수 있습니다. 다른 좌표들에 대해서도 마찬가지입니다. ∎

81.2.2 사영 분류

안타깝게도, 사영적인 설정에서는 상황이 다소 더 기묘합니다. $X\subseteq\mathbb{CP}^{m}$ 과 $Y\subseteq\mathbb{CP}^{n}$ 이 사영 다양체라면, 모든 함수

x=\left(x_{0}:x_{1}:\dots:x_{m}\right)\mapsto\left(P_{0}(x):P_{1}(x):\dots:P_{% n}(x)\right)

$P_{i}$ 들이 같은 차수의 동차식이고 동시에 모두 소멸하지 않는 한 유효한 사상입니다. 하지만 아핀 다양체에 대한 증명을 반복하려 하면 문제에 부딪힙니다: $\pi_{1}$ 사상이 존재하지 않습니다. ( $(1:1)=(2:2)$ 를 $1$ 로 보낼까요, 아니면 $2$ 로 보낼까요?)

그리고 안타깝게도, 이를 고칠 방법은 없습니다. 반례:

예제 81.2.3 (전역적으로 다항식이 아닌 사영 사상).

$V=\mathcal{V}_{\text{pr}}(xy-z^{2})\subseteq\mathbb{CP}^{2}$ 라 합시다. 그러면 사상

V\to\mathbb{CP}^{1}\quad\text{~{}에 의해}\quad(x:y:z)\mapsto\begin{cases}(x:z)&x% \neq 0\\ (z:y)&y\neq 0\end{cases}

은 사영 다양체의 사상임이 밝혀집니다. 이는 $x,y\neq 0$ 이면 $(x:z)=(z:y)$ 이기 때문에 잘 정의되는 것이며, 정칙 함수의 정의를 연상시켜야 합니다.

좋은 소식은 “국소적인” 문제만이 유일한 제약 요인이라는 것입니다.

정리 81.2.4 (사영 다양체의 정칙 사상은 국소적으로 다항식이다).

$X\subseteq\mathbb{CP}^{m}$ 과 $Y\subseteq\mathbb{CP}^{n}$ 이 사영 다양체이고 $f\colon X\to Y$ 가 사상이라 합시다. 그러면 모든 점 $p\in X$ 에서 열린 근방 $U_{p}\ni p$ 와 (그 $U$ 에 의존하는) 다항식 $P_{0}$ , $P_{1}$ , …, $P_{n}$ 이 존재하여 다음이 성립합니다

f(x)=\left(P_{0}(x):P_{1}(x):\dots:P_{n}(x)\right)\quad\forall x=(x_{0}:\dots:% x_{n})\in U_{p}.

물론 다항식 $P_{i}$ 는 같은 차수의 동차식이어야 하며 $U_{p}$ 의 어떤 점에서도 동시에 소멸할 수 없습니다.

예제 81.2.5 (동형사상의 예).

사실, 사상 $V=\mathcal{V}_{\text{pr}}(xy-z^{2})\to\mathbb{CP}^{1}$ 은 동형사상입니다. 역사상 $\mathbb{CP}^{1}\to V$ 는 다음과 같이 주어집니다

(s:t)\mapsto(s^{2}:t^{2}:st).

따라서 실제로 $V\cong\mathbb{CP}^{1}$ 입니다.

81.3 몇 가지 추가 응용과 예시

대표적인 예: $\mathbb{A}^{1}\hookrightarrow\mathbb{CP}^{1}$ 은 좋은 예입니다.

이전 절에서는 아핀 다양체를 아핀 다양체로, 사영 다양체를 사영 다양체로 완전히 정리했습니다. 그러나 이 장의 시작에서 제시한 정의는 임의의 베이비 환 달린 공간에 대해서도 성립하므로, 탐구할 여지가 여전히 많이 남아 있습니다.

예를 들어, 아핀 공간과 사영 공간이 서로 대화하게 만들 수 있습니다. 안 될 이유가 있겠습니까? 당겨오기 기반 정의의 힘은, 서로 다른 곳에 존재하더라도 임의의 베이비 환 달린 공간들이 소통할 수 있게 해준다는 데 있습니다.

예제 81.3.1 ( $\mathbb{A}^{1}\hookrightarrow\mathbb{CP}^{1}$ 의 매장).

다음 사상을 생각해 봅시다

f\colon\mathbb{A}^{1}\hookrightarrow\mathbb{CP}^{1}\quad\text{~{}에 의해}\quad t% \mapsto(t:1).

이것 역시 다양체의 사상입니다. (당겨오기가 어떤 모습일지 보이십니까?) 이는 $\mathbb{CP}^{1}$ 이 ” $\mathbb{A}^{1}$ 에 무한원점 하나를 더한 것”이라는 사실을 반영합니다.

더 많은 베이비 환 달린 공간을 만들어내는 또 다른 방법이 여기 있습니다. 임의의 사영 다양체가 주어지면, 그것의 열린 부분집합을 취할 수 있고, 그것 자체가 베이비 환 달린 공간이 됩니다. 여기에 이름을 붙여 보겠습니다.

정의 81.3.2.

준사영 다양체란 사영 다양체 $V$ 의 열린집합 $X$ 를 말합니다. 임의의 열린집합 $U\subseteq X$ 에 대해 단순히 $\mathcal{O}_{X}(U)=\mathcal{O}_{V}(U)$ 로 정의하기 때문에, 이것 역시 베이비 환 달린 공간 $(X,\mathcal{O}_{X})$ 입니다.

사영 다양체의 열린 부분집합을 취하기로 한 이유는, 이것이 아핀 다양체까지도 포섭하기 때문입니다. 예를 들면:

예제 81.3.3 (포물선은 준사영 다양체이다).

포물선 $V=\mathcal{V}(y-x^{2})\subset\mathbb{A}^{2}$ 을 생각해 봅시다. 사영 다양체 $W=\mathcal{V}_{\text{pr}}(zy-x^{2})$ 을 취하고, 표준 아핀 조각 $D(z)$ 를 살펴봅니다. 그러면 다음과 같은 동형사상이 존재합니다

	$\displaystyle V$	$\displaystyle\to D(z)\subseteq W$
	$\displaystyle(x,y)$	$\displaystyle\mapsto(x:y:1)$
	$\displaystyle(x/z,y/z)$	$\displaystyle\mapsfrom(x:y:z).$

결과적으로 $V$ 는 $W$ 의 열린 부분집합과 동형이므로, 이를 준사영으로 간주합니다.

그림 작성 예정: 포물선

일반적으로 이 증명은 쉽게 적용할 수 있습니다.

명제 81.3.4 (아핀 $\subseteq$ 준사영).

모든 아핀 다양체는 준사영 다양체와 동형입니다 (즉, 모든 아핀 다양체는 어떤 사영 다양체의 열린 부분집합입니다).

따라서 준사영 다양체는 지금까지 살펴본 두 종류의 다양체를 모두 일반화합니다.

81.4 쌍곡선 효과

대표적인 예: $\mathbb{A}^{1}\setminus\{0\}$ 은 심지어 아핀이다

그렇다면 자연스러운 질문이 생깁니다: 아핀도 사영도 아닌 준사영 다양체가 존재하는가? 답은 그렇다이지만, 서술의 흐름을 위해 일부러 모르는 척하며 반례를 찾아보겠습니다. 실제 예시는 연습문제에서 제시됩니다.

우리의 첫 번째 추측은 가장 단순한 사영 다양체, 이를테면 $\mathbb{CP}^{1}$ 을 취해서 점 하나를 제거하는 것(열린집합을 얻기 위해)일 수 있습니다. 이는 준사영이지만 $\mathbb{A}^{1}$ 과 동형입니다. 그래서 대신 가장 단순한 아핀 다양체, 이를테면 $\mathbb{A}^{1}$ 에서 시작해서 점 하나를 제거해 보겠습니다.

놀랍게도 이것은 통하지 않습니다.

예제 81.4.1 (핵심 예시: 구멍 뚫린 직선은 쌍곡선과 동형이다).

$X=\mathbb{A}^{1}\setminus\{0\}$ 을 준사영 다양체라고 합시다. 우리는 실제로 다음과 같은 동형사상이 성립함을 주장합니다

X\cong V=\mathcal{V}(xy-1)\subseteq\mathbb{A}^{2}

이는 $X$ 가 여전히 어떤 아핀 다양체와 동형임을 보여줍니다. 사상들은 다음과 같습니다

	$\displaystyle X$	$\displaystyle\leftrightarrow V$
	$\displaystyle t$	$\displaystyle\mapsto(t,1/t)$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsfrom(x,y).$

직관적으로, $\mathbb{A}^{2}$ 안의 ”쌍곡선 $y=1/x$ ”는 $x$ 축 위로 사영할 수 있습니다. 관련 그림은 다음과 같습니다.

사실, $\mathbb{A}^{1}$ 에서 임의의 개수의 점을 제거하는 방법은 실패합니다. $\{1,2,3\}$ 을 제거하면, 그 결과로 얻어지는 열린집합은 baby ringed space로서 $\mathcal{V}(y(x-1)(x-2)(x-3)-1)$ 과 동형이며, 이는 통속적으로 $y=\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)}$ 이라고 부를 수 있습니다.

진실은 더 일반적입니다.

아핀 다양체의 특별열린집합은 아핀입니다.

정확한 동형사상은 다음과 같습니다.

정리 81.4.2 (아핀의 특별열린 부분집합은 아핀이다).

$X=D(f)\subseteq V=\mathcal{V}(f_{1},\dots,f_{m})\subseteq\mathbb{A}^{n}$ 을 생각하십시오. 여기서 $V$ 는 아핀 다양체이고, 특별열린집합 $X$ 는 준사영 다양체로 여겨집니다. 다음과 같이 정의하십시오

W=\mathcal{V}(f_{1},\dots,f_{m},y\cdot f-1)\subseteq\mathbb{A}^{n+1}

여기서 $y$ 는 $\mathbb{A}^{n+1}$ 의 $(n+1)$ 번째 좌표입니다.

그러면 $X\cong W$ 입니다.

더 나은 이름이 없어서, 저는 이것을 쌍곡선 효과라고 부르겠으며, 이는 나중에 중요한 역할을 하게 될 것입니다.

따라서 아핀이 아닌 준사영 다양체의 예를 찾고자 한다면, 좋은 후보 하나는 특별열린집합이 아닌 아핀 공간의 열린집합일 것입니다. 지금 야심이 있다면, 구멍 뚫린 평면(즉, $\mathbb{A}^{2}$ 에서 원점을 뺀 것)이 그러한 예임을 증명해 볼 수 있습니다. 이 예는 다음 장에서 다시 보게 될 것이므로, 다시 시도할 기회가 한 번 더 있을 것입니다.

81.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 81A.

다음 사상을 생각하십시오

\mathbb{A}^{1}\to\mathcal{V}(y^{2}-x^{3})\subseteq\mathbb{A}^{2}\quad\text{~{}% 에 의해}\quad t\mapsto(t^{2},t^{3}).

이것이 다양체의 사상이지만 동형사상은 아님을 보이십시오.

문제 81B.

모든 사영 다양체는 아핀 다양체와 동형인 열린 근방을 가짐을 보이십시오. 이런 의미에서 ”사영 다양체는 국소적으로 아핀”입니다.

힌트. 표준 아핀 좌표계를 사용하십시오.

문제 81C.

$V$ 를 아핀 다양체라 하고 $W$ 를 기약 사영 다양체라 하십시오. $V\cong W$ 인 것과 $V$ 와 $W$ 가 단일 점인 것이 동치임을 증명하십시오.

힌트. 대역적 정칙함수를 살펴보십시오.

풀이. 만약 이들이 동형이라면, $\mathcal{O}_{V}(V)\cong\mathcal{O}_{W}(W)$ 가 성립할 것입니다. 기약 사영 다양체에 대해서는 $\mathcal{O}_{W}(W)\cong\mathbb{C}$ 이고, 아핀 다양체에 대해서는 $\mathcal{O}_{V}(V)\cong\mathbb{C}[V]$ 입니다. 따라서 $V$ 는 반드시 단일 점이어야 함을 결론지을 수 있습니다.

문제 81D (구멍 뚫린 평면은 아핀이 아니다).

^†^†margin:

$X=\mathbb{A}^{2}\setminus\{(0,0)\}$ 을 $\mathbb{A}^{2}$ 의 열린집합이라 하십시오. $V$ 를 임의의 아핀 다양체라 하고 $f\colon X\to V$ 를 사상이라 하십시오. $f$ 가 동형사상이 아님을 보이십시오.

힌트. $f$ 가 동형사상이라고 가정하십시오. 그러면 이는 동형사상 $f^{\sharp}\colon\mathcal{O}_{V}(V)\to\mathcal{O}_{X}(X)=\mathbb{C}[x,y]$ 를 줍니다. 따라서 $\mathcal{O}_{V}(V)=\mathbb{C}[a,b]$ 로 쓸 수 있으며, 여기서 $f^{\sharp}(a)=x$ 이고 $f^{\sharp}(b)=y$ 입니다. $\mathcal{V}(a,b)=\{q\}$ 일 때 $f(p)=q$ 라 하십시오. 당겨오기의 정의를 사용하여 $p\in\mathcal{V}(x,y)$ 임을 증명하여 모순을 이끌어내십시오.

풀이. 모순을 위해 아핀 다양체 $V$ 와 동형사상이 존재한다고 가정하십시오

$f\colon X\to V.$

그러면 당겨오기를 취하면 환 동형사상을 얻습니다

$f^{\sharp}\colon\mathcal{O}_{V}(V)\to\mathcal{O}_{X}(X)=\mathbb{C}[x,y].$

이제 $\mathcal{O}_{V}(V)=\mathbb{C}[a,b]$ 라 하겠습니다. 여기서 $f^{\sharp}(a)=x$ , $f^{\sharp}(b)=y$ 입니다. 특히, 실제로 $V\cong\mathbb{A}^{2}$ 이어야 합니다.

이제 아핀 다양체 $V$ 에서 $\mathcal{V}(a)$ 와 $\mathcal{V}(b)$ 를 취할 수 있습니다. 이들은 공집합이 아닌 교집합을 가지는데, $(a,b)$ 가 $\mathcal{O}_{V}(V)$ 에서 극대 아이디얼이기 때문입니다. 이 점을 $q$ 라 부르고, $f(p)=q$ 인 점 $p$ 를 취하십시오.

그러면

$0=a(q)=(f^{\sharp}a)(p)=x(p)$

따라서 $p\in\mathcal{V}(x)\subseteq X$ 입니다. 마찬가지로 $p\in\mathcal{V}(y)\subseteq X$ 이지만, $\mathcal{V}(x,y)=\varnothing$ 이므로 이는 모순입니다.