장 93 강제법

이제 폴 코언(Paul Cohen)의 강제법 기법을 소개하고, 이를 이용하여 연속체 가설을 깨뜨리겠습니다.

작동 방식은 다음과 같습니다. 추이적 모형 $M$ 과 그 안의 부분순서집합 $\mathbb{P}$ 가 주어지면, “제네릭” 부분집합 $G\subseteq\mathbb{P}$ 를 생각할 수 있습니다. 이때 $G$ 는 $M$ 에 속하지 않습니다. 그런 다음 $M$ 과 $G$ 를 모두 포함하는 더 큰 우주 $M[G]$ 를 구성하겠습니다. (이 표기법은 예컨대 $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ 와 일부러 같게 정한 것입니다 – 대수의 경우에는 $\mathbb{Z}$ 에 새로운 원소 $\sqrt{2}$ 와 그로부터 생성될 수 있는 모든 것을 추가합니다.) $\mathbb{P}$ 를 잘 선택하면 $M[G]$ 가 바람직한 성질을 갖도록 할 수 있습니다.

그림:

모형 $M$ 은 초록색으로, 그 확장 $M[G]$ 는 빨간색으로 그려져 있습니다.

모형 $M$ 과 $M[G]$ 는 같은 순서수를 공유하며, 여기서는 이를 $M$ 이 $M[G]$ 보다 높지 않은 것으로 나타냈습니다. 그러나 한 가지 문제는 강제법이 $M$ 의 기수들 사이에 원래 없던 새로운 전단사를 도입할 수 있다는 점입니다. 이로 인해 기수 붕괴라는 현상이 일어납니다. 말 그대로 $M$ 의 기수가 $M[G]$ 에서는 더 이상 기수가 아니고 단지 순서수가 됩니다. 이는 $G$ 를 첨가하는 과정에서 이전 우주에 없던 전단사를 우연히 얻을 수 있기 때문입니다. 그려진 도식에서는 $\omega$ 를 $\aleph_{1}^{M}$ 으로 보내는 함수 $f$ 가 이에 해당합니다. 본질적으로 어려움은 “ $\kappa$ 는 기수이다”가 $\Pi_{1}$ 명제라는 데 있습니다.

연속체 가설의 경우, 임의의 제네릭 부분집합 $G$ 가 $\aleph_{2}^{M}$ 개의 실수를 “부호화”하도록 하는 $\mathbb{P}$ 를 도입하겠습니다. 그런 다음 기수 붕괴가 일어나지 않음을, 즉 $\aleph_{2}^{M[G]}=\aleph_{2}^{M}$ 임을 보이겠습니다. 따라서 원하던 대로 $M[G]$ 는 $\aleph_{2}^{M[G]}$ 개의 실수를 갖게 됩니다.

93.1 부분순서집합 설정하기

대표적인 예: 무한 이진 트리

$M$ 을 $\mathsf{ZFC}$ 의 추이적 모형이라고 합시다. $\mathbb{P}=(\mathbb{P},\leq)\in M$ 을 모형 $M$ 안에 있으며 최대 원소 $1_{\mathbb{P}}$ 를 갖는 부분순서집합이라고 합시다. $\mathbb{P}$ 의 원소를 조건이라고 부릅니다. 이들이 $M[G]$ 에서 무언가가 참이 되도록 강제하기 때문입니다.

정의 93.1.1.

모든 $p\in\mathbb{P}$ 에 대하여 $q\leq p$ 인 $q\in D$ 가 존재하면 부분집합 $D\subseteq\mathbb{P}$ 를 조밀하다고 합니다.

조밀한 부분집합의 예로는 $\mathbb{P}$ 전체와 임의의 아래쪽 “조각”이 있습니다.

정의 93.1.2.

$p,q\in\mathbb{P}$ 에 대하여 $r\leq p$ 이고 $r\leq q$ 인 $r\in\mathbb{P}$ 가 존재하면 $p\parallel q$ 라고 쓰고, “ $p$ 는 $q$ 와 양립 가능하다”고 말합니다. 그렇지 않으면 $p$ 와 $q$ 가 양립 불가능하다고 하고 $p\perp q$ 라고 씁니다.

예제 93.1.3 (무한 이진 트리).

$\mathbb{P}=2^{<\omega}$ 를 아래에 보인 무한 이진 트리를 자명한 방식으로 무한히 확장한 것이라고 합시다:

(a)

최대 원소 $1_{\mathbb{P}}$ 는 빈 문자열 $\varnothing$ 입니다.
(b)

$D=\{\text{$001$로 끝나는 모든 문자열}\}$ 은 조밀 집합의 한 예입니다.
(c)

$\mathbb{P}$ 의 두 원소는 비교 가능하지 않으면 양립 가능하지 않습니다.

예제 93.1.4 (무한 사슬).

$\mathbb{P}=(\mathbb{N},\geq)$ 라고 합시다. 이는 “무한 일진 트리”로 생각할 수 있습니다.

•

최대 원소 $1_{\mathbb{P}}$ 는 $1$ 입니다.
•

집합이 조밀할 필요충분조건은 무한히 많은 원소를 갖는 것입니다. 예를 들어 모든 양의 짝수의 집합과 모든 소수의 집합은 조밀합니다.

이제 “제네릭”하다는 것이 무엇을 뜻하는지 명시할 수 있습니다.

정의 93.1.5.

공집합이 아닌 집합 $G\subseteq\mathbb{P}$ 가 다음을 만족하면 필터라고 합니다

(a)

집합 $G$ 는 위로 닫혀 있습니다: $\forall p\in G(\forall q\geq p)(q\in G)$ .
(b)

$G$ 의 임의의 두 원소는 양립 가능합니다.

모형 $M$ 안에 있는 모든 $D$ 에 대하여 $D$ 가 조밀하면 $G\cap D\neq\varnothing$ 가 성립할 때, $G$ 를 $M$ -제네릭이라고 합니다.

질문 93.1.6.

$G$ 가 필터이면 $1_{\mathbb{P}}\in G$ 임을 보이십시오.

$D\in M$ 이라는 조건이 중요하다는 점에 유의하십시오. 그 이유는 다음과 같습니다:

질문 93.1.7.

무한 이진 트리에서 다음을 보이십시오:

•

모든 필터 $G$ 에 대하여 $G\cap D=\varnothing$ 을 만족하는 조밀 부분집합 $D$ (반드시 $M$ 에 속할 필요는 없음)가 존재합니다.
•

구체적으로, $G\in M$ 이면 그러한 집합 $D$ 를 $D\in M$ 이 되도록 고를 수 있습니다 — 특히 $G$ 는 $M$ -제네릭이 아닙니다.

이는 나중에 보조정리 93.2.5에서 형식화하겠습니다.

예제 93.1.8 (무한 이진 트리 위의 제네릭 필터).

$\mathbb{P}=2^{<\omega}$ 라고 합시다. $\mathbb{P}$ 위의 제네릭 필터는 다음 꼴의 집합입니다

\left\{0,\;b_{1},\;b_{1}b_{2},\;b_{1}b_{2}b_{3},\;\dots\right\}.

따라서 $\mathbb{P}$ 위의 모든 제네릭 필터는 이진수 $b=0.b_{1}b_{2}b_{3}\dots$ 에 대응합니다.¹¹1 $0.1000\dots$ 과 $0.0111\dots$ 처럼 서로 다른 두 필터가 같은 실수에 대응하는 경우가 있을 수 있다는 점에 유의하십시오. 그러나 그러한 필터는 반드시 제네릭이 아닙니다.

어떤 실수가 제네릭 필터에 대응하는지 기술하기는 더 어렵지만, 그러한 실수는 정말로 “무작위처럼 보여야” 합니다. 예를 들어 $011$ 로 끝나는 문자열들의 집합은 조밀하므로 $b$ 안에 “ $011$ ”이 나타나리라고 기대할 수 있고, 더 일반적으로는 $b$ 가 모든 이진 문자열을 포함하리라고 기대할 수 있습니다. 따라서 $\pi-3$ 의 이진 전개는 제네릭에 대응할 수도 있다고 기대할 수 있지만, $0.010101\dots$ 과 같은 것은 그렇지 않을 것입니다. 이것이 이들을 “제네릭”이라고 부르는 이유입니다.

예제 93.1.9 (무한 사슬 위의 제네릭 필터).

$\mathbb{P}=(\mathbb{N},\geq)$ 위의 제네릭 필터는 단 하나, 즉 $\mathbb{N}$ 자신뿐입니다.

이것은 실제로 제네릭입니다 — 모든 조밀 집합과 만납니다. 어떤 기준으로 보아도 이것은 “무작위처럼 보이지” 않는다고 말할 수도 있습니다 — 그러나 생각해 보면, 뿌리 $1_{\mathbb{P}}=1$ 에서 시작하여 각 단계마다 무작위로 아래로 이동한다고 할 때, 갈 수 있는 곳은 단 하나뿐입니다!

연습문제 93.1.10.

$2^{<\omega}$ 위의 모든 제네릭 필터가 위의 꼴임을 확인하십시오. 역으로, 이진수 하나가 필터를 주지만 그 필터가 반드시 제네릭일 필요는 없음을 보이십시오.

$p\geq q$ 이면 문장 $q\in G$ 가 문장 $p\in G$ 보다 더 많은 정보를 알려 준다는 점에 주목하십시오. 그런 의미에서 $q$ 는 더 강한 조건입니다. 또 다른 의미에서 $1_{\mathbb{P}}$ 는 가능한 가장 약한 조건인데, $G$ 에 대해 아무것도 알려 주지 않기 때문입니다. $G$ 가 위로 닫혀 있으므로 항상 $1_{\mathbb{P}}\in G$ 입니다.

93.2 부분순서집합의 추가 성질

제네릭 필터가 존재한다는 것을 확실히 해 두는 편이 좋겠습니다.

예제 93.2.1.

$\mathbb{P}$ 가 무한 이진 트리이고 $M$ 이 $\mathbb{P}$ 의 모든 부분집합을 포함하면 제네릭 필터는 존재하지 않습니다 — 모든 필터 $G\subseteq\mathbb{P}$ 에 대하여 $\mathbb{P}\setminus G$ 는 조밀 집합 $D\in M$ 이고, $G\cap D=\varnothing$ 이기 때문입니다.

사실 이는 다소 까다롭지만, 가산 모형에 대해서는 성립합니다:

보조정리 93.2.2 (라시오바-시코르스키 보조정리).

$M$ 이 $\mathsf{ZFC}$ 의 가산 추이적 모형이고 $\mathbb{P}$ 가 부분순서라고 합시다. 그러면 $M$ -제네릭 필터 $G$ 가 존재합니다.

증명.

요컨대 하나씩 차례로 맞혀 나가면 됩니다. 문제 93B. ∎

다행히도 $\mathsf{CH}$ 를 깨뜨리려면 어차피 $M$ 이 가산이기를 원할 것입니다.

올바른 방향으로 가고 있는지 확인하기 위해 해야 할 또 다른 일은 제네릭 집합 $G$ 가 실제로는 $M$ 에 속하지 않음을 보장하는 것입니다. (비유: $\mathbb{Z}[3]$ 은 정말 시시한 확장입니다.) 이를 보장하는 조건은 다음과 같습니다.

정의 93.2.3.

부분순서 $\mathbb{P}$ 가 모든 $p\in\mathbb{P}$ 에 대하여 $q\perp r$ 인 $q,r\leq p$ 를 가질 때, $\mathbb{P}$ 를 분할적이라고 합니다.

예제 93.2.4 (무한 이진 트리는 (매우) 분할적입니다).

무한 이진 트리는 더할 나위 없이 분할적입니다. $p\in 2^{<\omega}$ 가 주어지면 그 바로 아래에 있는 두 원소를 생각하기만 하면 됩니다.

보조정리 93.2.5 (분할적 부분순서집합은 제네릭 집합을 빠뜨립니다).

$\mathbb{P}$ 가 분할적이라고 가정합시다. 그러면 $F\subseteq\mathbb{P}$ 가 $F\in M$ 인 필터일 때 $\mathbb{P}\setminus F$ 는 조밀합니다. 특히 $G\subseteq\mathbb{P}$ 가 제네릭이면 $G\notin M$ 입니다.

증명.

$p\notin\mathbb{P}\setminus F\iff p\in F$ 인 $p$ 를 생각하십시오. $\mathbb{P}$ 가 분할적이므로 서로 양립하지 않는 $q,r\leq p$ 가 존재합니다. $F$ 는 필터이므로 둘 다 포함할 수는 없습니다. 따라서 둘 중 하나는 $F$ 밖에 있어야 하며, 이를 $q$ 라고 합시다. 그러므로 $p\in\mathbb{P}\setminus(\mathbb{P}\setminus F)$ 인 모든 원소는 $\mathbb{P}\setminus F$ 안에 원소 $q\leq p$ 를 가집니다. 이것으로 $\mathbb{P}\setminus F$ 가 조밀함을 증명하기에 충분합니다.

질문 93.2.6.

제네릭 $G$ 에 관한 보조정리의 마지막 주장을 유도하십시오. ∎

93.3 이름, 그리고 제네릭 확장

이제 부분순서집합 $\mathbb{P}$ 에 연관된 이름을 정의합니다.

정의 93.3.1.

$M$ 이 $\mathsf{ZFC}$ 의 추이적 모형이고 $\mathbb{P}=(\mathbb{P},\leq)\in M$ 이 부분순서라고 가정합시다. $\mathbb{P}$ -이름의 위계를 다음과 같이 재귀적으로 정의합니다.

	$\displaystyle\text{Name}_{0}$	$\displaystyle=\varnothing$
	$\displaystyle\text{Name}_{\alpha+1}$	$\displaystyle=\mathcal{P}(\text{Name}_{\alpha}\times\mathbb{P})$
	$\displaystyle\text{Name}_{\lambda}$	$\displaystyle=\bigcup_{\alpha<\lambda}\text{Name}_{\alpha}.$

마지막으로 $\text{Name}=\bigcup_{\alpha}\text{Name}_{\alpha}$ 는 모든 $\mathbb{P}$ -이름의 모임을 나타냅니다.

(이 $\text{Name}_{\alpha}$ 들은 $V_{\alpha}$ 들의 유사물입니다. 각 $\text{Name}_{\alpha}$ 는 계수가 $\leq\alpha$ 인 모든 이름의 집합일 뿐입니다.)

정의 93.3.2.

필터 $G$ 에 대하여, $G$ 에 의한 $\tau$ 의 해석을 $\tau^{G}$ 로 나타내고 초한 재귀를 사용하여 다음과 같이 정의합니다.

\tau^{G}=\left\{\sigma^{G}\mid\left<\sigma,p\right>\in\tau\text{그리고}p\in G% \right\}.

그런 다음 모형을 다음과 같이 정의합니다.

M[G]=\left\{\tau^{G}\mid\tau\in\text{Name}^{M}\right\}

여기서 $\text{Name}^{M}$ 은 모임 Name의 원소 중 $M$ 에 속하는 것들입니다. 따라서 $M[G]$ 는 집합입니다. 말로 하자면, $M[G]$ 는 ( $M$ 에서 계산한) 가능한 모든 $\mathbb{P}$ -이름의 해석입니다.

$\mathbb{P}$ -이름을 “흐릿한 집합”으로 생각하십시오. 아이디어는 다음과 같습니다. 보통의 집합은 보통의 집합들의 모음이므로, 흐릿한 집합은 흐릿한 집합들의 모음이어야 합니다. 이 흐릿한 집합들은 아직 오지 않은 크리스마스의 유령처럼 생각할 수 있습니다. 즉 확실한 것이 아니라 그럴 수도 있는 것을 나타냅니다. 다시 말해, 이들은 $G$ 를 여러 가지로 선택함에 따라 $M[G]$ 가 맞이할 수 있는 가능한 미래를 나타냅니다.

모든 흐릿한 집합에는 원소 $p\in\mathbb{P}$ 가 꽂혀 있습니다. 심판의 때가 오면 제네릭 $G$ 를 하나 골라 $\mathbb{P}$ -이름의 우주를 걸러 냅니다. $G$ 의 원소가 붙어 있는 흐릿한 집합은 현실 세계에 실체화되고, $G$ 밖의 원소가 붙어 있는 흐릿한 집합은 존재에서 사라집니다. 그 결과가 $M[G]$ 입니다.

예제 93.3.3 (이름 위계의 처음 몇 단계).

다음을 계산해 봅시다.

	$\displaystyle\text{Name}_{0}$	$\displaystyle=\varnothing$
	$\displaystyle\text{Name}_{1}$	$\displaystyle=\mathcal{P}(\varnothing\times\mathbb{P})$
		$\displaystyle=\{\varnothing\}$
	$\displaystyle\text{Name}_{2}$	$\displaystyle=\mathcal{P}(\{\varnothing\}\times\mathbb{P})$
		$\displaystyle=\mathcal{P}\left(\left\{\left<\varnothing,p\right>\mid p\in% \mathbb{P}\right\}\right).$

대응하는 폰 노이만 우주와 비교하십시오.

V_{0}=\varnothing,\;V_{1}=\{\varnothing\},\;V_{2}=\left\{\varnothing,\left\{% \varnothing\right\}\right\}.

예제 93.3.4 (해석의 예).

앞에서 말했듯이 $\text{Name}_{1}=\{\varnothing\}$ 입니다. 이제 다음을 가정합시다.

\tau=\left\{\left<\varnothing,p_{1}\right>,\left<\varnothing,p_{2}\right>,% \dots,\left<\varnothing,p_{n}\right>\right\}\in\text{Name}_{2}.

그러면

\tau^{G}=\left\{\varnothing\mid\left<\varnothing,p\right>\in\tau\text{그리고}p\in G% \right\}=\begin{cases}\{\varnothing\}&\text{어떤 ~{}가 존재하면}p_{i}\in G\\ \varnothing&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

특히 $1_{\mathbb{P}}\in G$ 이므로 다음이 성립합니다.

•

$n=0$ 일 때 $\tau=\varnothing$ 이므로 $\tau^{G}=\varnothing$ 입니다.
•

$n=1$ 이고 $p_{1}=1_{\mathbb{P}}$ 일 때 $\tau=\{\langle\varnothing,1_{\mathbb{P}}\rangle\}$ 이므로 $\tau^{G}=\{\varnothing\}$ 입니다.

따라서

\left\{\tau^{G}\mid\tau\in\text{Name}_{2}\right\}=V_{2}.

사실 이는 $2$ 뿐만 아니라 임의의 자연수 $n$ 에 대해 성립합니다.

따라서 $M[G]$ 와 $M$ 은 유한집합에 대해 일치합니다.

이제 $M[G]$ 가 $M$ 의 원소들을 포함하도록 하고자 합니다. 위의 $\left\{\tau^{G}\mid\tau\in\text{Name}_{2}\right\}=V_{2}$ 의 증명을 쉽게 응용할 수 있습니다. $1_{\mathbb{P}}$ 는 반드시 $G$ 에 속하므로, 모든 $x\in M$ 에 대해 다음 집합을

\check{x}=\left\{\left<\check{y},1_{\mathbb{P}}\right>\mid y\in x\right\}

초한 재귀로 정의합니다. 기본적으로 $\check{x}$ 는 모든 중첩 단계에서 모든 원소에 $1_{\mathbb{P}}$ 라는 꼬리표를 붙인 $x$ 의 사본일 뿐입니다.

예제 93.3.5.

$\check{0}=0$ 과 $\check{1}=\{\langle\check{0},1_{\mathbb{P}}\rangle\}$ 을 계산하십시오. 따라서 다음이 성립합니다.

(\check{0})^{G}=0\quad\text{이고}\quad(\check{1})^{G}=1.

질문 93.3.6.

일반적으로 $(\check{x})^{G}=x$ 임을 보이십시오. (계수에 대한 귀납법을 사용하십시오.)

그런데 $G$ 도 $M[G]$ 에 속하도록 하고 싶습니다. 사실 그 이름을 정확히 적을 수 있습니다. 다음과 같이 정의합니다.

\dot{\mathbb{P}}\coloneqq\left\{\left<\check{p},p\right>\mid p\in\mathbb{P}% \right\}.

질문 93.3.7.

$(\dot{\mathbb{P}})\in\text{Name}^{M}$ 이고 $(\dot{\mathbb{P}})^{G}=G$ 임을 보이십시오.

질문 93.3.8.

$M[G]$ 가 추이적임을 확인하십시오. 즉, $\sigma^{G}\in\tau^{G}\in M[G]$ 이면 $\sigma^{G}\in M[G]$ 임을 보이십시오. (이것은 어이없을 정도로 쉽습니다.)

요약하면,

$M[G]$ 는 $M$ 을 확장하는 추이적 모형입니다( $G$ 를 포함합니다).

게다가 $G$ 가 단지 필터이기만 해도 꽤 잘 작동합니다. 바로 얻을 수 있는 것이 무엇인지 살펴봅시다.

보조정리 93.3.9 (필터로부터 얻어지는 성질).

$M$ 을 $\mathsf{ZFC}$ 의 추이적 모형이라고 합시다. $G$ 가 필터이면 $M[G]$ 는 추이적이고 $\mathrm{Extensionality}$ , $\mathrm{Foundation}$ , $\mathrm{EmptySet}$ , $\mathrm{Infinity}$ , $\mathrm{Pairing}$ , $\mathrm{Union}$ 을 만족합니다.

이제 $\mathrm{PowerSet}$ , $\mathrm{Replacement}$ , 그리고 선택 공리가 남습니다.

증명.

$\mathrm{Extensionality}$ 와 $\mathrm{Foundation}$ 은 공짜로 얻어집니다. 그리고 $\mathrm{Infinity}$ 와 $\mathrm{EmptySet}$ 은 $M\subseteq M[G]$ 로부터 따라 나옵니다.

$\mathrm{Pairing}$ 의 경우 $\sigma_{1}^{G},\sigma_{2}^{G}\in M[G]$ 라고 가정합시다. 그러면

\sigma=\left\{\left<\sigma_{1},1_{\mathbb{P}}\right>,\left<\sigma_{2},1_{% \mathbb{P}}\right>\right\}

는 $\sigma^{G}=\{\sigma_{1}^{G},\sigma_{2}^{G}\}$ 를 만족합니다. ( $M\vDash\mathrm{Pairing}$ 을 사용했음에 유의하십시오.) $\mathrm{Union}$ 은 문제로 남겨 두니, 지금 바로 시도해 보십시오. ∎

여기까지는 $M[G]$ 에서 어떤 문장이 언제 참인지에 대해 아무것도 알 필요가 없었습니다. 원하는 사실을 얻으려면 $\check{x}$ 나 $\left\{\left<\sigma_{1},1_{\mathbb{P}}\right>,\left<\sigma_{2},1_{\mathbb{P}}% \right>\right\}$ 같은 이름을 고안해 내기만 하면 되었습니다. 하지만 나머지 공리들에는 이 추가적인 힘이 정말로 필요합니다. 이를 위해 강제법의 기본 정리를 도입해야 합니다.

93.4 강제법의 기본 정리

안타깝게도 모형 $M$ 은 $G$ 가 무엇인지 전혀 알지 못하며, 그것이 어떤 제네릭 필터라는 사실만 알 뿐입니다.²²2이것이 오히려 좋은 일이라고 말할 수도 있는데, 그 이유는 다음과 같습니다. 우리는 $\neg\mathsf{CH}$ 가 $\mathsf{ZFC}$ 와 무모순임을 보이려 하고 있으며, 실제 우주 $V$ 의 모형 $M$ 에서 출발했습니다. 그런데 우리가 아는 한 $\mathsf{CH}$ 는 $V$ 에서 참일 수도 있으며( $V=L$ 이라면 어떻겠습니까?), 그 경우 $M$ 에서도 참이 됩니다. 그럼에도 우리는 과감하게 모형 $M$ 의 확장 $M[G]$ 를 구성합니다. $M[G]$ 가 $M$ 과 다르게 행동하려면 $M$ 의 손이 닿지 않는 곳에 있어야 합니다. 거꾸로 말해, $M$ 이 $M[G]$ 에 관한 모든 것을 계산할 수 있다면 $M[G]$ 는 $M$ 의 믿음을 따를 수밖에 없습니다. 바로 그 때문에 우리는 $G\in M[G]$ 이지만 $G\notin M$ 이 되도록 그토록 공을 들였습니다. 그럼에도 우리는 강제 관계라고 부르는 관계 $\Vdash$ 를 정의하려 합니다. 대략적으로 말해, 다음과 같이 쓰려고 합니다.

p\Vdash\varphi(\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})

여기서 $p\in\mathbb{P}$ , $\sigma_{1},\dots,\sigma_{n}\in M[G]$ 이며, 위 식은 다음이 성립할 때, 그리고 그때에만 성립합니다.

임의의 제네릭 $G$ 에 대해 $p\in G$ 이면 $M[G]\vDash\varphi[\sigma_{1}^{G},\dots,\sigma_{n}^{G}]$ 입니다.

$\Vdash$ 는 $G$ 를 참조하지 않고 정의된다는 점에 주목하십시오. 즉, $\Vdash$ 는 $M$ 이 볼 수 있는 대상입니다. 이때 $p$ 가 문장 $\varphi(\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})$ 를 강제한다고 말합니다. 그리고 놀랍게도 이 관계는 역도 성립하도록 정의할 수 있습니다. 즉, 문장이 성립하는 것은 어떤 $p$ 가 그 문장을 강제하는 것과 동치입니다.

정리 93.4.1 (강제법의 기본 정리).

$M$ 이 ZF의 추이적 모형이라고 합시다. $\mathbb{P}\in M$ 을 부분순서집합이라 하고, $G\subseteq\mathbb{P}$ 를 $M$ -제네릭 필터라고 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

(1)

$\sigma_{1},\dots,\sigma_{n}\in\text{Name}^{M}$ 을 생각합시다. 그러면

$M[G]\vDash\varphi[\sigma_{1}^{G},\dots,\sigma_{n}^{G}]$

이는 $p$ 가 문장 $\varphi(\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})$ 를 강제하는 조건 $p\in G$ 가 존재하는 것과 동치입니다. 이를 $p\Vdash\varphi(\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})$ 로 나타냅니다.
(2)

이 강제 관계는 $M$ 에서 (균일하게) 정의 가능합니다.

이 정의가 어떻게 작동하는지는 다음 절에서 설명하겠습니다.

93.5 (선택) 관계 정의하기

진행 방식은 다음과 같습니다. 먼저 강제가 한 방향으로 작동하도록 하는 가능한 한 가장 너그러운 조건을 정의하겠습니다( $p\Vdash\varphi(\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})$ 는 $M[G]\vDash\varphi[\sigma_{1}^{G},\dots,\sigma_{n}^{G}]$ 를 의미합니다). 그다음에는 역도 성립하기를 간절히 바라겠습니다.

논리식의 복잡도에 대한 귀납법으로 진행합니다. 이 경우에는 원자 논리식(기저 경우)이 가장 어렵고, 그 자체로 계수에 대한 귀납법이 필요하다는 것이 밝혀집니다.

동기를 얻기 위해, $p\Vdash\tau_{1}=\tau_{2}$ 가 이미 정의되었다고 가정하고 $p\Vdash\tau_{1}\in\tau_{2}$ 를 어떻게 정의해야 하는지 생각해 봅시다. 이것이 다음과 동치가 되도록 보장해야 합니다.

\forall\text{$p\in G$인 $M$-제네릭 $G$}:\ M[G]\vDash\tau_{1}^{G}\in\tau_{2}^{G}.

따라서 임의의 제네릭 $G\ni p$ 가 $\tau_{1}^{G}$ 가 $\tau_{2}^{G}$ 의 어떤 원소 $\tau^{G}$ 와 같도록 강제하는 조건 $q$ 를 만나도록 보장하면 충분합니다. 다시 말해, $p\Vdash\tau_{1}\in\tau_{2}$ 의 정의는 다음 집합이

\left\{q\in\mathbb{P}\mid\exists\left<\tau,r\right>\in\tau_{2}\left(q\leq r% \land q\Vdash(\tau=\tau_{1})\right)\right\}

$p$ 아래에서 조밀할 때, 그리고 그때에만 성립하도록 정하고자 합니다. 다시 말해, 이 집합이 조밀하면 제네릭은 반드시 $q$ 를 만나고, 따라서 $r$ 도 만나야 합니다(필터는 위로 닫혀 있음을 상기하십시오). 이는 $\left<\tau,r\right>\in\tau_{2}$ 가 $\tau^{G}\in\tau_{2}^{G}$ 가 되도록 해석된다는 뜻이며, 더 나아가 $q\in G$ 가 $\tau_{1}=\tau$ 를 강제한다는 뜻입니다.

이제 정의를 적어 봅시다…이하에서 $\Vdash$ 에는 $M$ 과 $\mathbb{P}$ 를 생략합니다.

정의 93.5.1.

$M$ 을 ZFC의 가산 추이적 모형이라고 합시다. $\mathbb{P}\in M$ 을 부분 순서라고 합시다. $p\in\mathbb{P}$ 와 집합론의 언어로 쓰인 논리식 $\varphi(\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})$ 에 대해, 논리식의 복잡도와 계수에 대한 귀납법으로 정의되는 다음 의미로 $p\Vdash\varphi(\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})$ 라고 씁니다.

(1)
$p\Vdash\tau_{1}=\tau_{2}$ 는 다음을 의미합니다.
1. (i)
  
  모든 $\left<\sigma_{1},q_{1}\right>\in\tau_{1}$ 에 대해 다음 집합이
  
  $D_{\sigma_{1},q_{1}}\coloneqq\left\{r\mid r\leq q_{1}\rightarrow\exists\left<% \sigma_{2},q_{2}\right>\in\tau_{2}\left(r\leq q_{2}\land r\Vdash(\sigma_{1}=% \sigma_{2})\right)\right\}.$
  
  $p$ 아래에서 조밀합니다. (이는 “ $\tau_{1}\subseteq\tau_{2}$ ”를 부호화합니다.)
2. (ii)
  
  모든 $\left<\sigma_{2},q_{2}\right>\in\tau_{2}$ 에 대하여, 같은 방식으로 정의한 집합 $D_{\sigma_{2},q_{2}}$ 는 $p$ 아래에서 조밀합니다.
(2)

$p\Vdash\tau_{1}\in\tau_{2}$ 의 의미는 다음 집합이

$\left\{q\in\mathbb{P}\mid\exists\left<\tau,r\right>\in\tau_{2}\left(q\leq r% \land q\Vdash(\tau=\tau_{1})\right)\right\}$

$p$ 아래에서 조밀하다는 것입니다.
(3)

$p\Vdash\varphi\land\psi$ 는 $p\Vdash\varphi$ 이고 $p\Vdash\psi$ 임을 뜻합니다.
(4)

$p\Vdash\neg\varphi$ 는 $\forall q\leq p$ 에 대하여 $q\not\Vdash\varphi$ 임을 뜻합니다.
(5)

$p\Vdash\exists x\varphi(x,\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})$ 의 의미는 다음 집합이

$\left\{q\mid\exists\tau\left(q\Vdash\varphi(\tau,\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})% \right)\right\}$

$p$ 아래에서 조밀하다는 것입니다.

이것은 $M$ 에서 정의할 수 있습니다! 여기서 사용한 것은 $\mathbb{P}$ 와 이름들뿐이며, 이들은 모두 $M$ 에 속합니다. (조밀하다는 성질도 정의할 수 있다는 점에 유의하십시오.) 정확히 말하면 위 정의의 (3)부터 (5)까지에서는 논리식의 복잡도에 대한 귀납법을 사용합니다. 그러나 원자적인 경우인 (1)과 (2)에서는 이름의 계수(rank)에 대한 귀납법을 사용합니다.

이렇게 해서 위의 구성으로 한쪽 방향을 얻습니다(세부 사항을 엄청나게 많이 생략했지만…).

그렇다면 역방향, 즉 어떤 문장이 참인 것과 무언가가 그 문장을 강제하는 것이 동치라는 사실은 어떻게 얻을 수 있겠습니까? 사실 귀납법으로 다음을 보일 수 있습니다.

보조정리 93.5.2 (일관성과 지속성).

다음이 성립합니다.

(1)

(일관성) $p\Vdash\varphi$ 이고 $q\leq p$ 이면 $q\Vdash\varphi$ 입니다.
(2)

(지속성) $\left\{q\mid q\Vdash\varphi\right\}$ 가 $p$ 아래에서 조밀하면 $p\Vdash\varphi$ 입니다.

두 가지 모두 논리식의 복잡도에 대한 귀납법으로 증명할 수 있습니다. 이로부터 다음을 얻습니다.

따름정리 93.5.3 (완비성).

집합 $\left\{p\mid p\Vdash\varphi\text{ 또는 }p\Vdash\neg\varphi\right\}$ 는 조밀합니다.

증명.

$p\not\Vdash\varphi$ 일 때마다 어떤 $\overline{p}\leq p$ 에 대하여 $\overline{p}\Vdash\neg\varphi$ 가 성립함을 보이겠습니다. 이것으로 따름정리가 증명됩니다.

앞 보조정리의 대우에 의해 $\{q\mid q\Vdash\varphi\}$ 는 $p$ 아래에서 조밀하지 않습니다. 즉 어떤 $\overline{p}\leq p$ 가 존재하여 모든 $q\leq\overline{p}$ 에 대하여 $q\not\Vdash\varphi$ 입니다. $p\Vdash\neg\varphi$ 의 정의에 의해 $\overline{p}\Vdash\neg\varphi$ 입니다. ∎

그리고 이로부터 역방향을 얻습니다. $M$ -제네릭 필터 $G$ 는 어느 쪽으로든 판정을 내리는 조건을 반드시 만나게 됩니다. 이로써 기본 정리의 증명이 끝납니다.

93.6 나머지 공리들

정리 93.6.1 (제네릭 확장은 $\mathsf{ZFC}$ 를 만족합니다).

$M$ 이 $\mathsf{ZFC}$ 의 추이적 모형이라고 합시다. $\mathbb{P}\in M$ 을 부분순서집합이라 하고, $G\subseteq\mathbb{P}$ 를 $M$ -제네릭 필터라고 합시다. 그러면

M[G]\vDash\mathsf{ZFC}.

가 성립합니다.

증명.

나머지 공리들도 비슷하므로 $\mathrm{Comprehension}$ 만 다루겠습니다.

$\sigma^{G},\sigma_{1}^{G},\dots,\sigma_{n}^{G}\in M[G]$ 가 집합과 매개변수들이고, $\varphi(x,x_{1},\dots,x_{n})$ 이 집합론의 언어로 된 논리식이라고 가정합시다. 우리는 다음 집합이

A=\left\{x\in\sigma^{G}\mid M[G]\vDash\varphi[x,\sigma_{1}^{G},\dots,\sigma_{n% }^{G}]\right\}

$M[G]$ 에 속함을, 즉 그것이 어떤 이름의 해석임을 보이고자 합니다.

$\sigma^{G}$ 의 모든 원소는 어떤 $\rho\in\operatorname{dom}(\sigma)$ 에 대해 $\rho^{G}$ 꼴임에 주목하십시오(여기서 표기 남용이 약간 있는데, $\sigma$ 는 이름과 $p$ 들의 쌍을 모아 놓은 것이고, 정의역 $\operatorname{dom}(\sigma)$ 는 그저 이름들의 집합입니다). 따라서 강제법의 기본 정리에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

A=\left\{\rho^{G}\mid\rho\in\operatorname{dom}(\sigma)\text{그리고}\exists p\in G% \left(p\Vdash\rho\in\sigma\land\varphi(\rho,\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})\right% )\right\}.

$A\in M[G]$ 임을 보이려면 이름 $\tau^{G}$ 가 $A$ 와 일치하도록 하는 $\tau$ 를 명시적으로 적어 내야 합니다. 우리는 다음이

\tau=\left\{\left<\rho,p\right>\in\operatorname{dom}(\sigma)\times\mathbb{P}% \mid p\Vdash\rho\in\sigma\land\varphi(\rho,\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})\right\}

올바른 선택이라고 주장합니다. 구성에 의해 $\tau^{G}=A$ 임은 사실 자명합니다. “핵심 내용”은 $\tau$ 가 실제로 $M$ 의 이름임을 보이는 것이며, 이는 $M\vDash\mathrm{Comprehension}$ 으로부터 따라 나옵니다.

그러므로 사실 강제법의 기본 정리의 요점은 단지 이 $\tau$ 를 적어 낼 수 있게 해 주는 데 있습니다. 이 정리 덕분에 $G$ 를 실제로 언급하지 않고도 $\tau$ 가 $\text{Name}^{M}$ 에 속함을 보일 수 있습니다. ∎

93.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 93A.

필터 $G$ 와 $\mathsf{ZFC}$ 의 추이적 모형 $M$ 에 대하여 $M[G]\vDash\mathrm{Union}$ 임을 보이십시오.

문제 93B (라시오바-시코르스키 보조정리).

$\mathsf{ZFC}$ 의 가산 추이적 모형 $M$ 에서는 임의의 부분 순서에 대해 $M$ -제네릭 필터를 찾을 수 있음을 보이십시오.

힌트. $D_{1}$ , $D_{2}$ , … 를 조밀 집합들이라고 합시다(이들은 가산 개 있습니다).

풀이. $M$ 이 가산이므로 조밀 집합은 가산 개뿐입니다(이들은 $M$ 안에 있습니다!). 이들을 다음과 같이 둡시다.

$D_{1},D_{2},\ldots,D_{n},\ldots\in M.$

선택 공리를 사용하여 $p_{1}\in D_{1}$ 을 잡고, 다음으로 $p_{2}\in D_{2}$ 인 $p_{2}\leq p_{1}$ 을 잡는 식으로 계속합니다(이는 $D_{2}$ 가 조밀하므로 가능합니다). 이런 방식으로 다음 사슬을 귀납적으로 제시할 수 있습니다.

$p_{1}\geq p_{2}\geq p_{3}\geq\dots$

여기서 모든 $i$ 에 대해 $p_{i}\in D_{i}$ 입니다.

따라서 $\{p_{i}\}$ 로부터 필터를 생성하고자 합니다. 위쪽 닫힘을 취하기만 하면 됩니다 – 어떤 $n$ 에 대해 $q\geq p_{n}$ 인 $q\in\mathbb{P}$ 들의 집합을 $G$ 라고 합시다. 구성에 의해 $G$ 는 필터입니다(이는 사실 자명합니다). 또한 구성에 의해 $G$ 는 모든 조밀 집합과 만납니다.