장 93 강제법(Forcing)

이제 폴 코언(Paul Cohen)의 강제법(forcing) 기법을 소개하며, 이를 이용해 연속체 가설을 무너뜨릴 것입니다.

작동 방식은 다음과 같습니다. 추이적 모델 $M$ 과 그 안에 있는 순서집합 $\mathbb{P}$ 가 주어졌을 때, ”제네릭(generic)” 부분집합 $G\subseteq\mathbb{P}$ 를 생각할 수 있으며, 이때 $G$ 는 $M$ 안에 있지 않습니다. 그런 다음 $M$ 과 $G$ 를 모두 포함하는 더 큰 우주 $M[G]$ 를 구성할 것입니다. (이 표기법은 의도적으로 예를 들어 $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ 와 같은 표기법입니다 – 대수학의 경우, $\mathbb{Z}$ 를 취해 새로운 원소 $\sqrt{2}$ 와 그로부터 생성될 수 있는 모든 것을 추가하는 것입니다.) $\mathbb{P}$ 를 잘 선택함으로써 $M[G]$ 가 바람직한 성질을 갖도록 만들 수 있습니다.

그림:

모델 $M$ 은 초록색으로 그려져 있으며, 그 확장인 $M[G]$ 는 빨간색으로 그려져 있습니다.

모델 $M$ 과 $M[G]$ 는 같은 순서수를 공유하며, 이는 여기서 $M$ 이 $M[G]$ 보다 높지 않은 것으로 표현되어 있습니다. 그러나 이와 관련된 한 가지 문제는, 강제법이 원래는 존재하지 않았던 $M$ 의 기수들 사이의 새로운 전단사 함수를 도입할 수 있다는 것입니다. 이는 기수 붕괴(cardinal collapse)라 불리는 현상으로 이어집니다: 말 그대로, $M$ 에서의 기수가 $M[G]$ 에서는 더 이상 기수가 아니라 그저 하나의 순서수가 되어버립니다. 이는 $G$ 를 첨가하는 과정에서 이전 우주에는 없었던 전단사 함수를 우연히 얻게 될 수 있기 때문입니다. 그려진 도식에서, 이것이 바로 $\omega$ 를 $\aleph_{1}^{M}$ 으로 대응시키는 함수 $f$ 입니다. 본질적으로, 이 어려움은 ” $\kappa$ 가 기수이다”라는 명제가 $\Pi_{1}$ 명제라는 데 있습니다.

연속체 가설의 경우, 임의의 제네릭 부분집합 $G$ 가 $\aleph_{2}^{M}$ 개의 실수를 ”인코딩”하게 되는 $\mathbb{P}$ 를 도입할 것입니다. 그런 다음 기수 붕괴가 일어나지 않는다는 것, 즉 $\aleph_{2}^{M[G]}=\aleph_{2}^{M}$ 임을 보일 것입니다. 따라서 $M[G]$ 는 원하는 대로 $\aleph_{2}^{M[G]}$ 개의 실수를 갖게 될 것입니다.

93.1 순서집합 설정하기

대표적인 예: 무한 이진 트리

$M$ 을 $\mathsf{ZFC}$ 의 추이적 모델이라 합시다. $\mathbb{P}=(\mathbb{P},\leq)\in M$ 을 모델 $M$ 안에 존재하며 최대 원소 $1_{\mathbb{P}}$ 를 갖는 순서집합이라 합시다. $\mathbb{P}$ 의 원소들은 조건(conditions)이라 불리는데, 이는 그것들이 $M[G]$ 에서 참이 되도록 강제하기 때문입니다.

정의 93.1.1.

부분집합 $D\subseteq\mathbb{P}$ 가 조밀(dense)하다는 것은, 모든 $p\in\mathbb{P}$ 에 대해 $q\leq p$ 인 $q\in D$ 가 존재함을 의미합니다.

조밀 부분집합의 예로는 $\mathbb{P}$ 전체뿐 아니라 아래쪽으로의 임의의 ”조각(slice)”도 있습니다.

정의 93.1.2.

$p,q\in\mathbb{P}$ 에 대해, $r\leq p$ 이고 $r\leq q$ 인 $r\in\mathbb{P}$ 가 존재하면 ” $p$ 는 $q$ 와 양립가능(compatible)하다”고 하며 $p\parallel q$ 라고 씁니다. 그렇지 않으면 $p$ 와 $q$ 는 양립불가능(incompatible)하다고 하며 $p\perp q$ 라고 씁니다.

예제 93.1.3 (무한 이진 트리).

$\mathbb{P}=2^{<\omega}$ 를 아래에 나타낸, 자명한 방식으로 무한히 확장된 무한 이진 트리(infinite binary tree)라 합시다:

(a)

최대 원소 $1_{\mathbb{P}}$ 는 빈 문자열 $\varnothing$ 입니다.
(b)

$D=\{\text{$001$로 끝나는 모든 문자열}\}$ 은 조밀 집합의 예시입니다.
(c)

$\mathbb{P}$ 의 두 원소는 비교 가능하지 않는 한 양립가능하지 않습니다.

예제 93.1.4 (무한 사슬).

$\mathbb{P}=(\mathbb{N},\geq)$ 라 합시다. 이는 ”무한 일진 트리(infinite unary tree)”로 볼 수 있습니다.

•

최대 원소 $1_{\mathbb{P}}$ 는 $1$ 입니다.
•

어떤 집합이 조밀하다는 것은 그것이 무한히 많은 원소를 가짐과 동치입니다. 예를 들어, 모든 양의 짝수의 집합과 모든 소수의 집합은 조밀합니다.

이제 ”제네릭(generic)”하다는 것이 무엇을 의미하는지 구체적으로 명시할 수 있습니다.

정의 93.1.5.

공집합이 아닌 집합 $G\subseteq\mathbb{P}$ 가 필터(filter)라는 것은 다음을 만족함을 의미합니다

(a)

집합 $G$ 는 위로 닫혀 있습니다: $\forall p\in G(\forall q\geq p)(q\in G)$ .
(b)

$G$ 의 임의의 두 원소 쌍은 서로 양립가능합니다.

모델 $M$ 안에 있는 모든 $D$ 에 대해, $D$ 가 조밀하면 $G\cap D\neq\varnothing$ 일 때, $G$ 를 $M$ -제네릭이라고 합니다.

질문 93.1.6.

$G$ 가 필터이면 $1_{\mathbb{P}}\in G$ 임을 보이십시오.

$D\in M$ 이라는 조건이 중요하다는 점에 유의하십시오. 그 이유는 다음과 같습니다:

질문 93.1.7.

무한 이진 트리에서 다음을 보이십시오:

•

모든 필터 $G$ 에 대해, $G\cap D=\varnothing$ 을 만족하는 (반드시 $M$ 에 속할 필요는 없는) 조밀한 부분집합 $D$ 가 존재합니다.
•

구체적으로, $G\in M$ 이면 그러한 집합 $D$ 를 $D\in M$ 이 되도록 선택할 수 있습니다 — 특히 이 경우 $G$ 는 $M$ -제네릭이 아닙니다.

이는 보조정리 93.2.5에서 나중에 형식화하겠습니다.

예제 93.1.8 (무한 이진 트리 위의 제네릭 필터).

$\mathbb{P}=2^{<\omega}$ 라고 합시다. $\mathbb{P}$ 위의 제네릭 필터는 다음과 같은 형태의 집합입니다

\left\{0,\;b_{1},\;b_{1}b_{2},\;b_{1}b_{2}b_{3},\;\dots\right\}.

따라서 $\mathbb{P}$ 위의 모든 제네릭 필터는 이진수 $b=0.b_{1}b_{2}b_{3}\dots$ 에 대응합니다.¹¹1서로 다른 두 필터가 $0.1000\dots$ 과 $0.0111\dots$ 처럼 같은 실수에 대응하는 경우가 있을 수 있지만, 그러한 필터는 반드시 제네릭이 아니라는 점에 유의하십시오.

어떤 실수가 제네릭 필터에 대응하는지를 설명하기는 더 어렵지만, 그러한 실수는 정말로 “무작위처럼 보여야” 합니다. 예를 들어, $011$ 로 끝나는 문자열들의 집합은 조밀하므로, $b$ 안에 “ $011$ ”이 나타나리라 기대할 수 있고, 더 일반적으로는 $b$ 가 모든 이진 문자열을 포함하리라 기대할 수 있습니다. 따라서 $\pi-3$ 의 이진 전개는 제네릭에 대응할 것이라 기대할 수 있지만, $0.010101\dots$ 같은 것은 그렇지 않을 것입니다. 이것이 바로 이들을 “제네릭”이라고 부르는 이유입니다.

예제 93.1.9 (무한 사슬 위의 제네릭 필터).

$\mathbb{P}=(\mathbb{N},\geq)$ 위에는 오직 하나의 제네릭 필터가 있습니다: 바로 $\mathbb{N}$ 자체입니다.

이는 실제로 제네릭입니다 — 모든 조밀한 집합과 교차합니다. 이는 어떤 기준으로 보아도 “무작위처럼 보이지” 않는다고 말할 수도 있습니다 — 하지만 생각해보면, 뿌리 $1_{\mathbb{P}}=1$ 에서 시작하여 매 단계마다 무작위로 아래로 내려간다고 해도, 갈 수 있는 곳은 오직 한 곳뿐입니다!

연습문제 93.1.10.

모든 제네릭 필터 $2^{<\omega}$ 가 위와 같은 형태를 가짐을 확인하십시오. 반대로, 이진수가 필터를 준다는 것을 보이되, 그것이 반드시 제네릭일 필요는 없음을 보이십시오.

$p\geq q$ 이면, 문장 $q\in G$ 는 문장 $p\in G$ 보다 더 많은 정보를 알려준다는 점에 주목하십시오. 그런 의미에서 $q$ 는 더 강한 조건입니다. 또 다른 의미에서 $1_{\mathbb{P}}$ 는 가능한 가장 약한 조건인데, 이는 $G$ 에 대해 아무것도 알려주지 않기 때문입니다; $G$ 가 위로 닫혀 있으므로 우리는 항상 $1_{\mathbb{P}}\in G$ 를 가집니다.

93.2 부분 순서 집합의 추가 성질

제네릭 필터가 존재함을 반드시 확인해야 합니다.

예제 93.2.1.

$\mathbb{P}$ 가 무한 이진 트리이고 $M$ 이 $\mathbb{P}$ 의 모든 부분집합을 포함한다면, 제네릭 필터는 존재하지 않습니다 — 모든 필터 $G\subseteq\mathbb{P}$ 에 대해, $\mathbb{P}\setminus G$ 는 조밀한 집합 $D\in M$ 이고, $G\cap D=\varnothing$ 이기 때문입니다.

사실 이는 다소 까다롭지만, 가산 모델에 대해서는 성립합니다:

보조정리 93.2.2 (Rasiowa-Sikorski 보조정리).

$M$ 이 $\mathsf{ZFC}$ 의 가산 추이적 모델이고 $\mathbb{P}$ 가 부분 순서 집합이라고 합시다. 그러면 $M$ -제네릭 필터 $G$ 가 존재합니다.

증명.

본질적으로, 하나씩 처리하십시오. 문제 93B. ∎

다행히도, $\mathsf{CH}$ 를 깨뜨리기 위해서는 어차피 $M$ 이 가산이기를 원할 것입니다.

우리가 올바른 길을 가고 있는지 확인하기 위해 해야 할 또 다른 일은 제네릭 집합 $G$ 가 실제로 $M$ 에 속하지 않음을 보장하는 것입니다. (비유: $\mathbb{Z}[3]$ 은 정말로 어리석은 확장입니다.) 이를 보장하는 조건은 다음과 같습니다:

정의 93.2.3.

부분순서 $\mathbb{P}$ 가 모든 $p\in\mathbb{P}$ 에 대해 $q\perp r$ 인 $q,r\leq p$ 가 존재할 때 분할이라고 합니다.

예제 93.2.4 (무한 이진 나무는 (매우) 분할적입니다).

무한 이진 나무는 분할적일 수 있는 만큼 최대로 분할적입니다. $p\in 2^{<\omega}$ 가 주어지면, 그 바로 아래에 있는 두 원소를 생각하면 됩니다.

보조정리 93.2.5 (분할 부분순서는 제네릭 집합을 배제합니다).

$\mathbb{P}$ 가 분할적이라고 합시다. 그러면 $F\subseteq\mathbb{P}$ 가 $F\in M$ 인 필터이면, $\mathbb{P}\setminus F$ 는 조밀합니다. 특히, $G\subseteq\mathbb{P}$ 가 제네릭이면, $G\notin M$ 입니다.

증명.

$p\notin\mathbb{P}\setminus F\iff p\in F$ 을 생각해봅시다. $\mathbb{P}$ 가 분할적이므로, 서로 호환되지 않는 $q,r\leq p$ 가 존재합니다. $F$ 는 필터이므로 둘 다를 포함할 수 없으며, 그중 하나는 $F$ 밖에 있어야 합니다. 이를 $q$ 라고 합시다. 따라서 $p\in\mathbb{P}\setminus(\mathbb{P}\setminus F)$ 의 모든 원소는 $\mathbb{P}\setminus F$ 에 속하는 원소 $q\leq p$ 를 갖습니다. 이것으로 $\mathbb{P}\setminus F$ 가 조밀함을 증명하기에 충분합니다.

질문 93.2.6.

제네릭 $G$ 에 관한 보조정리의 마지막 주장을 유도하십시오. ∎

93.3 이름과 제네릭 확장

이제 부분순서 $\mathbb{P}$ 와 연관된 이름을 정의하겠습니다.

정의 93.3.1.

$M$ 이 $\mathsf{ZFC}$ 의 추이적 모형이고, $\mathbb{P}=(\mathbb{P},\leq)\in M$ 이 부분순서라고 합시다. $\mathbb{P}$ -이름의 계층을 다음과 같이 재귀적으로 정의합니다

	$\displaystyle\text{Name}_{0}$	$\displaystyle=\varnothing$
	$\displaystyle\text{Name}_{\alpha+1}$	$\displaystyle=\mathcal{P}(\text{Name}_{\alpha}\times\mathbb{P})$
	$\displaystyle\text{Name}_{\lambda}$	$\displaystyle=\bigcup_{\alpha<\lambda}\text{Name}_{\alpha}.$

마지막으로, $\text{Name}=\bigcup_{\alpha}\text{Name}_{\alpha}$ 는 모든 $\mathbb{P}$ -이름의 클래스를 나타냅니다.

(이 $\text{Name}_{\alpha}$ 들은 $V_{\alpha}$ 들의 유사물입니다: 각 $\text{Name}_{\alpha}$ 는 그저 랭크가 $\leq\alpha$ 인 모든 이름들의 집합입니다.)

정의 93.3.2.

필터 $G$ 에 대해, $\tau^{G}$ 로 표기되는 $\tau$ 의 $G$ 에 의한 해석을 다음의 초한 재귀법을 사용하여 정의합니다

\tau^{G}=\left\{\sigma^{G}\mid\left<\sigma,p\right>\in\tau\text{그리고}p\in G% \right\}.

그런 다음 모형을 다음과 같이 정의합니다

M[G]=\left\{\tau^{G}\mid\tau\in\text{Name}^{M}\right\}

여기서 $\text{Name}^{M}$ 은 클래스 Name의 원소 중 $M$ 에 속하는 것들입니다. 따라서 $M[G]$ 는 집합입니다. 말로 표현하면, $M[G]$ 는 ( $M$ 에 의해 계산된) 가능한 모든 $\mathbb{P}$ -이름들의 해석입니다.

$\mathbb{P}$ -이름을 “퍼지 집합”이라고 생각하면 됩니다. 아이디어는 이렇습니다. 보통의 집합은 보통의 집합들의 모임이므로, 퍼지 집합은 퍼지 집합들의 모임이어야 합니다. 이 퍼지 집합들은 아직 오지 않은 크리스마스의 유령들과 같다고 생각할 수 있습니다: 그것들은 확실한 것이 아니라 있을 수 있는 것을 나타냅니다. 다시 말해, 그것들은 다양한 $G$ 의 선택에 대한 $M[G]$ 의 가능한 미래들을 나타냅니다.

모든 퍼지 집합에는 원소 $p\in\mathbb{P}$ 가 고정되어 있습니다. 심판의 때가 오면, 우리는 제네릭 $G$ 를 선택하여 $\mathbb{P}$ -이름들의 우주를 걸러냅니다. $G$ 의 원소가 붙어 있는 퍼지 집합들은 실제 세계로 구현되고, $G$ 밖의 원소가 붙어 있는 퍼지 집합들은 존재에서 사라집니다. 그 결과가 $M[G]$ 입니다.

예제 93.3.3 (이름 계층의 처음 몇 단계).

계산해 봅시다

	$\displaystyle\text{Name}_{0}$	$\displaystyle=\varnothing$
	$\displaystyle\text{Name}_{1}$	$\displaystyle=\mathcal{P}(\varnothing\times\mathbb{P})$
		$\displaystyle=\{\varnothing\}$
	$\displaystyle\text{Name}_{2}$	$\displaystyle=\mathcal{P}(\{\varnothing\}\times\mathbb{P})$
		$\displaystyle=\mathcal{P}\left(\left\{\left<\varnothing,p\right>\mid p\in% \mathbb{P}\right\}\right).$

이에 대응하는 폰 노이만 우주와 비교해 보십시오.

V_{0}=\varnothing,\;V_{1}=\{\varnothing\},\;V_{2}=\left\{\varnothing,\left\{% \varnothing\right\}\right\}.

예제 93.3.4 (해석의 예시).

앞서 언급했듯이, $\text{Name}_{1}=\{\varnothing\}$ 입니다. 이제 다음을 가정합시다

\tau=\left\{\left<\varnothing,p_{1}\right>,\left<\varnothing,p_{2}\right>,% \dots,\left<\varnothing,p_{n}\right>\right\}\in\text{Name}_{2}.

그러면

\tau^{G}=\left\{\varnothing\mid\left<\varnothing,p\right>\in\tau\text{그리고}p\in G% \right\}=\begin{cases}\{\varnothing\}&\text{만약 어떤}p_{i}\in G\\ \varnothing&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

특히, $1_{\mathbb{P}}\in G$ 이므로, 다음이 성립합니다:

•

$n=0$ 일 때, $\tau=\varnothing$ 이므로, $\tau^{G}=\varnothing$ 입니다.
•

$n=1$ 이고 $p_{1}=1_{\mathbb{P}}$ 일 때, $\tau=\{\langle\varnothing,1_{\mathbb{P}}\rangle\}$ 이므로, $\tau^{G}=\{\varnothing\}$ 입니다.

따라서,

\left\{\tau^{G}\mid\tau\in\text{Name}_{2}\right\}=V_{2}.

사실, 이는 $2$ 뿐만 아니라 임의의 자연수 $n$ 에 대해서도 성립합니다.

따라서, $M[G]$ 와 $M$ 은 유한 집합에 대해 일치합니다.

이제, $M[G]$ 가 $M$ 의 원소들을 포함하는지 확인하고자 합니다. 위의 $\left\{\tau^{G}\mid\tau\in\text{Name}_{2}\right\}=V_{2}$ 의 증명은 쉽게 응용할 수 있습니다: $1_{\mathbb{P}}$ 가 반드시 $G$ 에 속해야 하므로, 모든 $x\in M$ 에 대해 다음 집합을 정의합니다

\check{x}=\left\{\left<\check{y},1_{\mathbb{P}}\right>\mid y\in x\right\}

초한 재귀법으로 정의합니다. 기본적으로, $\check{x}$ 는 모든 중첩 단계에서 모든 원소에 $1_{\mathbb{P}}$ 를 태그로 붙인 $x$ 의 복사본일 뿐입니다.

예제 93.3.5.

$\check{0}=0$ 과 $\check{1}=\{\langle\check{0},1_{\mathbb{P}}\rangle\}$ 을 계산해 보십시오. 따라서

(\check{0})^{G}=0\quad\text{그리고}\quad(\check{1})^{G}=1.

입니다.

질문 93.3.6.

일반적으로 $(\check{x})^{G}=x$ 임을 보이십시오. (계수 귀납법.)

그러나, 우리는 $G$ 또한 $M[G]$ 에 속하도록 만들고 싶습니다. 사실, 그 이름을 정확히 적어낼 수 있습니다: 다음과 같이 정의합니다

\dot{\mathbb{P}}\coloneqq\left\{\left<\check{p},p\right>\mid p\in\mathbb{P}% \right\}.

질문 93.3.7.

$(\dot{\mathbb{P}})\in\text{Name}^{M}$ 이고, $(\dot{\mathbb{P}})^{G}=G$ 임을 보이십시오.

질문 93.3.8.

$M[G]$ 가 추이적임을 확인하십시오: 즉, $\sigma^{G}\in\tau^{G}\in M[G]$ 이면, $\sigma^{G}\in M[G]$ 임을 보이십시오. (이는 어처구니없을 정도로 쉽습니다.)

요약하면,

$M[G]$ 는 $M$ 을 확장하는 추이적 모델입니다 ( $G$ 를 포함합니다).

게다가, $G$ 가 단지 필터일 뿐이라 해도 이는 상당히 잘 작동합니다. 당장 얻을 수 있는 것이 무엇인지 살펴봅시다.

보조정리 93.3.9 (필터로부터 얻어지는 성질들).

$M$ 을 $\mathsf{ZFC}$ 의 추이적 모델이라 합시다. $G$ 가 필터이면, $M[G]$ 는 추이적이며 $\mathrm{Extensionality}$ , $\mathrm{Foundation}$ , $\mathrm{EmptySet}$ , $\mathrm{Infinity}$ , $\mathrm{Pairing}$ , $\mathrm{Union}$ 을 만족합니다.

이제 $\mathrm{PowerSet}$ , $\mathrm{Replacement}$ , 그리고 선택공리가 남습니다.

증명.

$\mathrm{Extensionality}$ 와 $\mathrm{Foundation}$ 은 거저 얻어집니다. 그러면 $\mathrm{Infinity}$ 와 $\mathrm{EmptySet}$ 은 $M\subseteq M[G]$ 로부터 따라옵니다.

$\mathrm{Pairing}$ 에 대해서는, $\sigma_{1}^{G},\sigma_{2}^{G}\in M[G]$ 라고 가정합시다. 그러면

\sigma=\left\{\left<\sigma_{1},1_{\mathbb{P}}\right>,\left<\sigma_{2},1_{% \mathbb{P}}\right>\right\}

$\sigma^{G}=\{\sigma_{1}^{G},\sigma_{2}^{G}\}$ 를 만족합니다. ( $M\vDash\mathrm{Pairing}$ 을 사용했음에 유의하십시오.) $\mathrm{Union}$ 은 문제로 남겨두니, 지금 바로 시도해 보시기를 권합니다. ∎

여기까지는 $M[G]$ 에서 어떤 문장이 언제 참인지에 대해 전혀 알 필요가 없었습니다. 우리가 원하는 사실들을 얻기 위해서는 $\check{x}$ 나 $\left\{\left<\sigma_{1},1_{\mathbb{P}}\right>,\left<\sigma_{2},1_{\mathbb{P}}% \right>\right\}$ 와 같은 이름들을 고안하기만 하면 되었습니다. 하지만 나머지 공리들에 대해서는, 이러한 추가적인 힘이 정말로 필요합니다. 이를 위해 강제법의 기본 정리를 도입해야 합니다.

93.4 강제법의 기본 정리

모델 $M$ 은 안타깝게도 $G$ 가 무엇일지 전혀 알지 못하며, 다만 그것이 어떤 제네릭 필터라는 것만 알 뿐입니다.²²2이것을 좋은 일이라고 말할 수도 있는데, 이유는 다음과 같습니다. 우리는 $\neg\mathsf{CH}$ 가 $\mathsf{ZFC}$ 와 무모순임을 보이려 하고 있으며, 실제 우주 $V$ 의 모델 $M$ 에서 시작했습니다. 하지만 우리가 아는 한 $V$ 에서 $\mathsf{CH}$ 가 참일 수도 있으므로( $V=L$ 이라면 어떻겠습니까?), 그렇다면 $M$ 에서도 참일 것입니다. 그럼에도 불구하고, 우리는 대담하게 모델 $M$ 의 확장 $M[G]$ 를 구성합니다. 그것이 $M$ 과 다르게 행동하려면, $M$ 이 도달할 수 없는 범위에 있어야 합니다. 반대로, 만약 $M$ 이 $M[G]$ 에 대한 모든 것을 계산할 수 있다면, $M[G]$ 는 $M$ 의 믿음에 순응해야 할 것입니다. 그렇기 때문에 우리는 $G\in M[G]$ 이지만 $G\notin M$ 이 되도록 그토록 애를 썼던 것입니다. 그럼에도 불구하고, 우리는 강제법 관계라 불리는 관계 $\Vdash$ 를 정의하려 합니다. 대략적으로, 우리는 다음과 같이 쓰려고 합니다

p\Vdash\varphi(\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})

여기서 $p\in\mathbb{P}$ , $\sigma_{1},\dots,\sigma_{n}\in M[G]$ 이며, 이는 다음과 동치입니다:

임의의 제네릭 $G$ 에 대해, 만약 $p\in G$ 이면, $M[G]\vDash\varphi[\sigma_{1}^{G},\dots,\sigma_{n}^{G}]$ 입니다.

$\Vdash$ 는 $G$ 를 참조하지 않고 정의된다는 점에 주목하십시오. 이는 $M$ 이 볼 수 있는 것입니다. 우리는 $p$ 가 문장 $\varphi(\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})$ 을 강제한다고 말합니다. 그리고 놀랍게도, 우리는 이 관계를 역도 성립하도록 정의할 수 있습니다: 어떤 문장이 성립하는 것은 어떤 $p$ 가 그것을 강제하는 경우이고 오직 그 경우입니다.

정리 93.4.1 (강제법의 기본 정리).

$M$ 이 ZF의 추이적 모델이라고 합시다. $\mathbb{P}\in M$ 을 poset이라 하고, $G\subseteq\mathbb{P}$ 가 $M$ -제네릭 필터라고 합시다. 그러면,

(1)

$\sigma_{1},\dots,\sigma_{n}\in\text{Name}^{M}$ 을 생각해봅시다. 그러면

$M[G]\vDash\varphi[\sigma_{1}^{G},\dots,\sigma_{n}^{G}]$

이는 조건 $p\in G$ 가 존재하여 $p$ 가 문장 $\varphi(\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})$ 을 강제하는 것과 동치입니다. 이를 $p\Vdash\varphi(\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})$ 로 표기합니다.
(2)

이 강제법 관계는 $M$ 에서 (균일하게) 정의 가능합니다.

다음 절에서 이 정의가 어떻게 작동하는지 말씀드리겠습니다.

93.5 (선택적) 관계 정의하기

우리가 진행할 방식은 다음과 같습니다. 강제법이 한쪽 방향으로 작동하도록( $p\Vdash\varphi(\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})$ 이 $M[G]\vDash\varphi[\sigma_{1}^{G},\dots,\sigma_{n}^{G}]$ 을 의미하도록) 가능한 가장 관대한 조건을 정의할 것입니다. 그런 다음 그 역도 성립하기를 바라볼 것입니다.

우리는 논리식의 복잡도에 대한 귀납법으로 진행합니다. 이 경우 원자 논리식(기저 경우)이 가장 어렵다는 것이 밝혀지며, 그 자체로 계수에 대한 귀납법이 필요합니다.

동기 부여를 위해, 이미 $p\Vdash\tau_{1}=\tau_{2}$ 를 정의했다고 가정하고 $p\Vdash\tau_{1}\in\tau_{2}$ 를 어떻게 정의해야 할지 생각해봅시다. 우리는 이것이 다음과 동치가 되도록 보장해야 합니다

\forall\text{$p\in G$인 $M$-제네릭 $G$}:\ M[G]\vDash\tau_{1}^{G}\in\tau_{2}^{G}.

따라서 임의의 제네릭 $G\ni p$ 가 $\tau_{1}^{G}$ 를 $\tau_{2}^{G}$ 의 원소 $\tau^{G}$ 와 같도록 강제하는 조건 $q$ 에 도달함을 보장하는 것으로 충분합니다. 다시 말해, 우리는 $p\Vdash\tau_{1}\in\tau_{2}$ 의 정의를 다음과 동치가 되도록 선택하고자 합니다

\left\{q\in\mathbb{P}\mid\exists\left<\tau,r\right>\in\tau_{2}\left(q\leq r% \land q\Vdash(\tau=\tau_{1})\right)\right\}

$p$ 아래에서 조밀합니다. 다시 말해, 만약 그 집합이 조밀하다면, 제네릭은 반드시 $q$ 에 도달해야 하고, 따라서 $r$ 에도 도달해야 하며(필터가 위로 닫혀 있음을 기억하십시오), 이는 $\left<\tau,r\right>\in\tau_{2}$ 가 $\tau^{G}\in\tau_{2}^{G}$ 가 되도록 해석될 것이며, 게다가 $q\in G$ 는 $\tau_{1}=\tau$ 를 강제할 것임을 의미합니다.

이제 그 정의를 써 내려가 봅시다…이하에서 $\Vdash$ 는 $M$ 과 $\mathbb{P}$ 를 생략합니다.

정의 93.5.1.

$M$ 을 ZFC의 가산 추이적 모델이라고 합시다. $\mathbb{P}\in M$ 을 부분 순서라고 합시다. $p\in\mathbb{P}$ 와 집합론의 언어로 된 논리식 $\varphi(\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})$ 에 대해, 우리는 $p\Vdash\varphi(\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})$ 을 다음을 의미하는 것으로 쓰며, 이는 논리식의 복잡도와 계수에 대한 귀납법으로 정의됩니다.

(1)
$p\Vdash\tau_{1}=\tau_{2}$ 는 다음을 의미합니다
1. (i)
  
  모든 $\left<\sigma_{1},q_{1}\right>\in\tau_{1}$ 에 대해, 집합
  
  $D_{\sigma_{1},q_{1}}\coloneqq\left\{r\mid r\leq q_{1}\rightarrow\exists\left<% \sigma_{2},q_{2}\right>\in\tau_{2}\left(r\leq q_{2}\land r\Vdash(\sigma_{1}=% \sigma_{2})\right)\right\}.$
  
  은 $p$ 아래에서 조밀합니다. (이는 ” $\tau_{1}\subseteq\tau_{2}$ ”를 부호화합니다.)
2. (ii)
  
  모든 $\left<\sigma_{2},q_{2}\right>\in\tau_{2}$ 에 대해, 유사하게 정의된 집합 $D_{\sigma_{2},q_{2}}$ 는 $p$ 아래에서 조밀합니다.
(2)

$p\Vdash\tau_{1}\in\tau_{2}$ 는 다음을 의미합니다

$\left\{q\in\mathbb{P}\mid\exists\left<\tau,r\right>\in\tau_{2}\left(q\leq r% \land q\Vdash(\tau=\tau_{1})\right)\right\}$

$p$ 아래에서 조밀합니다.
(3)

$p\Vdash\varphi\land\psi$ 는 $p\Vdash\varphi$ 이고 $p\Vdash\psi$ 임을 의미합니다.
(4)

$p\Vdash\neg\varphi$ 는 $\forall q\leq p$ 에 대해 $q\not\Vdash\varphi$ 임을 의미합니다.
(5)

$p\Vdash\exists x\varphi(x,\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})$ 는 다음 집합이

$\left\{q\mid\exists\tau\left(q\Vdash\varphi(\tau,\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})% \right)\right\}$

$p$ 아래에서 조밀함을 의미합니다.

이것은 $M$ 에서 정의 가능합니다! 우리가 언급한 것은 오직 $\mathbb{P}$ 와 이름들뿐이며, 이들은 $M$ 에 있습니다. (조밀하다는 것이 정의 가능한 성질임에 주목하십시오.) 사실, 위 정의의 (3)항부터 (5)항까지는 논리식의 복잡도에 대한 귀납법을 사용합니다. 하지만 원자적인 경우인 (1)과 (2)에서는 이름의 계수(rank)에 대한 귀납법을 사용하고 있습니다.

그래서 위의 구성은 한쪽 방향을 제공합니다(엄청나게 많은 세부 사항을 생략했습니다만…).

그렇다면 역방향은 어떻게 얻을 수 있을까요: 즉 어떤 문장이 참인 것과 무언가가 그것을 강제하는 것이 동치라는 사실 말입니다. 사실, 귀납법을 사용하면 다음을 보일 수 있습니다:

보조정리 93.5.2 (일관성과 지속성).

다음이 성립합니다

(1)

(일관성) $p\Vdash\varphi$ 이고 $q\leq p$ 이면 $q\Vdash\varphi$ 입니다.
(2)

(지속성) $\left\{q\mid q\Vdash\varphi\right\}$ 가 $p$ 아래에서 조밀하면 $p\Vdash\varphi$ 입니다.

이 두 가지는 모두 논리식의 복잡도에 대한 귀납법으로 증명할 수 있습니다. 이로부터 다음을 얻습니다:

따름정리 93.5.3 (완전성).

집합 $\left\{p\mid p\Vdash\varphi\text{또는}p\Vdash\neg\varphi\right\}$ 는 조밀합니다.

증명.

우리는 $p\not\Vdash\varphi$ 일 때마다 어떤 $\overline{p}\leq p$ 에 대해 $\overline{p}\Vdash\neg\varphi$ 가 성립함을 주장합니다; 이것이 따름정리를 확립할 것입니다.

앞선 보조정리의 대우에 의해, $\{q\mid q\Vdash\varphi\}$ 는 $p$ 아래에서 조밀하지 않으며, 이는 어떤 $\overline{p}\leq p$ 가 존재하여 모든 $q\leq\overline{p}$ 에 대해 $q\not\Vdash\varphi$ 가 성립함을 의미합니다. $p\Vdash\neg\varphi$ 의 정의에 의해, $\overline{p}\Vdash\neg\varphi$ 입니다. ∎

그리고 이로써 역방향이 성립합니다: $M$ -제네릭 $G$ 는 어느 쪽이든 판정을 내리는 어떤 조건에 반드시 도달해야 합니다. 이것으로 기본 정리의 증명이 완료됩니다.

93.6 나머지 공리들

정리 93.6.1 (제네릭 확장은 $\mathsf{ZFC}$ 를 만족합니다).

$M$ 이 $\mathsf{ZFC}$ 의 추이적 모형이라고 가정합시다. $\mathbb{P}\in M$ 을 부분순서집합(poset)이라 하고, $G\subseteq\mathbb{P}$ 를 $M$ -제네릭 필터라 합시다. 그러면

M[G]\vDash\mathsf{ZFC}.

증명.

나머지 공리들은 유사하므로, 여기서는 $\mathrm{Comprehension}$ 만 다루겠습니다.

$\sigma^{G},\sigma_{1}^{G},\dots,\sigma_{n}^{G}\in M[G]$ 가 집합과 매개변수이고, $\varphi(x,x_{1},\dots,x_{n})$ 이 집합론 언어의 논리식이라고 합시다. 우리는 다음 집합이

A=\left\{x\in\sigma^{G}\mid M[G]\vDash\varphi[x,\sigma_{1}^{G},\dots,\sigma_{n% }^{G}]\right\}

$M[G]$ 에 속함을, 즉 그것이 어떤 이름의 해석임을 보이고자 합니다.

$\sigma^{G}$ 의 모든 원소는 어떤 $\rho\in\operatorname{dom}(\sigma)$ 에 대해 $\rho^{G}$ 의 꼴임에 유의하십시오 (여기서 표기가 다소 남용되었는데, $\sigma$ 는 이름들과 $p$ 들의 순서쌍 뭉치이고, 정의역 $\operatorname{dom}(\sigma)$ 은 그저 이름들의 집합입니다). 따라서 강제법의 기본 정리에 의해, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다

A=\left\{\rho^{G}\mid\rho\in\operatorname{dom}(\sigma)\text{그리고}\exists p\in G% \left(p\Vdash\rho\in\sigma\land\varphi(\rho,\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})\right% )\right\}.

$A\in M[G]$ 임을 보이려면 이름 $\tau^{G}$ 가 $A$ 와 일치하는 $\tau$ 를 명시적으로 써 내려야 합니다. 우리는 다음이

\tau=\left\{\left<\rho,p\right>\in\operatorname{dom}(\sigma)\times\mathbb{P}% \mid p\Vdash\rho\in\sigma\land\varphi(\rho,\sigma_{1},\dots,\sigma_{n})\right\}

올바른 선택이라고 주장합니다. 구성에 의해 $\tau^{G}=A$ 임은 실제로 명백합니다; ”본질적인 내용”은 $\tau$ 가 실제로 $M$ 의 이름임을 보이는 것인데, 이는 $M\vDash\mathrm{Comprehension}$ 으로부터 따라 나옵니다.

그러므로 사실 강제법의 기본 정리의 요점은 단지 이 $\tau$ 를 명시적으로 쓸 수 있게 해준다는 데 있습니다; 그것은 실제로 $G$ 를 참조하지 않고도 $\tau$ 가 $\text{Name}^{M}$ 에 속함을 보일 수 있게 해줍니다. ∎

93.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 93A.

필터 $G$ 와 $\mathsf{ZFC}$ 의 추이적 모형 $M$ 에 대해, $M[G]\vDash\mathrm{Union}$ 임을 보이십시오.

문제 93B (Rasiowa-Sikorski 보조정리).

$\mathsf{ZFC}$ 의 가산 추이적 모형 $M$ 에서는 임의의 부분 순서 집합 위에서 $M$ -제네릭 필터를 찾을 수 있음을 보이십시오.

힌트. $D_{1}$ , $D_{2}$ , … 를 조밀 집합들이라고 합시다 (이들은 가산 개 있습니다).

풀이. $M$ 은 가산이므로, 조밀 집합은 가산 개만 존재합니다(이들은 $M$ 안에 있습니다!) —

$D_{1},D_{2},\ldots,D_{n},\ldots\in M.$

이라 합시다. 선택공리를 사용하여 $p_{1}\in D_{1}$ 을 취하고, 그다음 $p_{2}\leq p_{1}$ 이면서 $p_{2}\in D_{2}$ 인 $p_{2}$ 를 취하고( $D_{2}$ 가 조밀하므로 이것이 가능합니다), 이런 식으로 계속합니다. 이러한 방식으로 다음 사슬을 귀납적으로 제시할 수 있습니다

$p_{1}\geq p_{2}\geq p_{3}\geq\dots$

여기서 모든 $i$ 에 대해 $p_{i}\in D_{i}$ 입니다.

따라서 우리는 $\{p_{i}\}$ 로부터 필터를 생성하고자 합니다. 위쪽 폐포를 취하기만 하면 됩니다 – 어떤 $n$ 에 대해 $q\geq p_{n}$ 을 만족하는 $q\in\mathbb{P}$ 의 집합을 $G$ 라 합시다. 구성에 의해 $G$ 는 필터입니다(이는 사실 자명합니다). 게다가 구성에 의해 $G$ 는 모든 조밀 집합과 교차합니다.