장 22 몇 가지 응용

이 모든 준비를 마쳤으니, 이제 그 자체로 흥미로운 몇 가지 좋은 결과를 전개해 보겠습니다.

22.1 프로베니우스 나눗셈성

정리 22.1.1 (프로베니우스 나눗셈성).

$V$ 가 유한군 $G$ 의 복소 기약표현이라 합시다. 그러면 $\dim V$ 는 $|G|$ 를 나눕니다.

이 증명에는 대수적 정수(대수적 수론 장에서 다룰 개념)가 필요합니다. 대수적 정수란 정수 계수를 갖는 모닉 다항식의 근이 되는 복소수를 말하며, 이러한 대수적 정수들은 덧셈과 곱셈에 대해 환 $\overline{\mathbb{Z}}$ 를 이루고, $\overline{\mathbb{Z}}\cap\mathbb{Q}=\mathbb{Z}$ 임을 상기합시다.

먼저 다음을 증명합니다:

보조정리 22.1.2 ( $\mathbb{Z}[G]$ 의 원소는 정수적입니다).

$\alpha\in\mathbb{Z}[G]$ 라 합시다. 그러면 정수 계수를 갖는 모닉 다항식 $P$ 가 존재하여 $P(\alpha)=0$ 이 성립합니다.

증명.

$A_{k}$ 를 $1,\alpha^{1},\dots,\alpha^{k}$ 의 $\mathbb{Z}$ -생성 공간이라 합시다. $\mathbb{Z}[G]$ 가 뇌터 환이므로, 포함 관계 $A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq\dots$ 가 모두 진부분일 수는 없으며, 따라서 어떤 $k$ 에 대해 $A_{k}=A_{k+1}$ 이 성립합니다. 이는 $\alpha^{k+1}$ 이 $\alpha$ 의 더 낮은 거듭제곱들로 표현될 수 있음을 의미합니다. ∎

프로베니우스 나눗셈성의 증명.

$C_{1}$ , …, $C_{m}$ 이 $G$ 의 켤레류를 나타낸다고 합시다. 그러면 유리수

\frac{|G|}{\dim V};

를 생각해 봅시다. 우리는 이것이 대수적 정수임을 보일 것이며, 이로써 정리가 증명됩니다. 이를 다음과 같이 다시 쓸 수 있음을 관찰합니다

\frac{|G|}{\dim V}=\frac{|G|\left<\chi_{V},\chi_{V}\right>}{\dim V}=\sum_{g\in G% }\frac{\chi_{V}(g)\overline{\chi_{V}(g)}}{\dim V}.

켤레류에 대한 합을 나누면, 따라서

\frac{|G|}{\dim V}=\sum_{i=1}^{m}\overline{\chi_{V}(C_{i})}\cdot\frac{|C_{i}|% \chi_{V}(C_{i})}{\dim V}.

우리는 모든 $i$ 에 대해 다음이

\frac{|C_{i}|\chi_{V}(C_{i})}{\dim V}=\frac{1}{\dim V}\operatorname{Tr}T_{i}

대수적 정수임을 주장합니다, 여기서

T_{i}\coloneqq\rho\left(\sum_{h\in C_{i}}h\right).

이를 확인하기 위해, $T_{i}$ 가 $G$ 의 원소들과 가환임에 주목하면, 따라서 $T_{i}$ 는 뒤엉킴 연산자 $T_{i}\colon V\to V$ 가 됩니다. 따라서 슈어의 보조정리에 의해 $T_{i}=\lambda_{i}\cdot\mathrm{id}_{V}$ 이고 $\operatorname{Tr}T_{i}=\lambda_{i}\dim V$ 입니다. 보조정리 22.1.2에 의해 $\lambda_{i}\in\overline{\mathbb{Z}}$ 이며, 원하는 결과를 얻습니다.

이제 $\overline{\chi_{V}(C_{i})}\in\overline{\mathbb{Z}}$ 또한 성립하므로 (이는 단위근의 켤레들의 합이기 때문입니다) 증명이 끝났습니다. 따라서 $\frac{|G|}{\dim V}$ 는 대수적 정수들의 곱의 합이며, 그 자체로 대수적 정수입니다. ∎

22.2 번사이드의 정리

이제 군론적 결과를 증명합니다. 이 결과는 순수하게 군론적이기 때문에(마치 RSA가 정수론의 대표적 사례이듯) 표현론의 유명한 대표적 사례입니다.

군이 정규 부분군을 갖지 않으면 단순하다는 것을 상기합시다. 사실, 우리는 다음을 증명할 것입니다:

정리 22.2.1 (번사이드).

$G$ 가 위수 $p^{a}q^{b}$ 인 비아벨 군이라 합시다(여기서 $p, q$ 는 서로 다른 소수이고 $a,b\geq 0$ 입니다). 그러면 $G$ 는 단순하지 않습니다.

이어지는 내용에서 $p$ 와 $q$ 는 항상 소수를 나타냅니다.

보조정리 22.2.2 ( $\gcd(|C|,\dim V)=1$ 에 관하여).

$V=(V,\rho)$ 가 $G$ 의 복소 기약표현이라 합시다. $C$ 가 $\gcd(|C|,\dim V)=1$ 을 만족하는 $G$ 의 켤레류라고 가정합시다. 그러면 임의의 $g\in C$ 에 대해, 다음 중 하나가 성립합니다

•

$\rho(g)$ 가 스칼라에 의한 곱셈이거나, 또는
•

$\chi_{V}(g)=\operatorname{Tr}\rho(g)=0$ .

증명.

$\varepsilon_{i}$ 가 $\rho(g)$ 의 $n$ 개 고윳값(단위근들)이라면, 프로베니우스 나눗셈성의 증명으로부터 $\frac{|C|}{n}\chi_{V}(g)\in\overline{\mathbb{Z}}$ 임을 알 수 있으며, 따라서 $\gcd(|C|,n)=1$ 로부터 다음을 얻습니다

\frac{1}{n}\chi_{V}(g)=\frac{1}{n}(\varepsilon_{1}+\dots+\varepsilon_{n})\in% \overline{\mathbb{Z}}.

이는 대수적 수론의 한 사실, 즉 문제 53C로부터 쉽게 따라 나옵니다: $\varepsilon_{1}=\dots=\varepsilon_{n}$ (첫 번째 경우)이거나 $\varepsilon_{1}+\dots+\varepsilon_{n}=0$ (두 번째 경우)입니다. ∎

보조정리 22.2.3 (단순군은 소수의 거듭제곱 크기의 켤레류를 갖지 않습니다).

$G$ 를 유한 단순군이라 합시다. 그러면 $G$ 는 크기가 $p^{k}$ ( $k>0$ )인 켤레류를 가질 수 없습니다.

증명.

귀류법으로 증명합니다. $C$ 가 그러한 켤레류라 가정하고, 임의의 $g\in C$ 를 고정합니다. $g$ 와 $1_{G}$ ( $g\neq 1_{G}$ 이므로 켤레가 아닙니다)에 대해 두 번째 직교성 공식(문제 21E)을 적용하면 다음을 얻습니다.

\sum_{i=1}^{r}\dim V_{i}\chi_{V_{i}}(g)=0

여기서 $V_{i}$ 는 평소와 같이 $G$ 의 모든 기약 표현입니다.

연습문제 22.2.4.

$p\nmid\dim V$ 이고 $\chi_{V}(g)\neq 0$ 인 자명하지 않은 기약 표현 $V$ 가 존재함을 보이십시오. (그렇지 않다면 $-\frac{1}{p}\in\overline{\mathbb{Z}}$ 가 됨을 귀류법으로 보이면서 진행하십시오.)

$V=(V,\rho)$ 를 앞서 언급한 기약 표현이라 합시다. 앞의 보조정리에 의해, 이제 $\rho(g)$ 가 $V$ 에서 스칼라로 작용함을 알 수 있습니다.

이제 다음 부분군을 생각해 봅시다.

H=\left<ab^{-1}\mid a,b\in C\right>\subseteq G.

우리는 이것이 $G$ 의 자명하지 않은 정규 부분군임을 주장합니다. $H$ 가 정규임을 확인하는 것은 쉬우며, $|C|>1$ 이므로 $H$ 가 자명하지 않음을 알 수 있습니다. $V$ 로 표현되었을 때 $H$ 의 각 원소는 $V$ 에 자명하게 작용하므로, $V$ 가 자명하지 않고 기약적이기 때문에 $H\neq G$ 입니다. 이는 $G$ 가 단순군이라는 가정에 모순됩니다. ∎

이 보조정리를 이용하면, 우리 군의 $|G|$ 개 원소를 켤레류로 분할함으로써 번사이드 정리가 따라 나옵니다. 귀류법을 위해 $G$ 가 단순군이라 가정합시다. 각 켤레류는 크기가 $1$ 이거나(문제 16D에 의해 이러한 것이 $|Z(G)|$ 개 있습니다) 앞의 보조정리에 의해 $p q$ 로 나누어떨어져야 하는데, 반면 그 합은 $|G|=p^{a}q^{b}$ 와 같습니다. 따라서 $|Z(G)|>1$ 이어야 합니다. 그러나 $G$ 는 아벨 군이 아니므로 $Z(G)\neq G$ 이며, 따라서 중심 $Z(G)$ 는 자명하지 않은 정규 부분군이 되어, $G$ 가 단순군이라는 가정에 모순됩니다.

22.3 프로베니우스 행렬식

표현론이라는 분야를 시작하게 만든 다음 문제로 마무리하겠습니다. 유한군 $G$ 가 주어지면, $n$ 개의 변수 $\{x_{g}\}_{g\in G}$ 를 만들고, $(g,h)$ 번째 성분이 $x_{gh^{-1}}$ 인 $n\times n$ 행렬 $M_{G}$ 를 만듭니다.

예제 22.3.1 (프로베니우스 행렬식들).

(a)

$G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\left<T\mid T^{2}=1\right>$ 이라면 행렬은 다음과 같을 것입니다

$M_{G}=\begin{bmatrix}x_{\mathrm{id}}&x_{T}\\ x_{T}&x_{\mathrm{id}}\end{bmatrix}.$

그러면 $\det M_{G}=(x_{\mathrm{id}}-x_{T})(x_{\mathrm{id}}+x_{T})$ 입니다.
(b)

$G=S_{3}$ 이라면, 긴 계산을 통해 $\det M_{G}$ 의 기약 인수분해는 다음과 같이 주어집니다

$\left(\sum_{\sigma\in S_{3}}x_{\sigma}\right)\left(\sum_{\sigma\in S_{3}}% \operatorname{sign}(\sigma)x_{\sigma}\right)\Big{(}F\left(x_{\mathrm{id}},x_{(% 123)},x_{(321)}\right)-F\left(x_{(12)},x_{(23)},x_{(31)}\right)\Big{)}^{2}$

여기서 $F(a,b,c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca$ 이며, 뒤의 인수는 기약입니다.

정리 22.3.2 (프로베니우스 행렬식).

( $|G|$ 개의 변수로 이루어진) 다항식 $\det M_{G}$ 는 기약 다항식들의 곱으로 인수분해되며, 이때

(i)

다항식의 개수는 $G$ 의 켤레류의 개수와 같으며,
(ii)

각 다항식의 중복도는 그 차수와 같습니다.

”제곱의 합” 결과가 이와 어떻게 관련되는지 여러분은 이미 짐작할 수 있을지도 모릅니다! (실제로 $\deg\det M_{G}$ 를 살펴보십시오.)

전설에 따르면 데데킨트가 1896년에 이 현상을 처음 관찰했다고 합니다. 그는 이를 일반적으로 증명하는 방법을 알지 못했기에, 이를 편지에 담아 프로베니우스에게 보냈고, 프로베니우스는 이 문제를 풀기 위해 표현론을 창시했습니다.

지금까지 구축한 모든 도구를 이용하면, 이제 이 결과를 증명하는 것은 상당히 간단합니다.

증명.

$V=(V,\rho)=\operatorname{Reg}(\mathbb{C}[G])$ 라 하고, $V_{1}$ , …, $V_{r}$ 을 $G$ 의 기약 표현들이라 합시다. $\mathbb{C}[G]$ 의 통상적인 기저에서 행렬 $M_{G}$ 를 갖는 사상 $T\colon\mathbb{C}[G]\to\mathbb{C}[G]$ 를 생각해 봅시다. 즉

T\colon T(\{x_{g}\}_{g\in G})=\sum_{g\in G}x_{g}\rho(g)\in\mathrm{Mat}(V).

따라서 우리는 $\det T$ 를 살펴보고자 합니다.

하지만 이전과 같이 $V=\bigoplus_{i=1}^{r}V_{i}^{\oplus\dim V_{i}}$ 임을 알고 있으므로, $T$ 를 그 부분공간들에 대해 분해하면 다음을 알 수 있습니다

\det T=\prod_{i=1}^{r}\left(\det(T{\restriction_{V_{i}}})\right)^{\dim V_{i}}.

따라서 우리는 두 가지만 보이면 됩니다: 다항식 $\det T_{V_{i}}$ 가 기약이라는 것, 그리고 서로 다른 $i$ 에 대해 이들이 쌍마다 서로 다르다는 것입니다.

$V_{i}=(V_{i},\rho)$ 라 하고, $k=\dim V_{i}$ 라 둡시다.

•

기약성: 조밀성 정리에 의해, 임의의 $M\in\mathrm{Mat}(V_{i})$ 에 대해 복소수 $x_{g}\in G$ 의 특정한 선택이 존재하여 다음을 만족합니다

$M=\sum_{g\in G}x_{g}\cdot\rho_{i}(g)=(T{\restriction_{V_{i}}})(\{x_{g}\}).$

$\rho_{i}(g)$ 를 복소수 계수를 갖는 $k\times k$ 행렬로 봅시다. 따라서 다항식 항목을 갖는 행렬로 본 “일반적인” $(T{\restriction_{V_{i}}})(\{x_{g}\})$ 는 선형독립인 항목들을 가져야 합니다(그렇지 않으면 우리가 도달할 수 없는 $\mathrm{Mat}(V_{i})$ 의 어떤 행렬이 존재하게 됩니다).

그러면 이 주장은 (선형 변수 변환을 통해) $m^{2}$ 개의 변수로 이루어진 다항식 $\det(y_{ij})_{1\leq i,j\leq m}$ 이 항상 기약이라는 단순한 사실로부터 따라옵니다.
•

쌍마다 서로 다름: $\det T|_{V_{i}}(\{x_{g}\})$ 로부터 지표 $\chi_{V_{i}}$ 를 읽어낼 수 있음을 보여, 이 주장을 증명하겠습니다. 실제로

연습문제 22.3.3.

$V_{i}$ 에 대해 임의의 기저를 택합시다. $\dim V_{i}=k$ 이고 $1_{G}\neq g\in G$ 이면, 다음이 성립합니다

$\chi_{V_{i}}(g)\text{의 계수입니다}x_{g}x_{1_{G}}^{k-1}.$

따라서 증명이 완료됩니다. ∎