장 9 벡터 공간

이 장은 꽤 가벼운 장입니다. 이 장의 목적은 벡터 공간과 기저가 무엇인지 정의하는 것입니다. 이들은 여러분이 이미 알고 있을 수도 있는 직관적인 개념입니다.

9.1 환과 체의 정의

대표적인 예: $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ 는 환이며, 뒤의 둘은 체입니다.

앞 장을 건너뛰었을 경우를 대비하여, 여기서 환/체를 아주 비형식적으로 정의하겠습니다.

•

환은 $\mathbb{Z}$ 처럼 가환인 덧셈과 곱셈, 그리고 뺄셈을 갖춘 구조입니다. 또한 덧셈 항등원 $0$ 과 곱셈 항등원 $1$ 을 가집니다.
•

$\mathbb{R}$ 이나 $\mathbb{C}$ 에서처럼 곱셈이 가역적이면(즉 임의의 $x\neq 0$ 에 대해 $\frac{1}{x}$ 가 의미를 가지면), 그 환을 체라고 부릅니다.

사실, 이후의 내용에서 “체”를 모두 “ $\mathbb{R}$ ”로 바꾸어 읽어도 잃는 것은 아마 별로 없을 것입니다. 환에는 문자 $R$ 을, 체에는 $k$ 나 $K$ 를 쓰는 것이 관례입니다.

마지막으로, 군에 관한 장을 건너뛰었을 경우를 대비하여 다음도 언급해 두겠습니다.

•

덧셈 아벨 군은 가환인 덧셈과 뺄셈, 그리고 덧셈 항등원 $0$ 을 갖춘 구조입니다. 곱셈은 없어도 됩니다. 좋은 예로 (성분별 덧셈을 갖춘) $\mathbb{R}^{3}$ 이 있습니다.

9.2 가군과 벡터 공간

대표적인 예: 차수가 $n$ 이하인 다항식.

여러분은 $\mathbb{R}^{n}$ 이 “벡터 공간”이라는 것을 이미 직관적으로 알고 있습니다. 그 원소들은 서로 더할 수 있고, 실수배를 할 수 있습니다. 이를 좀 더 일반적으로 전개해 봅시다.

가환환 $R$ 을 고정합시다. 그러면 비형식적으로,

$R$ -가군이란 두 원소를 더할 수 있고 $R$ 의 원소로 스칼라배를 할 수 있는 모든 구조입니다.

더 나아가, 벡터 공간이란 단지 그 가환환이 실제로 체인 가군입니다. 곧 완전한 정의를 제시하겠지만, 먼저 예시부터 보겠습니다…

예제 9.2.1 (이차 다항식, 일명 제가 가장 좋아하는 예).

제가 가장 좋아하는 $\mathbb{R}$ -벡터 공간의 예는 차수가 2 이하인 다항식들의 집합입니다. 즉,

\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}.

실제로, 임의의 두 이차식을 더할 수 있고 상수를 곱할 수 있습니다. 두 이차식을 곱해서 이차식을 얻을 수는 없지만, 이는 상관없습니다 – 벡터 공간에는 두 벡터를 서로 곱한다는 개념이 있을 필요가 없습니다.

나중에 정의할 의미에서, 이 벡터 공간은 (예상대로!) 차원이 $3$ 입니다.

예제 9.2.2 (모든 다항식).

실수 계수를 갖는 모든 다항식의 집합은 $\mathbb{R}$ -벡터 공간입니다. 임의의 두 다항식을 더할 수 있고 상수배를 할 수 있기 때문입니다.

예제 9.2.3 (유클리드 공간).

(a)

복소수는

$\left\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{R}\right\}$

실벡터 공간을 이룹니다. 나중에 보겠지만, 이 공간은 “차원이 $2$ ”입니다.
(b)

실수 $\mathbb{R}$ 는 $1$ 차원 실벡터 공간을 이룹니다.
(c)

3차원 벡터의 집합

$\left\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\right\}$

는 실벡터 공간을 이룹니다. 임의의 두 세 쌍을 성분별로 더할 수 있기 때문입니다. 이번에도 이것이 왜 “ $3$ 차원”인지는 나중에 설명하겠습니다.

예제 9.2.4 (벡터 공간의 더 많은 예).

(a)

집합

$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\left\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\right\}$

은 자명한 방식으로 $\mathbb{Q}$ -벡터 공간의 구조를 가집니다. 임의의 두 원소를 더할 수 있고, 유리수배를 할 수 있습니다. (이것은 $\mathbb{R}$ -벡터 공간이 아닙니다 — 왜 그렇습니까?)
(b)

집합

$\left\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\text{ 그리고 }x,y,z\in\mathbb{R}\right\}$

은 $2$ 차원 실벡터 공간입니다.
(c)

모든 함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 의 집합도 실벡터 공간입니다( $c\in\mathbb{R}$ 에 대해 $f+g$ 와 $c\cdot f$ 라는 개념이 모두 의미가 있기 때문입니다).

이제 이 곱셈이 어떻게 작동하는지에 대한 실제 규칙을 적어 보겠습니다.

정의 9.2.5.

$R$ 을 가환환이라고 합시다. $R$ - 가군은 항등원을 $0=0_{M}$ 으로 나타내는 덧셈 아벨 군 $M=(M,+)$ 에서 출발합니다. 여기에 더하여 $R$ 의 원소에 의한 왼쪽 곱셈을 지정합니다. 이 곱셈은 $r,r_{1},r_{2}\in R$ 및 $m,m_{1},m_{2}\in M$ 에 대하여 다음 성질을 만족해야 합니다.

(i)

$r_{1}\cdot(r_{2}\cdot m)=(r_{1}r_{2})\cdot m$ .
(ii)

곱셈은 분배적입니다. 즉,

$(r_{1}+r_{2})\cdot m=r_{1}\cdot m+r_{2}\cdot m\text{그리고}r\cdot(m_{1}+m_{2})=r% \cdot m_{1}+r\cdot m_{2}.$
(iii)

$1_{R}\cdot m=m$ .
(iv)

$0_{R}\cdot m=0_{M}$ 입니다. (사실 이것은 불필요합니다. 앞의 세 가지로부터 유도할 수 있습니다.)

$R$ 이 체이면 $M$ 을 $R$ - 벡터 공간이라고 합니다. 그 원소들을 벡터라고 하고, $R$ 의 원소들을 스칼라라고 합니다.

표기의 남용 9.2.6.

위에서는 $M$ 의 덧셈과 $R$ 의 덧셈에 같은 기호 $+$ 를 사용하고 있습니다. 죄송하지만 이를 피하기는 다소 어렵고, 공리의 요점은 바로 이 덧셈들이 서로 관련되어야 한다는 것입니다. 가군의 곱셈에는 $r\cdot m$ 을, $R$ 의 곱셈에는 $r_{1}r_{2}$ 를 쓰도록 유념하겠습니다.

질문 9.2.7.

예제 9.2.1에서 저는 “차수 $2$ ” 대신 “차수가 최대 $2$ ”라고 신중하게 말했습니다. 그 이유는 무엇입니까? 다시 말해, 왜

\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R},a\neq 0\right\}

은 $\mathbb{R}$ -벡터 공간이 아닙니까?

덜 직관적이지만 꽤 중요한 예 몇 가지…

예제 9.2.8 (아벨 군은 $\mathbb{Z}$ -가군입니다).

(군이 익숙하지 않다면 이 예는 건너뛰십시오.)

(a)

실계수 다항식의 예

$\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}$

도 $\mathbb{Z}$ -가군입니다! 실제로 그러한 두 다항식을 더할 수 있고, 정수배를 할 수 있습니다.
(b)

$100$ 을 법으로 하는 정수의 집합, 즉 $\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}$ 도 $\mathbb{Z}$ -가군입니다. 어떻게 그런지 알 수 있겠습니까?
(c)

사실 임의의 아벨 군 $G=(G,+)$ 는 $\mathbb{Z}$ -가군입니다. 곱셈은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

$n\cdot g=\underbrace{g+\dots+g}_{\text{$n$번}}\qquad(-n)\cdot g=n\cdot(-g)$

여기서 $n\geq 0$ 입니다. (여기서 $-g$ 는 $g$ 의 덧셈에 대한 역원입니다.)

예제 9.2.9 (모든 환은 그 자신 위의 가군입니다).

(a)

$\mathbb{R}$ 은 자기 자신 위의 $\mathbb{R}$ -벡터 공간으로 생각할 수 있습니다. 왜 그런지 아시겠습니까?
(b)

같은 논리로, 임의의 가환환 $R$ 을 자기 자신 위의 $R$ -가군으로 생각할 수 있음을 알 수 있습니다.

9.3 직합

대표적인 예: $\{ax^{2}+bx+c\}=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}x\oplus\mathbb{R}x^{2}$ 이고, $\mathbb{R}^{3}$ 은 자신의 좌표축들의 합입니다.

예제 9.2.1로 돌아가서 다음을 생각해 봅시다.

V=\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}.

차원이 무엇인지 아직 말씀드리지 않았지만, 이 벡터 공간의 차원이 $3$ “이어야 한다”는 것은 아마 짐작하실 수 있을 것입니다. 이에 대해서는 곧 다루겠습니다.

또 하나 눈치채셨을 수도 있는 점은, $x^{2}$ , $x$ , $1$ 항들이 어째서인지 서로 “대화하지 않는다”는 것입니다. 이들은 완전히 무관합니다. 다시 말해, 다음 세 집합을 생각할 수 있습니다.

	$\displaystyle\mathbb{R}x^{2}$	$\displaystyle\coloneqq\left\{ax^{2}\mid a\in\mathbb{R}\right\}$
	$\displaystyle\mathbb{R}x$	$\displaystyle\coloneqq\left\{bx\mid b\in\mathbb{R}\right\}$
	$\displaystyle\mathbb{R}$	$\displaystyle\coloneqq\left\{c\mid c\in\mathbb{R}\right\}.$

자명한 방식으로, 이들 각각을 $\mathbb{R}$ 의 “복사본”으로 생각할 수 있습니다.

그러면 $V$ 는 말 그대로 “이 집합들의 합”으로 이루어져 있습니다. 구체적으로, $V$ 의 모든 원소는 이 집합들 각각에서 원소를 하나씩 골라 더한 합으로 유일하게 나타낼 수 있습니다. 이로부터 다음과 같이 쓸 동기가 생깁니다.

V=\mathbb{R}x^{2}\oplus\mathbb{R}x\oplus\mathbb{R}.

이를 형식적으로 포착하는 개념이 바로 직합입니다.

정의 9.3.1.

$M$ 을 $R$ -가군이라 합시다. $M_{1}$ 과 $M_{2}$ 를 그 자체로 $R$ -가군인 $M$ 의 부분집합이라 합시다. $M$ 의 모든 원소를 $M_{1}$ 의 원소와 $M_{2}$ 의 원소의 합으로 유일하게 나타낼 수 있으면, $M=M_{1}\oplus M_{2}$ 라 쓰고 $M$ 을 $M_{1}$ 과 $M_{2}$ 의 직합이라 합니다.

예제 9.3.2 (유클리드 평면).

벡터 공간 $\mathbb{R}^{2}=\left\{(x,y)\mid x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\right\}$ 를 생각해 봅시다. 이를 $x$ 축과 $y$ 축의 직합으로 볼 수 있습니다.

X=\left\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\right\}\text{그리고}Y=\left\{(0,y)\mid y\in% \mathbb{R}\right\}.

그러면 $\mathbb{R}^{2}=X\oplus Y$ 입니다.

이로써 가군을 서로 분리된 몇 개의 성분으로 분해하는 “하향식” 방법을 얻습니다.

이 발상을 거꾸로 적용하면, 다음과 같이 새로운 벡터 공간을 구성할 수도 있습니다. 매우 불행하게도, 엄밀히는 서로 다른 두 대상의 이름과 표기법이 정확히 같습니다.

정의 9.3.3.

$M$ 과 $N$ 을 $R$ -가군이라 합시다. 직합 $M\oplus N$ 을 원소가 순서쌍 $(m,n)\in M\times N$ 인 $R$ -가군으로 정의합니다. 연산은 다음과 같이 주어집니다.

(m_{1},n_{1})+(m_{2},n_{2})=(m_{1}+m_{2},n_{1}+n_{2}).

그리고

r\cdot(m,n)=(r\cdot m,r\cdot n).

예를 들어, 엄밀히는 $\mathbb{R}^{2}=X\oplus Y$ 라고 썼지만, $X$ 와 $Y$ 각각이 $\mathbb{R}$ 의 복사본이므로 $\mathbb{R}^{2}\cong\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ 이라고 써도 무방했을 것입니다.

표기의 남용 9.3.4.

위 내용은 직합을 쓰는 방식에서 나타나는 표기 남용을 보여 줍니다. 기호 $\oplus$ 에는 두 가지 의미가 있습니다.

•

$V$ 가 주어진 공간이고 $W_{1}$ 과 $W_{2}$ 가 부분공간이면, $V=W_{1}\oplus W_{2}$ 는 위에서 정의한 방식으로 “ $V$ 가 직합 $W_{1}\oplus W_{2}$ 로 분해된다”는 뜻입니다.
•

$W_{1}$ 과 $W_{2}$ 가 서로 무관한 두 공간이면, $W_{1}\oplus W_{2}$ 는 원소가 순서쌍 $(w_{1},w_{2})\in W_{1}\times W_{2}$ 인 벡터 공간으로 정의됩니다.

이 두 정의가 “어느 정도” 일치한다는 것을 알 수 있습니다.

이런 식으로, $V$ 가 $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ 과 동형이어야 함을 알 수 있습니다. $V=\mathbb{R}x^{2}\oplus\mathbb{R}x\oplus\mathbb{R}$ 이었는데, $1$ , $x$ , $x^{2}$ 은 실제로 서로 대화하지 않으며 각 직합 성분은 본질적으로 $\mathbb{R}$ 의 복사본일 뿐이기 때문입니다.

정의 9.3.5.

또한 모든 양의 정수 $n$ 에 대해 다음 가군을 정의할 수도 있습니다.

M^{\oplus n}\coloneqq\underbrace{M\oplus M\oplus\dots\oplus M}_{\text{$n$번}}.

9.4 선형 독립, 생성, 그리고 기저

대표적인 예: $\left\{1,x,x^{2}\right\}$ 은 $\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}$ 의 기저입니다.

이 절의 주제인 기저라는 개념은 다음 사실을 포착하는 또 다른 방법을 제공합니다. 즉,

V=\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}

이 $\{1,x,x^{2}\}$ 의 사본들의 합이라는 것입니다. 이 절은 기술적이기는 하지만 매우 직관적일 것입니다. 여기 나오는 정리들이 왜 “성립해야” 하는지 이해되지 않는다면, 무언가 잘못하고 있는 것입니다.

이제 $M$ 을 $R$ -가군이라고 합시다. 여러분에게 이미 익숙할 가능성이 높은, 매우 고전적인 세 가지 개념을 정의하겠습니다. 익숙하지 않다면 유클리드 공간이나 위의 $V$ 에 대한 여러분의 직관에 의지하십시오.

정의 9.4.1.

벡터 $v_{1},\dots,v_{n}$ 의 선형 결합이란 $r_{1}v_{1}+\dots+r_{n}v_{n}$ 꼴의 합을 말하며, 여기서 $r_{1},\dots,r_{n}\in R$ 입니다. $r_{1}=r_{2}=\dots=r_{n}=0_{R}$ 이면 이 선형 결합을 자명하다고 하고, 그렇지 않으면 비자명하다고 합니다.

정의 9.4.2.

$v_{1},\dots,v_{n}$ 을 $R$ -가군 $M$ 의 원소들이라고 합시다.

•

값이 $0_{M}$ 인 비자명한 선형 결합이 존재하지 않으면 이를 선형 독립이라고 합니다. ( $0_{M}=0\cdot v_{1}+0\cdot v_{2}+\dots+0\cdot v_{n}$ 은 항상 성립한다는 점에 유의하십시오 – 이 정의가 주장하는 바는 $0_{M}$ 을 이 꼴로 나타내는 다른 방법이 없다는 것입니다.)
•

모든 $v\in M$ 을 $\{v_{i}\}$ 의 선형 결합으로 쓸 수 있으면 이를 생성 집합이라고 합니다. $M$ 이 벡터 공간인 경우에는 대신 생성한다고 말합니다.
•

모든 $v\in M$ 을 $\{v_{i}\}$ 의 선형 결합으로 유일하게 쓸 수 있으면 이를 기저(영어 복수형은 bases)라고 합니다.

무한 집합에 대해서도 같은 정의가 적용되며, 다만 모든 합은 유한해야 한다는 단서가 붙습니다.

따라서 정의에 의해 $\left\{1,x,x^{2}\right\}$ 은 $V$ 의 기저입니다. 이것이 유일한 기저는 아닙니다: $\{2,x,x^{2}\}$ 와 $\{x+4,x-2,x^{2}+x\}$ 도 그만큼 자연스럽지는 않지만 기저의 다른 예입니다. 그러나 집합 $S=\{3+x^{2},x+1,5+2x+x^{2}\}$ 는 기저가 아니며, 그 이유는 두 가지입니다:

•

$0=(3+x^{2})+2(x+1)-(5+2x+x^{2})$ 임에 유의하십시오. 따라서 집합 $S$ 는 선형 독립이 아닙니다.
•

$x^{2}$ 을 $S$ 의 원소들의 합으로 쓰는 것은 불가능합니다. 따라서 $S$ 는 생성하지 못합니다.

이 새로운 용어들을 사용하면, 기저는 선형 독립이면서 생성하는 집합이라고 말할 수 있습니다.

예제 9.4.3 (기저의 더 많은 예).

(a)

$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\left\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\right\}$ 를 $\mathbb{Q}$ -벡터 공간으로 봅시다. 그러면 $\{1,\sqrt{2}\}$ 는 기저입니다.
(b)

$V$ 가 모든 실계수 다항식의 집합이면, 무한 기저 $\{1,x,x^{2},\dots\}$ 가 존재합니다. 유한 개의 항만 사용한다는 조건은 단지 다항식의 차수가 유한해야 한다는 뜻일 뿐입니다(이는 바람직한 일입니다).
(c)
$V=\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\text{ 이고 }x,y,z\in\mathbb{R}\}$ 라고 합시다. 그러면 크기가 $2$ 인 기저가 존재하리라고 예상되지만, 앞의 예들과 달리 곧바로 떠오르는 “명백한” 선택은 없습니다. 실제로 기저가 되는 예로는 다음이 있습니다:
- •
  
  $(1,-1,0)$ 과 $(1,0,-1)$ ,
- •
  
  $(0,1,-1)$ 과 $(1,0,-1)$ ,
- •
  
  $(5,3,-8)$ 과 $(2,-1,-1)$ .

연습문제 9.4.4.

벡터들의 집합이 기저일 필요충분조건은 그 집합이 선형 독립이면서 생성하는 것임을 보이십시오. (막히면 다항식 예를 생각해 보십시오.)

이제 벡터 공간의 기저가 최대한 좋은 성질을 가진다는 것을 보여 주는 몇 가지 결과를 서술하겠습니다.

정리 9.4.5 (기저의 극대성과 극소성).

$V$ 를 어떤 체 $k$ 위의 벡터 공간이라 하고 $e_{1},\dots,e_{n}\in V$ 를 택합시다. 다음은 동치입니다:

(a)

$e_{i}$ 들은 기저를 이룹니다.
(b)

$e_{i}$ 들은 생성 집합이지만, 어떤 진부분집합도 생성 집합이 아닙니다.
(c)

$e_{i}$ 들은 선형 독립이지만, $V$ 의 다른 어떤 원소를 추가하더라도 더 이상 선형 독립이 아니게 됩니다.

비고 9.4.6.

$V$ 를 가환환 $R$ 위의 일반적인 가군 $M$ 으로 바꾸면, (a) $\implies$ (b)와 (a) $\implies$ (c)는 성립하지만 그 역은 성립하지 않습니다.

증명.

간단하므로, 원한다면 직접 해 보십시오. 주목해야 할 핵심은 역방향을 보이려면 스칼라로 나누어야 한다는 점이며, 따라서 (b) $\implies$ (a)와 (c) $\implies$ (a)의 함의에 대해서는 $V$ 가 단지 가군이 아니라 벡터 공간이어야 합니다. ∎

정리 9.4.7 (벡터 공간의 차원 정리).

벡터 공간 $V$ 가 유한 기저를 가지면, 다른 모든 기저도 같은 개수의 원소를 가집니다.

증명.

더 강한 명제를 증명합니다. $v_{1},\dots,v_{n}$ 이 생성 집합이고 $w_{1},\dots,w_{m}$ 이 선형 독립이라고 가정합시다. 그러면 $n\geq m$ 이라고 주장합니다.

질문 9.4.8.

이 주장만으로 정리가 충분히 함의됨을 보이십시오.

$A_{0}=\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ 을 생성 집합이라 합시다. 여기에 $w_{1}$ 을 넣습니다. 생성 조건에 의해 $w_{1}=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}$ 입니다. 0이 아닌 계수가 존재하는데, 이를 $c_{n}$ 이라 합시다. 따라서 다음을 얻습니다.

v_{n}=\frac{1}{c_{n}}w_{1}-\frac{c_{1}}{c_{n}}v_{1}-\frac{c_{2}}{c_{n}}v_{2}-\dots.

그러므로 $A_{1}=\{v_{1},\dots,v_{n-1},w_{1}\}$ 은 생성 집합입니다. 이제 같은 방법으로 $w_{2}$ 를 넣고, 앞에서와 같이 $v_{i}$ 중 어떤 원소를 삭제하여 $A_{2}$ 를 얻습니다. $w_{i}$ 들이 선형 독립이라는 조건은 어떤 $v_{i}$ 의 계수가 항상 0이 아님을 보장합니다. 결국 $A_{m}$ 에 도달할 수 있으므로 $n\geq m$ 입니다. ∎

비고 (일반화).

•

“원소의 개수”를 “기수”로 해석하면 이 정리는 무한 기저에 대해서도 성립합니다. 처음 읽을 때는 혼란스러울 수 있으므로 자세히 설명하지 않겠습니다.
•

사실 이는 임의의 가환환 위의 가군에 대해서도 성립합니다. 흥미롭게도 일반적인 경우의 증명은 벡터 공간의 경우로 환원하는 방식으로 진행됩니다.

차원 정리는 그 이름에 걸맞게, 유한 기저가 존재할 경우 벡터 공간의 차원을 임의의 유한 기저의 크기로 정의할 수 있게 해 줍니다. 유한 기저가 존재할 때 $V$ 를 유한 차원이라고 합니다. 예를 들어,

V=\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}

는 $\left\{1,x,x^{2}\right\}$ 가 기저이므로 차원이 3입니다. 이것이 유일한 기저는 아닙니다. 다음과 같이 쓸 수도 있었고

\left\{a(x^{2}-4x)+b(x+2)+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}

정확히 같은 벡터 공간을 얻었을 것입니다. 그러나 이 정리의 아름다움은 생성 집합을 아무리 억지로 꾸며 내더라도 항상 정확히 세 개의 원소를 얻게 된다는 데 있습니다. 그렇기 때문에 $V$ 의 차원이 3이라고 말하는 것이 타당합니다.

반면, 모든 다항식의 집합 $\mathbb{R}[x]$ 는 무한 차원입니다(이는 직관적으로 분명할 것입니다).

$V$ 의 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 은 정말 멋진데, $v\in V$ 를 지정하려면 $a_{1},\dots,a_{n}\in k$ 만 지정한 다음 $v=a_{1}e_{1}+\dots+a_{n}e_{n}$ 으로 두기만 하면 되기 때문입니다. 심지어 $v$ 를 $\left(a_{1},\dots,a_{n}\right)$ 으로 생각할 수도 있습니다. 다르게 말하면, $V$ 가 $k$ -벡터 공간이면 항상 다음이 성립합니다

V=e_{1}k\oplus e_{2}k\oplus\dots\oplus e_{n}k.

9.5 선형 사상

대표적인 예: $x=3$ 에서 $\{ax^{2}+bx+c\}$ 의 값 계산.

지금까지 준동형사상과 연속 사상을 보았습니다. 이제 벡터 공간 사이의 구조를 보존하는 사상인 선형 사상을 살펴보려 합니다. 정의를 짐작할 수 있겠습니까?

정의 9.5.1.

$V$ 와 $W$ 를 같은 체 $k$ 위의 벡터 공간이라고 합시다. 선형 사상은 다음 조건을 만족하는 사상 $T\colon V\to W$ 입니다:

(i)

임의의 $v_{1},v_{2}\in V$ 에 대하여 $T(v_{1}+v_{2})=T(v_{1})+T(v_{2})$ 가 성립합니다.¹¹1군의 언어로 말하면, $T$ 는 준동형사상 $(V,+)\to(W,+)$ 입니다.
(ii)

임의의 $a\in k$ 와 $v\in V$ 에 대하여 $T(a\cdot v)=a\cdot T(v)$ 가 성립합니다.

이 사상이 전단사이면(동치로, 역사상을 가지면) 이를 동형사상이라고 합니다. 이때 $V$ 와 $W$ 를 동형인 벡터 공간이라고 하며 $V\cong W$ 로 씁니다.

예제 9.5.2 (선형 사상의 예).

(a)

임의의 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 에 대하여, 모든 것을 $0_{W}\in W$ 로 보내는 자명한 선형 사상이 있습니다.
(b)

임의의 벡터 공간 $V$ 에 대하여 항등 동형사상 $\mathrm{id}\colon V\to V$ 가 있습니다.
(c)

$(a,b,c)\mapsto 4a+2b+c$ 로 주어지는 사상 $\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}$ 은 선형 사상입니다.
(d)

$V$ 를 차수가 $2$ 이하인 실계수 다항식의 집합이라고 합시다. $(a,b,c)\mapsto ax^{2}+bx+c$ 로 주어지는 사상 $\mathbb{R}^{3}\to V$ 는 동형사상입니다.
(e)

$V$ 를 차수가 $2$ 이하인 실계수 다항식의 집합이라고 합시다. $ax^{2}+bx+c\mapsto 9a+3b+c$ 로 주어지는 사상 $V\to\mathbb{R}$ 은 선형 사상이며, 이는 “ $3$ 에서의 값 계산”이라고 설명할 수 있습니다.
(f)

$W$ 를 함수 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 들의 집합이라고 합시다. $f\mapsto f(0)$ 으로 주어지는 값 계산 사상 $W\to\mathbb{R}$ 은 선형 사상입니다.
(g)

“ $\sqrt{2}$ 곱하기”라고 부르는 $\mathbb{Q}$ -벡터 공간의 사상 $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\to\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ 가 있습니다. 이 사상은 $a+b\sqrt{2}\mapsto 2b+a\sqrt{2}$ 로 보냅니다. 이 사상은 역사상 “ $1/\sqrt{2}$ 곱하기”를 가지므로 동형사상입니다.

식 $T(a\cdot v)=a\cdot T(v)$ 에서 첫 번째 $\cdot$ 은 $V$ 의 곱셈이고 두 번째 $\cdot$ 은 $W$ 의 곱셈이라는 점에 주의하십시오. 이 동형사상의 개념은 사실상 기저의 크기에만 관심을 둔다는 점에 주목하십시오:

명제 9.5.3 ( $n$ 차원 벡터 공간은 동형입니다).

$V$ 가 $n$ 차원 벡터 공간이면 $V\cong k^{\oplus n}$ 입니다.

질문 9.5.4.

$e_{1}$ , …, $e_{n}$ 을 $V$ 의 기저라고 합시다. 동형사상은 무엇입니까? (처음 떠오른 추측이 아마 맞을 것입니다.)

비고 9.5.5.

엄밀히 말하면 모든 유한 차원 벡터 공간은 그저 $k^{\oplus n}$ 일 뿐이고 다른 공간은 신경 쓸 가치가 없다고 말할 수도 있습니다. 하지만 이는 다소 무례해 보입니다. 공간은 단순한 세 쌍 이상인 경우가 많습니다. $ax^{2}+bx+c$ 는 다항식이므로, $(a,b,c)$ 로 압축하면 잃어버리게 되는 어떤 “본질”을 지니고 있습니다.

게다가 $x+y+z=0$ 을 만족하는 벡터 $(x,y,z)$ 의 집합처럼, 많은 공간에는 자명한 기저 선택이 없습니다. 따라서 이러한 공간을 $k^{\oplus n}$ 으로 옮기려면 임의의 결정을 내려야 합니다.

9.6 행렬이란 무엇입니까?

이제 행렬이 무엇인지 알려 드릴 차례입니다! 이는 즐거운 일입니다. 이제 드디어 행렬 곱셈의 공식을 그냥 전해 듣는 대신 어떻게 유도하는지 설명해 드릴 수 있기 때문입니다.

이 절은 매우 중요하고 많은 학생에게 깨달음을 주는 내용이므로, 실제로 두 번 다루겠습니다. 첫 번째에는 매우 특수한 경우, 즉 $V=W=\mathbb{R}^{2}$ 인 경우에서 많은 수를 사용하여 다루겠습니다. (증명 경험이 없는 학부 1학년 학생들에게 이 개념을 가르칠 때 이렇게 설명했습니다.) 그다음 두 번째에는 수를 모두 빼고 현대적인 언어로 다루겠습니다.

9.6.1 일반 독자를 위한 $\mathbb{R}^{2}$ 의 확장 예제

이 절 전체에서 특별히 $\mathbb{R}^{2}$ 를 다루겠으며, 그 원소를 $(x,y)$ 대신 $\left[\begin{smallmatrix}x\\ y\end{smallmatrix}\right]$ 로 쓰겠습니다(그 이유는 행렬 곱셈을 이야기할 때 알게 될 것입니다).

깜짝 퀴즈:

•

질문 1: 선형 사상 $T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ 가 주어졌고, $T\left(\left[\begin{smallmatrix}3\\ 4\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}\pi\\ 9\end{smallmatrix}\right]$ 이며 $T\left(\left[\begin{smallmatrix}100\\ 100\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}0\\ 12\end{smallmatrix}\right]$ 라고 합시다. $T\left(\left[\begin{smallmatrix}103\\ 104\end{smallmatrix}\right]\right)$ 와 $T\left(\left[\begin{smallmatrix}203\\ 204\end{smallmatrix}\right]\right)$ 는 무엇입니까?

답 1: 그냥 더하면 됩니다.

$\displaystyle T\left(\begin{bmatrix}103\\ 104\end{bmatrix}\right)$ $\displaystyle=\begin{bmatrix}\pi\\ 9\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\ 12\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pi\\ 21\end{bmatrix}$

$\displaystyle T\left(\begin{bmatrix}203\\ 204\end{bmatrix}\right)$ $\displaystyle=\begin{bmatrix}\pi\\ 9\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}0\\ 12\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pi\\ 33\end{bmatrix}.$
•

질문 2: 선형 사상 $T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ 가 주어졌고, $T\left(\left[\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}1\\ 3\end{smallmatrix}\right]$ 이며 $T\left(\left[\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}2\\ 4\end{smallmatrix}\right]$ 라고 합시다. $T\left(\left[\begin{smallmatrix}50\\ 70\end{smallmatrix}\right]\right)$ 는 무엇입니까?

답 2:

$T\left(\begin{bmatrix}50\\ 70\end{bmatrix}\right)=50\begin{bmatrix}1\\ 3\end{bmatrix}+70\begin{bmatrix}2\\ 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}190\\ 430\end{bmatrix}.$

이 예가 보여 주는 것은, 선형 사상 $T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ 에 대한 요구 조건이 매우 강해서 $T\left(\left[\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\right]\right)$ 와 $T\left(\left[\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\right]\right)$ 만 알면 다른 어떤 점에서의 $T$ 의 값도 계산할 수 있다는 것입니다. 이는 임의의 두 기저 벡터에 대해서도 성립하지만(즉, 질문 1은 일부러 골라 놓은 $\left[\begin{smallmatrix}103\\ 104\end{smallmatrix}\right]$ 와 $\left[\begin{smallmatrix}203\\ 204\end{smallmatrix}\right]$ 보다 훨씬 고약한 입력에 대해 물었더라도 여전히 풀 수 있었을 것입니다), 물론 $\left[\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\right]$ 와 $\left[\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\right]$ 는 특히 편리한 선택입니다.

이제 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

정의 9.6.1.

선형 변환 $T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ 에 대하여, 그 행렬은 $T$ 를 부호화한 것으로, 다음 열벡터들을

T\left(\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}\right)\qquad\text{그리고}\qquad T\left(\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}\right)

을 함께 이어 붙여 $2\times 2$ 수 배열로 만든 $T$ 의 인코딩입니다.

예를 들어,

T\left(\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}1\\ 3\end{bmatrix}\text{그리고}T\left(\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}2\\ 4\end{bmatrix}\iff T\text{다음과 같이 인코딩됨}\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}.

이제 고등학교에서 배운 행렬 곱셈 규칙을 열벡터 $\left[\begin{smallmatrix}50\\ 70\end{smallmatrix}\right]$ 에 적용하면 어떻게 됩니까? 그러면 다음을 얻습니다.

\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}50\\ 70\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\cdot 50+2\cdot 70\\ 3\cdot 50+4\cdot 70\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}190\\ 430\end{bmatrix}

…보시다시피 사실 두 번째 깜짝 퀴즈 문제를 다시 풀고 있을 뿐입니다. 따라서:

$T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ 를 $2\times 2$ 행렬 $M$ 으로 나타내면, $M$ 과 (열) 벡터 $v\in\mathbb{R}^{2}$ 의 곱셈은 $T(v)$ 와 일치하도록 정의됩니다.

비고 9.6.2 (항등 행렬은 그 이름에 걸맞습니다).

이것은 또한 $2\times 2$ 항등 행렬이 왜 $\left[\begin{smallmatrix}1&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\right]$ 인지에 대해, 고등학교에서 하는 설명(즉, “음, 그걸 곱해 보면 똑같은 것이 나온다는 걸 알 수 있지”)보다 더 자연스러운 이유를 제공합니다. $\mathrm{id}$ 가 항등 함수라면 $\mathrm{id}\left(\left[\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\right]$ 이므로 이것이 행렬의 첫 번째 열이며, 마찬가지로 $\mathrm{id}\left(\left[\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\right]$ 이 두 번째 열입니다.

이제 두 사상 $S$ 와 $T$ 를 게임에 끌어들여 합성하면 어떻게 됩니까? $S\circ T$ 로도 같은 게임을 할 수 있습니다.

•

질문 3: 선형 사상 $T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ 가 주어졌고, $T\left(\left[\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}1\\ 3\end{smallmatrix}\right]$ 이며 $T\left(\left[\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}2\\ 4\end{smallmatrix}\right]$ 라고 합시다. 그다음 두 번째 선형 사상 $S\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ 가 주어졌고, $S\left(\left[\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}5\\ 7\end{smallmatrix}\right]$ 이며 $S\left(\left[\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}6\\ 8\end{smallmatrix}\right]$ 라고 합시다. $S\left(T\left(\left[\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\right]\right)\right)$ 와 $S\left(T\left(\left[\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\right]\right)\right)$ 는 무엇입니까?

답 3:

$\displaystyle S\left(T\left(\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}\right)\right)$ $\displaystyle=S\left(\begin{bmatrix}1\\ 3\end{bmatrix}\right)=1\begin{bmatrix}5\\ 7\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}6\\ 8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}23\\ 31\end{bmatrix}.$

$\displaystyle S\left(T\left(\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}\right)\right)$ $\displaystyle=S\left(\begin{bmatrix}2\\ 4\end{bmatrix}\right)=2\begin{bmatrix}5\\ 7\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}6\\ 8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}34\\ 46\end{bmatrix}.$

$S\circ T$ 자체도 선형 사상이므로, 이제 그 행렬 인코딩을 알 수 있습니다:

S\circ T=\begin{bmatrix}23&34\\ 31&46\end{bmatrix}.

여러분은 학교에서 어떤 행렬 곱셈 규칙을 정의로 배웠을 수도 있습니다. 그 정의를 $S$ 와 $T$ 의 행렬에 적용하면 다음을 얻을 것입니다.

\underbrace{\begin{bmatrix}5&6\\ 7&8\end{bmatrix}}_{\text{$S$의 인코딩}}\underbrace{\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}}_{\text{$T$의 인코딩}}=\begin{bmatrix}5\cdot 1+6\cdot 3&5\cdot 2+% 6\cdot 4\\ 7\cdot 1+8\cdot 3&7\cdot 2+8\cdot 4\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}23&34\\ 31&46\end{bmatrix}

이것은 $S\circ T$ 의 인코딩입니다 — 실제로 그 이유도 알 수 있는데, 답 3의 풀이 과정을 따라가 보면 사실 똑같은 산술이 수행되고 있기 때문입니다.

이것은 행렬을 선형 함수의 인코딩으로 보는 Napkin의 정의가 여러분 중 많은 분이 접해 온 정의보다 왜 더 나은지 보여 줍니다. 고등학교에서는 행렬 곱셈의 방법이 부자연스러운 정의로 제시되며, 예컨대 그림 9.1 같은 귀여운 그림으로 주어집니다. 하지만 우리에게 그림 9.1의 방법은 정리입니다: $S$ 와 $T$ 의 인코딩이 주어졌을 때 $S\circ T$ 의 인코딩을 얻는 방법을 유도할 수 있습니다.

Refer to caption — 그림 9.1: 미국 고등학교에서 가르치는 행렬 곱셈: “자, 레시피는 이거야, 그냥 믿어 브로”. 화상 출처: [MAT12].

9.6.2 일반적인 논의, 다시 Napkin 수준의 추상화로

이제 현대적인 언어로 돌아가서, 임의의 체 위의 유한 차원 공간과 (앞 절처럼 고정된 기저가 아닌) 그 공간의 임의의 기저를 다루어 봅시다.

어떤 기저 $e_{1},\dots,e_{m}$ 을 갖는 유한 차원 벡터 공간 $V$ 와 기저 $w_{1},\dots,w_{n}$ 을 갖는 벡터 공간 $W$ 를 하나 잡읍시다. 제게 사상 $T\colon V\to W$ 가 있고, $T$ 가 무엇인지 여러분께 알려 드리고 싶다고 합시다. 모든 점 $v$ 에서 $T(v)$ 가 무엇인지 일일이 알려 드리려 한다면 참으로 배려심 없는 일일 것입니다. 하지만 앞에서 보았듯이 $T(e_{1})$ , …, $T(e_{m})$ 이 무엇인지만 알려 드리면 됩니다. 거기서부터 여러분이 직접 $T(a_{1}e_{1}+\dots+a_{m}e_{m})$ 을 구할 수 있기 때문입니다:

T(a_{1}e_{1}+\dots+a_{m}e_{m})=a_{1}T(e_{1})+\dots+a_{m}T(e_{m}).

$e_{i}$ 가 기저이므로, 이것으로 $T$ 에 대해 알아야 할 모든 것을 알 수 있습니다.

예제 9.6.3 (선형 사상의 확장).

$V=\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}$ 라고 합시다. 그러면 $T(ax^{2}+bx+c)=aT(x^{2})+bT(x)+cT(1)$ 입니다.

이제 더 구체적으로 말할 수도 있습니다. $T(e_{1})$ 이 무엇인지 알려 드릴 수도 있지만, $W$ 의 기저가 있으므로 실제로는 $T(e_{1})$ 이 이 기저로 어떻게 표현되는지만 알려 드리면 됩니다. 구체적으로 말하면, 다음을 만족하는 유일한 $a_{11},a_{21},\dots,a_{n1}\in k$ 가 존재합니다.

T(e_{1})=a_{11}w_{1}+a_{21}w_{2}+\dots+a_{n1}w_{n}.

따라서 어떤 추상적인 공간 $W$ 에서 $T(e_{1})$ 의 값을 알려 드리는 대신, $a_{11},a_{21},\dots,a_{n1}$ 이 무엇인지만 알려 드리면 됩니다. 그런 다음 $T(e_{2})$ , $T(e_{3})$ 부터 $T(e_{m})$ 까지 이것을 반복하면, $T$ 에 대해 알아야 할 모든 것을 알려 드릴 수 있습니다.

행렬 $T$ 는 바로 여기에서 나옵니다! 행렬은 제가 알려 드려야 하는 $m n$ 개의 수를 모두 간결하게 적는 방법입니다.

명시적으로 말하면, $T$ 의 행렬은 다음 배열로 정의됩니다.

	$\displaystyle T$	$\displaystyle=\underbrace{\begin{bmatrix}\mid&\mid&&\mid\\ T(e_{1})&T(e_{2})&\dots&T(e_{m})\\ \mid&\mid&&\mid\\ \end{bmatrix}}_{\text{$m$개의 열}}\Bigg{\}}\text{$n$개의 행}$
		$\displaystyle=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1m}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nm}\end{bmatrix}.$

이 점을 확실히 강조하자면,

행렬은 $V$ 에서 $W$ 로 가는 선형 사상을 지정하는 가장 게으른 방법입니다.

예제 9.6.4 (행렬의 예).

다음은 기저를 사용한 구체적인 예입니다. $V=\mathbb{R}^{3}$ 의 기저를 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ 이라 하고, $W=\mathbb{R}^{2}$ 의 기저를 $w_{1}$ , $w_{2}$ 라고 합시다. $T\colon V\to W$ 가 있으면, 이 사상은 예를 들어 다음과 같은 세 값으로 유일하게 결정됩니다.

	$\displaystyle T(e_{1})$	$\displaystyle=4w_{1}+7w_{2}$
	$\displaystyle T(e_{2})$	$\displaystyle=2w_{1}+3w_{2}$
	$\displaystyle T(e_{3})$	$\displaystyle=w_{1}$

그러면 각 열은 $T(e_{1})$ , $T(e_{2})$ , $T(e_{3})$ 에 대응합니다.

T=\begin{bmatrix}4&2&1\\ 7&3&0\end{bmatrix}

예제 9.6.5 (기저를 선택한 뒤의 행렬의 예).

다시 $V=\left\{ax^{2}+bx+c\right\}$ 를 차수가 $2$ 이하인 다항식들의 벡터 공간이라고 합시다. 이 공간의 기저로 $1$ , $x$ , $x^{2}$ 을 고정합니다.

“ $3$ 에서의 값 매기기” 사상, 즉 사상 $V\to\mathbb{R}$ 를 생각해 봅시다. 우변의 기저 원소로 $1$ 을 택하면, 이 사상을 다음과 같은 $1\times 3$ 행렬로 쓸 수 있습니다.

\begin{bmatrix}1&3&9\end{bmatrix}

여기서 각 열은 $T(1)$ , $T(x)$ , $T(x^{2})$ 에 대응합니다.

여기서부터 두 행렬을 곱한다는 것이 무엇을 의미하는지 직접 알아낼 수 있습니다. 세 공간 $U$ , $V$ , $W$ 의 기저를 각각 택했다고 합시다. 사상 $T\colon U\to V$ 와 $S\colon V\to W$ 가 주어지면, 이들의 합성 $S\circ T$ 를 생각할 수 있습니다. 즉,

U\xrightarrow{T}V\xrightarrow{S}W.

행렬 곱셈은, 지난 절에서 본 것처럼 합성 함수 $S\circ T$ 를 행렬로 해석하여 얻은 것과 행렬 $S T$ 가 정확히 같아지도록 정의됩니다.

특히 함수의 합성은 결합법칙을 만족하므로, 행렬 곱셈도 결합법칙을 만족합니다.

이는 행렬의 행렬식이나 대각합 같은 개념을 “내재적인” 사상 $T\colon V\to W$ 로도 정의할 수 있고, 행렬의 성분으로도 정의할 수 있다는 뜻입니다. 사상 $T$ 자체는 어떤 기저도 참조하지 않으므로, 추상적인 정의로부터 수치적인 정의가 기저의 선택에 의존하지 않는다는 것이 따라 나옵니다.

9.7 부분공간과 편리한 기저 고르기

대표적인 예: $\mathbb{R}^{3}$ 의 선형독립인 임의의 두 벡터.

정의 9.7.1.

$M$ 을 왼쪽 $R$ -가군이라고 합시다. $M$ 의 부분가군 $N$ 은 $N$ 의 모든 원소가 $M$ 의 원소이기도 한 가군 $N$ 입니다. $M$ 이 벡터 공간이면 $N$ 을 부분공간이라고 부릅니다.

예제 9.7.2 (핵).

사상 $T\colon V\to W$ 의 핵( $\ker T$ 로 씁니다)은 $T(v)=0_{W}$ 를 만족하는 $v\in V$ 들의 집합입니다. 핵은 덧셈과 스칼라배에 대해 닫혀 있으므로 $V$ 의 부분공간입니다(왜 그렇습니까?).

예제 9.7.3 (생성).

$V$ 를 벡터 공간이라 하고 $v_{1},\dots,v_{m}$ 을 $V$ 의 임의의 벡터들이라고 합시다. 이 벡터들의 생성은 다음 집합으로 정의됩니다.

\left\{a_{1}v_{1}+\dots+a_{m}v_{m}\mid a_{1},\dots,a_{m}\in k\right\}.

이 역시 $V$ 의 부분공간이라는 점에 유의하십시오!

질문 9.7.4.

위의 각 예에서 $0_{V}$ 가 원소인 이유는 무엇입니까? 일반적으로 모든 부분공간이 $0_{V}$ 를 포함해야 하는 이유는 무엇입니까?

부분공간은 기저와 관련하여 좋은 성질을 가집니다.

정리 9.7.5 (기저 완성).

$V$ 를 $n$ 차원 공간이라 하고, $V^{\prime}$ 를 $V$ 의 부분공간이라 합시다. 그러면

(a)

$V^{\prime}$ 역시 유한차원입니다.
(b)

$e_{1},\dots,e_{m}$ 이 $V^{\prime}$ 의 기저이면, $e_{1},\dots,e_{n}$ 이 $V$ 의 기저가 되도록 하는 $V$ 의 원소 $e_{m+1},\dots,e_{n}$ 이 존재합니다.

증명.

직관적이고 증명에서 얻을 통찰도 크지 않으므로 생략합니다. (다만 이 결과는 이후 반복해서 사용할 것이므로, 지금 시간을 들여 확실히 체득해 두십시오.) ∎

매우 흔한 활용 사례는 사상 $T$ 에 대해 편리한 기저를 고르는 것입니다.

정리 9.7.6 (선형 사상에 대한 기저 고르기).

$T\colon V\to W$ 를 유한 차원 벡터 공간 사이의 사상이라 하고, $n=\dim V$ , $m=\dim W$ 라 합시다. 그러면 다음을 만족하는 $V$ 의 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 과 $W$ 의 기저 $f_{1},\dots,f_{m}$ , 그리고 음이 아닌 정수 $k$ 가 존재합니다.

T(e_{i})=\begin{cases}f_{i}&\text{$i\leq k$인 경우}\\ 0_{W}&\text{$i>k$인 경우}.\end{cases}

또한 $\dim\ker T=n-k$ 이고 $\dim T^{\text{img}}(V)=k$ 입니다.

증명의 개요.

계속 읽기 전에 직접 시도해 보는 것도 좋습니다. 이는 정리 9.7.5을 반복해서 적용하는 것입니다.

$\ker T$ 의 차원이 $n-k$ 라 합시다. $\ker T$ 의 기저 $e_{k+1},\dots,e_{n}$ 을 고를 수 있습니다. 그런 다음 이를 $V$ 의 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 으로 확장합니다. 사상 $T$ 는 $e_{1},\dots,e_{k}$ 의 생성공간 위에서 단사이므로(핵에는 $0_{V}$ 만 속하기 때문입니다) $W$ 에서의 그 상들은 선형독립입니다. 각 $i$ 에 대해 $f_{i}=T(e_{i})$ 로 두면 $W$ 에서 어떤 선형독립 집합을 얻습니다. 그런 다음 이를 다시 $W$ 의 기저로 확장합니다. ∎

이 정리는 매우 중요합니다. 응용 때문만이 아니라, 선형 사상이 어떤 모습이어야 하는지에 대한 올바른 그림을 머릿속에 심어 주기 때문입니다. 확실히 기억할 수 있도록 그림까지 그려 드리겠습니다.

특히 $T\colon V\to W$ 에 대해 $V=\ker T\oplus V^{\prime}$ 로 쓸 수 있으며, 이때 $T$ 는 자신의 핵을 소멸시키는 한편 $V^{\prime}$ 는 $W$ 안의 동형인 사본으로 보냅니다.

이것의 따름정리로(어차피 예상하셨을 것입니다) 이른바 계수-퇴화차수 정리를 얻습니다. 이 정리는 제1 동형사상 정리에 대응됩니다.

정리 9.7.7 (계수-퇴화차수 정리).

$V$ 와 $W$ 를 유한 차원 벡터 공간이라 합시다. $T\colon V\to W$ 이면 다음이 성립합니다.

\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T.

질문 9.7.8.

정리 9.7.6로부터 계수-퇴화차수 정리를 이끌어 내십시오.

9.8 재미있는 응용: 라그랑주 보간법

고등학교에서 배우는 정리에 선형대수학을 적용한 재미있는 응용²²2출처: 제1회 하버드-MIT 학부 수학 심포지엄에서 조 해리스(Joe Harris)가 제게 알려 주었습니다.을 소개합니다.

정리 9.8.1 (라그랑주 보간법).

$x_{1},\dots,x_{n+1}$ 을 서로 다른 실수라 하고 $y_{1},\dots,y_{n+1}$ 을 임의의 실수라 합시다. 그러면 모든 $i$ 에 대해

P(x_{i})=y_{i}

를 만족하는 차수가 $n$ 이하인 다항식 $P$ 가 유일하게 존재합니다.

예를 들어 $n=1$ 인 경우, 이는 대략 두 점을 잇는 직선이 유일하게 존재한다는 뜻입니다.

증명.

아이디어는 차수가 $n$ 이하인 다항식들의 벡터 공간 $V$ 와 벡터 공간 $W=\mathbb{R}^{n+1}$ 을 함께 생각하는 것입니다.

질문 9.8.2.

$\dim V=n+1=\dim W$ 임을 확인하십시오. 이는 $V$ 의 기저를 하나 고르면 가장 쉽게 할 수 있지만, 이 연습문제를 마치고 나면 그 기저는 곧바로 잊어버려도 됩니다.

그런 다음 다음과 같이 주어지는 선형 사상 $T\colon V\to W$ 를 생각합시다.

P\mapsto\left(P(x_{1}),\dots,P(x_{n+1})\right).

이것이 실제로 선형 사상인 이유는, 뭐, $T(P+Q)=T(P)+T(Q)$ 이고 $T(cP)=cT(P)$ 이기 때문입니다. 게다가 이 사상은 단사이기도 합니다. $P\in\ker T$ 이면 $P(x_{1})=\dots=P(x_{n+1})=0$ 인데, $\deg P\leq n$ 이므로 $P$ 는 영다항식일 수밖에 없습니다.

따라서 $T$ 는 같은 차원의 벡터 공간 사이의 단사 사상입니다. 그러므로 문제 9B에 의해 이는 사실 전단사이며, 이것이 바로 우리가 원하던 것입니다. ∎

9.9 교육론적 여담: 수의 배열은 악입니다

(이 절 전체는 선형대수학을 어떻게 가르쳐야 하는지에 대한 Evan의 수다이므로 건너뛰어도 무방합니다.)

거듭 강조하겠지만, 행렬은 두 벡터 공간 사이의 선형 사상을 나타냅니다. 이를 $m\times n$ 행렬의 형태로 쓰는 것은 사상을 구체적으로 보기 위한 매우 편리한 방법일 뿐입니다. 하지만 그렇게 하면 이 사상이, 뭐, 수의 배열이 아니라 사상이라는 사실이 가려집니다.

고등학교에서 미적분 예비 과정을 들었다면, 모든 것이 행렬로 이루어지는 것을 보게 됩니다. 평범한 고등학생에게 행렬이란 수의 배열입니다. 이 수들이 정확히 무엇을 나타내는지는 아무도 확실히 알지 못하지만, 학생들은 이 배열들을 마법처럼 곱해서 또 다른 배열을 얻는 방법을 배웁니다. 학생들은 행렬

\begin{bmatrix}1&0&\dots&0\\ 0&1&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&1\\ \end{bmatrix}

은 “항등 행렬”입니다. 다른 행렬에 곱해도 그 행렬이 변하지 않기 때문입니다. 그다음 학생들은 행렬식이 이 이상한 곱셈 규칙으로 만들어지는 이 수들의 어떤 마법 같은 조합이라고 배웁니다. $\det(AB)=\det A\det B$ 라는 사실과 넓이, 행 연산, 크라메르 공식에 관한 무언가를 제외하면, 이 행렬식이 무슨 일을 하는지 아무도 모릅니다.

그다음 대학에서 선형대수학을 배우게 되면, 이 수의 배열을 가지고 더 많은 마법을 부립니다. 어떤 가역 행렬 $S$ 에 대해

T_{2}=ST_{1}S^{-1}

이면 두 행렬 $T_{1}$ 과 $T_{2}$ 가 닮았다고 배웁니다. 행렬의 대각합 $\operatorname{Tr}T$ 는 대각 성분들의 합이라고 배웁니다. 어째서인지 닮은 행렬을 보아도 이 값은 변하지 않지만, 그 이유는 잘 모릅니다. 그다음 특성다항식을 다음과 같이 정의합니다.

p_{T}(X)=\det(XI-T).

어째서인지 이것 역시 닮은 행렬을 취해도 바뀌지 않지만, 이제는 정말로 왜 그런지 모릅니다. 그리고 흑마법 그 자체인 케일리-해밀턴 정리가 등장합니다. $p_{T}(T)$ 가 영사상이라는 것입니다. 호기심에 증명을 구글에서 찾아보면, 여전히 왜 그것이 참인지 전혀 알 수 없게 만드는 어떤 임기응변식 절차를 발견하게 됩니다.

이는 끔찍합니다. $T_{2}=ST_{1}S^{-1}$ 가 도대체 뭐가 그렇게 특별합니까? 행렬이 선형 사상이라는 것을 알아야만 비로소 이것이 이해됩니다. $T_{2}$ 는 그저 $T_{1}$ 을 다른 기저를 택하여 다시 쓴 것일 뿐입니다.

저는 정말로 그 반대 관점을 밀고 싶습니다. 선형대수학은 선형 사상을 연구하는 학문이지만, 수의 배열을 연구하는 학문처럼 가르쳐지고 있으며, 이 수들이 무엇을 의미하는지 아무도 모릅니다. 그럴 만한 이유도 있습니다. 그 수들은 아무 의미가 없기 때문입니다. 그 수들은 행렬을 나타내는 매우 편리한 방법이지만, 역사에서 사건의 날짜가 주된 연구 대상이 아닌 것과 마찬가지로 주된 연구 대상이 아닙니다.

또 다른 큰 단점은 사람들이 존재하는 유일한 (실)벡터 공간이 $\mathbb{R}^{\oplus n}$ 뿐이라는 인상을 받게 된다는 것입니다. 비고 9.5.5에서 설명했듯이, 영혼 없는 로봇이라면 이런 식으로 작업할 수는 있겠지만, 인간이 그렇게 하는 것은 매우 부자연스럽습니다.

하버드 1학년 때 Math 55a를 수강했을 때 저는 정반대의 방식을 경험했습니다. 행렬을 단 하나도 적지 않고 선형대수학 전체를 공부한 것입니다. 그동안 저는 상당히 혼란스러웠습니다. 기저를 쓰는 것이 뭐가 문제란 말입니까? 이 접근법이 이 주제를 다루는 도덕적으로 올바른 방식이라는 것을 저는 나중에서야 깨달았습니다. 이 방식은 무슨 일이 일어나고 있는지를 분명하게 보여 주었습니다.

Napkin 전반에 걸쳐 저는 이 두 접근법 사이에서 균형을 잡으려고 노력했습니다. 적절한 경우에는 사상을 보여 주고 증명을 단순화하기 위해 행렬을 사용하되, 궁극적으로는 정리와 정의를 도덕적으로 올바른 형태로 썼습니다. 이렇게 하여 “올바른” 정의를 제시하면서도 소화할 수 있을 만큼 구체적이라는 두 가지 장점을 모두 갖추었기를 바랍니다. 하지만 분명히 말해 두고 싶은 것은, 고등학교식 접근법과 55a식 접근법 중 하나를 골라야 한다면 저는 망설임 없이 55a를 고르겠다는 것입니다.

9.10 일반적인 가군에 대한 몇 마디

대표적인 예: $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ 는 계수가 2인 $\mathbb{Z}$ -가군입니다.

이 장에서는 단순함을 위해 주로 벡터 공간(즉, 체 위의 가군)에 초점을 맞추었으므로, 마무리하기 전에 일반적인 가환환 $R$ 위의 가군에 대해 몇 가지 언급하고자 합니다.

먼저, 일반적인 가군에 대해서는 “생성하는 집합(spanning set)” 대신 “생성 집합(generating set)”이라고 부른다는 것을 떠올리십시오. 뭐, 별수 없습니다.

환의 주된 문제는 우리의 핵심 정리인 정리 9.4.5가 극적으로 성립하지 않는다는 것입니다. 예를 들어 $\mathbb{Z}$ 를 자기 자신 위의 $\mathbb{Z}$ -가군으로 생각해 봅시다. 그러면 $\{2\}$ 는 일차독립이지만 기저로 확장할 수 없습니다. 마찬가지로 $\{2,3\}$ 은 생성하는 집합이지만, 이를 줄여서 기저로 만들 수 없습니다. 차원을 정의하는 것이 왜 어려울지 알 수 있을 것입니다.

그럼에도 불구하고, 위의 정의들 중 일부에 대해서는 여전히 유사한 개념이 존재합니다.

정의 9.10.1.

$R$ -가군 $M$ 이 유한 생성 집합을 가지면 $M$ 을 유한 생성이라고 합니다.

정의 9.10.2.

$R$ -가군 $M$ 이 기저를 가지면 $M$ 을 자유라고 합니다. 앞서 말했듯이 차원 정리의 유사물이 성립하며, 기저의 크기를 나타내기 위해 계수라는 말을 사용합니다. 이전과 마찬가지로 $n$ 이 계수일 때 동형사상 $M\cong R^{\oplus n}$ 이 존재합니다.

예제 9.10.3 ( $\mathbb{Z}$ -가군의 예).

$\mathbb{Z}$ -가군

\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\left\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Z}\right\}

은 기저 $\{1,\sqrt{2}\}$ 를 가지므로, 이를 계수가 $2$ 인 자유 $\mathbb{Z}$ -가군이라고 합니다.

표기의 남용 9.10.4 (군에 대한 표기).

아벨 군은 $\mathbb{Z}$ -가군으로 볼 수 있음을(사실 그 역도 성립합니다!) 상기하십시오. 따라서 이 용어들을 아벨 군에도 적용할 수 있으며, 실제로 그렇게 할 것입니다. 두 아벨 군 $G$ 와 $H$ 의 데카르트 곱에 대해 $G\oplus H$ 라는 표기를 사용하여 $G$ 와 $H$ 가 아벨 군이라는 사실을 강조하겠습니다. 이는 대수적 정수론과 호몰로지 군을 공부할 때 등장할 것입니다.

9.11 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

일반적인 힌트: 이 문제들 중 상당수에서 정리 9.7.6가 가장 든든한 친구가 될 것입니다.

문제 9A.

$V$ 와 $W$ 를 차원이 0이 아닌 유한 차원 벡터 공간이라 하고, 선형 사상 $T\colon V\to W$ 를 생각합시다. 각 칸에 “때때로”, “항상”, “결코 아님” 중 하나를 적어 다음 표를 완성하십시오.

	$T$ 단사	$T$ 전사	$T$ 동형사상
$\dim V>\dim W$ 이면…
$\dim V=\dim W$ 이면…
$\dim V<\dim W$ 이면…

힌트. 계수-퇴화차수 정리를 사용하십시오. 또한 영사상도 생각해 보십시오.

풀이.

$T$ 단사 $T$ 전사 $T$ 동형사상

$\dim V>\dim W$ 이면… 불가능 경우에 따라 그렇습니다 결코 그렇지 않습니다

$\dim V=\dim W$ 이면… 경우에 따라 그렇습니다 경우에 따라 그렇습니다 경우에 따라 그렇습니다

$\dim V<\dim W$ 이면… 경우에 따라 그렇습니다 결코 그렇지 않습니다 결코 그렇지 않습니다

각 “결코 아님”은 계수-퇴화차수 정리에 의해 성립합니다. 각 반례는 $V$ 의 모든 원소를 0으로 보내는 영사상으로 얻어집니다. 이 사상은 분명히 단사도 전사도 아닙니다.

	$T$ 단사	$T$ 전사	$T$ 동형사상
$\dim V>\dim W$ 이면…	불가능	경우에 따라 그렇습니다	결코 그렇지 않습니다
$\dim V=\dim W$ 이면…	경우에 따라 그렇습니다	경우에 따라 그렇습니다	경우에 따라 그렇습니다
$\dim V<\dim W$ 이면…	경우에 따라 그렇습니다	결코 그렇지 않습니다	결코 그렇지 않습니다

문제 9B (차원이 같은 벡터 공간 사이의 사상은 대개 동형사상입니다).

$V$ 와 $W$ 를 $\dim V=\dim W$ 인 유한 차원 벡터 공간이라 합시다. 사상 $T\colon V\to W$ 에 대하여 다음이 서로 동치임을 증명하십시오.

•

$T$ 는 단사입니다,
•

$T$ 는 전사입니다,
•

$T$ 는 전단사입니다.

풀이. 이는 본질적으로 정리 9.7.6로부터 따라 나옵니다.

문제 9C.

모든 대각선, 열, 행의 합이 같은 $3\times 3$ 실수 행렬을 마방진이라고 합시다. 예를 들면 $\left[\begin{smallmatrix}8&1&6\\ 3&5&7\\ 4&9&2\end{smallmatrix}\right]$ . 마방진들의 집합을 덧셈에 대한 실벡터 공간으로 보았을 때 그 차원을 구하십시오.

문제 9D ( $\sqrt{5}$ 에 의한 곱셈).

$V=\mathbb{Q}[\sqrt{5}]=\left\{a+b\sqrt{5}\right\}$ 를 2차원 $\mathbb{Q}$ -벡터 공간이라 하고, 그 기저를 $\{1,\sqrt{5}\}$ 로 고정합시다. $\sqrt{5}$ 를 곱하는 사상에 대응하는 유리수 계수 $2\times 2$ 행렬을 쓰십시오.

힌트. $a+b\sqrt{5}\mapsto\sqrt{5}a+5b$ .

풀이. $1\mapsto\sqrt{5}$ 이고 $\sqrt{5}\mapsto 5$ 이므로, 행렬은 $\begin{bmatrix}0&5\\ 1&0\end{bmatrix}$ .

문제 9E (다변수 라그랑주 보간법).

$S\subset{\mathbb{Z}}^{2}$ 를 $n$ 개의 격자점으로 이루어진 집합이라 합시다. 모든 $(x,y)\in S$ 에 대하여 $p(x,y)=0$ 을 만족하고 차수가 $\sqrt{2n}$ 이하인, 실수 계수를 갖는 0이 아닌 이변수 다항식 $p$ 가 존재함을 증명하십시오.

문제 9F (Putnam 2003).

다항식 $a(x)$ , $b(x)$ , $c(y)$ , $d(y)$ 로서 다음 식이

1+xy+(xy)^{2}=a(x)c(y)+b(x)d(y)

항등적으로 성립하는 것이 존재합니까?

힌트. $y=-1,0,1$ 을 대입하십시오. $\mathbb{R}[x]$ 의 차원을 이용하십시오.

문제 9G (TSTST 2014).

^†^†margin:

$P(x)$ 와 $Q(x)$ 를 실수 계수를 갖는 임의의 다항식이라 하고, $d$ 를 $P(x)$ 의 차수라 합시다. $P(x)$ 는 영다항식이 아니라고 가정합니다. 다음을 만족하는 다항식 $A(x)$ 와 $B(x)$ 가 존재함을 증명하십시오.

(i)

$A$ 와 $B$ 의 차수는 모두 $d/2$ 이하입니다.
(ii)

$A$ 와 $B$ 중 영다항식인 것은 많아야 하나입니다.
(iii)

$P$ 는 $A+Q\cdot B$ 를 나눕니다.

힌트. 적절한 $V$ , $W$ 에 대하여 $V\oplus V\to W$ 로 해석하십시오.

풀이. $V$ 를 차수가 $d/2$ 이하인 실수 계수 다항식들의 공간(차원은 $1+\left\lfloor d/2\right\rfloor$ 입니다)이라 하고, $W$ 를 $P$ 를 법으로 하는 실수 계수 다항식들의 공간(차원은 $d$ 입니다)이라 합시다. 그러면 $\dim(V\oplus V)>\dim W$ 입니다. 따라서 $(A,B)\mapsto A+Q\cdot B$ 로 주어지는 선형 사상 $V\oplus V\to W$ 는 (예를 들어 계수-퇴화차수 정리에 의해) 양의 차원을 갖는 핵을 가집니다.

문제 9H (멱등 사상은 사영 사상입니다).

$V$ 가 (반드시 유한 차원일 필요는 없는) 벡터 공간일 때, $P\colon V\to V$ 를 선형 사상이라 합시다. $P$ 가 멱등이라고, 즉 각 $v\in V$ 에 대하여 $P(P(v))=P(v)$ 라고, 또는 동치로 $P$ 가 자신의 상 위에서 항등 사상이라고 가정합시다. 다음을 증명하십시오.

V=\ker P\oplus\operatorname{im}P.

따라서 $P$ 를 부분공간 $\operatorname{im}P$ 위로의 사영으로 생각할 수 있습니다.

문제 9I.