장 9 벡터 공간

이 장은 상당히 가볍습니다. 이 장의 목적은 벡터 공간과 기저가 무엇인지 정의하는 것입니다. 이는 여러분이 이미 알고 있을 법한 직관적인 개념들입니다.

9.1 환과 체의 정의

대표적인 예: $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ 는 환이며, 뒤의 둘은 체입니다.

앞 장을 건너뛰었을 경우를 대비하여, 여기서 환/체를 매우 비형식적으로 정의하겠습니다.

•

환은 $\mathbb{Z}$ 처럼 교환법칙이 성립하는 덧셈과 곱셈, 그리고 뺄셈을 갖춘 구조입니다. 또한 덧셈 항등원 $0$ 과 곱셈 항등원 $1$ 을 가집니다.
•

$\mathbb{R}$ 이나 $\mathbb{C}$ 에서처럼 곱셈이 가역적이면(즉, $x\neq 0$ 인 모든 $x$ 에 대해 $\frac{1}{x}$ 가 의미를 가지면), 그 환을 체라고 부릅니다.

사실, 이어지는 내용에서 ”체”를 어디서나 ” $\mathbb{R}$ ”로 바꾸어 읽어도 별문제가 없을 것입니다. 관례적으로 환에는 문자 $R$ 을, 체에는 $k$ 또는 $K$ 를 사용합니다.

마지막으로, 군에 대한 장을 건너뛰었을 경우를 대비하여 다음도 언급해야겠습니다.

•

덧셈적 아벨 군은 교환법칙이 성립하는 덧셈과 뺄셈, 그리고 덧셈 항등원 $0$ 을 갖춘 구조입니다. 곱셈을 가질 필요는 없습니다. 좋은 예로는 $\mathbb{R}^{3}$ (성분별 덧셈을 갖춘)이 있습니다.

9.2 가군과 벡터 공간

대표적인 예: 차수가 $n$ 이하인 다항식들.

여러분은 이미 $\mathbb{R}^{n}$ 이 ”벡터 공간”이라는 것을 직관적으로 알고 있습니다: 그 원소들은 서로 더할 수 있고, 실수에 의한 스칼라배가 존재합니다. 이를 더 일반적으로 전개해 봅시다.

가환환 $R$ 을 고정합시다. 그러면 비형식적으로,

$R$ -가군이란 두 원소를 더할 수 있고 $R$ 의 원소로 스칼라배를 할 수 있는 임의의 구조입니다.

나아가, 벡터 공간은 가환환이 실제로 체인 가군일 뿐입니다. 완전한 정의는 잠시 후에 드리겠지만, 우선 예시부터 보겠습니다…

예제 9.2.1 (이차다항식, 일명 제가 가장 좋아하는 예시).

제가 가장 좋아하는 $\mathbb{R}$ -벡터 공간의 예시는 차수가 2 이하인 다항식들의 집합입니다, 즉

\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}.

실제로, 임의의 두 이차식을 더할 수 있고 상수를 곱할 수 있습니다. 두 이차식을 곱해서 이차식을 얻을 수는 없지만, 이는 무관합니다 – 벡터 공간에서는 두 벡터를 서로 곱한다는 개념이 반드시 있을 필요가 없습니다.

나중에 정의할 의미에서, 이 벡터 공간은 (예상대로!) 차원이 $3$ 입니다.

예제 9.2.2 (모든 다항식).

실수 계수를 갖는 모든 다항식의 집합은 $\mathbb{R}$ -벡터 공간입니다, 왜냐하면 임의의 두 다항식을 더할 수 있고 상수를 곱할 수 있기 때문입니다.

예제 9.2.3 (유클리드 공간).

(a)

복소수는

$\left\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{R}\right\}$

실수 벡터 공간을 이룹니다. 나중에 보겠지만, 이는 ”차원 $2$ ”를 가집니다.
(b)

실수 $\mathbb{R}$ 은 차원 $1$ 의 실수 벡터 공간을 이룹니다.
(c)

3차원 벡터의 집합

$\left\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\right\}$

임의의 두 순서쌍을 성분별로 더할 수 있으므로 이는 실수 벡터 공간을 이룹니다. 이것이 왜 ”차원 $3$ ”을 갖는지는 나중에 다시 설명하겠습니다.

예제 9.2.4 (벡터 공간의 더 많은 예시).

(a)

집합

$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\left\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\right\}$

은 자명한 방식으로 $\mathbb{Q}$ -벡터 공간의 구조를 가집니다: 임의의 두 원소를 더할 수 있고, 유리수로 스칼라배할 수 있습니다. (이것은 $\mathbb{R}$ -벡터 공간이 아닙니다 — 왜 그럴까요?)
(b)

집합

$\left\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\text{그리고}x,y,z\in\mathbb{R}\right\}$

은 $2$ 차원 실수 벡터 공간입니다.
(c)

모든 함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 의 집합 또한 실수 벡터 공간입니다 ( $c\in\mathbb{R}$ 에 대해 $f+g$ 와 $c\cdot f$ 라는 개념이 모두 성립하기 때문입니다).

이제 이 곱셈이 어떻게 작동하는지에 대한 실제 규칙을 적어보겠습니다.

정의 9.2.5.

$R$ 을 가환환이라 합시다. $R$ - 가군은 항등원이 $0=0_{M}$ 으로 표기되는 덧셈 아벨 군 $M=(M,+)$ 에서 시작합니다. 여기에 추가로 $R$ 의 원소에 의한 좌측 곱셈을 지정합니다. 이 곱셈은 $r,r_{1},r_{2}\in R$ 과 $m,m_{1},m_{2}\in M$ 에 대해 다음 성질들을 만족해야 합니다:

(i)

$r_{1}\cdot(r_{2}\cdot m)=(r_{1}r_{2})\cdot m$ .
(ii)

곱셈은 분배법칙을 만족하며, 이는 다음을 의미합니다

$(r_{1}+r_{2})\cdot m=r_{1}\cdot m+r_{2}\cdot m\text{그리고}r\cdot(m_{1}+m_{2})=r% \cdot m_{1}+r\cdot m_{2}.$
(iii)

$1_{R}\cdot m=m$ .
(iv)

$0_{R}\cdot m=0_{M}$ 입니다. (사실 이는 불필요한 조건입니다; 앞의 세 가지로부터 유도할 수 있습니다.)

$R$ 이 체이면 $M$ 을 $R$ - 벡터 공간이라 하며, 그 원소들을 벡터라 하고 $R$ 의 원소들을 스칼라라 합니다.

표기의 남용 9.2.6.

위에서는 $M$ 의 덧셈과 $R$ 의 덧셈에 같은 기호 $+$ 를 사용하고 있습니다. 죄송하지만 이는 피하기가 다소 어렵고, 공리의 요점은 이 두 덧셈이 서로 관련되어야 한다는 것입니다. 가군의 곱셈에는 $r\cdot m$ 을, $R$ 의 곱셈에는 $r_{1}r_{2}$ 를 쓰도록 기억해 보겠습니다.

질문 9.2.7.

예제 9.2.1에서 저는 ”차수 $2$ ” 대신 ”차수 $2$ 이하”라고 신중하게 표현했습니다. 그 이유는 무엇일까요? 다시 말해, 왜

\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R},a\neq 0\right\}

는 $\mathbb{R}$ -벡터 공간이 아닐까요?

덜 직관적이지만 다소 중요한 몇 가지 예시…

예제 9.2.8 (아벨 군은 $\mathbb{Z}$ -가군입니다).

(군에 익숙하지 않다면 이 예시는 건너뛰어도 좋습니다.)

(a)

실수 다항식의 예시

$\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}$

또한 $\mathbb{Z}$ -가군입니다! 실제로 우리는 이러한 다항식을 임의로 두 개 더할 수 있고, 정수로 스칼라배할 수 있습니다.
(b)

$100$ 을 법으로 하는 정수의 집합, 즉 $\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}$ 역시 $\mathbb{Z}$ -가군입니다. 어떻게 그런지 알 수 있겠습니까?
(c)

사실, 임의의 아벨 군 $G=(G,+)$ 는 $\mathbb{Z}$ -가군입니다. 곱셈은 다음과 같이 정의될 수 있습니다

$n\cdot g=\underbrace{g+\dots+g}_{\text{$n$번}}\qquad(-n)\cdot g=n\cdot(-g)$

$n\geq 0$ 에 대해. (여기서 $-g$ 는 $g$ 의 덧셈에 대한 역원입니다.)

예제 9.2.9 (모든 환은 자기 자신의 가군입니다).

(a)

$\mathbb{R}$ 은 그 자신 위의 $\mathbb{R}$ -벡터 공간으로 생각할 수 있습니다. 왜 그런지 아시겠습니까?
(b)

같은 논리로, 임의의 가환환 $R$ 은 그 자신 위의 $R$ -가군으로 생각할 수 있음을 알 수 있습니다.

9.3 직합

대표적인 예: $\{ax^{2}+bx+c\}=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}x\oplus\mathbb{R}x^{2}$ 이고, $\mathbb{R}^{3}$ 은 자신의 좌표축들의 합입니다.

예제 9.2.1로 돌아가서, 다음을 생각해봅시다

V=\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}.

차원이 무엇인지 아직 말씀드리지 않았지만, 이 벡터 공간이 ”가져야 할” 차원이 $3$ 이라는 것을 아마 알아차리셨을 것입니다. 이에 대해서는 곧 다루겠습니다.

눈치채셨을 또 다른 점은, $x^{2}$ , $x$ , $1$ 항이 어쩐지 서로 “연관되지 않는다”는 것입니다. 이들은 완전히 무관합니다. 다시 말해, 다음 세 집합을 생각할 수 있습니다

	$\displaystyle\mathbb{R}x^{2}$	$\displaystyle\coloneqq\left\{ax^{2}\mid a\in\mathbb{R}\right\}$
	$\displaystyle\mathbb{R}x$	$\displaystyle\coloneqq\left\{bx\mid b\in\mathbb{R}\right\}$
	$\displaystyle\mathbb{R}$	$\displaystyle\coloneqq\left\{c\mid c\in\mathbb{R}\right\}.$

명백한 방식으로, 이들 각각은 $\mathbb{R}$ 의 “복사본”으로 생각할 수 있습니다.

그러면 $V$ 는 말 그대로 “이 집합들의 합”으로 이루어져 있습니다. 구체적으로, $V$ 의 모든 원소는 이 집합들 각각에서 하나씩 뽑은 원소들의 합으로 유일하게 쓸 수 있습니다. 이는 다음과 같이 쓰도록 동기를 부여합니다

V=\mathbb{R}x^{2}\oplus\mathbb{R}x\oplus\mathbb{R}.

이를 형식적으로 포착하는 개념이 바로 직합입니다.

정의 9.3.1.

$M$ 을 $R$ -가군이라 합시다. $M_{1}$ 과 $M_{2}$ 를 그 자체로 $R$ -가군인 $M$ 의 부분집합이라 합시다. 그러면 $M$ 의 모든 원소가 $M_{1}$ 의 원소와 $M_{2}$ 의 원소의 합으로 유일하게 쓸 수 있을 때, $M=M_{1}\oplus M_{2}$ 라 쓰고 $M$ 을 $M_{1}$ 과 $M_{2}$ 의 직합이라고 말합니다.

예제 9.3.2 (유클리드 평면).

벡터 공간 $\mathbb{R}^{2}=\left\{(x,y)\mid x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\right\}$ 을 생각해봅시다. 이를 $x$ 축과 $y$ 축의 직합으로 생각할 수 있습니다:

X=\left\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\right\}\text{그리고}Y=\left\{(0,y)\mid y\in% \mathbb{R}\right\}.

그러면 $\mathbb{R}^{2}=X\oplus Y$ 입니다.

이는 가군을 몇 개의 서로 연결되지 않은 성분으로 분해하는 “하향식” 방법을 제공합니다.

이 발상을 거꾸로 적용하여, 새로운 벡터 공간을 다음과 같이 구성할 수도 있습니다. 매우 불운한 우연으로, 기술적으로는 서로 다른 두 대상의 이름과 표기가 정확히 똑같습니다.

정의 9.3.3.

$M$ 과 $N$ 을 $R$ -가군이라 합시다. 직합 $M\oplus N$ 을, 그 원소가 $(m,n)\in M\times N$ 인 쌍들로 이루어진 $R$ -가군으로 정의합니다. 연산은 다음과 같이 주어집니다

(m_{1},n_{1})+(m_{2},n_{2})=(m_{1}+m_{2},n_{1}+n_{2}).

그리고

r\cdot(m,n)=(r\cdot m,r\cdot n).

예를 들어, 기술적으로는 $\mathbb{R}^{2}=X\oplus Y$ 라고 썼지만, $X$ 와 $Y$ 각각이 $\mathbb{R}$ 의 복사본이므로, $\mathbb{R}^{2}\cong\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ 이라고 써도 무방했을 것입니다.

표기의 남용 9.3.4.

위 내용은 직합을 표기하는 방식에 있어 표기법의 남용을 보여줍니다. 기호 $\oplus$ 는 두 가지 의미를 가집니다.

•

$V$ 가 주어진 공간이고 $W_{1}$ 과 $W_{2}$ 가 부분공간이라면, $V=W_{1}\oplus W_{2}$ 는 위에서 정의한 방식대로 “ $V$ 가 직합 $W_{1}\oplus W_{2}$ 로 분해된다”는 것을 의미합니다.
•

$W_{1}$ 과 $W_{2}$ 가 서로 무관한 두 공간이라면, $W_{1}\oplus W_{2}$ 는 그 원소가 $(w_{1},w_{2})\in W_{1}\times W_{2}$ 인 쌍들인 벡터 공간으로 정의됩니다.

이 두 정의가 “어느 정도” 일치함을 알 수 있습니다.

이런 방식으로, $V$ 가 $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ 와 동형이어야 함을 알 수 있습니다. 우리는 $V=\mathbb{R}x^{2}\oplus\mathbb{R}x\oplus\mathbb{R}$ 을 얻었는데, $1$ , $x$ , $x^{2}$ 은 사실 서로 관련이 없고 각 합의 항은 본질적으로 그저 $\mathbb{R}$ 의 복사본일 뿐이기 때문입니다.

정의 9.3.5.

또한 모든 양의 정수 $n$ 에 대해, 다음과 같은 가군을 정의할 수도 있습니다

M^{\oplus n}\coloneqq\underbrace{M\oplus M\oplus\dots\oplus M}_{\text{$n$번}}.

9.4 선형 독립, 생성, 그리고 기저

대표적인 예: $\left\{1,x,x^{2}\right\}$ 는 $\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}$ 의 기저입니다.

이 절의 주제인 기저라는 개념은 다음과 같은 발상을 포착하는 또 다른 방법을 제공합니다

V=\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}

$\{1,x,x^{2}\}$ 의 사본들의 합이라는 것입니다. 이 절은 기술적이기는 하지만 매우 직관적이어야 합니다. 여기 나오는 정리들이 왜 “성립해야 하는지” 이해되지 않는다면, 무언가 잘못하고 있는 것입니다.

이제 $M$ 을 $R$ -가군이라 합시다. 이미 익숙할 가능성이 높은 세 가지 매우 고전적인 개념을 정의하겠습니다. 만약 익숙하지 않다면, 유클리드 공간이나 위의 $V$ 에 대한 감각에 의지하십시오.

정의 9.4.1.

벡터 $v_{1},\dots,v_{n}$ 의 선형 결합이란 $r_{1}v_{1}+\dots+r_{n}v_{n}$ 형태의 합을 말하며, 여기서 $r_{1},\dots,r_{n}\in R$ 입니다. 이 선형 결합은 $r_{1}=r_{2}=\dots=r_{n}=0_{R}$ 일 때 자명하다고 하며, 그렇지 않으면 비자명하다고 합니다.

정의 9.4.2.

$v_{1},\dots,v_{n}$ 을 $R$ -가군 $M$ 의 원소들이라 합시다.

•

값이 $0_{M}$ 인 비자명한 선형 결합이 존재하지 않으면 선형 독립이라고 합니다. ( $0_{M}=0\cdot v_{1}+0\cdot v_{2}+\dots+0\cdot v_{n}$ 은 항상 성립함을 관찰하십시오 – 여기서 주장하는 바는 $0_{M}$ 을 이 형태로 표현하는 다른 방법이 없다는 것입니다.)
•

모든 $v\in M$ 이 $\{v_{i}\}$ 의 선형 결합으로 나타내어질 수 있으면 생성 집합이라고 합니다. $M$ 이 벡터 공간인 경우에는 대신 생성한다고 표현합니다.
•

모든 $v\in M$ 이 $\{v_{i}\}$ 의 선형 결합으로 유일하게 나타내어질 수 있으면 기저(복수형 기저들)라고 합니다.

동일한 정의가 무한 집합에도 적용되며, 다만 모든 합은 유한해야 한다는 조건이 붙습니다.

따라서 정의에 의해 $\left\{1,x,x^{2}\right\}$ 는 $V$ 의 기저입니다. 이것이 유일한 것은 아닙니다: $\{2,x,x^{2}\}$ 와 $\{x+4,x-2,x^{2}+x\}$ 도 기저의 다른 예시이지만, 그다지 자연스럽지는 않습니다. 하지만 집합 $S=\{3+x^{2},x+1,5+2x+x^{2}\}$ 는 기저가 아니며, 두 가지 이유로 실패합니다:

•

$0=(3+x^{2})+2(x+1)-(5+2x+x^{2})$ 임에 주목하십시오. 따라서 집합 $S$ 는 선형 독립이 아닙니다.
•

$x^{2}$ 을 $S$ 의 원소들의 합으로 나타내는 것은 불가능합니다. 따라서 $S$ 는 생성 집합이 되지 못합니다.

이 새로운 용어들을 사용하면, 기저는 선형 독립이면서 생성하는 집합이라고 말할 수 있습니다.

예제 9.4.3 (기저의 더 많은 예시).

(a)

$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\left\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\right\}$ 를 $\mathbb{Q}$ -벡터 공간으로 생각합시다. 그러면 $\{1,\sqrt{2}\}$ 는 기저입니다.
(b)

$V$ 가 모든 실수 다항식의 집합이라면, $\{1,x,x^{2},\dots\}$ 라는 무한 기저가 존재합니다. 유한개의 항만 사용한다는 조건은 단지 다항식이 유한한 차수를 가져야 한다는 것을 의미할 뿐입니다(이는 바람직한 일입니다).
(c)
$V=\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\text{그리고}x,y,z\in\mathbb{R}\}$ 라 합시다. 그러면 크기 $2$ 의 기저가 존재할 것으로 예상되지만, 이전 예시들과 달리 즉시 “명백한” 선택이 없습니다. 성립하는 예시들은 다음과 같습니다:
- •
  
  $(1,-1,0)$ 과 $(1,0,-1)$ ,
- •
  
  $(0,1,-1)$ 과 $(1,0,-1)$ ,
- •
  
  $(5,3,-8)$ 과 $(2,-1,-1)$ .

연습문제 9.4.4.

벡터들의 집합이 기저인 것은 선형 독립이면서 생성하는 것과 동치임을 보이십시오. (막힌다면 다항식 예시를 생각해 보십시오.)

이제 벡터 공간의 기저가 가능한 한 가장 좋은 방식으로 동작함을 주장하는 몇 가지 결과를 서술하겠습니다.

정리 9.4.5 (기저의 극대성과 극소성).

$V$ 를 어떤 체 $k$ 위의 벡터 공간이라 하고 $e_{1},\dots,e_{n}\in V$ 를 취합니다. 다음은 동치입니다:

(a)

$e_{i}$ 가 기저를 이룹니다.
(b)

$e_{i}$ 는 생성 집합이지만, 진부분집합은 어느 것도 생성 집합이 아닙니다.
(c)

$e_{i}$ 는 선형독립이지만, $V$ 의 다른 어떤 원소를 추가해도 더 이상 선형독립이 아니게 됩니다.

비고 9.4.6.

$V$ 를 가환환 $R$ 위의 일반적인 가군 $M$ 으로 바꾸면, (a) $\implies$ (b)와 (a) $\implies$ (c)는 성립하지만 그 역은 성립하지 않습니다.

증명.

간단하므로, 원한다면 직접 해보십시오. 주목해야 할 핵심은 역방향을 위해서는 스칼라로 나누어야 한다는 점이며, 따라서 (b) $\implies$ (a)와 (c) $\implies$ (a)의 함의를 위해서는 $V$ 가 단순히 가군이 아니라 벡터 공간이어야 합니다. ∎

정리 9.4.7 (벡터 공간에 대한 차원 정리).

벡터 공간 $V$ 가 유한 기저를 가진다면, 다른 모든 기저도 같은 개수의 원소를 가집니다.

증명.

우리는 더 강한 사실을 증명합니다: $v_{1},\dots,v_{n}$ 이 생성 집합이고 $w_{1},\dots,w_{m}$ 이 선형독립이라고 가정합니다. 우리는 $n\geq m$ 임을 주장합니다.

질문 9.4.8.

이 주장이 정리를 함의하기에 충분함을 보이십시오.

$A_{0}=\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ 을 생성 집합이라 합시다. $w_{1}$ 을 집어넣습니다: 생성 조건에 의해, $w_{1}=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}$ 입니다. 어떤 0이 아닌 계수가 있는데, 이를 $c_{n}$ 이라 합시다. 따라서

v_{n}=\frac{1}{c_{n}}w_{1}-\frac{c_{1}}{c_{n}}v_{1}-\frac{c_{2}}{c_{n}}v_{2}-\dots.

이로써 $A_{1}=\{v_{1},\dots,v_{n-1},w_{1}\}$ 은 생성 집합입니다. 이제 같은 과정을 반복하여 $w_{2}$ 를 집어넣고, 앞서와 같이 $v_{i}$ 중 하나를 제거하여 $A_{2}$ 를 얻습니다; $w_{i}$ 가 선형독립이라는 조건은 어떤 $v_{i}$ 의 계수가 항상 0이 아니게 됨을 보장합니다. 결국 $A_{m}$ 에 도달할 수 있으므로, $n\geq m$ 입니다. ∎

비고 (일반화).

•

”원소의 개수”를 ”농도”로 해석하면 이 정리는 무한 기저에 대해서도 성립합니다. 이는 처음 읽을 때 혼란스러울 수 있으므로, 자세히 다루지는 않겠습니다.
•

사실, 이는 임의의 가환환 위의 가군에 대해서도 성립합니다. 흥미롭게도, 일반적인 경우의 증명은 벡터 공간의 경우로 환원하는 방식으로 진행됩니다.

차원 정리는 그 이름에 걸맞게, 벡터 공간의 차원을 유한 기저가 존재할 경우 그 크기로 정의할 수 있게 해줍니다. 그러한 기저가 존재할 때 우리는 $V$ 가 유한 차원이라고 말합니다. 예를 들어,

V=\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}

는 차원이 3인데, 왜냐하면 $\left\{1,x,x^{2}\right\}$ 이 기저이기 때문입니다. 이것이 유일한 기저는 아닙니다: 우리는 다음과 같이 쓸 수도 있었습니다

\left\{a(x^{2}-4x)+b(x+2)+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}

그리고 완전히 동일한 벡터 공간을 얻었을 것입니다. 하지만 이 정리의 아름다움은, 우리가 생성 집합을 어떻게 고안하려 해도 항상 정확히 세 개의 원소를 얻는다는 데 있습니다. 그것이 바로 $V$ 가 차원 3이라고 말하는 것이 타당한 이유입니다.

반면에, 모든 다항식의 집합 $\mathbb{R}[x]$ 는 무한 차원입니다(이는 직관적으로 명백해야 합니다).

$V$ 의 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 이 정말 멋진 이유는, $v\in V$ 를 명시하기 위해서 $a_{1},\dots,a_{n}\in k$ 만 명시하면 되고, 그러면 $v=a_{1}e_{1}+\dots+a_{n}e_{n}$ 이 되기 때문입니다. 심지어 $v$ 를 $\left(a_{1},\dots,a_{n}\right)$ 으로 생각할 수도 있습니다. 다르게 말하면, $V$ 가 $k$ -벡터 공간이라면 우리는 항상 다음을 얻습니다

V=e_{1}k\oplus e_{2}k\oplus\dots\oplus e_{n}k.

9.5 선형 사상

대표적인 예: $x=3$ 에서 $\{ax^{2}+bx+c\}$ 의 값 계산.

우리는 준동형사상과 연속 사상을 보았습니다. 이제 우리는 벡터 공간 사이의 구조 보존 사상인 선형 사상을 보려고 합니다. 그 정의를 짐작할 수 있습니까?

정의 9.5.1.

$V$ 와 $W$ 를 같은 체 $k$ 위의 벡터 공간이라고 합시다. 선형 사상이란 다음을 만족하는 사상 $T\colon V\to W$ 입니다:

(i)

임의의 $v_{1},v_{2}\in V$ 에 대해 $T(v_{1}+v_{2})=T(v_{1})+T(v_{2})$ 가 성립합니다.¹¹1군의 언어로 말하면, $T$ 는 준동형사상 $(V,+)\to(W,+)$ 입니다.
(ii)

임의의 $a\in k$ 와 $v\in V$ 에 대해 $T(a\cdot v)=a\cdot T(v)$ 가 성립합니다.

이 사상이 전단사(동등하게, 역사상을 가지면)라면 이는 동형사상입니다. 이때 $V$ 와 $W$ 를 동형인 벡터 공간이라고 하며 $V\cong W$ 라고 씁니다.

예제 9.5.2 (선형 사상의 예시).

(a)

임의의 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 에 대해, 모든 것을 $0_{W}\in W$ 로 보내는 자명한 선형 사상이 존재합니다.
(b)

임의의 벡터 공간 $V$ 에 대해, 항등 동형사상 $\mathrm{id}\colon V\to V$ 가 존재합니다.
(c)

$(a,b,c)\mapsto 4a+2b+c$ 로 정의되는 사상 $\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}$ 은 선형 사상입니다.
(d)

$V$ 를 차수가 $2$ 이하인 실수 다항식의 집합이라고 합시다. $(a,b,c)\mapsto ax^{2}+bx+c$ 로 정의되는 사상 $\mathbb{R}^{3}\to V$ 는 동형사상입니다.
(e)

$V$ 를 차수가 $2$ 이하인 실수 다항식의 집합이라고 합시다. $ax^{2}+bx+c\mapsto 9a+3b+c$ 로 정의되는 사상 $V\to\mathbb{R}$ 은 선형 사상이며, 이는 ” $3$ 에서의 값매김”이라고 설명할 수 있습니다.
(f)

$W$ 를 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 인 함수들의 집합이라고 합시다. $f\mapsto f(0)$ 으로 정의되는 값매김 사상 $W\to\mathbb{R}$ 은 선형 사상입니다.
(g)

” $\sqrt{2}$ 를 곱하기”라고 불리는 $\mathbb{Q}$ -벡터 공간의 사상 $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\to\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ 이 있습니다. 이 사상은 $a+b\sqrt{2}\mapsto 2b+a\sqrt{2}$ 로 보냅니다. 이 사상은 역사상 ” $1/\sqrt{2}$ 를 곱하기”를 가지므로 동형사상입니다.

$T(a\cdot v)=a\cdot T(v)$ 라는 표현에서, 첫 번째 $\cdot$ 은 $V$ 의 곱셈이고 두 번째 $\cdot$ 은 $W$ 의 곱셈임에 유의하십시오. 이 동형사상의 개념은 실제로는 기저의 크기에만 관심이 있다는 점에 유의하십시오:

명제 9.5.3 ( $n$ 차원 벡터 공간은 동형입니다).

$V$ 가 $n$ 차원 벡터 공간이면, $V\cong k^{\oplus n}$ 입니다.

질문 9.5.4.

$e_{1}$ , …, $e_{n}$ 을 $V$ 의 기저라고 합시다. 그 동형사상은 무엇일까요? (아마 여러분의 첫 번째 추측이 맞을 것입니다.)

비고 9.5.5.

엄밀히 말해, 모든 유한 차원 벡터 공간은 그저 $k^{\oplus n}$ 일 뿐이며 그 외 다른 공간은 신경 쓸 가치가 없다고 말할 수도 있습니다. 하지만 이는 다소 무례해 보입니다. 공간은 종종 단순한 삼중항 이상의 것입니다: $ax^{2}+bx+c$ 는 다항식이며, 따라서 그것을 $(a,b,c)$ 로 압축하면 잃게 되는 어떤 ”본질”을 가지고 있습니다.

게다가, $x+y+z=0$ 을 만족하는 벡터 $(x,y,z)$ 의 집합처럼 많은 공간은 명백한 기저 선택이 없습니다. 따라서 그러한 공간을 $k^{\oplus n}$ 으로 옮기려면 임의의 결정을 내려야 할 것입니다.

9.6 행렬이란 무엇인가?

이제 드디어 행렬이 무엇인지 말씀드릴 수 있습니다! 이는 재미있는데, 왜냐하면 이제 저는 행렬 곱셈의 공식을 그저 전달받는 것이 아니라 어떻게 유도하는지 여러분께 마침내 설명할 수 있기 때문입니다.

이 절은 매우 중요하며, 또한 많은 학생들에게 깨달음을 주는 내용이므로, 저는 실제로 이를 두 번 다루려고 합니다. 첫 번째로, 저는 극도로 특수한 경우, 즉 $V=W=\mathbb{R}^{2}$ 인 경우에서 많은 숫자를 사용하여 작업할 것입니다. (이는 제가 증명 경험이 없는 대학 신입생들에게 이 개념을 가르쳤을 때 설명했던 방식입니다.) 그다음 두 번째로, 우리는 숫자를 전혀 사용하지 않고 현대적인 언어로 이를 다룰 것입니다.

9.6.1 일반 독자를 위한 $\mathbb{R}^{2}$ 의 확장된 예시

이 절 전체에서 저는 구체적으로 $\mathbb{R}^{2}$ 를 다룰 것이며, 그 원소들을 $(x,y)$ 가 아니라 $\left[\begin{smallmatrix}x\\ y\end{smallmatrix}\right]$ 로 표기하겠습니다(행렬 곱셈에 대해 이야기할 때 그 이유를 보시게 될 것입니다).

깜짝 퀴즈:

•

문제 1: 선형 사상 $T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ 가 주어졌는데 $T\left(\left[\begin{smallmatrix}3\\ 4\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}\pi\\ 9\end{smallmatrix}\right]$ 이고 $T\left(\left[\begin{smallmatrix}100\\ 100\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}0\\ 12\end{smallmatrix}\right]$ 라고 합시다. $T\left(\left[\begin{smallmatrix}103\\ 104\end{smallmatrix}\right]\right)$ 와 $T\left(\left[\begin{smallmatrix}203\\ 204\end{smallmatrix}\right]\right)$ 는 무엇입니까?

답 1: 그냥 더하면 됩니다.

$\displaystyle T\left(\begin{bmatrix}103\\ 104\end{bmatrix}\right)$ $\displaystyle=\begin{bmatrix}\pi\\ 9\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\ 12\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pi\\ 21\end{bmatrix}$

$\displaystyle T\left(\begin{bmatrix}203\\ 204\end{bmatrix}\right)$ $\displaystyle=\begin{bmatrix}\pi\\ 9\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}0\\ 12\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pi\\ 33\end{bmatrix}.$
•

문제 2: 선형 사상 $T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ 가 주어졌는데 $T\left(\left[\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}1\\ 3\end{smallmatrix}\right]$ 이고 $T\left(\left[\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}2\\ 4\end{smallmatrix}\right]$ 라고 합시다. $T\left(\left[\begin{smallmatrix}50\\ 70\end{smallmatrix}\right]\right)$ 는 무엇입니까?

답 2:

$T\left(\begin{bmatrix}50\\ 70\end{bmatrix}\right)=50\begin{bmatrix}1\\ 3\end{bmatrix}+70\begin{bmatrix}2\\ 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}190\\ 430\end{bmatrix}.$

이 예시가 보여주는 바는, 선형 사상 $T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ 에 대한 요구 조건이 매우 강력해서, $T\left(\left[\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\right]\right)$ 와 $T\left(\left[\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\right]\right)$ 만 알면 다른 어떤 점에서의 $T$ 값도 계산할 수 있다는 것입니다. 이는 임의의 두 기저 벡터에 대해서도 성립합니다(즉, 문제 1은 일부러 고른 $\left[\begin{smallmatrix}103\\ 104\end{smallmatrix}\right]$ 와 $\left[\begin{smallmatrix}203\\ 204\end{smallmatrix}\right]$ 보다 훨씬 더 지저분한 입력에 대해서도 물어볼 수 있었을 것이고, 그래도 여전히 풀 수 있었을 것입니다), 하지만 물론 $\left[\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\right]$ 와 $\left[\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\right]$ 는 특히 편리한 선택입니다.

이제 다음과 같은 정의를 내릴 수 있습니다:

정의 9.6.1.

선형 변환 $T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ 에 대해, 그 행렬은 열벡터들을 이어붙여 얻어지는 $T$ 의 인코딩입니다

T\left(\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}\right)\qquad\text{그리고}\qquad T\left(\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}\right)

를 이어붙여 $2\times 2$ 숫자 배열을 얻음으로써 만들어지는 $T$ 의 부호화입니다.

예를 들어,

T\left(\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}1\\ 3\end{bmatrix}\text{그리고}T\left(\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}2\\ 4\end{bmatrix}\iff T\text{다음과 같이 인코딩됨}\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}.

이제, 고등학교에서 배운 행렬 곱셈 규칙을 열벡터 $\left[\begin{smallmatrix}50\\ 70\end{smallmatrix}\right]$ 에 적용하면 어떻게 될까요? 그러면 다음을 얻습니다

\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}50\\ 70\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\cdot 50+2\cdot 70\\ 3\cdot 50+4\cdot 70\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}190\\ 430\end{bmatrix}

…그리고 우리가 실은 두 번째 깜짝 퀴즈 문제를 다시 풀고 있을 뿐임을 알 수 있습니다. 그러므로:

$T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ 가 $2\times 2$ 행렬 $M$ 로 부호화되어 있다면, $M$ 와 (열)벡터 $v\in\mathbb{R}^{2}$ 의 곱셈은 $T(v)$ 와 일치하도록 정의됩니다.

비고 9.6.2 (항등행렬이 그 이름값을 하는 이유).

이는 또한 왜 $2\times 2$ 항등행렬이 고등학교에서 주는 설명(즉, ”곱해 보면 같은 결과가 나온다는 것을 알 수 있습니다”)보다 더 자연스러운 이유로 $\left[\begin{smallmatrix}1&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\right]$ 인지를 보여줍니다. $\mathrm{id}$ 가 항등함수라면, $\mathrm{id}\left(\left[\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\right]$ 이므로 이것이 행렬의 첫 번째 열이 되고, 마찬가지로 $\mathrm{id}\left(\left[\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\right]$ 은 두 번째 열이 됩니다.

이제, 두 사상 $S$ 와 $T$ 를 함께 등장시켜 합성하면 어떻게 될까요? $S\circ T$ 에 대해서도 같은 방식을 적용할 수 있습니다.

•

문제 3: 선형 사상 $T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ 가 주어졌는데 $T\left(\left[\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}1\\ 3\end{smallmatrix}\right]$ 이고 $T\left(\left[\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}2\\ 4\end{smallmatrix}\right]$ 라고 합시다. 그다음 두 번째 선형 사상 $S\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ 가 주어졌는데 $S\left(\left[\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}5\\ 7\end{smallmatrix}\right]$ 이고 $S\left(\left[\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\right]\right)=\left[\begin{smallmatrix}6\\ 8\end{smallmatrix}\right]$ 라고 합시다. $S\left(T\left(\left[\begin{smallmatrix}1\\ 0\end{smallmatrix}\right]\right)\right)$ 와 $S\left(T\left(\left[\begin{smallmatrix}0\\ 1\end{smallmatrix}\right]\right)\right)$ 는 무엇입니까?

답 3:

$\displaystyle S\left(T\left(\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}\right)\right)$ $\displaystyle=S\left(\begin{bmatrix}1\\ 3\end{bmatrix}\right)=1\begin{bmatrix}5\\ 7\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}6\\ 8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}23\\ 31\end{bmatrix}.$

$\displaystyle S\left(T\left(\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}\right)\right)$ $\displaystyle=S\left(\begin{bmatrix}2\\ 4\end{bmatrix}\right)=2\begin{bmatrix}5\\ 7\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}6\\ 8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}34\\ 46\end{bmatrix}.$

$S\circ T$ 자체도 선형 사상이므로, 이제 그 행렬 인코딩을 알 수 있습니다:

S\circ T=\begin{bmatrix}23&34\\ 31&46\end{bmatrix}.

이제 여러분은 학교에서 행렬 곱셈 규칙을 정의로서 배웠을 수도 있습니다. $S$ 와 $T$ 의 행렬에 그 정의를 적용하면 다음을 얻어야 합니다

\underbrace{\begin{bmatrix}5&6\\ 7&8\end{bmatrix}}_{\text{$S$의 인코딩}}\underbrace{\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}}_{\text{$T$의 인코딩}}=\begin{bmatrix}5\cdot 1+6\cdot 3&5\cdot 2+% 6\cdot 4\\ 7\cdot 1+8\cdot 3&7\cdot 2+8\cdot 4\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}23&34\\ 31&46\end{bmatrix}

이것이 바로 $S\circ T$ 의 인코딩입니다 — 실제로 그 이유를 알 수 있는데, 답 3의 과정을 따라가 보면 사실 동일한 산술이 수행되고 있기 때문입니다.

이는 왜 행렬을 선형 함수의 부호화로 보는 우리 냅킨의 정의가 여러분이 봐 왔던 것보다 더 나은지를 보여줍니다. 고등학교에서는 행렬 곱셈의 절차가 부자연스러운 정의로서 제공되는데, 예를 들면 그림 9.1에 나오는 것 같은 귀여운 그림들이 그렇습니다. 하지만 우리에게는 그림 9.1의 절차가 하나의 정리입니다: 즉 $S$ 와 $T$ 의 부호화가 주어졌을 때 $S\circ T$ 의 부호화를 얻는 방법을 유도할 수 있습니다.

Refer to caption — 그림 9.1: 미국 고등학교에서 가르치는 행렬 곱셈: “이게 레시피야, 그냥 믿어”. [MAT12]에서 가져온 이미지.

9.6.2 일반적인 논의, 다시 Napkin 수준의 추상화로

이제 현대적인 언어로 돌아가서, 이전 절에서처럼 고정된 기저가 아니라, 어떤 체 위의 유한 차원 공간과 그 공간의 임의의 기저를 다루도록 합시다.

기저 $e_{1},\dots,e_{m}$ 을 가진 어떤 유한 차원 벡터 공간 $V$ 와 기저 $w_{1},\dots,w_{n}$ 을 가진 벡터 공간 $W$ 를 하나 고릅시다. 사상 $T\colon V\to W$ 가 있고, 여러분에게 $T$ 가 무엇인지 알려주고 싶다고 합시다. 모든 점 $v$ 에서 $T(v)$ 가 무엇인지 알려주려 한다면 그것은 매우 배려 없는 일이 될 것입니다. 하지만 우리는 $T(e_{1})$ , …, $T(e_{m})$ 이 무엇인지만 알려주면 된다는 것을 보았는데, 그로부터 여러분 스스로 $T(a_{1}e_{1}+\dots+a_{m}e_{m})$ 을 구할 수 있기 때문입니다:

T(a_{1}e_{1}+\dots+a_{m}e_{m})=a_{1}T(e_{1})+\dots+a_{m}T(e_{m}).

$e_{i}$ 들이 기저이므로, 이것으로 $T$ 에 대해 필요한 모든 것을 알 수 있습니다.

예제 9.6.3 (선형 사상의 확장).

$V=\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}$ 라고 합시다. 그러면 $T(ax^{2}+bx+c)=aT(x^{2})+bT(x)+cT(1)$ 입니다.

이제 저는 훨씬 더 구체적일 수 있습니다. $T(e_{1})$ 이 무엇인지 알려드릴 수도 있지만, $W$ 의 기저를 가지고 있으므로 실제로는 이 기저를 기준으로 $T(e_{1})$ 이 무엇인지만 알려드리면 됩니다. 구체적으로, 다음을 만족하는 유일한 $a_{11},a_{21},\dots,a_{n1}\in k$ 가 존재합니다

T(e_{1})=a_{11}w_{1}+a_{21}w_{2}+\dots+a_{n1}w_{n}.

그러므로 추상적인 공간 $W$ 에서 $T(e_{1})$ 의 값을 알려드리는 대신, $a_{11},a_{21},\dots,a_{n1}$ 이 무엇인지만 알려드리면 됩니다. 그런 다음 $T(e_{2})$ , $T(e_{3})$ 에 대해서도, $T(e_{m})$ 까지 이 과정을 반복하면 되고, 그것으로 $T$ 에 대해 필요한 모든 것을 알려드리는 셈이 됩니다.

바로 여기서 행렬 $T$ 가 나오는 것입니다! 이는 제가 알려드려야 할 $m n$ 개의 숫자 전부를 간결하게 적는 방법입니다.

명시적으로, $T$ 에 대한 행렬은 다음 배열로 정의됩니다

	$\displaystyle T$	$\displaystyle=\underbrace{\begin{bmatrix}\mid&\mid&&\mid\\ T(e_{1})&T(e_{2})&\dots&T(e_{m})\\ \mid&\mid&&\mid\\ \end{bmatrix}}_{\text{$m$개의 열}}\Bigg{\}}\text{$n$개의 행}$
		$\displaystyle=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1m}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nm}\end{bmatrix}.$

이 점을 확실히 하기 위해,

행렬은 $V$ 에서 $W$ 로 가는 선형 사상을 지정하는 가장 게으른 방법입니다.

예제 9.6.4 (행렬의 예).

여기 기저를 이용한 구체적인 예가 있습니다. $V=\mathbb{R}^{3}$ 에 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ 가 있고 $W=\mathbb{R}^{2}$ 에 기저 $w_{1}$ , $w_{2}$ 가 있다고 합시다. $T\colon V\to W$ 가 있다면 이는 예를 들어 세 값에 의해 유일하게 결정됩니다:

	$\displaystyle T(e_{1})$	$\displaystyle=4w_{1}+7w_{2}$
	$\displaystyle T(e_{2})$	$\displaystyle=2w_{1}+3w_{2}$
	$\displaystyle T(e_{3})$	$\displaystyle=w_{1}$

그러면 열들은 $T(e_{1})$ , $T(e_{2})$ , $T(e_{3})$ 에 대응합니다:

T=\begin{bmatrix}4&2&1\\ 7&3&0\end{bmatrix}

예제 9.6.5 (기저를 선택한 후의 행렬 예).

다시 $V=\left\{ax^{2}+bx+c\right\}$ 를 차수가 $2$ 이하인 다항식들의 벡터 공간이라고 합시다. 이에 대해 기저 $1$ , $x$ , $x^{2}$ 를 고정합니다.

” $3$ 에서의 평가” 사상, 즉 $V\to\mathbb{R}$ 인 사상을 생각해 봅시다. 우변의 기저 원소로 $1$ 을 선택합니다; 그러면 이를 $1\times 3$ 행렬로 다음과 같이 쓸 수 있습니다

\begin{bmatrix}1&3&9\end{bmatrix}

여기서 열들은 $T(1)$ , $T(x)$ , $T(x^{2})$ 에 대응합니다.

여기서부터 두 행렬을 곱한다는 것이 무엇을 의미하는지 스스로 도출해 낼 수 있습니다. 세 공간 $U$ , $V$ , $W$ 에 대해 기저를 선택했다고 합시다. 사상 $T\colon U\to V$ 와 $S\colon V\to W$ 가 주어졌을 때, 이들의 합성 $S\circ T$ 를 생각할 수 있습니다, 즉

U\xrightarrow{T}V\xrightarrow{S}W.

행렬 곱셈은 정확히, 지난 절에서 보았듯이 합성 함수 $S\circ T$ 를 행렬로 해석했을 때 얻는 것과 행렬 $S T$ 가 같은 것이 되도록 정의됩니다.

특히 함수 합성이 결합적이므로, 행렬 곱셈 역시 결합적임이 따라 나옵니다.

이는 행렬의 행렬식이나 대각합 같은 개념을, ”내재적인” 사상 $T\colon V\to W$ 의 관점에서도, 행렬의 성분의 관점에서도 정의할 수 있음을 뜻합니다. 사상 $T$ 자체는 어떤 기저도 참조하지 않으므로, 추상적 정의는 수치적 정의가 기저의 선택에 의존하지 않음을 함의할 것입니다.

9.7 부분공간과 편리한 기저 선택하기

대표적인 예: $\mathbb{R}^{3}$ 에서 임의의 선형독립인 두 벡터.

정의 9.7.1.

$M$ 을 왼쪽 $R$ -가군이라고 합시다. $M$ 의 부분가군 $N$ 이란, $N$ 의 모든 원소가 또한 $M$ 의 원소이기도 한 가군 $N$ 입니다. $M$ 이 벡터 공간이면 $N$ 을 부분공간이라고 부릅니다.

예제 9.7.2 (핵).

사상 $T\colon V\to W$ 의 핵(kernel, $\ker T$ 로 표기)은 $T(v)=0_{W}$ 를 만족하는 $v\in V$ 의 집합입니다. 이는 덧셈과 스칼라배에 대해 닫혀 있으므로 $V$ 의 부분공간입니다(왜 그럴까요?).

예제 9.7.3 (생성 공간).

$V$ 를 벡터 공간이라고 하고 $v_{1},\dots,v_{m}$ 을 $V$ 의 임의의 벡터들이라고 합시다. 이 벡터들의 생성 공간은 다음 집합으로 정의됩니다

\left\{a_{1}v_{1}+\dots+a_{m}v_{m}\mid a_{1},\dots,a_{m}\in k\right\}.

이 역시 $V$ 의 부분공간임에 유의하십시오!

질문 9.7.4.

왜 위의 각 예에서 $0_{V}$ 가 원소가 될까요? 일반적으로 왜 모든 부분공간은 $0_{V}$ 를 포함해야 할까요?

부분공간은 기저와 관련하여 좋은 성질을 가집니다.

정리 9.7.5 (기저 완성).

$V$ 를 $n$ 차원 공간이라 하고, $V^{\prime}$ 을 $V$ 의 부분공간이라고 합시다. 그러면

(a)

$V^{\prime}$ 역시 유한차원입니다.
(b)

$e_{1},\dots,e_{m}$ 이 $V^{\prime}$ 의 기저라면, $V$ 안에 $e_{m+1},\dots,e_{n}$ 이 존재하여 $e_{1},\dots,e_{n}$ 이 $V$ 의 기저가 됩니다.

증명.

직관적이며 증명이 그다지 유익하지 않으므로 생략합니다. (다만 이 결과를 이후 반복해서 사용할 것이므로, 지금 시간을 들여 내면화해 두십시오.) ∎

매우 흔한 사용 사례는 사상 $T$ 에 대해 편리한 기저를 고르는 것입니다.

정리 9.7.6 (선형 사상에 대한 기저 고르기).

$T\colon V\to W$ 를 유한 차원 벡터 공간 사이의 사상이라 하고, $n=\dim V$ , $m=\dim W$ 라 합시다. 그러면 $V$ 의 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 과 $W$ 의 기저 $f_{1},\dots,f_{m}$ , 그리고 음이 아닌 정수 $k$ 가 존재하여 다음을 만족합니다

T(e_{i})=\begin{cases}f_{i}&\text{$i\leq k$인 경우}\\ 0_{W}&\text{$i>k$인 경우}.\end{cases}

더욱이 $\dim\ker T=n-k$ 이고 $\dim T^{\text{img}}(V)=k$ 입니다.

증명 개요.

계속 읽기 전에 직접 시도해 보고 싶을 수도 있습니다: 이는 정리 9.7.5의 반복 적용입니다.

$\ker T$ 의 차원이 $n-k$ 라고 합시다. $\ker T$ 의 기저로 $e_{k+1},\dots,e_{n}$ 을 선택할 수 있습니다. 그런 다음 이를 $V$ 의 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 으로 확장합니다. 사상 $T$ 는 $e_{1},\dots,e_{k}$ 의 생성 공간 위에서 단사입니다(핵에는 오직 $0_{V}$ 만 있으므로). 따라서 $W$ 에서의 그 상들은 선형독립입니다. 각 $i$ 에 대해 $f_{i}=T(e_{i})$ 로 놓으면 $W$ 에서 어떤 선형독립인 집합을 얻습니다. 그런 다음 이를 다시 $W$ 의 기저로 확장합니다. ∎

이 정리는 응용 때문만이 아니라, 선형 사상이 어떤 모습이어야 하는지에 대한 올바른 그림을 여러분의 머릿속에 심어주기 때문에도 매우 중요합니다. 여러분이 확실히 기억하도록 이를 그림으로도 그려 보겠습니다:

특히 $T\colon V\to W$ 에 대해, $V=\ker T\oplus V^{\prime}$ 로 쓸 수 있으며, 이때 $T$ 는 자신의 핵을 소멸시키는 한편 $V^{\prime}$ 는 $W$ 안의 동형인 사본으로 보냅니다.

이것의 따름정리(어차피 예상했어야 할 내용입니다)는 이른바 계수-퇴화차수 정리(rank-nullity theorem)로, 이는 제1 동형사상 정리의 유사물입니다.

정리 9.7.7 (계수-퇴화차수 정리).

$V$ 와 $W$ 를 유한 차원 벡터 공간이라 합시다. $T\colon V\to W$ 이면 다음이 성립합니다

\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T.

질문 9.7.8.

정리 9.7.6로부터 계수-퇴화차수 정리를 도출하십시오.

9.8 재미있는 응용: 라그랑주 보간법

고등학교 정리에 대한 선형대수학의 재미있는 응용²²2출처: 첫 번째 하버드-MIT 학부생 수학 심포지엄에서 조 해리스가 저에게 전해준 것입니다.이 여기 있습니다.

정리 9.8.1 (라그랑주 보간법).

$x_{1},\dots,x_{n+1}$ 을 서로 다른 실수라 하고, $y_{1},\dots,y_{n+1}$ 을 임의의 실수라 합시다. 그러면 모든 $i$ 에 대해

P(x_{i})=y_{i}

를 만족하는 차수가 $n$ 이하인 유일한 다항식 $P$ 가 존재합니다.

예를 들어 $n=1$ 일 때, 이는 대략적으로 두 점을 잇는 직선이 유일하게 존재한다는 것을 말합니다.

증명.

아이디어는 차수가 $n$ 이하인 다항식들의 벡터 공간 $V$ 와 벡터 공간 $W=\mathbb{R}^{n+1}$ 을 고려하는 것입니다.

질문 9.8.2.

$\dim V=n+1=\dim W$ 임을 확인하십시오. 이는 $V$ 에 대한 기저를 고르면 가장 쉽게 할 수 있지만, 이 연습문제를 마치고 나면 그 기저는 곧바로 잊어버려도 됩니다.

그런 다음 다음으로 주어지는 선형 사상 $T\colon V\to W$ 를 고려합니다

P\mapsto\left(P(x_{1}),\dots,P(x_{n+1})\right).

이것이 실제로 선형 사상인 이유는, 뭐, $T(P+Q)=T(P)+T(Q)$ 이고 $T(cP)=cT(P)$ 이기 때문입니다. 이는 또한 단사이기도 합니다: $P\in\ker T$ 이면 $P(x_{1})=\dots=P(x_{n+1})=0$ 이지만, $\deg P\leq n$ 이므로 $P$ 는 오직 영다항식일 수밖에 없습니다.

따라서 $T$ 는 같은 차원을 갖는 벡터 공간들 사이의 단사 사상입니다. 그러므로 문제 9B에 의해 이는 실제로 전단사이며, 이것이 바로 우리가 원했던 것입니다. ∎

9.9 교육학적 여담: 숫자 배열은 사악하다

(이 절 전체는 선형대수학을 어떻게 가르칠지에 대한 에반의 수다이므로, 안심하고 건너뛰어도 됩니다.)

반복해서 강조하겠지만, 행렬은 두 벡터 공간 사이의 선형 사상을 나타냅니다. 그것을 $m\times n$ 행렬의 형태로 쓰는 것은 그 사상을 구체적으로 보기 위한 매우 편리한 방법일 뿐입니다. 하지만 이는 이 사상이 실은 숫자들의 배열이 아니라 사상이라는 사실을 흐릿하게 만듭니다.

고등학교 미적분 예비 과정을 수강했다면, 모든 것이 행렬로 표현되는 것을 보게 됩니다. 전형적인 고등학생에게 행렬이란 숫자들의 배열입니다. 이 숫자들이 정확히 무엇을 나타내는지 아무도 확신하지 못하지만, 이 배열들을 마법처럼 곱해서 또 다른 배열을 얻는 방법을 배웁니다. 그들은 다음 행렬이

\begin{bmatrix}1&0&\dots&0\\ 0&1&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&1\\ \end{bmatrix}

다른 행렬과 곱해도 변하지 않기 때문에 ”항등행렬”이라고 배웁니다. 그다음 행렬식이 이 기묘한 곱셈 규칙으로 만들어진 이 숫자들의 마법 같은 조합이라고 배웁니다. $\det(AB)=\det A\det B$ 라는 사실과, 넓이와 행 연산 및 크라머 공식에 관한 무언가를 제외하고는, 이 행렬식이 무엇을 하는지 아무도 알지 못합니다.

그다음 대학에서 선형대수학을 배우게 되면, 이 숫자 배열들로 더 많은 마법을 부리게 됩니다. 두 행렬 $T_{1}$ 과 $T_{2}$ 가 어떤 가역행렬 $S$ 에 대해

T_{2}=ST_{1}S^{-1}

를 만족하면 서로 닮음이라고 배웁니다. 행렬의 대각합 $\operatorname{Tr}T$ 는 대각 성분들의 합이라고 배웁니다. 어쩐 일인지 닮은 행렬을 보아도 이 값은 변하지 않지만, 왜 그런지는 확실히 알지 못합니다. 그다음 특성다항식을 다음과 같이 정의합니다

p_{T}(X)=\det(XI-T).

어쩐 일인지 이것 역시 닮은 행렬을 취해도 변하지 않지만, 이제는 정말로 그 이유를 알지 못합니다. 그리고 온갖 흑마법 같은 케일리-해밀턴 정리를 만나게 됩니다: $p_{T}(T)$ 는 영사상입니다. 호기심에 증명을 검색해 보면, 여전히 왜 참인지 전혀 알 수 없게 만드는 임기응변식 절차를 발견하게 됩니다.

이것은 끔찍합니다. $T_{2}=ST_{1}S^{-1}$ 의 무엇이 그리 특별합니까? 행렬이 선형 사상이라는 것을 알아야만 비로소 이것이 이해가 됩니다: $T_{2}$ 는 그저 다른 기저 선택으로 다시 쓴 $T_{1}$ 일 뿐입니다.

저는 정말로 그 반대 관점을 밀어붙이고 싶습니다. 선형대수학은 선형 사상에 관한 학문이지만, 숫자 배열에 관한 학문으로 가르쳐지며, 이 숫자들이 무엇을 의미하는지 아무도 알지 못합니다. 그리고 그럴 만한 이유가 있습니다: 그 숫자들은 무의미하기 때문입니다. 그것들은 행렬을 부호화하는 매우 편리한 방법일 뿐, 역사에서 사건의 날짜가 주된 연구 대상이 아니듯이 주된 연구 대상은 아닙니다.

또 다른 큰 단점은 사람들이 존재하는 유일한 (실수) 벡터 공간이 $\mathbb{R}^{\oplus n}$ 이라는 인상을 받게 된다는 것입니다. 비고 9.5.5에서 설명했듯이, 영혼 없는 로봇이라면 이런 방식으로 작업할 수는 있지만, 인간이 그렇게 하는 것은 매우 부자연스럽습니다.

제가 하버드 신입생 시절 Math 55a를 수강했을 때, 저는 정반대의 대우를 받았습니다: 우리는 행렬을 단 하나도 쓰지 않고 선형대수학 전체를 배웠습니다. 그 시간 내내 저는 상당히 혼란스러웠습니다. 기저가 뭐가 문제란 말입니까? 저는 나중에야 이 접근법이 이 주제를 다루는 도덕적으로 올바른 방식이었다는 것을 깨달았습니다: 그것은 무슨 일이 일어나고 있는지를 명확하게 해주었습니다.

Napkin 전체에 걸쳐, 저는 이 두 접근법 사이의 균형을 잡으려 노력했으며, 적절할 때는 행렬을 사용하여 사상을 예시하고 증명을 단순화하되, 궁극적으로는 정리와 정의를 도덕적으로 올바른 형태로 서술했습니다. 저는 이것이 ”옳은” 정의를 제공하면서도 소화할 수 있을 만큼 구체적이라는 이점을 모두 갖추기를 바랍니다. 하지만 기록을 위해 말씀드리자면, 고등학교식 접근법과 55a식 접근법 중 하나를 골라야 한다면, 저는 망설임 없이 55a를 고르겠습니다.

9.10 일반적인 가군에 관한 한마디

대표적인 예: $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ 는 계수 2인 $\mathbb{Z}$ -가군입니다.

저는 이 장에서 단순함을 위해 주로 벡터 공간(즉 체 위의 가군)에 초점을 맞추었으므로, 마무리하기 전에 일반적인 가환환 $R$ 위의 가군에 관해 몇 가지 언급을 하고 싶습니다.

먼저, 일반적인 가군에서는 ”펼침 집합” 대신 ”생성 집합”이라고 부른다는 점을 기억하십시오. 어쩔 수 없는 일입니다.

환에서의 주된 문제는 우리의 핵심 정리인 정리 9.4.5가 극적으로 실패한다는 것입니다. 예를 들어, $\mathbb{Z}$ 를 그 자신 위의 $\mathbb{Z}$ -가군으로 생각해 봅시다. 그러면 $\{2\}$ 는 선형독립이지만 기저로 확장될 수 없습니다. 마찬가지로 $\{2,3\}$ 은 생성 집합이지만 기저로 줄일 수 없습니다. 차원을 정의하는 것이 왜 어려울지 알 수 있을 것입니다.

그럼에도 불구하고, 위의 정의들 중 몇 가지에 대한 유사한 개념은 여전히 존재합니다.

정의 9.10.1.

$R$ -가군 $M$ 은 유한한 생성 집합을 가질 때 유한생성이라고 불립니다.

정의 9.10.2.

$R$ -가군 $M$ 은 기저를 가질 때 자유롭다고 불립니다. 앞서 말했듯이 차원 정리의 유사한 결과가 성립하며, 우리는 기저의 크기를 나타내기 위해 계수라는 단어를 사용합니다. 앞에서와 마찬가지로, $n$ 이 계수일 때 동형사상 $M\cong R^{\oplus n}$ 이 존재합니다.

예제 9.10.3 ( $\mathbb{Z}$ -가군의 예시).

$\mathbb{Z}$ -가군

\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\left\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Z}\right\}

$\{1,\sqrt{2}\}$ 을 기저로 가지므로, 이를 계수(rank) $2$ 의 자유 $\mathbb{Z}$ -가군이라고 합니다.

표기의 남용 9.10.4 (군에 대한 표기법).

아벨 군은 $\mathbb{Z}$ -가군으로 볼 수 있다는 것을 기억하십시오 (사실 그 역도 성립합니다!). 그러므로 우리는 이러한 용어들을 아벨 군에도 적용할 수 있습니다 (그리고 실제로 그렇게 할 것입니다). 우리는 두 아벨 군 $G$ 와 $H$ 의 데카르트 곱을 나타내기 위해 $G\oplus H$ 라는 표기법을 사용하여, $G$ 와 $H$ 가 아벨 군이라는 사실을 강조할 것입니다. 이는 우리가 대수적 수론과 호몰로지 군을 공부할 때 일어날 것입니다.

9.11 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

일반적인 힌트: 정리 9.7.6가 이러한 문제들 대부분에서 여러분의 가장 좋은 친구가 되어 줄 것입니다.

문제 9A.

$V$ 와 $W$ 를 0이 아닌 차원을 갖는 유한차원 벡터 공간이라 하고, 선형 사상 $T\colon V\to W$ 를 생각합시다. 각 항목에 ”때때로”, ”항상”, ”결코 아님” 중 하나를 적어 다음 표를 완성하십시오.

	$T$ 단사	$T$ 가 전사	$T$ 가 동형사상
$\dim V>\dim W$ 인 경우…
$\dim V=\dim W$ 인 경우…
$\dim V<\dim W$ 인 경우…

힌트. 랭크-널리티 정리를 사용하십시오. 또한 영사상도 고려하십시오.

풀이.

$T$ 단사 $T$ 가 전사 $T$ 가 동형사상

$\dim V>\dim W$ 인 경우… 없음 있음 없음

$\dim V=\dim W$ 인 경우… 있음 가능 있음

$\dim V<\dim W$ 인 경우… 있음 없음 없음

각 ”결코 아님”은 랭크-널리티 정리에 의한 것입니다. 각 반례는 $V$ 의 모든 원소를 영으로 보내는 영사상으로 얻어지며, 이 사상은 확실히 단사도 전사도 아닙니다.

	$T$ 단사	$T$ 가 전사	$T$ 가 동형사상
$\dim V>\dim W$ 인 경우…	없음	있음	없음
$\dim V=\dim W$ 인 경우…	있음	가능	있음
$\dim V<\dim W$ 인 경우…	있음	없음	없음

문제 9B (차원이 같은 벡터 공간은 대개 동형사상입니다).

$\dim V=\dim W$ 인 유한 차원 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 가 있다고 합시다. 사상 $T\colon V\to W$ 에 대해 다음이 동치임을 증명하십시오:

•

$T$ 가 단사이다,
•

$T$ 가 전사이다,
•

$T$ 는 전단사입니다.

풀이. 이는 본질적으로 정리 9.7.6에 의해 따라옵니다.

문제 9C.

마방진을 모든 대각선, 열, 행의 합이 같은 $3\times 3$ 실수 행렬이라고 합시다, 예를 들어 $\left[\begin{smallmatrix}8&1&6\\ 3&5&7\\ 4&9&2\end{smallmatrix}\right]$ . 덧셈에 대한 실수 벡터 공간으로서, 마방진들의 집합의 차원을 구하십시오.

문제 9D ( $\sqrt{5}$ 에 의한 곱셈).

$V=\mathbb{Q}[\sqrt{5}]=\left\{a+b\sqrt{5}\right\}$ 를 2차원 $\mathbb{Q}$ -벡터 공간이라 하고, 그 기저로 $\{1,\sqrt{5}\}$ 를 고정합시다. $\sqrt{5}$ 에 의한 곱셈에 해당하는 유리수 계수의 $2\times 2$ 행렬을 적으십시오.

힌트. $a+b\sqrt{5}\mapsto\sqrt{5}a+5b$ .

풀이. $1\mapsto\sqrt{5}$ 이고 $\sqrt{5}\mapsto 5$ 이므로, 그 행렬은 $\begin{bmatrix}0&5\\ 1&0\end{bmatrix}$ .

문제 9E (다변수 라그랑주 보간법).

$S\subset{\mathbb{Z}}^{2}$ 을 $n$ 개의 격자점으로 이루어진 집합이라 합시다. 차수가 최대 $\sqrt{2n}$ 이고 실수 계수를 갖는 영이 아닌 이변수 다항식 $p$ 가 존재하여, 모든 $(x,y)\in S$ 에 대해 $p(x,y)=0$ 이 성립함을 증명하십시오.

문제 9F (Putnam 2003).

다음을 만족하는 다항식 $a(x)$ , $b(x)$ , $c(y)$ , $d(y)$ 가 존재합니까?

1+xy+(xy)^{2}=a(x)c(y)+b(x)d(y)

항등적으로 성립합니까?

힌트. $y=-1,0,1$ 을 대입하십시오. $\mathbb{R}[x]$ 의 차원을 사용하십시오.

문제 9G (TSTST 2014).

^†^†margin:

$P(x)$ 와 $Q(x)$ 를 실수 계수를 갖는 임의의 다항식이라 하고, $d$ 를 $P(x)$ 의 차수라고 합시다. $P(x)$ 가 영 다항식이 아니라고 가정합시다. 다음을 만족하는 다항식 $A(x)$ 와 $B(x)$ 가 존재함을 증명하십시오:

(i)

$A$ 와 $B$ 모두 차수가 최대 $d/2$ 이다,
(ii)

$A$ 와 $B$ 중 많아야 하나가 영 다항식이다,
(iii)

$P$ 는 $A+Q\cdot B$ 를 나눕니다.

힌트. 적절한 $V$ , $W$ 에 대해 $V\oplus V\to W$ 로 해석하십시오.

풀이. $V$ 를 차수가 $d/2$ 이하인 실계수 다항식들의 공간(차원은 $1+\left\lfloor d/2\right\rfloor$ )이라 하고, $W$ 를 $P$ 를 법으로 한 실계수 다항식들의 공간(차원은 $d$ )이라 합시다. 그러면 $\dim(V\oplus V)>\dim W$ 입니다. 따라서 $(A,B)\mapsto A+Q\cdot B$ 로 정의되는 선형 사상 $V\oplus V\to W$ 는 (예를 들어 계수-퇴화차수 정리에 의해) 양의 차원을 가지는 핵을 갖습니다.

문제 9H (멱등원은 사영 사상입니다).

$P\colon V\to V$ 가 선형 사상이라 하고, $V$ 는 벡터 공간(반드시 유한 차원일 필요는 없음)이라 합시다. $P$ 가 멱등이라고 가정합시다. 즉 각 $v\in V$ 에 대해 $P(P(v))=P(v)$ 이거나, 동등하게 $P$ 가 자신의 상 위에서 항등사상이라고 합시다. 다음을 증명하십시오.

V=\ker P\oplus\operatorname{im}P.

따라서 $P$ 를 부분공간 $\operatorname{im}P$ 위로의 사영으로 생각할 수 있습니다.

문제 9I.