장 3 준동형사상과 몫군

3.1 생성원과 군 표시

대표적인 예: $D_{2n}=\left<r,s\mid r^{n}=s^{2}=1,rs=sr^{-1}\right>$

$G$ 를 군이라고 합시다. 어떤 원소 $x\in G$ 에 대해, 우리는 다음 부분군을 고려할 수 있었음을 상기하십시오.

\left\{\dots,x^{-2},x^{-1},1,x,x^{2},\dots\right\}

$G$ 의. 우리가 한 것을 좀 더 그림적으로 표현하면 다음과 같습니다: $x$ 를 상자에 넣고, 단단히 밀봉한 다음, 세게 흔듭니다. 원소 $x$ 만을 사용해서, 우리는 위의 부분군을 만들어내는 멋진 폭발을 얻습니다.

상자에 두 원소 $x$ , $y$ 를 넣으면 어떻게 될까요? 만들어지는 원소 중에는 다음과 같은 것들이 있습니다.

xyxyx,\quad x^{2}y^{9}x^{-5}y^{3},\quad y^{-2015},\quad\dots

본질적으로, 저는 $x$ , $y$ , $x^{-1}$ , $y^{-1}$ 의 임의의 유한 곱을 만들어낼 수 있습니다. 이는 다음과 같이 정의하도록 이끕니다:

정의 3.1.1.

$S$ 를 $G$ 의 부분집합이라고 합시다. $S$ 에 의해 생성된 부분군은 $\left<S\right>$ 로 표기하며, $S$ 의 원소들(및 그 역원들)의 유한 곱으로 쓸 수 있는 원소들의 집합입니다. 만약 $\left<S\right>=G$ 이면 $S$ 의 원소들이 함께 $G$ 전체를 만들어내므로, $S$ 를 $G$ 의 생성원 집합이라고 부릅니다.

연습문제 3.1.2.

$G$ 가 유한군인 경우 ”및 그 역원들”이라는 조건이 필요하지 않은 이유는 무엇입니까? (평소와 같이, 라그랑주 정리를 가정하십시오.)

예제 3.1.3 ( $\mathbb{Z}$ 는 무한 순환군입니다).

$1$ 을 $\mathbb{Z}=(\mathbb{Z},+)$ 의 원소로 생각해 봅시다. $\left<1\right>=\mathbb{Z}$ 임을 알 수 있으며, 이는 $\{1\}$ 이 $\mathbb{Z}$ 를 생성함을 의미합니다. $1$ 의 역원인 $-1$ 도 허용된다는 점이 중요합니다: 모든 정수를 $1$ 과 $-1$ 의 합으로 쓰기 위해서는 이것이 필요합니다.

이는 군을 압축적으로 표현하려는 방법에 대한 아이디어를 줍니다. 그냥 군의 생성원 목록을 적어보는 것은 어떨까요? 예를 들어, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다

\mathbb{Z}\cong\left<a\right>

이는 $\mathbb{Z}$ 가 단지 하나의 원소에 의해 생성되는 군임을 의미합니다.

한 가지 문제가 있습니다: 생성원들은 보통 특정 성질을 만족합니다. 예를 들어, $\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}$ 을 생각해 봅시다. 이것 역시 단일 원소 $x$ 에 의해 생성되지만, 이 $x$ 는 $x^{100}=1$ 이라는 추가적인 성질을 가집니다. 이는 우리로 하여금 다음과 같이 쓰도록 동기를 부여합니다

\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}=\left<x\mid x^{100}=1\right>.

이것이 어디로 향하는지 여러분은 분명 알 수 있을 것입니다. 우리가 해야 할 일은 생성원들의 집합과 생성원들 사이의 관계를 명시하고, 두 원소가 서로 관계를 통해 도달할 수 있을 때에만 서로 같다고 말하는 것뿐입니다. 이러한 표현은 적절하게도 군 표시라고 불립니다.

예제 3.1.4 (이면체군).

위수 $2n$ 의 이면체군은 다음 표시를 가집니다

D_{2n}=\left<r,s\mid r^{n}=s^{2}=1,rs=sr^{-1}\right>.

따라서 $D_{2n}$ 의 각 원소는 $r^{\alpha}$ 또는 $sr^{\alpha}$ 의 형태로 유일하게 쓸 수 있으며, 여기서 $\alpha=0,1,\dots,n-1$ 입니다.

예제 3.1.5 (클라인 사원군).

$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 와 동형인 클라인 사원군은 다음 표시로 주어집니다

\left<a,b\mid a^{2}=b^{2}=1,ab=ba\right>.

예제 3.1.6 (자유군).

$n$ 개 원소 위의 자유군은 표시가 $n$ 개의 생성원을 가지고 관계는 전혀 없는 군입니다. 이는 $F_{n}$ 으로 표기되며, 따라서

F_{n}=\left<x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right>.

다시 말해, $F_{2}=\left<a,b\right>$ 는 $a$ , $b$ , $a^{-1}$ , $b^{-1}$ 의 유한 개의 복사본을 이어 붙여서 형성된 문자열들의 집합입니다.

질문 3.1.7.

$F_{1}\cong\mathbb{Z}$ 임에 유의하십시오.

표기의 남용 3.1.8.

안타깝게도 어떤 사람은 ” $a$ 와 $b$ 에 의해 생성된 부분군”이 자유군 $\left<a,b\right>$ 와 정확히 같은 표기법을 가진다는 것을 알아챌 수 있습니다. 우리는 문맥에 따라 어느 쪽을 의미하는지 명확히 하고자 노력할 것입니다.

표시(presentation)는 군을 콤팩트하게 적어 내려가는 방법을 제공하므로 유용합니다. 하지만 몇 가지 단점도 있습니다.¹¹1사실, 표시의 두 원소가 같은지 판정하는 문제는 결정 불가능합니다. 심지어 표시로부터 군이 유한한지 판정하는 것조차 결정 불가능합니다.

예제 3.1.9 (표시(presentation)는 매우 다르게 보일 수 있습니다).

같은 군이라도 매우 다른 표시를 가질 수 있습니다. 예를 들어 다음을 생각해 봅시다:

D_{2n}=\left<x,y\mid x^{2}=y^{2}=1,(xy)^{n}=1\right>.

(이것이 동치임을 확인하려면 $x=s$ , $y=rs$ 로 놓으십시오.)

3.2 준동형사상

대표적인 예: ” $100$ 으로 나머지를 취하는” 사상, $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}$ .

군들은 서로 어떻게 대화할 수 있을까요?

두 군 사이에 동형사상을 쓸 수 있다면 두 군은 ”같다”고 합니다. 그리고 앞서 보았듯이, 두 거리 공간 사이에 위상동형사상을 쓸 수 있다면 두 거리 공간은 ”같다”고 합니다. 그런데 연속 사상에 대응하는 군의 유사 개념은 무엇일까요? 그저 ”전단사” 조건을 빼면 됩니다.

정의 3.2.1.

$G=(G,\star)$ 와 $H=(H,\ast)$ 를 군이라 합시다. 군 준동형사상이란 임의의 $g_{1},g_{2}\in G$ 에 대해 다음을 만족하는 사상 $\phi\colon G\to H$ 입니다

\phi(g_{1}\star g_{2})=\phi(g_{1})\ast\phi(g_{2}).

(지난 장의 ”위상동형사상”과 혼동하지 마십시오: 철자에 유의하십시오.)

예제 3.2.2 (준동형사상의 예시).

$G$ 와 $H$ 를 군이라 합시다.

(a)

임의의 동형사상 $G\to H$ 는 준동형사상입니다. 특히 항등 사상 $G\to G$ 는 준동형사상입니다.
(b)

자명한 준동형사상 $G\to H$ 는 모든 것을 $1_{H}$ 로 보냅니다.
(c)

각 정수를 $100$ 으로 나눈 나머지로 보내는 방식으로 $\mathbb{Z}$ 에서 $\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}$ 으로 가는 준동형사상이 있습니다.
(d)

$x\mapsto 10x$ 에 의한, $\mathbb{Z}$ 에서 자기 자신으로 가는 준동형사상이 있으며, 이는 단사이지만 전사는 아닙니다.
(e)

”매장(embedding)”에 의해 $S_{n}$ 에서 $S_{n+1}$ 로 가는 준동형사상이 있습니다: $\{1,\dots,n\}$ 위의 모든 치환은, $n+1$ 을 그저 고정점으로 두면 $\{1,\dots,n+1\}$ 위의 치환으로 생각할 수 있습니다.
(f)

$s_{12}\mapsto s_{6}$ 과 $r_{12}\mapsto r_{6}$ 에 의해 준동형사상 $\phi:D_{12}\to D_{6}$ 이 주어집니다.
(g)

$\mathbb{Z}\to G$ 인 준동형사상을 명시하는 것은 오직 원소 $1\in\mathbb{Z}$ 의 상만을 명시하는 것과 같습니다. 왜 그럴까요?

앞의 두 예시는 어떤 사실을 보여줍니다: $G$ 의 표시가 하나 주어졌다고 합시다. 준동형사상 $G\to H$ 를 명시하려면, 관계식들이 모두 성립하는 방식으로 $G$ 의 각 생성원이 어디로 가는지만 명시하면 됩니다.

중요한 언급: 동형사상을 생각하는 올바른 방식은 ”전단사 준동형사상”으로 보는 것입니다. 구체적으로 말하면,

연습문제 3.2.3.

$\phi\circ\psi=\mathrm{id}_{H}$ 이고 $\psi\circ\phi=\mathrm{id}_{G}$ 인 준동형사상 $\phi\colon G\to H$ 와 $\psi\colon H\to G$ 가 존재할 때, 오직 그때만 $G\cong H$ 임을 보이십시오.

그러므로 거리 공간의 위상동형사상과 군의 동형사상의 정의는 그다지 다르지 않습니다.

준동형사상의 자명한 성질 몇 가지를 살펴봅시다.

사실 3.2.4.

$\phi\colon G\to H$ 를 준동형사상이라 합시다. 그러면 $\phi(1_{G})=1_{H}$ 이고 $\phi(g^{-1})=\phi(g)^{-1}$ 입니다.

증명.

지루하지만, 원한다면 직접 해낼 수 있으리라 확신합니다. ∎

이제 준동형사상의 매우 중요한 성질 하나를 정의해 봅시다.

정의 3.2.5.

준동형사상 $\phi\colon G\to H$ 의 핵은 다음과 같이 정의됩니다.

\ker\phi\coloneqq\left\{g\in G:\phi(g)=1_{H}\right\}.

이는 $G$ 의 부분군입니다(특히, 자명한 이유로 $1_{G}\in\ker\phi$ 입니다).

질문 3.2.6.

$\ker\phi$ 가 실제로 $G$ 의 부분군임을 확인하십시오.

또한 다음과 같은 중요한 사실이 있으며, 독자께서도 이를 확인해 보시기를 권장합니다.

명제 3.2.7 (핵이 단사성을 결정함).

사상 $\phi$ 는 $\ker\phi=\{1_{G}\}$ 일 때 그리고 오직 그때만 단사입니다.

이를 구체적으로 보이기 위해, 우리 예시들 각각의 핵을 계산해 봅시다.

예제 3.2.8 (핵의 예시들).

(a)

임의의 동형사상 $G\to H$ 의 핵은 자명한데, 동형사상은 단사이기 때문입니다. 특히 항등 사상 $G\to G$ 의 핵은 $\{1_{G}\}$ 입니다.
(b)

자명한 준동형사상 $G\to H$ ( $g\mapsto 1_{H}$ 로 주어짐)의 핵은 $G$ 전체입니다.
(c)

$n\mapsto\overline{n}$ 으로 주어지는 준동형사상 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}$ 의 핵은 정확히

$100\mathbb{Z}=\{\dots,-200,-100,0,100,200,\dots\}$

입니다.
(d)

$x\mapsto 10x$ 로 주어지는 사상 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ 의 핵은 자명합니다: $\{0\}$ 입니다.
(e)

“임베딩”을 통한 $S_{n}$ 에서 $S_{n+1}$ 로의 준동형사상이 존재하지만, 이 역시 단사이므로 핵이 자명합니다.
(f)

준동형사상 $\phi\colon D_{12}\to D_{6}$ 는 $s_{12}\mapsto s_{6}$ 및 $r_{12}\mapsto r_{6}$ 로 주어집니다. 다음을 확인할 수 있습니다

$\ker\phi=\left\{1,r_{12}^{3}\right\}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$
(g)

아래 연습문제.

연습문제 3.2.9.

임의의 $g\in G$ 를 고정하십시오. $n\mapsto g^{n}$ 으로 주어지는 준동형사상 $\mathbb{Z}\to G$ 가 있다고 합시다. 핵은 무엇입니까?

질문 3.2.10.

임의의 준동형사상 $\phi:G\to H$ 에 대해, 상 $\phi^{\text{img}}(G)$ 가 $H$ 의 부분군임을 보이십시오. 따라서 우리는 $\phi$ 가 전사인 경우에 특히 관심을 가질 것입니다.

3.3 잉여류와 잉여류로 나누기(모딩 아웃)

대표적인 예: $n$ 으로 모딩 아웃하기: $\mathbb{Z}/(n\cdot\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .

다음 몇 절은 다소 밀도가 높습니다. 이 설명이 여러분에게 잘 맞지 않는다면, [GOW11]를 시도해 보십시오.

$G$ 와 $Q$ 를 군이라 하고, 전사 준동형사상

\phi\colon G\twoheadrightarrow Q.

가 존재한다고 합시다. 다시 말해, $\phi$ 가 단사라면 $\phi\colon G\to Q$ 는 전단사이고, 따라서 동형사상입니다. 하지만 우리가 그렇게 운이 좋지 않아서 $\ker\phi$ 가 $\{1_{G}\}$ 보다 크다고 합시다. 더 일반적인 준동형사상의 올바른 해석은 무엇입니까?

$\phi\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}$ 이 “ $100$ 으로 나눈 나머지를 취하는” 특수한 경우를 살펴봅시다. 우리는 이미 이 사상의 핵이

\ker\phi=100\mathbb{Z}=\left\{\dots,-200,-100,0,100,200,\dots\right\}.

이제 $\ker\phi$ 가 $G$ 의 부분군임을 상기하십시오. 이것이 의미하는 바는 $\phi$ 가 $\mathbb{Z}$ 의 부분군 $100\mathbb{Z}$ 에 대해 무관심하다는 것입니다:

\phi(15)=\phi(2000+15)=\phi(-300+15)=\phi(700+15)=\dots.

따라서 $\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}$ 은 우리가 ” $100$ 으로 모딩 아웃”할 때 얻는 것입니다. 멋지지 않습니까.

다시 말해, $G$ 를 군이라 하고 $\phi\colon G\twoheadrightarrow Q$ 를 핵이 $N\subseteq G$ 인 전사 준동형사상이라 합시다.

$Q$ 는 $G$ 를 $N$ 으로 나눈 몫으로 생각해야 한다고 주장합니다.

이를 형식화하기 위해, $Q$ 를 참조하지 않고 오직 $G$ 와 $N$ 만으로 소위 몫군(quotient group) $G/N$ 을 정의할 것이며, 이는 $Q$ 와 자연스럽게 동형사상을 이룰 것입니다.

동기 부여를 위해, $\phi$ 와 $G$ 만을 사용하여 $Q$ 의 구체적인 서술을 제시해 봅시다. 앞의 예를 계속 사용하여, $N=100\mathbb{Z}$ 를 $G$ 의 부분군으로 둡니다. 다음 집합들을 생각해 봅시다

	$\displaystyle N$	$\displaystyle=\left\{\dots,-200,-100,0,100,200,\dots\right\}$
	$\displaystyle 1+N$	$\displaystyle=\left\{\dots,-199,-99,1,101,201,\dots\right\}$
	$\displaystyle 2+N$	$\displaystyle=\left\{\dots,-198,-98,2,102,202,\dots\right\}$
		$\displaystyle\vdots$
	$\displaystyle 99+N$	$\displaystyle=\left\{\dots,-101,-1,99,199,299,\dots\right\}.$

각 집합의 원소들은 $\phi$ 를 적용했을 때 모두 같은 상을 가지며, 나아가 서로 다른 집합에 속한 임의의 두 원소는 서로 다른 상을 가집니다. 그러면 핵심 아이디어는 다음을 알아차리는 것입니다

$Q$ 를 위 집합들을 원소로 갖는 군으로 생각할 수 있습니다.

따라서 $\phi$ 가 주어지면, $\phi(x)=\phi(y)$ 일 때 $x\sim_{N}y$ 라고 함으로써 $G$ 위에 동치 관계 $\sim_{N}$ 을 정의합니다. 이 $\sim_{N}$ 은 $G$ 를 몇 개의 동치류로 나누는데, 이 동치류들은 $G$ 안에서 위에서와 같이 $Q$ 와 자명하게 전단사 대응됩니다. 이제 우리는 이 동치류들을 매우 명시적으로 쓸 수 있음을 주장합니다.

연습문제 3.3.1.

$x\sim_{N}y$ 인 것과 어떤 $n\in N$ 에 대해 $x=yn$ 인 것이 동치임을 보이십시오 (mod $100$ 예시에서, 이는 두 수가 “ $100$ 의 어떤 배수만큼 차이가 난다”는 것을 의미합니다). 따라서 임의의 $g\in G$ 에 대해, $g$ 를 포함하는 $\sim_{N}$ 의 동치류는 다음과 같이 명시적으로 주어집니다

gN\coloneqq\left\{gn\mid n\in N\right\}.

지금 우리가 마주하고 있는 유형의 집합들을 나타내는 용어가 있습니다.

정의 3.3.2.

$H$ 를 (반드시 어떤 준동형사상의 핵일 필요는 없는) $G$ 의 임의의 부분군이라 합시다. $g H$ 형태의 집합을 $H$ 의 좌잉여류라고 부릅니다.

비고 3.3.3.

표기법이 그렇게 보이지 않을 수도 있지만, $g_{1}\neq g_{2}$ 이더라도 $g_{1}N$ 이 $g_{2}N$ 과 같은 경우가 흔하다는 점을 기억하십시오. “mod $100$ ” 예시에서는 $3+N=103+N$ 입니다. 다시 말해, 이 잉여류들은 집합입니다.

이는 만약 제가 $g$ 가 무엇인지 알려주지 않고 “ $g H$ 를 하나의 잉여류라 하자”라고 쓴다면, 잉여류 자체만 보고서는 제가 어떤 $g$ 를 선택했는지 알아낼 수 없다는 것을 의미합니다. 만약 이 말을 믿지 못하겠다면, 제가 의미하는 바의 예를 들어 보겠습니다

x+100\mathbb{Z}=\left\{\dots,-97,3,103,203,\dots\right\}\implies x={?}.

제가 $x=3$ 을 골랐다고 생각할 이유는 없습니다. (실제로 저는 $x=-13597$ 을 골랐습니다.)

비고 3.3.4.

잉여류 $g_{1}H$ 와 $g_{2}H$ 가 주어졌을 때, 사상 $x\mapsto g_{2}g_{1}^{-1}x$ 가 이 둘 사이의 전단사임을 확인할 수 있습니다. 따라서 실제로 모든 잉여류는 같은 크기를 가집니다.

그러니까, 간단히 말하면,

군 $Q$ 의 원소들은 $N$ 의 좌잉여류들과 자연스럽게 동일시됩니다.

실제로는, 사람들이 여전히 $Q$ 의 원소를 하나의 점으로 그리는 것을 선호하는 경우가 많습니다 (예를 들어 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 를 $\big{\{}\{\dots,-2,0,2,\dots\},\{\dots,-1,1,3,\dots\}\big{\}}$ 보다는 $\{0,1\}$ 로 생각하는 것이 더 쉽습니다). 이런 그림이 마음에 든다면, $G$ 를 (잉여류인) 높이가 모두 같은 여러 개의 올(fiber)들로 그린 다음, 이를 $Q$ 위로 “뭉개는(collapse)” 방식으로 나타낼 수 있습니다.

이제 이 작업을 마쳤으니, 앞서 언급했던 몫군에 대한 내재적인(intrinsic) 정의를 제시할 수 있습니다.

정의 3.3.5.

$G$ 의 부분군 $N$ 이 어떤 준동형사상의 핵일 때 이를 정규라고 부릅니다. 이는 $N\trianglelefteq G$ 로 씁니다.

정의 3.3.6.

$N\trianglelefteq G$ 라고 합시다. 그러면 $G/N$ 으로 표기하고 (“ $G$ mod $N$ ”이라고 읽는) 몫군은 다음과 같이 정의되는 군입니다.

•

$G/N$ 의 원소들은 $N$ 의 좌잉여류들이 될 것입니다.
•

$G/N$ 에서 두 잉여류 $C_{1}$ 과 $C_{2}$ 의 곱을 정의하고자 합니다. 잉여류들이 $Q$ 의 원소들과 전단사 관계에 있음을 기억하십시오. 따라서 $q_{1}$ 을 잉여류 $C_{1}$ 에 대응하는 값이라 하고, $q_{2}$ 를 $C_{2}$ 에 대응하는 값이라 합시다. 그러면 그 곱을 $q_{1}q_{2}$ 에 대응하는 잉여류로 취할 수 있습니다.

매우 중요한 점으로, 이를 잉여류의 대표원(representative)을 이용하여 정의할 수도 있습니다. $g_{1}\in C_{1}$ 이고 $g_{2}\in C_{2}$ 라 하면, $C_{1}=g_{1}N$ 이고 $C_{2}=g_{2}N$ 입니다. 그러면 $C_{1}\cdot C_{2}$ 는 $g_{1}g_{2}$ 를 포함하는 잉여류가 되어야 합니다. 이는 $\phi(g_{1}g_{2})=\phi(g_{1})\phi(g_{2})=q_{1}q_{2}$ 이므로 위의 정의와 동일합니다. 즉, 우리가 한 일은 곱을 $H$ 의 값이 아니라 $G$ 의 원소들을 이용하여 정의한 것뿐입니다.

$g N$ 표기법을 사용하고 비고 3.3.3을 염두에 두면, 이를 훨씬 더 간결하게 쓸 수 있습니다

$(g_{1}N)\cdot(g_{2}N)\coloneqq(g_{1}g_{2})N.$

그리고 이제 정수를 $n$ 으로 나눈 나머지들의 집합이 왜 흔히 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 로 표기되는지 아셨을 것입니다!

질문 3.3.7.

위 정의를 잠시 곱씹어 보십시오.

우리가 구성한 방식 때문에, 결과로 나오는 군 $G/N$ 은 $Q$ 와 동형입니다. 어떤 의미에서 우리는 $G/N$ 을 “모든 $n\in N$ 에 대해 $n=1$ 이라는 조건을 준 $G$ ”로 생각합니다.

3.4 (선택) 라그랑주 정리의 증명

여담으로, 잉여류의 언어를 이용하면 이제 일반적인 경우에 대해 라그랑주 정리를 보일 수 있습니다.

정리 3.4.1 (라그랑주 정리).

$G$ 를 유한군이라 하고, $H$ 를 임의의 부분군이라 합시다. 그러면 $\left\lvert H\right\rvert$ 는 $\left\lvert G\right\rvert$ 를 나눕니다.

증명은 매우 간단합니다: $H$ 의 잉여류들은 모두 크기가 같으며 $G$ 의 분할을 이룬다는 점에 주목하십시오 ( $H$ 가 정규가 아니더라도 성립합니다). 따라서 잉여류의 개수를 $n$ 이라 하면, $n\cdot\left\lvert H\right\rvert=\left\lvert G\right\rvert$ 입니다.

질문 3.4.2.

$H=\left<x\right>\subseteq G$ 로 놓아 $x^{\left\lvert G\right\rvert}=1$ 임을 결론지으십시오.

비고 3.4.3.

이 시점에서 언급해 둘 것은, 일반적으로 $G$ 가 유한군이고 $N$ 이 정규라면 $|G/N|=|G|/|N|$ 이라는 사실입니다.

3.5 준동형사상 없애기

대표적인 예: 다시 한번, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 입니다.

앞서 제시한 $G/N$ 의 마지막 정의를 살펴봅시다. 요약하면 다음과 같습니다:

•

$G/N$ 의 원소는 잉여류 $g N$ 이며, 이는 관계 $\sim_{N}$ 의 동치류로 생각할 수 있습니다 (여기서 $g_{1}\sim_{N}g_{2}$ 는 어떤 $n\in N$ 에 대해 $g_{1}=g_{2}n$ 일 때 성립합니다).
•

잉여류 $g_{1}N$ 과 $g_{2}N$ 이 주어졌을 때, 군 연산은 다음과 같습니다

$g_{1}N\cdot g_{2}N\coloneqq(g_{1}g_{2})N.$

질문: 실제로 $N$ 이 정규라는 사실을 어디에서 사용합니까? 이 정의 어디에서도 $\phi$ 나 $Q$ 에 대해 이야기하지 않았습니다.

답은 비고 3.3.3에 있습니다. 군 연산은 두 개의 잉여류를 입력받으므로, $g_{1}$ 과 $g_{2}$ 가 무엇인지는 알지 못합니다. 하지만 그 이면에서, 정규 조건은 군 연산이 원하는 어떤 $g_{1}$ 과 $g_{2}$ 를 선택하더라도 결국 같은 잉여류에 도달함을 보장합니다. 만약 이 성질이 없었다면, 두 잉여류 $C_{1}$ 과 $C_{2}$ 의 곱을 정의하기가 어려웠을 것인데, 왜냐하면 $g_{1}\in C_{1}$ 과 $g_{2}\in C_{2}$ 중 어떤 것을 선택했는지에 따라 결과가 달라질 수 있기 때문입니다. $N$ 이 준동형사상으로부터 나왔다는 사실은, 원하는 잉여류의 대표원 $g_{1}$ 과 $g_{2}$ 를 아무렇게나 선택할 수 있음을 의미했는데, 왜냐하면 그것들은 모두 같은 $\phi$ -값을 가졌기 때문입니다.

우리는 $\phi$ 를 전혀 참조하지 않고도 이것이 성립하도록 강제하는 조건을 원합니다. $\phi\colon G\to K$ 가 $H=\ker\phi$ 를 만족하는 군의 준동형사상이라 합시다. $H$ 가 군이라는 사실 외에도, 우리는 “당연한” 성질을 얻을 수 있습니다:

질문 3.5.1.

$h\in H$ , $g\in G$ 이면 $ghg^{-1}\in H$ 임을 보이십시오. ( $\phi(ghg^{-1})=1_{K}$ 임을 확인하십시오.)

예제 3.5.2 (정규가 아닌 부분군의 예).

$D_{12}=\left<r,s\mid r^{6}=s^{2}=1,rs=sr^{-1}\right>$ 라 합시다. 위수가 2인 부분군 $H=\{1,s\}$ 를 생각하면

rsr^{-1}=r(sr^{-1})=r(rs)=r^{2}s\notin H

임을 알 수 있습니다. 따라서 $H$ 는 정규가 아니며, 어떤 준동형사상의 핵도 될 수 없습니다.

뭐, 당연한 얘기죠 – 그래서 어쨌다는 걸까요? 놀랍게도 이것이 바로 우리가 원하는 충분 조건임이 밝혀집니다. 구체적으로, 이 조건은 우리가 원했던 멋진 “잉여류 곱셈”이 잘 작동하도록 만듭니다.

비고 3.5.3 (수학 경시대회 애호가를 위해).

이 우연의 일치는 IMO의 함수 방정식과 정말 비슷합니다. 정규 부분군 $H$ 가 $ghg^{-1}\in H$ 를 만족한다는 것은 누구나 알고 있습니다; 놀라운 점은 겉보기에 더 약해 보이는 후자의 조건으로부터 $H$ 가 정규임을 유도할 수 있다는 것입니다.

따라서 우리는 $\phi$ 를 외부적으로 참조하지 않는, “정규” 부분군에 대한 새로운 판정 기준을 얻었습니다.

정리 3.5.4 (정규 부분군에 대한 대수적 조건).

$H$ 를 $G$ 의 부분군이라 합시다. 그러면 다음이 동치입니다:

•

$H\trianglelefteq G$ .
•

모든 $g\in G$ 와 $h\in H$ 에 대해, $ghg^{-1}\in H$ 입니다.

증명.

한쪽 방향은 이미 보였습니다.

반대 방향을 위해서는, 핵이 $H$ 인 준동형사상을 구성해야 합니다. 그래서 우리는 단순히 잉여류들의 집합으로 군 $G/H$ 를 정의합니다. 군의 연산을 부여하려면 다음을 확인해야 합니다.

주장 3.5.5.

$g_{1}^{\prime}\sim_{H}g_{1}$ 이고 $g_{2}^{\prime}\sim_{H}g_{2}$ 이면 $g_{1}^{\prime}g_{2}^{\prime}\sim_{H}g_{1}g_{2}$ 입니다.

증명.

지루한 대수적 조작입니다(다시 함수방정식 스타일입니다). $g_{1}^{\prime}=g_{1}h_{1}$ 이고 $g_{2}^{\prime}=g_{2}h_{2}$ 라 하면, $g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\sim_{H}g_{1}g_{2}$ 임을 보이고자 합니다. $H$ 가 그 성질을 가지므로, $g_{2}^{-1}h_{1}g_{2}$ 는 $H$ 의 어떤 원소이며, 이를 $h_{3}$ 라 합시다. 따라서 $h_{1}g_{2}=g_{2}h_{3}$ 이고, 좌변은 $g_{1}g_{2}(h_{3}h_{2})$ 가 되는데, $h_{3}h_{2}\in H$ 이므로 문제없습니다. ∎

이것이 정리되었으니 우리는 그냥 (정규 부분군의) 두 코셋의 곱을

(g_{1}H)\cdot(g_{2}H)=(g_{1}g_{2})H.

로 정의할 수 있습니다.

따라서 위의 주장은 이 곱셈이 잘 정의됨을 보여줍니다(이 검증이 정리의 ”핵심 내용”입니다). 그러므로 $G/H$ 는 실제로 군입니다! 또한 $g\mapsto gH$ 에 의해 정의되는, 명백한 ”사영” 준동형사상 $G\to G/H$ (핵 $H$ 를 가지는)가 존재합니다. ∎

예제 3.5.6 (곱군에서 몫을 취하기).

다시 곱군 $G\times H$ 를 생각해 봅시다. 앞서 우리는 부분군

G^{\prime}=\left\{(g,1_{H})\mid g\in G\right\}\cong G.

$G^{\prime}\trianglelefteq G\times H$ 임을 쉽게 알 수 있습니다. (쉬운 계산입니다.)

게다가, 다음을 확인할 수 있습니다

(G\times H)/(G^{\prime})\cong H.

실제로, 모든 $g\in G$ 와 $h\in H$ 에 대해 $(g,h)\sim_{G^{\prime}}(1_{G},h)$ 입니다.

예제 3.5.7 (몫과 곱은 반드시 상쇄되지는 않습니다).

$(G/H)\times H\cong G$ 가 반드시 성립하는 것은 아닙니다. 예를 들어, $G=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 와 정규 부분군 $H=\{0,2\}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 를 생각해 봅시다. 그러면 $G/H\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 이지만, $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\not\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb% {Z}$ 입니다. (각주: 이러한 ”상쇄”에 대한 정확한 조건은 슈어-잔젠하우스 보조정리라 불립니다.)

예제 3.5.8 (또 다른 명시적 계산).

r\mapsto\overline{2},\quad s\mapsto\overline{2}

로 정의되는 사상 $\phi:D_{8}\to\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 를 생각합시다. 이 사상의 핵은 $N=\{1,r^{2},sr,sr^{3}\}$ 입니다.

$D_{8}$ 의 모든 원소에 대해 빠르게 계산해 보면 다음을 얻을 수 있습니다

\phi(1)=\phi(r^{2})=\phi(sr)=\phi(sr^{3})=\overline{0}\text{그리고}\phi(r)=\phi(r% ^{3})=\phi(s)=\phi(sr^{2})=\overline{2}.

질문 3.5.9.

$G$ 가 아벨 군이라고 합시다. $G$ 의 임의의 부분군이 정규 부분군이 된다는 것이 왜 성립합니까?

마지막으로 생각해 볼 거리입니다: $n$ 개의 생성원을 사용하는 군 $G$ 의 군 표시가 있다고 합시다. 이를 $F_{n}/N$ 형태의 몫으로 쓸 수 있습니까? 여기서 $N$ 은 $F_{n}$ 의 정규 부분군입니다.

3.6 (여담) 첫 번째 동형사상 정리

다른 문헌들이 보통 무엇을 말하는지에 대해 간단히 언급하겠습니다.

대부분의 교과서는 실제로 $ghg^{-1}\in H$ 성질을 이용하여 정규를 정의합니다. 그런 다음 위에서 제가 한 것처럼 잉여류 정의를 사용하여 정규인 $H$ 에 대해 $G/H$ 를 정의합니다

(g_{1}H)\cdot(g_{2}H)=g_{1}g_{2}H.

(제가 한 것처럼) 순수하게 대수적인 조작을 사용하면 이것이 잘 정의되며, 이제 이 군 $G/H$ 인지 뭔지를 갖게 됩니다. 근저에 있는 준동형사상은 전혀 언급되지 않거나 그저 지나가듯 언급될 뿐입니다.

저는 이것이 대단히 어리석다고 생각합니다. 정규 조건은 마치 허공에서 튀어나온 것처럼 보이고 아무도 무슨 일이 벌어지고 있는지 전혀 알지 못하는데, 왜냐하면 정규 부분군이 실제로 어떤 모습이어야 하는지 아무도 감을 잡지 못하기 때문입니다.

다른 문헌들은 소위 제1 동형사상 정리도 함께 써두기를 좋아합니다.²²2제2, 제3 동형사상 정리도 있습니다. 하지만 그것들을 배운 지 4년이 지난 지금도 저는 여전히 그것들이 무엇인지 기억하지 못합니다. 그러니 별로 중요하지 않았던 모양이라고 짐작합니다. 이는 다음과 같습니다.

정리 3.6.1 (제1 동형사상 정리).

$\phi\colon G\to H$ 를 준동형사상이라 합시다. 그러면 $G/\ker\phi$ 는 $\phi^{\text{img}}(G)$ 와 동형입니다.

제가 보기에 이는 같은 발상을 더 서투르게 서술하는 방식일 뿐입니다.

이 주장이 가진 거의 유일한 장점은, $\phi$ 가 단사일 경우 상 $\phi^{\text{img}}(G)$ 가 군 $H$ 안에 있는 $G$ 의 동형 복사본이라는 것입니다. (직접 확인해 보십시오!) 이는 우리가 수학의 다른 분야에서도 종종 보게 될 패턴입니다: 단사인 구조 보존 사상을 가질 때마다, 종종 이 사상의 상은 $G$ 의 어떤 ”복사본”이 됩니다. (여기서 ”구조”란 군의 곱셈을 가리키지만, 나중에 ”대상의 종류”에 대한 다른 예시들도 좀 더 보게 될 것입니다!)

그런 의미에서 단사 준동형사상 $\phi\colon G\hookrightarrow H$ 는 $G$ 를 $H$ 안으로 매장하는 것입니다.

3.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 3A (MIT 18.701).

\phi(g)=g^{2}

로 정의된 사상 $\phi\colon G\to G$ 가 준동형사상이 되는 모든 군 $G$ 를 구하십시오.

힌트. 풀어써 보십시오: $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$ .

풀이. 아벨 군: $abab=a^{2}b^{2}\iff ab=ba$ .

문제 3B.

이면군 $G=D_{10}$ 을 생각해 봅시다.

(a)

$H=\left<r\right>$ 는 $G$ 의 정규 부분군입니까? 만약 그렇다면, 동형사상까지 $G/H$ 를 계산하십시오.
(b)

$H=\left<s\right>$ 는 $G$ 의 정규 부분군입니까? 만약 그렇다면, 동형사상까지 $G/H$ 를 계산하십시오.

힌트. 그렇습니다, 아닙니다.

풀이. (a)에 대해서는 그렇습니다: 이는 $ghg^{-1}$ 정의로부터 직접 확인할 수 있습니다. 예를 들어 (a)에 대해서는 $(r^{a}s)r^{n}(r^{a}s)^{-1}=r^{-n}\in H$ 를 계산하는 것으로 충분합니다. 몫군은 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 입니다.

예제 3.5.2를 따르면 (b)에 대한 답은 아닙니다입니다.

문제 3C.

$S_{4}$ 는 위수 $3$ 인 정규 부분군을 갖습니까?

힌트. 아닙니다.

풀이. 위수 $3$ 인 부분군은 $3$ 이 소수이므로 위수 $3$ 인 원소에 의해 생성되어야 합니다. 따라서 (적절히 원소들의 이름을 바꾸어) 일반성을 잃지 않고 $H=\left<(1\;2\;3)\right>$ 이라고 가정할 수 있습니다. 그런데 $g=(3\;4)$ 라 하면, $gHg^{-1}\neq H$ 임을 확인할 수 있습니다.

문제 3D.

$G$ 와 $H$ 를 유한군이라 하고, $\left\lvert G\right\rvert=1000$ 이고 $\left\lvert H\right\rvert=999$ 라 합시다. 준동형사상 $G\to H$ 는 반드시 자명함을 보이십시오.

힌트. $\gcd(1000,999)=1$ .

풀이. $\phi\colon G\to H$ 를 준동형사상이라 합시다. 그러면 $G/\ker\phi$ 는 $H$ 의 어떤 부분군과 동형입니다. 전자의 위수는 $1000$ 을 나누고, 후자의 위수는 $999$ 를 나눕니다. 이는 $G/\ker\phi=\{1\}$ 인 경우에만 일어날 수 있으므로 $\ker\phi=G$ 입니다.

문제 3E.

$\mathbb{C}^{\times}$ 가 곱셈에 대한 0이 아닌 복소수들을 나타낸다고 합시다. $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 가 $D_{10}$ 의 부분군임에도 불구하고, $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\to\mathbb{C}^{\times}$ 인 준동형사상은 다섯 개 존재하지만 $D_{10}\to\mathbb{C}^{\times}$ 인 준동형사상은 두 개뿐임을 보이십시오.

문제 3F.

^†^†margin:

$G$ 의 모든 부분군이 정규가 되는 비아벨 군 $G$ 를 찾으십시오. (이러한 군들은 해밀턴 군이라 불립니다.)

힌트. 위수 $8$ 인 예를 찾으십시오.

풀이. 사원수군입니다.

문제 3G (PRIMES 입학 시험, 2018).

^†^†margin:

$G$ 를 다음과 같은 표시(presentation)로 주어진 군이라 합시다.

G=\left<a,b,c\mid ab=c^{2}a^{4},\;bc=ca^{6},\;ac=ca^{8},\;c^{2018}=b^{2019}% \right>.

$G$ 의 위수를 구하십시오.

힌트. $G$ 가 위수 $18$ 인 이면체군임을 보이려고 시도해 봅시다. 여기에는 군론적 내용이 많지 않으며 — 단지 계산일 뿐입니다.

풀이. 답은 $|G|=18$ 입니다.

먼저, 귀납법에 의해 다음이 성립함을 관찰합니다

$a^{n}c=ca^{8n}$

모든 $n\geq 1$ 에 대해. 이제 다음을 주목합니다

$\displaystyle a(bc)$ $\displaystyle=(ab)c$

$\displaystyle a\cdot ca^{6}$ $\displaystyle=c^{2}a^{4}\cdot c$

$\displaystyle ca^{8}\cdot a^{6}$ $\displaystyle=c^{2}a^{4}\cdot c$

$\displaystyle a^{14}$ $\displaystyle=c(a^{4}c)=c^{2}a^{32}.$

따라서 $c^{2}=a^{-18}$ 임을 결론지을 수 있습니다. 그러면 $ab=c^{2}a^{4}\implies b=a^{-15}$ 입니다.

그 경우, $c^{2018}=b^{2019}$ 이므로 $1=a^{-1009\cdot 18+2019\cdot 15}=a^{12123}$ 임을 결론지을 수 있습니다. 마지막으로,

$\displaystyle bc$ $\displaystyle=ca^{6}$

$\displaystyle a^{-15}c$ $\displaystyle=ca^{6}$

$\displaystyle a^{-15}c^{2}$ $\displaystyle=c(a^{6}c)=c^{2}a^{48}$

$\displaystyle a^{-33}$ $\displaystyle=a^{30}$

$\displaystyle\implies a^{63}$ $\displaystyle=1.$

$\gcd(12123,63)=9$ 이므로 $a^{9}=1$ 을 얻고, 따라서 마지막으로 $c^{2}=1$ 입니다. 그러므로 위의 표시(presentation)는 다음과 같이 단순화됩니다

$G=\left<a,c\mid a^{9}=c^{2}=1,\;ac=ca^{-1}\right>$

이는 위수 $18$ 의 이면체군의 표시입니다. 이로써 증명이 완료됩니다.

문제 3H (동음이의어군).

^†^†margin:

(영어의) 동음이의어군은 $26$ 개의 생성원 $a$ , $b$ , …, $z$ 를 가지며, 발음이 같은 모든 영어 단어 쌍에 대해 하나의 관계를 갖는 군입니다. 예를 들어 $knight=night$ 입니다 (따라서 $k=1$ ). 이 군이 자명군임을 증명하십시오.

힌트. 영어 동음이의어 목록을 하나 구해 보십시오. 너무 애쓰지는 마십시오. 문자 $v$ 가 가장 까다로운데, 아마 $felt=veldt$ 일 것입니다.

풀이. ”homophone group” 검색으로 많은 풀이를 찾을 수 있습니다. 그중 하나는 https://math.stackexchange.com/q/843966/229197입니다.

	$\displaystyle a(bc)$	$\displaystyle=(ab)c$
	$\displaystyle a\cdot ca^{6}$	$\displaystyle=c^{2}a^{4}\cdot c$
	$\displaystyle ca^{8}\cdot a^{6}$	$\displaystyle=c^{2}a^{4}\cdot c$
	$\displaystyle a^{14}$	$\displaystyle=c(a^{4}c)=c^{2}a^{32}.$

	$\displaystyle bc$	$\displaystyle=ca^{6}$
	$\displaystyle a^{-15}c$	$\displaystyle=ca^{6}$
	$\displaystyle a^{-15}c^{2}$	$\displaystyle=c(a^{6}c)=c^{2}a^{48}$
	$\displaystyle a^{-33}$	$\displaystyle=a^{30}$
	$\displaystyle\implies a^{63}$	$\displaystyle=1.$

장 3 준동형사상과 몫군

3.1 생성원과 군 표시

정의 3.1.1.

연습문제 3.1.2.

예제 3.1.3 (ℤ는 무한 순환군입니다).

예제 3.1.4 (이면체군).

예제 3.1.5 (클라인 사원군).

예제 3.1.6 (자유군).

질문 3.1.7.

표기의 남용 3.1.8.

예제 3.1.9 (표시(presentation)는 매우 다르게 보일 수 있습니다).

3.2 준동형사상

정의 3.2.1.

예제 3.2.2 (준동형사상의 예시).

연습문제 3.2.3.

사실 3.2.4.

증명.

정의 3.2.5.

질문 3.2.6.

명제 3.2.7 (핵이 단사성을 결정함).

예제 3.2.8 (핵의 예시들).

연습문제 3.2.9.

질문 3.2.10.

3.3 잉여류와 잉여류로 나누기(모딩 아웃)

연습문제 3.3.1.

정의 3.3.2.

비고 3.3.3.

비고 3.3.4.

정의 3.3.5.

정의 3.3.6.

질문 3.3.7.

3.4 (선택) 라그랑주 정리의 증명

정리 3.4.1 (라그랑주 정리).

질문 3.4.2.

비고 3.4.3.

3.5 준동형사상 없애기

질문 3.5.1.

예제 3.5.2 (정규가 아닌 부분군의 예).

비고 3.5.3 (수학 경시대회 애호가를 위해).

정리 3.5.4 (정규 부분군에 대한 대수적 조건).

증명.

주장 3.5.5.

증명.

예제 3.5.6 (곱군에서 몫을 취하기).

예제 3.5.7 (몫과 곱은 반드시 상쇄되지는 않습니다).

예제 3.5.8 (또 다른 명시적 계산).

질문 3.5.9.

3.6 (여담) 첫 번째 동형사상 정리

정리 3.6.1 (제1 동형사상 정리).

3.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 3A (MIT 18.701).

문제 3B.

문제 3C.

문제 3D.

문제 3E.

문제 3F.

문제 3G (PRIMES 입학 시험, 2018).

문제 3H (동음이의어군).

예제 3.1.3 ( $\mathbb{Z}$ 는 무한 순환군입니다).