장 3 준동형사상과 몫군

3.1 생성원과 군의 표시

대표적인 예: $D_{2n}=\left<r,s\mid r^{n}=s^{2}=1,rs=sr^{-1}\right>$

$G$ 를 군이라고 합시다. 어떤 원소 $x\in G$ 에 대하여 다음 부분군을 생각할 수 있었음을 상기하십시오.

\left\{\dots,x^{-2},x^{-1},1,x,x^{2},\dots\right\}

이것은 $G$ 의 부분군입니다. 우리가 한 일을 좀 더 그림처럼 표현하면 다음과 같습니다. $x$ 를 상자에 넣고, 단단히 봉한 다음, 힘차게 흔드십시오. 원소 $x$ 하나만으로도 멋진 폭발이 일어나 위의 부분군이 만들어집니다.

상자에 두 원소 $x$ , $y$ 를 넣으면 어떻게 됩니까? 만들어지는 원소 중에는 다음과 같은 것들이 있습니다.

xyxyx,\quad x^{2}y^{9}x^{-5}y^{3},\quad y^{-2015},\quad\dots

본질적으로 $x$ , $y$ , $x^{-1}$ , $y^{-1}$ 의 임의의 유한 곱을 만들 수 있습니다. 이로부터 다음과 같이 정의하게 됩니다.

정의 3.1.1.

$S$ 를 $G$ 의 부분집합이라고 합시다. $S$ 로 생성된 부분군은 $\left<S\right>$ 로 나타내며, $S$ 의 원소들(과 그 역원들)의 유한 곱으로 쓸 수 있는 원소들의 집합입니다. $\left<S\right>=G$ 이면 $S$ 의 원소들이 함께 $G$ 전체를 만들어 내므로, $S$ 를 $G$ 의 생성원의 집합이라고 합니다.

연습문제 3.1.2.

$G$ 가 유한군이면 “과 그 역원들”이라는 조건이 왜 필요하지 않습니까? (늘 그렇듯이 라그랑주 정리를 가정하십시오.)

예제 3.1.3 ( $\mathbb{Z}$ 는 무한 순환군입니다).

$1$ 을 $\mathbb{Z}=(\mathbb{Z},+)$ 의 원소로 생각합시다. $\left<1\right>=\mathbb{Z}$ 임을 알 수 있으며, 이는 $\{1\}$ 이 $\mathbb{Z}$ 를 생성한다는 뜻입니다. $1$ 의 역원인 $-1$ 도 허용된다는 점이 중요합니다. 모든 정수를 $1$ 과 $-1$ 의 합으로 쓰려면 $-1$ 이 필요하기 때문입니다.

이로부터 군을 간결하게 표현하는 방법에 대한 아이디어를 얻을 수 있습니다. 군의 생성원 목록을 그냥 적어 두면 어떻겠습니까? 예를 들어 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\mathbb{Z}\cong\left<a\right>

이는 $\mathbb{Z}$ 가 원소 하나로 생성된 군일 뿐이라는 뜻입니다.

한 가지 문제가 있습니다. 생성원은 보통 특정한 성질을 만족합니다. 예를 들어 $\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}$ 을 생각합시다. 이 군도 원소 하나 $x$ 로 생성되지만, 이 $x$ 는 $x^{100}=1$ 이라는 추가 성질을 가집니다. 이로부터 다음과 같이 쓰게 됩니다.

\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}=\left<x\mid x^{100}=1\right>.

이 이야기가 어디로 향하는지 분명히 아실 것입니다. 생성원의 집합과 생성원 사이의 관계를 지정하고, 관계를 이용하여 한 원소에서 다른 원소로 갈 수 있을 때, 그리고 그때에만 두 원소가 같다고 하면 됩니다. 이러한 표현을 적절하게도 군의 표시라고 부릅니다.

예제 3.1.4 (정이면체군).

위수가 $2n$ 인 정이면체군은 다음과 같은 표시를 가집니다.

D_{2n}=\left<r,s\mid r^{n}=s^{2}=1,rs=sr^{-1}\right>.

따라서 $D_{2n}$ 의 각 원소는 $r^{\alpha}$ 또는 $sr^{\alpha}$ 꼴로 유일하게 쓸 수 있습니다. 여기서 $\alpha=0,1,\dots,n-1$ 입니다.

예제 3.1.5 (클라인 4원군).

$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 와 동형인 클라인 4원군은 다음 표시로 주어집니다.

\left<a,b\mid a^{2}=b^{2}=1,ab=ba\right>.

예제 3.1.6 (자유군).

$n$ 개의 원소 위의 자유군은 표시가 $n$ 개의 생성원을 가지고 관계는 전혀 없는 군입니다. 이를 $F_{n}$ 으로 나타내므로

F_{n}=\left<x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right>.

다시 말해 $F_{2}=\left<a,b\right>$ 는 $a$ , $b$ , $a^{-1}$ , $b^{-1}$ 를 유한 번 이어 붙여 만든 문자열들의 집합입니다.

질문 3.1.7.

$F_{1}\cong\mathbb{Z}$ 임에 주목하십시오.

표기의 남용 3.1.8.

안타깝게도 “ $a$ 와 $b$ 로 생성된 부분군”이 자유군 $\left<a,b\right>$ 와 정확히 같은 표기를 쓴다는 것을 눈치채셨을 수도 있습니다. 어느 쪽을 뜻하는지는 문맥에 따라 분명히 하도록 하겠습니다.

표시는 군을 콤팩트하게 적을 수 있는 방법을 제공하므로 유용합니다. 하지만 몇 가지 단점도 있습니다.¹¹1사실, 표시에서 두 원소가 같은지 판정하는 것은 결정 불가능합니다. 심지어 표시로부터 군이 유한한지 판정하는 것조차 결정 불가능합니다.

예제 3.1.9 (표시는 매우 다르게 보일 수 있습니다).

같은 군이라도 매우 다른 표시를 가질 수 있습니다. 예를 들어 다음을 생각해 보십시오.

D_{2n}=\left<x,y\mid x^{2}=y^{2}=1,(xy)^{n}=1\right>.

(이것이 왜 동치인지 확인하려면 $x=s$ , $y=rs$ 로 놓으십시오.)

3.2 준동형사상

대표적인 예: “ $100$ 으로 나눈 나머지를 취하는” 사상 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}$ .

군들은 어떻게 서로 소통할 수 있습니까?

두 군 사이에 동형사상을 쓸 수 있으면 두 군은 “같습니다”. 또한 앞에서 보았듯이, 두 거리 공간 사이에 위상동형사상을 쓸 수 있으면 두 거리 공간은 “같습니다”. 그렇다면 연속 사상에 해당하는 군의 개념은 무엇입니까? 단순히 “전단사” 조건을 없애면 됩니다.

정의 3.2.1.

$G=(G,\star)$ 와 $H=(H,\ast)$ 를 군이라고 합시다. 군 준동형사상이란 임의의 $g_{1},g_{2}\in G$ 에 대하여 다음을 만족하는 사상 $\phi\colon G\to H$ 입니다.

\phi(g_{1}\star g_{2})=\phi(g_{1})\ast\phi(g_{2}).

(지난 장의 “위상동형사상”(homeomorphism)과 혼동하지 마십시오. 철자에 주의하십시오.)

예제 3.2.2 (준동형사상의 예).

$G$ 와 $H$ 를 군이라고 합시다.

(a)

임의의 동형사상 $G\to H$ 는 준동형사상입니다. 특히 항등 사상 $G\to G$ 는 준동형사상입니다.
(b)

자명한 준동형사상 $G\to H$ 는 모든 원소를 $1_{H}$ 로 보냅니다.
(c)

각 정수를 $100$ 을 법으로 한 나머지로 보냄으로써 $\mathbb{Z}$ 에서 $\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}$ 으로 가는 준동형사상을 얻습니다.
(d)

$x\mapsto 10x$ 로 정의되는, $\mathbb{Z}$ 에서 자기 자신으로 가는 준동형사상이 존재하며, 이는 단사이지만 전사는 아닙니다.
(e)

“매장”을 통해 $S_{n}$ 에서 $S_{n+1}$ 로 가는 준동형사상이 존재합니다. $n+1$ 을 고정점으로 두기만 하면 $\{1,\dots,n\}$ 위의 모든 순열을 $\{1,\dots,n+1\}$ 위의 순열로 생각할 수 있습니다.
(f)

준동형사상 $\phi:D_{12}\to D_{6}$ 는 $s_{12}\mapsto s_{6}$ 과 $r_{12}\mapsto r_{6}$ 으로 주어집니다.
(g)

준동형사상 $\mathbb{Z}\to G$ 를 지정하는 것은 원소 $1\in\mathbb{Z}$ 의 상만을 지정하는 것과 같습니다. 왜 그렇습니까?

마지막 두 예는 어떤 사실을 보여 줍니다. $G$ 의 표시가 주어져 있다고 합시다. 준동형사상 $G\to H$ 를 지정하려면, 모든 관계식이 만족되도록 $G$ 의 각 생성원이 어디로 가는지만 지정하면 됩니다.

중요한 참고 사항: 동형사상은 “전단사 준동형사상”으로 생각하는 것이 올바릅니다. 명시적으로 말하면 다음과 같습니다.

연습문제 3.2.3.

$G\cong H$ 일 필요충분조건은 $\phi\circ\psi=\mathrm{id}_{H}$ 이고 $\psi\circ\phi=\mathrm{id}_{G}$ 를 만족하는 준동형사상 $\phi\colon G\to H$ 와 $\psi\colon H\to G$ 가 존재하는 것임을 보이십시오.

따라서 거리 공간의 위상동형사상의 정의와 군의 동형사상의 정의는 그리 다르지 않습니다.

준동형사상의 몇 가지 자명한 성질은 다음과 같습니다.

사실 3.2.4.

$\phi\colon G\to H$ 를 준동형사상이라고 합시다. 그러면 $\phi(1_{G})=1_{H}$ 이고 $\phi(g^{-1})=\phi(g)^{-1}$ 입니다.

증명.

지루한 증명이며, 원한다면 여러분이 직접 할 수 있으리라 확신합니다. ∎

이제 준동형사상의 매우 중요한 성질 하나를 정의하겠습니다.

정의 3.2.5.

준동형사상 $\phi\colon G\to H$ 의 핵은 다음과 같이 정의됩니다.

\ker\phi\coloneqq\left\{g\in G:\phi(g)=1_{H}\right\}.

이는 $G$ 의 부분군입니다(특히, 자명한 이유로 $1_{G}\in\ker\phi$ 입니다).

질문 3.2.6.

$\ker\phi$ 가 실제로 $G$ 의 부분군임을 확인하십시오.

또한 다음과 같은 중요한 사실이 있으며, 이 역시 독자가 직접 확인해 보기를 권합니다.

명제 3.2.7 (핵에 의한 단사성 판정).

사상 $\phi$ 가 단사일 필요충분조건은 $\ker\phi=\{1_{G}\}$ 입니다.

이를 구체적으로 살펴보기 위해, 앞서 든 각 예시의 핵을 계산해 봅시다.

예제 3.2.8 (핵의 예시).

(a)

동형사상은 단사이므로, 임의의 동형사상 $G\to H$ 의 핵은 자명합니다. 특히, 항등 사상 $G\to G$ 의 핵은 $\{1_{G}\}$ 입니다.
(b)

( $g\mapsto 1_{H}$ 로 주어지는) 자명한 준동형사상 $G\to H$ 의 핵은 $G$ 전체입니다.
(c)

$n\mapsto\overline{n}$ 으로 주어지는 준동형사상 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}$ 의 핵은 정확히 다음과 같습니다.

$100\mathbb{Z}=\{\dots,-200,-100,0,100,200,\dots\}.$
(d)

$x\mapsto 10x$ 로 주어지는 사상 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ 의 핵은 자명하며, $\{0\}$ 입니다.
(e)

“매장”을 통해 $S_{n}$ 에서 $S_{n+1}$ 로 가는 준동형사상이 있는데, 이 역시 단사이므로 핵이 자명합니다.
(f)

준동형사상 $\phi\colon D_{12}\to D_{6}$ 는 $s_{12}\mapsto s_{6}$ 과 $r_{12}\mapsto r_{6}$ 으로 주어집니다. 다음을 확인할 수 있습니다.

$\ker\phi=\left\{1,r_{12}^{3}\right\}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$
(g)

아래 연습 문제를 참고하십시오.

연습문제 3.2.9.

임의의 $g\in G$ 를 고정합시다. $n\mapsto g^{n}$ 으로 주어지는 준동형사상 $\mathbb{Z}\to G$ 가 있다고 합시다. 그 핵은 무엇입니까?

질문 3.2.10.

임의의 준동형사상 $\phi:G\to H$ 에 대해, 상 $\phi^{\text{img}}(G)$ 가 $H$ 의 부분군임을 보이십시오. 따라서 우리는 특히 $\phi$ 가 전사인 경우에 관심을 가질 것입니다.

3.3 잉여류와 몫 취하기

대표적인 예: $n$ 으로 몫 취하기: $\mathbb{Z}/(n\cdot\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .

다음 몇 절은 내용이 다소 빽빽합니다. 이 설명이 잘 와닿지 않는다면 [GOW11]를 참고하십시오.

$G$ 와 $Q$ 를 군이라 하고, 다음과 같은 전사 준동형사상이 존재한다고 합시다.

\phi\colon G\twoheadrightarrow Q.

다시 말해, $\phi$ 가 단사라면 $\phi\colon G\to Q$ 는 전단사이고, 따라서 동형사상입니다. 그러나 그렇게 운이 좋지 않아서 $\ker\phi$ 가 단순히 $\{1_{G}\}$ 보다 크다고 합시다. 더 일반적인 준동형사상은 어떻게 해석하는 것이 올바르겠습니까?

$\phi\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}$ 이 “ $100$ 으로 몫을 취하는” 사상인 특수한 경우를 살펴봅시다. 이 사상의 핵이 다음과 같다는 것은 이미 보았습니다.

\ker\phi=100\mathbb{Z}=\left\{\dots,-200,-100,0,100,200,\dots\right\}.

이제 $\ker\phi$ 가 $G$ 의 부분군이라는 사실을 떠올리십시오. 이것이 의미하는 바는 $\phi$ 는 $\mathbb{Z}$ 의 부분군 $100\mathbb{Z}$ 를 구별하지 않는다는 것입니다:

\phi(15)=\phi(2000+15)=\phi(-300+15)=\phi(700+15)=\dots.

따라서 $\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}$ 은 “ $100$ 으로 몫을 취할” 때 얻는 것입니다. 멋집니다.

다시 말해, $G$ 를 군이라 하고 $\phi\colon G\twoheadrightarrow Q$ 를 핵이 $N\subseteq G$ 인 전사 준동형사상이라 합시다.

$Q$ 는 $G$ 를 $N$ 으로 나눈 몫으로 생각해야 한다고 주장합니다.

이를 형식화하기 위해, ( $Q$ 를 참조하지 않고) 오직 $G$ 와 $N$ 만으로 이른바 몫군 $G/N$ 을 정의할 것이며, 이 군은 $Q$ 와 자연스럽게 동형일 것입니다.

동기를 부여하기 위해, $\phi$ 와 $G$ 만을 사용하여 $Q$ 를 구체적으로 묘사해 봅시다. 앞의 예를 이어서, $N=100\mathbb{Z}$ 를 $G$ 의 부분군이라고 합시다. 다음 집합들을 생각해 보십시오

	$\displaystyle N$	$\displaystyle=\left\{\dots,-200,-100,0,100,200,\dots\right\}$
	$\displaystyle 1+N$	$\displaystyle=\left\{\dots,-199,-99,1,101,201,\dots\right\}$
	$\displaystyle 2+N$	$\displaystyle=\left\{\dots,-198,-98,2,102,202,\dots\right\}$
		$\displaystyle\vdots$
	$\displaystyle 99+N$	$\displaystyle=\left\{\dots,-101,-1,99,199,299,\dots\right\}.$

각 집합의 원소들은 $\phi$ 를 적용했을 때 모두 같은 상을 가지며, 더 나아가 서로 다른 집합에 속한 임의의 두 원소는 서로 다른 상을 가집니다. 그러면 핵심 아이디어는 다음을 알아차리는 것입니다

$Q$ 를 위의 집합들을 원소로 가지는 군으로 생각할 수 있습니다.

따라서 $\phi$ 가 주어지면 $\phi(x)=\phi(y)$ 일 때 $x\sim_{N}y$ 라고 정하여 $G$ 위의 동치 관계 $\sim_{N}$ 을 정의합니다. 이 $\sim_{N}$ 은 $G$ 를 $G$ 안의 여러 동치류로 나누며, 이 동치류들은 앞에서 본 것처럼 $Q$ 와 자명하게 전단사로 대응합니다. 이제 이 동치류들을 매우 명시적으로 쓸 수 있다고 주장합니다.

연습문제 3.3.1.

$x\sim_{N}y$ 일 필요충분조건은 어떤 $n\in N$ 에 대해 $x=yn$ 인 것임을 보이십시오(mod $100$ 예에서 이는 두 수가 “ $100$ 의 어떤 배수만큼 차이 난다”는 뜻입니다). 따라서 임의의 $g\in G$ 에 대해, $g$ 를 포함하는 $\sim_{N}$ 의 동치류는 다음과 같이 명시적으로 주어집니다

gN\coloneqq\left\{gn\mid n\in N\right\}.

지금 우리가 마주치고 있는 종류의 집합을 나타내는 용어는 다음과 같습니다.

정의 3.3.2.

$H$ 를 $G$ 의 임의의 부분군이라고 합시다(반드시 어떤 준동형사상의 핵일 필요는 없습니다). $g H$ 꼴의 집합을 $H$ 의 왼쪽 잉여류라고 합니다.

비고 3.3.3.

표기법만 보면 그렇게 보이지 않을 수도 있지만, $g_{1}\neq g_{2}$ 이더라도 $g_{1}N$ 이 $g_{2}N$ 과 같은 경우가 많다는 점을 명심하십시오. “mod $100$ ” 예에서는 $3+N=103+N$ 입니다. 다시 말해, 이 잉여류들은 집합입니다.

이는 제가 $g$ 가 무엇인지 알려 주지 않고 “ $g H$ 를 잉여류라고 하자”라고 쓰면, 여러분은 잉여류 자체만으로는 제가 어떤 $g$ 를 골랐는지 알아낼 수 없다는 뜻입니다. 믿기지 않는다면, 제가 말하는 바의 예를 들어 보겠습니다:

x+100\mathbb{Z}=\left\{\dots,-97,3,103,203,\dots\right\}\implies x={?}.

제가 $x=3$ 을 골랐다고 생각할 이유는 전혀 없습니다. (실제로 저는 $x=-13597$ 을 골랐습니다.)

비고 3.3.4.

잉여류 $g_{1}H$ 와 $g_{2}H$ 가 주어지면, 사상 $x\mapsto g_{2}g_{1}^{-1}x$ 가 둘 사이의 전단사임을 확인할 수 있습니다. 따라서 실제로 모든 잉여류는 같은 기수를 가집니다.

그러므로 간단히 말하자면,

군 $Q$ 의 원소들은 $N$ 의 왼쪽 잉여류들과 자연스럽게 동일시됩니다.

실제로는 여전히 $Q$ 의 원소를 하나의 점으로 떠올리는 것을 선호하는 경우가 많습니다(예를 들어 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 를 $\big{\{}\{\dots,-2,0,2,\dots\},\{\dots,-1,1,3,\dots\}\big{\}}$ 보다는 $\{0,1\}$ 로 생각하는 편이 더 쉽습니다). 이 그림이 마음에 든다면, $G$ 를 높이가 모두 같은 올(잉여류)들의 묶음으로 그리고, 이 올들이 $Q$ 위로 “붕괴”된다고 그릴 수도 있습니다.

이제 이 작업을 마쳤으니, 앞에서 암시했던 몫군에 대한 내재적인 정의를 제시할 수 있습니다.

정의 3.3.5.

$G$ 의 부분군 $N$ 이 어떤 준동형사상의 핵이면 $N$ 을 정규 부분군이라고 합니다. 이를 $N\trianglelefteq G$ 로 씁니다.

정의 3.3.6.

$N\trianglelefteq G$ 라고 합시다. 그러면 $G/N$ 으로 표기하고 “ $G$ mod $N$ ”으로 읽는 몫군은 다음과 같이 정의되는 군입니다.

•

$G/N$ 의 원소는 $N$ 의 왼쪽 잉여류들입니다.
•

$G/N$ 에서 두 잉여류 $C_{1}$ 과 $C_{2}$ 의 곱을 정의하고자 합니다. 잉여류들은 $Q$ 의 원소들과 전단사 관계에 있음을 상기하십시오. 따라서 $q_{1}$ 을 잉여류 $C_{1}$ 에 대응하는 값, $q_{2}$ 를 $C_{2}$ 에 대응하는 값이라고 합시다. 그러면 곱을 $q_{1}q_{2}$ 에 대응하는 잉여류로 정할 수 있습니다.

매우 중요하게도, 이를 잉여류의 대표원을 이용하여 할 수도 있습니다. $g_{1}\in C_{1}$ 이고 $g_{2}\in C_{2}$ 라고 하면, $C_{1}=g_{1}N$ 이고 $C_{2}=g_{2}N$ 입니다. 그러면 $C_{1}\cdot C_{2}$ 는 $g_{1}g_{2}$ 를 포함하는 잉여류여야 합니다. $\phi(g_{1}g_{2})=\phi(g_{1})\phi(g_{2})=q_{1}q_{2}$ 이므로 이는 위의 정의와 같습니다. 우리가 한 일은 곱을 $H$ 의 값이 아니라 $G$ 의 원소를 이용하여 정의한 것뿐입니다.

$g N$ 표기법을 사용하고 비고 3.3.3을 염두에 두면, 이를 훨씬 더 간결하게 쓸 수 있습니다:

$(g_{1}N)\cdot(g_{2}N)\coloneqq(g_{1}g_{2})N.$

이제 $n$ 을 법으로 하는 정수들을 왜 흔히 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 로 쓰는지 아시게 되었습니다!

질문 3.3.7.

위의 정의를 잠시 곱씹어 보십시오.

우리가 구성한 방식에 따라, 결과로 얻는 군 $G/N$ 은 $Q$ 와 동형입니다. 어떤 의미에서 우리는 $G/N$ 을 “모든 $n\in N$ 에 대해 $n=1$ 이라는 조건을 법으로 한 $G$ ”로 생각합니다.

3.4 (선택) 라그랑주 정리의 증명

여담으로, 이제 잉여류의 언어를 사용하면 일반적인 경우의 라그랑주 정리를 보일 수 있습니다.

정리 3.4.1 (라그랑주 정리).

$G$ 를 유한군이라 하고, $H$ 를 임의의 부분군이라 합시다. 그러면 $\left\lvert H\right\rvert$ 는 $\left\lvert G\right\rvert$ 를 나눕니다.

증명은 매우 간단합니다. $H$ 의 잉여류들은 모두 크기가 같으며 $G$ 의 분할을 이룬다는 점에 주목하십시오( $H$ 가 반드시 정규가 아니어도 성립합니다). 따라서 잉여류의 개수를 $n$ 이라 하면 $n\cdot\left\lvert H\right\rvert=\left\lvert G\right\rvert$ 입니다.

질문 3.4.2.

$H=\left<x\right>\subseteq G$ 로 잡아 $x^{\left\lvert G\right\rvert}=1$ 임을 결론지으십시오.

비고 3.4.3.

이 시점에서 언급해 두어야 할 것은, 일반적으로 $G$ 가 유한군이고 $N$ 이 정규이면 $|G/N|=|G|/|N|$ 이라는 사실입니다.

3.5 준동형사상 없애기

대표적인 예: 다시 한번 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 입니다.

앞서 제시한 $G/N$ 의 마지막 정의를 살펴봅시다. 요약하면 다음과 같습니다.

•

$G/N$ 의 원소는 잉여류 $g N$ 이며, 이는 관계 $\sim_{N}$ 의 동치류로 생각할 수 있습니다(여기서 어떤 $n\in N$ 에 대해 $g_{1}=g_{2}n$ 이면 $g_{1}\sim_{N}g_{2}$ 입니다).
•

잉여류 $g_{1}N$ 과 $g_{2}N$ 이 주어지면 군 연산은 다음과 같습니다

$g_{1}N\cdot g_{2}N\coloneqq(g_{1}g_{2})N.$

질문: $N$ 이 정규라는 사실을 실제로 어디에서 사용합니까? 이 정의의 어디에서도 $\phi$ 나 $Q$ 에 대해 언급하지 않습니다.

답은 비고 3.3.3에 있습니다. 군 연산은 두 잉여류를 입력으로 받으므로, $g_{1}$ 과 $g_{2}$ 가 무엇인지 알지 못합니다. 그러나 이면에서는 정규 조건 덕분에 군 연산이 원하는 어떤 $g_{1}$ 과 $g_{2}$ 를 고르더라도 여전히 같은 잉여류를 얻는다는 것이 보장됩니다. 이 성질이 없다면 어떤 $g_{1}\in C_{1}$ 과 $g_{2}\in C_{2}$ 를 골랐는지에 따라 결과가 달라질 수 있으므로, 두 잉여류 $C_{1}$ 과 $C_{2}$ 의 곱을 정의하기 어려울 것입니다. $N$ 이 준동형사상으로부터 왔다는 사실은 잉여류의 대표원 $g_{1}$ 과 $g_{2}$ 를 원하는 대로 골라도 된다는 것을 의미했습니다. 그것들은 모두 같은 $\phi$ -값을 가졌기 때문입니다.

우리는 $\phi$ 를 전혀 참조하지 않고도 이것이 성립하도록 강제하는 조건을 원합니다. $\phi\colon G\to K$ 가 $H=\ker\phi$ 인 군 준동형사상이라고 합시다. $H$ 가 군이라는 사실 외에도, 우리는 “당연한” 성질 하나를 얻을 수 있습니다.

질문 3.5.1.

$h\in H$ , $g\in G$ 이면 $ghg^{-1}\in H$ 임을 보이십시오. ( $\phi(ghg^{-1})=1_{K}$ 임을 확인하십시오.)

예제 3.5.2 (정규 부분군이 아닌 부분군의 예).

$D_{12}=\left<r,s\mid r^{6}=s^{2}=1,rs=sr^{-1}\right>$ 라 합시다. 위수가 2인 부분군 $H=\{1,s\}$ 를 생각하고 다음에 주목하십시오.

rsr^{-1}=r(sr^{-1})=r(rs)=r^{2}s\notin H.

따라서 $H$ 는 정규가 아니며, 어떤 준동형사상의 핵도 될 수 없습니다.

뭐, 당연한 이야기입니다 – 그래서 어떻다는 말입니까? 놀랍게도 이것이 바로 우리가 원하는 충분 조건임이 밝혀집니다. 구체적으로, 이 조건이 있으면 우리가 원했던 멋진 “잉여류 곱셈”이 제대로 작동합니다.

비고 3.5.3 (수학 경시대회 애호가를 위하여).

이 우연의 일치는 IMO에 나오는 함수 방정식과 정말 많이 닮았습니다. 정규 부분군 $H$ 가 $ghg^{-1}\in H$ 를 만족한다는 것은 누구나 알고 있습니다. 놀라운 점은 겉보기에 더 약해 보이는 후자의 조건으로부터 $H$ 가 정규 부분군임을 이끌어 낼 수 있다는 것입니다.

이로써 $\phi$ 를 외부적으로 전혀 참조하지 않는 “정규” 부분군의 새로운 판정 기준을 얻었습니다.

정리 3.5.4 (정규 부분군의 대수적 조건).

$H$ 를 $G$ 의 부분군이라고 합시다. 그러면 다음은 서로 동치입니다:

•

$H\trianglelefteq G$ .
•

모든 $g\in G$ 와 $h\in H$ 에 대하여 $ghg^{-1}\in H$ 입니다.

증명.

한쪽 방향은 이미 보였습니다.

반대 방향을 보이려면 핵이 $H$ 인 준동형사상을 만들어야 합니다. 그래서 군 $G/H$ 를 잉여류들로 간단히 정의합니다. 군 연산을 주려면 다음을 확인해야 합니다:

주장 3.5.5.

$g_{1}^{\prime}\sim_{H}g_{1}$ 이고 $g_{2}^{\prime}\sim_{H}g_{2}$ 이면 $g_{1}^{\prime}g_{2}^{\prime}\sim_{H}g_{1}g_{2}$ 입니다.

증명.

지루한 대수적 계산입니다(이번에도 함수 방정식 스타일입니다). $g_{1}^{\prime}=g_{1}h_{1}$ , $g_{2}^{\prime}=g_{2}h_{2}$ 라 두면, $g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\sim_{H}g_{1}g_{2}$ 임을 보이면 됩니다. $H$ 가 그 성질을 가지므로 $g_{2}^{-1}h_{1}g_{2}$ 는 $H$ 의 어떤 원소이며, 이를 $h_{3}$ 이라 합시다. 따라서 $h_{1}g_{2}=g_{2}h_{3}$ 이고, 좌변은 $g_{1}g_{2}(h_{3}h_{2})$ 가 되는데, $h_{3}h_{2}\in H$ 이므로 문제없습니다. ∎

이것이 해결되었으므로 (정규 부분군의) 두 잉여류의 곱을

(g_{1}H)\cdot(g_{2}H)=(g_{1}g_{2})H.

로 그냥 정의할 수 있습니다.

따라서 위의 주장은 이 곱셈이 잘 정의됨을 보여 줍니다(이 확인 과정이 정리의 “핵심 내용”입니다). 그러므로 $G/H$ 는 실제로 군입니다! 게다가 $g\mapsto gH$ 로 주어지는 자명한 “사영” 준동형사상 $G\to G/H$ (핵은 $H$ )가 존재합니다. ∎

예제 3.5.6 (곱군에서 몫 취하기).

곱군 $G\times H$ 를 다시 생각해 봅시다. 앞에서 우리는 다음 부분군을 찾았습니다

G^{\prime}=\left\{(g,1_{H})\mid g\in G\right\}\cong G.

$G^{\prime}\trianglelefteq G\times H$ 임을 쉽게 알 수 있습니다. (쉬운 계산입니다.)

게다가 다음을 확인할 수 있습니다

(G\times H)/(G^{\prime})\cong H.

실제로 모든 $g\in G$ 와 $h\in H$ 에 대하여 $(g,h)\sim_{G^{\prime}}(1_{G},h)$ 입니다.

예제 3.5.7 (몫과 곱이 반드시 상쇄되지는 않습니다).

$(G/H)\times H\cong G$ 가 반드시 성립하는 것은 아닙니다. 예를 들어 $G=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 와 정규 부분군 $H=\{0,2\}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 를 생각해 봅시다. 그러면 $G/H\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 이지만 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\not\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb% {Z}$ 입니다. (각주: 이러한 “상쇄”가 일어나기 위한 정확한 조건을 슈어-차센하우스 보조정리라고 합니다.)

예제 3.5.8 (또 하나의 명시적 계산).

$\phi:D_{8}\to\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 를

r\mapsto\overline{2},\quad s\mapsto\overline{2}.

로 정의합시다. 이 사상의 핵은 $N=\{1,r^{2},sr,sr^{3}\}$ 입니다.

$D_{8}$ 의 모든 원소를 빠르게 계산해 보면 다음을 얻습니다

\phi(1)=\phi(r^{2})=\phi(sr)=\phi(sr^{3})=\overline{0}\text{그리고}\phi(r)=\phi(r% ^{3})=\phi(s)=\phi(sr^{2})=\overline{2}.

질문 3.5.9.

$G$ 가 아벨 군이라고 가정합시다. 왜 $G$ 의 모든 부분군이 정규 부분군이 됩니까?

마지막으로 생각해 볼 거리입니다. 군 $G$ 에 대하여 생성원 $n$ 개를 사용하는 군 표시가 있다고 가정합시다. 이를 $N$ 이 $F_{n}$ 의 정규 부분군인 $F_{n}/N$ 꼴의 몫으로 나타낼 수 있습니까?

3.6 (여담) 제1 동형사상 정리

다른 자료들에서 흔히 하는 설명에 대하여 간단히 한마디 하겠습니다.

사실 대부분의 교과서는 $ghg^{-1}\in H$ 성질을 사용하여 정규성을 정의합니다. 그런 다음 정규인 $H$ 에 대해 $G/H$ 를 제가 위에서 한 방식대로 잉여류 정의를 사용하여 정의합니다

(g_{1}H)\cdot(g_{2}H)=g_{1}g_{2}H.

(제가 한 것처럼) 순수하게 대수적인 조작을 사용하면 이것이 잘 정의되므로, 이제 여러분은 $G/H$ 라는 군인지 뭔지를 얻게 됩니다. 그 밑에 깔린 준동형사상은 전혀 언급되지 않거나, 그저 지나가듯 언급될 뿐입니다.

저는 이것이 엄청나게 어리석다고 생각합니다. 정규 조건은 난데없이 튀어나온 것처럼 보이고 무슨 일이 일어나고 있는지 아무도 전혀 알지 못하는데, 정규 부분군이 실제로 어떤 모습이어야 하는지 아무도 전혀 모르기 때문입니다.

다른 자료들은 이른바 제1 동형사상 정리도 즐겨 함께 적습니다.²²2제2, 제3 동형사상 정리도 있습니다. 하지만 그것들을 배운 지 4년이 지난 지금도 저는 그것들이 무엇인지 여전히 기억하지 못합니다. 그러니 아마 그다지 중요하지 않았던 것 같습니다. 내용은 다음과 같습니다.

정리 3.6.1 (제1 동형사상 정리).

$\phi\colon G\to H$ 가 준동형사상이라고 합시다. 그러면 $G/\ker\phi$ 는 $\phi^{\text{img}}(G)$ 와 동형입니다.

제가 보기에 이것은 같은 아이디어를 더 서투르게 서술하는 방식일 뿐입니다.

이 명제가 가진 거의 유일한 장점은, $\phi$ 가 단사이면 상 $\phi^{\text{img}}(G)$ 가 군 $H$ 안에 있는 $G$ 의 동형인 사본이라는 점입니다. (이것을 직접 확인해 보십시오!) 이것은 수학의 다른 분야에서도 자주 보게 될 패턴입니다. 단사인 구조 보존 사상이 있을 때마다, 그 사상의 상은 대개 $G$ 의 어떤 “사본”이 됩니다. (여기서 “구조”는 군의 곱셈을 가리키지만, 나중에 “대상의 종류”에 대한 다른 예들을 더 보게 될 것입니다!)

그런 의미에서 단사 준동형사상 $\phi\colon G\hookrightarrow H$ 는 $G$ 를 $H$ 안으로 보내는 매장입니다.

3.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 3A (MIT 18.701).

\phi(g)=g^{2}

로 정의된 사상 $\phi\colon G\to G$ 가 준동형사상이 되는 군 $G$ 를 모두 구하십시오.

힌트. 식으로 풀어 써 보십시오: $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$ .

풀이. 아벨 군입니다: $abab=a^{2}b^{2}\iff ab=ba$ .

문제 3B.

이면체군 $G=D_{10}$ 을 생각해 봅시다.

(a)

$H=\left<r\right>$ 는 $G$ 의 정규 부분군입니까? 그렇다면 동형사상 차이를 무시하고 $G/H$ 를 계산하십시오.
(b)

$H=\left<s\right>$ 는 $G$ 의 정규 부분군입니까? 그렇다면 동형사상 차이를 무시하고 $G/H$ 를 계산하십시오.

힌트. 각각 예, 아니요입니다.

풀이. (a)는 예입니다. 이는 $ghg^{-1}$ 정의로부터 직접 확인할 수 있습니다. 예를 들어 (a)의 경우 $(r^{a}s)r^{n}(r^{a}s)^{-1}=r^{-n}\in H$ 를 계산하는 것으로 충분합니다. 몫군은 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 입니다.

예제 3.5.2을 따라가면 (b)의 답은 아니요입니다.

문제 3C.

$S_{4}$ 는 위수가 $3$ 인 정규 부분군을 가집니까?

힌트. 아닙니다.

풀이. $3$ 은 소수이므로, 위수가 $3$ 인 부분군은 위수가 $3$ 인 원소로 생성되어야 합니다. 따라서 (원소들의 이름을 적절히 바꾸어) 일반성을 잃지 않고 $H=\left<(1\;2\;3)\right>$ 라고 가정할 수 있습니다. 그런데 $g=(3\;4)$ 라고 하면, $gHg^{-1}\neq H$ 임을 확인할 수 있습니다.

문제 3D.

$G$ 와 $H$ 가 유한군이고 $\left\lvert G\right\rvert=1000$ , $\left\lvert H\right\rvert=999$ 라고 합시다. 준동형사상 $G\to H$ 는 반드시 자명함을 보이십시오.

힌트. $\gcd(1000,999)=1$ .

풀이. $\phi\colon G\to H$ 가 준동형사상이라고 합시다. 그러면 $G/\ker\phi$ 는 $H$ 의 어떤 부분군과 동형입니다. 전자의 위수는 $1000$ 을 나누고, 후자의 위수는 $999$ 를 나눕니다. 이는 $G/\ker\phi=\{1\}$ 일 때만 가능하므로 $\ker\phi=G$ 입니다.

문제 3E.

$\mathbb{C}^{\times}$ 가 곱셈에 대한 0이 아닌 복소수들을 나타낸다고 합시다. $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 가 $D_{10}$ 의 부분군임에도 불구하고, 준동형사상 $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\to\mathbb{C}^{\times}$ 는 다섯 개 있지만 준동형사상 $D_{10}\to\mathbb{C}^{\times}$ 는 두 개뿐임을 보이십시오.

문제 3F.

^†^†margin:

$G$ 의 모든 부분군이 정규인 비아벨 군 $G$ 를 찾으십시오. (이러한 군을 해밀턴 군이라고 부릅니다.)

힌트. 위수가 $8$ 인 예를 찾으십시오.

풀이. 사원수군입니다.

문제 3G (PRIMES 입학시험, 2018).

^†^†margin:

$G$ 를 다음과 같은 표시로 주어진 군이라고 합시다.

G=\left<a,b,c\mid ab=c^{2}a^{4},\;bc=ca^{6},\;ac=ca^{8},\;c^{2018}=b^{2019}% \right>.

$G$ 의 위수를 구하십시오.

힌트. $G$ 가 위수 $18$ 인 이면체군임을 보여 보십시오. 여기에는 군론적 내용이 별로 없습니다 — 그저 식을 조작하는 것뿐입니다.

풀이. 답은 $|G|=18$ 입니다.

먼저, 귀납법에 의해 다음이 성립함을 관찰합니다.

$a^{n}c=ca^{8n}$

이는 모든 $n\geq 1$ 에 대해 성립합니다. 그다음 다음에 주목합니다.

$\displaystyle a(bc)$ $\displaystyle=(ab)c$

$\displaystyle a\cdot ca^{6}$ $\displaystyle=c^{2}a^{4}\cdot c$

$\displaystyle ca^{8}\cdot a^{6}$ $\displaystyle=c^{2}a^{4}\cdot c$

$\displaystyle a^{14}$ $\displaystyle=c(a^{4}c)=c^{2}a^{32}.$

따라서 $c^{2}=a^{-18}$ 이라고 결론짓습니다. 그러면 $ab=c^{2}a^{4}\implies b=a^{-15}$ 입니다.

이 경우, $c^{2018}=b^{2019}$ 이므로 $1=a^{-1009\cdot 18+2019\cdot 15}=a^{12123}$ 이라고 결론짓습니다. 마지막으로,

$\displaystyle bc$ $\displaystyle=ca^{6}$

$\displaystyle a^{-15}c$ $\displaystyle=ca^{6}$

$\displaystyle a^{-15}c^{2}$ $\displaystyle=c(a^{6}c)=c^{2}a^{48}$

$\displaystyle a^{-33}$ $\displaystyle=a^{30}$

$\displaystyle\implies a^{63}$ $\displaystyle=1.$

$\gcd(12123,63)=9$ 이므로 $a^{9}=1$ 을 얻고, 따라서 마침내 $c^{2}=1$ 입니다. 그러므로 위의 표시는 다음과 같이 간단해집니다.

$G=\left<a,c\mid a^{9}=c^{2}=1,\;ac=ca^{-1}\right>$

이는 위수 $18$ 인 이면체군의 표시입니다. 이로써 증명이 완료됩니다.

문제 3H (동음이의어 군).

^†^†margin:

(영어의) 동음이의어 군은 $26$ 개의 생성원 $a$ , $b$ , …, $z$ 를 가지고, 발음이 같은 영어 단어 쌍마다 관계를 하나씩 갖는 군입니다. 예를 들어 $knight=night$ 입니다(따라서 $k=1$ 입니다). 이 군이 자명군임을 증명하십시오.

힌트. 아마 영어 동음이의어 목록을 하나 구해 보는 것이 좋을 것입니다. 너무 애쓰지는 마십시오. 글자 $v$ 가 가장 까다롭습니다. 어쩌면 $felt=veldt$ 일까요?

풀이. “homophone group”(동음이의어 군)을 검색하면 많은 풀이를 찾을 수 있습니다. 그중 하나는 https://math.stackexchange.com/q/843966/229197입니다.

	$\displaystyle a(bc)$	$\displaystyle=(ab)c$
	$\displaystyle a\cdot ca^{6}$	$\displaystyle=c^{2}a^{4}\cdot c$
	$\displaystyle ca^{8}\cdot a^{6}$	$\displaystyle=c^{2}a^{4}\cdot c$
	$\displaystyle a^{14}$	$\displaystyle=c(a^{4}c)=c^{2}a^{32}.$

	$\displaystyle bc$	$\displaystyle=ca^{6}$
	$\displaystyle a^{-15}c$	$\displaystyle=ca^{6}$
	$\displaystyle a^{-15}c^{2}$	$\displaystyle=c(a^{6}c)=c^{2}a^{48}$
	$\displaystyle a^{-33}$	$\displaystyle=a^{30}$
	$\displaystyle\implies a^{63}$	$\displaystyle=1.$

장 3 준동형사상과 몫군

3.1 생성원과 군의 표시

정의 3.1.1.

연습문제 3.1.2.

예제 3.1.3 (ℤ는 무한 순환군입니다).

예제 3.1.4 (정이면체군).

예제 3.1.5 (클라인 4원군).

예제 3.1.6 (자유군).

질문 3.1.7.

표기의 남용 3.1.8.

예제 3.1.9 (표시는 매우 다르게 보일 수 있습니다).

3.2 준동형사상

정의 3.2.1.

예제 3.2.2 (준동형사상의 예).

연습문제 3.2.3.

사실 3.2.4.

증명.

정의 3.2.5.

질문 3.2.6.

명제 3.2.7 (핵에 의한 단사성 판정).

예제 3.2.8 (핵의 예시).

연습문제 3.2.9.

질문 3.2.10.

3.3 잉여류와 몫 취하기

연습문제 3.3.1.

정의 3.3.2.

비고 3.3.3.

비고 3.3.4.

정의 3.3.5.

정의 3.3.6.

질문 3.3.7.

3.4 (선택) 라그랑주 정리의 증명

정리 3.4.1 (라그랑주 정리).

질문 3.4.2.

비고 3.4.3.

3.5 준동형사상 없애기

질문 3.5.1.

예제 3.5.2 (정규 부분군이 아닌 부분군의 예).

비고 3.5.3 (수학 경시대회 애호가를 위하여).

정리 3.5.4 (정규 부분군의 대수적 조건).

증명.

주장 3.5.5.

증명.

예제 3.5.6 (곱군에서 몫 취하기).

예제 3.5.7 (몫과 곱이 반드시 상쇄되지는 않습니다).

예제 3.5.8 (또 하나의 명시적 계산).

질문 3.5.9.

3.6 (여담) 제1 동형사상 정리

정리 3.6.1 (제1 동형사상 정리).

3.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 3A (MIT 18.701).

문제 3B.

문제 3C.

문제 3D.

문제 3E.

문제 3F.

문제 3G (PRIMES 입학시험, 2018).

문제 3H (동음이의어 군).

예제 3.1.3 ( $\mathbb{Z}$ 는 무한 순환군입니다).