장 57 판별식의 추가 성질

수체 $K$ 의 판별식은 다음과 같이 주어진다는 것을 다시 짚어 두겠습니다.

\Delta_{K}\coloneqq\det\begin{bmatrix}\sigma_{1}(\alpha_{1})&\dots&\sigma_{n}(% \alpha_{1})\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \sigma_{1}(\alpha_{n})&\dots&\sigma_{n}(\alpha_{n})\\ \end{bmatrix}^{2}

여기서 $\alpha_{1}$ , …, $\alpha_{n}$ 은 $K$ 의 $\mathbb{Z}$ -기저이고, $\sigma_{i}$ 는 $K$ 에서 $\mathbb{C}$ 로 가는 $n$ 개의 매장입니다.

이어서 몇 가지 예시, 성질, 그리고 동치인 정의를 살펴봅니다.

57.1 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

$p$ 를 홀수 유리 소수라 하고 $\zeta_{p}$ 를 원시 $p$ 제곱 단위근이라 합시다. $K=\mathbb{Q}(\zeta_{p})$ 라 합시다.

\Delta_{K}=(-1)^{\frac{p-1}{2}}p^{p-2}.

임을 보이십시오.

힌트. 선형대수학을 이용하여 직접 계산합니다.

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$\alpha_{1}$ , …, $\alpha_{n}$ 을 $\mathcal{O}_{K}$ 의 기저라 합시다. 다음을 증명하십시오.

\Delta_{K}=\det\begin{bmatrix}\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha_{1}^{2})% &\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha_{1}\alpha_{2})&\dots&\operatorname{Tr% }_{K/\mathbb{Q}}(\alpha_{1}\alpha_{n})\\ \operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha_{2}\alpha_{1})&\operatorname{Tr}_{K/% \mathbb{Q}}(\alpha_{2}^{2})&\dots&\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha_{2}% \alpha_{n})\\ \qquad\vdots&\qquad\vdots&\ddots&\qquad\vdots\\ \operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha_{n}\alpha_{1})&\operatorname{Tr}_{K/% \mathbb{Q}}(\alpha_{n}\alpha_{2})&\dots&\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(% \alpha_{n}\alpha_{n})\\ \end{bmatrix}.

특히 $\Delta_{K}$ 는 정수입니다.

힌트. $M$ 을 “매장” 행렬이라 합시다. $M^{\top}M$ 을 살펴보십시오. 여기서 $M^{\top}$ 은 전치 행렬입니다.

이차 다항식 $Ax^{2}+Bx+C$ 의 판별식은 $B^{2}-4AC$ 로 정의됩니다. 더 일반적으로, 차수가 $n$ 인 다항식 $f\in\mathbb{Z}[x]$ 의 다항식 판별식은 다음과 같습니다.

\Delta(f)\coloneqq c^{2n-2}\prod_{1\leq i<j\leq n}\left(z_{i}-z_{j}\right)^{2}

여기서 $z_{1},\dots,z_{n}$ 은 $f$ 의 근이고, $c$ 는 $f$ 의 최고차항 계수입니다.

$K$ 가 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\theta]$ 인 단생성체라고 가정합시다. $f$ 를 $\theta$ 의 최소 다항식(따라서 모닉)이라 합시다. 다음을 보이십시오.

\Delta_{K}=\Delta(f).

힌트. 방데르몽드 행렬을 이용하십시오.

$K\neq\mathbb{Q}$ 인 수체이면 $\left\lvert\Delta_{K}\right\rvert>1$ 임을 보이십시오.

힌트. $M_{K}\geq 1$ 이 성립해야 합니다. 직접 계산하십시오.

부호수가 $(r_{1},r_{2})$ 인 수체 $K$ 에 대하여, $\Delta_{K}>0$ 일 필요충분조건은 $r_{2}$ 가 짝수인 것임을 보이십시오.

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$K$ 를 수체라 합시다. 다음을 증명하십시오.

\Delta_{K}\equiv 0\text{ 또는 }1\pmod{4}.