장 28 미분

28.1 정의

대표적인 예: $x^{3}$ 의 도함수는 $3x^{2}$ 입니다.

여러분 대부분은 이것을 이전에 본 적이 있으리라 생각합니다만, 그럼에도:

정의 28.1.1.

$\mathbb{R}$ 의 열린 부분집합¹¹1우리는 거의 항상 $U=(a,b)$ 또는 $U=\mathbb{R}$ 을 사용할 것이며, 정의를 이러한 경우들로 제한하더라도 크게 잃을 것은 없습니다. $U$ 를 잡고, $f\colon U\to\mathbb{R}$ 를 함수라 합시다. $p\in U$ 라 합시다. 극한²²2표기의 남용 26.6.6에서의 관례를 따르고 있음을 기억하십시오. 즉 우리가 의미하는 것은 “ $h=0$ 에서의 값은 무엇이든 될 수 있는, 함수 $h\mapsto\frac{f(p+h)-f(p)}{h}$ 의 극한”입니다. 그리고 이것은 중요한데, 그 분수식이 $h=0$ 에서는 정의되지 않기 때문입니다. 약속드린 대로, 우리는 이 점에 신경 쓰지 않습니다.이 존재하면 $f$ 가 $p$ 에서 미분가능하다고 말합니다.

\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}

이 존재할 때, $f$ 가 $p$ 에서 미분가능하다고 말합니다. 존재하는 경우, 그 값을 $f^{\prime}(p)$ 로 표기하고 이를 $p$ 에서의 $f$ 의 도함수라 부릅니다.

함수 $f$ 가 모든 점에서 미분가능하면 $f$ 는 미분가능하다고 합니다. 이 경우 도함수 $f^{\prime}\colon(a,b)\to\mathbb{R}$ 를 그 자체로 하나의 함수로 간주합니다.

연습문제 28.1.2.

$f$ 가 $p$ 에서 미분가능하면 $p$ 에서 연속이기도 함을 보이십시오.

다음은 그림입니다. $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 미분가능하다고(따라서 연속이라고) 합시다. $f$ 의 그래프를 평소대로 그리고 $h$ 의 값들을 생각해 봅시다. 0이 아닌 임의의 $h$ 에 대해, 우리가 얻는 것은 $(p,f(p))$ 와 $(p+h,f(p+h))$ 를 잇는 할선의 기울기입니다. 그러나 $h$ 가 0에 가까워짐에 따라, 이 할선은 곡선의 그래프에 접하는 직선에 점점 가까워지기 시작합니다. $f$ 가 포물선인 경우의 그림이 아래에 나와 있으며, 접선은 빨간색으로, 할선은 초록색 점선으로 표시되어 있습니다.

그러므로 여러분 머릿속에 있어야 할 그림은 다음과 같습니다.

$f^{\prime}(p)$ 는 $(p,f(p))$ 에서의 접선의 기울기처럼 보입니다.

비고 28.1.3.

도함수는 열린 구간 위의 함수에 대해 정의된다는 점에 유의하십시오. 이는 중요합니다. 예를 들어 $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 인 경우, 각 내부점에서 도함수를 여전히 정의할 수 있지만, $f^{\prime}(a)$ 는 더 이상 의미가 없습니다. $f$ 가 $a$ 의 어떤 열린 근방에서도 값이 주어지지 않기 때문입니다.

계산을 하나 해 보고 이 내용을 계속 진행합시다.

예제 28.1.4 ( $x^{3}$ 의 도함수는 $3x^{2}$ ).

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 를 $f(x)=x^{3}$ 로 정의합시다. 임의의 점 $p$ 와 0이 아닌 $h$ 에 대해 다음을 계산할 수 있습니다

	$\displaystyle\frac{f(p+h)-f(p)}{h}$	$\displaystyle=\frac{(p+h)^{3}-p^{3}}{h}$
		$\displaystyle=\frac{3p^{2}h+3ph^{2}+h^{3}}{h}$
		$\displaystyle=3p^{2}+3ph+h^{2}.$

따라서,

\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}=\lim_{h\to 0}(3p^{2}+3ph+h^{2})=3p^{2}.

따라서 $f$ 의 각 점에서의 기울기는 공식 $3p^{2}$ 로 주어집니다. 이후 관례적으로 $f^{\prime}(x)=3x^{2}$ 를 함수 $f$ 전체의 도함수로 씁니다.

표기의 남용 28.1.5.

이제부터 우리는 다소 느슨하게 이를 $(x^{3})^{\prime}=3x^{2}$ 로 쓰겠습니다. 이는 ”정의역이 어떠어떠한 실숫값 함수 $x^{3}$ 은 그 정의역의 모든 점 $p$ 에서 도함수 $3p^{2}$ 를 가진다”는 훨씬 더 장황한 표현의 축약입니다.

일반적으로, 실숫값 미분가능 함수 $f\colon U\to\mathbb{R}$ 는 자연스럽게 모든 점 $p\in U$ 에서 도함수 $f^{\prime}(p)$ 를 만들어내므로, 관례적으로 $p$ 는 아예 포기하고 $f^{\prime}$ 자체를 $U\to\mathbb{R}$ 인 함수로 취급합니다. 비록 이 실수가 ”다른 해석”을 가지고 있음에도 말입니다: $f^{\prime}(p)$ 는 값(예: 시각 $t$ 에서의 여러분의 총 재산 가치)이 아니라 기울기(예: 여러분의 시간당 임금률)를 해석하려는 의도로 만들어진 것입니다. $f$ 가 실생활에서 나온 함수라면 단위조차 맞지 않습니다!

이 관례는 너무나 깊이 뿌리내려 있어서, 그것을 뽑아내려 하면 그럴 가치보다 더 큰 혼란을 초래하지 않고서는 제거할 수 없습니다. 그러나 다변수 미적분학을 다루는 장들을 읽으면, 도함수를 단일 실수가 아니라 선형 사상으로 다시 정의해야 할 때 이것이 어떻게 우리를 곤란하게 하는지 보게 될 것입니다.

28.2 계산하는 방법

늘 그랬듯이, 그렇지 않습니까? 합의 법칙, 그런 것들 말입니다.

정리 28.2.1 (여러분의 친숙한 고등학교 미적분학 법칙들).

이하에서 $f$ 와 $g$ 는 미분가능한 함수이고, $U$ , $V$ 는 $\mathbb{R}$ 의 열린 부분집합입니다.

•

(합의 법칙) $f,g\colon U\to\mathbb{R}$ 이면 $(f+g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)$ 입니다.
•

(곱의 법칙) $f,g\colon U\to\mathbb{R}$ 이면 $(f\cdot g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)$ 입니다.
•

(연쇄 법칙) $f\colon U\to V$ 이고 $g\colon V\to\mathbb{R}$ 이면, 합성함수 $g\circ f\colon U\to\mathbb{R}$ 의 도함수는 $g^{\prime}(f(x))\cdot f^{\prime}(x)$ 입니다.

증명.

•

합의 법칙: 자명하므로, 관심이 있다면 직접 해보십시오.
•

곱의 법칙: 영이 아닌 모든 $h$ 와 점 $p\in U$ 에 대해 다음과 같이 쓸 수 있습니다

$\frac{f(p+h)g(p+h)-f(p)g(p)}{h}=\frac{f(p+h)-f(p)}{h}\cdot g(p+h)+\frac{g(p+h)% -g(p)}{h}\cdot f(p)$

이것은 $h\to 0$ 일 때 원하는 식을 줍니다.
•

연쇄 법칙: 바로 여기서 표기의 남용 26.6.6이 실제로 문제가 됩니다. $p\in U$ , $q=f(p)\in V$ 라 하면

$(g\circ f)^{\prime}(p)=\lim_{h\to 0}\frac{g(f(p+h))-g(q)}{h}.$

우리는 극한의 식을 다음과 같이 쓰고 싶습니다

$\frac{g(f(p+h))-g(q)}{h}=\frac{g(f(p+h))-g(q)}{f(p+h)-q}\cdot\frac{f(p+h)-f(p)% }{h}.$

문제는 분모 $f(p+h)-f(p)$ 가 영이 될 수도 있다는 것입니다. 그래서 대신 다음 식을 정의합니다

$Q(y)=\begin{cases}\frac{g(y)-g(q)}{y-q}&\text{만약}y\neq q\\ g^{\prime}(q)&\text{만약}y=q\end{cases}$

이는 $g$ 가 $q$ 에서 미분가능했으므로 연속입니다. 그러면 다음 등식이 실제로 성립합니다

$\frac{g(f(p+h))-g(q)}{h}=Q\left(f(p+h)\right)\cdot\frac{f(p+h)-f(p)}{h}.$

왜냐하면 $h\neq 0$ 이면서 $f(p+h)=q$ 인 경우, 어차피 양변이 모두 영이 되기 때문입니다.

그러면 $h\to 0$ 의 극한에서 $\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}=f^{\prime}(p)$ 이고, 연속성에 의해 $\lim_{h\to 0}Q(f(p+h))=Q(q)=g^{\prime}(q)$ 입니다. 이것이 원하던 결과입니다. ∎

연습문제 28.2.2.

함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 로 간주되는 다항식 $f(x)=x^{3}+10x^{2}+2019$ 의 도함수를 계산하십시오.

비고 28.2.3.

간단한 언어적 요점: 위의 정리들은 모두 각 개별 점에서 성립합니다. 예를 들어 합의 법칙은 실제로는 $f,g\colon U\to\mathbb{R}$ 가 점 $p$ 에서 미분가능하면 $f+g$ 도 미분가능하고 그 도함수가 $f^{\prime}(p)+g^{\prime}(p)$ 와 같다고 말해야 합니다. 따라서 $f$ 와 $g$ 가 $U$ 전체에서 미분가능하다면, 물론 $(f+g)^{\prime}=f^{\prime}+g^{\prime}$ 가 성립함이 따라옵니다. 그러므로 위의 각 법칙은 ”점별” 형태를 가지며, 이로부터 ” $U$ 전체” 형태가 따라옵니다.

우리는 실제로 사용되는 것이 후자이므로 후자만 서술합니다. 하지만 드물게 함수가 구간 $U$ 전체가 아니라 $U$ 의 특정 점들에서만 미분가능한 상황에서는, 여전히 아래의 것을 사용할 수 있습니다.

다음으로 잘 알려진 함수들의 몇 가지 도함수를 나열하겠지만, 이 함수들에 대한 엄밀한 정의를 제시하지 않으므로 여기서는 이를 증명하지 않습니다.

명제 28.2.4 (몇 가지 잘 알려진 함수의 도함수).

•

$\exp(x)=e^{x}$ 로 정의되는 지수함수 $\exp\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 는 그 자신의 도함수입니다.
•

삼각함수 $\sin$ 과 $\cos$ 는 $\sin^{\prime}=\cos$ , $\cos^{\prime}=-\sin$ 을 만족합니다.

예제 28.2.5 (전형적인 고등학교 미적분 문제).

이는 위의 것들을 이용해 얻은 임의의 인위적인 함수의 도함수를 기계적으로 계산할 수 있음을 의미하며, 이 때문에 이것이 미국 고등학교와 대학교에서 잡무의 훌륭한 원천이 됩니다. 예를 들어

f(x)=e^{x}+x\sin(x^{2})\qquad f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

이면, 다음과 같이 $f^{\prime}$ 을 계산할 수 있습니다

$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=(e^{x})^{\prime}+(x\sin(x^{2}))^{\prime}$	합 법칙
	$\displaystyle=e^{x}+(x\sin(x^{2}))^{\prime}$	위 표
	$\displaystyle=e^{x}+(x)^{\prime}\sin(x^{2})+x(\sin(x^{2}))^{\prime}$	곱셈 법칙
	$\displaystyle=e^{x}+\sin(x^{2})+x(\sin(x^{2}))^{\prime}$	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$
	$\displaystyle=e^{x}+\sin(x^{2})+x\cdot 2x\cdot\cos(x^{2})$	$\displaystyle\text{연쇄 법칙}.$

물론 이 함수 $f$ 는 전적으로 인위적이며 아무런 의미도 없는데, 이것이 바로 미적분학이 미국에서 널리 경멸받는 주제인 이유입니다. 그렇긴 하지만, 이러한 계산이 가능하다는 것은 인정할 만한 가치가 있습니다. 이를테면 우리에게는 ”도함수는 실제로 계산 가능하다”라는 유사 정리가 있다고 할 수 있습니다.

$(e^{x})^{\prime}=e^{x}$ 를 당연하게 받아들인다면, 우리가 미분할 수 있는 함수들의 목록에 추가할 유용한 함수 두 개를 더 유도할 수 있습니다.

따름정리 28.2.6 ( $\log$ 의 도함수는 $1/x$ 입니다).

함수 $\log\colon\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ 는 도함수 $(\log x)^{\prime}=1/x$ 를 가집니다.

증명.

$x=e^{\log x}$ 입니다. 양변을 미분하고, 다시 연쇄 법칙을 사용합니다³³3사실 여기에는 작은 미묘한 점이 있습니다: 우리는 $\log$ 가 미분가능하다는 것을 당연하게 받아들이고 있습니다.

1=e^{\log x}\cdot(\log x)^{\prime}.

따라서 $(\log x)^{\prime}=\frac{1}{e^{\log x}}=1/x$ 입니다. ∎

따름정리 28.2.7 (거듭제곱 법칙).

$r$ 을 실수라 합시다. 함수 $\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto x^{r}$ 의 도함수는 $(x^{r})^{\prime}=rx^{r-1}$ 입니다.

증명.

정수 $r$ 에 대해서는 이미 이를 알고 있었지만, 이제 임의의 양의 실수 $r$ 에 대해 이를 증명할 수 있습니다. 다음과 같이 씁니다

f(x)=x^{r}=e^{r\log x}

이는 함수 $f\colon\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ 로 간주됩니다. 연쇄 법칙(과 $(e^{x})^{\prime}=e^{x}$ 라는 사실)을 함께 사용하면 다음을 얻습니다

	$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=e^{r\log x}\cdot(r\log x)^{\prime}$
		$\displaystyle=e^{r\log x}\cdot\frac{r}{x}=x^{r}\cdot\frac{r}{x}=rx^{r-1}.$

$e^{x}$ 와 $\log x$ 에 대한 공식을 증명하지 않는 이유는, 현재로서는 둘 중 어느 것에 대해서도, 심지어 $x$ 가 유리수가 아닐 때의 $2^{x}$ 에 대해서조차도 엄밀한 정의를 갖고 있지 않기 때문입니다. 그러나 몇몇 사실들이 서로를 함의한다는 것을 아는 것은 좋은 일입니다. ∎

28.3 극소 (및 극대) 최댓값

대표적인 예: 포물선의 수평 접선은 일반적으로 좋은 그림입니다.

미적분학의 고전적인 용도 중 하나가 함수의 최솟값 또는 최댓값을 구하는 것이었다는 사실을 고등학교 때 기억하실 수도 있습니다. 여기서는 이를 수행하는 방법에 대한 엄밀한 설명을 제공하겠습니다.

정의 28.3.1.

$f\colon U\to\mathbb{R}$ 를 함수라고 합시다. 극댓값은 $p$ 의 (열린) 근방 $V$ 가 ( $U$ 안에 포함되도록) 존재하여 모든 $x\in V$ 에 대해 $f(p)\geq f(x)$ 가 성립하는 점 $p\in U$ 입니다.

극솟값도 유사하게 정의됩니다.⁴⁴4동등하게, 이는 $-f$ 의 극댓값입니다.

정의 28.3.2.

점 $p$ 가 이 둘 중 하나를 만족하면 극값이라 합니다.

도함수의 좋은 점은 모든 극값을 포착한다는 것입니다.

정리 28.3.3 (정류점에 관한 페르마 정리).

$f\colon U\to\mathbb{R}$ 가 미분 가능하고 $p\in U$ 가 극값이라 합시다. 그러면 $f^{\prime}(p)=0$ 입니다.

그림을 그려보면 이 결과는 놀랍지 않습니다.

(또한 주의할 점: 역은 성립하지 않습니다. 예를 들어 $f(x)=x^{2019}$ 는 $f^{\prime}(0)=0$ 이지만 $x=0$ 은 $f$ 의 극값이 아닙니다.)

증명.

모순을 위해 $f^{\prime}(p)>0$ 이라 가정합시다. $\varepsilon<f^{\prime}(p)$ 인 임의의 $\varepsilon>0$ 을 선택합니다. 그러면 충분히 작은 $|h|$ 에 대해 다음이 성립해야 합니다

\frac{f(p+h)-f(p)}{h}>\varepsilon.

특히 $h>0$ 일 때 $f(p+h)>f(p)$ 이고 $h<0$ 일 때 $f(p+h)<f(p)$ 입니다. 따라서 $p$ 는 극값이 아닙니다.

$f^{\prime}(p)<0$ 인 경우의 증명도 유사합니다. ∎

하지만 최적화를 위한 완전한 방법을 원한다면 이것만으로는 실제로 충분하지 않습니다. 문제는 우리가 구하고자 하는 것이 전역 극값이며, 이는 아예 존재하지 않을 수도 있다는 점입니다: 예를 들어 $f(x)=x$ (이는 $f^{\prime}(x)=1$ 을 가짐)는 명백히 극값이 전혀 없습니다. 이를 해결하는 핵심은 콤팩트성을 이용하는 것입니다: 정의역을 콤팩트 집합 $Z$ 로 바꾸면, $f$ 가 어떤 전역 최댓값을 달성한다는 것을 알 수 있습니다. 집합 $Z$ 는 자연스럽게 어떤 내부 $S$ 를 가지며, 미적분학은 $S$ 안의 모든 극값을 알려줄 것입니다. 그런 다음 $S$ 바깥의 모든 경우를 직접 확인합니다.

확장된 예제 두 개를 살펴봅시다. 첫 번째 것은 간단하며 아마 이미 알고 계실 것이지만, 콤팩트성을 사용하여 철저하게 논증하는 방법과 ”경계” 점들이 자연스럽게 나타나는 방식을 보여드리고 싶습니다.

예제 28.3.4 (직사각형 넓이 최적화).

둘레가 $20$ 인 직사각형들을 고려하여 넓이가 가장 작거나 가장 큰 직사각형을 구하고자 한다고 합시다.

직사각형의 변을 $x$ 와 $10-x$ 로 선택하면, 우리는 다음 함수를 최적화하려는 것입니다

f(x)=x(10-x)=10x-x^{2}\qquad f\colon[0,10]\to\mathbb{R}.

콤팩트성에 의해 어떤 전역 최댓값과 어떤 전역 최솟값이 존재합니다.

$f$ 가 $(0,10)$ 에서 미분 가능하므로, 임의의 $p\in(0,10)$ 에 대해 전역 최댓값도 극댓값이 되며, 따라서 다음을 만족해야 함을 알 수 있습니다

0=f^{\prime}(p)=10-2p\implies p=5.

또한 점 $x=0$ 과 $x=10$ 은 정의역에는 속하지만 내부 $(0,10)$ 에는 속하지 않습니다. 따라서 전역 극값은 (존재한다는 것에 더하여) 세 후보 $\{0,5,10\}$ 중에 있어야 합니다.

마지막으로 $f(0)=0$ , $f(5)=25$ , $f(10)=0$ 을 확인합니다. 따라서 $5\times 5$ 정사각형이 가장 큰 넓이를 가지며, 퇴화한 직사각형들이 가장 작은(0인) 넓이를 갖습니다.

다음은 초등적이지 않은 예시입니다.

명제 28.3.5 ( $e^{x}\geq 1+x$ ).

모든 실수 $x$ 에 대해 $e^{x}\geq 1+x$ 가 성립합니다.

증명.

미분 가능한 함수를 다음과 같이 정의합시다.

f(x)=e^{x}-(x+1)\qquad f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}.

콤팩트 구간 $Z=[-1,100]$ 을 생각해 봅시다. $x\leq-1$ 이면 명백히 $f(x)>0$ 입니다. 마찬가지로 $x\geq 100$ 이면 역시 명백히 $f(x)>0$ 입니다. 따라서 우리는 $x\in Z$ 일 때 $f(x)\geq 0$ 임을 증명하기만 하면 됩니다.

실제로 어떤 전역 최솟값 $p$ 가 존재합니다. 이는 끝점 $-1$ 또는 $100$ 일 수 있습니다. 그렇지 않고 $U=(-1,100)$ 안에 놓여 있다면, 다음을 만족해야 합니다.

0=f^{\prime}(p)=e^{p}-1\implies p=0.

$f(-1)>0$ , $f(100)>0$ , $f(0)=0$ 이므로, $p=0$ 이 $Z$ 의 전역 최솟값임을 결론지을 수 있습니다. 따라서 모든 $x\in Z$ 에 대해 $f(x)\geq 0$ 이고, 결국 모든 $x$ 에 대해 성립합니다. ∎

비고 28.3.6.

$\pm\infty$ 에서의 극한을 사용하고자 한다면, 위와 같은 증명을 $-1$ 이나 $100$ 같은 끝점을 명시적으로 찾을 필요가 없는 방식으로 다시 쓸 수 있습니다. 여기서는 그렇게 하지 않겠지만, 생각해 볼 만한 좋은 소재입니다.

28.4 롤과 그 동료들

대표적인 예: 경주로 원리, 어쩌면?

앞 절의 작업에서 얻은 한 가지 따름정리가 바로 롤의 정리입니다.

정리 28.4.1 (롤의 정리).

$f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 연속함수이고 열린 구간 $(a,b)$ 에서 미분 가능하며 $f(a)=f(b)$ 라고 합시다. 그러면 $f^{\prime}(c)=0$ 을 만족하는 점 $c\in(a,b)$ 가 존재합니다.

증명.

$f$ 가 상수함수가 아니라고 가정합시다 (그렇지 않다면 어떤 $c$ 든 성립합니다). 콤팩트성에 의해 전역 최댓값과 전역 최솟값이 모두 존재합니다. $f(a)=f(b)$ 이므로, 전역 최댓값 또는 전역 최솟값 중 하나는 열린 구간 $(a,b)$ 내부에 놓여야 하며, 그러면 정류점에 대한 페르마의 정리가 증명을 마무리해 줍니다. ∎

그림을 그리려고 했는데, xkcd #2042에 이미 그림이 있다는 것을 깨달았습니다.

이미지 출처 [35]

이 정리는 다음과 같이 확장할 수 있습니다.

정리 28.4.2 (평균값 정리).

$f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 연속함수이고 열린 구간 $(a,b)$ 에서 미분 가능하다고 합시다. 그러면 다음을 만족하는 점 $c\in(a,b)$ 가 존재합니다.

f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

그림으로 나타내면, $c$ 에서의 접선이 $(a,f(a))$ 와 $(b,f(b))$ 를 잇는 할선과 같은 기울기를 갖는 $c$ 가 존재하며, 롤의 정리는 그 할선이 수평인 특수한 경우에 해당합니다.

평균값 정리의 증명.

$s=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 를 할선의 기울기라 하고, 다음과 같이 정의합시다.

g(x)=f(x)-sx

이는 직관적으로 $f$ 를 아래로 밀어내려 할선이 수평이 되도록 만드는 것입니다. 실제로 이제 $g(a)=g(b)$ 가 성립하므로, $g$ 에 롤의 정리를 적용합니다. ∎

비고 28.4.3 (운전면허 소지자를 위한 이야기).

이에 대한 좋은 실생활 해석을 하나 언급하고자 합니다. 자동차가 1차원 도로를 따라 이동하고 있습니다(여기서 $f(t)$ 는 시각 $t$ 에서의 위치를 나타냅니다). 여러분이 자동차로 $5$ 시간에 걸쳐 $900$ 킬로미터를 이동했다고 합시다(즉 $f(0)=0$ , $f(5)=900$ ). 그러면 그 순간의 속도가 정확히 시속 $180$ 킬로미터였던 시점이 어딘가에 존재하며, 따라서 경찰이 과속으로 여러분을 세우더라도 딱히 항의할 수 없습니다.

평균값 정리가 중요한 이유는 이것 없이는 사실상 불가능한 방식으로 도함수 정보를 이용해 함수에 대한 정보를 얻을 수 있게 해 주기 때문입니다. 다음은 이 점을 보여주는 간단한 응용 예시입니다.

명제 28.4.4 (경주로 원리).

$f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 를 $f(0)=g(0)$ 을 만족하는 두 미분 가능한 함수라고 합시다.

(a)

모든 $x>0$ 에 대해 $f^{\prime}(x)\geq g^{\prime}(x)$ 이면, 모든 $x>0$ 에 대해 $f(x)\geq g(x)$ 입니다.
(b)

모든 $x>0$ 에 대해 $f^{\prime}(x)>g^{\prime}(x)$ 이면, 모든 $x>0$ 에 대해 $f(x)>g(x)$ 입니다.

이 명제는 자명해 보일 수 있습니다. 이를 경주 트랙이라고 생각할 수 있는 데에는 이유가 있습니다: 만약 $f$ 와 $g$ 가 두 자동차(또는 말 등)의 위치를 나타내고 첫 번째 자동차가 항상 두 번째 자동차보다 빠르다면, 첫 번째 자동차는 결국 두 번째 자동차보다 앞서 있어야 합니다. 특수한 경우 $g=0$ 일 때, 이는 만약 $f^{\prime}(x)\geq 0$ 이라면, 즉 “ $f$ 가 증가한다”면, 음, $x>0$ 에 대해 $f(x)\geq f(0)$ 이라는 것을 말하는데, 이는 참이어야 마땅합니다. 그러나 이를 도함수의 정의로부터 증명하려 하면, 그것이 쉽지 않다는 것을 알게 될 것입니다! 그러나 이는 평균값 정리의 원형에 가깝습니다.

경주 트랙 원리의 증명.

(a)를 증명합니다. $h=f-g$ 라 하면, $h(0)=0$ 입니다. 모순을 가정하여 어떤 $p>0$ 에 대해 $h(p)<0$ 이라 합시다. 그러면 $(0,h(0))$ 과 $(p,h(p))$ 를 잇는 할선은 음의 기울기를 가지며; 다시 말해 평균값 정리에 의해 다음을 만족하는 $0<c<p$ 가 존재합니다

f^{\prime}(c)-g^{\prime}(c)=h^{\prime}(c)=\frac{h(p)-h(0)}{p}=\frac{h(p)}{p}<0

따라서 $f^{\prime}(c)<g^{\prime}(c)$ 인데, 이는 모순입니다. (b) 부분도 마찬가지입니다. ∎

때로는 쉽게 분리할 수 없는 두 함수를 마주하게 될 것입니다; 이러한 경우에는 다음 형태가 더 유용할 수 있습니다.

정리 28.4.5 (비율 평균값 정리).

$f,g\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 $(a,b)$ 에서 미분가능한 두 연속함수라 합시다. 그러면 다음을 만족하는 $c\in(a,b)$ 가 존재합니다

f^{\prime}(c)(g(b)-g(a))=g^{\prime}(c)(f(b)-f(a))

증명.

다음 함수에 롤의 정리를 사용하십시오

h(x)=\left[f(x)-f(a)\right]\left[g(b)-g(a)\right]-\left[g(x)-g(a)\right]\left[% f(b)-f(a)\right].\qed

이는 코시의 평균값 정리 또는 확장된 평균값 정리라고도 불립니다.

28.5 매끄러운 함수

대표적인 예: 여러분에게 익숙한 모든 함수들입니다.

$f\colon U\to\mathbb{R}$ 가 미분가능하다고 합시다. 이로써 함수 $f^{\prime}\colon U\to\mathbb{R}$ 를 얻게 됩니다. 만약 처음 함수가 충분히 좋다면, 다시 도함수를 취할 수 있어 함수 $f^{\prime\prime}\colon U\to\mathbb{R}$ 를 얻게 되며, 이런 식으로 계속됩니다. 일반적으로, 도함수를 $n$ 번 취한 후, 그 결과 함수를 $f^{(n)}$ 으로 표기합니다. 관례상 $f^{(0)}=f$ 입니다.

정의 28.5.1.

함수 $f\colon U\to\mathbb{R}$ 가 무한히 미분가능하면 매끄럽다고 합니다; 즉 함수 $f^{(n)}$ 이 모든 $n$ 에 대해 존재한다는 것입니다.

질문 28.5.2.

절댓값 함수가 매끄럽지 않음을 보이십시오.

다항식, $e^{x}$ , $\log$ , $\sin$ , $\cos$ 와 같이 우리가 마주치는 대부분의 함수는 매끄러우며, 그것들의 합성 또한 그러합니다. 다음은 다음 시간에 더 발전시킬 기이한 예입니다.

예제 28.5.3 (모든 도함수가 영인 매끄러운 함수).

다음 함수를 고려해 보겠습니다

f(x)=\begin{cases}e^{-1/x}&x>0\\ 0&x\leq 0.\end{cases}

이 함수는 매끄러우며 $f^{(n)}(0)=0$ 임을 보일 수 있습니다. 따라서 이 함수는 상수 함수가 아님에도 불구하고 원점에서 모든 도함수가 영입니다!

28.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 28A (몫의 법칙).

$f\colon(a,b)\to\mathbb{R}$ 와 $g\colon(a,b)\to\mathbb{R}_{>0}$ 를 미분가능한 함수라고 합시다. $h=f/g$ 를 이들의 몫(마찬가지로 $(a,b)\to\mathbb{R}$ 인 함수)이라고 합시다. $h$ 의 도함수가 다음과 같이 주어짐을 보이십시오

h^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{g(x)^{2}}.

문제 28B.

실수 $x>0$ 에 대해, $x^{x}$ 는 얼마나 작을 수 있습니까?

문제 28C (RMM 2018).

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실수 계수를 갖는 상수가 아닌 다항식 $P(x)$ 와 $Q(x)$ 가 다음을 만족하며 존재하는지 여부를 판정하십시오

P(x)^{10}+P(x)^{9}=Q(x)^{21}+Q(x)^{20}.

문제 28D.