장 28 미분

28.1 정의

대표적인 예: $x^{3}$ 의 도함수는 $3x^{2}$ 입니다.

여러분 대부분이 이미 본 적이 있으리라 생각하지만, 다시 정리하면 다음과 같습니다.

정의 28.1.1.

$U$ 를 $\mathbb{R}$ 의 열린 부분집합¹¹1거의 항상 $U=(a,b)$ 또는 $U=\mathbb{R}$ 를 사용할 것이며, 정의를 이러한 경우로 제한하더라도 크게 잃는 것은 없습니다.이라 하고, $f\colon U\to\mathbb{R}$ 를 함수라 합시다. $p\in U$ 라 합시다. $f$ 가 $p$ 에서 미분가능하다는 것은 다음 극한²²2표기의 남용 26.6.6의 관례를 따르고 있음을 기억하십시오. 즉 이는 “ $h=0$ 에서의 값은 무엇이든 될 수 있는, 함수 $h\mapsto\frac{f(p+h)-f(p)}{h}$ 의 극한”을 의미합니다. 이 분수는 $h=0$ 에서 정의되지 않으므로 이 점이 중요합니다. 약속한 대로, 이 점에는 신경 쓰지 않겠습니다.

\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}

이 존재하면 $f$ 가 $p$ 에서 미분 가능하다고 합니다. 이 경우 그 값을 $f^{\prime}(p)$ 로 나타내고, 이를 $p$ 에서 $f$ 의 미분계수라고 부릅니다.

함수 $f$ 가 모든 점에서 미분 가능하면 $f$ 는 미분 가능하다고 합니다. 이 경우 도함수 $f^{\prime}\colon(a,b)\to\mathbb{R}$ 를 그 자체로 하나의 함수로 간주합니다.

연습문제 28.1.2.

$f$ 가 $p$ 에서 미분 가능하면 $p$ 에서 연속이기도 함을 보이십시오.

그림으로 설명하면 다음과 같습니다. $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 미분 가능하다고(따라서 연속이라고) 가정합시다. 평소와 같이 $f$ 의 그래프를 그리고 $h$ 의 값들을 생각합니다. 0이 아닌 임의의 $h$ 에 대해 얻는 것은 $(p,f(p))$ 와 $(p+h,f(p+h))$ 를 잇는 할선의 기울기입니다. 그러나 $h$ 가 0에 가까워지면 그 할선은 곡선의 그래프에 접하는 직선에 가까워지기 시작합니다. 아래에 $f$ 가 포물선인 경우의 그림이 있으며, 접선은 빨간색으로, 할선은 초록색 점선으로 나타나 있습니다.

따라서 머릿속에 그려야 할 그림은 다음과 같습니다.

$f^{\prime}(p)$ 는 $(p,f(p))$ 에서의 접선의 기울기처럼 보입니다.

비고 28.1.3.

도함수는 열린 구간 위의 함수에 대해 정의된다는 점에 유의하십시오. 이는 중요합니다. 예를 들어 $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 라면 각 내부 점에서는 여전히 미분계수를 정의할 수 있지만, $a$ 의 어떤 열린 근방에서도 $f$ 의 값이 주어지지 않으므로 $f^{\prime}(a)$ 는 더 이상 의미가 없습니다.

계산을 하나 해 보고 넘어갑시다.

예제 28.1.4 ( $x^{3}$ 의 도함수는 $3x^{2}$ ).

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 를 $f(x)=x^{3}$ 으로 정의합시다. 임의의 점 $p$ 와 0이 아닌 $h$ 에 대해 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

	$\displaystyle\frac{f(p+h)-f(p)}{h}$	$\displaystyle=\frac{(p+h)^{3}-p^{3}}{h}$
		$\displaystyle=\frac{3p^{2}h+3ph^{2}+h^{3}}{h}$
		$\displaystyle=3p^{2}+3ph+h^{2}.$

따라서

\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}=\lim_{h\to 0}(3p^{2}+3ph+h^{2})=3p^{2}.

따라서 $f$ 의 각 점에서의 기울기는 공식 $3p^{2}$ 으로 주어집니다. 그러고 나서 함수 $f$ 전체의 도함수로 $f^{\prime}(x)=3x^{2}$ 이라고 쓰는 것이 관례입니다.

표기의 남용 28.1.5.

이제부터는 느슨하게 이를 $(x^{3})^{\prime}=3x^{2}$ 이라고 쓰겠습니다. 이는 훨씬 더 장황한 표현인 “이러저러한 정의역 위의 실숫값 함수 $x^{3}$ 은 정의역의 모든 점 $p$ 에서 미분계수 $3p^{2}$ 을 가진다”의 약칭입니다.

일반적으로 실숫값 미분 가능 함수 $f\colon U\to\mathbb{R}$ 는 모든 점 $p\in U$ 에서 미분계수 $f^{\prime}(p)$ 를 자연스럽게 주므로, $p$ 는 아예 신경 쓰지 않고 $f^{\prime}$ 자체를 함수 $U\to\mathbb{R}$ 로 취급하는 것이 관례입니다. 이 실수가 “다른 해석”을 가지는데도 말입니다. $f^{\prime}(p)$ 는 값(예: 시각 $t$ 에서 여러분의 총자산을 달러로 나타낸 값)이 아니라 기울기(예: 여러분의 시급)로 해석되어야 합니다. $f$ 가 실생활에서 온 함수라면 단위조차 맞지 않습니다!

이 관례는 너무 깊이 뿌리내려 있어서, 얻는 것보다 더 큰 혼란을 일으키지 않고는 뽑아낼 수 없습니다. 그러나 다변수 미적분학에 관한 장들을 읽어 보면, 도함수를 하나의 실수가 아닌 선형 사상으로 다시 정의해야 할 때 이 관례가 어떻게 우리의 발목을 잡는지 보게 될 것입니다.

28.2 계산하는 방법

늘 보던 것 아닙니까? 합의 법칙 같은 것들 말입니다.

정리 28.2.1 (친절한 고등학교 미적분학 규칙).

이하에서 $f$ 와 $g$ 는 미분 가능 함수이고, $U$ , $V$ 는 $\mathbb{R}$ 의 열린 부분집합입니다.

•

(합의 법칙) $f,g\colon U\to\mathbb{R}$ 이면 $(f+g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)$ 입니다.
•

(곱의 법칙) $f,g\colon U\to\mathbb{R}$ 이면 $(f\cdot g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)$ 입니다.
•

(연쇄 법칙) $f\colon U\to V$ 이고 $g\colon V\to\mathbb{R}$ 이면 합성 함수 $g\circ f\colon U\to\mathbb{R}$ 의 도함수는 $g^{\prime}(f(x))\cdot f^{\prime}(x)$ 입니다.

증명.

•

합의 법칙: 자명합니다. 관심이 있다면 직접 해 보십시오.
•

곱의 법칙: 0이 아닌 모든 $h$ 와 점 $p\in U$ 에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\frac{f(p+h)g(p+h)-f(p)g(p)}{h}=\frac{f(p+h)-f(p)}{h}\cdot g(p+h)+\frac{g(p+h)% -g(p)}{h}\cdot f(p)$

여기서 $h\to 0$ 으로 보내면 원하는 식을 얻습니다.
•

연쇄 법칙: 바로 여기서 표기의 남용 26.6.6가 실제로 발목을 잡습니다. $p\in U$ , $q=f(p)\in V$ 라 하면 다음이 성립합니다.

$(g\circ f)^{\prime}(p)=\lim_{h\to 0}\frac{g(f(p+h))-g(q)}{h}.$

극한 안의 식을 다음과 같이 쓰고 싶습니다.

$\frac{g(f(p+h))-g(q)}{h}=\frac{g(f(p+h))-g(q)}{f(p+h)-q}\cdot\frac{f(p+h)-f(p)% }{h}.$

문제는 분모 $f(p+h)-f(p)$ 가 0이 될 수도 있다는 것입니다. 그래서 그 대신 다음 식을 정의합니다.

$Q(y)=\begin{cases}\frac{g(y)-g(q)}{y-q}&\text{만약}y\neq q\\ g^{\prime}(q)&\text{만약}y=q\end{cases}$

이 식은 $g$ 가 $q$ 에서 미분 가능하므로 연속입니다. 그러면 다음 등식이 실제로 성립합니다.

$\frac{g(f(p+h))-g(q)}{h}=Q\left(f(p+h)\right)\cdot\frac{f(p+h)-f(p)}{h}.$

$h\neq 0$ 이면서 $f(p+h)=q$ 인 경우에는 어차피 양변이 모두 0이기 때문입니다.

그러면 $h\to 0$ 인 극한에서 $\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}=f^{\prime}(p)$ 이고, 연속성에 의해 $\lim_{h\to 0}Q(f(p+h))=Q(q)=g^{\prime}(q)$ 입니다. 이것이 원하던 결과입니다. ∎

연습문제 28.2.2.

함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 로 본 다항식 $f(x)=x^{3}+10x^{2}+2019$ 의 도함수를 계산하십시오.

비고 28.2.3.

표현에 관해 짧게 짚고 넘어가겠습니다. 위의 정리들은 모두 각각의 점에서 성립합니다. 예를 들어 합의 법칙은 사실 $f,g\colon U\to\mathbb{R}$ 가 점 $p$ 에서 미분 가능하면 $f+g$ 도 그러하며 그 미분계수는 $f^{\prime}(p)+g^{\prime}(p)$ 와 같다고 서술해야 합니다. 따라서 $f$ 와 $g$ 가 $U$ 전체에서 미분 가능하면 당연히 $(f+g)^{\prime}=f^{\prime}+g^{\prime}$ 가 따라 나옵니다. 그러므로 위의 각 법칙에는 “점별” 형태가 있으며, 이로부터 “ $U$ 전체” 형태가 따라 나옵니다.

실제로 쓰이는 것은 후자이므로 후자만 서술합니다. 그러나 구간 $U$ 전체가 아니라 $U$ 의 특정한 점들에서만 미분 가능한 함수를 다루는 드문 상황에서도 아래 내용을 여전히 사용할 수 있습니다.

다음으로 잘 알려진 함수들의 도함수를 몇 가지 나열합니다. 다만 이 함수들의 엄밀한 정의를 제시하지 않으므로 여기서 증명하지는 않습니다.

명제 28.2.4 (잘 알려진 몇몇 함수의 도함수).

•

$\exp(x)=e^{x}$ 로 정의되는 지수 함수 $\exp\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 는 자기 자신이 도함수입니다.
•

삼각 함수 $\sin$ 과 $\cos$ 는 $\sin^{\prime}=\cos$ , $\cos^{\prime}=-\sin$ 을 만족합니다.

예제 28.2.5 (전형적인 고등학교 미적분학 문제).

이는 위의 규칙들을 사용하여 얻은 임의의 인위적인 함수의 도함수를 기계적으로 계산할 수 있다는 뜻이며, 그래서 미국의 고등학교와 대학교에서 단순 반복 과제의 훌륭한 원천이 됩니다. 예를 들어,

f(x)=e^{x}+x\sin(x^{2})\qquad f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

이라면 $f^{\prime}$ 는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=(e^{x})^{\prime}+(x\sin(x^{2}))^{\prime}$	합의 법칙
	$\displaystyle=e^{x}+(x\sin(x^{2}))^{\prime}$	위의 표
	$\displaystyle=e^{x}+(x)^{\prime}\sin(x^{2})+x(\sin(x^{2}))^{\prime}$	곱의 법칙
	$\displaystyle=e^{x}+\sin(x^{2})+x(\sin(x^{2}))^{\prime}$	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$
	$\displaystyle=e^{x}+\sin(x^{2})+x\cdot 2x\cdot\cos(x^{2})$	$\displaystyle\text{연쇄 법칙}.$

물론 이 함수 $f$ 는 완전히 인위적이고 아무 의미도 없으며, 바로 이 때문에 미국에서 미적분학이 널리 경멸의 대상이 됩니다. 그렇지만 이런 계산이 가능하다는 점은 인정할 만합니다. “도함수는 실제로 계산할 수 있다”는 유사 정리를 얻었다고 말할 수도 있습니다.

$(e^{x})^{\prime}=e^{x}$ 를 당연한 것으로 받아들이면, 미분할 수 있는 함수 목록에 추가할 유용한 함수 두 가지를 더 유도할 수 있습니다.

따름정리 28.2.6 ( $\log$ 의 도함수는 $1/x$ 입니다).

함수 $\log\colon\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ 의 도함수는 $(\log x)^{\prime}=1/x$ 입니다.

증명.

$x=e^{\log x}$ 입니다. 양변을 미분하고 다시 연쇄 법칙을 사용합니다³³3사실 여기에는 작은 미묘한 점이 있습니다. 우리는 $\log$ 가 미분 가능하다는 것을 당연하게 받아들이고 있습니다.

1=e^{\log x}\cdot(\log x)^{\prime}.

따라서 $(\log x)^{\prime}=\frac{1}{e^{\log x}}=1/x$ 입니다. ∎

따름정리 28.2.7 (거듭제곱 법칙).

$r$ 을 실수라고 합시다. $x\mapsto x^{r}$ 로 주어지는 함수 $\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ 의 도함수는 $(x^{r})^{\prime}=rx^{r-1}$ 입니다.

증명.

정수 $r$ 에 대해서는 이미 알고 있었지만, 이제는 임의의 양의 실수 $r$ 에 대해서도 이를 증명할 수 있습니다. 다음과 같이 쓰고

f(x)=x^{r}=e^{r\log x}

이를 함수 $f\colon\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ 로 간주합니다. 이제 연쇄 법칙을 ( $(e^{x})^{\prime}=e^{x}$ 라는 사실과 함께) 적용하면 다음을 얻습니다

	$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=e^{r\log x}\cdot(r\log x)^{\prime}$
		$\displaystyle=e^{r\log x}\cdot\frac{r}{x}=x^{r}\cdot\frac{r}{x}=rx^{r-1}.$

$e^{x}$ 와 $\log x$ 에 대한 공식을 증명하지 않는 이유는, 현재로서는 둘 중 어느 것에 대해서도, 심지어 $x$ 가 유리수가 아닐 때의 $2^{x}$ 에 대해서조차 엄밀한 정의를 갖고 있지 않기 때문입니다. 그렇지만 어떤 사실로부터 다른 사실이 따라 나온다는 것을 알아 두는 것은 좋습니다. ∎

28.3 극댓값(과 최댓값)

대표적인 예: 포물선에 대한 수평 접선은 일반적으로 좋은 그림입니다.

고등학교에서 배운 것처럼, 미적분학의 고전적인 용도 중 하나는 함수의 최솟값이나 최댓값을 구하는 것이었습니다. 여기서는 이를 어떻게 하는지 엄밀하게 설명하겠습니다.

정의 28.3.1.

$f\colon U\to\mathbb{R}$ 를 함수라고 합시다. 극대점이란 $p$ 의 ( $U$ 에 포함된) 열린 근방 $V$ 가 존재하여 모든 $x\in V$ 에 대해 $f(p)\geq f(x)$ 가 성립하는 점 $p\in U$ 입니다.

극소점도 비슷하게 정의합니다.⁴⁴4동치로, 이는 $-f$ 의 극대점입니다.

정의 28.3.2.

점 $p$ 가 이 둘 중 어느 하나를 만족하면 $p$ 를 극점이라고 합니다.

도함수의 좋은 점은 모든 극점을 잡아낸다는 것입니다.

정리 28.3.3 (정류점에 관한 페르마 정리).

$f\colon U\to\mathbb{R}$ 가 미분 가능하고 $p\in U$ 가 극점이라고 합시다. 그러면 $f^{\prime}(p)=0$ 입니다.

그림을 그려 보면 이 결과는 놀랍지 않습니다.

(또한 주의할 점: 역은 성립하지 않습니다. 예를 들어 $f(x)=x^{2019}$ 는 $f^{\prime}(0)=0$ 이지만 $x=0$ 은 $f$ 의 극점이 아닙니다.)

증명.

모순을 이끌어 내기 위해 $f^{\prime}(p)>0$ 이라고 가정합시다. $\varepsilon<f^{\prime}(p)$ 인 임의의 $\varepsilon>0$ 을 고르십시오. 그러면 충분히 작은 $|h|$ 에 대해 다음이 성립해야 합니다

\frac{f(p+h)-f(p)}{h}>\varepsilon.

특히 $h>0$ 이면 $f(p+h)>f(p)$ 이고 $h<0$ 이면 $f(p+h)<f(p)$ 입니다. 따라서 $p$ 는 극점이 아닙니다.

$f^{\prime}(p)<0$ 인 경우의 증명도 비슷합니다. ∎

그러나 최적화를 위한 완전한 방법을 원한다면 이것만으로는 실제로 충분하지 않습니다. 문제는 우리가 전역 극값을 찾고 있다는 점이며, 이는 존재하지 않을 수도 있습니다. 예를 들어 $f(x)=x$ ( $f^{\prime}(x)=1$ )는 분명히 국소 극값을 전혀 갖지 않습니다. 이를 해결하는 핵심은 콤팩트성을 이용하는 것입니다. 정의역을 콤팩트 집합 $Z$ 로 바꾸면, $f$ 가 어떤 전역 최댓값을 가진다는 것을 알 수 있습니다. 집합 $Z$ 는 자연스럽게 어떤 내부 $S$ 를 가지며, 미적분학은 $S$ 안의 모든 극값을 알려 줍니다. 그런 다음 $S$ 바깥의 모든 경우를 직접 확인합니다.

확장된 예시 두 가지를 살펴봅시다. 첫 번째는 간단하고 아마 이미 알고 계시겠지만, 콤팩트성을 이용해 빈틈없이 논증하는 방법과 “경계” 점들이 어떻게 자연스럽게 나타나는지를 보여 드리고자 합니다.

예제 28.3.4 (직사각형 넓이 최적화).

둘레가 $20$ 인 직사각형들을 생각하여 넓이가 가장 작거나 가장 큰 직사각형을 찾고자 한다고 합시다.

직사각형의 두 변을 $x$ 와 $10-x$ 로 잡으면, 우리는 다음 함수를 최적화하려는 것입니다

f(x)=x(10-x)=10x-x^{2}\qquad f\colon[0,10]\to\mathbb{R}.

콤팩트성에 의해 어떤 최댓값과 어떤 최솟값이 존재합니다.

$f$ 가 $(0,10)$ 에서 미분 가능하므로, 임의의 $p\in(0,10)$ 에 대해 최댓점은 극대점이기도 하며, 따라서 다음을 만족해야 함을 알 수 있습니다

0=f^{\prime}(p)=10-2p\implies p=5.

또한 점 $x=0$ 과 $x=10$ 은 정의역에는 속하지만 내부 $(0,10)$ 에는 속하지 않습니다. 따라서 전역 극값은 (존재할 뿐 아니라) 세 후보 $\{0,5,10\}$ 중에 있어야 합니다.

마지막으로 $f(0)=0$ , $f(5)=25$ , $f(10)=0$ 을 확인합니다. 따라서 $5\times 5$ 정사각형의 넓이가 가장 크고, 퇴화된 직사각형들의 넓이가 가장 작습니다(0입니다).

다음은 초등적이지 않은 예제입니다.

명제 28.3.5 ( $e^{x}\geq 1+x$ ).

모든 실수 $x$ 에 대하여 $e^{x}\geq 1+x$ 가 성립합니다.

증명.

다음 미분 가능 함수를 정의합니다.

f(x)=e^{x}-(x+1)\qquad f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}.

콤팩트 구간 $Z=[-1,100]$ 을 생각합시다. $x\leq-1$ 이면 자명하게 $f(x)>0$ 입니다. 마찬가지로 $x\geq 100$ 이어도 자명하게 $f(x)>0$ 입니다. 따라서 $x\in Z$ 이면 $f(x)\geq 0$ 임을 증명하기만 하면 됩니다.

실제로 어떤 전역 최솟값 $p$ 가 존재합니다. 이는 끝점 $-1$ 또는 $100$ 일 수도 있습니다. 그렇지 않고 $U=(-1,100)$ 안에 있다면, 다음을 만족해야 합니다.

0=f^{\prime}(p)=e^{p}-1\implies p=0.

$f(-1)>0$ , $f(100)>0$ , $f(0)=0$ 이므로, $p=0$ 이 $Z$ 의 전역 최솟값이라는 결론을 얻습니다. 따라서 모든 $x\in Z$ 에 대하여 $f(x)\geq 0$ 이고, 그러므로 모든 $x$ 에 대하여 성립합니다. ∎

비고 28.3.6.

$\pm\infty$ 에서의 극한을 기꺼이 사용한다면, 위와 같은 증명을 $-1$ 이나 $100$ 같은 끝점을 명시적으로 찾아낼 필요가 없는 방식으로 다시 쓸 수 있습니다. 여기서는 그렇게 하지 않겠지만, 생각해 볼 만한 좋은 거리입니다.

28.4 롤과 그 친구들

대표적인 예: 경주로 원리라고 할까요?

앞 절에서 한 작업의 따름정리 중 하나가 롤의 정리입니다.

정리 28.4.1 (롤의 정리).

$f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 연속함수이고, 열린구간 $(a,b)$ 에서 미분 가능하며, $f(a)=f(b)$ 를 만족한다고 합시다. 그러면 $f^{\prime}(c)=0$ 을 만족하는 점 $c\in(a,b)$ 가 존재합니다.

증명.

$f$ 가 상수함수가 아니라고 가정합시다(그렇지 않다면 어떤 $c$ 든 성립합니다). 콤팩트성에 의해 전역 최댓값과 전역 최솟값이 모두 존재합니다. $f(a)=f(b)$ 이므로, 전역 최댓값과 전역 최솟값 중 하나는 반드시 열린구간 $(a,b)$ 안에 있어야 하며, 그러면 정류점에 관한 페르마의 정리로 증명이 끝납니다. ∎

그림을 그리려고 했는데, xkcd #2042에 이미 그림이 있다는 것을 깨달았습니다.

화상은 [35]에서 가져왔습니다.

이 정리를 다음과 같이 변형할 수 있습니다.

정리 28.4.2 (평균값 정리).

$f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 연속함수이고, 열린구간 $(a,b)$ 에서 미분 가능하다고 합시다. 그러면 다음을 만족하는 점 $c\in(a,b)$ 가 존재합니다.

f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

그림으로 보면, $c$ 에서의 접선이 $(a,f(a))$ 와 $(b,f(b))$ 를 잇는 할선과 같은 기울기를 갖는 $c$ 가 존재한다는 뜻이며, 롤의 정리는 그 할선이 수평인 특수한 경우입니다.

평균값 정리의 증명.

$s=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 를 할선의 기울기라고 하고, 다음과 같이 정의합시다.

g(x)=f(x)-sx

이는 직관적으로 할선이 수평이 되도록 $f$ 를 아래쪽으로 층밀리기하는 것입니다. 실제로 이제 $g(a)=g(b)$ 이므로, $g$ 에 롤의 정리를 적용합니다. ∎

비고 28.4.3 (운전면허가 있는 분들을 위해).

이에 대해 언급해 둘 만한 좋은 실생활 해석이 있습니다. 자동차 한 대가 1차원 도로를 따라 달리고 있다고 합시다( $f(t)$ 는 시각 $t$ 에서의 위치를 나타냅니다). 여러분이 $5$ 시간 동안 차로 $900$ 킬로미터를 이동했다고 가정합시다(예를 들어 $f(0)=0$ , $f(5)=900$ ). 그러면 그 순간의 속력이 정확히 시속 $180$ 킬로미터였던 어떤 시점이 존재하므로, 경찰이 과속으로 차를 세워도 딱히 불평할 수 없습니다.

평균값 정리가 중요한 이유는, 이 정리 없이는 사실상 불가능한 방식으로 도함수 정보를 이용해 함수에 대한 정보를 얻을 수 있게 해 주기 때문입니다. 요점을 보여 주는 간단한 응용을 하나 소개합니다.

명제 28.4.4 (경주로 원리).

$f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 $f(0)=g(0)$ 를 만족하는 두 미분 가능 함수라고 합시다.

(a)

모든 $x>0$ 에 대하여 $f^{\prime}(x)\geq g^{\prime}(x)$ 이면, 모든 $x>0$ 에 대하여 $f(x)\geq g(x)$ 입니다.
(b)

모든 $x>0$ 에 대하여 $f^{\prime}(x)>g^{\prime}(x)$ 이면, 모든 $x>0$ 에 대하여 $f(x)>g(x)$ 입니다.

이 명제는 자명해 보일 수도 있습니다. 이것을 경주로에 비유하는 데에는 이유가 있습니다. $f$ 와 $g$ 가 두 자동차(또는 말 등)의 위치를 나타내고 첫 번째 자동차가 항상 두 번째 자동차보다 빠르다면, 결국 첫 번째 자동차가 두 번째 자동차보다 앞서 있어야 합니다. 특수한 경우인 $g=0$ 에서 이 명제는 $f^{\prime}(x)\geq 0$ 이면, 즉 “ $f$ 가 증가한다”면, 음, $x>0$ 에 대하여 $f(x)\geq f(0)$ 이라는 뜻이며, 이는 당연히 참이어야 합니다. 그러나 이것을 도함수의 정의로부터 증명하려고 하면 쉽지 않다는 것을 알게 될 것입니다! 그렇지만 이것은 거의 평균값 정리의 원형이라고 할 수 있습니다.

경주로 원리의 증명.

(a)를 증명합니다. $h=f-g$ 라 하면 $h(0)=0$ 입니다. 귀류법을 위해 어떤 $p>0$ 에 대하여 $h(p)<0$ 이라고 가정합시다. 그러면 $(0,h(0))$ 과 $(p,h(p))$ 를 잇는 할선의 기울기는 음수입니다. 다시 말해 평균값 정리에 의해 다음을 만족하는 $0<c<p$ 가 존재합니다.

f^{\prime}(c)-g^{\prime}(c)=h^{\prime}(c)=\frac{h(p)-h(0)}{p}=\frac{h(p)}{p}<0

따라서 $f^{\prime}(c)<g^{\prime}(c)$ 이므로 모순입니다. (b)도 마찬가지입니다. ∎

때로는 쉽게 분리할 수 없는 두 함수를 마주하게 될 것입니다. 그런 경우에는 다음 형태가 더 유용할 수 있습니다.

정리 28.4.5 (비율 평균값 정리).

$f,g\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 $(a,b)$ 에서 미분 가능한 두 연속함수라고 합시다. 그러면 다음을 만족하는 $c\in(a,b)$ 가 존재합니다.

f^{\prime}(c)(g(b)-g(a))=g^{\prime}(c)(f(b)-f(a))

증명.

다음 함수에 롤의 정리를 적용하십시오.

h(x)=\left[f(x)-f(a)\right]\left[g(b)-g(a)\right]-\left[g(x)-g(a)\right]\left[% f(b)-f(a)\right].\qed

이것은 코시의 평균값 정리 또는 확장된 평균값 정리라고도 합니다.

28.5 매끄러운 함수

대표적인 예: 여러분에게 익숙한 모든 함수입니다.

$f\colon U\to\mathbb{R}$ 가 미분 가능하다고 하면 함수 $f^{\prime}\colon U\to\mathbb{R}$ 를 얻습니다. 처음 함수가 충분히 좋다면 다시 도함수를 취하여 함수 $f^{\prime\prime}\colon U\to\mathbb{R}$ 를 얻을 수 있고, 이런 식으로 계속할 수 있습니다. 일반적으로 도함수를 $n$ 번 취하여 얻은 함수를 $f^{(n)}$ 으로 나타냅니다. 관례상 $f^{(0)}=f$ 입니다.

정의 28.5.1.

함수 $f\colon U\to\mathbb{R}$ 가 무한 번 미분 가능할 때, 즉 모든 $n$ 에 대하여 함수 $f^{(n)}$ 이 존재할 때 $f$ 가 매끄럽다고 합니다.

질문 28.5.2.

절댓값 함수가 매끄럽지 않음을 보이십시오.

다항식, $e^{x}$ , $\log$ , $\sin$ , $\cos$ 등 우리가 접하는 대부분의 함수는 매끄러우며, 이들의 합성도 마찬가지입니다. 다음은 다음 시간에 더 자세히 다룰 이상한 예입니다.

예제 28.5.3 (모든 도함수가 0인 매끄러운 함수).

다음 함수를 생각합시다.

f(x)=\begin{cases}e^{-1/x}&x>0\\ 0&x\leq 0.\end{cases}

이 함수는 매끄러우며 $f^{(n)}(0)=0$ 임을 보일 수 있습니다. 따라서 이 함수는 상수 함수가 아닌데도 원점에서 모든 도함수의 값이 0입니다!

28.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 28A (몫의 법칙).

$f\colon(a,b)\to\mathbb{R}$ 와 $g\colon(a,b)\to\mathbb{R}_{>0}$ 가 미분 가능 함수라고 합시다. $h=f/g$ 를 이들의 몫(역시 함수 $(a,b)\to\mathbb{R}$ )이라고 합시다. $h$ 의 도함수가 다음과 같이 주어짐을 보이십시오.

h^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{g(x)^{2}}.

문제 28B.

실수 $x>0$ 에 대하여 $x^{x}$ 는 얼마나 작아질 수 있습니까?

문제 28C (RMM 2018).

^†^†margin:

다음을 만족하는, 실수 계수를 가진 상수가 아닌 다항식 $P(x)$ 와 $Q(x)$ 가 존재하는지 판정하십시오.

P(x)^{10}+P(x)^{9}=Q(x)^{21}+Q(x)^{20}.

문제 28D.