장 90 순서수

미취학 시절, 우리는 다음과 같이 세는 법을 배웠습니다. 우리는 기호 $1$, $2$, $3$, $4$, …의 집합을 정의했습니다. 그러면 선생님이 사과 세 개를 들고 이렇게 말하곤 했습니다:

“하나 . . . 둘 . . . 셋! 사과가 세 개 있습니다.”

여기서 암묵적인 정의는, 말한 마지막 숫자가 최종 답이라는 것입니다. 이는 무한 집합을 세려고 할 때 몇 가지 명백한 문제를 일으키지만, 유한한 세계에서조차도 이 세는 방법은 가장 단순한 집합에 대해 실패합니다: 다음 그림에는 사과가 몇 개 있습니까?

답: $0$. 아무것도 말할 것이 없으며, 우리의 세는 방법은 가장 단순한 집합인 공집합에 대해 실패했습니다.

나열된 숫자 중 마지막 것을 사용하는 대신, 저는 기호 $0$, $1$, $2$, …목록으로 시작하여, 말해지지 않은 첫 번째 숫자를 최종 답으로 삼는 방법을 제안합니다. 그리하여 사과 세 개를 세려면, 우리는 다음과 같이 말할 것입니다

“영 . . . 일 . . . 이! 사과가 세 개 있습니다.”

우리는 이러한 숫자를 순서수라고 부를 것입니다(엄밀한 정의는 나중에 다룹니다). 특히, 우리는 각 순서수를 우리가 말한 것들의 집합으로 정의할 것입니다:

	$0$	$=\mathrm{\varnothing }$
	$1$	$=\{0\}$
	$2$	$=\{0,1\}$
	$3$	$=\{0,1,2\}$

이런 방식으로 자연수를 써 내려갈 수 있습니다. 다음과 같은 것을 말해보며 재미를 느낄 수도 있습니다

$$4≔\left\{\right\{\},\{\left\{\right\}\},\{\left\{\right\},\left\{\right\{\left\}\right\}\},\{\left\{\right\},\left\{\right\{\left\}\right\},\left\{\right\{\},\{\left\{\right\}\left\}\right\}\left\}\right\}.$$

이런 방식으로, 우리는 곧 모든 자연수를 써 내려가게 됩니다. 다음 순서수인 $\omega$¹¹1지난 장에서 언급했듯이, $\omega$가 집합이라는 것은 자명하지 않으며, 그 존재성은 일반적으로 $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}$ 공리에 의해 상정됩니다. 는 다음과 같이 정의됩니다

	$\omega$	$=\{0,1,2,\mathrm{\dots }\}$
다음으로
	$\omega +1$	$=\{0,1,2,\mathrm{\dots },\omega \}$
	$\omega +2$	$=\{0,1,2,\mathrm{\dots },\omega ,\omega +1\}$
	$\omega +3$	$=\{0,1,2,\mathrm{\dots },\omega ,\omega +1,\omega +2\}$
그리고 이런 방식으로 $\omega +n$을 정의하며, 결국에는 도달합니다
	$\omega \cdot 2=\omega +\omega$	$=\{0,1,2\mathrm{\dots },\omega ,\omega +1,\omega +2,\mathrm{\dots }\}$
	$\omega \cdot 2+1$	$=\{0,1,2\mathrm{\dots },\omega ,\omega +1,\omega +2,\mathrm{\dots },\omega \cdot 2\}.$

이런 방식으로 우리는 다음을 얻습니다

	$0,$	$1,2,3,\mathrm{\dots },\omega$
		$\omega +1,\omega +2,\mathrm{\dots },\omega +\omega$
		$\omega \cdot 2+1,\omega \cdot 2+2,\mathrm{\dots },\omega \cdot 3,$
		$\mathrm{⋮}$
		$\omega {}^2+1,\omega {}^2+2,\mathrm{\dots }$
		$\mathrm{⋮}$
		$\omega {}^3,\mathrm{\dots },\omega {}^4,\mathrm{\dots },\omega {}^{\omega }$
		$\mathrm{⋮}$
		$\omega {}^{\omega {}^{\omega {}^{\mathrm{\dots }}}}$

처음 몇 개의 순서수는 멋진 나선형으로 나타낼 수 있습니다.

순서수에 대한 우리의 비형식적 설명은 하나의 사슬을 제공합니다

$$0\in 1\in 2\in \mathrm{\cdots }\in \omega \in \omega +1\in \mathrm{\dots }.$$

순서수의 실제 정의를 제시하기 위해서는, 먼저 두 개의 보조 용어를 정의할 필요가 있습니다.

또한, ”정렬순서”의 정의를 상기해 봅시다: 무한 하강 사슬이 없는 강한 선형 순서입니다.

순서수를 나타낼 때 우리는 보통 그리스 문자 $\alpha$, $\beta$ 등을 사용합니다.

따라서 순서수는 순서형의 가능한 동치류를 나타냅니다. 정렬 집합이 주어질 때마다 그것은 유일한 순서수와 동형입니다.

이제 우리가 하던 “$+1$” 연산을 형식화합니다:

먼저, 다음을 주목합니다:

이로부터 다음을 유도합니다:

이를 고려하여, 모든 순서수 집합은 최소 상계인 상한을 가집니다. 이것을 $supA$로 나타냅니다.

그림에서의 “높음”은 몇 절 뒤에 설명될 것입니다.

$\in$에 무한 하강 사슬이 없다는 사실은 귀납법과 재귀법이 그대로 성립함을 의미합니다.

이것이 일반적인 귀납법과 다른 점은 극한 순서수에 있습니다. 실생활에서는 그저 “$x{}_{n+1}=\mathrm{\dots }$을 정의한다”와 같은 일만 할 수도 있습니다. 하지만 이것만으로는 모든 $\alpha$에 대해 $x{}_{\alpha }$를 정의하기에 충분하지 않은데, 왜냐하면 이런 방식으로는 $\omega$에 도달할 수 없기 때문입니다. 마찬가지로, 단순히 $+1$을 하는 것으로는 모든 $n$에 대한 $\omega +n$을 이미 가지고 있더라도 순서수 $\omega \cdot 2$에 도달할 수 없습니다. 다시 말해, 단순히 $1$씩 증가시키는 것으로는 극한 단계를 넘어설 수 없지만, 초한 귀납법을 사용하여 위로 도약하면 이 문제를 우회할 수 있습니다.

그래서 초한 귀납법은 흔히 세 가지 경우로 나뉩니다. 귀납법 형식으로는 다음과 같습니다.

• •

  (영 단계) 먼저, $P(0)$을 해결합니다.

• •

  (후속자 단계) $P(\alpha )$로부터 $P(\alpha +1)$을 얻을 수 있음을 보입니다.

• •

  (극한 단계) 극한 순서수 $\lambda$에 대해, 모든 에 대한 $P(\alpha )$가 주어졌을 때 $P(\lambda )$가 성립함을 보입니다.

마찬가지로, 초한 재귀법 또한 흔히 경우로 나뉩니다.

• •

  (영 단계) 먼저, $x{}_0$을 정의합니다.

• •

  (후속자 단계) $x{}_{\alpha }$로부터 $x{}_{\alpha +1}$을 정의합니다.

• •

  (극한 단계) $\lambda$가 극한 순서수일 때, 모든 에 대한 $x{}_{\alpha }$로부터 $x{}_{\lambda }$를 정의합니다.

두 상황 모두에서, 유한 귀납법은 처음 두 경우만 다루지만, 세 번째 경우를 다룰 수 있다면 장벽 $\omega$ 너머로 올라갈 수 있습니다.

초한 재귀법의 예를 들기 위해, 순서수의 덧셈을 정의해 봅시다. 우리가 $\alpha +1=\alpha \cup \{\alpha \}$로 정의했음을 상기하십시오. 초한 재귀법에 의해, 다음과 같이 둡니다.

	$\alpha +0$	$=\alpha$
	$\alpha +(\beta +1)$	$=(\alpha +\beta )+1$
	$\alpha +\lambda$

여기서 $\lambda \ne 0$입니다.

우리는 이것을 명시적으로도 할 수 있습니다. 그림으로는 그저 $\alpha$를 $\beta$ 앞에 나란히 놓는 것입니다. 즉, 다음 집합을 고려할 수 있습니다.

$$X=\left(\right\{0\}\times \alpha )\cup \left(\right\{1\}\times \beta )$$

(즉, $\alpha$의 각 원소에는 $0$을 표시하고, $\beta$의 각 원소에는 $1$을 표시합니다.) 그런 다음 사전식 순서 (첫 번째 성분으로 정렬한 뒤, 두 번째 성분으로 정렬)에 의해 $X$에 정렬 순서를 부여합니다. 이 정렬 순서는 유일한 순서수와 동형입니다.

마찬가지로, 곱셈도 두 가지 방식으로 정의할 수 있습니다. 초한 귀납법으로는:

	$\alpha \cdot 0$	$=0$
	$\alpha \cdot (\beta +1)$	$=(\alpha \cdot \beta )+\alpha$
	$\alpha \cdot \lambda$

명시적 구성도 할 수 있습니다: 이번에는 $\beta$개의 사본을 나란히 늘어놓되, 각 사본이 $\alpha$개의 항목을 담는 그림입니다. 즉, $\alpha \cdot \beta$는 다음의 순서형입니다

순서수 덧셈과 마찬가지로, $\alpha \cdot (\beta +1)=(\alpha \cdot \beta )+\alpha$로 정의하면 일 때 가 성립함이 보장됩니다 — $\alpha >0$.

거듭제곱도 이와 같이 정의할 수 있지만, 명시적 구성은 덜 자연스럽습니다 — 이 책의 나머지 부분에서는 이 정의를 사용하지 않으므로 무시하셔도 됩니다.

$\alpha =0$에 대해서는 $0{}^0=1$로, 모든 $\beta >0$에 대해 $0{}^{\beta }=0$으로 정의합니다. 그 외의 경우에는:

	$\alpha {}^0$	$=1$
	$\alpha {}^{\beta +1}$	$=\alpha {}^{\beta }\cdot \alpha$
	$\alpha {}^{\lambda }$

이제 초한 재귀법으로 폰 노이만 계층을 정의합니다.

초한 귀납법에 의해, $V{}_{\alpha }$가 추이적이며 모든 에 대해 $V{}_{\alpha }\subseteq V{}_{\beta }$임을 알 수 있습니다.

집합의 계수가 실제로 존재하는지는 아직 명확하지 않으므로, 이를 증명합니다:

이는 우주 $V$에 대한 다음과 같은 그림으로 우리를 이끕니다:

우주 $V$를, $V{}_0⊊V{}_1⊊V{}_2⊊\mathrm{\dots }$와 같이 여러 단계 또는 층으로 이루어진 삼각형으로 상상할 수 있습니다. 이 우주는 꼭대기가 없지만, 각 $V{}_i$는 꼭대기를 가집니다. 그러나 이 우주는 매우 명확한 바닥을 가집니다. 각 단계는 이전 단계보다 상당히 넓습니다.

이 우주의 중심에는 순서수들이 있습니다: 모든 후행자 $V{}_{\alpha +1}$마다 정확히 하나의 새로운 순서수, 즉 $\alpha$가 나타납니다. 따라서 순서수의 클래스를 우주의 전체 높이에 걸쳐 뻗어 있는 얇은 선으로 그릴 수 있습니다. 어떤 집합이 순서수 $\alpha$와 같은 단계에 나타나면 그 집합은 계수 $\alpha$를 가집니다.

정수의 연구인 정수론 전체는 $V{}_{\omega }$ 안에 존재합니다. 실수의 연구인 실해석학은 $V{}_{\omega +1}$ 안에 존재하는데, 이는 실수가 (이진 전개를 통해) $\mathbb{N}$의 부분집합으로 부호화될 수 있기 때문입니다. 함수해석학은 그보다 한 단계 더 나아간 $V{}_{\omega +2}$에 존재합니다. 실질적으로 대부분의 수학은 $V{}_{\omega +\omega }$를 넘어서지 않습니다. 이는 우주 전체의 진정한 규모에 비하면 보잘것없습니다.