장 90 순서수

유치원에서 우리는 다음과 같이 수를 세라고 배웠습니다. 우리는 기호 $1$, $2$, $3$, $4$, …의 집합을 정의했습니다. 그러면 선생님은 사과 세 개를 들어 올리고 이렇게 말하곤 했습니다.

“하나 . . . 둘 . . . 셋! 사과가 세 개 있습니다.”

여기에 숨어 있는 정의는 마지막으로 말한 수가 최종 답이라는 것입니다. 무한집합을 세려고 하면 당연히 몇 가지 문제가 생깁니다. 그런데 유한한 세계에서도 이 수 세기 방법은 가장 단순한 집합에서 통하지 않습니다. 다음 그림에는 사과가 몇 개 있습니까?

답: $0$. 말할 것이 아무것도 없으므로, 우리의 수 세기 방법은 가장 단순한 집합인 공집합에서 실패했습니다.

마지막으로 나열한 수를 쓰는 대신, 기호 $0$, $1$, $2$, … 의 목록으로 시작하여 말하지 않은 첫 수를 최종 답으로 삼을 것을 제안합니다. 따라서 사과 세 개를 셀 때는 이렇게 말합니다.

“영 . . . 하나 . . . 둘! 사과가 세 개 있습니다.”

이러한 수를 순서수라고 부르겠습니다(엄밀한 정의는 뒤에서 다룹니다). 특히 각 순서수를 우리가 말하는 것들의 집합으로 정의하겠습니다.

	$0$	$=\mathrm{\varnothing }$
	$1$	$=\{0\}$
	$2$	$=\{0,1\}$
	$3$	$=\{0,1,2\}$

이런 식으로 자연수를 적어 나갈 수 있습니다. 다음과 같이 말해 보며 재미를 느낄 수도 있습니다.

$$4≔\left\{\right\{\},\{\left\{\right\}\},\{\left\{\right\},\left\{\right\{\left\}\right\}\},\{\left\{\right\},\left\{\right\{\left\}\right\},\left\{\right\{\},\{\left\{\right\}\left\}\right\}\left\}\right\}.$$

이런 식으로 곧 모든 자연수를 적게 됩니다. 다음 순서수 $\omega$¹¹1지난 장에서 언급했듯이, $\omega$가 집합이라는 것은 바로 알 수 있는 사실이 아닙니다. 그 존재는 보통 $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}$ 공리로 가정합니다. 는 다음과 같이 정의됩니다.

	$\omega$	$=\{0,1,2,\mathrm{\dots }\}$
그다음에는
	$\omega +1$	$=\{0,1,2,\mathrm{\dots },\omega \}$
	$\omega +2$	$=\{0,1,2,\mathrm{\dots },\omega ,\omega +1\}$
	$\omega +3$	$=\{0,1,2,\mathrm{\dots },\omega ,\omega +1,\omega +2\}$
이런 방식으로 $\omega +n$을 정의하며, 마침내 다음에 도달합니다.
	$\omega \cdot 2=\omega +\omega$	$=\{0,1,2\mathrm{\dots },\omega ,\omega +1,\omega +2,\mathrm{\dots }\}$
	$\omega \cdot 2+1$	$=\{0,1,2\mathrm{\dots },\omega ,\omega +1,\omega +2,\mathrm{\dots },\omega \cdot 2\}.$

이런 식으로 다음을 얻습니다.

	$0,$	$1,2,3,\mathrm{\dots },\omega$
		$\omega +1,\omega +2,\mathrm{\dots },\omega +\omega$
		$\omega \cdot 2+1,\omega \cdot 2+2,\mathrm{\dots },\omega \cdot 3,$
		$\mathrm{⋮}$
		$\omega {}^2+1,\omega {}^2+2,\mathrm{\dots }$
		$\mathrm{⋮}$
		$\omega {}^3,\mathrm{\dots },\omega {}^4,\mathrm{\dots },\omega {}^{\omega }$
		$\mathrm{⋮}$
		$\omega {}^{\omega {}^{\omega {}^{\mathrm{\dots }}}}$

처음 몇 개의 순서수는 멋진 나선으로 나타낼 수 있습니다.

순서수에 대한 비형식적인 설명으로부터 다음과 같은 사슬을 얻습니다

$$0\in 1\in 2\in \mathrm{\cdots }\in \omega \in \omega +1\in \mathrm{\dots }.$$

순서수의 실제 정의를 제시하려면 먼저 두 가지 보조 용어를 정의해야 합니다.

또한 “정렬순서”의 정의를 떠올려 봅시다. 정렬순서란 무한 하강 사슬이 없는 엄격한 선형 순서입니다.

순서수에는 보통 $\alpha$, $\beta$ 등 그리스 문자를 사용합니다.

따라서 순서수는 순서형들의 가능한 동치류를 나타냅니다. 정렬 집합이 주어지면 그 집합은 언제나 유일한 순서수와 동형입니다.

이제 지금까지 해 온 “$+1$” 연산을 형식화합니다.

먼저 다음을 짚어 둡니다.

이로부터 다음을 이끌어 냅니다.

이에 비추어 보면, 순서수의 모든 집합은 최소 상계인 상한을 가집니다. 이를 $supA$로 나타냅니다.

“높다”는 비유적 표현은 몇 절 뒤에 설명하겠습니다.

$\in$에 무한 하강 사슬이 없다는 사실은 귀납법과 재귀가 그대로 성립한다는 것을 뜻합니다.

이것과 일반적인 귀납법의 차이는 극한 순서수에 있습니다. 현실에서 우리는 “$x{}_{n+1}=\mathrm{\dots }$로 정의한다”와 같은 일만 할 수도 있습니다. 하지만 이 방법으로는 $\omega$에 도달할 수 없으므로, 모든 $\alpha$에 대해 $x{}_{\alpha }$를 정의하기에는 충분하지 않습니다. 마찬가지로, 모든 $n$에 대해 $\omega +n$을 이미 가지고 있더라도 단순한 $+1$만으로는 순서수 $\omega \cdot 2$에 도달할 수 없습니다. 다시 말해, 단순히 $1$씩 증가시키는 것으로는 극한 단계를 넘어갈 수 없지만, 초한 귀납법을 사용하여 위로 뛰어오르면 이 문제를 피할 수 있습니다.

따라서 초한 귀납법은 흔히 세 가지 경우로 나뉩니다. 귀납법의 형태로 표현하면 다음과 같습니다.

• •

  (0인 경우) 먼저 $P(0)$을 해결합니다.

• •

  (따름 서수인 경우) $P(\alpha )$로부터 $P(\alpha +1)$을 얻을 수 있음을 보입니다.

• •

  (극한 경우) 극한 순서수 $\lambda$에 대해, 모든 에 대해 $P(\alpha )$가 성립한다고 할 때 $P(\lambda )$가 성립함을 보이십시오.

마찬가지로, 초한 재귀도 흔히 여러 경우로 나뉩니다.

• •

  (0인 경우) 먼저 $x{}_0$을 정의합니다.

• •

  (따름 서수인 경우) $x{}_{\alpha }$로부터 $x{}_{\alpha +1}$을 정의합니다.

• •

  (극한 경우) $\lambda$가 극한 순서수일 때, 모든 에 대한 $x{}_{\alpha }$로부터 $x{}_{\lambda }$를 정의하십시오.

두 상황 모두에서 유한 귀납법은 처음 두 경우만 다루지만, 세 번째 경우를 다룰 수 있다면 $\omega$라는 장벽을 넘어 올라갈 수 있습니다.

초한 재귀의 예로 순서수의 덧셈을 정의해 봅시다. 앞에서 $\alpha +1=\alpha \cup \{\alpha \}$로 정의했던 것을 떠올리십시오. 초한 재귀에 의해 다음과 같이 둡시다.

	$\alpha +0$	$=\alpha$
	$\alpha +(\beta +1)$	$=(\alpha +\beta )+1$
	$\alpha +\lambda$

여기서 $\lambda \ne 0$입니다.

이를 명시적으로 할 수도 있습니다. 그림으로 보면 단순히 $\alpha$를 $\beta$ 앞에 늘어놓는 것입니다. 즉, 다음 집합을 생각할 수 있습니다.

$$X=\left(\right\{0\}\times \alpha )\cup \left(\right\{1\}\times \beta )$$

(즉, $\alpha$의 각 원소에는 $0$을, $\beta$의 각 원소에는 $1$을 꼬리표로 붙입니다). 그런 다음 사전식 순서 (첫 번째 성분으로 정렬한 뒤 두 번째 성분으로 정렬)를 통해 $X$에 정렬을 부여합니다. 이 정렬은 유일한 순서수와 동형입니다.

마찬가지로 곱셈도 두 가지 방법으로 정의할 수 있습니다. 초한 귀납법으로 정의하면 다음과 같습니다.

	$\alpha \cdot 0$	$=0$
	$\alpha \cdot (\beta +1)$	$=(\alpha \cdot \beta )+\alpha$
	$\alpha \cdot \lambda$

명시적 구성도 가능합니다. 이번에는 각각 $\alpha$개의 원소를 담은 복사본 $\beta$개를 나란히 늘어놓는 그림입니다. 즉, $\alpha \cdot \beta$는 다음의 순서형입니다.

순서수 덧셈과 마찬가지로, $\alpha \cdot (\beta +1)=(\alpha \cdot \beta )+\alpha$로 정의하면 일 때 가 성립함이 보장됩니다 — 단, $\alpha >0$.

거듭제곱도 이와 같이 정의할 수 있지만, 명시적 구성은 덜 자연스럽습니다 — 이 정의는 이 책의 나머지 부분에서 사용하지 않으므로 무시해도 됩니다.

$\alpha =0$인 경우, $0{}^0=1$로 정의하고 모든 $\beta >0$에 대하여 $0{}^{\beta }=0$으로 정의합니다. 그렇지 않은 경우는 다음과 같습니다.

	$\alpha {}^0$	$=1$
	$\alpha {}^{\beta +1}$	$=\alpha {}^{\beta }\cdot \alpha$
	$\alpha {}^{\lambda }$

이제 초한 재귀를 이용하여 폰 노이만 계층을 정의합니다.

초한 귀납법에 의해 $V{}_{\alpha }$는 추이적이며, 모든 에 대하여 $V{}_{\alpha }\subseteq V{}_{\beta }$임을 알 수 있습니다.

집합의 계수가 실제로 존재하는지는 아직 분명하지 않으므로, 다음을 증명합니다.

이로부터 우주 $V$의 모습을 다음과 같이 그려 볼 수 있습니다.

우주 $V$를 여러 단계 또는 층 $V{}_0⊊V{}_1⊊V{}_2⊊\mathrm{\dots }$로 쌓아 올린 삼각형으로 상상할 수 있습니다. 이 우주에는 꼭대기가 없지만, 각각의 $V{}_i$에는 꼭대기가 있습니다. 그러나 이 우주에는 매우 뚜렷한 바닥이 있습니다. 각 단계는 이전 단계보다 훨씬 더 넓습니다.

이 우주의 중심에는 순서수가 있습니다. 모든 따름 단계 $V{}_{\alpha +1}$마다 정확히 하나의 새로운 순서수, 즉 $\alpha$가 나타납니다. 따라서 순서수의 모임을 우주의 높이 전체에 걸쳐 뻗어 있는 가느다란 선으로 그려 볼 수 있습니다. 어떤 집합이 $\alpha$와 같은 단계에서 나타나면 그 집합의 계수는 $\alpha$입니다.

정수를 연구하는 정수론 전체는 $V{}_{\omega }$ 안에 있습니다. 실수는 (이진 전개를 통해) $\mathbb{N}$의 부분집합으로 부호화할 수 있으므로, 실수를 연구하는 실해석학은 $V{}_{\omega +1}$ 안에 있습니다. 함수해석학은 그보다 한 단계 위인 $V{}_{\omega +2}$에 있습니다. 사실상 대부분의 수학은 $V{}_{\omega +\omega }$를 넘어서지 않습니다. 이는 우주 전체의 참된 크기에 비하면 보잘것없습니다.