장 94 연속체 가설 깨뜨리기

이제 강제법을 사용하여 적절한 부분순서집합 $\mathbb{P}$ 를 골라 연속체 가설을 깨뜨리겠습니다. 앞서 언급했듯이, 연속체 가설이 참인 모형을 만들 수도 있습니다. 이를 구성 가능 우주 $L$ 이라고 합니다. 하지만 저는 무언가가 깨질 때가 더 재미있다고 생각합니다…

94.1 실수 추가하기

가산 추이적 모형 $M$ 에서 시작합니다.

$(\aleph_{2})^{M}$ 개의 실수가 나타나도록 $\mathbb{P}\in M$ 을 고르고, 기수 붕괴는 나중에 걱정하고자 합니다.

앞서 $\mathbb{P}$ 를 무한 완전 이진 트리로 두었던 상황을 떠올려 보십시오. 그 노드들은 $n<\omega$ 인 부분함수 $n\to 2$ 로 생각할 수 있습니다. 그러면 $G$ 자체는 이 트리를 따라 내려가는 경로입니다. 즉 $G$ 는 전함수 $G\colon\omega\to 2$ 로 부호화될 수 있으며, 하나의 실수에 대응합니다.

이와 비슷한 일을 하되, 실수 하나 대신 $\omega_{2}$ 개의 실수로 하고자 합니다. 이를 고려하여 $M$ 에서 다음 부분순서집합을 생각합시다

\mathbb{P}=\operatorname{Add}(\omega,\omega_{2})\coloneqq\left(\left\{p\colon% \omega_{2}\times\omega\to 2,\operatorname{dom}(p)\text{유한합니다}\right\},% \supseteq\right).

이 원소 $p$ (조건)들은 “부분 함수”입니다. 즉, $\omega_{2}\times\omega$ 의 어떤 유한 부분집합을 택하여 그것을 $2=\{0,1\}$ 로 보내는 사상을 생각합니다. (여기서 $\operatorname{dom}(p)$ 는 $p$ 의 정의역을 나타내며, 이는 앞서 언급한 $\omega_{2}\times\omega$ 의 유한 부분집합입니다.) 또한, $\operatorname{dom}(p)\supseteq\operatorname{dom}(q)$ 이고 두 함수가 $\operatorname{dom}(q)$ 위에서 일치할 때 $p\leq q$ 라고 합니다.

질문 94.1.1.

여기서 최대 원소 $1_{\mathbb{P}}$ 는 무엇입니까?

연습문제 94.1.2.

제네릭 $G$ 가 함수 $\omega_{2}\times\omega\to 2$ 로 부호화될 수 있음을 보이십시오.

보조정리 94.1.3 ( $G$ 는 서로 다른 실수들을 부호화합니다).

$\alpha\in\omega_{2}$ 에 대하여 다음과 같이 정의합니다

G_{\alpha}=\left\{n\mid G\left(\alpha,n\right)=0\right\}\in\mathcal{P}(\mathbb% {N}).

그러면 임의의 $\alpha\neq\beta$ 에 대하여 $G_{\alpha}\neq G_{\beta}$ 입니다.

증명.

다음 집합이

D=\left\{q\mid\exists n\in\omega:q\left(\alpha,n\right)\neq q\left(\beta,n% \right)\text{둘 다 정의됩니다}\right\}

조밀하다고 주장합니다.

질문 94.1.4.

이를 확인하십시오. (정의역이 모두 유한하다는 사실을 이용하십시오.)

$G$ 는 $M$ -제네릭이므로 이 조밀 집합 $D$ 와 만납니다. 따라서 $G_{\alpha}\neq G_{\beta}$ 입니다. ∎

$G\in M[G]$ 이고 $M[G]\vDash\mathsf{ZFC}$ 이므로, 각 $G_{\alpha}$ 는 $M[G]$ 에 속합니다. 따라서 $M[G]$ 에는 적어도 $\aleph_{2}^{M}$ 개의 실수가 있습니다. 기수 붕괴가 없음을 보이기만 하면 증명이 끝납니다.

94.2 가산 사슬 조건

남은 것은 $\mathbb{P}=\operatorname{Add}(\omega,\omega_{2})$ 일 때 다음이 성립함을 보이는 것입니다

\aleph_{2}^{M[G]}=\aleph_{2}^{M}.

그 경우 $M[G]$ 는 $\aleph_{2}^{M}=\aleph_{2}^{M[G]}$ 개의 실수를 가지게 되므로 증명이 끝납니다.

이를 위해 $\mathbb{P}$ 의 다음 조합론적 성질을 이용하겠습니다.

정의 94.2.1.

$A$ 의 서로 다른 임의의 $p$ 와 $q$ 에 대하여 $p\perp q$ 일 때, $A\subseteq\mathbb{P}$ 를 강한 반사슬이라고 합니다.

예제 94.2.2 (반사슬의 예).

무한 이진 트리에서 집합 $A=\{00,01,10,11\}$ 은 강한 반사슬입니다(실제로 포함 관계에 대하여 극대입니다).

이는 여러분에게 익숙할 수도 있는 “반사슬”의 개념보다 더 강한 개념입니다!¹¹1강제법의 맥락에서 일부 저자는 “강한 반사슬”을 가리키는 데 “반사슬”이라는 용어를 사용합니다. 저는 이것이 별로라고 생각합니다. 우리는 단지 임의의 두 원소가 비교 불가능할 것만을 요구하는 것이 아니라, 실제로 양립 불가능할 것을 요구합니다.

질문 94.2.3.

유한 부분순서집합과, 그 부분순서집합의 강하지 않은 반사슬을 하나 그려 보십시오.

질문 94.2.4.

무한 이진 트리의 모든 반사슬은 강하지만, 위에서 정의한 부분순서집합 $\mathbb{P}$ 의 어떤 반사슬은 강하지 않다는 것을 스스로 납득해 보십시오.

정의 94.2.5.

부분순서집합 $\mathbb{P}$ 의 모든 강한 반사슬의 크기가 $\kappa$ 미만이면, $\mathbb{P}$ 가 $\kappa$ -사슬 조건을 가진다고 합니다(여기서 $\kappa$ 는 기수입니다). 특수한 경우인 $\kappa=\aleph_{1}$ 은 가산 사슬 조건이라고 부르는데, 이는 모든 강한 반사슬이 가산임을 함의하기 때문입니다.

비고 94.2.6 (표기법에 관한 여담: 왜 $\leq$ 대신 $<$ 를 쓸까요?).

부분순서집합 $\mathbb{P}$ 의 모든 강한 반사슬의 크기가 $\leq\kappa$ 일 때 $\mathbb{P}$ 가 $\kappa$ -사슬 조건을 가진다고 정의할 수도 있었습니다. 그러나 이 대안적 정의는 활용도가 떨어집니다 — 예를 들어, $\mathbb{P}$ 의 모든 강한 반사슬이 유한하다는 것을 표현할 방법이 없게 됩니다!

우리는 부분순서집합이 $\kappa$ -사슬 조건을 가지면 $\geq\kappa$ 인 모든 기수를 보존한다는 것을 보일 것입니다. 특히 가산 사슬 조건으로부터 $\mathbb{P}$ 가 모든 기수를 보존한다는 것을 알 수 있습니다. 그다음 $\operatorname{Add}(\omega,\omega_{2})$ 가 실제로 이 성질을 가진다는 것을 보이겠습니다. 이로써 증명이 완성됩니다.

유용한 보조정리 하나를 따로 떼어 내겠습니다:

보조정리 94.2.7 (가능한 값 논법).

$M$ 이 $\mathsf{ZFC}$ 의 추이적 모형이고 $\mathbb{P}$ 가 부분 순서이며, $\mathbb{P}$ 가 $M$ 에서 $\kappa$ -사슬 조건을 만족한다고 가정합시다. $X,Y\in M$ 이라 하고, $f\colon X\to Y$ 를 $M[G]$ 에 속하지만 $f\notin M$ 인 어떤 함수라고 합시다.

그러면 $F\colon X\to\mathcal{P}(Y)$ 이고 임의의 $x\in X$ 에 대하여 다음을 만족하는 함수 $F\in M$ 이 존재합니다,

f(x)\in F(x)\quad\text{그리고}\quad\left\lvert F(x)\right\rvert^{M}<\kappa.

이것이 말하는 바는, $f$ 가 새로 생성된 어떤 함수라 하더라도 $M$ 은 여전히 $f$ 의 값들을 $\kappa$ 개 미만의 값으로 좁혀 낼 수 있다는 것입니다.

증명.

증명의 아이디어는 간단합니다: $f$ 의 가능한 각 값은 그 값을 강제하는 부분순서집합 $\mathbb{P}$ 의 어떤 조건을 제공합니다. 서로 다른 값들은 양립 불가능한 조건을 가져야 하므로, $\kappa$ -사슬 조건에 의해 그러한 값은 많아야 $\kappa$ 개임이 보장됩니다.

세부 사항은 다음과 같습니다. $\dot{f}$ , $\check{X}$ , $\check{Y}$ 를 각각 $f$ , $X$ , $Y$ 의 이름이라고 합시다. $p$ 가 다음 문장을 강제하는 조건 $p$ 에서 시작합니다

\text{``$\dot{f}$는 $\check{X}$에서 $\check{Y}$로 가는 함수입니다''}.

이제 이 조건 바로 아래에서 작업하겠습니다.

각 $x\in X$ 에 대하여, (선택 공리를 사용하여) $f(x)$ 가 어떤 값 $y\in Y$ 와 같음을 강제하는, 서로 양립 불가능한 조건 $q\leq p$ 들로 이루어진 극대 강한 반사슬 $A(x)$ 를 생각할 수 있습니다. 그다음 $F(x)$ 가 그 결과로 얻어지는 모든 $y$ -값을 모으도록 합니다. 이것들이 가능한 값 전부이며, 그 개수는 $\kappa$ 미만입니다. ∎

94.3 기수의 보존

앞서 보았듯이 기수 붕괴는 여전히 일어날 수 있습니다. 연속체 가설을 위해서는 이러한 가능성을 피하고자 하며, 그래야 $\aleph_{2}^{M}$ 개의 실수를 추가하면서도 $\aleph_{2}^{M[G]}=\aleph_{2}^{M}$ 이 되게 할 수 있습니다. 이를 검증하려면 더 약한 결과를 확인하면 된다는 것이 밝혀집니다.

정의 94.3.1.

$M$ 이 $\mathsf{ZFC}$ 의 추이적 모형이고 $\mathbb{P}\in M$ 이 부분순서집합일 때, $M$ -제네릭인 $\forall G\subseteq\mathbb{P}$ 에 대하여 모형 $M$ 과 $M[G]$ 가 모든 $\kappa$ 에 대해 “ $\kappa$ 는 기수이다”라는 문장에 관하여 일치하면 $\mathbb{P}$ 가 기수를 보존한다고 합니다. 마찬가지로 $M$ 과 $M[G]$ 가 모든 $\kappa$ 에 대해 “ $\kappa$ 는 정칙 기수이다”라는 문장에 관하여 일치하면 $\mathbb{P}$ 가 정칙 기수를 보존한다고 합니다.

직관: 모형 $M$ 에서는, $V$ 에서 전단사로 대응되는 두 기수가 $M$ 에서는 더 이상 전단사로 대응되지 않을 수 있습니다. 마찬가지로, 어떤 기수 $\kappa\in M$ 이 정칙이지만, 어떤 함수 $f\colon\overline{\kappa}\to\kappa$ 가 공종이면서 우연히 $V$ 에만 존재하기 때문에 $V$ 에서는 더 이상 정칙이 아니게 되는 경우도 있을 수 있습니다. 또 다른 말로 하면, “ $\kappa$ 는 정칙 기수이다” 역시 $\Pi_{1}$ 명제임이 드러납니다.

다행히도 각각은 서로를 함의합니다. 다음 결과는 증명 없이 인용합니다.

명제 94.3.2 (기수의 보존 $\iff$ 정칙 기수의 보존).

$M$ 을 $\mathsf{ZFC}$ 의 추이적 모형이라 합시다. $\mathbb{P}\in M$ 을 부분순서집합이라 합시다. 그러면 임의의 $\lambda$ 에 대하여, $\mathbb{P}$ 가 $\lambda$ 이하의 기수를 보존할 필요충분조건은 $\mathbb{P}$ 가 $\lambda$ 이하의 정칙 기수를 보존하는 것입니다. 더 나아가 “이하”를 “이상”으로 바꾸어도 같은 결과가 성립합니다.

따라서 $\mathbb{P}$ 가 기수와 공종도를 보존함을 보이려면 $\mathbb{P}$ 가 정칙성을 보존함을 보이는 것으로 충분합니다. 다음 정리를 이용하면 이를 보일 수 있습니다.

정리 94.3.3 (사슬 조건은 정칙 기수를 보존합니다).

$M$ 을 ZFC의 추이적 모형이라 하고, $\mathbb{P}\in M$ 을 부분순서집합이라 합시다. $M$ 이 “ $\mathbb{P}$ 는 $\kappa$ -사슬 조건을 가지며 $\kappa$ 는 정칙이다”라는 문장을 만족한다고 가정합니다. 그러면 $\mathbb{P}$ 는 $\kappa$ 이상의 정칙성을 보존합니다.

증명.

가능한 값 논법을 사용하십시오. 문제 94A. ∎

특히, $\mathbb{P}$ 가 가산 사슬 조건을 가지면 $\mathbb{P}$ 는 모든 기수(와 공종도)를 보존합니다. 따라서 남은 것은 $\operatorname{Add}(\omega,\omega_{2})$ 가 가산 사슬 조건을 만족함을 보이는 것입니다.

94.4 무한 조합론

이제 $\operatorname{Add}(\omega,\omega_{2})$ 가 가산 사슬 조건을 만족함을 증명합니다. 이는 순수하게 조합론적인 내용이므로 간략하게 다룹니다.

정의 94.4.1.

$C$ 가 유한집합들의 비가산 모임이라고 가정합니다. $C$ 의 서로 다른 임의의 $X$ 와 $Y$ 에 대하여 $X\cap Y=R$ 이 성립하는 뿌리 $R$ 이 존재하면, $C$ 를 $\Delta$ -계라고 합니다.

보조정리 94.4.2 ( $\Delta$ -계 보조정리).

$C$ 가 유한집합들의 비가산 모임이라고 가정합니다. 그러면 $\overline{C}$ 가 비가산 $\Delta$ -계가 되는 $\exists\overline{C}\subseteq C$ 가 성립합니다.

증명.

$C$ 에 길이가 $n$ 인 원소가 비가산개 있도록 하는 정수 $n$ 이 존재합니다. 따라서 나머지 집합은 모두 버리고, $C$ 의 모든 집합의 크기가 $n$ 이라고 가정해도 됩니다.

이제 $n$ 에 대한 귀납법으로 진행합니다. 기저 사례 $n=1$ 은 $R=\varnothing$ 으로 잡으면 되므로 자명합니다. 귀납 단계에서는 두 가지 경우를 고려합니다.

먼저, 비가산개의 $F\in C$ 에 포함되는 원소 $a$ 가 존재한다고 가정합시다. 나머지는 모두 버립니다. 그러면 $a$ 를 삭제하고 귀납 가정을 적용하면 됩니다.

이제 모든 $a$ 에 대하여 $a$ 를 포함하는 $C$ 의 원소가 가산개뿐이라고 가정합시다. 이 경우에는 $R=\varnothing$ 인 $\overline{C}$ 까지도 얻을 수 있다고 주장합니다. 먼저 $F_{0}\in C$ 를 고릅니다. $F_{1}\cap F_{0}=\varnothing$ 인 $F_{1}$ 을 구성하는 것은 간단합니다. 같은 방식으로 $F_{2},F_{3},\dots$ 를 구성하면 됩니다. ∎

보조정리 94.4.3.

모든 $\kappa$ 에 대하여 $\operatorname{Add}(\omega,\kappa)$ 는 가산 사슬 조건을 만족합니다.

증명.

그렇지 않다고 가정합시다. 그리고

\left\{p_{\alpha}\mid\alpha<\omega_{1}\right\}

이 강한 반사슬이라고 합시다. 또한 다음과 같이 둡시다.

C=\left\{\operatorname{dom}(p_{\alpha})\mid\alpha<\omega_{1}\right\}.

$\overline{C}\subseteq C$ 를 $\overline{C}$ 가 비가산이고 $\overline{C}$ 가 근 $R$ 을 갖는 $\Delta$ -계가 되도록 잡습니다. 그런 다음 다음과 같이 둡시다.

B=\left\{p_{\alpha}\mid\operatorname{dom}(p_{\alpha})\in\overline{C}\right\}.

각 $p_{\alpha}\in B$ 를 $R$ 로 제한하면 함수 $p_{\alpha}\restriction R\colon R\to\{0,1\}$ 가 되므로, 같은 것이 두 개 존재합니다. ∎

이로써 연속체 가설은 $\mathsf{ZFC}$ 에서 증명될 수 없음을 증명하였습니다.

94.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 94A.

$M$ 을 ZFC의 추이적 모형이라 하고, $\mathbb{P}\in M$ 을 부분순서집합이라 합시다. $M$ 이 “ $\mathbb{P}$ 는 $\kappa$ -사슬 조건을 가지며 $\kappa$ 는 정칙이다”라는 문장을 만족한다고 가정합니다. $\mathbb{P}$ 가 $\kappa$ 이상의 정칙성을 보존함을 보이십시오.

힌트. 그렇지 않다고 가정하고, $M$ 에서 정칙인 $\lambda>\kappa$ 를 잡으십시오. $f\colon\overline{\lambda}\to\lambda$ 이면 $f$ 에 가능한 값 논법을 적용하여 $\lambda$ 의 공종도를 깨뜨리는 $M$ 안의 함수를 만드십시오.

풀이. $\mathbb{P}$ 가 $\kappa$ 이상의 정칙성을 보존함을 보이는 것으로 충분합니다. $M$ 에서 정칙인 $\lambda>\kappa$ 를 생각하고, 모순을 이끌어 내기 위해 $\lambda$ 가 $M[G]$ 에서 정칙이 아니라고 가정합시다. 이는 $\overline{\lambda}<\lambda$ 이고 공종인 함수 $f\in M[G]$ , $f\colon\overline{\lambda}\to\lambda$ 가 존재한다는 것과 같습니다. 그러면 가능한 값 논법에 의해, 모든 $\alpha$ 에 대하여 $f(\alpha)\in F(\alpha)$ 이고 $\left\lvert F(\alpha)\right\rvert^{M}<\kappa$ 인 함수 $F\in M$ , $\overline{\lambda}\to\mathcal{P}(\lambda)$ 가 존재합니다.

이제 다시 $M$ 안에서 작업합니다. 각 $\alpha\in\overline{\lambda}$ 에 대하여, $\lambda$ 는 $M$ 에서 정칙이고 $\left\lvert F(\alpha)\right\rvert$ 보다 크므로 $F(\alpha)$ 는 $\lambda$ 에서 유계임에 주목하십시오. 이제 $M$ 안에서 단순히 다음과 같이 주어지는 함수 $\overline{\lambda}\to\lambda$ 를 살펴봅시다.

$\alpha\mapsto\cup F(\alpha)<\lambda.$

이는 $M$ 에서 공종이므로 모순입니다.