장 94 연속체 가설 깨뜨리기

이제 좋은 반순서 집합 $\mathbb{P}$ 를 선택함으로써 강제법 기법을 사용하여 연속체 가설을 깨뜨립니다. 앞서 언급했듯이, 연속체 가설이 참이 되는 모형을 만들 수도 있는데, 이를 구성 가능 전체 $L$ 이라고 부릅니다. 하지만 저는 무언가가 깨질 때가 더 재미있다고 생각합니다…

94.1 실수 추가하기

가산 추이적 모형 $M$ 에서 시작합니다.

$(\aleph_{2})^{M}$ 개의 실수가 나타나도록 $\mathbb{P}\in M$ 을 선택하고, 기수 붕괴는 나중에 걱정하고자 합니다.

$\mathbb{P}$ 를 무한 완전 이진 트리로 설정했던 앞의 상황을 떠올려 봅시다. 이 트리의 노드는 부분 함수 $n\to 2$ (단, $n<\omega$ )로 생각할 수 있습니다. 그러면 $G$ 자체는 이 트리를 따라 내려가는 경로이며, 즉 전함수 $G\colon\omega\to 2$ 로 부호화될 수 있고 하나의 실수에 대응됩니다.

이와 비슷한 것을 하고 싶지만, 하나가 아니라 $\omega_{2}$ 개의 실수로 하고자 합니다. 이를 염두에 두고 $M$ 에서 다음의 반순서 집합을 생각해 봅시다

\mathbb{P}=\operatorname{Add}(\omega,\omega_{2})\coloneqq\left(\left\{p\colon% \omega_{2}\times\omega\to 2,\operatorname{dom}(p)\text{유한합니다}\right\},% \supseteq\right).

이 원소 $p$ (조건)들은 ”부분 함수”로서, $\omega_{2}\times\omega$ 의 어떤 유한 부분집합을 취하여 이를 $2=\{0,1\}$ 로 사상하는 것입니다. (여기서 $\operatorname{dom}(p)$ 는 $p$ 의 정의역을 나타내며, 이는 앞서 언급한 $\omega_{2}\times\omega$ 의 유한 부분집합입니다.) 또한, $\operatorname{dom}(p)\supseteq\operatorname{dom}(q)$ 이고 두 함수가 $\operatorname{dom}(q)$ 위에서 일치할 때 $p\leq q$ 라고 말합니다.

질문 94.1.1.

여기서 최대 원소 $1_{\mathbb{P}}$ 는 무엇입니까?

연습문제 94.1.2.

제네릭 $G$ 가 함수 $\omega_{2}\times\omega\to 2$ 로 부호화될 수 있음을 보이십시오.

보조정리 94.1.3 ( $G$ 는 서로 다른 실수들을 부호화합니다).

$\alpha\in\omega_{2}$ 에 대해 다음과 같이 정의합니다

G_{\alpha}=\left\{n\mid G\left(\alpha,n\right)=0\right\}\in\mathcal{P}(\mathbb% {N}).

그러면 $\alpha\neq\beta$ 인 임의의 $\alpha$ , $\beta$ 에 대해 $G_{\alpha}\neq G_{\beta}$ 입니다.

증명.

다음 집합이

D=\left\{q\mid\exists n\in\omega:q\left(\alpha,n\right)\neq q\left(\beta,n% \right)\text{둘 다 정의됩니다}\right\}

조밀하다고 주장합니다.

질문 94.1.4.

이를 확인하십시오. (정의역이 모두 유한하다는 사실을 이용하십시오.)

$G$ 는 $M$ -제네릭이므로 이 조밀 집합 $D$ 와 만납니다. 따라서 $G_{\alpha}\neq G_{\beta}$ 입니다. ∎

$G\in M[G]$ 이고 $M[G]\vDash\mathsf{ZFC}$ 이므로, 각 $G_{\alpha}$ 가 $M[G]$ 에 속함을 알 수 있습니다. 따라서 $M[G]$ 에는 적어도 $\aleph_{2}^{M}$ 개의 실수가 존재합니다. 기수 붕괴가 없음을 보이기만 하면 끝납니다.

94.2 가산 사슬 조건

$\mathbb{P}=\operatorname{Add}(\omega,\omega_{2})$ 일 때 다음을 보이는 일이 남아 있습니다

\aleph_{2}^{M[G]}=\aleph_{2}^{M}.

그 경우, $M[G]$ 는 $\aleph_{2}^{M}=\aleph_{2}^{M[G]}$ 개의 실수를 갖게 되므로, 이로써 증명이 끝납니다.

이를 위해 $\mathbb{P}$ 의 다음과 같은 조합적 성질에 의존하고자 합니다:

정의 94.2.1.

$A\subseteq\mathbb{P}$ 의 서로 다른 임의의 $p$ 와 $q$ 에 대해 $p\perp q$ 일 때, $A$ 를 강한 반사슬이라고 말합니다.

예제 94.2.2 (반사슬의 예).

무한 이진 트리에서, 집합 $A=\{00,01,10,11\}$ 은 강 반사슬(strong antichain)입니다 (사실은 포함관계에 대해 극대입니다).

이것은 여러분에게 익숙한 ”반사슬(antichain)”이라는 개념보다 더 강한 조건입니다!¹¹1강제법(forcing)의 맥락에서, 일부 저자들은 ”반사슬”이라는 용어를 ”강 반사슬”을 가리키는 데 사용합니다. 저는 이것이 별로라고 생각합니다. 우리는 단지 모든 두 원소가 비교 불가능하다는 것만을 요구하는 것이 아니라, 그것들이 실제로 양립 불가능(incompatible)하다는 것을 요구합니다.

질문 94.2.3.

유한 순서집합과 그 안에서 강하지 않은 반사슬을 그려 보십시오.

질문 94.2.4.

무한 이진 트리에서의 모든 반사슬은 강 반사슬이지만, 위에서 정의한 순서집합 $\mathbb{P}$ 에서는 강하지 않은 반사슬이 존재함을 스스로 확인해 보십시오.

정의 94.2.5.

순서집합 $\mathbb{P}$ 가 $\kappa$ -사슬 조건을 갖는다는 것은 (여기서 $\kappa$ 는 기수) $\mathbb{P}$ 의 모든 강 반사슬이 $\kappa$ 보다 작은 크기를 가짐을 의미합니다. 특수한 경우 $\kappa=\aleph_{1}$ 은 가산 사슬 조건이라고 불리는데, 이는 모든 강 반사슬이 가산집합임을 함의하기 때문입니다.

비고 94.2.6 (표기법에 대한 여담: 왜 $\leq$ 대신 $<$ 를 쓸까요?).

우리는 순서집합 $\mathbb{P}$ 가 $\kappa$ -사슬 조건을 갖는다는 것을, $\mathbb{P}$ 의 모든 강 반사슬이 $\leq\kappa$ 인 크기를 갖는 것으로 정의할 수도 있었습니다. 그럼에도 불구하고, 이 대안적 정의는 활용도가 떨어집니다 — 예를 들어, $\mathbb{P}$ 의 모든 강 반사슬이 유한하다는 것을 표현할 방법이 없게 됩니다!

우리는 순서집합이 $\kappa$ -사슬 조건을 가지면 $\geq\kappa$ 인 모든 기수를 보존함을 보일 것입니다. 특히, 가산 사슬 조건은 $\mathbb{P}$ 가 모든 기수를 보존함을 보여줄 것입니다. 그런 다음, $\operatorname{Add}(\omega,\omega_{2})$ 가 실제로 이 성질을 가짐을 보일 것입니다. 이로써 증명이 완성됩니다.

유용한 보조정리를 하나 분리해 냅니다:

보조정리 94.2.7 (가능한 값 논법).

$M$ 이 $\mathsf{ZFC}$ 의 추이적 모형이고 $\mathbb{P}$ 가 부분 순서 집합이며, 이 $\mathbb{P}$ 가 $M$ 에서 $\kappa$ -사슬 조건을 만족한다고 합시다. $X,Y\in M$ 이라 하고, $f\colon X\to Y$ 가 $M[G]$ 에서의 어떤 함수이지만 $f\notin M$ 이라고 합시다.

그러면 $F\in M$ 이고 $F\colon X\to\mathcal{P}(Y)$ 인 함수 $F$ 가 존재하여, 임의의 $x\in X$ 에 대해 다음을 만족합니다,

f(x)\in F(x)\quad\text{그리고}\quad\left\lvert F(x)\right\rvert^{M}<\kappa.

이것이 말하는 바는, $f$ 가 새로 생성된 어떤 함수라고 할 때, $M$ 은 여전히 $f$ 의 값들을 $\kappa$ 보다 적은 수의 값으로 제한할 수 있다는 것입니다.

증명.

증명의 아이디어는 간단합니다: $f$ 의 가능한 값 각각은 그것을 강제하는 순서집합 $\mathbb{P}$ 내의 어떤 조건을 우리에게 제공합니다. 서로 다른 값들은 양립 불가능한 조건을 가져야 하므로, $\kappa$ -사슬 조건은 그러한 값이 최대 $\kappa$ 개임을 보장합니다.

세부 사항은 다음과 같습니다. $\dot{f}$ , $\check{X}$ , $\check{Y}$ 를 각각 $f$ , $X$ , $Y$ 의 이름이라고 합시다. $p$ 가 다음 문장을 강제하는 조건 $p$ 에서 시작합니다

\text{``$\dot{f}$는 $\check{X}$에서 $\check{Y}$로 가는 함수입니다''}.

우리는 바로 아래 지점에서부터 작업할 것입니다.

각 $x\in X$ 에 대해, (선택 공리를 사용하여) $f(x)$ 가 어떤 값 $y\in Y$ 와 같음을 강제하는, $q\leq p$ 인 양립 불가능한 조건들의 극대 강 반사슬 $A(x)$ 를 생각할 수 있습니다. 그런 다음, $F(x)$ 가 그 결과로 나온 모든 $y$ -값들을 모은 것이라고 합시다. 이것들이 모든 가능한 값이며, 그 개수는 $\kappa$ 보다 적습니다. ∎

94.3 기수의 보존

앞서 보았듯이, 기수 붕괴는 여전히 일어날 수 있습니다. 연속체 가설을 위해서는 이러한 가능성을 피하고자 하므로, $\aleph_{2}^{M}$ 개의 실수를 추가하면서도 $\aleph_{2}^{M[G]}=\aleph_{2}^{M}$ 이 성립하도록 할 수 있습니다. 이를 확인하기 위해서는 더 약한 결과를 확인하면 충분하다는 것이 밝혀져 있습니다.

정의 94.3.1.

$M$ 이 $\mathsf{ZFC}$ 의 추이적 모형이고 $\mathbb{P}\in M$ 이 순서집합일 때, $\mathbb{P}$ 가 기수를 보존한다는 것은, $\mathbb{P}$ 에 대한 임의의 $M$ -생성 필터 $\forall G\subseteq\mathbb{P}$ 에 대해, 모형 $M$ 과 $M[G]$ 가 모든 $\kappa$ 에 대해 ” $\kappa$ 는 기수이다”라는 문장에 대해 일치함을 의미합니다. 마찬가지로 $\mathbb{P}$ 가 정칙 기수를 보존한다는 것은, $M$ 과 $M[G]$ 가 모든 $\kappa$ 에 대해 ” $\kappa$ 는 정칙 기수이다”라는 문장에 대해 일치함을 의미합니다.

직관: 모형 $M$ 에서는, $V$ 에서는 전단사 관계에 있는 두 기수가 $M$ 에서는 더 이상 전단사 관계에 있지 않을 수 있습니다. 마찬가지로, $\kappa\in M$ 인 어떤 기수가 정칙일 수 있지만, $V$ 에서는 $f\colon\overline{\kappa}\to\kappa$ 인 어떤 공종 함수가 $V$ 에만 존재하게 되어 정칙성을 잃을 수도 있습니다. 다시 말하면, ” $\kappa$ 는 정칙 기수이다”라는 것 역시 $\Pi_{1}$ 문장임이 드러납니다.

다행히도 각각은 서로를 함의합니다. 다음을 증명 없이 인용합니다.

명제 94.3.2 (기수 보존 $\iff$ 정칙 기수 보존).

$M$ 을 $\mathsf{ZFC}$ 의 추이적 모형이라고 합시다. $\mathbb{P}\in M$ 을 순서집합이라고 합시다. 그러면 임의의 $\lambda$ 에 대해, $\mathbb{P}$ 가 $\lambda$ 이하의 기수를 보존하는 것은 $\mathbb{P}$ 가 $\lambda$ 이하의 정칙 기수를 보존하는 것과 동치입니다. 나아가 “이하”를 “이상”으로 바꾸어도 동일한 결과가 성립합니다.

따라서, $\mathbb{P}$ 가 기수성과 공종성을 보존함을 보이려면 $\mathbb{P}$ 가 정칙성을 보존함을 보이는 것으로 충분합니다. 다음 정리가 이를 가능하게 해 줍니다:

정리 94.3.3 (사슬 조건은 정칙 기수를 보존합니다).

$M$ 을 ZFC의 추이적 모델이라 하고, $\mathbb{P}\in M$ 을 포셋이라 하십시오. $M$ 이 ” $\mathbb{P}$ 는 $\kappa$ -사슬 조건을 가지며 $\kappa$ 는 정칙이다”라는 문장을 만족한다고 가정하십시오. 그러면 $\mathbb{P}$ 는 $\kappa$ 이상의 정칙성을 보존합니다.

증명.

가능값 논법을 사용하십시오. 문제 94A. ∎

특히, $\mathbb{P}$ 가 가산 사슬 조건을 가진다면 $\mathbb{P}$ 는 모든 기수(그리고 공종성)를 보존합니다. 따라서 $\operatorname{Add}(\omega,\omega_{2})$ 가 가산 사슬 조건을 만족함을 보이는 것만 남았습니다.

94.4 무한 조합론

이제 $\operatorname{Add}(\omega,\omega_{2})$ 가 가산 사슬 조건을 만족함을 증명하겠습니다. 이는 순전히 조합론적이므로 간략히 다루겠습니다.

정의 94.4.1.

$C$ 를 유한 집합들의 비가산 모임이라 하십시오. $C$ 의 임의의 서로 다른 $X$ 와 $Y$ 에 대해 $X\cap Y=R$ 이 되는 근 $R$ 이 존재하면 $C$ 를 $\Delta$ -시스템이라 합니다.

보조정리 94.4.2 ( $\Delta$ -시스템 정리).

$C$ 가 유한 집합들의 비가산 모임이라고 가정합니다. 그러면 $\exists\overline{C}\subseteq C$ 가 성립하여 $\overline{C}$ 는 비가산 $\Delta$ -시스템이 됩니다.

증명.

$C$ 가 길이 $n$ 인 원소를 비가산 개만큼 가지는 정수 $n$ 이 존재합니다. 따라서 나머지 집합들은 모두 버리고, $C$ 의 모든 집합이 크기 $n$ 이라고 가정할 수 있습니다.

이제 $n$ 에 대한 귀납법으로 진행하겠습니다. 기저 사례 $n=1$ 은 자명한데, $R=\varnothing$ 을 취하면 되기 때문입니다. 귀납 단계에서는 두 가지 경우를 고려합니다.

먼저, 비가산 개의 $F\in C$ 에 속하는 원소 $a$ 가 존재한다고 가정하십시오. 나머지는 모두 버리십시오. 그러면 $a$ 를 그냥 삭제하고 귀납 가정을 적용하면 됩니다.

이제 모든 $a$ 에 대해, $C$ 의 원소 중 $a$ 를 포함하는 것이 가산 개뿐이라고 가정하십시오. 이 경우 $R=\varnothing$ 인 $\overline{C}$ 까지도 얻을 수 있다고 주장합니다. 먼저 $F_{0}\in C$ 를 하나 고르십시오. $F_{1}\cap F_{0}=\varnothing$ 이 되는 $F_{1}$ 을 구성하는 것은 어렵지 않습니다. 그리고 $F_{2},F_{3},\dots$ 도 마찬가지로 구성할 수 있습니다. ∎

보조정리 94.4.3.

모든 $\kappa$ 에 대해, $\operatorname{Add}(\omega,\kappa)$ 는 가산 사슬 조건을 만족합니다.

증명.

그렇지 않다고 가정하십시오. 다음을 두겠습니다

\left\{p_{\alpha}\mid\alpha<\omega_{1}\right\}

강한 반사슬이라 하겠습니다. 다음을 두겠습니다

C=\left\{\operatorname{dom}(p_{\alpha})\mid\alpha<\omega_{1}\right\}.

$\overline{C}\subseteq C$ 를 $\overline{C}$ 가 비가산이고 $\overline{C}$ 가 근 $R$ 을 갖는 $\Delta$ -시스템이 되도록 잡습니다. 그러면 다음과 같이 둡니다:

B=\left\{p_{\alpha}\mid\operatorname{dom}(p_{\alpha})\in\overline{C}\right\}.

각 $p_{\alpha}\in B$ 는 함수 $p_{\alpha}\restriction R\colon R\to\{0,1\}$ 로 제한되므로, 서로 같은 두 개가 존재합니다. ∎

따라서 우리는 연속체 가설이 $\mathsf{ZFC}$ 에서 증명될 수 없음을 증명했습니다.

94.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 94A.

$M$ 을 ZFC의 추이적 모델이라 하고, $\mathbb{P}\in M$ 을 포셋이라 하십시오. $M$ 이 ” $\mathbb{P}$ 는 $\kappa$ -사슬 조건을 가지며 $\kappa$ 는 정칙이다”라는 문장을 만족한다고 가정하십시오. $\mathbb{P}$ 가 $\kappa$ 이상의 정칙성을 보존함을 보이십시오.

힌트. 그렇지 않다고 가정하고, $M$ 에서 정칙인 $\lambda>\kappa$ 를 취하십시오. $f\colon\overline{\lambda}\to\lambda$ 일 때, $f$ 에 가능값 논법을 사용하여 $M$ 안에서 $\lambda$ 의 공종성을 깨는 함수를 만들어내십시오.

풀이. $\mathbb{P}$ 가 $\kappa$ 이상의 정칙성을 보존함을 보이는 것으로 충분합니다. $M$ 에서 정칙인 $\lambda>\kappa$ 를 생각하고, 귀류법으로 $\lambda$ 가 $M[G]$ 에서 정칙이 아니라고 가정합니다. 이는 공종인 함수 $f\in M[G]$ , $f\colon\overline{\lambda}\to\lambda$ 가 존재하여 $\overline{\lambda}<\lambda$ 인 것과 같습니다. 그러면 가능값 논법에 의해, $F\in M$ 인 함수가 존재하여 $\overline{\lambda}\to\mathcal{P}(\lambda)$ 이고, 모든 $\alpha$ 에 대해 $f(\alpha)\in F(\alpha)$ 이며 $\left\lvert F(\alpha)\right\rvert^{M}<\kappa$ 입니다.

이제 다시 $M$ 안에서 작업하겠습니다. 각 $\alpha\in\overline{\lambda}$ 에 대해, $\lambda$ 가 $M$ 에서 정칙이고 $\left\lvert F(\alpha)\right\rvert$ 보다 크므로 $F(\alpha)$ 는 $\lambda$ 에서 유계임에 주목하십시오. 이제 $M$ 안에서 다음과 같이 정의되는 함수 $\overline{\lambda}\to\lambda$ 를 살펴보십시오

$\alpha\mapsto\cup F(\alpha)<\lambda.$

이는 $M$ 에서 공종이며, 모순입니다.