장 62 프로베니우스 원소

이 장 전체에서 $K/\mathbb{Q}$ 는 갈루아 군이 $G$ 인 갈루아 확대이고, $p$ 는 $K$ 에서 분기하지 않는 유리 소수이며, $\mathfrak{p}$ 는 그 위에 있는 소 아이디얼입니다. 그림으로 나타내면 다음과 같습니다:

$p$ 제곱 사상 $\sigma\colon\mathbb{F}_{p^{f}}\to\mathbb{F}_{p^{f}}$ 는 자기동형사상이며, 이를 $\mathbb{F}_{p^{f}}$ 위의 프로베니우스 사상이라고 부른다는 것을 떠올려 봅시다. $\sigma(x)=x^{p}$ 로 두어 이 사상을 $K\to K$ 사상으로 확장해 볼 수 있지만, 안타깝게도 이렇게 하면 체 자기동형사상이 되지 않습니다.

놀랍게도, 그럼에도 불구하고 이를 어떤 체 자기동형사상 $\sigma\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 로 확장하는 것이 가능합니다.

$p$ 가 분기하지 않으면, 모든 $\alpha\in\mathcal{O}_{K}$ 에 대해 $\sigma(\alpha)\equiv\alpha^{p}\pmod{\mathfrak{p}}$ 를 만족하는 $\sigma\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 가 유일하게 존재함을 보일 수 있습니다.

62.1 프로베니우스 원소

대표적인 예: $\mathbb{Z}[i]$ 에서 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 는 $p\pmod{4}$ 에 따라 달라집니다.

정리의 내용을 다시 적으면 다음과 같습니다:

정리 62.1.1 (프로베니우스 원소).

$K/\mathbb{Q}$ 가 갈루아 군이 $G$ 인 갈루아 확대라고 가정합시다. $p$ 를 $K$ 에서 분기하지 않는 유리 소수라 하고, $\mathfrak{p}$ 를 그 위에 있는 소 아이디얼이라 합시다. 그러면 모든 $\alpha\in\mathcal{O}_{K}$ 에 대해 다음 성질을 만족하는 원소 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}\in G$ 가 유일하게 존재합니다.

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}(\alpha)\equiv\alpha^{p}\pmod{\mathfrak{p}}.

이를 $\mathfrak{p}$ 에서의 프로베니우스 원소라고 부르며, 그 위수는 $f$ 입니다.

유일성 부분은 꽤 중요합니다. 이 덕분에 주어진 $\sigma\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 가 위의 함수 방정식을 만족한다는 것만 확인하면 그것이 프로베니우스 원소임을 보일 수 있습니다.

이에 대한 예를 살펴봅시다:

예제 62.1.2 (가우스 정수의 프로베니우스 원소).

$\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[i]$ 인 $K=\mathbb{Q}(i)$ 에 대해 실제로 몇 가지 프로베니우스 원소를 계산해 봅시다. 이는 $G=(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{\times}$ 인 갈루아 확대이며, $G$ 의 원소는 항등 사상과 복소켤레에 대응합니다.

$p$ 가 홀수 소수이고 $\mathfrak{p}$ 가 그 위에 있는 소 아이디얼이면, $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 는 다음을 만족하는 유일한 원소입니다.

(a+bi)^{p}\equiv\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}(a+bi)\pmod{\mathfrak{p}}

여기서 합동식은 $\mathbb{Z}[i]$ 에서 생각합니다. 특히,

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}(i)=i^{p}=\begin{cases}i&p\equiv 1\pmod{4}\\ -i&p\equiv 3\pmod{4}.\end{cases}

이로부터 $p\equiv 1\pmod{4}$ 일 때 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 는 항등 사상이고, $p\equiv 3\pmod{4}$ 일 때 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 는 복소켤레임을 알 수 있습니다.

실제로는 $i$ 에서만 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 를 계산하면 되었다는 점에 주목하십시오. 이것이 너무 좋아서 믿기지 않는다면, 그 철학적인 이유는 $(x+y)^{p}\equiv x^{p}+y^{p}\pmod{p}$ (따라서 $\mathfrak{p}$ 를 법으로 해서도)가 성립한다는 “신입생의 꿈”에 있습니다. 따라서 $\sigma$ 가 생성원에서 함수 방정식을 만족하면, 모든 곳에서 함수 방정식을 만족합니다.

중요한 보조정리도 하나 있습니다:

보조정리 62.1.3 (프로베니우스 원소의 위수).

$\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 를 확대 $K/\mathbb{Q}$ 에서 얻은 프로베니우스 원소라 합시다. 그러면 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 의 위수는 관성 차수 $f_{\mathfrak{p}}$ 와 같습니다. 특히, $(p)$ 가 $\mathcal{O}_{K}$ 에서 완전 분해될 필요충분조건은 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}=\mathrm{id}$ 입니다.

이 보조정리 덕분에 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 를 계산하는 것만으로 $\mathfrak{p}$ 의 분해 양상을 알 수 있으며, 이는 나중에 보조정리 62.4.1와 소절 62.6.3에서 보게 됩니다.

연습문제 62.1.4.

$\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}$ 가 위수 $f_{\mathfrak{p}}$ 인 유한체이고, 프로베니우스 원소가 이 체 위에서 단지 $x\mapsto x^{p}$ 라는 사실을 이용하여 이 보조정리를 증명하십시오.

이제 주정리를 증명합시다. 이 증명은 분해군의 맥락에서만 의미가 있으므로, 그 부분을 건너뛴 독자는 이 증명을 생략하십시오.

프로베니우스 원소의 존재성 증명.

이 정리 전체는 앞 절에서 정의한 사상 $\theta$ 가 $p$ 가 분기하지 않을 때 동형사상이라는 사실을 달리 표현한 것에 불과합니다. 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

여기서는 $\alpha\equiv 0\pmod{\mathfrak{p}}$ 일 때 $\sigma(\alpha)\equiv 0\pmod{\mathfrak{p}}$ 이어야 하므로 $D_{\mathfrak{p}}$ 에만 주의를 한정할 수 있습니다. 따라서 다음 동형사상을 얻습니다.

D_{\mathfrak{p}}\xrightarrow{\theta}\operatorname{Gal}\left((\mathcal{O}_{K}/% \mathfrak{p})/\mathbb{F}_{p}\right).

그런데 다음 동형사상들의 연쇄에 의해 우리는 이미 $\operatorname{Gal}\left((\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p})/\mathbb{F}_{p}\right)$ 를 알고 있습니다.

\operatorname{Gal}\left((\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p})/\mathbb{F}_{p}\right)% \cong\operatorname{Gal}\left(\mathbb{F}_{p^{f}}/\mathbb{F}_{p}\right)\cong% \left<T=x\mapsto x^{p}\right>\cong\mathbb{Z}/f\mathbb{Z}.

따라서 그러한 원소는 유일하며, 그것은 $\theta$ 에 의한 $T$ 의 역상입니다. ∎

62.2 켤레류

이제 $\mathfrak{p}_{1}$ 과 $\mathfrak{p}_{2}$ 가 분기하지 않는 유리 소수 $p$ 위에 있는 두 소 아이디얼이라고 가정합시다. 그러면 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{1}}$ 과 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{2}}$ 를 정의할 수 있습니다. 갈루아 군은 추이적으로 작용하므로, 다음을 만족하는 $\sigma\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 를 택할 수 있습니다.

\sigma(\mathfrak{p}_{1})=\mathfrak{p}_{2}.

우리는 다음을 주장합니다.

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{2}}=\sigma\circ\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{1}}% \circ\sigma^{-1}.

이것은 $G$ 안에서의 방정식이라는 점에 유의하십시오.

질문 62.2.1.

이를 증명하십시오.

더 일반적으로, 분기하지 않는 주어진 유리 소수 $p$ 에 대하여 다음을 얻습니다.

정리 62.2.2 (갈루아 군의 켤레류).

다음 집합은

\left\{\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}\mid\mathfrak{p}\text{위에 있는}p\right\}

$G$ 의 켤레류 중 하나입니다.

증명.

우리는 $G=\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 가 추이적이라는 사실을 이용하여 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{1}}$ 과 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{2}}$ 가 모두 $p$ 위에 있으면 서로 켤레임을 보였습니다. 따라서 이 집합은 어떤 켤레류에 포함됩니다. 그러므로 임의의 $\mathfrak{p}$ , $\sigma$ 에 대하여 어떤 $\mathfrak{p}^{\prime}$ 에 대해 $\sigma\circ\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}\circ\sigma^{-1}=\mathrm{Frob}_{% \mathfrak{p}^{\prime}}$ 임을 확인하는 일만 남습니다. 이를 위해서는 $\mathfrak{p}^{\prime}=\sigma\mathfrak{p}$ 로 두기만 하면 됩니다. 따라서 이 집합은 실제로 켤레류입니다. ∎

요약하면 다음과 같습니다.

$\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 는 $\mathfrak{p}$ 가 유래한 소수 $p$ 에 의해 켤레를 제외하고 결정됩니다.

따라서 고딕 문자가 무서워 보이더라도, $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 의 내용은 실제로는 더 친근해 보이는 유리 소수 $p$ 에서 비롯될 뿐입니다.

예제 62.2.3 ( $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$ 에서의 프로베니우스 원소).

이러한 논의를 바탕으로, 프로베니우스 사상의 더 복잡한 예를 살펴보겠습니다. $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$ 를 다음 다항식의 분해체라고 합시다.

t^{3}-2=(t-\sqrt[3]{2})(t-\omega\sqrt[3]{2})(t-\omega^{2}\sqrt[3]{2}).

따라서 $K/\mathbb{Q}$ 는 갈루아 확대입니다. 앞선 예에서 우리는 다음을 보았습니다.

\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\varepsilon]\quad\text{여기서}\quad\varepsilon\text{의 % 근입니다}t^{6}+3t^{5}-5t^{3}+3t+1.

다음과 같이 분해되는(이 부분은 믿어 주십시오) 소수 $5$ 를 생각해 봅시다.

(5)=(5,\varepsilon^{2}+\varepsilon+2)(5,\varepsilon^{2}+3\varepsilon+3)(5,% \varepsilon^{2}+4\varepsilon+1)=\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}\mathfrak{p}_{% 3}.

모든 소 아이디얼의 관성 차수가 $2$ 임에 유의하십시오. 따라서 각 $i$ 에 대하여 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{i}}$ 의 위수는 $2$ 입니다.

다음에 유의하십시오.

\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})=\text{의 순열}\{\sqrt[3]{2},\omega\sqrt[3]{2},% \omega^{2}\sqrt[3]{2}\}\cong S_{3}.

이 $S_{3}$ 에는 위수가 2인 원소가 $3$ 개 있는데, 한 근을 고정하고 나머지 두 근을 서로 바꾸는 원소들입니다. 이들은 각각 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{1}}$ , $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{2}}$ , $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{3}}$ 에 대응합니다.

결론적으로, $(5)$ 에 대응하는 켤레류 $\left\{\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{1}},\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{2}},% \mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{3}}\right\}$ 는 $S_{3}$ 에서 순환 유형 $(\bullet)(\bullet\;\bullet)$ 입니다.

62.3 체보타료프 밀도 정리

자연스러운 질문이 생깁니다. 모든 켤레류를 이런 방식으로 나타낼 수 있습니까? 다시 말해, $G$ 의 모든 원소는 어떤 $\mathfrak{p}$ 에 대하여 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 와 같습니까?

놀랍게도 답이 “예”일 뿐만 아니라, 실제로 가능한 한 가장 좋은 방식으로 성립합니다. 무작위로 $\mathfrak{p}$ 를 고르면 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 들이 “균등하게 분포”합니다.

정리 62.3.1 ( $\mathbb{Q}$ 위에서의 체보타료프 밀도 정리).

$C$ 를 $G=\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 의 켤레류라고 합시다. $\{\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}\mid\mathfrak{p}\text{ 는 다음 위에 놓인 소 아이디얼: }p\}=C$ 를 만족하는 (분기하지 않는) 소수 $p$ 의 밀도는 정확히 $\left\lvert C\right\rvert/\left\lvert G\right\rvert$ 입니다. 특히 임의의 $\sigma\in G$ 에 대하여, $p$ 위의 $\mathfrak{p}$ 가 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}=\sigma$ 를 만족하는 유리 소수 $p$ 가 무한히 많이 존재합니다.

여기서 밀도란, 조건을 만족하는 소수 $p\leq x$ 의 비율이 $x\to\infty$ 일 때 $\frac{\left\lvert C\right\rvert}{\left\lvert G\right\rvert}$ 에 가까워진다는 뜻입니다. $K$ 에서 분기하는 소수는 제외하고 있다는 점에 유의하십시오. 분기하는 소수는 $\Delta_{K}$ 를 나누는 소수뿐이고 그러한 소수는 유한 개밖에 없으므로, 이는 문제가 되지 않습니다.

다시 말해, 무작위로 소수 $p$ 를 골라 그에 대응하는 켤레류를 살펴보는 것은 $G$ 에 다트를 던지는 것과 매우 비슷합니다. 어떤 켤레류에 맞을 확률은 오직 그 켤레류의 크기에만 의존합니다.

비고 62.3.2.

다행히도 이 정리(와 앞선 논의)는 $K/\mathbb{Q}$ 를 임의의 갈루아 확대 $K/F$ 로 바꾸어도 성립합니다. 이 경우에는 “ $p$ 위의 $\mathfrak{p}$ ”를 “ $\mathfrak{p}$ 위의 $\mathfrak{P}$ ”로 바꿉니다. 또한 이 경우에는 밀도를 정의할 때 $p\leq x$ 대신 $\operatorname{N}(\mathfrak{p})\leq x$ 를 사용합니다.

62.4 예시: 원분체의 프로베니우스 원소

$q$ 를 소수라 하고, $\zeta_{q}$ 를 원시 $q$ 제곱 단위근이라 할 때 $L=\mathbb{Q}(\zeta_{q})$ 를 생각합시다. 여러 별표 문제에서 다음을 이미 보았을 것입니다.

•

$\Delta_{L}=\pm q^{q-2}$ ,
•

$\mathcal{O}_{L}=\mathbb{Z}[\zeta_{q}]$ 이고,
•

사상

$\sigma_{n}\colon L\to L\quad\text{를}\quad\zeta_{q}\mapsto\zeta_{q}^{n}$

으로 정의하면, 이는 $\gcd(n,q)=1$ 일 때마다 $L$ 의 자기동형사상이며 $n\pmod{q}$ 에만 의존합니다. 다시 말해, $L/\mathbb{Q}$ 의 자기동형사상은 $q$ 제곱 단위근들을 이리저리 뒤섞을 뿐입니다. 실제로 갈루아 군은 정확히 원소 $\{\sigma_{n}\}$ 들로 이루어져 있으며, 즉

$\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})=\{\sigma_{n}\mid n\not\equiv 0\pmod{q}\}.$

군으로서

$\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})=(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times}\cong\mathbb% {Z}/(q-1)\mathbb{Z}.$

이는 놀라울 만큼 좋은 성질인데, $\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ 의 원소들이 이미 프로베니우스 원소와 매우 비슷해 보이기 때문입니다. 구체적으로는 다음과 같습니다.

보조정리 62.4.1 (원분 프로베니우스 원소).

원분체 설정 $L=\mathbb{Q}(\zeta_{q})$ 에서, $p$ 를 분기하지 않는 유리 소수라 하고 $\mathfrak{p}$ 를 그 위의 소 아이디얼이라 합시다. 그러면

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}=\sigma_{p}.

증명.

$\sigma_{p}$ 가 함수 방정식을 만족함을 관찰하십시오(생성원에서 확인하십시오). 유일성에 의해 증명이 끝납니다. ∎

질문 62.4.2.

유리 소수 $p$ 가 $\mathcal{O}_{L}$ 에서 완전 분해될 필요충분조건이 $p\equiv 1\pmod{q}$ 임을 결론지으십시오.

62.5 프로베니우스 원소는 제한과 잘 어울립니다

$L/\mathbb{Q}$ 와 $K/\mathbb{Q}$ 를 갈루아 확대라 하고, 다음 설정을 생각합시다.

여기서 $\mathfrak{p}$ 는 $(p)$ 위에 있고 $\mathfrak{P}$ 는 $\mathfrak{p}$ 위에 있습니다. 다음을 정의할 수 있으며,

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}\colon K\to K\quad\text{그리고}\quad\mathrm{Frob}_{% \mathfrak{P}}\colon L\to L

이들이 서로 어떤 관계인지 알고자 합니다.

두 사상 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 와 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 는 모두 대응하는 몫체에서 $p$ 제곱 사상을 유도하므로, 둘이 자연스럽게 같을 것이라고 예상할 수 있습니다.

정리 62.5.1 (프로베니우스 원소의 제한).

$L/\mathbb{Q}$ 와 $K/\mathbb{Q}$ 가 모두 갈루아 확대라고 가정합시다. $\mathfrak{P}$ 와 $\mathfrak{p}$ 가 위와 같이 분기하지 않는다고 합시다. 그러면 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}{\restriction_{K}}=\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 입니다. 즉 모든 $\alpha\in K$ 에 대하여,

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}(\alpha)=\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}(\alpha).

증명.

먼저, $K/\mathbb{Q}$ 는 정규 확대이므로 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 $K$ 의 상을 고정합니다. 즉, $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}{\restriction_{K}}\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb{% Q})$ 는 잘 정의됩니다.

자연스러운 사상 $\phi\colon\mathcal{O}_{K}\to\mathcal{O}_{L}\to\mathcal{O}_{L}/\mathfrak{P}$ 와 몫 사상 $q\colon\mathcal{O}_{K}\to\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}$ 가 있습니다. $\mathfrak{p}\subseteq\mathfrak{P}\cap\mathcal{O}_{K}\subseteq\ker\phi$ 이므로 $\phi$ 는 $q$ 를 통해 인수분해되며, 이로부터 자연스러운 체 준동형사상 $\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}\to\mathcal{O}_{L}/\mathfrak{P}$ 를 얻습니다.

체 준동형사상은 단사이고, $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 $\mathcal{O}_{L}/\mathfrak{P}$ 위에 $p$ 제곱 사상을 유도하며, 모든 것이 가환이므로 정리가 성립합니다. ∎

요컨대, 이 절의 요점은 다음과 같습니다.

위층의 프로베니우스 원소를 제한하면 아래층의 프로베니우스 원소가 됩니다.

62.6 응용: 이차 상호 법칙

이제 다음을 증명하고자 합니다.

정리 62.6.1 (이차 상호 법칙).

$p$ 와 $q$ 가 서로 다른 홀수 소수라고 합시다. 그러면

\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac% {q-1}{2}}.

(이차 상호 법칙이 익숙하지 않다면, 이에 대한 설명은 예컨대 [25]을 참고하십시오.)

62.6.1 1단계: 준비

이 증명을 위해 먼저 다음과 같이 정의합니다.

L=\mathbb{Q}(\zeta_{q})

여기서 $\zeta_{q}$ 는 원시 $q$ 차 단위근입니다. 그러면 $L/\mathbb{Q}$ 는 갈루아 확대이며, 그 갈루아 군은 $G$ 입니다.

질문 62.6.2.

$G$ 가 지수가 2인 부분군 $H$ 를 유일하게 가짐을 보이십시오.

사실 이를 정확하게 기술할 수 있습니다. $G\cong(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times}$ 로 보면 다음이 성립합니다.

H=\left\{\sigma_{n}\mid\text{$n$이 법 $q$에 대한 이차 잉여}\right\}.

갈루아 이론의 기본 정리에 의해 $\mathbb{Q}(\zeta_{q})$ 안에는 $\mathbb{Q}$ 의 차수 $2$ 인 확대(즉, 이차 체)가 존재해야 합니다. 제곱 인수가 없는 $q^{\ast}$ 에 대하여 이를 $\mathbb{Q}(\sqrt{q^{\ast}})$ 라고 부릅시다.

연습문제 62.6.3.

유리 소수 $\ell$ 이 $K$ 에서 분기하면 $L$ 에서도 분기한다는 점에 주목하십시오. 이를 이용하여 다음을 보이십시오.

q^{\ast}=\pm q\text{그리고}q^{\ast}\equiv 1\pmod{4}.

이들을 종합하면 $q^{\ast}$ 의 값이 결정됩니다.

(사실, 일반적으로 탑 $L/K/\mathbb{Q}$ 에서 $\Delta_{K}$ 는 $\Delta_{L}$ 을 나눕니다.)

62.6.2 2단계: 재정식화

이제 다음을 증명하겠습니다.

정리 62.6.4 (이차 상호 법칙, 동치인 정식화).

서로 다른 홀수 소수 $p$ , $q$ 에 대하여 다음이 성립합니다.

\left(\frac{p}{q}\right)=\left(\frac{q^{\ast}}{p}\right).

연습문제 62.6.5.

$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}$ 라는 사실을 이용하여, 이것이 우리가 알고 있는 이차 상호 법칙과 동치임을 보이십시오.

$\mathbb{Z}$ 의 유리 소수 $p$ 를 살펴봅시다. 이는 $K$ 에서 둘로 분해되거나 관성적입니다. 어느 경우든 그 결과로 얻는 분해에서 소인수 하나를 $\mathfrak{p}$ 라고 합시다(즉, $\mathfrak{p}$ 는 관성적인 경우에는 $p\cdot\mathcal{O}_{K}$ 이고, 분해되는 경우에는 소 아이디얼 중 하나입니다). 그리고 ${\mathfrak{P}}$ 를 $\mathfrak{p}$ 위에 놓인 소 아이디얼이라고 합시다. 이것 역시 $K$ 에서 분해될 수도 있습니다. 그림은 다음과 같습니다.

질문 62.6.6.

$p$ 가 $K$ 와 $L$ 어느 쪽에서도 분기하지 않는 이유는 무엇입니까?

62.6.3 3단계: 프로베니우스의 도입

이제 다음 프로베니우스를 취합니다.

\sigma_{p}=\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}\in\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q}).

다음이 성립한다고 주장합니다.

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}\in H\iff\text{$p$가 $K$에서 분해됩니다}.

이를 확인하기 위해, $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 가 $H$ 에 속하는 것은 그것이 $K$ 위에서 항등사상으로 작용하는 것과 동치임에 주목하십시오. 그런데 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}{\restriction_{K}}$ 는 바로 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 입니다! 따라서 다음이 성립합니다.

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}\in H\iff\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}=\mathrm{id}_% {K}.

마지막으로, 보조정리 62.1.3에 의해 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 의 위수는 $p$ 가 분해되면( $\mathfrak{p}$ 의 관성 차수가 $1$ 이면) $1$ 이고, $p$ 가 관성적이면 $2$ 입니다. 이로써 주장의 증명이 완료됩니다.

62.6.4 마무리

보조정리 62.4.1에 의해 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}=\sigma_{p}\in H$ 인 것은 $p$ 가 이차 잉여인 것과 동치임을 이미 알고 있습니다. 한편,

연습문제 62.6.7.

$p$ 가 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\frac{1}{2}(1+\sqrt{q^{\ast}})]$ 에서 분해되는 것은 $\left(\frac{q^{\ast}}{p}\right)=1$ 인 것과 동치임을 보이십시오. (인수분해 알고리즘을 사용하십시오. 여기서는 $p\neq 2$ 라는 사실이 필요합니다.)

다시 말해,

	$\displaystyle\left(\frac{p}{q}\right)=1$	$\displaystyle\iff\sigma_{p}\in H$
		$\displaystyle\iff\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}\in H$
		$\displaystyle\iff\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}=\mathrm{id}_{K}$
		$\displaystyle\iff\operatorname{ord}\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}=1$
		$\displaystyle\iff f_{\mathfrak{p}}=1$
		$\displaystyle\iff\text{$p$가 $\mathbb{Z}\left[\tfrac{1}{2}(1+\sqrt{q^{\ast}})% \right]$에서 분해됩니다}$
		$\displaystyle\iff\left(\frac{q^{\ast}}{p}\right)=1.$

이로써 증명이 완료됩니다.

62.7 프로베니우스 원소에 의한 인수분해의 제어

대표적인 예: 이차 상호 법칙의 증명에서 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 가 $p$ 의 분해를 제어했으며, 일반적으로도 같은 사실이 성립합니다.

이차 상호 법칙의 증명에서 우리는 $p$ 의 분해를 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 의 성질과 연관 짓기 위해, 프로베니우스 원소가 제한과 잘 맞물린다는 사실을 사용했습니다.

실제로 임의의 중간체 $\mathbb{Q}\subseteq E\subseteq K$ 에 대하여, $E/\mathbb{Q}$ 가 갈루아가 아닌 경우에도 성립하는 훨씬 더 강한 명제가 있습니다. 이 명제는 인수분해 패턴이라는 개념에 기반합니다. 그 내용은 다음과 같습니다.

$n=[E:\mathbb{Q}]$ 로 두고, $p$ 를 $K$ 에서 분기하지 않는 유리 소수라고 합시다. 그러면 $p$ 는 $E$ 에서 다음과 같이 분해될 수 있습니다.

p\cdot\mathcal{O}_{E}=\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}\dots\mathfrak{p}_{g}

이때 관성 차수는 $f_{1}$ , …, $f_{g}$ 입니다. ( $E/\mathbb{Q}$ 가 갈루아가 아니므로 이 관성 차수들은 서로 다를 수 있습니다.) 수 $f_{1}+\dots+f_{g}=n$ 은 수 $n$ 의 분할을 이룹니다. 예를 들어, 이차 상호 법칙의 증명에서는 $n=2$ 였고, 가능한 분할은 $1+1$ ( $p$ 가 분해되는 경우)과 $2$ ( $p$ 가 관성적인 경우)였습니다. 이를 $E$ 에서 $p$ 의 인수분해 패턴이라고 부릅니다.

다음으로, $K$ 까지 올라가 $(p)$ 위의 프로베니우스 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 를 도입합니다. 이것은 $G=\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 의 원소입니다. 그리고 $H$ 를 체 $E$ 에 대응하는 군이라고 합시다. 도식은 다음과 같습니다.

그러면 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 왼쪽 곱셈을 통해 $n$ 개의 왼쪽 잉여류 $g H$ 의 순열을 유도합니다(결국 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 도 $G$ 의 원소이기 때문입니다!). 여느 순열과 마찬가지로, 그 결과로 얻어지는 순환 분해를 살펴볼 수 있으며, 이는 자연스러운 “순환 구조”, 즉 $n$ 의 분할을 가집니다.

정리의 내용은 이 둘이 일치한다는 것입니다.

정리 62.7.1 (프로베니우스 원소에 의한 분해의 제어).

$\mathbb{Q}\subseteq E\subseteq K$ 를 수체의 확대라 하고, $K/\mathbb{Q}$ 가 갈루아라고 가정합시다( $E/\mathbb{Q}$ 는 갈루아일 필요가 없습니다). 분기하지 않는 유리 소수 $p$ 를 택하고, $G=\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 라 하고 $H$ 를 대응하는 중간 부분군이라고 합시다. 마지막으로, $\mathfrak{P}$ 를 $K$ 에서 $p$ 위에 있는 소 아이디얼이라고 합시다.

그러면 $E$ 에서 $p$ 의 인수분해 패턴은 $H$ 의 왼쪽 잉여류들에 작용하는 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 의 순환 구조로 주어집니다.

흔히 $E=K$ 로 택하는데, 이 경우 이 정리는 단지 소수 $p$ 의 분해가 그 위의 프로베니우스 원소에 의해 제어된다는 것을 주장합니다.

증명의 개요.

$\alpha$ 를 대수적 정수라 하고, $f$ 를 그 최소 다항식(차수 $n$ )이라고 합시다. $E=\mathbb{Q}(\alpha)$ 로 둡니다( $\mathbb{Q}$ 위에서 차수가 $n$ 입니다). 운 좋게도 $\mathcal{O}_{E}=\mathbb{Z}[\alpha]$ , 즉 $E$ 가 단생성이라고 가정합시다. 그러면 인수분해 알고리즘에 의해, $E$ 에서 임의의 $p$ 를 인수분해하려면 $f$ 를 $p$ 를 법으로 인수분해하기만 하면 된다는 것을 압니다. $f=f_{1}^{e_{1}}\dots f_{g}^{e_{g}}\pmod{p}$ 이면 다음이 성립하기 때문입니다.

(p)=\prod_{i}\mathfrak{p}_{i}=\prod_{i}(f_{i}(\alpha),p)^{e_{i}}.

이로부터 분기 지수와 관성 차수에 대한 완전한 정보를 얻습니다. $e_{i}$ 는 분기 지수이고, $\deg f_{i}$ 는 관성 차수입니다( $\mathcal{O}_{E}/\mathfrak{p}_{i}\cong\mathbb{F}_{p}[X]/(f_{i}(X))$ 이기 때문입니다).

특히 $p$ 가 비분기이면 모든 $e_{i}$ 가 $1$ 이므로 다음을 얻습니다.

n=\deg f=\deg f_{1}+\deg f_{2}+\dots+\deg f_{g}.

이번에도 $n$ 의 분할을 얻습니다. 이를 $p$ 를 법으로 한 $f$ 의 인수분해 패턴이라고 부릅니다. 따라서 $\mathcal{O}_{E}$ 에서 비분기인 $p$ 의 인수분해 패턴을 알려면 $f\pmod{p}$ 의 인수분해 패턴만 알면 됩니다.

정리를 증명하기 위해, $f\pmod{p}$ 의 인수분해 패턴이 $f$ 의 근들 위에서의 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 작용의 순환 분해와 정확히 대응하고, $f$ 의 근들이 $G$ 에서 $H$ 의 잉여류와 정확히 대응함을 보이겠습니다.

이를 위해 $S=\{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\}$ 가 $f$ 의 근들이라고 합시다( $f$ 가 $\mathbb{Q}$ 위에서 기약이므로 서로 다른 근들입니다). $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 가 $S$ 에 작용하게 합시다. 이 작용은 $S$ 를 궤도 $S_{1}$ , $S_{2}$ , $\dots$ , $S_{k}$ 로 나눕니다. 근이 정확히 $S_{i}$ 의 원소들이 되는, $E$ 에 계수를 갖는 다항식 $f_{i}$ 를 구성합시다. 이는 $E$ 위에서 $f$ 의 인수분해를 이루며, 이를 다음과 같이 씁시다.

f=f_{1}f_{2}\dots f_{k}.

이것이 실제로 $f\pmod{p}$ 의 인수분해를 유도한다고 주장합니다. 이를 보기 위해 몫 $\mathcal{O}_{K}\to\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{P}$ 아래에서 다항식 $f_{i}$ 들의 상을 생각하고, 이를 $\overline{f_{i}}$ 로 나타냅시다. 그러면 $p$ 가 비분기이므로 분해군 $D(\mathfrak{P}|p)$ 가 갈루아 군 $\mathcal{G}=\operatorname{Gal}((\mathcal{O}_{E}/\mathfrak{P})/(\mathbb{Z}/p% \mathbb{Z}))$ 와 동형임을 압니다. 따라서 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 $\mathcal{G}$ 의 생성원 $\sigma$ 에 대응합니다. $f$ 의 근들 위에서의 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 의 작용이 $\overline{f}$ 의 근들 위에서의 $\sigma$ 의 작용과 같다는 것은 어렵지 않게 받아들일 수 있습니다. $f_{i}$ 의 근들이 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 의 작용 아래에서 하나의 궤도를 이루므로, $\overline{f_{i}}$ 의 근들은 $\sigma$ 의 작용 아래에서, 따라서 $\mathcal{G}$ 의 작용 아래에서 하나의 궤도를 이룹니다. 이제 $\overline{f_{i}}$ 가 ( $\mathcal{G}$ 에 의해 고정되므로) $\mathbb{F}_{p}$ 위의 기약 다항식이라는 것은 갈루아 이론의 표준적인 사실이며, 이로써 주장이 증명됩니다.

이제 $f$ 의 근들이 $H$ 의 잉여류와 대응함만 확인하면 되며, 이는 뒤에서 확립하겠습니다. ∎

위에서 $f\pmod{p}$ 의 인수분해 패턴이 주어지면 $\mathcal{O}_{E}$ 에서 비분기 소수 $p$ 의 인수분해 패턴을 결정할 수 있음을 보았습니다.

이를 뒤집어 보면, $f\pmod{p}$ 의 인수분해 패턴을 알고 싶을 때 $p$ 가 어떻게 분해되는지만 알면 됩니다. 그리고 $E$ 가 단생성이라는 가정이 없어도 이 둘이 일치한다는 것이 밝혀집니다.

정리 62.7.2 (프로베니우스는 다항식의 인수분해를 제어합니다).

$\alpha$ 를 최소 다항식이 $f$ 인 대수적 정수라 하고, $E=\mathbb{Q}(\alpha)$ 라 합시다. 그러면 $f$ 의 분해체 $K$ 에서 비분기인 임의의 소수 $p$ 에 대하여 다음이 일치합니다.

(i)

$E$ 에서 $p$ 의 인수분해 패턴.
(ii)

$f\pmod{p}$ 의 인수분해 패턴.
(iii)

$f$ 의 근들 위에서의 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 의 작용에 연관된 순환 구조. 여기서 $\mathfrak{P}$ 는 $K$ 에서 $p$ 위에 있습니다.

예제 62.7.3 ( $x^{3}-2\pmod{5}$ 의 인수분해).

$\alpha=\sqrt[3]{2}$ , $f=x^{3}-2$ 라 하면 $E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 입니다. $p=5$ 로 두고, 마지막으로 $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$ 를 분해체라 합시다. 설정은 다음과 같습니다.

이제 주장한 세 대상은 모두 $2+1$ 모양을 가집니다.

(i)

인수분해 알고리즘에 의해 $(5)=(5,\sqrt[3]{2}-3)(5,9+3\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})$ 입니다.
(ii)

$x^{3}-2\equiv(x-3)(x^{2}+3x+9)\pmod{5}$ 입니다.
(iii)

앞에서 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}=(\bullet)(\bullet\;\bullet)$ 임을 보았습니다.

증명의 개요.

$n=\deg f$ 라 합시다. $H$ 를 $E$ 에 대응하는 $G=\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 의 부분군이라 하면 $|G/H|=n$ 입니다. 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

(i), (ii), (iii)이 모두 다음과 동치라고 주장합니다.

(iv) $G/H$ 위에서의 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 의 작용의 패턴.

다시 말해 잉여류들이 $K$ 에서 $f$ 의 $n$ 개의 근에 대응한다고 주장합니다. 실제로 $H$ 는 $\tau(\alpha)=\alpha$ 를 만족하는 $\tau\in G$ 의 집합일 뿐이므로, $\tau H\mapsto\tau(\alpha)$ 에 의해 근들과 잉여류 $G/H$ 사이에 전단사가 존재합니다. 다음과 같이 생각해 보십시오. $G=S_{n}$ 이고 $H=\{\tau:\tau(1)=1\}$ 이면, $G/H$ 의 위수는 $n!/(n-1)!=n$ 이며 원소 $\{1,\dots,n\}$ 에 대응합니다. 따라서 (iii)에서 (iv)로 가는 자연스러운 전단사가 존재합니다.

(i)과 (iv)가 전단사로 대응한다는 사실은 앞의 정리인 정리 62.7.1였습니다. (i) $\iff$ (ii)의 대응은 갈루아 이론의 사실이므로 여기서는 증명을 생략합니다. ∎

이 모든 것은 $\mathbb{Q}$ 를 $F$ 로 바꾸어 일반적인 경우에도 할 수 있습니다. 예를 들어 [LEN02]를 참고하십시오.

62.8 응용 예시: IMO 2003 6번 문제

이제 우리가 사용할 수 있게 된 도구가 얼마나 강력한지 보여 주는 예로서, 다음을 증명해 봅시다.

문제 6. $p$ 를 소수라 합시다. 모든 정수 $n$ 에 대하여 수 $n^{p}-p$ 가 $q$ 로 나누어떨어지지 않는 소수 $q$ 가 존재함을 증명하십시오.

우리는 이보다 훨씬 강하게, $X^{p}-p$ 가 $q$ 를 법으로 기약인 소수 $q$ 가 무한히 많이 존재함을 보일 것입니다.

풀이.

좋습니다! 먼저 체의 탑을 그립니다.

\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt[p]{p})\subseteq K

여기서 $K$ 는 $f(x)=x^{p}-p$ 의 분해체입니다. 간결하게 $E=\mathbb{Q}(\sqrt[p]{p})$ 라 하고, 그 차수가 $[E:\mathbb{Q}]=p$ 임에 주목하십시오. $G=\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 라 합시다.

질문 62.8.1.

$p$ 가 $G$ 의 위수를 나눔을 보이십시오. ( $E$ 를 살펴보십시오.)

따라서 코시 정리(Footnote 1, 이는 순수하게 군론적인 사실입니다)에 의해 위수가 $p$ 인 $\sigma\in G$ 를 찾을 수 있습니다. 체보타료프 정리에 의해, $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{Q}}=\sigma$ 를 만족하는 유리 (비분기) 소수 $q\neq p$ 와 $q$ 위의 소 아이디얼 $\mathfrak{Q}\subseteq\mathcal{O}_{K}$ 가 무한히 많이 존재합니다. (네, 그것은 대문자 고딕체 $Q$ 입니다. 죄송합니다.)

우리는 이러한 $q$ 가 모두 조건을 만족한다고 주장합니다.

정리 62.7.2에 의해, $f\pmod{q}$ 의 인수분해는 $f$ 의 근들에 대한 $\sigma=\mathrm{Frob}_{\mathfrak{Q}}$ 의 작용으로 결정됩니다. 그런데 $\sigma$ 는 $G$ 에서 소수 위수 $p$ 를 가집니다! 따라서 순환 구조에 나타나는 모든 길이는 $p$ 를 나누어야 합니다. 그러므로 $f$ 의 가능한 인수분해 패턴은 다음과 같습니다.

p=\underbrace{1+1+\dots+1}_{\text{$p$번}}\quad\text{또는}\quad p=p.

따라서 이제 $p=1+\dots+1$ 인 경우만 배제하면 됩니다. 이 경우는 $f$ 가 $q$ 를 법으로 일차 인수들로 분해될 때에만 일어납니다. 직관적으로 이 극단적인 경우는 거의 일어날 것 같지 않아 보입니다(기약이기를 바라는데 $f$ 가 일차 인수들로 분해될 만큼 우리가 정말로 운이 나쁠까요?). 그리고 실제로 이는 쉽게 알 수 있습니다. 이는 $\sigma$ 가 $K$ 에 있는 $f$ 의 모든 근을 고정한다는 뜻인데, 그러면 $\sigma$ 는 $K$ 전체를 고정하므로 $G$ 의 항등원이 되어 모순입니다. ∎

비고 62.8.2.

사실 $K=\mathbb{Q}(\sqrt[p]{p},\zeta_{p})$ 이고 $\left\lvert G\right\rvert=p(p-1)$ 입니다. 군론을 조금 더 사용하면, 조건을 만족하는 소수 $q$ 의 밀도가 실제로 $\frac{1}{p}$ 임을 보일 수 있습니다.

62.9 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 62A.

홀수 소수 $p$ 에 대하여

\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{1}{8}(p^{2}-1)}.

임을 보이십시오.

힌트. 이차 상호 법칙 증명의 마지막 부분을 수정하십시오.

풀이. 여전히 다음이 성립합니다.

$\left(\frac{2}{q}\right)=1\iff\sigma_{2}\in H\iff\text{$2$가 $\mathbb{Z}\left[% \tfrac{1}{2}(1+\sqrt{q^{\ast}})\right]$에서 분해됩니다}.$

이제 $2$ 가 이 환에서 분해될 필요충분조건은 $t^{2}-t-\tfrac{1}{4}(1-q^{\ast})$ 가 $2$ 를 법으로 인수분해되는 것입니다. 이는 $q^{\ast}\equiv 1\pmod{8}$ 일 때, 그리고 그때에만 일어납니다. 이것이 정확히 $q\equiv\pm 1\pmod{8}$ 인 경우임을 확인할 수 있으며, 이로써 결론이 얻어집니다.

문제 62B.

$f$ 를 정수 계수를 갖는 상수가 아닌 다항식이라 합시다. 충분히 큰 모든 소수 $p$ 에 대하여 $f\pmod{p}$ 가 일차 인수들로 완전히 분해된다고 가정합시다. $f$ 가 일차 인수들로 완전히 분해됨을 보이십시오.

문제 62C (등차수열에 관한 디리클레 정리).

$a$ 와 $m$ 을 서로소인 양의 정수라 합시다. $p\equiv a\pmod{m}$ 인 소수 $p$ 의 밀도가 정확히 $\frac{1}{\phi(m)}$ 임을 보이십시오.

힌트. $\mathbb{Q}(\zeta_{m})$ 에 대한 체보타료프 밀도 정리.

풀이. $K=\mathbb{Q}(\zeta_{m})$ 라 합시다. 앞에서와 똑같이 $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ 임을 보일 수 있습니다. 특히 $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 는 아벨 군이므로 그 켤레류는 한원소 집합이며, 그러한 켤레류는 $\phi(m)$ 개 있습니다.

$p$ 가 충분히 크기만 하면, $p$ 는 분기하지 않으며 $p$ 위에 있는 임의의 $\mathfrak{p}$ 에 대해 $\sigma_{p}=\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 입니다( $m$ 제곱 단위근들은 $p$ 를 법으로 서로 다르기 때문입니다. 다시 한 번 $x^{m}-1$ 을 $p$ 를 법으로 미분해 보십시오).

문제 62D.

$n$ 을 소수의 거듭제곱이 아닌 홀수 정수라고 합시다. $n$ 번째 원분다항식은 어떤 유리 소수를 법으로 하여도 기약이 아님을 보이십시오.

문제 62E (Putnam 2012 B6).

^†^†margin:

$p$ 를 $p\equiv 2\pmod{3}$ 을 만족하는 홀수 소수라고 합시다. $\pi$ 를 $\pi(x)=x^{3}\pmod{p}$ 로 주어지는 $\mathbb{F}_{p}$ 의 순열이라고 합시다. $\pi$ 가 짝순열일 필요충분조건은 $p\equiv 3\pmod{4}$ 임을 보이십시오.

힌트. 원시근을 이용하면, 이는 $\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$ 위에서의 $\times 3$ 의 작용과 같습니다. $\zeta$ 를 $(p-1)$ 제곱 단위근이라고 합시다. $d=\prod_{i<j}(\zeta^{i}-\zeta^{j})$ 로 두고, $\mathbb{Q}(d)$ 를 생각한 다음, $x\mapsto x^{3}$ 으로 그 위에 어떻게 작용하는지 알아내십시오.

풀이. 이 풀이는 David Corwin의 것입니다. 원시근을 이용하면, 이는 $\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$ 위에서의 $\times 3$ 의 작용과 같습니다. $\zeta$ 를 $(p-1)$ 제곱 단위근이라고 합시다.

다음을 생각합시다

$d=\prod_{0\leq i<j<p-1}(\zeta^{i}-\zeta^{j}).$

이것은 다항식 $X^{p-1}-1$ 의 판별식의 제곱근입니다. 다시 말해 $d^{2}\in\mathbb{Z}$ 입니다. 실제로 초등적인 방법으로 다음을 계산할 수 있습니다

$(-1)^{\binom{p-1}{2}}d^{2}=-(p-1)^{p-1}$

이제 확대 $K=\mathbb{Q}(d)$ 를 잡고, 다음에 유의합시다

•

$p\equiv 3\pmod{4}$ 이면 $d=(p-1)^{\frac{1}{2}(p-1)}$ 이므로 $K=\mathbb{Q}$ 입니다.

•

$p\equiv 1\pmod{4}$ 이면 $d=i(p-1)^{\frac{1}{2}(p-1)}$ 이므로 $K=\mathbb{Q}(i)$ 입니다.

어느 경우든, $\mathcal{O}_{K}$ 에서 $\mathfrak{p}$ 를 $(3)\subseteq\mathcal{O}_{K}$ 위에 있는 소 아이디얼이라고 합시다. 그러면 $\sigma=\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 를 모든 $x$ 에 대하여 $\sigma(x)=x^{3}\pmod{\mathfrak{p}}$ 를 만족하는 유일한 원소라고 합시다. 그러면 다음을 관찰할 수 있습니다

$\sigma(d)\equiv\prod_{0\leq i<j<p-1}(\zeta^{3i}-\zeta^{3j})\equiv\begin{cases}% +d&\text{$\pi$가 짝치환이면}\\ -d&\text{$\pi$가 홀치환이면}\end{cases}\pmod{\mathfrak{p}}.$

이제 $K=\mathbb{Q}$ 이면 $\sigma$ 는 항등원이므로 $\sigma$ 는 짝입니다. 반대로 $K=\mathbb{Q}(i)$ 이면 $3$ 은 분해되지 않으므로 $\sigma(d)=-d$ 이고(실제로 $\sigma$ 는 복소켤레입니다), 따라서 $\pi$ 는 홀순열입니다.

$p\equiv 2\pmod{3}$ 이라는 조건은 $\pi$ 가 실제로 순열임을(따라서 $d\neq 0$ 임을) 보장하는 데에만 쓰이며, 풀이에서 실질적인 역할은 하지 않는다는 점에 유의하십시오.

장 62 프로베니우스 원소

62.1 프로베니우스 원소

정리 62.1.1 (프로베니우스 원소).

예제 62.1.2 (가우스 정수의 프로베니우스 원소).

보조정리 62.1.3 (프로베니우스 원소의 위수).

연습문제 62.1.4.

프로베니우스 원소의 존재성 증명.

62.2 켤레류

질문 62.2.1.

정리 62.2.2 (갈루아 군의 켤레류).

증명.

예제 62.2.3 (ℚ(23,ω)에서의 프로베니우스 원소).

62.3 체보타료프 밀도 정리

정리 62.3.1 (ℚ 위에서의 체보타료프 밀도 정리).

비고 62.3.2.

62.4 예시: 원분체의 프로베니우스 원소

보조정리 62.4.1 (원분 프로베니우스 원소).

증명.

질문 62.4.2.

62.5 프로베니우스 원소는 제한과 잘 어울립니다

정리 62.5.1 (프로베니우스 원소의 제한).

증명.

62.6 응용: 이차 상호 법칙

정리 62.6.1 (이차 상호 법칙).

62.6.1 1단계: 준비

질문 62.6.2.

연습문제 62.6.3.

62.6.2 2단계: 재정식화

정리 62.6.4 (이차 상호 법칙, 동치인 정식화).

연습문제 62.6.5.

질문 62.6.6.

62.6.3 3단계: 프로베니우스의 도입

62.6.4 마무리

연습문제 62.6.7.

62.7 프로베니우스 원소에 의한 인수분해의 제어

정리 62.7.1 (프로베니우스 원소에 의한 분해의 제어).

증명의 개요.

정리 62.7.2 (프로베니우스는 다항식의 인수분해를 제어합니다).

예제 62.7.3 (x3−2(mod5)의 인수분해).

증명의 개요.

62.8 응용 예시: IMO 2003 6번 문제

풀이.

질문 62.8.1.

비고 62.8.2.

62.9 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 62A.

문제 62B.

문제 62C (등차수열에 관한 디리클레 정리).

문제 62D.

문제 62E (Putnam 2012 B6).

예제 62.2.3 ( $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$ 에서의 프로베니우스 원소).

정리 62.3.1 ( $\mathbb{Q}$ 위에서의 체보타료프 밀도 정리).

예제 62.7.3 ( $x^{3}-2\pmod{5}$ 의 인수분해).