장 62 프로베니우스 원소

이 장 전체에서 $K/\mathbb{Q}$ 는 갈루아 군 $G$ 를 갖는 갈루아 확장이고, $p$ 는 $K$ 에서 비분기인 유리 소수이며, $\mathfrak{p}$ 는 그 위에 있는 소 아이디얼입니다. 그림:

$p$ 제곱 사상 $\sigma\colon\mathbb{F}_{p^{f}}\to\mathbb{F}_{p^{f}}$ 가 자기동형사상이라는 것을 상기하며, 이는 $\mathbb{F}_{p^{f}}$ 위의 프로베니우스 사상이라고 불립니다. 이 사상을 $\sigma(x)=x^{p}$ 로 정의하여 $K\to K$ 사상으로 확장하려 시도할 수 있지만, 안타깝게도 이는 체의 자기동형사상이 되지 않습니다.

놀랍게도, 그럼에도 불구하고 이를 어떤 체 자기동형사상 $\sigma\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 로 확장하는 것이 가능합니다.

$p$ 가 비분기라면, 모든 $\alpha\in\mathcal{O}_{K}$ 에 대해 $\sigma(\alpha)\equiv\alpha^{p}\pmod{\mathfrak{p}}$ 를 만족하는 유일한 $\sigma\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 가 존재함을 보일 수 있습니다.

62.1 프로베니우스 원소들

대표적인 예: $\mathbb{Z}[i]$ 에서의 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 는 $p\pmod{4}$ 에 따라 달라집니다.

여기 정리 진술을 다시 적습니다:

정리 62.1.1 (프로베니우스 원소).

$K/\mathbb{Q}$ 가 갈루아 군 $G$ 를 갖는 갈루아 확장이라고 가정합니다. $p$ 를 $K$ 에서 비분기인 유리 소수로, $\mathfrak{p}$ 를 그 위에 있는 소 아이디얼로 둡니다. 모든 $\alpha\in\mathcal{O}_{K}$ 에 대해 다음 성질을 갖는 유일한 원소 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}\in G$ 가 존재합니다,

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}(\alpha)\equiv\alpha^{p}\pmod{\mathfrak{p}}.

이는 $\mathfrak{p}$ 에서의 프로베니우스 원소라고 불리며, 위수 $f$ 를 갖습니다.

유일성 부분이 상당히 중요합니다: 이는 주어진 $\sigma\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 가 위의 함수 방정식을 만족한다는 것만 관찰함으로써 그것이 프로베니우스 원소임을 보일 수 있게 해줍니다.

이에 대한 예를 살펴봅시다:

예제 62.1.2 (가우스 정수의 프로베니우스 원소들).

$\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[i]$ 를 갖는 $K=\mathbb{Q}(i)$ 에 대해 실제로 몇 가지 프로베니우스 원소를 계산해봅시다. 이는 갈루아 확장이며, $G=(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{\times}$ 는 항등원과 복소켤레에 대응합니다.

$p$ 가 그 위에 $\mathfrak{p}$ 를 갖는 홀수 소수라면, $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 는 다음을 만족하는 유일한 원소입니다

(a+bi)^{p}\equiv\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}(a+bi)\pmod{\mathfrak{p}}

$\mathbb{Z}[i]$ 에서. 특히,

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}(i)=i^{p}=\begin{cases}i&p\equiv 1\pmod{4}\\ -i&p\equiv 3\pmod{4}.\end{cases}

이로부터 $p\equiv 1\pmod{4}$ 일 때 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 는 항등원이고, $p\equiv 3\pmod{4}$ 일 때 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 는 복소켤레임을 알 수 있습니다.

우리가 실제로 $i$ 에서만 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 를 계산하면 되었다는 점에 주목하십시오. 이것이 너무 그럴듯해서 믿기 어렵게 느껴진다면, 철학적인 이유는 $(x+y)^{p}\equiv x^{p}+y^{p}\pmod{p}$ (따라서 $\mathfrak{p}$ 를 법으로도 성립)인 ”신입생의 꿈”입니다. 그러므로 $\sigma$ 가 생성원들에서 함수 방정식을 만족한다면, 이는 모든 곳에서 함수 방정식을 만족합니다.

우리는 또한 중요한 보조정리를 갖고 있습니다:

보조정리 62.1.3 (프로베니우스 원소의 위수).

$\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 를 확장 $K/\mathbb{Q}$ 로부터 나온 프로베니우스 원소라고 합니다. 그러면 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 의 위수는 관성차수 $f_{\mathfrak{p}}$ 와 같습니다. 특히, $(p)$ 가 $\mathcal{O}_{K}$ 에서 완전히 분해되는 것은 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}=\mathrm{id}$ 일 때이고 오직 그때에만 성립합니다.

이 보조정리는 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 를 계산하는 것만으로 $\mathfrak{p}$ 의 분해 양상을 알 수 있게 해주며, 이는 나중에 보조정리 62.4.1와 소절 62.6.3에서 보게 될 것입니다.

연습문제 62.1.4.

$\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}$ 가 위수 $f_{\mathfrak{p}}$ 인 유한체이고, 프로베니우스 원소가 이 체에서 단지 $x\mapsto x^{p}$ 라는 사실을 이용하여 이 보조정리를 증명하십시오.

이제 주요 정리를 증명해 봅시다. 이는 분해군의 맥락에서만 의미가 있으므로, 그 부분을 건너뛴 독자는 이 증명을 생략해야 합니다.

프로베니우스 원소의 존재성 증명.

이 정리 전체는 앞 절에서 정의된 사상 $\theta$ 가 $p$ 가 비분기일 때 동형사상이라는 사실을 다시 서술한 것에 불과합니다. 그림:

여기서는 $D_{\mathfrak{p}}$ 에 주목해도 충분한데, $\alpha\equiv 0\pmod{\mathfrak{p}}$ 일 때 $\sigma(\alpha)\equiv 0\pmod{\mathfrak{p}}$ 이어야 하기 때문입니다. 따라서 다음과 같은 동형사상을 얻습니다

D_{\mathfrak{p}}\xrightarrow{\theta}\operatorname{Gal}\left((\mathcal{O}_{K}/% \mathfrak{p})/\mathbb{F}_{p}\right).

하지만 우리는 이미 다음의 동형사상들의 연쇄에 따라 $\operatorname{Gal}\left((\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p})/\mathbb{F}_{p}\right)$ 를 알고 있습니다

\operatorname{Gal}\left((\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p})/\mathbb{F}_{p}\right)% \cong\operatorname{Gal}\left(\mathbb{F}_{p^{f}}/\mathbb{F}_{p}\right)\cong% \left<T=x\mapsto x^{p}\right>\cong\mathbb{Z}/f\mathbb{Z}.

따라서 그러한 유일한 원소는 $\theta$ 에 대한 $T$ 의 원상입니다. ∎

62.2 켤레류

이제 $\mathfrak{p}_{1}$ 과 $\mathfrak{p}_{2}$ 가 비분기 유리 소수 $p$ 위에 있는 두 소 아이디얼이라고 합시다. 그러면 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{1}}$ 과 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{2}}$ 를 정의할 수 있습니다. 갈루아 군이 추이적으로 작용하므로, 다음을 만족하는 $\sigma\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 를 선택할 수 있습니다

\sigma(\mathfrak{p}_{1})=\mathfrak{p}_{2}.

우리는 다음을 주장합니다

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{2}}=\sigma\circ\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{1}}% \circ\sigma^{-1}.

이는 $G$ 에서의 방정식임에 유의하십시오.

질문 62.2.1.

이를 증명하십시오.

더 일반적으로, 주어진 비분기 유리 소수 $p$ 에 대해 다음을 얻습니다:

정리 62.2.2 (갈루아 군에서의 켤레류).

다음 집합은

\left\{\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}\mid\mathfrak{p}\text{위에서}p\right\}

$G$ 의 켤레류 중 하나입니다.

증명.

우리는 $G=\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 가 추이적이라는 사실을 이용하여, $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{1}}$ 과 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{2}}$ 가 둘 다 $p$ 위에 있을 때 서로 켤레임을 보였습니다. 따라서 그것은 어떤 켤레류에 포함되어 있습니다. 그러므로 남은 것은, 임의의 $\mathfrak{p}$ , $\sigma$ 에 대해 $\sigma\circ\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}\circ\sigma^{-1}=\mathrm{Frob}_{% \mathfrak{p}^{\prime}}$ 가 되는 어떤 $\mathfrak{p}^{\prime}$ 가 존재함을 확인하는 것입니다. 이를 위해서는 그냥 $\mathfrak{p}^{\prime}=\sigma\mathfrak{p}$ 로 놓으면 됩니다. 따라서 그 집합은 실제로 켤레류입니다. ∎

요약하면,

$\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 는 $\mathfrak{p}$ 가 유래한 소수 $p$ 에 의해 켤레 관계까지 결정됩니다.

그러므로 고딕 문자가 겁나 보이더라도, $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 의 내용은 사실 더 친숙해 보이는 유리 소수 $p$ 로부터 나오는 것에 불과합니다.

예제 62.2.3 ( $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$ 에서의 프로베니우스 원소).

이러한 언급을 바탕으로, 프로베니우스 사상의 더 복잡한 예를 살펴봅시다. $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$ 를 다음의 분해체라 합시다

t^{3}-2=(t-\sqrt[3]{2})(t-\omega\sqrt[3]{2})(t-\omega^{2}\sqrt[3]{2}).

따라서 $K/\mathbb{Q}$ 는 갈루아입니다. 앞선 예에서 우리는 다음을 보았습니다

\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\varepsilon]\quad\text{여기서}\quad\varepsilon\text{의 % 근이다}t^{6}+3t^{5}-5t^{3}+3t+1.

다음과 같이 인수분해되는(여기서는 그냥 믿어주십시오) 소수 $5$ 를 생각해 봅시다

(5)=(5,\varepsilon^{2}+\varepsilon+2)(5,\varepsilon^{2}+3\varepsilon+3)(5,% \varepsilon^{2}+4\varepsilon+1)=\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}\mathfrak{p}_{% 3}.

모든 소 아이디얼의 관성차수가 $2$ 임에 유의하십시오. 따라서 각 $i$ 에 대해 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{i}}$ 는 위수 $2$ 를 갖게 됩니다.

다음에 유의하십시오

\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})=\text{의 순열}\{\sqrt[3]{2},\omega\sqrt[3]{2},% \omega^{2}\sqrt[3]{2}\}\cong S_{3}.

이 $S_{3}$ 에는 위수가 2인 원소가 $3$ 개 있는데, 하나의 근을 고정하고 나머지 두 근을 교환하는 것들입니다. 이들은 각각 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{1}}$ , $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{2}}$ , $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{3}}$ 에 대응됩니다.

결론적으로, $(5)$ 에 결부된 켤레류 $\left\{\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{1}},\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{2}},% \mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}_{3}}\right\}$ 는 $S_{3}$ 에서 순환 유형 $(\bullet)(\bullet\;\bullet)$ 입니다.

62.3 체보타레프 밀도 정리

자연스러운 질문: 모든 켤레류를 이런 방식으로 나타낼 수 있습니까? 다시 말해, $G$ 의 모든 원소는 어떤 $\mathfrak{p}$ 에 대해 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 와 같습니까?

놀랍게도 답은 ”예”일 뿐만 아니라, 실제로는 가장 좋은 방식으로 그렇게 됩니다: 임의의 $\mathfrak{p}$ 를 뽑을 때 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 들은 ”균등하게 분포”합니다.

정리 62.3.1 ( $\mathbb{Q}$ 위의 체보타레프 밀도 정리).

$C$ 를 $G=\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 의 켤레류라 합시다. $\{\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}\mid\mathfrak{p}\text{위에서}p\}=C$ 를 만족하는 (비분기) 소수 $p$ 들의 밀도는 정확히 $\left\lvert C\right\rvert/\left\lvert G\right\rvert$ 입니다. 특히, 임의의 $\sigma\in G$ 에 대해 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}=\sigma$ 가 되도록 $p$ 위에 있는 $\mathfrak{p}$ 를 갖는 유리 소수 $p$ 가 무한히 많이 존재합니다.

여기서 밀도란, 조건을 만족하는 소수 $p\leq x$ 의 비율이 $x\to\infty$ 일 때 $\frac{\left\lvert C\right\rvert}{\left\lvert G\right\rvert}$ 에 가까워진다는 뜻입니다. $K$ 에서 분기되는 소수들은 제외하고 있음에 유의하십시오. 분기되는 소수는 오직 $\Delta_{K}$ 를 나누는 소수들뿐이고, 이는 유한 개밖에 없으므로 문제가 되지 않습니다.

다시 말해, 무작위로 소수 $p$ 를 뽑아 그 결과로 나오는 켤레류를 살펴보는 것은 $G$ 에 다트를 던지는 것과 매우 비슷합니다: 어떤 켤레류에 맞을 확률은 오직 그 켤레류의 크기에만 좌우됩니다.

비고 62.3.2.

다행히도 이 정리(및 앞선 논의)는 $K/\mathbb{Q}$ 를 임의의 갈루아 확장 $K/F$ 로 바꾸어도 그대로 성립합니다; 이 경우 ” $p$ 위의 $\mathfrak{p}$ ”를 ” $\mathfrak{p}$ 위의 $\mathfrak{P}$ ”로 바꿉니다. 이 경우, 밀도를 정의하는 방식으로 $p\leq x$ 대신 $\operatorname{N}(\mathfrak{p})\leq x$ 를 사용합니다.

62.4 예시: 원분체의 프로베니우스 원소

$q$ 를 소수라 하고, $\zeta_{q}$ 를 원시 $q$ 제곱근 단위근이라 할 때 $L=\mathbb{Q}(\zeta_{q})$ 를 생각합시다. 여러 별표 문제들로부터 다음을 기억하고 있어야 합니다.

•

$\Delta_{L}=\pm q^{q-2}$ ,
•

$\mathcal{O}_{L}=\mathbb{Z}[\zeta_{q}]$ 이며,
•

$\sigma_{n}\colon L\to L\quad\text{~{}에 의해}\quad\zeta_{q}\mapsto\zeta_{q}^{n}$

이 사상은 $\gcd(n,q)=1$ 일 때마다 $L$ 의 자기동형사상이며, $n\pmod{q}$ 에만 의존합니다. 다시 말해, $L/\mathbb{Q}$ 의 자기동형사상들은 그저 $q$ 제곱근 단위근들을 뒤섞을 뿐입니다. 실제로 갈루아 군은 정확히 원소들 $\{\sigma_{n}\}$ 으로 이루어져 있으며, 즉

$\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})=\{\sigma_{n}\mid n\not\equiv 0\pmod{q}\}.$

군으로서,

$\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})=(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times}\cong\mathbb% {Z}/(q-1)\mathbb{Z}.$

이는 놀랍도록 좋은데, 왜냐하면 $\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ 의 원소들이 이미 프로베니우스 원소와 매우 비슷하게 생겼기 때문입니다. 구체적으로:

보조정리 62.4.1 (원분체 프로베니우스 원소).

원분체 설정 $L=\mathbb{Q}(\zeta_{q})$ 에서, $p$ 를 비분기 유리 소수라 하고 그 위의 $\mathfrak{p}$ 를 생각합시다. 그러면

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}=\sigma_{p}.

증명.

$\sigma_{p}$ 가 함수 방정식을 만족함을 관찰하십시오(생성원에서 확인하십시오). 유일성에 의해 증명이 끝납니다. ∎

질문 62.4.2.

유리 소수 $p$ 가 $\mathcal{O}_{L}$ 에서 완전히 분해되는 것은 정확히 $p\equiv 1\pmod{q}$ 일 때임을 결론지으십시오.

62.5 프로베니우스 원소는 제한 사상과 잘 어울립니다

$L/\mathbb{Q}$ 와 $K/\mathbb{Q}$ 를 갈루아 확장이라 하고, 다음 설정을 생각합시다

여기서 $\mathfrak{p}$ 는 $(p)$ 위에 있고 $\mathfrak{P}$ 는 $\mathfrak{p}$ 위에 있습니다. 우리는 다음과 같이 정의할 수 있습니다

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}\colon K\to K\quad\text{그리고}\quad\mathrm{Frob}_{% \mathfrak{P}}\colon L\to L

그리고 이들이 어떻게 관련되는지 알고 싶습니다.

$\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 와 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 두 사상 모두 대응하는 몫체에서 $p$ 의 거듭제곱 사상을 유도하므로, 자연스럽게 이들이 같으리라 예상할 수 있습니다.

정리 62.5.1.

[프로베니우스 원소의 제한] $K/\mathbb{Q}$ 와 $L/\mathbb{Q}$ 가 모두 갈루아 확대라고 가정합니다. 위와 같이 $\mathfrak{P}$ 와 $\mathfrak{p}$ 가 비분지라고 합시다. 그러면 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}{\restriction_{K}}=\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 이며, 즉 모든 $\alpha\in K$ 에 대해

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}(\alpha)=\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}(\alpha).

증명.

먼저, $K/\mathbb{Q}$ 가 정규 확대이므로 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 $K$ 의 상을 고정합니다. 즉, $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}{\restriction_{K}}\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb{% Q})$ 가 잘 정의됩니다.

자연스러운 사상 $\phi\colon\mathcal{O}_{K}\to\mathcal{O}_{L}\to\mathcal{O}_{L}/\mathfrak{P}$ 와 몫 사상 $q\colon\mathcal{O}_{K}\to\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}$ 가 있습니다. $\mathfrak{p}\subseteq\mathfrak{P}\cap\mathcal{O}_{K}\subseteq\ker\phi$ 이므로, $\phi$ 는 $q$ 를 통해 인수분해되어 자연스러운 체 준동형사상 $\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}\to\mathcal{O}_{L}/\mathfrak{P}$ 를 줍니다.

체 준동형사상은 단사이므로, $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 $\mathcal{O}_{L}/\mathfrak{P}$ 위에서 $p$ 거듭제곱 사상을 유도하며, 모든 것이 가환이므로 정리가 성립합니다. ∎

요컨대, 이 절의 요점은 다음과 같습니다.

위쪽의 프로베니우스 원소는 아래쪽의 프로베니우스 원소로 제한됩니다.

62.6 응용: 이차 상호법칙

이제 다음을 증명하고자 합니다.

정리 62.6.1 (이차 상호법칙).

$p$ 와 $q$ 를 서로 다른 홀수 소수라 합시다. 그러면

\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac% {q-1}{2}}.

(이차 상호법칙에 익숙하지 않다면, 예를 들어 이에 대한 설명은 [25]을 참고하십시오.)

62.6.1 1단계: 설정

이 증명을 위해, 먼저 다음을 정의합니다.

L=\mathbb{Q}(\zeta_{q})

여기서 $\zeta_{q}$ 는 원시 $q$ 차 단위근입니다. 그러면 $L/\mathbb{Q}$ 는 갈루아 확대이며, 갈루아 군은 $G$ 입니다.

질문 62.6.2.

$G$ 가 지표 $2$ 인 부분군 $H$ 를 유일하게 가짐을 보이십시오.

사실, 이를 정확히 기술할 수 있습니다. $G\cong(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times}$ 로 볼 때, 다음이 성립합니다.

H=\left\{\sigma_{n}\mid\text{$q$ 법으로 $n$ 이차잉여}\right\}.

갈루아 이론의 기본정리에 의해, $\mathbb{Q}(\zeta_{q})$ 안에는 $\mathbb{Q}$ 의 차수 $2$ 인 확대(즉, 이차체)가 존재해야 합니다. 이를 $q^{\ast}$ 가 제곱인수가 없는 수일 때 $\mathbb{Q}(\sqrt{q^{\ast}})$ 라 부릅시다.

연습문제 62.6.3.

유리 소수 $\ell$ 이 $K$ 에서 분기하면 $L$ 에서도 분기함에 주의하십시오. 이를 이용하여 다음을 보이십시오.

q^{\ast}=\pm q\text{그리고}q^{\ast}\equiv 1\pmod{4}.

이 둘을 종합하면 $q^{\ast}$ 의 값이 결정됩니다.

(사실, 탑 $L/K/\mathbb{Q}$ 에서 일반적으로 $\Delta_{K}$ 가 $\Delta_{L}$ 을 나눈다는 것이 성립합니다.)

62.6.2 2단계: 재정식화

이제 다음을 증명하고자 합니다.

정리 62.6.4 (이차 상호법칙, 동치인 정식화).

서로 다른 홀수 소수 $p$ , $q$ 에 대해 다음이 성립합니다.

\left(\frac{p}{q}\right)=\left(\frac{q^{\ast}}{p}\right).

연습문제 62.6.5.

$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}$ 이라는 사실을 이용하여, 이것이 우리가 알고 있는 이차 상호법칙과 동치임을 보이십시오.

$\mathbb{Z}$ 에서 유리 소수 $p$ 를 살펴봅시다. 이는 $K$ 에서 둘로 분해되거나 비활성이 되는데, 어느 경우든 $\mathfrak{p}$ 를 그 결과 분해에서의 소인자라 합시다(즉, 비활성인 경우 $\mathfrak{p}$ 는 $p\cdot\mathcal{O}_{K}$ 이고, 분해되는 경우에는 그 소인자 중 하나입니다). 그다음 $\mathfrak{p}$ 위에 있는 소인자를 ${\mathfrak{P}}$ 라 합시다. 이는 $K$ 에서도 분해될 수 있습니다. 그림은 다음과 같습니다.

질문 62.6.6.

$p$ 가 $K$ 와 $L$ 어느 쪽에서도 분기하지 않는 이유는 무엇입니까?

62.6.3 3단계: 프로베니우스 도입하기

이제, 프로베니우스를 취합니다

\sigma_{p}=\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}\in\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q}).

우리는 다음을 주장합니다

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}\in H\iff\text{$K$에서 $p$가 분해됨}.

이를 확인하려면, $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 가 $H$ 에 속하는 것은 그것이 $K$ 위에서 항등원으로 작용하는 것과 동치임에 주목하십시오. 그런데 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}{\restriction_{K}}$ 는 바로 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 입니다! 따라서

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}\in H\iff\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}=\mathrm{id}_% {K}.

마지막으로, 보조정리 62.1.3에 의해, $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 의 위수는 $p$ 가 분해될 때( $\mathfrak{p}$ 의 관성차수가 $1$ 일 때) $1$ 이고 $p$ 가 비활성일 때 $2$ 입니다. 이로써 주장의 증명이 완료됩니다.

62.6.4 마무리하기

보조정리 62.4.1에 의해 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}=\sigma_{p}\in H$ 인 것은 $p$ 가 이차 잉여인 것과 동치임을 이미 알고 있습니다. 한편,

연습문제 62.6.7.

$p\neq 2$ 라는 사실이 여기서 필요합니다.) $p$ 가 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\frac{1}{2}(1+\sqrt{q^{\ast}})]$ 에서 분해되는 것은 $\left(\frac{q^{\ast}}{p}\right)=1$ 인 것과 동치임을 보이십시오. (인수분해 알고리즘을 사용하십시오.

다시 말해,

	$\displaystyle\left(\frac{p}{q}\right)=1$	$\displaystyle\iff\sigma_{p}\in H$
		$\displaystyle\iff\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}\in H$
		$\displaystyle\iff\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}=\mathrm{id}_{K}$
		$\displaystyle\iff\operatorname{ord}\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}=1$
		$\displaystyle\iff f_{\mathfrak{p}}=1$
		$\displaystyle\iff\text{$p$는 $\mathbb{Z}\left[\tfrac{1}{2}(1+\sqrt{q^{\ast}})% \right]$에서 분해됩니다}$
		$\displaystyle\iff\left(\frac{q^{\ast}}{p}\right)=1.$

이로써 증명이 완료됩니다.

62.7 프로베니우스 원소는 인수분해를 통제합니다

대표적인 예: 이차 상호법칙의 증명에서 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 는 $p$ 의 분해를 통제하였습니다. 일반적인 경우에도 마찬가지입니다.

이차 상호법칙의 증명에서, 우리는 $p$ 의 분해와 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 의 성질을 관련짓기 위해 프로베니우스 원소가 제한과 잘 어울린다는 사실을 사용하였습니다.

사실, $E/\mathbb{Q}$ 가 갈루아 확대가 아닌 경우에도 성립하는, 임의의 중간체 $\mathbb{Q}\subseteq E\subseteq K$ 에 대한 훨씬 더 강한 명제가 있습니다. 이는 인수분해 패턴이라는 개념에 의존합니다. 그 내용은 다음과 같습니다.

$n=[E:\mathbb{Q}]$ 로 놓고, $p$ 를 $K$ 에서 비분기인 유리 소수라고 합시다. 그러면 $p$ 는 $E$ 에서 다음과 같이 분해될 수 있습니다

p\cdot\mathcal{O}_{E}=\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}\dots\mathfrak{p}_{g}

관성차수 $f_{1}$ , …, $f_{g}$ 와 함께입니다: ( $E/\mathbb{Q}$ 가 갈루아가 아니므로 이 관성차수들은 서로 다를 수 있습니다). 수 $f_{1}+\dots+f_{g}=n$ 은 수 $n$ 의 분할을 이룹니다. 예를 들어, 이차 상호법칙 증명에서는 $n=2$ 였고, 가능한 분할은 (만약 $p$ 가 분해되었다면) $1+1$ 과 (만약 $p$ 가 비활성이었다면) $2$ 였습니다. 우리는 이를 $E$ 에서 $p$ 의 인수분해 패턴이라고 부릅니다.

다음으로, $K$ 안에서 $(p)$ 위에 있는 프로베니우스 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 를 도입합니다; 이는 $G=\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 의 한 원소입니다. 그리고 $H$ 를 체 $E$ 에 대응하는 군이라고 합시다. 도식:

그러면 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 좌곱셈에 의해 $n$ 개의 좌잉여류 $g H$ 에 대한 순열을 유도합니다(어쨌든, $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 역시 $G$ 의 원소이니까요!). 다른 모든 순열과 마찬가지로, 우리는 그 결과로 나오는 순환 분해를 살펴볼 수 있는데, 이는 자연스러운 ”순환 구조”를 가집니다: 즉 $n$ 의 분할입니다.

정리는 이 둘이 일치한다는 것입니다:

정리 62.7.1 (프로베니우스 원소가 분해를 결정한다).

$\mathbb{Q}\subseteq E\subseteq K$ 를 수체의 확대라고 하고 $K/\mathbb{Q}$ 가 갈루아라고 가정합시다(단, $E/\mathbb{Q}$ 는 그럴 필요가 없습니다). 비분기 유리 소수 $p$ 를 고르고; $G=\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ , $H$ 를 대응하는 중간 부분군이라고 합시다. 마지막으로, $\mathfrak{P}$ 를 $K$ 에서 $p$ 위에 있는 소 아이디얼이라고 합시다.

그러면 $E$ 에서 $p$ 의 인수분해 패턴은 $H$ 의 좌잉여류에 작용하는 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 의 순환 구조로 주어집니다.

흔히, 우리는 $E=K$ 로 취하는데, 이 경우 이는 단지 소수 $p$ 의 분해가 그 위의 프로베니우스 원소에 의해 결정된다는 것을 주장하는 것입니다.

증명 개요.

$\alpha$ 를 대수적 정수라 하고 $f$ 를 그 최소다항식(차수 $n$ )이라고 합시다. $E=\mathbb{Q}(\alpha)$ 로 놓읍시다(이는 $\mathbb{Q}$ 위에서 차수 $n$ 을 가집니다). 운 좋게도 $\mathcal{O}_{E}=\mathbb{Z}[\alpha]$ 라고, 즉 $E$ 가 단생성이라고 가정합시다. 그러면 인수분해 알고리즘에 의해, $E$ 에서 임의의 $p$ 를 인수분해하려면 $p$ 를 법으로 $f$ 를 인수분해하기만 하면 됨을 알고 있습니다. 왜냐하면 $f=f_{1}^{e_{1}}\dots f_{g}^{e_{g}}\pmod{p}$ 이면 다음을 얻기 때문입니다

(p)=\prod_{i}\mathfrak{p}_{i}=\prod_{i}(f_{i}(\alpha),p)^{e_{i}}.

이는 분기지수와 관성차수에 대한 완전한 정보를 우리에게 제공합니다; $e_{i}$ 는 분기지수이고, $\deg f_{i}$ 는 관성차수입니다(왜냐하면 $\mathcal{O}_{E}/\mathfrak{p}_{i}\cong\mathbb{F}_{p}[X]/(f_{i}(X))$ 이기 때문입니다).

특히 $p$ 가 비분기(unramified)라면 모든 $e_{i}$ 는 $1$ 과 같으며, 다음을 얻습니다

n=\deg f=\deg f_{1}+\deg f_{2}+\dots+\deg f_{g}.

다시 한 번 $n$ 의 분할을 얻으며, 이를 $f$ 의 법 $p$ 에 대한 인수분해 패턴이라고 부릅니다. 따라서 $\mathcal{O}_{E}$ 에서 비분기 소수 $p$ 의 인수분해 패턴을 보려면, $f\pmod{p}$ 의 인수분해 패턴만 알면 됩니다.

정리를 증명하기 위해, $f\pmod{p}$ 의 인수분해 패턴이 $f$ 의 근에 대한 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 작용의 순환 분해와 정확히 대응하며, $f$ 의 근이 $G$ 에서 $H$ 의 잉여류와 정확히 대응함을 보이겠습니다.

이를 위해 $S=\{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\}$ 을 $f$ 의 근이라 합시다 ( $f$ 가 $\mathbb{Q}$ 위에서 기약이므로 서로 다른 근입니다). $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 가 $S$ 에 작용하도록 합시다. 이는 $S$ 를 궤도 $S_{1}$ , $S_{2}$ , $\dots$ , $S_{k}$ 로 분할합니다. $S_{i}$ 의 원소를 정확히 근으로 갖는, 계수가 $E$ 에 속하는 다항식 $f_{i}$ 를 구성합시다. 이는 $E$ 위에서 $f$ 의 인수분해를 이루며, 다음과 같이 씁니다

f=f_{1}f_{2}\dots f_{k}.

우리는 이것이 실제로 $f\pmod{p}$ 의 인수분해를 유도한다고 주장합니다. 이를 확인하기 위해, 몫 $\mathcal{O}_{K}\to\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{P}$ 아래에서 이 다항식들 $f_{i}$ 의 상을 생각하고, 이를 $\overline{f_{i}}$ 로 표기합시다. 그러면 $p$ 가 비분지이므로, 분해군 $D(\mathfrak{P}|p)$ 가 갈루아 군 $\mathcal{G}=\operatorname{Gal}((\mathcal{O}_{E}/\mathfrak{P})/(\mathbb{Z}/p% \mathbb{Z}))$ 와 동형임을 압니다. 따라서 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 $\mathcal{G}$ 의 생성원 $\sigma$ 에 대응됩니다. $f$ 의 근에 대한 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 의 작용이 $\overline{f}$ 의 근에 대한 $\sigma$ 의 작용과 같다는 것은 믿기 어렵지 않습니다. $f_{i}$ 의 근들이 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 의 작용 아래 하나의 궤도를 이루므로, $\overline{f_{i}}$ 의 근들이 $\sigma$ 의 작용, 따라서 $\mathcal{G}$ 의 작용 아래 하나의 궤도를 이룸을 알 수 있습니다. 이제 $\overline{f_{i}}$ 가 $\mathbb{F}_{p}$ 위에서 기약다항식이라는 것은 갈루아 이론의 표준적인 사실입니다( $\mathcal{G}$ 에 의해 고정되므로), 따라서 주장이 증명됩니다.

이제 $f$ 의 근이 $H$ 의 잉여류와 대응함을 관찰하기만 하면 되며, 이는 나중에 확립하겠습니다. ∎

위에서 $f\pmod{p}$ 의 인수분해 패턴이 주어지면, $\mathcal{O}_{E}$ 에서 비분기 소수 $p$ 의 인수분해 패턴을 결정할 수 있음을 보았습니다.

이를 뒤집어 보면, $f\pmod{p}$ 의 인수분해 패턴을 알고 싶다면, $p$ 가 어떻게 분해되는지만 알면 됩니다. 그리고 이는 $E$ 가 모노제닉(monogenic)이라는 가정 없이도 일치함이 밝혀집니다.

정리 62.7.2 (프로베니우스가 다항식 인수분해를 지배한다).

$\alpha$ 를 최소 다항식 $f$ 를 갖는 대수적 정수라 하고, $E=\mathbb{Q}(\alpha)$ 라 합시다. 그러면 $f$ 의 분해체 $K$ 에서 비분기인 임의의 소수 $p$ 에 대해, 다음이 서로 일치합니다:

(i)

$E$ 에서 $p$ 의 인수분해 패턴.
(ii)

$f\pmod{p}$ 의 인수분해 패턴.
(iii)

$f$ 의 근에 대한 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 작용과 관련된 순환 구조, 여기서 $\mathfrak{P}$ 는 $K$ 에서 $p$ 위에 있습니다.

예제 62.7.3 ( $x^{3}-2\pmod{5}$ 인수분해하기).

$\alpha=\sqrt[3]{2}$ 이고 $f=x^{3}-2$ 라 하면, $E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 입니다. $p=5$ 로 두고, 마지막으로 $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$ 를 분해체라 합시다. 설정:

이제 주장된 세 대상은 모두 $2+1$ 모양을 가집니다:

(i)

인수분해 알고리즘에 의해, $(5)=(5,\sqrt[3]{2}-3)(5,9+3\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})$ 를 얻습니다.
(ii)

$x^{3}-2\equiv(x-3)(x^{2}+3x+9)\pmod{5}$ 입니다.
(iii)

앞서 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}=(\bullet)(\bullet\;\bullet)$ 임을 보았습니다.

증명 개요.

$n=\deg f$ 라 둡시다. $H$ 를 $E$ 에 대응하는 $G=\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 의 부분군이라 하면, $|G/H|=n$ 입니다. 그림으로 나타내면 다음과 같습니다

(i), (ii), (iii)이 모두 다음과 동치임을 주장합니다

(iv) $G/H$ 에 대한 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 작용의 패턴.

다시 말해, 잉여류들이 $K$ 에서 $f$ 의 $n$ 개 근과 대응한다고 주장합니다. 실제로 $H$ 는 $\tau(\alpha)=\alpha$ 를 만족하는 $\tau\in G$ 의 집합일 뿐이므로, $\tau H\mapsto\tau(\alpha)$ 에 의해 근과 잉여류 $G/H$ 사이에 전단사가 존재합니다. 이렇게 생각해 봅시다: 만약 $G=S_{n}$ 이고 $H=\{\tau:\tau(1)=1\}$ 이라면, $G/H$ 는 위수 $n!/(n-1)!=n$ 을 가지며 원소 $\{1,\dots,n\}$ 과 대응합니다. 따라서 (iii)에서 (iv)로 가는 자연스러운 전단사가 존재합니다.

(i)가 (iv)와 전단사 관계에 있다는 사실은 이전 정리인 정리 62.7.1였습니다. 대응 (i) $\iff$ (ii)는 갈루아 이론의 사실이므로, 여기서는 증명을 생략합니다. ∎

이 모든 것은 $\mathbb{Q}$ 를 $F$ 로 바꾸어 일반적으로도 할 수 있습니다. 예를 들어 [LEN02]에서 그러합니다.

62.8 응용 예시: IMO 2003 문제 6

이제 우리가 가진 힘을 보여주는 예시로서, 다음을 증명해 봅시다:

문제 6. $p$ 를 소수라고 합시다. 모든 정수 $n$ 에 대해 $n^{p}-p$ 가 $q$ 로 나누어떨어지지 않는 소수 $q$ 가 존재함을 증명하십시오.

훨씬 더 강하게, $X^{p}-p$ 가 법 $q$ 에 대해 기약다항식이 되는 무한히 많은 소수 $q$ 가 존재함을 보이겠습니다.

풀이.

좋습니다! 먼저, 체의 탑을 그립니다

\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt[p]{p})\subseteq K

여기서 $K$ 는 $f(x)=x^{p}-p$ 의 분해체입니다. 간결함을 위해 $E=\mathbb{Q}(\sqrt[p]{p})$ 라 하고, 이것이 $[E:\mathbb{Q}]=p$ 의 차수를 가짐에 주목하십시오. $G=\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 라 합시다.

질문 62.8.1.

$p$ 가 $G$ 의 위수를 나눔을 보이십시오. ( $E$ 를 살펴보십시오.)

따라서 코시의 정리(Footnote 1, 이는 순수하게 군론적인 사실입니다)에 의해 위수가 $p$ 인 $\sigma\in G$ 를 찾을 수 있습니다. 체보타레프에 의해, $q$ 위에 있는 소 아이디얼 $\mathfrak{Q}\subseteq\mathcal{O}_{K}$ 중 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{Q}}=\sigma$ 가 되도록 하는, 무한히 많은 (비분기) 유리 소수 $q\neq p$ 가 존재합니다. (네, 이것은 대문자 고딕체 $Q$ 입니다. 죄송합니다.)

이 모든 $q$ 가 원하는 대로 작동함을 주장합니다.

정리 62.7.2에 의해, $f\pmod{q}$ 의 인수분해는 $f$ 의 근들에 대한 $\sigma=\mathrm{Frob}_{\mathfrak{Q}}$ 의 작용에 의해 제어됩니다. 그런데 $\sigma$ 는 $G$ 에서 소수 위수 $p$ 를 갖습니다! 따라서 순환마디 구조의 모든 길이는 $p$ 를 나누어야 합니다. 그러므로 $f$ 의 가능한 인수분해 패턴은 다음과 같습니다

p=\underbrace{1+1+\dots+1}_{\text{$p$번}}\quad\text{또는}\quad p=p.

이제 우리는 $p=1+\dots+1$ 인 경우만 배제하면 됩니다: 이는 $f$ 가 법 $q$ 에서 일차 인수들로 분해될 때만 일어납니다. 직관적으로 이 극단적인 경우는 매우 일어날 법하지 않아 보입니다(우리가 $f$ 가 기약이기를 바랄 때 정말로 운이 나빠서 일차 인수들로 분해되겠습니까?). 그리고 실제로 이는 쉽게 알 수 있습니다: 이는 $\sigma$ 가 $K$ 안의 $f$ 의 모든 근을 고정시킨다는 것을 의미하지만, 그렇다면 $\sigma$ 는 $K$ 전체를 고정시키게 되므로 $G$ 의 항등원이 되어, 모순입니다. ∎

비고 62.8.2.

실제로 $K=\mathbb{Q}(\sqrt[p]{p},\zeta_{p})$ 이고, $\left\lvert G\right\rvert=p(p-1)$ 입니다. 조금 더 군론을 사용하면, 실제로 작동하는 소수 $q$ 의 밀도가 $\frac{1}{p}$ 임을 보일 수 있습니다.

62.9 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 62A.

홀수 소수 $p$ 에 대해 다음이 성립함을 보이십시오.

\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{1}{8}(p^{2}-1)}.

힌트. 이차상호법칙 증명의 마지막 부분을 수정하십시오.

풀이. 다음은 여전히 참입니다

$\left(\frac{2}{q}\right)=1\iff\sigma_{2}\in H\iff\text{$2$는 $\mathbb{Z}\left[% \tfrac{1}{2}(1+\sqrt{q^{\ast}})\right]$에서 분해합니다}.$

이제, $2$ 가 이 환에서 분해될 필요충분조건은 $t^{2}-t-\tfrac{1}{4}(1-q^{\ast})$ 가 법 $2$ 에서 인수분해되는 것입니다. 이는 $q^{\ast}\equiv 1\pmod{8}$ 일 필요충분조건으로 일어납니다. 이것이 정확히 $q\equiv\pm 1\pmod{8}$ 일 때임을 확인할 수 있으며, 이로부터 결론이 얻어집니다.

문제 62B.

$f$ 를 정수 계수를 갖는 비상수 다항식이라 합시다. 충분히 큰 모든 소수 $p$ 에 대해 $f\pmod{p}$ 가 일차 인수들로 완전히 분해된다고 가정합시다. $f$ 가 일차 인수들로 완전히 분해됨을 보이십시오.

문제 62C (등차수열에 관한 디리클레 정리).

$a$ 와 $m$ 을 서로소인 양의 정수라 합시다. $p\equiv a\pmod{m}$ 인 소수 $p$ 의 밀도가 정확히 $\frac{1}{\phi(m)}$ 임을 보이십시오.

힌트. $\mathbb{Q}(\zeta_{m})$ 에서의 체보타레프 밀도.

풀이. $K=\mathbb{Q}(\zeta_{m})$ 이라 합시다. 이전과 정확히 같은 방식으로 $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ 임을 보일 수 있습니다. 특히, $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 는 아벨 군이므로 그 켤레류들은 단원소 집합이며, 그 개수는 $\phi(m)$ 개입니다.

$p$ 가 충분히 크기만 하면, 그것은 비분기이며 $p$ 위의 임의의 $\mathfrak{p}$ 에 대해 $\sigma_{p}=\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 입니다( $m$ 제곱근들이 법 $p$ 에서 서로 다를 것이기 때문입니다; 법 $p$ 에서 $x^{m}-1$ 을 다시 미분해 보십시오).

문제 62D.

$n$ 을 소수의 거듭제곱이 아닌 홀수라 합시다. $n$ 번째 원분다항식이 어떤 유리 소수를 법으로 하더라도 기약이 아님을 보이십시오.

문제 62E (Putnam 2012 B6).

^†^†margin:

$p$ 를 $p\equiv 2\pmod{3}$ 을 만족하는 홀수 소수라 합시다. $\pi(x)=x^{3}\pmod{p}$ 로 정의되는 $\mathbb{F}_{p}$ 의 순열을 $\pi$ 라 합시다. $\pi$ 가 짝순열인 것은 $p\equiv 3\pmod{4}$ 인 것과 동치임을 보이십시오.

힌트. 원시근을 이용하면 이는 $\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$ 위의 $\times 3$ 작용과 같습니다. $\zeta$ 를 $(p-1)$ 차 단위근이라 합시다. $d=\prod_{i<j}(\zeta^{i}-\zeta^{j})$ 로 두고, $\mathbb{Q}(d)$ 에 대해 생각한 다음, $x\mapsto x^{3}$ 에 의한 작용을 어떻게 할지 알아내십시오.

풀이. 이 풀이는 David Corwin에 의한 것입니다. 원시근에 의해, 이는 $\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$ 위에서의 $\times 3$ 작용과 같습니다. $\zeta$ 를 $(p-1)$ 차 단위근이라 하십시오.

다음을 생각해봅시다

$d=\prod_{0\leq i<j<p-1}(\zeta^{i}-\zeta^{j}).$

이는 다항식 $X^{p-1}-1$ 의 판별식의 제곱근입니다. 다시 말해 $d^{2}\in\mathbb{Z}$ 입니다. 실제로 초등적인 방법으로 다음을 계산할 수 있습니다

$(-1)^{\binom{p-1}{2}}d^{2}=-(p-1)^{p-1}$

이제 확대체 $K=\mathbb{Q}(d)$ 를 취하고, 다음을 주목하십시오

•

$p\equiv 3\pmod{4}$ 이면, $d=(p-1)^{\frac{1}{2}(p-1)}$ 이므로 $K=\mathbb{Q}$ 입니다.

•

$p\equiv 1\pmod{4}$ 이면, $d=i(p-1)^{\frac{1}{2}(p-1)}$ 이므로 $K=\mathbb{Q}(i)$ 입니다.

어느 쪽이든, $\mathcal{O}_{K}$ 에서 $(3)\subseteq\mathcal{O}_{K}$ 위에 있는 소 아이디얼을 $\mathfrak{p}$ 라 하십시오. 그러면 $\sigma=\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ 를 모든 $x$ 에 대해 $\sigma(x)=x^{3}\pmod{\mathfrak{p}}$ 를 만족하는 유일한 원소라고 하십시오. 그러면 다음을 관찰할 수 있습니다

$\sigma(d)\equiv\prod_{0\leq i<j<p-1}(\zeta^{3i}-\zeta^{3j})\equiv\begin{cases}% +d&\text{$\pi$가 짝수이면}\\ -d&\text{$\pi$가 홀인 경우}\end{cases}\pmod{\mathfrak{p}}.$

이제 $K=\mathbb{Q}$ 이면, $\sigma$ 는 항등원이므로 $\sigma$ 는 짝순열입니다. 반대로 $K=\mathbb{Q}(i)$ 이면, $3$ 이 분해되지 않으므로 $\sigma(d)=-d$ 이고(실제로 $\sigma$ 는 복소켤레입니다) 따라서 $\pi$ 는 홀순열입니다.

$p\equiv 2\pmod{3}$ 이라는 조건은 오직 $\pi$ 가 실제로 순열임을(따라서 $d\neq 0$ 임을) 보장하기 위해서만 쓰인다는 점에 주의하십시오. 이 조건은 풀이에서 본질적인 역할을 하지 않습니다.

장 62 프로베니우스 원소

62.1 프로베니우스 원소들

정리 62.1.1 (프로베니우스 원소).

예제 62.1.2 (가우스 정수의 프로베니우스 원소들).

보조정리 62.1.3 (프로베니우스 원소의 위수).

연습문제 62.1.4.

프로베니우스 원소의 존재성 증명.

62.2 켤레류

질문 62.2.1.

정리 62.2.2 (갈루아 군에서의 켤레류).

증명.

예제 62.2.3 (ℚ(23,ω)에서의 프로베니우스 원소).

62.3 체보타레프 밀도 정리

정리 62.3.1 (ℚ 위의 체보타레프 밀도 정리).

비고 62.3.2.

62.4 예시: 원분체의 프로베니우스 원소

보조정리 62.4.1 (원분체 프로베니우스 원소).

증명.

질문 62.4.2.

62.5 프로베니우스 원소는 제한 사상과 잘 어울립니다

정리 62.5.1.

증명.

62.6 응용: 이차 상호법칙

정리 62.6.1 (이차 상호법칙).

62.6.1 1단계: 설정

질문 62.6.2.

연습문제 62.6.3.

62.6.2 2단계: 재정식화

정리 62.6.4 (이차 상호법칙, 동치인 정식화).

연습문제 62.6.5.

질문 62.6.6.

62.6.3 3단계: 프로베니우스 도입하기

62.6.4 마무리하기

연습문제 62.6.7.

62.7 프로베니우스 원소는 인수분해를 통제합니다

정리 62.7.1 (프로베니우스 원소가 분해를 결정한다).

증명 개요.

정리 62.7.2 (프로베니우스가 다항식 인수분해를 지배한다).

예제 62.7.3 (x3−2(mod5) 인수분해하기).

증명 개요.

62.8 응용 예시: IMO 2003 문제 6

풀이.

질문 62.8.1.

비고 62.8.2.

62.9 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 62A.

문제 62B.

문제 62C (등차수열에 관한 디리클레 정리).

문제 62D.

문제 62E (Putnam 2012 B6).

예제 62.2.3 ( $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$ 에서의 프로베니우스 원소).

정리 62.3.1 ( $\mathbb{Q}$ 위의 체보타레프 밀도 정리).

예제 62.7.3 ( $x^{3}-2\pmod{5}$ 인수분해하기).