장 2 거리 공간

이 글을 쓰는 시점에서, 저는 거리 위상이 점집합 위상을 동기부여하는 데 있어서나 일반적인 미적분학을 일반화하는 데 있어서나 도덕적으로 올바른 방법이라고 확신합니다.¹¹1또한, ”거리”는 발음하기 재미있는 단어이기도 합니다. 그러니 여기 제 최선의 시도를 소개합니다.

거리 공간의 개념은 매우 ”구체적”이어서 시각화하기가 쉽습니다. 따라서 이 장 전체에 걸쳐 여러분은 수렴하는 수열, 열린집합, 닫힌집합 등과 같은 새로운 대상들을 배우면서 많은 그림을 그려야 합니다.

2.1 거리 공간의 정의와 예시

대표적인 예: 유클리드 거리를 가진 $\mathbb{R}^{2}$ 입니다.

정의 2.1.1.

거리 공간은 점들의 집합 $M$ 과 거리 $d\colon M\times M\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ 로 이루어진 순서쌍 $(M,d)$ 입니다. 이 거리 함수는 다음을 만족해야 합니다:

•

임의의 $x,y\in M$ 에 대해, $d(x,y)=d(y,x)$ 가 성립합니다. 즉, $d$ 는 대칭입니다.
•

함수 $d$ 는 양의 정부호여야 하는데, 이는 $d(x,y)\geq 0$ 이며 등호는 $x=y$ 일 때에만 성립함을 의미합니다.
•

함수 $d$ 는 삼각 부등식을 만족해야 합니다: 모든 $x,y,z\in M$ 에 대해,

$d(x,z)+d(z,y)\geq d(x,y).$

표기의 남용 2.1.2.

군의 경우와 마찬가지로, 우리는 $(M,d)$ 를 그냥 $M$ 으로 줄여 쓰겠습니다.

예제 2.1.3 ( $\mathbb{R}$ 의 거리 공간).

(a)

실수직선 $\mathbb{R}$ 은 거리 $d(x,y)=\left\lvert x-y\right\rvert$ 아래에서 거리 공간을 이룹니다.
(b)

구간 $[0,1]$ 또한 동일한 거리 함수를 가진 거리 공간입니다.
(c)

실제로, $\mathbb{R}$ 의 임의의 부분집합 $S$ 는 이러한 방식으로 거리 공간이 될 수 있습니다.

예제 2.1.4 ( $\mathbb{R}^{2}$ 의 거리 공간).

(a)

우리는 유클리드 거리 함수를 부여함으로써 $\mathbb{R}^{2}$ 를 거리 공간으로 만들 수 있습니다

$d\left((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\right)=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2}% )^{2}}.$
(b)

첫 번째 예시와 마찬가지로, $\mathbb{R}^{2}$ 의 임의의 부분집합도 이를 물려받은 후에는 거리 공간이 됩니다. 단위 원판, 단위 원, 그리고 단위 정사각형 $[0,1]^{2}$ 이 특별한 경우들입니다.

예제 2.1.5 ( $\mathbb{R}^{2}$ 위의 택시 거리).

$\mathbb{R}^{2}$ 위에 택시 거리를 부여하는 것도 가능합니다:

d\left((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\right)=\left\lvert x_{1}-x_{2}\right\rvert+% \left\lvert y_{1}-y_{2}\right\rvert.

지금으로서는, 우리는 더 자연스러운 유클리드 거리를 사용하겠습니다.

예제 2.1.6 ( $\mathbb{R}^{n}$ 의 거리 공간).

위의 예시들을 쉽게 일반화할 수 있습니다. $n$ 을 양의 정수라고 합시다.

(a)

점들이 $n$ 차원 유클리드 공간의 점들이고, 거리가 유클리드 거리인 거리 공간을 $\mathbb{R}^{n}$ 이라고 하겠습니다

$d\left(\left(a_{1},\dots,a_{n}\right),\left(b_{1},\dots,b_{n}\right)\right)=% \sqrt{(a_{1}-b_{1})^{2}+\dots+(a_{n}-b_{n})^{2}}.$

이것이 바로 $n$ 차원 유클리드 공간입니다.
(b)

열린 단위 공球 $B^{n}$ 은 $x_{1}^{2}+\dots+x_{n}^{2}<1$ 을 만족하는 점 $\left(x_{1},\dots,x_{n}\right)$ 들로 이루어진 $\mathbb{R}^{n}$ 의 부분집합입니다.
(c)

단위 구면 $S^{n-1}$ 은 $x_{1}^{2}+\dots+x_{n}^{2}=1$ 을 만족하는 점 $\left(x_{1},\dots,x_{n}\right)$ 들로 이루어진 $\mathbb{R}^{n}$ 의 부분집합이며, 유도된 거리를 갖습니다. (위첨자 $n-1$ 은 $S^{n-1}$ 이 $n$ 차원 공간 안에 있음에도 불구하고 $n-1$ 차원 공간임을 나타냅니다.) 예를 들어, $S^{1}\subseteq\mathbb{R}^{2}$ 는 단위원이며, 두 점 사이의 거리는 그 두 점을 잇는 현의 길이입니다. 이를 단위 공球 $B^{n}$ 의 “경계”로 생각할 수도 있습니다.

예제 2.1.7 (함수 공간).

$M$ 을 연속함수 $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ 의 공간으로 두고, 거리를 $d(f,g)=\int_{0}^{1}\left\lvert f-g\right\rvert\;dx$ 로 정의할 수 있습니다. ( $d(f,g)=0$ 이 $f=g$ 를 함의함을 확인하는 데는 다소 작업이 필요하지만, 지금은 그것을 걱정하지 않겠습니다.)

다소 더 병적인 예를 하나 살펴보겠습니다.

예제 2.1.8 (이산 공간).

$S$ 를 (유한이든 무한이든) 임의의 점들의 집합이라 합시다. 다음과 같이 선언함으로써 $S$ 를 이산 공간으로 만들 수 있습니다

d(x,y)=\begin{cases}1&\text{$x\neq y$일 때}\\ 0&\text{$x=y$일 때}.\end{cases}

$\left\lvert S\right\rvert=4$ 이면 이 공간을 $\mathbb{R}^{3}$ 안에 있는 정사면체의 꼭짓점들로 생각할 수 있습니다. 하지만 $S$ 가 더 커지면 시각화하기가 그리 쉽지 않습니다…

예제 2.1.9 (그래프는 거리 공간입니다).

임의의 연결된 단순 그래프 $G$ 는 두 정점 사이의 거리를 그 둘 사이의 그래프 이론적 거리로 정의함으로써 거리 공간으로 만들 수 있습니다. (이산 거리는 $G$ 가 $S$ 위의 완전 그래프인 특수한 경우입니다.)

질문 2.1.10.

이산 공간에서의 거리와 연결된 그래프에서의 거리에 대해 거리 공간의 조건을 확인해 보십시오.

표기의 남용 2.1.11.

이제부터는 유클리드 거리를 갖는 $\mathbb{R}^{n}$ 을 그냥 $\mathbb{R}^{n}$ 이라고 부르겠습니다. 또한, 유도된 거리를 갖는 부분집합 $S\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 에 대해 거리 공간을 취하고자 할 때는 그냥 $S$ 라고 쓰겠습니다.

2.2 거리 공간에서의 수렴

대표적인 예: $\mathbb{R}$ 에서의 수열 $\frac{1}{n}$ ( $n=1,2,\dots$ 에 대해).

두 점 사이의 거리를 말할 수 있으므로, 점들의 수열이 수렴한다는 것이 무엇을 의미하는지도 말할 수 있습니다. 이는 절댓값을 거리 함수로 대체한 전형적인 엡실론-델타 정의와 동일합니다.

정의 2.2.1.

$(x_{n})_{n\geq 1}$ 을 거리 공간 $M$ 안의 점들의 수열이라 합시다. 다음 조건이 성립하면 $x_{n}$ 이 $x$ 로 수렴한다고 말합니다: 모든 $\varepsilon>0$ 에 대해, ( $\varepsilon$ 에 의존하는) 정수 $N$ 이 존재하여 $n\geq N$ 인 모든 $n$ 에 대해 $d(x_{n},x)<\varepsilon$ 가 성립합니다. 이는

x_{n}\to x

로 쓰거나, 더 풀어서

\lim_{n\to\infty}x_{n}=x.

로 씁니다. 수열이 $M$ 안의 한 점으로 수렴하면 그 수열이 $M$ 에서 수렴한다고 말합니다.

이 정의가 여러분이 직관적으로 갖고 있는 “수렴한다”는 개념과 일치하는지 확인해 보아야 합니다.

표기의 남용 2.2.2.

모(母)공간 $M$ 이 명확한 경우, “ $M$ 에서 수렴한다”를 그냥 “수렴한다”로 줄여 쓰도록 하겠습니다. 하지만 수렴은 모공간에 상대적으로 정의된다는 점을 명심해야 합니다. 즉, 수열이 수렴하려면 공간의 “극한”이 실제로 $M$ 안의 한 점이어야 합니다.

예제 2.2.3.

수열 $x_{1}=1$ , $x_{2}=1.4$ , $x_{3}=1.41$ , $x_{4}=1.414$ , …을 생각해 봅시다.

(a)

이를 $\mathbb{R}$ 에서의 수열로 보면, $\sqrt{2}$ 로 수렴합니다.
(b)

하지만 각 $x_{i}$ 가 $\mathbb{Q}$ 안에 있음에도 불구하고, 이 수열을 $\mathbb{Q}$ 에서의 수열로 볼 때는 수렴하지 않습니다!

질문 2.2.4.

이산 거리 공간에서 수렴하는 수열은 무엇입니까?

2.3 연속 사상

미적분학에서 함수가 연속이라는 것이 무엇을 의미하는지 배운 적이 있을 것입니다(적어도 들어는 보았을 것입니다). 아마 다음과 같은 형태였을 것입니다

함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 점 $p\in\mathbb{R}$ 에서 연속이라는 것은, 모든 $\varepsilon>0$ 에 대해 $\left\lvert x-p\right\rvert<\delta\implies\left\lvert f(x)-f(p)\right\rvert<\varepsilon$ 를 만족하는 $\delta>0$ 가 존재함을 의미합니다.

질문 2.3.1.

거리 공간에 대한 대응되는 정의가 무엇일지 짐작할 수 있습니까?

우리가 해야 할 일은 절댓값을 더 일반적인 거리 함수로 바꾸는 것뿐입니다. 이렇게 하면 임의의 함수 $M\to N$ 에 대한 연속성의 정의를 얻게 됩니다.

정의 2.3.2.

$M=(M,d_{M})$ 과 $N=(N,d_{N})$ 을 거리 공간이라고 합시다. 함수 $f\colon M\to N$ 이 점 $p\in M$ 에서 연속이라는 것은, 모든 $\varepsilon>0$ 에 대해 다음을 만족하는 $\delta>0$ 가 존재함을 의미합니다.

d_{M}(x,p)<\delta\implies d_{N}(f(x),f(p))<\varepsilon.

더 나아가, 함수 $f$ 전체가 연속이라는 것은 모든 점 $p\in M$ 에서 연속임을 의미합니다.

군의 동형사상을 정의할 때와 마찬가지로, 한 조건에는 $M$ 의 거리를, 다른 조건에는 $N$ 의 거리를 사용한다는 점에 주목하십시오.

이러한 일반화가 좋은 이유는 $\mathbb{R}$ 에서의 연속성 논증을 $\mathbb{C}$ 와 같은 더 일반적인 공간으로 어떻게 옮길 수 있는지를 즉시 알려주기 때문입니다. 그럼에도 불구하고 이 정의는 실수(엡실론과 델타)를 광범위하게 사용하기 때문에 다루기에 다소 번거롭습니다. 다음은 이와 동치인 조건입니다.

정리 2.3.3 (점렬 연속성).

거리 공간의 함수 $f\colon M\to N$ 이 점 $p\in M$ 에서 연속인 것은 다음 성질이 성립하는 것과 동치입니다: $M$ 에서 $p$ 로 수렴하는 모든 수열 $x_{1}$ , $x_{2}$ , … 에 대해, $N$ 에서 수열 $f(x_{1})$ , $f(x_{2})$ , … 가 $f(p)$ 로 수렴합니다.

증명.

한쪽 방향은 그리 어렵지 않습니다:

연습문제 2.3.4.

$\varepsilon$ - $\delta$ 연속성이 각 점에서의 점렬 연속성을 함의함을 보이십시오.

역으로, $f$ 가 $p$ 에서 $\varepsilon$ - $\delta$ 연속이 아니면 수렴을 보존하지 않음을 증명하겠습니다.

$f$ 가 $p$ 에서 연속이 아니라면, ”나쁜” $\varepsilon>0$ 이 존재하며, 이를 이제 고정된 것으로 간주합니다. 그러면 $\delta=1/n$ 을 선택할 때마다, $p$ 로부터 $\delta$ 이내에 있지만 $f(p)$ 로부터 $\varepsilon$ 보다 더 멀리 사상되는 어떤 점 $x_{n}$ 이 존재해야 합니다. 그러나 그러면 수열 $x_{n}$ 은 $p$ 로 수렴하는데, $f(x_{n})$ 은 항상 $f(p)$ 로부터 적어도 $\varepsilon$ 만큼 떨어져 있으므로 모순입니다. ∎

순차 연속성의 유용함을 보여주는 응용 예시입니다:

명제 2.3.5 (연속함수의 합성은 연속입니다).

$f\colon M\to N$ 과 $g\colon N\to L$ 을 거리 공간 사이의 연속 사상이라고 합시다. 그러면 이들의 합성 $g\circ f$ 는 연속입니다.

증명.

수열을 사용하면 정말 간단합니다: $p\in M$ 을 임의로 잡고 $M$ 에서 $x_{n}\to p$ 라고 합시다. 그러면 $N$ 에서 $f(x_{n})\to f(p)$ 이고, $L$ 에서 $g(f(x_{n}))\to g(f(p))$ 이므로, 증명 완료입니다. ∎

질문 2.3.6.

$M$ 을 임의의 거리 공간, $D$ 를 이산 공간이라고 합시다. 사상 $f\colon D\to M$ 은 언제 연속입니까?

2.4 위상동형사상

대표적인 예: 단위원 $S^{1}$ 은 단위정사각형의 경계와 위상동형입니다.

우리는 언제 두 군을 같다고 여깁니까? 답: 그 사이에 구조를 보존하면서 전단사이기도 한 사상이 존재할 때입니다. 거리 공간에서도 정확히 같은 방식으로 하되, ”구조를 보존한다”를 ”연속이다”로 바꿉니다.

정의 2.4.1.

$M$ 과 $N$ 을 거리 공간이라고 합시다. 함수 $f\colon M\to N$ 이 위상동형사상이라는 것은, 이것이 전단사이고 $f\colon M\to N$ 과 그 역사상 $f^{-1}\colon N\to M$ 이 모두 연속임을 의미합니다. 이때 $M$ 과 $N$ 은 위상동형이라고 합니다.

말할 필요도 없이, 위상동형은 동치 관계입니다.

$f^{-1}$ 도 연속이어야 한다는 조건이 요구되는 것에 놀랄 수도 있습니다. 이유는 다음과 같습니다: $\phi$ 가 군의 동형사상이면 $\phi^{-1}$ 도 군 연산을 보존하므로 $\phi^{-1}$ 자체가 동형사상임을 보일 수 있습니다. 연속 전단사에 대해서는 이것이 성립하지 않으며, 바로 이 때문에 새로운 조건이 필요합니다.

예제 2.4.2 (위상동형사상 $\neq$ 연속 전단사).

(a)

$[0,1)$ 에서 원으로 가는 연속 전단사, 이 존재하지만, 이것은 연속인 역사상을 갖지 않습니다.
(b)

$M$ 을 크기가 $|\mathbb{R}|$ 인 이산 공간이라고 합시다. 그러면 연속 함수 $M\to\mathbb{R}$ 이 존재하지만, 이는 확실히 연속인 역사상을 갖지 않습니다.

이것이 위상수학자의 ”같음”에 대한 정의라는 점에 유의하십시오 – 위상동형사상은 ”연속적인 변형”입니다. 몇 가지 예시가 있습니다.

예제 2.4.3 (위상동형사상의 예시).

(a)

임의의 공간 $M$ 은 항등 사상을 통해 자기 자신과 위상동형입니다.
(b)

옛말에 이르길: 도넛(원환면)은 커피잔과 위상동형입니다. (들어본 적이 없다면 찾아보십시오.)
(c)

단위원 $S^{1}$ 은 단위 정사각형의 경계와 위상동형입니다. 적절한 스케일링을 거친 후, 둘 사이의 전단사 하나는 다음과 같습니다:

예제 2.4.4 (단위원 위의 거리함수).

$S^{1}$ 위의 우리의 거리함수가 $\mathbb{R}^{2}$ 로부터 물려받은 것, 즉 원 위의 두 점 사이의 거리가 현의 길이로 정의된 것이었다는 사실이 이상하게 느껴졌을 수 있습니다. 두 점을 잇는 더 짧은 호의 길이를 사용하는 것이 더 합리적이지 않았을까요?

사실 어느 쪽이든 상관없습니다: $S^{1}$ 에 ”현” 거리함수와 ”호” 거리함수를 부여하여 생각하면, 둘 사이의 사상이 연속이므로 서로 위상동형인 두 공간을 얻습니다.

일반적인 $n$ 에 대한 $S^{n-1}$ 에 대해서도 마찬가지입니다.

예제 2.4.5 (위상동형사상은 실제로 크기를 보존하지 않는다).

놀랍게도, 열린 구간 $(-1,1)$ 은 실수선 $\mathbb{R}$ 과 위상동형입니다! 전단사 하나는 다음과 같이 주어집니다

x\mapsto\tan(x\pi/2)

그 역함수는 $t\mapsto\frac{2}{\pi}\arctan(t)$ 로 주어집니다.

$(-1,1)$ 은 $\mathbb{R}$ 과 그다지 닮아 보이지 않으므로 이는 놀랍게 느껴질 수 있습니다; 전자는 ”유계”인 반면 후자는 ”비유계”입니다.

2.5 확장된 예시/정의: 곱 거리함수

대표적인 예: $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 은 $\mathbb{R}^{2}$ 입니다.

이후에 등장할 확장된 예시가 여기 있습니다. $M=(M,d_{M})$ 과 $N=(N,d_{N})$ 을 거리 공간이라 합시다 (예를 들어 $M=N=\mathbb{R}$ ). 우리의 목표는 $M\times N$ 위에 거리 공간을 정의하는 것입니다.

$i=1,2$ 에 대해 $p_{i}=(x_{i},y_{i})\in M\times N$ 이라 합시다. 점들의 집합 $M\times N$ 위에서 다음 거리함수들을 생각해 봅시다:

	$\displaystyle d_{\text{최댓값}}(p_{1},p_{2})$	$\displaystyle\coloneqq\max\left\{d_{M}(x_{1},x_{2}),d_{N}(y_{1},y_{2})\right\}$
	$\displaystyle d_{\text{유클리드}}(p_{1},p_{2})$	$\displaystyle\coloneqq\sqrt{d_{M}(x_{1},x_{2})^{2}+d_{N}(y_{1},y_{2})^{2}}$
	$\displaystyle d_{\text{택시}}\left(p_{1},p_{2}\right)$	$\displaystyle\coloneqq d_{M}(x_{1},x_{2})+d_{N}(y_{1},y_{2}).$

이들 모두 좋은 후보입니다. 우리가 어느 것을 사용하든 상관없다는 것을 곧 확인할 것입니다:

연습문제 2.5.1.

다음을 확인하십시오

d_{\text{최댓값}}(p_{1},p_{2})\leq d_{\text{유클리드}}(p_{1},p_{2})\leq d_{\text{택시}}% (p_{1},p_{2})\leq 2d_{\text{최댓값}}(p_{1},p_{2}).

이를 이용하여, 세 거리함수 중 어느 것을 부여하더라도 얻어지는 거리 공간들이 위상동형이며, 그 위상동형사상은 단지 항등 사상임을 보이십시오.

정의 2.5.2.

따라서 우리는 보통 $M\times N$ 위의 거리함수를 그냥 그 거리함수라 부르며, 이를 곱 거리함수라 합니다. 세 거리함수 중 어느 것을 선택하는지는 중요하지 않을 것입니다.

예제 2.5.3 ( $\mathbb{R}^{2}$ ).

$M=N=\mathbb{R}$ 이면, 우리는 유클리드 평면인 $\mathbb{R}^{2}$ 를 얻습니다. 거리함수 $d_{\text{유클리드}}$ 는 우리가 처음 시작한 것이지만, 나머지 두 거리함수 중 어느 것을 사용해도 마찬가지로 잘 작동합니다.

곱 거리함수는 수열의 수렴과 잘 어울립니다.

명제 2.5.4 (곱 거리함수에서의 수렴은 성분별로 이루어진다).

$(x_{n},y_{n})\to(x,y)$ 인 것과 $x_{n}\to x$ 이고 $y_{n}\to y$ 인 것은 동치입니다.

증명.

$d_{\text{최댓값}}\left((x,y),(x_{n},y_{n})\right)=\max\left\{d_{M}(x,x_{n}),d_{N}% (y,y_{n})\right\}$ 이며, $n\to\infty$ 일 때 이 값이 $0$ 에 수렴하는 것은 $d_{M}(x,x_{n})\to 0$ 이고 $d_{N}(y,y_{n})\to 0$ 인 것과 동치입니다. ∎

이것의 응용 하나를 살펴봅시다:

명제 2.5.5 (덧셈과 곱셈은 연속입니다).

덧셈과 곱셈 사상은 연속 사상 $\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 입니다.

증명.

곱셈의 경우: 임의의 $n$ 에 대해 다음이 성립합니다

	$\displaystyle x_{n}y_{n}$	$\displaystyle=\left(x+(x_{n}-x)\right)\left(y+(y_{n}-y)\right)$
		$\displaystyle=xy+y(x_{n}-x)+x(y_{n}-y)+(x_{n}-x)(y_{n}-y)$
	$\displaystyle\implies\left\lvert x_{n}y_{n}-xy\right\rvert$	$\displaystyle\leq\left\lvert y\right\rvert\left\lvert x_{n}-x\right\rvert+% \left\lvert x\right\rvert\left\lvert y_{n}-y\right\rvert+\left\lvert x_{n}-x% \right\rvert\left\lvert y_{n}-y\right\rvert.$

$n\to\infty$ 일 때, 우변의 세 항은 모두 0으로 수렴합니다. $+\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 연속이라는 증명도 비슷합니다(그리고 더 쉽습니다): 임의의 $n$ 에 대해 다음이 성립함을 확인하면 됩니다

|(x_{n}+y_{n})-(x+y)|\leq|x_{n}-x|+|y_{n}-y|

그리고 $n\to\infty$ 일 때 우변의 두 항은 모두 0으로 수렴합니다. ∎

문제 2C에서는 나머지 두 연산인 뺄셈과 나눗셈을 다룹니다. 이로부터 얻는 결론은, 합성 또한 연속이므로 자연스럽게 등장하는 대부분의 실숫값 함수들이 자동으로 연속이 된다는 것입니다. 예를 들어 함수 $\frac{3x}{x^{2}+1}$ 는 $+$ , $\times$ , $\div$ 를 합성하여 얻을 수 있으므로 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 의 연속 함수가 됩니다.

2.6 열린집합

대표적인 예: $\mathbb{R}^{2}$ 에서의 열린 원판 $x^{2}+y^{2}<r^{2}$ .

연속성은 사실 ”국소적으로” 무슨 일이 일어나는지에 관한 것입니다: 즉 함수가 ”특정한 점 $p$ 근처에서” 어떻게 행동하는지에 관한 것입니다. 이러한 ”가까움”의 개념을 포착하는 한 가지 방법은 위에서 했던 것처럼 거리를 사용하는 것입니다. 이런 방식으로 점의 $r$ -근방을 정의할 수 있습니다.

정의 2.6.1.

$M$ 을 거리 공간이라 합시다. 각 실수 $r>0$ 과 점 $p\in M$ 에 대해, 다음과 같이 정의합니다

M_{r}(p)\coloneqq\left\{x\in M:d(x,p)<r\right\}.

집합 $M_{r}(p)$ 는 $p$ 의 $r$ -근방이라 불립니다.

$r$ -근방을 이용하면 수렴을 더 간결하게 다시 표현할 수 있습니다. 구체적으로, 수열 $(x_{n})$ 이 $x$ 로 수렴한다는 것은 $x$ 의 모든 $r$ -근방에 대해 $x_{n}$ 의 모든 항이 결국 그 $r$ -근방 안에 머무른다는 것을 의미합니다.

함수에 대해서도 같은 것을 해봅시다.

질문 2.6.2.

$r$ -근방의 관점에서, 함수 $f\colon M\to N$ 이 점 $p\in M$ 에서 연속이라는 것은 무엇을 의미할까요?

본질적으로, 우리는 모든 $\varepsilon$ -근방의 원상이 그 안에 어떤 $\delta$ -근방이 존재한다는 성질을 갖기를 요구합니다. 이는 다음을 동기로 제시합니다:

정의 2.6.3.

집합 $U\subseteq M$ 이 $M$ 에서 열린(open) 집합이라는 것은, 각 $p\in U$ 에 대해 $p$ 의 어떤 $r$ -근방이 $U$ 안에 포함된다는 것을 의미합니다. 다시 말해, $M_{r}(p)\subseteq U$ 인 $r>0$ 가 존재합니다.

표기의 남용 2.6.4.

어떤 집합이 열려 있다는 것은 모(母)공간 $M$ 에 상대적으로 정의된다는 점에 유의하십시오. 다만 $M$ 이 자명하게 이해되는 경우에는 ” $M$ 에서 열린”을 그냥 ”열린”으로 줄여 부를 수 있습니다.

그림 2.1:

\mathbb{R}^{2}

에서 점

x^{2}+y^{2}<1

의 집합은

\mathbb{R}^{2}

에서 열려 있습니다.

예제 2.6.5 (열린집합의 예).

(a)

점의 임의의 $r$ -근방은 열려 있습니다.
(b)

$\mathbb{R}$ 의 열린 구간은 $\mathbb{R}$ 에서 열려 있으며, 바로 이 때문에 그런 이름이 붙었습니다! 이것이 염두에 두어야 할 전형적인 예시입니다.
(c)

열린 단위 공 $B^{n}$ 도 같은 이유로 $\mathbb{R}^{n}$ 에서 열려 있습니다.
(d)

특히, 열린 구간 $(0,1)$ 은 $\mathbb{R}$ 에서 열려 있습니다. 하지만 이를 $\mathbb{R}^{2}$ 에 매장하면 더 이상 열려 있지 않습니다!
(e)

공집합 $\varnothing$ 과 전체 점의 집합 $M$ 은 $M$ 에서 열려 있습니다.

예제 2.6.6 (열린집합이 아닌 예시들).

(a)

닫힌 구간 $[0,1]$ 은 $\mathbb{R}$ 에서 열려 있지 않습니다. 점 $0$ 의 $\varepsilon$ -근방 중 $[0,1]$ 에 포함되는 것은 없습니다.
(b)

단위원 $S^{1}$ 은 $\mathbb{R}^{2}$ 에서 열려 있지 않습니다.

질문 2.6.7.

이산 공간의 열린집합은 무엇입니까?

열린집합의 매우 중요한 두 가지 성질을 소개합니다.

명제 2.6.8 (열린집합의 교집합과 합집합).

(a)

유한 개의 열린집합의 교집합은 열려 있습니다.
(b)

무한히 많더라도, 열린집합들의 합집합은 열려 있습니다.

질문 2.6.9.

이것이 참임을 스스로 확인해 보십시오.

연습문제 2.6.10.

$\mathbb{R}$ 에서 교집합이 $\{0\}$ 이 되는 열린집합의 무한 모임을 하나 제시하십시오. 이는 열린집합들의 무한 교집합이 반드시 열려 있는 것은 아님을 함의합니다.

이것의 요점을 정리하면 다음과 같습니다.

정리 2.6.11 (열린집합 조건).

거리 공간 사이의 함수 $f\colon M\to N$ 이 연속인 것과, $N$ 의 모든 열린집합의 원상이 $M$ 에서 열려 있는 것은 동치입니다.

증명.

한쪽 방향만 증명하겠습니다…

연습문제 2.6.12.

$\delta$ - $\varepsilon$ 연속성이 열린집합 조건으로부터 따라 나옴을 보이십시오.

이제 $f$ 가 연속이라고 가정합시다. 먼저 $V$ 가 거리 공간 $N$ 의 열린 부분집합이라 하고, $U=f^{\text{pre}}(V)$ 라 둡시다. $x\in U$ 를 하나 택하면 $y=f(x)\in V$ 이므로, $U$ 내부에서 $x$ 의 열린 근방을 찾고자 합니다.

$V$ 가 열려 있으므로 $y$ 주위에는 $V$ 에 포함되는 작은 $\varepsilon$ -근방이 존재합니다. $f$ 의 연속성에 의해, $x$ 의 $\delta$ -근방이 $f$ 에 의해 $N$ 의 $\varepsilon$ -근방 안으로 대응되도록 하는 $\delta$ 를 찾을 수 있으며, 이 $\varepsilon$ -근방은 특히 $V$ 안에 있습니다. 따라서 원하는 대로 $\delta$ -근방은 $U$ 안에 있습니다. ∎

2.7 닫힌집합

대표적인 예: $\mathbb{R}^{2}$ 에서의 닫힌 단위원판 $x^{2}+y^{2}\leq r^{2}$ .

닫힌집합을 이야기하지 않은 채 열린집합을 논하는 것은 부당할 것입니다. “닫혀 있다”라는 이름은 거리 공간에서의 정의에서 비롯됩니다.

정의 2.7.1.

$M$ 을 거리 공간이라 합시다. 부분집합 $S\subseteq M$ 이 $M$ 에서 닫혀 있다는 것은 다음 성질이 성립함을 뜻합니다: $x_{1}$ , $x_{2}$ , …를 $S$ 안의 점들로 이루어진 수열이라 하고, $x_{n}$ 이 $M$ 에서 $x$ 로 수렴한다고 가정합시다. 그러면 $x\in S$ 이기도 합니다.

표기의 남용 2.7.2.

같은 주의사항입니다: 모 공간 $M$ 이 문맥상 명확하면 “ $M$ 에서 닫혀 있다”를 그냥 “닫혀 있다”로 줄여 씁니다.

이를 표현하는 또 다른 방법이 있습니다. 부분집합 $S\subseteq M$ 의 극한점은 다음과 같이 정의됩니다.

\lim S\coloneqq\left\{p\in M:\exists(x_{n})\in S\text{~{}이도록}x_{n}\to p\right\}.

따라서 $S$ 가 닫혀 있는 것과 $S=\lim S$ 인 것은 동치입니다.

연습문제 2.7.3.

$S$ 가 닫힌집합이 아니더라도 $\lim S$ 는 닫힌집합임을 증명하십시오. (그림을 그려 보십시오.)

이러한 이유로, $\lim S$ 는 $M$ 에서 $S$ 의 폐포라고도 불리며, $\overline{S}$ 로 표기합니다. 이는 단순히 $S$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌집합입니다.

예제 2.7.4 (닫힌집합의 예시).

(a)

공집합 $\varnothing$ 은 자명한 이유로 $M$ 에서 닫힌집합입니다: $\varnothing$ 의 원소로 이루어진 점들의 수열이 존재하지 않기 때문입니다.
(b)

전체 공간 $M$ 은 동어반복적인 이유로 $M$ 에서 닫힌집합입니다. (이를 확인해 보십시오!)
(c)

$\mathbb{R}$ 에서의 닫힌구간 $[0,1]$ 은 $\mathbb{R}$ 에서 닫힌집합이며, 이 때문에 이러한 이름이 붙었습니다. 열린집합의 경우와 마찬가지로, 이는 닫힌집합의 전형적인 예시로 기억해 두어야 합니다!
(d)

실제로, 닫힌구간 $[0,1]$ 은 $\mathbb{R}^{2}$ 에서도 닫힌집합입니다.

예제 2.7.5 (닫힌집합이 아닌 예시).

$S=(0,1)$ 을 열린구간이라 합시다. 그러면 $S$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 닫힌집합이 아닌데, 왜냐하면 다음과 같은 점들의 수열이

\frac{1}{2},\;\frac{1}{4},\;\frac{1}{8},\;\dots

$0\in\mathbb{R}$ 로 수렴하지만, $0\notin(0,1)$ 이기 때문입니다.

이제 이 용어의 혼란스러운 부분에 대해 주의를 드려야 합니다. 첫째, ”대부분의” 집합은 열린집합도 닫힌집합도 아닙니다.

예제 2.7.6 (열린집합도 닫힌집합도 아닌 집합).

반열린구간 $[0,1)$ 은 $\mathbb{R}$ 에서 열린집합도 닫힌집합도 아닙니다.

둘째, 어떤 집합이 열린집합이면서 동시에 닫힌집합일 수도 있습니다; 이는 장 7에서 다룰 것입니다.

이렇게 상반되는 용어를 사용하는 이유는 다음 정리 때문입니다:

정리 2.7.7 (닫힌집합은 열린집합의 여집합입니다).

$M$ 을 거리 공간이라 하고, $S\subseteq M$ 을 임의의 부분집합이라 합시다. 그러면 다음은 동치입니다:

•

집합 $S$ 는 $M$ 에서 닫힌집합입니다.
•

여집합 $M\setminus S$ 는 $M$ 에서 열린집합입니다.

연습문제 2.7.8 (훌륭함).

이 정리를 증명하십시오! 무슨 일이 일어나는지 명확히 하기 위해 그림을 그려 보는 것이 좋습니다: 예를 들어, $M=\mathbb{R}^{2}$ 이고 $S$ 를 닫힌 단위원판으로 택할 수 있습니다.

2.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 2A.

$M=(M,d)$ 를 거리 공간이라 합시다.

d\colon M\times M\to\mathbb{R}

가 그 자체로 연속함수임을 보이십시오 (단, $M\times M$ 에는 곱 거리가 주어져 있습니다).

문제 2B.

$\mathbb{Q}$ 와 $\mathbb{N}$ 을 거리 공간으로 생각합시다 (각각 자명한 거리 $d(x,y)=|x-y|$ 를 갖습니다). 이 공간들은 위상동형입니까?

힌트. 아닙니다. $\mathbb{Q}$ 에서 $\mathbb{N}$ 으로 가는 연속인 단사 사상조차 존재하지 않습니다.

풀이. 가능한 두 가지 접근법이 있는데, 하나는 거리의 정의를 사용하고 다른 하나는 열린집합을 사용합니다.

거리 방식: $\mathbb{Q}$ 에서 $\mathbb{N}$ 으로 가는 연속인 단사 사상은 존재하지 않는다고 주장합니다. 실제로 $f$ 가 그런 사상이고 $f(x)=n$ 이라고 합시다. 그러면 $\varepsilon=1/2$ 을 선택합니다. $\mathbb{Q}$ 안에서 $x$ 의 $\delta$ 이내에 있는 모든 것이 $n\in\mathbb{N}$ 의 $\varepsilon$ 이내에 놓여야 한다는, 즉 $n$ 과 같아야 한다는 $\delta>0$ 이 존재해야 합니다. 이는 단사성에 명백히 모순됩니다.

열린집합 접근법: $\mathbb{Q}$ 에서는 어떤 한원소 집합도 열려 있지 않은 반면, $\mathbb{N}$ 에서는 모두 열려 있습니다(사실 $\mathbb{N}$ 은 이산적입니다). 장 7의 시작 부분에서 보시겠지만, ”동형사상”의 새롭고 개선된 정의를 통해 $\mathbb{Q}$ 와 $\mathbb{N}$ 위의 열린집합의 구조가 다르다는 것을 알게 되므로, 이들은 동형이 아닙니다.

문제 2C (산술 연산의 연속성, 계속).

뺄셈이 연속 사상 $-\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 이고, 나눗셈이 연속 사상 $\div\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ 임을 보이십시오.

힌트. 이는 직접 손으로 해도 되고, 합성을 이용해도 됩니다.

풀이. 뺄셈의 경우, 사상 $x\mapsto-x$ 는 연속이므로 이를 다음과 같은 합성 사상으로 볼 수 있습니다

마찬가지로, $x\mapsto 1/x$ 가 연속 함수라고 믿고자 한다면, 나눗셈은 다음의 합성입니다

어떤 이유로든 $x\mapsto 1/x$ 가 연속이라는 것이 의심스럽다면, 여기 순열 연속성을 이용한 증명이 있습니다. $x_{n}\to x$ 이고 $x_{n}>0$ , $x>0$ 이라고 합시다( $x$ 역시 $\mathbb{R}_{>0}$ 에 속해야 하기 때문입니다). 그러면

$\left\lvert\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{n}}\right\rvert=\frac{\left\lvert x_{n}-x% \right\rvert}{\left\lvert xx_{n}\right\rvert}.$

$n$ 이 충분히 크면 $\left\lvert x_{n}\right\rvert>x/2$ 이므로, 분모는 최소 $x^{2}/2$ 이고, 따라서 전체 분수는 최대 $\frac{2}{x^{2}}\left\lvert x_{n}-x\right\rvert$ 이며, 이는 $n\to\infty$ 일 때 0으로 수렴합니다.

문제 2D.

$x\in\mathbb{R}$ 에서 $f$ 가 연속인 것이 $x=0$ 인 것과 동치가 되는 함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 를 제시하십시오.

힌트. 적절히 선택한 $\pm$ 에 대한 $\pm x$ 입니다.

풀이. $x\in\mathbb{Q}$ 일 때 $f(x)=x$ 로, 무리수 $x$ 일 때 $f(x)=-x$ 로 놓습니다.

문제 2E.

^†^†margin:

강증가 함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 는 어떤 점에서 반드시 연속임을 증명하십시오.

힌트. 틈을 $y$ 축에 사영하십시오. 비가산 개의 양의 실수는 유한한 합을 가질 수 없다는 사실을 이용하십시오.

풀이. 모순을 이끌어내기 위해 이 함수가 완전히 불연속이라고 가정합시다. 스케일링을 통해 $f(0)=0$ , $f(1)=1$ 로 설정하고, $f\colon[0,1]\to[0,1]$ 에만 집중합시다. 이 함수는 모든 점에서 불연속이므로, 모든 $x\in[0,1]$ 에 대해 연속성 조건이 성립하지 않는 어떤 $\varepsilon_{x}>0$ 가 존재합니다. 함수가 강증가하므로, 이는 함수가 구간 $(f(x)-\varepsilon_{x},f(x))$ 또는 $(f(x),f(x)+\varepsilon_{x})$ (혹은 둘 다)에 속한 모든 $y$ 값을 놓칠 때에만 일어날 수 있습니다.

이 빠진 구간들을 $y$ 축으로 사영하면, 서로소인 비가산 개의 구간들( $x\in[0,1]$ 마다 하나씩)을 얻게 됩니다. 특히, $\varepsilon_{x}$ 들을 모두 더하면 비가산 개의 양의 실수의 합이 최대 $1$ 임을 얻게 됩니다.

하지만 일반적으로 양의 실수로 이루어진 비가산 족 $\mathcal{F}$ 가 유한한 합을 갖는 것은 불가능합니다. 실제로 실수들을 구간 $\frac{1}{k}\leq x<\frac{1}{k-1}$ 의 버킷으로 분류해 보십시오. 만약 합이 실제로 유한하다면 각 버킷은 유한해야 하므로, 모임 $\mathcal{F}$ 는 가산이어야 하며, 이는 모순입니다.

문제 2F.

인터넷에서 누군가가 ” $1/x$ 는 연속 함수인가?”라는 질문을 올려서 트위터에서 큰 논쟁이 벌어졌습니다. 이에 어떻게 답해야 할까요?

힌트. 먼저 다음 질문에 답해 봅시다: ” $1/x$ 는 함수인가?”.

풀이. 수학에 대한 대부분의 인터넷 ”논쟁”이 그렇듯, 이 질문 또한 허술한 정의를 둘러싸고 벌어집니다. 처음 제기된 질문(형식이 갖추어지지 않은)은 다음과 같습니다

(1) $1/x$ 는 연속 함수인가?

이를 형식이 갖추어진 질문으로 만들기 위해, 저는 먼저 다음 질문을 제기하고자 합니다:

(2) $1/x$ 는 함수인가?

엄밀히 말하면, 이 질문 역시 함수를 명시하는 데 필요한 데이터의 일부인 함수의 정의역을 명시하지 않았으므로 형식이 갖추어지지 않았습니다. 질문자가 의도했을 법한 합리적인 추측 하나는 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , 즉 0이 아닌 실수들의 집합일 것이며, 이 경우 다음 질문을 얻게 됩니다

(2’) $1/x$ 는 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 에서 $\mathbb{R}$ 로 가는 함수를 정의하는가?

이 질문에는 확고하게 ”예”라는 답이 있습니다.

반면, $1/x$ 를 $\mathbb{R}$ 위의 함수로 정의하려는 시도는 말이 되지 않습니다. 함수의 정의는 모든 입력에 대해 출력값을 명시할 것을 요구하므로, 적어도 실숫값 함수²²2 $\mathbb{RP}^{1}$ 이 무엇인지 아는 분이라면 굳이 원한다면 이를 $\mathbb{RP}^{1}\to\mathbb{RP}^{1}$ 인 함수로 생각할 수도 있습니다. 하지만 그 경우에도 이는 연속입니다.를 원한다면, $1/x$ 를 $\mathbb{R}$ 전체에서의 함수로 해석할 방법은 존재하지 않습니다.

이제 (1)로 돌아가서, 우리는 다음과 같은 정형화된 질문을 던질 수 있습니다

(1’) $1/x$ 는 $\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$ 인 연속함수를 나타냅니까?

이 질문 역시 확고하게 YES라는 답을 가집니다.

물론 “ $1/x$ 는 연속함수 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 를 나타냅니까?”와 같은 질문을 던질 수도 있습니다. 그러나 이는 오해를 불러일으키는 것처럼 느껴집니다. 마치 “ $\sqrt{2}$ 는 짝수 정수입니까?”라고 묻는 것과 같기 때문입니다. 이 질문은 애초에 말이 되지 않는데, $\sqrt{2}$ 는 정수가 아니고, “짝수”는 정수에 대해 사용되는 형용사이므로 이것이 $\sqrt{2}$ 에 적용되는지 묻는 것은 유형 오류(type-error)이기 때문입니다. 마찬가지로, “연속”은 함수에 대해 사용되는 형용사이며, 함수가 아닌 대상에 이것이 적용되는지 묻는 것은 말이 되지 않습니다.

트위터 게시물(스페인어)은 https://twitter.com/davidcpvm/status/1481024944830046209를, 함께 올라온 레딧 게시물(여러 개 중 하나)은 https://www.reddit.com/r/math/comments/s82vf8를 참고하십시오.