장 13 내적 공간

$\mathbb{R}^{n}$ 과 더 비슷해 보이는 벡터 공간에는 덧셈이라는 개념뿐 아니라 직교성이라는 개념과 거리라는 개념도 있는 경우가 많습니다. 이 모든 것은 벡터 공간에 이른바 내적 형식을 부여함으로써 얻어지며, 여러분은 이것을 $\mathbb{R}^{n}$ 의 “점곱”으로 이미 알고 있을 것입니다. 실제로 $\mathbb{R}^{n}$ 에서 여러분은 이미 다음을 알고 있습니다.

•

$v\cdot w=0$ 일 필요충분조건은 $v$ 와 $w$ 가 수직인 것이며,
•

$|v|^{2}=v\cdot v$ .

이 장의 목적은 이 구조를 완전히 일반적인 형태로 빠르게 세우는 것입니다. 이 장의 주요 내용은 다음과 같습니다.

•

고등학교에서 배우는 “점곱” 공식이 실제로는 매우 자연스럽다는 것을 보게 될 것입니다. 이 공식은 위에서 나열한 두 공리로부터 자연스럽게 따라 나옵니다. $\sum a_{i}b_{i}$ 가 왜 그렇게 좋은 성질을 가지는지 궁금했던 적이 있다면, 이제 그 이유를 알게 될 것입니다.
•

내적 형식을 사용하여 $V$ 를 거리 공간으로 만들어 더 많은 기하학적 구조를 부여하는 방법을 보입니다.
•

몇 장 뒤에서는 이전에는 불가능했던 방식으로 $V\cong V^{\vee}$ 를 동일시하고, 그 따름정리로 실수 성분을 가진 대칭 행렬은 항상 실수 고윳값을 가진다는 좋은 결과를 이끌어 낼 것입니다.

이 장 전체에서 따로 명시하지 않는 한 모든 벡터 공간은 $\mathbb{C}$ 또는 $\mathbb{R}$ 위의 벡터 공간입니다. $\mathbb{C}$ 는 대수적으로 닫혀 있으므로(따라서 예를 들어 조르당 표준형을 가지므로) 일반적으로 $\mathbb{R}$ 보다 $\mathbb{C}$ 위에서 작업하는 것을 선호합니다. 어차피 모든 실수 행렬은 복소수 성분을 가진 행렬로 생각할 수 있습니다.

13.1 내적

대표적인 예: $\mathbb{R}^{n}$ 에서의 점곱.

13.1.1 실수의 경우: 쌍선형 형식

먼저 실수 공간에 대한 내적 형식을 정의합시다. 일반적인 벡터 공간에서는 $v\cdot w$ 라는 표기 대신 $\left<v,w\right>$ 를 사용하는 것이 가장 관례적입니다.

정의 13.1.1.

$V$ 를 실벡터 공간이라고 합시다. 실내적 형식¹¹1다른 이름으로는 “내적”, “점곱”, “양의 정부호 비퇴화 대칭 쌍선형 형식”, …등이 있습니다은 다음과 같은 함수입니다.

\left<\bullet,\bullet\right>\colon V\times V\to\mathbb{R}

로서 다음 성질을 만족하는 것입니다.

•

이 형식은 대칭입니다. 즉, 임의의 $v,w\in V$ 에 대하여 다음이 성립합니다.

$\left<v,w\right>=\left<w,v\right>.$

물론 곱이라면 이런 성질을 가지리라고 기대할 것입니다.
•

이 형식은 쌍선형, 즉 두 인수 모두에 대하여 선형입니다. 이는 임의의 고정된 $v$ 에 대하여 $\left<-,v\right>$ 와 $\left<v,-\right>$ 가 선형 함수라는 뜻입니다. 명시적으로 쓰면 다음과 같습니다.

$\displaystyle\left<cx,v\right>$ $\displaystyle=c\left<x,v\right>$

$\displaystyle\left<x+y,v\right>$ $\displaystyle=\left<x,v\right>+\left<y,v\right>.$

$v$ 가 왼쪽에 있는 경우도 마찬가지입니다. 이는 흔히 하나의 방정식 $\left<cx+y,z\right>=c\left<x,z\right>+\left<y,z\right>$ 로 요약됩니다.
•

이 형식은 양의 정부호입니다. 즉, $\left<v,v\right>\geq 0$ 은 음이 아닌 실수이며, 등호는 $v=0_{V}$ 일 때에만 성립합니다.

연습문제 13.1.2.

첫 번째 인수에 대한 선형성과 대칭성만으로 두 번째 인수에 대한 선형성이 이미 따라 나온다는 것을 보이십시오. 따라서 위의 정의를 $\left<-,v\right>$ 만 선형이도록 요구하는 것으로 고칠 수 있습니다.

예제 13.1.3 ( $\mathbb{R}^{n}$ ).

이미 알고 있듯이, $\mathbb{R}^{n}$ 위의 내적 형식은 다음과 같이 정의할 수 있습니다. $e_{1}=(1,0,\dots,0)$ , $e_{2}=(0,1,\dots,0)$ , …, $e_{n}=(0,\dots,0,1)$ 을 표준 기저라고 합시다. 그러면 다음과 같이 둡니다.

\left<a_{1}e_{1}+\dots+a_{n}e_{n},b_{1}e_{1}+\dots+b_{n}e_{n}\right>\coloneqq a% _{1}b_{1}+\dots+a_{n}b_{n}.

이것이 쌍선형(대칭이며 두 인수 모두에 대하여 선형)임은 쉽게 알 수 있습니다. 양의 정부호임을 보이려면, $a_{i}=b_{i}$ 이면 점곱이 $a_{1}^{2}+\dots+a_{n}^{2}$ 이 되고, 이는 모든 $a_{i}$ 가 0일 때에만 정확히 0이 된다는 점에 주목하십시오.

13.1.2 복소수의 경우: 반쌍선형 형식

복소 곱 공간의 정의도 비슷하지만 한 가지 차이가 있습니다. 대칭성 대신 켤레 대칭성을 가지는데, 이는 $\left<v,w\right>=\overline{\left<w,v\right>}$ 임을 의미합니다. 따라서 첫 번째 인자에 대해서는 여전히 선형성이 성립하지만, 두 번째 인자에 대해서는 실제로 다른 선형성이 성립합니다. 명시적으로 쓰면 다음과 같습니다.

정의 13.1.4.

$V$ 를 복소 벡터 공간이라고 합시다. 복소 내적은 다음과 같은 함수

\left<\bullet,\bullet\right>\colon V\times V\to\mathbb{C}

로서, 다음 성질들을 만족하는 것입니다.

•

이 형식은 켤레 대칭성을 가집니다. 즉, 임의의 $v,w\in V$ 에 대하여 다음이 성립합니다.

$\left<v,w\right>=\overline{\left<w,v\right>}.$
•
이 형식은 반쌍선형입니다(이 이름은 “1.5중 선형”이라는 뜻입니다). 이는 다음을 의미합니다.
- –
  
  이 형식은 첫 번째 인자에 대하여 선형이므로, 역시 다음이 성립합니다.
  
  $\displaystyle\left<x+y,v\right>$ $\displaystyle=\left<x,v\right>+\left<y,v\right>$
  
  $\displaystyle\left<cx,v\right>$ $\displaystyle=c\left<x,v\right>.$
  
  이 역시 문헌에서는 흔히 $\left<cx+y,v\right>=c\left<x,v\right>+\left<y,v\right>$ 라는 한 줄로 줄여 씁니다.
- –
  
  그러나 이번에는 두 번째 인자에 대하여 반선형입니다. 즉, 임의의 복소수 $c$ 와 벡터 $x$ , $y$ 에 대하여 다음이 성립합니다.
  
  $\displaystyle\left<v,x+y\right>$ $\displaystyle=\left<v,x\right>+\left<v,y\right>$
  
  $\displaystyle\left<v,cx\right>$ $\displaystyle=\overline{c}\left<v,x\right>.$
  
  새롭게 복소켤레 $\overline{c}$ 가 나타났다는 점에 주목하십시오! 이번에도 방정식 하나만 쓰고 싶다면 이를 간단히 $\left<v,cx+y\right>=\overline{c}\left<v,x\right>+\left<v,y\right>$ 로 줄여 쓸 수 있습니다.
•

이 형식은 양의 정부호입니다. 즉, $\left<v,v\right>$ 는 음이 아닌 실수이며, $v=0_{V}$ 일 때 그리고 그때에만 0이 됩니다.

연습문제 13.1.5.

켤레 대칭성과 첫 번째 인자에 대한 선형성으로부터 반선형성이 따라 나옴을 보이십시오.

예제 13.1.6 ( $\mathbb{C}^{n}$ ).

$\mathbb{C}^{n}$ 에서의 점곱은 다음과 같이 정의됩니다. $\mathbf{e}_{1}$ , $\mathbf{e}_{2}$ , …, $\mathbf{e}_{n}$ 을 표준 기저라고 합시다. 복소수 $w_{i}$ , $z_{i}$ 에 대하여 다음과 같이 둡니다.

\left<w_{1}\mathbf{e}_{1}+\dots+w_{n}\mathbf{e}_{n},z_{1}\mathbf{e}_{1}+\dots+% z_{n}\mathbf{e}_{n}\right>\coloneqq w_{1}\overline{z_{1}}+\dots+w_{n}\overline% {z_{n}}.

질문 13.1.7.

위의 것이 실제로 복소 내적 형식임을 확인하십시오.

13.1.3 내적 공간

두 종류의 공간을 동시에 다루는 것이 유용할 것입니다.

정의 13.1.8.

내적 공간이란 실내적 형식을 갖춘 실벡터 공간이거나, 복소 내적 형식을 갖춘 복소 벡터 공간입니다.

내적 공간 사이의 선형 사상은 밑에 놓인 벡터 공간 사이의 사상입니다(내적 형식과의 어떠한 호환성도 요구하지 않습니다).

비고 13.1.9 (왜 반쌍선형인가?).

위의 예는 단순한 대칭성이 아니라 켤레 대칭성을 만족시키고자 하는 이유 하나를 설명해 줍니다. 만약 점곱을 $\sum w_{i}z_{i}$ 로 정의하려 했다면, $\left<v,v\right>=\sum z_{i}^{2}$ 가 실수라는 보장조차 전혀 없으므로 양의 정부호라는 조건을 잃었을 것입니다. 반면 켤레 대칭성이 있으면 실제로 $\left<v,v\right>=\overline{\left<v,v\right>}$ , 즉 모든 $v$ 에 대하여 $\left<v,v\right>\in\mathbb{R}$ 임이 강제됩니다.

이 점을 조금 더 강하게 짚어 봅시다. 복소 벡터 공간 $V$ 위에 쌍선형 형식 $\left<-,-\right>$ 를 주려 했다고 가정합시다. $e$ 를 $\left<e,e\right>=1$ 인 임의의 벡터(단위 벡터)라고 합시다. 그러면 오히려 $\left<ie,ie\right>=-\left<e,e\right>=-1$ 을 얻게 됩니다. 이는 길이가 $\sqrt{-1}$ 인 벡터이므로 용납할 수 없습니다! 이것이 바로 복소 내적 공간을 다룰 때 형식이 쌍선형이 아니라 반쌍선형이어야 하는 것이 중요한 이유입니다.

이제 점곱이 있으므로 노름과 직교성에 대해 모두 이야기할 수 있습니다.

13.2 노름

대표적인 예: $\mathbb{R}^{n}$ 은 벡터 노름과 함께 통상적인 유클리드 공간이 됩니다.

내적 형식은 벡터 공간에 거리 개념을 부여하며, 이를 노름이라고 부릅니다.

정의 13.2.1.

$V$ 를 내적 공간이라고 합시다. $v\in V$ 의 노름은 다음과 같이 정의됩니다.

\left\lVert v\right\rVert=\sqrt{\left<v,v\right>}.

형식이 양의 정부호라고 가정하였으므로 $\left<v,v\right>$ 는 음이 아닌 실수이며, 따라서 이 정의는 의미가 있습니다.

예제 13.2.2 ( $\mathbb{R}^{n}$ 과 $\mathbb{C}^{n}$ 은 노름 벡터 공간입니다).

$V=\mathbb{R}^{n}$ 또는 $V=\mathbb{C}^{n}$ 에 표준 점곱 노름이 주어져 있으면, $v$ 의 노름은 우리에게 익숙한 절댓값과 일치합니다.

이제 우리의 목표는 다음을 증명하는 것입니다

거리 $d(v,w)=\left\lVert v-w\right\rVert$ 를 주면 $V$ 는 거리 공간이 됩니다.

질문 13.2.3.

$d(v,w)=0$ 일 필요충분조건이 $v=w$ 임을 확인하십시오.

따라서 삼각 부등식만 확립하면 됩니다. 이제 우리 모두가 잘 알고 아끼는 사실을 하나 증명해 봅시다. 이것은 나중에 디딤돌이 될 것입니다:

보조정리 13.2.4 (코시-슈바르츠).

$V$ 를 내적 공간이라고 합시다. 임의의 $v,w\in V$ 에 대하여 다음이 성립합니다

\left\lvert\left<v,w\right>\right\rvert\leq\left\lVert v\right\rVert\left% \lVert w\right\rVert

여기서 등호는 $v$ 와 $w$ 가 선형 종속일 때, 그리고 그때에만 성립합니다.

증명.

$\left<v,w\right>=0$ 이면 정리는 자명합니다. $\left\lVert v\right\rVert\left\lVert w\right\rVert=0$ 인 경우에도 자명한데, 이때는 $v$ 또는 $w$ 중 하나가 영벡터이기 때문입니다. 따라서 이제부터는 이 양들이 모두 0이 아니라고 가정합니다(나중에 이 양들로 나누어야 하기 때문입니다).

증명의 핵심은 등호가 성립하는 경우를 생각하는 것입니다. 부등식 $\left<cv-w,cv-w\right>\geq 0$ 을 사용하겠습니다. $c$ 의 선택은 나중으로 미루고 다음을 계산합니다

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle\leq\left<cv-w,cv-w\right>$
		$\displaystyle=\left<cv,cv\right>-\left<cv,w\right>-\left<w,cv\right>+\left<w,w\right>$
		$\displaystyle=\|c\|^{2}\left<v,v\right>-c\left<v,w\right>-\overline{c}\left<w,v% \right>+\left<w,w\right>$
		$\displaystyle=\|c\|^{2}\left\lVert v\right\rVert^{2}+\left\lVert w\right\rVert^{% 2}-c\left<v,w\right>-\overline{c\left<v,w\right>}$
	$\displaystyle 2\operatorname{Re}\left[c\left<v,w\right>\right]$	$\displaystyle\leq\|c\|^{2}\left\lVert v\right\rVert^{2}+\left\lVert w\right% \rVert^{2}$
이 시점에서 $c$ 를 다음과 같이 잡는 것이 좋습니다.
	$\displaystyle c$	$\displaystyle=\frac{\left\lVert w\right\rVert}{\left\lVert v\right\rVert}\cdot% \frac{\|\left<v,w\right>\|}{\left<v,w\right>}$
그러면 다음이 성립하기 때문입니다.
	$\displaystyle c\left<v,w\right>$	$\displaystyle=\frac{\left\lVert w\right\rVert}{\left\lVert v\right\rVert}\left% \lvert\left<v,w\right>\right\rvert\in\mathbb{R}$
	$\displaystyle\|c\|$	$\displaystyle=\frac{\left\lVert w\right\rVert}{\left\lVert v\right\rVert}$
따라서 부등식은 다음과 같이 됩니다.
	$\displaystyle 2\frac{\left\lVert w\right\rVert}{\left\lVert v\right\rVert}% \left\lvert\left<v,w\right>\right\rvert$	$\displaystyle\leq 2\left\lVert w\right\rVert^{2}$
	$\displaystyle\left\lvert\left<v,w\right>\right\rvert$	$\displaystyle\leq\left\lVert v\right\rVert\left\lVert w\right\rVert.\qed$

따라서:

정리 13.2.5 (삼각 부등식).

항상 다음이 성립합니다

\left\lVert v\right\rVert+\left\lVert w\right\rVert\geq\left\lVert v+w\right\rVert

여기서 등호는 $v$ 와 $w$ 가 선형 종속이면서 같은 방향을 가리킬 때, 그리고 그때에만 성립합니다.

연습문제 13.2.6.

양변을 제곱한 뒤 코시-슈바르츠 부등식을 적용하여 이를 증명하십시오.

이렇게 하여 이제 우리의 벡터 공간은 거리 공간이라는 위상 구조를 갖게 됩니다.

13.3 직교성

대표적인 예: 여전히 $\mathbb{R}^{n}$ 입니다!

다음 목표는 “수직”이라는 기하학적 개념을 정의하는 것입니다. 정의는 충분히 간단합니다:

정의 13.3.1.

내적 공간의 영이 아닌 두 벡터 $v$ 와 $w$ 가 $\left<v,w\right>=0$ 을 만족하면 직교한다고 합니다.

$\mathbb{R}^{n}$ 에서의 기하학적 직관으로 예상할 수 있듯이, 이는 독립성을 함의합니다:

보조정리 13.3.2 (직교하는 벡터들은 독립입니다).

각 $i$ 에 대하여 $\left\lVert v_{i}\right\rVert\neq 0$ 인, 쌍마다 직교하는 벡터들의 집합 $v_{1}$ , $v_{2}$ , …, $v_{n}$ 은 모두 선형 독립입니다.

증명.

다음과 같은 종속 관계를 생각해 봅시다

a_{1}v_{1}+\dots+a_{n}v_{n}=0

여기서 $a_{i}$ 는 $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$ 의 원소입니다. 그러면

0=\left<v_{1},\sum a_{i}v_{i}\right>=\overline{a_{1}}\left\lVert v_{1}\right% \rVert^{2}.

이 성립합니다. $\left\lVert v_{1}\right\rVert\neq 0$ 이라고 가정했으므로 $a_{1}=0$ 입니다. 마찬가지로 $a_{2}=\dots=a_{n}=0$ 입니다. ∎

이를 바탕으로 이제 기저에 더 강한 조건을 생각해 볼 수 있습니다:

정의 13.3.3.

유한 차원 내적 공간 $V$ 의 정규직교 기저란 모든 $i$ 에 대해 $\left\lVert e_{i}\right\rVert=1$ 이고 $i\neq j$ 인 모든 경우에 $\left<e_{i},e_{j}\right>=0$ 인 기저 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 을 말합니다.

예제 13.3.4 ( $\mathbb{R}^{n}$ 과 $\mathbb{C}^{n}$ 에는 표준 기저가 있습니다).

표준 점곱이 주어진 $\mathbb{R}^{n}$ 과 $\mathbb{C}^{n}$ 에서 표준 기저 $\mathbf{e}_{1}$ , …, $\mathbf{e}_{n}$ 은 정규직교 기저이기도 합니다.

이렇게 해도 일반성을 잃지 않습니다:

정리 13.3.5 (그람-슈미트).

$V$ 가 유한 차원 내적 공간이라고 합시다. 그러면 $V$ 에는 정규직교 기저가 있습니다.

증명의 개요.

$V$ 의 임의의 기저 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 으로부터 정규직교 기저를 명시적으로 구성합니다. $\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\left<v,u\right>}{\left<u,u\right>}u$ 로 정의합니다. 그런 다음 다음과 같이 재귀적으로 정의합니다

	$\displaystyle u_{1}$	$\displaystyle=e_{1}$
	$\displaystyle u_{2}$	$\displaystyle=e_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(e_{2})$
	$\displaystyle u_{3}$	$\displaystyle=e_{3}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(e_{3})-\operatorname{proj}_{u_% {2}}(e_{3})$
		$\displaystyle\mathmakebox[width("{}={}")][c]{\vdots}$
	$\displaystyle u_{n}$	$\displaystyle=e_{n}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(e_{n})-\dots-\operatorname{% proj}_{u_{n-1}}(e_{n}).$

$u_{i}$ 가 서로 직교하고 0이 아님을 보일 수 있습니다. ∎

따라서 일반적으로 기저가 정규직교라고 가정할 수 있습니다.

짚어 둘 만한 사실이 있습니다:

예제 13.3.6 (점곱은 “유일한” 내적 형식입니다).

$V$ 가 유한 차원 내적 공간이라고 하고, 임의의 정규직교 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 을 생각합시다. 그러면 다음이 성립합니다

\left<a_{1}e_{1}+\dots+a_{n}e_{n},b_{1}e_{1}+\dots+b_{n}e_{n}\right>=\sum_{i,j% =1}^{n}a_{i}\overline{b_{j}}\left<e_{i},e_{j}\right>=\sum_{i=1}^{n}a_{i}% \overline{b_{i}}

이는 $\{e_{i}\}$ 가 정규직교이기 때문입니다.

이제 점곱 표현이 왜 그렇게 어디에나 등장하는지 알 수 있습니다.

13.4 힐베르트 공간

대수학에서는 보통 무한을 두려워하므로, 여러 장 전에 평범한 벡터 공간의 기저를 정의할 때 유한한 선형 결합만 허용했습니다. 그러나 내적 공간이 있으면 그것은 거리 공간이 되므로, 때로는 실제로 수렴에 대해 이야기할 수 있습니다.

그 방법은 다음과 같습니다:

정의 13.4.1.

힐베르트 공간이란 대응하는 거리 공간이 완비인 내적 공간 $V$ 를 말합니다.

그런 경우에는 부분합의 열을 살펴보고 그것이 수렴하도록 할 수 있으므로, 이제 무한 선형 결합을 취하는 것이 의미 있는 경우가 많습니다. 그 방법은 다음과 같습니다. 노름이 $1$ 이고 서로 직교하는 벡터들의 무한열 $e_{1}$ , $e_{2}$ , … 가 있다고 가정합시다. 또한 $c_{1}$ , $c_{2}$ , …, 가 실수 또는 복소수의 열이라고 가정합시다. 그러면 다음 열을 생각해 봅시다.

	$\displaystyle v_{1}$	$\displaystyle=c_{1}e_{1}$
	$\displaystyle v_{2}$	$\displaystyle=c_{1}e_{1}+c_{2}e_{2}$
	$\displaystyle v_{3}$	$\displaystyle=c_{1}e_{1}+c_{2}e_{2}+c_{3}e_{3}$
		$\displaystyle\mathmakebox[width("{}={}")][c]{\vdots}$

명제 13.4.2 (힐베르트 공간에서의 수렴 판정법).

위에서 정의한 수열 $(v_{i})$ 는 $\sum\left\lvert c_{i}\right\rvert^{2}<\infty$ 일 때, 그리고 그때에만 수렴합니다.

증명.

이 내용은 장 26를 읽으면 더 잘 이해될 것이므로, 그 장을 읽지 않았다면 이 증명은 건너뛰어도 됩니다. 수열 $v_{i}$ 는 코시 수열일 때, 그리고 그때에만 수렴합니다. 이는 $i<j$ 일 때 다음이 성립한다는 뜻입니다

\left\lVert v_{j}-v_{i}\right\rVert^{2}=|c_{i+1}|^{2}+\dots+|c_{j}|^{2}

$i$ 와 $j$ 가 커질수록 $0$ 으로 수렴합니다. 이는 수열 $s_{n}=|c_{1}|^{2}+\dots+|c_{n}|^{2}$ 이 코시 수열이라는 것과 동치입니다.

$\mathbb{R}$ 는 완비이므로, $s_{n}$ 이 코시 수열일 필요충분조건은 $s_{n}$ 이 수렴하는 것입니다. $s_{n}$ 은 음이 아닌 실수로 이루어져 있으므로, $s_{n}$ 이 수렴할 필요충분조건은 $s_{n}$ 이 유계인 것이며, 이는 $\sum\left\lvert c_{i}\right\rvert^{2}<\infty$ 인 것과 동치입니다. ∎

따라서 힐베르트 공간을 다룰 때에는 정의를 약간 바꿉니다.

정의 13.4.3.

힐베르트 공간 $V$ 의 정규직교 기저란 다음 조건을 만족하는 (무한할 수도 있는) 벡터들의 수열 $e_{1}$ , $e_{2}$ , …,입니다.

•

모든 $i$ 에 대하여 $\left<e_{i},e_{i}\right>=1$ 입니다.
•

$i\neq j$ 에 대하여 $\left<e_{i},e_{j}\right>=0$ 입니다. 즉, 벡터들은 쌍마다 서로 직교합니다.
•

$V$ 의 모든 원소는 다음과 같은 무한 선형 결합으로 유일하게 표현할 수 있습니다.

$\sum_{i}c_{i}e_{i}$

여기서 위에서 설명한 대로 $\sum_{i}\left\lvert c_{i}\right\rvert^{2}<\infty$ 입니다.

어쨌든 이것이 공식적인 정의입니다. ( $\dim V<\infty$ 이면 $e_{i}$ 가 유한 개뿐이므로 이 정의는 우리가 평소에 쓰던 정의와 일치한다는 점에 유의하십시오.) 하지만 우리의 목적상으로는 대체로 이를 신경 쓰지 않고, 대신 다음과 같이 생각해도 됩니다.

힐베르트 공간이란 기저가 유한한 선형 결합만이 아니라 무한 선형 결합을 필요로 하는 내적 공간입니다.

$\sum\left\lvert c_{i}\right\rvert^{2}<\infty$ 라는 기술적인 조건은 바로 무한합이 의미를 갖도록 보장해 주는 조건입니다.

13.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 13A (피타고라스 정리).

내적 공간에서 $\left<v,w\right>=0$ 이면 $\left\lVert v\right\rVert^{2}+\left\lVert w\right\rVert^{2}=\left\lVert v+w% \right\rVert^{2}$ 임을 보이십시오.

문제 13B (유한 차원 $\implies$ 힐베르트).

유한 차원 내적 공간은 힐베르트 공간임을 보이십시오.

힌트. 정규직교 기저 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 을 고정하십시오. $\mathbb{R}^{n}$ 이 완비라는 사실을 이용하십시오.

문제 13C (대만 IMO 캠프).

^†^†margin:

어느 마을에 $n$ 명의 사람과 $k$ 개의 동아리가 있습니다. 각 동아리의 회원 수는 홀수이고, 임의의 두 동아리의 공통 회원 수는 짝수입니다. $k\leq n$ 임을 증명하십시오.

힌트. $\mathbb{F}_{2}$ 에서의 점곱.

풀이. 동아리를 벡터 공간 $\mathbb{F}_{2}^{n}$ 의 벡터로 해석하십시오. “점곱”을 생각하여 $k$ 개의 벡터가 모두 선형독립임을 보이십시오. 서로 다른 두 동아리 벡터의 점곱은 $0$ 이고, 각 동아리 벡터와 자기 자신의 점곱은 $1$ 입니다. 따라서 이 벡터들은 정규직교이므로 선형독립입니다. 그러므로 $k\leq\dim\mathbb{F}_{2}^{n}=n$ 입니다.

문제 13D (텐서의 내적 구조).

$V$ 와 $W$ 를 $k$ 위의 유한 차원 내적 공간이라고 합시다. 여기서 $k$ 는 $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$ 입니다.

(a)

$V\otimes_{k}W$ 역시 내적 공간으로 만드는 정준적인 방법을 찾으십시오.
(b)

$e_{1}$ , …, $e_{n}$ 을 $V$ 의 정규직교 기저, $f_{1}$ , …, $f_{m}$ 을 $W$ 의 정규직교 기저라고 합시다. $V\otimes W$ 의 정규직교 기저는 무엇입니까?

힌트. 단순 텐서에서 정의한 다음 선형적으로 확장하십시오.

풀이. 다음으로 주어지는 내적 형식은

$\left<v_{1}\otimes w_{1},v_{2}\otimes w_{2}\right>_{V\otimes W}=\left<v_{1},v_% {2}\right>_{V}\left<w_{1},w_{2}\right>_{W}$

순수 텐서에 대해 정의한 다음 선형적으로 확장합니다. (b)의 경우 $1\leq i\leq n$ , $1\leq j\leq m$ 에 대하여 $e_{i}\otimes f_{j}$ 를 취하십시오.

문제 13E (Putnam 2014).

^†^†margin:

$n$ 을 양의 정수라고 합시다. 실수 성분을 갖는 $n\times n$ 행렬 $M_{1}$ , …, $M_{k}$ 와 $N_{1}$ , …, $N_{k}$ 가 존재하여, 모든 $i$ 와 $j$ 에 대하여 행렬곱 $M_{i}N_{j}$ 의 대각선 어딘가에 0인 성분이 있을 필요충분조건이 $i\neq j$ 가 되도록 하는 가장 큰 $k$ 는 무엇입니까?

힌트. $k=n^{n}$ 입니다. 텐서곱에 내적 형식을 부여하십시오. “대각선 어딘가에 0인 성분이 있다”는 것은 그 성분들의 곱이 0이라는 것과 동치임에 유의하십시오.

문제 13F (수열 공간).

$\sum_{i}a_{i}^{2}<\infty$ 를 만족하는 실수의 무한 수열 $a=(a_{1},a_{2},\dots)$ 들로 이루어진 공간 $\ell^{2}$ 를 생각합시다. 이 공간에 다음과 같은 점곱을 부여합니다

\left<a,b\right>=\sum_{i}a_{i}b_{i}.

이 공간은 힐베르트 공간입니까? 그렇다면 힐베르트 기저를 하나 찾으십시오.

문제 13G (일반적인 노름 벡터 공간).

내적 공간을 일반화한 개념으로, 노름 벡터 공간이란 다음 공리들을 만족하는 임의의 노름 함수 $\left\lVert\bullet\right\rVert\colon V\to\mathbb{R}$ 가 주어진 $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$ 위의 벡터 공간 $V$ 입니다:

•

모든 $v\in V$ 에 대하여 $\left\lVert v\right\rVert\geq 0$ 이며, 등호는 $v$ 가 영벡터일 때, 그리고 그때에만 성립합니다.
•

스칼라 $\lambda$ 에 대하여 $\left\lVert\lambda v\right\rVert=|\lambda|\cdot\left\lVert v\right\rVert$ 가 성립합니다.
•

모든 $v$ 와 $w$ 에 대하여 삼각 부등식 $\left\lVert v+w\right\rVert\leq\left\lVert v\right\rVert+\left\lVert w\right\rVert$ 가 성립합니다.

따라서 정리 13.2.5는 임의의 내적 공간이 노름을 $\left\lVert v\right\rVert\coloneq\sqrt{\left\langle v,v\right\rangle}$ 로 택함으로써 노름 벡터 공간이 된다는 진술로 바꾸어 말할 수 있습니다.

$n\geq 2$ 일 때 $\mathbb{R}^{n}$ 위에 다음과 같이 노름을 정의할 수 있음을 증명하여 그 역이 성립하지 않음을 보이십시오

\left\lVert(x_{1},\dots,x_{n})\right\rVert\coloneqq\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|

그리고 나아가 이 노름이 어떤 내적으로부터도 얻어지지 않음을 보이십시오.

문제 13H (쿠라토프스키 매장).

바나흐 공간이란 대응하는 거리 공간이 완비인 노름 벡터 공간 $V$ 입니다. (따라서 힐베르트 공간은 바나흐 공간의 특수한 경우입니다.)

$(M,d)$ 를 임의의 거리 공간이라고 합시다. 임의의 $x$ 와 $y$ 에 대하여 $d(x,y)=\left\lVert f(x)-f(y)\right\rVert$ 를 만족하는 바나흐 공간 $X$ 와 단사 함수 $f\colon M\hookrightarrow X$ 가 존재함을 증명하십시오.

	$\displaystyle\left<cx,v\right>$	$\displaystyle=c\left<x,v\right>$
	$\displaystyle\left<x+y,v\right>$	$\displaystyle=\left<x,v\right>+\left<y,v\right>.$

	$\displaystyle\left<v,x+y\right>$	$\displaystyle=\left<v,x\right>+\left<v,y\right>$
	$\displaystyle\left<v,cx\right>$	$\displaystyle=\overline{c}\left<v,x\right>.$

	$\displaystyle\left<x+y,v\right>$	$\displaystyle=\left<x,v\right>+\left<y,v\right>$
	$\displaystyle\left<cx,v\right>$	$\displaystyle=c\left<x,v\right>.$

장 13 내적 공간

13.1 내적

13.1.1 실수의 경우: 쌍선형 형식

정의 13.1.1.

연습문제 13.1.2.

예제 13.1.3 (ℝn).

13.1.2 복소수의 경우: 반쌍선형 형식

정의 13.1.4.

연습문제 13.1.5.

예제 13.1.6 (ℂn).

질문 13.1.7.

13.1.3 내적 공간

정의 13.1.8.

비고 13.1.9 (왜 반쌍선형인가?).

13.2 노름

정의 13.2.1.

예제 13.2.2 (ℝn과 ℂn은 노름 벡터 공간입니다).

질문 13.2.3.

보조정리 13.2.4 (코시-슈바르츠).

증명.

정리 13.2.5 (삼각 부등식).

연습문제 13.2.6.

13.3 직교성

정의 13.3.1.

보조정리 13.3.2 (직교하는 벡터들은 독립입니다).

증명.

정의 13.3.3.

예제 13.3.4 (ℝn과 ℂn에는 표준 기저가 있습니다).

정리 13.3.5 (그람-슈미트).

증명의 개요.

예제 13.3.6 (점곱은 “유일한” 내적 형식입니다).

13.4 힐베르트 공간

정의 13.4.1.

명제 13.4.2 (힐베르트 공간에서의 수렴 판정법).

증명.

정의 13.4.3.

13.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 13A (피타고라스 정리).

문제 13B (유한 차원 ⟹ 힐베르트).

문제 13C (대만 IMO 캠프).

문제 13D (텐서의 내적 구조).

문제 13E (Putnam 2014).

문제 13F (수열 공간).

문제 13G (일반적인 노름 벡터 공간).

문제 13H (쿠라토프스키 매장).

예제 13.1.3 ( $\mathbb{R}^{n}$ ).

예제 13.1.6 ( $\mathbb{C}^{n}$ ).

예제 13.2.2 ( $\mathbb{R}^{n}$ 과 $\mathbb{C}^{n}$ 은 노름 벡터 공간입니다).

예제 13.3.4 ( $\mathbb{R}^{n}$ 과 $\mathbb{C}^{n}$ 에는 표준 기저가 있습니다).

문제 13B (유한 차원 $\implies$ 힐베르트).