장 13 내적 공간

$\mathbb{R}^{n}$ 을 닮은 우리의 벡터 공간들은 종종 덧셈의 개념뿐만 아니라 직교성의 개념과 거리의 개념도 갖고 있음이 밝혀지곤 합니다. 이 모든 것은 벡터 공간에 이른바 내적 형식을 부여함으로써 얻어지며, 이는 $\mathbb{R}^{n}$ 에서 여러분이 이미 ”점곱”으로 알고 있을 가능성이 높습니다. 실제로 $\mathbb{R}^{n}$ 에서 여러분은 다음을 이미 알고 있습니다

•

$v\cdot w=0$ 인 것과 $v$ 와 $w$ 가 수직인 것은 동치이며
•

$|v|^{2}=v\cdot v$ .

이 장의 목적은 이 구조를 완전히 일반적인 형태로 신속하게 정립하는 것입니다. 이 장의 주요 내용은 다음과 같습니다

•

고등학교에서 배우는 ”점곱” 공식이 실제로 매우 자연스러운 것임을 보게 될 것입니다. 즉, 위에서 나열한 두 공리로부터 자연스럽게 도출됩니다. $\sum a_{i}b_{i}$ 가 왜 그토록 좋은 성질을 갖는지 궁금했던 적이 있다면, 이제 그 이유를 알게 될 것입니다.
•

내적 형식을 이용해 $V$ 를 거리 공간으로 만드는 방법을 보이며, 이를 통해 $V$ 에 더 풍부한 기하학적 구조를 부여합니다.
•

몇 장 뒤에서는 이전에는 불가능했던 방식으로 $V\cong V^{\vee}$ 를 동일시할 것이며, 그 따름정리로서 실수 성분을 갖는 대칭 행렬은 항상 실수 고윳값을 가진다는 훌륭한 결과를 이끌어낼 것입니다.

이 장 전체에서, 별도로 명시하지 않는 한 모든 벡터 공간은 $\mathbb{C}$ 또는 $\mathbb{R}$ 위에서 정의됩니다. $\mathbb{C}$ 가 대수적으로 닫혀 있으므로(따라서 예를 들어 요르단 형식을 가질 수 있으므로) 우리는 일반적으로 $\mathbb{R}$ 대신 $\mathbb{C}$ 위에서 작업하는 쪽을 선호할 것입니다. 어차피 모든 실수 행렬은 복소수 성분을 갖는 행렬로 생각할 수 있습니다.

13.1 내적

대표적인 예: $\mathbb{R}^{n}$ 에서의 점곱.

13.1.1 실수의 경우: 쌍선형 형식

먼저 실수 공간에 대한 내적 형식을 정의해 보겠습니다. 일반적인 벡터 공간에 대해서는 $v\cdot w$ 라는 표기법보다 $\left<v,w\right>$ 를 사용하는 것이 가장 일반적입니다.

정의 13.1.1.

$V$ 를 실수 벡터 공간이라 합시다. 실수 내적 형식¹¹1다른 이름으로는 ”내적”, ”점곱”, ”양의 정부호 비퇴화 대칭 쌍선형 형식” …등이 있습니다은 다음과 같은 함수입니다

\left<\bullet,\bullet\right>\colon V\times V\to\mathbb{R}

다음 성질들을 만족합니다

•

이 형식은 대칭입니다: 임의의 $v,w\in V$ 에 대해 다음이 성립합니다

$\left<v,w\right>=\left<w,v\right>.$

물론 곱셈이라면 당연히 기대할 만한 성질입니다.
•

이 형식은 쌍선형, 즉 양쪽 인자에 대해 선형입니다. 이는 임의로 고정된 $v$ 에 대해 $\left<-,v\right>$ 와 $\left<v,-\right>$ 가 선형 함수임을 의미합니다. 명시적으로 풀어 쓰면 다음을 의미합니다

$\displaystyle\left<cx,v\right>$ $\displaystyle=c\left<x,v\right>$

$\displaystyle\left<x+y,v\right>$ $\displaystyle=\left<x,v\right>+\left<y,v\right>.$

그리고 $v$ 가 왼쪽에 있는 경우에도 마찬가지입니다. 이는 종종 하나의 식 $\left<cx+y,z\right>=c\left<x,z\right>+\left<y,z\right>$ 로 요약됩니다.
•

이 형식은 양의 정부호입니다. 즉 $\left<v,v\right>\geq 0$ 은 음이 아닌 실수이며, 등호는 $v=0_{V}$ 일 때만 성립합니다.

연습문제 13.1.2.

첫 번째 인자에 대한 선형성과 대칭성만으로 이미 두 번째 인자에 대한 선형성이 얻어짐을 보이십시오. 따라서 위의 정의를 $\left<-,v\right>$ 가 선형이라는 조건만 요구하는 것으로 수정할 수 있습니다.

예제 13.1.3 ( $\mathbb{R}^{n}$ ).

이미 알고 있듯이, $\mathbb{R}^{n}$ 위의 내적 형식은 다음과 같이 정의할 수 있습니다. $e_{1}=(1,0,\dots,0)$ , $e_{2}=(0,1,\dots,0)$ , …, $e_{n}=(0,\dots,0,1)$ 을 통상적인 기저라고 합시다. 그러면 다음과 같이 정의합니다

\left<a_{1}e_{1}+\dots+a_{n}e_{n},b_{1}e_{1}+\dots+b_{n}e_{n}\right>\coloneqq a% _{1}b_{1}+\dots+a_{n}b_{n}.

이것이 쌍선형(양쪽 인자에 대해 대칭이고 선형)임을 확인하는 것은 쉽습니다. 이것이 양의 정부호임을 확인하려면, $a_{i}=b_{i}$ 일 때 점곱이 $a_{1}^{2}+\dots+a_{n}^{2}$ 이 되며, 이는 모든 $a_{i}$ 가 0일 때만 0이 됨에 주목하십시오.

13.1.2 복소수의 경우: 세스퀴선형 형식

복소 내적 공간에 대한 정의도 이와 유사하지만 한 가지 차이가 있습니다: 대칭 대신 켤레 대칭, 즉 $\left<v,w\right>=\overline{\left<w,v\right>}$ 을 갖습니다. 따라서 첫 번째 인자에 대해서는 여전히 선형성을 갖지만, 두 번째 인자에 대해서는 실제로 다른 형태의 선형성을 갖게 됩니다. 명시적으로 쓰면 다음과 같습니다

정의 13.1.4.

$V$ 를 복소 벡터 공간이라 합시다. 복소 내적은 다음 함수입니다

\left<\bullet,\bullet\right>\colon V\times V\to\mathbb{C}

이는 다음 성질들을 만족합니다:

•

이 형식은 켤레 대칭성을 가지며, 이는 임의의 $v,w\in V$ 에 대해 다음이 성립함을 의미합니다

$\left<v,w\right>=\overline{\left<w,v\right>}.$
•
이 형식은 반쌍선형입니다(이 이름은 ”1과 2분의 1 선형”을 의미합니다). 이는 다음을 의미합니다:
- –
  
  이 형식은 첫 번째 인자에 대해 선형이며, 따라서 다시 다음이 성립합니다
  
  $\displaystyle\left<x+y,v\right>$ $\displaystyle=\left<x,v\right>+\left<y,v\right>$
  
  $\displaystyle\left<cx,v\right>$ $\displaystyle=c\left<x,v\right>.$
  
  이는 문헌에서 종종 $\left<cx+y,v\right>=c\left<x,v\right>+\left<y,v\right>$ 라는 한 줄로 축약됩니다.
- –
  
  그러나 이제 이는 두 번째 인자에 대해 반선형입니다: 임의의 복소수 $c$ 와 벡터 $x$ , $y$ 에 대해 다음이 성립합니다
  
  $\displaystyle\left<v,x+y\right>$ $\displaystyle=\left<v,x\right>+\left<v,y\right>$
  
  $\displaystyle\left<v,cx\right>$ $\displaystyle=\overline{c}\left<v,x\right>.$
  
  새롭게 등장한 복소켤레 $\overline{c}$ 에 주목하십시오! 마찬가지로, 한 방정식만 쓰고자 한다면 이를 그저 $\left<v,cx+y\right>=\overline{c}\left<v,x\right>+\left<v,y\right>$ 로 축약할 수 있습니다.
•

이 형식은 양의 정부호이며, 이는 $\left<v,v\right>$ 가 음이 아닌 실수이고 $v=0_{V}$ 일 때 정확히 영이 됨을 의미합니다.

연습문제 13.1.5.

반선형성이 켤레 대칭성과 첫 번째 인자에 대한 선형성으로부터 따라 나옴을 보이십시오.

예제 13.1.6 ( $\mathbb{C}^{n}$ ).

$\mathbb{C}^{n}$ 에서의 내적은 다음과 같이 정의됩니다: $\mathbf{e}_{1}$ , $\mathbf{e}_{2}$ , …, $\mathbf{e}_{n}$ 을 표준 기저라 합시다. 복소수 $w_{i}$ , $z_{i}$ 에 대해 다음과 같이 놓습니다

\left<w_{1}\mathbf{e}_{1}+\dots+w_{n}\mathbf{e}_{n},z_{1}\mathbf{e}_{1}+\dots+% z_{n}\mathbf{e}_{n}\right>\coloneqq w_{1}\overline{z_{1}}+\dots+w_{n}\overline% {z_{n}}.

질문 13.1.7.

위의 것이 실제로 복소 내적 형식임을 확인하십시오.

13.1.3 내적 공간

두 종류의 공간을 동시에 다루는 것이 유용할 것입니다:

정의 13.1.8.

내적 공간은 실 내적 형식을 갖춘 실 벡터 공간이거나, 복소 내적 형식을 갖춘 복소 벡터 공간입니다.

내적 공간 사이의 선형 사상은 기저의 벡터 공간 사이의 사상입니다(내적 형식과의 호환성은 요구하지 않습니다).

비고 13.1.9 (왜 반쌍선형인가?).

위의 예는 단순한 대칭성이 아니라 켤레 대칭성을 만족시키고자 하는 한 가지 이유를 설명합니다. 만약 내적을 $\sum w_{i}z_{i}$ 로 정의하려 했다면, 양의 정부호 조건을 잃었을 것입니다. 왜냐하면 $\left<v,v\right>=\sum z_{i}^{2}$ 가 실수가 되리라는 보장이 전혀 없기 때문입니다. 반면, 켤레 대칭성을 통해 우리는 실제로 $\left<v,v\right>=\overline{\left<v,v\right>}$ , 즉 모든 $v$ 에 대해 $\left<v,v\right>\in\mathbb{R}$ 임을 강제합니다.

이 점을 좀 더 강하게 짚어봅시다. 복소 벡터 공간 $V$ 위에 쌍선형 형식 $\left<-,-\right>$ 를 두고자 시도했다고 합시다. $e$ 를 $\left<e,e\right>=1$ 인 임의의 벡터(단위 벡터)라 합시다. 그러면 대신 $\left<ie,ie\right>=-\left<e,e\right>=-1$ 을 얻게 될 것입니다; 이는 길이가 $\sqrt{-1}$ 인 벡터인데, 이는 말이 되지 않습니다! 이것이 바로 복소 내적 공간을 다룰 때 우리의 형식이 쌍선형이 아니라 반쌍선형이어야 하는 이유입니다.

이제 내적을 갖추었으므로, 노름과 직교성에 대해 이야기할 수 있습니다.

13.2 노름

대표적인 예: $\mathbb{R}^{n}$ 은 벡터 노름과 함께 통상적인 유클리드 공간이 됩니다.

내적 형식은 우리의 벡터 공간에 거리라는 개념을 부여하며, 이를 노름이라 부릅니다.

정의 13.2.1.

$V$ 를 내적 공간이라 합시다. $v\in V$ 의 노름은 다음과 같이 정의됩니다

\left\lVert v\right\rVert=\sqrt{\left<v,v\right>}.

이 정의가 성립하는 이유는 우리가 형식을 양의 정부호라고 가정했으므로 $\left<v,v\right>$ 가 음이 아닌 실수이기 때문입니다.

예제 13.2.2 ( $\mathbb{R}^{n}$ 과 $\mathbb{C}^{n}$ 은 노름 벡터 공간입니다).

$V=\mathbb{R}^{n}$ 또는 $V=\mathbb{C}^{n}$ 이고 표준 내적 노름을 사용하는 경우, $v$ 의 노름은 우리에게 익숙한 절댓값에 대응합니다.

이제 우리의 목표는 다음을 증명하는 것입니다

거리 $d(v,w)=\left\lVert v-w\right\rVert$ 를 사용하면, $V$ 는 거리 공간이 됩니다.

질문 13.2.3.

$d(v,w)=0$ 인 것과 $v=w$ 인 것이 동치임을 확인하십시오.

그러므로 우리는 삼각부등식만 증명하면 됩니다. 이제 우리 모두가 알고 좋아하는 사실을 증명해 봅시다. 이는 나중에 디딤돌이 될 것입니다:

보조정리 13.2.4 (코시-슈바르츠).

$V$ 를 내적 공간이라 합시다. 임의의 $v,w\in V$ 에 대해 다음이 성립합니다

\left\lvert\left<v,w\right>\right\rvert\leq\left\lVert v\right\rVert\left% \lVert w\right\rVert

여기서 등호는 $v$ 와 $w$ 가 선형종속인 경우에만 성립합니다.

증명.

$\left<v,w\right>=0$ 이면 이 정리는 자명합니다. $\left\lVert v\right\rVert\left\lVert w\right\rVert=0$ 인 경우도 자명한데, 이때는 $v$ 또는 $w$ 중 하나가 영벡터이기 때문입니다. 따라서 앞으로는 이 모든 값이 0이 아니라고 가정합니다(나중에 이 값들로 나누어야 하기 때문입니다).

증명의 핵심은 등호가 성립하는 경우를 생각해 보는 것입니다: 우리는 부등식 $\left<cv-w,cv-w\right>\geq 0$ 을 사용할 것입니다. $c$ 의 선택은 나중으로 미루고, 다음을 계산합니다

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle\leq\left<cv-w,cv-w\right>$
		$\displaystyle=\left<cv,cv\right>-\left<cv,w\right>-\left<w,cv\right>+\left<w,w\right>$
		$\displaystyle=\|c\|^{2}\left<v,v\right>-c\left<v,w\right>-\overline{c}\left<w,v% \right>+\left<w,w\right>$
		$\displaystyle=\|c\|^{2}\left\lVert v\right\rVert^{2}+\left\lVert w\right\rVert^{% 2}-c\left<v,w\right>-\overline{c\left<v,w\right>}$
	$\displaystyle 2\operatorname{Re}\left[c\left<v,w\right>\right]$	$\displaystyle\leq\|c\|^{2}\left\lVert v\right\rVert^{2}+\left\lVert w\right% \rVert^{2}$
이 시점에서 $c$ 의 좋은 선택은
	$\displaystyle c$	$\displaystyle=\frac{\left\lVert w\right\rVert}{\left\lVert v\right\rVert}\cdot% \frac{\|\left<v,w\right>\|}{\left<v,w\right>}$
그러면
	$\displaystyle c\left<v,w\right>$	$\displaystyle=\frac{\left\lVert w\right\rVert}{\left\lVert v\right\rVert}\left% \lvert\left<v,w\right>\right\rvert\in\mathbb{R}$
	$\displaystyle\|c\|$	$\displaystyle=\frac{\left\lVert w\right\rVert}{\left\lVert v\right\rVert}$
따라서 부등식은 다음과 같이 됩니다
	$\displaystyle 2\frac{\left\lVert w\right\rVert}{\left\lVert v\right\rVert}% \left\lvert\left<v,w\right>\right\rvert$	$\displaystyle\leq 2\left\lVert w\right\rVert^{2}$
	$\displaystyle\left\lvert\left<v,w\right>\right\rvert$	$\displaystyle\leq\left\lVert v\right\rVert\left\lVert w\right\rVert.\qed$

따라서:

정리 13.2.5 (삼각부등식).

우리는 항상 다음을 가집니다

\left\lVert v\right\rVert+\left\lVert w\right\rVert\geq\left\lVert v+w\right\rVert

여기서 등호는 $v$ 와 $w$ 가 선형종속이고 같은 방향을 가리키는 경우에만 성립합니다.

연습문제 13.2.6.

양변을 제곱하고 코시-슈바르츠 부등식을 적용하여 이를 증명하십시오.

이렇게 하여 우리의 벡터 공간은 이제 거리 공간이라는 위상 구조를 가지게 됩니다.

13.3 직교성

대표적인 예: 여전히 $\mathbb{R}^{n}$ 입니다!

우리의 다음 목표는 ”수직”이라는 기하학적 개념을 제시하는 것입니다. 정의는 충분히 쉽습니다:

정의 13.3.1.

내적 공간에서 두 개의 영이 아닌 벡터 $v$ 와 $w$ 는 $\left<v,w\right>=0$ 일 때 직교한다고 합니다.

$\mathbb{R}^{n}$ 에서의 기하학적 직관에서 예상할 수 있듯이, 이는 독립성을 함의합니다:

보조정리 13.3.2 (직교하는 벡터는 독립적입니다).

각 $i$ 에 대해 $\left\lVert v_{i}\right\rVert\neq 0$ 인, 쌍마다 직교하는 벡터들의 임의의 집합 $v_{1}$ , $v_{2}$ , …, $v_{n}$ 은 선형독립입니다.

증명.

다음과 같은 종속관계를 생각해 봅시다

a_{1}v_{1}+\dots+a_{n}v_{n}=0

$a_{i}$ 가 $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$ 에 속한다고 합시다. 그러면

0=\left<v_{1},\sum a_{i}v_{i}\right>=\overline{a_{1}}\left\lVert v_{1}\right% \rVert^{2}.

따라서 $\left\lVert v_{1}\right\rVert\neq 0$ 이라고 가정했으므로 $a_{1}=0$ 입니다. 마찬가지로 $a_{2}=\dots=a_{n}=0$ 입니다. ∎

이를 바탕으로, 이제 우리의 기저에 대해 더 강한 조건을 고려해 볼 수 있습니다.

정의 13.3.3.

유한 차원 내적 공간 $V$ 의 정규직교 기저란, 모든 $i$ 에 대해 $\left\lVert e_{i}\right\rVert=1$ 이고 $i\neq j$ 인 임의의 경우에 $\left<e_{i},e_{j}\right>=0$ 을 만족하는 기저 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 을 말합니다.

예제 13.3.4 ( $\mathbb{R}^{n}$ 과 $\mathbb{C}^{n}$ 은 표준 기저를 가집니다).

표준 내적을 갖춘 $\mathbb{R}^{n}$ 과 $\mathbb{C}^{n}$ 에서, 표준 기저 $\mathbf{e}_{1}$ , …, $\mathbf{e}_{n}$ 또한 정규직교입니다.

이는 일반성을 잃지 않습니다:

정리 13.3.5 (그람-슈미트).

$V$ 를 유한 차원 내적 공간이라고 합시다. 그러면 $V$ 는 정규직교 기저를 가집니다.

증명 개요.

$V$ 의 임의의 기저 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 으로부터 정규직교 기저를 명시적으로 구성할 수 있습니다. $\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\left<v,u\right>}{\left<u,u\right>}u$ 로 정의합니다. 그런 다음 재귀적으로 다음과 같이 정의합니다

	$\displaystyle u_{1}$	$\displaystyle=e_{1}$
	$\displaystyle u_{2}$	$\displaystyle=e_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(e_{2})$
	$\displaystyle u_{3}$	$\displaystyle=e_{3}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(e_{3})-\operatorname{proj}_{u_% {2}}(e_{3})$
		$\displaystyle\mathmakebox[width("{}={}")][c]{\vdots}$
	$\displaystyle u_{n}$	$\displaystyle=e_{n}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(e_{n})-\dots-\operatorname{% proj}_{u_{n-1}}(e_{n}).$

$u_{i}$ 가 쌍마다 직교하며 영이 아님을 보일 수 있습니다. ∎

따라서 우리는 일반적으로 기저가 정규직교라고 가정할 수 있습니다.

언급할 만한 점:

예제 13.3.6 (점곱은 “유일한” 내적 형식입니다).

$V$ 를 유한 차원 내적 공간이라고 하고, 임의의 정규직교 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 을 생각합시다. 그러면 다음이 성립합니다

\left<a_{1}e_{1}+\dots+a_{n}e_{n},b_{1}e_{1}+\dots+b_{n}e_{n}\right>=\sum_{i,j% =1}^{n}a_{i}\overline{b_{j}}\left<e_{i},e_{j}\right>=\sum_{i=1}^{n}a_{i}% \overline{b_{i}}

이는 $\{e_{i}\}$ 가 정규직교라는 사실에서 비롯됩니다.

이제 여러분은 점곱 표현이 왜 그렇게 널리 쓰이는지 알게 되었습니다.

13.4 힐베르트 공간

대수학에서는 대개 무한을 경계하기 때문에, 여러 장 앞서 평범한 벡터 공간의 기저를 정의했을 때 우리는 유한 선형결합만을 허용했습니다. 그러나 내적 공간이 있다면 그것은 거리 공간이며, 우리는 때때로 실제로 수렴에 대해 이야기할 수 있습니다.

그 방법은 다음과 같습니다:

정의 13.4.1.

힐베르트 공간이란, 대응하는 거리 공간이 완비인 내적 공간 $V$ 를 말합니다.

이 경우, 부분합의 수열을 살펴보고 그것을 수렴하게 함으로써 이제 무한 선형결합을 취하는 것이 종종 의미를 가지게 됩니다. 그 방법은 다음과 같습니다. 노름이 $1$ 이고 쌍마다 직교하는 무한 벡터 수열 $e_{1}$ , $e_{2}$ , …가 있다고 합시다. $c_{1}$ , $c_{2}$ , …가 실수 또는 복소수의 수열이라고 합시다. 그러면 다음 수열을 생각합시다

	$\displaystyle v_{1}$	$\displaystyle=c_{1}e_{1}$
	$\displaystyle v_{2}$	$\displaystyle=c_{1}e_{1}+c_{2}e_{2}$
	$\displaystyle v_{3}$	$\displaystyle=c_{1}e_{1}+c_{2}e_{2}+c_{3}e_{3}$
		$\displaystyle\mathmakebox[width("{}={}")][c]{\vdots}$

명제 13.4.2 (힐베르트 공간에서의 수렴 판정 기준).

위에서 정의한 수열 $(v_{i})$ 는 $\sum\left\lvert c_{i}\right\rvert^{2}<\infty$ 일 때, 그리고 오직 그때에만 수렴합니다.

증명.

장 26를 읽었다면 이 내용이 더 잘 이해될 것이므로, 아직 그 장을 읽지 않았다면 이 증명은 건너뛰어도 좋습니다. 수열 $v_{i}$ 는 코시 수열일 때, 그리고 오직 그때에만 수렴하며, 이는 $i<j$ 일 때 다음을 의미합니다

\left\lVert v_{j}-v_{i}\right\rVert^{2}=|c_{i+1}|^{2}+\dots+|c_{j}|^{2}

$i$ 와 $j$ 가 커짐에 따라 $0$ 으로 수렴합니다. 이는 수열 $s_{n}=|c_{1}|^{2}+\dots+|c_{n}|^{2}$ 이 코시 수열임과 동치입니다.

$\mathbb{R}$ 이 완비이므로, $s_{n}$ 이 코시 수열인 것과 수렴하는 것은 동치입니다. $s_{n}$ 이 음이 아닌 실수들로 이루어져 있으므로, 수렴은 $s_{n}$ 이 유계인 것과 동치이며, 이는 다시 $\sum\left\lvert c_{i}\right\rvert^{2}<\infty$ 인 것과 동치입니다. ∎

따라서 힐베르트 공간을 다룰 때는 정의를 약간 바꿉니다:

정의 13.4.3.

힐베르트 공간 $V$ 에 대한 정규직교 기저란 다음을 만족하는 (무한할 수도 있는) 벡터열 $e_{1}$ , $e_{2}$ , …,입니다.

•

모든 $i$ 에 대해 $\left<e_{i},e_{i}\right>=1$ 이고,
•

$i\neq j$ 일 때 $\left<e_{i},e_{j}\right>=0$ , 즉 벡터들이 쌍마다 직교하며
•

$V$ 의 모든 원소는 다음과 같은 무한 선형결합으로 유일하게 표현할 수 있습니다

$\sum_{i}c_{i}e_{i}$

여기서 앞서 설명한 대로 $\sum_{i}\left\lvert c_{i}\right\rvert^{2}<\infty$ 입니다.

어쨌든 이것이 공식적인 정의입니다. ( $\dim V<\infty$ 이면 이 정의는 우리가 흔히 쓰는 정의와 일치함에 주목하십시오. 그 경우 $e_{i}$ 가 유한 개밖에 없기 때문입니다.) 하지만 우리의 목적을 위해서는 대체로 이를 신경 쓰지 않고 다음과 같이 생각해도 됩니다:

힐베르트 공간이란 기저가 유한 선형결합뿐 아니라 무한 선형결합까지 필요로 하는 내적 공간입니다.

$\sum\left\lvert c_{i}\right\rvert^{2}<\infty$ 라는 기술적 조건은 바로 무한합이 의미를 갖도록 보장해 주는 조건입니다.

13.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 13A (피타고라스 정리).

내적 공간에서 $\left<v,w\right>=0$ 이면 $\left\lVert v\right\rVert^{2}+\left\lVert w\right\rVert^{2}=\left\lVert v+w% \right\rVert^{2}$ 임을 보이십시오.

문제 13B (유한 차원 $\implies$ 힐베르트).

유한 차원 내적 공간은 힐베르트 공간임을 보이십시오.

힌트. 정규직교 기저 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 을 고정하십시오. $\mathbb{R}^{n}$ 이 완비라는 사실을 이용하십시오.

문제 13C (대만 IMO 캠프).

^†^†margin:

어느 마을에 $n$ 명의 사람과 $k$ 개의 동아리가 있습니다. 각 동아리의 회원 수는 홀수이고, 임의의 두 동아리는 짝수 명의 공통 회원을 가집니다. $k\leq n$ 임을 증명하십시오.

힌트. $\mathbb{F}_{2}$ 에서의 내적.

풀이. 동아리들을 벡터 공간 $\mathbb{F}_{2}^{n}$ 안의 벡터로 해석하십시오. “내적”을 고려하여 $k$ 개의 벡터가 모두 선형독립임을 보이십시오: 서로 다른 두 동아리-벡터의 내적은 $0$ 이고, 각 동아리 벡터와 자기 자신의 내적은 $1$ 입니다. 따라서 이 벡터들은 정규직교이고, 그러므로 선형독립입니다. 따라서 $k\leq\dim\mathbb{F}_{2}^{n}=n$ 입니다.

문제 13D (텐서의 내적 구조).

$V$ 와 $W$ 를 $k$ 위의 유한 차원 내적 공간이라 합시다. 여기서 $k$ 는 $\mathbb{R}$ 이거나 $\mathbb{C}$ 입니다.

(a)

$V\otimes_{k}W$ 도 내적 공간으로 만드는 정준적인 방법을 찾으십시오.
(b)

$e_{1}$ , …, $e_{n}$ 을 $V$ 의 정규직교 기저라 하고, $f_{1}$ , …, $f_{m}$ 을 $W$ 의 정규직교 기저라 합시다. $V\otimes W$ 의 정규직교 기저는 무엇입니까?

힌트. 단순 텐서에서 정의한 다음 선형적으로 확장하십시오.

풀이. 다음과 같이 주어지는 내적 형식은

$\left<v_{1}\otimes w_{1},v_{2}\otimes w_{2}\right>_{V\otimes W}=\left<v_{1},v_% {2}\right>_{V}\left<w_{1},w_{2}\right>_{W}$

순수 텐서에 대해 정의한 다음, 선형적으로 확장합니다. (b)의 경우 $1\leq i\leq n$ , $1\leq j\leq m$ 에 대해 $e_{i}\otimes f_{j}$ 를 취하십시오.

문제 13E (Putnam 2014).

^†^†margin:

$n$ 을 양의 정수라고 합시다. 실수 성분을 갖는 $n\times n$ 행렬 $M_{1}$ , …, $M_{k}$ 과 $N_{1}$ , …, $N_{k}$ 이 존재하여, 모든 $i$ 와 $j$ 에 대해 행렬 곱 $M_{i}N_{j}$ 의 대각선 어딘가에 0인 성분이 있는 것이 $i\neq j$ 와 동치가 되도록 하는 가장 큰 $k$ 는 무엇입니까?

힌트. $k=n^{n}$ 입니다. 텐서곱에 내적 형식을 부여하십시오. ”대각선상 어딘가에 영 원소를 가진다”는 것은 그 원소들의 곱이 영이라는 것과 동치임에 유의하십시오.

문제 13F (수열 공간).

$\sum_{i}a_{i}^{2}<\infty$ 를 만족하는 실수 무한수열 $a=(a_{1},a_{2},\dots)$ 들의 공간 $\ell^{2}$ 를 생각합시다. 이 공간에 다음과 같은 내적을 부여합니다

\left<a,b\right>=\sum_{i}a_{i}b_{i}.

이것은 힐베르트 공간입니까? 그렇다면 힐베르트 기저를 하나 밝히십시오.

문제 13G (일반적인 노름 벡터 공간).

내적 공간을 일반화하면, 노름 벡터 공간이란 다음 공리들을 만족하는 임의의 노름 함수 $\left\lVert\bullet\right\rVert\colon V\to\mathbb{R}$ 를 갖춘, $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$ 위의 벡터 공간 $V$ 입니다:

•

모든 $v\in V$ 에 대해 $\left\lVert v\right\rVert\geq 0$ 이며, 등호는 $v$ 가 영벡터일 때에만 성립합니다.
•

스칼라 $\lambda$ 에 대해 $\left\lVert\lambda v\right\rVert=|\lambda|\cdot\left\lVert v\right\rVert$ 가 성립합니다.
•

모든 $v$ 와 $w$ 에 대해 삼각부등식 $\left\lVert v+w\right\rVert\leq\left\lVert v\right\rVert+\left\lVert w\right\rVert$ 가 성립합니다.

따라서 정리 13.2.5는, 임의의 내적 공간이 노름을 $\left\lVert v\right\rVert\coloneq\sqrt{\left\langle v,v\right\rangle}$ 로 택함으로써 노름 벡터 공간이 된다는 진술로 바꾸어 말할 수 있습니다.

$n\geq 2$ 에 대해 $\mathbb{R}^{n}$ 위에 다음과 같이 노름을 정의할 수 있음을 증명하여, 그 역이 성립하지 않음을 보이십시오

\left\lVert(x_{1},\dots,x_{n})\right\rVert\coloneqq\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|

그리고 나아가 이 노름이 어떤 내적으로부터도 나오지 않음을 보이십시오.

문제 13H (쿠라토프스키 매장).

바나흐 공간이란 대응하는 거리 공간이 완비인 노름 벡터 공간 $V$ 입니다. (따라서 힐베르트 공간은 바나흐 공간의 특수한 경우입니다.)

$(M,d)$ 를 임의의 거리 공간이라 하겠습니다. 바나흐 공간 $X$ 와 단사 함수 $f\colon M\hookrightarrow X$ 가 존재하여 임의의 $x$ 와 $y$ 에 대해 $d(x,y)=\left\lVert f(x)-f(y)\right\rVert$ 가 성립함을 증명하십시오.

	$\displaystyle\left<cx,v\right>$	$\displaystyle=c\left<x,v\right>$
	$\displaystyle\left<x+y,v\right>$	$\displaystyle=\left<x,v\right>+\left<y,v\right>.$

	$\displaystyle\left<v,x+y\right>$	$\displaystyle=\left<v,x\right>+\left<v,y\right>$
	$\displaystyle\left<v,cx\right>$	$\displaystyle=\overline{c}\left<v,x\right>.$

	$\displaystyle\left<x+y,v\right>$	$\displaystyle=\left<x,v\right>+\left<y,v\right>$
	$\displaystyle\left<cx,v\right>$	$\displaystyle=c\left<x,v\right>.$

장 13 내적 공간

13.1 내적

13.1.1 실수의 경우: 쌍선형 형식

정의 13.1.1.

연습문제 13.1.2.

예제 13.1.3 (ℝn).

13.1.2 복소수의 경우: 세스퀴선형 형식

정의 13.1.4.

연습문제 13.1.5.

예제 13.1.6 (ℂn).

질문 13.1.7.

13.1.3 내적 공간

정의 13.1.8.

비고 13.1.9 (왜 반쌍선형인가?).

13.2 노름

정의 13.2.1.

예제 13.2.2 (ℝn과 ℂn은 노름 벡터 공간입니다).

질문 13.2.3.

보조정리 13.2.4 (코시-슈바르츠).

증명.

정리 13.2.5 (삼각부등식).

연습문제 13.2.6.

13.3 직교성

정의 13.3.1.

보조정리 13.3.2 (직교하는 벡터는 독립적입니다).

증명.

정의 13.3.3.

예제 13.3.4 (ℝn과 ℂn은 표준 기저를 가집니다).

정리 13.3.5 (그람-슈미트).

증명 개요.

예제 13.3.6 (점곱은 “유일한” 내적 형식입니다).

13.4 힐베르트 공간

정의 13.4.1.

명제 13.4.2 (힐베르트 공간에서의 수렴 판정 기준).

증명.

정의 13.4.3.

13.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 13A (피타고라스 정리).

문제 13B (유한 차원 ⟹ 힐베르트).

문제 13C (대만 IMO 캠프).

문제 13D (텐서의 내적 구조).

문제 13E (Putnam 2014).

문제 13F (수열 공간).

문제 13G (일반적인 노름 벡터 공간).

문제 13H (쿠라토프스키 매장).

예제 13.1.3 ( $\mathbb{R}^{n}$ ).

예제 13.1.6 ( $\mathbb{C}^{n}$ ).

예제 13.2.2 ( $\mathbb{R}^{n}$ 과 $\mathbb{C}^{n}$ 은 노름 벡터 공간입니다).

예제 13.3.4 ( $\mathbb{R}^{n}$ 과 $\mathbb{C}^{n}$ 은 표준 기저를 가집니다).

문제 13B (유한 차원 $\implies$ 힐베르트).