장 68 함자와 자연 변환

함자는 범주 사이의 사상이고, 자연 변환은 함자 사이의 사상입니다.

68.1 함자의 여러 예

대표적인 예: 망각 함자; 기본군; $\bullet^{\vee}$ .

함자의 요점은 다음과 같습니다:

어떤 대상으로부터 다른 대상을 만들 때는 거의 언제나 함자를 얻습니다.

형식적인 정의를 제시하기 전에 (비형식적으로) 몇 가지 예를 나열하겠습니다. (그중 일부에는 곳곳에 반대 범주 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}$ 가 등장하는 것을 보게 될 것입니다. 지금은 신경 쓰지 마십시오. 그 이유는 곧 알게 될 것입니다.)

•

군 $G$ (또는 벡터 공간, 체, …)가 주어지면 그 밑집합 $S$ 를 취할 수 있습니다. 이는 $\mathsf{Grp}\to\mathsf{Set}$ 함자입니다.
•

집합 $S$ 가 주어지면 $S$ 를 기저로 하는 벡터 공간을 생각할 수 있습니다. 이는 $\mathsf{Set}\to\mathsf{Vect}$ 함자입니다.
•

벡터 공간 $V$ 가 주어지면 그 쌍대 공간 $V^{\vee}$ 를 생각할 수 있습니다. 이는 함자 $\mathsf{Vect}_{k}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Vect}_{k}$ 입니다.
•

텐서곱은 $\mathsf{Vect}_{k}\times\mathsf{Vect}_{k}\to\mathsf{Vect}_{k}$ 함자를 줍니다.
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집합 $S$ 가 주어지면 그 멱집합을 만들 수 있으며, 이로써 함자 $\mathsf{Set}\to\mathsf{Set}$ 를 얻습니다.
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대수적 위상수학에서는 위상 공간 $X$ 를 취하여 그에 대응하는 여러 군 $H_{1}(X)$ , $\pi_{1}(X)$ 등을 만듭니다. 이러한 군 구성은 모두 함자 $\mathsf{Top}\to\mathsf{Grp}$ 입니다.
•
준동형사상의 집합: $\mathcal{A}$ 를 범주라고 합시다.
- –
  
  $k$ 위의 두 벡터 공간 $V_{1}$ 과 $V_{2}$ 가 주어지면 선형 사상 $V_{1}\to V_{2}$ 들의 아벨 군을 구성합니다. 이는 $\mathsf{Vect}_{k}^{\mathrm{op}}\times\mathsf{Vect}_{k}\to\mathsf{AbGrp}$ 함자입니다.
- –
  
  더 일반적으로, 임의의 범주 $\mathcal{A}$ 에 대하여 대상의 쌍 $(A_{1},A_{2})$ 를 취하여 집합 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A_{1},A_{2})$ 를 얻을 수 있습니다. 이는 함자 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\times\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 임이 밝혀집니다.
- –
  
  위의 연산에는 “자리”가 두 개 있습니다. 첫 번째 자리를 “미리 채우면” 함자 $\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 를 얻습니다. 즉, $A\in\mathcal{A}$ 를 고정하고 $A^{\prime}\in\mathcal{A}$ 를 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A,A^{\prime})$ 로 보내면 $\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 함자( $H^{A}$ 라고 부릅니다)를 얻습니다. 이를 공변 요네다 함자라고 부릅니다(뒤에서 설명합니다).
- –
  
  위에서 보았듯이, 모든 $A\in\mathcal{A}$ 에 대하여 함자 $H^{A}\colon\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 를 얻습니다. 함자 $\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 들을 원소로 하는 범주 $[\mathcal{A},\mathsf{Set}]$ 를 구성할 수 있다는 것이 밝혀지며, 그러면 이제 함자 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\to[\mathcal{A},\mathsf{Set}]$ 를 얻습니다.

그렇기는 하지만, 함자가 아닌 것도 몇 가지 소개하겠습니다. 그래야 “ $F$ 는 함자입니다”(다시 말해 “ $F$ 는 함자적입니다”)라는 정리를 볼 때 “이 정리는 자명합니다”가 아니라 “ $F$ 뒤에는 깊이 숨겨진 대칭성이 있습니다! 아주 멋집니다!”라고 읽을 수 있을 것입니다.

그 깊은 대칭성이란 무엇일까요? 계속 읽어 보십시오.

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군 $G$ 가 주어지면 그 자기동형사상군 $\operatorname{Aut}(G)$ 를 만들 수 있습니다. 그러나 이는 어떤 자연스러운 방식으로도 함자가 되지 않습니다.
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군 $G$ 가 주어지면 그 중심 $Z(G)$ 를 만들 수 있는데, 이는 $G$ 의 모든 원소와 교환하는 $G$ 의 원소들의 집합입니다. 이 역시 어떤 자연스러운 방식으로도 함자가 되지 않습니다.¹¹1함자의 성질을 이용하면 반례를 쉽게 찾을 수 있습니다 — 특히 항등 사상은 항등 사상으로 보내져야 합니다. 증명은 https://math.stackexchange.com/q/158438을 참고하십시오.
•

위에서 쌍대 공간을 취하는 연산은 반변 함자 $\mathsf{Vect}_{k}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Vect}_{k}$ 이지만, 공변 함자 $\mathsf{Vect}_{k}\to\mathsf{Vect}_{k}$ 는 아닙니다. (반변 함자가 무엇인지는 지금은 신경 쓰지 마십시오.)

68.2 공변 함자

대표적인 예: 망각/자유 함자, …

범주론 학자들은 늘 “사상은 무엇인가?”라고 묻습니다. 그러니 이제 범주 사이의 사상에 대해 생각해 볼 수 있습니다.

정의 68.2.1.

$\mathcal{A}$ 와 $\mathcal{B}$ 가 범주라고 합시다. 물론 함자 $F$ 는 $\mathcal{A}$ 의 모든 대상을 $\mathcal{B}$ 의 대상으로 보냅니다. 그런데 이에 더해 모든 화살표 $A_{1}\xrightarrow{f}A_{2}$ 도 화살표 $F(A_{1})\xrightarrow{F(f)}F(A_{2})$ 로 보내야 합니다. 이는 다음과 같이 그려 볼 수 있습니다.

(서로 다른 범주를 넘나드는 함자는 강조를 위해 점선 화살표로 나타내도록 하겠습니다.) 함자는 다음 “자연성” 조건을 만족해야 합니다:

•

항등 화살표는 항등 화살표로 보내집니다. 즉, 각 항등 화살표 $\mathrm{id}_{A}$ 에 대해 $F(\mathrm{id}_{A})=\mathrm{id}_{F(A)}$ 가 성립합니다.
•

함자는 합성을 보존합니다. 즉, $A_{1}\xrightarrow{f}A_{2}\xrightarrow{g}A_{3}$ 가 $\mathcal{A}$ 의 화살표이면 $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ 가 성립합니다.

따라서 핵심 아이디어는 다음과 같습니다:

대상 $A\in\mathcal{A}$ 로부터 대상 $B\in\mathcal{B}$ 를 자연스럽게 만들어 낼 때에는, 대개 사상 $A_{1}\to A_{2}$ 를 사상 $B_{1}\to B_{2}$ 로 바꾸는 자연스러운 방법도 있어야 합니다.

이에 대한 몇 가지 예를 살펴봅시다.

예제 68.2.2 (자유 함자와 망각 함자).

두 용어 모두 비공식적인 용어이며, 엄밀한 정의가 있는 것은 아니라는 점에 유의하십시오.

(a)

앞에서 망각 함자에 대해 이야기했습니다. 망각 함자는 $\mathsf{Vect}_{k}$ 같은 범주에서 밑집합을 취하는 함자입니다. 이 함자를 $U\colon\mathsf{Vect}_{k}\to\mathsf{Set}$ 라고 부릅시다.

이제 $\mathsf{Vect}_{k}$ 의 사상 $T\colon V_{1}\to V_{2}$ 가 주어지면, 자명한 사상 $U(T)\colon U(V_{1})\to U(V_{2})$ 가 존재합니다. 이는 $T$ 에 대응하는 집합론적 사상일 뿐입니다.

마찬가지로 $\mathsf{Grp}$ , $\mathsf{CRing}$ 등에서 $\mathsf{Set}$ 로 가는 망각 함자가 있습니다. 심지어 망각 함자 $\mathsf{CRing}\to\mathsf{Grp}$ 도 있는데, 이 함자는 환 $R$ 을 아벨 군 $(R,+)$ 로 보냅니다. 공통된 주제는 원래 범주의 구조를 “잊어버린다”는 것입니다.
(b)

앞의 예에서 자유 함자에 대해서도 이야기했습니다. 자유 함자 $F\colon\mathsf{Set}\to\mathsf{Vect}_{k}$ 는 $F(S)$ 를 $S$ 를 기저로 하는 벡터 공간으로 두어 얻을 수 있습니다. 그렇다면 사상 $f\colon S\to T$ 가 주어졌을 때 자명한 사상 $F(S)\to F(T)$ 는 무엇이겠습니까? 간단합니다. 각 기저 원소 $s\in S$ 를 기저 원소 $f(s)\in T$ 로 보내면 됩니다.

마찬가지로, 집합 $S$ 로 생성되는 자유군을 취하여 $F\colon\mathsf{Set}\to\mathsf{Grp}$ 를 정의할 수 있습니다.

비고 68.2.3.

함자에 대해서도 (화살표에 관한) “단사”와 “전사”라는 개념이 다음과 같이 있습니다. 함자 $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 에 대해, 임의의 $A_{1},A_{2}$ 에 대해 $F\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A_{1},A_{2})\to\operatorname{Hom}_{% \mathcal{B}}(FA_{1},FA_{2})$ 가 단사(각각 전사)이면 $F$ 를 충실한(각각 충만한) 함자라고 합니다.²²2이번에도 전문가들은 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A_{1},A_{2})$ 나 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{B}}(FA_{1},FA_{2})$ 가 집합이 아니라 고유 모임일 수 있다고 반론할 수 있지만, 여기서는 모든 것이 국소적으로 작다고 가정합니다.

이를 이용하면 구체적 범주를 정확하게 정의할 수 있습니다. 구체적 범주란 충실한 (망각) 함자 $U\colon\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 를 갖는 범주입니다.

예제 68.2.4 ( $\mathcal{G}$ 에서 출발하는 함자).

$G$ 가 군이고 $\mathcal{G}=\{\ast\}$ 가 이에 대응하는 대상이 하나인 범주라고 합시다.

(a)

함자 $F\colon\mathcal{G}\to\mathsf{Set}$ 를 생각하고 $S=F(\ast)$ 라고 둡시다. 그러면 $F$ 의 데이터는 $S$ 위에 $G$ 의 군 작용을 주는 것에 대응합니다.
(b)

함자 $F\colon\mathcal{G}\to\mathsf{FDVect}_{k}$ 를 생각하고, $V=F(\ast)$ 의 차원이 $n$ 이라고 합시다. 그러면 $F$ 의 데이터는 $G$ 를 $n\times n$ 행렬(즉 선형 사상 $V\to V$ )의 부분군으로 매장하는 것에 대응합니다. 이것은 역사적으로 군이 생겨난 한 가지 방식이며, 군을 행렬로 바라보는 이론은 표현론이라는 학문 체계를 이룹니다.
(c)

$H$ 가 군이라 하고 $\mathcal{H}$ 를 같은 방식으로 구성합시다. 그러면 함자 $\mathcal{G}\to\mathcal{H}$ 는 준동형사상 $G\to H$ 에 대응합니다.

연습문제 68.2.5.

위의 군에 기반한 함자들이 앞서 설명한 대로 작동하는지 확인하십시오.

다음은 좀 더 복잡한 예입니다. 헷갈린다면 건너뛰고, 이 함자의 반변 버전에 대해 읽은 뒤에 다시 돌아오십시오.

예제 68.2.6 (공변 요네다 함자).

$A\in\mathcal{A}$ 를 하나 고정합니다. 범주 $\mathcal{A}$ 에 대하여 공변 요네다 함자 $H^{A}\colon\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 를 다음과 같이 정의합니다.

H^{A}(A_{1})\coloneqq\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A,A_{1})\in\mathsf{Set}.

따라서 각 $A_{1}$ 은 $A$ 에서 $A_{1}$ 로 가는 화살표들로 보내집니다. 즉, $H^{A}$ 는 $A$ 가 세상을 어떻게 보는지를 나타냅니다.

이제 $H^{A}$ 가 화살표에 대해 어떻게 작용하는지 정하고자 합니다. 각 화살표 $A_{1}\xrightarrow{f}A_{2}$ 에 대하여 $\mathsf{Set}$ -사상 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A,A_{1})\to\operatorname{Hom}(A,A_{2})$ 를 정해야 합니다. 다시 말해, 화살표 $A\xrightarrow{p}A_{1}$ 을 화살표 $A\to A_{2}$ 로 보내야 합니다. 이렇게 하는 합리적인 방법은 하나뿐입니다. 다음과 같이 합성을 취하는 것입니다.

A\xrightarrow{p}A_{1}\xrightarrow{f}A_{2}.

다시 말해, $H^{A}(f)$ 는 $p\mapsto f\circ p$ 입니다. 또 달리 말하면 $H^{A}(f)=f\circ-$ 이며, 여기서 $-$ 는 입력이 들어갈 자리입니다.

또 다른 예는 다음과 같습니다.

질문 68.2.7.

$\mathcal{P}$ 와 $\mathcal{Q}$ 가 범주로 해석한 부분순서집합이라면, $\mathcal{P}$ 에서 $\mathcal{Q}$ 로 가는 함자는 무엇을 나타냅니까?

이제 이것이 왜 중요한지 설명하겠습니다. 다음과 같은 “자명한” 사실을 생각해 봅시다. $G$ 와 $H$ 가 동형인 군이라면 두 군의 크기는 같습니다. 이 사실은 다음과 같이 형식화할 수 있습니다. $\mathsf{Grp}$ 에서 $G\cong H$ 이고 $U\colon\mathsf{Grp}\to\mathsf{Set}$ 가 (각 군을 그 밑집합으로 보내는) 망각 함자라면 $U(G)\cong U(H)$ 입니다. 여기서 범주론의 아름다움이 드러납니다. 사실 이 성질은 임의의 함자와 범주에 대해 성립하며, 증명도 오로지 화살표만으로 이루어집니다.

정리 68.2.8 (함자는 동형사상을 보존합니다).

$A_{1}\cong A_{2}$ 가 $\mathcal{A}$ 에서 동형인 대상이고 $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 가 함자이면 $F(A_{1})\cong F(A_{2})$ 입니다.

증명.

직접 해 보십시오! 그림은 다음과 같습니다.

함자의 두 가지 핵심 성질, 즉 합성과 항등 사상을 보존한다는 성질을 모두 사용해야 합니다. ∎

이는 앞으로 훌륭한 직관을 줄 것입니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

(i)

우리가 살면서 하는 거의 모든 연산은 함자이며,
(ii)

이제 우리는 함자가 동형인 대상을 동형인 대상으로 보낸다는 것을 압니다.

따라서 이제 우리는 우리가 하는 거의 모든 “합리적인” 연산이 동형사상을 보존한다는 것을 자동으로 알게 됩니다(여기서 “합리적”이라는 것은 함자라는 뜻입니다). 이는 예를 들어 대수적 위상수학에서 매우 편리합니다. 정리 65.6.2를 참고하십시오. 거기서는 호모토피 동치인 공간들의 기본군이 동형이라는 사실을 공짜로 얻습니다.

비고 68.2.9.

이를 통해 대상이 범주이고 화살표가 함자인 범주 $\mathsf{Cat}$ 를 구성할 수 있습니다.

68.3 대상의 첨자족으로서의 공변 함자

함자를 함수로 보는 대신, 때로는 함자를 대상(또는 대상족)으로 보는 것이 더 편리합니다.

집합 $A$ 와 $B$ 에 대하여, $B$ 에서 $A$ 로 가는 모든 함수의 집합인 $\operatorname{Hom}(B,A)$ 를 나타내기 위해 $A^{B}$ 라는 표기를 쓰기도 합니다. 유한집합 $A$ 와 $B$ 에 대하여 $|\operatorname{Hom}(B,A)|=|A|^{|B|}$ 가 성립하므로 이 표기는 자연스럽습니다.

한편, 곱집합 $A\times A$ 를 $A^{2}$ 로 표기하기도 합니다. 둘 사이에 관계가 있습니까?

물론 있습니다! 집합 $\textbf{2}=\{0,1\}$ (또는 원소가 두 개인 임의의 집합)을 정의합니다. 그러면 $|\textbf{2}|=2$ 입니다. $A^{2}$ 와 $\operatorname{Hom}(\textbf{2},A)$ 사이에 대응이 있다는 것은 어렵지 않게 알 수 있습니다.

이제 $\mathcal{A}$ 를 범주라고 합시다. 범주 $\mathcal{A}\times\mathcal{A}=\mathcal{A}^{2}$ 를 자명한 방식으로 정의합니다.

•

$\mathcal{A}^{2}$ 의 대상은 $A_{1},A_{2}\in\mathcal{A}$ 인 대상의 쌍 $(A_{1},A_{2})$ 이며,
•

사상은 사상의 쌍입니다…

연습문제 68.3.1.

$X,Y\in\mathsf{Top}$ 에 대하여 곱공간 $X\times Y\in\mathsf{Top}$ 를 정의할 수 있습니다. 이는 함자 $\mathsf{Top}^{2}\to\mathsf{Top}$ 를 줍니다. 이를 확인하십시오. ( $\mathsf{Top}^{2}$ 의 사상 쌍 $(f,g):(X_{1},Y_{1})\to(X_{2},Y_{2})$ 로부터 사상 $X_{1}\times Y_{1}\to X_{2}\times Y_{2}$ 를 어떻게 얻습니까? 이 사상이 연속인지, 즉 실제로 $\mathsf{Top}$ 의 사상인지 확인하십시오.)

앞에서와 마찬가지로 $\mathcal{A}^{2}$ 의 각 대상은 어떤 함수 $f\colon 2\to\mathcal{A}$ 에 대응해야 합니다. 그런데 함수의 공역은 대상이어야 하는데… $\mathcal{A}$ 는 범주이므로 $f$ 는 함자여야 합니다!

따라서 범주 $\mathsf{2}$ 를 만들 수 있고, $F\colon\mathsf{2}\to\mathcal{A}$ 를 얻습니다. 우리가 원하는 대로 동작하도록 $\mathsf{2}$ 를 정의하는 합리적인 방법은 단 하나뿐입니다:³³3이것은 나중에 자연 변환을 위해 정의할 범주 2와 다릅니다! 주의하십시오.

•

대상은 $\{0,1\}$ 입니다;
•

$\mathrm{id}_{0}$ 과 $\mathrm{id}_{1}$ 을 제외하면 사상은 없습니다.

더 일반적으로,

함자 $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 는 첨자가 붙은 대상들의 모임 $\{B_{A}\in\mathcal{B}\}_{A\in\mathcal{A}}$ 로 볼 수 있습니다.

이는 준층의 경우에 가장 쉽게 확인할 수 있습니다: “반변 함자 $\operatorname{OpenSets}(X)^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Rings}$ ”는 “ $X$ 의 열린집합들을 첨자로 하며 몇 가지 좋은 조건을 만족하는 환들의 족”을 뜻합니다.

사실 $\mathcal{A}^{2}$ 가 범주인 것과 마찬가지로, 함자 $\mathsf{2}\to\mathcal{A}$ 들도 범주를 이룹니다. 이는 절 68.7에서 살펴보겠습니다.

68.4 반변 함자

대표적인 예: 쌍대 공간, 반변 요네다 함자 등

이제 앞에서 반대 범주들이 무슨 역할을 했는지 설명해야 합니다. 앞의 모든 예에서 우리는 화살표 $A_{1}\to A_{2}$ 를 택했고, 그것은 화살표 $F(A_{1})\to F(A_{2})$ 가 되었습니다. 그러나 때로는 화살표가 실제로 반대 방향으로 갑니다: 대신 화살표 $F(A_{2})\to F(A_{1})$ 를 얻게 됩니다. 다시 말해, 단순히 함자 $\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 를 얻는 대신 결국 함자 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\to\mathcal{B}$ 를 얻게 됩니다.

이러한 함자에는 이름이 있습니다:

정의 68.4.1.

$\mathcal{A}$ 에서 $\mathcal{B}$ 로의 반변 함자는 함자 $F\colon\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\to\mathcal{B}$ 입니다. (혼동을 일으킬 수 있으므로 “반변 함자 $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ ”라고 쓰지 않는다는 점에 유의하십시오. 함수 표기에는 항상 올바른 정의역과 공역을 사용합니다.)

그림으로 나타내면:

강조하기 위해 보통의 함자를 흔히 공변 함자라고 부릅니다. (수식어 없이 “함자”라고 하면 항상 공변 함자를 가리킵니다.)

왜 이런 일이 일어날 수 있는지 살펴봅시다.

예제 68.4.2 ( $V\mapsto V^{\vee}$ 는 반변입니다).

$V\mapsto V^{\vee}$ 로 주어지는 함자 $\mathsf{Vect}_{k}\to\mathsf{Vect}_{k}$ 를 생각해 봅시다.

공변 함자를 지정하려 한다면, 모든 선형 사상 $T\colon V_{1}\to V_{2}$ 에 대해 선형 사상 $T^{\vee}\colon V_{1}^{\vee}\to V_{2}^{\vee}$ 가 필요합니다. 그러나 $V_{1}^{\vee}=\operatorname{Hom}(V_{1},k)$ 이고 $V_{2}^{\vee}=\operatorname{Hom}(V_{2},k)$ 임을 상기하십시오: 왼쪽에서 오른쪽으로 가는 자명한 사상을 얻을 쉬운 방법이 없습니다.

그러나 오른쪽에서 왼쪽으로 가는 자명한 사상은 있습니다: $\xi_{2}\colon V_{2}\to k$ 가 주어지면 $V_{1}\to k$ 로의 사상을 쉽게 줄 수 있습니다: $T$ 와 합성하기만 하면 됩니다! 다시 말해, 다음 합성에 따라 매우 자연스러운 사상 $V_{2}^{\vee}\to V_{1}^{\vee}$ 가 존재합니다

요약하면, 사상 $T\colon V_{1}\to V_{2}$ 는 반대 방향의 사상 $T^{\vee}\colon V_{2}^{\vee}\to V_{1}^{\vee}$ 를 자연스럽게 유도합니다. 따라서 반변 함자는 다음과 같습니다:

체 $k$ 를 임의로 선택한 대상 $A\in\mathcal{A}$ 로 바꾸면 위의 예를 임의의 범주로 일반화할 수 있습니다.

예제 68.4.3 (반변 요네다 함자).

$H_{A}\colon\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 로 표기하는 $\mathcal{A}$ 위의 반변 요네다 함자는 $\mathcal{A}$ 의 대상들이 $A$ 를 어떻게 보는지 기술하는 데 사용됩니다. 각 $X\in\mathcal{A}$ 에 대해 이 함자는 다음과 같이 둡니다.

H_{A}(X)\coloneqq\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(X,A)\in\mathsf{Set}.

$\mathcal{A}$ 의 $X\xrightarrow{f}Y$ 에 대해, 사상 $H_{A}(f)$ 는 각 화살표 $Y\xrightarrow{p}A\in\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(Y,A)$ 를 다음으로 보냅니다

X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{p}A\quad\in\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(X,A)

위에서 한 것과 같습니다. 따라서 $H_{A}(f)$ 는 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(Y,A)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(X,A)$ 로 가는 화살표입니다. (방향이 뒤집힌다는 점에 주목하십시오!)

연습문제 68.4.4.

이제 $(A_{1},A_{2})\mapsto\operatorname{Hom}(A_{1},A_{2})$ 로 주어지는 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\times\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 이 실제로 함자라는 주장을 확인하십시오.

68.5 범주의 동치

작성 예정: 충실충만하고 본질적으로 전사임

68.6 (선택) 자연 변환

우리는 대상과 사상을 추적하기 위해 범주를 만들었고, 조금 무모하게도 “범주 사이의 사상은 무엇인가?”라고 물어 함자를 얻었습니다. 이제 “함자 사이의 사상은 무엇인가?”라고 물어 자연 변환을 얻겠습니다.

함자 사이에 화살표를 그린다는 것이 무섭게 들릴 수도 있지만, 이것은 사실 오래된 아이디어입니다. 두 경로 $\alpha,\beta\colon[0,1]\to X$ 가 주어졌을 때, 경로 $\alpha$ 를 $\beta$ 로 “연속적으로 변형”하여 경로 호모토피를 만들었던 것을 떠올려 보십시오. 이것은 함수 $[0,1]\times[0,1]\to X$ 로 볼 수 있었습니다. 자연 변환의 정의도 이와 비슷합니다. 우리는 목표 공간 $\mathcal{B}$ 안의 일련의 화살표를 따라 $F$ 를 $G$ 로 끌어당기고자 합니다.

정의 68.6.1.

$F,G\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 를 두 함자라고 합시다. $F$ 에서 $G$ 로 가는 자연 변환 $\alpha$ 는 다음과 같이 표기하며,

각 $A\in\mathcal{A}$ 에 대하여 화살표 $\alpha_{A}\in\operatorname{Hom}_{\mathcal{B}}(F(A),G(A))$ 로 이루어지고, 이를 $A$ 에서 $\alpha$ 의 성분이라고 부릅니다. 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

이 $\alpha_{A}$ 들은 임의의 $A_{1}\xrightarrow{f}A_{2}$ 에 대하여 다음 도식이

가환해야 한다는 “자연성” 조건을 만족해야 합니다.

화살표 $\alpha_{A}$ 는 $F(A)$ 가 $G(A)$ 에 도달하기 위해 따라가는 경로를 나타냅니다(마치 $\alpha$ 에서 $\beta$ 로 가는 경로 호모토피에서 각 점 $\alpha(t)$ 가 점 $\beta(t)$ 로 연속적으로 변형되는 것과 같습니다). 그림이 도움이 될 것입니다. 다음을 생각해 보십시오.

여기서 $\mathcal{A}$ 는 세 개의 원소와 항등 화살표가 아닌 두 화살표 $f$ , $g$ 를 갖는 작은 범주입니다(간단히 하기 위해 항등 화살표는 생략했습니다). $F$ 와 $G$ 에 의한 $\mathcal{A}$ 의 상은 $\mathcal{B}$ 의 파란색과 초록색 “부분범주”입니다. $\mathcal{B}$ 안에는 훨씬 더 많은 대상과 화살표(회색)가 있을 수 있다는 점에 유의하십시오. 자연 변환 $\alpha$ (빨간색)는 각 $F(A)$ 에서 대응하는 $G(A)$ 로 가는 $\mathcal{B}$ 의 화살표를 하나씩 골라, $F$ 의 상 전체를 $G$ 의 상으로 끌어옵니다. 마지막으로, 파란색, 빨간색, 초록색 화살표로 이루어진 모든 도식이 가환이기를(자연성) 요구하므로, 이 자연 변환은 진정으로 “자연스럽습니다”.

호모토피와 훨씬 더 비슷해 보이는, 동치인 두 번째 정의가 있습니다.

정의 68.6.2.

$\mathbf{2}$ 를 두 원소 $0\leq 1$ 을 갖는 부분순서집합으로 생성되는 범주라고 합시다. 즉,

그러면 자연 변환 는 다음을 만족하는 함자 $\alpha\colon\mathcal{A}\times\mathbf{2}\to\mathcal{B}$ 일 뿐입니다.

\alpha(A,0)=F(A),\;\;\alpha(f,0)=F(f)\quad\text{그리고}\quad\alpha(A,1)=G(A),\;\;% \alpha(f,1)=G(f).

더 간결하게 쓰면 $\alpha(-,0)=F$ , $\alpha(-,1)=G$ 입니다.

이 두 정의가 동치라는 것의 증명은 연습 문제로 남겨 둡니다.

당연히, 두 자연 변환 $\alpha\colon F\to G$ 와 $\beta\colon G\to H$ 는 합성할 수 있습니다.

이제 $\alpha$ 가 각 $A$ 에 대하여 $\alpha_{A}$ 가 동형사상인 자연 변환이라고 가정합시다. 이렇게 하면 이에 대한 역화살표 $\beta_{A}$ 를 구성할 수 있습니다.

이 경우 $\alpha$ 를 자연 동형사상이라고 합니다. 그러면 $F(A)\cong G(A)$ 가 $A$ 에 대하여 자연스럽게 성립한다고 말할 수 있습니다. (그리고 $\beta$ 도 동형사상입니다!) 이는 함자 $F$ 와 $G$ 가 “실제로 같다”는 뜻입니다. 즉, 대상 수준에서 동형일 뿐만 아니라 이 동형사상들이 “자연스럽기”까지 합니다. 이 때문에 두 함자가 자연 동형임을 뜻하기 위해 $F\cong G$ 라고도 씁니다.

이것이 바로 “자연스러운/표준적인 동형사상이 존재한다”라고 말할 때의 진정한 의미입니다. 예를 들어, 저는 앞에서(문제 15A에서) 표준적인 동형사상 $(V^{\vee})^{\vee}\cong V$ 가 존재한다고 주장하면서, “기저를 고를 필요가 없다”거나 “신이 주신 것”이라는 식으로 얼버무렸습니다. 놀랍게도 범주론을 사용하면 이것을 형식화할 수 있습니다. 이는 단지 $(V^{\vee})^{\vee}\cong\mathrm{id}(V)$ 가 $V\in\mathsf{FDVect}_{k}$ 에 대하여 자연스럽게 성립한다는 것을 말할 뿐입니다. 실제로 다음과 같은 자연 변환이 있습니다.

\lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 21.21251pt\hbox{\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\kern 0.0pt\offinterlineskip\halign{% \entry@#!@&&\entry@@#!@\cr&\crcr}}}\ignorespaces{\hbox{\kern-21.21251pt\raise 0% .0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt% \hbox{$\textstyle{\mathsf{FDVect}_{k}\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{{}{{}{{}{}{% }{{{{{}}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{% {}}{{}}{{}}}}}{}{{{}{}{}{{{{{}}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{% }}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}}}}}}{{}{}{}% \lx@xy@spline@}{}}}}\ignorespaces{}{}{}{{}{}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{% \kern 39.29585pt\raise 15.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.43056pt\hbox{$% \textstyle{\scriptstyle\mathrm{id}}$}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{}{}{}{{}{}% {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}}{\hbox{\kern 69.20963pt\raise 7.18292pt% \hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\hbox{\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{{}{{}{{}{}{}{{{{{}}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}% {{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}}}}{}{{{}{}{}{{{{{}}}{{}}{{}}{% {}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}% }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}}}}}}{{}{}{}\lx@xy@spline@}{}}}}\ignorespaces% {}{}{}{{}{}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 35.07362pt\raise-15.0pt% \hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.30556pt\hbox{$\textstyle{\scriptstyle(\bullet^% {\vee})^{\vee}}$}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{}{}{}{{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}% {}{}}{\hbox{\kern 77.35583pt\raise-4.94568pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0% pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\kern 45.21251pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0% .0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\hbox{{\hbox{\hbox{\kern 1.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \kern 0.0pt\hbox{\ignorespaces\hbox{\kern 0.0pt\raise 5.0pt\hbox{\hbox{\line@@% }}}}}}\hbox{\kern-1.0pt\raise 0.0pt\hbox{\kern 0.0pt\hbox{\ignorespaces\hbox{% \kern 0.0pt\raise 5.0pt\hbox{\hbox{\line@@}}}}}}}}{\hbox{\hbox{\kern 1.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\kern 0.0pt\hbox{\ignorespaces\hbox{\kern 0.0pt\raise 2.5pt% \hbox{\hbox{\line@@}}}}}}\hbox{\kern-1.0pt\raise 0.0pt\hbox{\kern 0.0pt\hbox{% \ignorespaces\hbox{\kern 0.0pt\raise 2.5pt\hbox{\hbox{\line@@}}}}}}}}{\hbox{% \kern 0.0pt\hbox{\ignorespaces\hbox{\kern 0.0pt\raise-5.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1.% 5}\lx@xy@tip{-1.5}}}}}}}}}}}}}{}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 45.1915% 3pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-1.50694pt\hbox{$\textstyle{% \scriptstyle\;\varepsilon}$}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 69.21251pt\raise 0.0% pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{% $\textstyle{\mathsf{FDVect}_{k}}$}}}}}}}\ignorespaces}}}}\ignorespaces.

여기서 성분 $\varepsilon_{V}$ 는 $v\mapsto\operatorname{ev}_{v}$ 로 주어집니다(앞에서 논의했듯이, 이것이 동형사상이라는 사실은 $V$ 와 $(V^{\vee})^{\vee}$ 의 차원이 같고 $\varepsilon_{V}$ 가 단사라는 사실로부터 따라 나옵니다).

또 다른 예는 비고 71.2.8에서 찾아볼 수 있습니다.

68.7 (선택) 요네다 보조정리

자연 변환을 정의했으므로, 이제 다음을 정의할 수 있습니다:

정의 68.7.1.

두 범주 $\mathcal{A}$ 와 $\mathcal{B}$ 의 함자 범주는 $[\mathcal{A},\mathcal{B}]$ 로 표기하며, 다음과 같이 정의됩니다:

•

$[\mathcal{A},\mathcal{B}]$ 의 대상은 (공변) 함자 $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 이고,
•

사상은 자연 변환 $\alpha\colon F\to G$ 입니다.

질문 68.7.2.

함자 범주의 두 대상은 언제 동형입니까?

이것으로 처음에 언급했던 마지막 예시를 완성할 수 있습니다:

연습문제 68.7.3.

다음 함자들을 구성합니다:

•

$A\mapsto H_{A}$ 로 정의되는 $\mathcal{A}\to[\mathcal{A}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}]$ 이며, 이를 $H_{\bullet}$ 이라 부릅니다.
•

$A\mapsto H^{A}$ 로 정의되는 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\to[\mathcal{A},\mathsf{Set}]$ 이며, 이를 $H^{\bullet}$ 이라 부릅니다.

어느 쪽이든 반대 범주가 나타난다는 점에 주목하십시오. $H^{A}$ 가 공변이라서 더 마음에 들더라도, 사상 $H^{\bullet}$ 은 반변입니다. 따라서 이후에서는 $H_{\bullet}$ 을 사용하는 편을 택하겠습니다.

이제 핵심적인 관찰은, 범주 $\mathcal{A}$ 가 주어지면 $H_{\bullet}$ 이 범주 $A$ 에 이미 “내장”되어 있는 몇몇 특별한 함자 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 를 제공한다는 것입니다. 이를 바탕으로 다음과 같이 정의합니다:

정의 68.7.4.

준층 $X$ 는 단순히 반변 함자 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 입니다. 어떤 $A$ 에 대해 $X\cong H_{A}$ 이면 $X$ 를 표현 가능하다고 합니다.

다시 말해, 표현 가능성을 생각할 때 우리가 던지는 질문은 다음과 같습니다:

어떤 종류의 준층이 범주 $\mathcal{A}$ 에 이미 “내장”되어 있습니까?

이 질문에 접근하는 한 가지 방법은 다음과 같습니다. 준층 $X$ 와 특정한 $H_{A}$ 가 주어지면, 자연 변환 $\alpha\colon X\implies H_{A}$ 들의 집합을 살펴보고 그로부터 무언가를 알아낼 수 있는지 볼 수 있습니다. 사실 이 집합은 명시적으로 쓸 수 있습니다:

정리 68.7.5 (요네다 보조정리).

$\mathcal{A}$ 를 범주라 하고, $A\in\mathcal{A}$ 를 택하고, $H_{A}$ 를 반변 요네다 함자라 합시다. $X\colon\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 를 반변 함자라 합시다. 그러면 사상

\left\{\text{자연 변환}\lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 9.70557pt\hbox{% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\kern 0.0pt% \offinterlineskip\halign{\entry@#!@&&\entry@@#!@\cr&\crcr}}}\ignorespaces{% \hbox{\kern-9.70557pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\mathcal{A}^{\mathrm{op}}% \ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\hbox{\hbox{% \kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{{}{{}{{}{}{}{{{{{}}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{% {}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}}}}{}{{{}{}{}{{{{{}}}{{}}{{% }}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}% {{}}{{}}{{}}}}}}}{{}{}{}\lx@xy@spline@}{}}}}\ignorespaces{}{}{}{{}{}}% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 26.13127pt\raise 15.0pt\hbox{\hbox{% \kern 3.0pt\raise-1.70833pt\hbox{$\textstyle{\scriptstyle H_{A}}$}}}}}% \ignorespaces\ignorespaces{}{}{}{{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}}{\hbox{% \kern 57.7074pt\raise 5.01488pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{{}{{}{{}{}{}{{{{{}}}{{}}% {{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}}}% }{}{{{}{}{}{{{{{}}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}% }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}}}}}}{{}{}{}\lx@xy@spline@}{}}}}% \ignorespaces{}{}{}{{}{}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 27.65071pt% \raise-15.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.39166pt\hbox{$\textstyle{% \scriptstyle X}$}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{}{}{}{{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}% {}{}{}{}{}{}{}{}{}}{\hbox{\kern 62.12546pt\raise-2.99985pt\hbox{\hbox{\kern 0.% 0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{}\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 33.82501pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0% .0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\hbox{{\hbox{\hbox{\kern 1.0pt\raise 0.% 0pt\hbox{\kern 0.0pt\hbox{\ignorespaces\hbox{\kern 0.0pt\raise 5.0pt\hbox{% \hbox{\line@@}}}}}}\hbox{\kern-1.0pt\raise 0.0pt\hbox{\kern 0.0pt\hbox{% \ignorespaces\hbox{\kern 0.0pt\raise 5.0pt\hbox{\hbox{\line@@}}}}}}}}{\hbox{% \hbox{\kern 1.0pt\raise 0.0pt\hbox{\kern 0.0pt\hbox{\ignorespaces\hbox{\kern 0% .0pt\raise 2.5pt\hbox{\hbox{\line@@}}}}}}\hbox{\kern-1.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \kern 0.0pt\hbox{\ignorespaces\hbox{\kern 0.0pt\raise 2.5pt\hbox{\hbox{\line@@% }}}}}}}}{\hbox{\kern 0.0pt\hbox{\ignorespaces\hbox{\kern 0.0pt\raise-5.0pt% \hbox{\lx@xy@tip{1.5}\lx@xy@tip{-1.5}}}}}}}}}}}}}{}\ignorespaces\ignorespaces{% \hbox{\kern 33.19719pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-1.50694pt\hbox% {$\textstyle{\scriptstyle\;\alpha}$}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 57.70557pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0% .0pt\hbox{$\textstyle{\mathsf{Set}}$}}}}}}}\ignorespaces}}}}\ignorespaces% \right\}\to X(A)

$\alpha\mapsto\alpha_{A}(\mathrm{id}_{A})\in X(A)$ 로 정의된 이 사상은 $\mathsf{Set}$ 의 동형사상(즉 전단사)입니다. 더 나아가, 등식의 양변을 함자로 보면

\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\times[\mathcal{A}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}]\to% \mathsf{Set}

이 동형사상은 자연적입니다.

이는 처음 보면 놀라울 수 있습니다. 이것이 그리 터무니없지 않은 이유에 대해 다소 불만족스러운 설명을 하나 드리겠습니다. 범주론에는 “자연스럽게 구성된 같은 유형의 두 대상은 아마도 같다”는 경험 법칙이 있습니다. 이 주제는 함자와 자연 변환을 정의할 때, 심지어 단순히 합성을 정의할 때에도 볼 수 있었습니다. 이제 자연 변환들의 집합을 살펴보기 위해, 우리는 원소 쌍 $A\in\mathcal{A}$ 와 $X\in[\mathcal{A}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}]$ 를 택하여 자연 변환들의 집합을 구성했습니다. 이 두 정보로부터 집합을 얻는 다른 방법이 있습니까? 있습니다. 바로 $X(A)$ 를 보면 됩니다. 요네다 보조정리는 우리의 이 경험 법칙이 여기서도 여전히 성립함을 말해 줍니다.

요네다 보조정리의 몇 가지 따름정리가 [LEI14]에 기록되어 있습니다. 이 장이 이미 다소 길어졌으므로, 여기서는 명제만 적고 증명은 [LEI14]를 참고하시도록 하겠습니다.

1.

앞서 언급했듯이, $H^{\bullet}$ 은 다음 함자를 제공합니다

$\mathcal{A}\to[\mathcal{A}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}].$

사실 이 함자는 충실충만하다는 것이 밝혀집니다. 즉, 이 함자는 말 그대로 범주 $\mathcal{A}$ 를 오른쪽의 함자 범주 안으로 매장합니다(케일리 정리가 모든 군을 순열군 안으로 매장하는 것과 매우 비슷합니다).
2.
$X,Y\in\mathcal{A}$ 이면 다음이 성립합니다.

$H_{X}\cong H_{Y}\iff X\cong Y\iff H^{X}\cong H^{Y}.$

이것이 왜 예상되는 결과인지 알아보기 위해, 구체적으로 $\mathcal{A}=\mathsf{Grp}$ 인 경우를 생각해 봅시다. $A$ , $X$ , $Y$ 가 모든 $A$ 에 대하여 $H_{X}(A)\cong H_{Y}(A)$ 를 만족하는 군이라고 가정합시다. 예를 들어,
- •
  
  $A=\mathbb{Z}$ 이면 $\left\lvert X\right\rvert=\left\lvert Y\right\rvert$ 입니다.
- •
  
  $A=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 이면 $X$ 와 $Y$ 는 위수가 $2$ 인 원소를 같은 개수만큼 가집니다.
- •
  
  …
각각의 $A$ 는 $X$ 와 $Y$ 가 어떻게 비슷한지에 관한 정보를 조금씩 알려 줍니다. 하지만 자연 동형사상 전체는 $X\cong Y$ 를 함의할 만큼 강력합니다.
3.

공변 망각 함자 $U\colon\mathsf{Grp}\to\mathsf{Set}$ 를 생각해 봅시다.⁴⁴4사실은 쌍대 버전을 적용해야 합니다. 정리 68.7.5는 반변 함자를 사용합니다. 이 함자는 다음이 성립한다는 의미에서 $H^{\mathbb{Z}}$ 로 표현될 수 있습니다.

$\operatorname{Hom}_{\mathsf{Grp}}(\mathbb{Z},G)\cong U(G)\qquad\text{에 의해}% \qquad\phi\mapsto\phi(1).$

즉, $G$ 의 원소들은 사상 $\mathbb{Z}\to G$ 들과 전단사 대응을 이루며, 이 대응은 $+1$ (원한다면 $-1$ )의 상으로 결정됩니다. 따라서 $U$ 의 표현은 $\mathbb{Z}$ 를 살펴보고 $+1\in U(\mathbb{Z})$ 를 고르는 것으로 결정되었습니다.

이를 일반화하면 다음과 같습니다. $\mathcal{A}$ 가 범주이고 $X\colon\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 이 공변 함자라고 합시다. 그러면 표현 $H^{A}\cong X$ 는 어떤 조건을 만족하는 대상 $A\in\mathcal{A}$ 와 원소 $u\in X(A)$ 로 이루어집니다. 정리 68.7.5에서 역사상이 무엇인지 안다면 이 조건⁵⁵5완비성을 위해 적어 두면, 조건은 다음과 같습니다. 모든 $A^{\prime}\in\mathcal{A}$ 와 $x\in X(A^{\prime})$ 에 대하여 $(Xf)(u)=x$ 를 만족하는 $f\colon A\to A^{\prime}$ 가 유일하게 존재합니다. 을 읽어낼 수 있습니다. 위의 상황에서는 $X=U$ , $A=\mathbb{Z}$ , $u=\pm 1$ 입니다.

68.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 68A.

자연 변환의 두 정의(하나는 $\mathcal{A}\times\mathbf{2}\to\mathcal{B}$ 를 이용한 정의이고, 다른 하나는 화살표 $F(A)\xrightarrow{\alpha_{A}}G(A)$ 를 이용한 정의)가 동치임을 보이십시오.

힌트. 범주 $\mathcal{A}\times\mathbf{2}$ 에는 “중복된 화살표”가 있습니다.

풀이. 핵심은 $\mathcal{A}\times\mathbf{2}$ 에 $\mathcal{A}$ 안의 화살표( $(f,\mathrm{id}_{\mathbf{2}})$ 꼴)가 있고, 그다음으로 $\mathcal{A}$ 의 두 복사본을 가로지르는 화살표( $(\mathrm{id}_{A},0\leq 1)$ 꼴)가 있다는 점입니다. 그 밖에도 화살표 $(f,0\leq 1)$ 가 더 있지만, 이들은 다음과 같은 합성으로 생각할 수 있습니다.

$(f,0\leq 1)=(f,\mathrm{id}_{\mathbf{2}})\circ(\mathrm{id}_{A},0\leq 1)=(% \mathrm{id}_{A},0\leq 1)\circ(f,\mathrm{id}_{\mathbf{2}}).$

이제 함자 $\alpha\colon\mathcal{A}\times\mathbf{2}\to\mathcal{B}$ 를 지정하려면 이 두 가지 더 기본적인 것이 각각 어디로 가는지만 지정하면 됩니다. $\alpha$ 에 대한 조건으로부터 이미 $(f,\mathrm{id}_{\mathbf{2}})$ 는 $F(f)$ 또는 $G(f)$ 로 보내져야 함을 알 수 있습니다(위의 화살표가 $\mathcal{A}\times\{0\}$ 에 있는지 $\mathcal{A}\times\{1\}$ 에 있는지에 따라 다릅니다). 그리고 화살표 $(\mathrm{id}_{A},0\leq 1)$ 를 지정하는 것은 $A$ 번째 성분을 지정하는 것과 같습니다. 그렇다면 자연성은 어디에서 등장합니까?

위의 논의는 일반적인 범주의 곱에도 그대로 적용됩니다. 일반적인 화살표 $(f,g)=(f,\mathrm{id})\circ(\mathrm{id},g)=(\mathrm{id},g)\circ(f,\mathrm{id})$ 를 얻으려면 사실상 $(f,\mathrm{id})$ 화살표와 $(\mathrm{id},g)$ 화살표만 생각하면 됩니다.

문제 68B.

$\mathcal{A}$ 를 유한집합들의 범주로 두되, 화살표는 집합 사이의 전단사로 둡니다. $A\in\mathcal{A}$ 에 대하여 $F(A)$ 를 $A$ 의 순열들의 집합이라 하고, $G(A)$ 를 $A$ 위의 순서 매기기들의 집합이라 합시다.⁶⁶6순열은 전단사 $A\to A$ 이고, 순서 매기기는 전단사 $\{1,\dots,n\}\to A$ 입니다. 여기서 $n$ 은 $A$ 의 크기입니다.

(a)

$F$ 와 $G$ 를 함자 $\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 로 확장하십시오.
(b)

모든 $A$ 에 대하여 $F(A)\cong G(A)$ 이지만, 이 동형사상은 자연스럽지 않음을 보이십시오.

문제 68C (요네다 보조정리 증명).

정리 68.7.5의 맥락에서 다음을 보이십시오.

(a)

설명한 사상이 실제로 전단사임을 증명하십시오. (이를 위해서는 아마 역사상을 명시적으로 적어야 할 것입니다.)
(b) ^†^†margin:

이 전단사가 실제로 자연스러움을 증명하십시오. (과정은 길지만 어렵지는 않습니다. 처음부터 끝까지 할 수 있는 일은 단 하나뿐입니다.)