장 68 함자와 자연 변환

함자는 범주 사이의 사상이며, 자연 변환은 함자 사이의 사상입니다.

68.1 함자의 여러 예

대표적인 예: 망각 함자; 기본군; $\bullet^{\vee}$ .

함자의 핵심은 다음과 같습니다:

어떤 대상으로부터 다른 대상을 만들어낼 때마다, 거의 항상 함자를 얻게 됩니다.

형식적인 정의를 드리기 전에, (비형식적으로) 몇 가지 예를 나열해 보겠습니다. (몇몇 경우에는 반대 범주 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}$ 가 곳곳에 등장하는 것을 눈치채실 것입니다. 지금은 그것에 대해 걱정하지 마십시오; 잠시 후에 왜 그런지 보시게 될 것입니다.)

•

군 $G$ (또는 벡터 공간, 체, …)가 주어지면, 우리는 그 바탕이 되는 집합 $S$ 를 취할 수 있습니다. 이는 $\mathsf{Grp}\to\mathsf{Set}$ 로 가는 함자입니다.
•

집합 $S$ 가 주어지면, $S$ 를 기저로 갖는 벡터 공간을 생각할 수 있습니다; 이는 $\mathsf{Set}\to\mathsf{Vect}$ 로 가는 함자입니다.
•

벡터 공간 $V$ 가 주어지면, 그 쌍대 공간 $V^{\vee}$ 를 생각할 수 있습니다. 이는 함자 $\mathsf{Vect}_{k}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Vect}_{k}$ 입니다.
•

텐서곱은 $\mathsf{Vect}_{k}\times\mathsf{Vect}_{k}\to\mathsf{Vect}_{k}$ 로 가는 함자를 줍니다.
•

집합 $S$ 가 주어지면, 그 멱집합을 만들 수 있으며, 이는 함자 $\mathsf{Set}\to\mathsf{Set}$ 를 줍니다.
•

대수적 위상수학에서는, 위상 공간 $X$ 를 취하여 이와 관련된 여러 군 $H_{1}(X)$ , $\pi_{1}(X)$ 등을 만듭니다. 이러한 모든 군 구성은 함자 $\mathsf{Top}\to\mathsf{Grp}$ 입니다.
•
준동형사상들의 집합: $\mathcal{A}$ 를 범주라 합시다.
- –
  
  $k$ 위의 두 벡터 공간 $V_{1}$ 과 $V_{2}$ 가 주어지면, 선형 사상 $V_{1}\to V_{2}$ 들의 아벨 군을 구성할 수 있습니다. 이는 $\mathsf{Vect}_{k}^{\mathrm{op}}\times\mathsf{Vect}_{k}\to\mathsf{AbGrp}$ 로 가는 함자입니다.
- –
  
  더 일반적으로, 임의의 범주 $\mathcal{A}$ 에 대해 대상들의 쌍 $(A_{1},A_{2})$ 를 취하여 집합 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A_{1},A_{2})$ 를 얻을 수 있습니다. 이는 함자 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\times\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 임이 밝혀집니다.
- –
  
  위의 연산에는 두 개의 ”자리”가 있습니다. 첫 번째 자리를 ”미리 채우면”, 함자 $\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 를 얻게 됩니다. 즉, $A\in\mathcal{A}$ 를 고정함으로써, $A^{\prime}\in\mathcal{A}$ 를 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A,A^{\prime})$ 로 보내는 함자(이를 $H^{A}$ 라 부릅니다)를 $\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 로부터 얻습니다. 이를 공변 요네다 함자라 부릅니다(나중에 설명합니다).
- –
  
  위에서 보았듯이, 모든 $A\in\mathcal{A}$ 에 대해 함자 $H^{A}\colon\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 를 얻습니다. 원소가 함자 $\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 들인 범주 $[\mathcal{A},\mathsf{Set}]$ 를 구성할 수 있음이 밝혀지며, 이 경우 이제 함자 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\to[\mathcal{A},\mathsf{Set}]$ 를 갖게 됩니다.

그렇다면, 이제 함자가 아닌 몇 가지 예를 살펴보겠습니다. ” $F$ 는 함자이다” (다시 말해, ” $F$ 는 함자적이다”)라고 말하는 정리를 보게 될 때, 이를 ”이 정리는 자명하다”가 아니라 ” $F$ 는 그 배후에 깊이 숨겨진 대칭성을 가지고 있다! 이는 매우 근사한 일이다!”로 읽으시라는 취지입니다.

그 깊은 대칭성이란 무엇일까요? 계속 읽어 보십시오.

•

군 $G$ 가 주어지면, 그 자기동형사상군 $\operatorname{Aut}(G)$ 를 만들 수 있습니다. 하지만 이는 어떠한 자연스러운 방식으로도 함자가 아닙니다.
•

군 $G$ 가 주어지면, 그 중심 $Z(G)$ , 즉 $G$ 의 모든 원소와 교환하는 $G$ 의 원소들의 집합을 만들 수 있습니다. 이 역시 어떠한 자연스러운 방식으로도 함자가 아닙니다.¹¹1함자의 성질—특히 항등 사상이 항등 사상으로 보내진다는 점—에 기반하여 반례를 찾는 것은 쉽습니다. 증명은 https://math.stackexchange.com/q/158438을 참고하십시오.
•

위에서 본 쌍대 공간을 취하는 연산은 반변 함자 $\mathsf{Vect}_{k}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Vect}_{k}$ 이지만, 공변 함자 $\mathsf{Vect}_{k}\to\mathsf{Vect}_{k}$ 는 아닙니다. (반변 함자가 무엇인지는 지금은 걱정하지 마십시오.)

68.2 공변 함자

대표적인 예: 망각 함자/자유 함자, …

범주론자들은 늘 “사상은 무엇인가?”라고 묻으며, 이제 우리는 범주 사이의 사상에 대해 생각해 볼 수 있습니다.

정의 68.2.1.

$\mathcal{A}$ 와 $\mathcal{B}$ 를 범주라고 합시다. 물론 함자 $F$ 는 $\mathcal{A}$ 의 모든 대상을 $\mathcal{B}$ 의 대상으로 보냅니다. 하지만 이에 더해, 모든 화살표 $A_{1}\xrightarrow{f}A_{2}$ 를 화살표 $F(A_{1})\xrightarrow{F(f)}F(A_{2})$ 로 보내야 합니다. 이를 다음과 같이 그림으로 나타낼 수 있습니다.

(강조를 위해 서로 다른 범주를 가로지르는 함자에는 점선 화살표를 사용하도록 하겠습니다.) 함자는 다음의 “자연성” 요구 조건을 만족해야 합니다:

•

항등 화살표는 항등 화살표로 보내집니다: 각 항등 화살표 $\mathrm{id}_{A}$ 에 대해, $F(\mathrm{id}_{A})=\mathrm{id}_{F(A)}$ 가 성립합니다.
•

함자는 합성을 보존합니다: $A_{1}\xrightarrow{f}A_{2}\xrightarrow{g}A_{3}$ 가 $\mathcal{A}$ 의 화살표라면, $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ 가 성립합니다.

그러므로 아이디어는 다음과 같습니다:

$\mathcal{A}$ 의 대상 $A\in\mathcal{A}$ 을 $\mathcal{B}$ 의 대상 $B\in\mathcal{B}$ 으로 자연스럽게 대응시킬 때마다, 대개 사상 $A_{1}\to A_{2}$ 를 사상 $B_{1}\to B_{2}$ 로 변환하는 자연스러운 방법이 존재합니다.

이에 대한 몇 가지 예시를 살펴봅시다.

예제 68.2.2 (자유 함자와 망각 함자).

이 둘 다 비공식적인 용어이며, 엄밀한 정의를 가지지 않는다는 점에 유의하십시오.

(a)

앞서 망각 함자에 대해 이야기했는데, 이는 $\mathsf{Vect}_{k}$ 와 같은 범주의 기저 집합을 취하는 함자입니다. 이를 $U\colon\mathsf{Vect}_{k}\to\mathsf{Set}$ 라고 부르도록 합시다.

이제, $\mathsf{Vect}_{k}$ 의 사상 $T\colon V_{1}\to V_{2}$ 가 주어지면, $T$ 에 대응하는 집합론적 사상일 뿐인 명백한 사상 $U(T)\colon U(V_{1})\to U(V_{2})$ 가 존재합니다.

마찬가지로 $\mathsf{Grp}$ , $\mathsf{CRing}$ 등에서 $\mathsf{Set}$ 으로 가는 망각 함자들이 있습니다. 심지어 $\mathsf{CRing}\to\mathsf{Grp}$ 인 망각 함자도 있습니다: 환 $R$ 을 아벨 군 $(R,+)$ 로 보내는 것입니다. 공통된 주제는 원래 범주로부터 구조를 “망각”하고 있다는 점입니다.
(b)

예시에서 자유 함자에 대해서도 이야기했습니다. 자유 함자 $F\colon\mathsf{Set}\to\mathsf{Vect}_{k}$ 는 $F(S)$ 를 기저가 $S$ 인 벡터 공간으로 간주함으로써 얻을 수 있습니다. 이제, 사상 $f\colon S\to T$ 가 주어지면, $F(S)\to F(T)$ 인 명백한 사상은 무엇일까요? 간단합니다: 각 기저 원소 $s\in S$ 를 기저 원소 $f(s)\in T$ 로 보내면 됩니다.

마찬가지로, 집합 $S$ 에 의해 생성된 자유 군을 취함으로써 $F\colon\mathsf{Set}\to\mathsf{Grp}$ 를 정의할 수 있습니다.

비고 68.2.3.

함자에 대해서도 (화살표에 관한) “단사”와 “전사”라는 개념이 다음과 같이 존재합니다. 함자 $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 는, 임의의 $A_{1},A_{2}$ 에 대해 $F\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A_{1},A_{2})\to\operatorname{Hom}_{% \mathcal{B}}(FA_{1},FA_{2})$ 가 단사(각각, 전사)일 때 충실(각각, 충만)하다고 합니다.²²2다시 말하지만, 전문가라면 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A_{1},A_{2})$ 나 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{B}}(FA_{1},FA_{2})$ 가 집합이 아니라 고유 모임일 수 있다고 반론할 수 있겠으나, 여기서는 모든 것이 국소적으로 작다고 가정하겠습니다.

이를 이용해 구체적 범주의 정확한 정의를 내릴 수 있습니다: 이는 충실한 (망각) 함자 $U\colon\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 를 갖는 범주입니다.

예제 68.2.4 ( $\mathcal{G}$ 로부터의 함자).

$G$ 를 군이라 하고, $\mathcal{G}=\{\ast\}$ 를 그에 대응하는 한 대상 범주라고 합시다.

(a)

함자 $F\colon\mathcal{G}\to\mathsf{Set}$ 를 생각하고, $S=F(\ast)$ 라고 합시다. 그러면 $F$ 의 자료는 $S$ 에 대한 $G$ 의 군 작용을 부여하는 것에 대응합니다.
(b)

함자 $F\colon\mathcal{G}\to\mathsf{FDVect}_{k}$ 를 생각하고, $V=F(\ast)$ 가 차원 $n$ 을 가진다고 합시다. 그러면 $F$ 의 자료는 $G$ 를 $n\times n$ 행렬들(즉, 선형 사상 $V\to V$ 들)의 부분군으로 매장하는 것에 대응합니다. 이는 역사적으로 군이 등장하게 된 한 가지 방식이며, 군을 행렬로 보는 이론이 표현론이라는 분야를 이룹니다.
(c)

$H$ 를 군이라 하고 같은 방식으로 $\mathcal{H}$ 를 구성합시다. 그러면 함자 $\mathcal{G}\to\mathcal{H}$ 는 준동형사상 $G\to H$ 에 대응합니다.

연습문제 68.2.5.

위의 군에 기반한 함자들이 광고한 대로 작동하는지 확인해 보십시오.

좀 더 복잡한 예시를 들어보겠습니다. 만약 헷갈린다면, 건너뛰었다가 이것의 반변 버전에 대해 읽은 뒤 다시 돌아오십시오.

예제 68.2.6 (공변 요네다 함자).

$A\in\mathcal{A}$ 하나를 고정합니다. 범주 $\mathcal{A}$ 에 대해,

H^{A}(A_{1})\coloneqq\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A,A_{1})\in\mathsf{Set}.

로 정의함으로써 공변 요네다 함자 $H^{A}\colon\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 를 정의합니다. 따라서 각 $A_{1}$ 은 $A$ 에서 $A_{1}$ 로 가는 화살표로 보내집니다; 즉 $H^{A}$ 는 $A$ 가 세상을 어떻게 보는지를 설명합니다.

이제 $H^{A}$ 가 화살표에 대해 어떻게 작동하는지 명시하고자 합니다. 각 화살표 $A_{1}\xrightarrow{f}A_{2}$ 에 대해, $\mathsf{Set}$ -사상 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A,A_{1})\to\operatorname{Hom}(A,A_{2})$ 를 명시해야 합니다; 다시 말해, 화살표 $A\xrightarrow{p}A_{1}$ 을 화살표 $A\to A_{2}$ 로 보내야 합니다. 이를 수행하는 합리적인 방법은 오직 하나뿐입니다: 합성을 취하는 것입니다

A\xrightarrow{p}A_{1}\xrightarrow{f}A_{2}.

다시 말해, $H^{A}(f)$ 는 $p\mapsto f\circ p$ 입니다. 또 다르게 말하면, $H^{A}(f)=f\circ-$ 입니다; 여기서 $-$ 는 입력값이 들어갈 자리입니다.

또 다른 예로:

질문 68.2.7.

$\mathcal{P}$ 와 $\mathcal{Q}$ 가 범주로 해석된 순서집합이라면, $\mathcal{P}$ 에서 $\mathcal{Q}$ 로 가는 함자는 무엇을 나타냅니까?

이제 우리가 왜 이것에 관심을 가져야 하는지 설명하겠습니다. 다음의 ”당연한” 사실을 생각해 봅시다: $G$ 와 $H$ 가 동형인 군이라면, 이들은 크기가 같습니다. 이를 다음과 같이 형식화할 수 있습니다: $\mathsf{Grp}$ 에서 $G\cong H$ 이고 $U\colon\mathsf{Grp}\to\mathsf{Set}$ 이 망각 함자(각 군을 그 기초 집합으로 보내는 함자)라면, $U(G)\cong U(H)$ 입니다. 범주론의 아름다움이 여기서 드러납니다: 이는 사실 임의의 함자와 범주에 대해서도 성립하며, 그 증명은 오직 화살표만으로 이루어집니다:

정리 68.2.8 (함자는 동형사상을 보존합니다).

$A_{1}\cong A_{2}$ 가 $\mathcal{A}$ 에서 동형인 대상이고 $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 가 함자라면 $F(A_{1})\cong F(A_{2})$ 입니다.

증명.

직접 시도해 보십시오! 그림은 다음과 같습니다:

함자의 두 가지 핵심 성질을 모두 사용해야 합니다: 함자는 합성과 항등 사상을 보존한다는 것입니다. ∎

이는 앞으로 우리에게 훌륭한 직관을 줄 것입니다, 왜냐하면

(i)

우리가 평생 수행하는 거의 모든 연산은 함자일 것이며, 그리고
(ii)

우리는 이제 함자가 동형인 대상을 동형인 대상으로 보낸다는 것을 알고 있습니다.

따라서 우리는 이제 자동으로, 우리가 수행하는 거의 모든 ”합리적인” 연산이 동형을 보존한다는 것을 알게 됩니다(여기서 ”합리적”이라는 것은 그것이 함자라는 것을 의미합니다). 이는 예를 들어 대수적 위상수학에서 매우 유용합니다; 정리 65.6.2를 참고하십시오, 거기서 우리는 호모토픽한 공간들이 동형인 기본군을 가진다는 것을 공짜로 얻습니다.

비고 68.2.9.

이를 통해 대상이 범주이고 화살표가 함자인 범주 $\mathsf{Cat}$ 을 구성할 수 있습니다.

68.3 대상의 색인 족으로서의 공변 함자

함자를 함수로 보는 대신, 때로는 함자를 대상(또는 대상의 족)으로 보는 것이 더 편리합니다.

집합 $A$ 와 $B$ 에 대해, 때로는 표기법 $A^{B}$ 가 $B$ 에서 $A$ 로 가는 모든 함수의 집합인 $\operatorname{Hom}(B,A)$ 를 나타내는 데 사용됩니다. 이 표기법이 자연스러운 이유는, 유한 집합 $A$ 와 $B$ 에 대해 $|\operatorname{Hom}(B,A)|=|A|^{|B|}$ 이기 때문입니다.

그렇긴 하지만, 곱집합 $A\times A$ 도 때로는 $A^{2}$ 로 표기됩니다. 이들 사이에 관계가 있습니까?

물론입니다! 집합 $\textbf{2}=\{0,1\}$ (또는 원소가 두 개인 임의의 집합)을 정의합니다. 그러면 $|\textbf{2}|=2$ 입니다. $A^{2}$ 와 $\operatorname{Hom}(\textbf{2},A)$ 사이에 대응이 있음을 확인하는 것은 어렵지 않습니다.

이제 $\mathcal{A}$ 를 범주라 합시다. 범주 $\mathcal{A}\times\mathcal{A}=\mathcal{A}^{2}$ 를 자명한 방식으로 정의합니다:

•

$\mathcal{A}^{2}$ 의 대상은 $A_{1},A_{2}\in\mathcal{A}$ 인 대상의 쌍 $(A_{1},A_{2})$ 입니다,
•

사상은 사상의 쌍입니다…

연습문제 68.3.1.

$X,Y\in\mathsf{Top}$ 에 대해, 곱공간 $X\times Y\in\mathsf{Top}$ 을 정의할 수 있습니다. 이는 함자 $\mathsf{Top}^{2}\to\mathsf{Top}$ 을 줍니다. 이를 확인하십시오. ( $\mathsf{Top}^{2}$ 에서의 사상 쌍 $(f,g):(X_{1},Y_{1})\to(X_{2},Y_{2})$ 로부터, 어떻게 사상 $X_{1}\times Y_{1}\to X_{2}\times Y_{2}$ 를 얻습니까? 이 사상이 연속임을, 즉 실제로 $\mathsf{Top}$ 에서의 사상임을 확인하십시오.)

위와 유사하게, $\mathcal{A}^{2}$ 의 각 대상은 어떤 함수 $f\colon 2\to\mathcal{A}$ 에 대응해야 합니다. 하지만 함수의 공역은 대상이어야 하는데… $\mathcal{A}$ 는 범주이므로, $f$ 는 함자여야 합니다!

그래서 우리는 범주 $\mathsf{2}$ 를 만들 수 있고, $F\colon\mathsf{2}\to\mathcal{A}$ 를 갖게 됩니다. 우리가 원하는 바를 만족하도록 $\mathsf{2}$ 를 정의하는 합리적인 방법은 오직 하나뿐입니다:³³3이는 나중에 자연 변환을 위해 정의할 범주 2와는 다릅니다! 주의하십시오.

•

대상은 $\{0,1\}$ 입니다;
•

$\mathrm{id}_{0}$ 과 $\mathrm{id}_{1}$ 을 제외하고는 사상이 없습니다.

더 일반적으로,

함자 $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 는 대상들의 인덱스 모음 $\{B_{A}\in\mathcal{B}\}_{A\in\mathcal{A}}$ 로 볼 수 있습니다.

이는 전층(presheaf)의 경우 가장 쉽게 확인할 수 있습니다: ”반변 함자 $\operatorname{OpenSets}(X)^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Rings}$ ”란 ” $X$ 의 열린집합으로 인덱스된, 어떤 좋은 조건을 만족하는 환들의 모임”을 의미합니다.

실제로 $\mathcal{A}^{2}$ 가 범주인 것처럼, 함자 $\mathsf{2}\to\mathcal{A}$ 들 또한 범주를 이룹니다. 이는 절 68.7에서 살펴보겠습니다.

68.4 반변 함자

대표적인 예: 쌍대 공간, 반변 요네다 함자 등

이제 앞서 반대 범주가 무엇을 하고 있었는지 설명해야겠습니다. 앞선 모든 예시에서, 우리는 화살표 $A_{1}\to A_{2}$ 를 취하면 그것이 화살표 $F(A_{1})\to F(A_{2})$ 가 되었습니다. 그러나 때로는 화살표가 실제로 반대 방향으로 가기도 합니다: 대신 화살표 $F(A_{2})\to F(A_{1})$ 을 얻게 됩니다. 다시 말해, 단순히 함자 $\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 를 얻는 대신 함자 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\to\mathcal{B}$ 를 얻게 됩니다.

이러한 함자들에는 이름이 있습니다:

정의 68.4.1.

$\mathcal{A}$ 에서 $\mathcal{B}$ 로 가는 반변 함자란 함자 $F\colon\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\to\mathcal{B}$ 를 말합니다. (혼동을 줄 수 있으므로 ”반변 함자 $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ ”라고는 쓰지 않는다는 점에 유의하십시오; 함수 표기법은 항상 올바른 정의역과 공역을 사용합니다.)

그림으로 나타내면:

강조를 위해, 보통의 함자는 종종 공변 함자라고 불립니다. (”함자”라는 단어는 별다른 수식어가 없으면 항상 공변 함자를 가리킵니다.)

이런 일이 왜 일어날 수 있는지 살펴봅시다.

예제 68.4.2 ( $V\mapsto V^{\vee}$ 는 반변적입니다).

$V\mapsto V^{\vee}$ 에 의한 함자 $\mathsf{Vect}_{k}\to\mathsf{Vect}_{k}$ 를 생각해 봅시다.

만약 우리가 공변 함자를 명시하려 한다면, 모든 선형 사상 $T\colon V_{1}\to V_{2}$ 에 대해 선형 사상 $T^{\vee}\colon V_{1}^{\vee}\to V_{2}^{\vee}$ 가 필요할 것입니다. 하지만 $V_{1}^{\vee}=\operatorname{Hom}(V_{1},k)$ 이고 $V_{2}^{\vee}=\operatorname{Hom}(V_{2},k)$ 임을 상기해 보십시오: 왼쪽에서 오른쪽으로 가는 명백한 사상을 얻을 쉬운 방법이 없습니다.

하지만 오른쪽에서 왼쪽으로 가는 명백한 사상은 존재합니다: $\xi_{2}\colon V_{2}\to k$ 가 주어지면, $V_{1}\to k$ 로 가는 사상을 쉽게 줄 수 있습니다: 그냥 $T$ 와 합성하면 됩니다! 다시 말해, 다음 합성에 따라 $V_{2}^{\vee}\to V_{1}^{\vee}$ 로 가는 매우 자연스러운 사상이 존재합니다

요약하면, 사상 $T\colon V_{1}\to V_{2}$ 는 반대 방향으로 사상 $T^{\vee}\colon V_{2}^{\vee}\to V_{1}^{\vee}$ 를 자연스럽게 유도합니다. 따라서 반변 함자는 다음과 같은 모습입니다:

위 예시는 체 $k$ 를 선택된 임의의 대상 $A\in\mathcal{A}$ 로 바꾸어 임의의 범주에서 일반화할 수 있습니다.

예제 68.4.3 (반변 요네다 함자).

$\mathcal{A}$ 위의 반변 요네다 함자(contravariant Yoneda functor) $H_{A}\colon\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 는 $\mathcal{A}$ 의 대상들이 $A$ 를 어떻게 보는지 기술하는 데 사용됩니다. 각 $X\in\mathcal{A}$ 에 대해

H_{A}(X)\coloneqq\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(X,A)\in\mathsf{Set}.

로 둡니다. $\mathcal{A}$ 에서 $X\xrightarrow{f}Y$ 에 대해, 사상 $H_{A}(f)$ 는 각 화살표 $Y\xrightarrow{p}A\in\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(Y,A)$ 를 다음으로 보냅니다:

X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{p}A\quad\in\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(X,A)

위에서 했던 것처럼 말입니다. 따라서 $H_{A}(f)$ 는 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(Y,A)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(X,A)$ 로 가는 사상입니다. (뒤집힘에 주목하십시오!)

연습문제 68.4.4.

$\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\times\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 가 $(A_{1},A_{2})\mapsto\operatorname{Hom}(A_{1},A_{2})$ 로 정의될 때 이것이 실제로 함자라는 주장을 이제 확인해 봅시다.

68.5 범주의 동치

작성 예정: 완전충실이며 본질적으로 전사

68.6 (선택) 자연 변환

우리는 대상과 사상을 추적하기 위해 범주를 만들었고, 그다음 조금 무모하게 ”범주들 사이의 사상은 무엇인가?”라는 질문을 던져 함자를 얻었습니다. 이제 우리는 ”함자들 사이의 사상은 무엇인가?”라는 질문을 던져 자연 변환을 얻을 것입니다.

함자들 사이에 화살표를 그린다는 것이 무섭게 들릴 수도 있지만, 사실 이것은 오래된 발상입니다. 두 경로 $\alpha,\beta\colon[0,1]\to X$ 가 주어졌을 때, 경로 $\alpha$ 를 $\beta$ 로 ”연속적으로 변형”하여 경로-호모토피를 만들었던 것을 떠올려 보십시오. 이는 함수 $[0,1]\times[0,1]\to X$ 로 볼 수 있습니다. 자연 변환의 정의도 이와 비슷합니다. 우리는 대상 공간 $\mathcal{B}$ 안의 일련의 화살표를 따라 $F$ 를 $G$ 로 끌어당기고자 합니다.

정의 68.6.1.

$F,G\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 를 두 함자라 합시다. $F$ 에서 $G$ 로 가는 자연 변환 $\alpha$ 는 다음과 같이 표기되며,

각 $A\in\mathcal{A}$ 에 대해 사상 $\alpha_{A}\in\operatorname{Hom}_{\mathcal{B}}(F(A),G(A))$ 로 이루어지고, 이를 $A$ 에서의 $\alpha$ 의 성분이라고 부릅니다. 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

이 $\alpha_{A}$ 들은 임의의 $A_{1}\xrightarrow{f}A_{2}$ 에 대해 다음 도식이 가환한다는 ”자연성” 요구 조건을 만족해야 합니다.

가환합니다.

화살표 $\alpha_{A}$ 는 $F(A)$ 가 $G(A)$ 에 도달하기 위해 취하는 경로를 나타냅니다 (마치 $\alpha$ 에서 $\beta$ 로 가는 경로-호모토피에서 각 점 $\alpha(t)$ 가 연속적으로 점 $\beta(t)$ 로 변형되는 것처럼 말입니다). 그림이 도움이 될 수 있으니 다음을 살펴봅시다.

여기서 $\mathcal{A}$ 는 세 개의 원소와 두 개의 항등이 아닌 화살표 $f$ , $g$ 로 이루어진 작은 범주입니다 (단순화를 위해 항등 화살표는 생략했습니다). $F$ 와 $G$ 에 의한 $\mathcal{A}$ 의 상은 $\mathcal{B}$ 의 파란색과 초록색 ”부분범주”입니다. $\mathcal{B}$ 가 그 안에 잠재적으로 훨씬 더 많은 대상과 화살표(회색)를 가질 수 있다는 점에 주목하십시오. 자연 변환 $\alpha$ (빨간색)는 각 $F(A)$ 에서 대응하는 $G(A)$ 로 가는 $\mathcal{B}$ 의 화살표를 선택하여, $F$ 의 상 전체를 $G$ 의 상으로 끌어당깁니다. 마지막으로, 우리는 파란색, 빨간색, 초록색 화살표로 이루어진 어떤 도식이든 가환해야 함을 요구하므로(자연성), 자연 변환은 정말로 ”자연스러운” 것입니다.

호모토피와 훨씬 더 비슷해 보이는 두 번째 동치인 정의가 있습니다.

정의 68.6.2.

$\mathbf{2}$ 가 두 원소 $0\leq 1$ 을 갖는 순서 집합에 의해 생성되는 범주를 나타낸다고 합시다. 즉,

그러면 자연 변환 은 단지 다음을 만족하는 함자 $\alpha\colon\mathcal{A}\times\mathbf{2}\to\mathcal{B}$ 입니다.

\alpha(A,0)=F(A),\;\;\alpha(f,0)=F(f)\quad\text{그리고}\quad\alpha(A,1)=G(A),\;\;% \alpha(f,1)=G(f).

더 간결하게 말하면, $\alpha(-,0)=F$ , $\alpha(-,1)=G$ 입니다.

이 둘이 동치라는 증명은 연습 문제로 남겨 둡니다.

당연히, 두 자연 변환 $\alpha\colon F\to G$ 와 $\beta\colon G\to H$ 는 합성될 수 있습니다.

이제 $\alpha_{A}$ 가 각 $A$ 에 대해 동형사상이 되는 자연 변환 $\alpha$ 가 있다고 합시다. 이런 방식으로, 우리는 이에 대한 역 화살표 $\beta_{A}$ 를 구성할 수 있습니다.

이 경우, 우리는 $\alpha$ 를 자연 동형사상이라고 부릅니다. 그러면 우리는 $F(A)\cong G(A)$ 가 $A$ 에 대해 자연스럽게 성립한다고 말할 수 있습니다. (그리고 $\beta$ 역시 동형사상입니다!) 이는 함자 $F$ 와 $G$ 가 ”정말로 같다”는 것을 의미합니다. 이들은 대상 수준에서 동형일 뿐만 아니라, 이 동형사상들이 ”자연스럽기”까지 합니다. 이 결과로, 우리는 함자들이 자연스럽게 동형이라는 것을 뜻할 때 $F\cong G$ 라고도 씁니다.

이것이 바로 ”자연스러운/표준적인 동형사상이 존재한다”고 말할 때 실제로 의미하는 바입니다. 예를 들어, 저는 앞서(문제 15A에서) 표준적인 동형사상 $(V^{\vee})^{\vee}\cong V$ 가 존재한다고 주장하면서 ”기저를 선택할 필요가 없다”거나 ”하늘이 준 것”이라는 등의 말을 얼버무렸습니다. 놀랍게도 범주론은 이를 형식화할 수 있게 해 줍니다. 이는 단지 $(V^{\vee})^{\vee}\cong\mathrm{id}(V)$ 가 $V\in\mathsf{FDVect}_{k}$ 에 대해 자연스럽게 성립한다고 말하는 것입니다. 실제로, 우리는 다음과 같은 자연 변환을 가집니다.

\lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 21.21251pt\hbox{\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\kern 0.0pt\offinterlineskip\halign{% \entry@#!@&&\entry@@#!@\cr&\crcr}}}\ignorespaces{\hbox{\kern-21.21251pt\raise 0% .0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt% \hbox{$\textstyle{\mathsf{FDVect}_{k}\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{{}{{}{{}{}{% }{{{{{}}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{% {}}{{}}{{}}}}}{}{{{}{}{}{{{{{}}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{% }}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}}}}}}{{}{}{}% \lx@xy@spline@}{}}}}\ignorespaces{}{}{}{{}{}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{% \kern 39.29585pt\raise 15.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.43056pt\hbox{$% \textstyle{\scriptstyle\mathrm{id}}$}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{}{}{}{{}{}% {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}}{\hbox{\kern 69.20963pt\raise 7.18292pt% \hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\hbox{\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{{}{{}{{}{}{}{{{{{}}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}% {{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}}}}{}{{{}{}{}{{{{{}}}{{}}{{}}{% {}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}% }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}}}}}}{{}{}{}\lx@xy@spline@}{}}}}\ignorespaces% {}{}{}{{}{}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 35.07362pt\raise-15.0pt% \hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.30556pt\hbox{$\textstyle{\scriptstyle(\bullet^% {\vee})^{\vee}}$}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{}{}{}{{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}% {}{}}{\hbox{\kern 77.35583pt\raise-4.94568pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0% pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\kern 45.21251pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0% .0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\hbox{{\hbox{\hbox{\kern 1.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \kern 0.0pt\hbox{\ignorespaces\hbox{\kern 0.0pt\raise 5.0pt\hbox{\hbox{\line@@% }}}}}}\hbox{\kern-1.0pt\raise 0.0pt\hbox{\kern 0.0pt\hbox{\ignorespaces\hbox{% \kern 0.0pt\raise 5.0pt\hbox{\hbox{\line@@}}}}}}}}{\hbox{\hbox{\kern 1.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\kern 0.0pt\hbox{\ignorespaces\hbox{\kern 0.0pt\raise 2.5pt% \hbox{\hbox{\line@@}}}}}}\hbox{\kern-1.0pt\raise 0.0pt\hbox{\kern 0.0pt\hbox{% \ignorespaces\hbox{\kern 0.0pt\raise 2.5pt\hbox{\hbox{\line@@}}}}}}}}{\hbox{% \kern 0.0pt\hbox{\ignorespaces\hbox{\kern 0.0pt\raise-5.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1.% 5}\lx@xy@tip{-1.5}}}}}}}}}}}}}{}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 45.1915% 3pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-1.50694pt\hbox{$\textstyle{% \scriptstyle\;\varepsilon}$}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 69.21251pt\raise 0.0% pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{% $\textstyle{\mathsf{FDVect}_{k}}$}}}}}}}\ignorespaces}}}}\ignorespaces.

여기서 성분 $\varepsilon_{V}$ 는 $v\mapsto\operatorname{ev}_{v}$ 로 주어집니다 (앞서 논의했듯이, 이것이 동형사상이라는 사실은 $V$ 와 $(V^{\vee})^{\vee}$ 가 같은 차원을 가지며 $\varepsilon_{V}$ 가 단사라는 사실로부터 따라옵니다).

또 다른 예는 비고 71.2.8에서 찾을 수 있습니다.

68.7 (선택) 요네다 보조정리

이제 자연 변환을 다루었으니, 다음을 정의할 수 있습니다:

정의 68.7.1.

두 범주 $\mathcal{A}$ 와 $\mathcal{B}$ 의 함자 범주는 $[\mathcal{A},\mathcal{B}]$ 로 표기하며, 다음과 같이 정의됩니다:

•

$[\mathcal{A},\mathcal{B}]$ 의 대상은 (공변) 함자 $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 이고,
•

사상은 자연 변환 $\alpha\colon F\to G$ 입니다.

질문 68.7.2.

함자 범주에서 두 대상이 동형사상 관계에 있는 것은 언제입니까?

이로써 처음에 언급했던 마지막 예시를 완성할 수 있습니다:

연습문제 68.7.3.

다음 함자들을 구성해 봅시다:

•

$A\mapsto H_{A}$ 로 정의되는 $\mathcal{A}\to[\mathcal{A}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}]$ 이며, 이를 $H_{\bullet}$ 이라 부릅니다.
•

$A\mapsto H^{A}$ 로 정의되는 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\to[\mathcal{A},\mathsf{Set}]$ 이며, 이를 $H^{\bullet}$ 이라 부릅니다.

어느 쪽이든 반대 범주가 등장한다는 점에 주목하십시오. $H^{A}$ 가 공변이라는 점이 마음에 들더라도, 사상 $H^{\bullet}$ 은 반변입니다. 따라서 앞으로는 $H_{\bullet}$ 을 사용하는 쪽을 선호하겠습니다.

여기서 핵심 관찰은, 범주 $\mathcal{A}$ 가 주어지면 $H_{\bullet}$ 이 범주 $A$ 에 이미 “내장”되어 있는 몇몇 특별한 함자 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 를 제공한다는 것입니다. 이를 바탕으로 다음과 같이 정의합니다:

정의 68.7.4.

준층(presheaf) $X$ 란 그저 반변 함자 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 일 뿐입니다. 어떤 $A$ 에 대해 $X\cong H_{A}$ 이면 이를 표현 가능(representable)하다고 합니다.

다시 말해, 표현 가능성에 대해 생각할 때 우리가 던지는 질문은 다음과 같습니다:

범주 $\mathcal{A}$ 에 이미 “내장”되어 있는 준층은 어떤 종류입니까?

이 질문에 접근하는 한 가지 방법은 다음과 같습니다: 준층 $X$ 와 특정한 $H_{A}$ 가 주어지면, 자연 변환 $\alpha\colon X\implies H_{A}$ 의 집합을 살펴보고 여기서 무언가 알아낼 수 있는지 확인할 수 있습니다. 실제로 이 집합은 명시적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

정리 68.7.5 (요네다 보조정리).

$\mathcal{A}$ 를 범주라 하고, $A\in\mathcal{A}$ 를 하나 택하며, $H_{A}$ 를 반변 요네다 함자라 하겠습니다. $X\colon\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 를 반변 함자라 하겠습니다. 그러면 다음 사상은

\left\{\text{자연 변환}\lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 9.70557pt\hbox{% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\kern 0.0pt% \offinterlineskip\halign{\entry@#!@&&\entry@@#!@\cr&\crcr}}}\ignorespaces{% \hbox{\kern-9.70557pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\mathcal{A}^{\mathrm{op}}% \ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\hbox{\hbox{% \kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{{}{{}{{}{}{}{{{{{}}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{% {}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}}}}{}{{{}{}{}{{{{{}}}{{}}{{% }}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}% {{}}{{}}{{}}}}}}}{{}{}{}\lx@xy@spline@}{}}}}\ignorespaces{}{}{}{{}{}}% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 26.13127pt\raise 15.0pt\hbox{\hbox{% \kern 3.0pt\raise-1.70833pt\hbox{$\textstyle{\scriptstyle H_{A}}$}}}}}% \ignorespaces\ignorespaces{}{}{}{{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}}{\hbox{% \kern 57.7074pt\raise 5.01488pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{{}{{}{{}{}{}{{{{{}}}{{}}% {{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}}}% }{}{{{}{}{}{{{{{}}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}% }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}}}}}}{{}{}{}\lx@xy@spline@}{}}}}% \ignorespaces{}{}{}{{}{}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 27.65071pt% \raise-15.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.39166pt\hbox{$\textstyle{% \scriptstyle X}$}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{}{}{}{{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}% {}{}{}{}{}{}{}{}{}}{\hbox{\kern 62.12546pt\raise-2.99985pt\hbox{\hbox{\kern 0.% 0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{}\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 33.82501pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0% .0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\hbox{{\hbox{\hbox{\kern 1.0pt\raise 0.% 0pt\hbox{\kern 0.0pt\hbox{\ignorespaces\hbox{\kern 0.0pt\raise 5.0pt\hbox{% \hbox{\line@@}}}}}}\hbox{\kern-1.0pt\raise 0.0pt\hbox{\kern 0.0pt\hbox{% \ignorespaces\hbox{\kern 0.0pt\raise 5.0pt\hbox{\hbox{\line@@}}}}}}}}{\hbox{% \hbox{\kern 1.0pt\raise 0.0pt\hbox{\kern 0.0pt\hbox{\ignorespaces\hbox{\kern 0% .0pt\raise 2.5pt\hbox{\hbox{\line@@}}}}}}\hbox{\kern-1.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \kern 0.0pt\hbox{\ignorespaces\hbox{\kern 0.0pt\raise 2.5pt\hbox{\hbox{\line@@% }}}}}}}}{\hbox{\kern 0.0pt\hbox{\ignorespaces\hbox{\kern 0.0pt\raise-5.0pt% \hbox{\lx@xy@tip{1.5}\lx@xy@tip{-1.5}}}}}}}}}}}}}{}\ignorespaces\ignorespaces{% \hbox{\kern 33.19719pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-1.50694pt\hbox% {$\textstyle{\scriptstyle\;\alpha}$}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 57.70557pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0% .0pt\hbox{$\textstyle{\mathsf{Set}}$}}}}}}}\ignorespaces}}}}\ignorespaces% \right\}\to X(A)

$\alpha\mapsto\alpha_{A}(\mathrm{id}_{A})\in X(A)$ 로 정의되며, $\mathsf{Set}$ 의 동형사상(즉, 전단사)입니다. 더 나아가, 등식의 양변을 함자로 볼 때

\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\times[\mathcal{A}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}]\to% \mathsf{Set}

이 동형사상은 자연스럽습니다.

이는 처음 보면 놀랍게 느껴질 수 있습니다. 그다지 이상한 일이 아닐 수도 있음을 보여주는, 다소 불완전한 설명을 하나 소개하겠습니다: 범주론에서 흔히 통용되는 경험칙은 “같은 유형의 두 대상이 자연스럽게 구성된다면 아마도 같은 것이다”라는 것입니다. 이 주제는 함자와 자연 변환을 정의할 때, 그리고 단순히 합성을 다룰 때도 볼 수 있었습니다. 이제 자연 변환의 집합을 살펴보기 위해, 우리는 원소 $A\in\mathcal{A}$ 와 $X\in[\mathcal{A}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}]$ 한 쌍을 취해 자연 변환의 집합을 구성했습니다. 이 두 정보로부터 집합을 얻는 다른 방법이 있을까요? 있습니다: 그냥 $X(A)$ 를 보면 됩니다. 요네다 보조정리는 여기서도 우리의 경험칙이 여전히 성립함을 말해주고 있습니다.

요네다 보조정리의 몇 가지 따름정리는 [LEI14]에 기록되어 있습니다. 이 장이 이미 다소 길어졌으므로, 여기서는 명제만 적어두고 증명은 [LEI14]를 참고하도록 하겠습니다.

1.

앞서 언급했듯이, $H^{\bullet}$ 은 다음 함자를 제공합니다

$\mathcal{A}\to[\mathcal{A}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}].$

흥미롭게도 이 함자는 실제로 완전 충실(fully faithful)합니다. 즉, 이는 그야말로 범주 $\mathcal{A}$ 를 오른쪽의 함자 범주 안에 매립합니다(케일리 정리가 모든 군을 치환군 안에 매립하는 것과 매우 유사합니다).
2.
$X,Y\in\mathcal{A}$ 이면

$H_{X}\cong H_{Y}\iff X\cong Y\iff H^{X}\cong H^{Y}.$

이것이 왜 예상되는지 보기 위해, 구체적으로 $\mathcal{A}=\mathsf{Grp}$ 을 생각해 봅시다. $A$ , $X$ , $Y$ 가 모든 $A$ 에 대해 $H_{X}(A)\cong H_{Y}(A)$ 를 만족하는 군이라고 합시다. 예를 들어,
- •
  
  $A=\mathbb{Z}$ 이면, $\left\lvert X\right\rvert=\left\lvert Y\right\rvert$ 입니다.
- •
  
  $A=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 이면, $X$ 와 $Y$ 는 위수 $2$ 인 원소의 개수가 같습니다.
- •
  
  …
각 $A$ 는 $X$ 와 $Y$ 가 어떻게 유사한지에 대한 정보를 주지만, 전체 자연 동형사상은 $X\cong Y$ 를 함의할 만큼 강력합니다.
3.

공변 망각함자 $U\colon\mathsf{Grp}\to\mathsf{Set}$ 을 생각해 봅시다.⁴⁴4사실은 쌍대 버전을 적용해야 합니다. 정리 68.7.5은 반변함자를 사용합니다. 이것은 다음과 같은 의미에서 $H^{\mathbb{Z}}$ 로 표현될 수 있습니다.

$\operatorname{Hom}_{\mathsf{Grp}}(\mathbb{Z},G)\cong U(G)\qquad\text{~{}에 의해}% \qquad\phi\mapsto\phi(1).$

즉, $G$ 의 원소들은 $+1$ 의 상(또는 원한다면 $-1$ 의 상)에 의해 결정되는 사상 $\mathbb{Z}\to G$ 와 전단사 관계에 있습니다. 따라서 $U$ 의 표현은 $\mathbb{Z}$ 를 살펴보고 $+1\in U(\mathbb{Z})$ 를 선택함으로써 결정되었습니다.

이것의 일반화는 다음과 같습니다: $\mathcal{A}$ 를 범주, $X\colon\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 을 공변함자라고 합시다. 그러면 표현 $H^{A}\cong X$ 는 대상 $A\in\mathcal{A}$ 와 어떤 조건을 만족하는 원소 $u\in X(A)$ 로 구성됩니다. 정리 68.7.5에서 역사상이 무엇인지 안다면 이 조건⁵⁵5완전성을 위해, 그 조건은 다음과 같습니다: 모든 $A^{\prime}\in\mathcal{A}$ 와 $x\in X(A^{\prime})$ 에 대해, $(Xf)(u)=x$ 를 만족하는 유일한 $f\colon A\to A^{\prime}$ 가 존재합니다.을 읽어낼 수 있습니다. 위 상황에서는 $X=U$ , $A=\mathbb{Z}$ , $u=\pm 1$ 입니다.

68.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 68A.

자연 변환의 두 정의(하나는 $\mathcal{A}\times\mathbf{2}\to\mathcal{B}$ 에 관한 것이고, 다른 하나는 사상 $F(A)\xrightarrow{\alpha_{A}}G(A)$ 에 관한 것)가 동치임을 보이십시오.

힌트. 범주 $\mathcal{A}\times\mathbf{2}$ 는 ”중복 사상”을 가지고 있습니다.

풀이. 주된 관찰은 $\mathcal{A}\times\mathbf{2}$ 에는 $\mathcal{A}$ 안의 사상( $(f,\mathrm{id}_{\mathbf{2}})$ 꼴)이 있고, 그다음 $\mathcal{A}$ 의 두 복사본을 가로지르는 사상( $(\mathrm{id}_{A},0\leq 1)$ 꼴)이 있다는 것입니다. 하지만 사상 $(f,0\leq 1)$ 이 더 있습니다: 그럼에도 이들은 다음과 같은 합성으로 생각될 수 있습니다.

$(f,0\leq 1)=(f,\mathrm{id}_{\mathbf{2}})\circ(\mathrm{id}_{A},0\leq 1)=(% \mathrm{id}_{A},0\leq 1)\circ(f,\mathrm{id}_{\mathbf{2}}).$

이제 함자 $\alpha\colon\mathcal{A}\times\mathbf{2}\to\mathcal{B}$ 를 지정하려면, 이 두 가지 더 기본적인 것들이 각각 어디로 가는지만 지정하면 됩니다. $\alpha$ 에 대한 조건들은 이미 $(f,\mathrm{id}_{\mathbf{2}})$ 가 $F(f)$ 또는 $G(f)$ 로 대응되어야 함을(위 사상이 $\mathcal{A}\times\{0\}$ 에 있는지 $\mathcal{A}\times\{1\}$ 에 있는지에 따라) 알려주며, 사상 $(\mathrm{id}_{A},0\leq 1)$ 을 지정하는 것은 $A$ 번째 성분을 지정하는 것과 마찬가지입니다. 그렇다면 자연성은 어디서 들어오는 것입니까?

위의 논의는 일반적으로 범주들의 곱으로 옮겨집니다: 일반적인 사상 $(f,g)=(f,\mathrm{id})\circ(\mathrm{id},g)=(\mathrm{id},g)\circ(f,\mathrm{id})$ 를 얻기 위해서는 실제로 $(f,\mathrm{id})$ 와 $(\mathrm{id},g)$ 사상만 생각하면 됩니다.

문제 68B.

$\mathcal{A}$ 를 사상이 집합들 사이의 전단사인 유한집합들의 범주라고 합시다. $A\in\mathcal{A}$ 에 대해, $F(A)$ 를 $A$ 의 순열들의 집합, $G(A)$ 를 $A$ 위의 순서들의 집합이라고 합시다.⁶⁶6순열이란 전단사 $A\to A$ 이고, 순서란 전단사 $\{1,\dots,n\}\to A$ 이며, 여기서 $n$ 은 $A$ 의 크기입니다.

(a)

$F$ 와 $G$ 를 함자 $\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ 로 확장하십시오.
(b)

모든 $A$ 에 대해 $F(A)\cong G(A)$ 임을 보이되, 이 동형사상은 자연스럽지 않음을 보이십시오.

문제 68C (요네다 보조정리 증명하기).

정리 68.7.5의 맥락에서:

(a)

기술된 사상이 실제로 전단사임을 증명하십시오. (이를 위해서는 아마 역사상을 명시적으로 써 내려가야 할 것입니다.)
(b) ^†^†margin:

이 전단사가 실제로 자연스러움을 증명하십시오. (이는 장황하지만 어렵지는 않습니다. 처음부터 끝까지 할 수 있는 일은 오직 하나뿐입니다.)