장 19 대수의 표현

19세기에는 아직 “군”이라는 단어가 발명되지 않았으며, 모든 연구는 $\operatorname{GL}(n)$ 또는 $S_{n}$ 의 부분집합을 대상으로 이루어졌습니다. 훨씬 나중에서야 군의 추상적 정의, 즉 그 자체로 하나의 대상인 추상 집합 $G$ 가 주어졌습니다.

이러한 추상화는 여러 이유로 유용하지만, 구체적인 표현을 다루는 것 또한 종종 유용합니다. 이것이 표현론의 주제입니다. 선형대수학은 추상대수학보다 다루기 쉬우므로, 만약 군 $G$ 를 가져와 $\operatorname{GL}(n)$ 내의 행렬 집합으로 구체적으로 표현할 수 있다면, 이는 그것들을 연구하기 더 쉽게 만들어 줍니다. 이것이 바로 군의 표현론입니다: 어떻게 군을 가져와 그 원소들을 행렬로 표현할 수 있을까요?

19.1 대수

대표적인 예: $k[x_{1},\dots,x_{n}]$ 과 $k[G]$ .

처음부터 군을 직접 다루기보다는, 이른바 $k$ -대수를 다루는 것이 더 편리할 것입니다. 이 설정은 군의 경우보다 더 자연스럽고 일반적이므로, 일단 대수의 이론을 충분히 잘 전개해두면 군의 경우로 특수화하는 것은 상당히 수월할 것입니다.

구어적으로 말하면,

결합적 $k$ -대수란 그 내부에 $k$ 의 복사본을 지니는, 가환적이지 않을 수도 있는 환입니다. 따라서 이는 $k$ -벡터 공간입니다.

정의를 제시하기에 앞서 예시들을 먼저 보이겠습니다:

예제 19.1.1 ( $k$ -대수의 예시들).

$k$ 를 임의의 체라 하겠습니다. 다음은 $k$ -대수의 예시들입니다:

(a)

체 $k$ 그 자체.
(b)

다항식환 $k[x_{1},\dots,x_{n}]$ .
(c)

$k$ 의 원소들을 성분으로 갖는 $n\times n$ 행렬들의 집합으로, 이를 $\mathrm{Mat}_{n}(k)$ 로 표기합니다. 여기서의 곱셈은 가환적이지 않음에 유의하십시오.
(d)

선형 사상 $T\colon V\to V$ 들의 집합 $\mathrm{Mat}(V)$ 로, 곱셈은 연산자의 합성으로 주어집니다. (여기서 $V$ 는 $k$ 위의 어떤 벡터 공간입니다.) 이는 사실상 앞선 예시와 동일합니다.

정의 19.1.2.

$k$ 를 체라 하겠습니다. $k$ -대수 $A$ 란 환 준동형사상 $k\hookrightarrow A$ 가 갖추어진, 가환적이지 않을 수도 있는 환으로서, 그 상이 바로 “ $k$ 의 복사본”입니다. (특히 $1_{k}\mapsto 1_{A}$ 입니다.)

따라서 $k$ 를 $A$ 의 부분집합으로 간주할 수 있으며, 이때 추가로 각 $\lambda\in k$ 와 $a\in A$ 에 대해 $\lambda\cdot a=a\cdot\lambda$ 일 것을 요구합니다.

곱셈 연산 또한 가환적이라면, $A$ 를 가환 대수라고 합니다.

정의 19.1.3.

동치인 정의로, $k$ -대수 $A$ 란 결합적이고 쌍선형인 곱셈 연산(항등원 $1_{A}$ 를 가짐)을 아울러 갖춘 $k$ -벡터 공간입니다. “ $k$ 의 복사본”은 각 $\lambda\in k$ 에 대해 원소 $\lambda 1_{A}$ 를 고려함으로써 얻어집니다 (즉, 벡터 공간 구조를 이용하여 $k$ 의 원소들로 항등원을 스칼라배함으로써 얻어집니다).

표기의 남용 19.1.4.

다른 저자들 중에는 $A$ 가 결합적이거나 항등원을 가질 것을 요구하지 않는 경우도 있는데, 그들에게는 우리가 방금 정의한 것이 “항등원 $1$ 을 갖는 결합 대수”에 해당합니다. 그러나 이는 우리의 목적에 있어 불필요하게 장황합니다.

예제 19.1.5 (군 대수).

군 대수 $k[G]$ 란 군 $G$ 의 원소들을 기저 원소로 갖는 $k$ -벡터 공간으로서, 두 기저 원소의 곱은 군의 곱셈으로 주어집니다. 예를 들어, $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{1_{G},x\}$ 라 하겠습니다. 그러면

k[G]=\left\{a1_{G}+bx\mid a,b\in k\right\}

곱셈은 다음과 같이 주어집니다

(a1_{G}+bx)(c1_{G}+dx)=(ac+bd)1_{G}+(bc+ad)x.

질문 19.1.6.

$k[G]$ 는 언제 가환적일까요?

$k[G]$ 라는 예시는 매우 중요한데, (곧 살펴보게 되겠지만) 대수 $k[G]$ 의 표현은 군 $G$ 자체의 표현에 대응하기 때문입니다.

이 시점에서 다음을 언급할 가치가 있습니다:

정의 19.1.7.

$k$ -대수 $A$ , $B$ 의 준동형사상은 곱셈을 보존하며(즉, $T(xy)=T(x)T(y)$ ) $1_{A}$ 를 $1_{B}$ 로 보내는 선형 사상 $T\colon A\to B$ 입니다. 다시 말해, $T$ 는 환으로서의 준동형사상이면서 동시에 벡터 공간으로서의 준동형사상입니다.

예제 4.3.8에서 나온 ”곱환”도 다시 떠올려야 하겠지만, 대수의 경우에는 다른 이름과 표기법을 사용하겠습니다.

정의 19.1.8.

$k$ -대수 $A$ 와 $B$ 가 주어졌을 때, 직합 $A\oplus B$ 는 $a+b$ 꼴의 쌍으로 정의되며, 덧셈은 자명한 방식으로 이루어지지만 임의의 $a\in A$ 와 $b\in B$ 에 대해 $ab=0$ 으로 선언합니다.

질문 19.1.9.

$1_{A}+1_{B}$ 가 $A\oplus B$ 의 곱셈 항등원임을 보이십시오.

동등하게, 정의 9.3.1과 예제 4.3.8과 유사하게, 직합 $A\oplus B$ 를 순서쌍 $(a,b)$ 들의 집합으로 정의할 수도 있으며, 이때 곱셈은 $(a,b)(a^{\prime},b^{\prime})=(aa^{\prime},bb^{\prime})$ 로 정의됩니다. 이 표기법에서는 $(1_{A},1_{B})$ 가 $A\oplus B$ 의 곱셈 항등원이 됩니다.

19.2 표현

대표적인 예: $k^{\oplus 3}$ 에 작용하는 $k[S_{3}]$ 가 제가 가장 좋아하는 예입니다.

정의 19.2.1.

$k$ -대수 $A$ 의 표현( 왼쪽 $A$ -가군이라고도 함)이란 다음과 같습니다:

(i)

$k$ -벡터 공간 $V$ , 그리고
(ii)
$A$ 가 $V$ 에 작용하는 작용 $\cdot$ : 즉, 모든 $a\in A$ 에 대해 $v\in V$ 를 취하여 작용시켜 $a\cdot v$ 를 얻을 수 있습니다. 이는 다음과 같은 통상적인 공리들을 만족합니다:
- •
  
  $(a+b)\cdot v=a\cdot v+b\cdot v$ , $a\cdot(v+w)=a\cdot v+a\cdot w$ , 그리고 $(ab)\cdot v=a\cdot(b\cdot v)$ .
- •
  
  $\lambda\in k$ 에 대해 $\lambda\cdot v=\lambda v$ . 특히, $1_{A}\cdot v=v$ 입니다.

정의 19.2.2.

$A$ 의 작용은 $k$ -대수 준동형사상 $\rho\colon A\to\mathrm{Mat}(V)$ 가 존재한다는 말로 더 간결하게 서술할 수 있습니다. (즉 $a\cdot v=\rho(a)(v)$ .) 따라서 $A$ 의 표현을 다음과 같은 쌍으로도 정의할 수 있습니다

\left(V,\rho\colon A\to\mathrm{Mat}(V)\right).

이는 $n$ 개의 원소를 가진 집합 $X$ 에 대한 군 $G$ 의 작용이 단지 군 준동형사상 $G\to S_{n}$ 에 지나지 않는 것과 완전히 유사합니다. 이러한 관점에서 볼 때, 우리가 실제로 하려는 것은 다음과 같습니다:

$A$ 가 대수라면, 우리는 $A$ 의 원소들을 행렬로 표현하려는 것입니다.

표기의 남용 19.2.3.

표현이란 벡터 공간 $V$ 와 작용 $\rho$ 둘 다로 이루어진 쌍 $(V,\rho)$ 이지만, 우리는 종종 이를 그냥 ” $V$ ”로 줄여 부르겠습니다. 이는 아마 제가 저지를 최악의 남용 중 하나일 테지만, 다른 모든 사람들도 그렇게 하기에 저는 대중의 반발이 두렵습니다.

표기의 남용 19.2.4.

$\rho(a)(v)$ 대신 그냥 $\rho(a)v$ 라고 쓰겠습니다.

예제 19.2.5 ( $\mathrm{Mat}(V)$ 의 표현).

(a)

$A=\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})$ 라 합시다. 그러면 행렬 $a\in A$ 가 그저 $a\cdot v=\rho(a)(v)=a(v)$ 로 작용하는 표현 $(\mathbb{R}^{\oplus 2},\rho)$ 가 존재합니다.
(b)

더 일반적으로, 임의의 체 $k$ 위의 벡터 공간 $V$ 가 주어졌을 때, $a\cdot v=\rho(a)(v)=a(v)$ (여기서 $a\in\mathrm{Mat}(V)$ )로 정의되는 $A=\mathrm{Mat}(V)$ 의 자명한 표현이 존재합니다.

행렬의 관점에서 보면: $A=\mathrm{Mat}(V)$ 라면, $A$ 를 그저 $V$ 위의 행렬로 표현할 수 있습니다.
(c)

$A=\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})$ 의 다른 표현들도 있습니다. 우스운 예시로는 다음과 같이 주어지는 표현 $(\mathbb{R}^{\oplus 4},\rho)$ 가 있습니다

$\rho:\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}a&b&0&0\\ c&d&0&0\\ 0&0&a&b\\ 0&0&c&d\end{bmatrix}.$

더 추상적으로, $\mathbb{R}^{\oplus 4}$ 를 $(\mathbb{R}^{\oplus 2})\oplus(\mathbb{R}^{\oplus 2})$ 로 보면, 이는 $a\cdot(v_{1},v_{2})=(a\cdot v_{1},a\cdot v_{2})$ 입니다.

예제 19.2.6 (다항식 대수의 표현).

(a)

$A=k$ 라고 합시다. 그러면 $k$ 의 표현은 그저 임의의 $k$ -벡터 공간 $V$ 입니다.
(b)

$A=k[x]$ 라면, $A$ 의 표현 $(V,\rho)$ 는 벡터 공간 $V$ 에 더해 선형 사상 $T\in\mathrm{Mat}(V)$ 의 선택(즉 $T=\rho(x)$ )에 해당합니다.
(c)

$A=k[x]/(x^{2})$ 라면 $A$ 의 표현 $(V,\rho)$ 는 벡터 공간 $V$ 에 더해 $T^{2}=0$ 을 만족하는 선형 사상 $T\in\mathrm{Mat}(V)$ 의 선택에 해당합니다.
(d)

이러한 패턴으로 임의의 ”함수 방정식”을 만들어낼 수 있습니다. 예를 들어 $A=k[x,y]/(x^{2}-x+y,y^{4})$ 라면 $V$ 로 $A$ 를 표현하는 것은 $S^{2}=S-T$ 와 $T^{4}=0$ 을 만족하는 가환 연산자 $S,T\in\mathrm{Mat}(V)$ 를 찾는 것에 해당합니다.

예제 19.2.7 (군의 표현).

(a)

$A=\mathbb{R}[S_{3}]$ 라고 합시다. 그러면

$V=\mathbb{R}^{\oplus 3}=\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\}.$

다음과 같이 $A$ 가 $V$ 에 작용하게 할 수 있습니다: 순열 $\pi\in S_{3}$ 이 주어지면, $V$ 에서 대응하는 좌표를 치환합니다. 예를 들어

$\text{만약}\pi=(1\;2)\text{그러면}\pi\cdot(x,y,z)=(y,x,z).$

이는 좌표를 치환함으로써 선형적으로 확장되어 $A$ 가 $V$ 에 작용하게 합니다.

행렬의 관점에서 보면, 우리가 하고 있는 것은 $S_{3}$ 의 순열들을 $k^{\oplus 3}$ 위의 치환 행렬로 표현하는 것이며, 예를 들면

$(1\;2)\mapsto\begin{bmatrix}0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}.$
(b)

더 일반적으로, $A=k[G]$ 라고 합시다. 그러면 $A$ 의 표현 $(V,\rho)$ 는 군 준동형사상 $\psi\colon G\to\operatorname{GL}(V)$ 에 해당합니다. (특히 $\rho(1_{G})=\mathrm{id}_{V}$ 입니다.) 이를 $G$ 의 군 표현이라 부릅니다.

예제 19.2.8 (정칙 표현).

임의의 $k$ -대수 $A$ 는 그 자신에 대한 표현 $(A,\rho)$ 이며, $a\cdot b=\rho(a)(b)=ab$ 입니다(즉, 곱셈은 $A$ 에 의해 주어집니다). 이를 정칙 표현이라 부르며, $\operatorname{Reg}(A)$ 로 표기합니다.

19.3 직합

대표적인 예: $\mathbb{R}[S_{3}]$ 를 사용한 예가 가장 좋아 보입니다.

정의 19.3.1.

$A$ 를 $k$ -대수라 하고, $V=(V,\rho_{V})$ 와 $W=(W,\rho_{W})$ 를 $A$ 의 두 표현이라고 합시다. 그러면 $V\oplus W$ 는 표현이며, 그 작용 $\rho$ 는 다음과 같이 주어집니다

a\cdot(v,w)=(a\cdot v,a\cdot w).

이 표현을 $V$ 와 $W$ 의 직합이라 부릅니다.

예제 19.3.2.

앞서 우리는 $\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})$ 가 $\mathbb{R}^{\oplus 4}$ 에 다음과 같이 작용하게 했습니다

\rho:\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}a&b&0&0\\ c&d&0&0\\ 0&0&a&b\\ 0&0&c&d\end{bmatrix}.

이는 단지 두 개의 2차원 표현의 직합일 뿐입니다.

$\mathbb{R}^{\oplus 4}$ 의 벡터를 $\begin{pmatrix}e&f\\ g&h\end{pmatrix}$ 와 같이 “수평으로 쌓인” $\mathbb{R}^{\oplus 2}$ 의 두 벡터로 볼 수도 있으므로, 작용은 다음과 같이 주어집니다

\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\cdot\begin{pmatrix}e&f\\ g&h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}.

비고 19.3.3.

이것이 아마 사람들이 $\rho_{V}$ 를 함께 표기하지 않고 $V$ 만을 표현으로 쓰는 경향이 있는 이유일 것인데, $k$ -대수 $A$ 를 $\mathrm{Mat}_{d}(k)$ 의 부분대수에 매장하는 것이 가능하기만 하다면, $V$ 는 자명한 $k^{\oplus d}$ 표현을 수평으로 $m$ 개 쌓은 $(k^{\oplus d})^{\oplus m}$ 의 부분표현으로 동형적으로 매장될 수 있기 때문입니다.

더 일반적으로, 표현 $(V,\rho_{V})$ 와 $(W,\rho_{W})$ 가 주어지면 $V\oplus W$ 의 표현 $\rho$ 는 다음과 같은 모습입니다

\rho(a)=\begin{bmatrix}\rho_{V}(a)&0\\ 0&\rho_{W}(a)\end{bmatrix}.

예제 19.3.4 ( $S_{n}$ 의 표현이 분해됨).

$A=\mathbb{R}[S_{3}]$ 이 다시 좌표의 치환을 통해 다음에 작용한다고 합시다

V=\mathbb{R}^{\oplus 3}=\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\}.

두 부분공간을 생각해봅시다.

	$\displaystyle W_{1}$	$\displaystyle=\left\{(t,t,t)\mid t\in\mathbb{R}\right\}$
	$\displaystyle W_{2}$	$\displaystyle=\left\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\right\}.$

$V=W_{1}\oplus W_{2}$ 가 벡터 공간으로서 성립함에 유의하십시오. 그러나 $W_{1}$ 과 $W_{2}$ 각각은 부분표현입니다 ( $A$ 의 작용이 각 $W_{i}$ 를 그대로 보존하기 때문입니다). 따라서 $V=W_{1}\oplus W_{2}$ 는 표현으로서도 성립합니다.

직합은 대수를 다룰 때도 등장합니다.

명제 19.3.5 ( $A\oplus B$ 의 표현은 $V_{A}\oplus V_{B}$ 입니다).

$A$ 와 $B$ 를 $k$ -대수라 합시다. 그러면 $A\oplus B$ 의 모든 표현은 다음 형태입니다

V_{A}\oplus V_{B}

여기서 $V_{A}$ 와 $V_{B}$ 는 각각 $A$ 와 $B$ 의 표현입니다.

예제 19.3.6.

$A=B=\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})$ 라고 합시다. $k$ -대수 $A\oplus B$ 의 자명한 표현으로 $V_{A}$ 와 $V_{B}$ 두 가지가 있으며, 이는 각각 $A$ 와 $B$ 의 작용에 대응합니다.

$V_{A}$ 와 $V_{B}$ 각각은 $\mathbb{R}$ -벡터 공간으로서 $\mathbb{R}^{\oplus 2}$ 와 동형입니다.

이 명제가 말하는 바는, $a\in A$ 와 $b\in B$ 에 대해 $(a+b)\cdot v=a\cdot v+2b\cdot v$ 와 같은 방식으로 $A$ 와 $B$ 의 작용을 ”섞어서” $A\oplus B$ 의 어떤 표현 $V\cong\mathbb{R}^{2}$ 를 얻을 수는 없다는 것입니다.

증명의 개요.

$(V,\rho)$ 를 $A\oplus B$ 의 표현이라고 합시다. 임의의 $v\in V$ 에 대해 $\rho(1_{A}+1_{B})v=\rho(1_{A})v+\rho(1_{B})v$ 입니다. 그러면 $V_{A}=\{\rho(1_{A})v\mid v\in V\}$ 와 $V_{B}=\{\rho(1_{B})v\mid v\in V\}$ 로 놓을 수 있습니다. 이들은 서로소인데, 만약 $\rho(1_{A})v=\rho(1_{B})v^{\prime}$ 이라면 $\rho(1_{A})v=\rho(1_{A}1_{A})v=\rho(1_{A}1_{B})v^{\prime}=0_{V}$ 이 되며, 반대쪽도 마찬가지이기 때문입니다. ∎

위의 예시에서, 표현 $V_{A}\oplus V_{B}$ 를 $\mathbb{R}^{4}$ 로 본다면, $A$ 의 원소가 $V_{A}\oplus V_{B}$ 의 원소에 작용할 때 벡터의 $V_{B}$ -성분을 0으로 만들게 됩니다.

그러므로 증명의 핵심 아이디어는 다음과 같습니다.

$A\oplus B$ 의 $A$ 성분과 $B$ 성분을 이용하여 $V$ 에 작용시킴으로써, 벡터 공간 $V$ 를 성분 $V_{A}$ 와 $V_{B}$ 로 사영하여 부분표현들을 분리해냅니다.

19.4 기약 표현과 분해불가능 표현

대표적인 예: $k[S_{3}]$ 는 두 공간의 합으로 분해됩니다.

표현론의 목표 중 하나는 대수 $A$ 의 가능한 모든 표현을 분류하는 것입니다. 이를 해낼 가능성을 가지려면, 다음과 같은 ”사소한” 표현들은 버려두고자 합니다

\rho:\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}a&b&0&0\\ c&d&0&0\\ 0&0&a&b\\ 0&0&c&d\end{bmatrix}

대신 ”기약” 표현에 주의를 집중하고자 합니다. 이것이 다음의 동기가 됩니다.

정의 19.4.1.

$V$ 를 $A$ 의 표현이라고 합시다. 부분표현 $W\subseteq V$ 는 임의의 $a\in A$ 와 $w\in W$ 에 대해 $a\cdot w\in W$ 라는 성질을 가지는 부분공간 $W$ 입니다. 다시 말해, 이 부분공간은 $A$ 의 작용 아래 불변입니다.

따라서 예를 들어 표현 $W_{1}$ , $W_{2}$ 에 대해 $V=W_{1}\oplus W_{2}$ 이면 $W_{1}$ 과 $W_{2}$ 는 $V$ 의 부분표현입니다.

정의 19.4.2.

$V$ 가 진부분표현이면서 0이 아닌 부분표현을 가지지 않으면 $V$ 는 기약입니다. $V=W_{1}\oplus W_{2}$ 를 만족하는 진부분표현 $W_{1}$ , $W_{2}$ 의 쌍이 존재하지 않으면, $V$ 를 분해불가능이라고 합니다.

정의 19.4.3.

간결함을 위해, 대수/군의 기약표현이란 기약 표현을 뜻합니다. ( $A$ 가 유한 차원일 때, 모든 기약표현은 자동으로 차원이 $\dim A$ 이하가 됩니다. 이 교재에서는 $\dim A$ 가 반드시 유한이지 않은 경우에도 무한 차원 기약표현은 전혀 다루지 않습니다.)

예제 19.4.4 ( $S_{n}$ 의 표현이 분해됨).

다시 $A=\mathbb{R}[S_{3}]$ 로 놓고, 다음에 좌표의 치환을 통해 작용한다고 합시다

V=\mathbb{R}^{\oplus 3}=\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\}.

다시 두 부분공간을 생각해봅시다

	$\displaystyle W_{1}$	$\displaystyle=\left\{(t,t,t)\mid t\in\mathbb{R}\right\}$
	$\displaystyle W_{2}$	$\displaystyle=\left\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\right\}.$

우리가 살펴보았듯이 $V=W_{1}\oplus W_{2}$ 이고, 따라서 $V$ 는 기약이 아닙니다. 하지만 다음과 같이 $W_{1}$ 과 $W_{2}$ 가 기약(따라서 분해 불가능)임을 보일 수 있습니다.

•

$W_{1}$ 에 대해서는 $W_{1}$ 이 일차원이므로 자명합니다.
•

$W_{2}$ 에 대해서는, $a+b+c=0$ 이고 모두 영이 아닌 임의의 벡터 $w=(a,b,c)$ 를 생각합시다. 그러면 일반성을 잃지 않고 $a\neq b$ 라고 가정할 수 있습니다(세 좌표가 모두 같지는 않으므로). 이 경우 $(1\;2)$ 는 $w$ 를 $w^{\prime}=(b,a,c)$ 로 보냅니다. 그러면 $w$ 와 $w^{\prime}$ 는 $W_{2}$ 를 생성합니다.

따라서 $V$ 는 기약표현들로 완전히 분해됩니다.

안타깝게도 $W$ 가 $V$ 의 부분표현이라 하더라도, $V=W\oplus W^{\prime}$ 가 되는 보충 벡터 공간 $W^{\prime}$ 를 반드시 찾을 수 있는 것은 아닙니다. 다시 말해, $V$ 가 가약이면 $V$ 가 부분표현을 가짐은 알 수 있지만, 분해를 위해서는 두 개의 부분표현이 필요합니다. 다음은 표준적인 반례입니다.

연습문제 19.4.5.

$A=\mathbb{R}[x]$ 라 하고, $V=\mathbb{R}^{\oplus 2}$ 를 다음 작용을 갖는 표현이라고 합시다.

\rho(x)=\begin{bmatrix}1&1\\ 0&1\end{bmatrix}.

유일한 부분표현이 $W=\{(t,0)\mid t\in\mathbb{R}\}$ 임을 보이십시오. 따라서 $V$ 는 기약이 아니지만 분해 불가능합니다.

다음은 조금 더 낙관적인 예시이자, 여러분이 염두에 두어야 할 ”전형적인 예시”입니다.

연습문제 19.4.6.

$A=\mathrm{Mat}_{d}(k)$ 라 하고, 앞서 서술한 $A$ 의 자명한 표현 $k^{\oplus d}$ 를 생각합시다. 이것이 기약임을 보이십시오. (정의를 충분히 잘 이해하고 있다면 이는 자명합니다.)

19.5 표현의 사상

이제 표현들 사이의 사상을 정의하겠습니다.

정의 19.5.1.

$(V,\rho_{V})$ 와 $(W,\rho_{W})$ 를 $A$ 의 표현이라고 합시다. 교환 연산자(intertwining operator), 또는 사상(morphism)은 다음을 만족하는 선형 사상 $T\colon V\to W$ 입니다.

T(a\cdot v)=a\cdot T(v)

임의의 $a\in A$ , $v\in V$ 에 대하여. (첫 번째 $\cdot$ 은 $\rho_{V}$ 의 작용이고, 두 번째 $\cdot$ 은 $\rho_{W}$ 의 작용임에 유의하십시오.) $V$ 와 $W$ 를 ”왼쪽 $A$ -가군”이라고 생각한다면 이는 정확히 예상하는 바입니다. $T$ 가 가역이면 이는 표현의 동형사상(isomorphism)이며, 이때 $V\cong W$ 라고 말합니다.

비고 19.5.2 (가환 도식을 좋아하는 사람들을 위해).

조건 $T(a\cdot v)=a\cdot T(v)$ 는 다음을 나타낸다고 읽을 수 있습니다.

임의의 $a\in A$ 에 대해 가환합니다.

비고 19.5.3 (범주를 좋아하는 사람들을 위해).

표현이란 그저 아벨 단일 대상 범주 $\{\ast\}$ (따라서 $\operatorname{Hom}(\ast,\ast)\cong A$ )로부터 아벨 범주 $\mathsf{Vect}_{k}$ 로 가는 ”쌍선형” 함자일 뿐입니다. 그러면 교환 연산자는 그저 자연 변환일 뿐입니다.

다음은 교환 연산자의 몇 가지 예시입니다.

예제 19.5.4 (교환 연산자).

(a)

임의의 $\lambda\in k$ 에 대해, 스칼라 사상 $T(v)=\lambda v$ 는 교환 연산자입니다.
(b)

$W\subseteq V$ 가 부분표현이면, 포함 사상 $W\hookrightarrow V$ 는 교환 연산자입니다.
(c)

사영 사상 $V_{1}\oplus V_{2}\twoheadrightarrow V_{1}$ 은 교환 연산자입니다.
(d)

$V=\mathbb{R}^{\oplus 2}$ 라 하고, $A=\mathbb{R}[x]$ 를 $(V,\rho)$ 로 표현하되 다음과 같이 합시다.

$\rho(x)=\begin{bmatrix}0&1\\ -1&0\end{bmatrix}.$

따라서 $\rho(x)$ 는 원점을 중심으로 $90^{\circ}$ 회전입니다. $T$ 를 $30^{\circ}$ 회전이라고 합시다. 그러면 $T\colon V\to V$ 는 교환 연산자입니다(회전들은 교환됩니다).

예제 19.5.5 (반례: $\mathrm{Mat}(V)$ 의 표현).

$A=\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})\oplus\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})$ 라 합시다. 그러면 $A$ 는 다음과 같은 형태의 행렬들로 이루어진 $\mathrm{Mat}_{4}(\mathbb{R})$ 의 부분집합으로 볼 수 있습니다

\begin{bmatrix}a&b&0&0\\ c&d&0&0\\ 0&0&e&f\\ 0&0&g&h\end{bmatrix}.

$A$ 의 자명한 기약표현이 두 가지 있는데, $(m,n,0,0)$ 형태의 $\mathbb{R}^{4}$ 의 벡터들로 이루어진 $V_{1}$ 과 $(0,0,p,q)$ 형태의 $\mathbb{R}^{4}$ 의 벡터들로 이루어진 $V_{2}$ 로 주어집니다.

이 경우, $V_{1}$ 과 $V_{2}$ 가 $\mathbb{R}$ -벡터 공간으로서는 동형사상이지만 $A$ 의 표현으로서는 동형사상이 아닙니다 – 따라서 $V_{1}$ 에서 $V_{2}$ 로 가는 얽힘 연산자는 반드시 항등적으로 영이어야 합니다.

연습문제 19.5.6 (핵과 상은 부분표현입니다).

$T\colon V\to W$ 를 얽힘 연산자라 합시다.

(a)

$\ker T\subseteq V$ 가 $V$ 의 부분표현임을 보이십시오.
(b)

$\operatorname{im}T\subseteq W$ 가 $W$ 의 부분표현임을 보이십시오.

앞의 연습문제로부터 유명한 슈어의 보조정리를 얻습니다.

정리 19.5.7 (슈어의 보조정리).

$V$ 와 $W$ 를 $k$ -대수 $A$ 의 표현이라 합시다. $T\colon V\to W$ 를 영이 아닌 얽힘 연산자라 합시다. 그러면

(a)

$V$ 가 기약이면, $T$ 는 단사입니다.
(b)

$W$ 가 기약이면, $T$ 는 전사입니다.

특히 $V$ 와 $W$ 가 모두 기약이면 $T$ 는 동형사상입니다.

중요한 특수한 경우로, $k$ 가 대수적으로 닫혀 있고 유한차원인 경우가 있는데, 이때는 얽힘 연산자 $T\colon V\to V$ 가 오직 상수배뿐입니다.

정리 19.5.8 (대수적으로 닫힌 체에 대한 슈어의 보조정리).

$k$ 를 대수적으로 닫힌 체라 합시다. $V$ 를 $k$ -대수 $A$ 의 유한차원 기약표현이라 합시다. 그러면 임의의 얽힘 연산자 $T\colon V\to V$ 는 스칼라배입니다.

연습문제 19.5.9.

$T$ 가 고윳값 $\lambda$ 를 가진다는 사실을 이용하여 이를 슈어의 보조정리로부터 유도하십시오. ( $T-\lambda\cdot\mathrm{id}_{V}$ 를 고려하고, 슈어의 보조정리를 이용해 이것이 영임을 유도하십시오.)

$k=\mathbb{R}$ 에 대해 $90^{\circ}$ 회전이라는 반례를 이미 살펴본 바 있는데, 이는 모든 선형 사상이 고윳값을 가진다는 주장에 대해 제시했던 것과 같은 반례였습니다.

19.6 $\mathrm{Mat}_{d}(k)$ 의 표현들

이미 가능한 진전의 종류를 예로 보이기 위해, 다음을 증명합니다:

정리 19.6.1 ( $\mathrm{Mat}_{d}(k)$ 의 표현들).

$k$ 를 임의의 체, $d$ 를 양의 정수라 하고 $W=k^{\oplus d}$ 를 $A=\mathrm{Mat}_{d}(k)$ 의 자명한 표현이라 합시다. 그러면 $\mathrm{Mat}_{d}(k)$ 의 유한차원 표현은 (동형사상의 관점에서) 어떤 양의 정수 $n$ 에 대한 $W^{\oplus n}$ 뿐입니다. 특히, 이는 $n=1$ 일 때에만 기약입니다.

구체성을 위해 $d=2$ 인 경우만 스케치하겠는데, 동일한 증명이 다른 경우에도 그대로 적용되기 때문입니다. 이는 앞서 제시한 $\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})$ 의 표현의 예들이 그것들뿐임을 보여줍니다.

이미 말했듯이 이는 본질적으로 함수 방정식입니다. 대수 $A=\mathrm{Mat}_{2}(k)$ 는 네 개의 행렬로 주어지는 기저를 가지고 있습니다

E_{1}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&0\end{bmatrix},\qquad E_{2}=\begin{bmatrix}0&0\\ 0&1\end{bmatrix},\qquad E_{3}=\begin{bmatrix}0&1\\ 0&0\end{bmatrix},\qquad E_{4}=\begin{bmatrix}0&0\\ 1&0\end{bmatrix}

$E_{1}+E_{2}=\mathrm{id}_{A}$ , $E_{1}^{2}=E_{1}$ , $E_{3}^{2}=0$ , $E_{1}E_{2}=0$ 등과 같은 관계식을 만족합니다. 이제 $V$ 를 $A$ 의 표현이라 하고, 각 $i$ 에 대해 $M_{i}=\rho(E_{i})$ 라 합시다. 우리는 동일한 함수 방정식을 만족하는 $V$ 위의 가능한 행렬 $M_{i}$ 들을 분류하고자 합니다. 이는 예를 들어 다음과 같기 때문입니다,

\mathrm{id}_{V}=\rho(\mathrm{id}_{A})=\rho(E_{1}+E_{2})=M_{1}+M_{2}.

같은 방식으로 $M_{1}M_{3}=M_{3}$ 입니다. 비슷한 방식으로 진행하면, 다음과 같은 곱셈표를 얻을 수 있습니다:

\begin{array}[]{r|llll}\times&M_{1}&M_{2}&M_{3}&M_{4}\\ \hline\cr M_{1}&M_{1}&0&M_{3}&0\\ M_{2}&0&M_{2}&0&M_{4}\\ M_{3}&0&M_{3}&0&M_{1}\\ M_{4}&M_{4}&0&M_{2}&0\end{array}\qquad\text{그리고}\qquad M_{1}+M_{2}=\mathrm{id}% _{V}

각 $M_{i}$ 는 선형 사상 $V\to V$ 임에 유의하십시오. 우리가 아는 한, 이것은 수백 개의 성분을 가질 수도 있습니다. 그럼에도 불구하고, 기저 $E_{i}$ 의 곱셈표가 주어지면 $M_{i}$ 에 대응하는 표를 얻습니다.

요컨대, 문제는 다음과 같습니다.

위의 곱셈표를 만족하는 모든 벡터 공간 $V$ 와 행렬의 사원조 $M_{i}$ 를 찾으십시오.

$W_{1}=M_{1}^{\text{img}}(V)$ 와 $W_{2}=M_{2}^{\text{img}}(V)$ 를 각각 $M_{1}$ 과 $M_{2}$ 의 상이라고 합시다.

주장 19.6.2.

$V=W_{1}\oplus W_{2}$ .

증명.

먼저, 임의의 $v\in V$ 에 대해 다음이 성립함에 유의하십시오

v=\rho(\mathrm{id})(v)=(M_{1}+M_{2})v=M_{1}v+M_{2}v.

더욱이 $W_{1}\cap W_{2}=\{0\}$ 인데, 왜냐하면 $M_{1}v_{1}=M_{2}v_{2}$ 라면 $M_{1}v_{1}=M_{1}(M_{1}v_{1})=M_{1}(M_{2}v_{2})=0$ 이기 때문입니다. ∎

주장 19.6.3.

$W_{1}\cong W_{2}$ .

증명.

다음 사상들이

W_{1}\xrightarrow{\times M_{4}}W_{2}\quad\text{그리고}\quad W_{2}\xrightarrow{% \times M_{3}}W_{1}

잘 정의되고 서로 역사상임을 확인하십시오. ∎

이제 $e_{1},\dots,e_{n}$ 을 $W_{1}$ 의 기저 원소라고 합시다. 그러면 $M_{4}e_{1}$ , …, $M_{4}e_{n}$ 은 $W_{2}$ 의 기저 원소입니다. 그런데 각 $\{e_{j},M_{4}e_{j}\}$ 는 $W=k^{\oplus 2}$ 와 동형인 부분표현의 기저를 이룹니다(그 동형사상은 무엇입니까?).

이는 결국 $A$ 의 모든 표현이 $W^{\oplus n}$ 꼴임을 함의합니다. 특히, 그보다 작은 차원의 표현이 전혀 존재하지 않으므로 $W$ 는 기약입니다!

19.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 19A.

$A$ 의 1차원 표현 $V_{1}=(V_{1},\rho_{1})$ 과 $V_{2}=(V_{2},\rho_{2})$ 가 있다고 합시다. $V_{1}\cong V_{2}$ 인 것과 모든 $a\in A$ 에 대해 $\rho_{1}(a)$ 와 $\rho_{2}(a)$ 가 같은 상수에 의한 곱셈인 것이 동치임을 보이십시오.

문제 19B (가환대수에 대한 슈어 보조정리).

$A$ 를 대수적으로 닫힌 체 $k$ 위의 가환 대수라고 합시다. $A$ 의 유한 차원 기약 표현은 모두 1차원임을 증명하십시오.

힌트. 임의의 $a\in A$ 에 대해, 사상 $v\mapsto a\cdot v$ 는 교환 사상입니다.

문제 19C.

$(V,\rho)$ 를 $A$ 의 표현이라고 합시다. 그러면 $\mathrm{Mat}(V)$ 는 다음과 같이 주어진 작용을 갖는 $A$ 의 표현입니다

a\cdot T=\rho(a)\circ T

$T\in\mathrm{Mat}(V)$ 에 대해

(a)

$\rho\colon\operatorname{Reg}(A)\to\mathrm{Mat}(V)$ 가 교환 연산자임을 보이십시오.
(b)

$V$ 가 $d$ 차원이면, $A$ 의 표현으로서 $\mathrm{Mat}(V)\cong V^{\oplus d}$ 임을 보이십시오.

힌트. (b)에 대해서는, 기저를 하나 골라 $T\mapsto(T(e_{1}),\dots,T(e_{n}))$ 을 취하십시오.

문제 19D.

대수 $A$ 를 고정합시다. 모든 교환 연산자를 찾으십시오

T\colon\operatorname{Reg}(A)\to\operatorname{Reg}(A).

힌트. 우측 곱셈.

풀이. 그 연산자들은 고정된 $b\in A$ 에 대해 $T(a)=ab$ 꼴인 것들입니다. 이것들이 성립함은 확인할 수 있는데, $c\in A$ 에 대해 $T(c\cdot a)=cab=c\cdot T(a)$ 이기 때문입니다. 이것들이 전부임을 보려면, 임의의 $a\in A$ 에 대해 $T(a)=T(a\cdot 1_{A})=a\cdot T(1_{A})$ 임에 유의하십시오.

문제 19E.

^†^†margin:

$(V,\rho)$ 를 대수 $A$ 의 분해 불가능한(기약이 아닌) 표현이라고 합시다. 임의의 교환 연산자 $T\colon V\to V$ 는 멱영이거나 동형사상임을 증명하십시오.

(체 $k$ 가 대수적으로 닫혀 있지 않을 수도 있으므로 정리 19.5.8는 적용되지 않음에 유의하십시오.)

힌트. 문제 9I를 적용하십시오.