장 19 대수의 표현

19세기에는 “군”이라는 단어가 아직 만들어지지 않았습니다. 모든 연구는 $\operatorname{GL}(n)$ 또는 $S_{n}$ 의 부분집합을 가지고 이루어졌습니다. 그로부터 훨씬 뒤에야 군의 추상적인 정의, 즉 그 자체로 하나의 대상인 추상적 집합 $G$ 가 주어졌습니다.

이러한 추상화가 여러 이유에서 좋기는 하지만, 구체적인 표현을 다루는 것도 유용한 경우가 많습니다. 이것이 표현론의 주제입니다. 선형대수학은 추상대수학보다 쉬우므로, 군 $G$ 를 $\operatorname{GL}(n)$ 에 속하는 행렬의 집합으로 구체적으로 표현할 수 있다면 연구하기가 더 쉬워집니다. 이것이 바로 군의 표현론입니다. 즉, 군을 택하여 그 원소를 행렬로 어떻게 표현할 수 있는지를 다룹니다.

19.1 대수

대표적인 예: $k[x_{1},\dots,x_{n}]$ 과 $k[G]$ .

처음부터 군을 직접 다루기보다는, 이른바 $k$ -대수를 다루는 편이 더 편리할 것입니다. 이 설정은 군의 설정보다 더 자연스럽고 일반적이므로, 대수의 이론을 충분히 전개하고 나면 군의 경우로 특수화하는 것은 그리 어렵지 않을 것입니다.

쉽게 말하면,

결합 $k$ -대수란 내부에 $k$ 의 사본을 가진, 비가환일 수도 있는 환입니다. 따라서 이는 $k$ -벡터 공간입니다.

정의에 앞서 예를 먼저 제시하겠습니다.

예제 19.1.1 ( $k$ -대수의 예).

$k$ 를 임의의 체라고 합시다. 다음은 $k$ -대수의 예입니다.

(a)

체 $k$ 자체.
(b)

다항식환 $k[x_{1},\dots,x_{n}]$ .
(c)

성분이 $k$ 에 속하는 $n\times n$ 행렬들의 집합으로, 이를 $\mathrm{Mat}_{n}(k)$ 로 표기합니다. 여기서의 곱셈은 가환이 아님에 유의하십시오.
(d)

선형 사상 $T\colon V\to V$ 들의 집합 $\mathrm{Mat}(V)$ 로, 곱셈은 연산자의 합성으로 주어집니다. (여기서 $V$ 는 $k$ 위의 어떤 벡터 공간입니다.) 이는 사실상 앞의 예와 같습니다.

정의 19.1.2.

$k$ 를 체라고 합시다. $k$ -대수 $A$ 란 환 준동형사상 $k\hookrightarrow A$ 를 갖춘 비가환일 수도 있는 환으로, 이 사상의 상이 “ $k$ 의 사본”입니다. (특히 $1_{k}\mapsto 1_{A}$ 입니다.)

따라서 $k$ 를 $A$ 의 부분집합으로 간주할 수 있으며, 여기에 더해 각 $\lambda\in k$ 와 $a\in A$ 에 대하여 $\lambda\cdot a=a\cdot\lambda$ 일 것을 요구합니다.

곱셈 연산도 가환이면, $A$ 를 가환대수학이라고 합니다.

정의 19.1.3.

동치로, $k$ -대수 $A$ 란 결합적이고 쌍선형인 곱셈 연산(항등원 $1_{A}$ 를 가짐)도 갖는 $k$ -벡터 공간입니다. “ $k$ 의 사본”은 각 $\lambda\in k$ 에 대한 원소 $\lambda 1_{A}$ 를 고려하여 얻습니다(즉 벡터 공간 구조를 활용하여 항등원을 $k$ 의 원소들로 스칼라배합니다).

표기의 남용 19.1.4.

다른 몇몇 저자들은 $A$ 가 결합적이거나 항등원을 가질 것을 요구하지 않으므로, 그들에게는 방금 우리가 정의한 것이 “ $1$ 을 가진 결합 대수”입니다. 그러나 우리의 목적에는 이 표현이 불필요하게 장황합니다.

예제 19.1.5 (군 대수).

군 대수 $k[G]$ 란 군 $G$ 의 원소들을 기저 원소로 하고, 두 기저 원소의 곱이 군의 곱셈으로 주어지는 $k$ -벡터 공간입니다. 예를 들어 $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{1_{G},x\}$ 라고 합시다. 그러면

k[G]=\left\{a1_{G}+bx\mid a,b\in k\right\}

곱셈은 다음과 같이 주어집니다

(a1_{G}+bx)(c1_{G}+dx)=(ac+bd)1_{G}+(bc+ad)x.

질문 19.1.6.

$k[G]$ 는 언제 가환입니까?

$k[G]$ 라는 예는 매우 중요합니다. (곧 보게 되겠지만) 대수 $k[G]$ 의 표현은 곧 군 $G$ 자체의 표현이기 때문입니다.

이 시점에서 다음을 언급해 둘 만합니다.

정의 19.1.7.

$k$ -대수 $A$ , $B$ 의 준동형사상이란 곱셈을 보존하고(즉 $T(xy)=T(x)T(y)$ ) $1_{A}$ 를 $1_{B}$ 로 보내는 선형 사상 $T\colon A\to B$ 입니다. 다시 말해, $T$ 는 환으로서의 준동형사상이면서 동시에 벡터 공간으로서의 준동형사상입니다.

예제 4.3.8의 “곱환”도 다시 떠올릴 필요가 있지만, 대수에 대해서는 다른 이름과 표기법을 쓰겠습니다.

정의 19.1.8.

$k$ -대수 $A$ 와 $B$ 가 주어졌을 때, 직합 $A\oplus B$ 는 $a+b$ 꼴의 쌍들로 정의합니다. 여기서 덧셈은 당연한 방식으로 하되, 임의의 $a\in A$ 와 $b\in B$ 에 대해 $ab=0$ 이라고 정합니다.

질문 19.1.9.

$1_{A}+1_{B}$ 가 $A\oplus B$ 의 곱셈 항등원임을 보이십시오.

동등하게, 정의 9.3.1 및 예제 4.3.8와 비슷하게, 직합 $A\oplus B$ 를 쌍 $(a,b)$ 들의 집합으로 정의하고 곱셈을 $(a,b)(a^{\prime},b^{\prime})=(aa^{\prime},bb^{\prime})$ 로 정의할 수도 있습니다. 이 표기법에서는 $(1_{A},1_{B})$ 가 $A\oplus B$ 의 곱셈 항등원이 됩니다.

19.2 표현

대표적인 예: $k^{\oplus 3}$ 에 작용하는 $k[S_{3}]$ 가 제가 가장 좋아하는 예입니다.

정의 19.2.1.

$k$ -대수 $A$ 의 표현( 왼쪽 $A$ -가군이라고도 합니다)은 다음으로 이루어집니다.

(i)

$k$ -벡터 공간 $V$ , 그리고
(ii)
$V$ 에 대한 $A$ 의 작용 $\cdot$ : 즉, 모든 $a\in A$ 에 대해 $v\in V$ 를 택하여 $a$ 를 작용시키면 $a\cdot v$ 를 얻습니다. 이 작용은 통상적인 공리를 만족합니다.
- •
  
  $(a+b)\cdot v=a\cdot v+b\cdot v$ , $a\cdot(v+w)=a\cdot v+a\cdot w$ , 그리고 $(ab)\cdot v=a\cdot(b\cdot v)$ 입니다.
- •
  
  $\lambda\in k$ 에 대해 $\lambda\cdot v=\lambda v$ 입니다. 특히 $1_{A}\cdot v=v$ 입니다.

정의 19.2.2.

$A$ 의 작용은 $k$ -대수 준동형사상 $\rho\colon A\to\mathrm{Mat}(V)$ 가 존재한다고 말함으로써 더 간결하게 기술할 수 있습니다. (따라서 $a\cdot v=\rho(a)(v)$ 입니다.) 그러므로 $A$ 의 표현을 다음과 같은 쌍으로 정의할 수도 있습니다

\left(V,\rho\colon A\to\mathrm{Mat}(V)\right).

이는 원소가 $n$ 개인 집합 $X$ 위의 군 작용 $G$ 가 군 준동형사상 $G\to S_{n}$ 에 불과하다는 것과 완전히 유사합니다. 이러한 관점에서 우리가 실제로 하려는 것은 다음과 같습니다.

$A$ 가 대수일 때, 우리는 $A$ 의 원소들을 행렬로 표현하려는 것입니다.

표기의 남용 19.2.3.

표현은 벡터 공간 $V$ 와 작용 $\rho$ 둘 다로 이루어진 쌍 $(V,\rho)$ 이지만, 흔히 이를 그냥 “ $V$ ”로 줄여 쓰겠습니다. 이는 아마 제가 저지를 가장 심한 표기 남용 중 하나이겠지만, 다른 사람들도 모두 그렇게 하고 있고 저는 군중이 두렵습니다.

표기의 남용 19.2.4.

$\rho(a)(v)$ 대신 그냥 $\rho(a)v$ 라고 쓰겠습니다.

예제 19.2.5 ( $\mathrm{Mat}(V)$ 의 표현).

(a)

$A=\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})$ 라고 합시다. 그러면 행렬 $a\in A$ 가 단순히 $a\cdot v=\rho(a)(v)=a(v)$ 로 작용하는 표현 $(\mathbb{R}^{\oplus 2},\rho)$ 가 존재합니다.
(b)

더 일반적으로, 임의의 체 $k$ 위의 벡터 공간 $V$ 가 주어지면 $a\cdot v=\rho(a)(v)=a(v)$ 로 주어지는 $A=\mathrm{Mat}(V)$ 의 당연한 표현이 존재합니다( $a\in\mathrm{Mat}(V)$ 이므로).

행렬의 관점에서 보면, $A=\mathrm{Mat}(V)$ 일 때 $A$ 를 그냥 $V$ 위의 행렬로 표현할 수 있습니다.
(c)

$A=\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})$ 의 다른 표현도 있습니다. 시시한 예로는 다음과 같이 주어지는 표현 $(\mathbb{R}^{\oplus 4},\rho)$ 가 있습니다

$\rho:\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}a&b&0&0\\ c&d&0&0\\ 0&0&a&b\\ 0&0&c&d\end{bmatrix}.$

더 추상적으로, $\mathbb{R}^{\oplus 4}$ 를 $(\mathbb{R}^{\oplus 2})\oplus(\mathbb{R}^{\oplus 2})$ 로 보면, 이는 $a\cdot(v_{1},v_{2})=(a\cdot v_{1},a\cdot v_{2})$ 입니다.

예제 19.2.6 (다항식 대수의 표현).

(a)

$A=k$ 라고 합시다. 그러면 $k$ 의 표현은 그저 임의의 $k$ -벡터 공간 $V$ 입니다.
(b)

$A=k[x]$ 이면, $A$ 의 표현 $(V,\rho)$ 는 벡터 공간 $V$ 에 선형 사상 $T\in\mathrm{Mat}(V)$ 하나를 ( $T=\rho(x)$ 로) 선택한 것과 같습니다.
(c)

$A=k[x]/(x^{2})$ 이면, $A$ 의 표현 $(V,\rho)$ 는 벡터 공간 $V$ 에 $T^{2}=0$ 을 만족하는 선형 사상 $T\in\mathrm{Mat}(V)$ 하나를 선택한 것과 같습니다.
(d)

이러한 방식으로 임의의 “함수 방정식”을 만들 수 있습니다. 예를 들어 $A=k[x,y]/(x^{2}-x+y,y^{4})$ 이면, $A$ 를 $V$ 로 표현하는 것은 $S^{2}=S-T$ 와 $T^{4}=0$ 을 만족하며 서로 교환하는 연산자 $S,T\in\mathrm{Mat}(V)$ 를 찾는 것과 같습니다.

예제 19.2.7 (군의 표현).

(a)

$A=\mathbb{R}[S_{3}]$ 이라고 합시다. 그리고 다음과 같이 둡시다.

$V=\mathbb{R}^{\oplus 3}=\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\}.$

$A$ 가 $V$ 에 다음과 같이 작용하도록 할 수 있습니다. 순열 $\pi\in S_{3}$ 이 주어지면 $V$ 에서 대응하는 좌표들을 치환합니다. 예를 들어 다음과 같다면

$\text{만약}\pi=(1\;2)\text{그러면}\pi\cdot(x,y,z)=(y,x,z).$

이를 선형적으로 확장하면 좌표를 치환하는 방식으로 $A$ 가 $V$ 에 작용하게 됩니다.

행렬의 관점에서 보면, 우리가 하는 일은 $S_{3}$ 의 순열들을 $k^{\oplus 3}$ 위의 순열 행렬로 표현하는 것이며, 예를 들면 다음과 같습니다.

$(1\;2)\mapsto\begin{bmatrix}0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}.$
(b)

더 일반적으로, $A=k[G]$ 라고 합시다. 그러면 $A$ 의 표현 $(V,\rho)$ 는 군 준동형사상 $\psi\colon G\to\operatorname{GL}(V)$ 와 같습니다. (특히 $\rho(1_{G})=\mathrm{id}_{V}$ 입니다.) 이를 $G$ 의 군 표현이라고 부릅니다.

예제 19.2.8 (정칙 표현).

모든 $k$ -대수 $A$ 는 $a\cdot b=\rho(a)(b)=ab$ (즉 $A$ 가 주는 곱셈)에 의해 자기 자신 위의 표현 $(A,\rho)$ 가 됩니다. 이를 정칙 표현이라고 부르며, $\operatorname{Reg}(A)$ 로 표기합니다.

19.3 직합

대표적인 예: $\mathbb{R}[S_{3}]$ 을 사용한 예가 가장 좋아 보입니다.

정의 19.3.1.

$A$ 를 $k$ -대수라 하고, $V=(V,\rho_{V})$ 와 $W=(W,\rho_{W})$ 를 $A$ 의 두 표현이라고 합시다. 그러면 $V\oplus W$ 는 표현이 되며, 그 작용 $\rho$ 는 다음과 같이 주어집니다.

a\cdot(v,w)=(a\cdot v,a\cdot w).

이 표현을 $V$ 와 $W$ 의 직합이라고 부릅니다.

예제 19.3.2.

앞에서 우리는 $\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})$ 가 $\mathbb{R}^{\oplus 4}$ 에 다음과 같이 작용하도록 했습니다.

\rho:\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}a&b&0&0\\ c&d&0&0\\ 0&0&a&b\\ 0&0&c&d\end{bmatrix}.

따라서 이것은 두 개의 2차원 표현의 직합일 뿐입니다.

$\mathbb{R}^{\oplus 4}$ 의 벡터를 $\mathbb{R}^{\oplus 2}$ 의 두 벡터를 $\begin{pmatrix}e&f\\ g&h\end{pmatrix}$ 처럼 “가로로 쌓은” 것으로 볼 수도 있으며, 그러면 작용은 다음과 같이 주어집니다.

\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\cdot\begin{pmatrix}e&f\\ g&h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}.

비고 19.3.3.

아마도 이것이 사람들이 $\rho_{V}$ 를 함께 쓰지 않고 $V$ 만으로 표현을 나타내는 경향이 있는 이유일 것입니다. $k$ -대수 $A$ 를 $\mathrm{Mat}_{d}(k)$ 의 부분대수로 매장할 수 있기만 하면, $V$ 는 명백한 $k^{\oplus d}$ 표현 $m$ 개를 가로로 쌓은 $(k^{\oplus d})^{\oplus m}$ 의 부분표현으로 동형적으로 매장될 수 있습니다.

더 일반적으로, 표현 $(V,\rho_{V})$ 와 $(W,\rho_{W})$ 가 주어지면 $V\oplus W$ 의 표현 $\rho$ 는 다음과 같은 모습입니다.

\rho(a)=\begin{bmatrix}\rho_{V}(a)&0\\ 0&\rho_{W}(a)\end{bmatrix}.

예제 19.3.4 ( $S_{n}$ 의 표현의 분해).

다시 $A=\mathbb{R}[S_{3}]$ 이 좌표의 순열을 통해 다음 공간 위에 작용한다고 합시다.

V=\mathbb{R}^{\oplus 3}=\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\}.

다음 두 부분공간을 생각해 봅시다.

	$\displaystyle W_{1}$	$\displaystyle=\left\{(t,t,t)\mid t\in\mathbb{R}\right\}$
	$\displaystyle W_{2}$	$\displaystyle=\left\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\right\}.$

벡터 공간으로서 $V=W_{1}\oplus W_{2}$ 임에 주목하십시오. 그런데 $W_{1}$ 과 $W_{2}$ 는 각각 부분표현이므로( $A$ 의 작용이 각 $W_{i}$ 를 제자리에 유지하기 때문입니다), 표현으로서도 $V=W_{1}\oplus W_{2}$ 입니다.

직합은 대수를 다룰 때에도 등장합니다.

명제 19.3.5 ( $A\oplus B$ 의 표현은 $V_{A}\oplus V_{B}$ 입니다).

$A$ 와 $B$ 를 $k$ -대수라고 합시다. 그러면 $A\oplus B$ 의 모든 표현은 다음 꼴입니다.

V_{A}\oplus V_{B}

여기서 $V_{A}$ 와 $V_{B}$ 는 각각 $A$ 와 $B$ 의 표현입니다.

예제 19.3.6.

$A=B=\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})$ 로 둡시다. $k$ -대수 $A\oplus B$ 에는 명백한 표현 두 개 $V_{A}$ 와 $V_{B}$ 가 있으며, 이들은 각각 $A$ 와 $B$ 의 작용에 대응합니다.

$V_{A}$ 와 $V_{B}$ 는 각각 $\mathbb{R}$ -벡터 공간으로서 $\mathbb{R}^{\oplus 2}$ 와 동형입니다.

이 명제가 말하는 것은, $a\in A$ 와 $b\in B$ 에 대하여 $(a+b)\cdot v=a\cdot v+2b\cdot v$ 처럼 $A$ 와 $B$ 의 작용을 “섞어서” $A\oplus B$ 의 어떤 표현 $V\cong\mathbb{R}^{2}$ 를 얻을 수는 없다는 것입니다.

증명의 개요.

$(V,\rho)$ 를 $A\oplus B$ 의 표현이라고 합시다. 임의의 $v\in V$ 에 대하여 $\rho(1_{A}+1_{B})v=\rho(1_{A})v+\rho(1_{B})v$ 입니다. 그러면 $V_{A}=\{\rho(1_{A})v\mid v\in V\}$ 와 $V_{B}=\{\rho(1_{B})v\mid v\in V\}$ 로 둘 수 있습니다. 이들은 서로소인데, $\rho(1_{A})v=\rho(1_{B})v^{\prime}$ 이면 $\rho(1_{A})v=\rho(1_{A}1_{A})v=\rho(1_{A}1_{B})v^{\prime}=0_{V}$ 이고, 반대쪽도 마찬가지이기 때문입니다. ∎

위의 예에서 표현 $V_{A}\oplus V_{B}$ 를 $\mathbb{R}^{4}$ 로 보면, $A$ 의 임의의 원소가 $V_{A}\oplus V_{B}$ 의 원소에 작용할 때 그 벡터의 $V_{B}$ -성분은 0이 됩니다.

따라서 증명의 핵심 아이디어는 다음과 같습니다.

$A\oplus B$ 의 $A$ 성분과 $B$ 성분을 $V$ 에 작용시켜 벡터 공간 $V$ 를 성분 $V_{A}$ 와 $V_{B}$ 로 사영함으로써 부분표현들을 분리해 냅니다.

19.4 기약 표현과 분해 불가능 표현

대표적인 예: $k[S_{3}]$ 는 두 공간의 합으로 분해됩니다.

표현론의 목표 중 하나는 대수 $A$ 의 가능한 모든 표현을 분류하는 것입니다. 이를 해낼 희망을 가지려면, 다음과 같은 “시시한” 표현은 버리고

\rho:\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}a&b&0&0\\ c&d&0&0\\ 0&0&a&b\\ 0&0&c&d\end{bmatrix}

대신 “기약” 표현에 주의를 집중하고자 합니다. 이로부터 다음 정의가 나옵니다.

정의 19.4.1.

$V$ 를 $A$ 의 표현이라고 합시다. 부분표현 $W\subseteq V$ 란 임의의 $a\in A$ 와 $w\in W$ 에 대하여 $a\cdot w\in W$ 라는 성질을 갖는 부분공간 $W$ 입니다. 다시 말해, 이 부분공간은 $A$ 의 작용에 대하여 불변입니다.

따라서 예를 들어 표현 $W_{1}$ , $W_{2}$ 에 대하여 $V=W_{1}\oplus W_{2}$ 이면 $W_{1}$ 과 $W_{2}$ 는 $V$ 의 부분표현입니다.

정의 19.4.2.

$V$ 가 0이 아닌 진부분표현을 갖지 않으면 $V$ 는 기약입니다. $V=W_{1}\oplus W_{2}$ 를 만족하는 진부분표현의 쌍 $W_{1}$ , $W_{2}$ 가 존재하지 않으면, $V$ 는 분해 불가능하다고 합니다.

정의 19.4.3.

간결함을 위해 대수/군의 기약 표현(irrep)이라고 하면 irreducible representation을 뜻합니다. ( $A$ 가 유한 차원이면 모든 기약 표현의 차원은 자동으로 최대 $\dim A$ 입니다. 이 교재에서는 $\dim A$ 가 반드시 유한하지 않은 경우에도 무한 차원 기약 표현은 전혀 다루지 않습니다.)

예제 19.4.4 ( $S_{n}$ 의 표현의 분해).

다시 $A=\mathbb{R}[S_{3}]$ 이 좌표의 순열을 통해 다음 공간 위에 작용한다고 합시다.

V=\mathbb{R}^{\oplus 3}=\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\}.

다시 다음 두 부분공간을 생각하십시오.

	$\displaystyle W_{1}$	$\displaystyle=\left\{(t,t,t)\mid t\in\mathbb{R}\right\}$
	$\displaystyle W_{2}$	$\displaystyle=\left\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\right\}.$

앞에서 보았듯이 $V=W_{1}\oplus W_{2}$ 이므로 $V$ 는 기약이 아닙니다. 하지만 $W_{1}$ 과 $W_{2}$ 가 기약(따라서 분해 불가능)임은 다음과 같이 보일 수 있습니다.

•

$W_{1}$ 의 경우 $W_{1}$ 은 1차원이므로 자명합니다.
•

$W_{2}$ 의 경우, $a+b+c=0$ 이고 모두 0은 아닌 임의의 벡터 $w=(a,b,c)$ 를 생각합시다. 그러면 일반성을 잃지 않고 $a\neq b$ 라고 가정할 수 있습니다(세 좌표가 모두 같지는 않기 때문입니다). 이 경우 $(1\;2)$ 는 $w$ 를 $w^{\prime}=(b,a,c)$ 로 보냅니다. 그러면 $w$ 와 $w^{\prime}$ 은 $W_{2}$ 를 생성합니다.

따라서 $V$ 는 기약 표현들로 완전히 분해됩니다.

안타깝게도 $W$ 가 $V$ 의 부분표현이라고 해서 $V=W\oplus W^{\prime}$ 을 만족하는 보충 벡터 공간 $W^{\prime}$ 을 항상 찾을 수 있는 것은 아닙니다. 달리 말하면, $V$ 가 가약이면 부분표현이 있다는 것은 알 수 있지만, 분해하려면 부분표현이 두 개 필요합니다. 다음은 표준적인 반례입니다.

연습문제 19.4.5.

$A=\mathbb{R}[x]$ 라 하고, $V=\mathbb{R}^{\oplus 2}$ 를 다음 작용을 갖는 표현이라 합시다.

\rho(x)=\begin{bmatrix}1&1\\ 0&1\end{bmatrix}.

유일한 부분표현이 $W=\{(t,0)\mid t\in\mathbb{R}\}$ 임을 보이십시오. 따라서 $V$ 는 기약이 아니지만 분해 불가능합니다.

다음은 조금 더 낙관적인 예이자, 기억해 두어야 할 “전형적인 예”입니다.

연습문제 19.4.6.

$A=\mathrm{Mat}_{d}(k)$ 라 하고, 앞에서 설명한 $A$ 의 자연스러운 표현 $k^{\oplus d}$ 를 생각합시다. 이 표현이 기약임을 보이십시오. (정의를 충분히 이해했다면 자명합니다.)

19.5 표현의 사상

이제 표현 사이의 사상을 정의하겠습니다.

정의 19.5.1.

$(V,\rho_{V})$ 와 $(W,\rho_{W})$ 를 $A$ 의 표현이라 합시다. 얽힘 연산자 또는 사상이란 다음을 만족하는 선형 사상 $T\colon V\to W$ 입니다.

T(a\cdot v)=a\cdot T(v)

이 식은 임의의 $a\in A$ , $v\in V$ 에 대해 성립해야 합니다. (첫 번째 $\cdot$ 은 $\rho_{V}$ 의 작용이고 두 번째 $\cdot$ 은 $\rho_{W}$ 의 작용임에 유의하십시오.) $V$ 와 $W$ 를 “왼쪽 $A$ -가군”으로 생각한다면 정확히 예상한 그대로입니다. $T$ 가 가역이면 이는 표현의 동형사상이며, 이때 $V\cong W$ 라고 씁니다.

비고 19.5.2 (가환 도식 애호가를 위해).

조건 $T(a\cdot v)=a\cdot T(v)$ 는 다음 도식이

임의의 $a\in A$ 에 대해 가환한다는 뜻으로 읽을 수 있습니다.

비고 19.5.3 (범주 애호가를 위해).

표현이란 대상이 하나뿐인 아벨 범주 $\{\ast\}$ (따라서 $\operatorname{Hom}(\ast,\ast)\cong A$ )에서 아벨 범주 $\mathsf{Vect}_{k}$ 로 가는 “쌍선형” 함자일 뿐입니다. 그러면 얽힘 연산자는 자연 변환에 지나지 않습니다.

다음은 얽힘 연산자의 몇 가지 예입니다.

예제 19.5.4 (얽힘 연산자).

(a)

임의의 $\lambda\in k$ 에 대해 스칼라 사상 $T(v)=\lambda v$ 는 얽힘 연산자입니다.
(b)

$W\subseteq V$ 가 부분표현이면 포함 사상 $W\hookrightarrow V$ 는 얽힘 연산자입니다.
(c)

사영 사상 $V_{1}\oplus V_{2}\twoheadrightarrow V_{1}$ 은 얽힘 연산자입니다.
(d)

$V=\mathbb{R}^{\oplus 2}$ 라 하고, $A=\mathbb{R}[x]$ 를 $(V,\rho)$ 로 표현합시다. 여기서 $\rho$ 는 다음과 같습니다.

$\rho(x)=\begin{bmatrix}0&1\\ -1&0\end{bmatrix}.$

따라서 $\rho(x)$ 는 원점을 중심으로 한 $90^{\circ}$ 회전입니다. $T$ 를 $30^{\circ}$ 회전이라 합시다. 그러면 $T\colon V\to V$ 는 얽힘 연산자입니다(두 회전은 서로 교환됩니다).

예제 19.5.5 (성립하지 않는 예: $\mathrm{Mat}(V)$ 의 표현).

$A=\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})\oplus\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})$ 라고 합시다. 그러면 $A$ 는 다음 꼴의 행렬들로 이루어진 $\mathrm{Mat}_{4}(\mathbb{R})$ 의 부분집합으로 볼 수 있습니다

\begin{bmatrix}a&b&0&0\\ c&d&0&0\\ 0&0&e&f\\ 0&0&g&h\end{bmatrix}.

$A$ 에는 명백한 기약 표현이 두 개 있습니다. 하나는 $(m,n,0,0)$ 꼴의 $\mathbb{R}^{4}$ 벡터들로 이루어진 $V_{1}$ 이고, 다른 하나는 $(0,0,p,q)$ 꼴의 $\mathbb{R}^{4}$ 벡터들로 이루어진 $V_{2}$ 입니다.

이 경우 $V_{1}$ 과 $V_{2}$ 는 $\mathbb{R}$ -벡터 공간으로서는 동형이지만, $A$ 의 표현으로서는 동형이 아닙니다 – 따라서 $V_{1}$ 에서 $V_{2}$ 로 가는 얽힘 연산자는 모두 항등적으로 0이어야 합니다.

연습문제 19.5.6 (핵과 상은 부분표현입니다).

$T\colon V\to W$ 가 얽힘 연산자라고 합시다.

(a)

$\ker T\subseteq V$ 가 $V$ 의 부분표현임을 보이십시오.
(b)

$\operatorname{im}T\subseteq W$ 가 $W$ 의 부분표현임을 보이십시오.

앞의 연습문제로부터 유명한 슈어 보조정리를 얻습니다.

정리 19.5.7 (슈어 보조정리).

$V$ 와 $W$ 가 $k$ -대수 $A$ 의 표현이라고 합시다. $T\colon V\to W$ 가 0이 아닌 얽힘 연산자라고 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

(a)

$V$ 가 기약이면 $T$ 는 단사입니다.
(b)

$W$ 가 기약이면 $T$ 는 전사입니다.

특히 $V$ 와 $W$ 가 모두 기약이면 $T$ 는 동형사상입니다.

중요한 특수한 경우는 $k$ 가 대수적으로 닫혀 있고 유한 차원인 경우입니다. 이때 얽힘 연산자 $T\colon V\to V$ 는 상수배 곱셈뿐입니다.

정리 19.5.8 (대수적으로 닫힌 체에 대한 슈어 보조정리).

$k$ 를 대수적으로 닫힌 체라고 합시다. $V$ 를 $k$ -대수 $A$ 의 유한 차원 기약 표현이라고 합시다. 그러면 모든 얽힘 연산자 $T\colon V\to V$ 는 스칼라배 곱셈입니다.

연습문제 19.5.9.

$T$ 가 고윳값 $\lambda$ 를 가진다는 사실을 이용하여 슈어 보조정리로부터 이를 유도하십시오. ( $T-\lambda\cdot\mathrm{id}_{V}$ 를 생각하고, 슈어 보조정리를 이용하여 이것이 0임을 유도하십시오.)

$k=\mathbb{R}$ 인 경우의 반례로 $90^{\circ}$ 회전을 이미 살펴보았습니다. 이것은 모든 선형 사상이 고윳값을 가진다는 주장에 대해 제시했던 것과 같은 반례였습니다.

19.6 $\mathrm{Mat}_{d}(k)$ 의 표현

지금 단계에서 이미 어느 정도까지 나아갈 수 있는지 예를 들기 위해 다음을 증명합니다.

정리 19.6.1 ( $\mathrm{Mat}_{d}(k)$ 의 표현).

$k$ 를 임의의 체, $d$ 를 양의 정수라 하고, $W=k^{\oplus d}$ 를 $A=\mathrm{Mat}_{d}(k)$ 의 자연스러운 표현이라 합시다. 그러면 $\mathrm{Mat}_{d}(k)$ 의 유한 차원 표현은 (동형사상에 의한 차이를 무시하면) 어떤 양의 정수 $n$ 에 대한 $W^{\oplus n}$ 뿐입니다. 특히 이 표현이 기약일 필요충분조건은 $n=1$ 입니다.

구체적으로 보기 위해 $d=2$ 인 경우만 개략적으로 증명하겠습니다. 같은 증명이 다른 경우에도 그대로 적용되기 때문입니다. 이로써 앞에서 제시한 $\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})$ 의 표현의 예들이 전부임을 알 수 있습니다.

앞에서 말했듯이 이것은 본질적으로 함수 방정식입니다. 대수 $A=\mathrm{Mat}_{2}(k)$ 에는 다음 네 행렬로 주어지는 기저가 있습니다

E_{1}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&0\end{bmatrix},\qquad E_{2}=\begin{bmatrix}0&0\\ 0&1\end{bmatrix},\qquad E_{3}=\begin{bmatrix}0&1\\ 0&0\end{bmatrix},\qquad E_{4}=\begin{bmatrix}0&0\\ 1&0\end{bmatrix}

이 행렬들은 $E_{1}+E_{2}=\mathrm{id}_{A}$ , $E_{1}^{2}=E_{1}$ , $E_{3}^{2}=0$ , $E_{1}E_{2}=0$ 등의 관계를 만족합니다. 그러므로 $V$ 를 $A$ 의 표현이라 하고, 각 $i$ 에 대해 $M_{i}=\rho(E_{i})$ 라고 합시다. 우리는 같은 함수 방정식을 만족하는 $V$ 위의 행렬 $M_{i}$ 로 가능한 것들을 분류하고자 합니다. 그 이유는 예를 들어 다음과 같기 때문입니다.

\mathrm{id}_{V}=\rho(\mathrm{id}_{A})=\rho(E_{1}+E_{2})=M_{1}+M_{2}.

같은 이유로 $M_{1}M_{3}=M_{3}$ 입니다. 비슷한 방식으로 진행하면 다음 곱셈표를 얻을 수 있습니다.

\begin{array}[]{r|llll}\times&M_{1}&M_{2}&M_{3}&M_{4}\\ \hline\cr M_{1}&M_{1}&0&M_{3}&0\\ M_{2}&0&M_{2}&0&M_{4}\\ M_{3}&0&M_{3}&0&M_{1}\\ M_{4}&M_{4}&0&M_{2}&0\end{array}\qquad\text{그리고}\qquad M_{1}+M_{2}=\mathrm{id}% _{V}

각 $M_{i}$ 는 선형 사상 $V\to V$ 라는 점에 유의하십시오. 우리가 아는 한, 이것은 수백 개의 성분을 가질 수도 있습니다. 그럼에도 불구하고, 기저 $E_{i}$ 의 곱셈표가 주어지면 $M_{i}$ 에 대한 대응하는 표를 얻습니다.

요컨대, 문제는 다음과 같습니다.

위의 곱셈표를 만족하는 모든 벡터 공간 $V$ 와 행렬 네 개의 조 $M_{i}$ 를 구하십시오.

$W_{1}=M_{1}^{\text{img}}(V)$ 와 $W_{2}=M_{2}^{\text{img}}(V)$ 를 각각 $M_{1}$ 과 $M_{2}$ 의 상이라고 합시다.

주장 19.6.2.

$V=W_{1}\oplus W_{2}$ .

증명.

먼저, 임의의 $v\in V$ 에 대하여 다음이 성립함에 유의하십시오.

v=\rho(\mathrm{id})(v)=(M_{1}+M_{2})v=M_{1}v+M_{2}v.

또한 $W_{1}\cap W_{2}=\{0\}$ 입니다. 왜냐하면 $M_{1}v_{1}=M_{2}v_{2}$ 이면 $M_{1}v_{1}=M_{1}(M_{1}v_{1})=M_{1}(M_{2}v_{2})=0$ 이기 때문입니다. ∎

주장 19.6.3.

$W_{1}\cong W_{2}$ .

증명.

다음 사상들이

W_{1}\xrightarrow{\times M_{4}}W_{2}\quad\text{그리고}\quad W_{2}\xrightarrow{% \times M_{3}}W_{1}

잘 정의되며 서로의 역사상임을 확인하십시오. ∎

이제 $e_{1},\dots,e_{n}$ 을 $W_{1}$ 의 기저 원소라고 합시다. 그러면 $M_{4}e_{1}$ , …, $M_{4}e_{n}$ 은 $W_{2}$ 의 기저 원소입니다. 그런데 각 $\{e_{j},M_{4}e_{j}\}$ 는 $W=k^{\oplus 2}$ 와 동형인 부분표현의 기저를 이룹니다(그 동형사상은 무엇입니까?).

이로부터 마침내 $A$ 의 모든 표현이 $W^{\oplus n}$ 꼴임을 알 수 있습니다. 특히, 그보다 작은 차원의 표현이 아예 존재하지 않으므로 $W$ 는 기약입니다!

19.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 19A.

$A$ 의 1차원 표현 $V_{1}=(V_{1},\rho_{1})$ 과 $V_{2}=(V_{2},\rho_{2})$ 가 있다고 합시다. $V_{1}\cong V_{2}$ 일 필요충분조건은 모든 $a\in A$ 에 대하여 $\rho_{1}(a)$ 와 $\rho_{2}(a)$ 가 같은 상수에 의한 곱셈인 것임을 보이십시오.

문제 19B (가환대수학에 대한 슈어 보조정리).

$A$ 가 대수적으로 닫힌 체 $k$ 위의 가환 대수라고 합시다. $A$ 의 모든 유한 차원 기약 표현이 1차원임을 증명하십시오.

힌트. 임의의 $a\in A$ 에 대하여, 사상 $v\mapsto a\cdot v$ 는 얽힘 사상입니다.

문제 19C.

$(V,\rho)$ 를 $A$ 의 표현이라고 합시다. 그러면 $\mathrm{Mat}(V)$ 는 다음과 같이 주어지는 작용을 갖는 $A$ 의 표현입니다.

a\cdot T=\rho(a)\circ T

여기서 $T\in\mathrm{Mat}(V)$ 입니다.

(a)

$\rho\colon\operatorname{Reg}(A)\to\mathrm{Mat}(V)$ 가 얽힘 연산자임을 보이십시오.
(b)

$V$ 가 $d$ 차원이면, $A$ 의 표현으로서 $\mathrm{Mat}(V)\cong V^{\oplus d}$ 임을 보이십시오.

힌트. (b)에 대해서는, 기저를 하나 택하여 $T\mapsto(T(e_{1}),\dots,T(e_{n}))$ 을 생각하십시오.

문제 19D.

대수 $A$ 를 고정합시다. 다음 얽힘 연산자를 모두 구하십시오.

T\colon\operatorname{Reg}(A)\to\operatorname{Reg}(A).

힌트. 오른쪽 곱셈입니다.

풀이. 이 연산자들은 어떤 고정된 $b\in A$ 에 대하여 $T(a)=ab$ 꼴인 것들입니다. $c\in A$ 에 대하여 $T(c\cdot a)=cab=c\cdot T(a)$ 이므로 이것들이 조건을 만족함을 확인할 수 있습니다. 이것들이 전부임을 보려면, 임의의 $a\in A$ 에 대하여 $T(a)=T(a\cdot 1_{A})=a\cdot T(1_{A})$ 임에 유의하십시오.

문제 19E.

^†^†margin:

$(V,\rho)$ 를 대수 $A$ 의 분해 불가능한(기약이 아닌) 표현이라고 합시다. 임의의 얽힘 연산자 $T\colon V\to V$ 는 멱영이거나 동형사상임을 증명하십시오.

(체 $k$ 가 대수적으로 닫혀 있지 않을 수 있으므로 정리 19.5.8는 적용되지 않는다는 점에 유의하십시오.)

힌트. 문제 9I를 적용하십시오.