장 51 리만-로흐 정리

51.1 동기

복소해석학의 기본적인 사실 하나를 상기해 봅시다:

정칙 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 함수는 원점에서의 테일러 급수 전개에 의해 유일하게 결정됩니다.

실수 매끄러운 함수의 경우와 비교하면 이는 이미 매우 경직된 성질입니다 — 원점의 작은 근방에서의 함숫값이 모든 곳에서의 함숫값을 결정합니다 — 하지만 함수 하나를 지정하려면 여전히 무한히 많은 좌표가 필요합니다!

한편, 다음과 같은 리우빌 정리가 있습니다:

유계인 정칙 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 함수는 상수 함수입니다.

앞서 배운 것처럼, 이 정리를 리만 곡면의 언어로 표현하면 다음과 같이 더 우아하게 바꾸어 말할 수 있습니다:

정칙 $\mathbb{C}_{\infty}\to\mathbb{C}$ 함수는 상수 함수입니다.

다시 말해, 정칙 $\mathbb{C}_{\infty}\to\mathbb{C}$ 함수를 지정하려면 복소수 하나만 있으면 됩니다! 즉, $\mathbb{C}$ -벡터 공간 $\operatorname{Hom}(\mathbb{C}_{\infty},\mathbb{C})$ 의 차원은 $1$ 입니다.

자연스럽게 “그 중간에 해당하는 것이 있는가”라고 물을 수 있습니다. 있습니다! 그리고 리만-로흐 정리는 이러한 것들이 어떻게 작동하는지 이해하는 데 핵심이 되는 요소입니다.

그렇다면 이것을 어떻게 정의하겠습니까? 위의 두 상황을 비교해 보면, 정칙 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 함수는 $\infty$ 에서만 극을 가질 수 있고 그 밖의 어디에서도 극을 갖지 않는 유리형 $\mathbb{C}_{\infty}\to\mathbb{C}$ 함수입니다.

따라서,

“임의의 차수의 극을 허용함”과 “정칙이어야 함” 사이를 매끄럽게 보간하면, 여러 흥미로운 함수 공간을 만들어 낼 수 있습니다.

편리하게도, 앞서 장 32에서 유리형 함수의 영점의 중복도와 극의 차수를 정의했습니다. 따라서 이 두 극단 사이의 자연스러운 중간 지점은 차수가 최대 $d$ 인 극을 허용하는 것입니다.

표기의 편의를 위해 다음과 같이 정의합니다:

정의 51.1.1 (유리형 함수의 차수).

$f$ 가 $p$ 에서 유리형이라고 합시다. $\operatorname{ord}_{p}(f)$ 를 다음과 같이 정의합니다:

•

$f$ 가 $p$ 에서 중복도 $d$ 인 영점을 가지면 $d$ ;
•

$f$ 가 $p$ 에서 차수 $d$ 인 극을 가지면 $-d$ ;
•

그 밖의 경우에는 $0$ .

예제 51.1.2 ( $\mathbb{C}_{\infty}$ 위에서 차수가 최대 $4$ 인 극을 갖는 함수들의 공간).

$L(4\cdot\infty)$ 를 $\infty$ 를 제외한 모든 곳에서 정칙이고 $\infty$ 에서 차수가 최대 $4$ 인 극을 갖는 유리형 $\mathbb{C}_{\infty}\to\mathbb{C}$ 함수들의 집합이라고 합시다 — 다시 말해,

L(4\cdot\infty)=\{\text{$\mathbb{C}_{\infty}$에서 유리형인 $f$}\mid\text{$\mathbb{C}% _{\infty}\setminus\{\infty\}$에서 정의된 $f$},\operatorname{ord}_{\infty}(f)\geq-4\}.

(표기 $L(-)$ 는 나중에 설명하겠습니다.)

당연히 이는 자연스러운 $\mathbb{C}$ -벡터 공간을 이룹니다.

임의의 $f\in L(4\cdot\infty)$ 에 대해 원점에서의 테일러 급수를 생각해 봅시다:

f(z)=\frac{c_{-m}}{z^{m}}+\frac{c_{-m+1}}{z^{m-1}}+\cdots+\frac{c_{-1}}{z}+c_{% 0}+c_{1}z+\cdots

당연히 $f$ 는 원점에서 정의되므로 $m>0$ 에 대해 0이 아닌 계수 $c_{-m}$ 을 가질 수 없습니다. 하지만 더 중요한 것은, $m>4$ 에 대해서도 0이 아닌 계수 $c_{m}$ 을 가질 수 없다는 점입니다!¹¹1그 이유는 사실 그다지 간단하지 않지만, 왜 참인지 직접 확인해 볼 수 있습니다: 0이 아닌 항이 유한 개뿐이라면, $\infty$ 에서의 극의 위수 $(-\operatorname{ord}_{\infty}(f))$ 는 정확히 0이 아닌 최고차 계수의 차수와 같습니다.

여기서 무슨 일이 일어났는지 보셨습니까? 우리는 함수가 해석적이면서 너무 심하게 발산하지 않을 것을 요구하는 데서 출발했는데, 결국 그저 대수적인 함수 — 즉 다항식에 도달했습니다!

특히 $L(4\cdot\infty)$ 는 차수가 $\leq 4$ 인 다항식들로 이루어지며,

\dim L(4\cdot\infty)=5

$\mathbb{C}$ -벡터 공간으로서 그러합니다.

예제 51.1.3 (더 복잡한 $L(-)$ 공간).

$\infty$ 에서 발산하는 함수만 고려하도록 스스로를 제한할 이유는 없습니다 — 앞으로 보겠지만, 극의 위수를 제한하기만 한다면 더 일반적인 유리형 함수도 고려할 수 있습니다.

$L(-1\cdot 3+4\cdot i+5\cdot\infty)$ 를 다음 조건을 만족하는 유리형 함수 $f\colon\mathbb{C}_{\infty}\to\mathbb{C}$ 들의 집합이라 합시다:

•

점 $3$ , $i$ , $\infty$ 에서는 예외일 수 있으나, $\mathbb{C}_{\infty}$ 의 그 밖의 모든 곳에서 정칙입니다;
•

$3$ 에서는 위수가 $\geq 1$ 인 근을 가져야 합니다;
•

$i$ 에서는 위수가 $4$ 보다 큰 극을 가질 수 없습니다;
•

$\infty$ 에서는 위수가 $5$ 보다 큰 극을 가질 수 없습니다.

따라서 예를 들어 $(z\mapsto z-3)$ , $(z\mapsto\frac{(z-3)^{3}}{(z-i)^{2}})$ , 또는 $(z\mapsto(z-3)^{4})$ 는 이 집합에 속하는 함수이지만, $(z\mapsto(z-3)^{2}+1)$ 이나 $(z\mapsto(z-3)^{7})$ 은 그렇지 않습니다.

앞에서와 마찬가지로 이는 $\mathbb{C}$ -벡터 공간이며, 더 나아가 유한 차원이기도 합니다! 그 차원은 얼마여야 하겠습니까?

자, 함수 $f\in L(-1\cdot 3+4\cdot i+3\cdot\infty)$ 와 함수 $g\in L(-1\cdot 3+7\cdot\infty)$ 사이에 다음과 같이 주어지는 $1$ - $1$ 전단사가 존재한다는 점에 주목하십시오.

g=\Phi(f)=(z\mapsto f(z)\cdot(z-i)^{4}),

여기서, 이제는 아마 짐작하셨겠지만, $L(-1\cdot 3+7\cdot\infty)$ 는 $3$ 에서 적어도 하나의 영점을 갖고 $\infty$ 에서 위수가 많아야 $7$ 인 극을 갖는 유리형 함수들의 공간입니다.

이 정보를 이용하면 차원이 $7$ 이어야 함을 어렵지 않게 확인할 수 있을 것입니다.

또 다른 동기를 들어 보겠습니다. 나중에 우리는 인자와 선다발의 개념도 정의할 것입니다. 대수기하학의 맥락에서 이 개념들을 배운 적이 있다면, 이것들이 실제로 무엇에 관한 것인지 알아보는 데 흥미를 느낄 수 있을 것입니다. 그렇지 않더라도, 이 정리들이 완전히 대수적인 설정으로 자연스럽게 일반화될 수 있고 해석적 다양체의 경우에서 얻은 직관이 대부분 그대로 통한다는 점은 여전히 매우 놀랍습니다 — 실제로 $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ 와 같은 수체의 종수까지도 정의할 수 있습니다!

51.2 인자

대표적인 예: $(-3)\cdot i+(-4)\cdot\infty$ 는 $\mathbb{C}_{\infty}$ 위의 인자입니다.

먼저 위의 개념들을 위한 편리한 표기법을 정의하는 것으로 시작하겠습니다.

먼저, “ $f$ 는 원점에서 위수가 많아야 $4$ 인 영점을 가져야 한다”라는 조건을 다음과 같이 편리하게 쓸 수 있음을 관찰하십시오.

z^{4}\mid f.

다시 말해, $z^{4}$ 는 $f$ 의 인자여야 합니다.

두 다항식이 서로를 나눈다는 것이 무슨 뜻인지는 이미 알고 있으므로, $f$ 가 다항식이라면 이 표기법이 잘 통합니다.

일반화하면, “ $f$ 는 점 $i$ 에서 $3$ 보다 큰 차수의 극을 가질 수 없고, $f$ 는 점 $\infty$ 에서 $4$ 보다 큰 차수의 극을 가질 수 없습니다”라는 조건을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

(z-i)^{-3}\cdot(z-\infty)^{-4}\mid f.

물론 현 시점에서 이 표기법은 순전히 형식적인 것입니다 — 예를 들어 식 $(z-\infty)$ 에 부여할 수 있는 “함수”로서의 해석은 존재하지 않습니다.

이러한 대상을 아주 적절하게도 인자라고 부릅니다. 이제 형식적인 정의를 내리겠습니다.

정의 51.2.1 (인자).

$X$ 가 리만 다양체일 때, $X$ 위의 인자 $D$ 란 이산적인 점들의 집합 위에서만 0이 아닌 값을 가지는 함수 $D\colon X\to\mathbb{Z}$ 입니다.

앞으로 위의 형식적 대상 $(z-i)^{-3}\cdot(z-\infty)^{-4}$ 를 다음과 같이 정의되는 함수 $D\colon\mathbb{C}_{\infty}\to\mathbb{Z}$ 로 간주하겠습니다.

D(z)=\begin{cases}-3&z=i\\ -4&z=\infty\\ 0&\text{그렇지 않은 경우}.\end{cases}

표기의 남용 51.2.2.

점 $p\in X$ 에 대하여, $p$ 에서 값 $1$ 을 가지고 그 밖의 곳에서는 $0$ 을 가지는 인자를 $p$ 로 씁니다.

인자는 정수값 함수이므로 두 인자를 더하거나 인자에 정수를 곱할 수 있으며, 그 결과 역시 정수값을 가집니다. 따라서,

예제 51.2.3 (인자로서의 $(z-i)^{-3}\cdot(z-\infty)^{-4}$ ).

위의 형식적 대상 $(z-i)^{-3}\cdot(z-\infty)^{-4}$ 에 대응하는 인자 $D$ 는 $(-3)\cdot i+(-4)\cdot\infty$ 로 쓸 수 있습니다.

51.3 인자의 차수

대표적인 예: $\deg((-3)\cdot i+(-4)\cdot\infty)=-7$ .

곡면 $X$ 가 콤팩트이면 모든 이산적인 점들의 집합은 유한합니다. 따라서 $X$ 위의 인자 $D$ 는 유한한 받침을 가집니다.

이로써 인자의 차수를 정의할 수 있습니다.

정의 51.3.1 (인자의 차수).

콤팩트 곡면 $X$ 위의 인자 $D$ 에 대하여, 그 차수는 $\sum_{p\in X}D(p)$ 입니다.

물론 0이 아닌 항이 유한히 많으므로 이 합은 잘 정의됩니다.

51.4 유리형 함수의 주인자

대표적인 예: $\operatorname{div}\frac{(z-3)^{2}}{z-i}=2\cdot 3+(-1)\cdot i+(-1)\cdot\infty$ 의 차수는 $0$ 입니다.

인자를 정의했으니, 앞에서 인자가 함수를 “나눈다”고 했던 모호한 표기를 형식화할 편리한 표기법이 필요합니다.

정의 51.4.1 (유리형 함수의 인자).

$f$ 가 리만 곡면 $X$ 위의 유리형 함수라고 합시다. 그러면 $f$ 의 인자 $\operatorname{div}(f)$ 는 다음을 만족하는 인자입니다.

\operatorname{div}(f)(p)=\operatorname{ord}_{p}(f).

이것을 형식적 합 $\operatorname{div}(f)=\sum_{p}\operatorname{ord}_{p}(f)\cdot p$ 로 쓸 수도 있습니다 — 위의 표기 남용에 따르면, $f$ 의 근과 극이 유한 개라면 이것은 실제 합이 됩니다.

어떤 $f$ 에 대하여 인자 $D$ 가 $\operatorname{div}(f)$ 와 같으면, $D$ 를 주인자라고 부릅니다. (하나의 원소로 생성되는 아이디얼인 주 아이디얼과 비교해 보십시오!)

이 절의 대표적인 예를 보고 나면, 리만 구에 대해 다음 사실을 짐작했을지도 모릅니다. 사실은 훨씬 더 많은 것이 성립합니다.

명제 51.4.2.

콤팩트 곡면 $X$ 위의 인자 $D$ 가 주인자이면 $\deg D=0$ 입니다.

극점이 제한된 함수들의 공간을 편리하게 다룰 수 있는 표기법을 정의한다는 우리의 목표를 잊지 맙시다. 위에서 정의한 표기법에 따르면 $f=z$ 일 때 $\operatorname{div}f=1\cdot 0+(-1)\cdot\infty$ 이고, 우리는 $f$ 가 인자 $(-1)\cdot\infty$ 를 “나눈다”고 말하고자 합니다. 자연스러운 정의는 다음과 같습니다:

정의 51.4.3 (인자의 부분 순서).

모든 $p\in X$ 에 대하여 $D(p)\geq 0$ 이면 $D\geq 0$ 이라고 씁니다.

두 인자 $D_{1}$ 과 $D_{2}$ 에 대하여 $D_{1}-D_{2}\geq 0$ 이면 $D_{1}\geq D_{2}$ 라고 씁니다.

그리고 마지막으로,

정의 51.4.4.

$D$ 를 리만 곡면 $X$ 위의 인자라고 합시다. 그러면 극점이 $D$ 로 제한되는 유리형 함수들의 공간은 다음과 같습니다

L(D)=\{\text{$X$ 위에서 유리형인 $f$}\mid\operatorname{div}(f)\geq-D\}.

연습문제 51.4.5.

이 연습문제는 표기법에 익숙해지기 위한 것일 뿐입니다. 다음을 보이십시오:

•

두 인자 $D_{1}\leq D_{2}$ 에 대하여 $L(D_{1})\subseteq L(D_{2})$ 입니다.
•

$X$ 가 콤팩트이면 $L(0)\cong\mathbb{C}$ 입니다.
•

$X$ 가 콤팩트이고 $\deg D<0$ 이면 $L(D)=\{0\}$ 입니다.

51.5 리만-로흐 정리

작성 예정: 표준 인자 설명할 것

정리 51.5.1 (리만-로흐 정리).

$D$ 를 종수 $g$ 인 대수 곡선 $X$ 위의 인자라 하고, $K$ 를 $X$ 위의 표준 인자라고 합시다. 그러면

\dim L(D)-\dim L(K-D)=\deg(D)+1-g.

작성 예정: 몇 가지 응용 나열할 것