장 77 아핀 다양체

이 장에서는 아핀 다양체를 소개합니다. 좌표의 맥락에서 이를 소개하지만, 다른 장들을 거치면서 이러한 관점에서 점차 벗어나, 다양체를 좌표에 매장된 것으로 보지 않고 “내재적 대상”으로 바라보게 될 것입니다.

단순화를 위해 대부분의 논의를 복소수체 위에서 진행하지만, 이 논의는 임의의 대수적으로 닫힌 체로 일반화됩니다.

77.1 아핀 다양체

대표적인 예: $\mathcal{V}(y-x^{2})$ 는 $\mathbb{A}^{2}$ 안의 포물선입니다.

정의 77.1.1.

다항식들의 집합 $S\subseteq\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 이 주어졌을 때(반드시 유한이거나 심지어 가산일 필요는 없습니다), $\mathcal{V}(S)$ 가 $S$ 에 속한 모든 다항식 위에서 소멸하는 점들의 집합을 나타내도록 합시다. 이러한 집합을 아핀 다양체라고 부릅니다. 이는 $n$ 차원 아핀 공간(나중에 사영 공간과 구별하기 위해 $\mathbb{A}^{n}$ 으로 표기합니다) 안에 존재합니다.

예를 들어, 포물선은 다항식 $y-x^{2}$ 의 영점 궤적입니다. 그림:

예제 77.1.2 (아핀 다양체의 예).

이 예들은 점 $(x,y)$ 의 쌍으로 이루어진 2차원 공간 $\mathbb{A}^{2}$ 에 있습니다.

(a)

직선은 $\mathcal{V}(Ax+By+C)$ 로 생각할 수 있습니다.
(b)

위와 같은 포물선은 $\mathcal{V}(y-x^{2})$ 로 그릴 수 있습니다.
(c)

쌍곡선은 $\mathcal{V}(xy-1)$ 일 수 있습니다.
(d)

두 축은 $\mathcal{V}(xy)$ 로 생각할 수 있습니다. 이는 $x=0$ 또는 $y=0$ 인 점들의 집합입니다.
(e)

점 $(x_{0},y_{0})$ 은 $\mathcal{V}(x-x_{0},y-y_{0})$ 로 생각할 수 있습니다.
(f)

공간 전체 $\mathbb{A}^{2}$ 는 $\mathcal{V}(0)$ 으로 생각할 수 있습니다.
(g)

공집합은 상수 다항식 $1$ 의 영점 궤적, 즉 $\mathcal{V}(1)$ 입니다.

77.2 아이디얼을 통한 아핀 다양체의 명명

대표적인 예: $\mathcal{V}(I)$ 는 포물선이며, 여기서 $I=(y-x^{2})$ 입니다.

이미 눈치채셨을 수도 있듯이, 다양체는 $\mathcal{V}(-)$ 를 통해 여러 방식으로 명명될 수 있습니다. 예를 들어, 다음의 해집합은

x=3\text{그리고}y=4

바로 점 $(3,4)$ 입니다. 하지만 이는 다음의 해집합이기도 합니다

x=3\text{그리고}y=x+1.

그러므로, 예를 들어

\{(3,4)\}=\mathcal{V}(x-3,y-4)=\mathcal{V}(x-3,y-x-1).

그것은 조금 성가신 일인데, 이상적인¹¹1말장난을 의도한 것은 아니지만 재미를 위해 남겨둡니다. 세계라면 모든 다양체에 대해 하나의 이름만 있어야 하기 때문입니다. 이를 달성할 수 있는지 살펴봅시다.

부분적인 해결책은 작은 집합 대신 아이디얼을 사용하는 것입니다. 즉, 다음의 아이디얼을 생각해봅시다

I=\left(x-3,y-4\right)=\left\{p(x,y)\cdot(x-3)+q(x,y)\cdot(y-4)\mid p,q\in% \mathbb{C}[x,y]\right\}

그리고 $\mathcal{V}(I)$ 를 살펴봅시다.

질문 77.2.1.

$\mathcal{V}(I)=\{(3,4)\}$ 임을 스스로 확인해 보십시오.

그러므로 $\mathcal{V}(x-3,y-4)$ 라고 쓰는 대신, 이를 $\mathcal{V}(I)$ 로 생각하는 것이 타당합니다. 여기서 $I=(x-3,y-4)$ 는 두 다항식 $x-3$ 과 $y-4$ 로 생성되는 아이디얼입니다. 이는 다음과 같은 이유로 개선된 표현입니다

질문 77.2.2.

$(x-3,y-x-1)=(x-3,y-4)$ 임을 확인하십시오.

두말할 필요 없이, 이 패턴은 일반적으로 성립합니다.

질문 77.2.3.

$\{f_{i}\}$ 를 다항식들의 집합이라 하고, 이 $\{f_{i}\}$ 로 생성되는 아이디얼 $I$ 를 생각하십시오. $\mathcal{V}(\{f_{i}\})=\mathcal{V}(I)$ 임을 보이십시오.

따라서 우리는 $I$ 가 아이디얼일 때에만 $\mathcal{V}(I)$ 를 고려할 것입니다. 물론 우리의 아이디얼은 흔히 하나 또는 두 개의 다항식으로 생성되므로, 다음과 같은 표기법을 얻게 됩니다:

표기의 남용 77.2.4.

다항식들의 집합 $f_{1},\dots,f_{m}$ 이 주어졌을 때, $\mathcal{V}(f_{1},\dots,f_{m})$ 을 $\mathcal{V}\left(\left(f_{1},\dots,f_{m}\right)\right)$ 의 축약형으로 두겠습니다. 다시 말해, $\mathcal{V}(f_{1},\dots,f_{m})$ 은 $\mathcal{V}(I)$ 의 축약형이며, 여기서 $I$ 는 아이디얼 $I=(f_{1},\dots,f_{m})$ 입니다.

바로 이 지점에서 뇌터 조건이 진가를 발휘합니다: 이는 모든 아이디얼 $I\subseteq\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 이 유한 개의 다항식으로 위와 같은 형태로 쓰일 수 있음을 보장하는데, 이는 그 아이디얼이 유한 생성이기 때문입니다. ( $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 이 뇌터 환이라는 사실은 힐베르트 기저 정리, 즉 정리 4.9.5로부터 따라옵니다.) 이는 다행스러운 일인데, 무한 개의 다항식 집합을 다루는 것은 그다지 즐거운 일이 아니기 때문입니다.

77.3 근 아이디얼과 힐베르트의 영점 정리

대표적인 예: $\mathbb{C}[x]$ 에서 $\sqrt{(x^{2})}=(x)$ 이고, $\mathbb{Z}$ 에서 $\sqrt{(12)}=(6)$ 입니다.

이제 이 이름이 유일한지 궁금할 수 있습니다: 즉, $\mathcal{V}(I)=\mathcal{V}(J)$ 이면 $I=J$ 가 성립할까요? 안타깝게도 답은 그렇지 않습니다: 반례는 단지 $\mathbb{A}^{1}$ 에서도 찾을 수 있습니다. 그것은

\mathcal{V}(x)=\mathcal{V}(x^{2}).

다시 말해, $x=0$ 의 해집합은 $x^{2}=0$ 의 해집합과 같습니다.

흠, 이는 어리석습니다. 우리는 아이디얼 $(x^{2})$ 을 받아서 아이디얼 $(x)$ 로 만들어 주는 연산을 원합니다. 이를 수행하는 방법은 아이디얼의 근을 이용하는 것입니다.

정의 77.3.1.

$R$ 을 환이라 하십시오. 아이디얼 $I\subseteq R$ 의 근은 $\sqrt{I}$ 로 표기하며, 다음과 같이 정의됩니다

\sqrt{I}=\left\{r\in R\mid r^{m}\in I\text{어떤 정수 $m\geq 1$에 대해}\right\}.

$I=\sqrt{I}$ 이면, 아이디얼 $I$ 자체가 근 아이디얼이라고 말합니다.

예를 들어, $\sqrt{(x^{2})}=(x)$ 입니다. $\sqrt{I}$ 가 실제로 아이디얼임을 확인해 보는 시간을 가져 보아도 좋습니다.

비고 77.3.2 (수론적 동기).

이는 사실 정수론에서의 ”근”이라는 개념과 동일합니다. $\mathbb{Z}$ 에서 아이디얼 $(n)$ 의 근은 중복된 소인수들을 모두 제거하는 것에 해당하며, 예를 들면

\sqrt{(12)}=(6).

특히, $\sqrt{(6)}$ 을 구해 보려 하면, 그냥 $(6)$ 을 다시 얻을 뿐입니다; 새로운 소인수를 짜낼 수는 없습니다.

이는 사실 더 일반적으로 성립하며, 이에 대응하는 멋진 대안적 정의가 있습니다: 임의의 아이디얼 $I$ 에 대해, 다음이 성립합니다

\sqrt{I}=\bigcap_{I\subseteq\mathfrak{p}\text{소}}\mathfrak{p}.

지금 이를 증명할 수도 있겠지만, 이는 나중에 처음 필요할 때 정리 84.5.2에서 증명될 것입니다.

알아 두어야 할 즉각적인 성질들은 다음과 같습니다.

명제 77.3.3 (근의 성질).

임의의 환에서:

•

$I$ 가 아이디얼이면, $\sqrt{I}$ 는 항상 근 아이디얼입니다.
•

소 아이디얼은 근기 아이디얼입니다.
•

$I\subseteq\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 에 대해 $\mathcal{V}(I)=\mathcal{V}(\sqrt{I})$ 가 성립합니다.

증명.

이는 모두 자명합니다.

•

$f^{m}\in\sqrt{I}$ 이면 $f^{mn}\in I$ 이므로, $f\in\sqrt{I}$ 입니다.
•

소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해 $f^{n}\in\mathfrak{p}$ 이면, $f\in\mathfrak{p}$ 이거나 $f^{n-1}\in\mathfrak{p}$ 이며, 후자의 경우 귀납법으로 계속 진행할 수 있습니다.
•

$f(x_{1},\dots,x_{n})=0$ 인 것과 어떤 정수 $m$ 에 대해 $f(x_{1},\dots,x_{n})^{m}=0$ 인 것은 동치입니다. ∎

마지막 부분은 이치에 맞습니다: $x=0$ 을 $x^{2}=0$ 이라고 부르는 일은 결코 없을 것이며, 따라서 $\mathcal{V}(x^{2})$ 를 그냥 $\mathcal{V}(x)$ 라고 부르고 싶어질 것입니다. 이로써 힐베르트 영점 정리(Hilbert’s Nullstellensatz)라는 정리를 얻게 됩니다.

정리 77.3.4 (힐베르트 영점 정리).

아핀 대수다양체 $V=\mathcal{V}(I)$ 가 주어졌을 때, $V$ 의 모든 점에서 소멸하는 다항식들의 집합은 정확히 $\sqrt{I}$ 입니다. 따라서 $I$ 와 $J$ 가 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 의 아이디얼이라면,

\mathcal{V}(I)=\mathcal{V}(J)\text{$\sqrt{I}=\sqrt{J}$일 필요충분조건}.

다시 말해

$\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 의 근기 아이디얼들은 $n$ 차원 아핀 대수다양체들과 정확히 대응됩니다.

힐베르트 영점 정리의 증명은 문제 77D에서 다룰 것입니다; 지금으로서는 이 정리가 본질적으로 $\mathbb{C}$ 가 대수적으로 닫혀 있다는 사실에 의존한다는 점을 짚어둘 만합니다. 예를 들어, 이는 $\mathbb{R}[x]$ 에서는 성립하지 않으며, $(x^{2}+1)$ 이 소멸 집합이 공집합인 극대 아이디얼이 되는 경우가 그렇습니다.

77.4 $\mathbb{A}^{1}$ 에서 대수다양체의 그림

대표적인 예: 점들의 유한 집합 (사실 이것이 유일한 자명하지 않은 예시입니다).

먼저 몇 가지 그림을 그려봅시다. 이어지는 내용에서는 $\mathbb{C}$ 를 직선으로 그리겠습니다… 죄송합니다.

우선, 복소직선 $\mathbb{A}^{1}$ 만을 살펴봅시다. 그 위에는 어떤 다양한 대수다양체들이 있을까요? 우선, $(x-9)$ 로 생성되는 단일 점 $9\in\mathbb{C}$ 가 있습니다.

또 다른 예로는 점 $4$ 가 있습니다. 그리고 실제로, 원한다면 이 두 점만으로 이루어진 아이디얼을 얻을 수 있습니다; $\mathcal{V}\left((x-4)(x-9)\right)$ 를 생각해 봅시다.

일반적으로 $\mathbb{A}^{1}$ 에서는 단지

\mathcal{V}\left((x-a_{1})(x-a_{2})\dots(x-a_{n})\right).

를 취함으로써 유한한 점들의 집합 $\left\{a_{1},\dots,a_{n}\right\}$ 을 얻을 수 있습니다. 반면, 집합 $\{0,1,2,\dots\}$ 는 아핀 대수다양체로 얻을 수 없습니다. 이 점들 모두에서 소멸하는 유일한 다항식은 영다항식뿐입니다. 실제로, 두 가지 예외를 제외하면 이것들이 유일한 아핀 대수다양체임을 스스로 확인할 수 있습니다.

•

직선 전체 $\mathbb{A}^{1}$ 은 $\mathcal{V}(0)$ 으로 주어지며,
•

공집합은 $\mathcal{V}(1)$ 으로 주어집니다.

연습문제 77.4.1.

이것들이 $\mathbb{A}^{1}$ 의 유일한 대수다양체임을 보이십시오. ( $\mathcal{V}(I)$ 를 그 대수다양체라 하고 $0\neq f\in I$ 를 하나 택하십시오.)

짐작하시는 대로, 다음이 성립합니다:

정리 77.4.2 (대수다양체의 교집합과 합집합).

(a)

아핀 대수다양체들의 교집합은 (무한히 많더라도) 아핀 대수다양체입니다.
(b)

유한 개의 아핀 다양체의 합집합은 아핀 다양체입니다.

실제로 다음이 성립합니다.

\bigcap_{\alpha}\mathcal{V}(I_{\alpha})=\mathcal{V}\left(\sum_{\alpha}I_{% \alpha}\right)\qquad\text{그리고}\qquad\bigcup_{k=1}^{n}\mathcal{V}(I_{k})=% \mathcal{V}\left(\bigcap_{k=1}^{n}I_{k}\right).

이 쉬운 결과는 여러분이 직접 증명해 보시기 바랍니다.

비고 77.4.3.

(a) 부분은 합 $I+J$ 가 근기 아이디얼일 필요가 없다는 점에서 약간 오해의 소지가 있습니다: 예를 들어 $\mathbb{C}[x,y]$ 에서 $I=(y-x^{2})$ 이고 $J=(y)$ 인 경우, $x\in\sqrt{I+J}$ 이지만 $x\notin I+J$ 입니다. 하지만 (b) 부분에서는 근기 아이디얼 $I$ 와 $J$ 에 대해 교집합 $I\cap J$ 가 근기 아이디얼입니다.

아이디얼과 다양체 사이의 관계에 관한 또 다른 쉬운 결과로, 다음이 있습니다.

명제 77.4.4 ( $\mathcal{V}(-)$ 는 포함관계를 뒤집는다).

$I\subseteq J$ 이면 $\mathcal{V}(I)\supseteq\mathcal{V}(J)$ 입니다. 따라서 $\mathcal{V}(-)$ 는 포함관계를 뒤집습니다.

질문 77.4.5.

이를 확인해 보십시오.

따라서 더 큰 아이디얼은 더 작은 다양체에 대응합니다.

이 결과들은 이 장 전반에 걸쳐 많이 사용될 것이므로, $\mathcal{V}$ 가 포함관계를 뒤집는 성질에 익숙해지는 것이 유용할 것입니다.

연습문제 77.4.6.

개념에 좀 더 익숙해지는 데 도움이 되는 간단한 연습문제입니다.

1.

$I=(y-x^{2})$ 이고 $J=(x+1,y+2)$ 라 합시다. $\mathcal{V}(I)$ 와 $\mathcal{V}(J)$ 는 무엇입니까?
2.

$\mathcal{V}(K)$ 가 포물선 $y=x^{2}$ 과 점 $(-1,-2)$ 의 합집합이 되는 아이디얼 $K$ 는 무엇입니까?
3.

$L=(y-1)$ 이라 합시다. $\mathcal{V}(L)$ 은 무엇입니까?
4.

교집합 $\mathcal{V}(I)\cap\mathcal{V}(L)$ 은 두 점 $(1,1)$ 과 $(-1,1)$ 로 이루어져 있습니다. 이에 대응하는 아이디얼을 $I$ 와 $L$ 로 나타내면 무엇입니까?
5.

$\mathcal{V}(I\cap L)$ 은 무엇입니까? $\mathcal{V}(IL)$ 은 어떻습니까?

질문 77.4.7.

무한히 많은 아이디얼의 교집합은 여전히 아이디얼이지만, 무한히 많은 아핀 다양체의 합집합은 아핀 다양체가 아닐 수 있음에 유의하십시오.

$\mathbb{C}[x]$ 에서 $I_{k}=(x-k)$ 를 생각하고, 무한 교집합 $I=\bigcap_{k\in\mathbb{N}}I_{k}$ 를 취합시다. $\mathcal{V}(I)$ 와 $\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\mathcal{V}(I_{k})$ 는 무엇입니까?

77.5 소 아이디얼은 기약 아핀 다양체에 대응합니다

대표적인 예: $(xy)$ 는 $\mathbb{A}^{2}$ 에서 두 직선의 합집합에 대응합니다.

$\mathbb{A}^{1}$ 의 아핀 다양체 대부분은, 예컨대 $\{4,9\}$ 처럼, 가장 단순한 ”한 점” 아이디얼들의 합집합에 불과함에 유의하십시오. 분류를 쉽게 하기 위해, 기약 다양체의 경우로 관심을 제한할 수 있습니다.

정의 77.5.1.

다양체 $V$ 는 두 개의 진부분다양체의 합집합 $V=V_{1}\cup V_{2}$ 로 쓸 수 없을 때 기약이라고 합니다.

표기의 남용 77.5.2.

주의: 다른 문헌에서는 기약성이 다양체의 정의의 일부입니다.

예제 77.5.3 ( $\mathbb{A}^{1}$ 의 기약 다양체).

$\mathbb{A}^{1}$ 의 기약 다양체는 다음과 같습니다.

•

공집합 $\mathcal{V}(1)$ ,
•

한 점 $\mathcal{V}(x-a)$ , 그리고
•

전체 직선 $\mathbb{A}^{1}=\mathcal{V}(0)$ 입니다.

예제 77.5.4 (두 축의 합집합).

$\mathbb{C}[x,y]$ 에서 소 아이디얼이 아닌 것을 하나 생각해 봅시다. 예를 들어 $I=(xy)$ 입니다. 이것의 소멸 집합 $\mathcal{V}(I)$ 는 두 직선 $x=0$ 과 $y=0$ 의 합집합입니다. 따라서 $\mathcal{V}(I)$ 는 가약입니다.

일반적으로 다음이 성립합니다.

정리 77.5.5 (소 아이디얼 $\iff$ 기약).

$I$ 를 근기 아이디얼이라 하고, $V=\mathcal{V}(I)$ 를 공집합이 아닌 대수다양체라 합시다. 그러면 $I$ 가 소 아이디얼인 것과 $V$ 가 기약인 것은 동치입니다.

증명.

먼저 $V$ 가 기약이라고 가정하고, $I$ 가 소 아이디얼임을 보이겠습니다. $f,g\in\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 이고 $fg\in I$ 라고 합시다. 그러면 $V$ 는 합집합 $\mathcal{V}(f)\cup\mathcal{V}(g)$ 의 부분집합입니다. 실제로 $V=\left(V\cap\mathcal{V}(f)\right)\cup\left(V\cap\mathcal{V}(g)\right)$ 입니다. $V$ 가 기약이므로 $V=V\cap\mathcal{V}(f)$ 라고 가정할 수 있으며, 따라서 $f$ 는 $V$ 전체에서 소멸합니다. 그러므로 $f\in I$ 입니다.

역방향도 마찬가지입니다. ∎

77.6 $\mathbb{A}^{2}$ 와 $\mathbb{A}^{3}$ 에서의 그림

대표적인 예: 다양한 곡선과 초곡면.

이 개념을 이용하면 이제 ”복소 아핀 평면” $\mathbb{A}^{2}$ 에서 그림을 그릴 수 있습니다. 이 안의 기약 아핀 대수다양체는 무엇일까요?

앞선 논의에서 보았듯이, $\mathbb{A}^{2}$ 에서 기약 아핀 대수다양체의 이름을 붙이는 것은 $\mathbb{C}[x,y]$ 의 소 아이디얼들의 이름을 붙이는 것과 같습니다. 다음은 몇 가지 예입니다.

•

아이디얼 $(0)$ 은 소 아이디얼입니다. $\mathcal{V}(0)$ 은 늘 그렇듯이 평면 전체에 대응됩니다.
•

아이디얼 $(x-a,y-b)$ 는 소 아이디얼입니다. 왜냐하면 $\mathbb{C}[x,y]/(x-a,y-b)\cong\mathbb{C}$ 는 정역이기 때문입니다. (사실 $\mathbb{C}$ 가 체이므로, 아이디얼 $(x-a,y-b)$ 는 극대입니다.) 이것의 소멸 집합은 $\mathcal{V}(x-a,y-b)=\{(a,b)\}\in\mathbb{C}^{2}$ 이며, 따라서 이러한 아이디얼들은 한 점에 대응됩니다.
•

$f(x,y)$ 를 $y-x^{2}$ 와 같은 기약 다항식이라고 합시다. 그러면 $(f)$ 는 소 아이디얼입니다! 여기서 $\mathcal{V}(I)$ 는 ”여차원 1의 곡선”입니다.

약간의 다항식 대수학을 이용하면(이번에도 유클리드 호제법으로 직접 확인해 보셔도 좋습니다), 이것들이 사실 $\mathbb{C}[x,y]$ 의 유일한 소 아이디얼들입니다. 다음은 그림입니다.

늘 그렇듯이, 이러한 기약 대수다양체들의 합집합으로 이루어진 대수다양체를 만들 수 있습니다. 예를 들어 포물선 $y=x^{2}$ 와 점 $(20,15)$ 로 이루어진 대수다양체를 원한다면 다음과 같이 쓰면 됩니다.

\mathcal{V}\left((y-x^{2})(x-20),(y-x^{2})(y-15)\right).

$\mathbb{A}^{3}$ 에서의 그림은 설명하기가 더 어렵습니다. 여기서도 영차원 점 $(a,b,c)$ 에 대응되는 점 $\mathcal{V}(x-a,y-b,z-c)$ 와, 각 기약 다항식 $f$ 에 대한 이차원 곡면 $\mathcal{V}(f)$ 가 있습니다(예를 들어 $x+y+z=0$ 은 평면입니다). 하지만 $\mathcal{V}(x,y)$ 와 같이 더 많은 소 아이디얼들이 있는데, 이는 평면 $x=0$ 과 $y=0$ 의 교집합에 대응됩니다. 즉 일차원 $z$ 축입니다. ”일차원” 대수다양체를 분류하는 합리적인 방법은 없다는 것이 밝혀졌습니다. 이들은 ”기약 곡선”에 대응됩니다.

따라서 Ravi Vakil [VAK17]이 말했듯이, $\mathbb{C}[x,y,z]$ 의 소 아이디얼을 결정하는 순수하게 대수적인 질문은 근본적으로 기하학적인 답을 가지고 있습니다.

77.7 극대 아이디얼

대표적인 예: 모든 극대 아이디얼은 $(x_{1}-a_{1},\dots,x_{n}-a_{n})$ 형태입니다.

더 큰 아이디얼은 더 작은 대수다양체에 대응된다는 것을 기억하십시오.

위 그림들이 시사했듯이, 가장 작은 대수다양체는 한 점입니다. 게다가 이름에서 짐작할 수 있듯이, 가장 큰 아이디얼은 극대 아이디얼입니다. 예를 들어, 다음과 같은 형태의 모든 아이디얼은

\left(x_{1}-a_{1},\dots,x_{n}-a_{n}\right)

몫이 다음과 같으므로 극대입니다.

\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]/\left(x_{1}-a_{1},\dots,x_{n}-a_{n}\right)\cong% \mathbb{C}

체(field)입니다. 문제는: 모든 극대 아이디얼이 이런 형태인가 하는 것입니다.

답은 그렇다입니다.

정리 77.7.1 (약한 영점 정리, 극대 아이디얼로 표현한 버전).

$\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 의 모든 극대 아이디얼은 $(x_{1}-a_{1},\dots,x_{n}-a_{n})$ 형태입니다.

이 증명은 놀랍도록 자명하지 않으므로 아직 여기서는 다루지 않겠습니다. [VAK17, §7.4.3]을 참고하십시오. 이 역시 $\mathbb{C}$ 가 대수적으로 닫혀 있다는 사실을 사용합니다. (예를 들어 $(x^{2}+1)$ 은 $\mathbb{R}[x]$ 의 극대 아이디얼입니다.) 따라서:

$\mathbb{C}$ 위에서, 극대 아이디얼은 하나의 점에 대응됩니다.

따라서 $\mathbb{C}$ 위의 여러 아이디얼들은 다양한 종류의 아핀 다양체에 대응됩니다:

대수적 성격	기하적 성격
근 아이디얼	아핀 대수다양체
소 아이디얼	기약 다양체
극대 아이디얼	한 점
임의의 아이디얼	(스킴?)

아직 이야기하지 않은 것이 하나 있습니다: 마지막 항목은 무엇일까요?

77.8 비근호(non-radical) 아이디얼을 통해 스킴을 동기 부여하기

스킴의 가장 기본적인 동기 중 하나는 중복도(multiplicity)를 셀 수 있도록 스킴을 사용하고자 한다는 것입니다. 즉, 다음 교집합을 생각해 봅시다

\mathcal{V}(y-x^{2})\cap\mathcal{V}(y)\subseteq\mathbb{A}^{2}

이것은 포물선과 접하는 $x$ 축의 교집합이며, 아래 그림의 초록색 점입니다.

안타깝게도 다양체로서는 그냥 한 점일 뿐입니다! 하지만 우리는 이것을 어떤 의미에서 중복도가 $2$ 이므로 ”이중점(double point)”으로 생각하고자 합니다. 이는 아이디얼을 살펴보면 확인할 수 있습니다:

(y-x^{2})+(y)=(x^{2},y)

그리고 근호를 취하는 것을 대충 무시한다면, 다음을 얻습니다

\mathbb{C}[x,y]/(x^{2},y)\cong\mathbb{C}[\varepsilon]/(\varepsilon^{2}).

따라서 문제의 아이디얼들은 이중점의 존재를 알아채고 있는 것입니다.

이를 포착하기 위해서는 다양체보다 더 정교한 대상이 필요합니다. 다양체는 결국 그저 점들의 집합일 뿐이며, 위상만으로는 더 많은 정보를 담을 수 없습니다(한 점 위에는 오직 하나의 위상만 존재하기 때문입니다!). 이 정교한 대상이 바로 스킴입니다.

77.9 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

작성 예정: 여기에는 실제 계산이 좀 있으면 좋겠습니다

문제 77A.

두 아이디얼 $I$ 와 $J$ 에 대해, $I\subseteq\sqrt{I}$ 이고 $\sqrt{I}\cap\sqrt{J}=\sqrt{IJ}\subseteq\sqrt{I\cap J}$ 임을 보이십시오.

문제 77B.

실(real) 아핀 다양체 $V\subseteq\mathbb{A}_{\mathbb{R}}^{n}$ 은 항상 $\mathcal{V}(f)$ 형태로 쓸 수 있음을 보이십시오.

힌트. 제곱은 음이 아닙니다.

풀이. $V=\mathcal{V}(I)$ 이고 $I=(f_{1},\dots,f_{m})$ 일 때(늘 그렇듯이 $\mathbb{R}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 이 뇌터 환이므로 유한 개의 다항식만 있습니다), $f=f_{1}^{2}+\dots+f_{m}^{2}$ 로 잡을 수 있습니다.

문제 77C (복소 다양체는 공집합일 수 없습니다).

$I$ 가 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 의 진 아이디얼이면 $\mathcal{V}(I)\neq\varnothing$ 임을 증명하십시오.

힌트. 이것은 사실 약한 영점 정리의 동치인 표현입니다.

풀이. $I$ 를 아이디얼이라 하고, $\mathfrak{m}$ 을 그 안에 포함된 극대 아이디얼이라 합시다. ( $\mathfrak{m}$ 의 존재가 걱정된다면, 이는 크룰의 정리(문제 5E)로부터 따라 나옵니다.) 그러면 약한 영점 정리에 의해 $\mathfrak{m}=(x_{1}-a_{1},\dots,x_{n}-a_{n})$ 입니다. 따라서 $(a_{1},\dots,a_{n})$ 은 $\mathcal{V}(\mathfrak{m})$ 의 유일한 점이며, 그러므로 이 점은 $\mathcal{V}(I)$ 에도 속합니다.

문제 77D.

^†^†margin:

$n$ 차원에서의 힐베르트 영점정리(Hilbert’s Nullstellensatz)가 약한 영점정리(Weak Nullstellensatz)로부터 따라 나옴을 보이십시오. (이 풀이는 라비노비치 트릭이라고 불립니다.)

힌트. $n+1$ 차원에서의 약한 영점정리를 사용하십시오. 모든 곳에서 소멸하는 $f$ 가 주어졌을 때, $x_{n+1}f-1$ 을 생각해 보십시오.

풀이. 핵심은 만약 $f$ 가 $\mathcal{V}(I)$ 전체에서 소멸한다면, $f\in\sqrt{I}$ 임을 확인하는 것입니다.

원래 환 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 에서 생성원들의 집합 $f_{1},\dots,f_{m}$ 을 취하십시오; 힐베르트 기저 정리에 의해 이것이 유한하다고 가정할 수 있습니다.

이제 트릭을 하나 사용해 보겠습니다: 대신 $S=\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n},x_{n+1}]$ 을 생각하십시오. 더 큰 환에서 $\{f_{1},\dots,f_{m}\}$ 과 다항식 $x_{n+1}f-1$ 로 생성되는 아이디얼 $I^{\prime}\subseteq S$ 를 생각하십시오. 마지막 녀석의 핵심은 그 영점 집합이 $\mathbb{A}^{n}$ 의 우리 사본인 $x_{n+1}=0$ 에도, $\mathbb{A}^{n+1}$ 을 통한 $f$ 의 “사영”에 속하는 어떤 점에도 닿지 않는다는 것입니다 (이는 더 작은 환에서의 $\mathcal{V}(I)$ 에 $\mathbb{C}$ 를 직접 곱한 것으로 생각할 수 있습니다). 따라서 $\mathcal{V}(I^{\prime})=\varnothing$ 이고, 약한 영점정리에 의해 실제로 $I^{\prime}=\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n+1}]$ 을 얻습니다. 그러므로

$1=g_{1}f_{1}+\dots+g_{m}f_{m}+g_{m+1}\left(x_{n+1}f-1\right).$

이제 트릭입니다: $x_{n+1}$ 의 모든 자리를 $\frac{1}{f}$ 로 치환하고, 모든 분모를 제거하십시오. 따라서 충분히 큰 어떤 정수 $N$ 에 대해 다음을 얻을 수 있습니다

$f^{N}=f^{N}(g_{1}f_{1}+\dots+g_{m}f_{m})$

이는 우변에서 $f$ 의 분수 거듭제곱을 모두 제거합니다. 따라서 $f^{N}\in I$ 가 성립합니다.