장 46 다양체에 대한 약간의 이야기

지난 장에서 우리는 세포(cell)에 대한 스토크스 정리를 서술했습니다. 이것이 성립하는 훨씬 더 큰 부류의 공간, 이른바 매끄러운 다양체가 존재한다는 것이 밝혀집니다.

불행히도 매끄러운 다양체의 정의는 완전히 엉망이므로, 미분 형식과 방향을 정의하고 나면 그 위의 적분이 실제로 무엇인지 정의하기에는 너무 게을러질 것이고, 그저 대충 넘어가며 스토크스 정리를 서술할 것입니다.

46.1 위상 다양체

대표적인 예: $S^{2}$ : “지구는 평평해 보입니다”.

오래전 사람들은 지구가 평평하다고, 즉 평면과 위상동형이라고 생각했으며, 특히 $\pi_{2}(\text{지구})=0$ 이라고 생각했습니다. 하지만 실제로는 우리 대부분이 알듯이 지구는 사실 구이며, 이는 수축 가능하지 않고 특히 $\pi_{2}(\text{지구})\cong\mathbb{Z}$ 입니다. 이 관찰이 다양체의 정의의 바탕이 됩니다:

$n$ -다양체란 국소적으로 $\mathbb{R}^{n}$ 처럼 보이는 공간입니다.

사실 위상 다양체 $M$ 을 생각하는 방법에는 두 가지가 있습니다:

•

”국소적으로”: 모든 점 $p\in M$ 에서, $p$ 의 어떤 열린 근방은 $\mathbb{R}^{n}$ 의 열린집합처럼 보입니다. 예를 들어, 지구 표면에 서 있는 사람에게 지구는 $\mathbb{R}^{2}$ 와 매우 비슷하게 보입니다.
•

“전역적으로”: 열린집합 $\{U_{i}\}_{i}$ (무한히 많을 수도 있음)로 이루어진 $M$ 의 열린 덮개가 존재하여, 각 $U_{i}$ 가 $\mathbb{R}^{n}$ 의 어떤 열린 부분집합과 위상동형이 되도록 할 수 있습니다. 예를 들어 우주에서 보면 지구는 두 개의 반구형 팬케이크로 덮을 수 있습니다.

질문 46.1.1.

이 둘이 동치임을 확인하십시오.

첫 번째 것이 예시에 대한 가장 좋은 동기를 제공하는 반면, 두 번째 것은 형식적으로 사용하기가 더 쉽습니다.

정의 46.1.2.

위상 $n$ -다양체 $M$ 이란 $\mathbb{R}^{n}$ 의 부분집합과 위상동형인 집합들로 이루어진 열린 덮개 $\{U_{i}\}$ 를 갖는 하우스도르프 공간이며, 그 위상동형사상을 다음과 같이 나타냅니다

\phi_{i}\colon U_{i}\xrightarrow{\cong}E_{i}\subseteq\mathbb{R}^{n}

여기서 각 $E_{i}$ 는 $\mathbb{R}^{n}$ 의 열린 부분집합입니다. 각 $\phi_{i}\colon U_{i}\to E_{i}$ 는 좌표계(chart)라고 불리며, 이들이 함께 이른바 좌표 모음집(atlas)을 이룹니다.

비고 46.1.3.

여기서 “ $E$ ”는 “유클리드적(Euclidean)”을 의미합니다. 이 표기법은 표준적이지 않다고 생각하며, 보통 사람들은 그냥 $\phi_{i}(U_{i})$ 라고 씁니다.

비고 46.1.4.

이 정의가 좋은 이유는 매장(embedding)에 의존하지 않기 때문입니다: 다양체는 어떤 $N$ 에 대한 $\mathbb{R}^{N}$ 의 부분집합이 아니라 내재적인 공간 $M$ 입니다. 비유하자면: 추상적인 군 $G$ 는 $S_{n}$ 의 부분군이 아니라 내재적인 대상입니다.

예제 46.1.5 ( $S^{1}$ 위의 좌표 모음집).

다음은 두 개의 열린집합을 가진 $S^{1}$ 의 좌표 모음집을 그림으로 나타낸 것입니다.

질문 46.1.6.

“chart”와 “atlas”라는 단어가 어디에서 왔다고 생각하십니까?

예제 46.1.7 (위상 다양체의 몇 가지 예).

(a)

길게 논의했듯이, 구 $S^{2}$ 는 $2$ -다양체입니다: 구 위의 모든 점은 $D^{2}$ 처럼 보이는 작은 열린 근방을 가집니다. 지구는 단 두 개의 반구로 덮을 수 있으며, 각 반구는 원판과 위상동형입니다.
(b)

원 $S^{1}$ 은 $1$ -다양체입니다; 모든 점은 열린 구간처럼 보이는 열린 근방을 가집니다.
(c)

원환면, 클라인 병, $\mathbb{RP}^{2}$ 는 모두 $2$ -다양체입니다.
(d)

$\mathbb{R}^{n}$ 은 자명하게 다양체이며, 그 열린집합들 또한 마찬가지입니다.

$\mathbb{R}^{n}$ 을 제외하면 이 모든 공간은 콤팩트합니다.

다양체가 아닌 예로 $D^{n}$ 이 있는데, 이는 경계를 가지기 때문입니다. 경계 위의 점들은 유클리드 공간처럼 보이는 열린 근방을 갖지 않습니다.

46.2 매끄러운 다양체

대표적인 예: 모든 위상 다양체.

$M$ 을 아틀라스 $\{U_{i}\xrightarrow{\phi_{i}}E_{i}\}$ 를 갖는 위상 $n$ -다양체라고 합시다.

정의 46.2.1.

$U_{i}\cap U_{j}\neq\varnothing$ 인 모든 $i$ , $j$ 에 대해, 전이 사상 $\phi_{ij}$ 는 다음과 같이 합성된 사상입니다

\phi_{ij}\colon E_{i}\cap\phi_{i}^{\text{img}}(U_{i}\cap U_{j})\xrightarrow{% \phi_{i}^{-1}}U_{i}\cap U_{j}\xrightarrow{\phi_{j}}E_{j}\cap\phi_{j}^{\text{% img}}(U_{i}\cap U_{j}).

표기가 조밀해서 죄송합니다, 설명해 드리겠습니다. 상 $\phi_{i}^{\text{img}}(U_{i}\cap U_{j})$ 과 상 $\phi_{j}^{\text{img}}(U_{i}\cap U_{j})$ 의 교집합은 이 사상이 잘 정의되고 위상동형사상이 되도록 만들기 위한 표기상의 번거로움입니다. 전이 사상은 그저 $E_{i}\to E_{j}$ 로 가는 자연스러운 방식을, 겹치는 부분으로 제한한 것일 뿐입니다. 아래 그림에서 교집합은 각 $E_{1}$ 과 $E_{2}$ 의 초록색 부분입니다:

미분 형식을 사용할 수 있도록 충분한 구조를 추가하고자 합니다.

정의 46.2.2.

$M$ 의 모든 전이 사상이 매끄러우면 $M$ 을 매끄러운 다양체라고 합니다.

이 정의는 타당한데, $\mathbb{R}^{n}$ 의 두 열린집합 사이의 사상이 미분 가능하다는 것이 무엇을 의미하는지 우리가 알고 있기 때문입니다.

매끄러운 다양체를 이용하면 $\mathbb{R}^{n}$ 에 대해 구축한 정의들을 우리의 다양체로 이식해 볼 수 있습니다. 그래서 일반적으로, 매끄러운 다양체와 관련된 모든 정의는 각 좌표 조각에서의 어떤 것으로, 호환 조건과 함께 귀결됩니다.

예시로, 다음은 ”매끄러운 사상”의 정의입니다:

정의 46.2.3.

(a)

$M$ 을 매끄러운 다양체라 합시다. 연속 함수 $f\colon M\to\mathbb{R}$ 가 매끄럽다는 것은 다음 합성이

$E_{i}\xrightarrow{\phi_{i}^{-1}}U_{i}\hookrightarrow M\xrightarrow{f}\mathbb{R}$

가 함수 $E_{i}\to\mathbb{R}$ 로서 매끄러우면 매끄럽다고 합니다.
(b)

$M$ 과 $N$ 을 아틀라스 $\{U_{i}^{M}\xrightarrow{\phi_{i}}E_{i}^{M}\}_{i}$ 와 $\{U_{j}^{N}\xrightarrow{\phi_{j}}E_{j}^{N}\}_{j}$ 를 갖는 매끄러운 다양체라 합시다. 사상 $f\colon M\to N$ 이 매끄럽다는 것은 모든 $i$ 와 $j$ 에 대해 다음 합성 사상이

$E_{i}\xrightarrow{\phi_{i}^{-1}}U_{i}\hookrightarrow M\xrightarrow{f}N% \twoheadrightarrow U_{j}\xrightarrow{\phi_{j}}E_{j}$

이 함수 $E_{i}\to E_{j}$ 로서 매끄러우면 매끄럽다고 합니다.

46.3 정칙값 정리

대표적인 예: $x^{2}+y^{2}=1$ 은 원입니다!

일반적인 다양체에 대해 이렇게 많이 써 왔음에도 불구하고, 원 $x^{2}+y^{2}=1$ 이 $\mathbb{R}^{2}$ 에 매장된 1차원 다양체의 훌륭한 예라는 것을 알고 있으면서도 실제로 다양체를 어떻게 구성하는지 제대로 알려드리지 않고 여러분을 여기 남겨두는 것은 다소 매정한 일일 것입니다.

정리 46.3.1 (정칙값 정리).

$V$ 를 $n$ 차원 실수 노름 벡터 공간이라 하고, $U\subseteq V$ 를 열린집합이라 하며, $f_{1},\dots,f_{m}\colon U\to\mathbb{R}$ 을 매끄러운 함수들이라고 합시다. $M$ 을 $f_{1}(p)=\dots=f_{m}(p)=0$ 을 만족하는 점 $p\in U$ 들의 집합이라고 합시다.

$M$ 이 공집합이 아니고 사상

V\to\mathbb{R}^{m}\quad\text{~{}에 의해}\quad v\mapsto\left((Df_{1})_{p}(v),\dots% ,(Df_{m})_{p}(v)\right)

모든 점 $p\in M$ 에서 계수(rank) $m$ 을 가집니다. 그러면 $M$ 은 차원 $n-m$ 의 다양체입니다.

증명은 [SJA05, 정리 6.3]를 참고하십시오.

매우 흔한 특수한 경우 하나는 위에서 $m=1$ 로 두는 것입니다.

따름정리 46.3.2 (수준 초곡면).

$V$ 를 유한 차원 실수 노름 벡터 공간이라 하고, $U\subseteq V$ 를 열린집합, $f\colon U\to\mathbb{R}$ 를 매끄러운 함수라 합시다. $M$ 을 $f(p)=0$ 을 만족하는 점 $p\in U$ 들의 집합이라 합시다. 만약 $M\neq\varnothing$ 이고 임의의 $p\in M$ 에 대해 $(Df)_{p}$ 가 영사상이 아니라면, $M$ 은 차원 $\dim V-1$ 의 다양체입니다.

예제 46.3.3 (원 $x^{2}+y^{2}-c=0$ ).

$f(x,y)=x^{2}+y^{2}-c$ , $f\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ 라 합시다. 여기서 $c$ 는 양의 실수입니다. 다음을 주목하십시오.

Df=2x\cdot dx+2y\cdot dy

이는 특히 $(x,y)\neq(0,0)$ 인 한, 즉 $c\neq 0$ 인 한 0이 아닙니다. 따라서:

•

$c>0$ 일 때, 결과로 얻어지는 곡선 — 반지름이 $\sqrt{c}$ 인 원 — 은 우리가 이미 알고 있었듯이 1차원 다양체입니다.
•

$c=0$ 일 때는 이 결과가 성립하지 않습니다. 실제로 $M$ 은 단 하나의 점이며, 이는 사실 0차원 다양체입니다!

여러분이 실제 구체적인 예시를 작성할 수 있는 능력을 기르도록 그저 지나가며 언급하는 것이므로 더 이상의 예시는 제시하지 않겠습니다. (하지만 [SJA05, 제6.2장]에는 아름답게 그려진 더 많은 예시가 있습니다.)

46.4 다양체 위의 미분 형식

열린집합 $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 위에서 미분 형식이 무엇인지는 이미 알고 있습니다. 따라서 자연스럽게 이 정의를 각 부분집합으로 옮겨오되, 호환성 조건을 추가하고자 합니다.

$M$ 을 아틀라스 $\{U_{i}\xrightarrow{\phi_{i}}E_{i}\}_{i}$ 를 가진 매끄러운 다양체라 합시다.

정의 46.4.1.

매끄러운 다양체 $M$ 위의 미분 $k$ -형식 $\alpha$ 란, 각 $E_{i}$ 위의 미분 $k$ -형식들의 모임 $\{\alpha_{i}\}_{i}$ 로서, 임의의 $j$ 와 $i$ 에 대해 다음이 성립하는 것을 말합니다.

\alpha_{j}=\phi_{ij}^{\ast}(\alpha_{i}).

말로 풀어 쓰면: 각 좌표계 위에 미분 형식을 하나씩 지정하되, 전이 사상들의 당겨오기 아래에서 호환되도록 지정합니다.

46.5 방향

대표적인 예: 왼쪽 대 오른쪽, 시계 방향 대 반시계 방향.

이것으로는 아직 다양체 위에서 적분하기에 충분하지 않습니다. 방향이라는 정의가 하나 더 필요합니다.

주된 문제는 표준 미적분학에서의 다음 관찰입니다.

\int_{a}^{b}f(x)\;dx=-\int_{b}^{a}f(x)\;dx.

그렇다면 구간과 위상동형인 공간 $M$ 을 생각해 봅시다. $1$ -형식 $\alpha$ 가 있다면, 이를 $M$ 위에서 어떻게 적분할까요? $M$ 은 ( $\mathbb{R}$ 의 부분집합이 아니라) 단지 위상 공간일 뿐이므로, 우리가 고를 수 있는 기본값으로서의 ”왼쪽”이나 ”오른쪽”이 존재하지 않습니다. 또 다른 예로, $M=S^{1}$ 이 원이라면, $M$ 을 $\mathbb{R}^{2}$ 에 매장하기로 결정하지 않는 한 기본값으로서의 ”시계 방향”이나 ”반시계 방향”이 존재하지 않습니다.

이를 우회하려면 실제로 우리의 다양체에 대해 추가적인 가정을 세워야 합니다.

정의 46.5.1.

매끄러운 $n$ -다양체가 방향 가능하다는 것은, $M$ 위에 미분 $n$ -형식 $\omega$ 가 존재하여 모든 $p\in M$ 에 대해 다음이 성립함을 뜻합니다.

\omega_{p}\neq 0.

여기서 $\omega_{p}$ 는 $\bigwedge^{n}(V^{\vee})$ 의 원소임을 상기하십시오. 이 경우 $\omega$ 를 $M$ 의 부피 형식이라고 부릅니다.

이 정의를 어떻게 그림으로 그려볼 수 있을까요? 미분 형식이란 $M$ 의 접벡터를 받아 실수를 반환하는 것임을 상기해 봅시다. 이를 위해, 각 점 $p\in M$ 이 $n$ 차원인 접평면 $T_{p}(M)$ 을 가진다고 생각할 수 있습니다. 이제 부피 형식 $\omega$ 가 $n$ 차원이므로, 이는 $T_{p}(M)$ 의 기저 전체를 받아 실수를 하나 내놓습니다. 따라서 다양체가 방향 가능하다는 것은, 다양체의 모든 점에서 접벡터들의 기저에 대해 일관된 부호 선택이 존재함을 뜻합니다.

”매장된 다양체”의 경우, 이는 각 점 $p\in M$ 에 대해 0이 아닌 법선 벡터장을 선택할 수 있음을 의미할 뿐입니다. 예를 들어, $S^{1}$ 은 이러한 방식으로 방향 가능합니다.

마찬가지로, 중심에서 멀어지는(또는 중심을 향하는) 벡터장을 가짐으로써 구 $S^{2}$ 에 방향을 줄 수 있습니다. 접평면 $T_{p}(M)$ 을 정의하지 않았으므로 이는 전혀 엄밀하지 않습니다. $M$ 은 일반적으로 내재적인 대상이기 때문에 $T_{p}(M)$ 을 정의하려면 상당히 우회적인 방법을 써야 합니다(다만 이는 뒤의 선택 절에서 다루겠습니다). 어쨌든, 요점은 공간의 방향 가능성에 대한 추측이 대체로 옳을 가능성이 높다는 것입니다.

예제 46.5.2 (방향 가능한 곡면).

(a)

구 $S^{n}$ , 평면, 그리고 원환면 $S^{1}\times S^{1}$ 은 방향 가능합니다.
(b)

뫼비우스 띠와 클라인 병은 orientable하지 “않습니다”: 이들은 ”한쪽만 있는” 곡면입니다.
(c)

$\mathbb{CP}^{n}$ 은 임의의 $n$ 에 대해 방향을 줄 수 있습니다.
(d)

$\mathbb{RP}^{n}$ 은 $n$ 이 홀수일 때만 방향을 줄 수 있습니다.

46.6 다양체에 대한 스토크스 정리

일반적인 경우의 스토크스 정리는 경계가 있는 다양체(manifold with boundary) $M$ 이라는 개념에 기반을 두고 있는데, 이를 정의하지는 않겠지만 그 경계 $\partial M$ 이 $n-1$ 차원 다양체이며 $M$ 이 방향이 주어져 있으면 그 경계도 방향이 주어진다는 것만 언급하겠습니다. 한 예로 $M=D^{2}$ 가 있는데, 이는 경계 $\partial M=S^{1}$ 을 가집니다.

다음으로,

정의 46.6.1.

$M$ 위의 미분 형식 $\alpha$ 의 지지집합(support)이란 다음 집합의 폐포입니다

\left\{p\in M\mid\alpha_{p}\neq 0\right\}.

이 지지집합이 위상 공간으로서 콤팩트하면, $\alpha$ 가 콤팩트 지지(compactly supported)를 갖는다고 말합니다.

비고 46.6.2.

예를 들어, 부피 형식은 $M$ 전체에서 지지됩니다.

이제 방향이 주어진 다양체 위에서 적분을 정의할 수 있지만, 그 정의가 정말로 끔찍하기 때문에 여기서는 정의하지 않겠습니다. 그러면 스토크스 정리는 다음과 같이 말합니다

정리 46.6.3 (다양체에 대한 스토크스 정리).

$M$ 을 경계가 있는 매끄러운 방향 $n$ -다양체라 하고 $\alpha$ 를 콤팩트 지지를 갖는 $(n-1)$ -형식이라 합시다. 그러면

\int_{M}d\alpha=\int_{\partial M}\alpha.

생략된 모든 세부 사항은 [SJA05]에서 완전히 전개되어 있습니다.

46.7 (선택) 접공간과 여접공간

대표적인 예: 원에 접하는 직선, 또는 구에 접하는 평면을 그려보십시오.

$M$ 을 매끄러운 다양체라 하고 $p\in M$ 을 한 점이라 합시다. 앞에서 $T_{p}(M)$ 의 정의를 생략했었는데, 이제 실제로 정의하고자 합니다.

앞서 말했듯이, 기하학적으로 우리에게 익숙한 예시들에서 이것이 어떤 모습이어야 하는지는 이미 알고 있습니다. 예를 들어, $M=S^{1}$ 이 $\mathbb{R}^{2}$ 에 埋め込まれた 원이라면, 점 $p$ 에서의 접벡터는 그저 원에 접하며 뻗어나가는 벡터처럼 보여야 합니다. 마찬가지로, 구 $M=S^{2}$ 가 주어졌을 때, 구를 따라 점 $p$ 에서의 접공간은 $p$ 에서 $M$ 에 접하는 평면처럼 보일 것입니다.

그러나 이 모든 다양체 이론의 요점 중 하나는, 다양체를 $\mathbb{R}^{n}$ 에 埋め込まれた 것으로서가 아니라 그 자체로 내재적 대상(intrinsic object)으로 보고자 한다는 것입니다.¹¹1이는 케일리의 정리가 모든 군이 치환군의 부분군이라고 알려주지만, 그럼에도 우리가 군을 그 자체로 추상적인 대상으로 생각하는 방식과 유사하다고 볼 수 있습니다. 이것이 항상 그랬던 것은 아니라는 점에 유의하십시오! 19세기 동안 군은 문자 그대로 $\text{GL}(n)$ 또는 $S_{n}$ 의 부분집합으로 정의되었습니다. 실제로 실로우는 ”군”이라는 단어 없이도 자신의 정리들을 전개했습니다. 훨씬 나중에서야 $S_{n}$ 으로의 어떠한 매장(embedding)과도 무관한 추상 집합 $G$ 로서, 그 자체로 독립적인 대상인 군의 추상적 정의가 주어졌습니다. 따라서 우리는 접벡터라는 개념이 주변 공간을 참조하지 않고, 오직 문제가 되는 다양체 $M$ 의 내재적 성질만을 참조하기를 바랍니다.

46.7.1 접공간

이 구성을 동기 부여하기 위해, 이미 답을 알고 있는 埋め込まれた 경우인 구에서부터 시작해봅시다.

$f\colon S^{2}\to\mathbb{R}$ 가 구 위의 함수라 하고, 점 $p$ 를 택합시다. 점 $p$ 근처에서 $f$ 는 원점의 어떤 열린 근방 위의 함수처럼 보입니다. 따라서 상상 속의 접평면 안에서 벡터 $\vec{v}$ 를 따라 방향미분(directional derivative)을 취하는 것을 생각해볼 수 있습니다(즉, 어떤 편미분입니다). 고정된 $\vec{v}$ 에 대해 이 편미분은 하나의 선형 사상입니다

D_{\vec{v}}\colon C^{\infty}(M)\to\mathbb{R}.

이는 반대 방향으로도 성립함이 밝혀집니다: $D_{\vec{v}}$ 가 모든 매끄러운 함수에 대해 무엇을 하는지 안다면, $v$ 를 복원할 수 있습니다. 이것이 접공간을 만들기 위해 우리가 사용하는 요령입니다. 벡터 $\vec{v}$ 를 직접 명시하려 하는 대신(주변 공간이 없으므로 이는 할 수 없습니다),

벡터란 편미분과 유사한 사상입니다.

좀 더 형식적으로, 다음과 같은 내용이 있습니다.

정의 46.7.1.

$p$ 에서의 미분 $D$ 란 다음의 라이프니츠 규칙을 만족시키는 선형 사상 $D\colon C^{\infty}(M)\to\mathbb{R}$ (즉, 모든 매끄러운 $f$ 에 실수를 대응시키는 사상)입니다: 임의의 $f$ , $g$ 에 대해 다음 등식이 성립합니다.

D(fg)=f(p)\cdot D(g)+g(p)\cdot D(f)\in\mathbb{R}.

이는 단지 “곱 규칙”일 뿐입니다. 그러면 접공간은 쉽게 정의할 수 있습니다:

정의 46.7.2.

접벡터란 단지 $p$ 에서의 derivation이며, 접공간 $T_{p}(M)$ 은 이러한 접벡터들 전체의 집합일 뿐입니다.

이렇게 하여 접공간을 구성하였습니다.

46.7.2 쌍대접공간

실제로, $D$ 에 대한 곱 규칙은 다음 세 조건과 동치임을 보일 수 있습니다:

1.

$D$ 는 선형입니다. 즉 $D(af+bg)=aD(f)+bD(g)$ 입니다.
2.

$D(1_{M})=0$ 이며, 여기서 $1_{M}$ 은 $M$ 위의 상수 함수입니다.
3.

$f(p)=g(p)=0$ 일 때마다 $D(fg)=0$ 입니다. 직관적으로, 이는 함수 $h=fg$ 가 $p$ 에서 이차로 소멸한다면 $D$ 를 따른 그 미분값은 0이어야 함을 의미합니다.

이는 세 번째 동치인 정의를 시사합니다: 다음을 정의한다고 합시다

\mathfrak{m}_{p}\coloneqq\left\{f\in C^{\infty}M\mid f(p)=0\right\}

이는 $p$ 에서 소멸하는 함수들의 집합입니다 (이를 $p$ 에서의 극대 아이디얼이라고 부릅니다). 이 경우,

\mathfrak{m}_{p}^{2}=\left\{\sum_{i}f_{i}\cdot g_{i}\mid f_{i}(p)=g_{i}(p)=0\right\}

은 $p$ 에서 이차로 소멸하는 함수들의 집합입니다. 따라서, 접벡터란 실제로는 단지 다음과 같은 선형 사상일 뿐입니다

\mathfrak{m}_{p}/\mathfrak{m}_{p}^{2}\to\mathbb{R}.

다시 말해, 접공간은 사실 $\mathfrak{m}_{p}/\mathfrak{m}_{p}^{2}$ 의 쌍대 공간이며, 이러한 이유로 공간 $\mathfrak{m}_{p}/\mathfrak{m}_{p}^{2}$ 는 여접공간(접공간의 쌍대)으로 정의됩니다. 이 정의는 위의 미분(derivation)을 이용한 정의보다 훨씬 더 추상적이지만, 다음과 같은 좋은 성질들을 가지고 있습니다:

•

좌표에 무관하다는 점과,
•

매끄러운 함수 $M\to\mathbb{R}$ 만을 이용하여 정의된다는 점인데, 이는 이후 대수기하학에서 다양체나 스킴을 다루며 이 정의를 그대로 반복할 때 상당히 유용할 것입니다.

46.7.3 타당성 검증

이렇게 동치인 정의들을 모두 살펴본 후, 마지막으로 해야 할 일은 이 접공간의 정의가 실제로 차원 $n$ 인 벡터 공간을 준다는 것을 확인하는 것입니다. 이를 위해서는 $\mathbb{R}^{n}$ 의 열린 부분집합에 대해서만 이를 확인하면 충분한데, 이는 일반적인 다양체 $M$ (국소적으로 $\mathbb{R}^{n}$ 의 열린 부분집합인)에 대한 결과를 함의할 것입니다. 실해석학의 몇 가지 도구를 사용하면, 다음 결과를 증명할 수 있습니다:

정리 46.7.3.

$M\subset\mathbb{R}^{n}$ 이 열려 있고 $0\in M$ 이라고 합시다. 그러면

	$\displaystyle\mathfrak{m}_{0}$	$\displaystyle=\{\text{매끄러운 함수}f\mid f(0)=0\}$
	$\displaystyle\mathfrak{m}_{0}^{2}$	$\displaystyle=\{\text{매끄러운 함수}f\mid f(0)=0,(\nabla f)_{0}=0\}.$

다시 말해 $\mathfrak{m}_{0}^{2}$ 는 $0$ 에서 소멸하고 $f$ 의 모든 1계 도함수가 영점에서 소멸하는 함수들의 집합입니다.

따라서, 다음과 같은 동형사상이 존재함을 알 수 있습니다

\mathfrak{m}_{0}/\mathfrak{m}_{0}^{2}\cong\mathbb{R}^{n}\quad\text{~{}에 의해}% \quad f\mapsto\left[\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(0),\dots,\frac{\partial f% }{\partial x_{n}}(0)\right]

그러므로 여접공간, 즉 접공간은 실제로 차원 $n$ 을 가집니다.

46.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 46A.

매끄러운 다양체 $M$ 위의 미분 $0$ -형식이 매끄러운 함수 $M\to\mathbb{R}$ 와 동일한 것임을 보이십시오.

작성 예정: 여기서 정칙값 정리(regular value theorem)의 몇 가지 응용