장 11 쌍대 공간과 대각합

다음과 같은 행렬이 주어졌을 때

\begin{bmatrix}a&c\\ b&d\end{bmatrix}

대각합은 대각선을 따라 더한 값 $a+d$ 이고 행렬식은 $ad-bc$ 라는 것을 고등학교에서 배웠을 수도 있습니다. 하지만 우리는 행렬이 어떤 의미에서는 기저의 선택을 이용하여 선형 사상을 인코딩한 것에 불과하다는 것을 알고 있습니다. 그렇다면 이 임의로 보이는 공식들이 어째서 기저의 선택에 의존하지 않는 것일까요?

이 장에서는 $T\colon V\to V$ 이고 $\dim V<\infty$ 일 때 $\operatorname{Tr}T$ 에 대한 본질적인 정의를 제시하고자 합니다. 이는 좌표에 무관한 정의를 제공할 것이며, 특히 대각합 $a+d$ 가 다른 기저를 취하더라도 변하지 않음을 함의할 것입니다.

그 과정에서 우리는 두 가지 새로운 구성을 도입할 것입니다. 하나는 두 공간의 일종의 곱으로, 차원이 $\dim V\cdot\dim W$ 인 텐서곱 $V\otimes W$ 이고, 다른 하나는 $V\to k$ 인 선형 사상( $k$ -벡터 공간)들의 집합인 쌍대 공간 $V^{\vee}$ 입니다. 나중에 벡터 공간 $V$ 에서 내적 공간으로 업그레이드할 때, 쌍대 공간 $V^{\vee}$ 가 행렬의 ”전치”에 대한 멋진 해석을 제공한다는 것을 보게 될 것입니다. 그중 일부는 여기서도 이미 엿볼 수 있습니다.

대각합은 유한 차원 벡터 공간에 대해서만 정의되므로, 원한다면 이 장에서는 관심을 유한 차원 벡터 공간으로 제한해도 됩니다. (반면 기저체가 대수적으로 닫혀 있을 필요는 없습니다.)

다음 장에서는 행렬식에 대해 같은 작업을 할 것입니다.

11.1 텐서곱

대표적인 예: $\mathbb{R}[x]\otimes\mathbb{R}[y]=\mathbb{R}[x,y]$ .

$V\oplus W$ 가 집합으로서는 $V\times W$ 처럼 보이더라도 $\dim(V\oplus W)=\dim V+\dim W$ 라는 것을 우리는 알고 있습니다. 만약 차원의 곱셈이 성립하는 진짜 ”곱” 공간을 원한다면 어떻게 해야 할까요?

예를 들어, 제가 가장 좋아하는 실수 벡터 공간의 예를 꺼내보겠습니다. 즉

V=\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}.

여기 조금 더 작은 또 다른 공간이 있습니다.

W=\left\{dy+e\mid d,e\in\mathbb{R}\right\}.

직합을 취한다면 원소들이 쌍 $(ax^{2}+bx+c,dy+e)$ 로 생각될 수 있는, 다소 부자연스러운 5차원 벡터 공간을 얻게 될 것입니다. 하지만 만약 우리가 원소들이 $V$ 와 $W$ 의 다항식들의 곱인 벡터 공간을 원한다고 가정해봅시다. 이는 $4x^{2}y+5xy+y+3$ 과 같은 원소들을 포함할 것입니다. 특히 그 기저는 다음과 같을 것입니다.

\left\{x^{2}y,x^{2},xy,x,y,1\right\}

따라서 6차원을 가질 것입니다.

이를 위해 우리는 텐서곱에 의지합니다. 이는 정확히 이 작업을 하지만, ”곱셈”이 무서운¹¹1정말로, $\otimes$ 는 수학자가 아닌 사람들에게는 무시무시하게 보이며, 심지어 많은 수학 학부생들에게도 그렇습니다. 기호 $\otimes$ 에 의해 이루어진다는 점만 다릅니다. 이를 두 벡터 공간 사이의 원소들을 분리하는 ”벽”이라고 생각하십시오. 예를 들어 위의 예시는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

4x^{2}\otimes y+5x\otimes y+1\otimes y+3\otimes 1.

(이는 $(4x^{2}\otimes y)+(5x\otimes y)+\dots$ 로 읽혀야 합니다. 덧셈은 $\otimes$ 뒤에 옵니다.) 물론 $4x^{2}\otimes y$ 를 쓰는 것과 $x^{2}\otimes 4y$ 를 쓰는 것, 심지어 $2x^{2}\otimes 2y$ 를 쓰는 것 사이에는 아무런 구별이 없어야 합니다. 우리는 $x$ 와 $y$ 를 분리된 상태로 유지하고 싶지만, 스칼라는 자유롭게 오갈 수 있어야 합니다.

물론 모든 것을 단항식만으로 표현할 필요는 없습니다. 우리는 자유롭게 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(x+1)\otimes(y+1).

원한다면 이를 다음과 같이 전개할 수 있습니다.

x\otimes y+1\otimes y+x\otimes 1+1\otimes 1.

같은 것입니다. 요점은 우리가 두 다항식을 임의로 취해 인위적으로 ”텐서”할 수 있다는 것입니다.

텐서곱의 정의는 정확히 이 작업을 하며, 그 이상은 하지 않습니다.²²2단순화를 위해 저는 이를 벡터 공간에 대해서만 정의하겠습니다. 가환환 $R$ 위의 가군에 대한 정의도 정확히 동일합니다.

정의 11.1.1.

$V$ 와 $W$ 를 같은 체 $k$ 위의 벡터 공간이라고 합시다. 텐서곱 $V\otimes_{k}W$ 는 $v\otimes w$ 형태의 원소들로 생성되는 아벨 군으로, 다음 관계를 만족합니다.

	$\displaystyle(v_{1}+v_{2})\otimes w$	$\displaystyle=v_{1}\otimes w+v_{2}\otimes w$
	$\displaystyle v\otimes(w_{1}+w_{2})$	$\displaystyle=v\otimes w_{1}+v\otimes w_{2}$
	$\displaystyle(c\cdot v)\otimes w$	$\displaystyle=v\otimes(c\cdot w).$

벡터 공간으로서 그 작용은 $c\cdot(v\otimes w)=(c\cdot v)\otimes w=v\otimes(c\cdot w)$ 로 주어집니다.

같은 아이디어를 표현하는 또 다른 방법이 있습니다. 우리는 $v\in V$ 이고 $w\in W$ 인 $v\otimes w$ 형태의 원소를 순수 텐서로 정의합니다. 하지만 우리는 $\otimes$ 벽이 다음과 같은 의미에서 ”투과성”을 갖도록 합니다.

(c\cdot v)\otimes w=v\otimes(c\cdot w)=c\cdot(v\otimes w)

그리고 곱셈과 덧셈이 우리가 예상하는 대로 분배되도록 합니다. 그러면 $V\otimes W$ 는 순수 텐서들의 합으로 이루어집니다.

예제 11.1.2 (텐서곱의 무한 차원 예시: 두 변수 다항식).

이 장과는 관련이 없지만, 이 정의는 무한 차원 벡터 공간에서도 똑같이 잘 작동합니다. 가장 좋은 예시는 아마 다음과 같을 것입니다.

\mathbb{R}[x]\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{R}[y]=\mathbb{R}[x,y].

즉, $x$ 에 대한 다항식과 $y$ 에 대한 실수 다항식의 텐서곱은 결국 이변수 다항식 $\mathbb{R}[x,y]$ 가 됩니다.

비고 11.1.3 (순수 텐서의 합에 대한 주의).

$V\otimes_{k}W$ 의 원소들이 실제로는 이러한 순수 텐서들의 합이라는 것을 기억하십시오! 앞의 예시가 마음에 들었다면, 이 사실은 멋진 해석을 갖습니다 — $\mathbb{R}[x,y]=\mathbb{R}[x]\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{R}[y]$ 의 모든 다항식이 $x$ 에 대한 다항식과 $y$ 에 대한 다항식의 곱(즉 순수 텐서 $f(x)\otimes g(y)$ )으로 인수분해되는 것은 아닙니다. 하지만 그것들은 모두 순수 텐서 $x^{a}\otimes y^{b}$ 의 합으로 쓸 수 있습니다.

앞서 든 예시가 시사하듯이, $V\otimes_{k}W$ 의 기저는 말 그대로 $V$ 와 $W$ 의 기저의 ”곱”입니다. 특히 이는 $\dim(V\otimes_{k}W)=\dim V\cdot\dim W$ 이기를 바라는 우리의 바람을 충족시킵니다.

명제 11.1.4 ( $V\otimes W$ 의 기저).

$V$ 와 $W$ 를 유한 차원 $k$ -벡터 공간이라 합시다. $e_{1},\dots,e_{m}$ 이 $V$ 의 기저이고 $f_{1},\dots,f_{n}$ 이 $W$ 의 기저라면, $V\otimes_{k}W$ 의 기저는 정확히 $e_{i}\otimes f_{j}$ 이며, 여기서 $i=1,\dots,m$ 이고 $j=1,\dots,n$ 입니다.

증명.

생략합니다. 적어도 이 기저가 생성 집합임을 확인하는 것은 쉽습니다. ∎

예제 11.1.5 (구체적인 계산).

$V$ 가 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ 를 가지고 $W$ 가 기저 $f_{1},f_{2}$ 를 가진다고 합시다. $v=3e_{1}+4e_{2}\in V$ 이고 $w=5f_{1}+6f_{2}\in W$ 라 합시다. $V\otimes_{k}W$ 에 대한 이 기저로 $v\otimes w$ 를 써 봅시다:

	$\displaystyle v\otimes w$	$\displaystyle=(3e_{1}+4e_{2})\otimes(5f_{1}+6f_{2})$
		$\displaystyle=(3e_{1})\otimes(5f_{1})+(4e_{2})\otimes(5f_{1})+(3e_{1})\otimes(% 6f_{2})+(4e_{2})\otimes(6f_{2})$
		$\displaystyle=15(e_{1}\otimes f_{1})+20(e_{2}\otimes f_{1})+18(e_{1}\otimes f_% {2})+24(e_{2}\otimes f_{2}).$

그러므로 우리가 단순한 직합보다 더 긴밀한 방식으로 정말 $V\times W$ 에 관심이 있다면, 왜 텐서곱이 고려하기 좋은 ”곱”인지 알 수 있습니다.

표기의 남용 11.1.6.

앞으로는 $k$ 가 대개 명확하므로 $\otimes_{k}$ 를 거의 항상 그냥 $\otimes$ 로 줄여 쓰겠습니다.

비고 11.1.7.

선형 사상 $V\otimes W\to X$ 를 정의하려면, 각 순수 텐서 $v\otimes w$ 가 어떻게 되는지만 말하면 된다는 것에 주목하십시오. 순수 텐서들이 $V\otimes W$ 를 생성하기 때문입니다. 하지만 다시 한번, $V\otimes W$ 가 이러한 순수 텐서들의 합으로 이루어진다는 것을 명심하십시오! 다시 말해, $V\otimes W$ 는 순수 텐서들에 의해 생성됩니다.

비고 11.1.8.

집합의 데카르트 곱 $A\times B$ 와 매우 비슷하게, 같은 체 $k$ 위의 임의의 두 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 를 텐서로 묶을 수 있습니다. $V$ 와 $W$ 사이의 관계는 전혀 상관이 없습니다. $\otimes$ 를 $k$ 의 스칼라는 통과시키지만 그 외에는 $V$ 와 $W$ 의 원소들을 분리된 채로 유지하는 일종의 ”벽”으로 생각할 수 있습니다. 따라서 $\otimes$ 는 내용에 무관합니다.

이는 또한 $V$ 와 $W$ 가 서로 어떤 관계를 가지고 있더라도 텐서곱이 이를 기억하지 못한다는 것을 의미합니다. 예를 들어 군 $G\times G$ 에서 $(g,1_{G})\neq(1_{G},g)$ 인 것과 마찬가지로 $v\otimes 1\neq 1\otimes v$ 입니다.

11.2 쌍대 공간

대표적인 예: 열 행렬을 $90$ 도 회전시키십시오.

다음 벡터 공간을 생각해 봅시다:

예제 11.2.1 ( $\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}$ 로 가는 함수들).

실함수 $f(x,y,z)$ 들의 집합은 무한 차원 실수 벡터 공간입니다. 실제로 우리는 두 함수를 더하여 $f+g$ 를 얻을 수 있고, $2f$ 와 같은 함수도 생각할 수 있습니다.

이는 무섭도록 큰 벡터 공간이지만, 몇 가지 합리적인 축소를 할 수 있습니다. 예를 들어, $\mathbb{R}^{3}$ 에서 $\mathbb{R}$ 로 가는 선형 사상들에만 관심을 한정할 수 있습니다.

그것이 바로 우리가 지금 하려는 것입니다. 이 정의는 처음에는 이상하게 보일 수 있지만, 조금만 참아 주십시오.

정의 11.2.2.

$V$ 를 $k$ -벡터 공간이라 합시다. 그러면 $V$ 의 쌍대 공간인 $V^{\vee}$ 는 $V$ 에서 $k$ 로 가는 선형 사상들을 원소로 갖는 벡터 공간으로 정의됩니다.

덧셈과 곱셈은 점별로 이루어집니다. 이는 $cf+g$ 를 $c\cdot f(x)+g(x)$ 의 의미로 쓸 때 사용하는 것과 같은 표기법입니다. 쌍대 공간 자체는 생각하기가 그리 쉽지 않습니다.

$V^{\vee}$ 의 기저를 찾아봅시다. 먼저, 이 벡터 공간에 대한 매우 구체적인 해석을 살펴보겠습니다. 예를 들어 $V=\mathbb{R}^{3}$ 이라고 합시다. $V$ 의 원소를 다음과 같이 열 행렬로 생각할 수 있습니다.

v=\begin{bmatrix}2\\ 5\\ 9\end{bmatrix}\in V.

그러면 선형 사상 $f\colon V\to k$ 는 행 행렬로 해석할 수 있습니다:

f=\begin{bmatrix}3&4&5\end{bmatrix}\in V^{\vee}.

그러면

f(v)=\begin{bmatrix}3&4&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\ 5\\ 9\end{bmatrix}=71.

더 정확히 말하면: 선형 사상 $V\to k$ 를 지정하려면, $V$ 의 각 기저 원소가 어디로 가는지만 알려주면 됩니다. 위 예에서 $f$ 는 $e_{1}$ 을 $3$ 으로, $e_{2}$ 를 $4$ 로, $e_{3}$ 를 $5$ 로 보냅니다. 그러므로 $f$ 는 다음과 같이 보냅니다:

2e_{1}+5e_{2}+9e_{3}\mapsto 2\cdot 3+5\cdot 4+9\cdot 5=71.

이 모든 것을 정확하게 만들어 봅시다.

명제 11.2.3 ( $V^{\vee}$ 의 쌍대 기저).

$V$ 를 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 을 갖는 유한 차원 벡터 공간이라 합시다. 각 $i$ 에 대해 다음과 같이 정의되는 함수 $e_{i}^{\vee}\colon V\to k$ 를 생각해 봅시다

e_{i}^{\vee}(e_{j})=\begin{cases}1&i=j\\ 0&i\neq j.\end{cases}

좀 더 직관적으로 말하면, $e_{i}^{\vee}(v)$ 는 $v$ 에서 $e_{i}$ 의 계수를 줍니다.

그러면 $e_{1}^{\vee}$ , $e_{2}^{\vee}$ , …, $e_{n}^{\vee}$ 는 $V^{\vee}$ 의 기저입니다.

예제 11.2.4 ( $V^{\vee}$ 에 있는 원소의 구체적인 예).

이 표기법에서 $f=3e_{1}^{\vee}+4e_{2}^{\vee}+5e_{3}^{\vee}$ 입니다. 여기서 ”합” 표기법이 예상대로 작동하는 이유를 알겠습니까? 실제로

	$\displaystyle f(e_{1})$	$\displaystyle=(3e_{1}^{\vee}+4e_{2}^{\vee}+5e_{3}^{\vee})(e_{1})$
		$\displaystyle=3e_{1}^{\vee}(e_{1})+4e_{2}^{\vee}(e_{1})+5e_{3}^{\vee}(e_{1})$
		$\displaystyle=3\cdot 1+4\cdot 0+5\cdot 0=3.$

이것이 바로 우리가 원했던 것입니다.

이 시점에서 $e_{i}\mapsto e_{i}^{\vee}$ 로 주어지는 동형사상과 함께 $V\cong V^{\vee}$ 라고 지적하고 싶어질 수 있습니다. 이것을 ”열 행렬을 $90^{\circ}$ 회전하는 것”이라고 부를 수도 있습니다.

이 진술은 기술적으로 참이지만, 추가 정보가 없는 일반적인 벡터 공간 $V$ 에 대해서는 이것을 그저 $\dim V=\dim V^{\vee}$ 라는 사실의 부산물로 생각할 수 있습니다(임의의 두 벡터 공간이 차원이 같으면 동형이기 때문입니다). 가장 중요한 점은, 위에서 주어진 동형사상이 어떤 기저를 선택했는지에 의존한다는 것입니다.

비고 (위에서 주어진 동형사상 $V\to V^{\vee}$ 가 자연스럽지 않음을 보여주는 구체적인 예).

앨리스와 밥이 같은 2차원 실벡터 공간을 보고 있습니다

V=\left\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\right\}.

또한 구체성을 위해 $v_{\text{예시}}=(3,5,-8)$ 을 $V$ 의 임의의 원소의 예로 둡시다.

앨리스가 $V$ 에 대해 다음 기저 벡터들을 선택한다고 합시다.

	$\displaystyle e_{1}$	$\displaystyle=(1,0,-1)$
	$\displaystyle e_{2}$	$\displaystyle=(0,1,-1).$

앨리스는 이를 사용하여 위에서 설명한 대로 동형사상 $A\colon V\to V^{\vee}$ 를 구성하고, $e_{1}^{\vee}=A(e_{1})$ 을 생각합니다. 원소 $e_{1}^{\vee}\in V^{\vee}$ 는 함수 $e_{1}^{\vee}\colon V\to\mathbb{R}$ 이며, 이는 앨리스가 $V$ 의 임의의 벡터를 여기에 대입할 수 있음을 의미합니다. 예를 들어, $v_{\text{예시}}$ 에 대해

e_{1}^{\vee}(v_{\text{예시}})=e_{1}^{\vee}\left((3,5,-8)\right)=e_{1}^{\vee}% \left(3e_{1}+5e_{2}\right)=3.

한편, 밥은 다음과 같이 다른 기저 벡터들을 선택합니다

	$\displaystyle f_{1}$	$\displaystyle=(1,0,-1)$
	$\displaystyle f_{2}$	$\displaystyle=(1,-1,0).$

이는 밥에게 동형사상 $B\colon V\to V^{\vee}$ 와 그에 대응하는 $f_{1}^{\vee}=B(f_{1})$ 을 줍니다. 밥도 이것을 어디서든 계산할 수 있습니다. 예를 들면

f_{1}^{\vee}\left(v_{\text{예시}}\right)=f_{1}^{\vee}\left((3,5,-8)\right)=f_{1}% ^{\vee}\left(8f_{1}-5f_{2}\right)=8.

따라서 $e_{1}^{\vee}=A\left((1,0,-1)\right)$ 와 $f_{1}^{\vee}=B\left((1,0,-1)\right)$ 는 $V^{\vee}$ 의 서로 다른 원소입니다. 다시 말해, 앨리스와 밥은 서로 다른 기저를 선택했기 때문에 서로 다른 동형사상을 얻은 것입니다.

11.3 $V^{\vee}\otimes W$ 는 $V$ 에서 $W$ 로 가는 행렬들을 줍니다

이 절의 목표:

$V$ 와 $W$ 가 유한 차원 $k$ -벡터 공간이면, $V^{\vee}\otimes W$ 는 선형 사상 $V\to W$ 를 나타냅니다.

직관은 다음과 같습니다. $V$ 가 3차원이고 $W$ 가 5차원이라면, 사상 $V\to W$ 를 $5\times 3$ 크기의 숫자 배열로 생각할 수 있습니다. 우리는 이 사상들을 벡터 공간으로 생각하고 싶습니다(행렬을 더하거나 스칼라배할 수 있기 때문입니다). 그러므로 이것은 차원이 $15$ 인 벡터 공간이어야 하겠지만, 그냥 ” $k^{\oplus 15}$ ”라고 말하는 것은 그다지 만족스럽지 않습니다(기저가 무엇입니까?).

더 잘하기 위해, 텐서곱을 생각해 봅시다

V^{\vee}\otimes W

이는 어떻게 보면 $V$ 에서 나가는 사상들과 목표 공간 $W$ 의 곱입니다. 우리는 이것이 실제로 우리가 원하는 공간이라고 주장합니다. 즉, $V^{\vee}\otimes W$ 의 원소들과 $V$ 에서 $W$ 로 가는 선형 사상들 사이에는 자연스러운 전단사가 존재합니다.

먼저, $V^{\vee}\otimes W$ 의 원소를 사상 $V\to W$ 로 어떻게 해석할까요? 구체성을 위해 $V$ 가 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ 을 갖고, $W$ 가 기저 $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ , $f_{4}$ , $f_{5}$ 를 갖는다고 합시다. $V^{\vee}\otimes W$ 의 원소를 생각해 봅시다, 예를 들면

e_{1}^{\vee}\otimes(f_{2}+2f_{4})+4e_{2}^{\vee}\otimes f_{5}.

우리는 이 원소를 함수 $V\to W$ 로 해석하고 싶습니다. 즉, $v\in V$ 가 주어지면 $W$ 의 원소를 출력하고 싶습니다. 이를 하는 방법은 사실 하나뿐입니다. $v\in V$ 를 왼쪽에 있는 $V^{\vee}$ 들에 대입하는 것입니다. 즉, 다음 사상을 취합니다

v\mapsto e_{1}^{\vee}(v)\cdot(f_{2}+2f_{4})+4e_{2}^{\vee}(v)\cdot f_{5}\in W.

그러므로, 임의의 원소 $\xi_{1}\otimes w_{1}+\dots+\xi_{m}\otimes w_{m}\in V^{\vee}\otimes W$ 를 선형 사상 $V\to W$ 로 해석하는 자연스러운 방법이 있습니다. 주장은 사실 모든 선형 사상 $V\to W$ 가 이러한 해석을 갖는다는 것입니다.

먼저, 표기의 편의를 위해,

정의 11.3.1.

$\operatorname{Hom}(V,W)$ 가 $V$ 에서 $W$ 로의 선형 사상들의 집합(이는 $V$ 를 $W$ 로 보내는 행렬들로 해석할 수 있습니다)을 나타내며, $k$ 위의 벡터 공간으로 간주된다고 합시다. (“ $\operatorname{Hom}$ ”은 준동형사상을 뜻합니다.)

질문 11.3.2.

$\operatorname{Hom}(V,k)$ 를 이름으로 식별하십시오.

이제 좀 더 일반적으로 성립하는 것을 적어볼 수 있습니다.

정리 11.3.3 ( $V^{\vee}\otimes W$ $\iff$ 선형 사상 $V\to W$ ).

$V$ 와 $W$ 를 유한 차원 벡터 공간이라고 합시다. 우리는 다음과 같은 사상을 기술했습니다

\Psi\colon V^{\vee}\otimes W\to\operatorname{Hom}(V,W)

$\xi_{1}\otimes w_{1}+\dots+\xi_{m}\otimes w_{m}$ 을 다음 선형 사상으로 보냄으로써

v\mapsto\xi_{1}(v)w_{1}+\dots+\xi_{m}(v)w_{m}.

그러면 $\Psi$ 는 벡터 공간의 동형사상입니다, 즉 모든 선형 사상 $V\to W$ 는 이러한 방식으로 $V^{\vee}\otimes W$ 의 원소로서 유일하게 표현될 수 있습니다.

위 내용은 다소 난해할 수 있으므로, 구체적인 예시를 살펴보겠습니다.

예제 11.3.4 (구체적인 예시).

$V=\mathbb{R}^{2}$ 라 하고 $V$ 의 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ 를 취합시다. 그러면 $T\colon V\to V$ 를 다음과 같이 정의합니다

T=\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}.

그러면 다음을 얻습니다

\Psi(e_{1}^{\vee}\otimes e_{1}+2e_{2}^{\vee}\otimes e_{1}+3e_{1}^{\vee}\otimes e% _{2}+4e_{2}^{\vee}\otimes e_{2})=T.

아름다운 점은 $\Psi$ 의 정의가 기저에 무관하다는 것입니다. 따라서 기저를 바꾸더라도, 위 표현은 완전히 다르게 보이겠지만, $V^{\vee}\otimes V$ 안의 실제 원소는 변하지 않습니다.

그럼에도 불구하고, 증명을 위해서는 좌표를 사용하는 즐거움을 누려보겠습니다.

정리 11.3.3의 증명.

위협적으로 보이지만, 사실은 어렵지 않습니다. 두 단계로 진행합니다:

1.

먼저, $\Psi$ 가 전사임을 확인합니다. 즉 모든 선형 사상은 $V^{\vee}\otimes W$ 에서 적어도 하나의 표현을 갖습니다. 이를 보이기 위해, 임의의 $T\colon V\to W$ 를 취합니다. $V$ 가 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ 를 가지고 $T(e_{1})=w_{1}$ , $T(e_{2})=w_{2}$ , $T(e_{3})=w_{3}$ 라고 합시다. 그러면 다음 원소가

$e_{1}^{\vee}\otimes w_{1}+e_{2}^{\vee}\otimes w_{2}+e_{3}^{\vee}\otimes w_{3}$

작동합니다, 왜냐하면 이는 기저 원소 $e_{i}$ 에서 $T$ 와 일치하도록 고안되었기 때문입니다.
2.

따라서 이제 $\dim V^{\vee}\otimes W=\dim\operatorname{Hom}(V,W)$ 임을 확인하는 것으로 충분합니다. 분명히, $V^{\vee}\otimes W$ 는 차원 $\dim V\cdot\dim W$ 를 갖습니다. 그러나 $\operatorname{Hom}(V,W)$ 를 $\dim V\cdot\dim W$ 행렬로 봄으로써, 이 또한 차원 $\dim V\cdot\dim W$ 를 가짐을 알 수 있습니다. ∎

그러므로 자연스러운 동형사상 $V^{\vee}\otimes W\cong\operatorname{Hom}(V,W)$ 가 존재합니다. 비록 그것이 작동한다는 증명에서 기저를 자유롭게 사용하긴 했지만, 이는 이 동형사상이 “신께서 주신 것”이며, 오직 $V$ 와 $W$ 자체의 본질에만 의존하고 벡터 공간을 표현하기 위해 어떤 기저를 선택하는지에는 의존하지 않는다는 사실을 바꾸지 않습니다.

11.4 대각합

이제 대각합의 정의를 내릴 준비가 되었습니다. 정사각 행렬 $T$ 는 사상 $T\colon V\to V$ 로 생각할 수 있음을 상기하십시오. 위 정리에 따르면,

\operatorname{Hom}(V,V)\cong V^{\vee}\otimes V

그러므로 모든 사상 $V\to V$ 는 $V^{\vee}\otimes V$ 의 원소로 생각할 수 있습니다. 그러나 우리는 각 순수 텐서를 “붕괴”시켜 평가 사상 $\operatorname{ev}\colon V^{\vee}\otimes V\to k$ 를 정의할 수도 있습니다: $f\otimes v\mapsto f(v)$ . 이는 우리에게 합성 사상을 제공합니다

이 결과를 행렬 $T$ 의 대각합이라고 부릅니다.

예제 11.4.1 (대각합의 예시).

앞의 예시를 계속하면,

\operatorname{Tr}T=e_{1}^{\vee}(e_{1})+2e_{2}^{\vee}(e_{1})+3e_{1}^{\vee}(e_{2% })+4e_{2}^{\vee}(e_{2})=1+0+0+4=5.

그리고 이것이 대각합이 대각 성분들의 합인 이유입니다.

11.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 11A (대각합은 고윳값들의 합).

$V$ 를 대수적으로 닫힌 체 $k$ 위의 $n$ 차원 벡터 공간이라 합시다. $T\colon V\to V$ 를 고윳값 $\lambda_{1}$ , $\lambda_{2}$ , …, $\lambda_{n}$ 을 갖는 (대수적 중복도를 세어) 선형 사상이라 합시다. $\operatorname{Tr}T=\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n}$ 임을 보이십시오.

힌트. $T$ 를 고유기저로 나타내면 따라옵니다: 그러면 대각 성분들이 고윳값들이 됩니다.

풀이. 우리는 이미 어떤 기저에서든 대각합이 항상 고윳값들의 합임을 보았습니다. 특히, 앞 장에서의 조르당 표준형 기저를 선택하면, 조르당 표준형이 그 대각 성분으로 고윳값들을 가지므로 결과가 성립합니다.

문제 11B (대각합의 곱).

$T\colon V\to V$ 와 $S\colon W\to W$ 를 유한 차원 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 의 선형 사상이라 합시다. $T\otimes S\colon V\otimes W\to V\otimes W$ 를 $v\otimes w\mapsto T(v)\otimes S(w)$ 로 정의합시다. 다음을 증명하십시오.

\operatorname{Tr}(T\otimes S)=\operatorname{Tr}(T)\operatorname{Tr}(S).

힌트. 이번에도 그냥 기저를 잡으면 됩니다.

문제 11C (대각합은 어느 정도 교환됩니다).

^†^†margin:

$T\colon V\to W$ 와 $S\colon W\to V$ 를 유한 차원 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 사이의 선형 사상이라 합시다. 다음을 보이십시오.

\operatorname{Tr}(T\circ S)=\operatorname{Tr}(S\circ T).

힌트. 한 가지 방법은 그냥 기저를 잡는 것입니다. 그렇지 않다면, $T\otimes S\mapsto\operatorname{Tr}(T\circ S)$ 를 선형 사상 $(V^{\vee}\otimes W)\otimes(W^{\vee}\otimes V)\to k$ 로 해석하고, 이것이 교환적임을 확인하십시오.

풀이. 좌표를 이용한 계산을 제시할 수도 있지만, 우리는 대신 더 깔끔한 증명을 제시하고자 합니다. 이는 다음 도식을 그리는 것과 같습니다.

순수 텐서 $\xi_{W}\otimes v\otimes\xi_{V}\otimes w$ 에서 확인함으로써 가운데 사각형이 가환함을 쉽게 확인할 수 있습니다. 따라서 바깥쪽 육각형이 가환하며 이것으로 증명이 끝납니다. 이는 사실 기저를 이용한 증명과 동일한데, 결국 어딘가에 $1$ 이 있고 나머지는 $0$ 인 행렬에 대해 주장이 성립함을 확인한 다음 선형성으로 확장하는 것에 해당합니다.

문제 11D (Putnam 1988).