장 11 쌍대 공간과 대각합

고등학교에서 다음과 같은 행렬이 주어졌을 때

\begin{bmatrix}a&c\\ b&d\end{bmatrix}

대각합은 대각선을 따라 더한 값 $a+d$ 이고 행렬식은 $ad-bc$ 라고 배웠을 수도 있습니다. 하지만 우리는 행렬이 어떤 의미에서 기저를 하나 선택하여 선형 사상을 부호화한 것에 불과하다는 것을 알고 있습니다. 그렇다면 임의적으로 보이는 이 공식들은 어째서 기저의 선택에 의존하지 않는 것입니까?

이 장에서는 $T\colon V\to V$ 이고 $\dim V<\infty$ 일 때 $\operatorname{Tr}T$ 의 내재적 정의를 제시하겠습니다. 이는 좌표에 의존하지 않는 정의를 제공하며, 특히 다른 기저를 택하더라도 대각합 $a+d$ 가 변하지 않는다는 사실을 함의합니다.

이를 위해 두 가지 새로운 구성을 도입하겠습니다. 하나는 텐서곱 $V\otimes W$ (두 공간의 일종의 곱으로, 차원은 $\dim V\cdot\dim W$ 입니다)이고, 다른 하나는 선형 사상 $V\to k$ 들의 집합(하나의 $k$ -벡터 공간)인 쌍대 공간 $V^{\vee}$ 입니다. 나중에 벡터 공간 $V$ 를 내적 공간으로 격상시키면, 쌍대 공간 $V^{\vee}$ 가 행렬의 “전치”에 대한 멋진 해석을 제공한다는 것을 보게 될 것입니다. 여기서도 이미 그 일부가 드러나는 것을 보실 수 있을 것입니다.

대각합은 유한 차원 벡터 공간에 대해서만 정의되므로, 원한다면 이 장에서는 유한 차원 벡터 공간만 생각하셔도 됩니다. (한편, 기초체가 대수적으로 닫혀 있을 필요는 없습니다.)

그다음 장에서는 행렬식에 대해 같은 작업을 수행하겠습니다.

11.1 텐서곱

대표적인 예: $\mathbb{R}[x]\otimes\mathbb{R}[y]=\mathbb{R}[x,y]$ .

집합으로서는 $V\oplus W$ 가 $V\times W$ 처럼 보이지만, $\dim(V\oplus W)=\dim V+\dim W$ 임을 우리는 알고 있습니다. 차원이 곱셈으로 결합되는 진정한 공간의 “곱”을 원한다면 어떻게 해야 하겠습니까?

예를 들어, 제가 가장 좋아하는 실벡터 공간의 예를 꺼내 봅시다. 바로

V=\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}.

여기 조금 더 작은 또 다른 공간이 있습니다.

W=\left\{dy+e\mid d,e\in\mathbb{R}\right\}.

직합을 취하면 차원이 5인 다소 부자연스러운 벡터 공간을 얻게 됩니다(그 원소들은 쌍 $(ax^{2}+bx+c,dy+e)$ 로 생각할 수 있습니다). 하지만 원소들이 $V$ 와 $W$ 의 다항식들의 곱인 벡터 공간을 원한다고 해 봅시다. 그러한 공간은 $4x^{2}y+5xy+y+3$ 과 같은 원소를 포함할 것입니다. 특히 그 기저는 다음과 같을 것이며

\left\{x^{2}y,x^{2},xy,x,y,1\right\}

따라서 차원은 6이 됩니다.

이를 위해 우리는 텐서곱에 의지합니다. 텐서곱은 정확히 이 일을 하는데, 다만 “곱셈”을 무시무시한¹¹1정말로, $\otimes$ 는 수학자가 아닌 사람들에게, 그리고 심지어 많은 수학과 학부생들에게도 공포스럽게 보입니다. 기호 $\otimes$ 로 나타낸다는 점이 다릅니다. 이 기호를 두 벡터 공간의 원소들을 서로 분리하는 “벽”으로 생각하십시오. 예를 들어, 위의 예는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

4x^{2}\otimes y+5x\otimes y+1\otimes y+3\otimes 1.

(이는 $(4x^{2}\otimes y)+(5x\otimes y)+\dots$ 로 읽어야 합니다. 덧셈은 $\otimes$ 보다 나중에 계산합니다.) 물론 $4x^{2}\otimes y$ 라고 쓰는 것과 $x^{2}\otimes 4y$ , 심지어 $2x^{2}\otimes 2y$ 라고 쓰는 것 사이에는 아무런 차이가 없어야 합니다. $x$ 와 $y$ 는 분리된 채로 두고 싶지만, 스칼라는 자유롭게 떠다닐 수 있어야 합니다.

물론 모든 것을 단항식만으로 나타낼 필요는 없습니다. 다음과 같이 자유롭게 쓸 수 있습니다.

(x+1)\otimes(y+1).

원한다면 이를 다음과 같이 전개할 수 있습니다.

x\otimes y+1\otimes y+x\otimes 1+1\otimes 1.

같은 것입니다. 요점은 우리가 가진 다항식 중 아무 두 개를 골라 인위적으로 “텐서”로 묶을 수 있다는 것입니다.

텐서곱의 정의는 정확히 이 일을 하며, 그 이상은 아무것도 하지 않습니다.²²2간단히 하기 위해 벡터 공간에 대해서만 정의하겠습니다. 가환환 $R$ 위의 가군에 대한 정의도 완전히 같습니다.

정의 11.1.1.

$V$ 와 $W$ 를 같은 체 $k$ 위의 벡터 공간이라고 합시다. 텐서곱 $V\otimes_{k}W$ 는 $v\otimes w$ 꼴의 원소들로 생성되고 다음 관계를 만족하는 아벨 군입니다.

	$\displaystyle(v_{1}+v_{2})\otimes w$	$\displaystyle=v_{1}\otimes w+v_{2}\otimes w$
	$\displaystyle v\otimes(w_{1}+w_{2})$	$\displaystyle=v\otimes w_{1}+v\otimes w_{2}$
	$\displaystyle(c\cdot v)\otimes w$	$\displaystyle=v\otimes(c\cdot w).$

벡터 공간으로서 그 작용은 $c\cdot(v\otimes w)=(c\cdot v)\otimes w=v\otimes(c\cdot w)$ 로 주어집니다.

같은 아이디어를 다른 방식으로 표현해 보겠습니다. $v\in V$ 와 $w\in W$ 에 대해 $v\otimes w$ 꼴의 원소를 순수 텐서라고 정의합니다. 다만 $\otimes$ 벽은 다음과 같은 의미에서 “투과성”이 있다고 하고

(c\cdot v)\otimes w=v\otimes(c\cdot w)=c\cdot(v\otimes w)

곱셈과 덧셈은 우리가 기대하는 대로 분배되도록 합니다. 그러면 $V\otimes W$ 는 순수 텐서들의 합으로 이루어집니다.

예제 11.1.2 (텐서곱의 무한 차원 예: 두 변수 다항식).

이 장과는 관련이 없지만, 이 정의는 무한 차원 벡터 공간에서도 똑같이 잘 작동합니다. 가장 좋은 예는 아마 다음일 것입니다.

\mathbb{R}[x]\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{R}[y]=\mathbb{R}[x,y].

즉, $x$ 에 대한 다항식과 $y$ 에 대한 실수 다항식의 텐서곱은 결국 이변수 다항식 $\mathbb{R}[x,y]$ 일 뿐입니다.

비고 11.1.3 (순수 텐서의 합에 대한 주의).

$V\otimes_{k}W$ 의 원소는 실제로 이러한 순수 텐서들의 합이라는 점을 기억하십시오! 앞의 예시가 마음에 들었다면, 이 사실에는 좋은 해석이 있습니다 — $\mathbb{R}[x,y]=\mathbb{R}[x]\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{R}[y]$ 의 모든 다항식이 $x$ 에 대한 다항식과 $y$ 에 대한 다항식의 곱으로(즉 순수 텐서 $f(x)\otimes g(y)$ 로) 인수분해되는 것은 아닙니다. 그러나 이들은 모두 순수 텐서 $x^{a}\otimes y^{b}$ 의 합으로 쓸 수 있습니다.

앞의 예시가 시사하듯이, $V\otimes_{k}W$ 의 기저는 말 그대로 $V$ 와 $W$ 의 기저의 “곱”입니다. 특히 이로써 $\dim(V\otimes_{k}W)=\dim V\cdot\dim W$ 이기를 바랐던 우리의 바람이 충족됩니다.

명제 11.1.4 ( $V\otimes W$ 의 기저).

$V$ 와 $W$ 를 유한차원 $k$ -벡터 공간이라고 합시다. $e_{1},\dots,e_{m}$ 이 $V$ 의 기저이고 $f_{1},\dots,f_{n}$ 이 $W$ 의 기저이면, $V\otimes_{k}W$ 의 기저는 정확히 $e_{i}\otimes f_{j}$ 입니다. 여기서 $i=1,\dots,m$ 이고 $j=1,\dots,n$ 입니다.

증명.

생략합니다. 적어도 이 기저가 공간을 생성한다는 것은 쉽게 알 수 있습니다. ∎

예제 11.1.5 (명시적인 계산).

$V$ 의 기저를 $e_{1}$ , $e_{2}$ 라 하고 $W$ 의 기저를 $f_{1},f_{2}$ 라 합시다. $v=3e_{1}+4e_{2}\in V$ 이고 $w=5f_{1}+6f_{2}\in W$ 라 합시다. $v\otimes w$ 를 $V\otimes_{k}W$ 의 이 기저로 써 봅시다:

	$\displaystyle v\otimes w$	$\displaystyle=(3e_{1}+4e_{2})\otimes(5f_{1}+6f_{2})$
		$\displaystyle=(3e_{1})\otimes(5f_{1})+(4e_{2})\otimes(5f_{1})+(3e_{1})\otimes(% 6f_{2})+(4e_{2})\otimes(6f_{2})$
		$\displaystyle=15(e_{1}\otimes f_{1})+20(e_{2}\otimes f_{1})+18(e_{1}\otimes f_% {2})+24(e_{2}\otimes f_{2}).$

따라서 단순한 직합보다 더 긴밀한 방식으로 $V\times W$ 에 관심이 있다면, 텐서곱이 왜 고려할 만한 좋은 “곱”인지 알 수 있습니다.

표기의 남용 11.1.6.

앞으로는 $k$ 가 대개 명확하므로, 거의 항상 $\otimes_{k}$ 를 간단히 $\otimes$ 로 줄여 쓰겠습니다.

비고 11.1.7.

선형 사상 $V\otimes W\to X$ 를 정의하려면 각 순수 텐서 $v\otimes w$ 가 어디로 가는지만 말하면 된다는 점에 주목하십시오. 순수 텐서들이 $V\otimes W$ 를 생성하기 때문입니다. 그러나 다시 한번, $V\otimes W$ 는 이러한 순수 텐서들의 합으로 이루어진다는 점을 명심하십시오! 다시 말해, $V\otimes W$ 는 순수 텐서들로 생성됩니다.

비고 11.1.8.

집합의 데카르트 곱 $A\times B$ 와 마찬가지로, 같은 체 $k$ 위의 임의의 두 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 를 텐서곱할 수 있습니다. $V$ 와 $W$ 사이의 관계는 전혀 상관이 없습니다. $\otimes$ 를 $k$ 의 스칼라는 통과시킬 수 있지만 그 외에는 $V$ 와 $W$ 의 원소들을 분리해 두는 “벽”으로 생각할 수 있습니다. 따라서 $\otimes$ 는 내용에 무관합니다.

이는 또한 $V$ 와 $W$ 가 서로 어떤 관계를 가지더라도 텐서곱은 이를 기억하지 않는다는 뜻입니다. 예를 들어 군 $G\times G$ 에서 $(g,1_{G})\neq(1_{G},g)$ 인 것처럼, $v\otimes 1\neq 1\otimes v$ 입니다.

11.2 쌍대 공간

대표적인 예: 열 행렬을 $90$ 도 회전하십시오.

다음 벡터 공간을 생각해 봅시다:

예제 11.2.1 ( $\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}$ 함수).

실함수 $f(x,y,z)$ 들의 집합은 무한차원 실벡터 공간입니다. 실제로 두 함수를 더해 $f+g$ 를 얻을 수 있고, $2f$ 같은 함수도 생각할 수 있습니다.

이것은 무시무시하게 큰 벡터 공간이지만, 합리적으로 범위를 줄일 수 있습니다. 예를 들어 $\mathbb{R}^{3}$ 에서 $\mathbb{R}$ 로 가는 선형 사상만으로 관심을 제한할 수 있습니다.

바로 그것이 우리가 지금부터 할 일입니다. 이 정의가 처음에는 이상해 보일 수 있지만, 조금만 참아 주십시오.

정의 11.2.2.

$V$ 를 $k$ -벡터 공간이라고 합시다. 그러면 $V$ 의 쌍대 공간 $V^{\vee}$ 는 $V$ 에서 $k$ 로 가는 선형 사상들을 원소로 하는 벡터 공간으로 정의됩니다.

덧셈과 곱셈은 점별로 정의됩니다. 이는 $c\cdot f(x)+g(x)$ 를 뜻하기 위해 $cf+g$ 라고 쓸 때 사용하는 것과 같은 표기입니다. 쌍대 공간 자체는 생각하기가 그리 쉽지 않습니다.

$V^{\vee}$ 의 기저를 찾아봅시다. 먼저 이 벡터 공간에 대한 매우 구체적인 해석을 소개합니다. 예를 들어 $V=\mathbb{R}^{3}$ 이라고 합시다. $V$ 의 원소를 다음과 같은 열 행렬로 생각할 수 있습니다.

v=\begin{bmatrix}2\\ 5\\ 9\end{bmatrix}\in V.

그러면 선형 사상 $f\colon V\to k$ 는 다음과 같은 행 행렬로 해석할 수 있습니다:

f=\begin{bmatrix}3&4&5\end{bmatrix}\in V^{\vee}.

그러면

f(v)=\begin{bmatrix}3&4&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\ 5\\ 9\end{bmatrix}=71.

더 정확히 말하면, 선형 사상 $V\to k$ 를 지정하려면 $V$ 의 각 기저 원소가 어디로 가는지만 알려 주면 됩니다. 위의 예에서 $f$ 는 $e_{1}$ 을 $3$ 으로, $e_{2}$ 를 $4$ 로, $e_{3}$ 을 $5$ 로 보냅니다. 따라서 $f$ 는 다음과 같이 보냅니다.

2e_{1}+5e_{2}+9e_{3}\mapsto 2\cdot 3+5\cdot 4+9\cdot 5=71.

이 모든 것을 엄밀하게 만들어 봅시다.

명제 11.2.3 ( $V^{\vee}$ 의 쌍대 기저).

$V$ 를 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 을 갖는 유한 차원 벡터 공간이라고 합시다. 각 $i$ 에 대하여 다음과 같이 정의되는 함수 $e_{i}^{\vee}\colon V\to k$ 를 생각합니다.

e_{i}^{\vee}(e_{j})=\begin{cases}1&i=j\\ 0&i\neq j.\end{cases}

좀 더 알기 쉽게 말하면, $e_{i}^{\vee}(v)$ 는 $v$ 에서 $e_{i}$ 의 계수를 줍니다.

그러면 $e_{1}^{\vee}$ , $e_{2}^{\vee}$ , …, $e_{n}^{\vee}$ 는 $V^{\vee}$ 의 기저입니다.

예제 11.2.4 ( $V^{\vee}$ 의 원소의 명시적인 예).

이 표기법으로 쓰면 $f=3e_{1}^{\vee}+4e_{2}^{\vee}+5e_{3}^{\vee}$ 입니다. 여기서 “합” 표기법이 왜 기대한 대로 작동하는지 보이십니까? 실제로

	$\displaystyle f(e_{1})$	$\displaystyle=(3e_{1}^{\vee}+4e_{2}^{\vee}+5e_{3}^{\vee})(e_{1})$
		$\displaystyle=3e_{1}^{\vee}(e_{1})+4e_{2}^{\vee}(e_{1})+5e_{3}^{\vee}(e_{1})$
		$\displaystyle=3\cdot 1+4\cdot 0+5\cdot 0=3.$

이것이 바로 우리가 원하던 것입니다.

이 시점에서 $e_{i}\mapsto e_{i}^{\vee}$ 로 주어지는 동형사상에 의해 $V\cong V^{\vee}$ 라고 지적하고 싶어질 수도 있습니다. 이를 “열 행렬을 $90^{\circ}$ 만큼 회전하는 것”이라고 부를 수도 있습니다.

이 명제는 엄밀히 말해 참이지만, 아무런 추가 정보가 없는 일반적인 벡터 공간 $V$ 에 대해서는 이것을 단지 $\dim V=\dim V^{\vee}$ 의 부산물로 생각하면 됩니다(차원이 같은 임의의 두 벡터 공간은 동형이기 때문입니다). 가장 중요한 점은, 위에서 주어진 동형사상이 어떤 기저를 골랐는지에 의존한다는 것입니다.

비고 (위에서 주어진 동형사상 $V\to V^{\vee}$ 가 자연스럽지 않음을 보여 주는 명시적인 예).

앨리스와 밥이 같은 2차원 실벡터 공간을 보고 있습니다.

V=\left\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\right\}.

또한 구체적으로, $v_{\text{예시}}=(3,5,-8)$ 을 $V$ 의 임의의 원소의 예로 둡시다.

앨리스가 $V$ 의 기저 벡터로 다음을 고른다고 합시다.

	$\displaystyle e_{1}$	$\displaystyle=(1,0,-1)$
	$\displaystyle e_{2}$	$\displaystyle=(0,1,-1).$

앨리스는 이를 이용하여 위에서 설명한 대로 동형사상 $A\colon V\to V^{\vee}$ 를 구성하고, $e_{1}^{\vee}=A(e_{1})$ 을 생각합니다. 원소 $e_{1}^{\vee}\in V^{\vee}$ 는 함수 $e_{1}^{\vee}\colon V\to\mathbb{R}$ 이므로, 앨리스는 $V$ 의 임의의 벡터를 여기에 대입할 수 있습니다. 예를 들어 $v_{\text{예시}}$ 에 대해서는

e_{1}^{\vee}(v_{\text{예시}})=e_{1}^{\vee}\left((3,5,-8)\right)=e_{1}^{\vee}% \left(3e_{1}+5e_{2}\right)=3.

한편 밥은 다른 기저 벡터를 고릅니다.

	$\displaystyle f_{1}$	$\displaystyle=(1,0,-1)$
	$\displaystyle f_{2}$	$\displaystyle=(1,-1,0).$

이로부터 밥은 동형사상 $B\colon V\to V^{\vee}$ 와 그에 대응하는 $f_{1}^{\vee}=B(f_{1})$ 을 얻습니다. 밥 역시 이를 어디에서든 계산할 수 있습니다. 예를 들어

f_{1}^{\vee}\left(v_{\text{예시}}\right)=f_{1}^{\vee}\left((3,5,-8)\right)=f_{1}% ^{\vee}\left(8f_{1}-5f_{2}\right)=8.

따라서 $e_{1}^{\vee}=A\left((1,0,-1)\right)$ 과 $f_{1}^{\vee}=B\left((1,0,-1)\right)$ 은 $V^{\vee}$ 의 서로 다른 원소입니다. 다시 말해 앨리스와 밥은 서로 다른 기저를 골랐기 때문에 서로 다른 동형사상을 얻었습니다.

11.3 $V^{\vee}\otimes W$ 는 $V$ 에서 $W$ 로 가는 행렬을 줍니다

이 절의 목표:

$V$ 와 $W$ 가 유한 차원 $k$ -벡터 공간이면 $V^{\vee}\otimes W$ 는 선형 사상 $V\to W$ 를 나타냅니다.

직관은 다음과 같습니다. $V$ 가 3차원이고 $W$ 가 5차원이면, 사상 $V\to W$ 를 $5\times 3$ 크기의 수 배열로 생각할 수 있습니다. 우리는 이 사상들을 벡터 공간으로 생각하고 싶습니다(행렬은 더하거나 스칼라배할 수 있기 때문입니다). 그러므로 이것은 차원이 $15$ 인 벡터 공간이어야 마땅하지만, 그저 “ $k^{\oplus 15}$ ”라고 말하는 것은 그다지 만족스럽지 않습니다(기저가 무엇입니까?).

더 나은 방법으로, 다음 텐서곱을 생각합니다.

V^{\vee}\otimes W

이는 어떤 의미에서 $V$ 로부터 나가는 사상들과 목표 공간 $W$ 의 곱입니다. 우리는 이것이 실제로 우리가 원하는 공간이라고 주장합니다. 즉 $V^{\vee}\otimes W$ 의 원소와 $V$ 에서 $W$ 로 가는 선형 사상 사이에는 자연스러운 전단사가 존재합니다.

먼저, $V^{\vee}\otimes W$ 의 원소를 사상 $V\to W$ 로 어떻게 해석할 수 있겠습니까? 구체적으로, $V$ 의 기저가 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ 이고 $W$ 의 기저가 $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ , $f_{4}$ , $f_{5}$ 라고 합시다. $V^{\vee}\otimes W$ 의 원소 하나를 생각해 봅시다. 예를 들어

e_{1}^{\vee}\otimes(f_{2}+2f_{4})+4e_{2}^{\vee}\otimes f_{5}.

이 원소를 함수 $V\to W$ 로 해석하려고 합니다. 즉, $v\in V$ 가 주어지면 $W$ 의 원소를 내놓아야 합니다. 이렇게 하는 방법은 사실상 하나뿐입니다. 바로 $v\in V$ 를 왼쪽에 있는 $V^{\vee}$ 원소들에 넣는 것입니다. 즉, 다음 사상을 생각합니다.

v\mapsto e_{1}^{\vee}(v)\cdot(f_{2}+2f_{4})+4e_{2}^{\vee}(v)\cdot f_{5}\in W.

따라서 임의의 원소 $\xi_{1}\otimes w_{1}+\dots+\xi_{m}\otimes w_{m}\in V^{\vee}\otimes W$ 를 선형 사상 $V\to W$ 로 해석하는 자연스러운 방법이 있습니다. 여기서 주장하려는 것은, 사실 모든 선형 사상 $V\to W$ 가 이러한 해석을 가진다는 것입니다.

먼저, 표기의 편의를 위해

정의 11.3.1.

$V$ 에서 $W$ 로 가는 선형 사상들의 집합(이는 $V$ 를 $W$ 로 보내는 행렬들로 해석할 수 있습니다)을 $k$ 위의 벡터 공간으로 보고 $\operatorname{Hom}(V,W)$ 로 나타냅시다. (“ $\operatorname{Hom}$ ”은 준동형사상(homomorphism)을 뜻합니다.)

질문 11.3.2.

$\operatorname{Hom}(V,k)$ 가 무엇인지 그 이름을 밝히십시오.

이제 더 일반적으로 성립하는 사실을 적을 수 있습니다.

정리 11.3.3 ( $V^{\vee}\otimes W$ $\iff$ 선형 사상 $V\to W$ ).

$V$ 와 $W$ 를 유한 차원 벡터 공간이라고 합시다. 앞에서 다음 사상을 기술했습니다.

\Psi\colon V^{\vee}\otimes W\to\operatorname{Hom}(V,W)

이 사상은 $\xi_{1}\otimes w_{1}+\dots+\xi_{m}\otimes w_{m}$ 을 다음 선형 사상으로 보냅니다.

v\mapsto\xi_{1}(v)w_{1}+\dots+\xi_{m}(v)w_{m}.

그러면 $\Psi$ 는 벡터 공간의 동형사상입니다. 즉, 모든 선형 사상 $V\to W$ 는 이러한 방식으로 $V^{\vee}\otimes W$ 의 원소로 유일하게 표현될 수 있습니다.

위의 내용이 다소 난해할 수 있으므로, 구체적인 예를 들겠습니다.

예제 11.3.4 (구체적인 예).

$V=\mathbb{R}^{2}$ 라 하고 $V$ 의 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ 를 잡습니다. 그리고 $T\colon V\to V$ 를 다음과 같이 정의합니다.

T=\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}.

그러면 다음을 얻습니다.

\Psi(e_{1}^{\vee}\otimes e_{1}+2e_{2}^{\vee}\otimes e_{1}+3e_{1}^{\vee}\otimes e% _{2}+4e_{2}^{\vee}\otimes e_{2})=T.

아름다운 점은 $\Psi$ 의 정의가 기저에 의존하지 않는다는 것입니다. 따라서 기저를 바꾸면 위의 식은 완전히 달라 보이겠지만, $V^{\vee}\otimes V$ 의 실제 원소는 변하지 않습니다.

그럼에도 불구하고, 증명에서는 좌표를 마음껏 사용하겠습니다.

정리 11.3.3의 증명.

겉보기에는 위압적이지만 사실 어렵지 않습니다. 두 단계로 진행합니다.

1.

먼저 $\Psi$ 가 전사임을 확인합니다. 즉, 모든 선형 사상은 $V^{\vee}\otimes W$ 에서 적어도 하나의 표현을 가집니다. 이를 보이기 위해 임의의 $T\colon V\to W$ 를 잡습니다. $V$ 의 기저가 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ 이고 $T(e_{1})=w_{1}$ , $T(e_{2})=w_{2}$ , $T(e_{3})=w_{3}$ 이라고 합시다. 그러면 다음 원소가

$e_{1}^{\vee}\otimes w_{1}+e_{2}^{\vee}\otimes w_{2}+e_{3}^{\vee}\otimes w_{3}$

조건을 만족합니다. 이 원소는 기저 원소 $e_{i}$ 위에서 $T$ 와 일치하도록 일부러 만든 것이기 때문입니다.
2.

따라서 이제 $\dim V^{\vee}\otimes W=\dim\operatorname{Hom}(V,W)$ 임을 확인하는 것으로 충분합니다. 물론 $V^{\vee}\otimes W$ 의 차원은 $\dim V\cdot\dim W$ 입니다. 그런데 $\operatorname{Hom}(V,W)$ 를 $\dim V\cdot\dim W$ 행렬들로 보면, 이 역시 차원이 $\dim V\cdot\dim W$ 임을 알 수 있습니다. ∎

따라서 자연 동형사상 $V^{\vee}\otimes W\cong\operatorname{Hom}(V,W)$ 가 존재합니다. 이것이 성립한다는 증명에서는 기저를 자유롭게 사용했지만, 그렇다고 해서 이 동형사상이 “신이 내려 준” 것이라는 사실은 변하지 않습니다. 즉, 이 동형사상은 벡터 공간을 표현할 때 어떤 기저를 고르는지와는 무관하며, 오직 $V$ 와 $W$ 자체의 본질에만 의존합니다.

11.4 대각합

이제 대각합의 정의를 내릴 준비가 되었습니다. 정사각행렬 $T$ 를 사상 $T\colon V\to V$ 로 생각할 수 있다는 점을 떠올리십시오. 위의 정리에 따르면

\operatorname{Hom}(V,V)\cong V^{\vee}\otimes V

따라서 모든 사상 $V\to V$ 를 $V^{\vee}\otimes V$ 의 원소로 생각할 수 있습니다. 한편 각 순수 텐서를 “접어서” 평가 사상 $\operatorname{ev}\colon V^{\vee}\otimes V\to k$ 를 정의할 수도 있습니다: $f\otimes v\mapsto f(v)$ . 이렇게 하면 다음과 같은 합성 사상을 얻습니다

이 결과를 행렬 $T$ 의 대각합이라고 부릅니다.

예제 11.4.1 (대각합의 예).

앞의 예를 이어서 살펴보면,

\operatorname{Tr}T=e_{1}^{\vee}(e_{1})+2e_{2}^{\vee}(e_{1})+3e_{1}^{\vee}(e_{2% })+4e_{2}^{\vee}(e_{2})=1+0+0+4=5.

대각합이 대각 성분의 합인 이유가 바로 이것입니다.

11.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 11A (대각합은 고윳값의 합).

$V$ 를 대수적으로 닫힌 체 $k$ 위의 $n$ 차원 벡터 공간이라고 합시다. $T\colon V\to V$ 를 고윳값이 $\lambda_{1}$ , $\lambda_{2}$ , …, $\lambda_{n}$ (대수적 중복도를 고려하여 셈)인 선형 사상이라고 합시다. $\operatorname{Tr}T=\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n}$ 임을 보이십시오.

힌트. $T$ 를 고유기저로 나타내면 됩니다. 그러면 대각 성분이 곧 고윳값입니다.

풀이. 대각합은 어떤 기저에서든 항상 고윳값의 합이라는 것을 이미 보았습니다. 특히 앞 장의 조르당 표준형 기저를 택하면 결과가 나옵니다. 조르당 표준형의 대각 성분이 고윳값이기 때문입니다.

문제 11B (트레이스의 곱).

$T\colon V\to V$ 와 $S\colon W\to W$ 를 유한 차원 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 의 선형 사상이라고 합시다. $T\otimes S\colon V\otimes W\to V\otimes W$ 를 $v\otimes w\mapsto T(v)\otimes S(w)$ 로 정의합니다.

\operatorname{Tr}(T\otimes S)=\operatorname{Tr}(T)\operatorname{Tr}(S)

임을 증명하십시오.

힌트. 이번에도 기저를 잡기만 하면 됩니다.

문제 11C (대각합은 일종의 교환 법칙을 만족합니다).

^†^†margin:

$T\colon V\to W$ 와 $S\colon W\to V$ 를 유한 차원 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 사이의 선형 사상이라고 합시다.

\operatorname{Tr}(T\circ S)=\operatorname{Tr}(S\circ T)

임을 보이십시오.

힌트. 한 가지 방법은 그냥 기저를 잡는 것입니다. 그렇지 않으면 $T\otimes S\mapsto\operatorname{Tr}(T\circ S)$ 를 선형 사상 $(V^{\vee}\otimes W)\otimes(W^{\vee}\otimes V)\to k$ 로 해석한 뒤, 이것이 교환 법칙을 만족함을 확인하십시오.

풀이. 좌표 계산으로 보일 수도 있지만, 대신 더 깔끔한 증명을 제시하겠습니다. 이는 다음 도식을 그리는 것과 같습니다

가운데 직사각형이 가환함은 순수 텐서 $\xi_{W}\otimes v\otimes\xi_{V}\otimes w$ 에서 확인해 보면 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 바깥쪽 육각형이 가환하므로 증명이 끝납니다. 이는 사실 기저를 이용한 증명과 같습니다. 결국 어느 한 곳에만 $1$ 이 있고 나머지는 $0$ 인 행렬에 대해 주장이 참임을 확인한 뒤 선형성으로 확장하는 것에 해당합니다.

문제 11D (Putnam 1988).