장 73 절제와 상대 호몰로지

우리는 이미 마이어-비에토리스 완전열을 사용하는 방법을 살펴보았습니다: 우리는 다음과 같은 완전열에서 시작했습니다

\dots\to H_{n}(U\cap V)\to H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\to H_{n}(U+V)\to H_{n-1}(U% \cap V)\to\dots

그리고 그 축소 버전에서 시작하여, $H_{n}(U+V)\cong H_{n}(X)$ 라는 기하학적 사실에 의존했습니다. 이는 우리가 $H_{n}(X)$ 에 대해 대수적으로 계산을 할 수 있게 해주었습니다.

이 장에서는 사슬 복합체와 연관된 긴 완전열로 관심을 돌립니다

0\to C_{n}(A)\hookrightarrow C_{n}(X)\twoheadrightarrow C_{n}(X,A)\to 0.

이 설정은 앞의 두 장과 매우 비슷해 보이겠지만, $H_{n}\colon\mathsf{hTop}\to\mathsf{Grp}$ 에 더하여 쌍 $(X,A)$ 를 $H_{n}(X,A)$ 로 보내는 함자 $H_{n}\colon\mathsf{hPairTop}\to\mathsf{Grp}$ 를 갖게 된다는 점이 다릅니다. 그런 다음, (역시 증명 없이) 핵심적인 기하학적 결과를 서술하고, 이를 이용하여 추론을 이끌어냅니다.

73.1 동기

주된 동기는 다음과 같습니다:

상대 호몰로지는 몫공간의 대수적 유사물입니다.

그러므로 예를 들어, 쌍의 사상 $f\colon(X,A)\to(Y,B)$ 를 볼 때, $X/A\to Y/B$ 를 떠올려야 합니다.

이는 공간 $A\subseteq X$ 에 대해 $H_{n}(X,A)\cong\widetilde{H}_{n}(X/A)$ 가 성립한다는 “합리적인 추측”을 설명해줍니다.

정리 73.4.3에 의해, 위의 추측은 대부분의 공간에서 실제로 참입니다. 예를 들면:

질문 73.1.1.

$X=[0,1]$ 이고 $A=\{0,1\}$ 이라고 합시다. $H_{1}(X/A)$ 와 $H_{1}(X,A)$ 가 $\mathbb{Z}$ 와 동형사상임을 보이십시오. (이 예에서는 $\pi_{1}(X/A)$ 도 마찬가지입니다.)

그러나 모든 경우에 성립하지는 않습니다. 예제 64.2.6와 유사하게, $A$ 가 닫혀 있지 않으면 이상한 일이 일어날 수 있습니다:

예제 73.1.2 ( $A$ 가 $X$ 에서 열려 있을 때의 $H_{n}(X,A)$ ).

$X=D^{2}$ 을 닫힌 원판이라고 합시다.

$A$ 가 적당히 좋은 경우, 예를 들어 $A=S^{1}$ 이 $X$ 의 경계라면, $H_{2}(X,A)\cong H_{2}(X/A)\cong\mathbb{Z}$ 가 성립합니다.

그러나 $0$ 이 $X$ 의 중심일 때 $A=X\setminus\{0\}$ 이라면, $H_{2}(X,A)$ 는 여전히 $\mathbb{Z}$ 와 동형사상이지만 $H_{2}(X/A)\cong 0$ 입니다. (뒤의 동형사상은 보기가 더 어려운데, 주로 $X/A$ 가 이상한 공간이기 때문입니다 — 이는 하우스도르프가 아닙니다.)

$A$ 가 $X$ 에서 닫혀 있을 때조차도, 문제가 여전히 발생할 수 있습니다.

예제 73.1.3 (축소되는 원들의 쐐기합).

$X$ 를 구간 $[0,1]$ 이라 하고, $A\subseteq X$ 를 $A=\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{Z}^{+}\}\cup\{0\}$ 라고 합시다. 이 경우, 몫공간 $X/A$ 는 아래에 그려진 것처럼 축소되는 원들의 쐐기합과 동형사상일 것입니다.

$X/A$ 에서, 빨간 점 $A/A$ 의 임의의 열린 근방은 유한 개를 제외한 모든 원을 포함해야 함에 유의하십시오.

우리는 다음을 주장합니다:

H_{1}(X,A)\not\cong\widetilde{H}_{1}(X/A).

무엇이 잘못될 수 있을까요? 일반적으로 말해서, 대수적으로 작업할 때는 모든 것이 유한하지만, 위상수학에서는 무한과 관련된 것들을 고려해야 합니다.

$C(X/A)$ 에서 청록색으로 그려진 다음 $1$ -단체를 생각해봅시다.

$H(X,A)$ 의 모든 원소는 $C(X)$ 에서 $1$ -사이클로 표현되는 대표원을 가지며, 이는 유한히 많은 $1$ -단체로 구성되고, 각 $1$ -단체는 $1$ -경계의 차이를 법으로 하여 선분 $[a,b]$ 와 동치입니다. 따라서 직관적으로, $H(X,A)$ 의 모든 원소는 오직 “유한히 많은 원”만을 덮을 수 있습니다 (또는 유한히 많은 것을 제외한 나머지 전부).

아직 이 모든 것을 형식화할 만큼 충분한 도구를 갖추지 못했습니다. 형식적으로 말하자면, 몫 사상 $q\colon X\to X/A$ 와 $q\colon A\to A/A$ 는 $q_{*}\colon H_{1}(X,A)\to H_{1}(X/A,A/A)$ 를 유도하며, $q_{*}$ 는 단사가 아닙니다.

그럼에도 불구하고, $H_{n}(X,A)\cong\widetilde{H}_{n}(X/A)$ 를 만족하는 좋은 공간 $A\subseteq X$ 에 대해서는, $H_{n}(A)$ 와 $\widetilde{H}_{n}(X/A)$ 에 기반하여 $H_{n}(X)$ 를 계산할 수 있을 것입니다 — $A$ 와 $X/A$ 는 어떤 의미에서 $X$ 보다 더 작고 더 단순하다는 점에 주목하십시오.

73.2 긴 완전열

정리 72.2.5을 상기해 보면, 이는 다음 수열들이

\dots\to H_{n}(A)\to H_{n}(X)\to H_{n}(X,A)\to H_{n-1}(A)\to\dots.

그리고

\dots\to\widetilde{H}_{n}(A)\to\widetilde{H}_{n}(X)\to H_{n}(X,A)\to\widetilde% {H}_{n-1}(A)\to\dots

긴 완전열이라는 것을 말해줍니다. 문제 72F에 의해 우리는 심지어 다음의 긴 완전열도 얻습니다

\dots\to H_{n}(B,A)\to H_{n}(X,A)\to H_{n}(X,B)\to H_{n-1}(B,A)\to\dots.

$A\subseteq B\subseteq X$ 에 대해.

이는 $X/B$ 가 $\frac{X/A}{B/A}$ 와 동형이라는 사실의 유사물입니다 — 우리는 “분수에서 공통 인수를 약분”하는 셈입니다.

위의 첫 번째 긴 완전열을 응용하면 다음을 얻습니다:

보조정리 73.2.1 (축약 가능한 공간에 대한 상대 호몰로지).

$X$ 를 위상 공간이라 하고, $A\subseteq X$ 를 축약 가능하다고 합시다. 모든 $n$ 에 대해,

H_{n}(X,A)\cong\widetilde{H}_{n}(X).

증명.

$A$ 가 축약 가능하므로, 모든 $n$ 에 대해 $\widetilde{H}_{n}(A)=0$ 입니다. 각 $n$ 에 대해 긴 완전열의 다음 구간이 주어집니다

\dots\to\underbrace{\widetilde{H}_{n}(A)}_{=0}\to\widetilde{H}_{n}(X)\to H_{n}% (X,A)\to\underbrace{\widetilde{H}_{n-1}(A)}_{=0}\to\dots.

따라서 $0\to\widetilde{H}_{n}(X)\to H_{n}(X,A)\to 0$ 이 완전하므로, 이는 $H_{n}(X,A)\cong\widetilde{H}_{n}(X)$ 임을 의미합니다. ∎

특히, 이 정리는 $A$ 가 한 점일 때에도 적용됩니다. $A=\varnothing$ 인 경우 역시 주목할 만합니다. 이 결과들을 하나의 보조정리로 정리합니다:

보조정리 73.2.2 (상대 호몰로지는 절대 호몰로지를 일반화한다).

$X$ 를 임의의 공간이라 하고, $\ast\in X$ 를 한 점이라 합시다. 그러면 모든 $n$ 에 대해,

H_{n}(X,\{\ast\})\cong\widetilde{H}_{n}(X)\qquad\text{그리고}\qquad H_{n}(X,% \varnothing)=H_{n}(X).

73.3 쌍의 범주

이제 단순히 $H_{n}(X)$ 가 아니라 $H_{n}(X,A)$ 를 갖게 되었으므로, 자연스러운 다음 단계는 쌍에 대한 적절한 범주를 만들고 앞서와 같은 함자적 체계를 우리 스스로에게 부여하는 것입니다.

정의 73.3.1.

$\varnothing\neq A\subseteq X$ 와 $\varnothing\neq B\subseteq Y$ 를 부분공간이라 하고, 사상 $f\colon X\to Y$ 를 생각해 봅시다. 만약 $f^{\text{img}}(A)\subseteq B$ 이면 다음과 같이 씁니다

f\colon(X,A)\to(Y,B).

우리는 $f$ 가 쌍 $(X,A)$ 와 $(Y,B)$ 사이의 쌍의 사상이라고 말합니다.

정의 73.3.2.

우리는 $f,g\colon(X,A)\to(Y,B)$ 가 “쌍의 사상들을 통해 호모토픽”하다면 쌍-호모토픽이라고 말합니다.

더 형식적으로, 쌍-호모토피 $f,g\colon(X,A)\to(Y,B)$ 는 사상 $F\colon[0,1]\times X\to Y$ 이며, 이를 $F_{t}(X)$ 로 표기할 것인데, $F$ 는 사상 $f,g\colon X\to Y$ 의 호모토피이고 각 $F_{t}$ 자체가 쌍의 사상입니다.

쌍-호모토픽인 전형적인 $f,g\colon(X,A)\to(Y,B)$ 는 다음과 같이 생겼을 수 있습니다. 모든 $t\in[0,1]$ 에 대해 $F_{t}^{\text{img}}(A)\subseteq B$ 이어야 함에 주목하십시오.

따라서 우리는 자연스럽게 두 범주에 도달합니다:

•

$\mathsf{PairTop}$ , 위상 공간의 쌍들의 범주, 그리고
•

$\mathsf{hPairTop}$ , 사상이 오직 호모토피까지만 동치인 것을 제외하면 같은 범주입니다.

정의 73.3.3.

이전과 마찬가지로, 쌍 $(X,A)$ 와 $(Y,B)$ 가 $\mathsf{hPairTop}$ 에서 동형이면 이 둘을 쌍-호모토피 동치라고 합니다. $\mathsf{hPairTop}$ 의 동형사상을 쌍-호모토피 동치사상이라고 합니다.

비고 73.3.4.

쌍의 쌍-호모토피 동치는 정의 65.5.3에서 정의된 공간의 호모토피 동치를 자연스럽게 일반화한 것입니다. 실제로 $A=B=\varnothing$ 이면, $X$ 가 $Y$ 와 호모토피 동치인 것은 $(X,\varnothing)$ 이 $(Y,\varnothing)$ 과 쌍-호모토피 동치인 것과 동치입니다.

프리즘 연산자를 이용하여 이전과 같은 방식을 반복하면 다음을 얻을 수 있습니다:

보조정리 73.3.5 (상대 호몰로지의 유도 사상).

우리는 함자를 가지고 있습니다

H_{n}\colon\mathsf{hPairTop}\to\mathsf{Grp}.

즉, $f\colon(X,A)\to(Y,B)$ 이면 유도된 사상을 얻습니다

f_{\ast}\colon H_{n}(X,A)\to H_{n}(Y,B).

그리고 이러한 $f$ 와 $g$ 가 쌍-호모토픽이면 $f_{\ast}=g_{\ast}$ 입니다.

이제 우리는 쌍에 대해 수축 가능 공간의 유사 개념을 원합니다. 즉, $H_{n}(X,A)=0$ 을 만족하는 공간의 쌍 $(X,A)$ 입니다. 올바른 정의는 다음과 같습니다:

정의 73.3.6.

$A\subseteq X$ 라 합시다. $r\colon(X,A)\to(A,A)$ 가 쌍-호모토피 동치인 쌍의 사상이 존재하면, $A$ 를 $X$ 의 변형 수축¹¹1다른 자료(예: [HAT02])에서는 이를 약한 의미에서의 변형 수축이라고 부를 수도 있습니다이라고 합니다.

예제 73.3.7 (변형 수축의 예시).

(a)

한 점 $p$ 가 공간 $X$ 의 변형 수축이면, $X$ 는 수축 가능합니다. 왜냐하면 수축 $r\colon X\to\{\ast\}$ 가 (사상 $X\to X$ 로 볼 때) 항등 사상 $\mathrm{id}_{X}\colon X\to X$ 와 호모토픽하기 때문입니다.
(b)

구멍 뚫린 원판 $D^{2}\setminus\{0\}$ 은 그 경계 $S^{1}$ 으로 변형 수축됩니다.
(c)

더 일반적으로, $D^{n}\setminus\{0\}$ 은 그 경계 $S^{n-1}$ 으로 변형 수축됩니다.
(d)

마찬가지로, $\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}$ 은 구 $S^{n-1}$ 로 변형 수축됩니다.

물론 이 상황에서는 다음이 성립합니다

H_{n}(X,A)\cong H_{n}(A,A)=0.

연습문제 73.3.8.

$A\subseteq V\subseteq X$ 이고 $A$ 가 $V$ 의 변형 수축이면, 모든 $n$ 에 대해 $H_{n}(X,A)\cong H_{n}(X,V)$ 임을 보이십시오. (문제 72F를 이용하십시오. 풀이는 다음 절에 있습니다.)

73.4 절단

이제 상대 호몰로지 군에 대한 정리 72.3.1의 유사 결과인, 핵심 기하학적 결과를 살펴보겠습니다.

정리 73.4.1 (절단).

$Z\subseteq A\subseteq X$ 를 $Z$ 의 폐포가 $A$ 의 내부에 포함되는 부분공간이라 합시다. 그러면 포함 사상 $\iota\colon(X\setminus Z,A\setminus Z)\hookrightarrow(X,A)$ 가 (쌍의 사상으로 볼 때) 상대 호몰로지 군의 동형사상을 유도합니다

H_{n}(X\setminus Z,A\setminus Z)\cong H_{n}(X,A).

이는 상대 호몰로지 군 $H_{n}(X,A)$ 를 계산할 때 $A$ 의 부분집합 $Z$ 를 절단(삭제)할 수 있음을 의미합니다. 이는 직관적으로 이해가 됩니다. 우리는 ” $A$ 의 점들로 몫을 취하고” 있으므로, 집합 $A$ 의 내부 구조는 그다지 중요하지 않아야 하기 때문입니다.

예제 73.4.2.

절단은 사소해 보일 수 있습니다 ( $H_{n}(X,A)$ 에서 ”상대 경계로 나눈 상대 사이클”의 경우, $A$ 내부에 있는 부분을 $Z$ 에 닿지 않을 때까지 조금씩 조정하기만 하면 됩니다). 하지만 이것이 항상 가능하지는 않다는 것을 깨닫기 전까지의 이야기입니다 — 자칫하면 사이클을 잘라 분리해 버릴 수도 있습니다! 예를 들어:

절단의 주요 응용은 $H_{n}(X,A)\cong\widetilde{H}_{n}(X/A)$ 가 언제 성립하는지를 결정하는 것입니다. 답은:

정리 73.4.3 (상대 호몰로지 $\implies$ 몫공간).

$X$ 를 공간이라 하고, $A$ 를 닫힌 부분공간이라 하되 $A$ 가 어떤 열린집합 $V\subseteq X$ 의 변형 수축이라고 하겠습니다. 그러면 몫사상 $q\colon X\to X/A$ 는 다음과 같은 동형사상을 유도합니다

H_{n}(X,A)\cong H_{n}(X/A,A/A)\cong\widetilde{H}_{n}(X/A).

증명의 핵심 아이디어는 다음과 같습니다: $H(X,A)\cong H(X/A,A/A)$ 가 반드시 성립하는 것은 아니지만(실제로 앞서 두 가지 반례를 살펴보았습니다), $A$ 를 잘라내면 자명하게 $H(X-A,A-A)\cong H(X/A-A/A,A/A-A/A)$ 가 성립합니다. 안타깝게도 이 군은 $H(X,A)$ 와 동형이 아니므로, 집합 $V$ 를 이용하여 이를 바로잡습니다 — 즉, $H(X-A,V-A)\cong H(X/A-A/A,V/A-A/A)$ 입니다. 나머지 작업은 절제 정리와 변형 수축을 이용하여 좌변이 $H(X,A)$ 와 동형이고 우변이 $H(X/A)$ 와 동형임을 보이는 것입니다.

증명.

가정에 의해 다음과 같은 쌍의 사상들을 고려할 수 있습니다:

	$\displaystyle r$	$\displaystyle\colon(V,A)\to(A,A)$
	$\displaystyle q$	$\displaystyle\colon(X,A)\to(X/A,A/A)$
	$\displaystyle\widehat{q}$	$\displaystyle:(X-A,V-A)\to(X/A-A/A,V/A-A/A).$

더욱이 $r$ 은 쌍-호모토피 동치입니다. 삼중쌍의 긴 완전열(이는 문제 72F이었습니다)을 고려하면 다음과 같은 도식을 얻습니다

여기서 동형사상들은 $r$ 이 쌍-호모토피 동치이기 때문에 성립합니다. 따라서 $f$ 는 동형사상입니다. 마찬가지로 사상

g\colon H_{n}(X/A,A/A)\to H_{n}(X/A,V/A)

은 동형사상입니다.

이제 다음의 가환 도식을 고려하겠습니다

그리고 가장 오른쪽 화살표 $\widehat{q}_{\ast}$ 가 동형사상임을 관찰합니다. 이는 $A$ 바깥에서 사상 $\widehat{q}$ 가 항등사상이기 때문입니다. 우리는 $f$ 와 $g$ 가 동형사상임을 알고 있으며, ”절제(Excise)”라고 표시된 두 화살표 역시 (절제에 의해) 동형사상임을 알고 있습니다. 이로부터 $q_{\ast}$ 가 동형사상임을 결론지을 수 있습니다. 물론 점에 대한 상대 호몰로지가 단지 상대 호몰로지 군일 뿐이라는 사실은 이미 알고 있습니다(이는 보조정리 73.2.1의 중요한 경우입니다). ∎

73.5 몇 가지 응용

절제의 좋은 응용 중 하나는 $\widetilde{H}_{n}(X\vee Y)$ 를 계산하는 것입니다.

정리 73.5.1 (쐐기합의 호몰로지).

$X$ 와 $Y$ 를 각각 기준점 $x_{0}\in X$ 와 $y_{0}\in Y$ 를 가진 공간이라 하고, 각 점이 어떤 열린 근방의 변형 수축이라고 가정하겠습니다. 그러면 모든 $n$ 에 대해 다음이 성립합니다

\widetilde{H}_{n}(X\vee Y)=\widetilde{H}_{n}(X)\oplus\widetilde{H}_{n}(Y).

증명.

$X\amalg Y$ 의 부분집합 $\{x_{0},y_{0}\}$ 에 대해 정리 73.4.3를 적용하면,

	$\displaystyle\widetilde{H}_{n}(X\vee Y)\cong\widetilde{H}_{n}((X\amalg Y)/\{x_% {0},y_{0}\})$	$\displaystyle\cong H_{n}(X\amalg Y,\{x_{0},y_{0}\})$
		$\displaystyle\cong H_{n}(X,\{x_{0}\})\oplus H_{n}(Y,\{y_{0}\})$
		$\displaystyle\cong\widetilde{H}_{n}(X)\oplus\widetilde{H}_{n}(Y).\qed$

또 다른 응용은 $H_{n}(S^{m})$ 을 계산하는 두 번째 방법을 제공하는 것입니다. 이를 위해 우리는 다음을 증명하겠습니다

\widetilde{H}_{n}(S^{m})\cong\widetilde{H}_{n-1}(S^{m-1})

임의의 $n,m>1$ 에 대해. 하지만,

•

$\widetilde{H}_{0}(S^{n})$ 은 $n=0$ 일 때 $\mathbb{Z}$ 이고 그 외에는 $0$ 입니다.
•

$\widetilde{H}_{n}(S^{0})$ 은 $n=0$ 일 때 $\mathbb{Z}$ 이고 그 외에는 $0$ 입니다.

따라서 $\min\{m,n\}$ 에 대한 귀납법으로 우리는 직접

\widetilde{H}_{n}(S^{m})\cong\begin{cases}\mathbb{Z}&m=n\\ 0&\text{그렇지 않으면}\end{cases}

을 얻는데, 이것이 바로 우리가 원했던 것입니다.

주장을 증명하기 위해, 쌍 $X=D^{2}$ 와 $A=S^{1}$ 로 이루어진 완전열을 생각해 봅시다.

예제 73.5.2 ( $(X,A)=(D^{2},S^{1})$ 에 대한 긴 완전열).

경계가 $S^{1}$ 인 $D^{2}$ (이는 수축 가능합니다)를 생각해 봅시다. 분명히 $S^{1}$ 은 $D^{2}\setminus\{0\}$ 의 변형 수축이며, 경계 위의 모든 점을 융합하면 $D^{2}/S^{1}\cong S^{2}$ 를 얻습니다. 따라서 다음과 같은 긴 완전열을 얻습니다

이 도식으로부터 우리는 다음을 읽어낼 수 있습니다

\dots,\quad\widetilde{H}_{3}(S^{2})=\widetilde{H}_{2}(S^{1}),\quad\widetilde{H% }_{2}(S^{2})=\widetilde{H}_{1}(S^{1}),\quad\widetilde{H}_{1}(S^{2})=\widetilde% {H}_{0}(S^{1}).

더 일반적으로, 쌍 $(X,A)=(D^{m},S^{m-1})$ 에 대한 완전열은 $\widetilde{H}_{n}(S^{m})\cong\widetilde{H}_{n-1}(S^{m-1})$ 임을 보여주며, 이는 원하는 결론입니다.

73.6 차원의 불변성

여기 절제의 응용에 대한 마지막 예시가 있습니다.

정의 73.6.1.

$X$ 를 공간, $p\in X$ 를 점이라 합시다. $X$ 에서 $p$ 의 $k$ 번째 국소 호몰로지 군은 다음과 같이 정의됩니다

H_{k}(X,X\setminus\{p\}).

$p$ 의 임의의 열린 근방 $U$ 에 대해, 절제에 의해 다음이 성립함을 유의하십시오

H_{k}(X,X\setminus\{p\})\cong H_{k}(U,U\setminus\{p\}).

따라서 이 국소 호몰로지 군은 $p$ 근처의 공간에만 의존합니다.

정리 73.6.2 (차원의 불변성, Brouwer 1910).

$U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 과 $V\subseteq\mathbb{R}^{m}$ 을 공집합이 아닌 열린집합이라 합시다. 만약 $U$ 와 $V$ 가 동형이면, $m=n$ 입니다.

증명.

$x\in U$ 인 점과 그 국소 호몰로지 군을 생각해 봅시다. 절제에 의해,

H_{k}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n}\setminus\{x\})\cong H_{k}(U,U\setminus\{x% \}).

하지만 $\mathbb{R}^{n}\setminus\{x\}$ 가 $S^{n-1}$ 와 호모토피 동치이므로, 정리 72.2.5의 긴 완전열은 다음을 알려줍니다

H_{k}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n}\setminus\{x\})\cong\begin{cases}\mathbb{Z}% &k=n\\ 0&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

유사하게, $y\in V$ 가 주어지면 다음이 성립합니다

H_{k}(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{m}\setminus\{y\})\cong H_{k}(V,V\setminus\{y% \}).

$U\cong V$ 이면, 따라서 우리는 다음을 유도합니다

H_{k}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n}\setminus\{x\})\cong H_{k}(\mathbb{R}^{m},% \mathbb{R}^{m}\setminus\{y\})

모든 $k$ 에 대해서 말입니다. 이는 물론 $m=n$ 일 때만 일어날 수 있습니다. ∎

73.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 73A.

$X=S^{1}\times S^{1}$ , $Y=S^{1}\vee S^{1}\vee S^{2}$ 라 합시다. 모든 정수 $n$ 에 대해

H_{n}(X)\cong H_{n}(Y)

임을 보이십시오.

문제 73B (Hatcher §2.1 연습문제 18).

$\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ 을 생각해봅시다. $\widetilde{H}_{1}(\mathbb{R},\mathbb{Q})$ 를 계산하십시오.

힌트. 정리 72.2.5을 사용하십시오.

풀이. 다음과 같은 완전열이 있습니다

$\underbrace{\widetilde{H}_{1}(\mathbb{R})}_{=0}\to\widetilde{H}_{1}(\mathbb{R}% ,\mathbb{Q})\to\widetilde{H}_{0}(\mathbb{Q})\to\underbrace{\widetilde{H}_{0}(% \mathbb{R})}_{=0}.$

이제, $\mathbb{Q}$ 가 경로 비연결(즉, 그 어떤 두 점도 경로로 연결되어 있지 않음)이므로, $\widetilde{H}_{0}(\mathbb{Q})$ 는 가산 무한히 많은 $\mathbb{Z}$ 의 복사본으로 이루어짐이 따라 나옵니다.

문제 73C.

위상 $n$ -다양체의 국소 호몰로지 군은 무엇입니까?

문제 73D.

X=\{(x,y)\mid x\geq 0\}\subseteq\mathbb{R}^{2}

가 반평면을 나타낸다고 합시다. $X$ 의 점들의 국소 호몰로지 군은 무엇입니까?

문제 73E (브라우어-조르당 분리 정리, 조르당 곡선 정리의 일반화).

^†^†margin:

$X\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 이 $S^{n-1}$ 과 위상동형인 부분집합이라고 합시다. $\mathbb{R}^{n}\setminus X$ 가 정확히 두 개의 경로 연결 성분을 가짐을 증명하십시오.

힌트. 임의의 $n$ 에 대해, $k=1,\dots,n-1$ 에 대한 귀납법으로 다음을 증명하십시오. (a) $X$ 가 $D^{k}$ 와 위상동형인 $S^{n}$ 의 부분집합이면 $\widetilde{H}_{i}(S^{n}\setminus X)=0$ 입니다; (b) $X$ 가 $S^{k}$ 와 위상동형인 $S^{n}$ 의 부분집합이면 $i=n-k-1$ 일 때 $\widetilde{H}_{i}(S^{n}\setminus X)=\mathbb{Z}$ 이고 그 외의 경우에는 $0$ 입니다.

풀이. 이는 Hatcher의 2.B절에 자세히 설명되어 있습니다.