장 73 절제와 상대 호몰로지

우리는 이미 마이어-비토리스 열을 사용하는 방법을 보았습니다. 우리는 다음과 같은 열에서 시작했습니다.

\dots\to H_{n}(U\cap V)\to H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\to H_{n}(U+V)\to H_{n-1}(U% \cap V)\to\dots

그리고 그 축약된 형태에서 출발한 다음, $H_{n}(U+V)\cong H_{n}(X)$ 라는 기하학적 사실에 기대었습니다. 이를 통해 $H_{n}(X)$ 에 대한 계산을 대수적으로 수행할 수 있었습니다.

이 장에서는 다음 사슬 복합체에 대응하는 긴 완전열로 관심을 돌립니다.

0\to C_{n}(A)\hookrightarrow C_{n}(X)\twoheadrightarrow C_{n}(X,A)\to 0.

전체적인 구성은 앞의 두 장과 매우 비슷할 것입니다. 다만 $H_{n}\colon\mathsf{hTop}\to\mathsf{Grp}$ 에 더하여, 쌍 $(X,A)$ 를 $H_{n}(X,A)$ 로 보내는 함자 $H_{n}\colon\mathsf{hPairTop}\to\mathsf{Grp}$ 도 갖게 된다는 점이 다릅니다. 그런 다음 핵심이 되는 기하학적 결과를 (이번에도 증명 없이) 서술하고, 이를 이용하여 여러 결론을 이끌어 냅니다.

73.1 동기

주된 동기는 다음과 같습니다.

상대 호몰로지는 몫공간의 대수적 대응물입니다.

따라서 예를 들어 쌍의 사상 $f\colon(X,A)\to(Y,B)$ 를 보면, $X/A\to Y/B$ 를 떠올리십시오.

이것이 공간 $A\subseteq X$ 에 대하여 $H_{n}(X,A)\cong\widetilde{H}_{n}(X/A)$ 가 성립한다는 “합리적인 추측”이 나오는 이유입니다.

정리 73.4.3에 의하여, 위의 추측은 대부분의 공간에 대해 실제로 참입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

질문 73.1.1.

$X=[0,1]$ 이고 $A=\{0,1\}$ 이라고 합시다. $H_{1}(X/A)$ 와 $H_{1}(X,A)$ 가 $\mathbb{Z}$ 와 동형임을 보이십시오. (이 예에서는 $\pi_{1}(X/A)$ 도 그렇습니다.)

그러나 모든 공간에 대해 그런 것은 아닙니다. 예제 64.2.6과 비슷하게, $A$ 가 닫혀 있지 않으면 이상한 일이 일어날 수 있습니다.

예제 73.1.2 ( $A$ 가 $X$ 에서 열린 경우의 $H_{n}(X,A)$ ).

$X=D^{2}$ 를 닫힌 원판이라고 합시다.

$A$ 가 적당히 좋은 경우, 예를 들어 $A=S^{1}$ 이 $X$ 의 경계인 경우에는 $H_{2}(X,A)\cong H_{2}(X/A)\cong\mathbb{Z}$ 가 성립합니다.

그러나 $0$ 이 $X$ 의 중심일 때 $A=X\setminus\{0\}$ 이면, $H_{2}(X,A)$ 는 여전히 $\mathbb{Z}$ 와 동형이지만 $H_{2}(X/A)\cong 0$ 입니다. (후자의 동형사상은 알아보기가 더 어려운데, 주된 이유는 $X/A$ 가 이상한 공간이기 때문입니다 — 이 공간은 하우스도르프 공간이 아닙니다.)

$A$ 가 $X$ 에서 닫혀 있는 경우에도 여전히 문제가 생길 수 있습니다.

예제 73.1.3 (줄어드는 원들의 쐐기합).

$X$ 를 구간 $[0,1]$ 이라 하고, $A\subseteq X$ 를 $A=\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{Z}^{+}\}\cup\{0\}$ 이라고 합시다. 이 경우 몫 $X/A$ 는 아래 그림과 같이 줄어드는 원들의 쐐기합과 동형이 됩니다.

$X/A$ 에서 빨간 점 $A/A$ 의 임의의 열린 근방은 유한 개를 제외한 모든 원을 포함해야 한다는 점에 주목하십시오.

우리는 다음을 주장합니다.

H_{1}(X,A)\not\cong\widetilde{H}_{1}(X/A).

무엇이 잘못될 수 있을까요? 일반적으로 말해, 대수적으로 다룰 때에는 모든 것이 유한하지만, 위상수학에서는 무한과 관련된 것들을 고려해야 합니다.

청록색으로 그린, $C(X/A)$ 안의 다음 $1$ -단체를 생각해 봅시다.

$H(X,A)$ 의 모든 원소는 $C(X)$ 안에서 $1$ -순환인 대표원을 가지며, 이 $1$ -순환은 유한 개의 $1$ -단체로 이루어지고, 각 $1$ -단체는 $1$ -경계의 차이를 법으로 하여 선분 $[a,b]$ 와 동치입니다. 따라서 직관적으로 $H(X,A)$ 의 모든 원소는 “유한 개의 원”(또는 유한 개를 제외한 모든 원)만을 덮을 수 있습니다.

우리는 아직 이 모든 것을 형식화할 만큼 충분한 도구를 갖추지 못했습니다. 형식적으로 말하면, 몫 사상 $q\colon X\to X/A$ 와 $q\colon A\to A/A$ 는 $q_{*}\colon H_{1}(X,A)\to H_{1}(X/A,A/A)$ 를 유도하며, $q_{*}$ 는 단사가 아닙니다.

어쨌든 $H_{n}(X,A)\cong\widetilde{H}_{n}(X/A)$ 를 만족하는 좋은 공간 $A\subseteq X$ 에 대해서는 $H_{n}(A)$ 와 $\widetilde{H}_{n}(X/A)$ 를 바탕으로 $H_{n}(X)$ 를 계산할 수 있을 것입니다 — $A$ 와 $X/A$ 는 어떤 의미에서 $X$ 보다 작고 단순하다는 점에 주목하십시오.

73.2 긴 완전열

정리 72.2.5에 따르면 다음 열

\dots\to H_{n}(A)\to H_{n}(X)\to H_{n}(X,A)\to H_{n-1}(A)\to\dots.

과

\dots\to\widetilde{H}_{n}(A)\to\widetilde{H}_{n}(X)\to H_{n}(X,A)\to\widetilde% {H}_{n-1}(A)\to\dots

은 긴 완전열임을 떠올리십시오. 문제 72F에 의해 다음과 같은 긴 완전열도 얻습니다

\dots\to H_{n}(B,A)\to H_{n}(X,A)\to H_{n}(X,B)\to H_{n-1}(B,A)\to\dots.

여기서 $A\subseteq B\subseteq X$ 입니다.

이는 $X/B$ 가 $\frac{X/A}{B/A}$ 와 위상동형이라는 사실의 유사물입니다 — “분수에서 공통인수를 약분하는” 셈입니다.

위의 첫 번째 긴 완전열을 적용하면 다음을 얻습니다:

보조정리 73.2.1 (축약 가능한 공간에 대한 상대 호몰로지).

$X$ 를 위상 공간이라 하고, $A\subseteq X$ 가 축약 가능하다고 합시다. 모든 $n$ 에 대해 다음이 성립합니다.

H_{n}(X,A)\cong\widetilde{H}_{n}(X).

증명.

$A$ 가 축약 가능하므로 모든 $n$ 에 대해 $\widetilde{H}_{n}(A)=0$ 입니다. 각 $n$ 에 대해 긴 완전열에는 다음과 같은 부분이 있습니다

\dots\to\underbrace{\widetilde{H}_{n}(A)}_{=0}\to\widetilde{H}_{n}(X)\to H_{n}% (X,A)\to\underbrace{\widetilde{H}_{n-1}(A)}_{=0}\to\dots.

따라서 $0\to\widetilde{H}_{n}(X)\to H_{n}(X,A)\to 0$ 이 완전이므로, $H_{n}(X,A)\cong\widetilde{H}_{n}(X)$ 입니다. ∎

특히 이 정리는 $A$ 가 한 점일 때 적용됩니다. $A=\varnothing$ 인 경우도 주목할 만합니다. 이 결과들을 다음 보조정리로 정리합니다:

보조정리 73.2.2 (절대 호몰로지를 일반화하는 상대 호몰로지).

$X$ 를 임의의 공간이라 하고, $\ast\in X$ 를 한 점이라 합시다. 그러면 모든 $n$ 에 대해 다음이 성립합니다.

H_{n}(X,\{\ast\})\cong\widetilde{H}_{n}(X)\qquad\text{그리고}\qquad H_{n}(X,% \varnothing)=H_{n}(X).

73.3 쌍의 범주

이제 단순히 $H_{n}(X)$ 가 아니라 $H_{n}(X,A)$ 를 갖게 되었으므로, 자연스러운 다음 단계는 쌍의 적절한 범주를 만들고 이전과 같은 함자적 구성을 마련하는 것입니다.

정의 73.3.1.

$\varnothing\neq A\subseteq X$ 와 $\varnothing\neq B\subseteq Y$ 를 부분공간이라 하고, 사상 $f\colon X\to Y$ 를 생각합시다. $f^{\text{img}}(A)\subseteq B$ 이면 다음과 같이 씁니다

f\colon(X,A)\to(Y,B).

이때 $f$ 를 쌍 $(X,A)$ 와 $(Y,B)$ 사이의 쌍 사상이라고 합니다.

정의 73.3.2.

$f,g\colon(X,A)\to(Y,B)$ 가 “쌍 사상들을 거쳐 호모토픽”하면, 이들을 쌍-호모토픽하다고 합니다.

좀 더 형식적으로 말하면, 쌍-호모토피 $f,g\colon(X,A)\to(Y,B)$ 란 사상 $F\colon[0,1]\times X\to Y$ 로서, $F$ 가 사상 $f,g\colon X\to Y$ 의 호모토피이고 각 $F_{t}$ 자체가 쌍 사상인 것입니다. 이를 $F_{t}(X)$ 로 쓰겠습니다.

쌍-호모토픽한 전형적인 $f,g\colon(X,A)\to(Y,B)$ 는 다음과 같은 모습일 수 있습니다. 모든 $t\in[0,1]$ 에 대해 $F_{t}^{\text{img}}(A)\subseteq B$ 여야 한다는 점에 주목하십시오.

따라서 자연스럽게 두 가지 범주에 도달합니다:

•

$\mathsf{PairTop}$ 은 위상 공간 쌍들의 범주이고,
•

$\mathsf{hPairTop}$ 은 같은 범주이되 사상을 호모토피 차이까지만 구별하는 범주입니다.

정의 73.3.3.

앞에서와 마찬가지로, 쌍 $(X,A)$ 와 $(Y,B)$ 가 $\mathsf{hPairTop}$ 에서 동형이면 두 쌍이 쌍-호모토피 동치라고 합니다. $\mathsf{hPairTop}$ 의 동형사상을 쌍-호모토피 동치 사상이라고 합니다.

비고 73.3.4.

쌍들의 쌍-호모토피 동치는 정의 65.5.3에서 정의한 공간의 호모토피 동치를 자연스럽게 일반화한 것입니다. 실제로 $A=B=\varnothing$ 이면, $X$ 가 $Y$ 와 호모토피 동치일 필요충분조건은 $(X,\varnothing)$ 이 $(Y,\varnothing)$ 과 쌍-호모토피 동치인 것입니다.

앞에서와 같이 프리즘 연산자로 똑같은 과정을 되풀이하면 다음을 얻을 수 있습니다:

보조정리 73.3.5 (상대 호몰로지의 유도된 사상).

다음 함자가 존재합니다

H_{n}\colon\mathsf{hPairTop}\to\mathsf{Grp}.

즉, $f\colon(X,A)\to(Y,B)$ 이면 다음과 같은 유도된 사상을 얻습니다.

f_{\ast}\colon H_{n}(X,A)\to H_{n}(Y,B).

그러한 두 사상 $f$ 와 $g$ 가 쌍-호모토픽이면 $f_{\ast}=g_{\ast}$ 입니다.

이제 우리의 쌍에 대해 축약 가능한 공간에 해당하는 개념, 즉 $H_{n}(X,A)=0$ 인 공간의 쌍 $(X,A)$ 가 필요합니다. 올바른 정의는 다음과 같습니다:

정의 73.3.6.

$A\subseteq X$ 라고 합시다. 쌍-호모토피 동치 사상인 쌍의 사상 $r\colon(X,A)\to(A,A)$ 가 존재하면 $A$ 를 $X$ 의 변형 수축¹¹1[HAT02] 등 다른 자료에서는 이를 약한 의미의 변형 수축이라고 부르기도 합니다이라고 합니다.

예제 73.3.7 (변형 수축의 예).

(a)

한 점 $p$ 가 공간 $X$ 의 변형 수축이면 $X$ 는 축약 가능합니다. 수축 사상 $r\colon X\to\{\ast\}$ 를 사상 $X\to X$ 로 보면 항등 사상 $\mathrm{id}_{X}\colon X\to X$ 와 호모토픽이기 때문입니다.
(b)

구멍 뚫린 원판 $D^{2}\setminus\{0\}$ 은 그 경계 $S^{1}$ 로 변형 수축됩니다.
(c)

더 일반적으로, $D^{n}\setminus\{0\}$ 은 그 경계 $S^{n-1}$ 로 변형 수축됩니다.
(d)

마찬가지로 $\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}$ 은 구면 $S^{n-1}$ 로 변형 수축됩니다.

물론 이 경우에는 다음이 성립합니다

H_{n}(X,A)\cong H_{n}(A,A)=0.

연습문제 73.3.8.

$A\subseteq V\subseteq X$ 이고 $A$ 가 $V$ 의 변형 수축이면, 모든 $n$ 에 대해 $H_{n}(X,A)\cong H_{n}(X,V)$ 임을 보이십시오. (문제 72F를 이용하십시오. 풀이는 다음 절에 있습니다.)

73.4 절제

이제 핵심이 되는 기하학적 결과를 살펴봅시다. 이는 상대 호몰로지 군에 대한 정리 72.3.1의 유사물입니다.

정리 73.4.1 (절제).

$Z\subseteq A\subseteq X$ 가 부분공간이고, $Z$ 의 폐포가 $A$ 의 내부에 포함된다고 합시다. 그러면 (쌍의 사상으로 본) 포함 사상 $\iota\colon(X\setminus Z,A\setminus Z)\hookrightarrow(X,A)$ 는 다음과 같은 상대 호몰로지 군의 동형사상을 유도합니다

H_{n}(X\setminus Z,A\setminus Z)\cong H_{n}(X,A).

이는 상대 호몰로지 군 $H_{n}(X,A)$ 를 계산할 때 $A$ 의 부분집합 $Z$ 를 절제(삭제)할 수 있다는 뜻입니다. 이는 직관적으로도 납득이 됩니다. “ $A$ 의 점들로 몫을 취하고” 있으므로 집합 $A$ 의 내부는 그다지 중요하지 않을 것이기 때문입니다.

예제 73.4.2.

절제는 자명해 보일 수 있습니다( $H_{n}(X,A)$ 의 “상대 경계를 법으로 한 상대 순환”에 대해, $A$ 안에 놓인 부분을 $Z$ 에 닿지 않을 때까지 조금 바꾸기만 하면 됩니다). 하지만 이것이 항상 가능하지는 않다는 것을 깨닫게 됩니다. 실수로 순환을 잘라 버릴 수도 있기 때문입니다! 예를 들면 다음과 같습니다.

절제의 주된 응용은 언제 $H_{n}(X,A)\cong\widetilde{H}_{n}(X/A)$ 가 성립하는지 판정하는 것입니다. 답은 다음과 같습니다:

정리 73.4.3 (상대 호몰로지 $\implies$ 몫공간).

$X$ 를 공간이라 하고, $A$ 를 닫힌 부분공간이라 하되 $A$ 가 어떤 열린집합 $V\subseteq X$ 의 변형 수축이라고 합시다. 그러면 몫 사상 $q\colon X\to X/A$ 는 다음과 같은 동형사상을 유도합니다

H_{n}(X,A)\cong H_{n}(X/A,A/A)\cong\widetilde{H}_{n}(X/A).

증명의 핵심 아이디어는 다음과 같습니다. $H(X,A)\cong H(X/A,A/A)$ 가 반드시 성립하는 것은 아니지만(실제로 앞에서 두 가지 반례를 보았습니다), $A$ 를 잘라 내면 자명하게 $H(X-A,A-A)\cong H(X/A-A/A,A/A-A/A)$ 를 얻습니다. 안타깝게도 이 군은 $H(X,A)$ 와 동형이 아니므로, 집합 $V$ 를 사용하여 이를 바로잡습니다 — 즉, $H(X-A,V-A)\cong H(X/A-A/A,V/A-A/A)$ 입니다. 나머지 작업은 절제 정리와 변형 수축을 사용하여 좌변이 $H(X,A)$ 와 동형이고 우변이 $H(X/A)$ 와 동형임을 보이는 것입니다.

증명.

가정에 의해, 다음과 같은 쌍 사이의 사상들을 생각할 수 있습니다.

	$\displaystyle r$	$\displaystyle\colon(V,A)\to(A,A)$
	$\displaystyle q$	$\displaystyle\colon(X,A)\to(X/A,A/A)$
	$\displaystyle\widehat{q}$	$\displaystyle:(X-A,V-A)\to(X/A-A/A,V/A-A/A).$

또한 $r$ 은 쌍-호모토피 동치입니다. 삼중쌍의 긴 완전열(문제 72F에서 다루었습니다)을 생각하면 다음 도식을 얻습니다.

여기서 동형사상들은 $r$ 이 쌍-호모토피 동치이기 때문에 생깁니다. 따라서 $f$ 는 동형사상입니다. 마찬가지로 다음 사상

g\colon H_{n}(X/A,A/A)\to H_{n}(X/A,V/A)

도 동형사상입니다.

이제 다음 가환 도식을 생각합시다.

그리고 가장 오른쪽 화살표 $\widehat{q}_{\ast}$ 가 동형사상임에 주목하십시오. $A$ 바깥에서 사상 $\widehat{q}$ 는 항등사상이기 때문입니다. $f$ 와 $g$ 가 동형사상임을 알고 있으며, “Excise”로 표시된 두 화살표도 (절제에 의해) 동형사상입니다. 이로부터 $q_{\ast}$ 가 동형사상이라고 결론짓습니다. 물론 한 점에 대한 상대 호몰로지가 곧 상대 호몰로지 군이라는 것은 이미 알고 있습니다(이는 보조정리 73.2.1의 중요한 경우입니다). ∎

73.5 몇 가지 응용

절제의 좋은 응용 중 하나는 $\widetilde{H}_{n}(X\vee Y)$ 를 계산하는 것입니다.

정리 73.5.1 (쐐기합의 호몰로지).

$X$ 와 $Y$ 가 기점 $x_{0}\in X$ 와 $y_{0}\in Y$ 를 갖는 공간이고, 각 점이 어떤 열린 근방의 변형 수축이라고 가정합시다. 그러면 모든 $n$ 에 대해 다음이 성립합니다.

\widetilde{H}_{n}(X\vee Y)=\widetilde{H}_{n}(X)\oplus\widetilde{H}_{n}(Y).

증명.

$X\amalg Y$ 의 부분집합 $\{x_{0},y_{0}\}$ 에 정리 73.4.3를 적용하면,

	$\displaystyle\widetilde{H}_{n}(X\vee Y)\cong\widetilde{H}_{n}((X\amalg Y)/\{x_% {0},y_{0}\})$	$\displaystyle\cong H_{n}(X\amalg Y,\{x_{0},y_{0}\})$
		$\displaystyle\cong H_{n}(X,\{x_{0}\})\oplus H_{n}(Y,\{y_{0}\})$
		$\displaystyle\cong\widetilde{H}_{n}(X)\oplus\widetilde{H}_{n}(Y).\qed$

또 다른 응용은 $H_{n}(S^{m})$ 을 계산하는 두 번째 방법을 제시하는 것입니다. 이를 위해 다음을 증명하겠습니다.

\widetilde{H}_{n}(S^{m})\cong\widetilde{H}_{n-1}(S^{m-1})

이는 임의의 $n,m>1$ 에 대해 성립합니다. 그러나,

•

$\widetilde{H}_{0}(S^{n})$ 은 $n=0$ 일 때 $\mathbb{Z}$ 이고 그 외에는 $0$ 입니다.
•

$\widetilde{H}_{n}(S^{0})$ 은 $n=0$ 일 때 $\mathbb{Z}$ 이고 그 외에는 $0$ 입니다.

따라서 $\min\{m,n\}$ 에 대한 귀납법으로 다음을 바로 얻습니다.

\widetilde{H}_{n}(S^{m})\cong\begin{cases}\mathbb{Z}&m=n\\ 0&\text{그렇지 않으면}\end{cases}

이것이 바로 우리가 원하던 것입니다.

주장을 증명하기 위해, 쌍 $X=D^{2}$ 와 $A=S^{1}$ 로 이루어진 완전열을 생각합시다.

예제 73.5.2 ( $(X,A)=(D^{2},S^{1})$ 에 대한 긴 완전열).

경계가 $S^{1}$ 인 $D^{2}$ (축약 가능합니다)를 생각합시다. 명백히 $S^{1}$ 은 $D^{2}\setminus\{0\}$ 의 변형 수축이며, 경계 위의 모든 점을 하나로 붙이면 $D^{2}/S^{1}\cong S^{2}$ 를 얻습니다. 따라서 다음 긴 완전열을 얻습니다.

이 도식으로부터 다음을 읽어 낼 수 있습니다.

\dots,\quad\widetilde{H}_{3}(S^{2})=\widetilde{H}_{2}(S^{1}),\quad\widetilde{H% }_{2}(S^{2})=\widetilde{H}_{1}(S^{1}),\quad\widetilde{H}_{1}(S^{2})=\widetilde% {H}_{0}(S^{1}).

더 일반적으로, 쌍 $(X,A)=(D^{m},S^{m-1})$ 에 대한 완전열은 $\widetilde{H}_{n}(S^{m})\cong\widetilde{H}_{n-1}(S^{m-1})$ 임을 보여 주며, 이것이 바로 원하는 결론입니다.

73.6 차원의 불변성

마지막으로 절제를 응용하는 예를 하나 소개합니다.

정의 73.6.1.

$X$ 를 공간, $p\in X$ 를 한 점이라고 합시다. $X$ 에서 $p$ 의 $k$ 번째 국소 호몰로지 군은 다음과 같이 정의합니다.

H_{k}(X,X\setminus\{p\}).

$p$ 의 임의의 열린 근방 $U$ 에 대하여, 절제에 의해 다음이 성립함에 유의하십시오.

H_{k}(X,X\setminus\{p\})\cong H_{k}(U,U\setminus\{p\}).

따라서 이 국소 호몰로지 군은 $p$ 근처의 공간에만 의존합니다.

정리 73.6.2 (차원의 불변성, 브라우어 1910).

$U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 과 $V\subseteq\mathbb{R}^{m}$ 을 공집합이 아닌 열린집합이라고 합시다. $U$ 와 $V$ 가 위상동형이면 $m=n$ 입니다.

증명.

점 $x\in U$ 와 그 점의 국소 호몰로지 군을 생각합시다. 절제에 의해 다음이 성립합니다.

H_{k}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n}\setminus\{x\})\cong H_{k}(U,U\setminus\{x% \}).

그런데 $\mathbb{R}^{n}\setminus\{x\}$ 는 $S^{n-1}$ 과 호모토피 동치이므로, 정리 72.2.5의 긴 완전열로부터 다음을 알 수 있습니다.

H_{k}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n}\setminus\{x\})\cong\begin{cases}\mathbb{Z}% &k=n\\ 0&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

마찬가지로, $y\in V$ 가 주어지면 다음이 성립합니다.

H_{k}(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{m}\setminus\{y\})\cong H_{k}(V,V\setminus\{y% \}).

따라서 $U\cong V$ 이면 다음을 얻습니다.

H_{k}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n}\setminus\{x\})\cong H_{k}(\mathbb{R}^{m},% \mathbb{R}^{m}\setminus\{y\})

이는 모든 $k$ 에 대하여 성립합니다. 물론 이것은 $m=n$ 일 때에만 가능합니다. ∎

73.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 73A.

$X=S^{1}\times S^{1}$ , $Y=S^{1}\vee S^{1}\vee S^{2}$ 라고 합시다. 모든 정수 $n$ 에 대하여

H_{n}(X)\cong H_{n}(Y)

임을 보이십시오.

문제 73B (Hatcher §2.1 연습문제 18).

$\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ 을 생각합시다. $\widetilde{H}_{1}(\mathbb{R},\mathbb{Q})$ 를 계산하십시오.

힌트. 정리 72.2.5을 이용하십시오.

풀이. 다음과 같은 완전열이 있습니다.

$\underbrace{\widetilde{H}_{1}(\mathbb{R})}_{=0}\to\widetilde{H}_{1}(\mathbb{R}% ,\mathbb{Q})\to\widetilde{H}_{0}(\mathbb{Q})\to\underbrace{\widetilde{H}_{0}(% \mathbb{R})}_{=0}.$

이제 $\mathbb{Q}$ 는 경로 비연결이므로(즉, 어떤 두 점도 경로로 연결되지 않으므로) $\widetilde{H}_{0}(\mathbb{Q})$ 는 가산 무한 개의 $\mathbb{Z}$ 의 복사본으로 이루어집니다.

문제 73C.

위상 $n$ -다양체의 국소 호몰로지 군은 무엇입니까?

문제 73D.

X=\{(x,y)\mid x\geq 0\}\subseteq\mathbb{R}^{2}

가 반평면을 나타낸다고 합시다. $X$ 의 점들의 국소 호몰로지 군은 무엇입니까?

문제 73E (브라우어-조르당 분리 정리, 조르당 곡선 정리의 일반화).

^†^†margin:

$X\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 을 $S^{n-1}$ 과 위상동형인 부분집합이라고 합시다. $\mathbb{R}^{n}\setminus X$ 가 정확히 두 개의 경로 연결 성분을 가짐을 증명하십시오.

힌트. 임의의 $n$ 에 대하여, $k=1,\dots,n-1$ 에 관한 귀납법으로 다음을 증명하십시오. (a) $X$ 가 $D^{k}$ 와 위상동형인 $S^{n}$ 의 부분집합이면 $\widetilde{H}_{i}(S^{n}\setminus X)=0$ 입니다. (b) $X$ 가 $S^{k}$ 와 위상동형인 $S^{n}$ 의 부분집합이면 $i=n-k-1$ 일 때 $\widetilde{H}_{i}(S^{n}\setminus X)=\mathbb{Z}$ 이고, 그 외에는 $0$ 입니다.

풀이. 이는 Hatcher의 2.B절에 자세히 나와 있습니다.