장 91 기수

순서수는 전순서를 측정합니다. 그러나 크기를 측정하는 데에는 그다지 뛰어나지 않습니다. 예를 들어, $\omega$ 와 $\omega+1$ 의 원소들 사이에는 전단사가 존재합니다:

\begin{array}[]{rccccccc}\omega+1=&\{&\omega&0&1&2&\dots&\}\\ \omega=&\{&0&1&2&3&\dots&\}.\end{array}

사실, 이미 알고 계시겠지만, $\omega$ 와 $\omega^{2}$ 사이에도 전단사가 존재합니다:

\begin{array}[]{l|cccccc}+&0&1&2&3&4&\dots\\ \hline\cr 0&0&1&3&6&10&\dots\\ \omega&2&4&7&11&\dots&\\ \omega\cdot 2&5&8&12&\dots&&\\ \omega\cdot 3&9&13&\dots&&&\\ \omega\cdot 4&14&\dots&&&&\end{array}

따라서 순서수는 크기를 추적하는 데 적합하지 않습니다. 이를 위해 기수라는 개념으로 넘어갑시다.

91.1 대등한 집합과 기수

정의 91.1.1.

두 집합 $A$ 와 $B$ 사이에 전단사가 존재하면, 두 집합은 대등하다고 하며 $A\approx B$ 로 씁니다.

정의 91.1.2.

기수란 어떤 $\alpha<\kappa$ 에 대해서도 $\alpha\approx\kappa$ 가 성립하지 않는 순서수 $\kappa$ 입니다.

예제 91.1.3 (기수의 예).

모든 유한수는 기수입니다. 또한 $\omega$ 도 기수입니다. 그러나 $\omega+1$ , $\omega^{2}$ , $\omega^{2015}$ 는 가산이므로 기수가 아닙니다.

예제 91.1.4 ( $\omega^{\omega}$ 는 가산입니다).

$\omega^{\omega}$ 조차도 기수가 아닙니다. 이는 가산 합집합

\omega^{\omega}=\bigcup_{n}\omega^{n}

이고, 각 $\omega^{n}$ 이 가산이기 때문입니다.

질문 91.1.5.

무한 기수는 왜 반드시 극한 순서수여야 합니까?

비고 91.1.6.

기수의 정의에는 무언가 수상한 점이 있습니다. 바로 외부 함수 $f$ 에 의존한다는 점입니다. 즉, $\kappa$ 가 기수임을 확인하려면 $\kappa$ 자체만 보아서는 안 되고, $\alpha<\kappa$ 에 대해 전단사 $f\colon\kappa\to\alpha$ 가 존재하지 않음을 확인하기 위해 전체 우주 $V$ 를 살펴보아야 합니다. 지금은 이것이 문제가 되지 않지만, 나중에 모형 이론에서는 이로 인해 매우 직관에 반하는 현상이 나타나게 됩니다.

91.2 기수

이제 기수를 정의했으므로, 집합을 기수와 연결하여 집합의 크기를 논할 수 있습니다.

정의 91.2.1.

집합 $X$ 의 기수는 $X\approx\kappa$ 를 만족하는 가장 작은 순서수 $\kappa$ 입니다. 이를 $\left\lvert X\right\rvert$ 로 표기합니다.

질문 91.2.2.

$\left\lvert X\right\rvert$ 는 왜 반드시 기수여야 합니까?

비고 91.2.3.

그러한 순서수 $\kappa$ 가 실제로 존재함을 보이려면 정렬 정리(동치로, 선택 공리)가 필요합니다.

기수는 순서수이므로, $\kappa_{1}\leq\kappa_{2}$ 인지 등을 묻는 것은 의미가 있습니다. 여기서는 우리의 일반적인 직관이 잘 들어맞습니다.

명제 91.2.4 (기수 성질의 재진술).

$X$ 와 $Y$ 를 집합이라고 합시다.

(i)

$X\approx Y$ 일 필요충분조건은 $\left\lvert X\right\rvert=\left\lvert Y\right\rvert$ 인 것이며, 이는 $X$ 에서 $Y$ 로의 전단사가 존재하는 것과 동치입니다.
(ii)

$\left\lvert X\right\rvert\leq\left\lvert Y\right\rvert$ 일 필요충분조건은 단사 사상 $X\hookrightarrow Y$ 가 존재하는 것입니다.

부지런한 독자께서는 이를 직접 증명해 보시기 바랍니다.

91.3 알레프 수

대표적인 예: $\aleph_{0}=\omega$ 이고, $\aleph_{1}$ 은 최초의 비가산 순서수입니다.

먼저, 기수가 임의로 커질 수 있음을 확인해 봅시다:

명제 91.3.1.

모든 집합 $X$ 에 대해 $\left\lvert X\right\rvert<\left\lvert\mathcal{P}(X)\right\rvert$ 입니다.

증명.

단사 사상 $X\hookrightarrow\mathcal{P}(X)$ 는 존재하지만, 보조정리 89.2.1에 의해 단사 사상 $\mathcal{P}(X)\hookrightarrow X$ 는 존재하지 않습니다. ∎

따라서 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

정의 91.3.2.

기수 $\kappa$ 에 대해, $\kappa$ 보다 큰 최소의 기수를 $\kappa^{+}$ 로 정의하고, 이를 따름 기수라고 부릅니다.

이러한 $\kappa^{+}$ 는 존재하며 $\kappa^{+}\leq\left\lvert\mathcal{P}(\kappa)\right\rvert$ 를 만족합니다.

다음으로, 다음을 주장합니다:

연습문제 91.3.3.

$A$ 가 기수들의 집합이면 $\cup A$ 가 기수임을 보이십시오.

따라서 초한 귀납법에 의해 다음을 얻습니다:

정의 91.3.4.

임의의 $\alpha\in\mathrm{On}$ 에 대해 알레프 수를 다음과 같이 정의합니다

	$\displaystyle\aleph_{0}$	$\displaystyle=\omega$
	$\displaystyle\aleph_{\alpha+1}$	$\displaystyle=\left(\aleph_{\alpha}\right)^{+}$
	$\displaystyle\aleph_{\lambda}$	$\displaystyle=\bigcup_{\alpha<\lambda}\aleph_{\alpha}.$

따라서 다음과 같은 기수들의 열을 얻습니다

0<1<2<\dots<\aleph_{0}<\aleph_{1}<\dots<\aleph_{\omega}<\aleph_{\omega+1}<\dots.

정의에 의해 $\aleph_{0}$ 은 자연수의 기수이고, $\aleph_{1}$ 은 최초의 비가산 순서수이며, …입니다.

알레프 수가 모든 기수를 이룬다고 주장합니다:

보조정리 91.3.5 (알레프 수는 모든 무한 기수를 이룹니다).

$\kappa$ 가 기수이면, $\kappa$ 는 유한하거나(즉 $\kappa\in\omega$ ) 어떤 $\alpha\in\mathrm{On}$ 에 대해 $\kappa=\aleph_{\alpha}$ 입니다.

증명.

$\kappa$ 가 무한하다고 가정하고, $\aleph_{\alpha}\geq\kappa$ 를 만족하는 최소의 $\alpha$ 를 택합니다. 모순을 이끌어 내기 위해 $\aleph_{\alpha}>\kappa$ 라고 가정합시다. $\alpha=0$ 인 경우는 자명하므로 $\alpha>0$ 이라고 가정해도 됩니다.

$\alpha=\overline{\alpha}+1$ 이 따름 순서수이면 다음이 성립하며,

\aleph_{\overline{\alpha}}<\kappa<\aleph_{\alpha}=(\aleph_{\overline{\alpha}})% ^{+}

이는 따름 기수의 정의에 모순됩니다.

$\alpha=\lambda$ 가 극한 순서수이면, $\aleph_{\lambda}$ 는 상한 $\bigcup_{\gamma<\lambda}\aleph_{\gamma}$ 입니다. 따라서 $\aleph_{\gamma}>\kappa$ 를 만족하는 어떤 $\gamma<\lambda$ 가 존재해야 하며, 이는 $\alpha$ 의 최소성에 모순됩니다. ∎

정의 91.3.6.

따름 기수가 아닌 무한 기수를 극한 기수라고 부릅니다. 극한 기수는 정확히 $\lambda$ 가 극한 순서수일 때 $\aleph_{\lambda}$ 꼴인 기수들과 $\aleph_{0}$ 입니다.

91.4 기수 산술

대표적인 예: $\aleph_{0}\cdot\aleph_{0}=\aleph_{0}+\aleph_{0}=\aleph_{0}$

순서수 산술을 어떻게 정의했는지 떠올려 보십시오. 특히 $\omega+\omega>\omega$ 이고 $\omega^{2}>\omega$ 라는 점에 주목하십시오. 기수는 크기를 세는 것이므로 이 성질은 바람직하지 않으며, 우리는 다음이 성립하기를 원합니다.

	$\displaystyle\aleph_{0}+\aleph_{0}$	$\displaystyle=\aleph_{0}$
	$\displaystyle\aleph_{0}\cdot\aleph_{0}$	$\displaystyle=\aleph_{0}$

$\omega+\omega$ 와 $\omega\cdot\omega$ 는 가산이기 때문입니다. 기수의 경우에는 단순히 “순서를 무시”합니다.

기수 산술의 정의는 예상한 그대로입니다.

정의 91.4.1 (기수 산술).

기수 $\kappa$ 와 $\mu$ 가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의합니다.

\kappa+\mu\coloneqq\left\lvert\left(\left\{0\right\}\times\kappa\right)\cup% \left(\left\{1\right\}\times\mu\right)\right\rvert

그리고

\kappa\cdot\mu\coloneqq\left\lvert\mu\times\kappa\right\rvert.

질문 91.4.2.

유한 기수에 대해서는 이것이 유치원에서 배운 내용과 일치하는지 확인하십시오.

표기의 남용 91.4.3.

결과가 다름에도 불구하고( $\omega\cdot\omega=\omega^{2}$ 이지만 $\aleph_{0}\cdot\aleph_{0}=\aleph_{0}$ 입니다) 순서수 산술과 같은 기호를 사용하고 있으므로, 이는 약간의 표기 남용입니다. 일반적으로 제가 기수 산술을 이야기하는지 순서수 산술을 이야기하는지는 아주 분명하게 밝히겠습니다.

이러한 혼동을 막기 위해, 순서수와 기수에 대해 서로 다른 기호를 사용합니다. 구체적으로, $\omega$ 는 항상 순서수로 본 $\{0,1,\dots\}$ 를 가리키고, $\aleph_{0}$ 는 항상 같은 집합을 기수로 본 것을 가리킵니다. 더 일반적으로,

정의 91.4.4.

$\omega_{\alpha}=\aleph_{\alpha}$ 로 두되, 이를 순서수로 본 것이라고 합시다.

그러나 이미 보았듯이 $\aleph_{0}\cdot\aleph_{0}=\aleph_{0}$ 입니다. 사실 이는 훨씬 더 일반적으로 성립합니다.

정리 91.4.5 (무한 기수의 제곱).

$\kappa$ 가 무한 기수라고 합시다. 그러면 $\kappa\cdot\kappa=\kappa$ 입니다.

증명.

자명하게 $\kappa\cdot\kappa\geq\kappa$ 이므로, $\kappa\cdot\kappa\leq\kappa$ 임을 보이고자 합니다.

아이디어는 $\aleph_{0}\cdot\aleph_{0}=\aleph_{0}$ 에 대해 했던 증명을 그대로 반복해 보는 것이므로, 여기서 그 증명을 다시 살펴봅니다. 우리는 $\aleph_{0}$ 의 원소들로 “정사각형”을 만든 다음, 대각선을 따라 재배열했습니다.

\begin{array}[]{l|cccccc}&0&1&2&3&4&\dots\\ \hline\cr 0&0&1&3&6&10&\dots\\ 1&2&4&7&11&\dots&\\ 2&5&8&12&\dots&&\\ 3&9&13&\dots&&&\\ 4&14&\dots&&&&\end{array}

이 아이디어를 일반적인 $\kappa$ 에 대해서도 그대로 적용하고 싶습니다. 그러나 무한 순서수에서는 덧셈이 덜 잘 작동하므로, $\alpha+\beta$ 대신 $\max\{\alpha,\beta\}$ 를 사용하는 것이 더 편리합니다. 구체적으로, $\kappa\times\kappa$ 위에 순서 $<_{\text{최댓값}}$ 를 다음과 같이 정의합니다. $\kappa\times\kappa$ 의 $(\alpha_{1},\beta_{1})$ 과 $(\alpha_{2},\beta_{2})$ 에 대해, 다음이 성립하면 $(\alpha_{1},\beta_{1})<_{\text{최댓값}}(\alpha_{2},\beta_{2})$ 라고 정합니다.

•

$\max\left\{\alpha_{1},\beta_{1}\right\}<\max\left\{\alpha_{2},\beta_{2}\right\}$ 이거나
•

$\max\left\{\alpha_{1},\beta_{1}\right\}=\max\left\{\alpha_{2},\beta_{2}\right\}$ 이고 $(\alpha_{1},\beta_{1})$ 이 사전식 순서로 $(\alpha_{2},\beta_{2})$ 보다 앞서는 경우입니다.

이 대안적인 순서(의도적으로 덧셈을 언급하지 않는 순서)는 다음과 같습니다.

\begin{array}[]{l|cccccc}&0&1&2&3&4&\dots\\ \hline\cr 0&0&1&4&9&16&\dots\\ 1&2&3&5&10&17&\dots\\ 2&6&7&8&11&18&\dots\\ 3&12&13&14&15&19&\dots\\ 4&20&21&22&23&24&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\ \end{array}

이제 $\kappa$ 에 대한 초한 귀납법으로 진행합니다. 기본 경우는 $\kappa=\aleph_{0}$ 이며, 이는 위에서 이미 처리했습니다. 이제 $<_{\text{최댓값}}$ 는 $\kappa\times\kappa$ 의 정렬이므로, 이것이 어떤 순서수 $\gamma$ 와 순서를 보존하는 전단사 관계에 있음을 압니다. 우리의 목표는 $\left\lvert\gamma\right\rvert\leq\kappa$ 임을 보이는 것입니다. 이를 위해서는 임의의 $\overline{\gamma}\in\gamma$ 에 대해 $\left\lvert\overline{\gamma}\right\rvert<\kappa$ 임을 증명하는 것으로 충분합니다.

이 전단사에 의해 $\overline{\gamma}$ 가 점 $(\alpha,\beta)\in\kappa\times\kappa$ 에 대응한다고 합시다. $\alpha$ 와 $\beta$ 가 모두 유한이면 당연히 $\overline{\gamma}$ 도 유한입니다. 그렇지 않으면 $\overline{\kappa}=\max\{\alpha,\beta\}<\kappa$ 라고 둡시다. 그러면 귀납 가정에 의해 $\overline{\gamma}$ 아래에 있는 점의 개수는 많아야

\left\lvert\alpha\right\rvert\cdot\left\lvert\beta\right\rvert\leq\overline{% \kappa}\cdot\overline{\kappa}=\overline{\kappa}

입니다. 따라서 원하는 대로 $\left\lvert\overline{\gamma}\right\rvert\leq\overline{\kappa}<\kappa$ 입니다. ∎

이로부터 기수의 덧셈과 곱셈은 정말 따분하다는 것이 따라 나옵니다.

정리 91.4.6 (무한 기수 산술은 자명합니다).

기수 $\kappa$ 와 $\mu$ 가 주어지고 그중 하나가 무한하면, 다음이 성립합니다

\kappa\cdot\mu=\kappa+\mu=\max\left\{\kappa,\mu\right\}.

증명.

요점은 이 둘이 모두 최댓값의 제곱보다 작다는 것입니다. 자세히 써 보면 다음과 같습니다.

	$\displaystyle\max\left\{\kappa,\mu\right\}$	$\displaystyle\leq\kappa+\mu$
		$\displaystyle\leq\kappa\cdot\mu$
		$\displaystyle\leq\max\left\{\kappa,\mu\right\}\cdot\max\left\{\kappa,\mu\right\}$
		$\displaystyle=\max\left\{\kappa,\mu\right\}.\qed$

91.5 기수의 거듭제곱

대표적인 예: $2^{\kappa}=\left\lvert\mathcal{P}(\kappa)\right\rvert$ .

정의 91.5.1.

$\kappa$ 와 $\lambda$ 가 기수라고 합시다. 그러면

\kappa^{\lambda}\coloneqq\left\lvert\mathscr{F}(\lambda,\kappa)\right\rvert.

여기서 $\mathscr{F}(A,B)$ 는 $A$ 에서 $B$ 로 가는 함수들의 집합입니다.

표기의 남용 91.5.2.

앞에서와 마찬가지로, 기수 연산과 순서수 연산에 같은 표기법을 사용하고 있습니다. 죄송합니다!

특히 $2^{\kappa}=\left\lvert\mathcal{P}(\kappa)\right\rvert>\kappa$ 이므로, 이제부터는 $2^{\kappa}$ 라는 표기법을 자유롭게 사용할 수 있습니다. (이는 순서수 연산과는 전혀 다르다는 점에 유의하십시오. 순서수 연산에서는 $2^{\omega}=\bigcup_{n\in\omega}2^{n}=\omega$ 였습니다. 기수 연산에서는 $2^{\aleph_{0}}>\aleph_{0}$ 입니다.)

안타깝게도 $2^{\aleph_{0}}$ 이 무엇과 같은지는 아직 말씀드리지 않았습니다. 자연스러운 추측은 $2^{\aleph_{0}}=\aleph_{1}$ 이라는 것이며, 이를 연속체 가설이라고 부릅니다. 이는 결정 불가능하다는 것이 밝혀졌습니다 – 즉 $\mathsf{ZFC}$ 공리로부터 이를 증명하거나 반증하는 것은 불가능합니다.

91.6 공종도

대표적인 예: $\aleph_{0}$ , $\aleph_{1}$ , … 은 모두 정칙이지만, $\aleph_{\omega}$ 의 공종도는 $\omega$ 입니다.

정의 91.6.1.

$\lambda$ 를 순서수(보통은 극한 순서수)라 하고, $\alpha$ 를 또 다른 순서수라 합시다. 순서수 사이의 사상 $f\colon\alpha\to\lambda$ 가 모든 $\overline{\lambda}<\lambda$ 에 대해 $f(\overline{\alpha})\geq\overline{\lambda}$ 를 만족하는 어떤 $\overline{\alpha}\in\alpha$ 가 존재하면, 이 사상을 공종적이라고 부릅니다. 다시 말해, 이 사상은 $\lambda$ 안에서 임의로 높은 곳까지 도달합니다.

예제 91.6.2 (공종적 사상의 예).

(a)

$n\mapsto\omega^{n}$ 으로 주어지는 사상 $\omega\to\omega^{\omega}$ 는 공종적입니다.
(b)

임의의 순서수 $\alpha$ 에 대해, 항등 사상 $\alpha\to\alpha$ 는 공종적입니다.

정의 91.6.3.

$\lambda$ 를 극한 순서수라 합시다. $\operatorname{cof}(\lambda)$ 로 표기하는 $\lambda$ 의 공종도는 공종적 사상 $\alpha\to\lambda$ 가 존재하는 가장 작은 순서수 $\alpha$ 입니다.

질문 91.6.4.

$\alpha$ 는 왜 무한 기수여야 합니까?

보통 우리는 기수 $\kappa$ 의 공종도를 구하는 데 관심이 있습니다.

그림으로 표현하자면, 우주의 맨 밑바닥에 서서 $\kappa$ 까지 이어지는 순서수들의 사슬을 올려다보고 있다고 상상할 수 있습니다. 여러분은 기관총을 들고 위쪽으로 총알을 쏘고 있으며, $\kappa$ 보다는 작되 임의로 높은 곳까지 도달하고 싶습니다. 그러면 공종도는 이를 위해 필요한 총알의 개수입니다.

이제 “대부분”의 경우 기수의 공종도는 그 자신이라는 것을 관찰합니다.¹¹1주의하십시오 — 순서수의 공종도는 보통 그 자신보다 엄격히 작습니다. 사실, 어떤 순서수의 공종도가 그 자신이라면 그 순서수는 반드시 기수입니다. 이러한 기수를 정칙이라고 부릅니다.

예제 91.6.5 ( $\aleph_{0}$ 은 정칙입니다).

$\operatorname{cof}(\aleph_{0})=\aleph_{0}$ 입니다. $\aleph_{0}=\omega$ 의 어떤 유한 부분집합도 임의로 높은 곳까지 도달할 수 없기 때문입니다.

예제 91.6.6 ( $\aleph_{1}$ 은 정칙입니다).

$\operatorname{cof}(\aleph_{1})=\aleph_{1}$ 입니다. 실제로, 모순을 이끌어 내기 위해 순서수들의 어떤 가산 집합 $A=\{\alpha_{0},\alpha_{1},\dots\}\subseteq\aleph_{1}$ 이 $\aleph_{1}$ 안에서 임의로 높은 곳까지 도달한다고 가정합시다. 그러면 $\Lambda=\cup A$ 는 가산 순서수들의 가산 합집합이므로 가산 순서수입니다. 다시 말해 $\Lambda\in\aleph_{1}$ 입니다. 그런데 $\Lambda$ 는 $A$ 의 상계이므로 모순입니다.

반면에 정칙이 아닌 기수도 존재합니다. 이들은 “드문” 경우이므로 특이하다고 부릅니다.

예제 91.6.7 ( $\aleph_{\omega}$ 는 정칙이 아닙니다).

$\aleph_{0}<\aleph_{1}<\aleph_{2}<\dots$ 는 항이 $\aleph_{0}$ 개뿐인데도 $\aleph_{\omega}$ 안에서 임의로 높이 올라간다는 점에 주목하십시오. 따라서 $\operatorname{cof}(\aleph_{\omega})=\aleph_{0}$ 입니다.

이제 여러분이 품었을 법한 의심을 확인해 봅시다.

정리 91.6.8 (따름 기수는 정칙입니다).

$\kappa=\overline{\kappa}^{+}$ 가 따름 기수이면, $\kappa$ 는 정칙입니다.

증명.

$\aleph_{1}$ 이 정칙임을 보인 증명을 그대로 따라 하겠습니다.

모순을 이끌어 내기 위해, 어떤 $\mu\leq\overline{\kappa}$ 에 대하여 기수로서의 $\kappa$ 안에서 임의로 높이 올라가는 집합이 $\mu$ 개 있다고 가정합시다. 이 집합들은 각각 기수가 많아야 $\overline{\kappa}$ 여야 함을 관찰하십시오. $\mu$ 개의 집합을 모두 합집합하면 상계 역할을 하는 순서수 $\Lambda$ 를 얻습니다.

합집합의 원소 개수는 많아야

\#\text{집합}\cdot\#\text{elms}\leq\mu\cdot\overline{\kappa}=\overline{\kappa}

이고, 따라서 $\left\lvert\Lambda\right\rvert\leq\overline{\kappa}<\kappa$ 입니다. ∎

91.7 도달 불가능한 기수

그렇다면 극한 기수는 어떻습니까? 대부분은 특이 기수인 것으로 보입니다. $\aleph_{\lambda}\neq\aleph_{0}$ 가 극한 기수이면(즉 $\lambda$ 가 극한 순서수이면), (길이가 $\lambda$ 인) 수열 $\{\aleph_{\alpha}\}_{\alpha\in\lambda}$ 는 분명히 공종적입니다.

예제 91.7.1 (알레프 고정점).

다음과 같은 괴물 같은 기수를 생각해 봅시다.

\kappa=\aleph_{\aleph_{\aleph_{\ddots}}}.

$\kappa=\aleph_{\kappa}$ 이므로 이 기수는 무시무시하게 거대해 보일 수 있지만, 다음 수열의 극한이므로 공종도는 $\omega$ 입니다.

\aleph_{0},\aleph_{\aleph_{0}},\aleph_{\aleph_{\aleph_{0}}},\dots

더 일반적으로, 실제로 다음을 증명할 수 있습니다.

\operatorname{cof}(\aleph_{\lambda})=\operatorname{cof}(\lambda).

하지만 $\lambda$ 가 너무 커서 $\lambda=\aleph_{\lambda}$ 가 되는 경우도 실제로 생각해 볼 수 있습니다.

$\aleph_{0}$ 이 아닌 정칙 극한 기수에는 특별한 이름이 있습니다. 바로 약하게 도달 불가능한 기수입니다. 이러한 기수는 너무 커서 $\mathsf{ZFC}$ 안에서는 그 존재를 증명할 수도 반증할 수도 없습니다. 이는 이른바 “큰 기수”라고 불리는 많은 기수 가운데 첫 번째입니다.

무한 기수 $\kappa$ 가 다음을 만족하면 강극한 기수라고 합니다.

\forall\overline{\kappa}<\kappa\quad 2^{\overline{\kappa}}<\kappa

여기서 $\overline{\kappa}$ 는 임의의 기수입니다. 예를 들어 $\aleph_{0}$ 은 강극한 기수입니다.

질문 91.7.2.

강극한 기수가 실제로 극한 기수여야 하는 이유는 무엇입니까? (이 문제는 어이없을 만큼 쉽습니다.)

비고 91.7.3.

극한 기수는 다음을 만족하는 0이 아닌 기수 $\kappa$ 로 동치적으로 정의할 수도 있습니다.

\forall\overline{\kappa}<\kappa\quad(\overline{\kappa})^{+}<\kappa.

이를 강극한 기수의 정의와 비교해 보면 둘이 나란하다는 것을 알 수 있습니다. (이 설명은 앞 질문의 답이기도 합니다.)

$\aleph_{0}$ 이 아닌 정칙 강극한 기수를 강하게 도달 불가능한 기수라고 합니다.

91.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 91A.

$\left\lvert V_{\omega}\right\rvert$ 를 계산하십시오.

힌트. $\sup_{k\in\omega}\left\lvert V_{k}\right\rvert$ .

문제 91B.

임의의 극한 순서수 $\alpha$ 에 대하여 $\operatorname{cof}(\alpha)$ 가 정칙 기수임을 증명하십시오.

힌트. 공종 사상들이 감소하지 않도록 재배열하십시오.

문제 91C (강한 도달 불가능 기수).

임의의 강한 도달 불가능 기수 $\kappa$ 에 대하여 $\left\lvert V_{\kappa}\right\rvert=\kappa$ 임을 보이십시오.

문제 91D (König 정리).

모든 무한 기수 $\kappa$ 에 대하여

\kappa^{\operatorname{cof}(\kappa)}>\kappa

임을 보이십시오.