장 91 기수

순서수는 전순서를 측정합니다. 그러나 크기를 측정하는 데는 그다지 훌륭한 역할을 하지 못합니다. 예를 들어, $\omega$ 와 $\omega+1$ 의 원소들 사이에는 전단사가 존재합니다:

\begin{array}[]{rccccccc}\omega+1=&\{&\omega&0&1&2&\dots&\}\\ \omega=&\{&0&1&2&3&\dots&\}.\end{array}

실제로, 여러분이 아마 이미 알고 있듯이, $\omega$ 와 $\omega^{2}$ 사이에도 전단사가 존재합니다:

\begin{array}[]{l|cccccc}+&0&1&2&3&4&\dots\\ \hline\cr 0&0&1&3&6&10&\dots\\ \omega&2&4&7&11&\dots&\\ \omega\cdot 2&5&8&12&\dots&&\\ \omega\cdot 3&9&13&\dots&&&\\ \omega\cdot 4&14&\dots&&&&\end{array}

따라서 순서수는 크기를 추적하는 데 좋은 역할을 하지 못합니다. 이를 위해 기수라는 개념으로 눈을 돌립니다.

91.1 등수인 집합과 기수

정의 91.1.1.

두 집합 $A$ 와 $B$ 가 그 사이에 전단사가 존재하면 등수라고 하며, $A\approx B$ 로 표기합니다.

정의 91.1.2.

기수란 $\alpha<\kappa$ 인 어떤 $\alpha$ 에 대해서도 $\alpha\approx\kappa$ 가 성립하지 않는 순서수 $\kappa$ 입니다.

예제 91.1.3 (기수의 예).

모든 유한한 수는 기수입니다. 또한, $\omega$ 도 기수입니다. 그러나 $\omega+1$ , $\omega^{2}$ , $\omega^{2015}$ 는 가산이므로 기수가 아닙니다.

예제 91.1.4 ( $\omega^{\omega}$ 는 가산입니다).

$\omega^{\omega}$ 조차도 가산 합집합이므로 기수가 아닙니다

\omega^{\omega}=\bigcup_{n}\omega^{n}

그리고 각 $\omega^{n}$ 은 가산입니다.

질문 91.1.5.

왜 무한 기수는 극한 순서수여야 하는가?

비고 91.1.6.

기수의 정의에는 미심쩍은 부분이 있습니다: 이는 외부 함수 $f$ 에 의존한다는 점입니다. 즉, $\kappa$ 가 기수임을 확인하려면 $\kappa$ 자체만 보아서는 안 되며, $\alpha<\kappa$ 인 $\alpha$ 에 대해 전단사 $f\colon\kappa\to\alpha$ 가 존재하지 않음을 확인하기 위해 전체 우주 $V$ 를 살펴보아야 합니다. 지금은 이것이 문제가 되지 않지만, 나중에 모형 이론에서 이는 매우 직관에 반하는 현상으로 이어질 것입니다.

91.2 기수성

이제 기수를 정의했으므로, 집합을 기수와 연결지어 그 크기를 논할 수 있습니다.

정의 91.2.1.

집합 $X$ 의 기수성이란 $X\approx\kappa$ 가 성립하는 가장 작은 순서수 $\kappa$ 입니다. 이를 $\left\lvert X\right\rvert$ 로 표기합니다.

질문 91.2.2.

왜 $\left\lvert X\right\rvert$ 는 기수여야 하는가?

비고 91.2.3.

그러한 순서수 $\kappa$ 가 실제로 존재함을 확립하려면 정렬 정리(동치적으로, 선택 공리)가 필요합니다.

기수는 순서수이므로, $\kappa_{1}\leq\kappa_{2}$ 인지 묻는 것이 타당합니다. 여기서는 우리의 일반적인 직관이 잘 작동합니다.

명제 91.2.4 (농도 성질의 재서술).

$X$ 와 $Y$ 를 집합이라 합시다.

(i)

$X\approx Y$ 인 것은 $\left\lvert X\right\rvert=\left\lvert Y\right\rvert$ 인 것과 동치이며, 이는 $X$ 에서 $Y$ 로의 전단사가 존재하는 것과 동치입니다.
(ii)

$\left\lvert X\right\rvert\leq\left\lvert Y\right\rvert$ 인 것은 단사 사상 $X\hookrightarrow Y$ 가 존재하는 것과 동치입니다.

부지런한 독자들은 이를 직접 증명해 보시기 바랍니다.

91.3 알레프 수

대표적인 예: $\aleph_{0}=\omega$ 이며, $\aleph_{1}$ 은 첫 번째 비가산 순서수입니다.

먼저, 기수가 임의로 커질 수 있음을 확인해 봅시다:

명제 91.3.1.

모든 집합 $X$ 에 대해 $\left\lvert X\right\rvert<\left\lvert\mathcal{P}(X)\right\rvert$ 입니다.

증명.

단사 사상 $X\hookrightarrow\mathcal{P}(X)$ 는 존재하지만, 보조정리 89.2.1에 의해 단사 사상 $\mathcal{P}(X)\hookrightarrow X$ 는 존재하지 않습니다. ∎

따라서 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

정의 91.3.2.

기수 $\kappa$ 에 대해, $\kappa^{+}$ 를 $\kappa$ 보다 큰 가장 작은 기수로 정의하며, 이를 후속 기수라 부릅니다.

이 $\kappa^{+}$ 는 존재하며 $\kappa^{+}\leq\left\lvert\mathcal{P}(\kappa)\right\rvert$ 를 만족합니다.

다음으로, 다음을 주장합니다:

연습문제 91.3.3.

$A$ 가 기수들의 집합이면 $\cup A$ 가 기수임을 보이십시오.

따라서 초한 귀납법에 의해 다음을 얻습니다:

정의 91.3.4.

임의의 $\alpha\in\mathrm{On}$ 에 대해, 알레프 수를 다음과 같이 정의합니다

	$\displaystyle\aleph_{0}$	$\displaystyle=\omega$
	$\displaystyle\aleph_{\alpha+1}$	$\displaystyle=\left(\aleph_{\alpha}\right)^{+}$
	$\displaystyle\aleph_{\lambda}$	$\displaystyle=\bigcup_{\alpha<\lambda}\aleph_{\alpha}.$

따라서 다음과 같은 기수들의 수열을 얻습니다

0<1<2<\dots<\aleph_{0}<\aleph_{1}<\dots<\aleph_{\omega}<\aleph_{\omega+1}<\dots.

정의에 의해, $\aleph_{0}$ 은 자연수의 기수이고, $\aleph_{1}$ 은 첫 번째 비가산 순서수이며, …입니다.

알레프 수가 모든 기수를 이룬다는 것을 주장합니다:

보조정리 91.3.5 (알레프 수는 모든 무한 기수를 이룹니다).

$\kappa$ 가 기수이면, $\kappa$ 는 유한(즉, $\kappa\in\omega$ )이거나, 어떤 $\alpha\in\mathrm{On}$ 에 대해 $\kappa=\aleph_{\alpha}$ 입니다.

증명.

$\kappa$ 가 무한이라 가정하고, $\aleph_{\alpha}\geq\kappa$ 를 만족하는 최소의 $\alpha$ 를 취합니다. 모순을 이끌기 위해 $\aleph_{\alpha}>\kappa$ 라고 가정합니다. $\alpha=0$ 인 경우는 자명하므로, $\alpha>0$ 이라 가정할 수 있습니다.

$\alpha=\overline{\alpha}+1$ 이 후속 순서수이면, 다음이 성립합니다

\aleph_{\overline{\alpha}}<\kappa<\aleph_{\alpha}=(\aleph_{\overline{\alpha}})% ^{+}

이는 후속 기수의 정의에 모순됩니다.

$\alpha=\lambda$ 가 극한 순서수이면, $\aleph_{\lambda}$ 는 상한 $\bigcup_{\gamma<\lambda}\aleph_{\gamma}$ 입니다. 따라서 $\aleph_{\gamma}>\kappa$ 를 만족하는 어떤 $\gamma<\lambda$ 가 존재해야 하며, 이는 $\alpha$ 의 최소성에 모순됩니다. ∎

정의 91.3.6.

후속 기수가 아닌 무한 기수를 극한 기수라 부릅니다. 이는 정확히 $\lambda$ 가 극한 순서수일 때 $\aleph_{\lambda}$ 형태의 기수들과 $\aleph_{0}$ 입니다.

91.4 기수 산술

대표적인 예: $\aleph_{0}\cdot\aleph_{0}=\aleph_{0}+\aleph_{0}=\aleph_{0}$

순서수 산술을 설정했던 방식을 떠올려 봅시다. 특히 $\omega+\omega>\omega$ 이고 $\omega^{2}>\omega$ 임에 유의하십시오. 기수는 크기를 세는 것이므로 이러한 성질은 바람직하지 않으며, 우리는 다음이 성립하기를 원합니다

	$\displaystyle\aleph_{0}+\aleph_{0}$	$\displaystyle=\aleph_{0}$
	$\displaystyle\aleph_{0}\cdot\aleph_{0}$	$\displaystyle=\aleph_{0}$

$\omega+\omega$ 와 $\omega\cdot\omega$ 는 가산이기 때문입니다. 기수의 경우, 우리는 단순히 “순서를 무시합니다”.

기수 산술의 정의는 예상대로입니다:

정의 91.4.1 (기수 산술).

기수 $\kappa$ 와 $\mu$ 가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의합니다

\kappa+\mu\coloneqq\left\lvert\left(\left\{0\right\}\times\kappa\right)\cup% \left(\left\{1\right\}\times\mu\right)\right\rvert

그리고

\kappa\cdot\mu\coloneqq\left\lvert\mu\times\kappa\right\rvert.

질문 91.4.2.

이것이 유한 기수에 대해 여러분이 유치원에서 배운 것과 일치하는지 확인하십시오.

표기의 남용 91.4.3.

우리가 서수 산술과 같은 기호를 사용하고 있지만 결과는 다르기 때문에( $\omega\cdot\omega=\omega^{2}$ 이지만 $\aleph_{0}\cdot\aleph_{0}=\aleph_{0}$ 입니다) 이는 표기법의 약간의 남용입니다. 일반적으로, 제가 기수 산술에 대해 이야기하는지 서수 산술에 대해 이야기하는지 확실히 밝히도록 하겠습니다.

이러한 혼동을 막기 위해, 우리는 서수와 기수에 대해 서로 다른 기호를 사용합니다. 구체적으로, $\omega$ 는 항상 서수로 간주된 $\{0,1,\dots\}$ 를 가리키며, $\aleph_{0}$ 는 항상 기수로 간주된 같은 집합을 가리킵니다. 더 일반적으로,

정의 91.4.4.

$\omega_{\alpha}=\aleph_{\alpha}$ 를 순서수로 본 것이라 합시다.

하지만 우리가 이미 본 바와 같이 $\aleph_{0}\cdot\aleph_{0}=\aleph_{0}$ 입니다. 사실, 이는 훨씬 더 일반적으로 성립합니다:

정리 91.4.5 (무한 기수의 제곱).

$\kappa$ 를 무한 기수라고 합시다. 그러면 $\kappa\cdot\kappa=\kappa$ 입니다.

증명.

명백히 $\kappa\cdot\kappa\geq\kappa$ 이므로, 우리는 $\kappa\cdot\kappa\leq\kappa$ 임을 보이고자 합니다.

아이디어는 $\aleph_{0}\cdot\aleph_{0}=\aleph_{0}$ 에 대해 우리가 가졌던 것과 같은 증명을 반복해 보는 것이므로, 여기서 다시 언급합니다. 우리는 $\aleph_{0}$ 의 원소들의 “제곱”을 취한 다음, 대각선에 따라 재정렬했습니다:

\begin{array}[]{l|cccccc}&0&1&2&3&4&\dots\\ \hline\cr 0&0&1&3&6&10&\dots\\ 1&2&4&7&11&\dots&\\ 2&5&8&12&\dots&&\\ 3&9&13&\dots&&&\\ 4&14&\dots&&&&\end{array}

일반적인 $\kappa$ 에 대해서도 이 아이디어를 그대로 사용하고 싶습니다. 그러나 무한 서수에 대해서는 덧셈이 잘 작동하지 않으므로 $\alpha+\beta$ 대신 $\max\{\alpha,\beta\}$ 를 사용하는 것이 더 편리할 것입니다. 구체적으로, 우리는 $\kappa\times\kappa$ 위에 다음과 같이 순서 $<_{\text{최댓값}}$ 를 둡니다: $\kappa\times\kappa$ 의 $(\alpha_{1},\beta_{1})$ 과 $(\alpha_{2},\beta_{2})$ 에 대해, 다음이 성립하면 $(\alpha_{1},\beta_{1})<_{\text{최댓값}}(\alpha_{2},\beta_{2})$ 라고 선언합니다

•

$\max\left\{\alpha_{1},\beta_{1}\right\}<\max\left\{\alpha_{2},\beta_{2}\right\}$ 이거나
•

$\max\left\{\alpha_{1},\beta_{1}\right\}=\max\left\{\alpha_{2},\beta_{2}\right\}$ 이고 $(\alpha_{1},\beta_{1})$ 이 사전식으로 $(\alpha_{2},\beta_{2})$ 보다 앞섭니다.

이 대체 순서(의도적으로 덧셈을 언급하지 않는)는 다음과 같은 모습입니다:

\begin{array}[]{l|cccccc}&0&1&2&3&4&\dots\\ \hline\cr 0&0&1&4&9&16&\dots\\ 1&2&3&5&10&17&\dots\\ 2&6&7&8&11&18&\dots\\ 3&12&13&14&15&19&\dots\\ 4&20&21&22&23&24&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\ \end{array}

이제 우리는 $\kappa$ 에 대한 초한 귀납법으로 진행합니다. 기저 경우는 $\kappa=\aleph_{0}$ 이며, 위에서 완료했습니다. 이제, $<_{\text{최댓값}}$ 는 $\kappa\times\kappa$ 의 정렬 순서이므로, 이것이 어떤 서수 $\gamma$ 와 순서를 보존하는 전단사 관계에 있음을 알 수 있습니다. 우리의 목표는 $\left\lvert\gamma\right\rvert\leq\kappa$ 임을 보이는 것입니다. 이를 위해서는, 임의의 $\overline{\gamma}\in\gamma$ 에 대해 $\left\lvert\overline{\gamma}\right\rvert<\kappa$ 임을 증명하는 것으로 충분합니다.

이 전단사 관계 아래에서 $\overline{\gamma}$ 가 점 $(\alpha,\beta)\in\kappa\times\kappa$ 에 대응한다고 합시다. $\alpha$ 와 $\beta$ 가 둘 다 유한하면 확실히 $\overline{\gamma}$ 도 유한합니다. 그렇지 않으면, $\overline{\kappa}=\max\{\alpha,\beta\}<\kappa$ 라고 합시다. 그러면 $\overline{\gamma}$ 아래에 있는 점들의 개수는 최대

\left\lvert\alpha\right\rvert\cdot\left\lvert\beta\right\rvert\leq\overline{% \kappa}\cdot\overline{\kappa}=\overline{\kappa}

귀납 가설에 의해 다음과 같습니다. 따라서 원하는 대로 $\left\lvert\overline{\gamma}\right\rvert\leq\overline{\kappa}<\kappa$ 입니다. ∎

이로부터 기수의 덧셈과 곱셈이 정말로 지루하다는 것이 따라 나옵니다:

정리 91.4.6 (무한 기수 산술은 자명합니다).

기수 $\kappa$ 와 $\mu$ 가 주어졌고 그중 하나가 무한하다면, 우리는 다음을 얻습니다

\kappa\cdot\mu=\kappa+\mu=\max\left\{\kappa,\mu\right\}.

증명.

요점은 이 두 값이 모두 최댓값의 제곱보다 작다는 것입니다. 세부 사항을 적어보면:

	$\displaystyle\max\left\{\kappa,\mu\right\}$	$\displaystyle\leq\kappa+\mu$
		$\displaystyle\leq\kappa\cdot\mu$
		$\displaystyle\leq\max\left\{\kappa,\mu\right\}\cdot\max\left\{\kappa,\mu\right\}$
		$\displaystyle=\max\left\{\kappa,\mu\right\}.\qed$

91.5 기수 지수 연산

대표적인 예: $2^{\kappa}=\left\lvert\mathcal{P}(\kappa)\right\rvert$ .

정의 91.5.1.

$\kappa$ 와 $\lambda$ 가 기수라고 합시다. 그러면

\kappa^{\lambda}\coloneqq\left\lvert\mathscr{F}(\lambda,\kappa)\right\rvert.

여기서 $\mathscr{F}(A,B)$ 는 $A$ 에서 $B$ 로 가는 함수들의 집합입니다.

표기의 남용 91.5.2.

앞서와 마찬가지로, 기수 연산과 순서수 연산 모두에 같은 표기법을 사용하고 있습니다. 죄송합니다!

특히 $2^{\kappa}=\left\lvert\mathcal{P}(\kappa)\right\rvert>\kappa$ 이므로, 이제부터는 표기법 $2^{\kappa}$ 를 자유롭게 사용할 수 있습니다. (이는 순서수 연산과는 완전히 다르다는 점에 유의하십시오. 순서수 연산에서는 $2^{\omega}=\bigcup_{n\in\omega}2^{n}=\omega$ 였습니다. 기수 연산에서는 $2^{\aleph_{0}}>\aleph_{0}$ 입니다.)

안타깝게도 $2^{\aleph_{0}}$ 이 무엇과 같은지는 아직 말씀드리지 않았습니다. 자연스러운 추측은 $2^{\aleph_{0}}=\aleph_{1}$ 이라는 것이며, 이를 연속체 가설이라고 부릅니다. 이는 결정 불가능한 것으로 밝혀졌습니다 – 즉 $\mathsf{ZFC}$ 공리로부터 이를 증명하거나 반증하는 것이 불가능합니다.

91.6 공종성

대표적인 예: $\aleph_{0}$ , $\aleph_{1}$ , … 은 모두 정칙적이지만, $\aleph_{\omega}$ 는 공종성이 $\omega$ 입니다.

정의 91.6.1.

$\lambda$ 를 순서수(보통 극한 순서수)라 하고, $\alpha$ 를 또 다른 순서수라 합시다. 순서수 사이의 사상 $f\colon\alpha\to\lambda$ 가 모든 $\overline{\lambda}<\lambda$ 에 대해 $f(\overline{\alpha})\geq\overline{\lambda}$ 를 만족하는 어떤 $\overline{\alpha}\in\alpha$ 가 존재할 때, 이를 공종이라고 부릅니다. 다시 말해, 이 사상은 $\lambda$ 안에서 임의로 높이 도달합니다.

예제 91.6.2 (공종 사상의 예).

(a)

$n\mapsto\omega^{n}$ 으로 정의되는 사상 $\omega\to\omega^{\omega}$ 는 공종적입니다.
(b)

임의의 순서수 $\alpha$ 에 대해, 항등 사상 $\alpha\to\alpha$ 는 공종적입니다.

정의 91.6.3.

$\lambda$ 를 극한 순서수라 합시다. $\lambda$ 의 공종성은 $\operatorname{cof}(\lambda)$ 로 표기하며, 공종 사상 $\alpha\to\lambda$ 가 존재하는 가장 작은 순서수 $\alpha$ 입니다.

질문 91.6.4.

왜 $\alpha$ 는 반드시 무한 기수여야 합니까?

보통 우리는 기수 $\kappa$ 의 공종성을 구하는 데 관심이 있습니다.

그림으로 표현하자면, 우주의 밑바닥에 서서 순서수의 사슬을 따라 $\kappa$ 까지 올려다본다고 상상할 수 있습니다. 여러분에게는 기관총이 있고 위쪽으로 총알을 쏘고 있으며, 임의로 높이 도달하되 $\kappa$ 보다는 작게 도달하고자 합니다. 공종성은 바로 이를 위해 필요한 총알의 개수입니다.

이제 ”대부분”의 경우 기수의 공종성은 자기 자신임을 관찰합니다.¹¹1주의하십시오 — 순서수의 공종성은 보통 자기 자신보다 엄밀하게 작습니다. 실제로 어떤 순서수의 공종성이 자기 자신이라면, 그 순서수는 반드시 기수여야 합니다. 이러한 기수를 정칙이라고 부릅니다.

예제 91.6.5 ( $\aleph_{0}$ 은 정칙적입니다).

$\operatorname{cof}(\aleph_{0})=\aleph_{0}$ 인데, 이는 $\aleph_{0}=\omega$ 의 어떤 유한 부분집합도 임의로 높이 도달할 수 없기 때문입니다.

예제 91.6.6 ( $\aleph_{1}$ 은 정칙적입니다).

$\operatorname{cof}(\aleph_{1})=\aleph_{1}$ 입니다. 실제로 어떤 가산 순서수 집합 $A=\{\alpha_{0},\alpha_{1},\dots\}\subseteq\aleph_{1}$ 이 $\aleph_{1}$ 내부에서 임의로 높이 도달한다고 가정하고 모순을 이끌어내 봅시다. 그러면 $\Lambda=\cup A$ 는 가산 순서수인데, 이는 가산 개의 가산 순서수들의 합집합이기 때문입니다. 다시 말해 $\Lambda\in\aleph_{1}$ 입니다. 그러나 $\Lambda$ 는 $A$ 의 상계이므로, 모순입니다.

반면, 정칙적이지 않은 기수도 존재합니다. 이들은 ”드문” 경우이므로 특이라고 부릅니다.

예제 91.6.7 ( $\aleph_{\omega}$ 는 정칙적이지 않습니다).

$\aleph_{0}<\aleph_{1}<\aleph_{2}<\dots$ 가 $\aleph_{0}$ 개의 항만 가지고 있음에도 불구하고 $\aleph_{\omega}$ 안에서 임의로 높은 곳까지 도달함을 주목하십시오. 따라서 $\operatorname{cof}(\aleph_{\omega})=\aleph_{0}$ 이 성립합니다.

이제 여러분이 품고 있었을지 모를 의심을 확인해 보겠습니다:

정리 91.6.8 (후속 기수는 정칙이다).

$\kappa=\overline{\kappa}^{+}$ 가 후속 기수이면, 이는 정칙입니다.

증명.

$\aleph_{1}$ 이 정칙임을 보인 증명을 그대로 따라 하겠습니다.

어떤 $\mu\leq\overline{\kappa}$ 에 대해, 기수로서 $\kappa$ 안에서 임의로 높은 곳까지 도달하는 $\mu$ 개의 집합이 존재한다고 가정하고 모순을 이끌어내겠습니다. 이 집합들 각각은 농도가 많아야 $\overline{\kappa}$ 여야 함을 주목하십시오. 이 $\mu$ 개 집합 전체의 합집합을 취하면, 상한 역할을 하는 순서수 $\Lambda$ 를 얻습니다.

이 합집합의 원소의 개수는 많아야

\#\text{집합}\cdot\#\text{원소}\leq\mu\cdot\overline{\kappa}=\overline{\kappa}

따라서 $\left\lvert\Lambda\right\rvert\leq\overline{\kappa}<\kappa$ 입니다. ∎

91.7 비가측 기수

그렇다면 극한 기수는 어떻습니까? 이들 대부분은 특이 기수인 것으로 보입니다: 만약 $\aleph_{\lambda}\neq\aleph_{0}$ 가 극한 기수라면(즉 $\lambda$ 가 극한 순서수라면), 길이가 $\lambda$ 인 수열 $\{\aleph_{\alpha}\}_{\alpha\in\lambda}$ 는 분명히 공종적입니다.

예제 91.7.1 (알레프 부동점).

다음의 거대한 기수를 생각해 봅시다

\kappa=\aleph_{\aleph_{\aleph_{\ddots}}}.

$\kappa=\aleph_{\kappa}$ 이므로 이는 무섭도록 거대해 보일 수 있지만, 다음 수열의 극한이므로 그 공종도는 $\omega$ 입니다

\aleph_{0},\aleph_{\aleph_{0}},\aleph_{\aleph_{\aleph_{0}}},\dots

더 일반적으로, 실제로 다음을 증명할 수 있습니다

\operatorname{cof}(\aleph_{\lambda})=\operatorname{cof}(\lambda).

하지만 $\lambda$ 가 너무나 커서 $\lambda=\aleph_{\lambda}$ 가 되는 것도 실제로 가능합니다.

$\aleph_{0}$ 이 아닌 정칙 극한 기수에는 특별한 이름이 있습니다: 이를 약비가측이라 합니다. 이러한 기수는 너무나 거대하여 $\mathsf{ZFC}$ 안에서 그 존재성을 증명하거나 반증하는 것이 불가능합니다. 이것이 이른바 ”큰 기수”라 불리는 것들 중 최초의 예입니다.

무한 기수 $\kappa$ 가 다음을 만족하면 이를 강극한 기수라 합니다

\forall\overline{\kappa}<\kappa\quad 2^{\overline{\kappa}}<\kappa

임의의 기수 $\overline{\kappa}$ 에 대해. 예를 들어, $\aleph_{0}$ 은 강극한 기수입니다.

질문 91.7.2.

강극한 기수가 실제로 극한 기수여야 하는 이유는 무엇입니까? (이는 얄미울 정도로 쉽습니다.)

비고 91.7.3.

극한 기수는 다음을 만족하는 영이 아닌 기수 $\kappa$ 로 동치하게 정의할 수 있습니다

\forall\overline{\kappa}<\kappa\quad(\overline{\kappa})^{+}<\kappa.

이를 강극한 기수의 정의와 비교해 보면 그 유사성을 알 수 있습니다. (이 언급은 앞선 질문에 대한 답도 함께 제공합니다.)

$\aleph_{0}$ 이 아닌 정칙 강극한 기수를 강비가측이라 합니다.

91.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 91A.

$\left\lvert V_{\omega}\right\rvert$ 를 계산하십시오.

힌트. $\sup_{k\in\omega}\left\lvert V_{k}\right\rvert$ .

문제 91B.

임의의 극한 순서수 $\alpha$ 에 대해 $\operatorname{cof}(\alpha)$ 가 정칙 기수임을 증명하십시오.

힌트. 공종 사상들을 감소하지 않도록 재배열하십시오.

문제 91C (강접근불가능 기수).

임의의 강접근불가능 기수 $\kappa$ 에 대해 $\left\lvert V_{\kappa}\right\rvert=\kappa$ 임을 보이십시오.

문제 91D (쾨니히의 정리).

모든 무한 기수 $\kappa$ 에 대해

\kappa^{\operatorname{cof}(\kappa)}>\kappa

임을 보이십시오.