장 50 미분 형식

50.1 $\mathbb{C}$ 위의 미분 형식

이 절에서는 경로 적분이 가능한 대상의 정의를 일반화하겠습니다.

정의 50.1.1 ( $\mathbb{C}$ 위의 미분 $1$ -형식).

열린집합 $U\subseteq\mathbb{C}$ 위의 $1$ -형식 $\omega$ 는 $f(z)d\operatorname{Re}+g(z)d\operatorname{Im}$ 꼴의 식이며, 여기서 $f(z)$ 와 $g(z)$ 는 매끄러운 $U\to\mathbb{C}$ 함수입니다.

여기서 매끄럽다는 것은 $\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ 함수로 해석했을 때 무한히 미분 가능함을 의미합니다.

이는 $\mathbb{R}^{2}$ 위의 $1$ -형식의 정의와 거의 동일합니다! 여기서 $\operatorname{Re}$ 와 $\operatorname{Im}$ 은 자연스러운 방식으로 $\mathbf{e}_{1}^{\vee}$ 와 $\mathbf{e}_{2}^{\vee}$ 의 역할을 합니다.

유일한 차이는, 보다시피 $f(z)$ 와 $g(z)$ 가 실수가 아닌 복소수를 반환한다는 점입니다 — 하지만 이는 대체로 큰 문제가 되지 않는데, 사영 원리(정리 43.2.1)에 의해 $1$ -형식 $\omega$ 는 실숫값 $1$ -형식의 쌍 $(\operatorname{Re}\omega,\operatorname{Im}\omega)$ 와 동치이기 때문입니다.

우리가 이렇게 하고자 하는 이유는 단순히 편의를 위한 것입니다 — 표기를 남용하여, $z$ 를 함수 $z\mapsto z$ 라고 하면, $d z$ 가 $z$ 의 변화량을 반환하는 $1$ -형식이 되기를 원합니다.

50.2 미분 형식의 시각화

$\omega$ 는 한 점을 입력받아 접공간으로부터의 $\mathbb{R}$ -선형 사상을 반환하므로, 이를 시각화하는 자연스러운 방법은 화살표 도식(quiver diagram)을 그리는 것입니다 — 각 점에 대해, 벡터 $v$ 에 대한 값 $\omega_{p}(v)$ 를 표시하며, 이는 ”점 $p$ 근처에서 $v$ 방향으로, $v$ 의 길이와 대략 같은 길이의 곡선 $c$ 를 따라 적분하면, 그 결과는 대략 표시된 값과 같다”로 해석합니다.

미분 형식 $\omega$ 를 곡선 $c$ 를 따라 적분하려면, 도식에 나타난 $c$ 의 이동 방향에 대응하는 숫자들을 단순히 합산하면 됩니다.

이러한 시각화를 바탕으로, 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예제 50.2.1 ( $1$ -형식 $d z$ ).

단지 $z$ 의 변화량일 뿐인 $d z$ 를 다음과 같이 시각화할 수 있습니다.

적분 $\int_{c}dz$ 는 벡터들의 값을 모두 더하여 계산할 수 있으며, 그 결과 $2+i$ 를 얻습니다 — 이는 실제로 곡선을 따라 이동할 때의 $z$ 의 변화량인 $0-(-2-i)=2+i$ 와 일치합니다.

화살표를 전체 길이만큼 늘어뜨리면 혼란스러울 수 있으므로, 다음과 같이 화살표를 짧게 표시하겠습니다.

예제 50.2.2 (또 다른 정칙 $1$ -형식: $d(z^{2})=2z\cdot dz$ ).

정칙 $1$ -형식이 무엇인지 아직 정의한 적은 없지만, 만약 $f(z)$ 가 정칙이면 $df(z)$ 가 정칙 $1$ -형식이어야 한다는 것이 그 정의가 만족해야 할 직관적으로 타당한 성질입니다.

어쨌든, 위와 같은 절차를 수행하여 접벡터들을 따라 $z^{2}$ 의 미분 변화량을 계산하면, 다음과 같은 결과를 얻습니다.

안타깝게도, 여전히 다소 복잡해 보입니다. 어쨌든, 보다시피 각 점 $z$ 에서 각 방향을 따라 $1$ -형식 $d(z^{2})$ 의 값은 $1$ -형식 $d z$ 의 대응하는 값의 $2z$ 배이며, 따라서 $d(z^{2})=2z\cdot dz$ 가 되도록 곱셈을 정의하는 것이 타당합니다.

예제 50.2.3 (정칙이 아닌 형식: $d\overline{z}$ ).

위의 두 예 모두에서, 각 점 $z$ 에 대해 $\omega_{z}(\mathbf{e}_{2})=i\cdot\omega_{z}(\mathbf{e}_{1})$ 임을 알 수 있으며, 여기서 $\mathbf{e}_{1}=(1,0)$ 이고 $\mathbf{e}_{2}=(0,1)$ 입니다 — 다시 말해, 벡터를 반시계 방향으로 $90\deg$ 회전시키면 미분 형식의 값에 $i$ 를 곱한 것과 같습니다.

자연스럽게 드는 의문은, 이것이 모든 $1$ -형식의 성질인가 하는 것입니다. 결론적으로는 그렇지 않습니다. (나중에 우리는 이것이 모든 정칙 $1$ -형식, 더 일반적으로는 모든 $(1,0)$ 형 $1$ -형식의 공통된 성질임을 보게 될 것입니다.)

다음 예를 생각해 봅시다: $\omega=d\overline{z}$ 라고 하면 — 이는 그저 $\overline{z}$ 값의 변화일 뿐입니다.

예제 50.2.4 (또 다른 비정칙 형식: $\overline{z}\cdot dz$ ).

매끄러운 함수 $f(z)$ 가 복소미분가능일 때에만 정칙인 것과 마찬가지로, 매끄러운 $1$ -형식 $\omega$ 가 그 미분 $d\omega$ 를 계산할 수 있을 때에만 정칙이 되도록 정칙 $1$ -형식을 정의해야 합니다.

우리는 아직 $2$ -형식을 정의하지 않았을뿐더러, $1$ -형식 $\omega$ 를 미분하여 $2$ -형식으로 만든다는 것이 무엇을 의미하는지도 정의하지 않았습니다.

50.2.1 정칙 형식

위의 예들을 염두에 두고, 다음과 같이 정의합니다:

정의 50.2.5 (복소평면 위의 정칙 $1$ -형식).

$1$ -형식 $\omega$ 는 어떤 정칙 함수 $f$ 에 대해 $f(z)\cdot dz$ 로 쓸 수 있을 때에만 정칙입니다.

그리고 몇 가지 다른 유형들도 있습니다.

정의 50.2.6 (유형 $(1,0)$ 과 유형 $(0,1)$ 의 $1$ -형식).

$1$ -형식은 매끄러운 $f$ 에 대해 국소적으로 $f(z)dz$ 의 형태일 때 유형 $(1,0)$ 입니다. 마찬가지로, $1$ -형식은 매끄러운 $f$ 에 대해 국소적으로 $f(z)d\overline{z}$ 의 형태일 때 유형 $(0,1)$ 입니다.

예제 50.2.7 (몇 가지 유형 $(1,0)$ 의 $1$ -형식).

위의 예들을 살펴봅시다:

•

정칙 형식인 $d z$ 나 $2z\cdot dz$ 는 당연히 유형 $(1,0)$ 입니다.
•

$\overline{z}\cdot dz$ 는 정칙은 아니지만 여전히 유형 $(1,0)$ 형식입니다.
•

그러나 $d\overline{z}$ 는 유형 $(1,0)$ 형식이 아닙니다.

왜 이것이 중요할까요? 위의 정의가 잘 정의되어 있다는 것은 자명하지 않다는 점에 주목하십시오 — 이는 정칙 함수가 모든 방향을 동일한 양만큼 스케일링하기 때문에 성립하는 것입니다!

직관적으로,

$(1,0)$ 형식 $\omega$ 는 $\omega_{p}(\mathbf{e}_{2})=\omega_{p}(\mathbf{e}_{1})\cdot i$ 를 만족하는 형식입니다.

50.2.2 조각들을 종합하여: 리만 곡면 위의 $1$ -형식

놀랍지 않게도, 이제 우리는 리만 곡면 위에서 $1$ -형식을 정의할 수 있습니다.

작성 예정: 이것을 작성합니다

장 50 미분 형식

50.1 ℂ 위의 미분 형식

정의 50.1.1 (ℂ 위의 미분 1-형식).

50.2 미분 형식의 시각화

예제 50.2.1 (1-형식 dz).

예제 50.2.2 (또 다른 정칙 1-형식: d(z2)=2z⋅dz).

예제 50.2.3 (정칙이 아닌 형식: dz¯).

예제 50.2.4 (또 다른 비정칙 형식: z¯⋅dz).