장 50 미분 형식

50.1 $\mathbb{C}$ 위의 미분 형식

이 절에서는 경로 적분할 수 있는 대상의 정의를 일반화하겠습니다.

정의 50.1.1 ( $\mathbb{C}$ 위의 미분 $1$ -형식).

열린집합 $U\subseteq\mathbb{C}$ 위의 $1$ -형식 $\omega$ 는 $f(z)d\operatorname{Re}+g(z)d\operatorname{Im}$ 꼴의 식이며, 여기서 $f(z)$ 와 $g(z)$ 는 매끄러운 $U\to\mathbb{C}$ 함수입니다.

여기서 매끄럽다는 것은 $\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ 함수로 해석했을 때 무한 번 미분 가능하다는 뜻입니다.

이는 $\mathbb{R}^{2}$ 위의 $1$ -형식의 정의와 거의 같습니다! 여기서 $\operatorname{Re}$ 와 $\operatorname{Im}$ 은 자명한 방식으로 $\mathbf{e}_{1}^{\vee}$ 와 $\mathbf{e}_{2}^{\vee}$ 의 역할을 합니다.

보시다시피 유일한 차이점은 $f(z)$ 와 $g(z)$ 가 실수 대신 복소수를 반환한다는 것입니다 — 하지만 이는 대체로 중요하지 않은데, 사영 원리(정리 43.2.1)에 의해 $1$ -형식 $\omega$ 는 실숫값 $1$ -형식의 쌍 $(\operatorname{Re}\omega,\operatorname{Im}\omega)$ 와 동치이기 때문입니다.

우리가 앞서 한 작업을 하려는 이유는 단지 편의 때문입니다 — 표기 남용으로 $z$ 를 함수 $z\mapsto z$ 라고 하면, $d z$ 가 $z$ 의 변화량을 돌려주는 $1$ -형식이 되기를 바라는 것입니다.

50.2 미분 형식의 시각화

$\omega$ 는 점을 받아 접공간에서의 $\mathbb{R}$ -선형 사상을 반환하므로, 이를 시각화하는 자연스러운 방법은 화살표 도식(quiver diagram)을 그리는 것입니다 — 각 점마다 벡터 $v$ 에 대해 $\omega_{p}(v)$ 의 값을 표시하며, 이를 “점 $p$ 근처에서 $v$ 의 방향으로 길이가 대략 $v$ 의 길이인 곡선 $c$ 를 적분하면, 그 결과는 대략 표시된 값이 된다”는 뜻으로 해석합니다.

미분 형식 $\omega$ 를 곡선 $c$ 를 따라 적분하려면, 도식에 나타난 $c$ 의 이동 방향에 해당하는 수들을 더하기만 하면 됩니다.

이 시각화를 바탕으로 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예제 50.2.1 ( $1$ -형식 $d z$ ).

단지 $z$ 의 변화량인 $d z$ 는 다음과 같이 시각화할 수 있습니다.

적분 $\int_{c}dz$ 는 벡터들의 값을 모두 더하여 계산할 수 있으므로 $2+i$ 를 얻습니다 — 이는 실제로 곡선을 따라 이동할 때의 $z$ 의 변화량인 $0-(-2-i)=2+i$ 와 같습니다.

화살표가 전체 길이만큼 뻗어 있으면 혼란스러울 수 있으므로, 다음과 같이 화살표를 짧게 그리겠습니다.

예제 50.2.2 (또 다른 정칙 $1$ -형식: $d(z^{2})=2z\cdot dz$ ).

정칙 $1$ -형식이 무엇인지 정의한 적은 없지만, 그 정의가 다음을 만족하는 것이 직관적으로 타당합니다: $f(z)$ 가 정칙이면 $df(z)$ 는 정칙 $1$ -형식이어야 합니다.

어쨌든 위와 같은 절차를 수행하여 접벡터를 따라 $z^{2}$ 의 미분 변화량을 계산하면 다음을 얻습니다.

안타깝게도 어떻게 하든 조금 복잡해집니다. 어쨌든 보시다시피 각 점 $z$ 에서 각 방향에 대해 $1$ -형식 $d(z^{2})$ 의 값은 $1$ -형식 $d z$ 의 대응하는 값의 $2z$ 배이므로, $d(z^{2})=2z\cdot dz$ 가 되도록 곱셈을 정의하는 것이 타당합니다.

예제 50.2.3 (정칙이 아닌 형식: $d\overline{z}$ ).

위의 두 예 모두에서 각 점 $z$ 에 대해 $\omega_{z}(\mathbf{e}_{2})=i\cdot\omega_{z}(\mathbf{e}_{1})$ 임을 알 수 있으며, 여기서 $\mathbf{e}_{1}=(1,0)$ 이고 $\mathbf{e}_{2}=(0,1)$ 입니다 — 다시 말해, 벡터를 반시계 방향으로 $90\deg$ 회전하면 미분 형식의 값에 $i$ 가 곱해집니다.

자연스럽게 드는 질문은 다음과 같습니다: 이것이 모든 $1$ -형식의 성질입니까? 그렇지 않은 것으로 밝혀집니다. (나중에 이것이 모든 정칙 $1$ -형식, 더 일반적으로는 모든 $(1,0)$ 형 $1$ -형식의 공통된 성질임을 보게 될 것입니다.)

다음 예를 생각해 봅시다. $\omega=d\overline{z}$ 라고 합시다. 이는 단순히 $\overline{z}$ 의 값의 변화입니다.

예제 50.2.4 (정칙이 아닌 또 다른 형식은 $\overline{z}\cdot dz$ 입니다.).

매끄러운 함수 $f(z)$ 가 복소 미분 가능할 때, 그리고 그때에만 정칙인 것과 마찬가지로, 정칙 $1$ -형식도 매끄러운 $1$ -형식 $\omega$ 의 미분 $d\omega$ 를 계산할 수 있을 때, 그리고 그때에만 $\omega$ 가 정칙이 되도록 정의해야 합니다.

물론 우리는 아직 $2$ -형식을 정의하지 않았으며, $1$ -형식 $\omega$ 를 미분하여 $2$ -형식을 얻는다는 것이 무엇을 의미하는지도 정의하지 않았습니다.

50.2.1 정칙 형식

위의 예들을 염두에 두고 다음과 같이 정의합니다.

정의 50.2.5 (복소평면 위의 정칙 $1$ -형식).

$1$ -형식 $\omega$ 는 어떤 정칙 함수 $f$ 에 대하여 $f(z)\cdot dz$ 로 쓸 수 있을 때, 그리고 그때에만 정칙입니다.

그리고 몇 가지 다른 유형도 정의합니다.

정의 50.2.6 ( $(1,0)$ 형 및 $(0,1)$ 형 $1$ -형식).

$1$ -형식이 매끄러운 $f$ 에 대하여 국소적으로 $f(z)dz$ 꼴이면 이를 $(1,0)$ 형이라고 합니다. 마찬가지로, $1$ -형식이 매끄러운 $f$ 에 대하여 국소적으로 $f(z)d\overline{z}$ 꼴이면 이를 $(0,1)$ 형이라고 합니다.

예제 50.2.7 (몇 가지 $(1,0)$ 형 $1$ -형식).

위의 예들을 살펴보면 다음과 같습니다.

•

정칙 형식인 $d z$ 나 $2z\cdot dz$ 는 물론 $(1,0)$ 형입니다.
•

$\overline{z}\cdot dz$ 는 정칙이 아니지만 여전히 $(1,0)$ 형 형식입니다.
•

그러나 $d\overline{z}$ 는 $(1,0)$ 형 형식이 아닙니다.

이것이 왜 중요할까요? 위의 정의가 잘 정의된다는 사실은 자명하지 않다는 점에 유의하십시오. 이 정의는 정칙 함수가 모든 방향을 같은 비율로 늘이거나 줄이기 때문에 비로소 의미를 가집니다!

직관적으로,

$(1,0)$ 형식 $\omega$ 는 $\omega_{p}(\mathbf{e}_{2})=\omega_{p}(\mathbf{e}_{1})\cdot i$ 를 만족하는 형식입니다.

50.2.2 종합하기: 리만 곡면 위의 $1$ -형식

이제 당연하게도 리만 곡면 위의 $1$ -형식을 정의할 수 있습니다.

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장 50 미분 형식

50.1 ℂ 위의 미분 형식

정의 50.1.1 (ℂ 위의 미분 1-형식).

50.2 미분 형식의 시각화

예제 50.2.1 (1-형식 dz).

예제 50.2.2 (또 다른 정칙 1-형식: d(z2)=2z⋅dz).

예제 50.2.3 (정칙이 아닌 형식: dz¯).

예제 50.2.4 (정칙이 아닌 또 다른 형식은 z¯⋅dz입니다.).