장 70 아벨 범주

이 장에서는 좀 더 친숙한 개념들을 범주론적 언어로 번역하겠습니다. 이를 위해서는 우리의 범주에 대한 몇 가지 추가적인 가정이 필요하며, 그 정점에는 이른바 “아벨 범주”의 정의가 있습니다. 이것이 끝나면, “도식 추적”이라는 것이 무엇에 관한 것인지 말씀드릴 수 있을 것입니다.

이 장 전체에서 “ $\hookrightarrow$ ”는 단사 사상을 나타내는 데, “ $\twoheadrightarrow$ ”는 전사 사상을 나타내는 데 사용됩니다.

70.1 영 대상, 핵, 여핵, 그리고 상

대표적인 예: $\mathsf{Grp}$ 에서, 자명군과 준동형사상이 영 대상과 영 사상입니다. $G$ , $H$ 가 아벨 군이면 $\phi\colon G\to H$ 의 여핵은 $H/\operatorname{im}\phi$ 입니다.

범주의 영 대상은 시작 대상이면서 동시에 끝 대상인 대상 $0$ 이며, 물론 유일한 동형사상까지 유일합니다. 예를 들어, $\mathsf{Grp}$ 에서 영 대상은 자명군이고, $\mathsf{Vect}_{k}$ 에서는 한 점으로 이루어진 0차원 벡터 공간이며, 그런 식으로 계속됩니다.

질문 70.1.1.

$\mathsf{Set}$ 과 $\mathsf{Top}$ 에는 영대상이 없음을 보이십시오.

이 장의 나머지 부분에서는 모든 범주가 영대상을 갖는다고 하겠습니다.

영대상을 갖는 범주 $\mathcal{A}$ 에서, 임의의 두 대상 $A$ 와 $B$ 는 따라서 특별한 사상을 하나 갖습니다

A\to 0\to B

이는 영 사상이라 불리며 마찬가지로 $0$ 으로 표기됩니다. 예를 들어 $\mathsf{Grp}$ 에서 이는 자명한 준동형사상입니다.

이제 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

정의 70.1.2.

사상 $A\xrightarrow{f}B$ 를 생각해봅시다. 핵은 이 사상과 사상 $A\xrightarrow{0}B$ 의 등화자로 정의됩니다. 따라서 이는 다음을 만족하는 사상 $\ker f\colon\operatorname{Ker}f\hookrightarrow A$ 입니다.

가 가환하며, 게다가 같은 성질을 갖는 다른 어떤 사상도 $\operatorname{Ker}f$ 를 통해 유일하게 분해됩니다(즉 이 성질에 대해 보편적입니다). 문제 69A에 의해 $\ker f$ 는 단사 사상이며, 이것이 “ $\hookrightarrow$ ”의 사용을 정당화합니다.

우리는 사상을 나타내는 데 $\ker f$ 를, 대상을 나타내는 데 $\operatorname{Ker}f$ 를 사용하고 있음에 주목하십시오. 마찬가지로 쌍대 개념인 여핵을 정의합니다:

정의 70.1.3.

사상 $A\xrightarrow{f}B$ 를 생각해 봅시다. $f$ 의 여핵은 다음을 만족하는 사상 $\operatorname{coker}f\colon B\twoheadrightarrow\operatorname{Coker}f$ 입니다

가 가환하며, 게다가 같은 성질을 갖는 다른 어떤 사상도 $\operatorname{Coker}f$ 를 통해 유일하게 분해됩니다(즉 이 성질에 대해 보편적입니다). 따라서 이는 이 사상과 사상 $A\xrightarrow{0}B$ 의 “쌍대등화자”입니다. 문제 69A의 쌍대에 의해 $\operatorname{coker}f$ 는 전사 사상이며, 이것이 “ $\twoheadrightarrow$ ”의 사용을 정당화합니다.

사상 $A\xrightarrow{f}B$ 의 여핵을 “ $f$ 의 상으로 나눈 $B$ ”라고 생각하십시오.

예제 70.1.4 (여핵).

사상 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\to D_{12}=\left\langle r,s\mid r^{6}=s^{2}=1,rs=sr^{-1}\right\rangle$ 을 생각해 봅시다. 그러면 $\mathsf{Grp}$ 에서 이 사상의 여핵은 $D_{12}/\left\langle r\right\rangle\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 입니다.

준동형사상의 상이 일반적으로 공역에서 정규가 아닐 수 있으므로, 이는 항상 우리가 원하는 대로 되지는 않습니다. 그럼에도 불구하고 이를 이용하여 다음을 정의할 수 있습니다:

정의 70.1.5.

$A\xrightarrow{f}B$ 의 상은 $\operatorname{coker}f$ 의 핵입니다. 이를 $\operatorname{Im}f=\operatorname{Ker}(\operatorname{coker}f)$ 로 표기합니다. 이로부터 유일한 사상 $\operatorname{im}f\colon A\to\operatorname{Im}f$ 가 주어집니다.

이것이 존재할 때, 이는 우리의 구체적인 “상”의 개념과 일치합니다. 그림으로 나타내면:

$\operatorname{Im}f$ 의 보편성에 의해, 전체 도식을 가환하게 만드는 유일한 사상 $\operatorname{im}f\colon A\to\operatorname{Im}f$ 가 존재함을 알 수 있음에 주목하십시오.

70.2 가법 범주와 아벨 범주

대표적인 예: $\mathsf{Ab}$ , $\mathsf{Vect}_{k}$ , 또는 더 일반적으로 $\mathsf{Mod}_{R}$ .

이제 가법 범주와 아벨 범주의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 이 개념이 가장 유용하게 쓰이는 범주의 유형입니다.

정의 70.2.1.

가법 범주 $\mathcal{A}$ 란 다음을 만족하는 것입니다:

•

$\mathcal{A}$ 는 영대상을 가지며, 임의의 두 대상은 곱을 가집니다.
•

더 중요한 것은: 모든 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)$ 가 (가법적으로 표기된) 아벨 군을 이루며, 합성이 덧셈에 대해 분배된다는 것입니다:

$(g+h)\circ f=g\circ f+h\circ f\quad\text{그리고}\quad f\circ(g+h)=f\circ g+f\circ h.$

영 사상이 각 군의 항등원 역할을 합니다.

요컨대:

가법 범주에서는 두 사상을 더할 수 있습니다.

어차피 이는 원소에 대해 이야기할 수 없는 상황에서 유일하게 말이 되는 정의입니다.

정의 70.2.2.

아벨 범주 $\mathcal{A}$ 란 임의의 사상 $A\xrightarrow{f}B$ 에 대해 다음과 같은 추가적인 성질을 갖는 것입니다,

•

핵과 여핵이 존재하고,
•

사상이 상을 통해 인수분해되어 $\operatorname{im}(f)$ 가 전사 사상이 되는 것입니다.

그러면, 이는 다음 도식을 낳습니다

예제 70.2.3 (아벨 범주의 예시).

(a)

$\mathsf{Vect}_{k}$ , $\mathsf{Ab}$ 는 아벨 범주이며, 여기서 $f+g$ 는 통상적인 의미를 가집니다.
(b)

이를 일반화하면, $R$ -가군의 범주 $\mathsf{Mod}_{R}$ 은 아벨 범주입니다.
(c)

$\mathsf{Grp}$ 는 가법 범주조차 되지 못하는데, 사상 쌍에 교환 가능한 덧셈을 부여할 방법이 없기 때문입니다.

이제부터는 가법 범주는 기본적으로 잊어도 되며, 우리는 아벨 범주에서 작업하게 될 것입니다.

일반적으로, 어떤 범주가 아벨 범주라고 가정하면, 이러한 핵, 여핵, … 이 가질 것으로 기대하는 모든 성질이 실제로 성립합니다. 예를 들면,

명제 70.2.4 (단사 사상 $\iff$ 자명한 핵).

사상 $A\xrightarrow{f}B$ 가 단사 사상인 것은 그 핵이 $0\to A$ 인 것과 동치입니다. 쌍대적으로, $A\xrightarrow{f}B$ 가 전사 사상인 것은 그 여핵이 $B\to 0$ 인 것과 동치입니다.

증명.

쉬운 방향은 다음과 같습니다:

연습문제 70.2.5.

$A\xrightarrow{f}B$ 가 단사 사상이면 $0\to A$ 가 핵임을 보이십시오. (이는 비아벨 범주에서도 성립합니다.)

물론 핵은 동형사상까지 유일하므로, 단사 사상 $\implies$ $0$ 핵입니다. 반대로, $0\to A$ 가 $A\xrightarrow{f}B$ 의 핵이라고 가정합시다. 이를 위해 이제 기저 준동형사상들의 군 구조를 활용할 수 있습니다. 다음 도식을 가정합시다.

가환이라고 가정합시다. 그러면 $(g-h)\circ f=g\circ f-h\circ f=0$ 이 되어, 우리는 가환 도식에 도달하게 됩니다.

그러나 $0\to A$ 가 핵이므로 $g-h$ 가 $0$ 을 통해 인수분해되며, 따라서 $g-h=0\implies g=h$ 이고, 이는 곧 $f$ 가 단사 사상임을 뜻합니다. ∎

명제 70.2.6 (동형사상 $\iff$ 단사 사상이면서 전사 사상).

아벨 범주에서, 어떤 사상이 동형사상인 것과 그것이 단사 사상이면서 전사 사상인 것은 동치입니다.

증명.

생략합니다. (뒤에서 제시되는 미첼 매장 정리는 어차피 작은 부분 범주를 살펴봄으로써, 우리가 관심을 갖는 대부분의 상황에 대해 이를 함의합니다.) ∎

70.3 완전열

대표적인 예: $0\to G\to G\times H\to H\to 0$ 은 완전합니다.

완전열은 호몰로지 군에 대해 배우기 전까지는 극도로 동기가 부족해 보일 것인데, 호몰로지 군은 완전열이 등장하는 가장 자연스러운 곳 중 하나입니다. 이를 감안하면, 호몰로지 군에 관한 장을 이 장과 동시에 읽어보는 것이 도움이 될 수 있습니다.

먼저, 일반적인 범주론적 정의의 동기를 제공하기 위해 군에 대한 정의를 서술하겠습니다. 다음과 같은 군의 열은

G_{0}\xrightarrow{f_{1}}G_{1}\xrightarrow{f_{2}}G_{2}\xrightarrow{f_{3}}\dots% \xrightarrow{f_{n}}G_{n}

$f_{k}$ 의 상이 $f_{k+1}$ 의 핵일 때 $G_{k}$ 에서 완전이라고 합니다. 수열 전체가 $k=1,\dots,n-1$ 에서 완전이면 그 수열 전체가 완전이라고 합니다.

예제 70.3.1 (완전열).

(a)

다음 열은

$0\to\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\overset{\times 5}{\hookrightarrow}\mathbb{Z}/15% \mathbb{Z}\twoheadrightarrow\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\to 0$

완전합니다. 사실, $0\to G\hookrightarrow G\times H\twoheadrightarrow H\to 0$ 은 일반적으로 완전합니다. (여기서 $0$ 은 자명군을 나타냅니다.)
(b)

군에 대해, 사상 $0\to A\to B$ 가 완전한 것은 $A\to B$ 가 단사인 것과 동치입니다.
(c)

군에 대해, 사상 $A\to B\to 0$ 이 완전한 것은 $A\to B$ 가 전사인 것과 동치입니다.

원형적인 예시를 살펴보면, 사실 짧은 완전열( $0\to A\to B\to C\to 0$ 형태의 완전열)은 세상에서 가장 자연스러운 것입니다:

이는 기본적으로 그저 방정식 $C=B/A$ 일 뿐입니다.

“짧은 완전열 $0\to A\to B\to C\to 0$ 이 존재한다”는 표현을 볼 때마다, 이를 머릿속으로 “ $C\cong B/A$ ”로 번역할 수 있습니다. 다만 약간의 차이가 있습니다: 군은 숫자보다 더 많은 구조를 가지므로, 이 열은 사상에 대한 정보도 담고 있습니다 — $A$ 를 $B$ 의 부분군으로 식별하는 사상, 그리고 $C$ 를 몫군 $B/A$ 로 식별하는 사상 말입니다.

예제 70.3.2 (더 많은 완전열).

(a)

다음 열은

$0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{\times 3}\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to 0$

짧게 완전합니다.
(b)

다음도 마찬가지입니다

$0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{\times 5}\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\to 0.$

보시다시피, “ $C\cong B/A$ ”라는 서술된 방정식은 완전히 정확하지는 않으며, $C$ 가 무엇인지를 결정하는 데에는 사상 $A\to B$ 도 중요합니다. 이는 흔히 쓰이는 표기법도 설명해줍니다: 사상 $\mathbb{Z}\xrightarrow{\times 3}\mathbb{Z}$ 의 상은 보통 $3\mathbb{Z}$ 로 표기되며, 따라서 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\frac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}$ 입니다.

이제, 이 정의를 일반적인 아벨 범주 $\mathcal{A}$ 에서 모방하고자 합니다. 그러므로, $A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C$ 가 완전할 때에 대한 기준을 적어봅시다. 우선 $g\circ f=0$ 이어야 하는데, 이는 $\operatorname{im}(f)\subseteq\ker(g)$ 라는 사실을 나타냅니다. 관련된 모든 대상을 추가하면, 아래의 가환 도식을 얻습니다.

여기서 사상 $A\twoheadrightarrow\operatorname{Im}f$ 는 전사 사상인데, $\mathcal{A}$ 가 아벨 범주라고 가정하고 있기 때문입니다. 따라서, 다음이 성립합니다

0=(g\circ\iota)\circ\operatorname{im}f=g\circ(\iota\circ\operatorname{im}f)=g% \circ f=0

하지만 $\operatorname{im}f$ 가 전사 사상이므로, 이는 $g\circ\iota=0$ 을 의미합니다. 그러므로 유일한 사상 $\operatorname{Im}f\to\operatorname{Ker}g$ 가 존재하며, 우리는 이 도식이 가환할 것을 요구합니다. 요컨대,

정의 70.3.3.

$\mathcal{A}$ 를 아벨 범주라 합시다. 다음 열은

\dots\to A_{n-1}\xrightarrow{f_{n}}A_{n}\xrightarrow{f_{n+1}}A_{n+1}\to\dots

$f_{n+1}\circ f_{n}=0$ 이고 표준 사상 $\operatorname{Im}f_{n}\to\operatorname{Ker}f_{n+1}$ 이 동형사상이면 $A_{n}$ 에서 완전합니다. 전체 열은 각 $A_{i}$ 에서 완전하면 완전합니다. (유한열의 경우 맨 처음과 맨 마지막 대상에는 조건을 부과하지 않습니다.)

연습문제 70.3.4.

이전과 마찬가지로, $0\to A\to B$ 가 완전열인 것 $\iff$ $A\to B$ 가 단사 사상인 것임을 보이십시오.

70.4 프레이드-미첼 매장 정리

이제 프레이드-미첼 매장 정리를 소개하는데, 이는 본질적으로 임의의 아벨 범주가 구체적인 범주로 실현될 수 있음을 말합니다.

정의 70.4.1.

범주는 $\operatorname{obj}(\mathcal{A})$ 가 (클래스가 아니라) 집합일 때, 즉 ” $\mathcal{A}$ 의 모든 대상들의 집합”이 존재할 때 작다고 합니다. 예를 들어, $\mathsf{Set}$ 은 모든 집합들의 집합이 존재하지 않으므로 작지 않습니다.

정리 70.4.2 (프레이드-미첼 매장 정리).

$\mathcal{A}$ 를 작은 아벨 범주라 합시다. 그러면 ( $1$ 을 가지지만 가환이 아닐 수도 있는) 환 $R$ 과, 왼쪽 $R$ -가군의 범주로 가는 충만하고 충실하며 완전한 함자가 존재합니다.

여기서 함자는 완전열을 보존할 때 완전하다고 합니다. 이 정리가 좋은 이유는 다음을 의미하기 때문입니다.

임의의 아벨 범주에서 성립하는 온갖 이상한 정의들을 대체로 잊어버릴 수 있습니다.

아벨 범주에 관한 명제를 마주할 때는 언제나, 단사/전사/핵/상/완전 등이 여러분의 기존 개념과 일치하는 ”구체적인” 범주에 대해서만 증명하면 충분합니다.

비고 70.4.3.

”작다”는 조건은 $\mathcal{A}$ 의 대상들이 실제로 집합을 이루도록 요구하는 기술적 장애물입니다. 저는 이 구별을 무시하겠는데, 충분한 집합론적 기교를 부리면 이를 거의 항상 우회할 수 있기 때문입니다.

예를 들어, 다음을 증명해 봅시다.

보조정리 70.4.4 (짧은 다섯 개 보조정리).

아벨 범주에서 다음의 가환 도식을 생각합시다.

위쪽과 아래쪽 행이 완전하다고 가정합시다. $\alpha$ 와 $\gamma$ 가 동형사상이면, $\beta$ 도 동형사상입니다.

증명.

우리는 $\beta$ 가 전사 사상임을 증명합니다 (단사 사상을 얻는 증명도 비슷합니다). 매장 정리에 의해 이 범주를 어떤 $R$ 에 대한 $R$ -가군으로 취급할 수 있습니다. 이는 우리 범주를 $R$ -가군으로 구체적으로 해석하여 그림 속 원소들을 이리저리 옮기는, 이른바 ”도식 추적”을 할 수 있게 해줍니다.

$b^{\prime}$ 를 $B^{\prime}$ 의 원소라 합시다. 그러면 $c^{\prime}\coloneqq q^{\prime}(b^{\prime})\in C^{\prime}$ 이고, $\gamma$ 가 전사이므로 $\gamma(c)=c^{\prime}$ 인 $c$ 가 있으며, 마지막으로 $q(b)=c$ 인 $b\in B$ 가 있습니다. 그림:

그런데 $\beta(b)=b^{\prime}$ 가 반드시 성립하는 것은 아닙니다. 하지만 도식이 가환이므로 적어도 다음이 성립합니다.

q^{\prime}(b^{\prime})=q^{\prime}(\beta(b))

따라서 $b^{\prime}-\beta(b)\in\operatorname{Ker}q^{\prime}=\operatorname{Im}p^{\prime}$ 이고, $p^{\prime}(a^{\prime})=b^{\prime}-\beta(b)$ 인 $a^{\prime}\in A^{\prime}$ 가 존재합니다. 이제 $\alpha$ 를 이용하여 이를 $a\in A$ 로 끌어올립니다. 그림:

그러면 다음을 얻습니다.

\beta(b+p(a))=\beta b+\beta pa=\beta b+p^{\prime}\alpha a=\beta b+(b^{\prime}-% \beta b)=b^{\prime}

따라서 $b^{\prime}\in\operatorname{Im}\beta$ 이며, 이로써 $\beta$ 가 전사임의 증명이 완성됩니다. ∎

일반적으로, (매장 정리를 사용하든 사용하지 않든) 위와 같은 스타일의 증명은 종종 도식 추적이라는 이름으로 불립니다. 이 용어에 정확한 정의가 있는지는 잘 모르겠지만, 다음은 알루피[ALU09]의 인용문입니다.

뱀 보조정리 [문제 70C]를 증명하는 일은 공개적으로 해서는 안 되는 일이며, 다른 사람들이 읽도록 검증의 세부 사항을 적어 두는 것은 악명 높게도 쓸모없습니다. 그 세부 사항들은 본질적으로 모두 자명하지만, 순식간에 표기법의 수렁으로 빠져들게 됩니다. 이러한 증명들은 통틀어 도식 추적이라는 스포츠로 알려져 있으며, 칠판 위 도식의 서로 다른 부분들을 여러 손가락으로 가리키면서 자신이 다루고 있는 원소들을 소리 내어 말하고 그것들의 운명을 진술하는 방식으로 가장 잘 수행됩니다.

70.5 긴 완전열 쪼개기

대표적인 예: 제1 동형사상 정리.

실제로, 임의의 완전열은 짧은 완전열들로 나뉜다는 것이 밝혀집니다. 이는 다음에 의존합니다:

명제 70.5.1 (아벨 범주에서의 ”제1 동형사상 정리”).

$A\xrightarrow{f}B$ 를 아벨 범주의 사상이라 합시다. 그러면 다음과 같은 완전열이 존재합니다

0\to\operatorname{Ker}f\xrightarrow{\ker f}A\xrightarrow{\operatorname{im}f}% \operatorname{Im}f\to 0.

예제 70.5.2.

아벨 범주의 두 가지 예시에서 이 정리를 분석해 봅시다:

(a)

아벨 군의 범주에서, 이는 본질적으로 제1 동형사상 정리입니다.
(b)

범주 $\mathsf{Vect}_{k}$ 에서, 이는 계수-퇴화차수 정리, 정리 9.7.7에 해당합니다.

따라서, 임의의 완전열은 다음과 같이 짧은 완전열들로 나뉠 수 있습니다

여기서 모든 $k$ 에 대해 $C_{k}=\operatorname{im}f_{k-1}=\ker f_{k}$ 입니다.

70.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 70A (네 보조정리).

아벨 범주에서, 다음 가환 도식을 고려합시다

여기서 첫 번째와 두 번째 행은 완전합니다. $\alpha$ 가 전사 사상이고, $\beta$ 와 $\delta$ 가 단사 사상이면, $\gamma$ 가 단사 사상임을 증명하십시오.

풀이. $\gamma(c)=0$ 인 $c\in C$ 가 있다고 합시다. $c=0$ 임을 보이겠습니다. 이는 다음과 같은 도식 추적으로 진행됩니다:

•

$0=r^{\prime}(\gamma(c))=\delta(r(c))$ 임에 유의하십시오. $\delta$ 가 단사이므로, $r(c)=0$ 이 따라 나옵니다.

•

위쪽 행이 완전하므로, 어떤 $b\in B$ 에 대해 $c=q(b)$ 가 따라 나옵니다.

•

그러면 $q^{\prime}(\beta(b))=0$ 이므로, $b^{\prime}=\beta(b)$ 라 하면 $b^{\prime}\in\ker(q^{\prime})$ 입니다. 아래쪽 행이 완전하므로, $p^{\prime}(a^{\prime})=b^{\prime}$ 인 $a^{\prime}$ 가 존재합니다.

•

$\alpha$ 가 전사이므로, $\alpha(a)=a^{\prime}$ 인 $a\in A$ 가 존재합니다.

•

$\beta$ 가 단사이므로, $p(a)=b$ 가 따라 나옵니다.

•

위쪽 행이 완전하고, $b$ 가 $p$ 의 상에 속하므로, 필요한 대로 $0=q(b)=c$ 가 따라 나옵니다.

문제 70B (다섯 보조정리).

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