장 84 아핀 스킴: 자리스키 위상

이제 층에 대해 잘 이해했으므로, 아핀 스킴을 정의할 수 있습니다. 이는 환달린 공간(ringed space)이 될 것이므로, 다음을 정의해야 합니다.

•

점들의 집합,
•

그 위의 위상, 그리고
•

그 위의 구조층.

이 장에서는 처음 두 부분을 다루며, 장 85에서 마지막 부분을 다룹니다.

간단한 참고 사항: 장 86에는 아핀 스킴의 예시가 길게 나열되어 있습니다. 따라서 이 장에서 서술된 내용이 이해되지 않는다면, 장 86를 훑어보며 그곳의 예시들이 더 도움이 되는지 살펴보는 것도 시도해 볼 만합니다.

84.1 조금 더 예고하자면

$\operatorname{Spec}A$ 의 구성이 무엇을 할 것인지 설명해 보겠습니다.

$\mathbb{A}^{n}$ 의 경우, 점들의 집합으로 $\mathbb{C}^{n}$ 을, 함수의 환으로 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 을 사용했으며, 그 후 $\mathbb{C}^{n}$ 의 점들의 집합이 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 의 극대 아이디얼과 대응한다는 것을 언급했습니다. 아핀 스킴에서는 임의의 환 $A$ 를 취하여, $A$ 자체만으로부터 전체 구조를 생성할 것입니다. 그 최종 결과를 $\operatorname{Spec}A$ , 즉 $A$ 의 스펙트럼이라 부릅니다. 앞서 만났던 아핀 대수다양체 $\mathcal{V}(I)$ 는 그저 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[\mathcal{V}(I)]=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x_% {1},\dots,x_{n}]/I$ 가 될 것이지만, 이제는 어떤 아이디얼 $I$ 도 취할 수 있게 되어, 마침내 ”아핀 대수다양체” 장 끝의 표를 완성하게 됩니다.

이 점을 강조하자면:

아핀 대수다양체 $V$ 에 대해, 좌표환 $\mathbb{C}[V]$ 의 스펙트럼은 $V$ 입니다.

따라서 $\operatorname{Spec}$ 을 대역 절단의 환을 취하는 연산의 반대 연산으로 생각할 수도 있는데, 이는 순전히 대수적으로 정의되어 아핀 대수다양체 자체의 내재적 성질(환 $\mathcal{O}_{V}$ )에만 의존하고 embedding에는 의존하지 않도록 되어 있습니다.

이러한 방식으로 아핀 스킴을 구성하면 세 가지 큰 일반화가 이루어질 것입니다:

1.

더 이상 대수적으로 닫힌 체 $\mathbb{C}$ 위에서 작업할 필요가 없으며, 심지어 체 위에서 작업할 필요조차 없습니다. 이는 가장 무난한 일반화가 될 것입니다: 이를 위해 현재의 그림을 크게 조정할 필요는 없을 것입니다.
2.

우리는 근기(radical)가 아닌 아이디얼도 허용합니다: $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]/(x^{2})$ 는 우리가 그토록 오래 찾아왔던 이중점이 될 것입니다. 이는 ”두꺼운” 혹은 ”흐릿한” 점이라는 개념을 형식화할 수 있게 해 줄 것입니다.
3.

우리의 아핀 스킴에는 이른바 비닫힌점이 존재할 것입니다: 이는 공간 어딘가에 떠다니고 있지만 어느 특정한 곳에도 있지 않은 것으로 시각화할 수 있는 점들입니다. (이들은 극대가 아닌 소 아이디얼에 대응할 것입니다.) 이것들은 익숙해지는 데 가장 오랜 시간이 걸리겠지만, 나아가면서 이러한 비닫힌점들이 실제로는 그 모습을 파악하고 나면 삶을 더 쉽게 만들어 준다는 것을 알게 될 것입니다.

84.2 점들의 집합

대표적인 예: $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]/I$ .

환 $A$ 에 대한 첫 번째 놀라움:

정의 84.2.1.

집합 $\operatorname{Spec}A$ 는 $A$ 의 소 아이디얼들의 집합으로 정의됩니다.

이는 다소 놀랍게 느껴질 수 있는데, $\operatorname{Spec}A$ 에는 그저 극대 아이디얼만 있어야 한다고 추측했을 수도 있기 때문입니다. 그렇다면 나머지 아이디얼들은 무엇에 대응할까요? 답은, 이들이 이른바 비닫힌점 또는 생성점이 되어 공간 ”어딘가에” 있지만 어느 특정한 곳에도 있지 않다는 것입니다. (”비닫힌”이라는 이름은 다음 장에서 설명됩니다.)

비고 84.2.2.

여느 때와 마찬가지로 $A$ 자체는 소 아이디얼이 아니지만, $(0)$ 은 $A$ 가 정역일 때만, 그리고 그럴 때에만 소 아이디얼입니다.

예제 84.2.3 (스펙트럼의 예시).

(a)

$\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 는 모든 $a\in\mathbb{C}$ 에 대해 점 $(x-a)$ 를 포함하며, 이들은 우리가 기하학적으로 $\mathbb{A}^{1}$ 로 생각하는 것에 대응합니다. 여기에 더하여 점 $(0)$ 도 포함되는데, 이는 어느 특정한 곳에도 있지 않은 ”비닫힌점”으로 생각됩니다.
(b)

$\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 는 점 $(x-a,y-b)$ (극대 아이디얼들)뿐만 아니라 다시 $(0)$ 도 포함하는데, 이는 “ $\mathbb{C}^{2}$ 의 어딘가에 있지만 특정할 수 없는 곳”으로 여겨지는 닫혀 있지 않은 점입니다. 또한 기약다항식 $f(x,y)$ 에 대응하는 닫혀 있지 않은 점들도 포함하는데, 예를 들어 $(y-x^{2})$ 는 “포물선 위의 일반점”입니다.
(c)

$k$ 가 체라면, $\operatorname{Spec}k$ 는 하나의 점으로 이루어지는데, 이는 $k$ 의 유일한 극대 아이디얼이 $(0)$ 이기 때문입니다.

예제 84.2.4 (복소 아핀 대수다양체).

$I\subseteq\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 를 아이디얼이라고 합시다. 명제 83.6.1에 의해, 집합

\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]/I

은 $I$ 를 포함하는 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 의 소 아이디얼들로 이루어집니다: 다시 말해, $\mathcal{V}(I)$ 의 모든 닫힌 기약 부분다양체마다 하나의 점을 가집니다. 따라서 (극대 아이디얼 $(x_{1}-a_{1},\dots,x_{n}-a_{n})$ 에 대응하는) “기하적인 점”들 외에도, 각 대수다양체를 따라 닫혀 있지 않은 점들이 있습니다.

닫혀 있지 않은 점들은 여러분에게 익숙하지 않은 것들입니다: 극대가 아닌 소 아이디얼마다 하나씩 존재합니다(”기약 부분다양체”로 시각화됩니다). 저는 이들을 머릿속에서 파리처럼 시각화하기를 좋아합니다: 파리 소리를 들을 수 있으므로 방 안 어딘가에 떠 있다는 것은 알지만, 항상 움직이고 있기 때문에 정확히 어디에 있는지는 결코 알 수 없습니다. 그래서 소 아이디얼 $(0)$ 에 대응하는 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 의 일반점은 평면 전체에 떠 있고, 아이디얼 $(y-x^{2})$ 에 대응하는 점은 포물선을 따라 떠 있는 식입니다.

[45]에서 가져온 이미지입니다.

비고 84.2.5 (소 극대 아이디얼이 아닌 아이디얼들이 왜 포물선 전체에 대응하지 않을까요?).

이에 대한 기하학적인 이유는 앞서 절 83.4에서 이미 살펴보았습니다: 환을 극대 아이디얼이 아닌 소 아이디얼에서 국소화하면 포물선의 어딘가에서 발산할 수 있지만 일반적으로는 그렇지 않은 함수들을 얻게 됩니다.

예제 84.2.6 (스펙트럼의 추가 예시).

(a)

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 는 모든 소수 $p$ 마다 하나의 점을 가지며, 여기에 더해 어딘가에 있지만 특정할 수 없는 일반점 하나를 가집니다.
(b)

$\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]/(x^{2})$ 는 $(x)$ 만을 소 아이디얼로 가집니다. $0=x\cdot x$ 이므로 아이디얼 $(0)$ 은 소 아이디얼이 아닙니다. 따라서 위상 공간으로서, $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]/(x^{2})$ 는 한 점으로 이루어집니다.
(c)

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$ 는 세 개의 점으로 이루어집니다. 그것들은 무엇입니까?

84.3 스펙트럼 위의 자리스키 위상

대표적인 예: 여전히 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]/I$ 입니다.

이제 $\operatorname{Spec}A$ 위에 위상을 부여합니다. $\operatorname{Spec}A$ 위의 점들이 소 아이디얼이므로, 점 $f$ 를 $\operatorname{Spec}A$ 위의 함수로 여기는 유비를 계속 이어갑니다. 즉:

정의 84.3.1.

$f\in A$ 이고 $\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A$ 라고 합시다. 그러면 $\mathfrak{p}$ 에서 $f$ 의 값은 $f\pmod{\mathfrak{p}}$ 로 정의되며, 이는 $A/\mathfrak{p}$ 의 한 원소입니다. 이를 $f(\mathfrak{p})$ 로 표기합니다.

예제 84.3.2 ( $\mathbb{A}^{n}$ 에서의 소멸 궤적).

$A=\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 이고, $\mathfrak{m}=(x_{1}-a_{1},x_{2}-a_{2},\dots,x_{n}-a_{n})$ 이 $A$ 의 극대 아이디얼이라고 합시다. 그러면 다항식 $f\in A$ 에 대하여,

f\pmod{\mathfrak{m}}=f(a_{1},\dots,a_{n})

$A/\mathfrak{m}\cong\mathbb{C}$ 라는 동일시와 함께.

예제 84.3.3 ( $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 위의 함수).

$A=\mathbb{Z}$ 를 생각합시다. 그러면 $2019$ 는 $\operatorname{Spec}A$ 위의 함수입니다. 점 $(5)$ 에서의 값은 $4\pmod{5}$ 이고; 점 $(7)$ 에서의 값은 $3\pmod{7}$ 입니다.

실제로 이후에 나오는 모든 내용에서 $A$ 를 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 으로, $\operatorname{Spec}A$ 를 $\mathbb{A}^{n}$ 으로 바꾸면, 모든 것이 상당히 익숙해질 것입니다.

정의 84.3.4.

$f\in A$ 라고 합시다. $f$ 의 소멸 궤적을 다음과 같이 정의합니다:

\mathcal{V}(f)=\left\{\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A\mid f(\mathfrak{p})=% 0\right\}=\left\{\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A\mid f\in\mathfrak{p}% \right\}.

더 일반적으로, 아핀의 경우와 마찬가지로, 아이디얼 $I$ 에 대한 소멸 궤적을 다음과 같이 정의합니다:

	$\displaystyle\mathcal{V}(I)$	$\displaystyle=\left\{\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A\mid f(\mathfrak{p})=0% \;\forall f\in I\right\}$
		$\displaystyle=\left\{\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A\mid f\in\mathfrak{p}% \;\forall f\in I\right\}$
		$\displaystyle=\left\{\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A\mid I\subseteq% \mathfrak{p}\right\}.$

마지막으로, $\mathcal{V}(I)$ 꼴의 집합들을 닫힌 집합으로 선언함으로써 $\operatorname{Spec}A$ 위의 자리스키 위상을 정의합니다.

이제 유용한 위상적 개념 몇 가지를 정의합니다:

정의 84.3.5.

$X$ 를 위상 공간이라고 합시다. 점 $p\in X$ 가 닫힌 점이라는 것은 집합 $\{p\}$ 가 닫혀 있다는 것입니다.

질문 84.3.6 (필수).

점(즉 소 아이디얼) $\mathfrak{m}\in\operatorname{Spec}A$ 가 닫힌 점인 것과 $\mathfrak{m}$ 이 극대 아이디얼인 것이 동치임을 보이십시오.

정의 7.2.4에서 집합 $S$ 의 폐포(즉, $S$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌집합)를 $\overline{S}$ 로 표기했음을 기억하십시오. 그러므로 닫힌 점 $p$ 는 그 폐포가 단지 $\{p\}$ 인 점으로도 생각할 수 있습니다. 따라서 자리스키 위상은 우리가 예전의 ”기하학적” 점들을 단지 닫힌 점들로 다시 언급할 수 있게 해줍니다.

예제 84.3.7 (비닫힌 점, 계속).

$A=\mathbb{C}[x,y]$ 라 하고 $\mathfrak{p}=(y-x^{2})\in\operatorname{Spec}A$ 라 합시다. 이는 포물선 위의 ”일반점”입니다. 이 점은 닫혀 있지 않지만, 우리는 그 폐포를 계산할 수 있습니다:

\overline{\{\mathfrak{p}\}}=\mathcal{V}(\mathfrak{p})=\left\{\mathfrak{q}\in% \operatorname{Spec}A\mid\mathfrak{q}\supseteq\mathfrak{p}\right\}.

이 폐포는 점 $\mathfrak{p}$ 뿐만 아니라 $(x-2,y-4)$ 와 $(x-3,y-9)$ 같은 여러 극대 아이디얼 $\mathfrak{q}$ 도 포함합니다. 다시 말해, 포물선의 ”일반점”의 폐포는 문자 그대로 실제로 포물선 위에 있는 모든 점들의 집합입니다(일반점도 포함).

이는 $\mathfrak{p}$ 를 포물선 ”위 어딘가”에 떠 있지만 특별히 어디도 아닌 점으로 그려볼 수 있다는 것을 의미합니다. 그렇다면 폐포를 취했을 때 포물선 전체를 얻는다는 것이 이치에 맞습니다. 왜냐하면 $\mathfrak{p}$ 는 그 점들 중 ”어느 것이든 될 수 있었기” 때문입니다.

예제 84.3.8 ( $y$ 축의 일반점은 $x$ 축 위에 있지 않다).

다시 $A=\mathbb{C}[x,y]$ 라 합시다. $\operatorname{Spec}A$ 의 $x$ 축인 $\mathcal{V}(y)$ 를 생각해봅시다. 그다음 $y$ 축 위의 일반점인 $\mathfrak{p}=(x)$ 를 생각해봅시다. 다음을 관찰하십시오

\mathfrak{p}\notin\mathcal{V}(y).

이를 기하학적으로 말하면, $y$ 축 위의 일반점은 $x$ 축 위에 놓여 있지 않다는 것입니다.

이제 우리는 단어 하나를 더 도입합니다:

정의 84.3.9.

위상 공간 $X$ 는 다음 두 조건 중 어느 하나라도 성립하면 기약이라 합니다:

•

공간 $X$ 는 두 개의 진 닫힌 부분집합의 합집합으로 쓸 수 없습니다.
•

$X$ 의 임의의 두 공집합이 아닌 열린집합은 교차합니다.

$X$ 의 부분집합 $Z$ (보통 닫힌 것)는 부분공간으로서 기약일 때 기약이라 합니다.

연습문제 84.3.10.

위의 두 조건이 실제로 동치임을 보이십시오. 또한, 한 점의 폐포는 항상 기약임을 보이십시오.

이는 우리가 아핀 다양체에 대해 정의했던 ”기약”의 유사 개념이지만, 이제는 위상적 정의입니다. 다만 실제로 이 정의는 자리스키 위상을 가진 공간에서만 유용합니다. 실제로 임의의 두 공집합이 아닌 열린집합이 교차한다면(그리고 점이 하나보다 많다면), 그 공간은 분명 하우스도르프가 아닙니다! 우리의 예전 아핀 다양체에서와 마찬가지로, 직관적으로는 $\mathcal{V}(xy)$ (두 직선의 합집합)는 기약이어서는 안 됩니다.

예제 84.3.11 (가약 공간과 기약 공간).

(a)

닫힌집합 $\mathcal{V}(xy)=\mathcal{V}(x)\cup\mathcal{V}(y)$ 는 가약입니다.
(b)

평면 전체 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 는 기약입니다. 사실 이것이 참인 이유는 (일반점에 막 익숙해지는 중이라면 반직관적이지만) 단순합니다: 일반점 $(0)$ 이 모든 열린집합에 속하므로, 임의의 두 열린집합은 교차합니다.

그래서 실제로 일반점은 우리가 다음 부분을 일종의 편법으로 통과하게 해줍니다:

명제 84.3.12 (정역의 스펙트럼은 기약이다).

$A$ 가 정역이면, $\operatorname{Spec}A$ 는 기약입니다.

증명.

그저 $(0)$ 이 소 아이디얼이고, 모든 열린집합에 속한다는 점만 주목하십시오. ∎

이는 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]/I$ 가 아핀 다양체로서 기약인 것은 정확히 $I$ 가 소 아이디얼일 때였던 예전의 고전적 결과와 비교해봐야 합니다. 이번에는 일반점이 실제로 우리를 위해 그 일을 대신 처리해줍니다: 일반점이 평면 어디에나 떠 있는 것이 허용된다는 사실이 추가적인 노력을 전혀 들이지 않고도 $\mathbb{A}^{2}$ 가 기약이어야 한다는 발상을 포착하게 해줍니다.

비고 84.3.13.

놀랍게도, 이 명제의 역은 거짓입니다: 우리는 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]/(x^{2})$ 가 오직 한 점만을 가짐을 보았으므로, 이는 분명 기약입니다. 하지만 $A=\mathbb{C}[x]/(x^{2})$ 는 정역이 아닙니다. 따라서 이는 ”비근기” 행태를 허용함으로써 생기는 기이함 중 하나입니다.

이 시점에서 여러분은 무언가를 눈치챘을지도 모릅니다:

정리 84.3.14 (점들은 기약 닫힌집합과 전단사 관계에 있다).

$X=\operatorname{Spec}A$ 를 생각해봅시다. 모든 기약 닫힌집합 $Z$ 에 대해, $Z=\overline{\{\mathfrak{p}\}}$ 가 되는 점 $\mathfrak{p}$ 가 정확히 하나 존재합니다. (특히 $X$ 의 점들은 $X$ 의 닫힌 부분집합과 전단사 관계에 있습니다.)

증명의 아이디어.

점 $\mathfrak{p}$ 는 닫힌집합 $\mathcal{V}(\mathfrak{p})$ 에 대응하며, 이것이 기약임을 보일 수 있습니다. ∎

이는 닫혀 있지 않은 점을 그리는 더 나은 방법을 제공합니다: 이러한 점들은 (한 점 이상으로 이루어진) 임의의 기약 닫힌집합을 따라 놓인 일반점들입니다.

이 지점에서,¹¹1말장난은 의도한 것이 아닙니다 일반점의 진짜 정의를 드려도 좋을 것 같습니다.

정의 84.3.15.

위상 공간 $X$ 가 주어졌을 때, 일반점 $\eta$ 는 그 폐포가 전체 공간 $X$ 인 점입니다.

따라서 우리에게는, $A$ 가 정역일 때 $\operatorname{Spec}A$ 는 일반점 $(0)$ 을 가집니다.

표기의 남용 84.3.16.

매우 주의 깊은 독자라면 제가 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 에서 $(y-x^{2})$ 를 “포물선을 따라가는 일반점”이라고 부르는 데 있어 약간 부주의하다는 것을 알아챘을지도 모릅니다. 실제로 일어나는 일은, $\mathcal{V}(y-x^{2})$ 가 닫힌집합이고, 위상 부분공간으로서 일반점 $(y-x^{2})$ 를 가진다는 것입니다.

84.4 크룰 차원

놀랍게도, 위상만으로도 차원을 부여하기에 충분합니다. 아핀 스킴의 경우:

정의 84.4.1.

$A$ 를 가환환이라 합시다. 소 아이디얼의 사슬 $\mathfrak{p}_{0}\subsetneq\mathfrak{p}_{1}\subsetneq\dots\subsetneq\mathfrak{p% }_{n}\subseteq A$ 를 생각합시다. 여기서 $n$ 을 길이라고 부릅니다. 가능한 모든 $n$ 의 상한을 $A$ 의 크룰 차원이라고 부릅니다.

크룰 차원은 $A$ 가 영환인 경우를 제외하면 항상 음이 아니며, 영환인 경우에는 관습적으로 $-1$ 또는 $-\infty$ 가 사용됩니다.

이 정의는 여러분의 직관과 일치할 것입니다.

예제 84.4.2 (크룰 차원의 예시).

(a)

$\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 은 크룰 차원 $n$ 을 가지며, 다음의 사슬이

$(0)\subsetneq(x_{1})\subsetneq(x_{1},x_{2})\subsetneq\dots\subsetneq(x_{1},% \dots,x_{n})$

길이 $n$ 을 가집니다. 이는 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 이 $\mathbb{A}^{n}$ 에 대응한다는 우리의 기대와 일치합니다.
(b)

$\mathbb{C}[x,y]/(y-x^{2})$ 은 크룰 차원 $1$ 을 가지며, 다음의 사슬이

$(y-x^{2})\subsetneq(x,y)$

길이 $1$ 을 가집니다. 기하학적으로, 우리는 $(x,y)$ 를 원점으로, $(y-x^{2})$ 를 포물선 자체로 생각합니다.
(c)

$\mathbb{Z}$ 는 크룰 차원 $1$ 을 가집니다.
(d)

$\mathbb{Z}/(60)$ 은 크룰 차원 $0$ 을 가집니다; 이는 그저 세 점일 뿐입니다.

이는 위상 공간 $X$ 에 대해 더 일반적으로 할 수 있습니다: 공간의 크룰 차원은 기약 닫힌 부분공간의 사슬 $Z_{0}\subsetneq Z_{1}\subsetneq\dots\subsetneq Z_{n}$ 의 상한입니다. 이 정의는 $X$ 가 자리스키 위상을 가지는 상황에서만 사용하고 싶을 것입니다: 특히 $X=\operatorname{Spec}A$ 인 경우, 이는 그저 환 $A$ 자체의 크룰 차원일 뿐입니다.

84.5 근기에 관하여

$\mathbb{C}^{n}$ 에서 고전적 대수기하학을 공부했을 때, 우리는 힐베르트 영점정리(정리 77.3.4)가 근기 아이디얼과 아핀 다양체 사이의 전단사를 제공하기 위해 등장하는 것을 보았습니다; 증명이 자명하지 않았기 때문에 우리는 이를 생략했습니다.

그러나 점이 ( $\mathbb{C}^{n}$ 의 튜플이 아니라) 소 아이디얼 인 스킴의 경우, 대응되는 결과는 실제로 쉬워집니다: $A=\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 인 경우에도, (극대 아이디얼뿐만 아니라) 소 아이디얼을 추가하는 것이 오히려 증명을 단순화하는데, 이는 근기(radical)가 소 아이디얼과 잘 어울리기 때문입니다.

우리는 여전히 다음 결과를 가집니다.

명제 84.5.1 ( $\mathcal{V}(\sqrt{I})=\mathcal{V}(I)$ ).

환 $A$ 의 임의의 아이디얼 $I$ 에 대해 $\mathcal{V}(\sqrt{I})=\mathcal{V}(I)$ 가 성립합니다.

증명.

우리는 $\sqrt{I}\supseteq I$ 를 가집니다. 따라서 자동으로 $\mathcal{V}(\sqrt{I})\subseteq\mathcal{V}(I)$ 가 성립합니다.

반대로, $\mathfrak{p}\in\mathcal{V}(I)$ 이면 $I\subseteq\mathfrak{p}$ 이므로, $\sqrt{I}\subseteq\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$ 입니다 (명제 77.3.3에 의해). ∎

앞선 소견에서 핵심 결과를 암시했으며, 이제 이를 증명합니다.

정리 84.5.2 (근기는 소 아이디얼들의 교집합).

$I$ 를 환 $A$ 의 아이디얼이라 합시다. 그러면

\sqrt{I}=\bigcap_{\mathfrak{p}\supseteq I}\mathfrak{p}.

증명.

이는 가환대수학에서 유명한 명제이며, 여기서는 완결성을 위해서만 증명합니다. 이 증명이 “대부분의 작업을 수행”합니다.

$I\subseteq\mathfrak{p}$ 이면 $\sqrt{I}\subseteq\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$ 임에 유의하십시오. 따라서 $\sqrt{I}\subseteq\bigcap_{\mathfrak{p}\supseteq I}\mathfrak{p}$ 입니다.

반대로, $x\notin\sqrt{I}$ 라고 가정합시다. 이는 $1,x,x^{2},x^{3},\dots\notin I$ 임을 의미합니다. 그러면 국소화 $(A/I)[1/x]$ 를 고려하는데, 이는 영환이 아닙니다. 다른 모든 환과 마찬가지로 이는 어떤 극대 아이디얼을 가집니다(크룰 정리). 이는 $(A/I)[1/x]$ 의 소 아이디얼들, $A/I$ 의 소 아이디얼들, 그리고 $A$ 의 소 아이디얼들 사이의 통상적인 전단사에 의해, $I$ 를 포함하지만 $x$ 는 포함하지 않는 $A$ 의 어떤 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 가 존재함을 의미합니다. 따라서 원하는 대로 $x\notin\bigcap_{\mathfrak{p}\supseteq I}\mathfrak{p}$ 입니다.

여기서 핵심 아이디어는, $x\in A$ 에 대해, 어떤 양의 유한 정수 $n$ 에 대해 $x^{n}=0$ 인 것과 $A[1/x]=0$ 인 것이 동치라는 것입니다.

즉, 다시 말해서,

	$\displaystyle x\in\sqrt{(0)}$
	$\displaystyle\iff\text{어떤 양의 정수 $n$에 대해 $x^{n}=0$}$
	$\displaystyle\iff A[1/x]=0$
	$\displaystyle\iff\text{모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$에 대해 $x\in\mathfrak{p}$입니다}$
	$\displaystyle\iff x\in\bigcap_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}.$

$I$ 가 $(0)$ 이 아닐 때는, 대신 환 $A/I$ 를 고려하십시오. ∎

기하학적으로 말하면, 이 정리는 다음을 말합니다:

$\operatorname{Spec}A/I$ 위의 정칙 함수 $f$ 에 대해, 그러면

$\text{어떤 양의 정수 $n$에 대해 $f^{n}=0$입니다}\iff\text{$f$는 $\operatorname{Spec}A/I$의 모% 든 점에서 소멸합니다}.$

이에 대해, 위의 증명은 다음과 같이 읽힙니다:

	$\displaystyle f\in\sqrt{(I)}$
	$\displaystyle\iff\text{어떤 양의 정수 $n$에 대해 $f^{n}\in I$입니다}$
	$\displaystyle\iff(A/I)[1/f]=0$
	$\displaystyle\iff\text{$\operatorname{Spec}(A/I)[1/f]$는 공집합입니다}$
	$\displaystyle\iff\text{모든 $\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A/I$에 대해, $f$는 $% \mathfrak{p}$에서 소멸합니다}$
	$\displaystyle\iff f\in\bigcap_{\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A/I}\mathfrak% {p}.$

절 86.7에서 $A=k[x]$ , $I=(x^{2})$ , $f=x$ 인 예시로 증명을 직접 따라가 보는 것도 좋을 것입니다. 이때 $\operatorname{Spec}A/I$ 의 상을 “흐릿한” 점으로, $f$ 를 모든 점에서 값이 영인 영이 아닌 함수로 염두에 두십시오.

비고 84.5.3 (크룰 정리의 한 변형).

이 증명에서 더 긴 방향은 본질적으로 임의의 $x\in A$ 에 대해, $x$ 를 포함하지 않는 $A$ 의 극대 아이디얼이 존재한다는 것을 말하고 있습니다. ”짧은” 증명은 위에서처럼 $(A/I)[1/x]$ 에 크룰 정리를 적용하는 것이지만, (원래 크룰 정리의 증명을 그대로 따라 하여) 초른 보조정리를 사용해 직접 증명할 수도 있습니다.

예제 84.5.4 ( $\mathbb{Z}$ 에서 $\sqrt{(2016)}=(42)$ ).

환 $\mathbb{Z}$ 에서, $(2016)$ 을 포함하는 서로 다른 소수들이 $(2)$ , $(3)$ , $(7)$ 이므로 $\sqrt{(2016)}=(42)$ 임을 알 수 있습니다.

기하학적으로, 이는 $\sqrt{I}$ 를 설명하는 좋은 방법을 제공합니다: 이는 $\mathcal{V}(I)$ 전체에서 소멸하는 모든 함수들의 집합입니다. 실제로 다음과 같이 쓸 수 있습니다

\sqrt{I}=\bigcap_{\mathfrak{p}\supseteq I}\mathfrak{p}=\bigcap_{\mathfrak{p}% \in\mathcal{V}(I)}\mathfrak{p}=\bigcap_{\mathfrak{p}\in\mathcal{V}(I)}\left\{f% \in A\mid f(\mathfrak{p})=0\right\}.

이제 다음을 서술할 수 있습니다:

정리 84.5.5 (근기 아이디얼은 닫힌집합에 대응함).

$I$ 와 $J$ 를 $A$ 의 아이디얼이라 하고, 공간 $\operatorname{Spec}A$ 를 고려합시다. 그러면

\mathcal{V}(I)=\mathcal{V}(J)\iff\sqrt{I}=\sqrt{J}.

특히, 근기 아이디얼은 정확히 $\operatorname{Spec}A$ 의 닫힌 부분집합들에 대응합니다.

증명.

$\mathcal{V}(I)=\mathcal{V}(J)$ 이면, $\sqrt{I}=\bigcap_{\mathfrak{p}\in\mathcal{V}(I)}\mathfrak{p}=\bigcap_{% \mathfrak{p}\in\mathcal{V}(J)}\mathfrak{p}=\sqrt{J}$ 이므로 원하는 대로입니다.

반대로, $\sqrt{I}=\sqrt{J}$ 라고 가정합시다. 그러면 $\mathcal{V}(I)=\mathcal{V}(\sqrt{I})=\mathcal{V}(\sqrt{J})=\mathcal{V}(J)$ 입니다. ∎

이를 앞서 다루었던, 기약 닫힌 부분집합이 소 아이디얼에 대응한다는 정리와 비교해 보십시오!

84.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

장 86는 직관을 기르기 위한 아핀 스킴의 많은 예시를 담고 있으므로, 아직 이해되지 않는 부분이 있더라도 이 문제들을 시도하기 전에 미리 읽어보는 것이 도움이 될 수 있습니다.

문제 84A ( $\operatorname{Spec}\mathbb{Q}[x]$ ).

$\operatorname{Spec}\mathbb{Q}[x]$ 의 점과 위상을 서술하십시오.

힌트. 갈루아 켤레.

문제 84B (곱 환).

$\operatorname{Spec}A\times B$ 의 점과 위상을 $\operatorname{Spec}A$ 와 $\operatorname{Spec}B$ 를 이용하여 서술하십시오.

문제 84C (아르틴 환을 실제로 생각하는 방법).

$A$ 를 뇌터 환이라 합시다. 다음이 모두 동치임을 증명하십시오:

(i)

$A$ 는 아르틴 환입니다, 즉 (문제 4H에서 정의된 바와 같이) 내림 사슬 조건을 만족합니다.
(ii)

$A$ 는 크룰 차원이 $0$ 이거나 $A$ 는 영환입니다.
(iii)

$\operatorname{Spec}A$ 는 유한하고 이산적입니다.
(iv)

$\operatorname{Spec}A$ 는 유한합니다.