장 84 아핀 스킴: 자리스키 위상

이제 층을 충분히 이해했으므로 아핀 스킴을 정의할 수 있습니다. 아핀 스킴은 환 달린 공간이 될 것이므로, 다음을 정의해야 합니다.

•

점들의 집합,
•

그 위의 위상, 그리고
•

그 위의 구조층.

이 장에서는 처음 두 부분을 다루고, 장 85에서 마지막 부분을 다룹니다.

짧게 덧붙이자면, 장 86에는 아핀 스킴의 예시가 길게 나열되어 있습니다. 따라서 이 장에 쓰인 내용이 잘 이해되지 않는다면, 장 86를 훑어보면서 그곳의 예시 중에 더 도움이 되는 것이 있는지 살펴보는 것도 시도해 볼 만합니다.

84.1 조금 더 하는 홍보

$\operatorname{Spec}A$ 의 구성이 무엇을 하게 될지 설명하겠습니다.

$\mathbb{A}^{n}$ 의 경우, 점들의 집합으로 $\mathbb{C}^{n}$ 을, 함수들의 환으로 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 을 사용하였지만, 이후 $\mathbb{C}^{n}$ 의 점들의 집합이 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 의 극대 아이디얼에 대응한다는 점을 언급하였습니다. 아핀 스킴에서는 임의의 환 $A$ 를 택하여, 오직 $A$ 자체만으로부터 전체 구조를 생성할 것입니다. 최종 결과는 $A$ 의 스펙트럼인 $\operatorname{Spec}A$ 라고 부릅니다. 앞서 만났던 아핀 다양체 $\mathcal{V}(I)$ 는 단지 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[\mathcal{V}(I)]=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x_% {1},\dots,x_{n}]/I$ 가 될 뿐이지만, 이제는 어떤 아이디얼 $I$ 든 택할 수 있게 되며, 이로써 마침내 “아핀 다양체” 장 끝의 표를 완성하게 됩니다.

요점을 강조하자면 다음과 같습니다.

아핀 다양체 $V$ 에 대하여, 좌표환 $\mathbb{C}[V]$ 의 스펙트럼은 $V$ 입니다.

따라서 $\operatorname{Spec}$ 을 대역적 단면의 환을 취하는 것의 반대 연산으로 생각할 수도 있습니다. 이 연산은 매장이 아니라 아핀 다양체 자체의 내재적 성질(환 $\mathcal{O}_{V}$ )에만 의존하도록 순수하게 대수적으로 정의된 것입니다.

이러한 방식의 아핀 스킴 구성은 세 가지 큰 일반화를 가져옵니다.

1.

더 이상 대수적으로 닫힌 체 $\mathbb{C}$ 위에서 작업할 필요가 없으며, 심지어 체 위에서 작업할 필요조차 없습니다. 이것은 가장 수월한 일반화가 될 것입니다. 이를 위해 지금 가지고 있는 그림을 크게 수정할 필요가 없습니다.
2.

근기 아이디얼이 아닌 아이디얼도 허용합니다. $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]/(x^{2})$ 는 우리가 그토록 오랫동안 찾아 온 이중점이 될 것입니다. 이를 통해 “뚱뚱한” 점 또는 “흐릿한” 점이라는 개념을 형식화할 수 있습니다.
3.

우리의 아핀 스킴은 이른바 닫히지 않은 점을 가지게 됩니다. 이는 공간 안 어딘가에 있지만 특정한 어느 곳에도 있지 않은 채 떠다니는 것으로 시각화할 수 있는 점입니다. (이들은 극대가 아닌 소 아이디얼에 대응합니다.) 이들에 익숙해지는 데 가장 오랜 시간이 걸리겠지만, 진행해 나가면서 일단 이들이 어떻게 생겼는지 감을 잡고 나면 이 닫히지 않은 점들이 실제로는 삶을 더 쉽게 만들어 준다는 것을 알게 될 것입니다.

84.2 점들의 집합

대표적인 예: $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]/I$ .

환 $A$ 에 대한 첫 번째 놀라운 점은 다음과 같습니다.

정의 84.2.1.

집합 $\operatorname{Spec}A$ 는 $A$ 의 소 아이디얼들의 집합으로 정의됩니다.

$\operatorname{Spec}A$ 가 극대 아이디얼만을 가져야 한다고 추측했을 수도 있으므로, 이는 조금 놀라울 수 있습니다. 나머지 아이디얼은 무엇에 대응하겠습니까? 답은 이들이 공간 안 “어딘가에” 있지만 특정한 어느 곳에도 있지 않은, 이른바 닫히지 않은 점 또는 일반점이 된다는 것입니다. (“닫히지 않은”이라는 이름은 다음 장에서 설명합니다.)

비고 84.2.2.

늘 그렇듯이 $A$ 자신은 소 아이디얼이 아니지만, $(0)$ 은 $A$ 가 정역일 때, 그리고 그때에만 소 아이디얼입니다.

예제 84.2.3 (스펙트럼의 예).

(a)

$\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 는 모든 $a\in\mathbb{C}$ 에 대한 점 $(x-a)$ 로 이루어지며, 이들은 기하학적으로 $\mathbb{A}^{1}$ 이라고 생각하는 것에 대응합니다. 추가로 점 $(0)$ 도 포함하는데, 이는 특정한 어느 곳에도 있지 않은 “닫히지 않은 점”으로 생각합니다.
(b)

$\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 는 점 $(x-a,y-b)$ (이들이 극대 아이디얼입니다)뿐만 아니라 다시 $(0)$ 도 포함합니다. $(0)$ 은 “ $\mathbb{C}^{2}$ 어딘가에 있지만 특정한 어느 곳에도 있지 않은” 것으로 여겨지는 닫히지 않은 점입니다. 또한 기약 다항식 $f(x,y)$ 에 대응하는 닫히지 않은 점들도 포함합니다. 예를 들어 $(y-x^{2})$ 는 “포물선 위의 일반점”입니다.
(c)

$k$ 가 체이면 $k$ 의 유일한 극대 아이디얼은 $(0)$ 이므로 $\operatorname{Spec}k$ 는 한 점입니다.

예제 84.2.4 (복소 아핀 다양체).

$I\subseteq\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 를 아이디얼이라고 합시다. 명제 83.6.1에 의해 집합

\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]/I

는 $I$ 를 포함하는 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 의 소 아이디얼들로 이루어집니다. 다시 말해, $\mathcal{V}(I)$ 의 닫힌 기약 부분다양체마다 점이 하나씩 있습니다. 따라서 “기하학적 점”(극대 아이디얼 $(x_{1}-a_{1},\dots,x_{n}-a_{n})$ 에 대응하는 점들 외에도 각 다양체를 따라 닫히지 않은 점들이 있습니다).

닫히지 않은 점들은 여러분에게 익숙하지 않은 점들입니다. 극대가 아닌 소 아이디얼마다 하나씩 있습니다(“기약 부분다양체”로 시각화됩니다). 저는 이 점들을 머릿속에서 파리처럼 떠올리기를 좋아합니다. 소리가 들리니 방 안 어딘가에 떠다니고 있다는 것은 알지만, 늘 움직이고 있으므로 정확히 어디에 있는지는 결코 알 수 없습니다. 그러므로 소 아이디얼 $(0)$ 에 대응하는 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 의 일반점은 평면 모든 곳에 떠다니고 있고, 아이디얼 $(y-x^{2})$ 에 대응하는 점은 포물선을 따라 떠다니는 식입니다.

[45]에서 가져온 화상입니다.

비고 84.2.5 (극대 아이디얼이 아닌 소 아이디얼은 왜 포물선 전체에 대응하지 않습니까?).

앞서 절 83.4에서 이미 기하학적인 이유를 살펴보았습니다. 극대 아이디얼이 아닌 소 아이디얼에서 환을 국소화하면, 포물선의 어딘가에서는 발산할 수 있지만 일반적으로는 발산하지 않는 함수들을 얻습니다.

예제 84.2.6 (스펙트럼의 더 많은 예).

(a)

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 는 각 소수 $p$ 마다 하나씩 있는 점들과, 어딘가에 있지만 특정한 어느 곳에도 있지 않은 일반점 하나로 이루어집니다.
(b)

$\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]/(x^{2})$ 의 소 아이디얼은 $(x)$ 뿐입니다. $0=x\cdot x$ 이므로 아이디얼 $(0)$ 은 소 아이디얼이 아닙니다. 따라서 위상 공간으로서 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]/(x^{2})$ 는 한 점입니다.
(c)

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$ 은 세 점으로 이루어집니다. 그 점들은 무엇입니까?

84.3 스펙트럼 위의 자리스키 위상

대표적인 예: 여전히 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]/I$ 입니다.

이제 $\operatorname{Spec}A$ 에 위상을 부여합니다. $\operatorname{Spec}A$ 의 점들은 소 아이디얼이므로, 점 $f$ 를 $\operatorname{Spec}A$ 위의 함수로 생각하여 비유를 이어 갑니다. 즉 다음과 같습니다:

정의 84.3.1.

$f\in A$ 이고 $\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A$ 라고 합시다. 그러면 $\mathfrak{p}$ 에서 $f$ 의 값은 $A/\mathfrak{p}$ 의 원소인 $f\pmod{\mathfrak{p}}$ 로 정의합니다. 이를 $f(\mathfrak{p})$ 로 나타냅니다.

예제 84.3.2 ( $\mathbb{A}^{n}$ 에서의 영점 집합).

$A=\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 이고 $\mathfrak{m}=(x_{1}-a_{1},x_{2}-a_{2},\dots,x_{n}-a_{n})$ 이 $A$ 의 극대 아이디얼이라고 합시다. 그러면 다항식 $f\in A$ 에 대하여

f\pmod{\mathfrak{m}}=f(a_{1},\dots,a_{n})

여기서 $A/\mathfrak{m}\cong\mathbb{C}$ 로 동일시합니다.

예제 84.3.3 ( $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 위의 함수).

$A=\mathbb{Z}$ 를 생각합시다. 그러면 $2019$ 는 $\operatorname{Spec}A$ 위의 함수입니다. 점 $(5)$ 에서 이 함수의 값은 $4\pmod{5}$ 이고, 점 $(7)$ 에서의 값은 $3\pmod{7}$ 입니다.

실제로 이후의 모든 내용에서 $A$ 를 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 으로, $\operatorname{Spec}A$ 를 $\mathbb{A}^{n}$ 으로 바꾸면 모든 것이 꽤 친숙해질 것입니다.

정의 84.3.4.

$f\in A$ 라고 합시다. $f$ 의 영점 집합을 다음과 같이 정의합니다.

\mathcal{V}(f)=\left\{\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A\mid f(\mathfrak{p})=% 0\right\}=\left\{\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A\mid f\in\mathfrak{p}% \right\}.

더 일반적으로, 아핀의 경우와 마찬가지로 아이디얼 $I$ 에 대한 영점 집합을 다음과 같이 정의합니다.

	$\displaystyle\mathcal{V}(I)$	$\displaystyle=\left\{\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A\mid f(\mathfrak{p})=0% \;\forall f\in I\right\}$
		$\displaystyle=\left\{\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A\mid f\in\mathfrak{p}% \;\forall f\in I\right\}$
		$\displaystyle=\left\{\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A\mid I\subseteq% \mathfrak{p}\right\}.$

마지막으로, $\mathcal{V}(I)$ 꼴의 집합들을 닫힌집합으로 선언하여 $\operatorname{Spec}A$ 위의 자리스키 위상을 정의합니다.

이제 유용한 위상적 개념 몇 가지를 정의합니다:

정의 84.3.5.

$X$ 를 위상 공간이라고 합시다. 집합 $\{p\}$ 가 닫혀 있으면 점 $p\in X$ 를 닫힌 점이라고 합니다.

질문 84.3.6 (필수).

점(즉 소 아이디얼) $\mathfrak{m}\in\operatorname{Spec}A$ 가 닫힌 점일 필요충분조건은 $\mathfrak{m}$ 이 극대 아이디얼인 것임을 보이십시오.

또한 정의 7.2.4에서 집합 $S$ 의 폐포(즉, $S$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌집합)를 $\overline{S}$ 로 나타냈음을 상기하십시오. 따라서 닫힌 점 $p$ 는 폐포가 $\{p\}$ 뿐인 점이라고 생각할 수도 있습니다. 그러므로 자리스키 위상에서는 예전의 “기하적” 점들을 단순히 닫힌 점들로 다시 가리킬 수 있습니다.

예제 84.3.7 (닫히지 않은 점, 계속).

$A=\mathbb{C}[x,y]$ 라 하고 $\mathfrak{p}=(y-x^{2})\in\operatorname{Spec}A$ 라 합시다. 이것은 포물선 위의 “일반점”입니다. 이 점은 닫혀 있지 않지만, 그 폐포는 계산할 수 있습니다:

\overline{\{\mathfrak{p}\}}=\mathcal{V}(\mathfrak{p})=\left\{\mathfrak{q}\in% \operatorname{Spec}A\mid\mathfrak{q}\supseteq\mathfrak{p}\right\}.

이 폐포에는 점 $\mathfrak{p}$ 뿐만 아니라 $(x-2,y-4)$ 나 $(x-3,y-9)$ 같은 여러 극대 아이디얼 $\mathfrak{q}$ 도 들어 있습니다. 다시 말해, 포물선의 “일반점”의 폐포는 말 그대로 실제로 포물선 위에 있는 모든 점(일반점 포함)의 집합입니다.

즉, $\mathfrak{p}$ 는 “포물선 위 어딘가”에 떠 있지만 어느 특정한 곳에 있지는 않은 점으로 그려 보면 됩니다. 그렇다면 폐포를 취했을 때 포물선 전체가 나오는 것도 이해가 됩니다. $\mathfrak{p}$ 는 그 점들 중 어느 것이든 “될 수 있었기” 때문입니다.

예제 84.3.8 ( $y$ 축의 일반점은 $x$ 축 위에 있지 않음).

다시 $A=\mathbb{C}[x,y]$ 라 합시다. $\operatorname{Spec}A$ 의 $x$ 축인 $\mathcal{V}(y)$ 를 생각합시다. 그리고 $y$ 축 위의 일반점인 $\mathfrak{p}=(x)$ 를 생각합시다. 다음을 관찰하십시오

\mathfrak{p}\notin\mathcal{V}(y).

이를 기하적으로 말하면, $y$ 축 위의 일반점은 $x$ 축 위에 놓이지 않는다는 것입니다.

이제 용어를 하나 더 도입합니다:

정의 84.3.9.

위상 공간 $X$ 가 다음 두 조건 중 하나를 만족하면 $X$ 를 기약이라고 합니다:

•

공간 $X$ 는 두 진 닫힌 부분집합의 합집합으로 쓸 수 없습니다.
•

$X$ 의 공집합이 아닌 두 열린집합은 항상 서로 만납니다.

$X$ 의 부분집합 $Z$ (보통 닫힌집합)가 부분공간으로서 기약이면 $Z$ 를 기약이라고 합니다.

연습문제 84.3.10.

위의 두 조건이 실제로 동치임을 보이십시오. 또한 한 점의 폐포는 항상 기약임을 보이십시오.

이것은 아핀 다양체에 대해 정의했던 “기약”에 대응하는 개념이지만, 이제는 위상적 정의입니다. 다만 실제로 이 정의는 자리스키 위상을 가진 공간에서만 쓸모가 있습니다. 실제로, 공집합이 아닌 두 열린집합이 항상 서로 만난다면(그리고 점이 둘 이상이라면) 그 공간은 분명히 하우스도르프 공간이 아닙니다! 예전의 아핀 다양체에서와 마찬가지로, $\mathcal{V}(xy)$ (두 직선의 합집합)는 기약이 아니어야 한다는 것이 직관입니다.

예제 84.3.11 (가약 공간과 기약 공간).

(a)

닫힌집합 $\mathcal{V}(xy)=\mathcal{V}(x)\cup\mathcal{V}(y)$ 는 가약입니다.
(b)

평면 전체 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 는 기약입니다. 사실 이것이 참인 데에는 간단한(하지만 여러분이 일반점에 막 익숙해지는 중이므로 직관에 반하는) 이유가 있습니다: 일반점 $(0)$ 이 모든 열린집합에 들어 있으므로, 임의의 두 열린집합은 서로 만납니다.

그러니 사실 일반점 덕분에 다음 부분은 일종의 편법으로 넘어갈 수 있습니다:

명제 84.3.12 (정역의 스펙트럼은 기약임).

$A$ 가 정역이면 $\operatorname{Spec}A$ 는 기약입니다.

증명.

$(0)$ 이 소 아이디얼이며 모든 열린집합에 들어 있다는 점만 확인하면 됩니다. ∎

이를 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]/I$ 가 아핀 다양체로서 기약일 필요충분조건은 $I$ 가 소 아이디얼인 것이라는 예전의 고전적 결과와 비교해 보십시오. 이번에는 일반점이 실제로 그 일을 대신 해 줍니다: 일반점이 평면 어디에서나 떠다니는 것이 허용된다는 사실 덕분에, 추가적인 수고 없이 $\mathbb{A}^{2}$ 가 기약이어야 한다는 생각을 포착할 수 있습니다.

비고 84.3.13.

놀랍게도 이 명제의 역은 거짓입니다: $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]/(x^{2})$ 에는 점이 하나뿐이므로 분명히 기약임을 앞에서 보았습니다. 그러나 $A=\mathbb{C}[x]/(x^{2})$ 는 정역이 아닙니다. 따라서 이것은 “비근기적” 행동을 허용함으로써 생기는 기묘한 점 중 하나입니다.

여기까지 오면 무언가를 알아차렸을지도 모릅니다:

정리 84.3.14 (점은 기약 닫힌집합과 전단사 대응함).

$X=\operatorname{Spec}A$ 를 생각합시다. 모든 기약 닫힌집합 $Z$ 에 대해 $Z=\overline{\{\mathfrak{p}\}}$ 를 만족하는 점 $\mathfrak{p}$ 가 정확히 하나 존재합니다. (특히 $X$ 의 점은 $X$ 의 닫힌 부분집합과 전단사 대응합니다.)

증명 아이디어.

점 $\mathfrak{p}$ 는 닫힌집합 $\mathcal{V}(\mathfrak{p})$ 에 대응하며, 이 닫힌집합이 기약임을 보일 수 있습니다. ∎

이는 닫히지 않은 점을 그리는 더 나은 방법을 제공합니다. 즉, 닫히지 않은 점은 (단 하나의 점보다 많은 점으로 이루어진) 임의의 기약 닫힌집합을 따라 놓여 있는 일반점입니다.

이 시점에서,¹¹1말장난을 의도한 것은 아닙니다 일반점의 진짜 정의를 알려 드리는 것이 좋겠습니다.

정의 84.3.15.

위상 공간 $X$ 가 주어졌을 때, 일반점 $\eta$ 는 폐포가 공간 $X$ 전체인 점입니다.

따라서 우리의 경우, $A$ 가 정역이면 $\operatorname{Spec}A$ 는 일반점 $(0)$ 을 가집니다.

표기의 남용 84.3.16.

아주 주의 깊은 독자라면 제가 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 에서 $(y-x^{2})$ 를 “포물선을 따라 놓인 일반점”이라고 부를 때 다소 엄밀하지 못하다는 점을 눈치챘을 수도 있습니다. 실제로는 $\mathcal{V}(y-x^{2})$ 가 닫힌집합이고, 이를 위상 부분공간으로 보면 일반점 $(y-x^{2})$ 를 가지는 것입니다.

84.4 크룰 차원

놀랍게도 위상만으로도 차원을 정의하기에 충분합니다. 아핀 스킴에 대해서는 다음과 같습니다.

정의 84.4.1.

$A$ 를 가환환이라고 합시다. 소 아이디얼의 사슬 $\mathfrak{p}_{0}\subsetneq\mathfrak{p}_{1}\subsetneq\dots\subsetneq\mathfrak{p% }_{n}\subseteq A$ 를 생각하며, 여기서 $n$ 을 길이라고 부릅니다. 이때 가능한 모든 $n$ 의 상한을 $A$ 의 크룰 차원이라고 합니다.

크룰 차원은 $A$ 가 영환이 아닌 한 항상 음이 아니며, $A$ 가 영환인 경우에는 관례적으로 $-1$ 또는 $-\infty$ 를 사용합니다.

이 정의는 여러분의 직관과 일치할 것입니다.

예제 84.4.2 (크룰 차원의 예).

(a)

$\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 은 크룰 차원 $n$ 을 가지며, 다음 사슬은

$(0)\subsetneq(x_{1})\subsetneq(x_{1},x_{2})\subsetneq\dots\subsetneq(x_{1},% \dots,x_{n})$

길이가 $n$ 입니다. 이는 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 이 $\mathbb{A}^{n}$ 에 대응한다는 우리의 예상과 일치합니다.
(b)

$\mathbb{C}[x,y]/(y-x^{2})$ 는 크룰 차원 $1$ 을 가지며, 다음 사슬은

$(y-x^{2})\subsetneq(x,y)$

길이가 $1$ 입니다. 기하학적으로는 $(x,y)$ 를 원점으로, $(y-x^{2})$ 를 포물선 자체로 생각합니다.
(c)

$\mathbb{Z}$ 는 크룰 차원 $1$ 을 가집니다.
(d)

$\mathbb{Z}/(60)$ 은 크룰 차원 $0$ 을 가집니다. 그저 세 개의 점일 뿐입니다.

이를 위상 공간 $X$ 에 대해 더 일반적으로 할 수 있습니다. 공간의 크룰 차원은 기약 닫힌 부분공간의 사슬 $Z_{0}\subsetneq Z_{1}\subsetneq\dots\subsetneq Z_{n}$ 의 상한입니다. 이 정의는 $X$ 가 자리스키 위상을 가지는 상황에서만 사용하는 것이 좋습니다. 특히 $X=\operatorname{Spec}A$ 이면, 이는 바로 환 $A$ 자체의 크룰 차원입니다.

84.5 근기에 대하여

예전에 $\mathbb{C}^{n}$ 에서 고전 대수기하학을 공부했을 때, 힐베르트 영점정리(정리 77.3.4)가 등장하여 근기 아이디얼과 아핀 다양체 사이의 전단사를 제공하는 것을 보았습니다. 그 증명은 자명하지 않았기 때문에 생략하였습니다.

그러나 점이 ( $\mathbb{C}^{n}$ 의 순서쌍이 아니라) 소 아이디얼인 스킴의 경우에는 대응하는 결과들이 실제로 쉽습니다. $A=\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 인 경우에도 (극대 아이디얼만이 아니라) 소 아이디얼을 추가하면 오히려 증명이 간단해지는데, 근기가 소 아이디얼과 잘 어울리기 때문입니다.

여전히 다음 결과가 성립합니다.

명제 84.5.1 ( $\mathcal{V}(\sqrt{I})=\mathcal{V}(I)$ ).

환 $A$ 의 임의의 아이디얼 $I$ 에 대해 $\mathcal{V}(\sqrt{I})=\mathcal{V}(I)$ 가 성립합니다.

증명.

$\sqrt{I}\supseteq I$ 입니다. 따라서 자동으로 $\mathcal{V}(\sqrt{I})\subseteq\mathcal{V}(I)$ 입니다.

역으로, $\mathfrak{p}\in\mathcal{V}(I)$ 이면 $I\subseteq\mathfrak{p}$ 이므로 (명제 77.3.3에 의해) $\sqrt{I}\subseteq\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$ 입니다. ∎

핵심 결과는 앞선 참고에서 이미 암시했으며, 이제 이를 증명합니다.

정리 84.5.2 (근기는 소 아이디얼들의 교집합입니다).

$I$ 를 환 $A$ 의 아이디얼이라 합시다. 그러면

\sqrt{I}=\bigcap_{\mathfrak{p}\supseteq I}\mathfrak{p}.

증명.

이는 가환대수학의 유명한 명제이며, 여기서는 오직 완비성을 위해 증명합니다. 이 명제가 “대부분의 일을 해냅니다”.

$I\subseteq\mathfrak{p}$ 이면 $\sqrt{I}\subseteq\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$ 임에 주목하십시오. 따라서 $\sqrt{I}\subseteq\bigcap_{\mathfrak{p}\supseteq I}\mathfrak{p}$ 입니다.

역으로, $x\notin\sqrt{I}$ , 즉 $1,x,x^{2},x^{3},\dots\notin I$ 라고 가정합시다. 그러면 국소화 $(A/I)[1/x]$ 를 생각할 수 있으며, 이는 영환이 아닙니다. 다른 모든 환과 마찬가지로 이 환은 어떤 극대 아이디얼을 가집니다(크룰 정리). 이는 $(A/I)[1/x]$ 의 소 아이디얼, $A/I$ 의 소 아이디얼, $A$ 의 소 아이디얼 사이의 통상적인 전단사를 통해 $I$ 를 포함하지만 $x$ 는 포함하지 않는 $A$ 의 어떤 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 를 얻는다는 뜻입니다. 따라서 원하는 대로 $x\notin\bigcap_{\mathfrak{p}\supseteq I}\mathfrak{p}$ 입니다.

여기서 핵심 아이디어는, $x\in A$ 에 대해 어떤 양의 유한 정수 $n$ 에 대하여 $x^{n}=0$ 인 것과 $A[1/x]=0$ 인 것이 동치라는 점입니다.

그러므로 다시 말하면,

	$\displaystyle x\in\sqrt{(0)}$
	$\displaystyle\iff\text{어떤 양의 정수 $n$에 대해 $x^{n}=0$}$
	$\displaystyle\iff A[1/x]=0$
	$\displaystyle\iff\text{모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$에 대해 $x\in\mathfrak{p}$}$
	$\displaystyle\iff x\in\bigcap_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}.$

$I$ 가 $(0)$ 이 아닐 때는 대신 환 $A/I$ 를 생각하십시오. ∎

기하학적으로 말하면, 이 정리는 다음을 말합니다:

$\operatorname{Spec}A/I$ 위의 임의의 정칙 함수 $f$ 에 대하여, 다음이 성립합니다

$\text{어떤 양의 정수 $n$에 대해 $f^{n}=0$}\iff\text{$f$가 $\operatorname{Spec}A/I$의 모든 점% 에서 소멸함}.$

이에 대해 위의 증명은 다음과 같이 읽힙니다:

	$\displaystyle f\in\sqrt{(I)}$
	$\displaystyle\iff\text{어떤 양의 정수 $n$에 대해 $f^{n}\in I$}$
	$\displaystyle\iff(A/I)[1/f]=0$
	$\displaystyle\iff\text{$\operatorname{Spec}(A/I)[1/f]$가 공집합임}$
	$\displaystyle\iff\text{모든 $\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A/I$에 대해 $f$가 $% \mathfrak{p}$에서 소멸함}$
	$\displaystyle\iff f\in\bigcap_{\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A/I}\mathfrak% {p}.$

절 86.7의 예시 $A=k[x]$ , $I=(x^{2})$ , $f=x$ 를 가지고 증명을 따라가 보는 것도 좋습니다. 이때 $\operatorname{Spec}A/I$ 의 상을 “흐릿한” 점으로, $f$ 를 모든 점에서 값이 0인 0이 아닌 함수로 생각하십시오.

비고 84.5.3 (크룰 정리의 한 변형).

이 증명에서 더 긴 방향은 본질적으로 임의의 $x\in A$ 에 대해 $x$ 를 포함하지 않는 $A$ 의 극대 아이디얼이 존재한다는 것을 말합니다. “짧은” 증명은 위와 같이 $(A/I)[1/x]$ 에 크룰 정리를 적용하는 것이지만, (원래의 크룰 정리의 증명을 그대로 따라 하여) 초른 보조정리를 사용해 직접 증명할 수도 있습니다.

예제 84.5.4 ( $\mathbb{Z}$ 에서 $\sqrt{(2016)}=(42)$ ).

환 $\mathbb{Z}$ 에서 $(2016)$ 을 포함하는 서로 다른 소 아이디얼은 $(2)$ , $(3)$ , $(7)$ 이므로 $\sqrt{(2016)}=(42)$ 임을 알 수 있습니다.

기하학적으로, 이는 $\sqrt{I}$ 를 기술하는 좋은 방법을 제공합니다. 즉, $\sqrt{I}$ 는 $\mathcal{V}(I)$ 전체에서 0이 되는 모든 함수의 집합입니다. 실제로 다음과 같이 쓸 수 있습니다

\sqrt{I}=\bigcap_{\mathfrak{p}\supseteq I}\mathfrak{p}=\bigcap_{\mathfrak{p}% \in\mathcal{V}(I)}\mathfrak{p}=\bigcap_{\mathfrak{p}\in\mathcal{V}(I)}\left\{f% \in A\mid f(\mathfrak{p})=0\right\}.

이제 다음을 서술할 수 있습니다:

정리 84.5.5 (근기 아이디얼은 닫힌집합에 대응합니다).

$I$ 와 $J$ 를 $A$ 의 아이디얼이라 하고, 공간 $\operatorname{Spec}A$ 를 생각합시다. 그러면

\mathcal{V}(I)=\mathcal{V}(J)\iff\sqrt{I}=\sqrt{J}.

특히, 근기 아이디얼은 $\operatorname{Spec}A$ 의 닫힌 부분집합과 정확히 대응합니다.

증명.

$\mathcal{V}(I)=\mathcal{V}(J)$ 이면, 필요한 대로 $\sqrt{I}=\bigcap_{\mathfrak{p}\in\mathcal{V}(I)}\mathfrak{p}=\bigcap_{% \mathfrak{p}\in\mathcal{V}(J)}\mathfrak{p}=\sqrt{J}$ 입니다.

역으로, $\sqrt{I}=\sqrt{J}$ 라고 가정합시다. 그러면 $\mathcal{V}(I)=\mathcal{V}(\sqrt{I})=\mathcal{V}(\sqrt{J})=\mathcal{V}(J)$ 입니다. ∎

이를 기약 닫힌 부분집합이 소 아이디얼에 대응한다는 앞선 정리와 비교해 보십시오!

84.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

장 86에는 직관을 기르기 위한 아핀 스킴의 예시가 많이 담겨 있으므로, 아직 이해되지 않는 부분이 있더라도 이 문제들을 풀어 보기 전에 먼저 읽어 볼 만한 가치가 있을 것입니다.

문제 84A ( $\operatorname{Spec}\mathbb{Q}[x]$ ).

$\operatorname{Spec}\mathbb{Q}[x]$ 의 점과 위상을 설명하십시오.

힌트. 갈루아 켤레.

문제 84B (곱환).

$\operatorname{Spec}A\times B$ 의 점과 위상을 $\operatorname{Spec}A$ 와 $\operatorname{Spec}B$ 를 이용하여 설명하십시오.

문제 84C (아르틴 환을 실제로 어떻게 생각해야 하는가).

$A$ 가 뇌터 환이라고 합시다. 다음이 모두 동치임을 증명하십시오.

(i)

$A$ 는 아르틴 환입니다. 즉 (문제 4H에서 정의한) 내림 사슬 조건을 만족합니다.
(ii)

$A$ 의 크룰 차원이 $0$ 이거나 $A$ 가 영환입니다.
(iii)

$\operatorname{Spec}A$ 는 유한하고 이산적입니다.
(iv)

$\operatorname{Spec}A$ 는 유한합니다.