장 48 리만 곡면 사이의 사상

48.1 정의

정의는 예상한 그대로입니다 — 리만 곡면의 주된 특징은 복소 구조이므로, 사상 $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 는 정칙일 때, 그리고 그때에만 리만 곡면 사이의 사상입니다.

정의 48.1.1.

$X$ 와 $Y$ 를 리만 곡면이라고 합시다. 사상 $f\colon X\to Y$ 가 $p\in X$ 에서 정칙이라는 것은, 합성 $\phi_{2}\circ f\circ\phi_{1}^{-1}$ 가 $\phi_{1}(p)$ 에서 정칙이 되도록 하는 X 위의 차트 $\phi_{1}\colon U_{1}\to E_{1}$ ( $p\in U_{1}$ )과 $Y$ 위의 차트 $\phi_{2}\colon U_{2}\to E_{2}$ ( $f(p)\in U_{2}$ )가 존재한다는 것과 동치입니다. $f$ 가 $X$ 의 모든 점에서 정칙일 때, 그리고 그때에만 $f$ 를 리만 곡면 사이의 사상이라고 합니다.

다시 말해, $f$ 가 정칙이라는 것은 $f$ 가 국소 좌표 사이의 함수로서 정칙이라는 것과 동치입니다.

예제 48.1.2.

몇 가지 예를 들어 보겠습니다.

•

$f(x)=x^{3}$ 으로 주어지는 함수 $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 는 사상입니다.

이 함수는 전단사가 아니라는 점에 유의하십시오. 각 점 $p\neq 0$ 에서는 $f$ 가 역함수를 갖는 열린 근방이 존재하지만, $0$ 에서는 $f$ 가 역함수를 갖지 않습니다.
•

복소평면을 리만 구에 매장하는 사상 $\mathbb{C}\hookrightarrow\mathbb{C}_{\infty}$ 는 사상입니다.

48.2 리만 구로 가는 함수

대표적인 예: 유리형 함수 $\frac{1}{z}$ 는 정칙 함수 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}_{\infty}$ 로 만들 수 있습니다.

이 절에서는 리만 구 $\mathbb{C}_{\infty}$ 를 “무한원점을 추가한 $\mathbb{C}$ ”로 볼 수 있음을 살펴보겠습니다. 이 해석을 이용하면 유리형 함수 $f\colon X\to\mathbb{C}$ 를 정칙 사상 $g\colon X\to\mathbb{C}_{\infty}$ 로 해석할 수 있으며, 이로써 유리형 함수를 훨씬 더 잘 다룰 수 있습니다 — 더 이상 특이점이 없으며, 그 결과로 얻는 함수 $g$ 는 모든 곳에서 정칙입니다!

먼저 $\mathbb{C}_{\infty}$ 를 한 점을 추가한 $\mathbb{C}$ 로 자연스럽게 해석할 수 있음을 봅시다. 예제 47.4.2의 표기를 따라, 사상 $\phi_{1}$ 을 통해 $\mathbb{C}_{\infty}\setminus\{N\}$ 을 $E_{1}$ (따라서 $\mathbb{C}$ )과 동일시하고, 점 $N$ 을 $\infty$ 라고 둡니다.

질문 48.2.1.

이 점을 $\infty$ 라고 부르는 것이 타당함을 스스로 확인해 보십시오 — $|z_{i}|\to+\infty$ 인 $\mathbb{C}$ 위의 모든 점열 $\{z_{i}\}$ 에 대해, 위상 공간으로서의 $\mathbb{C}_{\infty}$ 위에서 $\phi_{1}^{-1}(z_{i})\to\infty$ 입니다.

그러면 $X$ 를 리만 곡면이라 하고, $f\colon X\to\mathbb{C}$ 를 $X$ 위의 유리형 함수라고 합시다. 자연스럽게 $g$ 를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

g(z)=\begin{cases}f(z)&\text{만약}f(z)\neq\infty\\ \infty&\text{만약}f(z)=\infty.\end{cases}

그러면 $g$ 는 연속입니다 — 더 나아가 해석적이기도 합니다.

질문 48.2.2.

$g(z)\neq\infty$ 인 점 $z\in X$ 에서 $g$ 가 해석적임은 분명합니다.

$g(z)=\infty$ 인 $z\in X$ 에서도 $g$ 가 해석적임을 스스로 확인해 보십시오. (예제 47.4.2의 표기를 따라, 작은 열린집합 $U\subseteq X$ 를 잡고 $g^{\text{img}}(U)\subseteq\mathbb{C}_{\infty}$ 를 $t=1/z$ 로 재매개화하십시오.)

따라서 다음이 성립합니다.

명제 48.2.3.

유리형 함수 $f\colon X\to\mathbb{C}$ 와, $g$ 가 항등적으로 $\infty$ 가 아닌 정칙 사상 $g\colon X\to\mathbb{C}_{\infty}$ 사이에는 일대일 대응이 존재합니다.

또는 좀 더 비형식적으로 말하면 다음과 같습니다.

$\mathbb{C}$ 의 $\infty$ 에 있는 구멍을 메우면, 유리형 함수를 모든 곳에서 정칙인 $\mathbb{C}\cup\infty$ 사상으로 해석적으로 확장할 수 있습니다.

48.3 그 밖의 좋은 성질들

앞 절에서 리만 구 $\mathbb{C}_{\infty}$ 를 이용하면 유리형 함수의 특이점을 제거할 수 있음을 보았습니다.

비형식적으로 말하자면, 이는 $\mathbb{C}_{\infty}$ 가 $\mathbb{C}$ 의 “콤팩트화”(콤팩트하게 만들기 위해 점 하나를 추가한 것)이고, 콤팩트 리만 곡면은 좋은 성질을 많이 가지기 때문입니다.

명제 48.3.1.

$X$ 와 $Y$ 가 콤팩트하고, $f\colon X\to Y$ 가 정칙이며 상수가 아니라고 합시다. 각 점 $y\in Y$ 에 대하여, $d_{y}$ 를 $y$ 의 원상에 있는 점들의 중복도의 총합으로 정의합니다.

그러면 $d_{y}$ 는 잘 정의되며 상수입니다.

이 명제가 왜 놀라운지는 다음을 보면 알 수 있습니다:

예제 48.3.2 (이 명제는 매끄러운 콤팩트 다양체에 대해서는 성립하지 않습니다).

콤팩트한 매끄러운 실 $1$ -다양체 사이의 다음 함수 $f\colon X\to Y$ 를 생각해 봅시다. 이 함수는 $x$ 축과 $y$ 축이 있는 그래프로 그려져 있습니다. (콤팩트 $1$ -다양체는 $\mathbb{R}$ 에 매장될 수 없다는 점에 유의하십시오. $\mathbb{R}$ 의 콤팩트 부분집합은 닫혀 있고 유계이므로 반드시 경계를 가지기 때문입니다. 제대로 된 그래프는 $4$ 차원 공간에 놓이게 되는데, 이는 시각화하기가 상당히 어려우므로 근사적인 표현으로 만족하겠습니다.)

여기서 $X$ 와 $Y$ 는 모두 단위원과 동형입니다.

$Y$ 의 각 점 위에 있는 올에 속한 점의 개수를 세어 봅시다:

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점 $A$ 위에는 무한히 많은 점이 있습니다.
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점 $B$ 위에는 점이 하나뿐입니다. (그러나 이 점이 “중복도 $2$ ”를 가진다고 주장할 수도 있습니다)
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점 $C$ 위에는 점이 두 개 있습니다.
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점 $D$ 위의 올은 비어 있습니다.

정의 48.3.3.

위의 값 $d_{y}$ 를 사상 $f$ 의 차수라고 하며, $\deg(f)$ 로 씁니다.

예제 48.3.4.

사상 $z\mapsto z^{k}$ 를 $\mathbb{C}_{\infty}\to\mathbb{C}_{\infty}$ 사상으로 확장하면, 그 차수는 $k$ 입니다.

$t\neq 0$ 이면, $t$ 가 서로 다른 $k$ 개의 $k$ 제곱근을 가진다는 것을 알고 있습니다. 그러나 $t=0$ 이면 그 원상은 점 $0$ 하나로만 이루어집니다. 이 경우 $z=0$ 이 “중복점”이라고 말하고 싶은데, 이는 다음 절에서 사상의 중복도를 정의할 때 형식화하겠습니다.

절 74.1를 읽었다면, 이는 사실 $X$ 와 $Y$ 가 모두 리만 구일 때 호몰로지에서의 차수 개념과 같습니다. 즉, $\operatorname{im}f$ 가 몇 개의 구면 주머니로 이루어져 있는지를 셉니다. 그러나 이 경우에는 이론이 한층 더 좋습니다. 그래프가 각 점을 $d$ 번 덮는 것과 호모토피 동치일 뿐만 아니라, 실제로 각 점이 정확히 $d$ 번 덮입니다!

이 주제는 복소해석학과 리만 곡면에서 반복하여 등장할 것입니다. 요컨대 다음과 같습니다:

“대상”을 올바르게 세면, 공식이 매우 깔끔해집니다.

이 명제의 증명은 어렵지 않습니다. 핵심 관찰은 정리가 $f(z)=z^{n}$ 꼴의 함수에 대해 참이라는 것과, 각 점 $p\in X$ 주변에서 국소적으로 $f$ 가 동형사상이거나 위의 꼴을 가진다는 것입니다. 따라서 $d_{y}$ 는 국소적으로 상수이며, $Y$ 가 연결되어 있으므로 상수입니다.

48.4 사상의 중복도

대표적인 예: $f(x)=(x-3)^{2}$ 에 대하여 $\operatorname{mult}_{3}(f)=2$ 입니다.

앞 절에서는 한 점에서의 사상의 중복도에 대해 비형식적으로 이야기했습니다. 이 절에서는 이를 엄밀하게 정의하겠습니다.

예제 48.4.1.

$f(z)=z^{5}+1$ 로 주어지는 사상 $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 를 생각해 봅시다.

각 점 $y\in\mathbb{C}$ 위에서 올 $f^{\text{pre}}(y)$ 는 $5$ 개의 점을 가집니다. 다만 $y=1$ 일 때는 예외로, $f^{\text{pre}}(1)=\{0\}$ 은 점을 1개만 가집니다.

이러한 동작은 바람직하지 않으며, 우리는 함수 $f$ 가 점 $0$ 의 $5$ 개의 “동일한 복사본”을 점 $1$ 로 보내는 사상이라고 말하고 싶습니다. (다른 방식으로 보면, $1$ 로 수렴하는 각 열 $\{y_{i}\}$ 에 대하여, 모든 $i$ 에 대해 $f(x_{i})=y_{i}$ 를 만족하며 $0$ 으로 수렴하는 서로 다른 열 $\{x_{i}\}$ 가 $5$ 개 존재한다는 것입니다.)

이에 착안하여, 중복도가 다음 조건을 만족하도록 정의하겠습니다.

•

정수 $m\geq 1$ 에 대해 $z\mapsto z^{m}$ 의 중복도는 $m$ 입니다.
•

정의역이나 공역을 해석적으로 재매개화해도 차수는 변하지 않습니다.

이 두 성질만으로 차수가 완전히 결정됩니다! 다음이 성립합니다.

명제 48.4.2.

$f\colon X\to Y$ 를 $p\in X$ 에서 정의된 상수가 아닌 정칙 사상이라고 합시다. 그러면 다음을 만족하는 정수 $m\geq 1$ 이 유일하게 존재합니다. $f(p)$ 를 중심으로 하는(즉, $\phi_{2}(f(p))=0$ 인) $Y$ 위의 모든 차트 $\phi_{2}\colon U_{2}\to V_{2}$ 에 대해, 유도된 사상 $\phi_{2}\circ F\circ\phi_{1}^{-1}\colon V_{1}\to V_{2}$ 가 $z\mapsto z^{m}$ 꼴이 되도록 하는, $p$ 를 중심으로 하는 $X$ 위의 차트 $\phi_{1}\colon U_{1}\to V_{1}$ 이 존재합니다.

다시 말해, $Y$ 의 차트를 하나 고정하면 $\mathbb{C}$ 의 열린 부분집합 사이에 유도된 사상이 거듭제곱 사상이 되도록 하는 $X$ (의 열린 부분집합)의 차트가 존재합니다. 게다가 그 지수는 차트의 선택에 의존하지 않습니다.

모든 사상은 국소적으로 $z\mapsto z^{m}$ 처럼 보입니다.

증명.

요컨대 테일러 전개로 $m$ 을 정하고 나면, $\phi_{1}$ 의 선택은 주어진 제약 조건에 의해 사실상 정해집니다. ∎

정의 48.4.3.

위의 값 $m$ 을 점 $p$ 에서 $f$ 의 중복도라고 하며, $\operatorname{mult}_{p}(f)$ 로 씁니다.

예제 48.4.4 (한 점에서 사상의 중복도에 대한 추가 예시).

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

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함수 $z\mapsto z^{-2}$ 를 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}_{\infty}$ 사상으로 확장하면 점 $0$ 에서 중복도가 $2$ 입니다 — 점 $0$ 의 “사본 두 개”가 점 $\infty$ 로 보내집니다.
•

함수 $f(z)=(z-1)(z-2)^{5}$ 에 대해 $\operatorname{mult}_{2}(f)=5$ 입니다 — 더 일반적으로, $p$ 가 $f$ 의 근이면 $\operatorname{mult}_{p}(f)$ 는 그 근의 중복도입니다.
•

함수 $z\mapsto z+1$ 은 모든 점에서 중복도가 $1$ 입니다 — 실제로 상수가 아닌 사상의 중복도는 “대부분의” 점에서 $1$ 입니다.

공식적인 용어는 다음과 같습니다.

정의 48.4.5.

$\operatorname{mult}_{p}(f)>1$ 인 점 $p$ 를 분기점이라고 합니다. 이 경우 점 $f(p)$ 를 가지점이라고 합니다.

48.5 유리형 함수의 위수의 합

깔끔한 공식을 얻는 또 다른 경우입니다.

예제 48.5.1.

( $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 함수를 자명한 방법으로 확장하여 정의한) 유리형 $\mathbb{C}_{\infty}\to\mathbb{C}_{\infty}$ 함수 몇 개를 생각하고, 그 영점과 극점을 (중복도를 포함하여) 나열해 봅시다.

함수	영점	극점
$5$	없음	없음
$(x+1)^{2}$	$-1$ , $-1$	$\infty$ , $\infty$
$\frac{1}{x^{2}+1}$	$\infty$ , $\infty$	$i$ , $-i$
$\frac{x+1}{x+2}$	$-1$	$-2$

매번 영점의 개수와 극점의 개수가 같습니다. 이는 우연이 아닙니다!

명제 48.5.2.

$f\colon X\to\mathbb{C}$ 를 콤팩트 리만 곡면 $X$ 위의 상수가 아닌 유리형 함수라고 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

\sum_{p}\operatorname{ord}_{p}(f)=0.

물론 $X$ 가 콤팩트여야 합니다 — 영점은 여러 개 있지만 극점은 없는 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 함수가 분명히 존재합니다.

증명.

$f$ 를 $X\to\mathbb{C}_{\infty}$ 함수로 확장하면, $0$ 의 올에 속한 점들의 중복도의 합은 $\infty$ 의 올에 속한 점들의 중복도의 합과 같습니다. ∎

48.6 후르비츠 공식

작성 예정: 이 부분을 작성하십시오. 사실 꽤 멋진 내용입니다.

48.7 항등 정리

다음 명제들은 예상할 수 있는 결과입니다 — 복소해석학에서도 정칙 함수에 대해 같은 현상이 나타납니다.

정리 48.7.1.

$f,g\colon X\to Y$ 가 리만 곡면 사이의 정칙 사상이라고 합시다. $X$ 의 공집합이 아닌 열린 부분집합에서 $f=g$ 이면, $f=g$ 입니다.

이것은 문제 31C의 유사물입니다. 여기서 $X$ 가 연결되어 있다는 가정이 사용된다는 점에 주의하십시오 — $\mathbb{C}$ 의 두 복사본의 서로소 합집합은 매끄러운 $2$ -다양체이지만, 리만 다양체는 아닙니다.

즉,

정칙 사상은 경직되어 있습니다 — 아주 작은 부분집합에서의 함수의 값이 모든 곳에서의 값을 결정합니다.