장 48 리만 곡면 사이의 사상

48.1 정의

이 정의는 우리가 예상하는 그대로입니다 — 리만 곡면의 주요 특징이 복소 구조이므로, 사상 $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 가 리만 곡면 사이의 사상이 되는 것은 그것이 정칙일 때, 그리고 오직 그때뿐입니다.

정의 48.1.1.

$X$ 와 $Y$ 를 리만 곡면이라 합시다. 사상 $f\colon X\to Y$ 가 $p\in X$ 에서 정칙인 것은, $p\in U_{1}$ 을 만족하는 $X$ 위의 차트 $\phi_{1}\colon U_{1}\to E_{1}$ 과 $f(p)\in U_{2}$ 를 만족하는 $Y$ 위의 차트 $\phi_{2}\colon U_{2}\to E_{2}$ 가 존재하여 합성 $\phi_{2}\circ f\circ\phi_{1}^{-1}$ 가 $\phi_{1}(p)$ 에서 정칙이 될 때, 그리고 오직 그때뿐입니다. $f$ 가 $X$ 의 모든 점에서 정칙일 때, 그리고 오직 그때에만 $f$ 를 리만 곡면 사이의 사상이라고 합니다.

다시 말해: $f$ 가 정칙인 것은 국소 좌표 사이를 대응시키는 함수로서 정칙일 때, 그리고 오직 그때뿐입니다.

예제 48.1.2.

몇 가지 예시를 들어보겠습니다.

•

$f(x)=x^{3}$ 으로 정의되는 함수 $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 는 사상입니다.

이 함수는 전단사가 아님에 유의하십시오. $p\neq 0$ 인 각 점에서는 $f$ 가 역함수를 갖는 열린 근방이 존재하지만, $0$ 에서는 $f$ 가 역함수를 갖지 않습니다.
•

복소평면을 리만 구면에 내포시키는 사상 $\mathbb{C}\hookrightarrow\mathbb{C}_{\infty}$ 는 사상입니다.

48.2 리만 구면으로 가는 함수

대표적인 예: 유리형 함수 $\frac{1}{z}$ 는 정칙 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}_{\infty}$ 함수로 만들 수 있습니다.

이 절에서는 리만 구면 $\mathbb{C}_{\infty}$ 를 “무한대의 점이 추가된 $\mathbb{C}$ ”로 볼 수 있음을 살펴보겠습니다. 이러한 해석을 통해 유리형 함수 $f\colon X\to\mathbb{C}$ 를 정칙 사상 $g\colon X\to\mathbb{C}_{\infty}$ 로 해석할 수 있으며, 이는 유리형 함수를 훨씬 더 잘 다룰 수 있게 해줍니다 — 더 이상 특이점이 존재하지 않으며, 결과 함수 $g$ 는 어디서나 정칙입니다!

먼저, $\mathbb{C}_{\infty}$ 가 자연스럽게 점 하나가 추가된 $\mathbb{C}$ 로 해석될 수 있음을 살펴봅니다: 예제 47.4.2에서와 같은 표기법을 사용하여, $\mathbb{C}_{\infty}\setminus\{N\}$ 을 사상 $\phi_{1}$ 을 통해 $E_{1}$ 과 (따라서 $\mathbb{C}$ 와) 동일시하고, $\infty$ 를 점 $N$ 이라 합시다.

질문 48.2.1.

이 점을 $\infty$ 라고 부르는 것이 타당함을 스스로 확인해 보십시오 — $|z_{i}|\to+\infty$ 를 만족하는 $\mathbb{C}$ 위의 점들의 모든 수열 $\{z_{i}\}$ 에 대해, 위상 공간으로서의 $\mathbb{C}_{\infty}$ 에서 $\phi_{1}^{-1}(z_{i})\to\infty$ 가 성립합니다.

그러면, $X$ 를 리만 곡면이라 하고, $f\colon X\to\mathbb{C}$ 를 $X$ 위의 유리형 함수라 합시다. 자연스럽게, $g$ 는 다음과 같이 정의될 수 있습니다

g(z)=\begin{cases}f(z)&\text{만약}f(z)\neq\infty\\ \infty&\text{만약}f(z)=\infty.\end{cases}

그러면 $g$ 는 연속입니다 — 그뿐만 아니라, 해석적이기도 합니다.

질문 48.2.2.

분명히, $g(z)\neq\infty$ 인 점 $z\in X$ 에서는 $g$ 가 해석적입니다.

$g(z)=\infty$ 인 $z\in X$ 에서도 $g$ 가 해석적임을 스스로 확인해 보십시오. (예제 47.4.2에서와 같은 표기법을 사용하여, 작은 열린집합 $U\subseteq X$ 를 취하고, $g^{\text{img}}(U)\subseteq\mathbb{C}_{\infty}$ 를 $t=1/z$ 로 재매개변수화해 보십시오.)

따라서,

명제 48.2.3.

$g$ 가 항등적으로 $\infty$ 가 아닌 유리형 함수 $f\colon X\to\mathbb{C}$ 와 정칙 사상 $g\colon X\to\mathbb{C}_{\infty}$ 사이에는 일대일 대응이 존재합니다.

또는, 좀 더 편하게 말하면,

$\mathbb{C}$ 의 $\infty$ 에 있는 구멍을 메움으로써, 유리형 함수를 어디에서나 정칙인 $\mathbb{C}\cup\infty$ 사이의 사상으로 해석적으로 확장할 수 있게 됩니다.

48.3 그 밖의 몇 가지 좋은 성질들

지난 절에서 우리는 리만 구면 $\mathbb{C}_{\infty}$ 가 유리형 함수의 특이점을 제거할 수 있게 해준다는 것을 방금 살펴보았습니다.

비형식적으로 말하면, 이는 $\mathbb{C}_{\infty}$ 가 $\mathbb{C}$ 의 ”콤팩트화”이기 때문입니다 — 콤팩트하게 만들기 위해 한 점을 추가한 것입니다 — 그리고 콤팩트 리만 곡면은 여러 좋은 성질을 가집니다.

명제 48.3.1.

$X$ 와 $Y$ 가 콤팩트하고, $f\colon X\to Y$ 가 정칙이며 상수가 아니라고 합시다. 각 점 $y\in Y$ 에 대해, $d_{y}$ 를 $y$ 의 원상에 속한 점들의 중복도의 총합으로 정의합니다.

그러면, $d_{y}$ 는 잘 정의되어 있으며 상수입니다.

이 명제가 왜 놀라운지 알 수 있습니다:

예제 48.3.2 (이 명제는 매끄러운 콤팩트 다양체에 대해서는 성립하지 않습니다).

콤팩트 매끄러운 실 $1$ -다양체 사이의 다음 함수 $f\colon X\to Y$ 를 생각해 봅시다. 이는 $x$ 축과 $y$ 축을 가진 그래프로 나타내었습니다. (콤팩트한 $1$ -다양체는 $\mathbb{R}$ 에 매장될 수 없다는 점에 유의하십시오. 왜냐하면 $\mathbb{R}$ 의 콤팩트 부분집합은 닫혀 있고 유계이므로 반드시 경계를 가지기 때문입니다. 제대로 된 그래프는 $4$ 차원 공간에 존재해야 하는데, 이는 시각화하기가 상당히 어려우므로, 근사적인 표현으로 만족하겠습니다.)

여기서, $X$ 와 $Y$ 는 모두 단위원과 동형사상 관계에 있습니다.

$Y$ 의 각 점 위에 있는 올(fiber)의 점의 개수를 세어 봅니다:

•

점 $A$ 위에는, 무한히 많은 점이 있습니다.
•

점 $B$ 위에는, 오직 한 점만 있습니다. (다만 이 점이 ”중복도 $2$ ”를 가진다고 주장할 수 있습니다)
•

점 $C$ 위에는, 두 점이 있습니다.
•

점 $D$ 위에는, 올이 공집합입니다.

정의 48.3.3.

위의 값 $d_{y}$ 는 사상 $f$ 의 차수라고 불리며, $\deg(f)$ 로 씁니다.

예제 48.3.4.

사상 $z\mapsto z^{k}$ 를 $\mathbb{C}_{\infty}\to\mathbb{C}_{\infty}$ 사상으로 확장하면, 차수 $k$ 를 가집니다.

$t\neq 0$ 이면, $t$ 가 서로 다른 $k$ 개의 $k$ 제곱근을 가진다는 것을 알고 있습니다. 하지만 $t=0$ 이면, 그 원상은 오직 점 $0$ 만으로 이루어져 있습니다 — 이 경우, 우리는 $z=0$ 이 ”중복점”이라고 말하고 싶습니다 — 다음 절에서 사상의 중복도를 정의할 때 이를 엄밀하게 formalize하겠습니다.

절 74.1를 읽으셨다면, 이는 사실 $X$ 와 $Y$ 가 모두 리만 구인 경우의 호몰로지에서의 차수 개념과 동일합니다 — 이는 $\operatorname{im}f$ 가 몇 개의 구형 자루로 이루어져 있는지를 세는 것입니다. 하지만, 이 경우에는, 이론이 특별히 더 좋습니다 — 그래프가 각 점을 $d$ 번 덮는 것과 호모토피 동치일 뿐만 아니라, 각 점이 실제로 정확히 $d$ 번 덮이기 때문입니다!

이 주제는 복소해석학과 리만 곡면에서 반복적으로 나타날 것입니다. 기본적으로:

”것들”을 제대로 세면, 공식이 매우 깔끔합니다.

이 명제의 증명은 어렵지 않습니다 — 핵심 관찰은 정리가 $f(z)=z^{n}$ 형태의 함수에 대해 참이며, 각 점 $p\in X$ 주변에서 국소적으로 $f$ 가 동형사상이거나 위의 형태를 가진다는 것입니다. 따라서 $d_{y}$ 는 국소적으로 상수이며, $Y$ 가 연결되어 있으므로 상수가 됩니다.

48.4 사상의 중복도

대표적인 예: $f(x)=(x-3)^{2}$ 는 $\operatorname{mult}_{3}(f)=2$ 를 가집니다.

이전 절에서, 우리는 한 점에서의 사상의 중복도에 대해 비형식적으로 이야기했습니다. 이 절에서 이를 엄밀하게 정의하겠습니다.

예제 48.4.1.

$f(z)=z^{5}+1$ 로 주어진 사상 $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 를 생각해 봅시다.

각 점 $y\in\mathbb{C}$ 위에서, 올 $f^{\text{pre}}(y)$ 는 $5$ 개의 점을 가집니다 — $y=1$ 인 경우는 예외로, 이때 $f^{\text{pre}}(1)=\{0\}$ 는 오직 1개의 점만을 가집니다.

이러한 동작은 바람직하지 않으며, 우리는 함수 $f$ 가 점 $0$ 의 “동일한 사본” $5$ 개를 점 $1$ 로 보낸다고 말하고 싶습니다. (다른 관점으로 보면, $1$ 로 수렴하는 각 수열 $\{y_{i}\}$ 에 대해, 각 $i$ 마다 $f(x_{i})=y_{i}$ 를 만족하며 $0$ 으로 수렴하는 서로 다른 수열 $\{x_{i}\}$ 가 $5$ 개 존재합니다.)

이에 영감을 받아, 다음과 같은 방식으로 중복도를 정의하겠습니다:

•

$z\mapsto z^{m}$ 은 정수 $m\geq 1$ 에 대해 중복도 $m$ 을 가집니다.
•

정의역이나 공역에 대해 정칙 재매개화를 수행하더라도, 차수는 변하지 않습니다.

이 두 성질이 차수를 완전히 정의한다는 것이 밝혀졌습니다! 다음이 성립합니다.

명제 48.4.2.

$f\colon X\to Y$ 를 $p\in X$ 에서 정의된 상수가 아닌 정칙 사상이라 합시다. 그러면, $f(p)$ 를 중심으로 하는 $Y$ 위의 모든 좌표계 $\phi_{2}\colon U_{2}\to V_{2}$ (즉, $\phi_{2}(f(p))=0$ )에 대해, $p$ 를 중심으로 하는 $X$ 위의 좌표계 $\phi_{1}\colon U_{1}\to V_{1}$ 이 존재하여, 유도된 사상 $\phi_{2}\circ F\circ\phi_{1}^{-1}\colon V_{1}\to V_{2}$ 가 $z\mapsto z^{m}$ 의 형태를 가지도록 하는 유일한 정수 $m\geq 1$ 이 존재합니다.

다시 말해, $Y$ 의 좌표계를 고정하면, $X$ 의 (열린 부분집합의) 좌표계가 존재하여 $\mathbb{C}$ 의 열린 부분집합 사이에 유도된 사상이 거듭제곱 사상이 되도록 할 수 있으며, 더 나아가 그 지수는 선택에 무관합니다.

모든 사상은 국소적으로 $z\mapsto z^{m}$ 처럼 보입니다.

증명.

본질적으로, 테일러 전개를 이용하여 $m$ 을 결정하면, $\phi_{1}$ 의 선택은 그 제약 조건들에 의해 거의 고정됩니다. ∎

정의 48.4.3.

위의 값 $m$ 은 점 $p$ 에서 $f$ 의 중복도이며, $\operatorname{mult}_{p}(f)$ 로 표기합니다.

예제 48.4.4 (점에서의 사상의 중복도에 대한 더 많은 예시).

몇 가지 예시를 살펴보겠습니다.

•

$\mathbb{C}\to\mathbb{C}_{\infty}$ 사상으로 확장된 함수 $z\mapsto z^{-2}$ 는 점 $0$ 에서 중복도 $2$ 를 가집니다 — 점 $0$ 의 “두 사본”이 점 $\infty$ 로 사상됩니다.
•

함수 $f(z)=(z-1)(z-2)^{5}$ 는 $\operatorname{mult}_{2}(f)=5$ 를 가집니다 — 더 일반적으로, $p$ 가 $f$ 의 근이라면, $\operatorname{mult}_{p}(f)$ 는 그 근의 중복도입니다.
•

함수 $z\mapsto z+1$ 은 모든 곳에서 중복도 $1$ 을 가집니다 — 사실, 상수가 아닌 사상의 “대부분의” 점에서의 중복도는 $1$ 이 됩니다.

이것들이 공식 용어입니다:

정의 48.4.5.

$\operatorname{mult}_{p}(f)>1$ 인 점 $p$ 를 분기점이라 부릅니다. 이 경우, 점 $f(p)$ 를 가지점이라 부릅니다.

48.5 유리형 함수의 위수의 합

우리가 좋은 공식을 얻는 또 다른 경우입니다.

예제 48.5.1.

( $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 함수를 자명한 방식으로 확장하여 정의된) 몇 가지 유리형 $\mathbb{C}_{\infty}\to\mathbb{C}_{\infty}$ 함수를 고려하고, 그 영점과 극점을 (중복도와 함께) 나열해 보겠습니다.

함수	영점	극점
$5$	없음	없음
$(x+1)^{2}$	$-1$ , $-1$	$\infty$ , $\infty$
$\frac{1}{x^{2}+1}$	$\infty$ , $\infty$	$i$ , $-i$
$\frac{x+1}{x+2}$	$-1$	$-2$

매번, 영점의 개수는 극점의 개수와 같습니다. 이것은 우연이 아닙니다!

명제 48.5.2.

$f\colon X\to\mathbb{C}$ 를 콤팩트 리만 곡면 $X$ 위의 상수가 아닌 유리형 함수라 합시다. 그러면

\sum_{p}\operatorname{ord}_{p}(f)=0.

이 성립합니다.

물론, $X$ 가 콤팩트여야 합니다 — 영점은 여러 개 있지만 극점은 없는 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 함수가 분명히 존재합니다.

증명.

$f$ 를 $X\to\mathbb{C}_{\infty}$ 함수로 확장하면, $0$ 의 올에 속한 점들의 중복도의 합은 $\infty$ 의 올에 속한 점들의 중복도의 합과 같습니다. ∎

48.6 후르비츠 공식

작성 예정: 이것을 작성하십시오. 사실 꽤 멋집니다

48.7 항등 정리

다음 명제들은 예상되는 바입니다 — 정칙 함수를 다루는 복소해석학에서도 동일한 현상이 나타납니다.

정리 48.7.1.

$f,g\colon X\to Y$ 를 리만 곡면 사이의 정칙 사상이라 합시다. $X$ 의 공집합이 아닌 열린집합 위에서 $f=g$ 이면, $f=g$ 입니다.

이는 문제 31C의 유사물입니다. 여기서 $X$ 가 연결되어 있다는 가정이 사용됨에 주목하십시오 — $\mathbb{C}$ 의 두 사본의 분리합집합은 매끄러운 $2$ -다양체이지만, 리만 다양체는 아닙니다.

즉,

정칙 사상은 경직되어 있습니다 — 함수의 값이 아주 작은 부분집합에서 결정되면 그 함수의 값은 어디서나 결정됩니다.