장 35 측도 공간

다음은 앞으로 우리가 나아갈 방향의 개요입니다. 앞으로 몇 장에 걸친 우리의 목표는 큰 수의 법칙과 중심극한정리를 서술하고 (경우에 따라서는 증명하기) 위한 도구를 개발하는 것입니다. 이러한 목적을 위해서는 미적분학 101에서 했던 얼마 안 되는 작업으로는 턱없이 부족합니다. $\mathbb{R}$ (또는 $\mathbb{R}^{n}$ ) 위에서의 적분만으로는 도저히 감당할 수 없습니다.

이 장에서는 “측도 공간”의 이론을 전개합니다. 측도 공간은 “크기의 개념이 갖추어진 공간”으로 생각할 수 있습니다. 그런 다음 이른바 르베그 적분(어떤 의미에서는 리만 적분보다 거의 엄밀하게 더 나은 적분입니다)을 이용하여 이러한 공간 위에서 적분할 수 있게 됩니다.

35.1 문자의 함의

앞으로는 많은 “유형”의 대상이 등장하므로, 이어지는 여러 장에 걸쳐 사용할 문자의 함의를 여기에 정리합니다. 이렇게 하면 어떤 문자가 쓰였는지만 보고도 각 대상의 “유형”이 무엇인지 쉽게 알 수 있습니다.

•

측도 공간은 $\Omega$ 로, 그 원소는 $\omega$ 로 나타냅니다.
•

대수와 $\sigma$ -대수는 필기체 $\mathscr{A}$ , $\mathscr{B}$ , …로 나타냅니다. 그 안에 속한 집합은 앞쪽 로마자 대문자 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , …로 나타냅니다.
•

측도(즉, 집합에 실수를 대응시키는 함수)는 보통 $\mu$ 또는 $\rho$ 로 나타냅니다.
•

확률 변수(세계를 실수로 보내는 함수)는 보통 로마자 대문자 뒷부분인 $X$ , $Y$ , $Z$ , …로 표기합니다.
•

$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 함수는 로마자로 나타내며, pdf에는 $f$ 와 $g$ 같은 문자를, cdf에는 $F$ 와 $G$ 같은 문자를 사용합니다.
•

실수는 $x$ , $y$ , $z$ 와 같은 로마자 소문자로 나타냅니다.

35.2 확률 변수를 통한 측도 공간의 동기 부여

측도 공간을 왜 구성하려고 하는지 동기를 부여하기 위해, (실수) 확률 변수에 대해 이야기하고자 합니다. 이것은 다음과 같이 생각할 수 있습니다.

•

동전 던지기의 결과,
•

토요일 보스턴의 최고 기온,
•

다음 주말 여러분의 18.725 데이트 날에 비가 올 가능성.

이것을 제대로 전개하는 데 왜 긴 이론이 필요할까요? 단순한 동전 던지기라면 직관적으로 “앞면 50%, 뒷면 50%”라고 생각하고 끝내면 됩니다. 기온의 경우는 이산적이지 않고 연속적이므로 상황이 조금 더 까다롭지만, 관심 있는 것이 그 하나의 기온뿐이라면 미적분학만으로도 충분히 다룰 수 있을 것처럼 보입니다.

그러나 변수들이 서로 “대화하기” 시작하면 문제는 더 미묘해집니다. 최고 기온은 비가 올지에 대해 약간의 정보를 알려 줍니다. 예를 들어 기온이 매우 높다면 맑을 가능성이 상당히 높기 때문입니다. 문득 조건부 확률에 대해 이야기할 수 있기를 바라게 되지만, 이는 그야말로 골치 아픈 문제입니다 — 이런 종류의 것들 사이의 관계는 순식간에 매우 복잡해질 수 있습니다.

이를 형식화하기 위한 핵심 아이디어는 다음과 같습니다.

측도 공간 $\Omega$ 는 세계 전체들의 공간으로 생각하며, 각 $\omega\in\Omega$ 는 하나의 세계를 나타냅니다. 확률 변수는 세계에서 $\mathbb{R}$ 로 가는 함수입니다.

이렇게 하면 “세계”들의 공간이 온갖 복잡한 상호 의존성을 모두 떠맡게 됩니다.

그런 다음 세계들의 집합에 “측도”를 부여할 수 있습니다. 예를 들어, 공정한 동전이라는 것은 그 한 번의 동전 던지기에만 관심이 있을 때 그 동전이 앞면을 보인 세계들의 “비율”이 $\frac{1}{2}$ 이어야 한다는 뜻입니다. 이는 어떤 면에서 고등학교에서 배운 것과 거꾸로입니다. 공식적으로는 확률에서 출발하는 것이 아니라 세계들의 공간에서 출발합니다.

$2^{\Omega}$ 개의 부분집합 하나하나에 모두 잘 정의된 측도를 부여할 방법이 없다는 것이 곧 분명해질 것입니다. 다행히 실제로는 그럴 필요가 없으며, $\sigma$ -대수의 개념이 “그럭저럭 해 나가기에 충분한 측정-가능한 집합”이라는 아이디어를 포착해 줄 것입니다.

비고 35.2.1 (무작위 시드).

프로그래밍을 해 보셨다면 또 다른 비유가 있습니다. 각 $\omega\in\Omega$ 는 무작위 시드이며, 모든 것이 거기에서 결정됩니다.

35.3 측도 공간의 기하학적 동기

자, 가능한 점들의 집합 $\Omega$ 가 있습니다(앞의 논의 맥락에서는 이것을 세계들의 집합으로 생각할 수 있습니다). 우리는 $\Omega$ 의 점들로 이루어진 부분집합에 측도(부피라고 생각하십시오)를 부여하려고 합니다. 이제 우리가 마주할 몇 가지 장애물을 설명하여 측도 공간을 어떻게 정의하는지에 대한 동기를 부여하겠습니다(앞 절에서는 그런 것이 왜 필요한지에 대한 동기만 부여했습니다).

이것을 순진하게 시도하면 거의 곧바로 집합론적 문제에 부딪힙니다. 왜 이런 일이 생기는지 생각해 보기 좋은 예는 $\Omega=\mathbb{R}^{2}$ 이고 측도가 넓이에 해당하는 경우입니다. 삼각형의 넓이는 고등학교에서 배운 대로 정의할 수 있고, 그다음에는 원의 넓이를, 예컨대 다각형으로 근사하는 방식으로 정의해 볼 수 있습니다. 그런데 예를 들어 부분집합 $\mathbb{Q}^{2}$ 에는 어떤 넓이를 부여하겠습니까? (사실 “0”이 실제로 통하는 답입니다.) 또는, 단위 원판은 무한히 많은 점으로 이루어져 있습니다. 각 점은 마땅히 측도가 0이어야 하는데, 그렇다면 왜 그 점들의 합집합은 측도가 $\pi$ 입니까? 등등.

이에 대해서는 나중에 더 이야기하겠지만, 여러분은 이미 바나흐-타르스키 역설을 들어 보았을지도 모릅니다. 이 역설은 본질적으로 $\mathbb{R}^{3}$ 의 모든 부분집합 하나하나에 측도를 부여하면서 기본적인 타당성 검사를 만족시키는 좋은 방법이 없다는 것을 보여 줍니다. 유클리드 공간의 가능한 부분집합은 그저 너무나 많습니다.

하지만 다행히도 이러한 집합 대부분은 우리가 신경 쓸 일이 전혀 없는 것들이며, 특정한 “충분히 좋은 집합”에 대해서만 측도를 정의하면 충분합니다. 우리가 사용할 형용사는 가측이며, 이것은 어떤 실용적인 목적에도 차고 넘칠 만큼 충분하다는 것이 밝혀질 것입니다.

일반적으로 가측 집합에는 $A$ , $B$ , … 를 사용하고, 가측 집합 전체의 족은 필기체 $\mathscr{A}$ 로 나타내겠습니다.

35.4 $\sigma$ -대수와 가측 공간

기계어 코드는 다음과 같습니다.

정의 35.4.1.

가측 공간은 점들의 공간 $\Omega$ 와, $\Omega$ 의 부분집합들로 이루어진 $\sigma$ -대수 $\mathscr{A}$ ( $\Omega$ 의 “가측 집합”들)로 구성됩니다. 집합 $\mathscr{A}$ 는 다음 공리를 만족해야 합니다.

•

$\mathscr{A}$ 는 $\varnothing$ 과 $\Omega$ 를 포함합니다.
•

$\mathscr{A}$ 는 여집합과 가산 합집합/교집합에 대해 닫혀 있어야 합니다. (명명법에 대한 힌트: $\sigma$ 는 보통 일종의 “가산 유한” 조건을 나타냅니다.)

(불평: 이 용어는 나중에 나올 “측도 공간”과 혼동될 수 있어서 발음상 헷갈립니다. 이렇게 생각하면 됩니다. “가측(measurable) 공간에는 $\sigma$ -대수가 있으므로 그 위에 측도를 주려고 시도할 수는 있지만, 아직 주지는 않았습니다.”)

이 정의는 몇몇 특정한 경우에 우리가 실제로 생각하는 방식이기는 하지만, 대부분의 경우 실제로는 $\mathscr{A}$ 를 다음과 같이 다른 방식으로 구체화합니다.

정의 35.4.2.

$\Omega$ 를 집합이라 하고, $\Omega$ 의 부분집합들로 이루어진 어떤 족 $\mathscr{F}$ 를 생각합시다. 그러면 $\mathscr{F}$ 로 생성된 $\sigma$ -대수는 $\mathscr{F}$ 를 포함하는 가장 작은 $\sigma$ -대수 $\mathscr{A}$ 입니다.

수학에서 흔히 그렇듯이, “생성된”이라는 말이 보이면 정의가 “알아서 처리되도록” 맡겨 둔다는 뜻입니다. 그래서 $\Omega=\mathbb{R}$ 이라면, $\mathscr{A}$ 가 모든 열린집합을 포함하기를 원할 수 있습니다. 그러면 정의에 따라 $\mathscr{A}$ 는 모든 여집합도 포함해야 하므로 모든 닫힌집합을 포함합니다. 그다음에는 모든 반열린구간도 포함해야 하고, 그다음에는…. 최종적으로 $\mathscr{A}$ 가 정확히 어떤 모양인지 추론하려고 애쓰는 대신(이는 사실상 불가능한 것으로 드러납니다), 그냥 포기하고 “ $\mathscr{A}$ 는 열린집합에서 시작하여 합집합/여집합 연산을 반복해서 적용해 얻을 수 있는 모든 집합입니다”라고 말합니다. 더 노골적으로 말하자면 “열린집합에서 시작해서 세게 흔드십시오”입니다.¹¹1나중에 절 36.4에서 언급하겠지만, 초한 귀납법을 사용한 명시적인 구성이 가능합니다. 그 구성은 예를 들어 $|\mathscr{B}(\mathbb{R})|=|\mathbb{R}|$ 을 증명하는 데에도 유용합니다.

예시 없이 너무 오래 이야기했습니다.

예제 35.4.3 (가측 공간의 예).

처음 두 예는 $\mathscr{A}$ 가 무엇인지 실제로 알려 주고, 세 번째 예(가장 중요함)는 생성을 사용합니다.

(a)

$\Omega$ 가 임의의 집합이면 멱집합 $\mathscr{A}=2^{\Omega}$ 는 당연히 $\sigma$ -대수입니다. 이것은 $\Omega$ 가 가산일 때 사용되지만, $\Omega$ 가 매우 클 때는 별로 도움이 되지 않습니다.
(b)

$\Omega$ 가 비가산 집합이면, $\mathscr{A}$ 를 가산이거나 여집합이 가산인 $\Omega$ 의 모든 부분집합으로 정할 수 있습니다. (이것이 정의를 만족하는지 확인해 보십시오.) 이것은 매우 “성긴” 대수입니다.
(c)

$\Omega$ 가 위상 공간이면, 보렐 $\sigma$ -대수는 $\Omega$ 의 모든 열린집합으로 생성된 $\sigma$ -대수로 정의됩니다. 이것을 $\mathscr{B}(\Omega)$ 로 나타내고, 그 공간을 보렐 공간이라고 부릅니다. 앞서 경고했듯이 이것이 어떤 모양인지 기술하는 것은 사실상 불가능하므로, 대신 “열린집합을 측정할 수 있습니다”라는 뜻으로 생각하십시오.

질문 35.4.4.

임의의 위상 공간 $\Omega$ 에 대해 닫힌집합들이 $\mathscr{B}(\Omega)$ 에 속함을 보이십시오. $[0,1)$ 역시 $\mathscr{B}(\mathbb{R})$ 에 속함을 보이십시오.

35.5 측도 공간

정의 35.5.1.

그다음 가측 공간 $(\Omega,\mathscr{A})$ 에는 측도라고 불리는 함수 $\mu\colon\mathscr{A}\to[0,+\infty]$ 가 주어지며, 이 함수는 다음 공리를 만족해야 합니다.

•

$\mu(\varnothing)=0$
•

가산 가법성: $A_{1}$ , $A_{2}$ , … 가 $\mathscr{A}$ 에 속하는 서로소인 집합들이면 다음이 성립합니다.

$\mu\left(\bigsqcup_{n}A_{n}\right)=\sum_{n}\mu(A_{n}).$

삼중쌍 $(\Omega,\mathscr{A},\mu)$ 를 측도 공간이라고 합니다. $\mu(\Omega)=1$ 이면 이를 확률 공간이라고 합니다.

연습문제 35.5.2 (더 약한 동치 정의).

저는 사람들이 실제로 $\mathscr{A}$ 와 $\mu$ 를 생각하는 방식을 반영하도록 공리를 제시했는데, 이 때문에 어느 정도 중복이 있습니다. 예를 들어, 여집합과 합집합에 대해 닫혀 있으면 드모르간의 법칙에 의해 교집합에 대해서도 닫혀 있게 됩니다. 다음은 더 최소한의 정의들로, 어떤 대상이 이 정의들을 만족함을 증명하려 할 때 해야 할 일의 양을 줄이는 데 유용합니다.

(a)

$\mathscr{A}$ 에 대한 공리는 (i) $\varnothing\in\mathscr{A}$ 이고 (ii) $\mathscr{A}$ 가 여집합과 가산 합집합에 대해 닫혀 있다는 조건으로 약화할 수 있습니다.
(b)

$\mu$ 에 대한 공리는 (i) $\mu(\varnothing)=0$ , (ii) $\mu(A\sqcup B)=\mu(A)+\mu(B)$ , 그리고 (iii) $\mu(A_{1})<\infty$ 인 $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq\cdots$ 에 대하여 $\mu\left(\bigcap_{n}A_{n}\right)=\lim_{n}\mu(A_{n})$ 이 성립한다는 조건으로 약화할 수 있습니다.

비고 35.5.3.

다음은 이 정의들에서 바로 알 수 있는 몇 가지 사항입니다.

•

$A\subseteq B$ 가 가측이면, $\mu(B)=\mu(A)+\mu(B-A)$ 이므로 $\mu(A)\leq\mu(B)$ 입니다.
•

특히 확률 공간에서는 모든 측도가 $[0,1]$ 에 속합니다. 반면 일반적인 측도 공간에서는 $+\infty$ 도 가능한 측도로 허용할 것입니다(그래서 $\mu$ 의 공역으로 $[0,+\infty]$ 를 택한 것입니다).
•

최소한 가산 합집합 / 가산 가법성은 허용하고자 하는데, 유한 합집합만으로는 진전을 이루기가 너무 어렵기 때문입니다. 가산 무한히 많은 삼각형의 극한에 대해 이야기할 수 없다면 원의 넓이를 추정하기가 너무 어렵습니다.

비가산 합집합과 비가산 가법성은 허용하고 싶지 않은데, 비가산 합은 사실상 절대 제대로 작동하지 않기 때문입니다. 특히 다음과 같은 멋진 초등적 연습문제가 있습니다.

연습문제 35.5.4 (까다로움).

$S$ 를 양의 실수들로 이루어진 비가산 집합이라고 합시다. 어떤 유한 부분집합 $T\subseteq S$ 의 합이 $10^{2019}$ 보다 큼을 보이십시오. 쉽게 말하면 “비가산 개의 양의 실수는 유한한 합을 가질 수 없습니다”.

그러므로 무한합은 가산 합까지만 허용합니다. 애초에 $\sigma$ -대수를 고려한 이유가 바로 이것입니다.

예제 35.5.5 (측도).

이제 앞의 예시들에 나온 각 공간 위의 측도를 살펴보겠습니다.

(a)

$\mathscr{A}=2^{\Omega}$ 이면(사실 어떤 $\mathscr{A}$ 라도 마찬가지로) 각 $A\in\mathscr{A}$ 에 대해 $\mu(A)=|A|$ 로 정할 수 있습니다( $|A|=\infty$ 인 경우에도 그렇습니다). 이를 셈측도라고 하며, 단순히 원소의 개수를 셉니다.

이는 $\Omega$ 가 가산 무한일 때 유용하고, $\Omega$ 가 유한(이며 공집합이 아닐) 때 최적입니다. 후자의 경우에는 흔히 $\mu(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$ 로 정규화하여 $\Omega$ 를 확률 공간으로 만듭니다.
(b)

$\Omega$ 가 비가산이고 $\mathscr{A}$ 를 가산 집합들과 그 여집합들로 택했다고 합시다. 그러면

$\mu(A)=\begin{cases}0&\text{$A$가 가산입니다}\\ 1&\text{$\Omega\setminus A$가 가산입니다}\end{cases}$

이는 측도입니다. (이를 확인하십시오.)
(c)

모두가 알면서도 외면하고 있는 문제가 있습니다. $\mathscr{B}(\Omega)$ 위에 측도를 정의하는 것은 $\Omega=\mathbb{R}$ 인 경우에조차 어려우며, 이는 다음 장에서 다룹니다. 그러니 숨을 참고 기다리셔야 합니다. 지금 아는 것은, 제가 측도 $\mathscr{B}(\Omega)$ 를 정의하겠다는 의도를 밝힘으로써 적어도 모든 열린집합이 부피를 가지기를 바라고 있다는 것뿐입니다.

35.6 바나흐-타르스키의 단서

이제 $\mathscr{B}(\Omega)$ 가 불가피한 양보이며, $\Omega=\mathbb{R}^{n}$ 과 같은 일반적인 위상 공간에서는 $2^{\Omega}$ 에 측도를 부여할 가망이 없다는 것을 납득시켜 보겠습니다. (문헌에서는 이 예를 비탈리 집합이라고 부릅니다.)

예제 35.6.1 ( $\mathscr{A}=2^{\Omega}$ 가 부적합한 이유를 보여 주는 기하학적 예).

$\Omega$ 를 $\mathbb{R}^{2}$ 의 단위원이라 하고 $\mathscr{A}=2^{\Omega}$ 라고 합시다. $\mu(\Omega)=1$ 인 $\Omega$ 위의 임의의 측도 $\mu$ 가 바람직하지 않은 성질을 가짐을 보이겠습니다.

$\sim$ 을 $\Omega$ 위에서 다음과 같이 정의된 동치 관계라고 합시다. 두 점이 원점을 중심으로 $\pi$ 의 유리수배만큼 회전한 차이만 있을 때 두 점은 동치입니다. 각 동치류에서 대표원을 하나씩 고르고, 대표원들의 집합을 $X$ 라고 합시다. 그러면

\Omega=\bigsqcup_{\begin{subarray}{c}q\in\mathbb{Q}\\ 0\leq q<2\end{subarray}}\left(X\text{$q\pi$ 라디안만큼 회전된}\right).

$X$ 를 회전시키기만 했으므로, 각 회전은 모두 같은 측도 $m$ 을 가져야 합니다. 그러나 $\mu(\Omega)=1$ 이며, 그 측도에 부여할 수 있는 값이 존재하지 않습니다. $m=0$ 이면 $\mu(\Omega)=0$ 이 되고, $m>0$ 이면 $\mu(\Omega)=\infty$ 가 됩니다.

비고 35.6.2 (선택).

전문가라면 대표원을 고르는 것(즉 집합 $X$ 를 만드는 것)이 엄밀히는 선택 공리를 필요로 한다는 것을 알아차릴 것입니다. 그래서 사람들이 바나흐-타르스키 문제를 이야기할 때면 거의 항상 선택 공리도 함께 언급됩니다.

다음 장에서 $\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$ 의 구성을 실제로 보게 될 것이니 기대하십시오.

35.7 가측 함수

대표적인 예: $S\subseteq\Omega$ 에 대해, $\mathbf{1}_{S}\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 가 가측 함수일 필요충분조건은 $S$ 가 가측 집합인 것입니다.

예전에 위상 공간을 다룰 때에는 연속함수를 고려했습니다. 여기서 이에 대응하는 것은 다음과 같습니다.

정의 35.7.1.

$(X,\mathscr{A})$ 와 $(Y,\mathscr{B})$ 를 가측 공간(또는 측도 공간)이라고 합시다. 임의의 가측 집합 $S\subseteq Y$ (즉 $S\in\mathscr{B}$ )에 대하여 $f^{\text{pre}}(S)$ 가 가측(즉 $f^{\text{pre}}(S)\in\mathscr{A}$ )이면, 함수 $f\colon X\to Y$ 를 가측이라고 합니다.

대부분의 경우 $Y$ 는 실제로 보렐 $\sigma$ -대수를 갖춘 위상 공간(예: $Y=\mathbb{R}$ )이며, 이 경우 “가측 집합 $S$ ”를 “열린집합 $S$ ”로 바꿀 수 있습니다. 이 글의 나머지 부분에서는 이를 기본 가정으로 받아들여도 됩니다.

연속함수의 정의와의 명백한 대칭성 외에도, 절 37.2에서 보겠지만, 이 정의는 음이 아닌 함수 $f\colon\Omega\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ 에 대해 $\int_{\Omega}f\;d\mu$ 가 존재할 필요충분조건이 $f$ 가 가측인 것이 되도록 되어 있습니다.

비고 35.7.2.

다음 예에서 보듯이, 가측 함수가 실제로 연속일 필요는 없다는 점에 유의하십시오. 한편, 실제로 접하게 되는 대부분의 함수는 연속일 것이며, 그 경우에는 문제가 없습니다.

예제 35.7.3 (가측 집합의 역상이 가측이 아닌 연속함수).

$f\colon[0,1]\to[0,1]$ 을 악마의 계단(또는 칸토어 함수)이라고 합시다. 이 함수는 연속이며, $C\subseteq[0,1]$ 을 칸토어 집합이라고 하면 $|C|=0$ 이지만 $f^{\text{img}}(C)=[0,1]$ 의 측도는 $1$ 이라는 성질을 가집니다.

$g\colon[0,1]\to[0,2]$ 를 $g(x)=f(x)+x$ 로 정의합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

•

칸토어 집합 $C$ 에서 제거되는 각 열린구간 $(a,b)$ 에 대해 $|g^{\text{img}}((a,b))|=|(a,b)|$ 입니다.
•

$g^{\text{img}}(C)$ 의 측도는 $1$ 입니다.

$g$ 는 전단사이므로 $h\colon[0,2]\to[0,1]$ , $h=g^{-1}$ 라고 합시다. 그러면 $h$ 는 연속이지만, 다음이 성립합니다.

•

$h^{\text{pre}}(C)=g^{\text{img}}(C)$ 의 측도는 $1$ 이므로, 가측이 아닌 부분집합을 가집니다,
•

$C$ 의 측도는 $0$ 이므로, $C$ 의 모든 부분집합은 (르베그) 가측입니다,
•

따라서 어떤 가측 부분집합 $D\subseteq C$ 에 대하여 $h^{\text{pre}}(D)$ 는 가측이 아닙니다.

명제 35.7.4 (연속이면 보렐 가측).

$X$ 와 $Y$ 가 위상 공간이고 양쪽에 보렐 측도를 택했다고 합시다. 위상 공간 사이의 사상으로서 연속인 함수 $f\colon X\to Y$ 는 가측이기도 합니다.

증명.

열린집합의 역상은 열린집합이므로 보렐 가측이라는 사실에서 따라 나옵니다. ∎

35.8 “거의”라는 단어에 관하여

이후의 장들에서는 “거의 어디서나”와 “거의 확실하게”라는 표현이 등장하기 시작할 것이므로, 지금 시간을 내어 이에 대해 이야기해 두는 것이 현명해 보입니다.

정의 35.8.1.

성질 $P$ 가 거의 모든 곳에서 또는 거의 확실하게 성립한다고 하는 것은 다음 집합이

\left\{\omega\in\Omega\mid\text{$\omega$에 대해 $P$가 성립하지 않습니다}\right\}

측도가 0일 때입니다.

예를 들어 측도 공간 $\Omega$ 위에서 정의된 어떤 함수 $f$ 와 $g$ 에 대해 “거의 모든 곳에서 $f=g$ ”라고 하면, 이는 측도가 0인 집합을 제외한 모든 $\omega\in\Omega$ 에 대해 $f(\omega)=g(\omega)$ 라는 뜻입니다.

자, 이것이 정의입니다. 이제 여러분의 직관을 새롭게 해야 할 핵심은 다음과 같습니다.

측도론에서는 기본적으로 거의 어디서나 같은 것들을 같은 것으로 취급합니다.

다음은 몇 가지 예입니다.

•

거의 모든 곳에서 $f=g$ 이면, 측도론은 기본적으로 이 함수들을 구별하지 못합니다. 예를 들어, 거의 모든 곳에서 일치하는 두 함수에 대해 $\int_{\Omega}f\;d\omega=\int_{\Omega}g\;d\omega$ 가 성립합니다.
•

또 다른 예로, “이러이러한 조건을 만족하는 함수 $f$ 가 유일하게 존재한다”를 증명한다면 그 유일성은 보통 측도가 0인 집합에서의 차이를 무시한 유일성입니다.

이것은 군의 동형사상과 비슷하다고 생각할 수 있습니다. 두 군이 동형이면 “기본적으로 같다”고 여기는 것과 같습니다. 다만 이쪽은 익숙해지는 데 시간이 조금 걸릴 수 있습니다.²²2실제로 어떤 사람들은 측도 공간 위의 함수를 아예 사상들의 동치류로 정의하기도 합니다. 이때 측도가 0인 집합 바깥에서 일치하는 사상들은 같은 것으로 봅니다.

35.9 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 35A.

$(\Omega,\mathscr{A},\mu)$ 를 확률 공간이라고 합시다. 측도가 $1$ 인 집합을 가산 개 모은 교집합도 측도가 $1$ 임을 보이십시오.

문제 35B (가산 $\sigma$ -대수에 관하여).

^†^†margin:

$\mathscr{A}$ 를 집합 $\Omega$ 위의 $\sigma$ -대수라고 합시다. $\mathscr{A}$ 의 기수가 가산이라고 가정합시다. $|\mathscr{A}|$ 가 유한하며 $2$ 의 거듭제곱과 같음을 증명하십시오.