장 35 측도 공간

다음으로 우리가 나아갈 방향에 대한 개요를 소개합니다. 앞으로 몇 개의 장에 걸친 우리의 목표는 큰 수의 법칙과 중심극한정리를 서술(그리고 경우에 따라서는 증명)하기 위한 장치를 발전시키는 것입니다. 이러한 목적을 위해서는 미적분학 101에서 다룬 얼마 안 되는 작업으로는 심각하게 부족할 것입니다: $\mathbb{R}$ (또는 $\mathbb{R}^{n}$ )에서의 적분만으로는 도저히 해낼 수 없을 것입니다.

이 장에서는 ”크기라는 개념을 갖춘 공간”으로 생각할 수 있는 ”측도 공간”의 이론을 발전시킬 것입니다. 그러면 이른바 르베그 적분(어떤 의미에서는 리만 적분보다 거의 엄격하게 더 낫다고 할 수 있습니다)을 이용해 이러한 공간 위에서 적분할 수 있게 됩니다.

35.1 문자 연상

앞으로 등장할 객체의 ”종류”가 매우 많으므로, 다음 몇 개의 장에 걸쳐 우리가 사용할 문자 연상을 소개합니다. 이렇게 하면 어떤 문자가 사용되었는지만 보고도 각 객체의 ”종류”를 더 쉽게 알 수 있습니다.

•

측도 공간은 $\Omega$ 로 표기하고, 그 원소는 $\omega$ 로 표기합니다.
•

대수와 $\sigma$ -대수는 필기체 $\mathscr{A}$ , $\mathscr{B}$ , …로 표기합니다. 그 안에 속한 집합은 초반부 대문자 로마자 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , …로 표기합니다.
•

측도(즉, 집합을 실수에 대응시키는 함수)는 보통 $\mu$ 또는 $\rho$ 로 표기합니다.
•

확률 변수(세계를 실수로 보내는 함수)는 보통 후반부 대문자 로마자 $X$ , $Y$ , $Z$ , …로 표기합니다.
•

$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 함수는 로마자로 표기하며, pdf에는 $f$ , $g$ 같은 문자를, cdf에는 $F$ , $G$ 같은 문자를 사용합니다.
•

실수는 소문자 로마자 $x$ , $y$ , $z$ 같은 문자로 표기합니다.

35.2 확률 변수를 통해 측도 공간의 동기 부여하기

우리가 왜 측도 공간을 구성하고 싶어 하는지 동기를 부여하기 위해, (실제) 확률 변수에 대해 이야기해 보고자 합니다. 이는 다음과 같은 것으로 생각할 수 있습니다.

•

동전 던지기의 결과,
•

토요일 보스턴의 최고 기온,
•

다음 주말 여러분의 18.725 데이트에 비가 올 가능성.

왜 이것을 제대로 발전시키려면 긴 이론이 필요할까요? 단순한 동전 던지기라면 직관적으로 그저 ”앞면 50%, 뒷면 50%”라고 생각하고 끝날 것입니다. 기온의 경우는 이산적이지 않고 연속적이기 때문에 상황이 조금 더 까다롭지만, 여러분이 신경 쓰는 것이 오직 그 하나의 기온뿐이라면 미적분학만으로도 이를 다루기에 충분해 보입니다.

하지만 변수들이 서로 ”이야기를 나누기” 시작하면 상황은 더 미묘해집니다: 최고 기온은 비가 올지에 대해 약간의 정보를 알려줍니다. 예를 들어 기온이 매우 높으면 맑을 가능성이 상당히 높기 때문입니다. 갑자기 우리는 조건부 확률에 대해 이야기하고 싶어지지만, 이는 완전히 골치 아픈 문제입니다 — 이러한 것들 사이의 관계는 매우 빠르게 매우 복잡해질 수 있습니다.

이를 위한 형식 체계를 얻는 큰 아이디어는 다음과 같습니다:

우리의 측도 공간 $\Omega$ 는 세계 전체의 공간으로 생각될 것이며, 각 $\omega\in\Omega$ 는 하나의 세계를 나타냅니다. 확률 변수는 세계에서 $\mathbb{R}$ 로 가는 함수입니다.

이런 방식으로, ”세계”의 공간이 모든 지저분한 상호의존성을 처리해 줍니다.

그러면 우리는 세계의 집합에 ”측도”를 부여할 수 있습니다: 예를 들어, 공정한 동전이라는 것은, 여러분이 오직 그 한 번의 동전 던지기에만 관심이 있다면, 그 동전이 앞면을 보인 세계의 ”비율”이 $\frac{1}{2}$ 여야 한다는 것을 의미합니다. 이는 어떤 면에서는 여러분이 고등학교에서 배운 것과는 거꾸로입니다: 공식적으로는, 확률에서 시작하는 것이 아니라 세계의 공간에서 시작합니다.

$2^{\Omega}$ 개의 부분집합 모두에 대해 잘 정의된 측도를 부여할 방법이 없다는 것이 곧 명백해질 것입니다. 다행히도 실제로는 그렇게 할 필요가 없으며, $\sigma$ -대수라는 개념이 ”우리가 그럭저럭 해나가기에 충분한 측정 가능한 집합”이라는 아이디어를 포착해 낼 것입니다.

비고 35.2.1 (무작위 시드).

프로그래밍을 해 보셨다면 또 다른 비유로 이해하실 수 있습니다: 각 $\omega\in\Omega$ 는 무작위 시드이며, 모든 것이 거기서부터 결정됩니다.

35.3 측도 공간을 기하학적으로 동기 부여하기

자, 우리에게는 가능한 점들의 집합 $\Omega$ 가 있고 (이는 앞선 논의의 맥락에서 세계들의 집합으로 생각할 수 있습니다), $\Omega$ 안의 점들의 부분집합에 측도(부피라고 생각하십시오)를 부여하고자 합니다. 이제 우리가 마주칠 몇 가지 장애물들을 설명하여, 측도 공간이 어떻게 정의되는지에 대한 동기를 부여하고자 합니다 (앞 절에서는 우리가 왜 그런 것을 원하는지에 대해서만 동기를 부여했습니다).

이를 순진하게(naïvely) 시도하면, 기본적으로 곧바로 집합론적인 문제에 부딪히게 됩니다. 이런 일이 왜 일어날 수 있는지 생각해 볼 좋은 예시는 $\Omega=\mathbb{R}^{2}$ 이고 측도가 넓이에 대응하는 경우입니다. 고등학교에서처럼 삼각형의 넓이를 정의할 수 있고, 그다음 다각형으로 근사하는 방식으로 원의 넓이도 정의해 볼 수 있습니다. 하지만 예를 들어 부분집합 $\mathbb{Q}^{2}$ 에는 어떤 넓이를 부여해야 할까요? (”0”이 실제로 통하는 답이라는 것이 밝혀집니다.) 또는, 단위 원판은 무한히 많은 점들로 이루어져 있는데, 각 점은 측도가 0이어야 마땅하지만 그렇다면 그것들의 합집합은 왜 측도 $\pi$ 를 갖는 것일까요? 등등.

이에 대해서는 나중에 더 이야기하겠지만, 여러분은 이미 바나흐-타르스키 역설에 대해 들어보았을 수도 있습니다. 이 역설은 본질적으로 $\mathbb{R}^{3}$ 의 모든 낱낱의 부분집합에 측도를 부여하면서도 기본적인 상식 검사를 만족시킬 수 있는 좋은 방법이 없다는 것을 보여줍니다. 유클리드 공간의 가능한 부분집합이 그저 너무나 많습니다.

하지만 좋은 소식은, 이러한 집합들 대부분은 우리가 결코 신경 쓰지 않을 것들이며, 특정한 ”충분히 좋은 집합들”에 대해서만 측도를 정의하면 충분하다는 것입니다. 우리가 사용할 형용사는 가측이며, 이것이 실용적인 목적에 있어서 훨씬, 훨씬 더 충분히 좋다는 것이 밝혀질 것입니다.

우리는 일반적으로 가측 집합에 대해 $A$ , $B$ , …를 사용하고, 가측 집합 전체의 모임을 필기체 $\mathscr{A}$ 로 표기하겠습니다.

35.4 $\sigma$ -대수와 가측 공간

여기 기계어 코드가 있습니다.

정의 35.4.1.

가측 공간은 점들의 공간 $\Omega$ 와, $\Omega$ 의 부분집합들의 $\sigma$ -대수 $\mathscr{A}$ ( $\Omega$ 의 ”가측 집합들”)로 이루어집니다. 집합 $\mathscr{A}$ 는 다음 공리들을 만족해야 합니다:

•

$\mathscr{A}$ 는 $\varnothing$ 과 $\Omega$ 를 포함합니다.
•

$\mathscr{A}$ 는 여집합과 가산 합집합/교집합에 대해 닫혀 있어야 합니다. (명명법에 대한 힌트: $\sigma$ 는 보통 일종의 ”가산 유한” 조건을 나타냅니다.)

(불만: 이 용어는 나중에 ”측도 공간”과 혼동될 수 있기 때문에 발음상 헷갈립니다. 이렇게 생각하는 방법이 있습니다: ”가측(measur가능한) 공간은 $\sigma$ -대수를 가지고 있어서 그 위에 측도를 두려고 시도할 수는 있지만, 아직 두지는 않았다”는 것입니다.)

이 정의는 몇몇 특정한 경우에는 실제로 우리가 생각하는 방식이지만, 대부분의 경우 우리는 실제로 $\mathscr{A}$ 를 다른 방식으로 구체화할 것입니다:

정의 35.4.2.

$\Omega$ 를 집합이라 하고, $\Omega$ 의 부분집합들의 어떤 모임 $\mathscr{F}$ 를 생각해 봅시다. 그러면 $\mathscr{F}$ 에 의해 생성된 $\sigma$ -대수는 $\mathscr{F}$ 를 포함하는 가장 작은 $\sigma$ -대수 $\mathscr{A}$ 입니다.

수학에서 흔히 그렇듯, ”생성된다”라는 말을 보면 이는 정의가 스스로 ”알아서 처리하도록” 내버려 둔다는 뜻입니다. 그러니 만약 $\Omega=\mathbb{R}$ 이고, 제가 $\mathscr{A}$ 가 모든 열린집합을 포함하기를 원한다고 합시다. 그러면 정의에 의해 모든 여집합도 포함해야 하므로, 모든 닫힌집합도 포함하게 됩니다. 그다음에는 모든 반열린 구간도 포함해야 하며, 그러고 나서는…. 최종적으로 $\mathscr{A}$ 의 모양이 정확히 어떻게 되는지 따져보려 하기보다는(이는 기본적으로 불가능한 것으로 밝혀집니다), 그냥 포기하고 ” $\mathscr{A}$ 는 열린집합에서 시작해 합집합/여집합 연산을 반복적으로 적용하여 얻을 수 있는 모든 집합이다”라고 말합니다. 혹은 더 노골적으로: ”열린집합에서 시작해서 세차게 흔든다.”¹¹1나중에 절 36.4에서 언급하겠지만, 초한 귀납법을 이용한 명시적인 구성이 가능합니다. 그 구성은 예를 들어 $|\mathscr{B}(\mathbb{R})|=|\mathbb{R}|$ 을 증명하는 데에도 유용합니다.

예시 없이 너무 길게 이야기했습니다.

예제 35.4.3 (가측 공간의 예시들).

처음 두 예시는 실제로 $\mathscr{A}$ 가 무엇인지 말해줍니다. 세 번째 예시(가장 중요함)는 생성을 사용할 것입니다.

(a)

$\Omega$ 가 임의의 집합이라면, 멱집합 $\mathscr{A}=2^{\Omega}$ 는 명백히 $\sigma$ -대수입니다. 이는 $\Omega$ 가 가산일 때 사용될 것이지만, $\Omega$ 가 거대하다면 그다지 도움이 되지 않을 것입니다.
(b)

$\Omega$ 가 비가산 집합이라면, 우리는 $\mathscr{A}$ 를 $\Omega$ 의 부분집합 중 가산이거나 그 여집합이 가산인 것들 전부로 선언할 수 있습니다. (이것이 정의를 만족함을 확인해 보아야 합니다.) 이는 매우 ”성긴” 대수입니다.
(c)

$\Omega$ 가 위상 공간이라면, 보렐 $\sigma$ -대수는 $\Omega$ 의 모든 열린집합에 의해 생성된 $\sigma$ -대수로 정의됩니다. 이를 $\mathscr{B}(\Omega)$ 로 표기하고, 그 공간을 보렐 공간이라 부릅니다. 앞서 경고했듯이, 그것이 어떻게 생겼는지 기술하는 것은 기본적으로 불가능하며, 대신 ”우리는 열린집합을 측정할 수 있다”라고 말하는 것으로 생각해야 합니다.

질문 35.4.4.

임의의 위상 공간 $\Omega$ 에 대해 닫힌집합들이 $\mathscr{B}(\Omega)$ 에 속함을 보이십시오. $[0,1)$ 또한 $\mathscr{B}(\mathbb{R})$ 에 속함을 보이십시오.

35.5 측도 공간

정의 35.5.1.

그런 다음 가측 공간 $(\Omega,\mathscr{A})$ 에는 측도라 불리는 함수 $\mu\colon\mathscr{A}\to[0,+\infty]$ 가 갖추어지는데, 이는 다음 공리들을 만족해야 합니다:

•

$\mu(\varnothing)=0$
•

가산 가법성: $A_{1}$ , $A_{2}$ , …가 $\mathscr{A}$ 의 서로소인 집합들이라면,

$\mu\left(\bigsqcup_{n}A_{n}\right)=\sum_{n}\mu(A_{n}).$

삼중항 $(\Omega,\mathscr{A},\mu)$ 을 측도 공간이라고 합니다. $\mu(\Omega)=1$ 이면 이를 확률 공간이라고 합니다.

연습문제 35.5.2 (더 약한 동치 정의).

저는 사람들이 실제로 $\mathscr{A}$ 와 $\mu$ 를 어떻게 생각하는지를 포착하는 공리를 제시하기로 했는데, 이는 약간의 중복이 있음을 의미합니다: 예를 들어, 여집합과 합집합에 대해 닫혀 있다는 것만으로도 드모르간의 법칙에 의해 교집합을 얻기에 충분합니다. 다음은 더 최소한의 정의로서, 어떤 것이 이 조건들을 만족함을 증명하려 할 때 해야 할 작업량을 줄이는 데 유용합니다:

(a)

$\mathscr{A}$ 에 대한 공리는 (i) $\varnothing\in\mathscr{A}$ 이고 (ii) $\mathscr{A}$ 가 여집합과 가산 합집합에 대해 닫혀 있다는 조건으로 약화될 수 있습니다.
(b)

$\mu$ 에 대한 공리는 (i) $\mu(\varnothing)=0$ , (ii) $\mu(A\sqcup B)=\mu(A)+\mu(B)$ , (iii) $\mu(A_{1})<\infty$ 인 $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq\cdots$ 에 대해 $\mu\left(\bigcap_{n}A_{n}\right)=\lim_{n}\mu(A_{n})$ 이라는 조건으로 약화될 수 있습니다.

비고 35.5.3.

이 정의들에 대한 몇 가지 즉각적인 언급을 살펴보겠습니다.

•

만약 $A\subseteq B$ 가 가측이면, $\mu(B)=\mu(A)+\mu(B-A)$ 이므로 $\mu(A)\leq\mu(B)$ 입니다.
•

특히, 확률 공간에서는 모든 측도가 $[0,1]$ 안에 있습니다. 반면에, 일반적인 측도 공간에서는 $+\infty$ 도 측도의 가능한 값으로 허용할 것입니다 (그래서 $\mu$ 의 공역으로 $[0,+\infty]$ 를 선택한 것입니다).
•

적어도 가산 합집합/가산 가법성은 허용하고 싶은데, 유한 합집합만으로는 진전을 이루기가 너무 어렵기 때문입니다: 가산 무한히 많은 삼각형의 극한을 이야기할 수 없다면 원의 넓이를 추정하기가 너무 어렵습니다.

반면 비가산 합집합과 비가산 가법성은 허용하고 싶지 않은데, 비가산 합은 거의 항상 잘 성립하지 않기 때문입니다. 특히, 다음과 같은 좋은 초등적 연습문제가 있습니다:

연습문제 35.5.4 (까다로움).

$S$ 를 양의 실수들로 이루어진 비가산 집합이라고 합시다. 어떤 유한 부분집합 $T\subseteq S$ 가 존재하여 그 합이 $10^{2019}$ 보다 큼을 보이십시오. 구어체로 말하면, ”비가산개의 양의 실수는 유한한 합을 가질 수 없다”는 것입니다.

그러므로 무한합은 가산합까지만 허용할 것입니다. 이것이 애초에 우리가 $\sigma$ -대수를 고려했던 이유입니다.

예제 35.5.5 (측도).

이제 앞선 예시들의 각 공간에서의 측도를 논의하겠습니다.

(a)

$\mathscr{A}=2^{\Omega}$ 이면 (또는 사실 어떤 $\mathscr{A}$ 이든) 각 $A\in\mathscr{A}$ 에 대해 $\mu(A)=|A|$ 로 선언할 수 있습니다 ( $|A|=\infty$ 인 경우도 포함하여). 이를 셈측도라고 하며, 단순히 원소의 개수를 세는 것입니다.

이는 $\Omega$ 가 가산 무한일 때 유용하며, $\Omega$ 가 유한(이면서 공집합이 아닐) 때 최적입니다. 후자의 경우, 우리는 종종 $\mu(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$ 로 정규화하여 $\Omega$ 가 확률 공간이 되도록 합니다.
(b)

$\Omega$ 가 비가산이고 $\mathscr{A}$ 를 가산 집합들과 그 여집합들로 잡았다고 합시다. 그러면

$\mu(A)=\begin{cases}0&\text{$A$는 가산입니다}\\ 1&\text{$\Omega\setminus A$는 가산입니다}\end{cases}$

이는 측도입니다. (이를 확인하십시오.)
(c)

방 안의 코끼리: $\mathscr{B}(\Omega)$ 위에 측도를 정의하는 것은 $\Omega=\mathbb{R}$ 인 경우조차도 어려우며, 이는 다음 장에서 다룹니다. 그러니 잠시 숨을 참고 기다려야 합니다. 지금으로서는, $\mathscr{B}(\Omega)$ 위에 측도를 정의하겠다는 저의 의도를 밝힘으로써, 적어도 모든 열린집합이 부피를 갖기를 바란다는 것만 알면 됩니다.

35.6 바나흐-타르스키의 힌트

이제 저는 $\mathscr{B}(\Omega)$ 가 필요한 타협임을, 그리고 $\Omega=\mathbb{R}^{n}$ 과 같은 일반적인 위상 공간에서는 $2^{\Omega}$ 에 측도를 부여할 가망이 없음을 여러분에게 납득시켜 보겠습니다. (문헌에서는 이 예시를 비탈리 집합이라고 부릅니다.)

예제 35.6.1 ( $\mathscr{A}=2^{\Omega}$ 가 적합하지 않은 이유에 대한 기하학적 예시).

$\Omega$ 를 $\mathbb{R}^{2}$ 안의 단위원이라 하고 $\mathscr{A}=2^{\Omega}$ 라 합시다. 우리는 $\mu(\Omega)=1$ 인 $\Omega$ 위의 임의의 측도 $\mu$ 가 바람직하지 않은 성질을 가짐을 보이겠습니다.

$\sim$ 을 다음과 같이 정의되는 $\Omega$ 위의 동치 관계라고 합시다: 두 점이 원점을 중심으로 $\pi$ 의 유리수 배만큼 회전한 차이만 있다면 동치라고 합니다. 각 동치류에서 대표원을 하나씩 뽑아, $X$ 를 그 대표원들의 집합이라고 합시다. 그러면

\Omega=\bigsqcup_{\begin{subarray}{c}q\in\mathbb{Q}\\ 0\leq q<2\end{subarray}}\left(X\text{$q\pi$ 라디안만큼 회전된}\right).

우리는 $X$ 를 회전시키기만 했으므로, 각 회전은 동일한 측도 $m$ 을 가져야 합니다. 그런데 $\mu(\Omega)=1$ 이고, 이 측도에 부여할 수 있는 값은 존재하지 않습니다: $m=0$ 이면 $\mu(\Omega)=0$ 이 되고, $m>0$ 이면 $\mu(\Omega)=\infty$ 가 됩니다.

비고 35.6.2 (선택).

전문가라면 대표원을 뽑는 것(즉 집합 $X$ 를 만드는 것)이 엄밀히는 선택공리를 필요로 함을 알아차릴 것입니다. 그렇기 때문에 사람들이 바나흐-타르스키 문제를 이야기할 때, 선택공리도 거의 항상 함께 언급됩니다.

다음 장에서 $\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$ 에 대한 실제 구성을 보게 될 것이니 계속 지켜봐 주십시오.

35.7 가측 함수

대표적인 예: $S\subseteq\Omega$ 에 대해, $\mathbf{1}_{S}\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 가 가측 함수인 것은 $S$ 가 가측 집합인 것과 동치입니다.

예전에 위상 공간을 다룰 때는 연속 함수를 고려했습니다. 여기서의 유사 개념은 다음과 같습니다:

정의 35.7.1.

$(X,\mathscr{A})$ 와 $(Y,\mathscr{B})$ 를 가측 공간(또는 측도 공간)이라 합시다. 함수 $f\colon X\to Y$ 가 가측이라는 것은, 임의의 가측 집합 $S\subseteq Y$ (즉 $S\in\mathscr{B}$ )에 대해 $f^{\text{pre}}(S)$ 가 가측(즉 $f^{\text{pre}}(S)\in\mathscr{A}$ )임을 의미합니다.

대부분의 경우 $Y$ 는 실제로 보렐 $\sigma$ -대수를 가진 위상 공간(예: $Y=\mathbb{R}$ )이며, 이 경우 “가측 집합 $S$ ”를 “열린집합 $S$ ”로 바꿀 수 있습니다. 이 책의 나머지 부분에서는 이를 기본 가정으로 삼아도 좋습니다.

연속 함수의 정의와의 명백한 대칭성 외에도, 절 37.2에서 보게 되듯이, 이 정의는 음이 아닌 함수 $f\colon\Omega\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ 에 대해 $\int_{\Omega}f\;d\mu$ 가 존재하는 것이 $f$ 가 가측인 것과 동치가 되도록 만듭니다.

비고 35.7.2.

다음 예시가 보여주듯이, 가측 함수가 반드시 연속일 필요는 없다는 점에 유의하십시오. 반면, 실제로 접하게 되는 대부분의 함수는 연속일 것이므로, 그런 경우에는 문제가 없습니다.

예제 35.7.3 (가측 집합의 비가측 원상을 갖는 연속 함수).

$f\colon[0,1]\to[0,1]$ 을 데블스 스테어케이스(또는 칸토어 함수)라 합시다. 이 함수는 연속이며, $C\subseteq[0,1]$ 을 칸토어 집합이라 하면 $|C|=0$ 이지만 $f^{\text{img}}(C)=[0,1]$ 이고 측도는 $1$ 이라는 성질을 갖습니다.

$g\colon[0,1]\to[0,2]$ 를 $g(x)=f(x)+x$ 로 정의합시다. 그러면,

•

칸토어 집합 $C$ 에서 제거되는 각 열린 구간 $(a,b)$ 에 대해, $|g^{\text{img}}((a,b))|=|(a,b)|$ 입니다.
•

$g^{\text{img}}(C)$ 는 측도 $1$ 을 갖습니다.

$g$ 가 전단사임에 유의하고, $h\colon[0,2]\to[0,1]$ , $h=g^{-1}$ 라 합시다. 그러면 $h$ 는 연속이지만, 다음이 성립합니다:

•

$h^{\text{pre}}(C)=g^{\text{img}}(C)$ 는 측도 $1$ 을 가지므로, 비가측 부분집합을 갖습니다,
•

$C$ 는 측도 $0$ 을 가지므로, $C$ 의 모든 부분집합은 (르베그) 가측입니다,
•

따라서, 어떤 가측 부분집합 $D\subseteq C$ 에 대해 $h^{\text{pre}}(D)$ 는 비가측입니다.

명제 35.7.4 (연속이면 보렐 가측).

$X$ 와 $Y$ 가 위상 공간이고, 두 공간 모두에 보렐 측도를 택했다고 합시다. 위상 공간의 사상으로서 연속인 함수 $f\colon X\to Y$ 는 가측이기도 합니다.

증명.

열린집합의 원상이 열린집합이며, 따라서 보렐 가측이라는 사실로부터 따라옵니다. ∎

35.8 “거의”라는 단어에 대하여

이후 장들에서 “거의 모든 곳에서”와 “거의 확실히”라는 표현이 등장하기 시작할 것이므로, 지금 시간을 내어 이에 관해 이야기하는 것이 신중해 보입니다.

정의 35.8.1.

성질 $P$ 가 거의 모든 곳에서 또는 거의 확실히 성립한다는 것은, 다음 집합이

\left\{\omega\in\Omega\mid\text{$\omega$에 대해 $P$가 성립하지 않습니다}\right\}

측도 $0$ 을 가짐을 의미합니다.

예를 들어, 측도 공간 $\Omega$ 위에서 정의된 어떤 함수 $f$ 와 $g$ 에 대해 “ $f=g$ 거의 모든 곳에서”라고 말한다면, 이는 측도 $0$ 인 집합을 제외한 모든 $\omega\in\Omega$ 에 대해 $f(\omega)=g(\omega)$ 임을 의미합니다.

자, 이것이 정의입니다. 이제 여러분의 직관을 갱신해야 할 핵심은 다음과 같습니다.

측도론에서는 기본적으로 거의 모든 곳에서라는 개념까지만 신경 씁니다.

몇 가지 예시는 다음과 같습니다:

•

$f=g$ 가 거의 모든 곳에서 성립한다면, 측도론은 기본적으로 이 함수들을 구별하지 못합니다. 예를 들어, 거의 모든 곳에서 일치하는 두 함수에 대해 $\int_{\Omega}f\;d\omega=\int_{\Omega}g\;d\omega$ 가 성립합니다.
•

또 다른 예로, “어떤 조건을 만족하는 함수 $f$ 가 유일하게 존재한다”는 것을 증명한다면, 그 유일성은 보통 측도 0인 집합의 차이까지만 성립하게 됩니다.

이것은 군의 동형사상과 다소 비슷하다고 생각할 수 있는데, 두 군이 동형일 때 “본질적으로 같다”고 간주하는 것과 같습니다. 다만 이쪽은 익숙해지는 데 시간이 좀 걸릴 수 있습니다.²²2실제로 일부 사람들은 측도 공간 위의 함수를, 측도 0인 집합 바깥에서의 일치 관계로 나눈 사상들의 동치류로 정의하기도 합니다.

35.9 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 35A.

$(\Omega,\mathscr{A},\mu)$ 를 확률 공간이라 합시다. 측도가 $1$ 인 가산 개의 집합들의 교집합 역시 측도가 $1$ 임을 보이십시오.

문제 35B (가산 $\sigma$ -대수에 관하여).

^†^†margin:

집합 $\Omega$ 위의 $\sigma$ -대수를 $\mathscr{A}$ 라고 합시다. $\mathscr{A}$ 가 가산 기수를 가진다고 가정합니다. $|\mathscr{A}|$ 가 유한하고 $2$ 의 거듭제곱과 같음을 증명하십시오.