장 30 리만 적분

“불연속 함수를 리만 적분하려는 시도는 다소 구식입니다.”
— Dennis Gaitsgory, [GAI15]

리만 적분을 정의하기는 하겠지만, 이를 가지고 많은 것을 하지는 않을 것입니다. 르베그 적분이 기본적으로 더 낫기 때문입니다. 따라서 리만 적분을 정의하고, 미적분학의 기본 정리를 확인한 다음(정확히는 장 끝의 문제로 남겨 둔 다음), 그 이후로는 언제나 르베그 적분만을 사용할 것입니다.

30.1 균등 연속성

대표적인 예: $f(x)=x^{2}$ 은 $\mathbb{R}$ 위에서 균등 연속이 아니지만, 콤팩트 집합 위의 함수는 항상 균등 연속입니다.

정의 30.1.1.

$f\colon M\to N$ 을 두 거리 공간 사이의 연속 사상이라고 합시다. 모든 $\varepsilon>0$ 에 대하여 다음을 만족하는 $\delta>0$ 이 존재하면 $f$ 가 균등 연속이라고 합니다.

d_{M}(p,q)<\delta\implies d_{N}(f(p),f(q))<\varepsilon.

차이점은, $\varepsilon>0$ 이 주어졌을 때 입력 $p$ 와 $q$ 를 어떻게 선택하든 성립하는 $\delta>0$ 을 지정해야 한다는 것입니다. 반면 보통은 $\delta$ 가 $p$ 와 $q$ 에 의존하는 것이 허용됩니다. (또한 이 정의는 일반적인 위상 공간으로 옮겨 올 수 없습니다.)

예제 30.1.2 (균등 연속성이 성립하지 않는 경우).

(a)

$x\mapsto x^{2}$ 로 주어지는 함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 는 균등 연속이 아닙니다. 예를 들어 $\varepsilon=0.1$ 로 잡는다고 합시다. $|x-y|<\delta$ 이면 $|x^{2}-y^{2}|<0.1$ 이 되는 $\delta$ 는 존재하지 않습니다. $x$ 와 $y$ 가 커질수록 함수 $f$ 가 작은 변화에 점점 더 민감해지기 때문입니다.
(b)

$x\mapsto x^{-1}$ 로 주어지는 함수 $(0,1)\to\mathbb{R}$ 는 균등 연속이 아닙니다.
(c)

$x\mapsto\sqrt{x}$ 로 주어지는 함수 $\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ 는 (도함수가 유계가 아님에도 불구하고!) 실제로 균등 연속임이 밝혀집니다. 실제로 다음 명제가

$\left\lvert x-y\right\rvert<\varepsilon^{2}\implies\left\lvert\sqrt{x}-\sqrt{y% }\right\rvert<\varepsilon$

임의의 $x,y,\varepsilon>0$ 에 대해 성립함을 확인할 수 있습니다.

다행히도 콤팩트한 경우에는 모든 것이 잘 성립합니다.

정리 30.1.3 (콤팩트 공간에서는 균등 연속성이 거저 주어짐).

$M$ 을 콤팩트 거리 공간이라고 합시다. 그러면 임의의 연속 사상 $f\colon M\to N$ 은 균등 연속이기도 합니다.

증명.

모순을 이끌어 내기 위해 어떤 나쁜 $\varepsilon>0$ 이 있다고 가정합시다. 그러면 $\delta=1/n$ 으로 잡으면, 각 정수 $n$ 에 대하여 서로 $1/n$ 이내에 있지만 $f$ 에 의해 서로 $\varepsilon$ 보다 멀리 떨어지게 사상되는 점 $p_{n}$ 과 $q_{n}$ 이 존재함을 알 수 있습니다. 기호로 쓰면, $d_{M}(p_{n},q_{n})\leq 1/n$ 이지만 $d_{N}(f(p_{n}),f(q_{n}))>\varepsilon$ 입니다.

$M$ 의 콤팩트성에 의해, 어떤 $x\in M$ 으로 수렴하는 수렴 부분수열 $p_{i_{1}}$ , $p_{i_{2}}$ , … 를 찾을 수 있습니다. $q_{i_{n}}$ 은 $p_{i_{n}}$ 으로부터 $1/i_{n}$ 이내에 있으므로, 이것 역시 같은 점 $x\in M$ 으로 수렴해야 합니다. 그러면 수열 $f(p_{i_{n}})$ 과 $f(q_{i_{n}})$ 은 둘 다 $f(x)\in N$ 으로 수렴해야 하지만, 이들은 항상 서로 $\varepsilon$ 보다 멀리 떨어져 있으므로 이는 불가능합니다. ∎

예를 들어 이는 연속함수 $[0,1]\to\mathbb{R}$ 로 본 $x^{2}$ 이 자동으로 균등 연속이라는 뜻입니다. 콤팩트성은 정말 대단하지 않습니까?

30.2 조밀 집합과 확장

대표적인 예: $\mathbb{Q}\to N$ 인 함수는 균등 연속이고 $N$ 이 완비이면 $\mathbb{R}\to N$ 으로 확장됩니다. 아래의 반례들도 참고하십시오.

정의 30.2.1.

$S$ 를 위상 공간 $X$ 의 부분집합(또는 부분공간)이라고 합시다. $X$ 의 모든 열린 부분집합이 $S$ 의 점을 포함하면 $S$ 가 조밀하다고 합니다.

예제 30.2.2 (조밀 집합).

(a)

$\mathbb{Q}$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 조밀합니다.
(b)

일반적으로, 임의의 거리 공간 $M$ 은 그 완비화 $\overline{M}$ 에서 조밀합니다.

조밀 집합에서는 함수를 완비화하기가 좋습니다. 어떤 거리 공간 $N$ 에 대해 연속함수 $f\colon\mathbb{Q}\to N$ 이 있다면, 이를 함수 $\widetilde{f}\colon\mathbb{R}\to N$ 으로 확장하는 방법은 많아야 하나뿐이어야 한다는 것이 핵심입니다. 각 유리수를 실수로 근사할 수 있기 때문입니다. $f(1)$ , $f(1.4)$ , $f(1.41)$ , … 를 알고 있다면 $\widetilde{f}(\sqrt{2})$ 는 당연히 이 열의 극한이어야 합니다. 따라서 확장은 분명히 유일합니다.

그러나 이것이 잘못될 수 있는 경우가 두 가지 있습니다.

예제 30.2.3 (확장의 비존재).

(a)

$N$ 이 완비가 아닐 수 있으며, 그러면 극한이 $N$ 안에 존재하지조차 않을 수 있습니다. 예를 들어 $N=\mathbb{Q}$ 이면, 항등함수 $f\colon\mathbb{Q}\to N$ 조차도 함수 $\widetilde{f}\colon\mathbb{R}\to N$ 으로 확장할 방법이 분명히 없습니다.
(b)

$N$ 이 완비라 하더라도, $f$ 가 폭주하는 문제에 부딪힐 수 있습니다. 예를 들어 $N=\mathbb{R}$ 로 두고 다음과 같이 정의합시다.

$f(x)=\frac{1}{x-\sqrt{2}}\qquad f\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{R}.$

이 경우에도 $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$ 근처에서 $f$ 가 폭주하기 때문에 확장할 방법이 없으며, 이로 인해 $\widetilde{f}(\sqrt{2})$ 가 정의되지 않습니다.

그러나 이를 해결하는 방법은 $f$ 가 균등 연속일 것을 요구하는 것이며, 이 경우에는 실제로 유일한 확장을 얻습니다.

정리 30.2.4 (균등 연속함수의 확장).

$M$ 을 거리 공간, $N$ 을 완비 거리 공간, $S$ 를 $M$ 의 조밀한 부분공간이라고 합시다. $\psi\colon S\to N$ 이 균등 연속함수라고 가정합시다. 그러면 다음 도식을 만족하는 유일한 연속함수 $\widetilde{\psi}\colon M\to N$ 이 존재합니다.

가환합니다.

증명의 개요.

앞의 논의에서 언급했듯이, 각 $x\in M$ 은 $x_{i}\to x$ 인 $S$ 안의 수열 $x_{1}$ , $x_{2}$ , … 로 근사할 수 있습니다. 이제 두 가지 주요 가정인 완비성과 균등 연속성을 사용합니다.

연습문제 30.2.5.

균등 연속성을 이용하여 $\psi(x_{1})$ , $\psi(x_{2})$ , … 가 코시 수열임을 보이고, 그다음 $N$ 의 완비성에 호소하여 이 수열이 $N$ 에서 수렴함을 증명하십시오.

따라서 $\widetilde{\psi}(x)$ 를 그 수열의 극한으로 정의합니다. 이는 수열의 선택에 의존하지 않으며, 점렬 연속성을 이용하여 $\widetilde{\psi}$ 가 연속임을 보일 수 있습니다. ∎

30.3 리만 적분의 정의

확장을 이용하면 리만 적분을 정의할 수 있습니다. 약간의 표기법을 도입해야 하니 조금만 참아 주십시오.

정의 30.3.1.

$[a,b]$ 를 닫힌구간이라 합시다.

•

$[a,b]\to\mathbb{R}$ 인 연속함수의 집합을 $C^{0}([a,b])$ 로 나타냅니다.
•

$[a,b]\to\mathbb{R}$ 인 직사각형 함수들의 집합을 $R([a,b])$ 로 나타냅니다. 이 함수들은 어떤 $a=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\dots<t_{n}=b$ 에 대하여 구간 $[t_{0},t_{1})$ , $[t_{1},t_{2})$ , $[t_{2},t_{3})$ , …, $[t_{n-2},t_{n-1})$ , 그리고 $[t_{n-1},t_{n}]$ 위에서 상수인 함수들입니다.
•

$M([a,b])=C^{0}([a,b])\cup R([a,b])$ 로 둡니다.

주의: $C^{0}([a,b])$ 만 일반적인 표기법이며, 나머지 두 개는 임의로 만든 것입니다.

전형적인 직사각형 함수는 아래 그림을 참고하십시오. (자연스럽게는 사용하고 싶은 값이 두 개 있는데도 공식적으로는 각 $t_{i}$ 에 단 하나의 값을 부여해야 한다는 점이 성가시므로, 왼쪽 끝점을 닫힌 것으로 두는 규약을 사용합니다.)

정의 30.3.2.

다음과 같이 정의하여 $M([a,b])$ 에 거리를 줄 수 있습니다.

d(f,g)=\sup_{x\in[a,b]}\left\lvert f(x)-g(x)\right\rvert.

이제 직사각형 함수에 대해서는 자연스러운 적분 개념이 있습니다. 눈에 보이는 직사각형들의 넓이를 합하면 됩니다! 공식적으로는 다음 식이 그 적분입니다.

f(a)(t_{1}-a)+f(t_{1})(t_{2}-t_{1})+f(t_{2})\left(t_{3}-t_{2}\right)+\dots+f(t% _{n})\left(b-t_{n}\right).

이 함수를 다음과 같이 나타냅니다.

\Sigma\colon R([a,b])\to\mathbb{R}.

정리 30.3.3 (리만 적분).

다음과 같은 유일한 연속 사상이 존재합니다.

\textstyle{\int_{a}^{b}}\colon M([a,b])\to\mathbb{R}

다음 도식이

가환하도록 합니다.

증명.

확장 정리를 적용하려고 하므로 몇 가지만 확인하면 됩니다.

•

$R([a,b])$ 가 $M([a,b])$ 의 조밀한 부분집합이라고 주장합니다. 다시 말해, 임의의 연속함수 $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 와 $\varepsilon>0$ 에 대하여 $f$ 를 $\varepsilon$ 이내로 근사하는 직사각형 함수가 존재해야 합니다.

이는 균등 연속성에서 따라 나옵니다. $|x-y|<\delta$ 일 때마다 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ 가 성립하는 $\delta>0$ 이 존재함을 알고 있습니다. 따라서 직사각형들의 너비가 $\delta$ 보다 작고 각 직사각형의 왼쪽 위 꼭짓점이 $f$ 의 그래프 위에 놓이도록 직사각형 함수를 선택하기만 하면 됩니다.
•

“직사각형을 더하는” 사상 $\Sigma\colon R([a,b])\to\mathbb{R}$ 는 균등 연속입니다. 사실 이는 꽤 자명합니다. 두 직사각형 함수 $f$ 와 $g$ 가 $d(f,g)<\varepsilon$ 를 만족하면 $d(\Sigma f,\Sigma g)<\varepsilon(b-a)$ 입니다.
•

$\mathbb{R}$ 은 완비입니다.∎

30.4 메시

위의 정의는 취향에 따라 환상적이거나, 지나치게 복잡하거나, 우스꽝스럽거나, 끔찍해 보일 수 있습니다. 그러나 풀어 보면 사실 여러분에게 익숙한 그림 그대로입니다. 우리가 한 일은 모든 연속함수 $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 를 택하여 그것을 직사각형 함수로 근사할 수 있음을 보인 것입니다(이를 조밀한 포함으로 표현하였습니다). 그런 다음 직사각형들의 넓이를 더하였습니다. 그럼에도 다른 곳에서 흔히 보던 것에 더 가까운 정의를 제시하겠습니다.

정의 30.4.1.

$[a,b]$ 의 표지된 분할 $P$ 는 $[a,b]$ 를 $n$ 개의 구간으로 나눈 분할과 $i$ 번째 구간 안의 점 $\xi_{i}$ 로 이루어지며, 다음과 같이 표기합니다.

a=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\dots<t_{n}=b\qquad\text{그리고}\qquad\xi_{i}\in[t_{i-1},t_{i% }]\quad\forall\;1\leq i\leq n.

$P$ 의 메시는 가장 긴 구간의 너비, 즉 $\max_{i}(t_{i}-t_{i-1})$ 입니다.

물론 이 정의의 요점은 직사각형들을 더한다는 것이며, 이때 $\xi_{i}$ 가 표본점입니다.

정리 30.4.2 (리만 적분).

$f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 연속이라고 합시다. 그러면

\int_{a}^{b}f(x)\;dx=\lim_{\begin{subarray}{c}\text{$P$ 태그 분할}\\ \operatorname{mesh}P\to 0\end{subarray}}\left(\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(t_{i}-t% _{i-1})\right).

여기서 극한이란 메시가 0으로 수렴하는 분할들의 수열이라면 어느 것이든 취할 수 있다는 뜻입니다.

증명.

우변은 직사각형이 점점 더 좁아지는 어떤 직사각형 함수 $g_{1}$ , $g_{2}$ , …의 넓이에 대응합니다. 정리 30.3.3의 증명에서와 같이, 그 직사각형들의 메시가 0으로 수렴하면 균등 연속성에 의해 $d(f,g_{n})\to 0$ 도 성립합니다. 따라서 정리 30.3.3의 도식에서의 연속성에 의해, 원하는 대로 $\lim_{n}\Sigma(g_{n})=\int(f)$ 를 얻습니다. ∎

이를 평균값 정리와 결합하면 연속인 도함수를 갖는 함수 $f$ 에 대하여 미적분학의 기본 정리를 짧게 증명할 수 있습니다. 핵심 아이디어는 분할 $a\leq t_{0}<t_{1}<t_{2}<\dots<t_{n}\leq b$ 를 어떻게 선택하든 평균값 정리를 이용하여 각 구간에서 할선의 기울기와 일치하도록 $\xi_{i}$ 를 고를 수 있어야 한다는 것입니다. 그러면 넓이들의 합이 $f$ 의 전체 변화량이 됩니다. 이 상황을 세 점으로 나타내 보이며, 세부 사항은 문제 30B에서 독자가 채워 넣도록 남깁니다.

간단히 짚어 둘 점이 있습니다. 리만 적분을 연속함수에 대해서만 정의하였지만, 리만 적분이 존재하는 다른 함수들도 있어야 마땅합니다(예를 들어 “구간별 연속함수”나 “거의 모든 곳에서 연속인” 함수 등). 관련된 정의는 다음과 같습니다.

정의 30.4.3.

$f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 이 반드시 연속은 아니지만 다음 극한이 존재하는 함수라면

\lim_{\begin{subarray}{c}\text{$P$ 태그 분할}\\ \operatorname{mesh}P\to 0\end{subarray}}\left(\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(t_{i}-t% _{i-1})\right).

어쨌든 존재하는 함수라면, $f$ 가 $[a,b]$ 에서 리만 적분 가능하다고 하고 그 값을 그 극한 $\int_{a}^{b}f(x)\;dx$ 로 정의합니다.

이 정의는 그다지 많이 사용하지 않을 것입니다. 모든 리만 적분 가능한 함수는 르베그 적분 가능하며 르베그 적분이 더 낫다는 것을 보게 될 것이기 때문입니다.

예제 30.4.4 (AP 미적분학의 귀환).

여러분 대부분이 고등학교 미적분학에서 이미 알고 있겠지만, 문제 30B로부터 실제로 리만 적분을 계산할 수 있다는 점을 언급해 두는 것이 좋겠습니다. 예를 들어 구간 $(1,4)$ 에서 함수 $F(x)=\frac{1}{3}x^{3}$ 의 도함수는 $F^{\prime}(x)=x^{2}$ 입니다. $f(x)=x^{2}$ 는 연속함수 $f\colon[1,4]\to\mathbb{R}$ 이므로 다음을 얻습니다.

\int_{1}^{4}x^{2}\;dx=F(4)-F(1)=\frac{64}{3}-\frac{1}{3}=21.

$F(x)=\frac{1}{3}x^{3}+2019$ 를 택할 수도 있었다는 점에 유의하십시오. 함수 $F$ 는 평행 이동을 제외하면 유일하며, 이 상수는 뺄셈을 할 때 상쇄됩니다. 이 때문에 고등학교에서는 표기법을 (심하게) 남용하여 $\int x^{2}\;dx=\frac{1}{3}x^{3}+C$ 라고 쓰는 일이 흔합니다.

30.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 30A.

$f\colon(a,b)\to\mathbb{R}$ 가 미분 가능하고 $f^{\prime}$ 가 유계라고 가정합시다. $f$ 가 균등 연속임을 보이십시오.

힌트. 귀류법과 평균값 정리(또다시!).

문제 30B (미적분학의 기본 정리).

$f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분가능하며, 도함수 $f^{\prime}$ 이 연속함수 $f^{\prime}\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 로 확장된다고 가정합시다. 다음을 증명하십시오.

\int_{a}^{b}f^{\prime}(x)\;dx=f(b)-f(a).

힌트. 각 양의 정수 $n$ 에 대하여, 모든 직사각형의 너비가 $w=\frac{b-a}{n}$ 인 분할을 잡으십시오. 평균값 정리를 이용하여 첫 번째 직사각형의 넓이가 $f(a+w)-f(a)$ , 두 번째 직사각형의 넓이가 $f(a+2w)-f(a+w)$ , 이와 같이 계속되도록 태그 분할을 구성하십시오. 따라서 전체 넓이는 $f(b)-f(a)$ 가 됩니다.

문제 30C (이상적분).

각 실수 $r>0$ 에 대하여 다음 극한을 계산하십시오¹¹1 $\varepsilon\to 0^{+}$ 라는 표기가 익숙하지 않다면, $M>0$ 에 대하여 $\varepsilon$ 를 $1/M$ 으로 바꾸고 대신 $M\to\infty$ 로 보내도 됩니다.

\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\int_{\varepsilon}^{1}\frac{1}{x^{r}}\;dx

또는 이 극한이 존재하지 않음을 보이십시오.

이것은 직관적으로 “이상” 적분 $\int_{0}^{1}x^{-r}\;dx$ 로 생각할 수 있습니다. 우리는 콤팩트하지 않은 $(0,1]$ 위에서의 적분을 정의하지 않았고 (또 정의할 수도 없으므로) 이는 원래의 정의로는 의미가 없지만, 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대하여 $[\varepsilon,1]$ 위에서의 적분은 여전히 생각할 수 있습니다.

문제 30D.

다음을 보이십시오.

\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}\right)=% \log 2.

힌트. 이것을 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$ 로 쓰십시오. 그러면 이것을 어떤 리만 적분의 직사각형 합으로 해석할 수 있습니다.