장 63 보너스: 아르틴 상호 법칙 맛보기

이 장에서는 대역 유체론의 몇 가지 큰 정리를 서술하고, 이를 이용하여 크로네커-베버 정리와 힐베르트 유체를 유도하겠습니다. 증명은 없지만, 그래도 충분히 음미할 만하기를 바랍니다. 전문가를 위해 덧붙이면, 이것은 이델을 사용하지 않는 대역 유체론입니다.

요약하면 다음과 같습니다. $K$ 를 수체라고 합시다. 그러면 모든 아벨 확대 $L/K$ 는 오직 $K$ 에 내재된 정보, 즉 사선 류군(아이디얼 유군의 일반화)만을 사용하여 이해할 수 있습니다.

63.1 개요

이 절의 끝에서 우리는 아벨 체 확대 $L/K$ 에 대하여 아르틴 기호를 정의할 것입니다

\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right),

이는 르장드르 기호 $\left(\frac{a}{p}\right)$ 를 일반화한 것입니다:

•

사선 위에는 정수 $a$ 대신 체 확대 $L/K$ 가 옵니다.
•

사선 아래에는 유리 소수 $p$ 대신 $K$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 가 옵니다.

기호가 정의되려면 $\mathfrak{p}$ 가 확대 $L/K$ 에서 분기하지 않아야 합니다.

그리고 마지막에는 아르틴 상호 법칙 정리를 서술하고자 하는데, 그 정리는 대략 다음과 같은 모습입니다.

소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대하여, $\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)$ 는 오직 “ $\mathfrak{p}\pmod{\mathfrak{f}}$ ”에만 의존합니다.

여기서 $\mathfrak{f}$ 는 “법”이며, 체 확대 $L/K$ 에만 의존합니다.

이를 위해서는 먼저 두 아이디얼이 무언가를 법으로 서로소라는 것이 무엇을 의미하는지 정의해야 합니다. 우리는 $\mathfrak{f}$ 와 “서로소”인 $\mathcal{O}_{K}$ 의 아이디얼들을 “ $\mathfrak{f}$ 를 법으로 하는 잉여류”(이제부터 “사선 류”라고 부르겠습니다)로 나누되, 다음 조건을 만족하도록 나눌 것입니다:

•

이것은 유군을 일반화합니다. 서로 다른 아이디얼 류에 속하는(즉, $\mathcal{O}_{K}$ -가군으로서 동형이 아닌) 두 아이디얼은 서로 다른 사선 류에 속합니다.
•

곱셈 구조를 보존합니다 – $\mathfrak{p}$ 가 $\mathfrak{p}^{\prime}$ 와 같은 사선 류에 속하고 $\mathfrak{q}$ 가 $\mathfrak{q}^{\prime}$ 와 같은 사선 류에 속하면, $\mathfrak{p}\mathfrak{q}$ 는 $\mathfrak{p}^{\prime}\mathfrak{q}^{\prime}$ 와 같은 사선 류에 속합니다.

아이디얼에는 원소의 덧셈에 해당하는 것이 없다는 점에 유의하십시오(예를 들어 $(1)=(-1)$ 이지만 $(1)+(1)\neq(1)+(-1)$ 입니다). 따라서 이것이 우리가 기대할 수 있는 최선입니다.

다시 말해, 사선 류들은 아이디얼의 곱셈으로부터 유도된 연산을 통해 곱셈에 대한 아벨 군을 이룰 것입니다.
•

고정된 법 $\mathfrak{f}$ 에 대하여, 사선 류는 유한 개뿐입니다.

앞 절에서는 소 아이디얼 $\mathfrak{p}\in\mathcal{O}_{K}$ 를 모든 아이디얼을 그 곱으로 나타낼 수 있게 해 주는 기약 인수로 생각해도 됩니다. 그러나 이들은 자연스럽게 법으로도 사용될 수 있습니다:

소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 는 $\mathcal{O}_{K}$ 의 원소들을 원소의 덧셈과 곱셈을 보존하는 잉여류로 나누는 방법을 제공합니다.

이를 더 일반화하여 $\mathcal{O}_{K}$ 의 아이디얼을 사선 류로 나눌 수 있습니다 – 안타깝게도, 나중에 예제 63.3.3에서 보듯이 유한 소점만으로는 아이디얼을 원하는 방식으로 나누기에 충분하지 않습니다. 그래서 아이디얼뿐만 아니라 원소도 곱셈 구조를 만족하는 류로 나누기 위해 무한 소점을 도입할 것입니다.

63.2 무한 소점

대표적인 예: $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 는 복소 무한 소점을 하나 가지며, $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 는 실 무한 소점을 두 개 가집니다.

$K$ 를 차수가 $n$ 이고 부호수가 $(r,s)$ 인 수체라고 합시다. 우리는 $\mathcal{O}_{K}$ 의 소 아이디얼이 무엇인지 알고 있지만, 이제 이른바 무한 소점도 허용하며, 이를 매장을 사용하여 설명하겠습니다.¹¹1이것은 사실 올바른 정의가 아닙니다. 유한이든 무한이든 소점을 생각하는 “올바른” 방법은 부치를 통하는 것입니다. 하지만 제가 원하는 정리들을 서술하기에는 이것으로 충분합니다. $n$ 개의 매장 $\sigma\colon K\to\mathbb{C}$ 가 있으며, 이들은 다음으로 이루어져 있음을 상기하십시오:

•

$\operatorname{im}\sigma\subseteq\mathbb{R}$ 인 $r$ 개의 실 매장, 그리고
•

$s$ 개의 켤레 복소 매장 쌍.

따라서 $r+2s=n$ 입니다. 첫 번째 부류의 매장은 실 무한 소점을 이루고, 두 번째 유형은 복소 무한 소점입니다. $K$ 의 모든 무한 소점이 실(각각 복소) 무한 소점이면 $K$ 를 완전 실(각각 완전 복소)이라고 합니다.

예제 63.2.1 (무한 소점의 예).

•

$\mathbb{Q}$ 는 실 무한 소점을 하나만 가집니다. 이를 흔히 $\infty$ 로 씁니다.
•

$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 는 복소 무한 소점을 하나만 가지며, 실 무한 소점은 없습니다. 따라서 완전 복소입니다.
•

$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 는 실 무한 소점을 두 개 가지며, 복소 무한 소점은 없습니다. 따라서 완전 실입니다.

63.3 무한 소점을 포함하는 모듈러 산술

$K$ 의 모듈러스(또는 가군)는 다음과 같은 형식적 곱입니다.

\mathfrak{m}=\prod_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}^{\nu(\mathfrak{p})}

여기서 곱은 유한 소점과 무한 소점을 모두 포함한 모든 소점에 대해 취합니다. (여기서 $\nu(\mathfrak{p})$ 는 음이 아닌 정수이며, 그중 유한 개만 0이 아닙니다.) 또한 다음을 요구합니다.

•

모든 복소 무한 소점 $\mathfrak{p}$ 에 대해 $\nu(\mathfrak{p})=0$ 이고,
•

모든 실 무한 소점 $\mathfrak{p}$ 에 대해 $\nu(\mathfrak{p})\leq 1$ 입니다.

당연히 유한 소점과 (실) 무한 소점을 분리하면 모든 $\mathfrak{m}$ 을 $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_{0}\mathfrak{m}_{\infty}$ 로 쓸 수 있습니다.

다음이 성립하면 $a\equiv b\pmod{\mathfrak{p}}$ 라고 합니다.

•

$\mathfrak{p}$ 가 유한 소점이면, $a\equiv b\pmod{\mathfrak{p}^{\nu(\mathfrak{p})}}$ 는 여러분이 생각하는 바로 그 의미, 즉 $a-b\in\mathfrak{p}^{\nu(\mathfrak{p})}$ 를 뜻합니다.
•

$\mathfrak{p}$ 가 실 무한 소점 $\sigma\colon K\to\mathbb{R}$ 이면, $a\equiv b\pmod{\mathfrak{p}}$ 는 $\sigma(a/b)>0$ 임을 뜻합니다.

실 무한 소점 $\mathfrak{p}=\sigma$ 는 $K^{\times}$ 의 원소들을 두 부류 $\{k\in K^{\times}\mid\sigma(k)>0\}$ 와 $\{k\in K^{\times}\mid\sigma(k)<0\}$ 로 나누며, 이 분할은 곱셈 연산과 잘 맞습니다.

물론 $a\equiv b\pmod{\mathfrak{m}}$ 는 $\mathfrak{m}$ 에 있는 각 소수 거듭제곱을 법으로 $a\equiv b$ 라는 뜻입니다. 이를 이용하여 유군의 일반화를 정의할 수 있습니다.

정의 63.3.1.

$\mathfrak{m}$ 을 수체 $K$ 의 법이라고 합시다.

•

$I_{K}(\mathfrak{m})$ 을 $\mathfrak{m}$ 과 서로소인 $K$ 의 모든 분수 아이디얼의 집합이라고 하면, 이는 아벨 군입니다.
•

$P_{K}(\mathfrak{m})$ 을 다음으로 생성되는 $I_{K}(\mathfrak{m})$ 의 부분군이라고 합시다.

$\left\{\alpha\mathcal{O}_{K}\mid\alpha\in K^{\times}\text{그리고}\alpha\equiv 1% \pmod{\mathfrak{m}}\right\}.$

이를 때때로 주 아이디얼의 “사선(ray)”이라고 부릅니다.²²2아마도 기하학적 반직선과 비슷하게, 한 방향으로만 무한히 뻗어 나가기 때문일 것입니다 – 적어도 법 $\mathfrak{m}$ 에 무한 소점이 있을 때는 그렇습니다.

마지막으로 $\mathfrak{m}$ 의 사선 류군을 $C_{K}(\mathfrak{m})=I_{K}(\mathfrak{m})/P_{K}(\mathfrak{m})$ 로 정의합니다.

이 군은 항상 유한하다고 알려져 있습니다. 통상적인 유군은 $C_{K}(1)$ 임에 유의하십시오.

아르틴 상호 법칙 바로 다음에 사용할 마지막 정의는 다음과 같습니다.

정의 63.3.2.

$\mathfrak{m}$ 의 합동 부분군이란 다음을 만족하는 부분군 $H$ 입니다.

P_{K}(\mathfrak{m})\subseteq H\subseteq I_{K}(\mathfrak{m}).

따라서 $C_{K}(\mathfrak{m})$ 는 여러 몫 $I_{K}(\mathfrak{m})/H$ 로 이루어진 격자를 포함하는 군이며, 여기서 $H$ 는 합동 부분군입니다.

이 정의는 익숙해지는 데 시간이 걸리므로, 몇 가지 예시를 들어 보겠습니다.

예제 63.3.3 ( $\mathbb{Q}$ 에서의 사선 류군, 유한 모듈러스).

무한 소점 $\infty$ 를 갖는 $K=\mathbb{Q}$ 를 생각합시다. 그러면

•

$\mathfrak{m}=1$ 로 잡으면 $I_{\mathbb{Q}}(1)$ 은 모든 분수 아이디얼이고, $P_{\mathbb{Q}}(1)$ 은 모든 주 분수 아이디얼입니다. 이들의 몫은 $\mathbb{Q}$ 의 통상적인 유군이며, 이는 자명합니다.
•

이제 $\mathfrak{m}=8$ 로 잡습니다. 그러면 $I_{\mathbb{Q}}(8)\cong\left\{\frac{a}{b}\mathbb{Z}\mid a/b\equiv 1,3,5,7\pmod{% 8}\right\}$ 입니다. 게다가

$P_{\mathbb{Q}}(8)\cong\left\{\frac{a}{b}\mathbb{Z}\mid a/b\equiv 1\pmod{8}% \right\}.$

언뜻 보면 몫이 $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times}$ 라고 생각할 수도 있습니다. 그러나 문제는 우리가 다루는 것이 아이디얼이라는 점입니다. 구체적으로 다음이 성립합니다.

$7\mathbb{Z}=-7\mathbb{Z}\in P_{\mathbb{Q}}(8)$

$-7\equiv 1\pmod{8}$ 이기 때문입니다. 따라서 실제로는 다음을 얻습니다.

$C_{\mathbb{Q}}(8)\cong\left\{1,3,5,7\text{mod}8\right\}/\left\{1,7\text{mod}8% \right\}\cong(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^{\times}.$

더 일반적으로,

C_{\mathbb{Q}}(m)=(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}/\{\pm 1\}.

예제 63.3.4 ( $\mathbb{Q}$ 에서의 사선 류군, 무한 모듈러스).

다시 무한 소점 $\infty$ 를 갖는 $K=\mathbb{Q}$ 를 생각합시다.

•

이제 $\mathfrak{m}=\infty$ 로 잡습니다. 앞에서와 같이 $I_{\mathbb{Q}}(\infty)=\mathbb{Q}^{\times}$ 입니다. 이제 정의에 의해 다음이 성립합니다.

$P_{\mathbb{Q}}(\infty)=\left\{\frac{a}{b}\mathbb{Z}\mid a/b>0\right\}.$

언뜻 보면 이것이 $\mathbb{Q}_{>0}$ 라고 생각할 수도 있지만, 아이디얼에서 나타나는 같은 현상 때문에 실제로는 $P_{\mathbb{Q}}(\infty)=\mathbb{Q}^{\times}$ 입니다. 따라서 이 경우에도 $P_{\mathbb{Q}}(\infty)$ 는 여전히 모든 주 분수 아이디얼을 포함합니다. 그러므로 $C_{\mathbb{Q}}(\infty)$ 는 여전히 자명합니다.
•

마지막으로 $\mathfrak{m}=8\infty$ 라 합시다. 앞에서와 같이 $I_{\mathbb{Q}}(8\infty)\cong\left\{\frac{a}{b}\mathbb{Z}\mid a/b\equiv 1,3,5,7% \pmod{8}\right\}$ 입니다. 이제 이 경우에는 다음과 같습니다.

$P_{\mathbb{Q}}(8\infty)\cong\left\{\frac{a}{b}\mathbb{Z}\mid a/b\equiv 1\pmod{% 8}\text{그리고}a/b>0\right\}.$

이번에는 정말로 $-7\mathbb{Z}\notin P_{\mathbb{Q}}(8\infty)$ 입니다. $7\not\equiv 1\pmod{8}$ 이고 또한 $-7<0$ 이기 때문입니다. 따라서 $7\mathbb{Z}$ 의 생성원 중 어느 것도 $P_{\mathbb{Q}}(8\infty)$ 에 속하지 않습니다. 그러므로 마침내 다음을 얻습니다.

$C_{\mathbb{Q}}(8\infty)\cong\left\{1,3,5,7\text{mod}8\right\}/\left\{1\text{% mod}8\right\}\cong(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times}$

여기서 전단사 $C_{\mathbb{Q}}(8\infty)\to(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times}$ 는 $a\mathbb{Z}\mapsto|a|\pmod{8}$ 로 주어집니다.

더 일반적으로,

C_{\mathbb{Q}}(m\infty)=(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}.

63.4 확대에서의 무한 소점

위의 모든 것이 특정한 수체 $K$ 에 내재적이라는 점을 강조하고 싶습니다. 이 시점 이후로는 확대 $L/K$ 를 다루게 되지만, 모듈러스와 사선 류군이라는 개념은 위의 $L$ 이 아니라 오직 $K$ 로부터 정의되는 대상이라는 구별을 염두에 두는 것이 중요합니다.

이제 차수가 $m$ 인 갈루아 확대 $L/K$ 를 잡습니다. $K$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 가 $L$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak{P}$ 들의 곱으로 깔끔하게 분해된다는 것은 이미 알고 있으므로, 무한 소점에 대해서도 같은 일을 하고자 합니다. 이는 간단합니다. $n$ 개의 무한 소점 $\sigma\colon K\to\mathbb{C}$ 각각은 $m$ 개의 무한 소점 $\tau\colon L\to\mathbb{C}$ 로 올라가는데, 이는 다음 도식이

가환한다는 뜻입니다. 따라서 앞에서와 같이, $K$ 의 각 무한 소점 $\sigma$ 위에는 $L$ 의 무한 소점 $\tau$ 가 $m$ 개 놓여 있습니다.

$K$ 의 실 소점 $\sigma$ 에 대하여, 그 위에 놓인 $\tau$ 중 하나라도 복소이면, 소점 $\sigma$ 가 확대 $L/K$ 에서 분기한다고 합니다. 그렇지 않으면 $\sigma$ 는 $L/K$ 에서 비분기입니다. $K$ 의 무한 소점은 $L/K$ 에서 항상 비분기입니다. 이와 같이 비분기 갈루아 확대 $L/K$ 에 대해 이야기할 수 있습니다. 이는 모든 소점(유한이든 무한이든)이 비분기인 확대입니다.

예제 63.4.1 ( $\infty$ 의 분기).

$\infty$ 를 $\mathbb{Q}$ 의 실 무한 소점이라 합시다.

•

$\infty$ 는 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})/\mathbb{Q}$ 에서 분기합니다.
•

$\infty$ 는 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})/\mathbb{Q}$ 에서 분지하지 않습니다.

또한 $K$ 가 완전 복소체이면 임의의 확대 $L/K$ 는 분지하지 않는다는 점에 유의하십시오.

63.5 프로베니우스 원소와 아르틴 기호

핵심 결과를 다시 떠올려 봅시다.

정리 63.5.1 (프로베니우스 원소).

$L/K$ 가 갈루아 확대라고 합시다. $\mathfrak{p}$ 가 $L/K$ 에서 분지하지 않는 소 아이디얼이고 $\mathfrak{P}$ 가 $L$ 에서 그 위에 있는 소 아이디얼이면, 다음을 만족하는 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 의 유일한 원소가 존재하며, 이를 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 로 표기합니다.

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}(\alpha)\equiv\alpha^{\operatorname{N}(\mathfrak{p% })}\pmod{\mathfrak{P}}\qquad\forall\alpha\in\mathcal{O}_{L}.

예제 62.1.2와 보조정리 62.4.1의 몇 가지 예를 다시 떠올려 봅시다.

예제 63.5.2 (프로베니우스 원소의 예).

$L=\mathbb{Q}(i)$ , $K=\mathbb{Q}$ 라고 합시다. 그러면 $\operatorname{Gal}(L/K)\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 입니다.

$p$ 가 홀수 소수이고 $\mathfrak{P}$ 가 그 위에 있으면, $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 다음을 만족하는 유일한 원소입니다.

(a+bi)^{p}\equiv\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}(a+bi)\pmod{\mathfrak{P}}

이는 $\mathbb{Z}[i]$ 에서의 식입니다. 특히 다음이 성립합니다.

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}(i)=i^{p}=\begin{cases}i&p\equiv 1\pmod{4}\\ -i&p\equiv 3\pmod{4}.\end{cases}

이로부터 $p\equiv 1\pmod{4}$ 일 때 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 항등원이고, $p\equiv 3\pmod{4}$ 일 때 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 복소켤레임을 알 수 있습니다.

예제 63.5.3 (원분 프로베니우스 원소).

앞의 예를 일반화하여, $\zeta$ 를 $m$ 제곱 단위근이라 하고 $L=\mathbb{Q}(\zeta)$ , $K=\mathbb{Q}$ 라고 합시다. $L/K$ 는 $\infty$ 와 $m$ 의 소인수 밖에서는 분기하지 않는다는 것이 잘 알려져 있습니다. 또한 갈루아 군 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 는 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ 입니다. 즉, 갈루아 군은 다음과 같은 꼴의 원소들로 이루어집니다.

\sigma_{n}\colon\zeta\mapsto\zeta^{n}

그리고 $\operatorname{Gal}(L/K)=\left\{\sigma_{n}\mid n\in(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{% \times}\right\}$ 입니다.

그러면 앞에서와 마찬가지로, $p\nmid m$ 인 소수 $p$ 와 $p$ 위에 있는 $\mathfrak{P}$ 에 대해 다음이 성립합니다.

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}=\sigma_{p}.

여기서 절 61.6에서 암시했듯이, 기저 체 $K$ 가 반드시 $\mathbb{Q}$ 는 아닌 경우로 이론을 일반화해야 합니다(예를 들어 예제 63.5.8에서는 $K=\mathbb{Q}(\omega)$ 가 필요합니다). 이 경우 $\mathfrak{p}$ 는 반드시 정수인 것은 아니며, 몫 위의 유도된 사상은 “ $\operatorname{N}(\mathfrak{p})$ -제곱” 사상입니다.

예제 63.5.4 (기저체가 $\mathbb{Q}(\omega)$ 일 때의 프로베니우스 원소).

$L=\mathbb{Q}(\omega,\sqrt[3]{2})$ , $K=\mathbb{Q}(\omega)$ 라고 합시다.

$K$ 에서 소 아이디얼인 $\mathfrak{p}=(5)$ 를 생각하면 $\operatorname{N}(\mathfrak{p})=25$ 입니다. 체 $\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}$ 는 $\mathbb{F}_{25}$ 와 동형입니다. $L$ 에서 $\mathfrak{p}$ 는 $\mathfrak{P}_{1}\mathfrak{P}_{2}\mathfrak{P}_{3}$ 로 분해되며, 각 잉여체 $\mathcal{O}_{L}/\mathfrak{P}_{i}$ 는 $\mathbb{F}_{25}$ 와 동형입니다.

프로베니우스 원소 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}\in\operatorname{Gal}(L/K)$ 는 몫체에서 25제곱 동형사상을 유도하므로 항등원입니다.

프로베니우스 원소의 중요한 성질은 그 위수가 상위 체 $L$ 에서 $\mathfrak{p}$ 가 분해되는 방식과 가장 깔끔한 방식으로 관련되어 있다는 것입니다.

보조정리 63.5.5 (프로베니우스 원소의 위수).

확대 $L/K$ 의 프로베니우스 원소 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}\in\operatorname{Gal}(L/K)$ 의 위수는 $\mathfrak{P}$ 의 관성 차수와 같습니다. 즉 다음과 같습니다.

\operatorname{ord}\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}=f(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}).

특히 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}=\mathrm{id}$ 일 필요충분조건은 $\mathfrak{p}$ 가 $L/K$ 에서 완전 분해되는 것입니다.

이는 보조정리 62.1.3를 자연스럽게 일반화합니다.

증명.

체 $\mathcal{O}_{L}/\mathfrak{P}$ 위에서 사상 $T\colon x\mapsto x^{\operatorname{N}(\mathfrak{p})}$ 의 위수를 알고자 합니다. 그런데 유한체의 갈루아 이론에 의해 이 체는 $\mathbb{F}_{p}$ 위에서 $X^{\operatorname{N}(\mathfrak{P})}-X$ 의 분해체와 동형입니다. 따라서 위수는 $\log_{\operatorname{N}(\mathfrak{p})}(\operatorname{N}(\mathfrak{P}))=f(% \mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})$ 입니다. ∎

갈루아 군은 주어진 $\mathfrak{p}$ 위에 있는 $\mathfrak{P}$ 들의 집합에 추이적으로 작용하므로 다음이 성립합니다.

\mathrm{Frob}_{\sigma(\mathfrak{P})}=\sigma\circ(\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}})% \circ\sigma^{-1}.

따라서 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 켤레 차이를 제외하면 그 아래에 있는 $\mathfrak{p}$ 에 의해 결정됩니다.

유체론에서는 아벨 확대, 즉 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 가 아벨 군인 확대를 다룹니다. 이 경우에는 켤레류의 크기가 1이므로 이론이 한층 더 깔끔해집니다.

정의 63.5.6.

$L/K$ 가 아벨 확대라고 가정합시다. 그러면 $K$ 에서 분기하지 않는 주어진 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대하여, 원소 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 $\mathfrak{P}$ 의 선택에 의존하지 않습니다. 이렇게 얻은 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 를 다음과 같이 아르틴 기호로 나타냅니다.

\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right).

아르틴 기호의 정의는 일부러 르장드르 기호와 비슷해 보이도록 쓰였습니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

예제 63.5.7 (아르틴 기호에 포함되는 르장드르 기호).

$p>2$ 가 소수일 때 $\left(\frac{2}{p}\right)\equiv 2^{\frac{p-1}{2}}$ 를 이해하고 싶다고 합시다. 다음 원소를 생각합시다.

\left(\frac{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}{p\mathbb{Z}}\right)\in% \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}).

이 원소는 $\sqrt{2}$ 를 어디로 보내는지에 따라 유일하게 결정됩니다. 그런데 실제로 다음이 성립합니다.

\left(\frac{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}{p\mathbb{Z}}\right)\left(\sqrt{2}% \right)\equiv\left(\sqrt{2}\right)^{p}\equiv 2^{\frac{p-1}{2}}\cdot\sqrt{2}% \equiv\left(\frac{2}{p}\right)\sqrt{2}\pmod{\mathfrak{P}}

여기서 $\left(\frac{2}{p}\right)$ 는 통상적인 르장드르 기호이고, $\mathfrak{P}$ 는 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 에서 $p$ 위에 있는 소 아이디얼입니다. 따라서 아르틴 기호는 이차 르장드르 기호를 일반화합니다.

예제 63.5.8 (아르틴 기호에 포함되는 삼차 르장드르 기호).

마찬가지로, 아르틴 기호는 삼차 르장드르 기호도 일반화합니다. 이를 확인하기 위해 $\theta$ 가 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})=\mathbb{Q}(\omega)$ 의 기본(primary) 소원이라고 가정합시다(따라서 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\omega]$ 는 아이젠슈타인 정수입니다). 그러면 예를 들어 다음이 성립합니다.

\left(\frac{K(\sqrt[3]{2})/K}{\theta\mathcal{O}_{K}}\right)\left(\sqrt[3]{2}% \right)\equiv\left(\sqrt[3]{2}\right)^{\operatorname{N}(\theta)}\equiv 2^{% \frac{\operatorname{N}(\theta)-1}{3}}\cdot\sqrt[3]{2}\equiv\left(\frac{2}{% \theta}\right)_{3}\sqrt[3]{2}\pmod{\mathfrak{P}}

여기서 $\mathfrak{P}$ 는 $K(\sqrt[3]{2})$ 에서 $(\theta)$ 위에 있는 소 아이디얼입니다.

63.6 아르틴 상호 법칙

이제 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 가 아벨 군이라는 사실을 더욱 활용합시다. 간결하게 쓰기 위해, 이하에서는 $L$ 에서 분기하는 $K$ 의 소점(유한 소점과 무한 소점 모두)들을 $\operatorname{Ram}(L/K)$ 로 나타냅니다.

정의 63.6.1.

$L/K$ 가 아벨 확대이고 $\mathfrak{m}$ 이 $\operatorname{Ram}(L/K)$ 의 모든 소점으로 나누어떨어진다고 합시다. 그러면 $L/K$ 가 아벨 확대이므로 아르틴 기호를 곱셈적으로 확장하여 다음 사상을 얻을 수 있습니다.

\left(\frac{L/K}{\bullet}\right)\colon I_{K}(\mathfrak{m})\twoheadrightarrow% \operatorname{Gal}(L/K).

이를 아르틴 사상이라고 하며, 이 사상은 (예를 들어 체보타료프 밀도 정리에 의해) 전사입니다.

이 사상의 핵을 $H(L/K,\mathfrak{m})\subseteq I_{K}(\mathfrak{m})$ 로 나타냅시다. 그러면 다음이 성립합니다.

\operatorname{Gal}(L/K)\cong I_{K}(\mathfrak{m})/H(L/K,\mathfrak{m}).

이제 오래 기다려 온 아르틴 상호 법칙 정리를 제시할 수 있습니다.

정리 63.6.2 (아르틴 상호 법칙).

$L/K$ 가 아벨 확대라고 합시다. 그러면 정확히 $\operatorname{Ram}(L/K)$ 의 소점들로 나누어떨어지는 법 $\mathfrak{f}=\mathfrak{f}(L/K)$ 가 존재하여, $\operatorname{Ram}(L/K)$ 의 모든 소점으로 나누어떨어지는 임의의 법 $\mathfrak{m}$ 에 대하여 다음이 성립합니다.

P_{K}(\mathfrak{m})\subseteq H(L/K,\mathfrak{m})\subseteq I_{K}(\mathfrak{m})% \quad\text{필요충분조건}\quad\mathfrak{f}\mid\mathfrak{m}.

$\mathfrak{f}$ 를 $L/K$ 의 도체라고 부릅니다.

따라서 도체 $\mathfrak{f}$ 는 판별식과 비슷한 역할을 하며(정확히 분기하는 소점들로 나누어떨어집니다), $\mathfrak{m}$ 이 도체로 나누어떨어질 때 $H(L/K,\mathfrak{m})$ 는 합동 부분군입니다.

이 정리를 “상호” 법칙이라고 부르는 이유는 다음과 같습니다. 위의 정리를 $\mathfrak{m}=\mathfrak{f}$ 에 적용하면 $P_{K}(\mathfrak{f})\subseteq H(L/K,\mathfrak{f})$ 임을 알 수 있으므로, 아르틴 사상은 몫 사상 $I_{K}(\mathfrak{f})\twoheadrightarrow I_{K}(\mathfrak{f})/P_{K}(\mathfrak{f})$ 를 거쳐 인수분해됩니다. $C_{K}(\mathfrak{f})=I_{K}(\mathfrak{f})/P_{K}(\mathfrak{f})$ 였음을 상기하면, 다음과 같은 사상들의 열을 얻습니다.

결과적으로 다음이 성립합니다.

소 아이디얼 $\mathfrak{p}\in I_{K}(\mathfrak{f})$ 에 대하여, $\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)$ 는 “ $\mathfrak{p}\pmod{\mathfrak{f}}$ ”에만 의존합니다.

이 결과가 이차 상호 법칙과 어떻게 관련되는지 살펴봅시다.

예제 63.6.3 (아르틴 상호 법칙에서 이차 상호 법칙 유도).

이차 상호 법칙의 커다란 기적은 다음과 같습니다. 고정된 (제곱 인수가 없는) $a$ 에 대하여, 르장드르 기호 $\left(\frac{a}{p}\right)$ 는 어떤 수를 법으로 한 $p$ 의 나머지에만 의존해야 합니다. 아르틴 상호 법칙이 왜 이 사실을 선험적으로 알려 주는지 살펴봅시다.

$L=\mathbb{Q}(\sqrt{a})$ , $K=\mathbb{Q}$ 라고 합시다. 그러면 우리는 이미 아르틴 기호

\left(\frac{\mathbb{Q}(\sqrt{a})/\mathbb{Q}}{\bullet}\right)

가 르장드르 기호의 올바른 일반화임을 보았습니다. 따라서 아르틴 상호 법칙에 따르면 $\left(\frac{\mathbb{Q}(\sqrt{a})/\mathbb{Q}}{p}\right)$ 가 $\mathfrak{f}$ 를 법으로 한 $p$ 의 잉여류에만 의존하도록 하는 도체 $\mathfrak{f}=\mathfrak{f}(\mathbb{Q}(\sqrt{a})/\mathbb{Q})$ 가 존재하며, 이것이 바로 우리가 원하던 것입니다.

같은 맥락의 예를 하나 더 들겠습니다.

예제 63.6.4 (원분체).

$\zeta$ 를 원시 $m$ 차 단위근이라고 합시다. 소수 $p$ 에 대하여 $\mathrm{Frob}_{p}\in\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q})$ 는 “정확히” $p\pmod{m}$ 임을 알고 있습니다. 이 아이디어를 아르틴 상호 법칙의 표기법으로 옮겨 봅시다.

다음을 증명하겠습니다.

H(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q},m\infty)=P_{\mathbb{Q}}(m\infty)=\left\{\frac{a% }{b}\mathbb{Z}\mid a/b\equiv 1\pmod{m}\right\}.

이는 아르틴 상호 법칙에서 하한을 달성하는 전형적인 예입니다. 또한 이로부터 $\mathfrak{f}(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q})\mid m\infty$ 임이 따라 나옵니다.

$\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q}$ 는 $m$ 을 나누는 유한 소수 밖에서 분기하지 않는다는 것이 잘 알려져 있으므로, 아르틴 기호는 $I_{K}(\mathfrak{m})$ 위에서 정의됩니다. 이제 아르틴 사상은 다음과 같이 주어집니다.

따라서 이 사상의 핵은 자명함을 알 수 있습니다. 즉, 핵은 $1\pmod{m}$ 에 대응하는 갈루아 군의 항등원으로 주어집니다. 한편 $P_{\mathbb{Q}}(m\infty)$ 도 이미 계산하였으므로, 원하는 등식을 얻습니다.

사실 다음과 같은 “존재 정리”도 성립합니다. $\mathfrak{m}$ 을 고정하면 모든 합동 부분군은 유일하게 나타납니다.

정리 63.6.5 (다카기 존재 정리).

$K$ 를 고정하고 $\mathfrak{m}$ 을 법이라고 합시다. 임의의 합동 부분군 $H$ , 즉 다음을 만족하는 부분군을 생각합시다.

P_{K}(\mathfrak{m})\subseteq H\subseteq I_{K}(\mathfrak{m}).

그러면 유일한 아벨 확대 $L/K$ 에 대하여 $H=H(L/K,\mathfrak{m})$ 입니다.

마지막으로, 이러한 부분군들은 가능한 가장 좋은 방식으로 포함 관계를 뒤집습니다.

보조정리 63.6.6 (포함 관계를 뒤집는 합동 부분군).

법 $\mathfrak{m}$ 을 고정합시다. $L/K$ 와 $M/K$ 를 아벨 확대라 하고, $\mathfrak{m}$ 이 $L/K$ 와 $M/K$ 의 도체로 나누어떨어진다고 가정합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

L\subseteq M\quad\text{필요충분조건}\quad H(M/K,\mathfrak{m})\subseteq H(L/K,% \mathfrak{m}).

여기서 $L\subseteq M$ 이란 $L$ 이 $M$ 의 어떤 부분체와 동형이라는 뜻입니다.

증명의 개요.

먼저 $\mathfrak{m}$ 을 고정한 상태에서 동치를 증명합시다. 한쪽 방향으로, $L\subseteq M$ 이라고 가정합시다. 그러면 정의로부터 도식

이 가환함을 확인할 수 있습니다. 소 아이디얼의 거듭제곱에 대해서만 확인하면 충분한데, 이는 프로베니우스 원소가 제한에 대해 잘 행동한다는 말일 뿐이기 때문입니다. 그러면 핵의 포함 관계가 곧바로 따라 나옵니다. 반대 방향은 본질적으로 다카기 존재 정리입니다. ∎

여기서 $\mathfrak{m}$ 은 언제나 도체들의 곱으로 잡을 수 있다는 점에 유의하십시오.

혹시 눈치채지 못하셨다면 말씀드리겠습니다. 아르틴 상호 법칙과 다카기 존재 정리는 이차 상호 법칙을 일반화할 뿐만 아니라, 함께 모든 아벨 체 확대를 열거합니다! 이제 체 $K$ 가 주어지고 $K$ 의 모든 (유한) 아벨 체 확대를 나열하고 싶다면, $K$ 의 모든 법 $\mathfrak{m}$ 을 나열하고 $C_{K}(\mathfrak{m})$ 의 모든 부분군을 나열하면 됩니다. 그러면 각 부분군이 하나의 체 확대에 대응합니다.

(물론 법과 합동 부분군이 주어졌을 때 체 $L$ 을 어떻게 계산하느냐는 문제는 여전히 어렵습니다. 적어도 $K=\mathbb{Q}$ 인 경우에는 문제 63A이 답을 줍니다. 모든 유한 아벨 체 확대 $L/\mathbb{Q}$ 는 어떤 원분체에 포함됩니다.)

끝으로, 에밀 아르틴이 자신의 상호 법칙에 관해 한 말을 인용하겠습니다.

상호 법칙에 관한 이야기를 하나 들려 드리겠습니다. 학위 논문을 마친 뒤, 저는 비아벨 확대에 대해 $L$ -급수를 정의하겠다는 착상을 했습니다. 그런데 그것이 아벨 확대에 대한 $L$ -급수와 일치하려면 어떤 동형사상이 성립해야 했습니다. 저는 그것으로부터 표준적인 상호 법칙들이 모두 따라 나온다는 것을 보일 수 있었습니다. 그래서 저는 그것을 일반 상호 법칙이라 부르고 증명하려 했지만, 수없이 시도하고도 증명하지 못했습니다. 그 뒤 다른 정수론 학자들에게 그것을 보여 주었지만 그들은 모두 비웃었고, 특히 하세가 그것은 결코 참일 수 없다고 말했던 것이 기억납니다.

그래도 저는 계속 매달렸지만, 어떤 시도도 통하지 않았습니다. 상호 법칙을 증명해 보려 하지 않은 채 지나간 주가 — 삼 년 동안이나! — 단 한 주도 없었습니다. 낙담스러운 일이었고, 그 사이에 저는 다른 일들로 관심을 돌렸습니다. 그러던 어느 날 오후, 특별히 할 일이 없어서 ‘자, 상호 법칙을 다시 한번 증명해 보겠습니다.’라고 말했습니다. 그래서 밖으로 나가 정원에 앉았습니다. 아시다시피 저는 처음부터 원분체를 사용하겠다는 생각을 가지고 있었지만 번번이 통하지 않았는데, 그때 문득 그동안 줄곧 원분체를 잘못된 방식으로 사용해 왔다는 것을 깨달았습니다 — 그리고 삼십 분 만에 증명을 얻었습니다.

63.7 응용: 두 제곱수의 합의 일반화

다음의 고전적인 정리로 시작합니다.

정리 63.7.1 (두 제곱수의 합에 관한 페르마의 정리).

홀수 소수 $p$ 가 정수 $x$ 와 $y$ 에 대하여 $p=x^{2}+y^{2}$ 로 표현될 수 있을 필요충분조건은 $p\equiv 1\pmod{4}$ 입니다.

대략 다음과 같이 진행되는 증명을 보신 적이 있을 것입니다. 우리는 정수론과 이차 상호 법칙을 배웠으므로 이 증명은 직관적으로 따라갈 수 있을 것입니다.

증명.

$p=x^{2}+y^{2}$ 이면 $\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\equiv-1\pmod{p}$ 이므로, $-1$ 이 $p$ 를 법으로 하는 이차 잉여라는 것이 필요조건임에 유의하십시오.

이 조건이 충분조건이기도 함을 보이겠습니다.

$a\in\mathbb{Z}$ 가 $a^{2}\equiv-1\pmod{p}$ 를 만족한다고 합시다. $\operatorname{N}_{\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}}(a+i)=a^{2}+1$ 은 $p$ 로 나누어떨어지고, $\operatorname{N}_{\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}}(p)=p^{2}$ 임에 유의하십시오.

$p=x^{2}+y^{2}$ 로 쓸 수 있다고 가정합시다. 그러면 정수 $x$ 와 $y$ 에 대하여 $p$ 는 $\mathbb{Z}[i]$ 에서 $(x+yi)(x-yi)$ 로 인수분해될 수 있습니다.

$x+yi=\gcd(p,a+i)$ 로 두면 된다고 주장합니다. 실제로 $p\mid(a+i)(a-i)=a^{2}+1$ 이지만 $p$ 는 두 인수 중 어느 것도 나누지 않으므로, $p$ 는 $\mathbb{Z}[i]$ 에서 소수가 아니며, $a+i$ 와 $a-i$ 중 어느 것과 $\gcd$ 를 취하더라도 자명하지 않은 인수가 추출될 것입니다.

$\operatorname{N}_{\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}}(x+yi)=p$ 이므로 $x+yi$ 와 $x-yi$ 는 이미 소수이고, 따라서 위의 인수 추출은 이미 소인수를 주어야 하며, 이것이 바로 우리가 원하는 것임에 유의하십시오.

마지막으로, $-1$ 이 $p$ 를 법으로 하는 이차 잉여인 것은 정확히 $p\equiv 1\pmod{4}$ 일 때임을 알고 있으므로, 증명이 끝납니다. ∎

이것을 난해한 트릭… 정도로 치부할 수도 있지만, 이것이 다른 많은 경우로 완벽하게 일반화될 수 있다는 것을 깨닫게 되면 생각이 달라질 것입니다! 같은 방법을 사용하여 다음 정리를 증명해 보십시오.

정리 63.7.2.

홀수 소수 $p>7$ 이 정수 $x$ 와 $y$ 에 대하여 $p=x^{2}+7y^{2}$ 로 표현될 수 있을 필요충분조건은 $-7$ 이 $p$ 를 법으로 하는 이차 잉여인 것입니다.

이는 이차 상호 법칙에 의해 $(p\bmod 7)\in\{1,2,4\}$ 인지 여부로 귀결됩니다.

그렇지만 항상 이렇게 깔끔하지는 않습니다.

예제 63.7.3.

$p=3$ 이라 합시다. 그러면 $1^{2}\equiv-5\pmod{p}$ 이지만, $p=x^{2}+5y^{2}$ 를 만족하는 정수 $x$ 와 $y$ 는 존재하지 않습니다.

질문 63.7.4.

아직 해 보지 않았다면, 아래의 설명을 읽기 전에 증명에서 무엇이 잘못되었는지 찾아보십시오.

물론 오류는 $\gcd(p,1+\sqrt{-5})$ 가 원소라고 가정한 데 있습니다 — 즉, 이 경우 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 의 정수환은 유일 인수분해 정역이 아닙니다. 하지만 우리에게는 이를 바로잡을 아이디얼 이론의 도구가 모두 있습니다. 아이디얼 $(p)=(3)\subseteq\mathbb{Q}$ 는 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 로 올리면 $(p)=\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}$ 로 분해되며, 여기서 $\mathfrak{p}_{1}=(3,1+\sqrt{-5})$ 이고 $\mathfrak{p}_{2}=(3,1-\sqrt{-5})$ 입니다.

따라서,

명제 63.7.5.

소수 $p\in\mathbb{Q}$ 를 $p=x^{2}+5y^{2}$ 로 쓸 수 있을 필요충분조건은 $(p)$ 를 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 로 올렸을 때 $\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}$ 로 분해되고, $\mathfrak{p}_{1}$ 과 $\mathfrak{p}_{2}$ 가 모두 주 아이디얼인 것입니다.

바로 여기서 아르틴 상호 법칙과 힐베르트 유체가 빛을 발합니다. 우리는 $\mathfrak{p}_{1}$ 의 류, 다시 말해 $\mathfrak{p}_{1}\pmod{1}$ 을 결정하고자 합니다.

질문 63.7.6.

$\mathfrak{p}\equiv(1)\pmod{1}$ 일 필요충분조건이 $\mathfrak{p}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 가 주 아이디얼인 것임을 확인하십시오. (정의를 따라가면 됩니다.)

질문 63.7.7.

$\mathfrak{p}_{1}$ 이 주 아이디얼이면 $\mathfrak{p}_{2}$ 도 자동으로 주 아이디얼이 됩니다. 왜 그렇습니까?

이제부터 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 라 하고, $L$ 을 $K$ 의 어떤 아벨 확대라 합시다.

앞에서 군 $H(L/K,\mathfrak{m})=\ker\left(\frac{L/K}{\bullet}\right)$ 를 정의했고, 아르틴 상호 법칙의 서술은 무엇보다도 $P_{K}(\mathfrak{m})\subseteq H(L/K,\mathfrak{m})$ 임을 주장한다는 것을 상기하십시오. 자연스럽게 다음과 같은 의문이 들 수 있습니다. 우리가 관심을 두는 것이 “ $\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)$ 는 $\mathfrak{p}\pmod{\mathfrak{f}}$ 에만 의존한다”는 사실뿐이라면, 왜 $H$ 라는 표기를 또 하나 정의해야 할까요?

위에서 본 아르틴 상호 법칙 정리의 단순화된 버전은 $\mathfrak{p}\pmod{\mathfrak{f}}$ 를 알면 $\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)$ 를 계산할 수 있다고 말합니다. 물론 그 이상의 내용이 있습니다.

$P_{K}(\mathfrak{f})=H(L/K,\mathfrak{f})$ 이면, $\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)$ 를 알 때 $\mathfrak{p}\pmod{\mathfrak{f}}$ 를 계산할 수 있습니다.

다시 말해, 합동 부분군이 “하한”에 도달하는 $L$ 이라면 그 역도 성립합니다.

질문 63.7.8.

위의 대수적 계산이 맞아떨어지는지 확인하십시오.

앞에서 이미 예제 63.6.4이라는 예를 하나 보았습니다. 그 예에서는 합동 부분군 $H(\mathbb{Q}(\zeta_{m})/\mathbb{Q},m\infty)$ 가 하한 $P_{\mathbb{Q}}(m\infty)$ 와 같습니다. 아래에서 예를 하나 더 보겠습니다.

예제 63.7.9.

위의 예에서는 법 $\mathfrak{m}$ 과 $K$ 위의 아벨 체 확대 $L$ 을 모두 바꾸어 가며 서로 다른 합동 부분군을 얻을 수 있습니다. 헷갈릴 수 있으니 예를 하나 들어 봅시다.

아벨 체 확대 $L/\mathbb{Q}$ 를 생각하십시오. $\mathbb{Q}$ 에서의 법을 $\mathfrak{m}=15\infty$ 라고 합시다.

사선 류군 $C_{\mathbb{Q}}(\mathfrak{m})$ 는 물론 $(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z})^{\times}\cong(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^{\times}\times% (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\times}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/4% \mathbb{Z}$ 와 동형입니다.

이 군은 (원소가 8개뿐일 만큼) 작지만 부분군은 8개나 됩니다.³³3https://beta.lmfdb.org/Groups/Abstract/diagram/8.2에 도식이 있습니다. 그렇지만 여기서는 부분군 격자 가운데 관련된 부분에만 집중하겠습니다.

아르틴 상호 법칙과 다카기 존재 정리에 따라, 각 합동 부분군은 어떤 아벨 확대 $L/\mathbb{Q}$ 에 대응합니다.

아래에 아벨 체 확대와 합동 부분군 $H(L/\mathbb{Q},15\infty)$ 사이의 대응을 그렸습니다. 이 그림에는 $H(L/\mathbb{Q},15\infty)/P_{\mathbb{Q}}(15\infty)$ 가 $C_{\mathbb{Q}}(15\infty)$ 의 부분군이고 $C_{\mathbb{Q}}(15\infty)$ 가 $(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z})^{\times}$ 와 표준적으로 동형이라는 사실을 이용했습니다.

(위의 도식은 어디에서 나왔습니까? 기저체가 $\mathbb{Q}$ 라면 문제 63A이 한 가지 방법을 알려 줍니다.)

관심 있는 독자는 아벨 확대의 일반적인 경우에 갈루아 군 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 와 사선 류군 $C_{K}(\mathfrak{f}(L/K))$ 사이의 표준적인 동형사상을 직접 구해 보아도 좋습니다.

다음으로, 이것은 다른 법, 예를 들어 $5\infty$ 에 대응하는 아벨 확대들과 어떤 관계가 있습니까? 직관적으로 말하면, 어떤 아이디얼의 값을 $15\infty$ 를 법으로 알면 그 값을 $5\infty$ 를 법으로도 알 수 있을 것입니다. 형식적으로는 다음과 같은 도식이 있습니다.

(범주론 장을 읽었다면: 짧은 완전열 사이의 사상은 어디에나 나타납니다! 찾아보기만 하면 됩니다.)

즉, 유도된 사상 $C_{\mathbb{Q}}(15\infty)\twoheadrightarrow C_{\mathbb{Q}}(5\infty)$ , 또는 동등하게 $(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z})^{\times}\twoheadrightarrow(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\times}$ 를 얻습니다. 이번에는 법 $5\infty$ 에 대응하는 아벨 체 확대가 다음과 같습니다.

우리의 경우, 소수 $p\in\mathbb{Q}$ 가 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 로 올렸을 때 $(p)=\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}$ 로 분해된다고 하면, $\mathfrak{p}_{1}$ 이 주 아이디얼인지 판정하려고 합니다 — 다시 말해, “ $\mathfrak{p}_{1}\pmod{1}$ ”을 계산하려고 합니다. 위의 통찰을 이용하여 이 조건을 아르틴 기호로 다시 서술하겠습니다.

$L=K(i)$ 라고 합시다. (나중에 $L$ 이 $K$ 의 힐베르트 유체임을 알게 됩니다.) 다음이 성립한다고 주장합니다.

•

$L/K$ 는 아벨 확대입니다.
•

도체는 $\mathfrak{f}=\mathfrak{f}(L/K)=1$ 이고,
•

$H(L/K,\mathfrak{f})=P_{K}(\mathfrak{f})$ 입니다 — 즉, 이것이 바로 $\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)$ 를 바탕으로 $\mathfrak{p}\subseteq K$ 에 대해 $\mathfrak{p}\pmod{1}$ 을 판정할 수 있는 상황입니다.

(일반적인 경우에는 문제 63B에 따라 체 $L$ 이 존재합니다.)

그러면 소 아이디얼 $\mathfrak{p}\subseteq K$ 에 대해 다음은 서로 동치입니다.

1.

$\mathfrak{p}$ 는 주 아이디얼입니다;
2.

$\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)=\mathrm{id}$ ;
3.

$\mathfrak{p}$ 는 $L$ 로 올렸을 때 완전 분해됩니다.

첫 번째 명제와 두 번째 명제가 동치임을 증명할 때 아벨 확대 $L/K$ 에 대한 아르틴 상호 법칙(과 그 “역”)을 사용했다는 점에 주목하십시오.

연습문제 63.7.10.

두 번째 명제와 세 번째 명제는 왜 동치입니까? (문제 63B.)

따라서 주 아이디얼 $\mathfrak{p}_{1}$ 과 $\mathfrak{p}_{2}$ 에 대하여 $(p)=\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}$ 라는 조건은 $(p)\subseteq\mathbb{Q}$ 가 $L$ 로 올렸을 때 완전 분해된다는 조건과 동치입니다.

아벨 확대 $L/\mathbb{Q}$ 에 대해 위와 비슷하게 추론하면 다음은 동치입니다.

1.

$(p)\subseteq\mathbb{Q}$ 는 $L$ 로 올렸을 때 완전 분해됩니다;
2.

$\left(\frac{L/\mathbb{Q}}{(p)}\right)=\mathrm{id}$ .

이번에는 첫 번째 항목이 더 이상 없습니다 — $L$ 은 $\mathbb{Q}$ 의 힐베르트 유체가 아닙니다 — 하지만 아르틴 상호 법칙에 의해 다음은 분명히 알고 있습니다.

$\left(\frac{L/\mathbb{Q}}{(p)}\right)$ 의 값은 $(p)\pmod{\mathfrak{f}(L/\mathbb{Q})}$ 에만 의존합니다.

이 경우 확대 $L/\mathbb{Q}$ 의 도체는 $\mathfrak{f}(L/\mathbb{Q})=20\infty$ 입니다.

그러므로 요약하면 다음과 같습니다.

	$p$ 를 $x^{2}+5y^{2}$ 꼴로 쓸 수 있습니다
	$\displaystyle\iff\text{$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$로 올렸을 때 주 아이디얼 $\mathfrak{p}_{1}% $에 대해 $(p)=\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}$입니다}$
	$\displaystyle\iff\text{$(p)=\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}$이고, $\mathfrak{p}% _{1}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$는 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5},i)$로 올렸을 때 완전히 분해됩니다}$
	$\displaystyle\iff\text{$(p)\subseteq\mathbb{Q}$는 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5},i)$로 올렸% 을 때 완전히 분해됩니다}$
	$\displaystyle\iff\left(\frac{\mathbb{Q}(\sqrt{-5},i)/\mathbb{Q}}{(p)}\right)=% \mathrm{id}$
	$\displaystyle\iff(p\bmod 20)\in\{1,9\}.$

증명이 끝났습니다! 정리의 최종 형태는 다음과 같습니다.

정리 63.7.11.

$p$ 가 $p\nmid 20$ 인 소수라고 합시다. 그러면 $p$ 를 $x^{2}+5y^{2}$ 꼴로 쓸 수 있을 필요충분조건은 $(p\bmod 20)\in\{1,9\}$ 입니다.

63.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 63A.

[크로네커-베버 정리] $L$ 을 $\mathbb{Q}$ 의 아벨 확대라고 합시다. 그러면 $L$ 은 원분 확대 $\mathbb{Q}(\zeta)$ 에 포함되며, 여기서 $\zeta$ 는 (어떤 $m$ 에 대한) $m$ 차 단위근입니다.

힌트. $\mathfrak{f}(L/\mathbb{Q})\mid m\infty$ 가 되도록 $m$ 을 고르십시오.

풀이. 어떤 $m$ 에 대하여 $\mathfrak{f}(L/\mathbb{Q})\mid m\infty$ 라고 가정합시다. 그러면 앞의 예에 의해 다음 사슬을 얻습니다.

$P_{\mathbb{Q}}(m\infty)=H(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q},m\infty)\subseteq H(L/% \mathbb{Q},m\infty)\subseteq I_{\mathbb{Q}}(m\infty).$

따라서 포함 관계의 역전에 의해 증명이 끝납니다.

문제 63B (힐베르트 유체).

$K$ 를 임의의 수체라고 합시다. 그러면 모든 소점(유한 소점과 무한 소점 모두)에서 비분기이며 다음을 만족하는 아벨 확대 $E/K$ 가 유일하게 존재합니다.

•

$E/K$ 는 포함 관계에 대하여 그러한 확대 중 극대인 것입니다.
•

$\operatorname{Gal}(E/K)$ 는 $K$ 의 아이디얼 유군과 동형입니다.
•

$K$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 가 $E$ 에서 완전 분해될 필요충분조건은 $\mathfrak{p}$ 가 $\mathcal{O}_{K}$ 의 주 아이디얼인 것입니다.

$E$ 를 $K$ 의 힐베르트 유체라고 부릅니다.

힌트. $\mathfrak{m}=1$ 로 두고 다카기 존재 정리를 적용하십시오.

풀이. $\mathfrak{m}=1$ 로 두고 다카기 존재 정리를 적용하여 $H(E/K,1)=P_{K}(1)$ 을 만족하는 비분기 확대 $E/K$ 를 얻습니다. 이 확대가 조건을 만족함을 보이겠습니다:

•

이 확대가 포함 관계에 대해 극대임을 보이려면, 이 성질을 갖는 다른 임의의 확대 $M/K$ 의 도체는 $1$ 이라는 점(도체를 나누는 소점이 없음)에 주목하십시오. 그러면 $P_{K}(1)=H(E/K,1)\subseteq H(M/K,1)\subseteq I_{K}(1)$ 이므로, 포함 관계의 역전에 의해 $M\subseteq E$ 를 얻습니다.

•

$\operatorname{Gal}(E/K)\cong I_{K}(1)/P_{K}(1)=C_{K}(1)$ 이며, 이는 유군입니다.

•

앞 부분의 동형사상은 아르틴 기호로 주어집니다. 따라서 $\mathfrak{p}$ 가 완전 분해되는 것은 $\left(\frac{E/K}{\mathfrak{p}}\right)=\mathrm{id}$ 인 것과 동치이고, 이는 다시 $\mathfrak{p}$ 가 주 아이디얼인 것( $C_{K}(1)$ 에서 자명한 것)과 동치입니다.

이로써 증명이 완료됩니다.

문제 63C.

소수 $p\nmid m$ 이 $p=x^{2}+23y^{2}$ 꼴로 쓰일 수 있는지의 여부가 $p\bmod m$ 에만 의존하게 되는 양의 정수 $m$ 은 존재하지 않습니다. 그 이유를 추측해 보십시오.

힌트. 확대 $L/\mathbb{Q}$ 는 아벨 확대가 아닙니다.