장 63 보너스: 아르틴 상호법칙에 대하여

이 장에서는 대역류체론(global class field theory)의 몇 가지 중요한 정리들을 서술하고, 이를 이용하여 크로네커-베버 정리와 힐베르트 류체(Hilbert class field)를 유도하겠습니다. 증명은 없지만, 그럼에도 충분히 음미할 수 있기를 바랍니다. 전문가를 위해 덧붙이자면: 이것은 이델(idele)을 사용하지 않는 대역류체론입니다.

요약하자면 다음과 같습니다: $K$ 를 수체(number field)라 합시다. 그러면 모든 아벨 확장 $L/K$ 는 오직 $K$ 에 내재된 정보만을 이용하여 이해될 수 있는데, 바로 (아이디얼 류군을 일반화한) 사선 류군(ray class group)입니다.

63.1 개요

이 절의 끝에서 아벨 체 확장 $L/K$ 에 대해 아르틴 기호(Artin symbol)를 정의하겠습니다

\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right),

이는 르장드르 기호(Legendre symbol) $\left(\frac{a}{p}\right)$ 를 일반화한 것입니다:

•

사선 위에는 정수 $a$ 대신 체 확장 $L/K$ 가 있습니다.
•

사선 아래에는 유리 소수 $p$ 대신 $K$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 가 있습니다.

이 기호가 정의되려면 $\mathfrak{p}$ 가 확장 $L/K$ 에서 분기(ramify)하지 않아야 합니다.

그리고 마지막으로, 다음과 같은 형태의 아르틴 상호법칙(Artin reciprocity theorem)을 서술하고자 합니다:

소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해, $\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)$ 는 오직 “ $\mathfrak{p}\pmod{\mathfrak{f}}$ ”에만 의존합니다.

여기서 $\mathfrak{f}$ 는 오직 체 확장 $L/K$ 에만 의존하는 “법(modulus)”입니다.

이를 위해서는 먼저 두 아이디얼이 무언가를 법으로 서로소라는 것이 무엇을 의미하는지 정의해야 합니다. $\mathfrak{f}$ 와 “서로소”인 $\mathcal{O}_{K}$ 의 아이디얼들을 “ $\mathfrak{f}$ 를 법으로 하는 잉여류”(앞으로는 이를 “사선류(ray class)”라 부르겠습니다)로 다음과 같은 방식으로 나눌 것입니다:

•

이는 류군(class group)을 일반화합니다 – 서로 다른 아이디얼 류에 속하는(즉 $\mathcal{O}_{K}$ -가군으로서 동형이 아닌) 두 아이디얼은 서로 다른 사선류에 속합니다.
•

이는 곱셈 구조를 보존합니다 – 만약 $\mathfrak{p}$ 가 $\mathfrak{p}^{\prime}$ 와 같은 사선류에 속하고, $\mathfrak{q}$ 가 $\mathfrak{q}^{\prime}$ 와 같은 사선류에 속한다면, $\mathfrak{p}\mathfrak{q}$ 는 $\mathfrak{p}^{\prime}\mathfrak{q}^{\prime}$ 와 같은 사선류에 속합니다.

아이디얼에 대해서는 원소 덧셈에 대응하는 것이 없다는 점에 유의하십시오(예를 들어, $(1)=(-1)$ 이지만 $(1)+(1)\neq(1)+(-1)$ 입니다). 따라서 이것이 우리가 기대할 수 있는 최선입니다.

다시 말해, 사선류들은 아이디얼 곱셈으로부터 유도된 연산을 갖는 곱셈에 대한 아벨 군을 이룹니다.
•

고정된 법 $\mathfrak{f}$ 에 대해, 사선류는 오직 유한 개만 존재합니다.

위 절에서는 소 아이디얼 $\mathfrak{p}\in\mathcal{O}_{K}$ 를, 모든 아이디얼이 그 곱으로 쓰일 수 있는 기약 인수로 생각할 수 있습니다. 그러나 이들은 또한 자연스럽게 법으로도 사용될 수 있습니다:

소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 는 $\mathcal{O}_{K}$ 의 원소들을, 원소의 덧셈과 곱셈을 보존하는 방식으로 잉여류로 나누는 방법을 제공합니다.

이는 $\mathcal{O}_{K}$ 의 아이디얼을 사선류로 나누도록 더 일반화될 수 있습니다 – 안타깝게도, 예제 63.3.3에서 나중에 보게 되듯이, 유한 소수만을 사용해서는 우리가 원하는 방식으로 아이디얼을 나누기에 충분하지 않습니다. 따라서 무한 소수를, 아이디얼뿐만 아니라 원소까지도 곱셈 구조를 만족하는 류로 나누기 위해 도입하겠습니다.

63.2 무한 소수

대표적인 예: $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 는 복소 무한 소수를 하나 가지고, $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 는 실 무한 소수를 두 개 가집니다.

$K$ 를 차수가 $n$ 이고 서명이 $(r,s)$ 인 수체라고 합시다. $\mathcal{O}_{K}$ 의 소 아이디얼이 무엇인지는 이미 알고 있지만, 이제는 소위 무한 소수라는 것도 허용하려고 하며, 이를 매장을 이용해 설명하겠습니다.¹¹1이것이 정말로 올바른 정의는 아닙니다. 유한이든 무한이든 소수를 생각하는 “올바른” 방법은 부치를 이용하는 것입니다. 하지만 제가 말하고자 하는 정리들을 서술하는 데는 이것으로 충분합니다. $n$ 개의 매장 $\sigma\colon K\to\mathbb{C}$ 가 있음을 상기하면, 이는 다음으로 구성됩니다

•

$\operatorname{im}\sigma\subseteq\mathbb{R}$ 인 실 매장 $r$ 개, 그리고
•

$s$ 쌍의 켤레 복소 매장.

따라서 $r+2s=n$ 입니다. 첫 번째 부류의 매장은 실 무한 소수를 이루고, 복소 무한 소수는 두 번째 유형입니다. $K$ 의 모든 무한 소수가 실수(각각 복소수)이면 $K$ 를 완전 실(각각 완전 복소)이라고 합니다.

예제 63.2.1 (무한 소수의 예시).

•

$\mathbb{Q}$ 는 하나의 실 무한 소수를 가집니다. 이를 흔히 $\infty$ 로 표기합니다.
•

$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 는 하나의 복소 무한 소수를 가지며, 실 무한 소수는 없습니다. 따라서 완전 복소입니다.
•

$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 는 두 개의 실 무한 소수를 가지며, 복소 무한 소수는 없습니다. 따라서 완전 실입니다.

63.3 무한 소수를 이용한 모듈러 산술

$K$ 의 모듈러스(또는 모듈)는 다음과 같은 형식적 곱입니다

\mathfrak{m}=\prod_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}^{\nu(\mathfrak{p})}

여기서 곱은 유한 소수와 무한 소수를 모두 포함한 모든 소수에 대해 취해집니다. (여기서 $\nu(\mathfrak{p})$ 는 음이 아닌 정수이며, 그중 유한 개만이 $0$ 이 아닙니다.) 또한 다음을 요구합니다

•

임의의 복소 무한 소수 $\mathfrak{p}$ 에 대해 $\nu(\mathfrak{p})=0$ 이고,
•

임의의 실 무한 소수 $\mathfrak{p}$ 에 대해 $\nu(\mathfrak{p})\leq 1$ 입니다.

당연히, 모든 $\mathfrak{m}$ 은 유한 소수와 (실) 무한 소수를 분리하여 $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_{0}\mathfrak{m}_{\infty}$ 로 쓸 수 있습니다.

다음의 경우 $a\equiv b\pmod{\mathfrak{p}}$ 라고 합니다

•

$\mathfrak{p}$ 가 유한 소수이면, $a\equiv b\pmod{\mathfrak{p}^{\nu(\mathfrak{p})}}$ 는 여러분이 예상하는 바로 그 의미입니다: $a-b\in\mathfrak{p}^{\nu(\mathfrak{p})}$ .
•

$\mathfrak{p}$ 가 실 무한 소수 $\sigma\colon K\to\mathbb{R}$ 이면, $a\equiv b\pmod{\mathfrak{p}}$ 는 $\sigma(a/b)>0$ 임을 의미합니다.

실 무한 소수 $\mathfrak{p}=\sigma$ 는 $K^{\times}$ 의 원소들을 두 부류 $\{k\in K^{\times}\mid\sigma(k)>0\}$ 와 $\{k\in K^{\times}\mid\sigma(k)<0\}$ 로 나누며, 이 구분은 곱셈 연산을 만족합니다.

물론, $a\equiv b\pmod{\mathfrak{m}}$ 는 $\mathfrak{m}$ 에 포함된 각 소수 거듭제곱에 대해 $a\equiv b$ 임을 의미합니다. 이를 바탕으로 류군의 일반화를 정의할 수 있습니다:

정의 63.3.1.

$\mathfrak{m}$ 을 수체 $K$ 의 모듈러스라고 합시다.

•

$I_{K}(\mathfrak{m})$ 을 $\mathfrak{m}$ 과 서로소인 $K$ 의 모든 분수 아이디얼의 집합이라고 하며, 이는 아벨 군입니다.
•

$P_{K}(\mathfrak{m})$ 을 다음에 의해 생성되는 $I_{K}(\mathfrak{m})$ 의 부분군이라고 합시다

$\left\{\alpha\mathcal{O}_{K}\mid\alpha\in K^{\times}\text{그리고}\alpha\equiv 1% \pmod{\mathfrak{m}}\right\}.$

이는 때때로 주 아이디얼의 “레이(ray)”라고 불립니다.²²2아마도 기하학적 반직선과 마찬가지로, 한 방향으로만 무한히 뻗어나가기 때문일 것입니다 – 적어도 모듈러스 $\mathfrak{m}$ 에 무한 소수가 있는 경우에는 그렇습니다.

마지막으로 $\mathfrak{m}$ 의 레이 류군을 $C_{K}(\mathfrak{m})=I_{K}(\mathfrak{m})/P_{K}(\mathfrak{m})$ 으로 정의합니다.

이 군은 항상 유한하다고 알려져 있습니다. 통상적인 류군은 $C_{K}(1)$ 임에 유의하십시오.

아르틴 상호법칙 직후에 사용할 마지막 정의는 다음과 같습니다:

정의 63.3.2.

$\mathfrak{m}$ 의 합동 부분군(congruence subgroup)은 다음을 만족하는 부분군 $H$ 입니다.

P_{K}(\mathfrak{m})\subseteq H\subseteq I_{K}(\mathfrak{m}).

따라서 $C_{K}(\mathfrak{m})$ 는 다양한 몫 $I_{K}(\mathfrak{m})/H$ 의 격자를 포함하는 군이며, 여기서 $H$ 는 합동 부분군입니다.

이 정의는 익숙해지는 데 시간이 걸리므로, 여기 몇 가지 예시를 제시합니다.

예제 63.3.3 ( $\mathbb{Q}$ 에서의 사상류군, 유한 모듈러스).

무한 소수 $\infty$ 를 갖는 $K=\mathbb{Q}$ 를 생각해봅시다. 그러면

•

$\mathfrak{m}=1$ 로 두면 $I_{\mathbb{Q}}(1)$ 은 모든 분수 아이디얼이고, $P_{\mathbb{Q}}(1)$ 은 모든 주 분수 아이디얼입니다. 이들의 몫은 $\mathbb{Q}$ 의 통상적인 유수군이며, 이는 자명합니다.
•

이제 $\mathfrak{m}=8$ 로 둡니다. 그러면 $I_{\mathbb{Q}}(8)\cong\left\{\frac{a}{b}\mathbb{Z}\mid a/b\equiv 1,3,5,7\pmod{% 8}\right\}$ 입니다. 더 나아가

$P_{\mathbb{Q}}(8)\cong\left\{\frac{a}{b}\mathbb{Z}\mid a/b\equiv 1\pmod{8}% \right\}.$

얼핏 보면 몫이 $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times}$ 일 것이라 생각할 수 있습니다. 하지만 문제는 우리가 다루고 있는 것이 아이디얼이라는 점입니다: 구체적으로, 우리는 다음을 갖습니다.

$7\mathbb{Z}=-7\mathbb{Z}\in P_{\mathbb{Q}}(8)$

왜냐하면 $-7\equiv 1\pmod{8}$ 이기 때문입니다. 그래서 실제로는, 우리는 다음을 얻습니다.

$C_{\mathbb{Q}}(8)\cong\left\{1,3,5,7\text{법}8\right\}/\left\{1,7\text{법}8% \right\}\cong(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^{\times}.$

더 일반적으로,

C_{\mathbb{Q}}(m)=(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}/\{\pm 1\}.

예제 63.3.4 ( $\mathbb{Q}$ 에서의 사상류군, 무한 모듈러스).

다시 무한 소수 $\infty$ 를 갖는 $K=\mathbb{Q}$ 를 생각해봅시다.

•

이제 $\mathfrak{m}=\infty$ 로 둡니다. 앞서와 마찬가지로 $I_{\mathbb{Q}}(\infty)=\mathbb{Q}^{\times}$ 입니다. 이제 정의에 의해 우리는 다음을 갖습니다.

$P_{\mathbb{Q}}(\infty)=\left\{\frac{a}{b}\mathbb{Z}\mid a/b>0\right\}.$

얼핏 보면 이것이 $\mathbb{Q}_{>0}$ 일 것이라 생각할 수 있지만, 아이디얼에서의 동일한 현상으로 인해 실제로는 $P_{\mathbb{Q}}(\infty)=\mathbb{Q}^{\times}$ 임이 드러납니다. 따라서 이 경우, $P_{\mathbb{Q}}(\infty)$ 는 여전히 모든 주 분수 아이디얼을 갖습니다. 그러므로 $C_{\mathbb{Q}}(\infty)$ 는 여전히 자명합니다.
•

마지막으로, $\mathfrak{m}=8\infty$ 로 둡시다. 앞서와 마찬가지로 $I_{\mathbb{Q}}(8\infty)\cong\left\{\frac{a}{b}\mathbb{Z}\mid a/b\equiv 1,3,5,7% \pmod{8}\right\}$ 입니다. 이제 이 경우:

$P_{\mathbb{Q}}(8\infty)\cong\left\{\frac{a}{b}\mathbb{Z}\mid a/b\equiv 1\pmod{% 8}\text{그리고}a/b>0\right\}.$

이번에는 정말로 $-7\mathbb{Z}\notin P_{\mathbb{Q}}(8\infty)$ 입니다: $7\not\equiv 1\pmod{8}$ 이고 또한 $-7<0$ 이기 때문입니다. 따라서 $7\mathbb{Z}$ 의 생성원 중 어느 것도 $P_{\mathbb{Q}}(8\infty)$ 에 속하지 않습니다. 이렇게 우리는 마침내 다음을 얻습니다.

$C_{\mathbb{Q}}(8\infty)\cong\left\{1,3,5,7\text{법}8\right\}/\left\{1\text{법}8% \right\}\cong(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times}$

여기서 전단사 $C_{\mathbb{Q}}(8\infty)\to(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times}$ 는 $a\mathbb{Z}\mapsto|a|\pmod{8}$ 로 주어집니다.

더 일반적으로,

C_{\mathbb{Q}}(m\infty)=(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}.

63.4 확장에서의 무한 소수

저는 위의 모든 내용이 특정한 수체 $K$ 에 고유한(intrinsic) 것임을 강조하고 싶습니다. 이 시점 이후로 우리는 확장 $L/K$ 를 고려할 것이지만, 모듈러스와 사상류군이라는 개념이 위의 $L$ 이 아니라 오직 $K$ 로부터만 정의되는 대상이라는 구분을 염두에 두는 것이 중요합니다.

이제 차수 $m$ 의 갈루아(Galois) 확장 $L/K$ 를 생각해봅시다. 우리는 이미 $K$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 가 $L$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak{P}$ 의 곱으로 좋은 방식으로 분해된다는 것을 알고 있으므로, 무한 소수에 대해서도 같은 것을 하고자 합니다. 이는 간단합니다: $n$ 개의 무한 소수 $\sigma\colon K\to\mathbb{C}$ 각각은 $m$ 개의 무한 소수 $\tau\colon L\to\mathbb{C}$ 로 들어올려지는데, 이는 다음 도식이

가환임을 의미합니다. 따라서 앞서와 마찬가지로, $K$ 의 각 무한 소수 $\sigma$ 는 그 위에 놓인 $L$ 의 $m$ 개의 무한 소수 $\tau$ 를 갖습니다.

$K$ 의 실 소수 $\sigma$ 에 대해, 그 위에 놓인 결과 $\tau$ 중 어느 것이라도 복소이면, 우리는 소수 $\sigma$ 가 확장 $L/K$ 에서 분기한다(ramifies)고 말합니다. 그렇지 않으면 $L/K$ 에서 비분기(unramified)라고 합니다. $K$ 의 무한 소수는 $L/K$ 에서 항상 비분기입니다. 이런 방식으로, 우리는 비분기 갈루아 확장 $L/K$ 에 대해 이야기할 수 있습니다: 이는 모든 소수(유한이든 무한이든)가 비분기인 확장입니다.

예제 63.4.1 ( $\infty$ 의 분기).

$\infty$ 를 $\mathbb{Q}$ 의 실 무한 소수라 합시다.

•

$\infty$ 는 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})/\mathbb{Q}$ 에서 분기합니다.
•

$\infty$ 는 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})/\mathbb{Q}$ 에서 비분지입니다.

또한 $K$ 가 전복소체이면 임의의 확대 $L/K$ 는 비분지임을 유의하십시오.

63.5 프로베니우스 원소와 아르틴 기호

핵심 결과를 상기하십시오:

정리 63.5.1 (프로베니우스 원소).

$L/K$ 를 갈루아 확대라 합시다. $\mathfrak{p}$ 가 $L/K$ 에서 비분지인 소 아이디얼이고, $\mathfrak{P}$ 가 $L$ 에서 그 위에 있는 소 아이디얼이면, 다음을 만족하는 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 의 유일한 원소가 존재하며, 이를 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 로 표기합니다

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}(\alpha)\equiv\alpha^{\operatorname{N}(\mathfrak{p% })}\pmod{\mathfrak{P}}\qquad\forall\alpha\in\mathcal{O}_{L}.

예제 62.1.2와 보조정리 62.4.1의 예시들을 상기하십시오.

예제 63.5.2 (프로베니우스 원소의 예).

$L=\mathbb{Q}(i)$ , $K=\mathbb{Q}$ 라 합시다. $\operatorname{Gal}(L/K)\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 입니다.

$p$ 가 홀수 소수이고 $\mathfrak{P}$ 가 그 위에 있다면, $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 다음을 만족하는 유일한 원소입니다

(a+bi)^{p}\equiv\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}(a+bi)\pmod{\mathfrak{P}}

$\mathbb{Z}[i]$ 에서. 특히,

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}(i)=i^{p}=\begin{cases}i&p\equiv 1\pmod{4}\\ -i&p\equiv 3\pmod{4}.\end{cases}

이로부터 $p\equiv 1\pmod{4}$ 일 때 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 항등원이고, $p\equiv 3\pmod{4}$ 일 때 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 복소켤레임을 알 수 있습니다.

예제 63.5.3 (원분 프로베니우스 원소).

이전 예시를 일반화하여, $\zeta$ 를 $m$ 차 단위근이라 하고 $L=\mathbb{Q}(\zeta)$ , $K=\mathbb{Q}$ 라 합시다. $L/K$ 가 $\infty$ 와 $m$ 의 소인수를 제외하고는 비분지임은 잘 알려져 있습니다. 더욱이 갈루아 군 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 는 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ 이며, 갈루아 군은 다음 형태의 원소들로 이루어집니다

\sigma_{n}\colon\zeta\mapsto\zeta^{n}

그리고 $\operatorname{Gal}(L/K)=\left\{\sigma_{n}\mid n\in(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{% \times}\right\}$ 입니다.

그러면 이전과 마찬가지로 $p\nmid m$ 인 소수 $p$ 에 대해 $\mathfrak{P}$ 가 $p$ 위에 있을 때 다음이 성립합니다

\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}=\sigma_{p}.

여기서 절 61.6에서 암시했듯이, 기저체 $K$ 가 반드시 $\mathbb{Q}$ 일 필요는 없는 경우로 이론을 일반화해야 합니다(예를 들어, 예제 63.5.8에서는 $K=\mathbb{Q}(\omega)$ 가 필요합니다). 이 경우 $\mathfrak{p}$ 는 반드시 정수일 필요는 없으며, 몫에 유도되는 사상은 “ $\operatorname{N}(\mathfrak{p})$ 거듭제곱” 사상입니다.

예제 63.5.4 (기저체가 $\mathbb{Q}(\omega)$ 일 때의 프로베니우스 원소).

$L=\mathbb{Q}(\omega,\sqrt[3]{2})$ , $K=\mathbb{Q}(\omega)$ 라 합시다.

$K$ 에서 소 아이디얼인 $\mathfrak{p}=(5)$ 를 생각하면 $\operatorname{N}(\mathfrak{p})=25$ 입니다. 체 $\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}$ 는 $\mathbb{F}_{25}$ 와 동형입니다. $L$ 에서 $\mathfrak{p}$ 는 $\mathfrak{P}_{1}\mathfrak{P}_{2}\mathfrak{P}_{3}$ 로 분해되며, 각 잉여체 $\mathcal{O}_{L}/\mathfrak{P}_{i}$ 는 $\mathbb{F}_{25}$ 와 동형입니다.

프로베니우스 원소 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}\in\operatorname{Gal}(L/K)$ 는 몫체에서 25제곱 동형사상을 유도하므로, 항등원입니다.

프로베니우스 원소의 중요한 성질은 그 위수가 상위체 $L$ 에서 $\mathfrak{p}$ 의 분해와 가장 이상적인 방식으로 관련되어 있다는 것입니다:

보조정리 63.5.5 (프로베니우스 원소의 위수).

확대 $L/K$ 의 프로베니우스 원소 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}\in\operatorname{Gal}(L/K)$ 의 위수는 $\mathfrak{P}$ 의 잉여차수와 같으며, 즉 다음과 같습니다

\operatorname{ord}\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}=f(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}).

특히, $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}=\mathrm{id}$ 인 것과 $\mathfrak{p}$ 가 $L/K$ 에서 완전히 분해되는 것은 동치입니다.

이는 보조정리 62.1.3를 자연스럽게 일반화합니다.

증명.

체 $\mathcal{O}_{L}/\mathfrak{P}$ 위에서 사상 $T\colon x\mapsto x^{\operatorname{N}(\mathfrak{p})}$ 의 위수를 이해하고자 합니다. 그런데 후자는 유한체의 갈루아 이론에 의해 $\mathbb{F}_{p}$ 에서 $X^{\operatorname{N}(\mathfrak{P})}-X$ 의 분해체와 동형입니다. 따라서 그 위수는 $\log_{\operatorname{N}(\mathfrak{p})}(\operatorname{N}(\mathfrak{P}))=f(% \mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})$ 입니다. ∎

갈루아 군은 주어진 $\mathfrak{p}$ 위에 있는 $\mathfrak{P}$ 들의 집합에 추이적으로 작용하므로, 다음이 성립합니다

\mathrm{Frob}_{\sigma(\mathfrak{P})}=\sigma\circ(\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}})% \circ\sigma^{-1}.

따라서 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 그 바탕이 되는 $\mathfrak{p}$ 에 의해 켤레류를 제외하고 결정됩니다.

유체론(class field theory)에서 우리가 관심을 갖는 것은 아벨 확대, 즉 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 가 아벨 군인 경우입니다. 여기서 이론은 특별히 더 좋아집니다: 켤레류의 크기가 1이 됩니다.

정의 63.5.6.

$L/K$ 가 아벨 확대라고 합시다. 그러면 $K$ 에서 주어진 비분지 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해, 원소 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 는 $\mathfrak{P}$ 의 선택에 의존하지 않습니다. 우리는 이렇게 얻어지는 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ 를 아르틴 기호라고 표기합니다,

\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right).

아르틴 기호의 정의는 르장드르 기호와 닮아 보이도록 의도적으로 쓰여진 것입니다. 그 이유를 살펴보면:

예제 63.5.7 (아르틴 기호에 포함되는 르장드르 기호).

$p>2$ 가 소수일 때 $\left(\frac{2}{p}\right)\equiv 2^{\frac{p-1}{2}}$ 을 이해하고자 한다고 합시다. 다음 원소를 생각합시다

\left(\frac{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}{p\mathbb{Z}}\right)\in% \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}).

이는 $\sqrt{2}$ 를 어디로 보내는지에 의해 유일하게 결정됩니다. 그런데 실제로 다음이 성립합니다

\left(\frac{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}{p\mathbb{Z}}\right)\left(\sqrt{2}% \right)\equiv\left(\sqrt{2}\right)^{p}\equiv 2^{\frac{p-1}{2}}\cdot\sqrt{2}% \equiv\left(\frac{2}{p}\right)\sqrt{2}\pmod{\mathfrak{P}}

여기서 $\left(\frac{2}{p}\right)$ 는 보통의 르장드르 기호이고, $\mathfrak{P}$ 는 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 에서 $p$ 위에 있는 소 아이디얼입니다. 따라서 아르틴 기호는 이차 르장드르 기호를 일반화합니다.

예제 63.5.8 (아르틴 기호에 포함되는 삼차 르장드르 기호).

마찬가지로, 이는 삼차 르장드르 기호도 일반화합니다. 이를 보이기 위해, $\theta$ 가 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})=\mathbb{Q}(\omega)$ (따라서 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\omega]$ 는 아이젠슈타인 정수입니다)에서 기본(primary) 소수라고 합시다. 그러면 예를 들어

\left(\frac{K(\sqrt[3]{2})/K}{\theta\mathcal{O}_{K}}\right)\left(\sqrt[3]{2}% \right)\equiv\left(\sqrt[3]{2}\right)^{\operatorname{N}(\theta)}\equiv 2^{% \frac{\operatorname{N}(\theta)-1}{3}}\cdot\sqrt[3]{2}\equiv\left(\frac{2}{% \theta}\right)_{3}\sqrt[3]{2}\pmod{\mathfrak{P}}

여기서 $\mathfrak{P}$ 는 $K(\sqrt[3]{2})$ 에서 $(\theta)$ 위에 있습니다.

63.6 아르틴 상호법칙

이제 우리는 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 가 아벨 군이라는 사실을 더욱 활용합니다. 간결함을 위해, 앞으로 $\operatorname{Ram}(L/K)$ 가 $L$ 에서 분지되는 $K$ 의 소 아이디얼들(유한이든 무한이든)을 나타낸다고 합시다.

정의 63.6.1.

$L/K$ 가 아벨 확대이고 $\mathfrak{m}$ 이 $\operatorname{Ram}(L/K)$ 의 모든 소 아이디얼로 나누어진다고 합시다. 그러면 $L/K$ 가 아벨이므로 우리는 아르틴 기호를 곱셈적으로 확장하여 다음과 같은 사상을 얻을 수 있습니다

\left(\frac{L/K}{\bullet}\right)\colon I_{K}(\mathfrak{m})\twoheadrightarrow% \operatorname{Gal}(L/K).

이를 아르틴 사상이라고 부르며, 이는 (예를 들어 체보타레프 밀도 정리에 의해) 전사입니다.

$H(L/K,\mathfrak{m})\subseteq I_{K}(\mathfrak{m})$ 가 이 사상의 핵을 나타낸다고 합시다, 그러면

\operatorname{Gal}(L/K)\cong I_{K}(\mathfrak{m})/H(L/K,\mathfrak{m}).

이제 우리는 오랫동안 기다려온 아르틴 상호법칙 정리를 제시할 수 있습니다.

정리 63.6.2 (아르틴 상호법칙).

$L/K$ 가 아벨 확대라고 합시다. 그러면 정확히 $\operatorname{Ram}(L/K)$ 의 소 아이디얼들로 나누어지는 법(modulus) $\mathfrak{f}=\mathfrak{f}(L/K)$ 가 존재하여, $\operatorname{Ram}(L/K)$ 의 모든 소 아이디얼로 나누어지는 임의의 법 $\mathfrak{m}$ 에 대해 다음이 성립합니다

P_{K}(\mathfrak{m})\subseteq H(L/K,\mathfrak{m})\subseteq I_{K}(\mathfrak{m})% \quad\text{일 때, 그리고 오직 그때만}\quad\mathfrak{f}\mid\mathfrak{m}.

우리는 $\mathfrak{f}$ 를 $L/K$ 의 도체(conductor)라고 부릅니다.

따라서 도체 $\mathfrak{f}$ 는 판별식과 비슷한 역할을 하며(정확히 분지되는 소 아이디얼들로 나누어짐), $\mathfrak{m}$ 이 도체로 나누어질 때 $H(L/K,\mathfrak{m})$ 은 합동 부분군(congruence subgroup)이 됩니다.

이것이 ”상호법칙”이라고 불리는 이유는 다음과 같습니다. 위 정리를 $\mathfrak{m}=\mathfrak{f}$ 에 적용하면 $P_{K}(\mathfrak{f})\subseteq H(L/K,\mathfrak{f})$ 임을 알 수 있으며, 따라서 아르틴 사상은 몫사상 $I_{K}(\mathfrak{f})\twoheadrightarrow I_{K}(\mathfrak{f})/P_{K}(\mathfrak{f})$ 를 통해 인수분해됩니다. $C_{K}(\mathfrak{f})=I_{K}(\mathfrak{f})/P_{K}(\mathfrak{f})$ 임을 상기하면, 우리는 다음과 같은 사상의 열을 얻습니다

그 결과:

소 아이디얼 $\mathfrak{p}\in I_{K}(\mathfrak{f})$ 에 대해, $\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)$ 는 오직 ” $\mathfrak{p}\pmod{\mathfrak{f}}$ ”에만 의존합니다.

이 결과가 이차 상호법칙과 어떻게 관련되는지 살펴봅시다.

예제 63.6.3 (아르틴 상호법칙이 이차 상호법칙을 함의함).

이차 상호법칙의 큰 기적은 다음과 같이 말합니다: 고정된 (제곱인수가 없는) $a$ 에 대해, 르장드르 기호 $\left(\frac{a}{p}\right)$ 는 오직 $p$ 가 어떤 것을 법으로 한 잉여류에만 의존해야 합니다. 아르틴 상호법칙이 어떻게 이를 선험적으로(a priori) 알려주는지 살펴봅시다.

$L=\mathbb{Q}(\sqrt{a})$ , $K=\mathbb{Q}$ 라고 합시다. 그러면 아르틴 기호가

\left(\frac{\mathbb{Q}(\sqrt{a})/\mathbb{Q}}{\bullet}\right)

르장드르 기호의 올바른 일반화임을 이미 살펴보았습니다. 따라서 아르틴 상호법칙은 $\left(\frac{\mathbb{Q}(\sqrt{a})/\mathbb{Q}}{p}\right)$ 가 $\mathfrak{f}$ 를 법으로 하는 $p$ 의 잉여류에만 의존하도록 하는 도체 $\mathfrak{f}=\mathfrak{f}(\mathbb{Q}(\sqrt{a})/\mathbb{Q})$ 가 존재함을 알려주는데, 이것이 바로 우리가 원했던 것입니다.

같은 맥락의 예시가 여기 있습니다.

예제 63.6.4 (원분체).

$\zeta$ 를 $m$ 차 원시근이라고 합시다. 소수 $p$ 에 대해, $\mathrm{Frob}_{p}\in\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q})$ 가 ”정확히” $p\pmod{m}$ 임을 알고 있습니다. 이 아이디어를 아르틴 상호법칙의 표기법으로 옮겨봅시다.

우리는 다음을 증명할 것입니다

H(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q},m\infty)=P_{\mathbb{Q}}(m\infty)=\left\{\frac{a% }{b}\mathbb{Z}\mid a/b\equiv 1\pmod{m}\right\}.

이것은 아르틴 상호법칙에서 하한을 달성하는 일반적인 예시입니다. 이는 또한 $\mathfrak{f}(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q})\mid m\infty$ 임을 함의합니다.

$\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q}$ 가 $m$ 을 나누는 유한 소수를 제외하고는 비분기임은 잘 알려져 있으므로, 아르틴 기호는 $I_{K}(\mathfrak{m})$ 위에서 정의됩니다. 이제 아르틴 사상은 다음과 같이 주어집니다

따라서 이 사상의 핵이 자명하다는 것을, 즉 이는 갈루아 군의 항등원으로 주어지며 $1\pmod{m}$ 에 대응함을 알 수 있습니다. 한편, 우리는 $P_{\mathbb{Q}}(m\infty)$ 도 이미 계산했으므로, 원하는 등식을 얻습니다.

사실, 우리는 다음과 같은 ”존재 정리”도 가지고 있습니다: $\mathfrak{m}$ 을 고정하면 모든 합동 부분군이 유일하게 나타납니다.

정리 63.6.5 (다카기 존재 정리).

$K$ 를 고정하고 $\mathfrak{m}$ 을 모듈러스라고 합시다. 임의의 합동 부분군 $H$ 를 고려하되, 즉

P_{K}(\mathfrak{m})\subseteq H\subseteq I_{K}(\mathfrak{m}).

그러면 유일한 아벨 확대 $L/K$ 에 대해 $H=H(L/K,\mathfrak{m})$ 입니다.

마지막으로, 이러한 부분군들은 가능한 최선의 방식으로 포함관계를 반전시킵니다:

보조정리 63.6.6 (포함관계를 반전시키는 합동 부분군).

모듈러스 $\mathfrak{m}$ 을 고정합시다. $L/K$ 와 $M/K$ 를 아벨 확대라고 하고, $\mathfrak{m}$ 이 $L/K$ 와 $M/K$ 의 도체로 나누어진다고 합시다. 그러면

L\subseteq M\quad\text{일 때, 그리고 오직 그때만}\quad H(M/K,\mathfrak{m})\subseteq H(L/% K,\mathfrak{m}).

여기서 $L\subseteq M$ 이란 $L$ 이 $M$ 의 어떤 부분체와 동형임을 의미합니다.

증명 개요.

먼저 $\mathfrak{m}$ 을 고정한 상태에서 동치성을 증명해봅시다. 한 방향으로, $L\subseteq M$ 이라고 가정합시다; 정의로부터 다음 도식이

가환임을 확인할 수 있는데, 이는 소수 거듭제곱에 대해서만 검증하면 충분하기 때문이며, 이는 단지 프로베니우스 원소가 제한에 대해 잘 작동한다는 것을 말할 뿐입니다. 그러면 핵의 포함관계가 직접적으로 따라옵니다. 역방향은 본질적으로 다카기 존재 정리입니다. ∎

여기서 우리는 항상 $\mathfrak{m}$ 을 도체들의 곱으로 취할 수 있음에 유의하십시오.

혹시 눈치채지 못하셨다면: 이차 상호법칙을 일반화하는 것과는 별개로, 아르틴 상호법칙과 다카기 존재 정리는 함께 모든 아벨 체 확대를 열거합니다! 이제 체 $K$ 가 주어지고 $K$ 의 모든 (유한) 아벨 체 확대를 나열하고자 한다면, $K$ 의 모든 모듈러스 $\mathfrak{m}$ 을 나열하고, $C_{K}(\mathfrak{m})$ 의 모든 부분군을 나열하면, 각 부분군이 체 확대에 대응됩니다.

(물론, 모듈러스와 합동 부분군이 주어졌을 때 체 $L$ 을 어떻게 계산하는가 하는 문제는 여전히 어렵습니다. 적어도 $K=\mathbb{Q}$ 일 때는 문제 63A가 답을 줍니다: 모든 유한 아벨 체 확대 $L/\mathbb{Q}$ 는 어떤 원분체에 포함됩니다.)

마무리로, 에밀 아르틴이 자신의 상호법칙에 대해 남긴 말을 인용하겠습니다:

상호법칙에 관한 이야기를 하나 들려드리겠습니다. 제 학위논문 이후, 저는 비아벨 확대에 대한 $L$ -급수를 정의하겠다는 생각을 하게 되었습니다. 그러나 그것들이 아벨 확대에 대한 $L$ -급수와 일치하려면, 어떤 동형사상이 참이어야 했습니다. 저는 그것이 모든 표준적인 상호법칙들을 함의함을 보일 수 있었습니다. 그래서 저는 그것을 일반 상호법칙이라 불렀고 증명하려 했지만, 여러 번 시도했음에도 불구하고 할 수 없었습니다. 그런 다음 다른 정수론자들에게 보여주었지만, 그들은 모두 그것을 비웃었으며, 특히 하세가 그것이 참일 리가 없다고 말했던 것을 기억합니다.

그럼에도 저는 계속 매달렸지만, 제가 시도한 그 무엇도 통하지 않았습니다. 3년 동안 상호법칙을 증명하려 시도하지 않은 주가 단 한 주도 없었습니다. 그것은 낙담스러운 일이었고, 그 사이 저는 다른 일들로 눈을 돌렸습니다. 그러던 어느 오후 특별히 할 일이 없었기에, 저는 ”그래, 상호법칙 증명을 다시 시도해보자”라고 말했습니다. 그래서 저는 밖으로 나가 정원에 앉았습니다. 아시다시피, 저는 처음부터 원분체를 사용하겠다는 생각을 가지고 있었지만, 그것들은 결코 통하지 않았고, 이제 저는 갑자기 그동안 내내 제가 그것들을 잘못된 방식으로 사용해왔음을 깨달았습니다 — 그리고 삼십 분 만에 저는 그것을 얻었습니다.

63.7 응용: 두 제곱수의 합의 일반화

다음의 고전적인 정리로 시작합니다:

정리 63.7.1 (두 제곱수의 합에 관한 페르마의 정리).

홀수 소수 $p$ 는 $p\equiv 1\pmod{4}$ 일 때, 그리고 그때만 정수 $x$ 와 $y$ 에 대해 $p=x^{2}+y^{2}$ 로 표현될 수 있습니다.

다음과 같은 형태의 증명을 볼 수도 있습니다. 수론과 이차 상호법칙을 배웠으므로 이는 직관적으로 따라오기 쉬울 것입니다.

증명.

$p=x^{2}+y^{2}$ 이면 $\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\equiv-1\pmod{p}$ 이므로, 필요조건은 $-1$ 이 $p$ 를 법으로 하는 이차 잉여라는 것임에 주목하십시오.

이 조건이 충분조건이기도 함을 보이겠습니다.

$a^{2}\equiv-1\pmod{p}$ 를 만족하는 $a\in\mathbb{Z}$ 를 잡습니다. $\operatorname{N}_{\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}}(a+i)=a^{2}+1$ 이 $p$ 로 나누어떨어지고, $\operatorname{N}_{\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}}(p)=p^{2}$ 임에 주목하십시오.

$p=x^{2}+y^{2}$ 로 쓰는 것이 가능하다고 가정합시다. 그러면 $p$ 는 정수 $x$ 와 $y$ 에 대해 $\mathbb{Z}[i]$ 에서 $(x+yi)(x-yi)$ 로 인수분해될 수 있습니다.

$x+yi=\gcd(p,a+i)$ 로 두면 성립함을 주장합니다. 실제로 $p\mid(a+i)(a-i)=a^{2}+1$ 이지만 $p$ 는 두 인수 중 어느 것도 나누지 못하므로, 이는 $p$ 가 $\mathbb{Z}[i]$ 에서 소수가 아님을 의미하며 $a+i$ 또는 $a-i$ 중 하나와 $\gcd$ 를 취하면 자명하지 않은 인수를 추출해야 합니다.

$\operatorname{N}_{\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}}(x+yi)=p$ 이므로 $x+yi$ 와 $x-yi$ 는 이미 소수이며, 따라서 위의 인수 추출은 이미 우리가 원하는 소인수를 주는 것이 분명합니다.

마지막으로, $-1$ 이 $p$ 를 법으로 하는 이차 잉여인 것은 정확히 $p\equiv 1\pmod{4}$ 일 때임을 알고 있으므로, 이로써 증명이 끝났습니다. ∎

이를 신비로운 트릭…으로 치부할 수도 있지만, 이것이 다른 많은 경우에도 완벽하게 일반화될 수 있음을 깨닫기 전까지만 그렇습니다! 같은 방법을 사용하여 다음 정리를 증명해 보십시오.

정리 63.7.2.

홀수 소수 $p>7$ 은 정수 $x$ 와 $y$ 에 대해 $p=x^{2}+7y^{2}$ 로 표현될 수 있는 것은 $-7$ 이 $p$ 를 법으로 하여 이차 잉여인 경우이고 오직 그 경우에만 그러합니다.

이는 이차 상호법칙에 의해 $(p\bmod 7)\in\{1,2,4\}$ 인지 여부로 귀결됩니다.

그럼에도 불구하고, 항상 그렇게 잘 되는 것은 아닙니다.

예제 63.7.3.

$p=3$ 이라고 합시다. 그러면 $1^{2}\equiv-5\pmod{p}$ 이지만, $p=x^{2}+5y^{2}$ 를 만족하는 정수 $x$ 와 $y$ 는 존재하지 않습니다.

질문 63.7.4.

아직 시도해 보지 않았다면, 아래의 설명을 읽기 전에 증명에서 무엇이 잘못되었는지 스스로 파악해 보십시오.

물론 그 오류는 $\gcd(p,1+\sqrt{-5})$ 가 하나의 원소라고 가정한 데 있습니다 — 즉, 이 경우 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 의 정수환은 유일 인수분해 정역이 아닙니다. 하지만 이를 바로잡을 아이디얼 이론의 도구들이 모두 있습니다: 아이디얼 $(p)=(3)\subseteq\mathbb{Q}$ 는 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 로 끌어올렸을 때 $(p)=\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}$ 로 분해되며, 여기서 $\mathfrak{p}_{1}=(3,1+\sqrt{-5})$ 이고 $\mathfrak{p}_{2}=(3,1-\sqrt{-5})$ 입니다.

따라서,

명제 63.7.5.

소수 $p\in\mathbb{Q}$ 는 $(p)$ 가 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 로 끌어올렸을 때 $\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}$ 로 분해되고 $\mathfrak{p}_{1}$ 과 $\mathfrak{p}_{2}$ 둘 다 주 아이디얼일 때, 그리고 그때만 $p=x^{2}+5y^{2}$ 로 쓸 수 있습니다.

바로 여기서 아르틴 상호법칙과 힐베르트 유체가 빛을 발합니다 — 우리는 $\mathfrak{p}_{1}$ 의 류, 다시 말해 $\mathfrak{p}_{1}\pmod{1}$ 을 결정하고자 합니다.

질문 63.7.6.

$\mathfrak{p}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 가 주 아이디얼일 때, 그리고 그때만 $\mathfrak{p}\equiv(1)\pmod{1}$ 임을 확인하십시오. (정의를 따라가는 작업입니다.)

질문 63.7.7.

$\mathfrak{p}_{1}$ 이 주 아이디얼이면 자동으로 $\mathfrak{p}_{2}$ 도 주 아이디얼이 됩니다. 왜 그렇습니까?

이제부터 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 라 하고, $L$ 을 $K$ 의 어떤 아벨 확대라 합시다.

앞서 군 $H(L/K,\mathfrak{m})=\ker\left(\frac{L/K}{\bullet}\right)$ 을 정의했음을 상기하십시오. 아르틴 상호법칙의 진술은, 여러 주장 중에서도, $P_{K}(\mathfrak{m})\subseteq H(L/K,\mathfrak{m})$ 임을 주장합니다. 당연히, 우리가 신경 쓰는 것이 ” $\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)$ 이 오직 $\mathfrak{p}\pmod{\mathfrak{f}}$ 에만 의존한다”는 것뿐이라면, 왜 $H$ 에 대해 또 다른 표기를 정의할 필요가 있는지 궁금할 수 있습니다.

음, 위의 단순화된 버전의 아르틴 상호법칙 정리는 $\mathfrak{p}\pmod{\mathfrak{f}}$ 를 알기만 하면 $\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)$ 를 계산할 수 있다고 진술합니다. 물론 그 이상이 있습니다:

$P_{K}(\mathfrak{f})=H(L/K,\mathfrak{f})$ 이면, $\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)$ 를 알기만 하면 $\mathfrak{p}\pmod{\mathfrak{f}}$ 를 계산할 수 있습니다.

다시 말해, $L$ 이 합동 부분군이 ”하한”에 도달하는 경우라면, 그 역 또한 성립합니다.

질문 63.7.8.

위의 대수 계산이 성립함을 확인해 보십시오.

위에서 우리는 합동 부분군 $H(\mathbb{Q}(\zeta_{m})/\mathbb{Q},m\infty)$ 이 하한 $P_{\mathbb{Q}}(m\infty)$ 과 같은 예시 하나, 예제 63.6.4를 살펴보았습니다. 아래에서 하나 더 살펴보겠습니다.

예제 63.7.9.

위의 예시에서, 우리는 법 $\mathfrak{m}$ 과 $K$ 위의 아벨 체 확장 $L$ 을 모두 변화시켜 서로 다른 합동 부분군을 얻을 수 있습니다. 이는 혼란스러울 수 있으므로, 예를 하나 들어봅시다.

아벨 체 확장 $L/\mathbb{Q}$ 를 생각해 봅시다. $\mathbb{Q}$ 에서의 법을 $\mathfrak{m}=15\infty$ 라고 합시다.

선류군 $C_{\mathbb{Q}}(\mathfrak{m})$ 은 물론 $(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z})^{\times}\cong(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^{\times}\times% (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\times}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/4% \mathbb{Z}$ 와 동형입니다.

이 군은 (원소가 8개뿐인) 이렇게 작음에도 불구하고, 부분군이 8개나 있습니다.³³3https://beta.lmfdb.org/Groups/Abstract/diagram/8.2에 도식이 있습니다. 그럼에도 불구하고, 우리는 부분군 격자의 관련 부분에만 초점을 맞추겠습니다.

아르틴 상호법칙과 다카기 존재 정리에 의해, 각 합동 부분군은 $L/\mathbb{Q}$ 위의 어떤 아벨 확장에 대응합니다.

아래에서 우리는 아벨 체 확장과 합동 부분군 $H(L/\mathbb{Q},15\infty)$ 사이의 대응관계를, $H(L/\mathbb{Q},15\infty)/P_{\mathbb{Q}}(15\infty)$ 가 $C_{\mathbb{Q}}(15\infty)$ 의 부분군이라는 사실을 이용하여 그립니다. 여기서 $C_{\mathbb{Q}}(15\infty)$ 는 $(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z})^{\times}$ 와 표준적으로 동형입니다.

(위의 도식은 어디서 나온 것일까요? 음, 바탕체가 $\mathbb{Q}$ 라면, 문제 63A이 방법을 제공합니다.)

관심 있는 독자는 아벨 확장의 일반적인 경우에 갈루아 군 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 과 선류군 $C_{K}(\mathfrak{f}(L/K))$ 사이의 표준 동형사상을 직접 구해 보고 싶을 수 있습니다.

다음으로, 이것이 다른 법, 예를 들어 $5\infty$ 에 대응하는 아벨 확장들과 어떻게 관련될까요? 직관적으로 말하면, 어떤 아이디얼의 법 $15\infty$ 에서의 값을 안다면, 법 $5\infty$ 에서의 값도 알 수 있을 것입니다. 형식적으로는, 다음과 같은 도식이 있습니다:

(범주론 장을 읽으셨다면: 짧은 완전열의 사상은 어디에나 나타납니다! 그저 찾아보기만 하면 됩니다.)

즉, 우리는 유도된 $C_{\mathbb{Q}}(15\infty)\twoheadrightarrow C_{\mathbb{Q}}(5\infty)$ 사상, 또는 동등하게 $(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z})^{\times}\twoheadrightarrow(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\times}$ 를 얻습니다. 이번에는, 법 $5\infty$ 에 대응하는 아벨 체 확장은 다음과 같습니다:

우리의 경우, $p\in\mathbb{Q}$ 가 소수이고 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 로 확장했을 때 $(p)=\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}$ 로 인수분해된다고 할 때, 우리는 $\mathfrak{p}_{1}$ 이 주 아이디얼인지 판정하고자 합니다 — 다시 말해, ” $\mathfrak{p}_{1}\pmod{1}$ ”을 계산하고자 합니다. 위의 통찰을 이용하여, 이 조건을 아르틴 기호를 이용해 다시 표현하겠습니다.

$L=K(i)$ 라고 합시다. (나중에, $L$ 이 $K$ 의 힐베르트 유체임을 알게 될 것입니다.) 우리는 다음이 참임을 주장합니다:

•

$L/K$ 는 아벨 확장이고,
•

도체는 $\mathfrak{f}=\mathfrak{f}(L/K)=1$ 이며,
•

$H(L/K,\mathfrak{f})=P_{K}(\mathfrak{f})$ 입니다 — 즉, 이것이 바로 $\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)$ 를 바탕으로 $\mathfrak{p}\subseteq K$ 에 대해 $\mathfrak{p}\pmod{1}$ 을 결정할 수 있는 바로 그 상황입니다.

(일반적인 경우, 체 $L$ 은 문제 63B에 따라 존재합니다.)

그러면, 소 아이디얼 $\mathfrak{p}\subseteq K$ 에 대해, 다음은 서로 동치입니다:

1.

$\mathfrak{p}$ 는 주 아이디얼입니다.
2.

$\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)=\mathrm{id}$ ;
3.

$\mathfrak{p}$ 는 $L$ 로 올렸을 때 완전히 분해됩니다.

첫 번째 진술과 두 번째 진술의 동치를 증명하기 위해 아벨 확대 $L/K$ 에 대한 아르틴 상호법칙(과 그 “역”)을 사용했음을 주목하십시오.

연습문제 63.7.10.

두 번째 진술과 세 번째 진술은 왜 동치입니까? (문제 63B.)

따라서 주 아이디얼 $\mathfrak{p}_{1}$ 과 $\mathfrak{p}_{2}$ 에 대해 $(p)=\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}$ 라는 조건은 $(p)\subseteq\mathbb{Q}$ 가 $L$ 로 올렸을 때 완전히 분해된다는 것과 동치입니다.

아벨 확대 $L/\mathbb{Q}$ 에 대해 위와 유사하게 추론하면, 다음이 동치입니다:

1.

$(p)\subseteq\mathbb{Q}$ 는 $L$ 로 올렸을 때 완전히 분해됩니다.
2.

$\left(\frac{L/\mathbb{Q}}{(p)}\right)=\mathrm{id}$ .

이번에는 첫 번째 항목이 더 이상 없습니다 — $L$ 은 $\mathbb{Q}$ 의 힐베르트 유체가 아닙니다 — 하지만 아르틴 상호법칙에 의해 다음을 알 수 있습니다:

$\left(\frac{L/\mathbb{Q}}{(p)}\right)$ 의 값은 오직 $(p)\pmod{\mathfrak{f}(L/\mathbb{Q})}$ 에만 의존합니다.

이 경우, 확대 $L/\mathbb{Q}$ 의 도체는 $\mathfrak{f}(L/\mathbb{Q})=20\infty$ 입니다.

자, 요약하면:

	$p$ 는 $x^{2}+5y^{2}$ 로 쓸 수 있습니다
	$\displaystyle\iff\text{$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$로 올렸을 때 $(p)=\mathfrak{p}_{1}% \mathfrak{p}_{2}$이고 $\mathfrak{p}_{1}$이 주 아이디얼임}$
	$\displaystyle\iff\text{$(p)=\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}$이고, $\mathfrak{p}% _{1}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$가 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5},i)$로 올렸을 때 완전히 분해됨}$
	$\displaystyle\iff\text{$(p)\subseteq\mathbb{Q}$가 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5},i)$로 올렸% 을 때 완전히 분해됨}$
	$\displaystyle\iff\left(\frac{\mathbb{Q}(\sqrt{-5},i)/\mathbb{Q}}{(p)}\right)=% \mathrm{id}$
	$\displaystyle\iff(p\bmod 20)\in\{1,9\}.$

다 됐습니다! 정리의 최종 형태는 다음과 같습니다:

정리 63.7.11.

$p\nmid 20$ 인 소수 $p$ 가 있다고 합시다. 그러면 $p$ 가 $x^{2}+5y^{2}$ 로 쓰일 수 있는 것은 $(p\bmod 20)\in\{1,9\}$ 인 것과 동치입니다.

63.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 63A.

[크로네커-베버 정리] $L$ 을 $\mathbb{Q}$ 의 아벨 확대라고 합시다. 그러면 $L$ 은 원분 확대 $\mathbb{Q}(\zeta)$ 에 포함되며, 여기서 $\zeta$ 는 (어떤 $m$ 에 대한) $m$ 차 단위근입니다.

힌트. $\mathfrak{f}(L/\mathbb{Q})\mid m\infty$ 가 되도록 $m$ 을 고릅니다.

풀이. 어떤 $m$ 에 대해 $\mathfrak{f}(L/\mathbb{Q})\mid m\infty$ 라고 합시다. 그러면 앞서 나온 예에 의해 다음 연쇄를 얻습니다.

$P_{\mathbb{Q}}(m\infty)=H(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q},m\infty)\subseteq H(L/% \mathbb{Q},m\infty)\subseteq I_{\mathbb{Q}}(m\infty).$

따라서 포함 관계 역전에 의해 완료됩니다.

문제 63B (힐베르트 유체).

$K$ 를 임의의 대수적 수체라고 합시다. 그러면 모든 소수(유한 소수든 무한 소수든)에서 비분지이며 다음을 만족하는 유일한 아벨 확대 $E/K$ 가 존재합니다:

•

$E/K$ 는 포함 관계상 그러한 확대 중 극대인 확대입니다.
•

$\operatorname{Gal}(E/K)$ 는 $K$ 의 유수군과 동형입니다.
•

$K$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 가 $E$ 에서 완전히 분해되는 것은 그것이 $\mathcal{O}_{K}$ 의 주 아이디얼인 것과 동치입니다.

우리는 $E$ 를 $K$ 의 힐베르트 유체라고 부릅니다.

힌트. $\mathfrak{m}=1$ 로 다카기 존재 정리를 적용하십시오.

풀이. $\mathfrak{m}=1$ 로 다카기 존재 정리를 적용하여 $H(E/K,1)=P_{K}(1)$ 을 만족하는 비분기 확장 $E/K$ 를 얻습니다. 이것이 원하는 것임을 주장합니다:

•

포함관계에 대해 극대임을 보이려면, 이러한 성질을 갖는 다른 임의의 확장 $M/K$ 가 도체 $1$ 을 가짐(도체를 나누는 소수가 없음)을 주목하십시오. 그러면 $P_{K}(1)=H(E/K,1)\subseteq H(M/K,1)\subseteq I_{K}(1)$ 이 성립하므로, 포함관계를 뒤집으면 $M\subseteq E$ 를 얻습니다.

•

$\operatorname{Gal}(E/K)\cong I_{K}(1)/P_{K}(1)=C_{K}(1)$ 이 성립하며, 이는 유수군입니다.

•

앞 부분의 동형사상은 아르틴 기호로 주어집니다. 따라서 $\mathfrak{p}$ 가 완전분해된다는 것은 $\left(\frac{E/K}{\mathfrak{p}}\right)=\mathrm{id}$ 인 것과 동치이며, 이는 다시 $\mathfrak{p}$ 가 주 아이디얼( $C_{K}(1)$ 에서 자명함)인 것과 동치입니다.

이로써 증명이 완료됩니다.

문제 63C.

소수 $p\nmid m$ 이 $p=x^{2}+23y^{2}$ 으로 쓰일 수 있는지가 오직 $p\bmod m$ 에만 의존하도록 하는 양의 정수 $m$ 은 존재하지 않습니다. 그 이유를 추측해 보십시오.

힌트. 확대체 $L/\mathbb{Q}$ 는 아벨적이지 않습니다.