서문

”냅킨”이라는 이름의 유래는 저의 다음과 같은 말에서 비롯됩니다.

저는 아직 고등학생인 친구들 몇 명과 간단히 점심을 먹곤 합니다. 친구들은 제게 지난 몇 주 동안 무엇을 하고 지냈는지 물어보고, 저는 범주론을 공부하고 있었다고 말합니다. 친구들은 범주론이 무엇에 관한 것인지 물어봅니다. 저는 대상 자체가 아니라 그것들 사이의 구조를 보존하는 사상만을 살펴봄으로써 사물을 추상화하는 것에 관한 것이라고 설명합니다. 저는 표준적인 예시인 $\mathsf{Grp}$ 를 들어 설명하려 하지만, 그때 친구들이 준동형사상이 무엇인지 모른다는 것을 깨닫습니다. 그래서 준동형사상이 무엇인지 설명하기 시작하지만, 그때 친구들이 군이 무엇인지 배운 적이 없다는 것이 떠오릅니다. 그래서 군이 무엇인지 설명하기 시작하지만, 냅킨에 군의 공리를 다 적을 즈음에는 친구들은 애초에 제가 왜 군에 관해 이야기하고 있었는지 이미 잊어버립니다. 그리고 어느새 오후 1시가 되고, 사람들은 각자 갈 곳이 있으니, 저는 이렇게 생각할 수밖에 없습니다:
”이런, 40분이 아니라 40시간이 있었다면, 정말로 이 모든 것을 설명할 수 있었을 텐데.”

이 책은 처음에는 그 40시간을 채우려는 저의 시도였지만, 그 이후로 상당히 성장했습니다.

이 책에 대하여

무한히 큰 냅킨은 방대한 고등 수학에 대한, 가볍지만 대체로 자체 완결적인 입문서입니다.

저는 이 책이 전문 서적이나 강의를 대체하기 위한 것이 아니라는 점을 먼저 말씀드려야 합니다. 깊이의 정도는 비교할 수 없습니다. 반면, 이러한 ”가벼운” 접근법의 이점은 목표가 온전한 한 학기 강의를 모방하는 것이 아니라 단지 독자에게 특정 주제에 대한 느낌을 주는 것이기 때문에 더 많은 독자층이 접근할 수 있게 된다는 점입니다.

저는 처음에 재능 있는 고등학생들, 특히 수학 올림피아드 배경을 가진 학생들을 염두에 두고 이 책을 썼습니다. 그러한 문화적 편향의 흔적은 책 전반에 걸쳐, 특히 수학 경시대회에서 가져온 다양한 도전 문제들에서 여전히 느껴질 수 있습니다. 하지만 일반적으로 저는 이 책이 어느 정도의 수학적 성숙도와 호기심을 가진 누구에게나 좋은 참고서가 될 것이라고 생각합니다. 그 예로는 다음과 같은 이들이 포함되지만 이에 국한되지는 않습니다: 수학 학부 전공자, 물리학/컴퓨터공학 전공자, 자신의 전공이 아닌 분야에 대해 조금이라도 듣고 싶어 하는 수학 박사과정 학생, 수학 경시대회는 좋아하지 않지만 수학 자체는 좋아하는 상급 고등학생, 그리고 영어에 유창한 남달리 영리한 새끼 고양이들.

소스 코드

이 프로젝트는 https://github.com/vEnhance/napkin에서 GitHub를 통해 호스팅되고 있습니다. 풀 리퀘스트는 언제나 환영합니다! 저는 또한 이메일을 통한 제안과 수정 사항도 기쁘게 받겠습니다.

Napkin 접근법의 배경 철학

제가 아는 한, 고등학생을 위한 고등 수학은 두 가지 형태로 존재합니다.

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누군가가 ”구형 고양이의 털은 빗질할 수 없다”는 형태로 털 있는 공 정리에 대해 이야기해 주지만, 그것이 왜 참이어야 하는지, 실제로 ”빗질한다”는 것이 무엇을 의미하는지, 혹은 그 기저에 있는 이론에 대해서는 아무것도 알려주지 않아서, 당신의 머릿속에는 그저 막연한 개념만 남게 됩니다.
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당신은 수업을 듣고 모든 결과를 세세하게 증명하지만, 어느 순간부터는 교수가 무슨 말을 하는지 더 이상 신경 쓰지 않게 됩니다.

아마도 당신은 첫 번째 접근법이 얼마나 만족스럽지 못한지 이미 알고 있을 것입니다. 그래서 두 번째 접근법이 기본값처럼 보이지만, 저는 정말로 이 둘 사이에 어떤 중간 지점이 있어야 한다고 생각합니다.

대학과 달리, 이 책의 목적은 당신에게 연습 문제를 풀거나 증명을 작성하도록 훈련시키는 것이¹¹1이것이 문제 해결이 가치 없다는 뜻은 아닙니다. 저 자신도 본질적으로는 수학 올림피아드 코치입니다. 다만 그것이 이 책의 요점은 아니라는 것입니다. 아니며, 혹은 그 분야의 연구를 준비시키는 것도 아닙니다. 대신 저는 그저 흥미로운 수학을 보여드리고 싶을 뿐입니다. 제시되는 내용들은 기억할 만하고 마음에 담아둘 가치가 있어야 합니다. 그런 이유로, 증명 안에 눈여겨볼 만한 아이디어가 있다고 생각되지 않는 한, 일반적인 교과서에서라면 완결성을 위해 포함되었을 증명들은 여기서는 흔히 생략됩니다. 특히, 저는 정리의 증명을 적어내는 것보다 그 정리가 왜 참이어야 하는지를 설명하는 데 강한 중점을 둡니다. 이는 이 책에서 반복되는 주제입니다:

자연스러운 설명이 증명보다 우선합니다.

Napkin의 특정 장을 읽고 난 후, 다음과 같은 것을 얻을 수 있기를 바랍니다:

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주요 등장 개념들의 정확한 정의가 무엇인지 아는 것,
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정말로 중요한 몇 가지 예시들에 익숙해지는 것,
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유명한 정리들의 정확한 서술을 알고, 그것들이 왜 참이어야 하는지에 대한 감각을 갖는 것.

무언가가 왜 참인지 이해하는 데에는 여러 형태가 있을 수 있습니다. 이는 때로는 완전하고 엄밀한 증명으로 이루어지고, 다른 경우에는 증명의 아이디어로 주어지며, 또 다른 경우에는 몇 가지 핵심 예시와 함께 열렬한 응원으로 이루어지기도 합니다.

물론 어떤 분야에서 연구를 하고 싶다면 이것만으로는 전혀 충분하지 않습니다. 하지만 당신이 그저 호기심 많은 국외자라면, 저는 이것이 엘리베이터 피치나 위키백과 문서보다 더 만족스럽기를 바랍니다. 설령 어떤 주제를 진지하게 깊이 있게 배우고 싶다 하더라도, 저는 이것이 본격적으로 뛰어들기 전에 좋은 조망적 개관이 될 수 있기를 바랍니다. 왜냐하면 여러 의미에서 다루는 자료의 선택 기준은 ”누군가 내가 시작하기 전에 알려주었으면 했던 것”이기 때문입니다.

더 많은 교육적 논평과 참고 문헌

저의 교육적 결정 중 일부에 대해 장별로 이야기한다면 서문이 너무 길어질 것이므로, 그러한 논평은 대신 Appendix A에 담았습니다.

특히 저는 종종 구체적인 참고문헌을 언급하는데, 그 부록의 끝부분에는 더 많은 참고문헌이 있습니다. 따라서 더 읽을거리를 원하신다면 이곳을 살펴보시기 좋습니다.

역사적 및 개인적 소회

저는 하버드 학부 첫 학기를 마친 뒤인 2014년 12월에 이 책을 쓰기 시작했습니다. 그 후 약 18개월 동안 이것이 저의 주된 관심사가 되었으며, 그 시기에 저는 고등 수학에 깊이 몰두하게 되었습니다. 저는 사실상 수학 수업만 들었고(다른 졸업 요건들은 즐겁게 무시하면서), 그것을 최대한 많이(제가 여가 시간에 배운 다른 많은 수학과 함께) Napkin에 합쳤습니다.

하지만 2016년 8월 무렵, 저는 결국 힘이 다 빠졌습니다. 그때 최초의 공개 초고가 온라인에 올라갔고, 저는 한 발 물러서기로 결정했습니다. 약간 지친 상태로, 저는 고등 수학에서 잠시 손을 떼고, 남은 학부 2년²²2다르게 말하면: “… 그리고 애써 배운 모든 것을 잊어버리며 다음 2년을 보냈다”. 이는 Napkin에 남긴 과거의 노트들에 감사하게 만들었습니다! 동안 미국 수학 올림피아드 팀의 코치로 열심히 활동하며, 친구들이 졸업하여 각자의 길로 떠나기 전에 그들과 가능한 한 많은 시간을 보내려 애썼습니다.

그 2년 동안, 독자들은 제게 많은 감사의 따뜻한 말과 많은 오류 제보, 그리고 많은 추가 제안을 보내주었습니다. 그래서 수학 박사과정 첫 학기가 시작된 지 몇 주 지난 2018년 11월, 저는 제가 시작한 것을 끝내야겠다고 결심했습니다. 몇 달 후, 지금 이것이 그 결과물입니다.

감사의 말

저는 이 작업에 대해 헤아릴 수 없이 많은 분들께 빚을 지고 있습니다. 다음은 그 일부(분명 불완전한) 목록입니다.

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이 노트에서 다룬 내용의 많은 부분을 가르쳐주신 모든 선생님과 교수님들께, 그리고 제가 여기서 인용한 모든 참고문헌의 저자분들께 감사드립니다. 특히 큰 영향을 준 [GAI14], [LEI14], [SJA05], [GAT03], [LLO15], [ETI11], [KOE14], [VAK17], [PUG02], [GOR18]에 특별히 감사드립니다.
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또한 제 초고의 미리보기 사본을 읽고 오류를 지적하고 다른 제안을 해준 수십 명의 친구들과 낯선 분들께도 감사드립니다. 함께 천 개가 넘는 오류를 찾아준 Andrej Vuković과 Alexander Chua에게 특별히 언급하고자 합니다. 또한 많은 수정 사항을 알려준 Brian Gu와 Tom Tseng에게도 감사드립니다. (만약 여러분께서 직접 실수를 발견하시거나 제안이 있으시다면, 저는 그것을 듣고 싶습니다!) 또한 이 문서에 게스트 장을 기고해준 Royce Yao와 user202729에게도 감사드립니다.
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표지 작품을 만들어준 Jenny Chu와 Lanie Deng에게 감사드립니다.
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저는 또한 이 프로젝트가 진행되는 동안 받은 아주 많은, 정말 많은 따뜻한 말씀에 감사를 표하고 싶습니다. 이러한 너그러운 논평들 덕분에 저는 이 작업을 계속할 수 있었으며, 2018년 11월에 Napkin을 다시 업데이트하기로 한 저의 결정도 대체로 그 덕분이었습니다.

마지막으로, 냅킨(그리고 저)의 뿌리가 된 수학 올림피아드 커뮤니티에 큰 감사를 전합니다. 지난 세월 동안 받은 모든 열정과 격려, 감사의 메시지들이 애초에 제가 이 글을 쓰기 시작하게 만들었습니다. 그렇지 않았다면 저는 이런 프로젝트가 조금이라도 가능하리라고 감히 꿈꾸지 못했을 것입니다. 그리고 물론, IMO를 향해 제 꿈을 좇으며 겪었던 인생을 바꾼 여정이 없었다면 저는 오늘날의 이 자리에 결코 이르지 못했을 것입니다. 영원한 TWN2!