서문

“Napkin”이라는 이름의 원점은 제가 했던 다음 말에서 비롯됩니다.

저는 아직 고등학생인 친구 몇 명과 간단히 점심을 먹게 됩니다. 친구들은 지난 몇 주 동안 무엇을 하며 지냈는지 묻고, 저는 범주론을 공부하고 있었다고 대답합니다. 친구들은 범주론이 무엇에 관한 것인지 묻습니다. 저는 대상 자체가 아니라 대상들 사이의 구조를 보존하는 사상만을 살펴봄으로써 사물을 추상화하는 것이라고 설명합니다. 표준적인 예인 $\mathsf{Grp}$ 를 들어 보려 하지만, 그제야 친구들이 준동형사상이 무엇인지 모른다는 사실을 깨닫습니다. 그래서 준동형사상이 무엇인지 설명하기 시작하지만, 곧 친구들이 군이 무엇인지도 배우지 않았다는 사실이 떠오릅니다. 그래서 군이 무엇인지 설명하기 시작하지만, 제가 냅킨(Napkin)에 군의 공리를 다 적었을 무렵에는 친구들은 애초에 제가 왜 군 이야기를 꺼냈는지 이미 잊어버린 뒤입니다. 그러고 나면 오후 1시가 되고, 다들 갈 곳이 있어 자리를 떠야 하며, 저는 이런 생각을 하지 않을 수 없습니다.
“아, 40분이 아니라 40시간이 있었다면 이 모든 것을 정말 다 설명할 수 있었을 텐데 말입니다”.

이 책은 처음에는 그 40시간을 채워 보려는 저의 시도였지만, 그 뒤로 상당히 커졌습니다.

이 책에 대하여

Infinitely Large Napkin은 방대한 분량의 고등 수학을 가볍게, 그러면서도 대부분 이 책만으로 이해할 수 있도록 소개하는 입문서입니다.

먼저 분명히 말씀드리자면, 이 책은 해당 분야의 전문 서적이나 강의를 대체하려는 것이 아닙니다. 깊이는 비교가 되지 않습니다. 반면에 이러한 “가벼운” 접근의 장점은 더 많은 독자가 읽을 수 있다는 것입니다. 한 학기 분량의 강의를 온전히 흉내 내는 것이 아니라, 그저 독자에게 각 주제가 어떤 느낌인지 전달하는 것이 목표이기 때문입니다.

처음에 저는 재능 있는 고등학생, 특히 수학 올림피아드 같은 배경을 가진 학생들을 염두에 두고 이 책을 썼습니다. 그러한 문화적 편향의 흔적은 지금도 책 전체에 걸쳐 느낄 수 있으며, 특히 수학 경시대회에서 가져온 여러 도전 문제에서 두드러집니다. 하지만 전반적으로 이 책은 어느 정도의 수학적 성숙도와 호기심을 갖춘 사람이라면 누구에게나 좋은 참고서가 되리라고 생각합니다. 예를 들면 수학과 학부생, 물리학/컴퓨터과학 전공자, 자기 분야가 아닌 다른 분야에 대해 조금이나마 듣고 싶은 수학 박사과정 학생, 수학은 좋아하지만 수학 경시대회는 좋아하지 않는 상급 고등학생, 그리고 영어에 능통한 유난히 똑똑한 새끼 고양이 등이 있으며, 물론 이들에 국한되지는 않습니다.

소스 코드

이 프로젝트는 GitHub의 https://github.com/vEnhance/napkin에서 호스팅되고 있습니다. 풀 리퀘스트는 언제든 환영합니다! 제안이나 수정 사항을 이메일로 보내 주셔도 기쁘게 받겠습니다.

Napkin 접근법의 바탕에 있는 철학

제가 아는 한, 고등학생을 위한 고등 수학은 두 가지 형태로 나뉩니다:

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누군가가 털북숭이 공 정리를 “공 모양의 고양이 털은 빗질할 수 없다”라는 형태로 알려 주지만, 그것이 왜 참이어야 하는지, 실제로 “털을 빗질한다”는 것이 무엇을 뜻하는지, 그 바탕에 있는 이론은 무엇인지 전혀 알려 주지 않아서, 머릿속에는 막연한 개념만 남게 됩니다.
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수업을 듣고 모든 결과를 아주 자세히 증명하다 보면, 어느 순간부터 교수가 하는 말에 더 이상 관심이 가지 않게 됩니다.

첫 번째 방식이 얼마나 만족스럽지 못한지는 아마 이미 알고 계실 것입니다. 그래서 두 번째 방식이 기본처럼 여겨지는 것 같지만, 저는 그 사이 어딘가에 중간 지점이 꼭 있어야 한다고 생각합니다.

대학과 달리, 이 책의 목적은 여러분이 연습문제를 풀거나 증명을 쓰도록 훈련시키는 것이 아니며,¹¹1그렇다고 문제 해결이 가치 없다는 뜻은 아닙니다. 저 자신도 본질적으로는 수학 올림피아드 코치입니다. 다만 그것이 이 책의 요점이 아닐 뿐입니다. 해당 분야의 연구를 준비시키는 것도 아닙니다. 그 대신 저는 그저 흥미로운 수학을 보여 드리고 싶을 뿐입니다. 제시되는 내용은 그 자체로 기억에 남고 관심을 기울일 가치가 있어야 합니다. 그런 이유로, 일반적인 교과서라면 완비성을 위해 포함했을 증명도 여기서는 자주 생략하며, 다만 증명 속에 볼 만한 가치가 있다고 생각되는 아이디어가 있을 때는 예외로 합니다. 특히 저는 정리의 증명을 적어 내려가기보다는 그 정리가 왜 참일 수밖에 없는지를 설명하는 데 큰 비중을 둡니다. 이것은 이 책에서 반복되는 주제입니다.

자연스러운 설명이 증명보다 우선합니다.

제가 바라는 것은 Napkin의 어느 장이든 읽고 나서 다음을 얻어 가는 것입니다:

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주요 등장인물들의 정확한 정의가 무엇인지 아는 것,
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정말로 중요한 몇 가지 예에 익숙해지는 것,
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유명한 정리들의 정확한 명제를 알고, 그것들이 왜 참이어야 하는지 감을 잡는 것.

무언가가 “왜” 참인지 이해하는 방법에는 여러 형태가 있습니다. 때로는 완전하고 엄밀한 증명으로 이루어지고, 어떤 경우에는 증명의 아이디어로 제시되며, 또 어떤 경우에는 몇 가지 핵심 예와 아낌없는 응원이 전부입니다.

물론 예컨대 어떤 분야에서 연구를 하고자 한다면 이것으로는 턱없이 부족합니다. 하지만 그저 호기심 많은 외부인이라면, 엘리베이터 피치나 위키백과 문서보다는 더 만족스럽기를 바랍니다. 어떤 주제를 제대로 깊이 배우고자 하는 경우에도, 본격적으로 뛰어들기 전에 전체를 조망하는 좋은 개관이 되기를 바랍니다. 여러 의미에서 이 책의 내용 선정은 “시작하기 전에 누군가 알려 주었으면 좋았을 것”이기 때문입니다.

교육적 관점에 대한 추가 설명과 참고 문헌

교육적인 측면에서 내린 결정 몇 가지를 장별로 설명하면 서문이 너무 길어지므로, 그 설명은 대신 Appendix A에 실었습니다.

특히 저는 구체적인 참고 문헌을 자주 언급하며, 그 부록의 끝에는 더 많은 참고 문헌이 있습니다. 따라서 더 읽을거리를 찾으신다면 그곳을 살펴보시기 바랍니다.

역사적, 개인적 기록

저는 하버드에서 학부 첫 학기를 마친 뒤인 2014년 12월에 이 책을 쓰기 시작했습니다. 그 후 약 18개월 동안 고등 수학에 몰두하면서 이 책은 제가 가장 힘을 쏟는 일이 되었습니다. 저는 사실상 수학 수업만 들었고(다른 졸업 요건은 모두 신나게 무시했습니다), 거기서 배운 것을 (혼자 따로 공부한 다른 많은 수학과 함께) 최대한 많이 Napkin에 담았습니다.

하지만 2016년 8월 무렵, 저는 결국 기력이 다했습니다. 그때 첫 공개 초안을 온라인에 올렸고, 저는 한발 물러서기로 결정했습니다. 약간 번아웃이 온 저는 고등 수학에서 잠시 손을 떼고, 남은 학부 2년²²2다르게 표현하면 “ … 그리고 그다음 2년 동안 힘들게 배운 모든 것을 잊어버리며 보냈습니다”. 그래서 Napkin에 남겨 둔 과거의 모든 노트가 무척 고마웠습니다! 동안 미국 수학 올림피아드 팀의 코치로 활발히 활동했고, 친구들이 졸업하여 각자의 길을 가기 전에 그들과 최대한 많은 시간을 보내려고 애썼습니다.

그 2년 동안 독자들은 제게 따뜻한 감사의 말과 오류 제보, 추가할 내용에 대한 제안을 많이 보내 주었습니다. 그래서 수학 박사 과정 첫 학기를 시작하고 몇 주가 지난 2018년 11월, 저는 시작한 일을 끝내야겠다고 결심했습니다. 그리고 몇 달이 지난 지금, 그 결과물이 여기 있습니다.

감사의 글

이 작업은 수많은 분들의 도움을 받았습니다. 다음은 그 일부를 적은 (분명히 불완전한) 목록입니다.

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이 노트에서 다루는 내용의 상당 부분을 가르쳐 주신 모든 선생님과 교수님, 그리고 여기에서 인용한 모든 참고 문헌의 저자들께 감사드립니다. 특히 큰 영향을 준 [GAI14], [LEI14], [SJA05], [GAT03], [LLO15], [ETI11], [KOE14], [VAK17], [PUG02], [GOR18]을 특별히 언급하고 싶습니다.
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제 초안의 미리 보기본을 꼼꼼히 읽고 오류를 지적하며 여러 제안을 해 준 수십 명의 친구들과 모르는 분들께도 감사드립니다. 둘이서 천 개가 넘는 오류를 찾아 준 Andrej Vuković와 Alexander Chua에게 특별히 감사드립니다. 많은 수정 사항을 알려 준 Brian Gu와 Tom Tseng에게도 감사드립니다. (여러분도 실수를 발견하시거나 제안하실 것이 있다면 꼭 알려 주십시오!) 이 문서에 객원 장을 기고해 준 Royce Yao와 user202729에게도 감사드립니다.
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표지 그림을 그려 준 Jenny Chu와 Lanie Deng에게 감사드립니다.
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이 프로젝트를 진행하는 동안 받은 정말 많은 따뜻한 말씀에도 감사의 뜻을 전하고 싶습니다. 이러한 너그러운 말씀 덕분에 저는 이 작업을 계속할 수 있었고, 2018년 11월에 Napkin을 다시 갱신하기로 결정한 것도 대부분 그 덕분이었습니다.

마지막으로, Napkin(그리고 저)의 뿌리인 수학 올림피아드 공동체에 큰 감사를 드립니다. 수년간 받은 모든 열정과 격려, 감사 편지가 애초에 제가 이 글을 쓰기 시작한 계기가 되었습니다. 그렇지 않았다면 저는 이런 프로젝트가 조금이라도 가능하리라고 감히 꿈꾸지 못했을 것입니다. 그리고 물론 IMO를 향한 꿈을 좇으며 떠난 인생을 바꾼 여정이 없었다면, 저는 지금의 자리에 결코 이르지 못했을 것입니다. 영원히 TWN2!