장 86 막간: 아핀 스킴의 열여덟 가지 예시

앞의 두 장의 내용을 확실히 다지기 위해, 이제 방대한 예시 목록을 제시합니다. 한 페이지나 되는 주황색 상자를 두는 대신, 예시마다 별도의 절을 할애합니다.

예시들을 헤쳐 나가면서 발견하게 될 공통된 주제 하나는, 여러분의 기하학적 직관이 대수적 직관보다 나을 수 있다는 점입니다. 예를 들어 $k[x,y]/(xy)$ 를 공부하면서 여러분은 “기하학적으로 보면 이러이러한 것이 저것처럼 생겼을 것 같다”라고 말하겠지만, 대수적 명제를 적어 보면 서로 같아 보이지 않는 두 식을 발견하게 됩니다. 그러나 계산을 좀 해 보면 결국 그 둘이 동형이었다는 것을 알게 됩니다. 그런 의미에서, 이 장에서 여러분은 대수적 명제를 그림으로 그리기 시작하는 법을 배우게 됩니다 — 이는 아주 좋은 일입니다!

또 다른 예로, 국소화를 공부하며 다룬 소 아이디얼에 관한 모든 보조정리가 이제 구체적인 형태를 띠기 시작합니다. 여러분은 다음과 같은 많은 예시를 보게 됩니다.

•

$\operatorname{Spec}A/I$ 는 $\operatorname{Spec}A$ 의 $\mathcal{V}(I)$ 처럼 생겼고,
•

$\operatorname{Spec}A[1/f]$ 는 $\operatorname{Spec}A$ 의 $D(f)$ 처럼 생겼으며,
•

$\operatorname{Spec}A_{\mathfrak{p}}$ 는 $\operatorname{Spec}A$ 의 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A,\mathfrak{p}}$ 처럼 생겼습니다.

이후의 모든 내용에서 $k$ 는 임의의 체입니다. 또한 다음과 같은 색상 규칙을 사용합니다.

•

스킴의 닫힌 점은 파란색으로 그립니다.
•

닫히지 않은 점은 빨간색으로 그리고, 그 “자취”는 빨간 점선으로 나타냅니다.
•

줄기는 등장할 경우 초록색으로 그립니다.

86.1 예시: $\operatorname{Spec}k$ , 한 점

이 예시는 쉽습니다. 임의의 체 $k$ 에 대해 $X=\operatorname{Spec}k$ 는 유일한 진 아이디얼 $(0)$ 에 대응하는 단 하나의 점을 가집니다. 여기에 위상을 줄 수 있는 방법은 단 한 가지뿐입니다.

층에 대해서는,

\mathcal{O}_{X}(X)=\mathcal{O}_{X,(0)}=k.

따라서 이 공간은 자신이 어떤 체 위에 있고자 하는지를 기억하고 있습니다. 우리가 복소해석학자라면 한 점 위의 함수들의 집합은 $\mathbb{C}$ 이고, 정수론자라면 한 점 위의 함수들의 집합은 아마도 $\mathbb{Q}$ 일 것입니다.

86.2 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ , 1차원 직선

스킴 $X=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 는 우리가 사랑하는 1차원 직선입니다. 이 스킴은 두 종류의 점으로 이루어집니다.

•

각 복소수 $a\in\mathbb{C}$ 에 대응하는 닫힌 점 $(x-a)$ , 그리고
•

일반 점 $(0)$ .

자리스키 위상에 대해 말하자면, 모든 열린집합은 $(0)$ 을 포함하며, 이는 이 점이 모든 곳에 가깝다는 생각을 담아냅니다. 여러분이 어디에 서 있든 여전히 파리의 윙윙거리는 소리를 들을 수 있습니다! 이 공간의 기약성에 걸맞게 열린집합들은 거대합니다. 진 닫힌집합은 유한 개의 닫힌 점으로 이루어집니다.

그림은 다음과 같습니다. 달리 더 나은 자리가 없어서, 점 $(0)$ 은 직선 바로 위에 빨간색으로 떠 있습니다.

“ $\mathfrak{p}$ 에서의 값”이라는 개념은 예상대로 작동합니다. 예를 들어 $f=x^{2}+5$ 는 $\mathbb{C}[x]$ 의 대역적 단면입니다. 이를 $\mathfrak{p}=x-3$ 에서 계산하면 $f(\mathfrak{p})=f\pmod{\mathfrak{p}}=x^{2}+5\pmod{x-3}=14\pmod{x-3}$ 을 얻습니다. 실제로

\kappa(\mathfrak{p})\cong\mathbb{C}

이며, 이는 모든 줄기의 잉여체가 $\mathbb{C}$ 라는 뜻입니다.

\mathbb{C}[x]/\mathfrak{p}\cong\mathbb{C}\qquad\text{$x\mapsto 3$에 의해}

이므로, 우리는 단지 $x=3$ 을 대입하고 있을 뿐임을 알 수 있습니다.

물론 $(x-3)$ 에서의 줄기는 더 많은 정보를 담고 있습니다. 이 경우 그것은 $\mathbb{C}[x]_{(x-3)}$ 입니다. 이는 점 $(x-3)$ 근처에 서 있다면, 분모에 $x-3$ 이 나타나지 않는 한 유리함수는 모두 괜찮다는 뜻입니다. 따라서 $\frac{x^{2}+8}{(x-1)(x-5)}$ 는 $x=3$ 근처의 싹의 좋은 예시입니다.

일반점 $\eta=(0)$ 을 고려하면 상황이 더 흥미로워집니다.

줄기 $\mathcal{O}_{X,\eta}$ 는 무엇입니까? 이는 $\mathbb{C}[x]_{(0)}=\mathbb{C}(x)$ 여야 하며, 이것 역시 유리함수의 집합입니다. 그리고 이는 예상한 그대로입니다. 예를 들어 $\frac{x^{2}+8}{(x-1)(x-5)}$ 는 분명히 “대부분의” 복소수 위에서 유리함수를 나타냅니다.

대역적 단면 $f=x^{2}+5$ 를 $\eta$ 에서 계산하면 어떻게 됩니까? 그냥 $f(\eta)=x^{2}+5$ 를 얻습니다. $0$ 을 법으로 취하는 것은 별다른 일을 하지 않습니다. 이는 적절한 결과인데, 일반적인 복소수에서 다항식 $f$ 의 값을 계산할 수 있으려면 사실상 다항식(또는 유리함수) 전체가 필요하다는 뜻이기 때문입니다. 이를 잉여체가 $\mathbb{C}(x)$ 라는 관점에서 생각할 수 있습니다:

\kappa((0))=\operatorname{Frac}\left(\mathbb{C}[x]/(0)\right)\cong% \operatorname{Frac}\mathbb{C}[x]=\mathbb{C}(x).

86.3 $\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]$ , 복소켤레들이 붙여진 1차원 직선 (두렵지 않은 영점정리)

겉보기와 달리, 이것은 실제로 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 와 거의 똑같이 생겼으며, 예상보다도 더욱 그렇습니다. 명심해야 할 핵심은 이제 $(x^{2}+1)$ 이 하나의 점이라는 것이며, 이를 느슨하게 $\pm i$ 로 생각할 수 있습니다. 따라서 $\mathbb{R}$ 가 대수적으로 닫혀 있지 않다는 사실은 거의 문제가 되지 않았습니다. 어쨌든 $\mathbb{C}$ 가 드러나 보이기 때문입니다. 그러나 이번에는 실계수 다항식만 고려하므로 “켤레”인 $+i$ 와 $-i$ 를 구별하지 않습니다. 달리 말하면, $a+bi$ 와 $a-bi$ 를 하나의 점으로 접은 것입니다. 즉 $(x+i)$ 와 $(x-i)$ 가 합쳐져 $x^{2}+1$ 을 이룹니다.

명시적으로 말하면, 점에는 세 가지 유형이 있습니다:

•

각 실수 $a$ 에 대한 $(x-a)$
•

$a^{2}<4b$ 일 때의 $(x^{2}-ax+b)$ , 그리고
•

다시 일반점 $(0)$ 입니다.

아이디얼 $(x-a)$ 와 $(x^{2}-ax+b)$ 는 각각 닫힌 점입니다. $\mathbb{R}[x]$ 에 대한 몫이 모두 체(각각 $\mathbb{R}$ 와 $\mathbb{C}$ )이기 때문입니다.

지금까지 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 를 1차원 직선으로 그려 왔으므로, $\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]$ 도 같은 방식으로 그리겠습니다.

이것의 좋은 점 하나는 영점정리가 고전적인 다양체에서보다 덜 무섭다는 것입니다. 간단히 말하면, 함수 $x^{2}+1$ 은 $\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]$ 의 한 점, 즉 $(x^{2}+1)$ 자신에서 소멸합니다! (따라서 어떤 의미에서는 자동으로 대수적 폐포를 다루고 있는 셈입니다.)

오래전에 약한 영점정리를 두고 크게 호들갑을 떨었던 것을 기억하실지도 모릅니다. 예를 들어 문제 77C에서, $I$ 가 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 의 진 아이디얼이면 모든 $f\in I$ 에 대해 $f(a_{1},\dots,a_{n})=0$ 을 만족하는 어떤 점 $(a_{1},\dots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n}$ 이 존재했습니다. 스킴에서는 이것이 더 이상 문제가 되지 않습니다. $I$ 가 환 $A$ 의 진 아이디얼이면 어떤 극대 아이디얼이 이를 포함하므로, $\mathcal{V}(I)$ 는 $\operatorname{Spec}A$ 에서 공집합이 아닙니다.

이번에는 줄기가 예상과 다르게 생겼다는 점을 언급해 두는 것이 좋겠습니다. 다음은 몇 가지 예입니다:

	$\displaystyle\kappa\left((x^{2}+1)\right)$	$\displaystyle\cong\mathbb{R}[x]/(x^{2}+1)\cong\mathbb{C}$
	$\displaystyle\kappa\left((x-3)\right)$	$\displaystyle\cong\mathbb{R}[x]/(x-3)\cong\mathbb{R}$
	$\displaystyle\kappa\left((0)\right)$	$\displaystyle\cong\operatorname{Frac}(\mathbb{R}[x]/(0))\cong\mathbb{R}(x)$

“복소” 점 위의 잉여체가 더 크다는 점에 주목하십시오. 그 위의 함수들은 $\mathbb{C}$ 에서 값을 가집니다.

86.4 임의의 바탕체 위의 $\operatorname{Spec}k[x]$

일반적으로 $\overline{k}$ 가 $k$ 의 대수적 폐포이면, $\operatorname{Spec}k[x]$ 는 모든 갈루아 켤레들을 함께 붙인 $\operatorname{Spec}\overline{k}[x]$ 처럼 생겼습니다. 따라서 이제 “대수적으로 닫혀 있다”는 가정은 거의 필요하지 않을 것입니다. 다항식 아이디얼을 다루고 있으므로, 어쨌든 모든 원소가 암묵적으로 그 안에 있기 때문입니다.

86.5 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ , 1차원 스킴

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 의 멋진 점은 1차원 스킴이므로 이것 역시 기본적으로 $\operatorname{Spec}k[x]$ 처럼 생겼다는 것입니다. 이것에는 두 가지 유형의 소 아이디얼이 있습니다:

•

모든 유리 소수 $p$ 에 대한 $(p)$ ,
•

그리고 일반점 $(0)$ 입니다.

따라서 그림은 거의 바뀌지 않습니다.

이번에는 $\eta=(0)$ 의 줄기가 $\mathbb{Z}_{(0)}=\mathbb{Q}$ 이므로, “유리함수”는 말 그대로 유리수입니다! 따라서 $\frac{20}{19}$ 는 $(2)$ 에서 중근을, $(5)$ 에서 근을, $(19)$ 에서 단순극을 갖는 함수입니다. 이를 $\mathfrak{p}=(7)$ 에서 계산하면 $4\pmod{7}$ 을 얻습니다. 일반적으로 잉여체는 짐작하는 그대로입니다:

\kappa\left((p)\right)=\mathbb{Z}/(p)\cong\mathbb{F}_{p}

각 소수 $p$ 에 대해 그러하며, $\kappa\left((0)\right)\cong\mathbb{Q}$ 입니다.

닫힌 점에서는 줄기가 잉여체보다 더 큽니다. 예를 들어

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}\mathbb{Z},(3)}\cong\left\{\frac{m}{n}\mid 3% \nmid n\right\}

는 $3$ 에서 극을 갖지 않는 유리수들로 이루어집니다. 일반점에서의 줄기는 $\mathbb{Z}_{(0)}\cong\operatorname{Frac}\mathbb{Z}=\mathbb{Q}$ 입니다.

86.6 $\operatorname{Spec}k[x]/(x^{2}-7x+12)$ , 두 개의 점

아핀 다양체를 다루고 있었다면 답이 무엇인지 이미 알고 있었을 것입니다. $x^{2}-7x+12=0$ 의 해는 $x=3$ 과 $x=4$ 이므로, 이것은 두 개의 점을 갖는 스킴이어야 합니다.

이것이 실제로 성립함을 확인하기 위해 명제 83.6.1를 사용합니다. $\operatorname{Spec}k[x]/(x^{2}-7x+12)$ 의 점들은 $(x^{2}-7x+12)$ 를 포함하는 $k[x]$ 의 소 아이디얼들에 대응해야 합니다. $k[x]$ 는 PID이므로 그러한 것은 $(x-3)$ 과 $(x-4)$ 두 개뿐입니다. $k[x]$ 를 이들로 나눈 몫이 체(즉 $k$ )이므로 이들은 각각 극대이며, 따라서 약속한 대로 $\operatorname{Spec}k[x]/(x^{2}-7x+12)$ 는 닫힌 점을 정확히 두 개 갖습니다.

각 점 위에는 $k$ 와 동형인 줄기가 있습니다. 전체 공간 $X$ 위의 단면은 $(x-3)$ 에서의 값 하나와 $(x-4)$ 에서의 값 하나, 즉 두 값을 선택하는 것일 뿐입니다.

따라서 사실 이것은 다음 환론적 사실을 기하학적으로 생각하는 방법입니다.

k[x]/\left(x^{2}-7x+12\right)\cong k\times k\quad\text{에 의해}f\mapsto\left(f(3)% ,f(4)\right).

또한 이것은 이 장에서 처음 나오는 가약 공간의 예입니다. 사실 $X$ 는 연결되어 있지조차 않습니다. 따라서 주위를 떠다니는 일반점이 없습니다. 공간이 이산적이므로 모든 점이 닫힌 점입니다.

86.7 $\operatorname{Spec}k[x]/(x^{2})$ , 이중점

이제 “이중점” 스킴에 대해 자세히 설명할 수 있습니다.

X_{2}=\operatorname{Spec}k[x]/(x^{2})

이것은 매우 중요한 동기가 되는 예이기 때문입니다. 이것은 “한 점” 스킴 $X_{1}=\operatorname{Spec}k[x]/(x)=\operatorname{Spec}k$ 와 어떻게 다릅니까? $X_{2}$ 와 $X_{1}$ 모두 정확히 한 개의 점을 가지므로, 당연히 위상도 같습니다.

차이점은 줄기(점이 하나뿐이므로 동등하게는 단면)가 더 크다는 것입니다.

\mathcal{O}_{X_{2},(x)}=\mathcal{O}_{X_{2}}(X_{2})=k[x]/(x^{2}).

따라서 이중점 위의 함수를 지정하려면 하나가 아니라 두 개의 매개변수를 지정해야 합니다. 다항식

f=a_{0}+a_{1}x+\dots\in k[x]

을 택하면, 이를 이중점에서 계산한 값은 $a_{0}$ 와 이를테면 “1계 도함수”를 모두 기억합니다.

잉여체까지 완전히 내려가면 더 이상 이중점과 단일점을 구별할 수 없다는 점을 언급해야겠습니다. $(x)$ 에서 $\operatorname{Spec}k[x]/(x^{2})$ 의 잉여체는 다음과 같기 때문입니다.

\operatorname{Frac}\left(A/(x)\right)=\operatorname{Frac}k=k.

따라서 값들의 집합은 여전히 $k$ 일 뿐입니다(이것이 지난 장 끝의 “멱영” 논의로 이어졌습니다). 그러나 “풍부해진” 값을 갖는 줄기는 그 차이를 구별할 수 있습니다.

86.8 $\operatorname{Spec}k[x]/(x^{3}-5x^{2})$ , 이중점 하나와 단일점 하나

앞의 두 예를 나란히 놓는 데에는 아무 문제가 없습니다. 스킴 $X=\operatorname{Spec}k[x]/(x^{3}-5x^{2})$ 는 이중점 하나와 그 옆의 단일점 하나로 이루어집니다. 줄기가 서로 다르다는 점에 유의하십시오. 이중점 위의 줄기가 더 큽니다.

이번에는 암묵적으로 다음 환 동형사상을 얻습니다.

k[x]/(x^{3}-5x^{2})\cong k[x]/(x^{2})\times k

이 동형사상은 $f\mapsto\left(f(0)+f^{\prime}(0)x,f(5)\right)$ 로 주어집니다. 여기서 도함수는 형식적인 의미입니다!

86.9 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$ , 세 개의 점을 갖는 스킴

지금까지 환의 곱이 나타나는 기하학적 예들을 보아 왔지만, 사실 정수에서 익숙한 중국인의 나머지 정리도 다르지 않습니다. (이 예 $X=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$ 는 [VAK17, §4.4.11]에서 가져온 것입니다.)

명제 83.6.1에 의해 $\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$ 의 소 아이디얼은 $(2)$ , $(3)$ , $(5)$ 입니다. 그러나 이것을 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 에서 나온 것으로 생각할 수도 있습니다. $60$ 은 $(2)$ 에서 이중근을, $(3)$ 과 $(5)$ 에서 단일근을 갖는 함수였기 때문입니다.

사실 지금까지 환 동형사상들을 주장만 해 왔지만, 실은 층이 완전한 증명을 제공합니다. 대역적 단면의 관점에서 표현해 보겠습니다.

	$\displaystyle\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$	$\displaystyle=\mathcal{O}_{X}(X)$
		$\displaystyle=\mathcal{O}_{X}(\{(2)\})\times\mathcal{O}_{X}(\{(3)\})\times% \mathcal{O}_{X}(\{(5)\})$
		$\displaystyle=\mathcal{O}_{X,(2)}\times\mathcal{O}_{X,(3)}\times\mathcal{O}_{X% ,(5)}$
		$\displaystyle=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\mathbb{% Z}/5\mathbb{Z}.$

따라서 여기서 “일”을 하는 것은 $X=\operatorname{Spec}A$ 에 대해 $\mathcal{O}_{X}(X)=A$ 라는 정리이며, 그다음에는 층 공리들이 여기서부터 중국인의 나머지 정리를 이끌어 냅니다.

이와 관련하여, 이는 앞선 예시를 다음과 같이 생각하는 방법을 제시합니다.

(\mathbb{Z}/60\mathbb{Z})[1/5]\cong\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}.

실제로 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}[1/5]$ 는 특수 열린집합 $D(5)$ 처럼 보여야 합니다. 즉, 위 그림에서 점 $(5)$ 를 삭제한다는 뜻입니다. 그러면 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 가 남습니다.

86.10 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ , 2차원 평면

이 스킴은 이미 살펴본 적이 있습니다. 이는 평면으로 시각화됩니다. 점에는 세 가지 유형이 있습니다.

•

닫힌 점 $(x-a,y-b)$ 이며, 이는 평면의 한 점으로 이루어집니다.
•

임의의 기약 다항식 $f$ 에 대한 닫히지 않은 점 $(f(x,y))$ 는 어떤 기약 곡선을 따라 떠다닙니다. 이는 그 점이 떠다니는 곡선을 점선으로 그려서 나타냅니다.
•

일반점 $(0)$ 이며, 평면 전체를 따라 떠다닙니다. 그림에서 이 점을 둘 적당한 위치를 모르겠으므로, 그냥 아무 곳에나 두고 그 주위에 점선 원을 그리겠습니다.

다음은 세 가지 유형의 점을 모두 나타낸 그림입니다.

내친김에 각 점 위의 줄기도 계산해 봅시다.

•

$(x-1,y+2)$ 위의 줄기는 $g(1,-2)\neq 0$ 을 만족하는 유리함수 $\frac{f(x,y)}{g(x,y)}$ 의 집합입니다.
•

닫히지 않은 점 $(y-x^{2})$ 위의 줄기는 $g(t,t^{2})\neq 0$ 을 만족하는 유리함수 $\frac{f(x,y)}{g(x,y)}$ 의 집합입니다. 예를 들어 함수 $\frac{xy}{x+y-2}$ 는 여전히 괜찮습니다. 포물선 위의 점 $(1,1)$ 과 $(-2,4)$ 에서 분모가 0이 되지만, 이는 포물선의 “일반점”(거칠게 말하면 “대부분의 점”) 위의 함수입니다.
•

$(0)$ 위의 줄기는 유리함수들의 분수체 $k(x,y)$ 전체입니다.

대역적 단면 $f=x^{2}+y^{2}$ 를 생각하고, 위의 각 점에서의 값도 구해 봅시다.

•

$f\pmod{x-1,y+2}=5$ 이므로, $f$ 는 $(x-1,y+2)$ 에서 값 $5$ 를 가집니다.
•

새로운 점은 $f$ 를 포물선을 따라서도 계산하는 것으로 생각할 수 있다는 것입니다. $f$ 는 몫 $k[x,y]/(y-x^{2})$ 에서 특정한 값을 가집니다. 예를 들어 이를 $f=x^{2}+y^{2}\equiv x^{2}+x^{4}\pmod{y-x^{2}}$ 로 생각할 수 있습니다. 따라서 포물선의 일반점에서 $f$ 의 값을 알면, 포물선 위의 임의의 닫힌 점에서도 그 값을 계산할 수 있다는 점에 유의하십시오.
•

일반점 $(0)$ 에서는 $f\pmod{0}=f$ 입니다. 따라서 다른 모든 스킴에서와 마찬가지로 “일반점에서 계산하는 것”은 아무 일도 하지 않습니다.

86.11 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$ , 2차원 스킴, 그리고 멈퍼드의 그림

앞에서 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 가 $\operatorname{Spec}k[x]$ 와 매우 비슷해 보인다는 것을 보았고, 이제 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$ 가 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ 와 매우 비슷해 보인다는 것을 보겠습니다.

멈퍼드의 “빨간 책”에는 이 스킴을 나타낸 유명한 그림이 있습니다. 앞서 우리가 그린 그림들과 약간의 차이가 있기는 하지만, 문화 보존을 위해 여기에 그 그림을 싣겠습니다.

멈퍼드는 점 $\mathfrak{p}$ 를 나타내기 위해 $[\mathfrak{p}]$ 를 사용하지만 우리는 그렇게 하지 않으므로, 곳곳에 나타나는 대괄호는 무시해도 됩니다. 닫히지 않은 점들은 솜뭉치로 그려져 있습니다.

앞에서와 마찬가지로 소 아이디얼에는 세 가지 유형이 있지만, 모양은 다소 더 다르게 보일 것입니다.

•

이제 닫힌 점은 $p$ 가 소수이고 $f$ 가 $p$ 를 법으로 하는 기약 다항식인 쌍 $(p,f(x))$ 입니다. 실제로 이들이 극대 아이디얼입니다. 몫 $\mathbb{Z}[x]/(p,f)$ 는 $\mathbb{F}_{p}$ 의 어떤 유한 확대가 됩니다.
•
이제 서로 다른 두 종류의 “1차원” 닫히지 않은 점이 있습니다.
- –
  
  각 유리 소수는 점 $(p)$ 를 주며,
- –
  
  각 기약 다항식 $f$ 는 점 $(f)$ 를 하나씩 줍니다.
실제로 $\mathbb{Z}[x]$ 를 각각으로 나눈 몫이 정역임에 주목하십시오.
•

$\mathbb{Z}[x]$ 는 정역이므로, 언제나처럼 $(0)$ 이 전체 공간의 일반점입니다.

제가 다르게 했을 부분이 하나 있습니다. $\mathcal{V}(3)$ 과 $\mathcal{V}(7)$ 에는 점 $(3,x^{2}+1)$ 이 있어야 하는데, 그림에서는 이 점이 닫힌 점이 아니라 점선 타원으로 그려져 있습니다. 이는 위상적인 의미에서 옳지 않습니다. $\mathfrak{m}=(3,x^{2}+1)$ 은 극대 아이디얼이므로 실제로 스킴에서 하나의 닫힌 점이기 때문입니다. 그러나 이 점을 “두 겹”으로 생각할 수 있는 이유는 $\mathfrak{m}$ 에서의 잉여체인 $\mathbb{Z}[x]/(3,x^{2}+1)$ 이 2차원 $\mathbb{F}_{3}$ 벡터 공간이기 때문입니다.

86.12 포물선 $\operatorname{Spec}k[x,y]/(y-x^{2})$

명제 83.6.1에 의해 $k[x,y]/(y-x^{2})$ 의 소 아이디얼은 $(y-x^{2})$ 를 포함하는 $k[x,y]$ 의 소 아이디얼에 대응하며, 동치로 말하면 닫힌집합 $\mathcal{V}(y-x^{2})$ 안에 들어 있는 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ 의 점들에 대응합니다. 게다가 $\mathcal{V}(y-x^{2})$ 위의 부분공간 위상은 $\operatorname{Spec}k[x,y]/(y-x^{2})$ 위의 위상과 일치합니다.

이는 훨씬 더 일반적으로 성립합니다.

연습문제 86.12.1 (지루한 확인).

$I$ 가 환 $A$ 의 아이디얼이면, $\operatorname{Spec}A/I$ 가 위상 공간으로서 $\operatorname{Spec}A$ 의 닫힌 부분집합 $\mathcal{V}(I)$ 와 위상동형임을 보이십시오.

이것이 바로 “닫힌 매장”이라는 개념입니다. $\operatorname{Spec}k[x,y]$ 의 닫힌 부분집합이었던 포물선은 그 자체로 스킴입니다. 사상의 개념을 실제로 정의하고 나면 이에 대해 더 많은 것을 말할 수 있을 것입니다.

하지만 이 스킴 위의 층은 포물선 위의 함수만을 기억합니다. 말하자면 줄기가 “상속”되지는 않습니다. 이를 확인하기 위해 원점에서의 줄기를 계산해 봅시다. 정리 83.7.1에 따르면 그 줄기는 다음과 같습니다.

k[x,y]_{(x,y)}/(y-x^{2})\cong k[x,x^{2}]_{(x,x^{2})}\cong k[x]_{(x)}

이는 원점에서 아핀 직선 $\operatorname{Spec}k[x]$ 의 줄기와 같습니다. 직관적으로 놀라운 일은 아닙니다. 원점 근처에서 포물선의 아무 점이나 보면 본질적으로 직선처럼 보이며, 그 위의 함수들도 마찬가지입니다.

일반점 위의 줄기는 $\operatorname{Frac}(k[x,y]/(y-x^{2}))$ 입니다. 즉 $y=x^{2}$ 으로 동일시한 유리함수들입니다. 이 또한 놀랍지 않습니다.

마지막으로, $y\mapsto x^{2}$ 으로 보내는 동형사상 $k[x,y]/(y-x^{2})\cong k[x]$ 가 있으므로 포물선은 실제로 $\operatorname{Spec}k[x]$ 와 동형일 것이라고 기대할 수 있습니다. 그림으로 보면 이는 포물선을 “펴는” 것처럼 보입니다. 일반적으로 두 환 $A$ 와 $B$ 가 동형이면 $\operatorname{Spec}A$ 와 $\operatorname{Spec}B$ 도 “같기”를 바랄 것이며(그렇지 않다면 끔찍할 것입니다), 나중에 실제로 그러함을 보게 될 것입니다.

86.13 가우스 정수 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]$ (1차원)

정수의 경우에서 이 아이디어를 좀 더 활용해 볼 수 있습니다.

\mathbb{Z}[i]\cong\mathbb{Z}[x]/(x^{2}+1)

임에 주목하십시오. 이는 이것이 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$ 안의 “1차원” 닫힌집합이라는 뜻입니다. 이렇게 하여 원소가 가우스 소수인 스킴을 얻습니다.

잉여체를 보면 어떤 닫힌 점이 다른 점보다 “더 큰지” 알 수 있습니다. 예를 들어 점 $(2+i)$ 의 잉여체는 다음과 같지만

\kappa\left((2+i)\right)=\mathbb{Z}[i]/(2+i)\cong\mathbb{F}_{5}

점 $(3)$ 의 잉여체는 다음과 같으며

\kappa\left((3)\right)\cong\mathbb{Z}[i]/(3)\cong\mathbb{F}_{9}

이는 $\mathbb{F}_{3}$ 의 2차 확대입니다.

86.14 긴 예시: 두 축 $\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy)$

이것이 기약이 아닌 스킴의 첫 번째 예시가 될 것입니다.

86.14.1 그림

앞에서와 마찬가지로, 위상적으로는 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ 의 닫힌집합 $\mathcal{V}(xy)$ 처럼 보입니다. 그림은 다음과 같습니다.

제대로 이해하고 있는지 확인해 봅시다.

질문 86.14.1 (확인 문제).

$(y+3)$ 이 실제로 $\mathcal{V}(x)$ 안에 놓인 $\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy)$ 의 극대 아이디얼임을 확인하십시오.

아이디얼 $(0)$ 은 더 이상 소 아이디얼이 아니므로, 이 공간의 점이 아닙니다. 대신 이번에는 닫히지 않은 점이 두 개 있습니다. 바로 아이디얼 $(x)$ 와 $(y)$ 이며, 이들은 각각 두 축 주위를 떠다니는 것으로 시각화할 수 있습니다. 이 공간은 두 진 닫힌집합의 합집합 $\mathcal{V}(x)\cup\mathcal{V}(y)$ 로 쓸 수 있으므로 가약입니다. (위상 공간으로서는 여전히 연결되어 있습니다.)

86.14.2 $y$ 축 버리기

특수 열린집합 $U=D(x)$ 를 생각합시다. 이는 $y$ 축인 $\mathcal{V}(x)$ 를 제거하는 것에 해당합니다. 따라서 $D(x)$ 는 원점을 제거한 $\operatorname{Spec}k[x]$ 와 “같고”, 특히 단면으로 $k[x,x^{-1}]$ 를 얻어야 한다고 기대합니다. 실제로,

	$\displaystyle\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy)}(D(x))$	$\displaystyle\cong(k[x,y]/(xy))[1/x]$
		$\displaystyle\cong k[x,x^{-1},y]/(xy)\cong k[x,x^{-1},y]/(y)\cong k[x,x^{-1}].$

여기서 $(xy)=(y)$ 는 $x$ 가 가역원이라는 사실에서 따라 나옵니다. 모든 것이 계획대로입니다.

86.14.3 몇몇 점 위의 줄기

점 $\mathfrak{m}=(x+2)$ 위의 줄기를 계산해 봅시다. 이 점은 $x$ 축 위의 점 $(-2,0)$ 으로 생각할 수 있습니다. (그 편이 더 편하다면, $\mathfrak{m}\ni y(x+2)=2y$ 이므로 $y\in\mathfrak{m}$ 이고, 따라서 $\mathfrak{m}=(x+2,y)$ 로 쓸 수도 있다는 점에 주목하십시오.) 줄기는 다음과 같습니다.

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy),\mathfrak{m}}=(k[x,y]/(xy))_{(x+2)}.

그러나 이 국소화에서는 $y$ 가 영 원소가 됩니다. 실제로 $\frac{y}{1}=\frac{0}{x}=0$ 입니다. 따라서 전체가 다음으로 축소됩니다.

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy),\mathfrak{m}}=k[x]_{(x+2)}

이는 어쨌든 $\operatorname{Spec}k[x]$ 에서 $(x+2)$ 의 줄기입니다. 예상한 대로입니다. 직선이 두 개인 공간에서 원점에서 떨어진 곳에 서 있다면, 줄기는 그 멀리 떨어진 점의 이상한 거동을 포착하지 않습니다. 줄기는 $\mathfrak{m}$ 근처에서 일어나는 일에만 관심이 있으므로, 그곳에서는 그저 아핀 직선처럼 보입니다.

비고 86.14.2.

$(k[x,y]/(xy))_{(x+2)}$ 는 $k[x,y]_{(x+2)}/(xy)$ 와 같지 않다는 점에 주의하십시오. 여기서는 순서가 중요합니다. 사실 후자는 영환인데, $x$ 와 $y$ 가 모두 가역원이고 따라서 $x y$ 도 가역원이기 때문입니다.

( $x$ 축 주위를 떠다니는) 일반점 $(y)$ 도 비슷한 이야기를 들려줍니다. 그 위의 줄기를 보면 $y$ 축의 존재를 인식하지 못한다는 것을 알게 될 것입니다. “거의 모든” 점들도 $y$ 축을 인식하지 못하기 때문입니다. 실제로 줄기를 계산하면 다음과 같습니다.

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy),(y)}=(k[x,y]/(xy))_{(y)}.

다시 $\frac{y}{1}=\frac{0}{x}=0$ 이므로, 이는 단지 다음과 같습니다.

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy),(y)}\cong k[x]_{(0)}\cong k(x).

이는 우리가 예상한 것입니다( $\operatorname{Spec}k[x]$ 에서 $(0)$ 위의 줄기와 같습니다).

86.14.4 원점 위의 줄기(까다로운 경우)

원점 $(x,y)$ 위의 줄기는 흥미로우며, 가군의 국소화를 다루지 않고서는 완전히 탐구할 수 없는 아이디어들을 담고 있습니다. 국소화는 다음과 같이 주어집니다.

(k[x,y]/(xy))_{(x,y)}

따라서 원소들은 다음과 같은 꼴이어야 합니다.

\frac{c+(a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots)+(b_{1}y+b_{2}y^{2}+\dots)}{c^{\prime}+(a_{1}% ^{\prime}x+a_{2}^{\prime}x^{2}+\dots)+(b_{1}^{\prime}y+b_{2}^{\prime}y^{2}+% \dots)}

여기서 $c^{\prime}\neq 0$ 입니다.

이 특징화가 만족스럽지 않을 수도 있습니다. 기하학적 직관을 조금 제시하겠습니다. 대역적 단면 환을 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

k[x,y]/(xy)=c+(a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots)+(b_{1}y+b_{2}y^{2}+\dots)

즉 임의의 대역적 단면은 $x$ -다항식과 $y$ -다항식의 합입니다. 하지만 이는 단순한 환의 곱 $k[x]\times k[y]$ 가 아닙니다. 상수항이 공유되기 때문입니다. 따라서 상수항이 일치하는 $k[x]$ 와 $k[y]$ 의 다항식 쌍으로 생각하는 편이 더 낫습니다.

범주론을 좋아한다면, 이는 곧 다음과 같은 올곱입니다.

k[x,y]/(xy)\cong k[x]\times_{k}k[y]

여기서 사상 $k[x]\to k$ 와 $k[y]\to k$ 는 $x$ 와 $y$ 를 0으로 보냅니다. 이런 식으로 $k[x,y]/(xy)$ 를 대체로 두 성분으로 분해할 수 있습니다.

줄기에 대해서도 같은 일을 할 수 있어야 마땅합니다. 즉, 다음과 같이 말하고 싶습니다.

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy),(x,y)}\cong k[x]_{(x)}\times_{k}k[% y]_{(y)}.

우리말로 풀면, “전형적인” 싹은 $x$ 부분과 $y$ 부분이 분리된 $\frac{3+x}{x^{2}+7}+\frac{4+y^{3}}{y^{2}+y+7}$ 과 같은 모양이어야 합니다. 동등하게, 줄기는 원점에서 일치하는 $x$ -싹과 $y$ -싹의 쌍으로 이루어져야 합니다.

실제로 이는 참입니다! 놀랍게 느껴질 수도 있지만, 왜 이렇게 기대하는지 살펴봅시다. 다음 싹을 택한다고 합시다.

\frac{1}{1-(x+y)}.

숨을 참고 이를 등비급수 $1+(x+y)+(x+y)^{2}+\dots$ 로 전개한다고 상상해 볼 수 있습니다. $xy=0$ 이므로 이는 그저 $1+x+x^{2}+x^{3}+\dots+y+y^{2}+y^{3}+\dots$ 이 됩니다. 이는 (쓰인 그대로는) 말이 되지 않지만, 그럼에도 다음 추측을 시사합니다.

\frac{1}{1-(x+y)}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}-1

이는 실제로 참임을 확인할 수 있습니다.

질문 86.14.3.

이 항등식이 성립함을 확인하십시오.

물론 간단한 예시 하나치고는 계산이 상당히 많습니다. 이를 일반화할 방법이 있을까요? 있습니다. 핵심 주장은 “국소화는 극한과 교환된다”는 것입니다. 원한다면 지금 그 명제를 직접 정리해 보아도 좋지만, 여기서는 다루지 않겠습니다.

86.15 $\operatorname{Spec}k[x,x^{-1}]$ , 구멍 뚫린 직선(또는 쌍곡선)

이것은 $\operatorname{Spec}k[x]$ 의 $D(x)$ , 즉 원점이 제거된 직선처럼 보여야 합니다. 또는 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

k[x,x^{-1}]\cong k[x,y]/(xy-1)

따라서 이 스킴을 쌍곡선으로 그릴 수도 있습니다.

먼저 1차원 그림은 다음과 같습니다.

사실 우리는 $\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy)$ 를 취하여 $D(y)$ 를 살펴보았을 때 이미 이 스킴을 보았습니다. 어쨌든 이제 $(x-3)$ 에서의 줄기를 계산해 봅시다. 이는 다음과 같습니다.

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}k[x,x^{-1}],(x-3)}\cong k[x,x^{-1}]_{(x-3)}% \cong k[x]_{(x-3)}

이는 $x^{-1}$ 가 어차피 $k[x]_{(x-3)}$ 에 속하기 때문입니다. 따라서 이번에도 원점을 제거하는 것이 멀리 떨어진 점 $(x-3)$ 에서의 줄기에는 영향을 주지 않음을 알 수 있습니다.

앞서 언급했듯이 $k[x,x^{-1}]$ 는 $k[x,y]/(xy-1)$ 과 동형이므로, 같은 곡선을 시각화하는 또 다른 방법은 쌍곡선을 그리는 것입니다(이 쌍곡선을 납작하게 펴면 구멍 뚫린 직선이 된다고 상상할 수 있습니다.) $k[x,y]/(xy-1)$ 은 실제로 정역이므로 일반점 $(0)$ 이 하나 있으며, $(x+2,y+1/2)=(x+2)=(y+1/2)$ 와 같은 점들도 있습니다.

86.16 $\operatorname{Spec}k[x]_{(x)}$ , 직선의 원점으로 확대하기

우리는 이미 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A,\mathfrak{p}}\cong A_{\mathfrak{p}}$ 임을 알고 있습니다. 따라서 $A_{\mathfrak{p}}$ 는 $\mathfrak{p}$ 에서의 줄기여야 합니다. 이 예시에서는 $\operatorname{Spec}A_{\mathfrak{p}}$ 역시 어느 정도 이 줄기처럼 그려져야 함을 보게 될 것입니다.

앞에서 $\operatorname{Spec}k[x]$ 의 그림을 그리는 방법을 보았습니다. 원점 $(x)$ 위의 줄기도 그림으로 그릴 수 있는데, 농사를 좋아한다면 이를 $(x)$ 위에 자라난 풀이나 다른 식물로 떠올려도 좋습니다. 그렇게 보면 $\operatorname{Spec}k[x]_{(x)}$ 는 아핀 직선에서 그 줄기를 뽑아냈을 때의 모습처럼 보일 것입니다.

$k[x]_{(x)}$ 는 국소환이므로(소 아이디얼에서의 국소화이기 때문입니다) 이 공간에는 닫힌 점이 극대 아이디얼 $(x)$ 하나뿐입니다. 그러나 놀랍게도 점이 하나 더 있는데, 바로 “일반”점 $(0)$ 입니다. 따라서 $\operatorname{Spec}k[x]_{(x)}$ 는 두 점으로 이루어진 공간이지만 이산 위상을 갖지 않습니다. $(x)$ 는 닫힌 점이지만 $(0)$ 은 그렇지 않기 때문입니다. (이 때문에 이 공간은 여러 종류의 연습문제에서 좋은 반례가 됩니다.)

따라서 위상적으로 일어나는 일은, $(x)$ 로 확대할 때 (“모든 점에 가까웠던”) 일반점 $(0)$ 이 점 $(x)$ 위에 떠 있는 채로 남는다는 것입니다.

유일한 닫힌 점 $(x)$ 위의 줄기는 이전과 동일하다는 점에 주목하십시오.

\left(k[x]_{(x)}\right)_{(x)}\cong k[x]_{(x)}.

실제로 일반적으로 $R$ 이 극대 아이디얼 $\mathfrak{m}$ 을 갖는 국소환이면 $R_{\mathfrak{m}}\cong R$ 입니다. $x\notin\mathfrak{m}$ 인 모든 원소는 어차피 가역이었기 때문입니다. 따라서 그림에서도 줄기는 똑같이 그려집니다.

마찬가지로 $(0)$ 위의 줄기도 뽑아내기 전과 동일합니다.

\left(k[x]_{(x)}\right)_{(0)}=\operatorname{Frac}k[x]_{(x)}=k(x).

더 일반적으로는 다음과 같습니다.

연습문제 86.16.1.

$A$ 를 환이라 하고, $\mathfrak{q}\subseteq\mathfrak{p}$ 를 소 아이디얼이라 합시다. $\mathfrak{q}$ 를 $A_{\mathfrak{p}}$ 의 소 아이디얼로 볼 때 $A_{\mathfrak{q}}\cong(A_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{q}}$ 임을 확인하십시오.

따라서 이렇게 확대하면 닫히지 않은 점들 위에서도 모든 줄기가 그대로 유지됩니다.

86.17 $\operatorname{Spec}k[x,y]_{(x,y)}$ , 평면의 원점으로 확대하기

2차원 평면인 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ 의 원점 위의 줄기를 뽑아내면 상황은 더욱 놀랍습니다. $\operatorname{Spec}k[x,y]_{(x,y)}$ 의 점들은 $(x,y)$ 에 포함되는 $k[x,y]$ 의 소 아이디얼들이어야 합니다. 기하학적으로 이들은 $(x,y)$ 와 원점을 지나는 일반점들입니다. 예를 들어 $k[x,y]_{(x,y)}$ 에는 포물선 $(y-x^{2})$ 에 대한 일반점이 있고, 직선에 대응하는 또 다른 일반점 $(y-x)$ 등도 있습니다.

따라서 맨 아래에는 유일한 닫힌 점 $(x,y)$ 가 있고, 그 위에는 직선, 포물선 등 온갖 종류의 “1차원” 일반점들이 떠 있습니다. 마지막으로 2차원에 떠 있는 일반점 $(0)$ 이 있으며, 그 폐포는 공간 전체와 같습니다.

86.18 $\operatorname{Spec}k[x,y]_{(0)}=\operatorname{Spec}k(x,y)$ , 일반점 위의 줄기

평면의 일반점은 줄기 $\operatorname{Spec}k(x,y)$ 를 가질 뿐이며, 이는 체의 스펙트럼이므로 한 점입니다. 줄기는 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ 에 놓여 있을 때와 비교하여 그대로 유지됩니다. 함수들은 정확히 $x$ 와 $y$ 에 대한 유리함수입니다.

86.19 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 86A.

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[1/55]$ 의 그림을 그리고, 위상을 설명하고, 각 점에서의 줄기를 계산하십시오.

문제 86B.

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{(5)}$ 의 그림을 그리고, 위상을 설명하고, 각 점에서의 줄기를 계산하십시오.

문제 86C.

$A=(k[x,y]/(xy))[(x+y)^{-1}]$ 라고 합시다. $\operatorname{Spec}A$ 의 그림을 그리십시오. 이것이 위상 공간으로서 연결되어 있지 않음을 보이십시오.

문제 86D.

$A=k[x,y]_{(y-x^{2})}$ 라고 합시다. $\operatorname{Spec}A$ 의 그림을 그리십시오.

장 86 막간: 아핀 스킴의 열여덟 가지 예시

86.1 예시: Speck, 한 점

86.2 Specℂ[x], 1차원 직선

86.3 Specℝ[x], 복소켤레들이 붙여진 1차원 직선 (두렵지 않은 영점정리)

86.4 임의의 바탕체 위의 Speck[x]

86.5 Specℤ, 1차원 스킴

86.6 Speck[x]/(x2−7x+12), 두 개의 점

86.7 Speck[x]/(x2), 이중점

86.8 Speck[x]/(x3−5x2), 이중점 하나와 단일점 하나

86.9 Specℤ/60ℤ, 세 개의 점을 갖는 스킴

86.10 Speck[x,y], 2차원 평면

86.11 Specℤ[x], 2차원 스킴, 그리고 멈퍼드의 그림

86.12 포물선 Speck[x,y]/(y−x2)