장 86 막간: 아핀 스킴의 열여덟 가지 예시

앞의 두 장에서 다진 내용을 굳히기 위해, 이제 방대한 예시 목록을 제시합니다. 각 예시는 페이지 단위의 주황색 상자를 갖는 대신 자신만의 절을 갖습니다.

예시를 헤쳐 나가면서 발견하게 될 공통된 주제 하나는, 여러분의 기하학적 직관이 대수적 직관보다 더 나을 수 있다는 것입니다. 예를 들어 $k[x,y]/(xy)$ 를 공부하다 보면 ”기하학적으로는 이러이러한 것이 저러저러한 것처럼 보일 것으로 예상한다”고 말하게 되지만, 막상 대수적 표현을 적어보면 서로 같아 보이지 않는 두 표현을 발견하게 됩니다. 하지만 그 후 계산을 좀 해보면 결국 그것들이 동형사상이었음을 알게 됩니다. 그런 의미에서 이 장에서 여러분은 대수적 진술의 그림을 그리기 시작하는 법을 배우게 될 것입니다 — 정말 멋진 일입니다!

또 다른 예시로, 국소화에 대한 연구에서 나왔던 소 아이디얼에 관한 모든 보조정리가 이제 구체적인 형태를 띠기 시작할 것입니다: 다음과 같은 많은 예시를 보게 될 것입니다

•

$\operatorname{Spec}A/I$ 는 $\operatorname{Spec}A$ 의 $\mathcal{V}(I)$ 처럼 보입니다,
•

$\operatorname{Spec}A[1/f]$ 는 $\operatorname{Spec}A$ 의 $D(f)$ 처럼 보입니다,
•

$\operatorname{Spec}A_{\mathfrak{p}}$ 는 $\operatorname{Spec}A$ 의 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A,\mathfrak{p}}$ 처럼 보입니다.

이어지는 모든 내용에서 $k$ 는 임의의 체입니다. 또한 다음과 같은 색상 규약을 사용하겠습니다:

•

스킴의 닫힌점은 파란색으로 그립니다.
•

닫히지 않은 점은 빨간색으로 그리며, 그 ”자취”는 빨간색 점선으로 그립니다.
•

줄기는 나타날 경우 초록색으로 그립니다.

86.1 예시: $\operatorname{Spec}k$ , 하나의 점

이것은 쉽습니다: 임의의 체 $k$ 에 대해, $X=\operatorname{Spec}k$ 는 유일한 진 아이디얼 $(0)$ 에 대응하는 하나의 점을 가집니다. 여기에 위상을 부여하는 방법은 오직 하나뿐입니다.

층에 관해서는,

\mathcal{O}_{X}(X)=\mathcal{O}_{X,(0)}=k.

이렇게 공간은 자신이 어느 체 위에 있고 싶은지를 기억하고 있습니다. 우리가 복소해석학자라면 한 점 위의 함수 집합은 $\mathbb{C}$ 이고, 정수론자라면 한 점 위의 함수 집합은 $\mathbb{Q}$ 일 수도 있습니다.

86.2 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ , 일차원 직선

스킴 $X=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 는 우리가 사랑하는 일차원 직선입니다. 이것은 두 종류의 점으로 이루어집니다:

•

각 복소수 $a\in\mathbb{C}$ 에 대응하는 닫힌점 $(x-a)$ , 그리고
•

일반점 $(0)$ .

자리스키 위상에 관해서는, 모든 열린집합이 $(0)$ 을 포함하는데, 이는 그것이 어디에나 가깝다는 관념을 포착합니다: 여러분이 어디에 서 있든, 파리의 윙윙거리는 소리를 여전히 들을 수 있습니다! 이 공간의 기약성에 걸맞게 열린집합들은 거대합니다: 진 닫힌집합들은 유한개의 닫힌점으로 이루어집니다.

여기 그림이 있습니다: 마땅히 더 나은 자리가 없어서, 점 $(0)$ 은 직선 바로 위에 빨간색으로 떠다니고 있습니다.

” $\mathfrak{p}$ 에서의 값”이라는 개념은 예상대로 작동합니다. 예를 들어 $f=x^{2}+5$ 는 $\mathbb{C}[x]$ 의 전역 절단입니다. 이것을 $\mathfrak{p}=x-3$ 에서 평가하면, $f(\mathfrak{p})=f\pmod{\mathfrak{p}}=x^{2}+5\pmod{x-3}=14\pmod{x-3}$ 을 얻습니다. 실제로

\kappa(\mathfrak{p})\cong\mathbb{C}

이며, 이는 모든 줄기가 잉여체 $\mathbb{C}$ 를 가짐을 의미합니다.

\mathbb{C}[x]/\mathfrak{p}\cong\mathbb{C}\qquad\text{$x\mapsto 3$에 의해}

이므로, 우리가 단지 $x=3$ 을 대입하고 있는 것임을 알 수 있습니다.

물론, $(x-3)$ 에서의 줄기는 더 많은 정보를 담고 있습니다. 이 경우 그것은 $\mathbb{C}[x]_{(x-3)}$ 입니다. 이는 점 $(x-3)$ 근처에 서 있다면, 분모에 $x-3$ 이 나타나지 않는 한 유리 함수는 모두 문제없다는 것을 의미합니다. 그래서 $\frac{x^{2}+8}{(x-1)(x-5)}$ 는 $x=3$ 근처의 싹의 좋은 예시입니다.

일반점 $\eta=(0)$ 을 고려하면 상황은 더 흥미로워집니다.

줄기 $\mathcal{O}_{X,\eta}$ 는 무엇일까요? 그것은 $\mathbb{C}[x]_{(0)}=\mathbb{C}(x)$ 가 되어야 하는데, 이는 다시 유리 함수들의 집합입니다. 그리고 이것이 바로 예상하신 바입니다. 예를 들어, $\frac{x^{2}+8}{(x-1)(x-5)}$ 는 확실히 “대부분의” 복소수에서 유리 함수를 나타냅니다.

전역 단면 $f=x^{2}+5$ 를 $\eta$ 에서 계산하면 무슨 일이 일어날까요? 그저 $f(\eta)=x^{2}+5$ 를 얻을 뿐입니다 — $0$ 으로 나눈 나머지를 취하는 것은 별다른 효과가 없습니다. 잘 들어맞게도, 이는 다항식 $f$ 를 일반적인 복소수에서 계산할 수 있으려면 실제로 다항식(또는 유리 함수) 전체가 필요하다는 것을 의미합니다. 이를 잉여체가 $\mathbb{C}(x)$ 라는 관점에서 생각할 수 있습니다:

\kappa((0))=\operatorname{Frac}\left(\mathbb{C}[x]/(0)\right)\cong% \operatorname{Frac}\mathbb{C}[x]=\mathbb{C}(x).

86.3 $\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]$ , 복소 켤레가 붙은 일차원 직선(영점 정리를 두려워하지 마십시오)

겉모습과는 달리, 이는 실제로 예상보다 훨씬 더 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 와 거의 똑같이 보입니다. 명심해야 할 핵심은 이제 $(x^{2}+1)$ 이 하나의 점이며, 이를 대략 $\pm i$ 로 생각할 수 있다는 것입니다. 그러므로 $\mathbb{R}$ 이 대수적으로 닫혀 있지 않다는 사실은 거의 문제가 되지 않습니다 — 어쨌든 $\mathbb{C}$ 가 그 속을 비쳐 보이기 때문입니다. 하지만 이번에는 실수 계수 다항식만을 고려하므로, ”켤레”인 $+i$ 와 $-i$ 를 구별하지 않습니다. 달리 말하면, $a+bi$ 와 $a-bi$ 를 하나의 점으로 접어 넣은 것입니다: $(x+i)$ 와 $(x-i)$ 가 합쳐져 $x^{2}+1$ 을 이룹니다.

명확히 하자면, 점에는 세 가지 종류가 있습니다:

•

각 실수 $a$ 에 대한 $(x-a)$
•

$a^{2}<4b$ 일 때의 $(x^{2}-ax+b)$ , 그리고
•

다시, 생성점 $(0)$ .

아이디얼 $(x-a)$ 와 $(x^{2}-ax+b)$ 는 각각 닫힌 점입니다: $\mathbb{R}[x]$ 와의 몫은 둘 다 체입니다 (각각 $\mathbb{R}$ 와 $\mathbb{C}$ ).

우리는 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 를 1차원 직선으로 그려왔으므로, $\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]$ 도 같은 방식으로 그려질 것입니다.

이것의 좋은 점 하나는 영점 정리가 고전적인 다양체에서보다 덜 무섭다는 것입니다. 간단히 말하면, 함수 $x^{2}+1$ 은 $\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]$ 의 한 점, 바로 $(x^{2}+1)$ 자체에서 소멸합니다! (그래서 어떤 의미에서는 우리가 자동으로 대수적 폐포를 다루고 있는 셈입니다.)

오래전에 우리가 약한 영점 정리에 대해 큰 소동을 벌였던 것을 기억하실지 모르겠습니다. 예를 들어 문제 77C에서였습니다: 만약 $I$ 가 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 의 진 아이디얼이었다면, 모든 $f\in I$ 에 대해 $f(a_{1},\dots,a_{n})=0$ 이 되는 어떤 점 $(a_{1},\dots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n}$ 이 존재했습니다. 스킴을 사용하면 이는 더 이상 문제가 되지 않습니다: 만약 $I$ 가 환 $A$ 의 진 아이디얼이라면, 어떤 극대 아이디얼이 그것을 포함하며, 따라서 $\mathcal{V}(I)$ 는 $\operatorname{Spec}A$ 에서 공집합이 아닙니다.

이번에는 줄기가 예상과 다르게 생겼다는 점을 언급하는 것이 좋겠습니다. 몇 가지 예시가 여기 있습니다:

	$\displaystyle\kappa\left((x^{2}+1)\right)$	$\displaystyle\cong\mathbb{R}[x]/(x^{2}+1)\cong\mathbb{C}$
	$\displaystyle\kappa\left((x-3)\right)$	$\displaystyle\cong\mathbb{R}[x]/(x-3)\cong\mathbb{R}$
	$\displaystyle\kappa\left((0)\right)$	$\displaystyle\cong\operatorname{Frac}(\mathbb{R}[x]/(0))\cong\mathbb{R}(x)$

“복소” 점들 위의 잉여체가 더 크다는 것에 주목하십시오: 그 점들 위의 함수는 $\mathbb{C}$ 에서 값을 취합니다.

86.4 $\operatorname{Spec}k[x]$ , 임의의 바탕체 위에서

일반적으로, $\overline{k}$ 가 $k$ 의 대수적 폐포라면, $\operatorname{Spec}k[x]$ 는 모든 갈루아 켤레들이 함께 붙여진 $\operatorname{Spec}\overline{k}[x]$ 처럼 보입니다. 그러므로 우리는 이제 거의 “대수적으로 닫혀있다”는 가정이 필요하지 않을 것입니다: 우리는 다항식 아이디얼을 다루고 있으므로, 어쨌든 모든 원소가 암묵적으로 그 안에 존재하기 때문입니다.

86.5 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ , 1차원 스킴

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 의 좋은 점은 이것 역시 1차원 스킴이라는 점에서 기본적으로 $\operatorname{Spec}k[x]$ 처럼 생겼다는 것입니다. 이는 두 종류의 소 아이디얼을 갖습니다:

•

모든 유리 소수 $p$ 에 대한 $(p)$ ,
•

그리고 생성점 $(0)$ .

그러므로 그림은 거의 변하지 않습니다.

이번에는 $\eta=(0)$ 이 줄기 $\mathbb{Z}_{(0)}=\mathbb{Q}$ 를 가지므로, “유리 함수”는 문자 그대로 유리수입니다! 따라서 $\frac{20}{19}$ 는 $(2)$ 에서 이중근을, $(5)$ 에서 근을, $(19)$ 에서 단순극을 가지는 함수입니다. 만약 이를 $\mathfrak{p}=(7)$ 에서 계산하면, $4\pmod{7}$ 을 얻습니다. 일반적으로, 잉여체는 여러분이 짐작하는 대로입니다:

\kappa\left((p)\right)=\mathbb{Z}/(p)\cong\mathbb{F}_{p}

각 소수 $p$ 에 대해, 그리고 $\kappa\left((0)\right)\cong\mathbb{Q}$ .

줄기는 닫힌 점에서의 잉여체보다 더 큽니다: 예를 들어

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}\mathbb{Z},(3)}\cong\left\{\frac{m}{n}\mid 3% \nmid n\right\}

$3$ 에서 극점이 없는 유리수들로 구성됩니다. 일반점에서의 줄기는 $\mathbb{Z}_{(0)}\cong\operatorname{Frac}\mathbb{Z}=\mathbb{Q}$ 입니다.

86.6 $\operatorname{Spec}k[x]/(x^{2}-7x+12)$ , 두 점

만약 우리가 아핀 다양체를 다루고 있었다면, 답이 무엇인지 이미 알고 있었을 것입니다: $x^{2}-7x+12=0$ 은 $x=3$ 과 $x=4$ 라는 해를 가지므로, 이것은 두 점을 가진 스킴이어야 합니다.

이것이 실제로 성립함을 확인하기 위해, 명제 83.6.1를 사용합니다: $\operatorname{Spec}k[x]/(x^{2}-7x+12)$ 의 점들은 $(x^{2}-7x+12)$ 를 포함하는 $k[x]$ 의 소 아이디얼에 대응해야 합니다. $k[x]$ 가 PID이므로, $(x-3)$ 과 $(x-4)$ 단 두 개만 존재합니다. 이들 각각은 $k[x]$ 와의 몫이 체(구체적으로 $k$ )이므로 극대 아이디얼이며, 따라서 약속했던 대로 $\operatorname{Spec}k[x]/(x^{2}-7x+12)$ 는 정확히 두 개의 닫힌점을 가집니다.

각 점 위의 줄기는 $k$ 와 동형입니다. 전체 공간 $X$ 위의 단면은 단지 $(x-3)$ 에서의 값과 $(x-4)$ 에서의 값, 이렇게 두 값을 선택하는 것일 뿐입니다.

그러므로 사실 이것은 다음과 같은 환론적 사실을 기하학적으로 사고하는 방식입니다

k[x]/\left(x^{2}-7x+12\right)\cong k\times k\quad\text{~{}에 의해}f\mapsto\left(f% (3),f(4)\right).

또한 이것은 이 장에서 나오는 첫 번째 기약이 아닌 공간의 예시입니다: 실제로 $X$ 는 심지어 비연결입니다. 이에 따라 떠도는 일반점이 존재하지 않습니다: 공간이 이산적이므로, 모든 점이 닫힌점입니다.

86.7 $\operatorname{Spec}k[x]/(x^{2})$ , 이중점

이제 “이중점” 스킴에 대해 더 자세히 설명할 수 있습니다

X_{2}=\operatorname{Spec}k[x]/(x^{2})

이것이 매우 중요한 동기 부여 예시이기 때문입니다. 이것은 “한 점” 스킴 $X_{1}=\operatorname{Spec}k[x]/(x)=\operatorname{Spec}k$ 와 어떻게 다릅니까? $X_{2}$ 와 $X_{1}$ 은 둘 다 정확히 한 점을 가지므로, 당연히 위상도 동일합니다.

차이점은 줄기(점이 하나뿐이므로 단면과 동등함)가 더 크다는 것입니다:

\mathcal{O}_{X_{2},(x)}=\mathcal{O}_{X_{2}}(X_{2})=k[x]/(x^{2}).

따라서 이중점 위에서 함수를 명시하려면, 하나가 아니라 두 개의 매개변수를 명시해야 합니다: 다항식을 취하면

f=a_{0}+a_{1}x+\dots\in k[x]

이를 이중점에서 평가하면 $a_{0}$ 과 소위 “일계도함수” 둘 다를 기억하게 됩니다.

잉여체까지 완전히 내려가면 이중점과 단일점을 더 이상 구별할 수 없다는 점을 언급해야겠습니다. 왜냐하면 $(x)$ 에서의 $\operatorname{Spec}k[x]/(x^{2})$ 의 잉여체는

\operatorname{Frac}\left(A/(x)\right)=\operatorname{Frac}k=k.

따라서 값들의 집합은 여전히 그저 $k$ 일 뿐입니다(이는 지난 장 끝에서 나온 “멱영원” 논의로 이어집니다); 그러나 “풍부해진” 값을 가진 줄기는 그 차이를 구별할 수 있습니다.

86.8 $\operatorname{Spec}k[x]/(x^{3}-5x^{2})$ , 이중점과 단일점

앞의 두 예시를 나란히 놓아도 아무 문제가 없습니다: 스킴 $X=\operatorname{Spec}k[x]/(x^{3}-5x^{2})$ 은 단일점 옆에 이중점이 있는 것으로 구성됩니다. 줄기들이 서로 다르다는 점에 주목하십시오: 이중점 위의 줄기가 더 큽니다.

이번에는 암묵적으로 다음과 같은 환 동형사상을 가집니다

k[x]/(x^{3}-5x^{2})\cong k[x]/(x^{2})\times k

$f\mapsto\left(f(0)+f^{\prime}(0)x,f(5)\right)$ 에 의한 것입니다. 여기서 도함수는 형식적인 의미로 사용됩니다!

86.9 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$ , 세 점을 가진 스킴

환의 곱에 대한 기하학적 예시들이 계속 나타나는 것을 보아왔지만, 사실 정수에서 익숙한 중국인의 나머지 정리도 다르지 않습니다. (이 예시 $X=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$ 은 [VAK17, §4.4.11]에서 가져온 것입니다.)

명제 83.6.1에 의해, $\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$ 의 소 아이디얼은 $(2)$ , $(3)$ , $(5)$ 입니다. 하지만 이것을 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 로부터 나온 것으로도 생각할 수 있습니다: $60$ 은 $(2)$ 에서 이중근을 가지고, $(3)$ 과 $(5)$ 에서는 단일근을 가지는 함수였기 때문입니다.

사실, 제가 지금까지 환 동형사상을 주장해왔지만, 층이야말로 실제로 완전한 증명을 제공해줍니다. 이를 전역 단면의 관점에서 표현해 보겠습니다:

	$\displaystyle\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$	$\displaystyle=\mathcal{O}_{X}(X)$
		$\displaystyle=\mathcal{O}_{X}(\{(2)\})\times\mathcal{O}_{X}(\{(3)\})\times% \mathcal{O}_{X}(\{(5)\})$
		$\displaystyle=\mathcal{O}_{X,(2)}\times\mathcal{O}_{X,(3)}\times\mathcal{O}_{X% ,(5)}$
		$\displaystyle=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\mathbb{% Z}/5\mathbb{Z}.$

따라서 $X=\operatorname{Spec}A$ 에 대해 $\mathcal{O}_{X}(X)=A$ 라는 정리가 여기서 “핵심 작업”을 하고 있습니다; 층의 공리들이 여기서부터 중국인의 나머지 정리를 이끌어냅니다.

이와 관련하여, 이는 앞서 든 예를 생각하는 한 가지 방법을 제공합니다

(\mathbb{Z}/60\mathbb{Z})[1/5]\cong\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}.

실제로 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}[1/5]$ 는 특별열린집합 $D(5)$ 처럼 보여야 합니다: 이는 위 그림에서 점 $(5)$ 를 삭제한다는 것을 의미합니다. 그러면 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 가 남습니다.

86.10 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ , 즉 이차원 평면

이 스킴은 이미 살펴본 적이 있습니다: 이는 평면으로 시각화됩니다. 세 가지 유형의 점이 있습니다:

•

닫힌점 $(x-a,y-b)$ 는 평면의 개별 점들로 이루어져 있습니다.
•

임의의 기약다항식 $f$ 에 대한 비닫힌점 $(f(x,y))$ 는 어떤 기약곡선을 따라 떠다닙니다. 이를 점이 떠다니는 점선 곡선을 그려서 나타냅니다.
•

생성점 $(0)$ 은 평면 전체를 따라 떠다닙니다. 그림에서 이를 어디에 두어야 좋을지 알지 못하므로, 그냥 어딘가에 두고 점선 원을 그려 표시하겠습니다.

다음은 세 가지 유형의 점을 모두 나타낸 그림입니다.

또한 각 점 위의 줄기도 계산해 보겠습니다.

•

$(x-1,y+2)$ 위의 줄기는 $g(1,-2)\neq 0$ 을 만족하는 유리함수 $\frac{f(x,y)}{g(x,y)}$ 들의 집합입니다.
•

비닫힌점 $(y-x^{2})$ 위의 줄기는 $g(t,t^{2})\neq 0$ 을 만족하는 유리함수 $\frac{f(x,y)}{g(x,y)}$ 들의 집합입니다. 예를 들어 함수 $\frac{xy}{x+y-2}$ 는 여전히 문제가 없습니다; 분모가 포물선 위의 점 $(1,1)$ 과 $(-2,4)$ 에서 영이 되기는 하지만, 이는 포물선의 ”생성점”(대략적으로 말하면 ”대부분의 점”)에서의 함수이기 때문입니다.
•

$(0)$ 위의 줄기는 유리함수의 분수체 $k(x,y)$ 전체입니다.

전역 절단 $f=x^{2}+y^{2}$ 을 생각하고, 위의 각 점에서 그 값도 구해 보겠습니다.

•

$f\pmod{x-1,y+2}=5$ 이므로, $f$ 는 $(x-1,y+2)$ 에서 값 $5$ 를 가집니다.
•

새로운 점은 포물선을 따라서도 $f$ 를 계산할 수 있다는 것입니다 — 이는 몫 $k[x,y]/(y-x^{2})$ 에서 특정한 값을 부여받습니다. 예를 들어 이를 $f=x^{2}+y^{2}\equiv x^{2}+x^{4}\pmod{y-x^{2}}$ 로 생각할 수 있습니다. 포물선의 생성점에서 $f$ 의 값을 안다면, 그로부터 포물선 위의 임의의 닫힌점에서의 값도 계산할 수 있음을 주목하십시오.
•

생성점 $(0)$ 에서는 $f\pmod{0}=f$ 입니다. 따라서 다른 어떤 스킴에서와 마찬가지로 ”생성점에서 계산하기”는 아무런 변화도 주지 않습니다.

86.11 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$ , 이차원 스킴, 그리고 멈퍼드의 그림

우리는 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 가 $\operatorname{Spec}k[x]$ 와 매우 비슷해 보인다는 것을 보았으며, 이제 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$ 가 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ 와 매우 비슷해 보인다는 것을 확인하겠습니다.

이 스킴을 나타낸 유명한 그림이 멈퍼드의 ”붉은 책”에 실려 있는데, 앞서 우리가 그린 그림들과 다소 차이가 있기는 하지만 문화 보존의 취지로 여기에 실어 보겠습니다.

멈퍼드는 점 $\mathfrak{p}$ 를 나타내는 데 $[\mathfrak{p}]$ 를 사용하는데, 우리는 그렇게 하지 않으므로 곳곳에 나타나는 대괄호는 무시해도 됩니다. 비닫힌점들은 솜뭉치 형태로 나타나 있습니다.

앞서와 마찬가지로 소 아이디얼에는 세 가지 유형이 있지만, 이번에는 모습이 다소 더 다르게 보일 것입니다:

•

닫힌점은 이제 순서쌍 $(p,f(x))$ 이며, 여기서 $p$ 는 소수이고 $f$ 는 $p$ 를 법으로 하는 기약다항식입니다. 실제로 이들이 극대 아이디얼입니다: 몫 $\mathbb{Z}[x]/(p,f)$ 는 $\mathbb{F}_{p}$ 의 어떤 유한 확장이 됩니다.
•
이제 서로 다른 두 가지 ”일차원” 비닫힌점이 있습니다:
- –
  
  각 유리 소수는 점 $(p)$ 를 주고, 그리고
- –
  
  각 기약 다항식 $f$ 는 점 $(f)$ 를 줍니다.
실제로, $\mathbb{Z}[x]$ 를 각각으로 나눈 몫이 정역임에 주목하십시오.
•

$\mathbb{Z}[x]$ 는 정역이므로, 언제나 그렇듯 $(0)$ 이 전체 공간에 대한 우리의 일반점입니다.

제가 다르게 하고 싶었던 부분이 하나 있는데, $\mathcal{V}(3)$ 과 $\mathcal{V}(7)$ 에는 점 $(3,x^{2}+1)$ 이 있어야 하는데, 이는 그림에서 닫힌 점으로 그려지지 않고 오히려 점선 타원으로 그려져 있습니다. 이는 위상적인 의미에서는 옳지 않습니다: $\mathfrak{m}=(3,x^{2}+1)$ 이 극대 아이디얼이므로, 이는 실제로 스킴 내의 하나의 닫힌 점이기 때문입니다. 하지만 이것이 ”두 개”인 것처럼 여겨질 수 있는 이유는, $\mathfrak{m}$ 에서의 잉여체인 $\mathbb{Z}[x]/(3,x^{2}+1)$ 이 이차원 $\mathbb{F}_{3}$ 벡터 공간이기 때문입니다.

86.12 $\operatorname{Spec}k[x,y]/(y-x^{2})$ , 포물선

명제 83.6.1에 의해, $k[x,y]/(y-x^{2})$ 의 소 아이디얼들은 $(y-x^{2})$ 의 상위집합인 $k[x,y]$ 의 소 아이디얼들에 대응하며, 이는 곧 닫힌집합 $\mathcal{V}(y-x^{2})$ 안에 포함된 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ 의 점들에 대응합니다. 게다가, $\mathcal{V}(y-x^{2})$ 위의 부분공간 위상은 $\operatorname{Spec}k[x,y]/(y-x^{2})$ 위의 위상과 일치합니다.

이는 훨씬 더 일반적으로 성립합니다:

연습문제 86.12.1 (지루한 확인).

$I$ 가 환 $A$ 의 아이디얼이라면, $\operatorname{Spec}A/I$ 가 위상 공간으로서 $\operatorname{Spec}A$ 의 닫힌 부분집합 $\mathcal{V}(I)$ 와 위상동형임을 보이십시오.

그래서 이것이 ”닫힌 매장”이라는 개념입니다: $\operatorname{Spec}k[x,y]$ 의 닫힌 부분집합이었던 포물선 자체가 하나의 스킴입니다. 사상이라는 개념을 실제로 정의하고 나면, 이에 대해 더 많은 것을 말할 수 있을 것입니다.

다만 이 스킴 위의 층은 포물선 위의 함수들만을 기억할 뿐입니다: 즉 줄기들이 말하자면 ”물려받아지지” 않습니다. 이를 확인하기 위해, 원점에서의 줄기를 계산해 봅시다: 정리 83.7.1에 따르면 그것은

k[x,y]_{(x,y)}/(y-x^{2})\cong k[x,x^{2}]_{(x,x^{2})}\cong k[x]_{(x)}

원점에서의 아핀 직선 $\operatorname{Spec}k[x]$ 의 줄기와 같습니다. 직관적으로 놀랍지 않은데, 원점 근처의 포물선 위 어떤 점을 보더라도 그것은 본질적으로 직선처럼 보이며, 그 위의 함수들도 마찬가지이기 때문입니다.

일반점 위의 줄기는 $\operatorname{Frac}(k[x,y]/(y-x^{2}))$ 입니다: 즉 $y=x^{2}$ 이라는 동일시를 갖는 유리함수들입니다. 이 역시 놀랍지 않습니다.

마지막으로, $y\mapsto x^{2}$ 을 보내는 동형사상 $k[x,y]/(y-x^{2})\cong k[x]$ 가 존재하므로, 포물선이 실제로 $\operatorname{Spec}k[x]$ 와 동형일 것이라 예상됩니다. 그림으로 보면, 이는 포물선을 ”펴는” 것처럼 보입니다. 일반적으로, 두 환 $A$ 와 $B$ 가 동형일 때 $\operatorname{Spec}A$ 와 $\operatorname{Spec}B$ 가 ”같아야” 한다고 기대하고 싶은데 (그렇지 않다면 우리는 경악할 것입니다), 이후에 실제로 그러함을 보게 될 것입니다.

86.13 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]$ , 가우스 정수 (일차원)

정수의 경우에서 이 발상을 좀 더 가지고 놀아볼 수 있습니다.

\mathbb{Z}[i]\cong\mathbb{Z}[x]/(x^{2}+1)

임에 주목하십시오. 이는 이것이 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$ 안의 ”일차원” 닫힌집합임을 의미합니다. 이러한 방식으로, 원소들이 가우스 소수인 스킴을 얻게 됩니다.

어떤 닫힌 점이 다른 것보다 ”더 큰지”는 잉여체를 봄으로써 알 수 있습니다. 예를 들어 점 $(2+i)$ 의 잉여체는

\kappa\left((2+i)\right)=\mathbb{Z}[i]/(2+i)\cong\mathbb{F}_{5}

하지만 점 $(3)$ 의 잉여체는

\kappa\left((3)\right)\cong\mathbb{Z}[i]/(3)\cong\mathbb{F}_{9}

이는 이차 $\mathbb{F}_{3}$ -확대입니다.

86.14 긴 예제: $\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy)$ , 두 축

이것은 기약이 아닌 스킴의 첫 번째 예가 될 것입니다.

86.14.1 그림

이전과 마찬가지로, 위상적으로 이는 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ 의 닫힌집합 $\mathcal{V}(xy)$ 처럼 보입니다. 그림은 다음과 같습니다:

상황이 잘 맞는지 확인하기 위해:

질문 86.14.1 (건전성 확인).

$(y+3)$ 이 실제로 $\mathcal{V}(x)$ 안에 놓인 $\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy)$ 의 극대 아이디얼임을 확인하십시오.

아이디얼 $(0)$ 은 더 이상 소 아이디얼이 아니므로, 이 공간의 점이 아닙니다. 오히려 이번에는 두 개의 비폐점, 즉 아이디얼 $(x)$ 와 $(y)$ 가 있으며, 이들은 두 축 각각을 감싸며 떠다니는 모습으로 시각화할 수 있습니다. 이 공간은 두 개의 진부분 닫힌집합의 합집합 $\mathcal{V}(x)\cup\mathcal{V}(y)$ 로 쓸 수 있으므로 가약(reducible)입니다. (위상 공간으로서는 여전히 연결되어 있습니다.)

86.14.2 $y$ -축 버리기

특수 열린집합 $U=D(x)$ 를 생각해 봅시다. 이는 $\mathcal{V}(x)$ , 즉 $y$ -축을 삭제하는 것에 해당합니다. 따라서 $D(x)$ 는 원점을 삭제한 $\operatorname{Spec}k[x]$ 와 “같아야” 하며, 특히 절단면으로 $k[x,x^{-1}]$ 를 얻어야 한다고 예상합니다. 실제로,

	$\displaystyle\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy)}(D(x))$	$\displaystyle\cong(k[x,y]/(xy))[1/x]$
		$\displaystyle\cong k[x,x^{-1},y]/(xy)\cong k[x,x^{-1},y]/(y)\cong k[x,x^{-1}].$

여기서 $(xy)=(y)$ 는 $x$ 가 단원(unit)이라는 사실로부터 따라 나옵니다. 모든 것이 계획대로입니다.

86.14.3 몇몇 점 위의 줄기

점 $\mathfrak{m}=(x+2)$ 위의 줄기를 계산해 봅시다. 이 점은 $x$ -축 위의 점 $(-2,0)$ 으로 생각할 수 있습니다. (좀 더 편하게 느끼고 싶다면, $\mathfrak{m}\ni y(x+2)=2y$ 이므로 $y\in\mathfrak{m}$ 이고, 따라서 $\mathfrak{m}=(x+2,y)$ 로도 쓸 수 있음에 주목하십시오.) 줄기는 다음과 같습니다.

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy),\mathfrak{m}}=(k[x,y]/(xy))_{(x+2)}.

하지만 저는 이 국소화에서 $y$ 가 영원(zero element)이 된다고 주장합니다. 실제로 $\frac{y}{1}=\frac{0}{x}=0$ 입니다. 따라서 전체가 다음으로 붕괴됩니다.

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy),\mathfrak{m}}=k[x]_{(x+2)}

이는 어차피 $\operatorname{Spec}k[x]$ 에서 $(x+2)$ 의 줄기입니다. 이는 예상된 결과입니다. 두 직선으로 이루어진 공간이 있지만 원점에서 떨어진 곳에 서 있다면, 줄기는 그 멀리 떨어진 점에서의 이상한 거동을 포착하지 못합니다. 그것은 오직 $\mathfrak{m}$ 근처에서 일어나는 일에만 관심이 있으므로, 그곳에서는 그냥 아핀 직선처럼 보입니다.

비고 86.14.2.

$(k[x,y]/(xy))_{(x+2)}$ 는 $k[x,y]_{(x+2)}/(xy)$ 와 같지 않다는 점에 주목하십시오. 여기서는 순서가 중요합니다. 실제로 후자는 영환(zero ring)인데, $x$ 와 $y$ 가 모두, 따라서 $x y$ 도 단원이기 때문입니다.

( $x$ -축을 감싸며 떠다니는) 일반점 $(y)$ 도 비슷한 이야기를 들려줄 것입니다. 그 위의 줄기를 살펴보면, “거의 모든” 점들이 $y$ -축의 존재를 인식하지 못하는 것과 마찬가지로, 이 줄기 역시 그것을 인식하지 못한다는 것을 알게 될 것입니다. 실제로 줄기를 계산해 보면:

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy),(y)}=(k[x,y]/(xy))_{(y)}.

다시 $\frac{y}{1}=\frac{0}{x}=0$ 이므로, 이는 그냥

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy),(y)}\cong k[x]_{(0)}\cong k(x).

이는 우리가 예상했던 바입니다 (이는 $\operatorname{Spec}k[x]$ 에서 $(0)$ 위의 줄기와 동일합니다).

86.14.4 원점 위의 줄기 (까다로운 경우)

원점 $(x,y)$ 위의 줄기는 흥미로우며, 가군의 국소화를 이야기하지 않고는 완전히 탐구할 수 없는 개념들을 담고 있습니다. 국소화는 다음과 같이 주어집니다.

(k[x,y]/(xy))_{(x,y)}

따라서 원소들은 다음과 같아야 합니다.

\frac{c+(a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots)+(b_{1}y+b_{2}y^{2}+\dots)}{c^{\prime}+(a_{1}% ^{\prime}x+a_{2}^{\prime}x^{2}+\dots)+(b_{1}^{\prime}y+b_{2}^{\prime}y^{2}+% \dots)}

여기서 $c^{\prime}\neq 0$ 입니다.

이 특성화가 만족스럽지 않게 느껴질 수도 있습니다. 다음은 기하학적 직관입니다. 전역 절단면 환은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

k[x,y]/(xy)=c+(a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots)+(b_{1}y+b_{2}y^{2}+\dots)

이는 모든 전역 절단면이 $x$ -다항식과 $y$ -다항식의 합이라는 뜻입니다. 하지만 이는 단순한 환의 곱 $k[x]\times k[y]$ 는 아닙니다. 상수항이 공유되기 때문입니다. 그러므로 이는 $k[x]$ 와 $k[y]$ 에서 상수항이 일치하는 다항식 쌍으로 생각하는 것이 더 낫습니다.

범주론을 좋아하신다면, 이는 결국 다음과 같은 올곱(fibered product)입니다.

k[x,y]/(xy)\cong k[x]\times_{k}k[y]

사상은 $x$ 와 $y$ 를 0으로 보내는 $k[x]\to k$ 와 $k[y]\to k$ 입니다. 이런 식으로 $k[x,y]/(xy)$ 를 대체로 두 성분으로 분해할 수 있습니다.

우리는 줄기에 대해서도 정말로 똑같이 할 수 있어야 합니다. 우리는 다음과 같이 말하고 싶습니다.

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy),(x,y)}\cong k[x]_{(x)}\times_{k}k[% y]_{(y)}.

한국어로 번역하면: “전형적인” 배아는 $\frac{3+x}{x^{2}+7}+\frac{4+y^{3}}{y^{2}+y+7}$ 처럼 생겨야 하며, $x$ 부분과 $y$ 부분이 서로 분리되어 있어야 합니다. 동등하게, 줄기는 원점에서 일치하는 $x$ -배아와 $y$ -배아의 쌍들로 이루어져야 합니다.

실제로 이는 참입니다! 놀랍게 느껴질 수도 있지만, 우리가 왜 이것을 예상하는지 살펴봅시다. 다음 배아를 생각해 봅시다.

\frac{1}{1-(x+y)}.

숨을 참고 보면, 이를 기하급수 $1+(x+y)+(x+y)^{2}+\dots$ 로 전개할 수 있다고 상상해볼 수 있습니다. $xy=0$ 이므로, 이는 그저 $1+x+x^{2}+x^{3}+\dots+y+y^{2}+y^{3}+\dots$ 가 됩니다. 이는 (쓰인 그대로는) 말이 되지 않지만, 그럼에도 다음의 추측을 시사합니다

\frac{1}{1-(x+y)}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}-1

실제로 참임을 검증할 수 있는 것입니다.

질문 86.14.3.

이 항등식이 성립하는지 확인하십시오.

물론 이는 단 하나의 간단한 예시를 위한 계산치고는 상당히 많습니다. 이를 일반화할 방법이 있을까요? 있습니다: 핵심 주장은 “국소화는 극한과 교환한다”는 것입니다. 원한다면 지금 그 명제를 직접 유도해 볼 수 있지만, 여기서는 그렇게 하지 않겠습니다.

86.15 $\operatorname{Spec}k[x,x^{-1}]$ , 구멍 뚫린 직선(또는 쌍곡선)

이는 $\operatorname{Spec}k[x]$ 의 $D(x)$ 처럼, 즉 원점이 제거된 직선처럼 보여야 합니다. 대안적으로는 다음과 같이 쓸 수도 있습니다

k[x,x^{-1}]\cong k[x,y]/(xy-1)

그래서 이 스킴은 쌍곡선으로도 그려질 수 있습니다.

먼저, 1차원 그림은 다음과 같습니다.

사실 이 스킴은 $\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy)$ 를 다루면서 $D(y)$ 를 살펴보았을 때 이미 본 적이 있습니다. 어쨌든, 이제 $(x-3)$ 에서의 줄기를 계산해 봅시다; 그것은

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}k[x,x^{-1}],(x-3)}\cong k[x,x^{-1}]_{(x-3)}% \cong k[x]_{(x-3)}

$x^{-1}$ 는 어차피 $k[x]_{(x-3)}$ 안에 있기 때문입니다. 그러므로 다시 한 번, 원점을 제거하는 것이 더 멀리 떨어진 점 $(x-3)$ 에서의 줄기에는 영향을 미치지 않음을 알 수 있습니다.

앞서 언급했듯이, $k[x,x^{-1}]$ 는 $k[x,y]/(xy-1)$ 와 동형이므로, 같은 곡선을 시각화하는 또 다른 방법은 쌍곡선을 그리는 것입니다(이것이 납작해지면 구멍 뚫린 직선이 된다고 상상할 수 있습니다). $k[x,y]/(xy-1)$ 가 실제로 정역이기 때문에 생성점 $(0)$ 이 하나 존재하며, 이와 더불어 $(x+2,y+1/2)=(x+2)=(y+1/2)$ 와 같은 점들도 존재합니다.

86.16 $\operatorname{Spec}k[x]_{(x)}$ , 직선의 원점을 확대한 모습

우리는 이미 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A,\mathfrak{p}}\cong A_{\mathfrak{p}}$ 임을 알고 있습니다: 따라서 $A_{\mathfrak{p}}$ 는 $\mathfrak{p}$ 에서의 줄기여야 합니다. 이 예시에서는 $\operatorname{Spec}A_{\mathfrak{p}}$ 또한 이 줄기와 비슷하게 그려져야 함을 보게 될 것입니다.

앞서 우리는 $\operatorname{Spec}k[x]$ 의 그림을 그리는 방법을 살펴보았습니다. 여러분은 원점 $(x)$ 위의 줄기(stalk) 그림도 그릴 수 있는데, 농업을 좋아한다면 $(x)$ 위에 자라나는 풀이나 다른 식물로 상상해 볼 수도 있습니다. 이 경우, $\operatorname{Spec}k[x]_{(x)}$ 는 아핀 직선에서 그 줄기를 뽑아냈을 때 나타나는 모습처럼 보일 수 있습니다.

$k[x]_{(x)}$ 는 국소환이므로(소 아이디얼의 국소화이므로), 이 공간에는 닫힌 점이 하나뿐입니다: 극대 아이디얼 $(x)$ 입니다. 그러나 놀랍게도, 점이 하나 더 있습니다: “생성” 점 $(0)$ 입니다. 따라서 $\operatorname{Spec}k[x]_{(x)}$ 는 두 점으로 이루어진 공간이지만, 이산 위상을 갖지는 않습니다: $(x)$ 는 닫힌 점이지만 $(0)$ 은 그렇지 않습니다. (이 때문에 이 공간은 다양한 종류의 연습문제에 좋은 반례가 됩니다.)

그러므로 위상적으로 일어나는 일은, $(x)$ 로 확대해 들어갈 때 “모든 점에 가까웠던” 생성점 $(0)$ 이 점 $(x)$ 위에 떠 있는 채로 그대로 남는다는 것입니다.

유일한 닫힌 점 $(x)$ 위의 줄기는 이전과 동일하다는 점에 주목하십시오:

\left(k[x]_{(x)}\right)_{(x)}\cong k[x]_{(x)}.

실제로, 일반적으로 $R$ 이 극대 아이디얼 $\mathfrak{m}$ 을 갖는 국소환이면 $R_{\mathfrak{m}}\cong R$ 입니다. 어차피 $\mathfrak{m}$ 에 속하지 않는 모든 원소 $x\notin\mathfrak{m}$ 는 가역원이었기 때문입니다. 따라서 그림에서 줄기는 동일하게 그려집니다.

마찬가지로, $(0)$ 위의 줄기도 뽑아내기 전과 동일합니다:

\left(k[x]_{(x)}\right)_{(0)}=\operatorname{Frac}k[x]_{(x)}=k(x).

더 일반적으로:

연습문제 86.16.1.

$A$ 를 하나의 환이라 하고, $\mathfrak{q}\subseteq\mathfrak{p}$ 를 소 아이디얼이라 합시다. $\mathfrak{q}$ 를 $A_{\mathfrak{p}}$ 의 소 아이디얼로 볼 때, $A_{\mathfrak{q}}\cong(A_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{q}}$ 임을 확인하십시오.

그러므로 이렇게 확대해 들어갈 때, 닫힌 점이 아닌 점들 위에서도 모든 줄기는 그대로 유지됩니다.

86.17 $\operatorname{Spec}k[x,y]_{(x,y)}$ , 평면의 원점을 확대한 모습

$\operatorname{Spec}k[x,y]$ , 즉 2차원 평면의 원점 위에 있는 줄기를 뽑아내면 상황이 더욱 놀라워집니다. $\operatorname{Spec}k[x,y]_{(x,y)}$ 의 점들은 $(x,y)$ 에 포함되는 $k[x,y]$ 의 소 아이디얼들이어야 합니다; 기하학적으로 이들은 $(x,y)$ 자체와 원점을 지나는 생성점들입니다. 예를 들어, $k[x,y]_{(x,y)}$ 에는 포물선 $(y-x^{2})$ 에 대응하는 생성점이 존재하고, 직선에 대응하는 또 다른 생성점 $(y-x)$ 도 존재하는 식입니다.

그리하여 우리는 맨 아래에 놓인 유일한 닫힌 점 $(x,y)$ 와, 그 위에 떠 있는 온갖 “1차원” 생성점들 — 직선, 포물선, 그 밖에 무엇이든 — 을 갖게 됩니다. 마지막으로, 2차원 상에 떠 있는 생성점 $(0)$ 이 있는데, 이 점의 폐포는 공간 전체와 같습니다.

86.18 $\operatorname{Spec}k[x,y]_{(0)}=\operatorname{Spec}k(x,y)$ , 일반점 위의 줄기

평면의 일반점은 줄기로 그저 $\operatorname{Spec}k(x,y)$ 를 가집니다: 이는 체의 스펙트럼이므로 단일 점입니다. 이 줄기는 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ 에 심어졌을 때와 비교하여 그대로 유지됩니다; 함수들은 정확히 $x$ 와 $y$ 의 유리 함수들입니다.

86.19 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 86A.

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[1/55]$ 의 그림을 그리고, 위상을 서술하며, 각 점에서의 줄기를 계산하십시오.

문제 86B.

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{(5)}$ 의 그림을 그리고, 위상을 서술하며, 각 점에서의 줄기를 계산하십시오.

문제 86C.

$A=(k[x,y]/(xy))[(x+y)^{-1}]$ 라 합시다. $\operatorname{Spec}A$ 의 그림을 그리십시오. 이것이 위상 공간으로서 연결되어 있지 않음을 보이십시오.

문제 86D.

$A=k[x,y]_{(y-x^{2})}$ 라 합시다. $\operatorname{Spec}A$ 의 그림을 그리십시오.

장 86 막간: 아핀 스킴의 열여덟 가지 예시

86.1 예시: Speck, 하나의 점

86.2 Specℂ[x], 일차원 직선

86.3 Specℝ[x], 복소 켤레가 붙은 일차원 직선(영점 정리를 두려워하지 마십시오)

86.4 Speck[x], 임의의 바탕체 위에서

86.5 Specℤ, 1차원 스킴

86.6 Speck[x]/(x2−7x+12), 두 점

86.7 Speck[x]/(x2), 이중점

86.8 Speck[x]/(x3−5x2), 이중점과 단일점

86.9 Specℤ/60ℤ, 세 점을 가진 스킴

86.10 Speck[x,y], 즉 이차원 평면

86.11 Specℤ[x], 이차원 스킴, 그리고 멈퍼드의 그림

86.12 Speck[x,y]/(y−x2), 포물선