장 1 군

순서쌍 $(\mathbb{Z},+)$는 군입니다. $\mathbb{Z}=\{\mathrm{\dots },-2,-1,0,1,2,\mathrm{\dots }\}$가 집합이고, 결합적인 연산은 덧셈입니다. 다음에 주목하십시오.

• •

  원소 $0\in \mathbb{Z}$는 항등원입니다. 즉, 임의의 $a$에 대해 $a+0=0+a=a$입니다.

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  모든 원소 $a\in \mathbb{Z}$는 덧셈에 대한 역원을 가집니다. 즉, $a+(-a)=(-a)+a=0$입니다.

이 군을 $\mathbb{Z}$라고 부릅니다.

$\mathbb{Q}{}^{\times }$를 0이 아닌 유리수의 집합이라고 합시다. 순서쌍 $(\mathbb{Q}{}^{\times },\cdot )$는 군입니다. 집합은 $\mathbb{Q}{}^{\times }$이고, 결합적인 연산은 곱셈입니다.

여기서도 같은 두 가지 좋은 성질을 볼 수 있습니다.

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  원소 $1\in \mathbb{Q}{}^{\times }$는 항등원입니다. 즉, 임의의 유리수에 대해 $a\cdot 1=1\cdot a=a$입니다.

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  임의의 유리수 $x\in \mathbb{Q}{}^{\times }$에 대해 다음을 만족하는 역원 $x{}^{-1}$가 존재합니다.

  $$x\cdot x{}^{-1}=x{}^{-1}\cdot x=1.$$

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  순서쌍 $(\mathbb{Q},\cdot )$는 군이 아닙니다. (여기서 $\mathbb{Q}$는 유리수 집합입니다.) 항등원은 존재하지만, 원소 $0\in \mathbb{Q}$는 역원을 가지지 않습니다.

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  순서쌍 $(\mathbb{Z},\cdot )$ 역시 군이 아닙니다. (왜 그렇습니까?)

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  $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}{}_{2\times 2}(ℝ)$을 $2\times 2$ 실수 행렬의 집합이라고 합시다. 그러면 $(\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}{}_{2\times 2}(ℝ),\cdot )$(여기서 $\cdot$은 행렬 곱셈입니다)는 군이 아닙니다. 실제로 항등 행렬이 있기는 하지만

  앞에서와 같은 문제에 여전히 부딪힙니다. 영행렬은 곱셈에 대한 역원을 갖지 않습니다.

  (집합에서 영행렬을 빼더라도 그 결과로 얻은 구조는 여전히 군이 아닙니다. 선형대수학을 조금 아는 분이라면 행렬식이 0인 행렬은 역을 가질 수 없다는 사실을 기억하실 것입니다.)

$S{}^1$을 절댓값이 1인 복소수 $z$의 집합이라고 합시다. 즉,

$$S{}^1≔\{z\in ℂ\mid |z|=1\}.$$

그러면 $(S{}^1,\times )$는 군입니다. 왜냐하면

• •

  복소수 $1\in S{}^1$이 항등원 역할을 하고,

• •

  $\left|z{}^{-1}\right|=\left|z\right|{}^{-1}=1$이므로, 각 복소수 $z\in S{}^1$은 역시 $S{}^1$에 속하는 역원 $\frac{1}{z}$을 갖기 때문입니다.

확인해야 할 것이 하나 더 있습니다. 바로 $z{}_1\times z{}_2$가 실제로 여전히 $S{}^1$에 속한다는 것입니다. 그러나 이는 $\left|z{}_{1}z{}_2\right|=\left|z{}_1\right|\left|z{}_2\right|=1$이라는 사실에서 따라 나옵니다.

정수론의 예를 하나 들겠습니다. $n>1$을 정수라고 하고, $n$을 법으로 하는 잉여(나머지)들을 생각합시다. 이들은 덧셈에 대해 군을 이룹니다. 이를 위수가 $n$인 순환군이라 부르고 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$으로 나타내며, 그 원소는 $\overline{0},\overline{1},\mathrm{\dots }$입니다. 항등원은 $\overline{0}$입니다.

$p$를 소수라고 합시다. $p$를 법으로 하는 0이 아닌 잉여들을 생각하고, 이를 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}){}^{\times }$로 나타냅니다. 그러면 $((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}){}^{\times },\times )$는 군입니다.

$n$을 양의 정수라고 합시다. 그러면 $\mathrm{G}\mathrm{L}{}_n(ℝ)$은 행렬식이 0이 아닌 $n\times n$ 실수 행렬의 집합으로 정의됩니다. 이 조건이 있으면 모든 행렬이 실제로 역행렬을 가지므로 $(\mathrm{G}\mathrm{L}{}_n(ℝ),\times )$는 군이 되며, 이를 일반선형군이라 부릅니다.

($\mathrm{G}\mathrm{L}{}_n(ℝ)$이 $\times$에 대해 닫혀 있다는 사실은 $det(AB)=detAdetB$라는 선형대수학의 사실에서 따라 나오며, 이는 뒤의 장에서 증명합니다.)

위의 예를 이어서, 행렬식이 정확히 $1$인 $n\times n$ 행렬의 집합을 $\mathrm{S}\mathrm{L}{}_n(ℝ)$로 나타냅시다. 이번에도 선형대수학적인 이유로 $(\mathrm{S}\mathrm{L}{}_n(ℝ),\times )$ 역시 군이 되며, 이를 특수선형군이라고 부릅니다.

$S{}_n$을 $\{1,\mathrm{\dots },n\}$의 순열들의 집합이라고 합시다. 이 순열들을 $\{1,\mathrm{\dots },n\}$에서 자기 자신으로 가는 함수로 보면, 순열들의 합성을 생각할 수 있습니다. 그러면 순서쌍 $(S{}_n,\circ )$(여기서 $\circ$는 함수의 합성입니다) 역시 군입니다. 왜냐하면

• •

  항등 순열이 존재하고,

• •

  각 순열은 역원을 갖기 때문입니다.

군 $S{}_n$을 $n$개 원소 위의 대칭군이라 부릅니다.

$D{}_{2n}$으로 나타내는 위수가 $2n$인 정이면체군은 정$n$각형 $A{}_{1}A{}_2\mathrm{\dots }A{}_n$의 대칭들로 이루어진 군이며, 여기에는 회전과 반사가 포함됩니다. 이 군은 다음 $2n$개의 원소로 이루어집니다.

$$\{1,r,r{}^2,\mathrm{\dots },r{}^{n-1},s,sr,sr{}^2,\mathrm{\dots },sr{}^{n-1}\}.$$

원소 $r$은 $n$각형을 $\frac{2\pi }{n}$만큼 회전하는 것에 해당하고, $s$는 직선 $OA{}_1$에 대해 반사하는 것에 해당합니다(여기서 $O$는 다각형의 중심입니다). 따라서 $rs$는 “반사한 다음 회전”을 뜻합니다(함수의 합성과 마찬가지로 오른쪽에서 왼쪽으로 읽습니다).

특히 $r{}^n=s{}^2=1$입니다. 또한 $r{}^{k}s=sr{}^{-k}$임도 알 수 있습니다.

$(G,\star )$와 $(H,\ast )$를 군이라 합시다. 다음과 같이 곱군 $(G\times H,\cdot )$을 정의할 수 있습니다. 이 군의 원소는 순서쌍 $(g,h)\in G\times H$입니다. 그러면

$$(g{}_1,h{}_1)\cdot (g{}_2,h{}_2)=(g{}_1\star g{}_2,h{}_1\ast h{}_2)\in G\times H$$

이 군 연산입니다.

흔히 $0$ 또는 $1$로 표기하는 자명군은 항등원 하나만을 원소로 갖는 군입니다. 저는 $\{1\}$이라는 표기를 사용하겠습니다.

(예제 1.1.9에서와 같이) $G=(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}){}^{\times }$이라 하고 $g=3$을 고릅시다. 위의 보조정리에 따르면 사상 $x\mapsto 3\cdot x$는 전단사이며, 이는 다음과 같이 명시적으로 확인할 수 있습니다:

	$1$	$\stackrel{\times 3}{⟼}3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$
	$2$	$\stackrel{\times 3}{⟼}6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$
	$3$	$\stackrel{\times 3}{⟼}2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$
	$4$	$\stackrel{\times 3}{⟼}5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$
	$5$	$\stackrel{\times 3}{⟼}1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$
	$6$	$\stackrel{\times 3}{⟼}4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7).$

$G$와 $H$를 군이라고 합시다. 다음과 같은 동형사상들이 있습니다.

1. (a)

   앞에서 본 것처럼 $\mathbb{Z}\cong 10\mathbb{Z}$입니다.

2. (b)

   다음 동형사상이 존재합니다.

   $$G\times H\cong H\times G$$

   이 동형사상은 사상 $(g,h)\mapsto (h,g)$로 주어집니다.

3. (c)

   항등 사상 $\mathrm{i}\mathrm{d}:G\to G$는 동형사상이므로 $G\cong G$입니다.

4. (d)

   $\mathbb{Z}$에서 자기 자신으로 가는 또 다른 동형사상이 있습니다. 모든 $x$를 $-x$로 보내는 사상입니다.

자명하지 않은 예로, $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong (\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}){}^{\times }$임을 주장합니다. 전단사는 다음과 같습니다.

$$\varphi (a\text{ mod }6)=3{}^a\text{ mod }7.$$

• •

  직접 계산해 보면 이 사상이 전단사임을 알 수 있습니다.

  $$(3{}^0,3{}^1,3{}^2,3{}^3,3{}^4,3{}^5)\equiv (1,3,2,6,4,5)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7).$$

  (엄밀히 따지자면, $3{}^{0mod6}=1$ 등으로 쓰는 것이 더 정확합니다.)

• •

  마지막으로, 이 사상이 군 연산을 보존하는지 확인해야 합니다. 다시 말해, $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$의 연산은 덧셈이고 $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}){}^{\times }$의 연산은 곱셈이므로 $\varphi (a+b)=\varphi (a)\varphi (b)$임을 보이고자 합니다. 이는 곧 $3{}^{a+bmod6}\equiv 3{}^{amod6}3{}^{bmod6}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$이라는 뜻이며, 이는 참입니다.

더 일반적으로, 임의의 소수 $p$에 대하여 $1,g,g{}^2,\mathrm{\dots },g{}^{p-2}$가 법 $p$에 대하여 모두 서로 다르게 되는 원소 $g\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}){}^{\times }$가 존재하며, 이를 법 $p$에 대한 원시근이라고 합니다. 위의 증명을 그대로 따라 하면 다음을 보일 수 있습니다.

$$\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}\cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}){}^{\times }\text{모든 소수 }p\text{에 대하여}.$$

위의 예는 $p=7$, $g=3$인 특수한 경우였습니다.

소수 $p$에 대하여 $|(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}){}^{\times }|=p-1$입니다. 다시 말해, $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}){}^{\times }$의 위수는 $p-1$입니다. 또 다른 예로, 대칭군 $S{}_n$의 위수는 $n!$이고 정이면체군 $D{}_{2n}$의 위수는 $2n$입니다.

$\mathbb{Q}{}^{\times }$에서 $-1$의 위수는 $2$이지만, $\mathbb{Z}$에서 $1$의 위수는 무한합니다.

올림피아드 정수론을 알고 있다면, 이는 법 $p$에 대한 잉여의 위수의 정의와 일치합니다. 그래서 그곳에서도 “위수”라는 용어를 사용하는 것입니다. 특히 원시근은 정확히 $\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}g=p-1$을 만족하는 원소 $g\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}){}^{\times }$입니다.

1. (a)

   $2\mathbb{Z}$는 $\mathbb{Z}$의 부분군이며, $\mathbb{Z}$ 자신과 동형입니다!

2. (b)

   $n$개의 원소 위의 대칭군 $S{}_n$을 다시 생각해 봅시다. $T$를 $\tau (n)=n$을 만족하는 순열 $\tau :\{1,\mathrm{\dots },n\}\to \{1,\mathrm{\dots },n\}$들의 집합이라고 합시다. 그러면 $T$는 $S{}_n$의 부분군이며, 실제로 $S{}_{n-1}$과 동형입니다.

3. (c)

   군 $G\times H$(예제 1.1.15)와 원소들 $\{(g,1{}_H)\mid g\in G\}$를 생각해 봅시다. 이는 $G\times H$의 부분군입니다(왜 그렇습니까?). 실제로 이는 동형사상 $(g,1{}_H)\mapsto g$에 의해 $G$와 동형입니다.

임의의 군 $G$에 대하여 자명군 $\{1{}_G\}$와 군 전체 $G$는 $G$의 부분군입니다.

$x$를 군 $G$의 원소라고 합시다. 다음 집합을 생각해 봅시다

이것 또한 $G$의 부분군이며, $x$로 생성된 부분군이라고 부릅니다.

군 $\mathbb{Z}=(\mathbb{Z},+)$를 생각해 봅시다.

1. (a)

   집합 $\{0,1,2,\mathrm{\dots }\}$는 역원을 포함하지 않으므로 $\mathbb{Z}$의 부분군이 아닙니다.

2. (b)

   집합 $\{n{}^3\mid n\in \mathbb{Z}\}=\{\mathrm{\dots },-8,-1,0,1,8,\mathrm{\dots }\}$는 덧셈에 대해 닫혀 있지 않으므로 부분군이 아닙니다. 두 세제곱수의 합은 일반적으로 세제곱수가 아닙니다.

3. (c)

   공집합 $\mathrm{\varnothing }$은 항등원이 없으므로 $\mathbb{Z}$의 부분군이 아닙니다.