장 1 군

군은 고등 수학에서 가장 기본적인 구조 중 하나입니다. 이 장에서는 최소한의 내용만 다룰 것입니다: 군이 무엇인지, 그리고 두 군이 언제 같은지에 대해서만 설명하겠습니다.

1.1 군의 정의와 예시

대표적인 예: 정수의 덧셈군 $(\mathbb{Z},+)$ 과 순환군 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . 대부분의 군이 비가환적이라는 사실을 잊지 마십시오.

군은 두 가지 데이터로 구성됩니다: 집합 $G$ 와, 몇 가지 성질을 만족하는 결합적 이항 연산 $\star$ 입니다. 군의 정의를 적기 전에, 먼저 두 가지 예시를 들어 보겠습니다.

예제 1.1.1 (덧셈 정수).

순서쌍 $(\mathbb{Z},+)$ 는 군입니다: $\mathbb{Z}=\left\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\right\}$ 가 집합이고 결합적 연산은 덧셈입니다. 다음을 주목하십시오

•

원소 $0\in\mathbb{Z}$ 는 항등원입니다: 임의의 $a$ 에 대해 $a+0=0+a=a$ 입니다.
•

모든 $a\in\mathbb{Z}$ 는 덧셈에 대한 역원을 가집니다: $a+(-a)=(-a)+a=0$ .

이 군을 $\mathbb{Z}$ 라고 부릅니다.

예제 1.1.2 (0이 아닌 유리수).

$\mathbb{Q}^{\times}$ 를 0이 아닌 유리수의 집합이라고 합시다. 순서쌍 $(\mathbb{Q}^{\times},\cdot)$ 는 군입니다: 집합은 $\mathbb{Q}^{\times}$ 이고 결합적 연산은 곱셈입니다.

여기서도 같은 두 가지 좋은 성질을 볼 수 있습니다.

•

원소 $1\in\mathbb{Q}^{\times}$ 는 항등원입니다: 임의의 유리수에 대해 $a\cdot 1=1\cdot a=a$ 입니다.
•

임의의 유리수 $x\in\mathbb{Q}^{\times}$ 에 대해, 다음을 만족하는 역원 $x^{-1}$ 가 존재합니다

$x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=1.$

이로부터 여러분은 이미 군의 정의가 무엇인지 짐작하셨을 수도 있습니다.

정의 1.1.3.

군은 원소들의 집합 $G$ 와 $G$ 위의 이항 연산 $\star$ 로 이루어진 순서쌍 $G=(G,\star)$ 이며, 다음을 만족합니다:

•

$G$ 는 항등원을 가지며, 보통 $1_{G}$ 또는 그냥 $1$ 로 표기하고, 다음 성질을 가집니다

$1_{G}\star g=g\star 1_{G}=g\text{모든 $g\in G$에 대하여}.$
•

이 연산은 결합적입니다, 즉 임의의 $a,b,c\in G$ 에 대해 $(a\star b)\star c=a\star(b\star c)$ 입니다. 따라서 일반적으로 괄호를 생략하고 씁니다.
•

각 원소 $g\in G$ 는 역원을 가지는데, 즉 다음을 만족하는 원소 $h\in G$ 가 존재합니다

$g\star h=h\star g=1_{G}.$

비고 1.1.4 (중요하지 않은 세부 사항).

일부 저자는 ”닫힘” 공리를 추가하여, 즉 $g\star h\in G$ 임을 명시적으로 언급하기도 합니다. 이는 $\star$ 가 $G$ 위의 이항연산이라는 사실에서 이미 함축되지만, 아래의 예시들을 위해 유념할 가치가 있습니다.

비고 1.1.5.

$\star$ 가 가환적일 것( $a\star b=b\star a$ )은 요구되지 않습니다. 그래서 연산이 가환적이면 군이 아벨적이라고 하고, 그렇지 않으면 비아벨적이라고 합니다.

예제 1.1.6 (군이 아닌 예시).

•

순서쌍 $(\mathbb{Q},\cdot)$ 는 군이 아닙니다. (여기서 $\mathbb{Q}$ 는 유리수입니다.) 항등원은 존재하지만, 원소 $0\in\mathbb{Q}$ 는 역원을 가지지 않습니다.
•

쌍 $(\mathbb{Z},\cdot)$ 또한 군이 아닙니다. (왜일까요?)
•

$\mathrm{Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ 을 $2\times 2$ 실수 행렬의 집합이라 합시다. 그러면 $(\mathrm{Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}),\cdot)$ (여기서 $\cdot$ 은 행렬 곱셈)는 군이 아닙니다. 실제로, 항등 행렬이 있음에도 불구하고

$\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}$

우리는 여전히 이전과 같은 문제에 부딪힙니다: 영행렬은 곱셈에 대한 역원을 가지지 않습니다.

(집합에서 영행렬을 제거하더라도, 그 결과 구조는 여전히 군이 아닙니다: 선형대수학을 조금 아는 분들은 행렬식이 0인 행렬은 역원을 가질 수 없다는 사실을 기억하실 것입니다.)

예시를 계속 적어봅시다. 다음은 군의 아벨 예시를 더 든 것입니다:

예제 1.1.7 (복소수 단위원).

$S^{1}$ 을 절댓값이 1인 복소수 $z$ 의 집합이라 합시다; 즉

S^{1}\coloneqq\left\{z\in\mathbb{C}\mid\left\lvert z\right\rvert=1\right\}.

그러면 $(S^{1},\times)$ 는 군입니다. 왜냐하면

•

복소수 $1\in S^{1}$ 이 항등원의 역할을 하고,
•

각 복소수 $z\in S^{1}$ 은 $S^{1}$ 에 속하는 역원 $\frac{1}{z}$ 을 가지는데, 이는 $\left\lvert z^{-1}\right\rvert=\left\lvert z\right\rvert^{-1}=1$ 이기 때문입니다.

한 가지 더 확인해야 할 것이 있습니다: $z_{1}\times z_{2}$ 가 실제로 여전히 $S^{1}$ 에 속한다는 것입니다. 하지만 이는 $\left\lvert z_{1}z_{2}\right\rvert=\left\lvert z_{1}\right\rvert\left\lvert z_% {2}\right\rvert=1$ 이라는 사실로부터 따라옵니다.

예제 1.1.8 ( $n$ 을 법으로 하는 덧셈).

정수론에서 나오는 예시가 하나 있습니다: $n>1$ 을 정수라 하고, $n$ 을 법으로 하는 잉여(나머지)를 생각합시다. 이들은 덧셈에 대해 군을 이룹니다. 이를 위수 $n$ 의 순환군이라 부르고, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 으로 표기하며, 원소는 $\overline{0},\overline{1},\dots$ 입니다. 항등원은 $\overline{0}$ 입니다.

예제 1.1.9 ( $p$ 를 법으로 하는 곱셈).

$p$ 를 소수라 합시다. $p$ 를 법으로 하는 0이 아닌 잉여를 생각하고, 이를 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ 로 표기합니다. 그러면 $\left((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times},\times\right)$ 는 군입니다.

질문 1.1.10.

왜 $p$ 가 소수라는 사실이 필요할까요?

(여담: $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 과 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ 라는 표기법이 이상해 보일 수 있지만, 나중에 환과 아이디얼을 다룰 때 이해가 될 것입니다. 지금은 걱정하지 마십시오.)

다음은 비아벨 예시입니다:

예제 1.1.11 (일반 선형군).

$n$ 을 양의 정수라 합시다. 그러면 $\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{R})$ 은 행렬식이 0이 아닌 $n\times n$ 실수 행렬의 집합으로 정의됩니다. 이 조건 하에서는 실제로 모든 행렬이 역원을 가진다는 것이 밝혀지므로, $(\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{R}),\times)$ 는 군이 되며, 이를 일반 선형군이라 부릅니다.

( $\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{R})$ 이 $\times$ 에 대해 닫혀 있다는 사실은 이후 장에서 증명될 $\det(AB)=\det A\det B$ 라는 선형대수학의 사실로부터 따라옵니다.)

예제 1.1.12 (특수 선형군).

위 예시에 이어서, $\operatorname{SL}_{n}(\mathbb{R})$ 을 행렬식이 정확히 $1$ 인 $n\times n$ 행렬의 집합이라 합시다. 다시금, 선형대수학적 이유로 $(\operatorname{SL}_{n}(\mathbb{R}),\times)$ 또한 군이 됨이 밝혀지며, 이를 특수 선형군이라 부릅니다.

예제 1.1.13 (대칭군).

$S_{n}$ 을 $\left\{1,\dots,n\right\}$ 의 순열들의 집합이라 합시다. 이 순열들을 $\left\{1,\dots,n\right\}$ 에서 자기 자신으로 가는 함수로 봄으로써, 순열의 합성을 생각할 수 있습니다. 그러면 쌍 $(S_{n},\circ)$ (여기서 $\circ$ 는 함수 합성)도 군인데, 그 이유는

•

항등 순열이 존재하고,
•

각 순열은 역원을 가지기 때문입니다.

군 $S_{n}$ 은 $n$ 개 원소 위의 대칭군이라 불립니다.

예제 1.1.14 (이면체군).

$D_{2n}$ 으로 표기되는 위수 $2n$ 의 이면체군은 정 $n$ 각형 $A_{1}A_{2}\dots A_{n}$ 의 대칭군으로, 회전과 반사를 포함합니다. 이는 다음 $2n$ 개의 원소로 이루어집니다

\left\{1,r,r^{2},\dots,r^{n-1},s,sr,sr^{2},\dots,sr^{n-1}\right\}.

원소 $r$ 은 $n$ 각형을 $\frac{2\pi}{n}$ 만큼 회전시키는 것에 해당하고, $s$ 는 직선 $OA_{1}$ 을 기준으로 반사시키는 것에 해당합니다 (여기서 $O$ 는 다각형의 중심입니다). 따라서 $r s$ 는 ”반사한 다음 회전한다”는 것을 뜻합니다 (함수 합성과 마찬가지로, 오른쪽에서 왼쪽으로 읽습니다).

특히, $r^{n}=s^{2}=1$ 입니다. 또한 $r^{k}s=sr^{-k}$ 임을 알 수 있습니다.

다음은 $D_{10}$ 의 원소 몇 개를 그림으로 나타낸 것입니다.

여담: 이면체군 $D_{12}$ 는 제가 가장 좋아하는 비아벨 군의 예시이며, “예시를 찾으시오…”와 같은 형태의 시험 문제에서 제가 가장 먼저 시도하는 군입니다.

더 많은 예시:

예제 1.1.15 (군의 곱).

$(G,\star)$ 와 $(H,\ast)$ 를 군이라 합시다. 다음과 같이 곱군(product group) $(G\times H,{\cdot})$ 을 정의할 수 있습니다. 이 군의 원소는 순서쌍 $(g,h)\in G\times H$ 가 됩니다. 그러면

(g_{1},h_{1})\cdot(g_{2},h_{2})=(g_{1}\star g_{2},h_{1}\ast h_{2})\in G\times H

이 군의 연산입니다.

질문 1.1.16.

곱군의 항등원과 역원은 무엇입니까?

예제 1.1.17 (자명군).

흔히 $0$ 또는 $1$ 로 표기되는 자명군(trivial group)은 항등원만을 가지는 군입니다. 저는 $\{1\}$ 이라는 표기를 사용하겠습니다.

연습문제 1.1.18.

다음 중 어느 것이 군입니까?

(a)

홀수 분모를 가지는 (기약분수 형태의) 유리수 전체로, 연산은 덧셈입니다. (이는 $n/1$ 로 쓰이는 정수와 $0=0/1$ 을 포함합니다.)
(b)

분모가 $2$ 이하인 유리수 전체의 집합으로, 연산은 덧셈입니다.
(c)

분모가 $2$ 이하인 유리수 전체의 집합으로, 연산은 곱셈입니다.
(d)

음이 아닌 정수 전체의 집합으로, 연산은 덧셈입니다.

1.2 군의 성질

대표적인 예: $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ 가 아마도 가장 좋을 것입니다.

표기의 남용 1.2.1.

이제부터는 군 $(G,\star)$ 를 그냥 $G$ 라고 지칭하는 경우가 많을 것입니다. 또한 $a\star b$ 를 그냥 $a b$ 로 줄여 쓰겠습니다. 아울러 연산 $\star$ 가 결합법칙을 만족하므로 불필요한 괄호는 생략하겠습니다: $(ab)c=a(bc)=abc$ .

표기의 남용 1.2.2.

이제부터 임의의 $g\in G$ 와 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 다음과 같이 줄여 씁니다

g^{n}=\underbrace{g\star\dots\star g}_{\text{$n$번}}.

또한 $g^{-1}$ 가 $g$ 의 역원을 나타내도록 하고, $g^{-n}=(g^{-1})^{n}$ 으로 둡니다.

수학에서 흔한 주제 중 하나는, 특정 예시들을 염두에 두면서도 어떤 대상이 최소한의 성질만을 만족하도록 요구한 다음, 종이 위에서는 그 예시들을 잊어버리고 오직 그 성질만으로부터 최대한 많은 것을 유도해 보려 하는 것입니다. (수학 올림피아드 경험자라면 함수의 단 하나의 성질만 알아도 그 함수 전체가 결정되는 “함수 방정식”에 익숙할 것입니다.) 이제 여기서도 이를 시도해 보면서, 정의 1.1.3만을 알고서 우리가 무엇을 결론지을 수 있는지 살펴봅시다.

괌과 그 밖의 37개 주에서는 제가 이제 다음 명제를 진술하는 것이 법으로 정해져 있습니다.

사실 1.2.3.

$G$ 를 군이라 합시다.

(a)

군의 항등원은 유일합니다.
(b)

임의의 원소의 역원은 유일합니다.
(c)

임의의 $g\in G$ 에 대해, ${(g^{-1})}^{-1}=g$ 입니다.

증명.

이는 대체로 형식적인 조작에 불과하므로, 처음 읽을 때 건너뛰어도 괜찮습니다.

(a)

$1$ 과 $1^{\prime}$ 이 항등원이라면, $1=1\star 1^{\prime}=1^{\prime}$ 입니다.
(b)

$h$ 와 $h^{\prime}$ 이 $g$ 의 역원이라면, $1_{G}=g\star h\implies h^{\prime}=(h^{\prime}\star g)\star h=1_{G}\star h=h$ 입니다.
(c)

자명하므로 생략합니다. ∎

이제 조금 더 유용한 명제를 서술합니다.

명제 1.2.4 (곱의 역원).

$G$ 가 군이고, $a,b\in G$ 라고 합시다. 그러면 $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ 입니다.

증명.

직접 계산합니다. 다음이 성립합니다

(ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=aa^{-1}=1_{G}.

마찬가지로, $(b^{-1}a^{-1})(ab)=1_{G}$ 또한 성립합니다. 따라서 $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ 입니다. ∎

마지막으로, 역원을 갖는다는 것이 왜 그토록 유용한지를 잘 보여주는 군에 관한 매우 중요한 보조정리를 서술하겠습니다.

보조정리 1.2.5 (왼쪽 곱셈은 전단사입니다).

$G$ 를 군이라 하고, $g\in G$ 를 하나 고릅시다. 그러면 $x\mapsto gx$ 로 주어지는 사상 $G\to G$ 는 전단사입니다.

연습문제 1.2.6.

단사성과 전사성을 직접 보임으로써 이를 확인하십시오. (이 단어들의 뜻을 모른다면 Appendix C를 참고하십시오.)

예제 1.2.7.

$G=(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^{\times}$ (예제 1.1.9에서와 같이)라 하고 $g=3$ 을 고릅시다. 위의 보조정리는 사상 $x\mapsto 3\cdot x$ 가 전단사임을 말해주며, 이를 명시적으로 확인할 수 있습니다:

	$\displaystyle 1$	$\displaystyle\overset{\times 3}{\longmapsto}3\pmod{7}$
	$\displaystyle 2$	$\displaystyle\overset{\times 3}{\longmapsto}6\pmod{7}$
	$\displaystyle 3$	$\displaystyle\overset{\times 3}{\longmapsto}2\pmod{7}$
	$\displaystyle 4$	$\displaystyle\overset{\times 3}{\longmapsto}5\pmod{7}$
	$\displaystyle 5$	$\displaystyle\overset{\times 3}{\longmapsto}1\pmod{7}$
	$\displaystyle 6$	$\displaystyle\overset{\times 3}{\longmapsto}4\pmod{7}.$

이 사상이 단사라는 사실은 종종 소거 법칙이라 불립니다. (왜 그렇게 불리는지 생각해 보십시오.)

표기의 남용 1.2.8 (이후로는 항등원을 $1$ 대신 $0$ 으로 표기하는 경우가 있습니다).

앞으로 몇 개의 장 동안은 이를 신경 쓰지 않아도 되지만, 지금 미리 언급해 두겠습니다. 지금까지의 예시 대부분에서는 연산 $\star$ 을 일종의 곱셈처럼 여겼으며, 그렇기 때문에 $1=1_{G}$ 가 항등원에 대한 자연스러운 표기였습니다.

그러나 $\mathbb{Z}=(\mathbb{Z},+)$ 처럼 연산 $\star$ 을 덧셈으로 여기는 군도 있는데, 이 경우에는 $0=0_{G}$ 라는 표기가 오히려 더 자연스러울 수 있습니다. (일반적으로 연산이 $+$ 로 표기될 때는 그 연산이 거의 항상 가환입니다.) 나중에 환과 선형대수를 다룰 때 우리도 결국 이런 표기를 사용하기 시작할 것입니다.

1.3 동형사상

대표적인 예: $\mathbb{Z}\cong 10\mathbb{Z}$ .

먼저, 두 군이 동형이라는 것이 무엇을 의미하는지 이야기해 보겠습니다. 다음 두 군을 생각해 봅시다

•

$\mathbb{Z}=(\left\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\right\},+)$ .
•

$10\mathbb{Z}=(\left\{\dots,-20,-10,0,10,20,\dots\right\},+)$ .

이 두 군은 겉보기에는 ”다르지만”, 오직 표면적으로만 그러합니다 – 원소들의 이름만 다를 뿐이라고 말할 수도 있을 것입니다. 이것이 형식적으로 무엇을 의미할 수 있는지 잠시 생각해 보십시오.

구체적으로, 다음 사상은

\phi\colon\mathbb{Z}\to 10\mathbb{Z}\text{에 의해}x\mapsto 10x

군 연산을 보존하는, 바탕 집합들 사이의 전단사입니다. 기호로 표현하면,

\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y).

다시 말해, $\phi$ 는 군의 구조를 바꾸지 않으면서 원소들의 이름을 재배정하는 방식입니다. 이는 $(\mathbb{Z},+)$ 와 $(10\mathbb{Z},+)$ 가 사실상 같은 것이라는 명백한 사실을 포착하기 위한 형식화에 지나지 않습니다.

이제 일반적인 정의를 내려 봅시다.

정의 1.3.1.

$G=(G,\star)$ 와 $H=(H,\ast)$ 를 군이라 합시다. 전단사 $\phi\colon G\to H$ 는 다음을 만족할 때 동형사상이라 불립니다

\phi(g_{1}\star g_{2})=\phi(g_{1})\ast\phi(g_{2})\quad\text{모든 $g_{1},g_{2}\in G% $에 대하여}.

$G$ 에서 $H$ 로의 동형사상이 존재하면, $G$ 와 $H$ 가 동형이라고 말하며 $G\cong H$ 라고 씁니다.

이 정의에서 좌변 $\phi(g_{1}\star g_{2})$ 는 $G$ 의 연산을 사용하는 반면 우변 $\phi(g_{1})\ast\phi(g_{2})$ 는 $H$ 의 연산을 사용한다는 점에 유의하십시오.

예제 1.3.2 (동형사상의 예).

$G$ 와 $H$ 를 군이라 합시다. 다음과 같은 동형사상들이 있습니다.

(a)

위에서와 같이 $\mathbb{Z}\cong 10\mathbb{Z}$ 입니다.
(b)

다음과 같은 동형사상이 있습니다

$G\times H\cong H\times G$

사상 $(g,h)\mapsto(h,g)$ 에 의해서입니다.
(c)

항등사상 $\mathrm{id}\colon G\to G$ 는 동형사상이므로, $G\cong G$ 입니다.
(d)

$\mathbb{Z}$ 자기 자신으로의 또 다른 동형사상이 있습니다: 모든 $x$ 를 $-x$ 로 보내는 것입니다.

예제 1.3.3 ( $7$ 을 법으로 하는 원시근).

자명하지 않은 예로, $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^{\times}$ 임을 주장합니다. 전단사는

\phi(\text{$a$ mod $6$})=\text{$3^{a}$ mod $7$}.

•

이 사상이 전단사임은 명시적 계산으로 확인됩니다:

$(3^{0},3^{1},3^{2},3^{3},3^{4},3^{5})\equiv(1,3,2,6,4,5)\pmod{7}.$

(엄밀히 말하면, 좀 더 정확하게는 $3^{0\bmod 6}=1$ 등으로 써야 할 것입니다.)
•

마지막으로, 이 사상이 군 연산을 보존함을 확인해야 합니다. 다시 말해, $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 의 연산은 덧셈인 반면 $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^{\times}$ 의 연산은 곱셈이므로, $\phi(a+b)=\phi(a)\phi(b)$ 임을 보이고자 합니다. 이는 단지 $3^{a+b\bmod 6}\equiv 3^{a\bmod 6}3^{b\bmod 6}\pmod{7}$ 이라는 것이며, 이는 참입니다.

예제 1.3.4 (원시근).

더 일반적으로, 임의의 소수 $p$ 에 대해, $p$ 를 법으로 하는 원시근이라 불리는 원소 $g\in(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ 가 존재하여 $1,g,g^{2},\dots,g^{p-2}$ 가 $p$ 를 법으로 모두 서로 다릅니다. 위의 증명을 그대로 따라 하면 다음을 보일 수 있습니다

\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}\cong(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}\text{모든 소수 $p% $에 대하여}.

위의 예는 $p=7$ 이고 $g=3$ 인 특수한 경우였습니다.

연습문제 1.3.5.

원시근의 존재성을 가정하고, 위와 같이 동형사상 $\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}\cong(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ 를 확립하십시오.

$\cong$ 가 동치 관계임을 보이는 것은 어렵지 않습니다(왜일까요?). 게다가, 우리는 실제로 군의 구조에만 관심이 있으므로, 두 군이 동형일 때 보통 같은 것으로 간주할 것입니다. 그래서 ”모든 군을 찾아라”와 같은 문구는 실제로는 ”동형사상까지 고려하여 모든 군을 찾아라”를 의미합니다.

1.4 군의 위수와 라그랑주 정리

대표적인 예: $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ .

수학에서 흔히 그렇듯이, 우리는 ”위수(order)”라는 단어를 너무 많은 것에 사용합니다. 군에서는 위수에 대한 두 가지 개념이 있습니다.

정의 1.4.1.

$G$ 의 군의 위수는 $G$ 의 원소 개수입니다. 이를 $\left\lvert G\right\rvert$ 로 표시합니다. 위수는 $\mathbb{Z}$ 에서처럼 유한하지 않을 수도 있다는 점에 유의하십시오. $\left\lvert G\right\rvert$ 가 유한할 때 $G$ 를 유한군이라고 말합니다.

예제 1.4.2 (군의 위수).

소수 $p$ 에 대해, $\left\lvert(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}\right\rvert=p-1$ 입니다. 다시 말해, $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ 의 위수는 $p-1$ 입니다. 또 다른 예로, 대칭군 $S_{n}$ 의 위수는 $n!$ 이고 이면군 $D_{2n}$ 의 위수는 $2n$ 입니다.

정의 1.4.3.

원소 $g\in G$ 의 원소의 위수는 $g^{n}=1_{G}$ 를 만족하는 가장 작은 양의 정수 $n$ 이며, 그러한 $n$ 이 존재하지 않으면 $\infty$ 입니다. 이를 $\operatorname{ord}g$ 로 표시합니다.

예제 1.4.4 (위수의 예).

$\mathbb{Q}^{\times}$ 에서 $-1$ 의 위수는 $2$ 인 반면, $\mathbb{Z}$ 에서 $1$ 의 위수는 무한합니다.

질문 1.4.5.

원소가 여섯 개인 순환군 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 의 여섯 원소 각각의 위수를 구하십시오. ( $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 이 무엇을 뜻하는지 잊었다면 예제 1.1.8을 참고하십시오.)

예제 1.4.6 (원시근).

올림피아드 정수론을 알고 있다면, 이는 법 $p$ 에 대한 나머지의 위수 정의와 일치합니다. 그래서 여기서도 ”위수”라는 용어를 사용합니다. 특히, 원시근은 정확히 $\operatorname{ord}g=p-1$ 을 만족하는 원소 $g\in(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ 입니다.

$x^{n}\equiv 1\pmod{p}$ 이면 $x\pmod{p}$ 의 위수가 반드시 $n$ 을 나눈다는 사실도 알고 있을 것입니다. 정확히 같은 이유로 일반적인 군에서도 이와 같은 사실이 성립합니다.

사실 1.4.7.

$g^{n}=1_{G}$ 이면 $\operatorname{ord}g$ 는 $n$ 을 나눕니다.

또한, 유한군의 모든 원소가 유한한 위수를 가짐을 보일 수 있습니다. 증명은 올림피아드식 비둘기집 논법에 불과합니다. 무한 수열 $1_{G},g,g^{2},\dots$ 를 생각하고, 같은 두 원소를 찾으십시오.

사실 1.4.8.

$G$ 를 유한군이라 합시다. 임의의 $g\in G$ 에 대하여, $\operatorname{ord}g$ 는 유한합니다.

올림피아드 수학에서 알고 있는 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ 의 마지막 성질은 무엇입니까? 페르마의 소정리가 있습니다: 임의의 $a\in(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ 에 대하여, $a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$ 입니다. 이는 우연이 아닙니다: 더 일반적인 설정에서도 정확히 같은 사실이 성립합니다.

정리 1.4.9 (위수에 대한 라그랑주 정리).

$G$ 를 임의의 유한군이라 합시다. 그러면 임의의 $x\in G$ 에 대하여 $x^{\left\lvert G\right\rvert}=1_{G}$ 입니다.

이 결과를 기억해 두십시오! 나중에 정리 3.4.1의 일반적인 형태로 증명하겠습니다.

1.5 부분군

대표적인 예: $\operatorname{SL}_{n}(\mathbb{R})$ 은 $\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{R})$ 의 부분군입니다.

앞서 우리는 행렬식이 0이 아닌 $n\times n$ 행렬들인 $\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{R})$ 이 행렬 곱셈 아래 군을 이룸을 보았습니다. 그런데 $\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{R})$ 의 부분집합인 $\operatorname{SL}_{n}(\mathbb{R})$ 또한 같은 연산으로 군을 이룸도 보았습니다. 이러한 이유로 우리는 $\operatorname{SL}_{n}(\mathbb{R})$ 이 $\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{R})$ 의 부분군이라고 말합니다. 그리고 이 정의는 여러분이 예상하는 바로 그 방식으로 일반화됩니다.

정의 1.5.1.

$G=(G,\star)$ 를 군이라 합시다. $G$ 의 부분군은 정확히 여러분이 예상하는 그대로입니다: $H$ 가 $G$ 의 부분집합인 군 $H=(H,\star)$ 입니다. $H\neq G$ 이면 이를 진부분군이라 합니다.

비고 1.5.2.

군 $G$ 를 명시하려면, 집합 $G$ 가 무엇인지와 연산 $\star$ 가 무엇인지를 모두 알려드려야 했습니다. 그러나 주어진 군 $G$ 의 부분군 $H$ 를 명시하려면, 그 원소들이 무엇인지만 알려드리면 됩니다: $H$ 의 연산은 그저 $G$ 의 연산으로부터 물려받은 것이기 때문입니다.

예제 1.5.3 (부분군의 예).

(a)

$2\mathbb{Z}$ 는 $\mathbb{Z}$ 의 부분군이며, 이는 $\mathbb{Z}$ 자신과 동형입니다!
(b)

$n$ 개의 원소에 대한 대칭군 $S_{n}$ 을 다시 생각해 봅시다. $T$ 를 $\tau(n)=n$ 을 만족하는 순열 $\tau\colon\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,n\}$ 들의 집합이라 합시다. 그러면 $T$ 는 $S_{n}$ 의 부분군입니다; 실제로, 이는 $S_{n-1}$ 과 동형입니다.
(c)

군 $G\times H$ (예제 1.1.15)와 원소들 $\left\{(g,1_{H})\mid g\in G\right\}$ 를 생각해 봅시다. 이는 $G\times H$ 의 부분군입니다(왜 그럴까요?). 실제로, 이는 동형사상 $(g,1_{H})\mapsto g$ 에 의해 $G$ 와 동형입니다.

예제 1.5.4 (부분군의 뻔한 예).

임의의 군 $G$ 에 대하여, 자명군 $\{1_{G}\}$ 와 군 전체 $G$ 는 $G$ 의 부분군입니다.

다음은 이후 장들에서 더 다룰 특히 중요한 예입니다.

예제 1.5.5 (한 원소로 생성되는 부분군).

$x$ 를 군 $G$ 의 한 원소라 합시다. 다음 집합을 생각해 봅시다

\left<x\right>=\left\{\dots,x^{-2},x^{-1},1,x,x^{2},\dots\right\}.

이 역시 $G$ 의 부분군이며, $x$ 로 생성되는 부분군이라고 합니다.

연습문제 1.5.6.

$\operatorname{ord}x=2015$ 이면, 위 부분군은 무엇과 같습니까? $\operatorname{ord}x=\infty$ 이면 어떻습니까?

마지막으로, 부분군이 아닌 몇 가지 예를 제시합니다.

예제 1.5.7 (부분군이 아닌 예).

군 $\mathbb{Z}=(\mathbb{Z},+)$ 을 생각해 봅시다.

(a)

집합 $\left\{0,1,2,\dots\right\}$ 은 역원을 포함하지 않기 때문에 $\mathbb{Z}$ 의 부분군이 아닙니다.
(b)

집합 $\{n^{3}\mid n\in\mathbb{Z}\}=\{\dots,-8,-1,0,1,8,\dots\}$ 은 덧셈에 대해 닫혀 있지 않기 때문에 부분군이 아닙니다. 두 세제곱수의 합은 일반적으로 세제곱수가 아닙니다.
(c)

공집합 $\varnothing$ 은 항등원이 없기 때문에 $\mathbb{Z}$ 의 부분군이 아닙니다.

1.6 작은 위수의 군

그냥 재미로, 위수가 $10$ 이하인 모든 군의 목록을 (물론 동형사상 아래에서) 여기 제시합니다.

1.

위수 $1$ 인 유일한 군은 자명군입니다.
2.

위수 $2$ 인 유일한 군은 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 입니다.
3.

위수 $3$ 인 유일한 군은 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 입니다.
4.
위수 $4$ 인 유일한 군들은 다음과 같습니다
- •
  
  $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ , 네 개의 원소로 이루어진 순환군,
- •
  
  클라인 4원군이라 불리는 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 입니다.
5.

위수 $5$ 인 유일한 군은 $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 입니다.
6.
위수 6인 군들은 다음과 같습니다
- •
  
  $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ , 여섯 개의 원소로 이루어진 순환군입니다.
- •
  
  $S_{3}$ , 세 원소의 치환군입니다. 이는 최초의 비아벨 군입니다.
여러분 중 일부는 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 은 어디 있는지 궁금해할지도 모릅니다. 제가 할 말은 이것뿐입니다: 중국인의 나머지 정리입니다!
$D_{6}$ 은 이 목록에서 어디에 있는지 궁금하실 수도 있습니다. 사실 이는 $S_{3}$ 과 동형입니다.
7.

위수 $7$ 인 유일한 군은 $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ 입니다.
8.
위수 8인 군들은 더 많습니다.
- •
  
  $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ , 여덟 개의 원소로 이루어진 순환군입니다.
- •
  
  $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .
- •
  
  $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .
- •
  
  $D_{8}$ , 원소가 8개인 이면군이며, 아벨 군이 아닙니다.
- •
  
  비아벨 군 $Q_{8}$ 은 사원수군이라 불립니다. 이 군은 $i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$ 을 만족하는 여덟 개의 원소 $\pm 1$ , $\pm i$ , $\pm j$ , $\pm k$ 로 이루어져 있습니다.
9.
위수가 9인 군들은 다음과 같습니다.
- •
  
  $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ , 원소가 9개인 순환군입니다.
- •
  
  $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ .
10.
위수가 $10$ 인 군들은 다음과 같습니다.
- •
  
  $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (역시 중국인의 나머지 정리에 의합니다).
- •
  
  $D_{10}$ , 원소가 $10$ 개인 이면군입니다. 이 군은 비아벨입니다.

1.7 중요하지 않은 긴 여담

흔히 나오는 질문은 다음과 같습니다: 왜 하필 이런 공리들일까요? 예를 들어, 왜 결합법칙은 요구하면서 교환법칙은 요구하지 않을까요? 이 답은 이후에나 이해가 될 것 같지만, 도움이 될 만한 몇 가지 설명을 남겨 둡니다.

하나의 일반적인 발견법은 다음과 같습니다: 새로운 종류의 일반적 대상을 정의할 때마다 항상 균형을 맞추는 작업이 벌어집니다. 한편으로는 대상이 ”좋은” 성질을 갖도록 충분한 제약을 포함시키고 싶어 합니다. 다른 한편으로는, 제약을 너무 많이 포함시키면 정의가 너무 적은 대상에만 적용되게 됩니다.

그래서, 예를 들어, ”결합법칙”을 포함시키는 이유는 그렇게 하면 우리 삶이 편해지고, 우리가 마주치는 대부분의 연산이 결합법칙을 만족하기 때문입니다. 특히, 원소의 역원이 반드시 유일하려면 결합법칙이 필요합니다. 하지만 ”교환법칙”은 포함시키지 않는데, 이는 아래의 예시들이 우리가 관심을 갖는 비아벨 군이 많다는 것을 보여주기 때문입니다. (그러나 여전히 이를 추적하고 싶기 때문에 ”아벨”이라는 또 다른 이름을 도입합니다.)

또 다른 설명: 역원 공리에 대한 좋은 동기는 상당한 양의 대칭성을 얻을 수 있다는 것입니다. 예를 들어, 덧셈을 갖춘 양의 정수 집합은 군이 아닌데, 이는 $3$ 에서 $6$ 을 뺄 수 없기 때문입니다: 어떤 원소들은 다른 원소들보다 ”더 큽니다”. 역원이 존재하도록 요구함으로써 이 문제를 없앨 수 있습니다. (이를 위해서는 항등원도 필요합니다. 항등원 없이는 역원을 정의하기 어렵습니다.)

더욱 난해한 설명: 문제 1F은 군이 실은 대칭군의 그림자임을 보여줍니다. 이는 ”군은 매우 대칭적이다”라는 관념을 엄밀하게 만들어 줍니다.

1.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 1A.

다음 그림에서 농담은 무엇일까요? (출처: [14].)

힌트. 위수.

풀이. 요점은 $\heartsuit$ 가 군이고, $G\subsetneq\heartsuit$ 가 부분군이며, $G\cong\heartsuit$ 라는 것입니다. 이는 $\left\lvert\heartsuit\right\rvert=\infty$ 일 때만 일어날 수 있습니다. 그렇지 않으면 진부분군은 원래의 군보다 엄밀하게 더 작은 크기를 가질 것입니다.

문제 1B.

$G$ 가 유한 아벨 군인 특수한 경우에 대해 위수에 관한 라그랑주 정리를 증명하십시오.

힌트. 보조정리 1.2.5을 사용하여 페르마의 소정리의 증명을 그대로 따라 해보십시오.

풀이. $\{g_{1},g_{2},\dots,g_{n}\}$ 을 $G$ 의 원소들이라고 합시다. 임의의 $g\in G$ 에 대해, 이는 집합 $\{gg_{1},\dots,gg_{n}\}$ 과 같습니다. 전체 곱을 취하고 교환법칙을 이용하면 $g^{n}\cdot g_{1}g_{2}\dots g_{n}=g_{1}g_{2}\dots g_{n}$ 을 얻으며, 따라서 $g^{n}=1$ 입니다.

문제 1C.

$D_{6}\cong S_{3}$ 이지만 $D_{24}\not\cong S_{4}$ 임을 보이십시오.

힌트. 전자의 경우, 동형사상이 $r$ 과 $s$ 를 어디로 보내야 하는지 정하면 나머지는 자연스럽게 따라옵니다. 후자의 경우, 위수를 살펴보십시오.

풀이. $r\mapsto(1\;2\;3)$ 과 $s\mapsto(1\;2)$ 로의 사상을 이용하면 $D_{6}\cong S_{3}$ 임을 직접 확인할 수 있습니다. (우변은 순열의 순환 표기법에서 언급했던 ”순환 표기법”으로 쓰여 있습니다.) 반면 $D_{24}$ 는 위수가 $12$ 인 원소를 갖지만 $S_{4}$ 는 그렇지 않습니다.

문제 1D.

$p$ 를 소수라고 합시다. $G$ 가 위수 $p$ 인 군이면 $G\cong\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 임을 보이십시오.

힌트. 생성된 군.

풀이. $G$ 를 위수 $p$ 인 군이라 하고, $1\neq g\in G$ 라 합시다. $g$ 로 생성된 군 $H$ 를 살펴보고 라그랑주 정리를 사용하십시오.

문제 1E (케일리 정리에 대한 힌트).

$D_{8}$ 과 동형인 $S_{8}$ 의 부분군 $H$ 를 찾고, 그 동형사상을 명시적으로 쓰십시오.

문제 1F.

^†^†margin:

$G$ 를 유한군이라 합시다.¹¹1다시 말해, 순열군은 임의로 이상해질 수 있습니다. 저는 이 정리를 처음 들었을 때 매우 당혹스러웠던 것으로 기억하지만, 돌이켜보면 그리 놀라운 일은 아닙니다. 다음을 만족하는 양의 정수 $n$ 이 존재함을 보이십시오.

(a)

(케일리 정리) $G$ 는 대칭군 $S_{n}$ 의 어떤 부분군과 동형입니다.
(b)

(표현론) $G$ 는 일반선형군 $\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{R})$ 의 어떤 부분군과 동형입니다. (이는 가역 $n\times n$ 행렬들로 이루어진 군입니다.)

힌트. $n=\left\lvert G\right\rvert$ 를 사용하십시오.

풀이. 아이디어는 각 원소 $g\in G$ 를 $x\mapsto gx$ 에 의한 순열 $G\to G$ 로 생각할 수 있다는 것입니다.

문제 1G.

^†^†margin:

대칭군 $S_{n}$ 이 위수 $2018$ 인 이면군 $D_{2018}$ 과 동형인 부분군을 갖도록 하는 가장 작은 정수 $n$ 을 찾으십시오.

힌트. 하한을 위해서는 위수를 고려하십시오( $1009$ 가 소수임에 유의하십시오). 상한을 위해서는 정 $1009$ 각형을 고려하십시오.

풀이. 답은 $n=1009$ 입니다. 이 풀이는 $1009$ 가 소수라는 사실을 사용합니다.

더 작은 $m$ 이 불가능함을 보이려면, $D_{2018}$ 이 소수인 $1009$ 의 위수를 가진 원소를 갖는다는 점에 유의하십시오. $n<1009$ 일 때 $S_{n}$ 은 이러한 위수를 가진 원소가 없으므로, $n\geq 1009$ 가 필요합니다.

$n=1009$ 로부터 구성을 제시하기 위해, $D_{2018}$ 을 정 $1009$ 각형의 대칭들로 생각할 수 있음에 유의하십시오. 정 $1009$ 각형의 꼭짓점들을 $S\coloneqq\{1,2,\dots,1009\}$ 로 라벨링하면, $D_{2018}$ 의 원소들은 $S$ 위의 순열을 유도하며, 이렇게 얻어지는 순열들의 집합이 원하는 부분군입니다.

문제 1H (IMO SL 2005 C5).

^†^†margin:

$n$ 개의 마커가 있으며, 각각 한쪽 면은 흰색이고 다른 쪽 면은 검은색입니다. 처음에 이 $n$ 개의 마커는 흰색 면이 모두 위를 향하도록 한 줄로 정렬되어 있습니다. 각 단계에서 가능하다면, 흰색 면이 위를 향한 마커(단, 가장 바깥쪽 마커는 제외) 하나를 선택하여 제거하고, 그 왼쪽에 가장 가까운 마커와 오른쪽에 가장 가까운 마커를 뒤집습니다.

$n\equiv 1\pmod{3}$ 이면 마커가 두 개만 남는 상태에 도달하는 것이 불가능함을 증명하십시오. (실제로 그 역도 성립합니다.)

힌트. $D_{6}$ 에서 영감을 얻으십시오.

풀이. $www=bb$ , $bww=wb$ , $wwb=bw$ , $bwb=ww$ 가 성립합니다. 이를 $D_{6}$ 의 원소로 해석하십시오.

문제 1I.

^†^†margin:

$p$ 를 소수라 하고 $F_{1}=F_{2}=1$ , $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ 을 피보나치 수열이라 하십시오. $F_{2p(p^{2}-1)}$ 가 $p$ 로 나누어짐을 보이십시오.

힌트. 행렬식이 $\pm 1$ 인 $p$ 법 $2\times 2$ 행렬들의 군을 살펴봅시다.

풀이. 행렬식이 $\pm 1$ 인 (성분이 $p$ 를 법으로 하는 정수인) $p$ 를 법으로 하는 $2\times 2$ 행렬들의 군 $G$ 를 살펴보십시오. $g=\begin{bmatrix}1&1\\ 1&0\end{bmatrix}$ 이라 하고, 그런 다음 $g^{\left\lvert G\right\rvert}=1_{G}$ 를 사용하십시오.

장 1 군

1.1 군의 정의와 예시

예제 1.1.1 (덧셈 정수).

예제 1.1.2 (0이 아닌 유리수).

정의 1.1.3.

비고 1.1.4 (중요하지 않은 세부 사항).

비고 1.1.5.

예제 1.1.6 (군이 아닌 예시).

예제 1.1.7 (복소수 단위원).

예제 1.1.8 (n을 법으로 하는 덧셈).

예제 1.1.9 (p를 법으로 하는 곱셈).

질문 1.1.10.

예제 1.1.11 (일반 선형군).

예제 1.1.12 (특수 선형군).

예제 1.1.13 (대칭군).

예제 1.1.14 (이면체군).

예제 1.1.15 (군의 곱).

질문 1.1.16.

예제 1.1.17 (자명군).

연습문제 1.1.18.

1.2 군의 성질

표기의 남용 1.2.1.

표기의 남용 1.2.2.

사실 1.2.3.

증명.

명제 1.2.4 (곱의 역원).

증명.

보조정리 1.2.5 (왼쪽 곱셈은 전단사입니다).

연습문제 1.2.6.

예제 1.2.7.

표기의 남용 1.2.8 (이후로는 항등원을 1 대신 0으로 표기하는 경우가 있습니다).

1.3 동형사상

정의 1.3.1.

예제 1.3.2 (동형사상의 예).

예제 1.3.3 (7을 법으로 하는 원시근).

예제 1.3.4 (원시근).

연습문제 1.3.5.

1.4 군의 위수와 라그랑주 정리

정의 1.4.1.

예제 1.4.2 (군의 위수).

정의 1.4.3.

예제 1.4.4 (위수의 예).

질문 1.4.5.

예제 1.4.6 (원시근).

사실 1.4.7.

사실 1.4.8.

정리 1.4.9 (위수에 대한 라그랑주 정리).

1.5 부분군

정의 1.5.1.

비고 1.5.2.

예제 1.5.3 (부분군의 예).

예제 1.5.4 (부분군의 뻔한 예).

예제 1.5.5 (한 원소로 생성되는 부분군).

연습문제 1.5.6.

예제 1.5.7 (부분군이 아닌 예).

1.6 작은 위수의 군

1.7 중요하지 않은 긴 여담

1.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 1A.

문제 1B.

문제 1C.

문제 1D.

문제 1E (케일리 정리에 대한 힌트).

문제 1F.

문제 1G.

문제 1H (IMO SL 2005 C5).

문제 1I.

예제 1.1.8 ( $n$ 을 법으로 하는 덧셈).

예제 1.1.9 ( $p$ 를 법으로 하는 곱셈).

표기의 남용 1.2.8 (이후로는 항등원을 $1$ 대신 $0$ 으로 표기하는 경우가 있습니다).

예제 1.3.3 ( $7$ 을 법으로 하는 원시근).